Нелінійні алгоритми спільного вимірювання амплітуди гармонічного сигналу та параметрів ексцесної завади 1-го типу

Немченкова, Олена Григорівна
Please use this identifier to cite or link to this item: https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/5830
Title:	Нелінійні алгоритми спільного вимірювання амплітуди гармонічного сигналу та параметрів ексцесної завади 1-го типу
Authors:	Гавриш, Олександр Степанович Немченкова, Олена Григорівна
Keywords:	метод максимізації поліному;негауссівська завада;гармонічний сигнал;дисперсія;коефіцієнт ексцесу
Issue Date:	2023
Abstract:	Метою роботи є синтез адаптивних алгоритмів оцінювання амплітуди гармонічного сигналу разом з параметрами ексцесної завади першого типу (дисперсією і коефіцієнтом ексцесу). Об’єкт дослідження – процес вимірювання амплітуди гармонічного сигналу та параметрів ексцесної завади 1-го типу. Методи дослідження – методи теорії ймовірності та математичної статистики. В магістерській роботі для синтезу поліноміальних алгоритмів оцінювання параметрів використовується метод максимізації поліному при степенях поліному 4, 5 і 6. В середовищі mathcad, використовуючи блок символьних розрахунків, знайдено аналітичні вирази для оптимальних вагових коефіцієнтів рівнянь максимізації поліному при степенях 4, 5 і 6. При підстановці коефіцієнтів, отримані алгоритми характеризуються певною громіздкістю і складністю обчислення оцінок і можуть бути розв’язані лише чисельно. Проте, проаналізувати асимптотичні властивості алгоритмів вдається на підставі аналітичних виразів для їх дисперсій. Класичний алгоритм (використовується метод максимальної правдоподібності), оптимальний при гауссівській заваді, дозволяє спільно оцінити амплітуду гармонічного сигналу і дисперсію завади, але не враховує коефіцієнт ексцесу. При певних значеннях коефіцієнту ексцесу завади проявляються покращенні точнісні характеристики алгоритмів, синтезованих методом максимізації поліному, порівняно з класичними алгоритмами. Подальше покращення точності алгоритмів може бути досягнуто при збільшенні степені поліному на 1 або 2.
URI:	https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/5830
Appears in Collections:	172 Електронні комунікації та радіотехніка (Радіотехніка та робототехнічні системи)
Files in This Item:
File	Description	Size	Format
М_172_Немченкова_Гавриш.pdf Restricted Access		1.08 MB	Adobe PDF	View/Open Request a copy
Show full item record
Extracted text
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ 
ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ 
ФАКУЛЬТЕТ ЕЛЕКТРОННИХ ТЕХНОЛОГІЙ, АВТОТРАНСПОРТУ ТА 
МАШИНОБУДУВАННЯ 
КАФЕДРА РОБОТОТЕХНІЧНИХ І ТЕЛЕКОМУНІКАЦІЙНИХ СИСТЕМ ТА 
КІБЕРБЕЗПЕКИ 
 
До захисту допущено  
завідувач кафедри РТСК 
д. т. н., професор __________  
Володимир ПАЛАГІН  
«____»  грудня 2023 року 
 
 
Пояснювальна записка 
до випускної роботи 
освітнього ступеня «магістр» 
на тему: «Поліноміальні алгоритми спільного вимірювання амплітуди 
гармонічного сигналу та параметрів ексцесної завади 1-го типу» 
 
 Виконала студентка 2 курсу, групи РТ-025 
Спеціальність – 172 «Телекомунікації та 
 радіотехніка» 
Освітня програма – «Радіотехніка та 
 робототехнічні системи» 
 НЕМЧЕНКОВА Олена Григорівна 
 Керівник роботи ГАВРИШ Олександр 
 Рецензент  
 
 
Черкаси 2023 
Форма № Н-9.01 
Черкаський державний технологічний університет 
(назва вузу) 
Факультет електронних технологій, автотранспорту та машинобудування 
Кафедра Робототехнічних і телекомунікаційних систем та кібербезпеки 
Освітній ступінь магістр 
Спеціальність 172 -  Телекомунікації та радіотехніка 
Освітня програма Радіотехніка та робототехнічні системи 
 ЗАТВЕРДЖУЮ 
 Завідувач кафедри РТСК 
 д. т. н., професор Володимир ПАЛАГІН 
   
 «  »   2023 р. 
 
ЗАВДАННЯ 
на дипломний проект (роботу) студентці 
Немченковій Олені Григорівні 
(прізвище, ім'я, по батькові) 
1. Тема проекту (роботи) Поліноміальні алгоритми спільного вимірювання амплітуди  
гармонічного сигналу та параметрів ексцесної завади 1-го типу 
керівник проекту (роботи) Гавриш Олександр Степанович, доцент 
(прізвище, ім’я, по батькові, науковий ступінь, вчене звання) 
затверджена наказом по університету від «  »    жовтня      2023 р.  № 271/04 
2. Строк подання студентом проекту (роботи) 1 грудня 2023 р. 
3. Вихідні дані до проекту (роботи)  вибірка значень спостережуваного сигналу обсягом n; 
гармонічний сигнал з невідомою амплітудою; вид завади – ексцесна 1-го типу 
(з невідомими дисперсією та коефіцієнтом асиметрії). 
4. Зміст розрахунково-пояснювальної записки (перелік питань, які потрібно розробити)______ 
Вступ. 1. Сигнали та завади в радіотехнічних системах. 2. Метод максимізації поліному для  
знаходження оцінок параметрів випадкових послідовностей. 3. Спільна оцінка амплітуди  
гармонічного сигналу,дисперсії і коефіцієнту ексцесу завади. 4. Дослідження точності  
алгоритмів спільної оцінки амплітуди, дисперсії і коефіцієнта ексцесу.Висновки. Список  
використаної літератури. 
5. Перелік графічного матеріалу (з точним зазначенням обов’язкових креслень)  
Презентація в Power Point обсягом 9 плакатів 
 
6. Консультанти з проекту (роботи) із зазначенням розділів проекту, що їх стосуються 
  Підпис, дата 
Розділ Прізвище, ініціали та посада  завдання         завдання 
консультанта видав прийняв 
    
    
    
    
    
    
 
7. Дата видачі завдання 04 вересня 2023 р. 
 
КАЛЕНДАРНИЙ ПЛАН 
№ Назва етапів дипломного                               С   т р  о  к   виконання етапів      П   р имітка 
з/п проекту (роботи) проекту (роботи) 
1. Аналіз технічного завдання та огляд літератури 05.09.2023  
2 Розробка методики проведення дослідження 18.09.2023  
3 Розрахунок початкових моментів і центрованих    
 корелянтів асиметричної випадкової величини 01.10.2023  
4 Синтез обчислювальних алгоритмів вимірювання    
 амплітуди сигналу і параметрів завади при s= 4,5,6 16.10.2023  
5. Дослідження точності синтезованих алгоритмів   
 спільного вимірювання амплітуди і параметрів  01.11.2023  
 ексцесної завади 1-го типу   
6. Оформлення пояснювальної записки 07.11.2023  
7. Оформлення плакатів 28.11.2023  
    
    
    
   
 
 Студентка   НЕМЧЕНКОВА ОЛЕНА 
  (підпис) (прізвище та ініціали) 
Керівник проекту (роботи)   ГАВРИШ Олександр 
  (підпис) (прізвище та ініціали) 
 
ЗМІСТ 
Стор. 
Вступ 5 
1. СИГНАЛИ ТА ЗАВАДИ В РАДІОТЕХНІЧНИХ СИСТЕМАХ 7 
1.1 Загальні поняття сигналу та завади 7 
1.2 Радіоканал та його властивості 11 
1.3 Корисний сигнал на виході радіоканалу 14 
1.4 Характеристика задач статистичної теорії виявлення і розрізнення  
сигналів при наявності завад 15 
1.5 Оцінки параметрів сигналів та їх властивості 20 
2. МЕТОД МАКСИМІЗАЦІЇ ПОЛІНОМУ ДЛЯ ЗНАХОДЖЕННЯ ОЦІНОК  
ПАРАМЕТРІВ ВИПАДКОВИХ ПОСЛІДОВНОСТЕЙ 24 
2.1 Знаходження оцінок скалярного параметру методом максимізації  
поліному та його асимптотичні властивості 24 
2.2 Оцінка векторного параметра випадкової величини при моментному 27 
описі  
2.3 Опис і визначення ексцесних випадкових величин 1-го типу                   29 
3. СПІЛЬНА ОЦІНКА АМПЛІТУДИ ГАРМОНІЧНОГО СИГНАЛУ,  
ДИСПЕРСІЇ І КОЕФІЦІЄНТУ ЕКСЦЕСУ ЗАВАДИ 33 
3.1 Постановка задачі адаптивного оцінювання амплітуди гармонічного  
сигналу 33 
3.2 Алгоритм-прототип оцінювання амплітуди гармонічного сигналу при  
гауссівській заваді з невідомою дисперсією, синтезований методом  
максимальної правдоподібності 38 
3.3 Синтез та аналіз алгоритмів спільної оцінки амплітуди гармонічного  
сигналу і параметрів ексцесної завади 1-го типу при ступені поліному  
s=4 41 
  
  
  
3.4 Побудова та аналіз асимптотичних властивостей алгоритмів спільної  
оцінки амплітуди гармонічного сигналу і параметрів ексцесної завади  
1-го типу при ступені поліному s=5 44 
3.5 Розробка та аналіз алгоритмів спільної оцінки амплітуди гармонічного  
сигналу і параметрів ексцесної завади 1-го типу при ступені поліному  
s=6 46 
4. ДОСЛІДЖЕННЯ ТОЧНОСТІ АЛГОРИТМІВ СПІЛЬНОЇ ОЦІНКИ  
АМПЛІТУДИ, ДИСПЕРСІЇ І КОЕФІЦІЄНТА ЕКСЦЕСУ 51 
4.1 Точнісні характеристики оцінок амплітуди і дисперсії завади, знайдені  
методом максимальної правдоподібності 51 
4.2 Асимптотичні властивості оцінок, знайдених методом максимізації  
поліному при s=4 52 
4.3 Дисперсії оцінок параметрів гармонічного сигналу і ексцесної завади  
при степені поліному s=5 55 
4.4 Точність алгоритмів сумісної оцінки гармонічного сигналу і ексцесної  
завади при степені поліному s=6 58 
Висновки 62 
Список використаної літератури 64 
 
ВСТУП 
 
1. Актуальність роботи. 
Однією із головних задач оптимального прийому сигналів являється 
оцінка параметрів сигналів. Вона, зазвичай, з’являється  в радіолокаційних, 
радіонавігаційних системах та інших системах радіотехніки. Обробка сигналів, 
які надходять, здійснюється шляхом математичної статистики. Використання 
статистичних підходів цілком виправдовується, адже в звичайному житті 
корисний сигнал (радіоімпульс, що відображений від об’єкта), що надходить, 
спотворений випадковою перешкодою (завадою) і впливом середовища 
розповсюдження. Часто потужність корисного сигналу істотно менша за 
потужність завад. Оптимальний приймач дає нам таку можливість, щоб 
виявити такі сигнали, розрізняти їх, а також обчислити їх параметри, 
користуючись попередньо обраними критеріями оптимальності і моделями 
сигналів і перешкод. Стандартний приклад оптимального приймача - приймач 
заздалегідь відомого сигналу (детермінованого) на фоні білого гауссівського 
шуму. 
Більш ускладнені приймачі, які мають якісніші характеристики, можливо 
отримати при виборі адекватніших (наближених до реальних) моделей сигналів 
і шумів. Тому розробка алгоритмів обчислення амплітуди гармонічного 
сигналу, що є оптимальним при ексцесній заваді першого типу, являється 
актуальним питанням. 
2. Мета і завдання дослідження. 
Метою роботи являється синтез адаптивних алгоритмів оцінювання 
амплітуди гармонічного сигналу A  разом з параметрами ексцесної завади 
першого типу (дисперсією 2  і коефіцієнтом ексцесу  4 ). Дану ціль можливо 
досягти, спочатку виконавши декілька завдань: 
- огляд моделей сигналів і завад, які чинять вплив на них, та методів оцінки 
їх параметрів; 
- обґрунтування застосування методу максимізації поліному для вибраних 
моделей як кінцеву послідовність моментів та кумулянтів; 
- розробка поліноміальних алгоритмів оцінки амплітуди гармонічного 
сигналу разом з дисперсією, коефіцієнтом ексцесу завади за умови, що степені 
поліному s = 4,5,6 ; 
- аналіз характеристик синтезованих алгоритмів, що являються 
оптимальними при ексцесній заваді першого типу, їх порівняння з оцінками 
методу максимальної правдоподібності, які є оптимальними при гауссівській 
заваді. 
3. Новизна одержаних результатів з наукової точки зору. 
Синтезовано поліноміальні алгоритми загальної оцінки амплітуди 
гармонічного сигналу та параметрів ексцесної завади першого типу за умови, 
що степені поліному становлять s = 4,5,6 . Обчислені аналітичні вирази 
асимтотичних дисперсій оцінок параметрів, що показують високу якість 
отриманих алгоритмів. Виявлено наступну закономірність: зі зростанням 
степені поліному, точність алгоритмів має ставати кращою та має залежність 
від величини коефіцієнта ексцесу завади. 
4. Практичне значення одержаних результатів.  
- ефективність використання методу максимізації поліному задля синтезу 
алгоритмів оцінки параметрів сигналів разом з оцінюванням параметрів 
негауссівської завади; 
- синтезована блок-схема загальної оцінки амплітуди гармонічного 
сигналу, дисперсії та коефіцієнту ексцесу за умови 4-ої степені поліному.  
 
 
 
 
 
 
 
 
1. СИГНАЛИ ТА ЗАВАДИ В РАДІОТЕХНІЧНИХ СИСТЕМАХ 
 
1.1. Загальні поняття сигналу та завади 
Радіотехнічні системи відносяться до класу інформаційних систем і тому 
всі процеси в них доцільно розглядати з інформаційної точки зору. Будь-які 
обурення в РТС поділяють на три групи: повідомлення, сигнали та завади. 
До повідомлень відносять процеси λ(t) (функції часу) або поля λ(t, x, y, z) 
- функції просторових координат і часу, що містять корисну для споживача 
інформацію, яка підлягає відтворенню в системах передачі інформації або 
вилучення в системах вилучення інформації. Наприклад, у системах зв'язку це 
мова, музика (функції часу); при передачі телевізійного зображення - розподіл 
яскравості відбитого від об'єкта світла (функція просторових координат і часу). 
У РЛ і РН системах повідомленнями зазвичай є функції, що визначають зміну в 
часі дальності і кутових координат рухомого об'єкта в заданій системі 
координат. У загальному випадку повідомлення може мати векторний характер, 
тобто  
Сигналом називається процес s(t, λ(t) ,β) або поле e(t, x, y, z, λ(t), β), які 
виконують функцію переносника повідомлення λ(t). Важливо відзначити, що 
термін «сигнал» передбачає існування тимчасового процесу, а термін «поле» 
визначає просторово-часовий процес, тобто x, y, z - просторові координати. 
Поряд з корисним повідомленням сигнал у ряді випадків містить сукупність 
неінформативних параметрів. Ці параметри називають заважаючими, всі або 
частина з них можуть бути невідомі. Загалом вони також змінюються в часі та у 
просторі. Сигнали (іноді використовують термін «радіосигнали») існують у 
ланцюгах приймача і передавача РТС у вигляді високочастотних струмів і 
напруг, наприклад, на виході приймальної антени. Коли використовують термін 
«поле», то мають на увазі електромагнітну хвилю, що поширюється в просторі. 
Хвиля характеризується векторами електричного та магнітного полів. Таким 
чином, скалярна функція відповідає одній з проекцій вектора електричної 
напруженості поля. Приймальна антена здійснює перетворення хвилі в 
радіосигнал s(t, λ(t), β). З інформаційної точки зору хвиля і радіосигнал 
виконують функцію переносника інформації. У більшості своїй ТТХ РТС 
залежать як від способу модуляції радіосигналу s(t, λ(t), β) повідомленням λ(t), 
так і від характеру самого повідомлення λ(t). 
Слід зазначити, що в системах передачі інформації модуляція 
високочастотного сигналу повідомленням λ(t) реалізується в передавачі РТС. 
Тому ці системи називають також системами з внутрішньою модуляцією. У 
радіолокаційних, радіонавігаційних, а також інших РТС, що належать до класу 
систем вилучення інформації, корисне повідомлення λ(t) не міститься в сигналі, 
який випромінює передавач. Цей сигнал прийнято називати зондуючим. 
У РЛ і РН системах електромагнітна хвиля (переносник інформації) 
набуває повідомлення в процесі поширення на трасі «випромінювач - об'єкт» і 
відображення хвилі від об'єкта. Дійсно, повідомлення про дальність до об'єкта в 
РЛ системах формується внаслідок затримки часу сигналу на вході приймача 
по відношенню до зондуючого. Повідомлення про напрям на об'єкт 
«вводиться» в переносник інформації при прийомі хвилі на просторово- 
протяжну антенну систему і, таким чином, залежить від способу побудови 
самої антени. У зв'язку з зазначеними особливостями РТС вилучення 
інформації називають також системами із зовнішньою модуляцією. 
 Завадами називають процеси або поля, що заважають достовірному 
відтворенню (витягу) повідомлення λ(t). Характер взаємодії сигналу s(t, λ(t), β) і 
завад n(t) може бути різним. Він залежить від фізичної природи завади. У 
загальному вигляді результат їх взаємодії можна подати у вигляді сигналу y(t, 
λ(t), β) = F [s(t, λ(t), β); n(t)], де F[⋅,⋅] - оператор, визначальний спосіб 
комбінування сигналу та завади. Наприклад, власний шум приймально-
підсилювальних пристроїв аддитивно взаємодіє з сигналом, тобто сумується з 
ним. Така завада називається аддитивною (від англійського слова addition - 
додавання). Наприклад, якщо сигналом є прямокутний радіоімпульс, який 
знаходиться на інтервалі [0, T], то з урахуванням власного шуму коливання на 
вході приймача становитиме:  
                                       (1.1) 
  
де (1.2) 
У цьому прикладі корисний сигнал залежить від п'яти параметрів: 
амплітуди A, частоти    початкової фази    тривалості імпульсу і і моменту 
його появи . У практичних завданнях часто інформативними та невідомими 
можуть бути:                                      , а заважаючими -   
При радіолокаційному спостереженні об'єкта, що знаходиться в просторі 
та містить випадкові неоднорідності, наприклад літак і дощові хмари на трасі 
поширення радіохвиль або корабель і схвильована поверхня моря, також 
виникає завада у вигляді радіосигналів, відбитих від крапель дощу або від 
випадково орієнтованих ділянок поверхні моря. Однак, у цьому випадку завада 
не підсумовується з сигналом від об'єкта, вона модулює корисний сигнал, тобто 
впливає на нього нелінійно. Такі перешкоди називають мультиплікативними 
(від англ. слова multiply - множити). Дійсно, просте збільшення потужності 
випромінюваного сигналу призведе до послаблення впливу власного шуму, і 
воно не призведе до бажаного результату в другому випадку, так як поряд зі 
збільшенням рівня сигналу, відбитого від об'єкта, зросте і рівень перешкод у 
вигляді відбитків від хмар або моря. 
Математичний опис завади передбачає завдання її у вигляді випадкової 
функції часу. В іншому випадку (при детермінованому описі) вона виявляється 
повністю відомою, і її вплив можна було б повністю виключити. Питання, чи є 
окремо взятий процес сигналом чи перешкодою, вирішується залежно від того, 
що потрібно одержувачу. У цьому плані математичні способи опису 
повідомлень, сигналів або перешкод однакові. Тому далі скрізь, де це зручно, 
використовуватиметься єдиний термін «сигнал». 
Важливо відзначити, що на вхід приймача надходить результуючий 
сигнал у(t, λ (t), β) і за своєю фізичною природою в переважній більшості 
практичних завдань це випадковий процес. Таким чином, амплітуда, фаза і 
частота високочастотного (ВЧ) сигналу y(t, λ(t), β) у будь-який момент часу є 
випадковими величинами. Визначення випадкової величини або випадкового 
процесу як сукупності випадкових величин передбачає завдання деякої 
множини можливих значень (вибіркового простору), з якого проводиться 
випадковий вибір конкретних (спостережуваних) реалізацій. На цій множині 
повинні бути визначені імовірнісні характеристики, які показують, як часто 
спостерігаються ті чи інші елементи вибіркового простору (реалізації). 
Важливим положенням теорії інформації та теорії зв'язку є твердження 
про те, що адекватна (повноцінна або відповідна природі явищ) постановка 
задачі аналізу та синтезу РТС передачі або вилучення інформації передбачає 
завдання корисного повідомлення λ(t) як випадкової функції або величини, 
якщо λ(t) = сonst. 
Дійсно, припущення про те, що повідомлення λ(t) є детермінованою 
функцією, тобто відомою споживачеві заздалегідь, робить абсурдною передачу 
цього повідомлення по каналу зв'язку. Втрачає сенс і завдання вимірювання 
координат в РЛ і РН системах, якщо вони заздалегідь відомі, тобто є 
детермінованими функціями, що визначають зміну самих координат. Таким 
чином, загальний підхід до математичного опису впливів в РТС різного 
призначення, а отже і до вирішення завдань аналізу та синтезу систем та 
пристроїв обробки сигналів, пов'язаний з використанням апарату статистичної 
радіотехніки. Тим не менш, звідси не випливає, що втрачає сенс вивчення 
властивостей переносника інформації - сигналу s(t, λ(t), β) при відсутності 
завад. Зокрема, особливий інтерес представляє вивчення впливу способу 
модуляції сигналу на можливість роздільного спостереження двох сигналів, що 
мають різні значення повідомлень λ1(t) і λ2(t). Впевненість у доцільності такого 
розгляду заснована на тому, що властивості сигналів, справедливі за 
відсутності завад, збережуться на прийнятному рівні при достатньому 
перевищенні сигналу над завадою. 
 
 
 
1.2. Радіоканал та його властивості 
Умови функціонування будь-якої РТС передбачають наявність 
радіоканалу або середовища поширення радіохвиль (ПРВ). Середовищем 
поширення радіохвиль можуть бути атмосфера, моря і океани, а також надра 
Землі. Характер і умови ПРВ в каналі істотно залежать від частотного 
діапазону і фізичних властивостей середовища. 
Наприклад, радіозв'язок на великих відстанях між об'єктами, що 
знаходяться під водою, здійснюється в наддовгому діапазоні хвиль (λ ⩾ 10 км), 
що пов'язано з їх малим загасанням в каналі. Це призводить до ряду обмежень 
на можливість досягнення необхідних тактико-технічних характеристик 
радіосистем в цьому діапазоні. Зокрема, знижується швидкість передачі 
інформації, неможливе застосування гостронаправлених антен і, отже, 
визначення координат об'єктів з одного пункту.  
Широкий клас РТС використовують радіоканал «Земля – космос». Це 
системи передачі даних на борт космічних апаратів, РЛС вимірювання 
параметрів орбіти, супутникові системи, що забезпечують навігацію об'єктів на 
Землі, системи огляду (моніторингу) земної поверхні, що працюють в 
оптичному, тепловому та радіодіапазоні хвиль. Середовище ПРВ для цього 
класу РТС включає тропосферу, стратосферу, іоносферу і частину космічного 
простору. Електрофізичні властивості середовища ПРВ не залишаються 
постійними, вони змінюються в просторі та в часі. Відомо, що діелектрична та 
магнітна проникність тропосфери та іоносфери залежать від активності Сонця 
та погодних умов. У результаті параметри радіохвилі на виході радіоканалу, її 
амплітуда, фаза, частота, стан поляризації зазнають випадкових просторово-
часових змін (варіації). Причому ці зміни завідомо обчислити і повністю 
виключити неможливо, оскільки вони мають випадковий характер. 
У тропосферних радіоканалах типу «земля - земля» або «земля-повітря» 
властивості хвилі в місці прийому залежать від підстилаючої поверхні (суші 
або моря), профіль і параметри якої також випадкові. Відбиття від поверхні 
істотно ускладнюють роботу корабельних і літакових РТС зв'язку та локації, що 
використовують ультракороткі хвилі (1 cм⩽λ⩽10 м). Проблема виявлення та 
вимірювання координат об'єктів з малою відбивною здатністю на тлі 
заважаючих відбитків від землі, моря або хмар є актуальним завданням теорії 
та практики розробки бортових РЛС. Властивості підстилаючої поверхні 
надають також вплив на точність і дальність дії РТС зв'язку та навігації, що 
використовують довгі, середні та короткі хвилі. 
Характер і ступінь спотворення радіохвиль при поширенні в каналах 
залежать як від властивостей сигналу (частоти, тривалості, ширини спектра), 
так і від типу каналу ПРВ. При всьому різноманітті типів радіоканалів і 
фізичних явищ, що відбуваються в них при ПРВ, слід звернути особливу увагу 
на можливу залежність (у деяких середовищах) показника заломлення від 
частоти. У каналі, що володіє такою властивістю, виникає дисперсія хвиль. Її 
суть у тому, що швидкість поширення фазового фронту монохроматичної хвилі 
(фазова швидкість) виявляється залежною від частоти. У результаті різні 
спектральні складові хвильового пакета (імпульсу) при поширенні в просторі 
отримують фазові зрушення, які нелінійно залежать від їх частоти. У цьому 
випадку швидкість переносу енергії  (групова швидкість)  не дорівнює фазовій і 
відбувається спотворення огинаючої пакета - закону модуляції сигналу. 
Ступінь спотворень зростає зі збільшенням ширини спектра сигналу і довжини 
траси ПРВ. Іоносфера, водне середовище, різні види ґрунтів є диспергуючими 
каналами ПРВ. 
З точки зору досягнення найкращої завадостійкості та достовірності 
передачі інформації в системах зв'язку, а також точності вимірювання 
координат об'єктів РЛ та РН системами важливо знати статистичні властивості 
сигналу на вході приймача і правильно їх врахувати при побудові РТС. 
Розглянемо у загальному вигляді підхід до обґрунтування імовірнісної моделі 
радіоканалу. 
У наших міркуваннях будемо мати на увазі канали ПРВ, у яких явище 
дисперсії практично відсутнє. До таких відноситься, зокрема, тропосферний 
канал, який використовується різними за призначенням типами РТС. 
Реальна тропосфера являє собою радіоканал з випадковими 
неоднорідностями, в якості яких виступають, наприклад, неоднорідності 
індексу коефіцієнта заломлення повітря. 
При обґрунтуванні математичних моделей сигналів на виході каналів 
часто застосовується феноменологічний підхід до задачі поширення хвиль, що 
базується на променевих уявленнях. Наявність неоднорідностей в середовищі 
викликає розсіювання хвиль. Кожен окремий промінь відповідає шляху, яким 
хвиля поширюється і досягає приймальної антени. Якщо кожен промінь, перш 
ніж потрапити в область прийому, випробовує більш ніж одна взаємодія з 
неоднорідністю, то відбувається багаторазове розсіювання. Імовірнісні 
характеристики параметрів хвилі на вході приймальної антени і сигналу на її 
виході можна отримати, якщо уявити модель каналу у вигляді кінцевого набору 
просторово-часових фільтрів з випадковими комплексними коефіцієнтами 
передачі Ki (t, ω, r), де i - номер парціального фільтра; аргумент t означає 
залежність коефіцієнта передачі від часу; наявність аргументу ω означає 
нерівномірність частотної характеристики фільтра, тобто у загальному випадку 
його імпульсна реакція не є δ-функцією. Залежність Ki (t, ω, r) від вектора 
просторових координат означає, що коефіцієнт передачі «вздовж і-го променя» 
залежить від орієнтації променя в просторі і, отже, від положення точки 
прийому. У деяких випадках можна не враховувати ефекти багаторазового 
розсіювання. Одноразовому розсіювання відповідає модель паралельного 
поширення хвиль. 
В інженерних задачах зазвичай обмежуються завданням імовірнісної 
моделі каналу у вигляді одномірних розподілів ймовірностей і кореляційних 
властивостей сигналу s(t, λ) на вході приймача. При обґрунтуванні ймовірнісної 
моделі вважають, що число розсіювачів N, що формують сумарний сигнал 
велике. Для моделі з одноразовим розсіюванням загальний коефіцієнт передачі 
каналу: 
  (1.3) 
 
де два доданки є дійсною і уявною складовими (квадратурами) комплексного 
коефіцієнта передачі каналу. При одноразовому розсіювання промені на 
прийомі можуть розглядатися як незалежні і приблизно рівні за своїм вкладом у 
загальний сигнал. 
Тоді при досить великому N виконуються умови центральної граничної 
теореми, згідно якої спільний розподіл квадратурних складових комплексного 
коефіцієнта передачі є гаусовим. 
При багаторазовому розсіювання та структурі моделі каналу представимо 
коефіцієнт передачі l-го парціального фільтра у вигляді: 
    (1.4) 
 тобто            
 де  - коефіцієнт передачі парціального фільтра за амплітудою; - зсув 
фази в l-му фільтрі. Тоді загальний коефіцієнт передачі каналу: 
1 (1.5) 
 
де                       - логарифм модуля коефіцієнта передачі каналу; 
                - загальний зсув фази у каналі. 
Як і раніше, при              очікується виконання умов центральної 
граничної теореми. Таким чином, випадкові величини        і    повинні мати 
гаусовий розподіл ймовірностей. Експериментальні дослідження у ряді 
випадків досить добре підтверджують ці припущення. 
 
1.3 Корисний сигнал на виході радіоканалу 
Комплексний коефіцієнт передачі каналу K(t, ω, r), являючись 
випадковою функцією частоти, часу і простору, визначає характер і ступінь 
спотворень електромагнітного поля в місці прийому і, відповідно, радіосигналу 
на виході приймальної антени. Велике значення для визначення спотворень 
часової та частотної структури сигналу мають кореляційні властивості 
радіоканалу. Їх зручно характеризувати інтервалами кореляції каналу за  
 
частотою            , за часом           та за простором          .  
Загалом у багатопроменевому каналі спотворення сигналу бувають двох 
типів. По-перше, відбувається розсіювання імпульсного сигналу в часі - 
тривалість імпульсу збільшується. Причина цього явища пов'язана з кінцевою 
смугою частот      та нелінійністю фазочастотної характеристики. Пам'ять 
каналу, як звичайного лінійного фільтра, дорівнює приблизно                          . 
Таким чином, при тривалості сигналу на вході каналу           його тривалість на 
виході становитиме:  
.  (1.6) 
По-друге, внаслідок переміщення неоднорідностей у часі відбувається 
модуляція сигналу і розширення його спектра (розсіювання сигналу по частоті). 
Величина розширення спектру                  , тобто чим більше інтервал 
тимчасової кореляції, тим повільніше варіації амплітуди і фази, і тим менш 
виражено розширення частотного спектра. Таким чином, при ширині спектра 
сигналу на вході каналу   , його ширина на виході становитиме: 
  (1.7) 
 
1.4 Характеристика задач статистичної теорії виявлення і 
розрізнення сигналів при наявності завад 
Сучасні РТС вирішують досить складні завдання, пов'язані з передачею, 
вилученням та руйнуванням корисної інформації за наявності завад. Основою 
розробки перспективних РТС є методи теорії статистичного синтезу, які 
дозволяють знайти оптимальну систему обробки сигналів. Можна виділити 
кілька специфічних етапів розробки РТС: структурний, логічний, схемо-
технічний, конструкторський та технологічний. Найважливішим з них є етап 
структурного синтезу РТС. Його результат полягає в розробці структурної 
схеми РТС, що визначає вигляд майбутньої системи і вимог до основних 
параметрів підсистем і пристроїв. Особливість етапу в тому, що багато завдань, 
які повинні бути вирішені, важко піддаються формалізації, на відміну від таких 
на інших етапах, де успішно використовуються системи автоматизації 
проектування. Завдання синтезу РТС, у випадку, передбачає вибір типу 
сигналів s(t, λ(t)) і оптимізацію способу їх обробки. 
Для пасивних РТС тип сигналу визначено об'єктом спостереження. Для 
активних РТС вибір типу сигналу має принципове значення, оскільки від 
способу модуляції високочастотного сигналу залежать його властивості і, 
відповідно, багато показників якості РТС. Зокрема, змінюються параметри 
функції невизначеності радіосигналу , що визначають можливість розрізнення 
сигналів за часом затримки та частотою. 
Слід зазначити особливість РТС вилучення інформації, в яких, як 
зазначалося раніше, модуляція електромагнітного поля в місці прийому 
корисним повідомленням λ(t) відбувається при електродинамічній взаємодії 
хвилі з об'єктом, подальшому поширенні її в радіоканалі і перетворення поля в 
радіосигнал на виході антени приймача. Зокрема, якщо повідомлення λ(t) - 
кутова координата об'єкта, то вид модуляції цим повідомленням сигналу s(t; 
λ(t)) на вході приймача кутомірної системи залежить від просторової структури 
антенної системи. Це може бути одиночна спрямована антена, у якої рівень 
радіосигналу на виході залежить від напрямку на об'єкт або система слабко 
спрямованих антен, які формують кілька радіосигналів, при цьому 
співвідношення їх фаз пов'язане з кутовою координатою об'єкта. Таким чином, 
оптимізація типу сигналу(ів) у РЛ та РН системах певною мірою пов'язана з 
вибором просторової структури РТС — кількості пунктів прийому та типу 
антен. Завдання цього типу є предметом теорії просторово-часового синтезу 
РТС. Аналітичні методи синтезу форми сигналу, що враховують реальні 
обмеження системи, розроблені недостатньо повно. Тим не менш, можливий, 
наприклад, синтез сигналу з оптимальною (у сенсі мінімуму бічних пелюсток) 
автокореляційною функцією. У складних випадках практично часто 
використовується звичайний метод перебору. 
Оптимізація способу обробки (прийому) сигналу передбачає визначення 
алгоритму і структури пристрою, що забезпечують, за заданих умов роботи 
РТС, найкращий (в сенсі заданого критерію) результат вирішення деякої 
функціональної задачі. 
Математичне формулювання завдання статистичного синтезу 
оптимальної системи обробки включає таке: 
1) розробку та обґрунтування статистичної моделі корисних сигналів і 
завад, що впливають на систему у вибраному «перетині». Це можуть бути дії на 
виході антенної системи заданого типу або на виході будь-яких пристроїв 
низькочастотного тракту РТС. У загальному випадку необхідно визначити 
статистичну модель електромагнітного поля в місці розташування РТС. 
Конкретна форма співвідношень, що визначають модель, залежить від умов 
роботи РТС (характер каналу ПРВ, діапазон радіохвиль, тип перешкод та інше), 
ступеня апріорної інформації про властивості сигналу та завад, та їх 
функціональну взаємодію; 
2) формулювання критерію оптимальності системи обробки. Критерій 
оптимальності має відповідати тій меті, заради якої створюється конкретна 
РТС; 
3) математичне формулювання завдання оптимізації. Це передбачає 
аналітичний запис виразів, що визначають величину критерію і формулювання 
обмежень, якщо такі є. 
Слід зазначити, що всі РТС у процесі нормальної роботи виконують ряд 
функціональних завдань. Успішне виконання кожного з них, як правило, 
необхідне для нормальної роботи системи. Наприклад, для РЛ та РН систем 
характерні такі функціональні завдання: 
• пошук, виявлення та розрізнення об'єктів у зоні огляду; 
• захоплення та супровід об'єкта за дальністю, швидкістю, кутовими 
координатами; 
• передача даних про поточні параметри об'єктів до пункту обробки даних 
для прийняття рішення. 
Вочевидь, критерій оптимальності (ефективності), що визначає якість 
роботи РТС, повинен враховувати результат виконання кожного з перелічених 
завдань. У цьому сенсі критерій має бути узагальненим (комплексним). 
Насправді, становище ще складніше, оскільки слід враховувати також вартість 
виробництва РТС, її надійність, складність експлуатації та ремонту, масо-
габаритні параметри та інше. Завдання аналізу (порівняння) відомих систем за 
сукупністю показників якості може бути вирішене, а ось математичної теорії 
синтезу оптимальних (у сенсі узагальненого критерію) систем немає. 
Розглянемо коротко зміст основних завдань. Для визначеності будемо 
вважати, що сигнал на вході приймача (сигнал, що спостерігається) 
становитиме y(t) = s(t, λ) + n(t), де 0⩽t⩽T. 
1. Завдання виявлення. Нехай невідомим є лише сам факт наявності або 
відсутності сигналу s(t,λ) в сигналі, що спостерігається y(t). У цьому випадку 
представимо y(t) у вигляді: 
y(t) = θs(t, λ) + n(t),  0⩽t⩽T, (1.8) 
де θ - параметр виявлення - випадкова величина, яка приймає одне з двох 
значень: θ = 0 (сигнал відсутній); θ = 1 (сигнал присутній). Необхідно по 
прийнятій реалізації y(t) на інтервалі [0; T] найкращим способом прийняти 
рішення про наявність або відсутність сигналу s(t, λ) в (1.8). У результаті 
розв'язання задачі повинні бути визначені: оптимальний алгоритм прийняття 
рішення про величину параметра θ; структурна схема виявника та його якісні 
характеристики. Подібні завдання типові для РЛ та РН систем. 
2. Завдання розрізнення сигналів. У найпростішій задачі розрізнення 
спостережуваний процес y(t) на вході приймача має вигляд: 
y(t) = θs1(t, λ1) + (1− θ) s2(t, λ2) + n(t), t∈ [0;T],  (1.9) 
де θ-випадкова величина, що приймає на інтервалі спостереження одне з 
двох значень: θ = 0 (y(t) містить сигнал s2(t, λ2)) і θ = 1 (y(t) містить сигнал 
s1(t,λ1)). Результатом розв'язання задачі є найкраще правило (алгоритм) обробки 
сигналу (1.9) та структура пристрою, які забезпечують прийняття рішення про 
те, який із двох сигналів є на вході. В окремому випадку, при s2(t, λ2)) = 0 
завдання розрізнення зводиться до завдання виявлення. Завдання розрізнення 
двох сигналів характерне для цифрових двійкових систем зв'язку, в яких 
сигнали s1(t, λ1)) і s2(t, λ2)) відповідають передачі 0 і 1. У загальному випадку 
сигнал y(t), що спостерігається, може містити один з m можливих сигналів: s1(t, 
λ1), s2(t, λ2),..., sm(t, λm). 
3. Завдання оцінки параметрів сигналу. Припустимо, що будь-який 
параметр λi сигналу s(t, λ) є випадковою величиною з апріорною ймовірністю 
W(λi). Конкретне значення цього параметра на інтервалі спостереження 
постійне і невідоме. Завдання оцінки полягає в тому, щоб визначити найкращий 
спосіб (алгоритм) обробки сигналу, що спостерігається y(t) і в результаті 
отримати оцінку λ* невідомого параметра λ. Міра близькості оцінки до 
справжнього значення параметра визначається вибором критерію 
оптимальності. Необхідно також визначити структуру пристрою обробки 
(вимірника) та граничну точність оцінки λ*. Дана задача типова для 
вимірювальних РТС — локаційних, навігаційних та інших. У загальному 
випадку корисний сигнал залежить від декількох невідомих параметрів і 
завдання зводиться до їх спільної оцінки. Наприклад, в РЛ системах сигнал, 
відбитий від об'єкта містить інформацію про дальність (час затримки), 
швидкість  і кутові координати. Завданням вимірювача є отримання найкращих 
оцінок цих величин. 
4. Завдання фільтрації повідомлень. Термін «фільтрація» означає тут 
виділення. У задачах даного типу інформативний параметр λ(t) корисного 
сигналу s(t, λ(t)) є функцією часу з відомими статистичними характеристиками. 
Розв'язання задачі полягає у визначенні алгоритму та пристрою обробки 
сигналу y(t), які забезпечують отримання найкращої оцінки λ*i(t). Завдання 
зводиться до оцінки параметра, якщо за час спостереження T повідомлення 
змінюється дуже мало. Фільтрація повідомлень реалізується в системах 
радіозв'язку телеметрії (виділення мовного сигналу або сигналів про стан 
фізичних об'єктів), а також в РЛ і РН системах, де необхідно безперервно 
отримувати інформацію про координати кораблів, літаків, космічних об'єктів, 
що змінюються в часі. 
 
5. Завдання розпізнавання образів. Цей клас завдань пов'язаний з 
розробкою алгоритмів і пристроїв, що дозволяють за сигналом y(t) після 
виявлення корисних сигналів (одного або декількох) визначити їх 
приналежність до відповідних об'єктів - джерелам корисних сигналів. Залежно 
від характеру сигналів та апріорної інформації про об'єкти завдання 
розпізнавання дуже різноманітні. Зокрема, це розпізнавання мови, де 33 різних 
об'єкта (літери українського алфавіту) або в РЛ системах завдання 
розпізнавання типу літаків, кораблів, головних частин балістичних ракет та 
інше. 
Слід зазначити, що для всіх завдань важливе значення має характер 
корисного сигналу s(t, λ). Це може бути детермінований сигнал, який містить 
один або кілька невідомих параметрів. У складнішому випадку це випадковий 
корисний сигнал. 
 
1.5 Оцінки параметрів сигналів та їх властивості 
 З метою простоти вивчення цього питання вважатимемо, що 
інформативне повідомлення λ(t) є скалярним і постійно на інтервалі обробки. 
Позначимо його невідоме та постійне значення λ. У загальному випадку 
корисний сигнал може також містити один або кілька заважаючи параметрів β. 
В теорії оцінювання відомі два різних підходи до побудови оцінок параметрів. 
Перший орієнтований на отримання інтервальної оцінки. У цьому випадку для 
заданої довірчої ймовірності Pд у пристрої обробки сигналу y(t) формуються дві 
величини λн і λв. Вони визначають нижню та верхню межі довірчого інтервалу, 
для якого виконується умова: 
 (1.10) 
Таким чином, довірчий інтервал - проміжок, який з ймовірністю Pд 
«накриває» невідоме значення параметра λ. 
Другий підхід передбачає формування точкових оцінок. Завдання 
оцінювання параметра λ тепер полягає в тому, щоб по прийнятій реалізації 
сигналу, припустимо, на вході приймача y(t) = s(t, λ, β) + n(t); t∈(0;T), отримати 
досить близьку до λ величину λ* = E{y(t)}. Тут E - функціонал, що визначає 
перетворення реалізації y (t), заданої на інтервалі (0; T), в скалярну величину 
λ*, яку називають оцінкою параметра λ. 
Під оцінкою параметра λ* зазвичай розуміють деяке правило (спосіб) 
отримання λ* по конкретній реалізації вхідного сигналу. 
Будучи невідомим, параметр може (залежно від конкретної задачі) 
розглядатися як випадкова величина, постійна, на інтервалі обробки, або як 
невідома і невипадкова величина. Наприклад, у РЛ та РН системах при оцінці 
дальності до випадково розташованої цілі за час прийому одного або декількох 
відбитих радіоімпульсів (зазвичай це не більше 10-40 м/с), можна вважати, що 
параметр λ = D = const і є випадковою величиною. 
Оцінка λ*, будучи результатом перетворення конкретної реалізації y(t), 
що містить шум, є випадковою величиною. Вивчаючи властивості оцінок, 
зазвичай виділяють такі три: 
1) незміщеність оцінки; 
2) ефективність оцінки; 
3) спроможність або збіжність оцінки. 
Пояснимо докладніше ці властивості. 
Оцінка називається незміщеною, якщо її математичне очікування 
дорівнює математичному очікуванню оцінюваного параметра. Оцінка є 
безумовно незміщеною, якщо M[λ*] = M[λ]. Якщо ж середнє значення оцінки 
обчислюють при фіксованому λ і справедлива рівність M[λ*/λ] = λ, то оцінка є 
умовно незміщеною. 
Очевидно, що процес оцінювання супроводжується помилками. Різниця ε 
= λ−λ* - є помилкою оцінки. Середнє значення ε = λ−λ* називають усуненням 
оцінки. Для незміщених оцінок ε = 0. 
Розсіювання (розкидання) помилки характеризують середнім значенням 
квадрата помилки: 
(1.11) 
 
де W(ε) - ймовірність помилки оцінювання. 
Величина                      має розмірність оцінюваного параметра і називається 
середньоквадратичною помилкою оцінки. Іноді цю величину називають 
середньоквадратичною похибкою. 
Якщо в (1.11) використовувати умовну ймовірність W(ε/λ), тобто 
розподіл ймовірностей помилки при фіксованому значенні невідомого 
параметра λ, то отримаємо σε/λ умовну середньоквадратичну помилку. 
У деяких випадках зручно використовувати величину дисперсії помилки: 
(1.12) 
З цього виразу видно, що для незміщених оцінок (ε = 0) поняття дисперсії 
помилки та середнього квадрата помилки тотожні. Незміщена оцінка 
називається ефективною, якщо вона має найменшу із усіх можливих оцінок 
дисперсію. Оцінка називається спроможною в середньоквадратичному 
значенні, якщо виконується умова: 
(1.13) 
 
де       означає, що оцінка отримана в результаті обробки реалізації y(t), 
тривалість якої T. Інакше кажучи, для спроможної оцінки середній квадрат 
помилки при              наближається до нуля. 
У разі оцінки векторного параметра                               знак 
транспонування «T» у вектора означає запис його у вигляді рядка) пристрій 
обробки (вимірювач) формує вектор оцінок                                        . Відповідно, 
маємо вектор помилок оцінок                                                 . Розсіювання 
помилок у векторному випадку характеризує дисперсійна матриця помилок 
оцінювання. Наприклад, сигнал РЛС часто працює у режимі спільного виміру 
дальності Д і радіальної швидкості V мети. Дисперсійна матриця помилок у 2-
мірному завданні оцінювання має вигляд: 
(1.14) 
 
 
На головній діагоналі матриці Dε розташовані середні квадрати помилок 
по дальності та швидкості; елементи іншої діагоналі рівні кореляційному 
моменту помилок двох параметрів. Ця матриця симетрична. Її визначник, як 
правило, не дорівнює нулю. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. МЕТОД МАКСИМІЗАЦІЇ ПОЛІНОМУ ДЛЯ ЗНАХОДЖЕННЯ 
ОЦІНОК ПАРАМЕТРІВ ВИПАДКОВИХ ПОСЛІДОВНОСТЕЙ 
 
2.1. Знаходження оцінок скалярного параметру методом максимізації 
поліному та його асимптотичні властивості 
Зробимо припущення, що в нашому розпорядженні присутня наступна 

вибірка вибіркових значень x = {x1 , x2 ,..., xn} , які неоднаково розподілені та 
являються незалежними. Нехай будь-яка з випадкових величин, яка відповідає 
вибірковому значенню xv , буде описуватись послідовністю функцій:  
iv () = Ei (xv ) , де i = 1,s , v = 1, n ,                     (2.1) 
які напряму залежать від скалярного параметру  . 
Також припустимо, що математичні сподівання iv () , i = 1,s , v = 1, n  
існують і диференційовані двічі за параметром  . 
Наша задача полягає в наступному: використовуючи частковий апріорний 

опис у вигляді послідовності функцій (2.1) по вибірці x , визначити оцінку 
скалярного параметра  . 
Розглянемо узагальнений вибірковий стохастичний поліном:  
 n s
lsn (x / ) = hiv ()i (xv ) − h0() ,                             (2.2) 
v=1 i=1
в якому коефіцієнти h0 () , hiv () , i = 1,s рівні відповідно наступним виразам: 
 n s 
hiv () =  kiv (t)dt , h0() = kiv(t)iv(t)dt .            (2.3) 
a v=1 i=1 a
Визначити коефіцієнти k iv ()  можливо, розв'язавши систему лінійних 
математичних рівнянь: 
s d
k jv ()F(i, j)v () = iv () , i = 1,s , v = 1, n ,                 (2.4) 
j=1 d
де F(i, j)v () = (i, j)v () −iv () jv () , i, j = 1,s ,                                               (2.5) 
(i, j)v () = Ei (xv ) j (xv ) . 
Математичні сподівання в останньому виразі iv ()  виглядають 
ідентично функції (2.1). Функції (i, j)v ()  являються корелянтами функцій 
iv (xv ) ;  jv (xv ) , а функції F(i, j)v ()  - центрованими корелянтами стосовно 
функцій iv () ;  jv () .  
Узагальнений вибірковий стохастичний поліном (2.2) має  наступні 
основні властивості: 

• при даній вибірці x , для кожного s =1,2,... та при n→  поліном 

lsn (x /)  досягає максимуму в околиці істинного значення параметра, як 
функція скалярного параметра  ; 

• при різних вибірках x  відхилення максимального значення полінома від 
істинного значення параметра 0  матиме дисперсію з мінімальним 
значенням. 
Отже, якщо ми диференціюємо поліном (2.2) за параметром  , то 
аналогічно методу максимальної правдоподібності оцінку параметра можливо 

отримати за умови максимуму по   функції lsn (x /):  
d 
lsn (x /) = 0 ,                                    (2.6) 
d =ˆ
що в розгорнутому вигляді дорівнює наступному:  
n s
kiv ()[i (xv ) −iv ()] = 0 .                      (2.7) 
v=1 i=1 =ˆ
Таким чином, метод знаходження оцінки невідомого параметру 
випадкової величини називається методом максимізації поліному. Заснований 

він на тому, що при даній вибірці x  в якості оцінки вибирається таке значення 

̂ , за якого поліном lsn (x /)  матиме максимум як функція параметра  . 
Рівняння типу (2.6), (2.7) являються рівняннями максимізації поліному при 
визначенні оцінки скалярного параметра при неоднаково розподілених та 
незалежних вибіркових значеннях. При цьому коефіцієнти даних рівнянь k iv ()  
визначаються з системи лінійних математичних рівнянь (2.5). 
Окремо відмітимо, що як для визначення самої оцінки, так і для 
знаходження її дисперсії, буде досить знайти коефіцієнти k iv () , i = 1,s .  
Обговоримо основні властивості оцінок параметрів випадкових величин, 
що добуваються методом максимізації поліному:  
• При n→  оцінка ̂ , знайдена з рівняння (2.6) в середньоквадратичному 
сходиться до істинного значення оцінюваного параметра.  
• Оцінка методу максимізації поліному являється асимптотично 
незсунутою.  
• Нехай задана квадратна матриця Fsv () , яка складається з елементів 
F(i, j)v ()  виду (2.5). В подальшому таку матрицю Fsv ()  називатимемо 
тілом з розміром s  полінома (2.2) при описі його функціями iv (xv )  або 
за допомогою функцій iv () , i = 1,s .  
Очевидно, що дана матриця являється симетричною, тобто 
F(i, j)v () = F( j,i)v () . Окрім цього, вона є позитивно напіввизначеною, а значить 
визначник матриці дорівнює наступному:  
sv () = Fsv ()  0 .                                   (2.8) 
Цей визначник матриці Fsv ()  надалі будемо іменувати об'ємом тіла 
поліному з розміром s . Аналогічно об'єм тіла будемо називати частковим, коли 
s  є скінченою величиною. Відповідно, об'єм тіла являтиметься повним, коли 
він відповідатиме повному тілу поліному. 
• Для вирішення системи рівнянь зручно використовувати метод Крамера. 
Якщо показати визначник, одержуваний із  sv ()  методом заміни i -го 
d
стовпця таким, що складається з rv () , r =1, s , через Aiv () , то при 
d
sv ()  0 ,   система рівнянь (2.4) матиме одне єдине рішення: 
* A ()
k iv () = iv
,     i = 1,s . 
Dsv ()
 
• Для функції l*
sn (x /) , що отримується з lsn (x /)  методом підстановки в 
неї коефіцієнтів k*
iv () , правильною є наступне судження: 
d  d 2 
Jsn () = E[ l*sn (x / )]2 = E[− l*
2 sn (x / )]. 
d d
Функція Jsn ()  являється добутою інформацією при частковому описі.  
• Для оптимальних оцінок параметрів випадкових величин, що визначені 
шляхом максимізації поліному, мінімальна асимптотична дисперсія 
матиме наступний вигляд: 
2
min  J −1
sn () , або розгорнуто: 
n s s
2
min  [ k *
iv (0 )k * ( )F ( )]−1
jv 0 0 =  
(i, j)v
v=1i=1 j=1
n s
* d
= [kiv (0 ) iv ( )]−10 . 
v=1 i=1 d0
• Якщо в стохастичному поліномі (2.2) розглянути кількість членів (s +1) , 
то для коефіцієнтів k*
iv ()  правильною буде рівність: 
2 2
(s+1) min  (s) min  або Jsn ()  J(s+1)n () . 
Суть останньої рівності в наступному: дисперсія оптимальної оцінки, 
знайденої шляхом максимізації поліному, при збільшенні кількості членів s  

стохастичного полінома lsn (x /) , зростати не може.  
 
2.2. Оцінка векторного параметра випадкової величини при 
моментному описі  
Метод максимізації поліному також можливо застосувати і для 
визначення оцінок векторного параметра. 
Дослідимо використання степеневого перетворення вибіркових значень, а 
саме i (xv ) = x i
v , При цьому припустимо, що початкові моменти залежать від 

векторного параметра  = {1,...,p} , а отже: 
 
 () = Ex i
iv v = miv () , v = 1, n , 
 
(i, j)v () = Ei (xv ) j (xv ) = Ex i x j i+ j
v v = Exv = m(i+ j)v () , i, j = 1,s , 
   
F(i, j)v () = m(i+ j)v () −miv ()m jv () . 

Для того, щоб визначити оцінку векторного параметра   потрібно 
 
використовувати p  поліномів l(q)
sn (x /) , q =1, p  замість одного для кожної 
 
компоненти q  векторного параметра. Описані вище поліноми l (q)
sn (x /)  
ідентичні по будові з поліномом, що вказаний в рівнянні виду (2.2), а значить 
тому їхні вирази не приводяться. Зрозуміло, що коефіцієнти q -го поліному 
можуть мати різні значення у порівнянні з коефіцієнтами (q +1) -го поліному. 
По цій причині, введемо додатковий індекс q  у позначення коефіцієнтів, що 
покаже нам на те, який саме з компонентів векторного параметра нами 
досліджується зараз.  
  
При даній вибірці x , кожний q -ий поліном l(q)
sn (x /) , як функція 

величини q  при відомих значеннях інших складових векторного параметра  , 
при n→  має максимальне значення в околиці істинного значення параметра. 
За своєю будовою диференціюємо кожен стохастичний поліном по 
відповідному параметру q , а значить, що оцінку векторного параметра 
можливо визначити, розв'язавши систему математичних рівнянь: 
 
l (q) 
sn (x /) = 0 , q =1, p                             (2.9) 
  
m ˆ
=
який матиме наступний вигляд: 
n s  
k (q)
iv ()[x i
v −miv ()] = 0 , q =1, p         (2.10) 
 
v=1 i=1 ˆ
=
Ця система вище згаданих рівнянь (2.9) чи (2.10) являється системою 
рівнянь максимізації поліному.  
Бачимо, що оцінка векторного параметра, визначена шляхом максимізації 
поліному, також є вірною й асимптотично незсунутою. 

Введемо матрицю Jsn ()  з наступними елементами: 
 n s s
J (q,m)() =k (q)( )k (m)
sn iv 0 jv (0)F(i, j)v (0) =  
v=1i=1 j=1
s n  
= k (q) 
jv () miv () , m,q =1, p . 
i=1 v=1 m
Називатимемо її матрицею кількості добутої інформації щодо векторного 

параметра  .  
Варіаційна матриця оцінок компонентів векторного параметра, 
визначених шляхом максимізації поліному, асимптотично ідентична зворотній 

матриці Jsn () , а саме: 
 
Vsn () = J −1
sn () . 
Отже, асимптотичні дисперсії оцінок компонентів векторного параметра 

являються не чим іншим, як діагональними елементами матриці Vsn () .  
 
2.3. Опис і визначення ексцесних випадкових величин 1-го типу 
Під час описання завад каналів зв'язку, широке застосування одержали 
математичні моделі даних завад у вигляді випадкових величин, які розподілені 
за гауссівським законом.  
Гауссівскі випадкові величини, що описуються за допомогою 
послідовності кумулянтів, мають наступну властивість: відмінні від 0 тільки 
два кумулянти - це математичне сподівання (кумулянт І порядку 1 ) та 
дисперсія (кумулянт ІІ порядку 2 ). Інші кумулянти інших порядків 
прирівнюються до 0. Очевидно, всі випадкові величини, що розподілені не за 
гауссівським законом, мають описуватися безкінечною послідовністю 
кумулянтів. 
В роботі описано метод визначення оцінок параметрів випадкових 
величин, побудований на застосуванні саме кумулянтів різних порядків. Та при 
цьому коефіцієнти кумулянтні виступають як параметри, що потрібно 
оцінювати. В тім, якщо використовувати загальне описання випадкових 
величин за допомогою послідовності кумулянтів, то задля визначення оцінок 
шляхом максимізації полінома необхідно знати точні коефіцієнти кумулянтні 
вищих порядків. 
Наприклад: потрібно відшукати оцінку кумулянтного коефіцієнта  4  
шляхом максимізації полінома. А отже, необхідно застосовувати поліном з 

мінімальним ступенем s = 4 . Оптимальні коефіцієнти тоді kiv ( )  залежатимуть 
від кумулянтних  3 … 8 . Тобто, при визначенні оцінки коефіцієнта ексцесу  4  
потрібно знати кумулянтні коефіцієнти вищих порядків, що, очевидно, 
являється не можливим. А значить, потрібно ввести часткові випадкові 
величини, що описувалися б кінцевим числом кумулянтних коефіцієнтів та при 
збільшенні ступеня полінома, не збільшувалося. До прикладу: випадкова 
величина описується трьома кумулянтами 1 , 2 , 4 , а інші кумулянти вищих 
порядків (включаючи й 3) дорівнюють 0. Таких випадкових величин не існує. 
Точніше сказати, що не існує таких щільностей розподілу імовірності 
випадкових величин, при яких три кумулянти мали б значення, відмінне від 0, а 
інші - дорівнювали б 0. 
Але за допомогою перфорованих випадкових величин можливо 
застосувати такі величини, при яких не всі кумулянти, які залишилися, 
дорівнювали б 0, а тільки їх частина, а частина кумулянтів вищих порядків, що 
залишилася, може мати довільні значення. Тепер очевидно, що такі випадкові 
величини мають місце на існування. 
Враховуючи вищевказане та з огляду на широке застосування 
гауссівських випадкових величин у технічних додатках, необхідно ввести 
негауссівські випадкові величини, але такі, що були б близькі до гауссівських. 
Зрозуміло, 
оскільки гауссівскі випадкові величини описуються тільки кумулянтами 1-го та 
2-го порядків, то негауссівска випадкова величина, яка описується тільки 
кумулянтом 1-го, 2-го та 3-го порядків, буде близькою до гауссівської. 
Ідентично близькою до гауссівської буде негауссівська випадкова величина, яка 
описується тільки кумулянтами 1-го, 2-го й 4-го порядку, а кумулянт третього 
порядку прирівнюється до 0.  
В даній роботі досліджується вплив на корисний сигнал ексцесних 
випадкових величин 1-го типу. Такими величинами, що близькі до 
гауссівських, називають множину випадкових величин, для яких об'єм тіла 
будь-якого кінечного розміру s  залежить від 2  та від коефіцієнта ексцесу  4 . 
Але легше класифікувати випадкові величини, застосовуючи перфоровані 
випадкові величини. 
Множина ексцесних випадкових величин 1-го типу описується тільки 
кумулянтом ІІ порядку 2  та коефіцієнтом ексцесу  4 . Умова позитивності 
об'єму тіла кінцевого розміру s  буде обмежувати область визначення  4 . При 
цьому для різних величин s  буде різною область визначення  4 . Ми знаємо, 
що мінімальна степінь полінома дорівнює 4, а максимальна степінь полінома 
дорівнює 6, тому розглядати будемо тільки три випадки. 
Об'єм тіла 4(2, 4 ) з ступенем s= 4  ексцесних випадкових величин 1-го 
типу матиме вигляд: 
4(2, 4 )= 210
2 (6+ 9 4 −
2
4 )(24+84 4 + 38 2
4 +17 3
4 ) 0 . 
Можливо припустити, що значення  4 , які задовольняють нерівність, будуть 
входити до наступного інтервалу: (− 0,327;9,623). 
При s = 5 об'єм тіла знаходиться наступним чином: 
5(2 , 4 ) = 2015 (24+84 2 3
2 4 + 38 4 +17 4 )
 
(72+ 468 4 + 678 2 + 345 3
4 4 −175 4
4 ),
при тому, що значення параметра  4  мають задовольняти нерівності, у які він 
входить в 7-му ступені, рішенням якої є інтервал: (−0,21;3,368) . 
І, наостанок, при s = 6  об'єм тіла знайдемо так: 
6 (2 , 4 )= 200 21
2 (72+ 468 4 +678 2 +345 3 −175 4
4 4 4 )1728+6 ( 4 ), 
де 6 ( 4 )  описується рівнянням: 
6( 4 )=19008 +61776 2 +81504 3 + 29700 4 + 28980 5 6
4 4 4 4 4 +7735 4 . 
Можна сказати, що значення параметра  4  при використанні 
поліноміальних перетворень 6-ї степені, належать наступному інтервалу: 
(− 0,151;3,368). 
Проаналізувавши динаміку зміни інтервалу знаходження коефіцієнта 
ексцесу  4 , зробимо наступний висновок: при збільшенні глибини безперервної 
перфорації ширина інтервалу, у якому  4  приймає значення, буде 
зменшуватись. При цьому правильним буде припущення, що при бескінечній 
глибині перфорації довжина області знаходження  4  дорівнюватиме 0. 
А отже, ексцесні випадкові величини 1-го типу, які близькі до 
гауссівських, при збільшенні глибини перфорації прагнуть до гауссівських. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. СПІЛЬНА ОЦІНКА АМПЛІТУДИ ГАРМОНІЧНОГО СИГНАЛУ, 
ДИСПЕРСІЇ І КОЕФІЦІЄНТУ ЕКСЦЕСУ ЗАВАДИ 
 
3.1 Постановка задачі адаптивного оцінювання амплітуди 
гармонічного сигналу 
При розв’язку конкретних задач оптимального оцінювання часто 
припускається, що розподіл імовірностей завад і параметрів сигналів повністю 
відомі спостерігачеві. Однак на практиці апріорні відомості про статистичні 
властивості сигналів і завад частково або навіть повністю відсутні. В 
залежності від повноти апріорних відомостей розглядаються різноманітні 
моделі апріорної невизначеності: параметричні, непараметричні, параметрико-
непараметричні моделі. 
При параметричній апріорній невизначеності припускається, що 
функціональний вид розподілу імовірностей випадкового процесу, що 
спостерігається, відомий, однак векторний параметр, від якого залежить 
указаний розподіл, невідомий.  
Параметричні методи синтезу приводять до алгоритмів оцінювання 
параметрів, що адаптуються (налаштовуються) до невідомих параметрів, 
іншими словами до адаптивних алгоритмів. Адаптивний алгоритм складніший 
за не адаптивний, синтезований при повністю відомому розподілі.  
Будемо вважати, що у розпорядженні спостерігача є вибірка 

X ={x1, x2 ,xn} обсягом n  незалежних неоднаково розподілених значень із 
генеральної сукупності значень випадкової величини xv  виду: 
xv = Sv + nv , v =1,n ,                                          (3.1) 
де                                         Sv = Acos(v + )                                               (3.2) 
- гармонічний сигнал, в якого частота   і початкова фаза   є відомими, а 
оцінці підлягає енергетичний параметр – амплітуда A . 
У виразі (3.2)   - крок дискретизації, v  - номер вибіркового значення, 
добуток v  характеризує моменти часу спостереження.  
Для спрощення запису тригонометричну складову позначимо: 
Bv = cos(v +) . 
У виразі (3.1) nv  - адитивна завада, моделлю якої є центрована випадкова 
величина, яка достатньо повно описується кумулянтом  2  і кумулянтним 
коефіцієнтом  4 . При цьому будемо вважати, що кумулянтні коефіцієнти 
вищих порядків { 3 ,  i } i = 5,2s  строго дорівнюють нулю, а кумулянтні 
коефіцієнти  j  порядку j  (2s +1)  не використовуються, тому можуть бути 
довільними. Таким чином, завада nv  є перфорованою ексцесною випадковою 
величиною 1-го типу. 
Припускається, що параметри завади  2 ,  4  в різні моменти часу можуть 
набувати різних значень. В зв’язку з цим апріорна невизначеність зводиться до 
відсутності інформації про конкретні значення параметрів ексцесної завади 1-го 
типу.  
Для усунення вказаної апріорної невизначеності разом з інформативним 
параметром A  будемо оцінювати параметри завади  2 ,  4 . Очевидно такий 
підхід приведе до синтезу адаптивних алгоритмів, оскільки для вимірювання 
амплітуди гармонічного сигналу синтезований алгоритм постійно буде 
налаштовуватись (адаптуватися) на конкретну заваду. Оскільки спостерігач 
використовує лише одну (основну) вибірку, то дану процедуру оцінювання 
можна охарактеризувати як самонавчання, або навчання без вчителя.  
Метою даної роботи є синтез адаптивних алгоритмів оцінювання 
амплітуди гармонічного сигналу A  спільно з параметрами ексцесної завади 1-
го типу (дисперсією 2  і коефіцієнтом ексцесу  4 ). Для спрощення кінцевих 
результатів, які не вплинуть на властивості самих оцінок, можна накласти ряд 
обмежень на крок дискретизації   випадкового процесу x(t) . 
По-перше, будемо вважати, що за час спостереження (тобто за час n ) 
робиться ціле число періодів гармонічного коливання, тобто = 2l, l =1,2,  
При цьому крок дискретизації   обраний так, що для будь-якого непарного 
ступеня k виконується рівність: 
n n
sink (v + ) =cosk (v + ) = 0,                        (3.3) 
v=1 v=1
а для парних ступенів: 
n n n
sin2 (v + ) =cos2 (v + ) = ,  
v=1 v=1 2
n n 3
sin4 (v + ) =cos4 (v + ) = n.                         (3.4) 
v=1 v=1 8
Для будь-яких p,k = 2,3, виконуються ще і наступні рівності: 
n
sin( pv +)cos(kv +) = 0,  
v=1
n
sin( pv + )sin(kv + ) = 0, p  k,                        (3.5) 
v=1
n
cos(pv + )cos(kv + ) = 0, p  k.  
v=1
Для синтезу адаптивних алгоритмів при ступені поліному s = 6  необхідно 
представляти початкові моменти випадкової величини через кумулянти і 
кумулянтні коефіцієнти до 12-го порядку. В параграфі 1.3 наведено вирази 
початкових моментів через кумулянти до 12-го порядку для центрованої 
ексцесної випадкової величини 1-го типу. 
Використовуючи формулу: 

miv() = Exi
v , 
де E  - символ математичного сподівання. 
Легко отримати вирази для початкових моментів досліджуваної 
випадкової величини виду (3.1): 
  
m1v ( ) = Sv ,      m2v ( ) = S2 +  3
v 2,      m3v ( ) = Sv +3Sv2,  

m () = S4 +6S2 2
4v v v 2 + 2 ( 4 +3),  

m5v ( ) = S5 3 2
v +10Sv2 +5Sv2 ( 4 + 3),                           (3.6) 

m 6 4 2 2
6v () = Sv +15Sv 2 +15Sv 2 ( 4 +3)+153
2 ( 4 +1),  

m7v ( ) = S7
v + 21S5 + 35S3 2
v 2 v2 ( 4 + 3) +105S  3
v 2 ( 4 +1),  

m8v () = S8 + 28S6 4 2
v v2 + 70Sv2 (4 + 3) +
 
+ 420S 23
v 2 (4 +1) + 354
2 (2
4 + 64 + 3),

m9v () = S9
v + 36S7
v2 +126S5 2
v2 (4 + 3) +
 
+1260S33
v 2 (4 +1) + 315S 4
v2 (2
4 + 64 + 3),

m10v () = S10
v + 45S8
v2 + 210S6 2
v2 (4 + 3) +
 
+ 3150S 4
v
3
2 (4 +1) +1575S 24
v 2(2
4 + 64 + 3) + 3155
2(52
4 +104 + 3),

m11v ( ) = S11 +55S9 + 330S7 2 5
v v 2 v 2 ( 4 + 3) + 6930Sv
3
2 ( 4 +1) +
 
+5775S3 4
v2 ( 2
4 + 6 4 + 3) + 3465S 5 2
v 2 (5 4 +10 4 + 3),

m ( ) = S12 10 8 2 6 3
12v v + 66Sv 2 + 495Sv2 ( 4 + 3) +13860Sv 2 ( 4 +1) +
+17325S4 4( 2
v 2 4 + 6 4 + 3) + 20790S2 5
v 2 (5 2
4 +10 4 + 3) +  
+105 6
2 (55 3
4 + 495 2
4 + 495 4 + 99),
Використовуючи формули виду (3.6) легко знайти вирази для 
кореляційних моментів випадкової величини: 
при ступені поліному s = 4 : 
  
F 2
(1,1)v ( ) = 2 .    F(1,2)v ( ) = 2Sv2 ,      F(2,2)v ( ) = 2 (4Sv + 2 4 + 22 ) , 
 
F 2 2
(1,3)v ( ) = 2 (3Sv + 2 4 + 32 ) ,     F(2,3)v ( ) = Sv2 (6Sv +52 4 +122 ) , 

F(3,3)v ( ) = 32 (3S4
v +5S2 2
v 2 4 +12Sv 2 +5 2
2 ( 4 +1)) . 

F(1,4)v ( ) = 4Sv2 (S2
v + 2 ( 4 + 3)) , 

F 4 2 2 2 2
(2,4)v ( ) = 22 (4Sv + 7Sv 2 4 +18Sv 2 + 72 4 + 62 ) ,           (3.7) 

F 4 2 2 2 2
(3,4)v ( ) = 2Sv2 (6Sv +17Sv 2 4 + 42Sv 2 +512 4 + 482 ) ,     

F ( ) = 2 (8S6 + 34S 4  + 84S 4 + 204S 2 2
(4,4)v 2 v v 2 4 v 2 v 2 4 +
 
+192S 2 2
v 2 + 
3
2 (17 2
4 +102 4 + 48)).
При ступені поліному s = 5 додатково використовуються: 

F(1,5)v ( ) = 52 (S4
v + 2S2
v 2 ( 4 + 3)+ 3 2
2 ( 4 +1)) , 

F(2,5)v ( ) =10Sv2 (S4
v + 3S2
v 2 4 +8S2
v 2 + 
2
2 (10 4 + 9)), 

F 6 4 4 2 2
(3,5)v ( ) = 52 (3Sv +13Sv 2 4 + 33Sv 2 +81Sv 2 4 +
          (3.8) 
+ 75S 2 2 3 2
v 2 + 72 ( 4 + 6 4 + 3)),

F 6 4
(4,5)v ( ) =10Sv 2 (2Sv +12Sv 2 4 + 30S 4
v 2 +122S 2 2
v 2 4 +
 
+114S 2 2 3
v 2 + 2 (31 2
4 +186 4 + 90)),

F(5,5)v ( ) = 5 (5S8 + 40S6
2 v v 2 4 +100S6 4 2
v 2 +10Sv 2 (61 4 + 57) +
 
+10S 2 3 2
v 2 (31 4 +186 + 90) + 63 4 2
4 2 (5 4 +10 4 + 3)),
При ступені поліному s = 6  використовуються вирази виду (3.7), (3.8), а також 
наступні: 

F(1,6)v ( ) = 2S  (3S4 2
v 2 v +10Sv 2 ( 4 + 3)+ 45 2
2 ( 4 +1)) , 

F(2,6)v ( ) = 2 (12S6 4 4
v + 55Sv 2 4 +150Sv 2 + 390S 2
v 
2
2 4 +
 
+ 360S 2 2
v 2 + 5 3
2 (7 2
4 + 39 4 +18)),

F(3,6)v ( ) = 3S  (6S6 + 37S 4  + 96S 4 + 400S 2 2
v 2 v v 2 4 v 2 v 2 4 +
      (3.9) 
+ 370S 2 2
v 2 +15 3
2 (7 2
4 + 41 4 + 20)),

F(4,6)v ( ) = 22 (12S8
v + 97S6
v 2 4 + 246S6
v 2 + S4 2
v 2 (1515 4 +1410 ) +
 
+ S 2 3 2
v 2 (780 4 + 4635 4 + 2250 ) +  4
2 (780 2
4 +1545 4 + 450)),

F(5,6)v ( ) =10Sv 2 (3S8
v + 31S6
v 2 4 + 78S6
v  + 669S 4 2
2 v 2 4 + 624S 4 2
v 2 +
 
+ S 2 3 2 4 2
v 2 (570 4 + 3405 4 +1650 ) + +2 (1725 4 + 3435 4 +1017 )),

F(6,6)v ( ) = 3 10
2 (12Sv + 5S8
v 2 (31 4 + 78) + 20S6 2
v 2 (223 4 + 208) +
+150S 4 3
v 2 (38 2
4 + 227 +110) + 60S 2 4 2
4 v 2 (575 4 +1145 4 + 339) +  
+  5
2 (1925 3 +17250 2
4 4 +17175 4 + 3390)).
При обчисленні вагових коефіцієнтів рівнянь максимізації поліному 
також корисно знати вирази для похідних від початкових моментів по кожному 
з оцінюваних параметрів. Маємо: 
похідні від початкових моментів по амплітуді гармонічного сигналу A : 
  
m1v = Bv ,     m2v = 2S B = 2AB 2 2
v v v ,     m3v = Bv (3Sv + 32 ) ,  (3.10) 
A A A
 
m4v = Bv (4S3
v +12Sv2 ) ,     m 4
5v = Bv (5Sv + 30S2
v 2 +5 2
2 ( 4 + 3)) , 
A A

m6v = Bv (6S5
v + 60S3 2
v2 + 30Sv2 ( 4 + 3)) . 
A
Похідні від початкових моментів по дисперсії завади  2 : 
  
m1v = 0 ,          m2v =1,         m3v = 3Sv , 
2 2 2
 
m4v = 6S 2
v + 22 ( 4 + 3) 3
,     m5v =10Sv +10Sv 2 ( 4 + 3) ,    (3.11) 
2 2

m6v =15S 4
v + 30S 2
v 2 ( 4 + 3) + 45 2
2 ( 4 +1) . 
2
Похідні від початкових моментів по коефіцієнту ексцесу  4 : 
   
m1v = m 2
2v = m3v = 0 ,   m4v = 2 , 
 4  4  4  4
 
m = 5S 2 2 2
5v v 2 ,         m6v =152 (Sv + 2 ) .                (3.12) 
 4  4
 
3.2. Алгоритм-прототип оцінювання амплітуди гармонічного сигналу 
при гауссівській заваді з невідомою дисперсією, синтезований методом 
максимальної правдоподібності 
Історично склалося так, що основним описом випадкової величини є опис 

за допомогою функції щільності розподілу ймовірностей p(x  ), що найбільше 
повно відображає статистичні характеристики цієї випадкової величини. В 
наслідок цього й метод, заснований на використанні такого опису займає дуже 
важливе місце в теорії оцінок параметрів. 
  

Нехай задана незалежна вибірка x = x1, x2 ,..., xn з генеральної сукупності 
випадкової величини Х і нехай щільність розподілу цієї вибірки залежить від 

деякого векторного параметра  , тобто: 
(
 n 
p x  )= p(xv  ). 
v=1
   
Функція L( )= p(x  ), розглянута як функція аргументу   при заданій вибірці 
 
x , називається функцією правдоподібності. Як оцінка невідомого параметра   

вибирається таке значення аргументу  , при якому функція правдоподібності 
 
досягає свого максимального значення, тобто як оцінка ˆ  параметра   
приймається розв'язок рівняння: 
 
Lˆ  = ma x L(). 
  
Метод, що реалізує подібний алгоритм, називається методом 
максимальної правдоподібності. 
 
Часто замість функції L( ) використовують функцію lnL( ), що досягає 
  
максимуму в тих же точках, що й L( ). Якщо функція p(x  ) диференційована 

по  , то для відшукання оцінок максимальної правдоподібності необхідно 
вирішити так звану систему рівнянь максимальної правдоподібності: 
 
lnL()   = 0 ,    i = 1,q .                                 (3.13) 
 =ˆ
i
У загальному випадку оцінки максимальної правдоподібності є 
обґрунтованими й асимптотично ефективними. Розглянемо спільну оцінку 
амплітуди гармонічного сигналу і дисперсії центрованої гауссівської завади.  
Нехай в розпорядженні спостерігача є вибірка об’ємом n  незалежних 

неоднаково розподілених значень X ={x1, x2 ,xn} із генеральної сукупності 
значень випадкової величини xv , що має вид (3.1), але nv  - центрована (1 = 0 ) 
випадкова величина, розподілена за гауссівським законом, з невідомою 
дисперсією  2 . Для гауссівської випадкової величини, всі без виключення 
кумулянтні коефіцієнти  i  порядку i  2  дорівнюють нулю. 
Щільність розподілу випадкової величини xv , v = 1, n  має вигляд: 
 1 − (xv − S )2
p(xv / ) = exp{ v }. 
2 2 22
Спільна щільність розподілу незалежних випадкових величин xv , v = 1, n  
має вигляд: 
  n 1 − (x − S 2
p(x / ) = exp{ v v )
} . 
v=1 2 2 22
З математичної точки зору доцільніше розглянути логарифм спільної 
щільності розподілу ймовірності: 
   n 1 − (x − S )2  n 1 n
ln p(x /) = ln exp[ v v ] = − ln(2 2
 2 ) − (xv − Sv ) . . 
 v=1 2 
2 22  2 22 v=1
Використовуючи вираз (3.13), знайдемо оцінку векторного параметра 

={A,2} методом максимальної правдоподібності. Система рівнянь 
максимальної правдоподібності має вигляд: 
     
ln p(x /)  ˆ = 0 ,           ln p(x /)  ˆ = 0 . 
A =  =
2
Після диференціювання функцій отримаємо тотожну систему рівнянь 
виду: 
n 1 n
− + (xv − Acos(v + ))2 ] = 0 ,                   (3.14) 
2 22
ˆ
2 2 v=1 A=A
2 =ˆ 2
1 n
− [xv − Acos(v + )]cos(v + ) A=Aˆ = 0 .               (3.15) 
 2 =ˆ2 v=1 2
Використовуючи вирази (3.4) і спільно розв'язуючи рівняння (3.14) і 
(3.15), отримаємо наступний результат: 
2 n
Aˆ =  xv cos(v + ),                                     (3.16) 
n v=1
1 n n n
ˆ 2 = { x2
v + Aˆ 2 − 2Aˆ xv cos(v + )} =
n v=1 2 v=1
            (3.17) 
1 n 2 n
= { x2
v − [ xv cos(v + )]2}.
n v=1 n v=1
Отримані оцінки є незсунутими. 
 
3.3. Синтез та аналіз алгоритмів спільної оцінки амплітуди 
гармонічного сигналу і параметрів ексцесної завади 1-го типу при ступені 
поліному s=4 
Оцінка параметра  4  методом максимізації поліному можлива при 
ступені поліному s = 4  і вище. Це пов’язано з тим, що для ексцесних 
випадкових величин 1-го типу коефіцієнт ексцесу  4  як параметр входить до 
початкових моментів, починаючи лише з моменту четвертого порядку, а 
похідні по параметру  4  від перших трьох початкових моментів випадкової 
величини (3.1) дорівнюють нулю. Очевидно, що спільна оцінка параметрів A , 
 2  і  4  також можлива лише за умови, що степінь поліному s  4 . 

Розглянемо випадок, коли оцінка векторного параметру  = {A,2 , 4} 
знаходиться методом максимізації поліному при s = 4 . Маємо: 
n  n  n 
k (v)
1A ()[xv − Sv ]+k (v)
2 A ()[x2 2
v − Sv − 2 ]+k (v) 3 3
3A ()[xv − Sv − 3Sv2 ]+
v=1 v=1 v=1
  (3.18) 
n 
+k (v) ()[x4
4 A v − S 4
v − 6S 2
v2 − 
2
2 (4 + 3)]  ˆ = 0;
=
v=1
n  n  n 
k (v) (v)
1 ()[xv − Sv ]+k2 ()[x2 2
v − Sv −  ]+k (v)
2 3 ()[x3
v − S 3
v − 3S  ]+
2 2 2 v 2
v=1 v=1 v=1
(3.19) 
n 
+k (v) 4 4 2 2  
4 ()[x
2 v − Sv − 6Sv2 − 2 (4 + 3)] ˆ = 0;
=
v=1
n  n  n 
k (v) (v) 2 2 (v) 3 3
1 ()[xv − Sv ]+k2 ()[xv − Sv − 2 ]+k3 ()[xv − Sv − 3Sv2 ]+
4 4 4
v=1 v=1 v=1
(3.20) 
n 
+k (v)
4 ()[x4
v − S 4
v − 6S 2
v2 − 
2
2 ( + 3)]  
4 ˆ = 0.
4 =
v=1
 
(v) (v)
Коефіцієнти кожного p -го рівняння k () -k () , p =1,3  
1p 4 p
знаходяться з розв'язку відповідної системи чотирьох лінійних алгебраїчних 
рівнянь: 
4    
(v) (v)
k ()Fi, j () = miv (), i =1,4, p =1,3 . 
jp
j=1 p
Скориставшись виразами (3.7) і (3.10) - (3.12) легко знайти шукані 
коефіцієнти. Опускаючи громіздкі обчислення запишемо кінцевий вираз для 
оптимальних коефіцієнтів рівняння максимізації поліному виду (3.18): 

(v) 1  1
k1A ( ) = 6Bv
8
2a1(22 (2 4 +1) − A2B2 ) (v) 2
v 4 ,     k2A ( ) = 6ABv 
8
2 4a1 , 
4 4
 
k (v) 1 8
3A ( ) = − 2Bv2 4a1 ,      k (v)
4A ( ) = 0 ,                         (3.21) 
4
де a1 = 24 + 84 + 38 2
4 4 +17 3
4 . 
Коефіцієнти рівняння (3.19) відповідно рівні: 
 
k (v) 1 1
 ( (v)
) = 4 7
2 ABva (A2B2
2 v b2 + 3c2 ) ,   k ( ) = − 6 7a (A2B2b + c ) , 
1 2 22 2 2 v 2 2
4 4

(v) 1  1
k ( ) = 4 7 (v)
2 ABva2b2 ,       k ( ) = −  7
2 a2b
  2 ,              (3.22) 
3 2  4 2
4 4
де a2 = 
2
4 − 9 4 − 6 ,      b2 = 2 4 ( 4 − 2) ,      c2 = 2 ( 2
4 +16 4 + 4) . 
Вирази для коефіцієнтів рівняння виду (3.20) мають вид: 

(v) 1 
k ( ) = 4 8 AB a (A2B2 (v) 1
2 v 3 v b3 − c3 ) ,      k ( ) = 4 8
2 AB a b
1 4 3 4 v 3 3 , 
4 4
 1 
(v) (v) 1
k  ( ) = − 2 8
2a 2 2
3v (3A Bv b3 − c 8
3) ,   k ( ) = − 2a3b
2 4 4 4 3 ,     (3.23) 
4 4
2
де a3 = a2 =  4 − 9 4 − 6 ,      b3 = ( 4 + 2) ,      c3 = 2 (7 4 + 6) . 
У виразах (3.21) - (3.23)  4  - головний визначник системи рівнянь (3.18) - 
(3.20), який згідно з  називається об’ємом тіла ексцесної випадкової величини 
1-го типу при s = 4  і рівний 4 = −210
2 a1a2 . 
В роботі показано, що об’єм тіла  4  завжди є невід’ємною величиною. 
Ця умова накладає обмеження на інтервал допустимих значень коефіцієнту 
ексцесу  4 , а саме  4 [−0,327; 9,623] . 
Підставляючи коефіцієнти (3.21) - (3.23) у відповідні рівняння (3.18) - 
(3.20) одержимо систему, в якій кожне з рівнянь залежить від оцінюваних 
параметрів. Розв’язок даної системи рівнянь, а саме знаходження числових 
значень оцінюваних параметрів, можливий за умови використання чисельних 
методів, або спеціалізованих математичних пакетів, наприклад MathCad, 
Mathematica тощо. 
Структурна схема алгоритму знаходження спільної оцінки амплітуди 
гармонічного сигналу, дисперсії і коефіцієнту ексцесу завади при ступені 
полінома s = 4  має вигляд, представлений на рисунку 3.1. На вхід пристрою 
поступає неперервний сигнал x(t) , який підлягає дискретизації в аналого-
цифровому перетворювачі (АЦП). На виході АЦП вибіркові значення за  
допомогою помножувачів піддаються  нелінійній обробці  (квадратичній x2
v , 
кубічній x3
v  і біквадратній x4
v ). Вихідні величини центруються відносно 

відповідних початкових моментів xi
v −miv ( ) , i =1,4 . Далі схема розділяється 
на три канали, що мають однакову структуру. У кожному з каналів значення 
 
(v)
xi
v −miv ( )  множаться на відповідні коефіцієнти k ( ) , після чого одержані 
ip
добутки усереднюються і поступають на p -ий суматор. 
Розв’язок сформованої системи рівнянь відбувається в блоці, що має 
назву арифметичний процесор.  
У схемі, представленій на рисунку 3.1, використовуються такі позначення: 
  Блок, що виконує дискретизацію (аналого-цифрове 
АЦП 
x(t)               x  перетворення) безперервного випадкового процесу;  
v
 
 
xv     1              x   Блок, що обчислює середнє арифметичне дискретних 
  
n
 числових значень, що поступають на його вхід 
(складається з суматора та пристроєм нормування на об'єм 
 
вибірки);  
a   Блок, що обчислює добуток двох числових значень a та b ; 
                        c c = ab  
b 
a  Блок, що обчислює суму двох числових значень a та b ; 
                +         c c = a + b  
b 
a _ Блок, що обчислює різницю двох числових значеньb  та a; 
 
                      c c = b−a  
b 
 
F (x)                    Арифметичний процесор - блок, що здійснює розв’язок 
 АП 
нелінійного рівняння або системи нелінійних рівнянь з 
 
отриманням оцінки на його виході.  
 
3.4 Побудова та аналіз асимптотичних властивостей алгоритмів 
спільної оцінки амплітуди гармонічного сигналу і параметрів ексцесної 
завади 1-го типу при ступені поліному s=5 
При ступені полінома s = 5  оцінка амплітуди гармонічного сигналу і 
параметрів ексцесної завади 1-го типу знаходиться з розв’язку системи рівнянь 
максимізації поліному: 
n   n   n  
k (v) ()[x −m ()]+k (v) ()[x2 −m ()]+k (v) 3
1A v 1v 2 A v 2v 3A ()[xv −m3v ()]+
v=1 v=1 v=1
(3.24) 
n   n  
+k (v)
4 A ()[x4
v −m4v ()]+k (v) ()[x5
5A v −m5v ()]  ˆ = 0;
=
v=1 v=1
n   n   n  
k (v)
1 ()[xv −m1v ()]+k (v)
2 ()[x2
v −m2v ()]+k (v)
3 ()[x3
2 2 2 v −m3v ()]+
v=1 v=1 v=1
 
n   n  
+k (v)
4 ()[x4 (v) 5  
2 v −m4v ()]+k5 ()[x
2 v −m5v ()] ˆ = 0;
=
v=1 v=1
n   n   n  
k (v)
1 ()[x −m ()]+k (v) ()[x2 −m ()]+k (v) 3
4 v 1v 24 v 2v 3 ()[xv −m3v ()]+
4
v=1 v=1 v=1
 
n   n  
+k (v)
4 ()[x4
v −m (v) 5  
4 4v ()]+k5 ()[xv −m5v ()] ˆ = 0.
4 =
v=1 v=1

де початкові моменти i -го порядку miv (), i =1,5  мають вид (3.6) і є 

функціями від оцінюваного векторного параметру  .  

(v)
Легко показати, що коефіцієнти k ( ) , i =1,5  при p =1 можна записати 
ip
у вигляді: 

(v)
k ( ) = −3a [A4 4
1A 1 Bv  4b1 + A2B2
v  4c1 + d1] ,             (3.25) 
 
(v)   2 2 (v)
k2A ( ) = 3a1ABv 4[A Bv b1 + c1] ,         k4A ( ) = −15ABv 4a1b1 ,     
 
(v)   2 2 (v)
k3A ( ) = −a1 4[3A Bv b1 + c1] ,     k5A ( ) = 3 4a1b1 . 
У виразах (3.25) зроблені такі позначення: 
20
a = B 12 3 2
1 v 2 (17 4 + 38 4 + 84 4 + 24) ,      c1 = 2 (115 2
4 +120 4 +12) , 
5
b1 = − 4 ( 4 + 2) 2 4 3 2
,       d1 = 2 (35 4 − 225 4 − 320 4 −168 4 − 24) ,       
 = −2015 (17 3 + 38 2
5 2 4 4 + 84 4 + 24)
 
 (175 4
4 − 345 3 − 678 2
4 4 − 468 4 − 72)
Оптимальні коефіцієнти 2-го рівняння виду (3.24) мають вигляд: 
 
(v) (v) 2 2
k ( ) = 2a 2 2
2 ABv (2A Bv b2 + 3c2 ) ,     k ( ) = −3a2 (2A Bv b2 + c ) , 
12 22 2
  
(v)  (v) (v)
 k ( ) = 4ABv a2b2 ,      k ( ) = −a2b2 ,        k ( ) = 0 .        (3.26) 
32 42 52
У виразах (3.26) зроблені такі позначення: 
20
a = 12 4 3 2
2 2 (175 4 − 345 4 − 678 4 − 468 4 − 72) , 
5
b2 =  4 ( 4 − 2) ,   c2 = 2 ( 2
4 +16 4 + 4) . 
Аналогічно знаходяться і коефіцієнти останнього рівняння виду (3.24) і 
дорівнюють: 
 
(v)  (v)
k ( ) = −4a3ABv (A2B2
v b3 + c3) ,     k ( ) = 2a3(3A2B2
v b + c ) ,       
1 4 2 4 3 3
  
(v) (v) (v)
k ( ) = −4ABv a3b3 ,     k ( ) = a2b2 ,      k ( ) = 0 .       (3.27) 
3 4 4 4 5 4
У виразах (3.27) зроблені такі позначення: 
10
a 13 4
3 = 2 (175 4 − 345 3
4 − 678 2
4 − 468 4 − 72) , 
5
b3 = −( 4 + 2) ,       c3 = 2 (7 4 + 6) . 
Як і при степені поліному s = 4  інтервал допустимих значень  4  при 
s = 5  визначається з умови невід’ємності об’єму тіла ексцесної випадкової 
величини 1-го типу 5 . Інтервал допустимих значень становить 
 4 [−0,21; 3,368] . 
Структурна схема сумісного вимірювача амплітуди гармонічного сигналу 
і параметрів ексцесної завади 1-го типу при ступені поліному s = 5  практично 
повністю співпадає з блок-схемою алгоритму знаходження оцінки при s = 4 . 
Відмінність нової схеми полягає в наявності додаткового блоку обчислення 
вибіркових значень x5
v , центрування кожного v -го значення відносно величини 
 
(v)
m5v ( )  і знаходження добутку цієї різниці на відповідний множник k ( )  в 
5p
кожному з трьох каналів. Далі значення попадають на пристрій усереднення, 
після чого додаткові статистики подаються на  відповідний p -ий  суматор.  
 
3.5 Розробка та аналіз алгоритмів спільної оцінки амплітуди 
гармонічного сигналу і параметрів ексцесної завади 1-го типу при ступені 
поліному s=6 
При ступені полінома s = 6  оцінка амплітуди гармонічного сигналу, 
дисперсії та коефіцієнту ексцесу знаходиться зі спільного розв’язку трьох 
рівнянь максимізації поліному: 
 
  
n   n  
(v)
k1A ( (v)
)[xv −m1v ( )]+k2A ( )[x2
v −m2v ( )]+
v=1 v=1
n   n  
(v)  (v)
+k3A ( )[x3
v −m3v ( )]+k4A ( )[x4
v −m4v ( )]+  
v=1 v=1
n   n  
(v)
+ k ( )[x5 (v) 6
 5A v −m5v ( )]+k6A ( )[xv −m  
6v ( )] ˆ = 0;
=
v=1 v=1
n   n  
(v)   (v)
k ( )[xv −m1v ( )]+k ( )[x2
v −m ( )]+
12 22 2v
v=1 v=1
n   n  
(v)
+k ( )[x3
v −m3v ( (v)
)]+ 4
3 k ( )[x −m ( )]+       (3.28) 
2 42 v 4v
v=1 v=1
n   n  
(v) (v)
+k ( )[x5
v −m5v ( )]+k ( )[x6
v −m6v ( )]  ˆ = 0;
52 62 =
v=1 v=1
n   n  
(v)
k ( (v)
)[xv −m1v ( )]+ 2
1 k ( )[xv −m2v ( )]+
4 2 4
v=1 v=1
n   n  
(v)  3  (v)
+k ( )[xv −m3v ( )]+k ( )[x4
v −m4v ( )]+  
3 4 4 4
v=1 v=1
n   n  
(v)  (v)
+k ( )[x5
v −m5v ( )]+ k ( )[x6  
5 
4 6 4 v −m6v ( )] ˆ = 0.
=
v=1 v=1
 
Після нескладних але громіздких обчислень легко показати, що вагові 

(v)
коефіцієнти першого рівняння kiA ( ) , i = 1,6  можна записати у вигляді: 

(v) 600
k1A ( ) = − B 18a [A4B4 2 2
v 2 1 v  4b1 + A Bv  4c1 + d1] , 
6

(v) 600
k ( ) = AB 218
2A v 2 a1 4[2A2B2
v b1 + c1],                           (3.29) 
6
 
(v) 200
k 18 2 (v) 600
3A ( ) = − Bv2 a1 4[6A B2 2 18
v b1 + c1],      k4A ( ) = ABv 2  4a1b1, 
6 6

(v) 120 
k ( ) = − B 18
5A v 2  4a1b
(v)
1 ,        k6A ( ) = 0 . 
6
У виразах (3.29) зроблені такі позначення: 
a1 = (7735 6
4 + 28980 5 + 29700 4 + 81504  3 + 61776 2
4 4 4 4 +19008 4 +1728) , 
 
b1 = −5 4 ( 4 + 2) ,  c1 = 2 (115 2
4 +120 4 +12) , 
d 2 4
1 = 2 (35 4 − 225 3
4 − 320 2
4 −168 4 − 24) , 
Коефіцієнти другого рівняння виду (3.28) мають вигляд: 

(v) 400
k ( ) = AB 17 4 4
v 2 a2 (3A Bv  4b2 + 2A2B2
v  4c2 + 3d2 ) , 
12 6

(v) 600
k ( ) = − 17a (5A4B4
2 2 v  4b + 2A2B2
22 2 v  4c2 + d2 ) , 
6

(v) 800
k ( ) = 17
2 ABv 4a2 (5A2B2
v b2 + c2 )
 ,                       (3.30) 
3 2 6

(v) 200
k ( ) = − 17
2  4a2 (15A2B2
 v b2 + c2 ) , 
4 2 6
 
(v) 1200
k ( ) = 17  (v) 200
AB a b k ( ) = − 17
 2 v 4 2 2 ,         2  4a2b
 2 . 
5 2  6 2
6 6
У виразах (3.30) зроблені такі позначення: 
a2 = (175 4
4 − 345 3
4 − 678 2
4 − 468 4 − 72) 2
,      b2 = −6 4 (15 4 − 4 4 −12) , 
c2 = 2 (455 4
4 + 2610 3
4 − 2400 2
4 − 2088 4 −144) , 
d2 =  2
2 (1505 5
4 −1780 4
4 +14520 3
4 +12072  2
4 + 3312 4 + 288) . 
Коефіцієнти третього рівняння виду (3.28) дорівнюють: 

(v) 400
k ( ) = ABv 
18a (3A4B4
2 2 v b2 + A2B2
1 4 v c2 + 3d2 ) , 
6

(v) 600
k ( ) = − 18
2 a2 (5A4B4 2 2
v b2 + A Bv c2 + d2 )
 , 
2 4 6

(v) 400
k ( ) = 18 AB a (10A2B2
2 v 2 v b2 + c2 )
 ,                     (3.31) 
3 4 6

(v) 100
k ( ) = − 18
2 a2 (30A2B2
v b2 + c2 )
 , 
4 4 6

(v) 1200 
(v) 200
k ( ) = 18
2 AB a b 18
v 2 2 ,       k ( ) = − 2 a2b
 . 
5 4 6 4 2
6 6
Для скорочення запису у виразах (3.31) також зроблені позначення: 
a = (175 4 − 345 3 2
3 4 4 − 678 2
4 − 468 − 72) ,      b3 = −4 4 (7 4 + 24 4 +12) , 
4
c3 = 2 (455 4 3 2
4 + 3360 4 + 6480 4 + 2592 4 +144) , 
d = − 2 (735 4 + 4340 3
3 2 4 4 + 5520 2
4 +1968 4 +144) . 
Згідно з введеними вище позначеннями об’єм тіла ексцесної випадкової 
величини 1-го типу при s = 6  має вигляд  = −200 21
6 2 a1a2 . 
Інтервал допустимих значень коефіцієнта ексцесу становить 
 4 [−0,151; 3,368] . Для розв’язку системи рівнянь максимізації поліному при 
s = 6  необхідно застосовувати чисельні методи. 
Структурна схема синтезованого алгоритму знаходження оцінки 

векторного параметру   при s = 6  за своєю будовою буде нагадувати блок-
схему алгоритму знаходження оцінки при s = 5 . В новій схемі додатково, в 
кожному з каналів, містяться пристрої, які формують вищі статистики.  
 
4. ДОСЛІДЖЕННЯ ТОЧНОСТІ АЛГОРИТМІВ СПІЛЬНОЇ ОЦІНКИ 
АМПЛІТУДИ, ДИСПЕРСІЇ І КОЕФІЦІЄНТА ЕКСЦЕСУ 
 
4.1 Точнісні характеристики оцінок амплітуди і дисперсії завади, 
знайдені методом максимальної правдоподібності 

Для знаходження дисперсії оцінки векторного параметра   

скористаємося інформаційною матрицею Фішера I () . Легко показати, що в 
даному випадку елементи шуканої матриці будуть рівні: 
 2  
Im,k (0 ) = −E{ ln p(x /)}    
 =0
mk

де 0  - істинне значення розглянутого векторного параметра. 
Дисперсії оцінок розглядуваних параметрів є відповідними 

діагональними елементами варіаційної матриці оцінок V () , що дорівнює 
зворотній матриці Фішера, тобто: 
 
V () = I −1() . 
Знайдемо дисперсії оцінок параметрів A  і 2  виду (3.16) і (3.17). Для 

цього спочатку обчислимо елементи інформаційної матриці Фішера Im,k (0 ) , 
m,k =1,2 .  
 2   n
Маємо: I1,1(0 ) = −E{ ln p(x / )}   = , 
=
A2 0 220
 2  
I1,2 (0 ) = −E{ ln p(x / )}   = 0, 
A =0
2
 2  
I ( ) = −E{ ln p(x / )}  
2,1 0 = 0 , 
 =0
2A
 2   n
I2,2 (0 ) = −E{ ln p(x / )}   = . 
 2 =0 2
2 220
 
Знаходячи зворотну матрицю, виписуємо діагональні елементи, що 
характеризують дисперсії оцінок Â  і ̂2 . Отже:  
2 2 22
 2
ˆ = ,             2 2
(ˆ )1 = .                                (4.1) 
( A)1 n 2 n
Отримані оцінки виду (3.16), (3.17) і їх дисперсії виду (4.1) будуть 
використовуватися надалі для порівняння з новими алгоритмами вимірювання 
амплітуди гармонічного сигналу при ексцесній заваді 1-го типу.  
 
4.2 Асимптотичні властивості оцінок, знайдених методом 
максимізації поліному при s=4  
Як точнісні характеристики синтезованих алгоритмів будемо розглядати 
дисперсії шуканих оцінок. При сумісному оцінюванні параметрів дисперсії 
оцінок знаходяться як діагональні елементи варіаційної матриці оцінок, яка в 
свою чергу дорівнює зворотній матриці кількості добутої інформації.  
Використовуючи вагові коефіцієнти (3.21) - (3.23), а також похідні від 
початкових моментів за шуканими параметрами виду (3.10) - (3.12) знайдемо 
елементи матриці кількості добутої інформації за формулою: 
4 n
( p,m) (v) m (a,
J =k (A, , ) iv 2 , 4 )
4n . 
ip 2 4
i=1 v=1 m
n
(1,1) 1 9 3 2
Маємо: J 4n = 62 (2 + 3 4 )(17 4 + 38 4 + 84 4 + 24) B2
 v =  
4 v=1
n
= 3 9
2 (2 + 3 4 )(17 3 2
4 + 38 4 + 84 4 + 24),  
4
(1,2) (2,1) (1,3) (3,1)
J 4n = J 4n = J 4n = J 4n = 0 , 
(2,2) n
J = − 2 8 ( 2
4n 2 4 − 9 4 − 6)(2 3
4 + 5 2
4 + 36 4 +12) ,           (4.2) 
4
(2,3) (3,2) n
J 9 2
4n = J 4n = − 22 4 ( 4 − 2)( 4 − 9 4 − 6) , 
4
(3,3) n
J 10 2
4n = − 22 ( 4 + 2)( 4 − 9 4 − 6) . 
4
При обчисленні елементу (1,1)
J4n  виду (4.2) враховувалося обмеження, що 
накладалося на вибіркові значення виду (3.4). 
Знаючи елементи матриці кількості добутої інформації легко знайти 
елементи варіаційної матриці оцінок. Тоді дисперсії оцінок параметрів A ,  2  та 
 4  при їх спільному оцінювані відповідно дорівнюють: 
2  2 2
 2 2 4 2 22 
( A)4 = [1− ],           ( )4 = (1+ 4 ) ,            (4.3) 
n 3(2 + 3 2
4 ) n 2
 2 2
= (12+ 36 + 5 2 3
( )4 4 4 + 2 4 ) . 
4 n
Порівнюючи дисперсії нових оцінок з відповідними точнісними 
характеристиками алгоритму-прототипу виду (4.1), бачимо їх суттєву 
відмінність.  
Для з’ясування кількісної зміни величини дисперсії оцінки введемо 
коефіцієнт ефективності g . Індекс у скобках вказує на параметр, дисперсія 
( p )s1
оцінки якого знаходиться. Другий індекс складається з двох цифр, перша з яких 
вказує на степінь поліному, при якій була знайдена оцінка параметра методом 
максимізації поліному, а друга вказує на степінь поліному, що 
використовується для знаходження алгоритму-прототипу. Зауважимо, що для 
позначення класичних оцінок, знайдених методом максимальної 
правдоподібності, будемо використовувати цифру 1. 
Очевидно, що: 
 2 
g( A)41 = 1− 4 ,          g = 1+ 4 ,                  (4.4) 
3(2 + 3 ) (2 )41
4 2
Залежність ефективності оцінки амплітуди гармонійного сигналу від 
значень коефіцієнта ексцесу завади  4  представлена на рисунку 4.1. Для 
від’ємних значень коефіцієнту ексцесу, що належать інтервалу допустимих 
значень, ефективність оцінки доволі низька. Якщо ж  4 = 0  (гауссівська 
завада), то коефіцієнт ефективності рівний одиниці, отже ніякого поліпшення 
точнісних властивостей шуканих оцінок не відбувається. У разі, коли 
коефіцієнт ексцесу прагне до правої межі з інтервалу своїх допустимих значень 
( 4 → 9,623 ) коефіцієнт g( A)41  прагне до нуля.  
На рисунку 4.2 показана залежність коефіцієнта ефективності g  від 
(2 )41
коефіцієнта ексцесу  4 . З графіка видно, що при степені поліному s = 4  лише 
для завад, які характеризуються від’ємними значеннями коефіцієнту ексцесу, 
можна несуттєво підвищити точність вимірювання дисперсії завади. У разі, 
коли 4  0  ефективність оцінки дисперсії погіршується, але не будемо 
загостряти на цьому увагу, оскільки дисперсія завади не інформативний 
параметр. 
Ефективність оцінки коефіцієнту ексцесу ̂ 4  досліджуватися не буде, 
оскільки цей параметр не оцінювався класичним методом. 
 
g  
( A)s1
g  
( A)41
g  
( A)51
 
Рисунок 4.1 Графік залежності коефіцієнта ефективності g( A)s1  від коефіцієнта 
ексцесу 
g  
(2 )s1
g  
(2 )41
g  
(2 )61
 
Рисунок 4.2  Графік залежності коефіцієнта ефективності g( )s1   
2
від коефіцієнта ексцесу 
 
4.3 Дисперсії оцінок параметрів гармонічного сигналу і ексцесної 
завади при степені поліному s=5 
Дослідимо точністні характеристики алгоритму спільного оцінювання 
параметрів A ,  2  та  4 , синтезованого методом максимізації поліному при 
(v)
степені поліному s = 5 . Використовуючи вагові коефіцієнти k (A,2 , 4 ) , 
ip
i = 1,5 , p =1,3 виду (3.25)-(3.27), легко показати, що елементи матриці кількості 
добутої інформації дорівнюють: 
J (1,1) 1 14
5n = − 602 (304 −1353
4 4 − 2302
4 −1564 − 24) 
5
n
 (173 2 2
4 + 384 + 844 + 24)Bv =
v=1  
n
− 3014
2 (304
4 −1353 − 2302
4 4 −1564 − 24) 
5
 (173
4 + 382
4 + 844 + 24),
(1,2) (2,1) (1,3) (3,1)
J5n = J5n = J5n = J5n = 0 , 
(2,2) n
J5n = − 2013
2 (175 4 − 345 3
4 4 − 678 2
4 − 468 4 − 72)
5 ,       (4.5) 
 (2 3 2
4 + 5 4 + 36 4 +12),
(2,3) (3,2) n
J5n = J5n = − 2014
2  4 ( 4 − 2)
5  
 (175 4
4 − 345 3
4 − 678 2
4 − 468 4 − 72),
(3,3) n
J = − 1015 4
5n 2 ( 4 + 2)(175 4 − 345 3 − 678 2
4 4 − 468 4 − 72) . 
5
Порівнюючи вирази (4.2) і (4.5) видно, що елементи матриці кількості 
добутої інформації, знайденої при ступені поліному s = 5  (за виключенням 
елемента (1,1)
J5n ) повністю співпадають з виразами для відповідних елементів 
матриці при s = 4 . Аналогічний результат було отримано за умови відсутності 
корисного сигналу.  
Легко показати, що діагональні елементи варіаційної матриці оцінок 
мають вид: 
2 22 175 4
4 − 345 3
4 − 678 2
4 − 468 4 − 72
 ( A)5 = [ ], 
n 3(30 4
4 −135 3
4 − 230 2
4 −156 4 − 24)
2 2
2  2
 ( )5 =
2 (1+ 4 ) ,          2 = (12+ 36 + 5 2
( )5 4 4 + 2 3
4 ) .      (4.6) 
2 n 2 4 n
З порівняння отриманих виразів дисперсій оцінок, знайдених методом 
максимізації поліному при s = 5 , з відповідними дисперсіями оцінок, 
знайденими при s = 4 , видно, що зміни зазнав лише вираз, що описує 
дисперсію оцінки амплітуди гармонічного сигналу. Дисперсії оцінок 
параметрів 2  і  4  з підвищенням ступеня поліному на одиницю не змінилися. 
Проте не будемо забувати про звуження області допустимих значень 
коефіцієнту ексцесу. Відповідно і судити про ефективність оцінки треба лише з 
врахуванням нового інтервалу допустимих значень  4 [−0,21; 3,368] .  
2
Порівнюючи вираз для  ( A)5  виду (4.6) з дисперсією виду (4.1) оцінки 
амплітуди гармонічного сигналу, знайдену методом максимальної 
правдоподібності, побачимо, що вираз в квадратних дужках величини дисперсії 
оцінки Â  виду (4.6) представляє собою коефіцієнт ефективності g( A)51 . На 
рисунку 4.1 представлено графік залежності ефективності оцінки Â  від 
істиного значення коефіцієнту ексцесу. Для любих ненульових значеннях 
коефіцієнту ексцесу дисперсія оцінки Â , знайдена методом максимізації 
поліному при s = 5 , буде меншою порівняно з дисперсією відповідної оцінки, 
знайденої методом максимальної правдоподібності. При нульовому значенні  4  
дисперсії оцінок співпадають. Кількісні зміни величини дисперсії оцінки Â  від 
збільшення ступеня полінома на одиницю, в даному випадку, описуються 
коефіцієнтом ефективності g( A)54 , графік якого представлений на рисунку 4.3. 
З графіка видно, що збільшення ступеня нелінійності опрацювання вибіркових 
даних приводить до покращення точністних характеристик алгоритмів.  
 
 
Рисунок 4.3 Графік залежності коефіцієнта ефективності g( A)54  від коефіцієнта 
ексцесу 
4.4 Точність алгоритмів сумісної оцінки гармонічного сигналу і 
ексцесної завади при степені поліному s=6 
Дослідимо асимптотичні властивості оцінок компонент векторного 
параметру { A ,  2 ,  4 }, знайдених методом максимізації поліному при степені 
поліному s = 6 . Використовуючи вагові коефіцієнти виду (3.29) - (3.31), легко 
показати, що елементи матриці кількості добутої інформації мають вид: 
1 n
(1,1)
J 6n = − 600 20
2 a1(30 4 3 2
4 −135 4 − 230 4 −156 4 − 24)B2
v =
6 v=1  
n
= − 300 20a (30 4 −135 3
2 1 4 4 − 230 2
4 −156 4 − 24),
6
(1,2) (2,1) (1,3) (3,1)
J6n = J6n = J6n = J6n = 0 , 
(2,2) n
J 6n = − 20019
2 a2 (910 6
4 +8415 5
4 + 2550 4
4 +
6 ,              (4.7) 
+ 29304 3
4 + 26640 2
4 + 9072 4 +864),
(2,3) (3,2) n
J 6n = J = − 200 20
6n 2 a2 4 (455 4
4 +1260 3
4 −
6  
− 2040 2
4 −1008 4 −144),
(3,3) n
J 6n = − 100 21
2 a2 (455 4
4 + 2520 3 2
4 + 3600 4 +1152 4 +144) . 
6
Елементи матриці кількості добутої інформації про параметри ексцесної 
(2,2) (3,3) (2,3)
завади 1-го типу, а саме J 6n , J 6n  та J 6n  співпадають з відповідними 
елементами, отриманими за умови відсутності корисного сигналу. Знаходячи 
матрицю, що є зворотною до матриці кількості добутої інформації, на головній 
діагоналі цієї матриці отримаємо вирази, що описують дисперсії оцінок 
параметрів A , 2  і  4 . Маємо: 
4 3 2
2 22 175 4 − 345 4 − 678 4 − 468 − 72
 ( A)6 = [ 4 ] , 
n 3(30 4
4 −135 3
4 − 230 2
4 −156 4 − 24)
2 2
2 2 455 4
4 + 2520 3
4 + 3600 2
4 +1152 +144
 4
(2 )6 = [ ] , 
n 18(55 3
4 +170 2
4 + 60 4 +8)
2 2 (864 + )
( )6 = .                               (4.8) 
4 9n 553 +1702
4 4 + 604 +8)
де = 9106
4 +84155
4 + 25504
4 + 293043
4 + 266402
4 +90724  
Порівнюючи вирази (4.8) та (4.6) бачимо, що дисперсія оцінки параметра 
A  не зміниться з ростом ступеня поліному, на відміну від дисперсій оцінок 
параметрів завади. Як і в попередньому пункті необхідно враховувати той факт, 
що інтервал допустимих значень коефіцієнту ексцесу стає вужчим з ростом 
ступеня поліному. 
Кількісні зміни величини дисперсії оцінки параметра 2 , знайденої 
2
методом максимізації поліному при s = 6 , порівняно з  ( )1  характеризує 
2
вираз в квадратних дужках відповідної формули виду (4.8).  
На рисунку 4.2 представлено графік залежності коефіцієнта ефективності 
g  від істиного значення коефіцієнту ексцесу, поведінка якого практично 
(2 )61
повторює поведінку функції g ( )  на інтервалі  [−0,151; 3,368] .  
(2 )41 4 4
Для порівнянні дисперсій оцінок, знайдених відповідно при ступенях 
поліному s = 6  та s = 5 , проаналізуємо графіки коефіцієнтів ефективності 
g  та g , наведені відповідно на рисунках 4.4 та 4.5. Асимптотичні 
(2 )65 ( 4 )65
дисперсії оцінок параметра 2 , знайдених при вищих ступенях поліному 
практично збігаються.  
При s = 6  оцінка коефіцієнту ексцесу фактично на всьому інтервалі 
допустимих значень  4  характеризується меншою асимптотичною дисперсією, 
порівняно з оцінкою, знайденою при s = 5 . З рисунка 4.5 також видно, що 
коефіцієнт зменшення дисперсії g ( 4 )  має достатньо складну залежність 
( 4 )65
від значень оцінюваного параметру. Відмітимо кілька характерних моментів. У 
випадку, коли  4 = 0  то величина цього коефіцієнту дорівнює одиниці. При 
прагнені  4  до лівої межі інтервалу допустимих значень дисперсія оцінки різко 
зменшується, а з ростом  4  значення дисперсії також зменшується, але мінімум 
дисперсії спостерігається не на межі інтервалу допустимих значень коефіцієнта 
ексцесу, а при  4 1,5 .  
 
 
Рисунок 4.4 Графік залежності коефіцієнта ефективності g(2 )64   
від коефіцієнту ексцесу 
 
Рисунок 4.5  Графік залежності коефіцієнта ефективності g( )64   
4
від коефіцієнта ексцесу 
ВИСНОВКИ 
 
В дипломній роботі було проаналізовано різні підходи до розв’язку задачі 
вимірювання (статистичного оцінювання) параметрів сигналів на фоні завад. 
Оскільки завада за своєю природою є випадковою, то обробка 
спостережуваного сигналу відбувається імовірнісними методами. Показано, що 
окрім щільності розподілу та характеристичної функції достатньо ефективним 
способом опису випадкової послідовності є кінцева послідовність усереднених 
характеристик, наприклад, початкових моментів або кумулянтів.  
При використанні амплітудного методу пеленгації для оцінки кутової 
координати, в якості інформативного параметру виступає амплітуда 
гармонічного сигналу. При цьому завада має адитивний характер впливу на 
корисний сигнал, а її ймовірнісні характеристики близькі до гауссівського 
закону розподілу, але й одночасно з цим відрізняються від нього. В якості 
математичної моделі завади була вибрана так звана ексцес на випадкова 
величина 1-го типу. Її параметрами є нульове математичне сподівання, 
дисперсія і коефіцієнт ексцесу. Останній параметр саме і вказує на відмінність 
моделі від гауссівської, а той факт, що такий параметр лише один – говорить 
про близькість до гауссівського закону. Якщо параметри завади є невідомими, 
що найбільш характерно для реальної ситуації, то для правильного оцінювання 
амплітуди гармонічного сигналу необхідно спільно з нею оцінювати обидва 
параметри ексцесної завади 1-го типу. 
Для синтезу поліноміальних алгоритмів оцінювання параметрів 
використовується метод максимізації поліному при степенях поліному 4, 5 і 6. 
Використання саме цього методу обумовлено тим, що вдається оптимально 
враховувати моментно-кумулянтний опис випадкової послідовності і отримати 
оцінки з мінімально можливою дисперсією (тобто з максимальною точністю). 
Для цього в середовищі MathCad, використовуючи блок символьних 
розрахунків, знайдено аналітичні вирази для оптимальних вагових 
коефіцієнтів рівнянь максимізації поліному при степенях 4, 5 і 6. При 
підстановці коефіцієнтів, отримані алгоритми характеризуються певною 
громіздкістю і складністю обчислення оцінок і можуть бути розв’язані лише 
чисельно. Проте, проаналізувати асимптотичні властивості алгоритмів 
вдається на підставі аналітичних виразів для їх дисперсій. Класичний 
алгоритм (використовується метод максимальної правдоподібності), 
оптимальний при гауссівській заваді, дозволяє спільно оцінити амплітуду 
гармонічного сигналу і дисперсію завади, але не враховує коефіцієнт 
ексцесу. При певних значеннях коефіцієнту ексцесу завади проявляються 
покращенні точнісні характеристики алгоритмів, синтезованих методом 
максимізації поліному, порівняно з класичними алгоритмами. Подальше 
покращення точності алгоритмів може бути досягнуто при збільшенні 
степені поліному на 1 або 2.  
Розроблено блок-схему алгоритму спільної оцінки амплітуди 
гармонічного сигналу і параметрів ексцесної завади 1-го типу при степені 
поліному s = 4 , яка може просто реалізована інструментальними засобами 
комп’ютерного моделювання, наприклад, в середовищах MathCad або 
MatLab або за допомогою сигнальних процесорів. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ 
 
1. Кунченко Ю.П. Полиномиальные оценки параметров близких к 
гауссовским случайных величин. Часть 1. Стохастические полиномы, их 
свойства и применение для нахождения оценок параметров. – Черкассы: ЧИТИ, 
2001. – 133 с.  
2. Кунченко Ю.П. Полиномиальные оценки параметров близких к 
гауссовским случайных величин. Часть 2. Оценка параметров близких к 
гауссовским случайных величин. – Черкассы: ЧИТИ, 2001. – 251с.  
3. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ негауссовских случайных 
процессов и их преобразований. – М.: Сов. радио, 1978. – 376 с. 
4. Прокопенко І.Г. Статистична обробка сигналів: навч. посіб. Київ: НАУ, 
2011. – 220 с. 
5. Бабак В.П., Білецький А.Я., Приставка О.П., Приставка П.О. 
Статистична обробка даних/ Монографія. – Київ: «МІВВЦ», 2001. – 388 с. 
6. Антонюк А.О. Моделювання систем.: навчальний посібник / А.О. 
Антонюк. – Ірпінь: Університет ДФС України, 2019. – 412 с. 
7. Гавриш О.С., Гончаров А.В., Костенко А.П., Баранов А.Д., Балакін 
О.М. Поліноміальні алгоритми спільного вимірювання амплітуди гармонічного 
сигналу та параметрів асиметричної завади 1-го типу. // Збірка тез доповідей за 
матеріалами Х Міжн. науково-технічної конференції «Датчики, прилади та 
системи  –  2023». - Черкаси, вересень 2023. – С.11-12.
ChSTU repository

ChSTU repository preserves and enables easy and open access to all types of digital content including text, images, moving images, mpegs and data sets
