Matrix method of receiving the full composition of the groups of relativity of Boolean functions

Abstract

The article describes a matrix method for obtaining the full composition of the groups of relativity of Boolean functions on the basis of a universal permutation matrix. This method makes it possible to obtain the full composition of the group of relativity on the basis of one Boolean function of its composition, the name of the group of relativity (the smallest binary number of Boolean function in the group), to construct the minimal form for any of Boolean functions of the group without the process of minimization if at least one function from the group of relativity is already minimized. The phenomenon of the groups of relativity in symbolic logic is due to the problem of numerology. It is due to the fact that all arguments of Boolean function are absolutely equal, but when constructing a truth table, columns must be put in a certain order. As a result, there are large groups of functions having the same properties, because they have the same internal structure. The advantage of group data is that they completely cover the full range of Boolean functions without overlapping one another. This makes it possible to significantly reduce the number of objects studied within the complete set L(n) of all Boolean functions f(n) by examining only one Boolean function from the whole group. The full composition of the group of relativity based on the truth table of the function can be formed by performing two equivalence operations – by rearranging columns of arguments in places or by replacing the arguments columns with their inverses, without changing in both cases the values in the column of the result. It is these actions that underlie the implementation of the method. To simplify the implementation of the method, recursive procedures are replaced by cyclic ones. This method is developed as a working tool for studying the relationships between the groups of relativity in terms of the decomposition of Boolean functions in order to find new effective methods of minimization.

У статті описано матричний метод отримання повного складу груп релятивності булевих функцій на основі універсальної матриці перестановок. Цей метод дає можливість отримати повний склад групи релятивності на основі однієї булевої функції із її складу, назву групи релятивності (найменший бінарний номер булевої функції в групі), побудувати мінімальну форму для будь-якої булевої функції зі складу групи без виконання процесу мінімізації, якщо вже мінімізована хоча б одна функція зі складу групи релятивності. Це дає можливість суттєво зменшити кількість досліджуваних об’єктів у межах повної множини L(n) всіх булевих функцій f(n), досліджуючи лише одну булеву функцію з усієї групи. Для спрощення реалізації методу рекурсивні процедури замінено на циклічні. Цей метод розроблено як робочий інструмент для дослідження взаємозв’язків між групами релятивності з точки зору декомпозиції булевих функцій для пошуку нових ефективних методів мінімізації.