Адаптивне оцінювання амплітуди радіосигналу при асиметричній заваді 1-го типу з використанням навчальної вибірки

Терещенко, Олексій Сергійович
Please use this identifier to cite or link to this item: https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/5847
Full metadata record
DC Field	Value	Language
dc.contributor.advisor	Гавриш, Олександр Степанович	-
dc.contributor.author	Терещенко, Олексій Сергійович	-
dc.date.accessioned	2025-07-08T14:07:00Z	-
dc.date.available	2025-07-08T14:07:00Z	-
dc.date.issued	2024	-
dc.identifier.uri	https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/5847	-
dc.description.abstract	Метою даної роботи є синтез алгоритмів спільного вимірювання амплітуди гармонічного сигналу та параметрів асиметричної завади 1-го типу (дисперсії і коефіцієнта асиметрії) по основній вибірці. Об’єкт дослідження – процес вимірювання амплітуди гармонічного сигналу та параметрів асиметричної завади 1-го типу. Методи дослідження – методи теорії ймовірності та математичної статистики. В магістерській роботі синтезовано степеневі алгоритми вимірювання амплітуди гармонічного сигналу спільно з дисперсією і коефіцієнтом асиметрії завади. Мінімальна степінь поліному, яку можна використати s=3. Відомо, що метод максимізації поліному володіє властивістю зменшувати дисперсію оцінок з ростом степені поліному, тому додатково побудовані алгоритми спільної оцінки трьох параметрів при степенях s=4 і 5. Для аналізу точнісних властивостей синтезованих алгоритмів розраховано матрицю кількості добутої інформації та знайдено обернену матрицю, яка зветься варіаційною матрицею оцінок. Проведене порівняння дисперсій оцінок, отриманих методом максимізації поліному, з дисперсіями оцінок методу максимальної правдоподібності. Показано, що нові алгоритми можуть бути більш точними за умови, якщо коефіцієнт асиметрії завади відмінний від нуля. З ростом степені поліному дисперсії оцінок можуть зменшуватися, а конкретна величина зменшення залежить від коефіцієнта асиметрії. Значного покращення в точності оцінювання можна отримати для амплітуди і коефіцієнта асиметрії, в той час як точність вимірювання дисперсії майже не змінюється з ростом ступеня поліному.	uk_UA
dc.language.iso	uk	uk_UA
dc.subject	метод максимізації поліному	uk_UA
dc.subject	негауссівська завада	uk_UA
dc.subject	гармонічний сигнал	uk_UA
dc.subject	дисперсія	uk_UA
dc.subject	коефіцієнт асиметрії	uk_UA
dc.title	Адаптивне оцінювання амплітуди радіосигналу при асиметричній заваді 1-го типу з використанням навчальної вибірки	uk_UA
dc.type	Master Thesis	uk_UA
Appears in Collections:	172 Електронні комунікації та радіотехніка (Радіотехніка та робототехнічні системи)
Files in This Item:
File	Description	Size	Format
М_172_Терещенко_Гавриш.pdf Restricted Access		1.08 MB	Adobe PDF	View/Open Request a copy
Show simple item record
Extracted text
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ 
ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ 
ФАКУЛЬТЕТ ЕЛЕКТРОННИХ ТЕХНОЛОГІЙ, АВТОТРАНСПОРТУ ТА 
МАШИНОБУДУВАННЯ 
КАФЕДРА РОБОТОТЕХНІЧНИХ І ТЕЛЕКОМУНІКАЦІЙНИХ СИСТЕМ ТА 
КІБЕРБЕЗПЕКИ 
 
До захисту допущено  
завідувач кафедри РТСК 
д.т.н., професор __________  
Володимир ПАЛАГІН  
"_____" грудня 2024 року 
 
 
Пояснювальна записка 
до випускної роботи 
освітнього ступеня «магістр» 
на тему: «Адаптивне оцінювання амплітуди радіосигналу при асиметричній заваді 
1-го типу з використанням навчальної вибірки» 
 
 Виконав студент 2 курсу, групи мРТ-36 
Спеціальність – 172 «Електронні комунікації 
 та радіотехніка» 
Освітня програма – «Радіотехніка та 
 робототехнічні системи» 
 ТЕРЕЩЕНКО Олексій Сергійович 
 Керівник роботи ГАВРИШ Олександр 
 Рецензент ГАЛЬЧЕНКО Володимир 
 
 
Черкаси 2024 
Форма № Н-9.01 
Черкаський державний технологічний університет 
(назва вузу) 
Факультет електронних технологій, автотранспорту та машинобудування 
Кафедра Робототехнічних і телекомунікаційних систем та кібербезпеки 
Освітній ступінь магістр 
Спеціальність 172 -  Електронні комунікації та радіотехніка 
Освітня програма Радіотехніка та робототехнічні системи 
 ЗАТВЕРДЖУЮ 
 Завідувач кафедри РТСК 
 д.т.н., професор Володимир ПАЛАГІН 
   
 «  » вересня  2024 р. 
 
ЗАВДАННЯ 
на дипломний проект (роботу) студенту 
Терещенку Олексію Сергійовичу 
(прізвище, ім'я, по батькові) 
1. Тема проекту (роботи) Адаптивне оцінювання амплітуди радіосигналу при асиметричній  
заваді 1-го типу з використанням навчальної вибірки 
керівник проекту (роботи) Гавриш Олександр Степанович, к.ф.-м.н., доцент 
(прізвище, ім’я, по батькові, науковий ступінь, вчене звання) 
затверджена наказом по університету від « 16 »    вересня     2024 р.  № 272/04 
2. Строк подання студентом проекту (роботи) 1 грудня 2024 р. 
3. Вихідні дані до проекту (роботи)  основна вибірка обсягом m;навчальна вибірка обсягом n 
радіосигнал з невідомою амплітудою; вид завади – асиметрична 1-го типу (з невідомими 
дисперсією та коефіцієнтом асиметрії). 
 
4. Зміст розрахунково-пояснювальної записки (перелік питань, які потрібно розробити)______ 
Вступ. 1. Статистичне оцінювання параметрів сигналів. 2. Знаходження точкових оцінок  
векторного параметра методом максимізації полінома при неоднаково розподілених 
вибіркових значеннях. 3. Синтез поліноміальних адаптивних алгоритмів оцінювання амплітуди  
радіосигналу при асиметричній заваді 1-го типу. Висновки.  Список використаної літератури 
5. Перелік графічного матеріалу (з точним зазначенням обов’язкових креслень)  
Презентація в Power Point обсягом 9 плакатів 
 
6. Консультанти з проекту (роботи) із зазначенням розділів проекту, що їх стосуються 
  Підпис, дата 
Розділ Прізвище, ініціали та посада  завдання         завдання 
консультанта видав прийняв 
    
    
    
    
    
    
 
7. Дата видачі завдання 04 вересня 2024 р. 
 
КАЛЕНДАРНИЙ ПЛАН 
№ Назва етапів дипломного                               С  т  р  о  к   виконання етапів      П   р имітка 
з/п проекту (роботи) проекту (роботи) 
1. Аналіз технічного завдання та огляд літератури 05.09.2024  
2. Розробка методики проведення дослідження 15.09.2024  
3. Розрахунок початкових моментів і центрованих    
 корелянтів асиметричної випадкової величини 02.10.2024  
4. Синтез обчислювальних алгоритмів оцінювання    
 амплітуди радіосигналу та параметрів    
 завади при s=3, 4, 5 14.10.2024  
5. Дослідження точності синтезованих алгоритмів   
 оцінювання амплітуди радіосигналу та параметрів    
 асиметричної завади1-го типу 02.11.2024  
6. Оформлення пояснювальної записки 08.11.2024  
7. Оформлення плакатів 24.11.2024  
    
    
   
 
 Студент   ТЕРЕЩЕНКО Олексій 
  (підпис) (прізвище та ініціали) 
Керівник проекту (роботи)   ГАВРИШ Олександр 
  (підпис) (прізвище та ініціали) 
 
ЗМІСТ 
Стор. 
Вступ 5 
1. СТАТИСТИЧНЕ ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ СИГНАЛІВ 7 
1.1 Поняття про вибірку і точкову оцінку параметрів 7 
1.2 Основні властивості оцінок параметрів випадкової величини 13 
1.3 Моделі сигналів і завад 18 
2. ЗНАХОДЖЕННЯ ТОЧКОВИХ ОЦІНОК ВЕКТОРНОГО ПАРАМЕТРА  
МЕТОДОМ МАКСИМІЗАЦІЇ ПОЛІНОМА ПРИ НЕОДНАКОВО  
РОЗПОДІЛЕНИХ ВИБІРКОВИХ ЗНАЧЕННЯХ 27 
2.1 Оцінювання векторного параметра випадкової послідовності методом  
максимізації полінома 27 
2.2 Синтез алгоритму-прототипу оцінки амплітуди радиосигналу при  
відомих параметрах асиметричної завади 1-го типу при ступені поліному  
s = 2  30 
2.3 Синтез алгоритму-прототипу спільної оцінки амплітуди радіосигналу  
та параметрів асиметричної завади 1-го типу при ступені поліному s = 3 32 
2.4 Метод синтезу та аналізу адаптивних алгоритмів оцінювання  
параметрів корисного сигналу при використанні навчальної вибірки 36 
3. СИНТЕЗ ПОЛІНОМІАЛЬНИХ АДАПТИВНИХ АЛГОРИТМІВ  
ОЦІНЮВАННЯ АМПЛІТУДИ РАДІОСИГНАЛУ ПРИ АСИМЕТРИЧНІЙ  
ЗАВАДІ 1-ГО ТИПУ 44 
3.1 Постановка задачі 44 
3.2 Адаптивний алгоритм оцінювання амплітуди радіосигналу при  
асиметричній заваді 1-го типу при квадратичній обробці основної та  
кубічній обробці навчальної вибірок 46 
  
  
  
3.3 Адаптивний алгоритм оцінювання амплітуди радіосигналу при  
асиметричній заваді 1-го типу при кубічній обробці основної та  
навчальної вибірок 53 
3.4 Адаптивний алгоритм оцінювання амплітуди радіосигналу при  
асиметричній заваді 1-го типу при обробці основної та навчальної  
вибірок при s=4 57 
3.5 Адаптивний алгоритм оцінювання амплітуди радіосигналу при  
асиметричній заваді 1-го типу, оптимальний в класі поліноміальних  
перетворень п’ятого ступеня 63 
Висновки 70 
Список використаної літератури 72 
 
ВСТУП 
 
Виходячи із сучасних фізичних поглядів про природу матерії 
представляється, що підхід, у рамках якого закони природи вважають 
детерміністичними й непорушними, необґрунтований. У найкращому разі ці 
закони відображають «поведінку» природи, так сказати, «у середньому». У 
багатьох важливих ситуаціях така «середня поведінка» досить близька до того, 
що спостерігається на практиці, і наявними відхиленнями можна зневажити. У 
таких випадках детерміністичні закони особливо цінні, оскільки дозволяють 
пророчити поведінку системи без зайвих складностей. В інших, не менш 
важливих ситуаціях випадкові відхилення можуть виявитися значними, 
можливо навіть більш значними, чим детермінована дія. У цих випадках 
варто використовувати аналітичні методи, побудовані на основі імовірнісних 
концепцій. 
З наведених міркувань повинно бути ясно, що так званий «точний 
розв'язок» зовсім не завжди є точним й, більше того, являє собою 
ідеалізований окремий випадок, що на практиці ніколи не зустрічається.  З 
іншого боку, імовірнісний підхід - далеко не гірша заміна точним методам 
розв'язку й найбільш чітко відображає фізичну реальність. Крім того, він містить 
у собі результат детерміністичного підходу як окремого випадку. 
Але і при застосуванні імовірнісних моделей дослідники часто йдуть 
„найпростішим” шляхом, зосереджуючи всю увагу на так званих гауссівських 
моделях сигналів і завад. Це пояснюються, перш за все тим, що гауссівські 
випадкові величини мають виключні математичні властивості, притаманні лише 
ним. Крім того, математичним обґрунтуванням того факту, що практично всі 
явища випадкового характеру, що зустрічаються на практиці, представляють 
собою результат накладання множини окремих подій і як наслідок цього 
розподілені за гауссівським законом служить центральна гранична теорема. 
Проте ефект нормалізації може бути недостатнім або ж взагалі відсутнім. 
В цьому випадку для адекватного опису спостерігаємого явища необхідно 
застосовувати більш повні негауссівські моделі. В роботі пропонується 
дослідити вплив завади, яка за своїм статистичним змістом близька до 
гауссівської та описується мовою кумулянтів (семіінваріантів). В даному 
випадку, для опису завади достатньо знати три параметри: математичне 
сподівання, дисперсію та коефіцієнт асиметрії. Саме останній характеризує 
одночасно близькість випадкової величини до гауссівської моделі. Такі завади 
отримали назву асиметричних випадкових величин 1-го типу.  
Дослідника, напевне, мало цікавила б завада і її статистичний опис, якби 
вона не спотворювала корисне повідомлення. Але останній факт завжди має 
місце в реальних каналах зв’язку, тому для ефективного вилучення інформації 
про параметри корисного сигналу необхідно володіти інформацією про 
параметри завади.  
В загальному випадку канал зв’язку слід розглядати як слабо неоднорідне 
середовище, статистичні властивості якого змінюються у часі. За таких умов, 
необхідно мати „актуальну” інформацію про стан каналу зв’язку. В 
магістерській роботі пропонується синтезувати алгоритм оцінювання амплітуди 
радіосигналу, який налаштовувався б під конкретну заваду. Оцінювання 
параметрів завади здійснюється за так званою навчальною вибіркою, яка 
формується на виході дискретизатора при подачі на його вхід лише завади 
каналу зв’язку. Оцінювання ж амплітуди радіосигналу здійснюється по другій  
вибірці, яка носить назву основної, і яка формується на виході дискретизатора 
при подачі на його вхід адитивної суміші корисного сигналу і завади. 
Метою роботи є синтез адаптивних алгоритмів оцінювання амплітуди 
радіосигналу з використанням навчальної вибірки при асиметричній заваді 1-го 
типу. 
Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити такі завдання: 
• вибрати метод для синтезу адаптивних алгоритмів оцінювання амплітуди 
радіосигналу при асиметричній заваді 1-го типу; 
• синтезувати адаптивні алгоритми оцінювання амплітуди радіосигналу при 
асиметричній заваді 1-го типу, оптимальні в класі поліноміальних 
перетворень основної вибірки ступеня s=2-5; 
• розглянути шляхи технічної реалізації синтезованих алгоритмів сумісного 
оцінювання амплітуди радіосигналу і параметрів асиметричної завади 1-го 
типу при використанні основної та навчальної вибірок; 
• дослідити точнісні властивості синтезованих алгоритмів і порівняти з 
відомими результатами. 
 
 
1. СТАТИСТИЧНЕ ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ СИГНАЛІВ 
 
1.1 Поняття про вибірку і точкову оцінку параметрів 
 
На входах і виходах багатьох радіотехнічних систем крім корисних сигналів 
присутні небажані флуктуації. За своєю природою вони завжди випадкові, тому 
доводиться використовувати імовірнісні методи розв’язку [1]. Розглянемо поняття 
«випадкова величина  ». При формулюванні цього поняття будемо виходити з 
того, що існує певний об'єкт спостереження, на виході якого існують деякі 
числові дані, які приймають випадкові значення. Тоді вираз «спостерігається 
випадкова величина  » означає, що в результаті спостереження об'єкта в 
розпорядженні спостерігача є множина випадкових чисел. Множину випадкових 
числових величин, які утворюються на виході об'єкта будемо називати вибіркою. 
Цю множину випадкових чисел будемо позначати у вигляді 

x = x1, x2,..., xn. Підкреслимо, що елементами цієї множини, є саме числа. Кожен 
елемент цієї множини xi  - називається i -им вибірковим значенням. Кількість 
елементів у вибірці називається об'ємом вибірки. Для зазначеного процесу, буде 
використатися вираз «зі спостережуваної випадкової величини   береться вибірка 

x  об'ємом n ». 

Кожна випадкова величина описується або функцією розподілу F (x / ) або 

функцією щільності розподілу p(x / ), які залежать від деякого векторного 

параметру  . Якщо при спостереженні випадкової величини   з деякою 
 
функцією щільності розподілу p(x / ) параметр   приймає конкретне значення 

0 , яке не змінюється в процесі спостереження (або всього процесу вибору), то 
кажуть, що вибіркові значення взято з генеральної сукупності випадкової 

величини   зі щільністю розподілу p(x /0 ). 
Стале значення параметра, при якому була знайдена вибірка, називається 

істинним значенням параметру 0 = 10 ,20 ,...,q0. Таким чином у вибірці 
статистично містяться істині значення параметра розподілу. 
Вибіркові значення, взяті з випадкової величини   з однаковою щільністю 
 
розподілу p(x / ) й при однакових значеннях параметрів 0  називають однаково 
розподіленими вибірковими значеннями. Якщо кожному вибірковому значенню 

xi  відповідає щільність розподілу p(xi / ) при однакових значеннях параметрів 

0 ,  будемо розглядати неоднаково розподілені вибіркові значення. 
В даній магістерській роботі, отримуючи вибіркові значення випадкової 

величини   зі щільністю розподілу p(x /0 ), кожен елемент  вибірки є 

статистично незалежним один від іншого. Тому вибірка x  представляє собою 
множину неоднаково розподілених і статистично незалежних вибіркових значень 
 
із випадкової величини із щільністю розподілу p(x /0 ). 
Нехай у спостерігача є вибірка, що представляє собою множину чисел, які 

статистично залежать від істинного значення параметра 0 . Завдання спостерігача 
полягає в тому, щоб після математичних перетворень над вибірковими 
значеннями (x1, x2,...,xn )  знайти набір q  таких чисел ˆ1,ˆ2 ,...,ˆq , які можна було 
б прийняти за наближені (тобто оціночні) значення істинних величин складових 

10 ,20 ,...,q0  параметра  . Іншими словами, завдання спостерігача полягає в 

розрахунку певної функції від вибіркових значень x  для отримання оціночних 

значень істинного значення параметра 0 .  

Довільна функція i () від вибіркових значень, тобто (x)=1(x1, x2,...,xn ) 
називається статистикою. Оскільки вибіркові значення (x1, x2,...,xn )  випадкові, то 
статистики ˆ1,ˆ2 ,...,ˆq , також будуть випадковими. Вони частково будуть 
відрізнятися від істинних значень параметрів 10 ,20 ,...,q0 . 
Данні ˆ 1 ,ˆ 2 ,...,ˆ q , які представляють собою статистикм, тобто 
ˆ ˆ ˆ
1(n) = 1(x1, x2 ,..., xn ) , 2(n) =2 (x1, x2 ,..., xn ), ..., q(n) = q (x1, x2 ,..., xn )  і в деякому 

сенсі є близькими до істинних значень складових параметра 0 , називаються 

точковими оцінками компонент векторного параметра, а вектор ˆ = ˆ1,ˆ2 ,...,ˆq 

називається точковою оцінкою векторного параметра 0 . 
Наведені оцінки задані в явному виді. Проте, дуже часто, в математичній 
статистиці оцінки представляються в неявному виді. Вважатимемо, що параметр 
  є скалярним. Оцінка задається неявно, якщо вона знаходиться з розв'язку 
рівняння 
 
g(x1, x2 ,..., xn ;) ˆ = 0 ,                                 (1.1) 
=
 

де g(  )  функція від вибіркових значень x  і параметру  . При неявному завданні 
оцінки, як точкова оцінка ̂  параметра 0  береться таке значення   при якому 
виконується рівність (1.1), а саме неявна оцінка параметра дорівнює кореню 
рівняння (1.1). 

Якщо є векторний параметр  , то неявні оцінки складових векторного 
параметру знаходяться із розв'язку системи рівнянь 
 

g1(x1, x2 ,..., xn ; )   = 0,
 =ˆ

g2 (x1, x2 ,..., xn ; )   = 0,
 =ˆ                                   (1.2) 
.....................................

gq (x1, x2 ,..., xn ; )   = 0.
 =ˆ
Таким чином неявне представлення оцінок векторного параметра полягає в 
 
тому, що задають q  рівнянь від вибіркових значень x  і векторного параметра  . 
Спільний розв'язок цієї системи відносно параметрів (1,2 ,...,q ) і буде оцінкою 
векторного параметра. 
Коротко розглянемо основні способи опису випадкової величини і 
зазначимо переваги їх застосування в різних ситуаціях. Найбільш повним описом 
випадкової величини  , є функція розподілу F (x), яка дорівнює ймовірності події 
того, що випадкова величина   прийме значення менше дійсного числа x , тобто 
 
F(x) = P(  x),  x(c,d ).                               (1.3) 
 
Випадкова величина   має щільність розподілу, якщо існує інтегральна 
функція p(x) така, що для всіх x  виконується рівність 
 
x
F (x) =  p(u)du .                                         (1.4) 
−
 
Поряд з функцією та щільністю розподілу повним описом випадкової 
величини є також характеристична функція [2] 
 
  
f ( 1
u  )= p(x  )e jux
 dx ,                                (1.5) 
2
−
 
 
яка залежить від параметра  . Зворотне перетворення від f (u  ) описується 
виразом 
 
 
1 
p(x  )= f (u  )e− jux
 du .                               (1.6) 
2
−
 
Наведені вирази дозволяють говорити про характеристичну функцію як про 
тотожне представлення щільності розподілу. 
Щільність розподілу, як функція розподілу і характеристична функція, є 
повним описом випадкової величини  . Недоліком розглянутих описів є 
складність їх використання для математичних розрахунків. 
Якщо існує щільність розподілу випадкової величини   можна обчислити 
початкові моменти i -го порядку  
 
  
mi ( )= E{ i} = x i
 p(x  )dx .                                (1.7) 
−
 
В деяких випадках нескінченна послідовність початкових моментів mi ( )  
може повно представляти випадкову величину   і бути тотожним поданням її 

імовірнісного розподілу. Однак, якщо при заданій щільності розподілу p(x  ) 
початкові моменти mi ( )  розраховуються однозначно, то знання нескінченної 
послідовності початкових моментів mi ( )  в загальному випадку не дозволяє 
однозначно розрахувати невідому щільність розподілу. Якщо моменти 

однозначно визначають щільність розподілу p(x  ), нескінченна послідовність 
моментів також є повним описом випадкової величини  , тотожним опису за 
допомогою щільності розподілу [2]. 
Часто випадкові величини зручніше описувати за допомогою кумулянтів 
або семіінваріантів i ( )  порядку i , i =1,  [4], які є коефіцієнтами розкладання 
логарифма характеристичної функції в степеневий ряд: 
 

 
( ) r ( )ln f u  = ( ju)r .                                     (1.8) 
r=1 r!
Між моментами та кумулянтами існує взаємооднозначна відповідність [4]. 
Тому, якщо останній ряд (1.8) є збіжним, то нескінченна послідовність кумулянтів 
також буде повним описом випадкових величин.  
Кумулянти першого й другого порядків мають чіткий фізичний сенс - це 
математичне сподівання (середнє значення) й дисперсія (потужність) випадкової 

величини  . Кумулянт третього порядку 3( ) називається асиметрією розподілу, 

який як і решта непарних кумулянтів 2n+1( ) характеризує симетричність 
(асиметричність) кривої розподілу порівняно з гауссівською кривою, а кумулянт 
 
4( ) - ексцесом, який як і решта парних кумулянтів 2n ( ) вказує на плоско- 
або горстровершинність кривої розподілу порівняно з гауссівською кривою.  
На практиці часто вводять нормовані кумулянти, які називаються 
кумулянтними коефіцієнтами 
 
  r 
 r ( )= r (
−
 ) 2
2 ( ).                                     (1.9) 
 
Для деяких розподілів кумулянтні коефіцієнти  r  дорівнюють певним 
числам. Однак у загальному випадку кумулянтні коефіцієнти залежать від 

параметрів розподілу  . Якщо відома щільність розподілу можна відшукати 

кумулянти й кумулянтні коефіцієнти як функції параметрів розподілу  . На 
практиці часто щільність розподілу невідома. У цьому випадку як параметри 
випадкової величини беруть перші два кумулянта 1 , 2  і додатково - кумулянтні 
коефіцієнти вищих порядків  3 ,  4 ,..., тобто в цьому випадку вектор параметрів 
 
  буде дорівнює  = 1,2, 3, 4,..., r,  r = 3,4,...  Нагадаємо, що тільки для 

гауссівської випадкової величини, у векторі   не дорівнюють нулю тільки перші 
два кумулянта 1  й 2 , а решта кумулянтних коефіцієнтів вищих порядків строго 
дорівнюють нулю. 
1.2 Основні властивості оцінок параметрів випадкової величини 
 

Статистики обчислюються для того, щоб знайти по незалежній вибірці x  

об'ємом n  з випадкової величини   із щільністю розподілу p(x /0 ) оцінку 

параметра ˆ . Ми зазначали, що як оцінку в принципі можна обрати будь-яку 
функцію від вибіркових значень (будь-яку статистику). Однак очевидно, що 
оцінки повинні мати певні властивості, які дозволяють визначати перевагу одних 
оцінок над іншими і коректно їх використовувати на практиці. Задамо перелік 
вимог, що висуваються до оцінок і визначають їх якість. 
Від однієї вибірки до іншої, значення оцінки набувають випадкові значення. 
Відповідно вимоги до оцінок та їх якість необхідно характеризувати деякими 
усередненими характеристиками. 
При цьому є певне протиріччя, яке полягає в тому, що з однієї сторони 
оцінка є деякою функцією від випадкових чисел, а з іншого боку, для визначення 
якості цих оцінок необхідно знаходити статистичні середні значення, а для цього 

необхідно використовувати випадкові величини та функціями розподілу F (x / ) 

або щільності розподілу p(x / ).  
Для усунення цього протиріччя в математичній статистиці при переході до 

аналізу якості оцінок приймається, що вибірковим значенням x = x1, x2,..., xn, 
ставиться у відповідність послідовність випадкових величин 1,2,...,n . При 
цьому вважають, що вибіркове значення xi  зроблене з випадкової величини i . У 

такий спосіб вибіркові дані x  утворять так звану складову n -мірну випадкову 

величину  = 1,2 ,...,n [2]. Причому всі випадкові величини i , є незалежними 

випадковими величинами, що мають однакову функцію розподілу F (x / ) або 

однакову щільність розподілу p(x / ). Тоді спільна функція щільності розподілу 
складеної випадкової величини буде дорівнювати 
 
 n 
p(x1,x2 ,...,xn / )= p(x i / ).                                 (1.10) 
i=1
 
З іншого боку сторони вважається, що самі оцінки (статистики) залежать від 
цієї складеної випадкової величини, тобто оцінки складових при аналізі 
дорівнюють: 
 
ˆ1(n) = 1(1,2 ,...,n ),  ˆ2(n) =
ˆ
2 (1,2 ,...,n ), ..., q(n) = q (1,2 ,...,n ).  
 
Отже, при аналізі, в оцінках випадкові вибіркові значення x1, x2,...,xn  мають 
замінятися випадковими величинами 1,2,...,n  зі спільною щільністю виду 
(1.10). Таким чином, тепер для характеристики якості оцінок можна 
використовувати різні статистичні середні значення оцінки, використовуючи для 
їхн знаходження спільну щільність розподілу (1.10). Надалі, при аналізі якості 
оцінки, ми не будемо заміняти вибіркові значення xi  на випадкові величини i , а 
будемо самі вибіркові значення xi  розглядати як випадкові величини зі спільною 
щільністю розподілу (1.10). 
Якщо математичне очікування оцінки E ̂k (n ) = bk ,  k =1,q  дорівнює 
істинному значенню оцінки, тобто bk =k0 , то оцінка називається незміщеною. А 
якщо рівності немає bk k0 , то оцінка називається зміщеною. При цьому 
величина k = bk −k0  називається зсувом k -ої компоненти оцінки. 
Із практичних міркувань доцільно, щоб величина bk  була як можна бідьш 
близькою до величини k 0 , тому першою вимогою, що висувається до оцінки є 
вимога, що б вона була незміщеною, тобто щоб k = 0  і bk =k0 . 
Часто до оцінок пред'являють менш строгі вимоги, які полягають в тому, 
щоб оцінка була асимптотично незміщеною, тобто 
lim Eˆk (n ) =k0 . 
n→
Наступною усередненою характеристикою оцінки є дисперсія незміщеної 
оцінки 
 2 = E (ˆ 2
 k (n) −k0 ) . 
 
Дисперсія характеризує відхилення величини ̂k (n )  навколо істинного 
значення k 0 . Причому, чим менша величина дисперсії оцінки, тим ближче в 
середньому значення ̂k (n )  лежать до k 0  Вважається, що із двох оцінок ˆ(1)( )  і 
k n
ˆ(2)( )  одного і того ж k -го параметра, кращою (або більш ефективною) оцінкою 
k n
буде та, для якої дисперсія буде мінімальною. 
Оцінка ˆ(1)( )  називається більш ефективною, у порівнянні з оцінкою ˆ(2) , 
k n k (n )
якщо виконується нерівність 
 
( ) 2 ( ) 2
E(ˆ 1
( ) −k0 )  E(ˆ 2
( ) −k0 ) . 
k n k n
 
Отже, якість оцінки характеризується величиною дисперсії оцінки. 
Тому, другою вимогою, що висувається до оцінки є те, щоб у класі 
незміщених оцінок, дисперсія оцінки (середньоквадратична похибка) має бути 
мінімальною. Існує менш жорстка вимога - дисперсія має бути асимптотично 
мінімальною. 
Ще одна властивість, яка дуже потрібна, але не пов'язана з усередненими 
характеристиками - це властивість слушності оцінки. Оцінка називається 
слушною, якщо границя lim ̂k (n )  збігається за ймовірністю (або в 
n→
середньоквадратичному) до істинного значення параметра k 0 . 
При заданому об'ємі вибірки n  дисперсія  2
  не може приймати  завгодно 
малі значення. Виявляється, вона має обмеження знизу в загальному випадку 
деякою функцією параметра   [2]. 
 
Вважаємо, що відомий  однопараметричний розподіл F (x  ). Якщо p(x  ) 
- щільність розподілу, то при виконанні умов регулярності [2] справедлива 
нерівність 
 
 2 −1
 (0 )  ni (0 )
−1
 = I (0 ) ,                                (1.11) 
де 
2
 d   d 2

i (0 ) = E  ln p (x 0 ) = −E  ln p (x 0 ) ,  0,             (1.12) 
d d2
 0   0 
 
називається кількістю інформації за Фішером про параметр  , що міститься в 
одному спостереженні, а величина I ( 0 )  - називається кількістю інформації, що 
міститься у вибірці об'ємом n . Нерівність (1.11) називається нерівністю Крамера-
Рао (або нерівністю інформації). 

Якщо оцінка   така, що у виразі (1.11) досягається рівність, то така оцінка 
буде ефективною. Отже, серед незміщених регулярних оцінок ефективні оцінки 
матимуть мінімальну дисперсію. Величина 
 
−1
e = ni( ) 2   
 0  
 

називається ефективністю оцінки  . 
Очевидно, що виконується умова 0  e 1. Якщо e→1 при n → , то 

оцінка   називається асимптотично ефективною. 
 
Нехай тепер F (x  ) - q -параметричне сімейство розподілу, а p(x  ) - його 
щільність. Тоді як оцінки компонент векторного параметра вибирають значення q  
      
функцій 1 =1(x) , 2 =2(x) ,..., q =q (x)  від вибіркових даних x . Тоді в класі 
незміщених оцінок замість дисперсії оцінки розглядають матрицю варіацій оцінок 
V = Vi, j  з елементами виду 
 
 
Vi, j = E(i −i0 )( j − j0 ),     i, j =1,q .                   (1.13) 
 
Відзначимо, що дисперсією оцінки i -го параметра є діагональний елемент 

V  ˆ 
i,i   ; а позадіагональні елементи матриці (1.13) визначають кореляційні зв'язки 
 
оцінок. 
За аналогією з величиною кількості інформації за Фішером вводиться 
 
інформаційна матриця Фішера I( )= Ii, j ( )  з елементами  
 
( )   d   d     2  
I i, j ( )     
= E ln p(x  ) ln p(x  ) = −E ln p(x  ) .   (1.14) 
di d j  i j 
 

Оцінки ̂i  компонент i  вектору  , для яких 
 
 
Vˆ 
−1
 = I ( ), 
 
 

називаються спільно ефективними. Визначник матриці варіацій оцінок V( ) 
називається узагальненою дисперсією системи оцінок [2]. Тому як ефективність 
оцінки векторного параметра можна вибрати величину 

det −1
I ( )
e =  . 
det V( )
Оцінка називається асимптотично ефективною, якщо e→1 при n → . 
1.3 Моделі сигналів і завад 
 
У роботі розглядається когерентний прийом радіосигналу на фоні адитивної 
негауссівської завади. розпорядженні дослідника є вибірка незалежних неоднаково 

розподілених вибіркових значень Y = y1, y2 ,..., ym  об'ємом m  з генеральної сукупності 
значень випадкової величини xv : 
 
yv = Aev cos(v +) + nv , v =1,m ,                              (1.15) 
 
де A,,  - відповідно амплітуда, частота й початкова фаза радіосигналу,   - крок 
дискретизації, v  - відліки (моменти часу спостереження); nv - випадкова величина, 
в описі якої враховуються кумулянти лише параметри  2  і 3 , а кумулянти  i  
порядку i, i = 4,2s  строго дорівнюють нулю, а вищі кумулянти не 
використаються, тому приймають довільні значення. Очевидно, що з ростом 
ступеня поліному на одиницю в її описі будуть додатково фіксуватися (строго 
дорівнювати нулю) два кумулянтних коефіцієнти, отже закон розподіл випадкової 
послідовності міняється і ми можемо лише задавати певну сножину випадкових 
величин. Таким чином, yv  представляє собою перфоровану асиметричну 
випадкову величину 1-го типу із глибиною перфорації r = 2s −3  [2]. 
Як оцінюваний параметр сигналу виступає амплітуда A . Крім того, 
припустимо, що завадова обстановка не стала і може змінюватися із часом, тому 
оцінювати параметр A  необхідно разом з параметрами завади (дисперсією 2  та 
коефіцієнтом асиметрії 3 ). Таким чином, метою роботи є синтез обчислювальних 
алгоритмів, які адаптуються (налаштовуються) до невідомих параметрів завади [5, 
с.116]. Адаптивний алгоритм має більш складну будову порівняно з 
неадаптивним, що синтезовано при повністю відомих параметрах розподілу. 
Характерним для адаптивних алгоритмів є оцінювання невідомих параметрів або 
розподілів не по основній, а по навчальній вибірці. Навчальна вибірка 

X ={x1, x2 ,...,xn}, об'ємом n  є класифікованої, якщо її розподіл повністю відомий 
досліднику; така вибірка служить додатковим джерелом спостереження до 

основної вибірки Y . У цьому випадку говорять про навчання з вчителем. Але 
процес навчання можна забезпечити лише по основній некласифікованій вибірці 

Y . Тоді говорять про навчання без вчителя або про самонавчання.  
В даній роботі буде розв’язуватися задача знаходження оцінки векторного 

параметра ={A,2 ,3}  з використанням навчальної вибірки.  
Для спрощення розрахунків скористаємося певними обмеженнями на 
вибіркові значення сигналу, які достатньо легко втілити в практичних додатках, а 
точністні властивості оцінок не зміняться. Нехай за час спостереження (тобто за 
час n ) приймається ціле число періодів несучого коливання, тобто 
= 2l, l =1,2,  При цьому крок дискретизації   обирається так, що для будь-
якого непарного ступеня k виконується рівність: 
 
n n
ek
v sink (v +) =ek
v cosk (v +) = 0,                        (1.16) 
v=1 v=1
а для парних ступенів: 
n n
e2 n
v sin2(v +) =e2
v cos2(v +) = .                      (1.17) 
2
v=1 v=1
 
Далі в роботі буде dbrjhbcnfyj метод максимізації поліному для знаходження 
оцінки амплітуди радіосигналу за основною вибіркою і оцінювання параметрів 
асиметричної випадкової величини 1-го типу за навчальною вибіркою із 
застосуванням стохастичних поліномів до 5-го степеня. В зв’язку з цим для 
отримання центрованих корелянтів F(i, j)v , які використовуються для знаходження 
вагових коефіцієнтів рівнянь, необхідно записати вирази початкових моментів 
випадкових величин yv  і xv  через кумулянти до 10-го порядку. В роботі [2, с.111] 
представлено вирази початкових моментів через кумулянти до 10-го порядку для 
центрованої асиметричної випадкової величини 1-го типу, тобто для xv . Тоді для 
досліджуваної перфорованої випадкової величини виду (3.1) вирази для 
початкових моментів запишуться у вигляді: 
 
m1v(2,3) = 0,    m2v(2,3) = 2,  
 
m ( , ) = 1,5
3v 2 3 2  3 ,   m4v ( 2
2, 3) = 32 ,   
 
m ( , 2,5 3 2
5v 2 3) = 2  3 ,   m6v (2, 3) = 2 (10 3 +15),  
 
m ( , ) =105 3,5 ,  m ( , ) = 4 2
7v 2 3 2 3 8v 2 3 2 (280 3 +105),           (1.18) 
 
m9v (2, 3) = 4,5
2  3(280 2
3 +1260),  
 
m 5 2
10v (2, 3) = 2 (6300 3 +945) . 
 
Вирази для центрованих кореляційних моментів асиметричної випадкової 
величини 1-го типу мають вид 
 
F(1,1)v (2 , 3) = 2 ,   F(1,2)v (2 , ) = 1,5
3 2  3 , 
 
F(2,2)v (2 , 3) = 2 2
2 ,   F(1,3)v (2 , 3) = 32 , 
 
F(2,3)v (2 , 3) = 9 3
2,5
2 ,   F 3 2
(3,3)v (2 , 3) = 2 (9 3 +15),  
 
F(1,4)v ( , ) =10 2,5 F ( , ) =  3(10 2
2 3 2 3 ,  (2,4)v 2 3 2 3 +12),  
F(3,4)v (2 , 3) =102 3,5
2  3,   F 4
(4,4)v (2 , 3) = 2 (280 2
3 + 96),   
 
F(1,5)v (2 , 3) =  3
2 (10 2
3 +15),                                                               (1.19) 
 
F 3,5 4 2
(2,5)v (2 , 3) = 952  3,                   F(3,5)v (2 , 3) = 2 (270 3 +105),  
 
F 4,5 3
(4,5)v (2 , 3) = 2 (280 3 +1230 3),  
 
F(5,5)v (2 , 3) =  5
2 (6200 2
3 + 945).  
 
Якщо присутній корисний сигнал. то початкові моменти залежать від трьох 

складових векторного параметру ={A,2 ,3}  і мають вид 
 
  
m1v ( ) = Sv ,   3 1,5
m2v ( ) = S2
v + 2,   m3v ( ) = Sv + 3Sv2 + 2  3 ,  
 

m 4 2 1,5 2
4v ( ) = Sv + 6Sv 2 + 4Sv2  3 + 32 ,  
 

m ( ) = S5 +10S3 2 1,5 2 2,5
5v v v2 +10Sv 2  3 +15Sv2 + 2  3 ,  
 

m6v ( ) = S6
v +15S 4 + 20S3 1,5
v 2 v2  3 +
 
+ 45S 2 2 + 60S  2,5
v 2 v 2  3 + 
3
2 (10 2
3 +15),
 

m7v ( ) = S7
v + 21S5 + 35S 41,5
v 2 v 2  3 +105S3 2 2 2,5
v2 + 210Sv 2  3 +
 
+ 7S  3(10 2 +15) +105 3,5
v 2 3 2  3 ,

m ( ) = S8 + 28S6 + 56S51,5 + 210S 4 2 + 560S3 2,5
8v v v 2 v 2 3 v 2 v 2  3 +
         (1.20) 
+ 28S 2
v 
3
2 (10 2
3 +15) +840S 3,5 4 2
v 2  3 + 2 (280 3 +105),
 

m9v ( ) = S9
v + 36S7 6 1,5 5 2 4 2,5
v 2 +84Sv 2  3 + 378Sv2 +1260Sv 2  3 +
+84S3 3 2
v2 (10 3 +15) + 3780S2 3,5
v 2  3 + 9S  4
v 2 (280 2
3 +105) +  
+  4,5
2  3(280 2
3 +1260),
 

m ( ) = S10 8 7 1,5
10v v + 45Sv2 +120Sv 2  3 + 630S6 2
v 2 + 2520S5
v
2,5
2  3 +
+ 210S4 3(10 2 +15) +12600S3 3,5 + 45S2 4 (280 2
v 2 3 v 2 3 v 2 3 +105) +  
+10S 4,5 2
v2  3(280 3 +1260) +  5
2 (6300 2
3 + 945)
 
Центровані корелянти для випадкової величини виду (1.15) мають вид 
 
 
F 1,5
(1,1)v ( ) =  2 ,   F(1,2)v ( ) = 2Sv2 + 2  3 , 
 

F(2,2)v ( ) = 4S2
v 2 + 4S 1,5 2
v 2  3 + 22 ,  
 

F(1,3)v ( ) = 3S2
v 2 + 3Sv
1,5
2  3 + 32 , 
 

F(2,3)v ( ) = 6S3
v2 + 9S2 1,5
v 2  3 +12S  2 + 9  2,5
v 2 3 2 ,  
 

F ( ) = 9S4 +18S31,5 + 36S2 2 +54S  2,5
(3,3)v v 2 v 2 3 v 2 v 2  3 + 
3 2
2 (9 3 +15),  
 

F ( ) = 4S3 + 6S21,5 2 2,5
(1,4)v v 2 v 2  3 +12Sv2 +102  3 , 
 

F 4
(2,4)v ( ) = 8Sv 2 +16S31,5 2
v 2  3 + 36Sv 
2
2 +56Sv
2,5 + 3
2 3 2 (10 2
3 +12),  

F(3,4)v ( ) =12S5 + 30S 41,5 3 2
v 2 v 2  3 +84Sv2 +
         
+192S 2
v 
2,5
2  3 + 66S  3 2
v 2 3 + 96S  3 +102 3,5
v 2 2  3,
 

F 6
(4,4)v ( ) =16Sv 2 + 48S5 1,5 4 2 3
v2  3 +168Sv 2 + 512Sv
2,5
2  3 +
              (1.21) 
+ 264S 2
v 
3 2
2 3 + 384S 2 3
v 2 +816S 3,5
v2  3 + 
4 2
2 (280 3 + 96),
 

F 4
(1,5)v ( ) = 5Sv  +10S31,5 2 2
2 v 2  3 + 30Sv 2 +50Sv
2,5
2  3
3 + 2 (10 2
3 +15),  
 
 

F(2,5)v ( ) =10S5 + 25S 41,5 + 80S3 2
v 2 v 2 3 v 2 +
 
+190S 2 2,5 + 70S  3 2 + 90S  3 3,5
v 2 3 v 2 3 v 2 + 952  3,
 

F(3,5)v ( ) =15S6
v 2 + 45S51,5
v 2  3 +165S 4 2 3 2,5
v 2 + 510Sv2  3 +
 
+ 270S 2 3 2 + 375S 2 3
v 2 3 v 2 + 795S 3,5 4 2
v 2  3 + 2 (270 3 +105),
 

F ( ) = 20S7 + 70S61,5
(4,5)v v 2 v 2  3 + 300S5 2
v2 +1150S 4
v 
2,5
2  3 +
+1140S3 3
v 2 +800S3 3 2 2 3,5 4 2
v2 3 + 3630Sv 2  3 + 2480Sv2 3 +  
+ 900S  4 +  4,5(280 3
v 2 2 3 +1230 3),
 

F 8
(5,5)v ( ) = 25Sv2 +100S71,5
v 2  3 + 500S6 2 + 2300S5 2,5
v 2 v 2  3 +
+ 2000S 4 3 2 + 2850S 4 3 +12100S3 3,5
v 2 3 v 2 v 2  3 +12400S 2
v 
4 2
2 3 +  
+ 4500S 2
v 
4
2 + 2800S  4,5 3 +12300S  4,5 5 2
v 2 3 v 2  3 + 2 (6200 3 + 945).
 
При знаходженні оптимальних коефіцієнтів рівнянь максимізації поліному 
також потрібно знати вирази похідних від початкових моментів виду (1.18) і 
(1.20) по кожному з параметрів. Маємо: 
похідні від початкових моментів виду (1.18) по параметру  2  
 
m1v (2 , 3) = 0 ,    m2v (2 , 3) =1 
2 2
 
 
m3v (2 , ) =1,5 0,5
3 2  3 ,   m4v (2 , 3) = 62 ,    (1.23) 
2 2
 

m ( , 1,5
5v 2 3) = 252  3 ,                                
2
 
похідні від початкових моментів виду (1.18) по параметру 3  
 
  
m1v (2 , 3) = 0 , m2v (2 , 3) = 0 , m3v (2 , 3) = 1,5
2 , 
 3  3  3
 
 
m ( , ) = 0 m ( , ) =  2,5
4v 2 3 , 5v 2 3 2 .                                   (1.24) 
 3  3
 
похідні від початкових моментів виду (1.20) по параметру A  
 
   
m1v ( ) = Bv ,    m2v ( ) = 2SvBv = 2AB2
v , 
A A
 
 
m ( ) = B (3S2
3v v v + 32 ) ,   
A
 
 
m4v ( ) = Bv (4S3
v +12Sv2 + 41,5
2  3) ,                                              (1.25) 
A
 

m5v = Bv (5S4
v + 30S2
v 2 + 20S 1,5 2
v 2  3 +152 ) , 
A
де  
Bv = ev cos(v +) . 
 
похідні від початкових моментів виду (1.20) по параметру  2  
 
   
m1v ( ) = 0 ,    m2v ( ) =1 
2 2
 
   
m3v ( ) = 3Sv +1,5 0,5 m ( ) = 6S 2 + 6S  0,5
2 3 ,  4v v v 2  3 + 62 ,  
2 2
 
 
m5v ( ) =10S3
v +15S 2
v 
0,5
2  3 + 30Sv2 + 251,5
2  3 ,                          (1.26) 
2
 
похідні від початкових моментів виду (1.20) по параметру 3  
 
     
m1v ( ) = 0 ,  m ( ) = 0 m ( ) = 1,5
2v ,  3v 2 , 
 3  3  3
 
   
m ( ) = 4S 1,5 m ( ) =10S 21,5
4v v 2 , 5v v 2 +  2,5
2 .                        (1.27) 
 3  3
 
В результаті виконання розрахунків знайдемо точністні характеристики 
нових алгоритмів. Очевидно, що асимптотичні властивості синтезованих 
алгоритмів будуть залежати від істинного значення коефіцієнту асиметрії, тому 
необхідно з’ясувати як залежить область допустимих значень (ОДЗ) коефіцієнта 
асиметрії від ступеня полінома, що застосовується. Такі відомості детально 
наведені в роботі [2, с.116]. В таблиці 1.1 наведено ОДЗ коефіцієнта асиметрії 
асиметричних випадкових величин 1-го типу для різних ступенів поліномів. 
Таблиця 1.1 – Області допустимих значень коефіцієнта асиметрії 
Ступінь поліному, s  Області допустимих значень коефіцієнта асиметрії 
2 (-1,414; 1,414) 
3 (-0,656; 0,656) 
4 (-0,438; 0,438) 
5 (-0,335; 0,335) 
 
З розгляду динаміки зміни ОДЗ в якому  3  приймають допустимі значення, 
можна зробити висновок, що з ростом ступеня поліному, довжина інтервалу, на 
якому  3  може приймати значення, звужується. При прагненні глибини 
перфорації до нескінченності ОДЗ параметру  3  буде зменшуватися і прагнути до 
нуля. Отже, близькі до гауссівських асиметричні випадкові величини 1-го типу зі 
збільшенням глибини перфорації будуть вироджуватися в гауссівські випадкові 
величини. 
 
 
2. ЗНАХОДЖЕННЯ ТОЧКОВИХ ОЦІНОК ВЕКТОРНОГО ПАРАМЕТРА 
МЕТОДОМ МАКСИМІЗАЦІЇ ПОЛІНОМА ПРИ НЕОДНАКОВО 
РОЗПОДІЛЕНИХ ВИБІРКОВИХ ЗНАЧЕННЯХ 
 
2.1 Оцінювання векторного параметра випадкової послідовності 
методом максимізації полінома 
 

Будемо вважати, що є вибірка x = {x1 , x2 ,..., xn}  незалежних неоднаково 
розподілених вибіркових значень. Розглянемо ситуацію, коли використовується 
степеневе перетворення вибіркових значень, а саме  i
i (xv ) = xv , При цьому 
будемо вважати, що початкові моменти залежать від векторного параметру 

 = {1,...,p} , тобто 
 

miv() = Exi
v ,    v = 1, n , 
 
   
F(i, j)v () = m(i+ j)v () −miv ()m jv () ,    i, j = 1,s . 
 

Для знаходження оцінок компонент векторного параметра   потрібно 
 
використовувати p  поліномів виду l(q)
sn (x /) , q =1, p  для кожної компоненти q  
векторного параметру 
 
  n s  
l (q) (x / ) = h(v)
sn   ( )i (x ) − h(v)
v  ( ) ,   
i( ) 0( ) q =1, p                  (2.1) 
q q
v=1i=1
 
 
для яких вагові коефіцієнти h(v)
 ( )  і h(v)
 ( ) , i = 1,s  відповідно мають вигляд: 
0( q ) i( q )
 q
h(v)
 ( ) = k (v)
  (t)dt , 
i( q ) i( q )
aq
 
n s q
h(v) ( ) = k (v) (t)m (t)dt . 
0( 
q )  i(q ) iv
v=1i=1 aq
 

При цьому вагові коефіцієнти кожного q -го рівняння k (v)
 ( )  знаходяться 
i( q )
з розв'язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь виду: 
 
s   
(v) 
k  ( )F(i, j)v ( ) = miv ( ) ,   i = 1,s ,   v = 1, n                  (2.2) 
j( q )
j=1 q
 
  
При заданій вибірці x , кожний q -ий стохастичний поліном l(q)
sn (x /) , який 
є функцією параметру q  (при відомих значеннях решти складових векторного 

параметру  ), при прагненні n→  має максимум в околиці істинного значення 
параметру q0 . За своєю будовою кожен зі стохастичних поліномів можна 
продиференціювати за відповідним параметром q . Тоді оцінка векторного 
параметру знаходиться з сумісного розв'язку рівнянь максимізації поліному виду 
 
 
l (q) 
sn (x / ) = 0 ,    q =1, p                             (2.3) 
q  ˆ
 =
 
який в розгорнутому вигляді можна записати наступним чином 
 
n s  
(v)
k  ( )[xi
v −miv ( )] = 0 ,   q =1, p .                 (2.4) 
i( p )  
v=1i=1 ˆ
 =
 
Система поліноміальних рівнянь виду (2.3) або (2.4) називається системою 
рівнянь максимізації поліному.  
В роботі [6] показано, що оцінка векторного параметру, що знайдена 
методом максимізації поліному, є асимптотично незміщеною та спроможною. 

Введемо в розгляд матрицю Jsn ()  з елементами виду 
 
 n s s   
J (q,m)
sn ( ) = (v)
k  (0 )k (v) ( )F
i( q ) j(m ) 0 (i, j)v (0 ) =  
v=1i=1 j=1
 
s n   
= k (v)
  ( ) miv ( ) , m,q =1, p .                      (2.5) 
j( m )
i=1 v=1 q
 

Матрицю виду Jsn ()  будемо називати матрицею кількості добутої 

інформації про векторний параметр  , яку можна витягти з незалежної 

неоднаково розподіленої вибірки x  методом максимізації поліному при 
використанні степеневого стохастичного поліному ступеня s .  
Варіаційна матриця оцінок компонент векторного параметра, знайдених 
методом максимізації поліному, асимптотично буде дорівнювати зворотній 

матриці Jsn () , а саме 
 
 
Vsn () = J −1
sn () .                                              (2.6) 
 
Тоді асимптотичні дисперсії оцінок складових векторного параметра 

знаходяться як діагональні елементи матриці Vsn () .  
 
 
2.2 Синтез алгоритму-прототипу оцінки амплітуди радиосигналу при 
відомих параметрах асиметричної завади 1-го типу при ступені 
поліному s = 2  
 
Для визначення якісних характеристик нових синтезованих алгоритмів 
необхідно останні порівняти з вже існуючими класичними результатами. В даній 
роботі як прототип пропонується взяти два обчислювальні алгоритми 
вимірювання амплітуди радіосигналу:  
• при відомих параметрах асиметричної випадкової величини 1-го типу; 
• при невідомих параметрах асиметричної випадкової величини 1-го типу. 
Розглянемо першу ситуацію, коли параметри завади 2  і  3  апріорно відомі 
і оцінюванню підлягає лише інформативний параметр - амплітуда радіосигналу 
A . Відповідно до методу максимізації поліному побудова алгоритму оцінювання 
параметру A  можлива при ступені поліному s = 2 . У цьому випадку рівняння 
максимізації поліному запишеться у вигляді  
 
m m
k (v)
1A (A)[ yv − Sv ]+k (v) 2 2
2A (A)[ yv − Sv − 2 ] ˆ = 0 .              (2.7) 
A=A
v=1 v=1
 
Пара коефіцієнтів k (v)
1A (A) , k (v)
2A (A)  рівняння знаходиться із розв’язку системи 
лінійних алгебраїчних рівнянь виду  
 
 d
k (v) (v)
 1A (A)F(1,1)v (A) + k2A (A)F(1,2)v (A) = m1v (A),
 dA
                (2.8) 
k (v) d
1A (A)F (v)
(1,2)v (A) + k2A (A)F(2,2)v (A) = m
 2v (A).
 dA
 
Вагові коефіцієнти k (v)(A) , k (v)
1A 2A (A)  знаходяться згідно з правилом Крамера. 
Використовуючи середовище MahCad, знайдемо кінцеві вирази для шуканих 
коефіцієнтів 
(v) 2Bv (Sv +  0,5
3 2 ) − B
k (A) = (v)
,       k (A) = v 3
1A 2A .           (2.9) 
1,5(2 − 2 ) 1,5
2 3 2 (2 − 2
3 )
 
Знаючи коефіцієнти рівняння (2.7) і враховуючи співвідношення (1.16) і 
(1.17) легко знайти саму оцінку параметра A  
 
1 m m
 x2 1
3  v cos(v +) − 2 2  xv cos(v +)
Aˆ
m m
= v=1 v=1 .            (2.10) 
1 m
2 2
3  xv cos (v +) − 2
m v=1
 
Для знаходження виразу для асимптотичної дисперсії оцінки параметра A  
знайдемо величину кількості добутої інформації про параметр A  з основної 

вибірки Y ={y1, y2 ,..., ym}  об’ємом m  
 
m
2 2
Bv
J (A) = v=1
2m  
 ( 2
2 3 − 2)
Або з врахуванням виразу (1.17) отримаємо 
 
m
J2m (A) = . 
 2
2( 3 − 2)
 
Тоді очевидно, що дисперсія оцінки амплітуди радіосигналу дорівнює 
 
2
 2 2 ( 3 − 2)
ˆ = .                                          (2.11) 
2A m
 
Надалі оцінка виду (2.10) та її дисперсія (2.11) будуть використовуватися 
для порівняння точнісних характеристик алгоритмів.  
2.3 Синтез алгоритму-прототипу спільної оцінки амплітуди 
радіосигналу та параметрів асиметричної завади 1-го типу при 
ступені поліному s = 3 
 
Розглянемо другий випадок, коли параметри завади 2  і  3  апріорно 
невідомі і оцінюванню підлягає не лише амплітуда радіосигналу A , а одночасно 
всі три параметри. 
Спільна оцінка параметрів A ,  2 , 3  при використанні стохастичного 
поліному третього ступеня знаходиться з розв'язку системи трьох рівнянь 
максимізації поліному виду  
 
m  m 
(v) (v) 2 2
k1A ( )[yv − Sv ]+k2A ( )[yv − Sv − 2 ]+
v=1 v=1
                   (2.12) 
m 
+ k (v) ( )[y3 − S3 − 3S  − 1,5
  
3A v v v 2 2  3] ˆ = 0;
 =
v=1
 
m  m 
(v)
k  ( )[yv − S (v)
v ]+k  ( )[y2 − S2 −  ]+
1 2 2 2 v v 2
v=1 v=1
                  (2.13) 
m 
+ k (v) ( )[y3 − S3 1,5
  v v − 3Sv2 − 2  3]  ˆ = 0;
3 2  =
v=1
 
m  m 
k (v)
  ( )[yv − S ]+ (v) 2 2
v k  ( )[yv − Sv − 2 ]+
1 3 2 3
v=1 v=1
                   (2.14) 
m 
+k (v) ( )[y3 − S3 − 3S  − 1,5 ]   = 0.
3 3 v v v 2 2 3 ˆ
 =
v=1
 
 
Трійка оптимальних коефіцієнтів k (v)
 ( )  k (v)
 ( )  відповідного 
1 3 q -го 
q q
рівняння максимізації поліному знаходиться із системи лінійних алгебраїчних 
рівнянь виду  
        
(v) (v) (v)
k ()F () + k ()F
1 (1,1)v 2 (1,2)v () + k ()F
3 (1,3)v () = m1v (),
p p p
  p
       
(v) (v) (v) 
k ()F(1,2)v () + k ()F(2,2)v () + k ()F(2,3)v () = m
1 2 3 2v (),      (2.15) 
p p p
  p
       
 (v) (v) (v) 
k ()F(1,3)v () + k ()F(2,3)v () + k ()F(3,3)v () = m ().
1p 2 3v
 p 3p
  p
 
Для системи лінійних алгебраїчних рівнянь виду  (2.15) використовуються 
вирази для початкових моментів і центрованих корелятів виду (1.20) і (1.21). 
Опускаючи громіздкі обчислення, наведемо кінцеві вирази для вагових 
коефіцієнтів, отриманих в програмі MahCad. Коефіцієнти першого рівняння 
мають вигляд  
 

(v) 1
k1A () = 6B 4 (3A2B22 + 3AB 0,5
v 2 v 3 v 2 3 + 2AB 0,5 2
3 v2 3 − 623 + 22 ) , 
3
 

(v) 1
k2A () = − 3B 4
v 23 (6ABv + 30,5 2 + 20,5
3 2 3 2 ) ,                                               (2.16) 
3
 

(v) 1
k 4 2
3A () = 6Bv23 . 
3
 
Використовуючи похідні від початкових моментів за параметром  2  виду 
(1.26), легко знайти відповідну трійку коефіцієнтів рівняння (2.13). Маємо 
 

(v) 1 3 3
k () = − 33,5
2 (3A2B2
v 3 + A2B2
v 
3
3 + 4AB 0,5 −   −  3 ) , 
1 v
2 2 2 3 2 3
3 2 2
 

(v) 1
k () = 33,5 3 3 0,5
2 (3ABv3 + ABv3 + 22 ) ,                                                   (2.17) 
22 3 2
 

(v) 1
k () = − 33,5 1
(1+  2
3 ) . 
32 2
3 2
 
Аналогічно знаходимо коефіцієнти рівняння (2.14), які мають вид 
 

(v) 1
k () = 34,5 (2A2B2 − A2B2 2 + 4AB 0,5 + 3  2
1 2 v v 3 v 2 3 2 3 − 22 ) , 
3 3
 

(v) 1
k () = 34,5
2 (3AB 2 0,5
v3 − 2ABv − 22 3 ) ,                                         (2.18) 
23 3
 

(v) 1
k () = 4,5
   2 (2 −  2
3 ) . 
33 3
 
У виразах (2.16)-(2.18) величина 3  представляє собою головний визначник 
системи рівнянь (2.15)  і описується виразом 
 
 6 2 4
3 = 32 (4−8 3 −3 3 ) . 
 

Для знаходження оцінки компонент векторного параметра ={A,2 , 3} з 
системи рівнянь (2.12)-(2.14) з ваговими коефіцієнтами (2.16)-(2.18) потрібно 
використовувати чисельні методи. 
Використовуючи оптимальні коефіцієнти k (v)
 (A,2 , 3) , i,q =1,3  виду 
i q
(2.16)-(2.18), легко знайти елементи матриці кількості добутої інформації 
 
(1,1) m
J3m = 3 5
2 (2 − 3 2
3 ) ,  J (1,2) (2,1)
3m = J3m = J (1,3) (3,1)
3m = J3m = 0 , 
3
 
J (2,2) m 3 4 2 4 (3,3) m
3m = 2 (8− 6 3 − 3 3 ) , J3m =  6
2 (2 − 2
3 ) ,                       (2.19) 
3 4 3
 
(2,3) (3,2) m 3
J3m = J = −  5 2
3m 2 (2 + 3 ) . 
3 2
 
Знайшовши елементи матриці кількості добутої інформації легко знайти 
елементи варіаційної матриці оцінок. Наведемо вирази для діагональних 
елементів матриці V3n , що характеризують величини дисперсій відповідних 
оцінок Â , ̂ 2  та ̂3 . 
 
2
2 22 3 (1+1,52 )
 3
(A)3 = [1− ],                               (2.20) 
n 2 − 32
3
 
22 2
2 2
( )3 = [1− 3 ] ,                                        (2.21) 
2 n 2
 
2 3
 = (8 − 62 − 34
( )3 3 3 ) .                                   (2.22) 
3 4n
 
Дисперсії оцінок Â , ̂ 2  та ̂3  виду (2.20)-(2.22) також як і вираз (2.11) 
будуть використовуватися для порівняння точністних характеристик 
синтезованих алгоритмів. 
 
 
2.4 Метод синтезу та аналізу адаптивних алгоритмів оцінювання 
параметрів корисного сигналу при використанні навчальної 
вибірки 
 
Згідно з методом максимізації полінома спільна оцінка розглянутих 
параметрів можлива при ступені полінома починаючи від s = 3 і вище, оскільки 
один з параметрів, а саме коефіцієнт асиметрії 3  входить у початкові моменти 
тільки починаючи з моменту третього порядку.  
Система рівнянь максимізації поліному для знаходження спільної оцінки 

досліджуваних параметрів по основній вибірці Y , об'ємом m  має вигляд 
 
s m  
(v) i
k  
 ( )[ yv −miv ( )] ˆ = 0, s = 3,4,... q =1,3.                (2.23) 
i, q  =
i=1 v=1
 
 
У системі рівнянь виду (2.23) кожна трійка коефіцієнтів k (v)
 ( ) , k (v)
1, q 2, ( )  і 
q

k (v)
 ( ) , q =1,3  знаходиться з розв'язку системи трьох лінійних алгебраїчних 
3, q
рівнянь виду 
  
s
(v) 
k  F(i, j)v = miv , s = 3,4,... i,q =1,3, l =1,2,3,                (2.24) 
j, q
j=1 l
 
де m i
iv = Exv - початкові моменти випадкової величини yv , знаючи які легко 
   
(v)
розрахувати кореляційні моменти Fi, j () = m(i+ j)v () −miv ()m jv () .  
У виразі (2.24) 1 = A, 2 = 2 , 3 = 3 . 
Для спрощення процедури оцінювання, з трьох рівнянь системи виду (2.23) 
будемо використовувати лише перше рівняння, а «недостаючі» оцінки параметрів 

асиметричної завади 1-го типу будемо знаходити по навчальній вибірці X , 
об'ємом n  з рівнянь  
s n
k (v) ( , )[xi
  2 3 v −miv (2 , 3)] 2 =ˆ2 = 0, s = 3,4,... q = 2,3 .      (2.25) 
i, q 
i=1 v=1 3=ˆ3
 
Запишемо систему рівнянь для спільної оцінки параметрів A,2 , 3  при 
використанні основної та навчальної вибірок у вигляді 
 

f1A (Y / A,2 ,3) = 0,  
 

f2 (X /2 ,3) = 0,  
2
 

f3 (X /2 ,
3 3) = 0 . 
 
При великих значеннях об’ємів вибірок m  і n  розкладемо відповідні 
рівняння максимізації поліному в ряд Тейлора в околиці відповідних компонент 
векторних параметрів, обмежившись першими двома членами. Отримаємо 
 
   
f ˆ
1A (Y / A,ˆ 2 ,ˆ3)  f1A (Y / A ˆ
0 ,20 ,30 ) + (A − A0 ) f1A (Y / A0 ,20 ,30 ) +
A
   
 
+ (ˆ 2 − 20 ) f1A (Y / A0 ,20 ,30 ) + (ˆ3 − 30 ) f1A (Y / A0 ,20 ,30 )  0,
2 3
 
   
f2 (X /ˆ 2 ,ˆ3)  f2 (X /20 ,30 ) + (ˆ
2 2 2 − 20 ) f2 (X /20 ,30 ) +
 2
2
            (2.26) 

+ (ˆ3 − 30 ) f2 (X / , )  0,
 2 20 30
3
 
   
f3 (X /ˆ 2 ,ˆ 3 )  f3 (X /20 ,30 ) + (ˆ 2 −  ) f
3 3 20 3 (X / , ) +
 3 20 30
2
  

+ (ˆ3 − 30 ) f3 (X /20 ,30 )  0.
 3
3
Легко побачити, що відповідно до виразу [6]  
 
2   
− l (q)
sm (Y /)  → J (q,g )
sm (0 ) .                            (2.27) 
  0
q g
 
для першого рівняння  системи (2.26), яке залежить від трьох параметрів і 
використовує основну вибірку можна записати наступні позначення 
 
 
f1A (Y / A0 , (1,1)
20 ,30 ) = −J sm (A0 ,20 ,30 ) , 
A
 
 
f1A (Y / A0 ,20 , (1,2)
30 ) = −J sm (A0 ,20 ,30 ) , 
2
 
 
f1A (Y / A0 ,20 , (1,3)
30 ) = −J sm (A0 ,20 ,30 ) . 
3
 
Аналогічна ситуація буде для другого та третього рівнянь, які вже залежать 
лише від двох параметрів завади і використовують вибіркові значення навчальної 
вибірки можна записати 
 
 
f2 (X /20 ,30 ) = −J (2,2)
sn (20 ,30 ) , 
 2
2
 
 
f2 (X /20 ,30 ) = −J (2,3) (
2 sn 20 ,30 ) , 
3
 
 
f3 (X / , (2,3)
3 20 30 ) = −J sn (20 ,30 ) , 
2
 
f (X / , ) = −J (3,3)
3 20 30 sn (20 ,30 ) . 
 3
3
 
Тоді система рівнянь виду (2.26), з врахуванням введених позначено, може 
бути переписана у вигляді 
 
(Aˆ − A )J (1,1) (A , , ) + (ˆ −  )J (1,2)
0 sm 0 20 30 2 20 sm (A0 ,20 ,30 ) +
  
+ (ˆ3 − 30 )J (1,3)
sm (A0 ,20 ,30 ) = f1A(Y / A0 ,20 ,30 ),
 

(ˆ −  (2,2)
2 20 )J sn (20 ,30 ) + (ˆ 3 − 30 )J (2,3)
sn (20 ,30 ) = f2 (X /20 ,30 ),            (2.28) 
2
 

(ˆ −  )J (2,3) ( , ) + (ˆ −  )J (3,3)
2 20 sn 20 30 3 30 sn (20 ,30 ) = f3 (X /
3 20 ,30 ) . 
 
Розв’язуючи систему рівнянь виду (2.28) легко знайти величини відхилень 
оцінок параметрів від своїх істинних значень. Відповідно до правила Крамера 
можемо записати 
  

(Aˆ − A ) = 1  
0 ,      (ˆ 2 − 20 ) = 2 ,      (ˆ3 − 30 ) = 3 , 
  
 
де   - головний визначник системи рівнянь (2.28) виду 
 
J (1,1)
sm (A0 ,20 , ) J (1,2)
30 sm (A0 ,20 ,30 ) J (1,3)
sm (A0 ,20 ,30 )
 = 0 J (2,2) ( , ) J (2,3)
sn 20 30 sn (20 ,30 ) =
(2,3) (3,3)     (2.29) 
0 J sn (20 ,30 ) J sn (20 ,30 )
= J (1,1) (2,2)
sm (A0 ,20 ,30 )[J sn ( , )J (3,3)
20 30 sn (20 ,30 ) − (J (2,2)
sn (20 ,30 ))2 ],
 
де  l , l =1,2,3  - визначники, одержувані з  , шляхом заміни l -го стовпця 
стовпцем вільних членів. 
Тоді легко показати, що 
 

f (Y / A , , ) J (1,2) (A , , ) J (1,3)
1A  0 20 30 sm 0 20 30 sm (A0 ,20 ,30 )
(Aˆ
1
− A ) = f (2,2) (2,3)
0 2 (X /20 ,30 ) J sn (20 ,30 ) J sn (20 ,30 ) =
 2 
f (X / , ) J (2,3) (3,3)  
33 20 30 sn (20 ,30 ) J sn (20 ,30 )
1   
= [ f1A (Y / A0 ,20 ,30 )M1,1 − f2 (X /20 ,30 )M 2,1 + f3 (X /20 ,30 )M 3,1],
 2 3
 
де M i,1 , i =1,3  мінори елементів ai,1 . 
 
Для другого параметру 
 

J (1,1)
sm (A , , ) f (Y / A , , ) J (1,3)
0 20 30 1A  0 20 30 sm (A0 ,20 ,30 )
1
(ˆ 2 − 20 ) = 0 f2 (X /20 , (2,3)
30 ) J sn (20 ,30 ) =
 2 
0 f (X / , (3,3)
3 20 30 ) J sn (20 ,
3 30 )
1 
= [ f (X / , )J (1,1)
2 20 30 sm (A0 ,20 , )J (3,3) (
2 30 sn 20 ,30 ) −  


− f (X / , )J (1,1) (A , , )J (2,3)
33 20 30 sm 0 20 30 sn (20 ,30 )],
 
Для третього параметру 
 

J (1,1) (A , , ) J (1,2)
sm 0 20 30 sm (A0 ,20 ,30 ) f1A (Y / A
 0 ,20 ,30 )
1
(ˆ 3 − 30 ) = 0 J (2,2)
sn (20 ,30 ) f2 (X /
2  20 ,30 ) =

0 J (2,3)
sn (20 ,30 ) f3 (X / , )
3 20 30
1 
= [ f3 (X /20 ,30 )J (1,1)
sm (A0 ,20 ,30 )J (2,3)
sn (20 ,
3 30 ) −  


− f (X / , )J (1,1) (2,2)
22 20 30 sm (A0 ,20 ,30 )J sn (20 ,30 )].
 
Добре відомо [6], що дисперсія оцінки ̂  може бути знайдена в такий спосіб 
 
2 = E(ˆ − 0 )2
. 

 
Отже, дисперсія оцінки параметра А може бути знайдена як 
 
 
2 1
ˆ = E(Aˆ − A )2
0 = [M 2
1,1E{ f 2
1A (Y / A0 , , )}+ M 2 2
A 2 20 30 2,1E{ f2 (X /20 ,30 )}+
 2
  
+ M 2 2
3,1E{ f3 (X /
3 20 ,30 )}− 2M1,1M 2,1E{ f1A (Y / A0 ,20 ,30 ) f2 (X /20 ,
2 30 )}+  
 
+ 2M1,1M3,1E{ f1A (Y / A0 ,20 ,30 ) f3 (X /20 ,30 )}−
3
 
− 2M 2,1M3,1E{ f2 (X /20 ,30 ) f3 (X /20 ,30 )}].
2 3
 
Розкриваючи операцію математичного очікування отримаємо наступне 
 

E{ f 2 (Y / A , , )}= J (1,1)
1A 0 20 30 sm (A0 ,20 ,30) , 
 

E{ f 2
2 (X / , )} = J (2,2) ( , ) , 
2 20 30 sn 20 30
 

E{ f 2
3 (X /20 , (3,3)
3 30 )}= J sn (20 ,30 ) , 
 
 
E{ f1A (Y / A0 ,20 ,30 ) f2 (X /20 ,
2 30 )} =
   
= E{ f1A (Y / A0 ,20 ,30 ) f3 (X /
3 20 ,30 )} = 0,
 
 
E{ f2 (X /20 ,30 ) f3 (X / (2,3)
2 3 20 ,30 )}= J sn (20 ,30 ) . 
 
Таким чином, кінцевий вираз для обчислення дисперсії оцінки параметра A  
можна записати у вигляді 
1
2
ˆ = [M 2 J (1,1) (A , , ) + M 2 J (2,2)
1,1 sm 0 20 30 2,1 sn (20 ,30 ) +
A
2
            (2.30) 
+ M 2 (3,3)
3,1J sn ( , (2,3)
20 30 ) − 2M 2,1M3,1J sn (20 ,30 )].
Наведемо ланцюжок перетворень для виводу виразу дисперсії оцінки ̂2 . 
 
1
2 2 (1,1) (3,3) 2
ˆ = E(ˆ 2 − 2 20 ) = [(J
2 sm (A0 ,20 ,30 )J sn (20 ,30 )) 


 E{ f 2 (X / , )}+ (J (1,1) (2,3)
2 20 30 sm (A0 ,20 ,30 )J sn (20 , ))2 
2 30  

 E{ f 2
3 (X /20 ,30 )}− 2(J (1,1)
sm (A0 ,20 , ))2 J (2,3) (
3 30 sn 20 ,30 )
 
 J (3,3)
sn (20 ,30 )E{ f2 (X /
2 20 ,30 ) f3 (X /20 ,30 )}].
3
 
Використовуючи, наведені вище вирази для математичних очікувань 
відповідних функцій, отримаємо кінцевий варіант для знаходження дисперсії 
оцінки параметра 2  
 
2 1
 = E(ˆ −  )2 = [(J (1,1) (A , , )J (3,3) ( , ))2 J (2,2)
ˆ 2 2 20 2 sm 0 20 30 sn 20 30 sn (20 ,30 ) +
 (2.31
− (J (1,1) (A , , )J (2,3) 2 (3,3)
sm 0 20 30 sn (20 ,30 )) J sn (20 ,30 )].
) 
І, нарешті, дисперсія оцінки коефіцієнта асиметрії може бути записана 
 
2 1
= E(ˆ −  )2 = [(J (1,1) (A , , )J (2,3)
ˆ ( , ))2 
3 3 30
2 sm 0 20 30 sn 20 30

 E{ f 2 (X / , )}+ (J (1,1) (A , , )J (2,2) 2
33 20 30 sm 0 20 30 sn (20 ,30 )) 
 

 E{ f 2
2 (X /20 , )}− 2(J (1,1)
30 sm (A0 ,20 ,30 ))2 J (2,2)
sn (20 ,30 )
2
 
 J (2,3)
sn (20 ,30 )E{ f2 (X /20 ,30 ) f (X / ,
2 33 20 30 )}].
 
Після розкриття операції математичного очікування й спрощень отримаємо 
2 1
 = [(J (1,1) (A , , )J (2,3) 2 (3,3)
ˆ 3 2 sm 0 20 30 sn (20 ,30 )) J sn (20 ,30 ) +

+ (J (1,1)
sm (A0 ,20 ,30 ))2 (J (2,2)
sn (20 ,30 ))3 −        (2.32) 
− 2(J (1,1) (2,3) 2 (2,2)
sm (A0 ,20 ,30 )J sn (20 ,30 )) J sn (20 ,30 )].
 
Цікаво дослідити якісний характер зміни точністних характеристик 
одержуваних оцінок з ростом ступеня стохастичного полінома та провести 
порівняння отриманих результатів з результатами, одержуваними при 
використанні однієї вибірки (самонавчанні). Порівняти результати із класичними 
методами достатньо складно, оскільки: 
• метод моментів застосовується лише для однаково розподілених вибіркових 
послідовностей;  
• метод найменших квадратів враховує апріорну інформацію лише про 
параметр сигналу і один параметр завади - дисперсію, при цьому не 
враховує кумулянтні коефіцієнти вищих порядків;  
• у методі максимальної правдоподібності використовується інший спосіб 
представлення випадкової величини, а саме за допомогою щільності 
розподілу ймовірностей, що вносить складнощі при переході від одного 
способу представлення випадкової величини до іншого. 
З виразів виду (2.30)-(2.32) видно, що для знаходження точністних 
характеристик шуканих оцінок необхідно знайти елементи матриці кількості 
добутої інформації з використанням різних вибірок, що визначаються у свою 
чергу через оптимальні коефіцієнти рівнянь максимізації полінома. 
 
 
3. СИНТЕЗ ПОЛІНОМІАЛЬНИХ АДАПТИВНИХ АЛГОРИТМІВ 
ОЦІНЮВАННЯ АМПЛІТУДИ РАДІОСИГНАЛУ  
ПРИ АСИМЕТРИЧНІЙ ЗАВАДІ 1-ГО ТИПУ 
 
3.1 Постановка задачі 
 
Будемо вважати, що на інтервалі часу спостереження t[0;T ] на вхід 
приймача потрапляє сигнал у вигляді суміші радіосигналу S(t, A)  і адитивної 
завади (t, p) , який може бути представлений вибіркою об’ємом m  незалежних 
неоднаково розподілених вибіркових значень y ={y1,..., ym} з генеральної 
сукупності значень випадкової величини  
 
yv = Sv(A)+v(p) ,      v =1,m .                                  (3.1) 
 
Радіосигнал має вигляд Sv (A) = Aev cos(2fv +) , в якому як оцінюваний 
параметр розглядається амплітуда A, а частота f і початкова фаза   сигналу 
вважаються повністю відомими; ev  - обвідна радіосигналу;   - період 
дискретизації; v  - відліки часу спостереження.  
Як модель завади v(p)  використовується асиметрична випадкова величина 
1-го типу [4], яка характеризується нульовим математичним сподіванням, 

дисперсію 2  і коефіцієнтом асиметрії  3 . Отже, векторний параметр p  містить 
дві компоненти {2 ,  3 }, значення яких вважаються невідомими і підлягають 
оцінюванню з використанням навчальної вибірки x ={x1,..., xn}  об’ємом n  з 
генеральної сукупності значень випадкової величини  
 
xv =v(p) ,      v =1,n .                                      (3.2) 
 
Задача адаптивного оцінювання амплітуди радіосигналу полягає у 
знаходженні компонент векторного параметру ˆ
 ={ˆ,ˆ ,ˆ }  з мінімально 
2 3
можливою дисперсією, на основі використання статистичних даних основної 
вибірки y . При цьому компоненти векторного параметру pˆ ={ˆ ,ˆ } знаходяться 
2 3

при використанні навчальної вибірки x .  
Згідно методу максимізації поліному [4] система рівнянь для знаходження 
адаптивної оцінки амплітуди радіосигналу по основній вибірці y  об'ємом m  та 
оцінок параметрів {2 ,  3 } асиметричної завади 1-го типу по навчальній вибірці 

x  об'ємом n  має вигляд 
 
s m  
k (v) i  
i, ()[ yv −miv ()] ˆ = 0, s = 2,3,...                      (3.3) 
1 =
i=1 v=1
 
z n
 k ( , )[xi
i,q 2 3 v − i (2 , 3)] 2 =ˆ = 0,
2      z = 3,4,... q = 3,4 .       (3.4) 
i=1 v=1 3=ˆ3
 
де miv = E{yi
v} , iv = E{xi
v}  - початкові моменти випадкової величини yv  [5] виду 
(3.1) і xv  виду (3.2) відповідно (де Е – символ математичного сподівання). 
Відповідно до методу максимізації полінома спільна оцінка розглянутих 
параметрів можлива при ступені полінома s = 3 й вище, оскільки коефіцієнт 
асиметрії 3  входить у початкові моменти  починаючи з  третього порядку. 
 
3.2 Адаптивний алгоритм оцінювання амплітуди радіосигналу при 
асиметричній заваді 1-го типу при квадратичній обробці основної 
та кубічній обробці навчальної вибірок 
 

Якщо в розпорядженні спостерігача є основна Y ={y1, y2 ,..., ym}  та 

навчальна X ={x1, x2 ,..., xn}  вибірки, відповідно об’ємом m  та n , то згідно з 
методом максимізації поліному сумісна оцінка параметрів {A,2 , 3}  може бути 
знайдена з сумісного розв’язку рівнянь максимізації поліному виду 
 
m  m 
(v)
k1A ( )[ yv − Sv ]+ k (v) ( )[ y2 − S2
  
2A v v − 2 ] ˆ = 0;  
 =
v=1 v=1
 
n n
k (v) ( , )x + k (v)
  2 3 v   ( , )[x2 −  ]+
1 2 2 2 2 3 v 2
v=1 v=1
                            (3.3) 
n
+ (v) 3 1,5
k
3 (
2 2 , 3)[xv − 2  3] 2 =ˆ2 = 0;
 =ˆ
v=1 3 3
 
n n
k (v)
  (2 , 3)xv +k (v)
 ( , )[x2 −  ]+
1 3 2 3 2 3 v 2
v=1 v=1
 
n
+ k (v) ( , )[x3 − 1,5
 2 3 v 2  3] 2 =ˆ 2 = 0.
3 3  3=ˆv=1 3
 

Для знаходження оцінки векторного параметра  ={A,2 , 3} одночасно 
використовуються стохастичні поліноми різних ступенів. При використанні 

поліному другого ступеня при обробці основної вибірки Y ={y1, y2 ,..., ym}  
рівняння залежатиме від всіх трьох оцінюваних параметрів. Проте для 
оцінювання параметрів асиметричної завади 1-го типу {2, 3} за навчальною 

вибіркою X ={x1, x2 ,..., xn}  необхідно використовувати поліном не менше 
третього ступеня. 
 
Оптимальні коефіцієнти k (v)
1A ( )  та k (v)
2A ( )  рівняння (3.1) вже знайдені в 
пункті 2.2 і описуються виразом (2.9). 
 
Оптимальні коефіцієнти рівнянь k (v)
 ( )  k (v)
 ( )  відповідного q -го 
1 q 3 q
рівняння максимізації поліному знаходиться із системи лінійних алгебраїчних 
рівнянь виду  
 
k (v) ( (v)
1q 2 , 3)F(1,1)v (2 , 3) + k  ( ,
2 q 2 3)F(1,2)v (2 , 3) +

 (v) 
+ k  (
3 q 2 , 3)F(1,3)v (2 , 3) = m1v (2 , 3),

 q
k (v) ( , )F ( , ) + k (v) ( , )F ( , ) +
 1q 2 3 (1,2)v 2 3 2q 2 3 (2,2)v 2 3

              (3.4) 
+ k (v)
 (2 , 3)F(2,3)v (
3 q 2 , 3) = m2v (2 , 3),
 q

k (v) ( , )F ( , ) + k (v)
 2 3 (1,3)v 2 3  ( , )F ( , ) +
 1 q 2 q 2 3 (2,3)v 2 3
 
+ k (v)
 (
3 2 , 3)F(3,3)v (2 , 3) = m3v (2 , 3).

q q
 
В роботі [3] наведені результати обчислень вагових коефіцієнтів при 
сумісній оцінці параметрів {2, 3}. Отже 
 
k (v) 1
( , ) = 3 4,5
 2 3 2  3(1+1,5 2
1 2 3 ) , 
3
k (v) 1 1 1
 (2 , 4 (v) 3,5
3) = 62 ,  k  (2 , 3) = − 32 (1+  2 )
2 3 3 .     (3.5) 
2  2
3 3 2
 
Аналогічно коефіцієнти рівняння (3.3) мають вид 
 
k (v) 1
 ( 5,5 2
1 3 2 , 3) = 32 (3 3 − 2) , 
3
 
1
k (v) ( , ) = − 6 5 k (v) 1
( , ) =  4,5 2
2 2 3 2 3 ,        3 2 3 2 (2 − 3 ) .        (3.6) 
3  3
3 3
де 
 = 36(4−8 2
3 2 3 −3 4
3 ) . 
 
Використовуючи чисельні методи легко обчислити оцінку векторного 

параметра ={A,2 , 3} з системи рівнянь (3.3) з ваговими коефіцієнтами (2.9), 
(3.5) та (3.6). 
Розглянемо блок-схему адаптивного вимірювача амплітуди радіосигналу 
при асиметричній заваді 1-го типу при квадратичній обробці основної та кубічній 
обробці навчальної вибірки (рисунок 3.1). Оскільки кількість невідомих 
параметрів дорівнює трьом, то алгоритм розбивається на три канали, кожний з 
яких відповідає за формування відповідного рівняння максимізації поліному виду 
(3.3). На два входи вимірювальної системи подаються неперервні сигнали y(t)  і 
x(t) , які за допомогою дискретизатора (Д) трансформуються у дві числові 
 
послідовності (вибірки) Y ={y1, y2 ,..., ym}  та X ={x1, x2 ,..., xn}  відповідно об’ємом 
m  та n . Перший масив чисел, так звана основна вибірка, яка містить в собі 
інформацію про корисний сигнал, буде використовуватися для формування 
першого рівняння. Другий масив чисел, так звана навчальна вибірка, яка містить в 
собі інформацію лише про заваду каналу зв’язку, буде використовуватися для 
формування другого і третього рівнянь. В першому каналі вибіркові значення yv  
в блоці перемножувача піддаються квадратичній обробці y2
v , після чого лінійне і 
квадратичне значення надходять на відповідні блоки віднімання, на виході яких 
 
обчислюються значення yv −m1v ( )  і y2
v −m2v ( ) . Далі ці значення множаться 
 
на вагові коефіцієнти k (v) (v)
1A ( )  та k2A ( )  виду (2.9), після чого усереднюються в 
блоках обчислення середнього арифметичного, а вихідні дані потрапляють на два 
входи суматора.  
Вибіркові значення xv  за допомогою перемножувачів піддаються 
квадратичній x2
v  та кубічній x3
v  обробці. Нелінійні значення x2
v  та x3
v  надходять 
на відповідні блоки віднімання, на виході яких обчислюються значення x2
v − 2  і 
x3 − 1,5
v 2  3 . В якості початкових (грубих) значень параметрів 2  і  3  можна взяти 
їх оцінки, знайдені, наприклад, методом моментів. Далі величини x 2
v , xv − 2  та 
x3
v − 
1,5
2  3  одночасно подають в другий та третій канали, де вони множаться на 
відповідні вагові коефіцієнти виду (3.5) і (3.6). в кожному з каналів отримані 
добутки усереднюються, а отримані статистики подаються на три входи 
відповідного суматора.  
З виходів суматорів кожного з каналів дані подають в спеціалізований 
пристрій розв’язку системи нелінійних рівнянь виду (3.1)-(3.3), з отриманням на 

його виході оцінки векторного параметру ={A,2 , 3}. 
В блок-схемі, представленій на рисунку 3.1, використовуються наступні 
позначення: 
  
 
x(t)          Д          xv  Блок, що виконує дискретизацію (дискретизатор) 
 безперервного випадкового процесу;  
xv                    x    Блок, що обчислює середнє арифметичне дискретних числових 
1
   значень, що поступають на його вхід (складається з суматора та 
n
 пристрою нормування на об'єм вибірки);  
  
a   
                     c 
    Блок, що обчислює добуток двох числових значень a та b ; 
b 
 c = ab  
 
a  
 
           +           c 
 Блок, що обчислює суму двох числових значень a та b ; 
   
b 
 c = a + b  
 
a 
 
          _
 
            c 
  Блок, що обчислює різницю двох числових значеньb  та a; 
b 
 c = b−a  
 
  
F (x)   Р  П               Розв’язувальний пристрій (сигнальний процесор) - блок, що 
 здійснює розв’язок нелінійного рівняння або системи 
 нелінійних рівнянь з отриманням оцінки на його виході.  
 
Для знаходження дисперсії оцінки амплітуди радіосигналу при 
використанні навчальної вибірки скористаємося виразом (2.30). Запишемо 

елементи матриць кількості добутої інформації про параметр ={A,2 , 3} і 
{2, 3} відповідно. 
Маємо 
(1,1) m
J 2m (A,2 , 3 ) = , 
2 (2 − 2
3 )
 
m
J (1,2) 
(A, , ) = 3
2m 2 3 cos(v +) = 0 ,                            (3.7) 
1,5
2 ( 2
3 − 2) v=1
 
J (1,3)
2m (A,2, 3) = 0  
 
J (2,2) n 3 4
3n (2 , 3) = 2 (8− 6 2 4
3 − 3 3 ) , 
3 4
 
J (2,3) (3,2) n 3
( 5 2
3n 2 , 3) = J3n (2 , 3) = − 2 (2 + 3 ) .                            (3.8) 
3 2
 
J (3,3) n
3n (2 , 3) =  6 (2 − 2
2 3 ) .             
3
 
 
 
 
 
Рисунок 3.1 – Структурна схема адаптивного оцінювання амплітуди  радіосигналу при асиметричній заваді 
1-го типу при квадратичній обробці основної та кубічній обробці навчальної вибірок 
Тоді 
2 (1,1) −1 2 (2 − 2
 3 )
ˆ = [J 2m (A,2 , 3 )] = .                           (3.9) 
23A m
 
Для позначення дисперсії вводиться подвійна індексація, перша цифра якої 
вказує на те, при якому ступені поліному опрацьовувалася основна вибірка, а 
друга цифра інформує про ступінь поліному, що застосовувався для опрацювання 
навчальної вибірки.  
При порівнянні виразів (3.9) і (2.11) можна зробити висновок, що дисперсія 
оцінки параметра A  при використанні навчальної вибірки збігається з дисперсією 
відповідної оцінки при відомих параметрах асиметричної завади 1-го типу.  
 
 
 
 
 
3.3 Адаптивний алгоритм оцінювання амплітуди радіосигналу при 
асиметричній заваді 1-го типу при кубічній обробці основної та 
навчальної вибірок 
 
Згідно з методом максимізації поліному сумісна оцінка амплітуди 
радіосигналу та параметрів асиметричній заваді 1-го типу при використанні 
навчальної вибірки при ступені поліному s = 3  знаходиться із сумісного розв’язку 
двох останніх рівнянь (3.3) і рівняння виду 
 
m  m 
k (v)
1A ( )[yv − S ]+ k (v) ( )[y2 2
v  2A v − Sv − 2 ]+
v=1 v=1
                       (3.10) 
m 
+ k (v)
 3A ( )[y3 − S3
v v − 3Sv2 − 
1,5 ]  
2 3 ˆ = 0.
 =
v=1
 
Трійки коефіцієнтів k (v) ( , (v)
 2 3)  k  ( , (v)
2 3)  та k  (2 , )  k (v) ( , )  
1 2 3 2 1 3 3 3 3 2 3
рівнянь (3.3) мають відповідно вид (3.5) і (3.6). Трійка коефіцієнтів 
 
k (v)
1A ( )  k (v)
3A ( )  рівняння (3.10) вже знайдена в пункті 2.3 і описуються виразом 
(2.16). 
Знаходження оцінки шуканого векторного параметру  в явному вигляді є 
дуже громіздкою задачею, тому доцільніше використовувати чисельні методи. 
Блок-схема адаптивного алгоритму оцінювання амплітуди радіосигналу при 
асиметричній заваді 1-го типу при кубічній обробці основної та навчальної 
вибірок практично співпадає з блок-схемою алгоритму знаходження оцінки при 
квадратичній обробці основної та кубічній обробці навчальної вибірок. 
Відмінність полягає у тому, що в першому каналі додатково обчислюються 

значення y3 , після чого – величина y3
v v −m3v ()  і множення останньої на 

(v)
множник k3A ( )  і подальшого усереднення і подачі додаткової статистики на 
суматор першого каналу.  
Для знаходження асимптотичних властивостей оцінки амплітуди 
радіосигналу при використанні навчальної вибірки скористаємося виразом (2.30). 

Елементи матриці кількості добутої інформації про параметр ={A,2 , 3} з 

вибірки Y ={y1, y2 ,..., ym}  відповідно мають вид 
 
(1,1) m(2 − 3 2 )
J3m (A,2 , 3
3) = , 
 (4 −8 2 4
2 3 − 3 3 )
 
J (1,2)
3m (A, , (1,3)
2 3) = J3m (A,2, 3) = 0 ,                                     (3.11) 
 
а елементи матриці кількості добутої інформації про параметр {2, 3} з вибірки 

X ={x1, x2 ,..., xn}  відповідно мають вид (3.8). 
Знаходячи зворотну матрицю, запишемо дисперсію оцінки амплітуди 
радіосигналу. Маємо 
 
2  (4 −8 2 − 3 4 )
 ˆ = [J (1,1) (A, −1 2 3 3
3m 2 , 3)] = .                           (3.12) 
33A
m(2 − 3 2
3 )
 
При порівнянні виразів (3.12) і (2.20) бачимо, що дисперсія оцінки 
амплітуди радіосигналу A  при використанні навчальної вибірки збігається з 
дисперсією відповідної оцінки, найденої по основній некласифікованій вибірці. 
Вирази для дисперсій будуть збігатися у разі, якщо кореляційний зв’язок 
між параметрами завади і корисного сигналу відсутній, тобто, якщо 
J (1,2)
sm (A,2 , 3) = J (1,3)
sm (A,2 , 3) = 0 . При цьому точність оцінки параметра A  не 
залежить від ступеня опрацювання навчальної вибірки.  
Кількісна зміна величини дисперсії оцінки параметра A  в залежності від 
ступеня нелінійності опрацювання основної та навчальної вибірок описується 
коефіцієнтом ефективності 
 2
pr prAˆ
g ˆ = .                                                 (3.13) 
qb( A)  2
qbAˆ
 
Але, як зазначалося вище, дисперсія оцінки амплітуди радіосигналу може не 
залежати від ступеня опрацювання навчальної вибірки, тоді для скорочення 
pr
запису коефіцієнт ефективності g ˆ  записується у вигляді g ˆ . Порівняємо 
qb( A) pq( A)
величини дисперсій оцінки Â , знайдених при ступенях опрацюванні основної 
вибірки s = 2  і s = 3  відповідно. Маємо  
 
(4 − 8 2 − 3 4 )
g = 3 3
ˆ .                                      (3.14) 
32( A)
(2 − 3 2
3 )( 2
3 − 2)
 
 
Рисунок 3.2 – Залежність ефективності оцінок амплітуди радіосигналу, знайдених 
при ступенях поліному s = 3,4,5 , порівняно з результатами, отриманими при 
ступені поліному s = 2  
На рисунку 3.2 побудовано графік, що описується виразом (3.14). Очевидно, 
що розглядувана функція є парною відносно аргументу  3 , тому приведено її 
поведінку для додатних значень коефіцієнта асиметрії  3 . З графіка видно, що 
чим більше розподіл завади відрізняється від гауссівського ( 3 →0,656), тим 
оцінка амплітуди радіосигналу, знайдена методом максимізації поліному при 
ступені поліному s = 3  з використанням навчальної вибірки ефективніша за 
відповідну оцінку, знайдену при ступені поліному s = 2 . 
 
 
3.4 Адаптивний алгоритм оцінювання амплітуди радіосигналу при 
асиметричній заваді 1-го типу при обробці основної та навчальної 
вибірок при s=4 
 
Як і раніше будемо вважати, що в розпорядженні спостерігача є дві вибірки: 
 
основна Y ={y1, y2 ,..., ym}  об’ємом m  та навчальна X ={x1, x2 ,..., xn}  об’ємом n . 
Тоді згідно з модернізованим методом максимізації поліному, описаним в пункті 
2.4 сумісна оцінка параметрів A  (за основною вибіркою) та 2 , 3  (за навчальною 
вибіркою) може бути знайдена з сумісного розв’язку рівнянь максимізації 
поліному виду 
m  m 
(v) (v)
k 2 2
 1A ( )[yv − Sv ]+k2A ( )[yv − Sv − 2 ]+
v=1 v=1
m 
(v)
+k3A ( )[y3 − S 3 − 3S  − 1,5
v v v 2 2  3 ]+                   (3.15) 
v=1
m 
(v)
+ k ( )[y4 − S 4 − 6S 2 − 4S 1,5 2
  
4A v v v 2 v 2  3 − 32 ] ˆ = 0;
=
v=1
 
n n
(v) (v)
k (2 , 3 )xv +k (2 , 3 )[x2
v − 2 ]+
12 22
v=1 v=1
(3.16) 
n n
(v) (v)
+ k ( , )[x3 − 1,5
 2 3 v 2  3 ]+k (2 , 3)[x4
v − 3 2
2 ] 2=ˆ3 4 2 = 0;
2 2  3=ˆv=1 v=1 3
 
n n
(v)
k (  (v)
, )x + k ( , )[x2 −  ]+
1 3 2 3 v  2 3 2 3 v 2
v=1 v=1
(3.17) 
n n
(v)   3 1,5 (v)
+k ( 2 , 3 )[xv − 2 3]+k (2 , 4
3)[xv − 3 2 ]  =ˆ = 0.
3 4 2 2
3 3 2
 =ˆ
v=1 v=1 3 3
 
Коефіцієнти кожного з трьох рівнянь знаходяться з сумісного розв'язання 
відповідних чотирьох лінійних алгебраїчних рівнянь виду (2.2). Діючи аналогічно 
попереднім пунктам запишемо в кінцевому вигляді коефіцієнти рівняння (3.15). 
Маємо 
 
 1
k (v)
1A ( ) = 36Bv
7,5
2 (20A3B3
v
3 − 6A3B3 5
3 v 3 +12A2B2 0,5 2
v 2  3 +
4
+ 54A2B2 0,5 4
v 2 3 + 8ABv2 3 − 72AB  3
v 2 3 + 90AB 5
v2 3 −  
−151,5 6 − 401,5 4 − 481,5
2 3 2 3 2  2 + 81,5
3 2 ),
 

(v) 1
k ( ) = 36B  7,5
2A v 2  (9A2B2
3 v 
4
3 − 30A2B2 2
v 3 −
4                   (3.18) 
−12AB  0,5 −54AB  0,5 3 − 45  4
v 2 3 v 2 3 2 3 + 36 2
2 3 − 42 ),

(v) 1
k3A () = 72B 7,5 2
v2 3 (10AB 3
v3 − 3ABv3 + 90,52 + 20,5
2 3 2 ),  
4
 

(v) 1
k () = 18B 7,5 3 2
4A v2 3 (33 −10) . 
4
 
В роботі [3, с.28, с.42] наведені результати обчислень вагових коефіцієнтів 
рівнянь (3.16) і (3.17) при ступені поліному s = 4 . Коефіцієнти рівняння (3.16) 
мають вид 
 
(v) 1
k ( , ) = 18 8,5
2 3 2  3 (4 + 50 2
3 +15 4
3 ),
  
1 2 4
 
(v) 1
k (2 , 3 ) = 144 8
2 (1− 6 2
3 ),
                                         (3.19) 
2 2 4
 
(v) 1
k (2 , 3 ) = − 18 7,5 4 2
32 2  3 (15 3 +14 3 + 4),  
4
(v) 1
k ( , ) = 18 7 2 (3 2 + 4)
4 2 3 2 3 3 . 
2 4
 
Вирази для коефіцієнтів рівняння (3.17) мають вид: 
 
(v) 1
k (2 , 3 ) = 36 9,5
2 (25 4
3 −10 2
3 − 4),
  
1 3 4
 
(v) 1
k (2 , 3 ) = 72 9
2 3(4 −15 2 ),
 3                                      (3.20) 
2 3 4
 
(v) 1
k ( , ) = 12 8,5 (−15 4 + 22 2
2 3 2 3 3 + 4),  
3 3 4
 
(v) 1
k ( , ) = 72 8 ( 2 −1) , 
4 3 2 3 2 3 3
4
 
В коефіцієнтах (3.18)-(3.20) величина  4  - об’єм тіла розмірністю 4 
асиметричної випадкової величини 1-го типу, рівний 
 
4 = 3610
2 (8− 402
3 − 456
3 ) .                                   (3.21) 
 
Підставляючи отримані вагові коефіцієнти (3.18)-(3.21) у відповідні 
рівняння (3.15)-(3.17) одержимо систему, в якій перше рівняння є функцією від 
трьох оцінюваних параметрів, а решта рівнянь залежатиме лише від параметрів 
асиметричної завади 1-го типу. Зазначимо, що при ступені поліному s = 4  
існують лише чисельні методи розв’язку рівнянь максимізації поліному.   
Блок-схема адаптивного алгоритму оцінювання амплітуди радіосигналу при 
асиметричній заваді 1-го типу при біквадратній обробці основної та навчальної 
вибірок аналогічна за принципом побудови з блок-схемою алгоритму 
знаходження оцінки при кубічній обробці основної та навчальної вибірок. Беручи 

за базовий варіант блок-схему алгоритму знаходження оцінки  = {A,2 , 3} при 
ступені поліному s = 3  і доповнюючи її пристроями, що формують статистики в 
кожному з каналів 
m 
(v)
1) k4A ( )[ y4
v − S 4 2 1,5 2
v − 6Sv 2 − 4Sv2  3 − 32 ]; 
v=1
n
(v)
2) k (2 , 3 )[x4 2
v − 32 ]; 
42
v=1
n
(v)
3) k (2 , 3 )[x4
v − 3 2
2 ]  
4 3
v=1
отримаємо технічну реалізацію шуканого алгоритму оцінки векторного параметру 

 = {A,2 , 3} при ступені поліному s = 4 . 
(v)
Використовуючи коефіцієнти kiA (A,2 , 3) , i = 1,4  виду (3.18) і похідні 
(1.25)-(1.27) знайдемо елементи першої строки матриці кількості добутої 

інформації про векторний параметр  = {A,2 , 3}, що міститься у основній 

вибірці Y ={y1, y2 ,..., ym}  об’ємом m . Маємо 
 
(1,1) m
J 4m (A, , ) = 18 9 2
2 3 2 (8− 36 3 − 6 4
3 − 9 6
3 ) ,                (3.22) 
4
 
(1,2)   (1,3)
J 4m (A, 2 , 3) = J 4m (A,2 , 3) = 0 . 
 
Використовуючи коефіцієнти виду (3.19), (3.20), а також похідні виду (1.23) 
і (1.24) знайдемо елементи матриці кількості добутої інформації про векторний 

параметр {2 , 3} , що міститься у навчальній вибірці X ={x1, x2 ,..., xn}  об’ємом 
n . Використовуючи результати роботи [3, 174] запишемо 
 
(2,2) n
J 8 2 4
4n (2 , 3 ) = 92 (16 − 60 3 − 6 3 − 45 6
3 ) , 
4
 
(2,3) (3,2) n
J 4n (2 , 9 2 4
3 ) = J 4n (2 , 3 ) = − 182 (4 +14 3 +15 3 ) ,               (3.23) 
4
 
(3,3) n
J ( , ) = 1210
4n 2 3 2 (4 + 22 2 4
3 −15 3 ) . 
4
 
(1,2) (1,3)
Оскільки елементи J 4m (A,2 , 3) = J 4m (A,2 , 3) = 0 , то дисперсія 
оцінки амплітуди радіосигналу дорівнює 
 
2 1 2 2(8− 40 2
3 − 45 6
3 )
 ( A)44 = = .              (3.24) 
J (1,1) m
4m (A,2 , 3) (8− 36 2
3 − 6 4
3 − 9 6
3 )
 
Очевидно, що аналогічний результат було б отримано у випадку скалярної 
оцінки амплітуди радіосигналу при відомих параметрах адитивної асиметричної 
завади 1-го типу. Порівнюючи вираз (3.24) з виразами (3.9) і (3.12) видно, що 
дисперсія оцінки параметра A , знайдена при ступені поліному s = 4  істотно 
відрізняється від дисперсій оцінок, знайдених при s = 2,3.  
Кількісні зміни величини дисперсії з ростом ступеня полінома, як і раніше, 
описуються коефіцієнтом ефективності  
2(8− 40 2 − 45 4 )
g = 3 3
( A)42 ,                                    (3.25) 
(8− 36 2 − 6 4
3 3 − 9 6
3 )(2 − 2
3 )
 
2(8 − 402
3 − 454
3 )(2 − 32 )
g(A)43 =
3 .                          (3.26) 
(8 − 362 − 64
3 3 − 96 2 4
3 )(4 − 83 − 33 )
 
Як видно з виразів (3.25) і (3.26) ефективність оцінки Â  не залежить ні від 
параметрів сигналу ні від дисперсії завади, а залежить тільки від значення 
коефіцієнту асиметрії. На рисунках 3.2 та 3.3 представлені графіки залежності 
відповідних ефективностей оцінки параметра A  від істиного значення 
коефіцієнту асиметрії 3 .  
 
Рисунок 3.3 – Залежність ефективності оцінок амплітуди радіосигналу, знайдених 
при ступенях поліному s = 4,5 , порівняно з результатами, отриманими при 
ступені поліному s = 3 
 
У випадку, коли коефіцієнт асиметрії завади строго дорівнює нулю, 
дисперсії оцінок, знайдених при ступенях поліному s = 4  і s = 2 , співпадають. 
При невеликій відмінності значень  3  від нуля точність оцінювання параметра A  
поліпшується незначно. Але при впливі завад з великим значенням коефіцієнту 
асиметрії, а саме при 3 →0,438 , ефективність оцінки Â  можу буть досить 
високою. 
Залежність коефіцієнта ефективності оцінки g( A)43  від істинних значень 
коефіцієнта асиметрії завади 3  якісно збігається з поведінкою функції g( A)42 ( 3 ) .  
3.5 Адаптивний алгоритм оцінювання амплітуди радіосигналу при 
асиметричній заваді 1-го типу, оптимальний в класі 
поліноміальних перетворень п’ятого ступеня  
 
Адаптивний алгоритм оцінювання амплітуди радіосигналу при 
асиметричній заваді 1-го типу при використанні навчальної вибірки, оптимальний 
в класі поліноміальних перетворень п’ятого ступеня описується системою рівнянь 
виду   
m   m  
(v) (v)
k 2
 1A ( )[yv −m1v ( )]+k2A ( )[yv −m2v ( )]+
v=1 v=1
m   m  
(v)  3  (v)
+k3A ( )[yv −m3v ( )]+k4A ( )[y4
v −m4v ( )]+               (3.27) 
v=1 v=1
m  
(v)
+ k ( )[y5
  
5A v −m5v ( )] ˆ = 0;
=
v=1
 
n n
(v)   (v)
k ( , )x + 2
1 2 3 v k ( , )[x −  ]+
2 22 2 3 v 2
v=1 v=1
n n
(v)
+k (2 , 3 )[x3
v − 
1,5 (v)
]+ 4
2 3 k (2 , 3 )[xv − 3 2
2 ]+      (3.28) 
32 42
v=1 v=1
n
(v)
+ k ( , )[x5
 2 3 v − 
2,5 3 ] 2 =ˆ52 2 2 = 0;
 =ˆ
v=1 3 3
 
n n
(v)   (v)
k ( 2 , 3 )xv +k ( , )[x2 −  ]+
1 3 2 3 2 3 v 2
v=1 v=1
n n
(v)   3 1,5 (v)
+k ( 2 , 3 )[xv − 2 3 ]+k (2 , 3 )[x4
v − 3 2
2 ]+       (3.29) 
3 3 4 3
v=1 v=1
n
(v)
+ 5 2,5
k (
5 3 2 , 3 )[xv −  ˆ
2  3 ] 2 =2 = 0.

v=1 3=ˆ3
 
Коефіцієнти кожного q -го рівняння знаходяться з розв’язку системи 
лінійних алгебраїчних рівнянь виду (2.2).  
Легко показати, що розв’язуючи відповідну п’ятірку лінійних алгебраїчних 
рівнянь, оптимальні коефіцієнти першого рівняння виду (3.27) можна представити 
у вигляді 
 

(v)
k 4 4 3 3 2 2
1A () = a1[A Bv b1 + 4A Bv c1 + 24A Bv d1 + 4ABv e1 + f1] , 
 

(v)
k2A () = −2a [A3
1 B3
v b1 + 3A2B2
v c1 +12ABv d1 + e1] ,                    (3.30) 
 

(v)
k3A () = 2a1[A2B2
v b1 + 2ABv c1 + 4d1] ,  
 
 
(v) (v)
k4A () = −a1[ABv b1 + c1] ,      k5A () = a1b1 / 5 . 
 
Для компактності у коефіцієнтах (3.30) зроблені наступні позначення: 
 
1080
a1 = Bv
12
2 ,        b 4
1 = 53 (28−362
3 −94
3 ) , 
5
 
c1 = 2 
3 2 4
3 (20 +1743 −1353 ) , 
 
d1 =  2
2 3 (2−362
3 +1354
3 ) , 
 
e = 1,5 (8−1122 −3404 +8556 −1808
1 2 3 3 3 3 3 ),  
 
f = 2 (−12158
1 2 3 − 27606
3 +8604
3 −3522
3 +32), 
 
 = 216015 (16−1602 + 2204 − 4206 −10358 +13510
5 2 3 3 3 3 3 ). 
 
В роботі [3, с.30, с.43] наведені результати знаходження оптимальних 
коефіцієнтів другого та третього рівнянь при ступені поліному s = 5 . Коефіцієнти 
рівняння (3.28) мають вигляд: 
 
(v) 540
k ( 13,5 8 6 4 2
12 2 , 3 ) = 2  3(180 3 +1545 3 + 690 3 −180 3 +16) , 
5
 
(v) 1080
k ( , 13
2 3 ) = 2 (16 −176 2
3 − 200 4
3 +150 6
3 −135 8 )
2 3 , 
2 5
 
(v) 1080
k ( , ) = 12,5 (−8+112 2 − 220 4
2 3 2 3 3 3 − 465 6
3 + 45 8
3 )
 ,   (3.31) 
3 2 5
 
(v) 540
k ( , ) = 12 2
2 3 2 3 (16 +132 2 +120 4 6
42 3 3 − 45 3 ) , 
5
 
(v) 540
k ( , ) = 11,5 3(27 4 − 6 2 − 20)
 2 3 2 3 3 3 . 
5 2 5
 
Коефіцієнти рівняння (3.29) дорівнюють 
 
(v) 1080
k (2 , 3 ) = 14,5
2 (−120 8
3 +1085 6
3 −1050 4
3 + 220 2
1 3 3 −16) , 
5
 
(v) 2160
k (2 , 3 ) = 14
2  3(16 +160 2
3 − 620 4
3 + 75 6
 3 ) ,          (3.32) 
2 3 5
 
(v) 720
k ( 13,5 2 4 6
2 , 3 ) = 2 (8−176 3 + 860 3 − 465 3 + 45 8
3 )
3 , 
3 5
 
(v) 1080
k ( , ) = − 13 2 4
2 3 2  3 (8+ 72 3 −130 3 +15 6
 3 ) , 
4 3 5
 
(v) 1080
k ( , ) = 12,5 2 (12 − 26 2 + 3 4 )
 . 
5 3 2 3 2 3 3 3
5
 
̂
Оцінки векторного параметру   при ступені поліному s = 5  при 
застосуванні навчальної вибірки знаходиться шляхом розв’язку систему рівнянь 
максимізації поліному виду (3.27)-(3.29) з оптимальними коефіцієнтами (3.30)-
(3.32) чисельними методами. 
Блок-схема адаптивного алгоритму оцінювання амплітуди радіосигналу при 
асиметричній заваді 1-го типу, оптимального в класі поліноміальних перетворень 
п’ятого ступеня є модернізацією блок-схеми алгоритму знаходження оцінки 
відповідного векторного параметру при обробці четвертої степені основної та 
навчальної вибірок. Доповнення попередньої схеми полягає в тому, що 
добавляються пристрої, що відповідають за формування додаткових статистик 
п’ятого ступеня. 
(v)
Використовуючи коефіцієнти kiA (A,2 , 3) , i = 1,4  виду (3.30) і похідні 
(1.25)-(1.27) знайдемо елементи першої строки матриці кількості добутої 

інформації про векторний параметр  = {A,2 , 3}, що міститься у основній 

вибірці Y ={y1, y2 ,..., ym}  об’ємом m . Маємо 
 
(1,1) m
J (A, , ) = 1080 14 2 4 6
5m 2 3 2 (16 −152 3 +168 3 − 378 3 − 405 8
3 ) , 
5
 
(1,2)
J5m (A,2 , (1,3)
3) = J5m (A,2 , 3) = 0 ,                            (3.33) 
 
Використовуючи коефіцієнти виду (3.31), (3.32), а також похідні виду (1.23) 
і (1.24) знайдемо елементи матриці кількості добутої інформації про векторний 

параметр {2 , 3} , що міститься у навчальній вибірці X ={x1, x2 ,..., xn}  об’ємом 
n . Використовуючи результати роботи [3, с.175] запишемо 
 
(2,2) n
J5n (2 , 3 ) = 54013
2 (32 − 280 2 + 228 4
3 3 −
5  
− 390 6
3 −1260 8
3 +135 10
3 ),
 
(2,3)   (3,2)
J5n ( 2 , 3 ) = J5n (2 , 3 ) =
n            (3.34) 
= − 108014 (8−12 2
2 3 3 + 250 4 6 8
3 + 330 3 − 45 3 ),
5
 
(3,3) n
J5n (2 , 3 ) = 72015
2 (8+ 4 2
3 + 470 4
3 − 420 6 + 45 8
3 3 ) . 
5
 
Оскільки елементи матриці кількості добутої інформації, що описують 
кореляційний зв’язок (взаємозалежність) між параметрами корисного сигналу і 
параметрами адитивної асиметричної завади 1-го типу 
(1,2)   (1,3)
J5m (A, 2 , 3) = J5m (A,2 , 3) = 0 , то дисперсія оцінки амплітуди радіосигналу 
знаходиться так 
 
1
 2
( A)55 =  
(1,1)
J5m (A,2 , 3 )
або 
2 2 2(16−160 2
3 + 220 4
3 − 420 6
3 −1035 8
3 +135 10
 3 )
( A)55 = .      (3.35) 
m 16−152 2
3 +168 4
3 − 378 6
3 − 405 8
3
 
Вираз (3.35) співпадає з з величиною дисперсії скалярної оцінки амплітуди 
радіосигналу при відомих параметрах адитивної асиметричної завади 1-го типу. 
Порівнюючи вираз (3.35) з виразами (3.9), (3.12) і (3.24) видно, що дисперсія 
оцінки амплітуди радіосигналу, знайдена при ступені поліному s = 5 , також 
прямо пропорційна дисперсії завади 2  і зворотно пропорційна об’єму вибірки 
m , але залежність від коефіцієнта асиметрії  3  має більш складний характер 
порівняно з дисперсіями оцінок, знайдених при ступенях поліному s = 2,3,4 .  
Легко показати, що відповідні коефіцієнти ефективності оцінки Â  мають 
вид 
 
2(16−160 2
3 + 220 4
3 − 420 6 −1035 8 +135 10 )
g 3 3 3
( A)52 = ,        (3.36) 
(16−152 2 +168 4 − 378 6
3 3 3 − 405 8
3 )(2 − 2
3 )
 
2(16−160 2
3 + 220 4 6
3 − 420 3 −1035 8 10 2
g 3 +135 3 )(2 − 3 3 )
( A)53 = ,    (3.37) 
(16−152 2
3 +168 4
3 − 378 6
3 − 405 8
3 )(4 −8 2
3 − 3 4
3 )
 
(16−160 2 + 220 4 − 420 6
3 3 3 −1035 8
3 +135 10 2 4 6
3 )(8− 36 3 − 6 3 − 9 3 )
g( A)54 = . 
(16−152 2
3 +168 4
3 − 378 6
3 − 405 8
3 )(8− 40 2
3 − 45 6
3 )
(3.38) 
Всі коефіцієнти ефективності залежать лише від парних ступенів 
коефіцієнта асиметрії, отже функція g( A)5s  - парна (симетрична відносно осі 
ординат). На рисунках 3.2-3.4 наведені графіки залежності коефіцієнтів 
ефективностей оцінки параметра A , що відповідно описуються виразами (3.36)-
(3.38), від істиних значень 3 .  
Якісний характер всіх трьох кривих збігається, кількісна ж відмінність 
полягає у тому, що чим більша різниця між ступенями поліному тим виразніше 
проявляється виграш у точності опрацювання сигналу при впливі завад з 
невеликою асиметрією. З іншого боку (рисунок 3.4) підвищенні точнісні 
характеристики алгоритму при s = 5  порівняно з алгоритмом при s = 4  будуть 
проявлятися лише за умови, що коефіцієнт асиметрії прагне до межі своєї області 
визначення, тобто при  3 →0,335. 
 
 
Рисунок 3.4 – Залежність ефективності оцінок амплітуди радіосигналу при s = 5 
порівняно з s = 4  
 
ВИСНОВКИ 
 
Дана магістерська робота присвячення розробці поліноміальних адаптивних 
алгоритмів оцінювання амплітуди радіосигналу, що приймається на фоні 
асиметричної завади 1-го типу. В розпорядженні дослідника є дві вибірки: 
основна і навчальна, в яких міститься інформації про корисний сигнал і адитивну 
заваду відповідно.  
Дана задача є актуальною, оскільки при проходженні сигналу через канал 
зв’язку, статистичні характеристики останнього можуть мінятися під низкою 
різних причин, тому алгоритм повинен адаптуватися під завадову обстановку. 
Крім того задано клас завади, а саме вона описується лише трьома параметрами: 
нульовим математичним сподіванням, дисперсією та коефіцієнтом асиметрії. Така 
модель завади є більш повною порівняно з гауссівською і більш адекватно описує 
реальні фізичні процеси, які існують в каналі зв’язку.  
Для порівняння отриманних результатів використовуються два алгоритми-
прототипи, які також синтезовані методом максимізації поліному, але для 
отримання оцінок використовується лише основна вибірка. Перший алгоритм 
дозволяє знаходити скалярну оцінку амплітуди радіосигналу при відомих 
параметрах асиметричної завади 1-го типу, другий алгоритм – спільну оцінку 
амплітуди радіосигналу і параметрів асиметричної завади 1-го типу. 
Передбачалося, що точність оцінки буде залежати від ступені поліному, при 
якому опрацьовується вибірка і об’ємів як основної так і навчальної вибірок. Але 
з’ясувалося, що при оцінці амплітуди радіосигналу на фоні асиметричної завади 
1-го типу дисперсії оцінок параметра A  не залежать від ступеня поліному для 
опрацювання навчальної вибірки і повністю ідентичні до відповідних дисперсій 
оцінок скалярного параметра A , знайдених при аналогічних ступенях поліномів. 
Це обумовлено тим, що на крок дискретизації вибіркових значень було накладено 
додаткові обмеження, які привели до відсутності кореляційних зв’язків 
(взаємозалежності) між параметрами корисного сигналу і завади.  
В роботі було синтезовано адаптивні алгоритми оцінювання амплітуди 
радіосигналу при асиметричній заваді 1-го типу, оптимальні в класі 
поліноміальних перетворень від третього до п’ятого ступенів. Додатково було 
синтезовано алгоритм, що оптимальний при квадратичній обробці основної та 
кубічній обробці навчальної вибірок та розглянуто його можливу технічну 
реалізацію у вигляді блок-схеми. Для кожного степеневого алгоритму знайдено і 
проаналізовано вирази, які описують їх точнісні властивості. В результаті аналізу 
встановлено, що з ростом ступеня поліному точністні характеристики 
покращуються. Виграш в точності опрацювання залежить лише від істинного 
значення коефіцієнта асиметрії завади і буде тим істотніше, чим помітніше 
коефіцієнт  3  відрізняється від нуля. 
Отримані результати можуть бути використані для вдосконалення існуючих 
радіотехнічних систем в умовах, коли на корисний сигнал діє адитивна завада, 
статистичний характер якої помітно відмінний від гауссівського за рахунок саме 
коефіцієнта асиметрії. 
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ 
 
1. Прокопенко І.Г. Статистична обробка сигналів: навч. посіб. Київ: НАУ, 2011. – 
220 с. 
2. Кунченко Ю.П. Полиномиальные оценки параметров близких к гауссовским 
случайных величин. Часть 1. Стохастические полиномы, их свойства и 
применение для нахождения оценок параметров. – Черкассы: ЧИТИ, 2001. – 
133 с.  
3. Кунченко Ю.П., Заболотний С.В. Полиномиальные оценки параметров 
близких к гауссовским случайных величин. Часть 2. Оценка параметров 
близких к гауссовским случайных величин. -Черкассы: ЧИТИ, 2001. - 251с.  
4. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ негауссовских случайных процессов и их 
преобразований. - М.: Сов. радио, 1978. – 376 с. 
5. Бабак В.П., Білецький А.Я., Приставка О.П., Приставка П.О. Статистична 
обробка даних/ Монографія. – Київ: «МІВВЦ», 2001. – 388 с. 
6. Кунченко Ю.П. Нелинейная оценка параметров негауссовских 
радиофизических сигналов. - К.: Вища школа, 1987. – 191 с. 
7. Васильєв В. М. Теорія ймовірностей в радіотехніці: підручник / В. М. 
Васильєв, С. Я. Жук. – Київ: КПІ ім. Ігоря Сікорського, 2023. – 362 с.
ChSTU repository

ChSTU repository preserves and enables easy and open access to all types of digital content including text, images, moving images, mpegs and data sets
