Адаптивні алгоритми оцінювання амплітуди радіосигналу при ексцесній заваді 1-го типу з використанням навчальної вибірки

Русаков, Микола Юрійович
Please use this identifier to cite or link to this item: https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/5848
Full metadata record
DC Field	Value	Language
dc.contributor.advisor	Гавриш, Олександр Степанович	-
dc.contributor.author	Русаков, Микола Юрійович	-
dc.date.accessioned	2025-07-08T14:08:48Z	-
dc.date.available	2025-07-08T14:08:48Z	-
dc.date.issued	2024	-
dc.identifier.uri	https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/5848	-
dc.description.abstract	Метою роботи є синтез адаптивних алгоритмів оцінювання амплітуди гармонічного сигналу разом з параметрами ексцесної завади першого типу (дисперсією і коефіцієнтом ексцесу). Об’єкт дослідження – процес вимірювання амплітуди гармонічного сигналу та параметрів ексцесної завади 1-го типу. Методи дослідження – методи теорії ймовірності та математичної статистики. В магістерській роботі для синтезу поліноміальних алгоритмів оцінювання параметрів використовується метод максимізації поліному при степенях поліному 4, 5 і 6. В середовищі MathCad, використовуючи блок символьних розрахунків, знайдено аналітичні вирази для оптимальних вагових коефіцієнтів рівнянь максимізації поліному при степенях 4, 5 і 6. При підстановці коефіцієнтів, отримані алгоритми характеризуються певною громіздкістю і складністю обчислення оцінок і можуть бути розв’язані лише чисельно. Проте, проаналізувати асимптотичні властивості алгоритмів вдається на підставі аналітичних виразів для їх дисперсій. Класичний алгоритм (використовується метод максимальної правдоподібності), оптимальний при гауссівській заваді, дозволяє спільно оцінити амплітуду гармонічного сигналу і дисперсію завади, але не враховує коефіцієнт ексцесу. При певних значеннях коефіцієнту ексцесу завади проявляються покращенні точнісні характеристики алгоритмів, синтезованих методом максимізації поліному, порівняно з класичними алгоритмами. Подальше покращення точності алгоритмів може бути досягнуто при збільшенні степені поліному на 1 або 2.	uk_UA
dc.language.iso	uk	uk_UA
dc.subject	метод максимізації поліному	uk_UA
dc.subject	негауссівська завада	uk_UA
dc.subject	гармонічний сигнал	uk_UA
dc.subject	дисперсія	uk_UA
dc.subject	коефіцієнт ексцесу	uk_UA
dc.title	Адаптивні алгоритми оцінювання амплітуди радіосигналу при ексцесній заваді 1-го типу з використанням навчальної вибірки	uk_UA
dc.type	Master Thesis	uk_UA
Appears in Collections:	172 Електронні комунікації та радіотехніка (Радіотехніка та робототехнічні системи)
Files in This Item:
File	Description	Size	Format
М_172_Русаков_Гавриш.pdf Restricted Access		1.14 MB	Adobe PDF	View/Open Request a copy
Show simple item record
Extracted text
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ 
ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ 
ФАКУЛЬТЕТ ЕЛЕКТРОННИХ ТЕХНОЛОГІЙ, АВТОТРАНСПОРТУ ТА 
МАШИНОБУДУВАННЯ 
КАФЕДРА РОБОТОТЕХНІЧНИХ І ТЕЛЕКОМУНІКАЦІЙНИХ СИСТЕМ ТА 
КІБЕРБЕЗПЕКИ 
 
До захисту допущено  
завідувач кафедри РТСК 
д.т.н., професор __________  
Володимир ПАЛАГІН  
"_____" грудня 2024 року 
 
 
Пояснювальна записка 
до випускної роботи 
освітнього ступеня «магістр» 
на тему: «Адаптивні алгоритми оцінювання амплітуди радіосигналу при ексцесній заваді 1-го 
типу з використанням навчальної вибірки» 
 
 Виконав студент 2 курсу, групи мРТ-36 
Спеціальність – 172 «Електронні комунікації та 
 радіотехніка» 
Освітня програма – «Радіотехніка та робототехнічні 
 системи» 
 РУСАКОВ Микола Юрійович 
 Керівник роботи ГАВРИШ Олександр 
 Рецензент ГАЛЬЧЕНКО Володимир 
 
 
Черкаси 2024 
Форма № Н-9.01 
Черкаський державний технологічний університет 
(назва вузу) 
Факультет електронних технологій, автотранспорту та машинобудування 
Кафедра Робототехнічних і телекомунікаційних систем та кібербезпеки 
Освітній ступінь магістр 
Спеціальність 172 -  Електронні комунікації та радіотехніка 
Освітня програма Радіотехніка та робототехнічні системи 
 ЗАТВЕРДЖУЮ 
 Завідувач кафедри РТСК 
 д.т.н., професор Володимир ПАЛАГІН 
   
 «  » вересня  2024 р. 
 
ЗАВДАННЯ 
на дипломний проект (роботу) студенту 
Русакову Миколі Юрійовичу 
(прізвище, ім'я, по батькові) 
1. Тема проекту (роботи) Адаптивні алгоритми оцінювання амплітуди радіосигналу при  
ексцесній заваді 1-го типу з використанням навчальної вибірки 
керівник проекту (роботи) Гавриш Олександр Степанович, к.ф.-м.н., доцент 
(прізвище, ім’я, по батькові, науковий ступінь, вчене звання) 
затверджена наказом по університету від «  »                          2024 р.  №  
2. Строк подання студентом проекту (роботи) 1 грудня 2024 р. 
3. Вихідні дані до проекту (роботи)  основна вибірка обсягом m;навчальна вибірка обсягом n 
радіосигнал з невідомою амплітудою; вид завади – ексцесна 1-го типу (з невідомими 
дисперсією та коефіцієнтом ексцесу). 
4. Зміст розрахунково-пояснювальної записки (перелік питань, які потрібно розробити)______ 
Вступ. 1. Оцінювання параметрів корисних сигналів на тлі завад. 2. Методи оцінювання  
параметрів неоднаково розподіленої випадкової величини. 3. Синтез поліноміальних  
адаптивних алгоритмів оцінювання амплітуди радіосигналу при ексцесній заваді 1-го типу з  
використанням навчальної вибірки. 4. Точнісні властивості адаптивних алгоритмів  
оцінювання параметру А при ексцесній заваді 1-го типу з використанням навчальної вибірки. 
Висновки.  Список використаної літератури 
5. Перелік графічного матеріалу (з точним зазначенням обов’язкових креслень)  
Презентація в Power Point обсягом 9 плакатів 
6. Консультанти з проекту (роботи) із зазначенням розділів проекту, що їх стосуються 
  Підпис, дата 
Розділ Прізвище, ініціали та посада  завдання         завдання 
консультанта видав прийняв 
    
    
    
    
    
    
    
 
7. Дата видачі завдання 04 вересня 2024 р. 
 
КАЛЕНДАРНИЙ ПЛАН 
№ Назва етапів дипломного                               С  т  р  о  к   виконання етапів      П   р имітка 
з/п проекту (роботи) проекту (роботи) 
1. Аналіз технічного завдання та огляд літератури 04.09.2024  
2. Розробка методики проведення дослідження 13.09.2024  
3. Розрахунок початкових моментів і центрованих    
 корелянтів ексцесної випадкової величини 05.10.2024  
4. Синтез обчислювальних алгоритмів оцінювання    
 амплітуди радіосигналу та параметрів    
 завади при s=4, 5, 6 15.10.2024  
5. Дослідження точності синтезованих алгоритмів   
 оцінювання амплітуди радіосигналу та параметрів    
 ексцесної завади 1-го типу 05.11.2024  
6. Оформлення пояснювальної записки 10.11.2024  
7. Оформлення плакатів 25.11.2024  
    
   
 
 Студент   РУСАКОВ Микола  
  (підпис) (прізвище та ініціали) 
Керівник проекту (роботи)   ГАВРИШ Олександр 
  (підпис) (прізвище та ініціали) 
 
ЗМІСТ 
Стор. 
Вступ 5 
1. ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ КОРИСНИХ СИГНАЛІВ НА ТЛІ  
ЗАВАД 7 
1.1 Постановка задачі оцінювання параметрів сигналів на тлі завад 7 
1.2 Математичні моделі різних видів завад 11 
1.3 Основні  властивості оцінок параметрів 18 
1.4 Математичні моделі розглядуваних випадкових послідовностей 21 
2. МЕТОДИ ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ НЕОДНАКОВО РОЗПОДІЛЕНОЇ  
ВИПАДКОВОЇ ВЕЛИЧИНИ 31 
2.1 Метод максимальної правдоподібності 31 
2.2 Метод найменших квадратів 34 
2.3 Метод максимізації поліному 36 
2.4 Синтез сумісного вимірювача амплітуди радіосигналу і параметрів  
ексцесної завади 1-го типу по основній вибірці 39 
3. СИНТЕЗ ПОЛІНОМІАЛЬНИХ АДАПТИВНИХ АЛГОРИТМІВ  
ОЦІНЮВАННЯ АМПЛІТУДИ РАДІОСИГНАЛУ ПРИ ЕКСЦЕСНІЙ  
ЗАВАДІ 1-ГО ТИПУ З ВИКОРИСТАННЯМ НАВЧАЛЬНОЇ ВИБІРКИ 44 
3.1 Постановка задачі 44 
3.2 Адаптивний алгоритм оцінювання параметра А при ексцесній заваді 1-  
го типу при квадратичній обробці основної та обробці навчальної  
вибірки при s=4 46 
3.3 Адаптивний алгоритм оцінювання параметра А при ексцесній заваді 1-  
го типу при кубічній обробці основної та біквадратній обробці  
навчальної вибірки при s=4 49 
3.4 Адаптивний алгоритм оцінювання параметра А при ексцесній заваді 1-  
го типу при обробці основної та навчальної вибірок при s=4 54 
  
  
  
3.5 Адаптивний алгоритм оцінювання параметра А при ексцесній заваді 1-  
го типу при застосуванні стохастичного поліному п’ятого ступеня для  
обробки основної вибірки 55 
3.6 Адаптивний алгоритм оцінювання параметра А при ексцесній заваді 1-  
го типу при застосуванні стохастичних поліномів шостого та  
четвертого ступенів для обробки відповідно основної та навчальної  
вибірок 59 
4. ТОЧНІСНІ ВЛАСТИВОСТІ АДАПТИВНИХ АЛГОРИТМІВ  
ОЦІНЮВАННЯПАРАМЕТРУ А ПРИ ЕКСЦЕСНІЙ ЗАВАДІ 1-ГО ТИПУ З  
ВИКОРИСТАННЯМ НАВЧАЛЬНОЇ ВИБІРКИ 61 
4.1 Метод аналізу точнісних властивостей адаптивних алгоритмів  
оцінювання параметру А при ексцесній заваді 1-го типу з  
використанням навчальної вибірки 61 
4.2 Дисперсія оцінки параметра А, знайденої сумісно з оцінками  
параметрів ексцесної завади 1-го типу, при квадратній обробці основної  
та обробці навчальної при s=4 вибірок 70 
4.3 Дисперсія оцінки параметра А, знайденої сумісно з оцінками  
параметрів ексцесної завади 1-го типу, при кубічній обробці основної  
та обробці навчальної при s=4  вибірок 72 
4.4 Дисперсія оцінки параметра А, знайденої сумісно з оцінками  
параметрів ексцесної завади 1-го типу, при обробці основної та  
навчальної вибірок при s=4 74 
4.5 Дисперсія оцінки параметра А, знайденої сумісно з оцінками  
параметрів ексцесної завади 1-го типу, при застосуванні стохастичного  
поліному п’ятого ступеня для обробки основної вибірки 75 
4.6 Дисперсія оцінки параметра А, знайденої сумісно з оцінками  
параметрів ексцесної завади 1-го типу, при застосуванні стохастичного  
поліному п’ятого ступеня для обробки основної вибірки 78 
Висновки 79 
Список використаної літератури 81 
 
 
ВСТУП 
 
У більшості робіт, присвячених обробці випадкових процесів в різних 
статистичних задачах радіотехніки й теорії зв'язку, як модель спостережуваного 
процесу використовується адитивна суміш корисного сигналу й гауссівської 
завади. Гіпотеза про гауссовість спостережуваного процесу дозволило розв’язати 
або значно спростити багато важливих задач статистичної радіотехніки. Однак у 
ряді випадків припущення про гауссовість спостережуваного процесу не цілком 
коректна. Насамперед це відноситься до поширення хвиль різної фізичної 
природи у слабо однорідному та нелінійному середовищах, після нелінійних 
перетворень вхідного випадкового сигналу різними радіотехнічними пристроями. 
Як правило, такі спостережувані випадкові процеси відрізняються від гауссівської 
моделі [5]. 
Повним і вичерпним способом опису випадкових величин і процесів є опис 
за допомогою функцій розподілу, щільності розподілу або характеристичної 
функції. Однак подання випадкових величин і процесів, що не є гауссівськими, за 
допомогою функцій розподілу часто натикається на великі труднощі, тому навіть 
аналіз цих процесів потрібно вести за допомогою інших спрощених 
характеристик, а не за допомогою функцій розподілу. При нелінійних 
перетвореннях випадкових процесів найпоширенішими способами опису 
спостережуваних процесів виступають моментний і кумулянтний.  
Для оцінювання параметрів випадкових процесів з дискретним часом 
використовується метод максимізації полінома, який дозволяє більш повно й 
ефективно використовувати апріорний опис негауссівського процесу у вигляді 
кінцевого параметричного набору послідовності моментних або кумулянтних 
функцій. При цьому дисперсії оцінок, знайдених цим методом, які вказують на 
точність, можуть бути значно меншими дисперсій відповідних оцінок, знайдених 
методом найменших квадратів.  
У роботі розглянуто цікава з практичної точки зору ситуація, коли задано 
лише клас негауссівського розподілу, а його параметри оцінюються разом з 
інформативним параметром корисного сигналу. При цьому параметри завади 
визначаються по навчальній вибірці, а спільне оцінювання параметрів корисного 
сигналу проводиться по основній вибірці. 
Мета і завдання дослідження. 
Метою даної роботи є синтез адаптивних поліноміальних алгоритмів 
оцінювання амплітуди радіосигналу, які мають підвищені точністні 
характеристики при ексцесній завади 1-го типу, з використанням навчальної 
вибірки. 
Для досягнення мети були поставлені такі завдання 
1) вибрати оптимальний метод розв’язку задачі оцінювання параметрів 
випадкової величини при кумулянтному описі;  
2) синтезувати математичні моделі адаптивних поліноміальних алгоритмів 
оцінювання амплітуди радіосигналу, що приймаються на фоні ексцесної 
завади 1-го типу, з використанням навчальної вибірки; 
3) побудувати блок-схеми синтезованих алгоритмів;  
4) знайти вирази для асимптотичних дисперсій оцінок амплітуди 
радіосигналу, знайдених при різних ступенях поліному; 
5) проаналізувати як залежать точністні властивості алгоритмів від 
статистичного характеру завади.  
 
1. ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ КОРИСНИХ СИГНАЛІВ НА ТЛІ ЗАВАД 
 
1.1. Постановка задачі оцінювання параметрів сигналів на тлі завад 
 
Для вирішення задач оптимальної обробки сигналів, враховуючи оцінку 
параметрів корисних сигналів на тлі завад, потрібно обрати адекватну 
математичну модель фізичного процесу, що спостерігається.  
Завада n(t) , яка впливає на корисний сигнал S(t) , може додаватися до 
нього, тоді вона називається адитивною, а модель процесу, що спостерігається 
описується виразом 
 
y(t) = s(t) + n(t) .                                            (1.1) 
 
Адитивні завади мають різну природу походження: розрізняють , 
атмосферні, індустріальні, космічні, іоносферні, внутрішні тощо.  
Можливий інший варіант взаємодії корисного сигналу і завади, а саме 
завада може бути модулюючою для корисного сигналу або мультиплікативною, 
тоді модель  сигналу, що приймається має вигляд 
 
y(t) = s(t) n(t) .                                            (1.2) 
 
Мультиплікативна завада, може виникати при відбитті радіохвиль від 
різних об'єктів, а також у результаті проходження через неоднорідне середовище 
атмосфери.  
Модель взаємодії сигналу і завади виду (1.1) є більш адекватною до 
реальних фізичних процесів чим модель виду (1.2) для більшості задач, тому в 
даній магістерської роботі розглядається адитивна взаємодія корисного сигналу і 
завади. В зв’язку з інтенсивним застосуванням цифрової обробки сигналів будемо 
розглядати випадкову послідовність з дискретним часом. Тоді модель виду (1.1) 
можна записати у вигляді  
 
y(tv) = s(tv) + n(tv) ,     v =1,m  
або 
yv = sv + nv .      v =1,m                                     (1.3) 
 
де m  - обсяг вибірки; індекс v  - відліки часу спостереження. 
Залежно від статистичного взаємозв'язку відліків випадкової послідовності 
завади принято поділяти на некорельовані та корельовані. Модель некорельованої 
завади є більш простою, при цьому вона є достатньо адекватною не тільки для 
опису внутрішнього шуму приймача, але і зовнішніх завад, які мають широкий 
спектр, як ненавмисних (наприклад, радіовипромінювання космосу та атмосфери 
Землі), так і навмисних (наприклад, активна маскуюча шумова завада). В 
загальномк випадку, вибіркові значення будь-якої реальної завади будуть завжди 
взаємозалежні. Якщо враховувати нерівність виду:  
 
f зав fпр ,                                              (1.4) 
 
де fпр  — ширина смуги пропускання приймача, f зав  — ширина спектру завади; 
можна вважати, що кореляція між відліками достатньо мала, що нею можна 
знехтувати, а саму заваду можна вважати некорельованою. У випадку, якщо ця 
умова не виконується, кореляцією між відліками не можна зневажити і для опису 
завад потрібно використовувати випадкові послідовності із залежними 
значеннями, наприклад, для пасивних завад чи вузькосмугових активних завад. В 
даній роботі, в рамках обраної моделі будемо припускати, що завада є 
широкосмуговою і нерівність виду (1.4) виконується. 
Нехай завада nv , v =1,n  відноситься до класу ексцесних випадкових 
величин 1-го типу, тоді вона залежить від двох параметрів: дисперсії 2  і 
коефіцієнта ексцесу  4 , які вважаються невідомими. Для визначення того, які 
значення можуть приймати ці параметри в певний проміжок часу спостереження 

необхідно опрацьовувати навчальну вибірку x ={x1,...,xn}  з генеральної 
сукупності значень випадкової величини nv , v =1,n . Корисний сигнал Sv  буде 

залежати від певного векторного параметра  = {1,...,p} . В даній магістерській 
роботі інформативним параметром обрано лише амплітуду радіосигналу, тому 
сигнал Sv  можна розглядати як функцію лише від одного параметра, а саме від A , 
тобто Sv (A) . Якщо спостерігається випадкова величина виду (1.3), то дискретна 
послідовність yv , v =1,m  залежить від трьох параметрів A , 2  і  4 .  
Розглянемо таку математичну модель, яка найбільш повно відображає 
властивості цих генеральних сукупностей, і може бути подана у вигляді: 
 
 ˆ
F1( y, A,  A= A
2 , 4 ) = 0 ,    v =1,m ,                         (1.5) 
2 =ˆ2
 4 =ˆ4
 

F2(x, 2 , 4 ) 2 =ˆ2 = 0 ,    v =1,n  
 4 =ˆ4
 
Задача адаптивного оцінювання амплітуди радіосигналу полягає в побудові 
ˆ ˆ 
функції  ={A, ˆ2 ,ˆ4} від вибіркових значень y , яка б найбільш точно давала 

наближену величину для істинного значення параметру  . При цьому дві 
компоненти векторного параметру {ˆ2 ,ˆ4}  будуть знаходитися по навчальній 

вибірці x . Оскільки отримані оцінки кожного разу залежать від результатів 
спостережень, то за своєю суттю, вони є випадковими величинами.  
У теорії статистичного оцінювання розглядають два види оцінок: точкові та 
інтервальні. При точковій оцінці, на підставі вибіркових значень із заданою 
  
щільністю розподілу p(x /) , розраховується функція вибіркових значень (x) , 
що співставляється з  невідомим параметром  . Важливо розуміти, що величина 

оцінки   є лише наближеним значенням невідомого параметру  . Тому на 
практиці часто знаходять так звані інтервальні оцінки параметрів. Очевидно, що 
можна побудувати випадковий інтервал  , який би з наперед заданою 
ймовірністю охоплював невідомі значення параметра  . Ця задана величина 
ймовірності, значення якої зазвичай вибирається близьким до одиниці, зветься 

коефіцієнтом довіри, а сам інтервал залежить від вибірки x  і називається 
довірчим інтервалом.  
Точкові оцінки параметрів сигналів на фоні завад мають гарні математичні 
властивості і тому знайшли широке застосування в радіолокації, статистичній 
радіотехніці, системах зв'язку, гідролокації тощо. Одночасно з цим застосування 
інтервальних оцінок для розв’язку аналогічних задач обмежено рядом 
принципових труднощів. Тому надалі в даній магістерські роботі будуть 
розглядатися тільки точкові оцінки.  
 
 
1.2 Математичні моделі різних видів завад  
 
Для отримання найкращого результату, а саме найточнішого оцінювання 
параметру сигналу потрібно максимально повно та адекватно математично задати 
моделі фізичних процесів, що існують в каналі зв’язку.  
Однієї з популярних моделей завади є модель у виглялі білого шуму, яка 
достатньо добре описує власний або внутрішній шум приймальної системи. 
Однак крім цієї моделі шуму виявленню та оцінюванню параметрів 
радіонавігаційних і радіолокаційних сигналів можуть заважати інші завади. 
Дамо їх класифікацію й розглянемо коротку характеристику [1, с.71]. 
Залежно від способу утворення завади в каналі зв’язку поділяють на 
активні, які створюються різними джерелами електроиагнітних 
випромінювань, і пасивні, які утворюються в результаті багатократного 
перевідбиття зондуючих сигналів від сторонніх об’єктів. Як активні, так і 
пасивні завади можуть бути організованими (навмисними) і природніми 
(ненавмисними).  
Ненавмисні активні завади додатково можна розділити на природні, тобто 
такі, що обумовлені природнім походженням, і штучні, до яких можна 
віднести взаємні та індустріальні завади. Природні завади обумовленні 
радіовипромінюванням земної поверхні та атмосфери Землі, численними 
грозовими розрядами, особливо в низькочастотному діапазоні, 
радіовипромінюванням космічних об'єктів (галактик, зірок, планет, Сонця, 
Місяця). Індустріальні завади є наслідком роботи електричних апаратів, 
високовольтних ліній електропередач, систем запалювання двигунів 
внутрішнього згоряння й т.д. Взаємні завади обумовлені впливом 
випромінювань різних радіопристроїв і радіосистем один на одного, при цьому 
розрізняють міжсистемні — завади між системами однакового або різних 
класів (РЛС, системи радіозв'язку, РНС, та ін.) і внутрісистемними — завади, 
які виникають між різними частинами однієї й тієї ж системи. 
Ненавмисні пасивні завади виникають при радіолокаційному опроміненні 
цілей на фоні відбиваючих об’єктів природного походження, до яких можна 
віднести земну й водну поверхні, гідрометеори в атмосфері, іонізація, в тому 
числі північні сяйва й ін. Перевідбитий сторонніми об'єктами сигнал утворює 
завадовий фон, що спотворює сигнал, і як наслідок утрудняє виявлення та 
оцінювання інформативних параметрів корисного сигналу, відбитого від цілі. 
Навмисні завади можуть створюватися супротивником за допомогою 
засобів радіопротидії (РЕБ) для погіршення нормальної роботи РЛС і РНС. 
Активні навмисні завади можуть створюватися спеціальними засобами. Пасивні 
навмисні завади виникають як результат перевідбиття сигналів від штучних 
об'єктів, що заважають, наприклад: дипольних відбивачів (у вигляді 
напівхвильових вібраторів з фольги, металізованого пластику, скловолокна й 
т.п.) і помилкових цілей. 
Перераховані завади, за характером впливу на роботу РЛС і РНС, можна 
розділяти на маскуючі, які утворють завадовий фон і такі, що є еквівалентом 
внутрішнього шуму приймача, а також імітуючі, які вносять помилкову 
інформацію про параметри сигналів. Залежно від часових характеристик завади 
ділять на імпульсні й безперервні. Імпульсні завади поділяють на синхронні, 
коли частота повторення імпульсів завади співпадає або кратна частоті 
повторення сигналів, і несинхронними, коли частоти завад і сигналів довільно 
співвідносяться одна з іншою.  
Для створення адекватних моделей завад використовують як детерміновані  
так і випадкові функції, причому такі моделі завад можна розділити на три групи: 
детерміновані, квазідетерміновані та стохастичні.  
При описі взаємних завад може бути корисною детермінована завада. Така 
модель завади, для якої всі параметри відомі, є найбільш простою та 
ідеалізованою, і вона може бути цілком компенсована. Більш повна та адекватна 
реальним завадам є квазідетермінована завада. Такою моделлю описують цілий 
ряд активних і пасивних завад. 
Більш загальною моделлю є стохастична завада, яка представляється деяким 
випадковим процесом n(t) . Узагальненість стохастичних моделей завад 
продиктована тим, що при їх побудові можуть використовуватися випадкові 
процеси різних видів: з дискретним або безперервним часом, з дискретними або 
безперервними значеннями, із залежними і незалежними вибірковими 
значеннями, стаціонарні і нестаціонарні, з різними законами розподілу: 
гауссівські, марківські та ін. За допомогою таких стохастичних процесів, що 
охоплюють безліч окремих ситуацій, можна описати будь-які реальні завади. 
В залежності від того, який закон розподілу ймовірностей використовується 
для подання завад, їх можна розділити на два класи: гауссівські та негауссівські. 
Взагалі вибіркові значення будь-якої реальної завади описуються розподілом 
ймовірностей, що є відмінним від гауссівського закону. Однак на практиці завади 
утворюються під дією великого числа неконтрольованих чинників, у результаті 
чого відбувається ефект їх нормалізації, який добре описується  центральною 
граничною теоремою теорії ймовірностей. При цьому гауссівська модель є 
зручною, достатньо точною та адекватною. 
Інколи ефект нормалізації слабкий або відсутній, тоді розподіл завад істотно 
відрізняється від гауссівського закону; тоді необхідно використовувати 
негауссівські моделі. Такі моделі застосовуються при описі атмосферних та 
індустріальних завад, взаємних завад, активних навмисних завад, які формуються 
шляхом модуляції параметрів високочастотного сигналу шумовою напругою, 
деяких пасивних завад (наприклад, відбиття від поверхні моря) і ін. 
Вид закону розподілу ймовірностей, що відповідає тій чи іншій реальній 
заваді, формулюється в результаті теоретичних і експериментальних досліджень.  
Як вже зазначалося, завади за своєю природою мають випадковий характер, 
але при цьому описуються деякими ймовірністними законами. Тому статистична 
обрабка сигналів, зокрема оцінка параметрів, здійснюється за допомогою методів 
теорії ймовірностей, теорії випадкових процесів і математичної статистики. В 
зв’язку з цим при присутності в моделі завади виникає необхідність 
використовувати математичний апарат теорії ймовірностей та математичної 
статистики і задавати той чи інший спосіб опису випадкової послідовності. 
Будемо вважати, що   - довільна випадкова величина. Функцією розподілу 
цієї випадкової величини називають функцію F(x) , яка визначає ймовірність 
того, що в результаті досліду випадкова величина   прийме значення, менше ніж 
x , а саме 
 
F(x) = P{  x}  ,  −   x   .                                (1.6) 
 
Функція розподілу F(x)  виду (1.6) дає повний опис імовірнісної моделі 
випадкової величини, проте її форма представлення не завжди зручна для 
виконання аналітичних розрахунків. Часто простіше використовувати не саму 
функцію розподілу F(x) , а її похідну  
 
d
p(x) = F (x) ,                                            (1.7) 
dx
 
яка називається щільністю розподілу ймовірностей випадкової величини  . 
Знаючи щільність розподілу p(x) , можна відшукати функцію розподілу F(x)  за 
виразом 
 
x
F(x) =  p(x)dx .                                        (1.8) 
−
 
Щільність розподілу має задовольняти двом властивостям: 
1) Щільність розподілу - позитивна функція: 
 
  
p(x /)  0 ,     x[a,b] ,      .                       (1.9) 
2) Власний інтеграл від щільності розподілу в інтервалі від −   до   дорівнює 
одиниці: 
 
 
 p(x /)dx =1.                                         (1.10) 
−
 
Існує багато різних математичних формул, за допомогою яких можна 
представляти щільність розподілу ймовірності, проте лише частина з них має 
певну прикладну цінність при аналізі технічних систем. 
Через виконання умови 2, а саме, що від щільності ймовірності будь-якої 
випадкової величини існує інтеграл, завжди мржна відшукати її сполучену 
функцію Фур'є, що називається характеристичною функцією розподілу 
 
  
f (u / ) = p(x / )e jux
 dx .                                    (1.11) 
−
 
Зворотне перетворення Фур'є дозволяє отримати вираз для щільності 
розподілу через характеристичну функцію 
 
 
1 
p(u / ) =  f (x / )e− juxdx .                               (1.12) 
2
−
 
  
Перераховані вище функції F(x /) , p(x /)  і f (u /)  повністю описують 
випадкову величину. Проте часто ці функції бувають складні або невідомими і 
доводиться обмежуватися меншими відомостями при описі випадкової величини. 
Іноді навіть простіше скористатися числовими характеристиками або так званими 
статистиками випадкової величини, що описують її сумарно.  
Одним з найважливіших і фундаментальних підходів, пов’язаних зі 
статистичними методами, є спосіб знаходження середніх значень випадкових 
послідовностей або їх функцій. Якщо випадкова величина задана за допомогою 
степеневих функцій i ( ) =  i  , то інтеграли виду 
 
  
mi () =  xi p(x /)dx                                         (1.13) 
−
 
називаються початковими моментами i -го порядку випадкової величини  .  

Розподіл ймовірностей p(x /)  може однозначно визначатися своїми 
моментами, якщо виконується умова Карлемана 
 
  −1  
(m2n ( )) 2n =  ,       .                              (1.14) 
n=1
 

Очевидно, що якщо набір моментів m ()  однозначно визначає щільність 
i

розподілу ймовірностей p(x /) , то замість неї можна використовувати 
нескінченну послідовність моментів, що є тотожним описом ймовірністного 
розподілу випадкової величини. На практиці часто достатньо мати кінцеву 
послідовність моментів; в цьому випадку будемо вважати, що випадкова величина  
описується частково. 
З математичної точки зору випадкову величину більш зручно описувати за 
допомогою кумулянтів або семіінваріантів, які представляють собою коефіцієнти 
розкладання логарифма характеристичної функції в степеневий ряд [2]: 
 

   ( )
ln f (u / ) =  k ( ju)i .                                  (1.15) 
k=1 k!
 
У свою чергу 
 

 d k
−k ln f (u / )
k ( ) = j [ ]u=0 .                                 (1.16) 
du k
 
Нескінчений ряд кумулянтів, так само як і нескінченна послідовність 
моментів, дозволяє повністю описувати випадкову величину й отже є тотожним 
описом щільності розподілу. 
Відзначимо, що на практиці зручно розглядати безрозмірні кумулянти, які 
звуться кумулянтними коефіцієнамии, які мають вигляд 
 
  
 () =  () −0,5n () .                                    (1.17) 
n n 2
 
Між моментами і кумулянтами існує взаємно-однозначний зв’язок. Вирази 
кумулянтів як функції від моментів будуть наведені далі для обраного класу 
випадкової величини - ексцесної випадкової величини 1-го типу. 
Зупинимося більш детально на властивостях кумулянтного опису 
випадкових величин. Основну перевагу кумулянтне представлення має для 
негауссівських випадкових величин, оскільки кумулянтні коефіцієнти третього 
порядку і вище описують ступінь відмінності ймовірністного розподілу від 
гауссівського. У багатьох практично важливих додатках вищими кумулянтами, на 
відміну від моментів, можна знезтувати, що дозволяє представити апроксимацію 
ймовірністні розподілу тих випадкових величин, для яких задано кінцевий набір 
кумулянтів.  
У послідовності кумулянтів перші два мають чіткий зміст, а саме, середнє 
значення і дисперсія розподілу відповідно. Кумулянтні коефіцієнти  3  і  4  
називаються відповідно коефіцієнтами асиметрії та ексцесу та також мають 
фізичний зміст. Коефіцієнт асиметрії вказує на асиметрічність форми кривої 
ймовірністного розподілу відносно математичного сподівання, а коефіцієнт 
ексцесу хараетеризує «крутизну» кривої розподілу, тобто описує степінь підйому 
графіка в порівнянні з нормальною кривою.  
1.3 Основні  властивості оцінок параметрів 
 
Оцінка - це певна функція від вибіркових значень. Саме тому, в загальному 
випадку, можна знайти багато оцінок одного і того ж параметру. Але серед 
великої кількості оцінок вибирають лише ті, які забезпечують найкраще 
наближення оцінюваного параметра, а саме мають наступні основні властивості 
оцінок: незміщенність, слушність, достатність та ефективність. Розглянемо 
докладніше ці властивості.  
По-перше, оцінка параметра має бути незміщеною, тобто незалежно від 
обсягу вибірки середнє значення оцінки повинно дорівнювати оцінюваному 
параметру 
Eˆ =   .                                                 (1.18) 
 
Якщо для  оцінки параметра   існує різниця 
 
 = E(ˆ − ),                                            (1.19) 
 
яка називається зсувом оцінки, то її можна легко усунути за допомогою простих 
корегувань. 
На практиці часто розглядають оцінки, для яких умова незміщенності 
виконується лише при нескінченому обсязі вибірки (n →  ), тобто  
 
limEˆ =  .                                           (1.20) 
n→
 
Оцінки виду (1.20) будемо називати асимптотично незміщеними. 
По-друге, оцінка має бути слушною, а саме якщо n → , то оцінка ̂  прагне 
за ймовірністю до істинного значення параметра  : 
 
limP{ˆ −  } = 0  ,            0 .                           (1.21) 
n→
 
Оцінка має бути достатньою, це означає, що вона повинна нести в собі 

повну інформацію про параметр  , яка міститься у вибірці x .  
Головною властивістю, що визначає якість оцінки, є її ефективність. 
Ефективною називається така оцінка параметра, яка серед всіх інших оцінок 
відповідного параметра має найменшу величину відхилення від істинного 
значення параметра. Для скалярного параметра такою мірою відхилення від 
істинного значення   виступає середнє значення квадрата відхилення, тобто 
величина: 
 
 2 (ˆ) = E(ˆ −)2 .                                       (1.22) 
 
Для незміщеної оцінки розсіювання оцінки збігається з її дисперсією. 
Показано, що величина дисперсії оцінки має потенційну межу і не може 
бути як завгодно малою. Нерівність Крамера-Рао, яку ще називають нерівністю 
інформації, регламентує нижню границю величини дисперсії оцінки: 
 
D(ˆ)  I −1() ,                                           (1.23) 
де 
d  d 2 
I () = E{ ln p(x /)}2 = −E{ ln p(x /)} ,   .           (1.24) 
d d 2
 
Величина I ()  має назву кількістю інформації за Фішером про параметр  , 
що є у вибірці. 
Якщо у вираз виду (1.23) перетворюється на рівність, то шукана оцінка 
називається ефективною. Таким чином, серед множини незміщених регулярних 
оцінок саме ефективні оцінки мають мінімальну дисперсію.  
Нерівність інформації дозволяє визначити найменше значення величини 
дисперсії і тим самим розглядати кількісну міру ефективності оцінок у вигляді 
виразу: 
 
e = [I ()D(ˆ)]−1 ,                                           (1.25) 
 
де D(ˆ)  - дисперсія конкретної оцінки ̂ .  
Очевидно, що значення ефективності оцінки лежить в інтервалі (0;1).  
 
 
1.4 Математичні моделі розглядуваних випадкових послідовностей  
 

Вище зазначалося, що у спостерігача є дві вибірки: основна y = {y1,..., ym}  
обсягом m , в якій міститься інформація про корисний сигнал і заваду і навчальна 

x ={x1,...,xn} обсягом n , в якій міститься інформація лише про заваду. В даному 
підрозділі розглянемо як можна описати ці випадкові послідовності за допомогою 
кінцевого набору  кумулянтів. 
Вже зазначалося, що при представленні завад у каналах зв'язку, широке 
поширення набули математичні моделі у вигляді випадкових величин, які мають 
гауссівський (нормальний) закон розподілу або так звані гауссівські завади [3, 
108]. Гауссівські випадкові величини, якщо  їх описувати за допомогою 
послідовності кумулянтів, мають гарну математичну властивість, а саме, вони 
мають відмінні від нуля лише перші два кумулянти, це математичне сподівання 
(кумулянт першого порядку 1 ) і дисперсія (кумулянт другого порядку 2 ). 
Решта кумулянтів вищих порядків дорівнюють нулю. В роботі [2] показано, що 
для випадкових величин, що мають відмінний від гауссівського закон розподілу, 
існує нескінченний набір кумулянтів. 
В роботі [3] розглянуто метод знаходження оцінок параметрів випадкових 
величин, який засновано саме на використанні кумулянтів або кумулянтних 
коефіцієнтів різних порядків. В цьому випадку кумулянтні коефіцієнти 
виступають як параметри випадкової величини і їх можна оцінювати. Якщо 
застосовувати загальний опис випадкових величин у вигляді послідовності 
кумулянтів, то задача оцінювання кумулянтних коефіцієнтів буде не замкненою в 
точки зору того, що для знаходження оцінок методом максимізації поліному 
завжди потрібно точно знати «зайві» кумулянтні коефіцієнти вищих порядків. 
Наприклад, якщо потрібно знайти оцінку кумулянтного коефіцієнта  4  методом 
максимізації полінома, то використовується стохастичний поліном з мінімальним 
ступенем s = 4  або вище. В цьому випадку оптимальні коефіцієнти рівняння 

kiv ( )  будуть додатково залежати від кумулянтних коефіцієнтів  3 ,  5  і  6 ,  7 , 
 8 . Таким чином, при оцінюванні коефіцієнта ексцесу  4  необхідно знати 
кумулянтні коефіцієнти вищих порядків, що практично не реалізуємо. Тому 
необхідно запропонувати деякі класи випадкових величин, які б представлялися 
кінцевим набором кумулянтних коефіцієнтів і при рості ступеня полінома, що б їх 
кількість не збільшувалася б.  
Наприклад, було б добре, що б випадкова величина описувалася трьома 
параметрами 1 , 2 , 4 , а решта кумулянтів вищих порядків (включно з 
кумулянтом 3) дорівнювали б нулю (на зразок того, як при описі гауссівської 
випадкової величини достатньо оперувати знанням лише про два кумулянти). 
Така модель була б дуже зручною, проте з математичної точки зору виявляється, 
що таких випадкових величин не існує. Вірніше, не має таких щільностей 
розподілу імовірності випадкових величин, для яких лише три обрані кумулянти, 
в рамках моделі, були б відмінні від нуля, а всі решта кумулянтів дорівнювали б 
нулю [2]. 
В роботі [3] вводяться так звані перфоровані випадкові величини, для яких 
не всі кумулянти, що залишилися, дорівнюють нулю, а тільки певна їх частина. 
Перфорованою випадковою величиною (perforated - продирявлений, 
перфорований) називають величину, у якої частина кумулянтних коефіцієнтів 
починаючи з 3-го порядку відмінні від нуля, «заважаючі» строго дорівнює нулю, а 
решта кумулянтних коефіцієнтів вищих порядків приймає довільні значення. 
Оскільки найпоширенішою моделлю завад гауссівські випадкові величини, 
то можна ввестив розгляд негауссівські випадкові величини, які за своїми 
статистичними властивостями близькі до гауссівських. Оскільки гауссівські 
випадкові величини при кумулянтому представленні описуються лише першими 
двома кумулянтами, то негауссівська випадкова величина, яка описується лише 
набором з трьох кумулянтів, еаприклад, кумулянтом 1-го, 2-го й 3-го порядку 
буде близькою до гауссівської. Аналогічно буде близькою до гауссівської 
випадкової величини негауссівська випадкова величина, що описується лише 
кумулянтами 1-го, 2-го й 4-го порядку, а кумулянт третього порядку 
прирівнюється до нуля. Використовуючи термін близьких до гауссовских 
випадкових величин, будемо визначати моделі лише через значення чотирьох 
кумулянтных коефіцієнтів  3 ,  4 ,  5  і  6 . 
В даній роботі буде досліджено клас ексцесних випадкових величин 1-го 
типу, який обрано як модель адитивної завади. Ексцесними випадковими 
величинами 1-го типу будемо називати такі випадкові величин, для яких система 
рівнянь максимізації поліному степені s  (визначник основної матриці системи, 
який називається об'ємом тіла розміру s ) залежить тільки від дисперсії 2  і від 
коефіцієнта ексцесу  4 . Множина ексцесних випадкових величин 1-го типу, 
відповідно до визначення, описується лише кумулянтом другого порядку 2  й 
коефіцієнтом ексцесу  4  і кінцевим набором нульових кумулянтних коефіцієнтів 
до 2 s  порядку. Умова позитивності об'єму тіла розмірністю s  накладає 
обмеження на інтервал допустимих значень параметру  4 . Причому для різних 
значень  степені поліному s  буде різним інтервал визначеності  4 . В роботі [3, 
с.116] наведена повна інформація про ОДЗ кумулянтних коефіцієнтів близьких 
для гауссівських випадкових величин. В таблиці 1.1 наведено ОДЗ коефіцієнта 
ексцесу ексцесних випадкових величин 1-го типу для різних ступенів поліномів. 
 
Таблиця 1.1 – Інтервали допустимих значень коефіцієнту ексцесу 
Ступінь поліному, s  Області допустимих значень  4  
2 (-2;  ) 
3 (-0,623; 9,623) 
4 (-0,327; 9,623) 
5 (-0,21; 3,368) 
6 (-0,151; 3,368) 
При опрацюванні навчальної вибірки спостерігач має вирази для 
початкових моментів ексцесної випадкової величини, що представлені через 
кумулянти [3, с.113] 
m(2i+1)v (2 , 4 ) = 0,    m2v (2 , 4 ) = 2 ,  
 
m ( , 2 3
4v 2 4 ) = 2 ( 4 + 3),   m6v (2 , 4 ) =152 ( 4 +1),  
 
m8v (2 , 4 ) = 35 4
2 ( 2
4 + 6 4 + 3),                                                                   (1.26) 
 
m10v (2 , 4 ) = 3155 2
2 (5 4 +10 4 + 3),  
 
m12v (2 , 4 ) =105 6 3 2
2 (55 4 + 495 4 + 495 4 + 99),  
 
Відповідно, вираз для корелянтів F(i, j)v (2 , 4 )  ексцесних випадкових 
величин мають вид [3, с.113]. 
Для непарних сум індексів, тобто при i + j = 2n +1, n =1,2,... 
 

F(i, j)v ( ) = 0 .                                             (1.27) 
 
Для парних сум індексів, тобто при i + j = 2n , n =1,2,... 
 
 
F 2
(1,1)v ( ) = 2 ,   F(2,2)v ( ) = 2 ( 4 + 2) , 
 
 
F 2 3
(1,3)v ( ) = 2 ( 4 + 3) ,  F(3,3)v ( ) = 152 ( 4 +1) . 
 
 
F 3 4 2
(2,4)v ( ) = 22 (7 4 + 6) , F(4,4)v ( ) = 22 (17 4 +102 4 + 48) ,   (1.28) 
 
 
F(1,5)v ( ) = 15 3
2 ( 4 +1) , F(3,5)v ( ) = 35 4
2 ( 2
4 + 6 4 + 3),  
 

F(5,5)v ( ) = 315 5
2 (5 2
4 +10 4 + 3),  
 

F(2,6)v ( ) = 5 4
2 (7 2
4 + 39 4 +18),  
 

F(4,6)v ( ) = 30 5
2 (52 2
4 +103 4 + 30),  
 

F ( ) = 3 6 3 2
(6,6)v 2 (1925 4 +17250  4 +17175 4 + 3390 ).  
 
При опрацюванні основної вибірки спостерігач має знати вирази для 
початкових моментів випадкової величини виду (1.3), які виражені через 
кумулянти. Очевидно, що в цьому випадку початкові моменти залежать від трьох 

компонент векторного параметру  ={A, 2 , 3} і мають вигляд 
 
 
m1v ( ) = Sv ,    m2v ( ) = S2
v + 2,  
 
 
m3v ( ) = S3
v + 3Sv 2,   m4v () = S4
v + 6S2
v 2 + 2
2 ( 4 + 3),  
 

m5v ( ) = S5 3 2
v +10Sv 2 + 5Sv 2 ( 4 + 3),  
 

m6v () = S6 4 2 2
v +15Sv 2 +15Sv 2 ( 4 + 3) +153
2 ( 4 +1),  
 

m ( ) = S7 5 3 2
7v v + 21Sv 2 + 35Sv 2 ( 4 + 3) +105S 3
v 2 ( 4 +1),  
 

m8v ( ) = S8 + 28S6
v v 2 + 70S4 2
v 2 ( 4 + 3) + 420S2 3
v 2 ( 4 +1) +
                       (1.29) 
+ 35 4
2 ( 2
4 + 6 4 + 3),
 

m ( ) = S9 + 36S7 +126S5 2
9v v v 2 v 2 ( 4 + 3) +1260S3 3
v 2 ( 4 +1) +
 
+ 315S 4 2
v 2 ( 4 + 6 4 + 3),
 

m10v ( ) = S10
v + 45S8
v 2 + 210S6
v  2
2 ( 4 + 3) + 3150S4
v  3
2 ( 4 +1) +
 
1575S2 4( 2
v 2 4 + 6 4 + 3) + 3155
2 (5 2
4 +10 4 + 3),
 

m ( ) = S11 + 55S9 7 2 5 3
11v v v 2 + 330Sv 2 ( 4 + 3) + 6930Sv 2 ( 4 +1) +
 
+ 5775S3 4
v 2 ( 2
4 + 6 4 + 3) + 3465S 5 2
v2 (5 4 +10 4 + 3),
 

m ( ) = S12 + 66S10 + 495S8 2( + 3) +13860S6 3
12v v v 2 v 2 4 v 2 ( 4 +1) +
+17325S4 4( 2 + 6 + 3) + 20790S2 5
v 2 4 4 v 2 (5 2
4 +10 4 + 3) +  
+105 6
2 (55 3 + 495 2
4 4 + 495 4 + 99),
 
У виразах виду (1.3), (1.29) в якості корисного сигналу Sv  розглядається 
радіосигнал виду 
 
Sv = Aеv cos(v +), v =1,m ,                              (1.30) 
 
де A, ,   - відповідно амплітуда, частота і початкова фаза радіосигналу,   - крок 
дискретизації. 
Застосуємо ряд обмежень на вибіркові значення сигналу, які легко можуть 
бути реалізовані на практиці і суттєво спростять розрахунки. Нехай за час 
спостереження (тобто за період T = m ) приймається ціле число періодів 
радіосигналу, тобто  = 2l, l =1,2,  При цьому крок дискретизації   
вибирається таким чином, що для будь-якого непарного ступеня k виконується 
рівність 
n n
ek
v sink (v +) = ek cosk
v (v +) = 0,                        (1.31) 
v=1 v=1
а для парних ступенів перетворень достатньо обмежитись випадком квадратичної 
обробки сигналу 
 
n n
2 n
ev sin2(v +) = e2
v cos2(v +) = .                      (1.32) 
2
v=1 v=1
 
Вирази для кореляційних моментів випадкової величини (1.3) мають вид: 
 
 
F 2
(1,1)v ( ) = 2 ,  F(2,2)v ( ) = 2 (4Sv + 2 4 + 22 ) , 
 
 
F(1,2)v ( ) = 2Sv 2 ,  F(1,3)v ( ) = 2 (3S2
v + 2 4 + 32 ) , 
 

F(2,3)v ( ) = Sv 2 (6S2
v + 52 4 +122 ) , 
 

F ( ) = 3 (3S4 2 2
(3,3)v 2 v + 5Sv 2 4 +12Sv 2 + 5 2
2 ( 4 +1)) , 
 

F 2
(1,4)v ( ) = 4Sv 2 (Sv + 2 ( 4 + 3)) , 
 

F(2,4)v ( ) = 22 (4S4
v + 7S2
v 2 4 +18S2 2 2
v 2 + 72 4 + 62 ) , 
 

F 4 2 2 2 2
(3,4)v ( ) = 2Sv 2 (6Sv +17Sv 2 4 + 42Sv 2 + 512 4 + 482 ) ,                 (1.33) 
 

F(4,4)v ( ) = 2 (8S6
2 v + 34S 4
v 2 4 2 2
4 + 84Sv 2 + 204Sv 2 4 +
 
+192S 2 2 +  3 2
v 2 2 (17 4 +102 4 + 48)),
 

F(1,5)v ( ) = 5 4 2
2 (Sv + 2Sv 2 ( 4 + 3) + 3 2
2 ( 4 +1)) , 
 

F ( ) =10S  (S4 + 3S2  +8S2
(2,5)v v 2 v v 2 4 v  2
2 + 2 (10 4 + 9)), 
 

F(3,5)v ( ) = 52 (3S6
v +13S 4 4
v 2 4 + 33Sv 2 + 81S 2 2
v 2 4 +
 
+ 75S 2 2
v 2 + 7 3( 2
2 4 + 6 4 + 3)),
 

F(4,5)v ( ) = 10S 6 4 4 2 2
v 2 (2Sv +12Sv 2 4 + 30Sv 2 +122Sv 2 4 +
 
+114S 2 2 3 2
v 2 + 2 (31 4 +186 4 + 90)),
 

F(5,5)v ( ) = 52 (5S8 + 40S6  +100S6 4 2
v v 2 4 v 2 +10Sv 2 (61 4 + 57) +
 
+10S 2
v  3
2 (31 2 +186 + 90) + 63 4 (5 2
4 4 2 4 +10 4 + 3)),
 

F 4
(1,6)v ( ) = 2Sv 2 (3Sv +10S2
v 2 ( 4 + 3) + 45 2
2 ( 4 +1)) , 
 

F 6 4 4
(2,6)v ( ) = 2 (12Sv + 55Sv 2 4 +150Sv 2 + 390S 2 2
v 2 4 +
 
+ 360S 2 2 3 2
v 2 + 52 (7 4 + 39 4 +18)),
 

F(3,6)v ( ) = 3S 6 4 4 2
v 2 (6Sv + 37Sv 2 4 + 96Sv 2 + 400Sv  2
2 4 +
 
+ 370S 2
v  2 3 2
2 +152 (7 4 + 41 4 + 20)),
 

F 8
(4,6)v ( ) = 22 (12Sv + 97S6
v 2 4 + 246S6
v 2 + S4 2
v 2 (1515 4 +1410 ) +
 
+ S 2 3(780 2
v 2 4 + 4635 4 2
4 + 2250 ) + 2 (780 4 +1545 4 + 450)),
 

F(5,6)v ( ) = 10Sv 2 (3S8 + 31S6 6 4 2 4 2
v v 2 4 + 78Sv 2 + 669Sv 2 4 + 624Sv 2 +
 
+ S 2 3
v 2 (570 2
4 + 3405 4 +1650 ) + + 4
2 (1725 2
4 + 3435 4 +1017 )),
 

F 10 8 6 2
(6,6)v ( ) = 32 (12Sv + 5Sv 2 (31 4 + 78) + 20Sv 2 (223 4 + 208) +
+150S 4 3 2 2 4 2
v 2 (38 4 + 227 4 +110) + 60Sv 2 (575 4 +1145 4 + 339) +  
+  5 3 2
2 (1925 4 +17250 4 +17175 4 + 3390)).
 
Також для розрахунків знадобляться  вирази для похідних від початкових 
моментів по кожному з оцінюваних параметрів. 
Похідні від початкових моментів виду (1.26) по параметру  2  
 
   
m1v = m3v = m5v = 0 ,  m2v =1, 
2 2 2 2
 
 
m4v = 22 ( 4 + 3) 2
,   m6v = 452 ( 4 +1) .             (1.34) 
2 2
 
Похідні від початкових моментів виду (1.26) по параметру  4  
 
   
m1v = m2v = m3v = m5v = 0 , 
 4  4  4  4
 
 2 
m4v =  2 2
2 ,  m6v = 152 (Sv + 2 ) .                              (1.35) 
 4  4
 
похідні від початкових моментів виду (1.29) по амплітуді радіосигналу A  
 
 
m1v = Bv ,    m2v = 2SvBv = 2AB 2
v , 
A A
 
 2 
m 3
3v = Bv (3Sv + 32 ) ,  m4v = Bv (4Sv +12Sv2 ) ,     (1.36) 
A A
 

m = B (5S4 2
5v v v + 30Sv 2 + 5 2
2 ( 4 + 3)) , 
A
 

m = B (6S5 + 60S3 2
6v v v v 2 + 30Sv2 ( 4 + 3)) . 
A
 
де 
Bv = ev cos(v +), v =1,m  
 
Похідні від початкових моментів виду (1.29) по дисперсії завади  2  
 
m1v = 0 ,   m2v =1 
2 2
 
 
m3v = 3Sv ,   m4v = 6S 2
v + 22 ( 4 + 3) ,              (1.37) 
2 2
 

m5v = 10S3
v +10Sv 2 ( 4 + 3) , 
2
 

m = 15S 4
6v v + 30S 2
v 2 ( 4 + 3) + 45 2
2 ( 4 +1) . 
2
 
Похідні від початкових моментів виду (1.29) по коефіцієнту ексцесу  4  
 
   
m1v = m2v = m3v = 0 ,  m4v =  2
2 , 
 4  4  4  4
 

m = 5S  2  2 2
5v v 2 ,    m6v = 152 (Sv + 2 ) .          (1.38) 
 4  4
 
2. МЕТОДИ ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ НЕОДНАКОВО 
РОЗПОДІЛЕНОЇ ВИПАДКОВОЇ ВЕЛИЧИНИ 
 
2.1 Метод максимальної правдоподібності 
 
Найважливішим методом знаходження оцінок є метод максимальної 

правдоподібності. Нехай задана незалежна вибірка x = x1,x 2...x n  з генеральної 

сукупності випадкової величини  і нехай щільність розподілу вибірки x  

залежить від деякого векторного параметра  , тобто 
 
  n 
p(x / ) =  p(xi / ).  
i=1
Функція 
  
L( ) = p(x / ),                                             (2.1) 
 
 
розглянута як функція аргументу   при заданій вибірці x , називається функцією 
правдоподібності. 
Відповідно до методу максимальної правдоподібності як оцінка невідомого 
 
параметра   вибирається таке значення аргументу  , при якому функція 
̂
правдоподібності досягає свого максимального значення, тобто як оцінка   

параметра   приймається розв'язання рівняння 
 
ˆ 
L( ) = max L( ) .                                              (2.2) 

 
 
Часто замість функції L( )  використовують функцію ln L( ) , що досягає 
  
максимуму в тих же точках, що й L( ) . Якщо функція p(x / )  безупинно 

диференцьована по  , то й для відшукання оцінок максимальної 
правдоподібності необхідно вирішити так звану систему рівнянь максимальної 
правдоподібності 
 
 
ln L( )  ˆ = 0 .    i =1, p .                                 (2.3) 
  =
i
 
У загальному випадку оцінки максимальної правдоподібності є сильно 
спроможними. Достоїнство оцінок максимальної правдоподібності полягає в 
тому, що при виконанні наведених далі умов регулярності знайдені оцінки є 
асимптотично ефективними. Справедлива наступна теорема. 
Теорема. Нехай 0  - істинне значення невідомого скалярного параметра, 
0  і нехай виконані наступні умови: 
1) існує похідна 
 
d r
lnL(x /), r =1,2,3  
d r
 
в інтервалі [0  -      0 +],  > 0, причому 
 
d d 2
p(x /)  F1(x), p(x /)  F2(x),  
d d2
 
де F1(х) і F2(х) інтегровані на (-, +); 
 
d 3
2) lnp(x /)  H (X ), E{H(X)}  k  ,  
d3
 
де E{} - символ математичного сподівання; k не залежить від  ; 
 
2
d
3) 0  E lnp(x /)  .  
d
 
Тоді оцінка по методу максимальної правдоподібності є асимптотично 
ефективною й асимптотично нормальною. 
Доказ цієї теореми ґрунтується на розкладанні в ряд Тейлора рівняння 
максимальної правдоподібності в околиці істинного значення 0 . 
Недоліком методу є складність обчислення максимуму при розв'язанні 
багатьох практичних задач. 
 
 
2.2 Метод найменших квадратів 
 
Цей метод знаходить широке застосування в прикладних задачах 
статистики, особливо при знаходженні оцінок лінійної регресії при адитивних 
завадах з нульовим середнім й однаковою дисперсією, тому що він навіть при 
малих вибірках має властивість оптимальності, що полягає в тому, що він дає 
незміщені оцінки, що є лінійними функціями від спостережень і які мають 
мінімальну дисперсію. 
У загальному випадку знаходження оцінок параметрів методом найменших 

квадратів полягає в наступному. Нехай задана вибірка x = x1,x 2...x n  
незалежних випадкових величин з різними моментами першого порядку 
 

Exv = m1v (), v = 1,n,  
і дисперсіями 
 
    
(v)
F1,1 ( ) = m2v ( ) − m2
1v ( )  C1   ,     , v = 1,n,  
 

де  = {1,2 ,...,p}  - р-мірний векторний параметр. 
Відповідно до методу найменших квадратів як оцінка невідомого параметра 
ˆ 
вибирається значення   , при якому досягається мінімум суми квадратів: 
 
  n 
 2l(x; ) =  xv − m1v ( ) .                                   (2.4) 
v=1
 

Якщо функції m1v ( )  диференцьовані по параметрах й 
 

m1v ( ) ˆ 
 C2      , m = 1,p; v = 1,n, 
m
то для відшукання оцінок методу найменших квадратів необхідно вирішити 
систему рівнянь 
 
   n 
   
l(x; ) =  xv − m1v ( ) m1v ( ) = 0, m = 1,p.           (2.5) 
m v=1   
m ˆ
 = 
 
Внаслідок введених обмежень і відповідно до теореми Маркова про 
збіжність вибіркового середнього неоднаково розподілених випадкових величин 
при n →   одержуємо збіжність 
 
1 n   1 n   
 xv m1v ( ) → m1v ( ) m ( )                   (2.6) 
0 1v
n v=1 m n v=1 m
по ймовірності. 
Розділивши кожне рівняння системи (2.6) на n і взявши математичне 
сподівання, при m = 1, p  одержимо систему 
 
  1    1 n    
gm ( ,0 ) = E l(x, ) = m1v (0 ) − m1q ( ) m1v ( ) = 0.      (2.7) 
n m n v=1 m
 
 
Очевидно одним з рішень системи (2.7) буде  =0 . Разом з тим внаслідок 
теореми Маркова при n →  
 
1    1     
l(x, ) → E l(x, ) = gm ( ,0 )      m = 1, p  
n m n m
 
̂
по ймовірності. Тому при n →  корінь   системи рівнянь (2.5) буде по 

ймовірності в як завгодно малій околиці істинного значення параметра0 , тобто 
оцінки параметра, знайдені з рішення системи рівнянь (2.5), будуть слабко 
спроможними. 
 
2.3 Метод максимізації поліному 
 

Нехай в розпорядженні спостерігача є вибірка x = {x1 , x2 ,..., xn}  обсягом n  
незалежних неоднаково розподілених вибіркових значень. Розглянемо випадок, 
коли використовується степеневе перетворення вибіркових значень, тобто 
i (xv ) = x i
v , При цьому будемо припускати, що початкові моменти залежать від 

векторного параметра  = {1,..., p} , тобто 
 

m () = Exi
iv v ,    v = 1, n , 
 
   
F(i, j)v () = m(i+ j)v () − miv ()m jv () ,    i, j = 1,s . 
 

Для знаходження оцінки векторного параметра   необхідно 
 
використовувати p  поліномів l(q)
sn (x / ) , q = 1, p  для кожної компоненти q  
векторного параметра 
 
  n s  
l (q) (x / ) = (v) (v)
sn h  ( )i (xv ) − h  ( ) ,   q = 1, p .                 (2.8) 
i( q ) 0( q )
v=1i=1
 
 
Коефіцієнти h(v)
 ( )  і h(v)
 ( ) , i = 1,s  поліномів виду (2.8) відповідно 
0( q ) i( q )
дорівнюють: 
 
 q
h(v)
 ( ) = k (v) (t)dt , 
i( q )  i(q )
aq
 
 
n s q
h(v) ( ) = k (v)
0( ) 
q  i( (t)miv (t)dt . 
q )
v=1i=1 aq

При цьому коефіцієнти кожного q -го рівняння k (v)
 ( )  знаходяться з 
i( q )
розв'язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь виду: 
 
s   
k (v) 
  ( )F(i, j)v ( ) = miv ( ) ,   i = 1,s ,   v = 1, n                  (2.9) 
j( q )
j=1 q
 
  
При заданій вибірці x , кожний q -ий стохастичний поліном l(q)
sn (x / )  як 
функція параметра q  (при відомих значеннях інших складових векторного 

параметра  ) при n →   має максимум в околиці істинного значення параметра 
q0 . По своїй будові кожний із стохастичних поліномів можна 
продиференціювати по відповідному параметру q . Тоді оцінка векторного 
параметра знаходиться з сумісного розв'язання рівнянь максимізації поліному 
виду 
 
 
l (q) 
sn (x / ) = 0 ,    q = 1, p ,                            (2.10) 
q  ˆ
 =
 
який в розгорнутому вигляді можна записати наступним чином 
 
n s  
(v) i
k  ( )[xv − miv ( )] = 0 ,   q = 1, p .              (2.11) 
i( p )  
v=1i=1 ˆ
 =
 
Система рівнянь (2.10) або (2.11) називається системою рівнянь 
максимізації поліному.  
В роботі [5] показано, що оцінка векторного параметра, знайдена методом 
максимізації поліному, є спроможною й асимптотично незміщеною. 

Введемо в розгляд матрицю Jsn ()  з елементами 
 n s s   
J (q,m) ( ) = k (v) ( (v)
sn  i(q ) 0 )k  ( )F
j( m ) 0 (i, j)v (0 ) =  
v=1i=1 j=1
s n  
= (v) 
 k  ( ) miv ( ) , m,q = 1, p .                      (2.12) 
j( m )
i=1 v=1 q
 

Матрицю Jsn ()  з елементами (2.12) будемо називати матрицею кількості 

добутої інформації про векторний параметр  , що можна витягти з незалежної 

неоднаково розподіленої вибірки x  методом максимізації поліному при 
використанні степеневого стохастичного поліному ступеня s .  
Варіаційна матриця оцінок компонент векторного параметра, знайдених 
методом максимізації поліному, асимптотично дорівнює зворотній матриці 

Jsn () , тобто 
 
 
V () = J −1
sn sn () .                                              (2.13) 
 
Звідки асимптотичні дисперсії оцінок складових векторного параметра є 

діагональними елементами матриці Vsn () .  
 
 
2.4 Синтез сумісного вимірювача амплітуди радіосигналу і параметрів 
ексцесної завади 1-го типу по основній вибірці 
 
В даній роботі розглядається випадкова величина, яка є математичною 
моделлю адитивної взаємодії радіосигналу і негауссівської завади, що описується 
мовою кумулянтів. В зв’язку з цим оцінювати параметри такої випадкової 
величини бажано тим методом, який використовує опис цієї випадкової величини 
у вигляді усереднених характеристик, наприклад, моментів, кумулянтів тощо. При 
використанні метода максимальної правдоподібності необхідно здійснити перехід 
з мови кумулянтів на мову щільності розподілу ймовірності. Природно це 
ускладнює саму процедуру знаходження оцінок, тому краще скористатись іншим 
методом. Метод найменших квадратів можна застосовувати тільки для оцінки 
параметрів корисного сигналу, і він взагалі не придатний для оцінки параметрів 
завади. Найоптимальнішого результату при оцінці параметрів випадкової 
величини, яка описується кінцевою послідовністю кумулянтів, можна досягти 
використовуючи метод максимізації поліному, котрий за своєю суттю нагадує 
метод максимальної правдоподібності.  
В якості прототипу розглянемо алгоритм сумісної оцінки амплітуди 
радіосигналу і параметрів ексцесної завади 1-го типу, отриманий при 
опрацюванні однієї основної вибірки. Згідно з методом максимізації поліному 
спільна оцінка параметрів A , 2  і  4  можлива при ступені поліному s  4 .  

Розглянемо випадок, коли оцінка векторного параметру  = {A, 2 , 4} 
знаходиться методом максимізації поліному за основною вибіркою 

y = {y1, y2 ,..., ym} обсягом m  при ступені поліному s = 4  
m  m 
k (v) (v) 2 2
1A ( )[yv − Sv ]+ k2A ( )[yv − Sv − 2 ]+
v=1 v=1
m 
+ k (v) ( )[y3 3
 3A v − Sv − 3Sv2 ]+                 (2.14) 
v=1
m 
+ k (v) ( )[y4 4 2 2
 4A v − Sv − 6Sv 2 − 2 ( 4 + 3)]  ˆ = 0;
 =
v=1
m  m 
k (v)
  ( )[y − S ]+ k (v) 2 2
1 2 v v  2 ( )[y − S −  ]+
2 v v 2
v=1 v=1
m 
+ k (v) 3
  ( )[yv − S3
v − 3Sv2 ]+                (2.15) 
3 2
v=1
m 
+ k (v)
  ( )[y4 4
v − Sv − 6S2
v  2
2 − 2 ( 4 + 3)]  ˆ = 0;
4 2  =
v=1
 
m  m 
k (v) ( )[y − S ]+ k (v)
  v v   ( )[y2
v − S 2 −  ]+
1 4 2 4 v 2
v=1 v=1
m 
+ k (v)
  ( )[y3 3
v − Sv − 3Sv2 ]+                 (2.16) 
3 4
v=1
m 
+ k (v)
 ( )[y4 − S 4 − 6S 2
v v v  2  
4 4 2 − 2 ( 4 + 3)] ˆ = 0.
 =
v=1
 
   
(v) (v) (v) (v)
Коефіцієнти кожного з трьох рівнянь k () , k () , k ()  і k () , 
1p 2 p 3p 4 p
p = 1,3  знаходяться з розв'язку відповідної системи чотирьох лінійних 
алгебраїчних рівнянь виду: 
 
4   
(v) (v) 
k ()Fi, j () = miv (), i =1,4, p =1,3 .                  (2.17) 
jp
j=1 p
 
Опускаючи громіздкі обчислення запишемо кінцеві вирази для відповідних 
коефіцієнтів рівнянь максимізації поліному. Так коефіцієнти рівняння (2.14) 
запишуться у вигляді 
 
 
k (v) 1
1A ( ) = 6Bv  8
2a1(22 (2 4 +1) − A2B2 (v)
v  4 ) ,    k4A ( ) = 0  
4
 
 
k (v) 1 2 8 (v) 1 8
2A ( ) = 6ABv 2 4a1 ,     k3A ( ) = − 2Bv 2 4a1                (2.18) 
4 4
де 
a1 = 24 + 84 4 + 38 2
4 +17 3
4 . 
 
Коефіцієнти рівняння (2.15) дорівнюють 
 
 1
k (v)
 ( ) = 4 7 AB a (A2B2
2 v 2 v b2 + 3c
1 2 2 )  
4
 

(v) 1
k ( ) = − 6 7
2 a (A2B2
2 v b2 + c )
 2 ,                       (2.19) 
2 2 4
 
 
k (v) 1
( ) = 4 7 AB a b k (v) 1
2 v 2 2 ,     ( ) = −  7a b , 
32  42 2 2 2
4 4
де 
a 2 2
2 =  4 − 9 4 − 6 ,      b2 = 2 4 ( 4 − 2) ,      c2 = 2 ( 4 +16 4 + 4) . 
 
Вирази для коефіцієнтів рівняння виду (2.16) мають вид: 
 
 1 
(v) 1
k ( ) = 4 8
2 ABv a3 (A2B2b − c ) (v) 8
 v 3 3 ,    k ( ) = 4
 2 ABva3b3 , 
1 4  3 4
4 4
 
 
k (v) 1
  8 2 2 (v) 1
 ( ) = − 2 2a3 (3A Bv b3 − c3) ,      k ( ) = −  8
2a
2  3b3 .     (2.20) 
4  4 4
4 4
де 
a = a =  2
3 2 4 − 9 4 − 6 ,      b3 = ( 4 + 2) ,      c3 = 2 (7 4 + 6) . 
 
У коефіцієнтах (2.18)-(2.20) використовується позначення  4  - об’єм тіла 
ексцесної випадкової величини 1-го типу при s = 4 , який в термінах введених 
позначень дорівнює  10
4 = −22 a1a2 . 
Підставляючи оптимальні коефіцієнти (2.18)-(2.20) у відповідні рівняння 
максимізації поліному (2.14)-(2.16) одержимо систему нелінійних рівнянь 
відносно оцінюваних параметрів. Використовуючи чисельні методи можна знайти 
розв’язок отриманої системи рівнянь. 
Проаналізуємо асимптотичні властивості оцінок параметрів. При спільному 
оцінюванні параметрів необхідно найти так звану варіаційну матрицю оцінок, 
діагональні елементи якої дорівнюють дисперсіям відповідних оцінок. 
Згідно з виразом (2.12), використовуючи коефіцієнти (2.18)-(2.20), знайдемо 
елементи матриці кількості добутої інформації 
J (1,1) m
4m = 3 9
2 (2 + 3 4 )(17 3
4 + 38 2
4 + 84 4 + 24) , 
4
 
J (1,2) = J (2,1) (1,3) (3,1)
4m 4m = J4m = J4m = 0 , 
 
(2,2) m
J = − 28 2 3 2
4m 2 ( 4 − 9 4 − 6)(2 4 + 5 4 + 36 4 +12) ,            (2.21) 
4
 
J (2,3) = J (3,2) m
4m 4m = − 2 9
2 4 ( 4 − 2)( 2
4 − 9 4 − 6) , 
4
 
J (3,3) m
4m = − 210
2 ( 4 + 2)( 2
4 − 9 4 − 6) . 
4
 
Знаходячи обернену матрицю до матриці кількості добутої інформації, і 
виписуючи її діагональні елементи, знайдемо шукані дисперсії оцінок параметрів 
A ,  2  та  4   
 
2 2  2 
 = 2 
1− 4 
( A)4 ,                                  (2.22) 
m 
 3(2 + 3 4 ) 

 
 2
 2
( = 2 ( + 2),                                        (2.23) 
2 )4 4
m
 
2 2
 = (12 + 36 + 5 2 3
( )4 4 4 + 2 4 ) .                             (2.24) 
4 m
 
Дисперсії отриманих оцінок є функціями від істинних значень параметрів 
ексцесної завади 1-го типу і обернено пропорційні обсягу вибірки. 
 
3. СИНТЕЗ ПОЛІНОМІАЛЬНИХ АДАПТИВНИХ АЛГОРИТМІВ 
ОЦІНЮВАННЯ АМПЛІТУДИ РАДІОСИГНАЛУ ПРИ ЕКСЦЕСНІЙ 
ЗАВАДІ 1-ГО ТИПУ З ВИКОРИСТАННЯМ НАВЧАЛЬНОЇ ВИБІРКИ 
 
3.1 Постановка задачі 
 
Припустимо, що на інтервалі часу спостереження t [0;T ] потрапляє сигнал 
на вхід приймача у вигляді адитивної суміші радіосигналу S(t, A)  і завади (t, p) , 
який представляється вибіркою незалежних неоднаково розподілених вибіркових 
значень y ={y1,..., ym} об’ємом m з генеральної сукупності значень випадкової 
послідовності  
 
yv = Sv(A) +v(p) ,      v =1,m .                                  (3.1) 
 
Радіосигнал представлений у вигляді Sv (A) = Aev cos(2fv + ) , в якому 
амплітуда A підлягає оцінюванню, а частота f і початкова фаза   сигналу 
приймаються повністю відомими; множник ev  - обвідна радіосигналу;   - період 
дискретизації; v  - відліки часу спостереження.  
Як модель завади v(p)  використовується ексцесна випадкова величина 1-
го типу, в описі якої математичне сподіванням вважається нульовим, а значущими 
параметрами вважають дисперсію 2  і коефіцієнт ексцесу  4 . Таким чином, 

векторний параметр завади p  містить дві компоненти { 2 ,  4 }, значення яких є 
невідомими і підлягають оцінюванню з використанням додаткової навчальної 
вибірки x = {x1,..., xn}  об’ємом n  з генеральної сукупності значень випадкової 
величини  
 
xv =v(p) ,      v =1,n .                                      (3.2) 
 
Для адаптивного оцінювання амплітуди радіосигналу потрібно знайти три 
компоненти векторного параметру ˆ
 ={ˆ, ˆ2 ,ˆ4} , дисперсія яких є мінімально 
можливою, з використанням статистичних даних основної вибірки y . Для 
спрощення обчислювальної процедури компоненти векторного параметру 
pˆ

={ˆ ,ˆ }  знаходяться з використанням навчальної вибірки x .  
2 4
Відповідно до методу максимізації поліному [4] система рівнянь для 
знаходження адаптивної оцінки амплітуди радіосигналу по основній вибірці y  
об'ємом m  та оцінок параметрів завади { 2 ,  4 } ексцесної завади 1-го типу по 

навчальній вибірці x  об'ємом n  має вигляд 
 
s m
k (v)
 ( )[yi
v − miv ( )] ˆ = 0, s = 2,3,...  
i,1  =
i=1 v=1
 
z n
 k i
i , (
q 2 , 4 )[xv − i (2 , 4 )] 2 =ˆ = 0,
2      z = 4,5,... q = 2,3 . 
ˆ
i=1 v=1  4 = 4
 
де m i i
iv = E{yv} , iv = E{xv}  - початкові моменти випадкової величини yv  [5], що 
містить адитивну суміш корисного сигналу і завади виду (3.1) і xv ,  що містить 
лише заваду, виду (3.2) відповідно (де Е – символ операції математичного 
сподівання). 
Відповідно до методу максимізації полінома спільна оцінка шуканих 
параметрів можлива при ступені полінома s = 4  й вище, оскільки коефіцієнт 
ексесу  4  входить у початкові моменти  починаючи з  четвертого порядку. 
 
3.2 Адаптивний алгоритм оцінювання параметра А при ексцесній 
заваді 1-го типу при квадратичній обробці основної та обробці 
навчальної вибірки при s=4 
 
Як зазначалося в попередньому розділі основною перевагою використання 
двох вибірок є можливість зменшення ступеня нелінійності опрацювання 
алгоритму. Згідно з методом максимізації поліному, при наявності двох вибірок: 
 
основної y  та навчальної x  відповідно обсягами m  та n , оцінка векторного 

параметру  = {A, 2 , 4} може бути знайдена з розв’язку системи рівнянь 
максимізації поліному виду 
 
m  m 
k (v) ( )[ y − S ]+ k (v)
 1A v v  2A ( )[ y2 − S2
v v − 2 ]  ˆ = 0;  
 =
v=1 v=1
 
n n
k (v)
  (2 , 4 )x (v)
v + k  (2 , 4 )[x2
1 2 2 2 v − 2 ]+
v=1 v=1
   (3.3) 
n n
+ k (v) 3
  (2 , 4 )xv + k (v)
 (2 , 4 )[x4 2
v − 2 ( 4 + 3)] = 0;
3 2 4  = ˆ
2 2 2
v=1 v=1  4 =ˆ4
 
n n
(v)
k  (2 , 4 )xv + (v) 2
1 k  ( , )[x −  ]+
4 2 4 2 4 v 2
v=1 v=1
 
n n
+ k (v) 3 (v) 4 2
 3 (2 , 4 )xv + k  ( , )[x −  ( + 3)]  = ˆ = 0;
4 4 4 2 4 v 2 4 2 2
v=1 v=1  4 =ˆ4
 
Зазначимо, що рівняння виду (3.3) мають найменші з можливих ступенів. 
 
Коефіцієнти першого рівняння k (v)
1A ( )  та k (v)
2A ( )  знаходяться з розв’язку 
відповідної системи рівнянь виду (2.12), яка в даному випадку має вигляд 
 
    
k (v) (v) 
1A ( )F(1,1)v ( ) + k2A ( )F(1,2)v ( ) = m1v ( ) , 
A
    
k (v) 
1A ( )F (v)
(1,2)v ( ) + k2A ( )F(2,2)v ( ) = m2v ( ) .(                     3.4) 
A
 
Використовуючи вирази для центрованих корелятів виду (1.33) і похідних 
(1.36) та розв’язуючи відповідну систему рівнянь за правилом Крамера отримаємо 
 

(v) B 
k v
1A ( ) = ,     k (v)
2A ( ) = 0 .                                    (3.5) 
2
 
Коефіцієнти рівнянь, в яких опрацьовується навчальна вибірка знаходяться 
з розв'язків відповідних систем чотирьох лінійних алгебраїчних рівнянь, або 
скористатись результатами роботи [4, с.94, с.101]. Опускаючи громіздкі 
розрахунки, легко показати, що кінцеві вирази для відповідних коефіцієнтів 
другого рівняння максимізації поліному (3.3) мають вид 
 
k (v)
 (2 , 4 ) = k (v)
 (2 , 4 ) = 0 
1 2 3 2
 

(v) 3( 2 +16 + 4)
k ( ) = 4 4
 ,                         (3.6) 
2 2  2(17 3
2 4 + 38 2
4 + 84 4 + 24)
 

(v)  4 ( 4 − 2)
k  ( ) = . 
4 2  3
2 (17 3
4 + 38 2
4 + 84 4 + 24)
 
Вирази для коефіцієнтів третього рівняння виду (3.3) мають вид 
 
k (v)
 (2 , ) = k (v)
4  (
1 4 3 4 2 , 4 ) = 0  
 

(v) 7 + 6
k  ( ) = − 4 ,                        (3.7) 
2 4  (17 3
2 4 + 38 2
4 + 84 4 + 24)

k (v)  + 2
 ( ) = 4 . 
4 4 2 2 3 2
2 (17 4 + 38 4 + 84 4 + 24)
 
Підставляючи коефіцієнти виду (3.5)-(3.7) у рівняння (3.3), і застосовуючи 
чисельні методи, можна обчислити оцінку шуканого векторного параметру. В 
розділі 4 буде показано, що точністні характеристики даного алгоритму відносно 
амплітуди радіосигналу не будуть відрізнятися від точнісних характеристик 
вимірювача амплітуди радіосигналу, синтезованого при гіпотезі гауссовості 
завади. Тому алгоритм, описаний в даному пункті, застосовувати на практиці 
недоцільно.  
 
 
3.3 Адаптивний алгоритм оцінювання параметра А при ексцесній 
заваді 1-го типу при кубічній обробці основної та біквадратній 
обробці навчальної вибірки при s=4 
 
В роботах [3; 4] показано, що для підвищення точнісних характеристик 
алгоритмів слід застосовувати поліноми вищих ступенів. Розглянемо адаптивний 
алгоритм оцінювання амплітуди радіосигналу, аналогічний алгоритму виду (3.3), 
який відрізняється тим, що перше рівняння буде не квадратним, а кубічним 
відносно вибіркових значень yv , а саме 
 
m m
k (v)
1A ( )[y (v)
v − Sv ] + k2A ( )[y2 − S 2
v v − 2] +
v=1 v=1
                   (3.8) 
m
+ (v)
k3A ( )[y3
v − S3
v − 3Sv2] ˆ = 0;
 =
v=1
 
Трійка коефіцієнтів рівняння (3.8) знаходяться з розв’язку системи лінійних 
алгебраїчних рівнянь виду 
 
     
(v) (v)  
k1A ( )F(1,1)v ( ) + k2A ( )F(1,2)v ( ) + k (v)
3A ( )F(1,3)v ( ) = m1v ( ) , 
A
 
       
k (v)
1A ( )F(1,2)v ( ) + k (v)
2A ( )F (v)
(2,2)v ( ) + k3A ( )F(2,3)v ( ) = m2v ( ) ,      (3.9) 
A
 
     
(v) (v) (v)  
k1A ( )F(1,3)v ( ) + k2A ( )F(2,3)v ( ) + k3A ( )F(3,3)v ( ) = m3v ( ) . 
A
 
Беручи до уваги вирази для центрованих корелянтів виду (1.33) і похідних 
від моментів (1.36) та розв’язуючи відповідну систему рівнянь за правилом 
Крамера отримаємо 

k (v) 1
1A ( ) = 3B 4
v2 ( 4 + 2)(2 + 4  − S 2
2 2 4 v 4 ) ,  
3
 

k (v) 1
2A ( ) = 3Sv B  4
v 2 4 ( 4 + 2) ,                                 (3.10) 
3
 
 1
k (v) 4
3A ( ) = − Bv2 4 ( 4 + 2)  
3
 
де 3  - об’єм тіла розміром 3 ексцесної випадкової величини 1-го типу, який 
дорівнює 
 
3 =  6
2 ( 4 + 2)(6 + 9 − 2
4 4 )  
 
Розв’язуючи чисельними методами систему рівнянь (3.8), (3.2) і (3.3) з 
ваговими коефіцієнтами (3.10), (3.6) і (3.7) відповідно, знаходимо оцінку 
амплітуди радіосигналу і як супутній результат оцінки параметрів ексцесної 
завади 1-го типу.  
Далі буде продемонстровано, що синтезований адаптивний алгоритм 
оцінювання амплітуди радіосигналу при ексцесній заваді 1-го типу при кубічній 
обробці основної та обробці навчальної вибірок при s=4 матиме підвищені 
точністні характеристики порівняно з гауссівським вимірювачем. 
Розглянемо можливі шляхи технічної реалізації даного алгоритму. На 
рисунку 3.1 наведено блок схему адаптивного алгоритму оцінювання амплітуди 
радіосигналу при ексцесній заваді 1-го типу при кубічній обробці основної та 
обробці навчальної при s=4 вибірок. Очевидно, що згідно з рівняннями (3.8), 
двома рівняннями для параметрів завади (3.3) алгоритм має три канали, кожний з 
яких відповідає за формування відповідного рівняння максимізації поліному.  
 
 
 
 
 
Рисунок 3.1 – Структурна схема адаптивного оцінювання амплітуди  радіосигналу при ексцесній заваді 1-го 
типу при кубічній обробці основної та обробці навчальної при s=4 вибірок 
На вхід алгоритму подається неперервний сигнал y(t)  або x(t) , який за 

допомогою дискретизатора (Д) перетворюється у вибірку Y = {y1, y2 ,..., ym}  або 

X = {x1, x2 ,..., xn}  відповідно об’ємом m  та n . За допомогою ключа К 
здійснюється комутація виходу Д з відповідним каналом. Якщо формується 
перше рівняння виду (3.8), тобто опрацьовується основна вибірка 

Y = {y1, y2 ,..., ym} , то ключ знаходиться в положенні 1. У разі опрацювання 

навчальної вибірки X = {x1, x2 ,..., xn}  для формування рівнянь для параметрів 
завади (3.3), ключ перемикається у положення 2.  
На першому етапі необхідно сформувати інформаційну базу про канал 
зв’язку, тобто оцінити параметри ексцесної завади 1-го типу за навчальною 
вибіркою. Для цього в блоках перемноження елементи послідовності xv  
піддаються квадратичній x2
v , кубічній x3
v  та біквадратній x4
v  обробці. Вибіркові 
значення, які підводились до парного ступеня x2
v  і x4
v , згодом потрапляють на 
блоки віднімання, з отриманням результату на виході у вигляді значень ( x2
v − 2 ) 
та [x4 2
v − 2 ( 4 + 3)] відповідно. Як початкові значення параметрів ексцесної 
завади 1-го типу 2  і  4  можна взяти їх оцінки, знайдені, наприклад, методом 
моментів, або керуючись іншими міркуваннями. Після цього величини xv , 
( x2 −  ), x3  та [x4 − 2
v 2 v v 2 ( 4 + 3)]  подають в другий та третій канали, де вони 
перемножуються з відповідними ваговими коефіцієнтами виду (3.6) і (3.7) 
відповідно. Відповідні добутки накопичуються в спеціальних блоках і по 
завершенню обробки m -го значення підлягають усередненню. Статистики-
доданки подаються на чотири входи суматорів другого і третього каналів. 
В наступний проміжок часу вимірювальна система визначає параметри 
корисного сигналу. Для цього в першому каналі в блоках перемноження вибіркові 
значення yv  піддаються квадратичній y2
v  та кубічній y3
v  обробці, після чого в 
блоках віднімання відбувається їх центрування відносно теоретичних моментів, а 

в блоках множення – зміна в k (v)
iA ( ) , i =1,2,3 разів. далі отримані значення 
усереднюються в блоках обчислення середнього арифметичного, а вихідні 
статистики потрапляють на входи суматора першого каналу.  
З виходів трьох суматорів статистичні дані, опрацьовані згідно з 
алгоритмом (3.10), (3.2) і (3.3), потрапляють в спеціалізований пристрій розв’язку 
системи нелінійних рівнянь, який здійснює обчислення оцінки векторного 

параметру  ={A, 2, 4}. 
В блок-схемі, представленій на рисунку 3.1, використовуються наступні 
позначення: 
  
 
x(t)           Д         xv  Блок, що виконує дискретизацію безперервного 
 випадкового процесу;  
xv                    x    Блок, що обчислює середнє арифметичне дискретних 
1
   числових значень, що поступають на його вхід (складається 
n
 з суматора та пристрою нормування на об'єм вибірки);  
  
                         1 
    К Ключ, що здійснює комутацію входу з одним з виходів 
 
 
               2 
 
a   
                     c 
    Блок, що обчислює добуток двох числових значень a та b ; 
b 
 c = ab  
 
a   
             +         c 
    Блок, що обчислює суму двох числових значень a та b ; 
b 
 c = a + b  
a  
 
          _            c 
  Блок, що обчислює різницю двох числових значеньb  та a; 
b 
 c = b − a  
 
 
F (x)                     Розв’язувальний пристрій (сигнальний процесор) - блок, що 
 РП 
 здійснює розв’язок нелінійного рівняння або системи 
нелінійних рівнянь з отриманням оцінки на його виході.  
3.4 Адаптивний алгоритм оцінювання параметра А при ексцесній 
заваді 1-го типу при обробці основної та навчальної вибірок при s=4 
 
Згідно з методом максимізації поліному оцінка шуканого векторного 
параметру при обробці основної та навчальної вибірок  при s=4 знаходиться з 
розв’язку трьох рівнянь максимізації поліному. Перше рівняння має вид (2.14) з 
коефіцієнтами (2.18). Друге і третє рівняння, які описують процес опрацювання 
завадової вибірки, мають вид (3.3) з ваговими коефіцієнтами (3.6) і (3.7) 
відповідно. Асимптотичні властивості даного алгоритму буде досліджено в 
наступному розділі. Для розв’язку даної системи обов’язково слід 
використовувати чисельні методи.  
Блок-схема адаптивного алгоритму оцінювання амплітуди радіосигналу, що 
приймається на фоні ексцесної завади 1-го типу, при використанні основної та 
навчальної вибірок при s = 4  буде аналогічна блок-схемі, представленій на 
рисунку 3.1, якщо останню доповнити пристроями для формування четвертого 
доданку першого рівняння. Для цього необхідно встановити перемножував, який 
формуватиме послідовність y4
v , v =1,m . Після цього ці значення потрапляють на 
пристрій віднімання, в якому для кожного v -го значення знаходять різницю між 
y4
v  і теоретичним моментом відповідного порядку. Отримані m  значень 
послідовно корегується в блоці перемноження згідно зі значенням вагового 
коефіцієнта, після чого знаходиться їх середнє арифметичне. Сформована 
статистика подається на додатковий вхід суматора першого каналу. Структура 
другого і третього каналів не зазнає змін.  
 
3.5 Адаптивний алгоритм оцінювання параметра А при ексцесній заваді 
1-го типу при застосуванні стохастичного поліному п’ятого ступеня 
для обробки основної вибірки 
 
Розглянемо випадки, коли ступінь поліному для опрацювання основної 
вибірки фіксована s = 5 , а ступені поліномів для опрацювання навчальної вибірки 
можуть бути s = 4  або s = 5 . Як буде показано далі точність оцінки параметра А 
не залежить від ступеня нелінійності опрацювання завадової вибірки, тому немає 
сенсу підвищувати ступінь поліному і можна обмежитись випадком s = 4 . Але 
для обґрунтування цієї властивості оцінки параметра А, необхідно знайти і вагові 
коефіцієнти рівнянь, що описують алгоритм знаходження оцінок параметрів 
ексцесної завади 1-го типу при s = 5 . Розглянемо перший випадок, коли перше 
рівняння для знаходження оцінки амплітуди радіосигналу при адаптації до 
параметрів ексцесної завади 1-го типу має вид 
 
m   m  
k (v) ( )[y − m ( )]+ k (v) 2
 1A v 1v  2A ( )[yv − m2v ( )]+
v=1 v=1
m   m  
+ k (v)
 3A ( )[y3
v − m3v ( )]+ (v)
k4A ( )[y4
v − m4v ( )]+              (3.11) 
v=1 v=1
m  
+ (v)
k5A ( )[y5
v − m5v ( )]  ˆ = 0;
 =
v=1
 

де початкові моменти miv (), i =1,5  для кожного v -го значення описуються 
виразами (1.29). 
Друге і третє рівняння даної системи, як і раніше, описуються виразами 
(3.2) і (3.3) з ваговими коефіцієнтами (3.6) і (3.7) відповідно.  

Обчислюючи коефіцієнти k (v)
iA ( ) , i =1,5  за методикою, аналогічною 
методиці обчислення коефіцієнтів при нижчих ступенях поліному, можна 
записати у їх в кінцевому вигляді 

k (v)
1A () = −3a 4
0a1[Sv 4b1 + S2
v 4c1 + d1] , 
 
 
k (v)
2A () = 3a0a1Sv 4[S2
v b1 + c1],      k (v)
3A () = −a0a1 4[3S2
v b1 + c1] ,          (3.12) 
 
 
k (v)
4A ( ) = −15Sv
(v)
4a0a1b1 ,       k5A () = 3 4a0a1b1 . 
 
Для компактності запису у виразах для коефіцієнтів виду (3.12) 
застосовуються такі позначення 
 
20
a0 = Bv ,       a = 12
1 2 (17 3
4 + 38 2
4 + 84 4 + 24) , 
5
 
b1 = − 4 ( 4 + 2) ,     c1 = 2 (115 2
4 +120 4 +12) , 
 
d 2
1 = 2 (35 4 − 225 3
4 4 − 320 2
4 −168 4 − 24) , 
 
5 = −2015(17 3 2
2 4 + 38 4 + 84 4 + 24) 
 
 (175 4
4 − 345 3
4 − 678 2
4 − 468 4 − 72).
 
Для розв’язку системи максимізації поліному при використанні ступеня 
поліному s = 5  для обробки основної вибірки і s = 4  для обробки навчальної 
вибірки необхідно використовувати чисельні методи. 
Блок-схема алгоритму оцінювання амплітуди радіосигналу, що 
підлаштовується під конкретні параметри ексцесної завади 1-го типу при 
використанні поліномів п’ятого і четвертого ступенів практично повністю 
співпадає з блок-схемою алгоритму знаходження оцінки при s = 4 . Різниця між 
схемами полягає в тому, що алгоритм, який описується рівнянням (3.11) 
додатково містить блоки формування і опрацювання значень y5
v  порівняно з 
алгоритмом (2.18). 
При застосуванні стохастичних поліномів п’ятого ступеня для опрацювання 
основної і навчальної вибірок перше рівняння системи має вигляд (3.11) з 

оптимальними коефіцієнтами (3.12), а рівняння для опрацювання вибірки x  
мають вид 
 
n n n
k (v) (v)
 (2 , 4 )xv + k  (2 , 4 )[x2 (v)
v − 2 ]+ k  ( , )x3 +
1 2 2 2 3 2 2 4 v
v=1 v=1 v=1
   (3.13) 
n n
+ k (v) ( , 4 2 (v) 5
 42 2 4 )[xv − 2 ( 4 + 3)]+ k (2 , 4 )xv 2 =ˆ
 2 = 0;
5 2  4 =ˆ
v=1 v=1 4
 
n n n
k (v)
  (2 , )x + k (v)
4 v   (2 , 4 )[x2 (v)
v − 2 ]+ k  ( , )x3 +
1 4 2 4 3 4 2 4 v
v=1 v=1 v=1
   (3.14) 
n n
+ k (v) ( , )[x4 2 (v)
  2 4 v − 2 ( 4 + 3)]+ k  (2 , 5
4 4 5 4 4 )xv 2 =ˆ2 = 0;
 =ˆ
v=1 v=1 4 4
 
Легко показати [4, с.95, с.102], що оптимальні коефіцієнти рівняння виду 
(3.13) мають вигляд: 
 
k (v) (v) (v)
1 (
2 2 , 4 ) = k  (2 ,
3 2 4 ) = k  (2 , 4 ) = 0 , 
5 2
 
k (v) 60
 (2 , 4 ) = − 13( 2
2 4 +16 4 + 4) 
2 2 5 ,                      (3.15) 
 (175 4 − 345 3 − 678 2
4 4 4 − 468 4 − 72)
 
k (v) 20 12 4
 (2 , 4 ) = − 2  4 ( 4 − 2)(175 4 − 345 3
4 − 678 2
4 − 468 4 − 72)
4 . 
2 5
 
Коефіцієнти рівняння виду (3.14)  запишуться у вигляді 
k (v)
 (2 , 4 ) = k (v)
 (2 , 4 ) = k (v)
 (2 , 4 ) = 0 , 
1 4 3 4 5 4
 
20
k (v)
 (2 , 4 ) = 14
2 (175 4 − 345 3
4 4 − 678 2
4 − 468 4 − 72)(7 4 + 6)
2 ,  (3.16) 
4 5
 
20
k (v) ( 12 4 3 2
4 4 2 , 4 ) = 2  4 (175 4 − 345 4 − 678 4 − 468 4 − 72)( 4 − 2) . 
5
 
Як вказувалося в роботі [4, с.95, с.102] вагові коефіцієнти для оцінки 
параметрів ексцесної завади 1-го типу при ступенях поліному s = 4,5  співпадають. 
Тобто в даному випадку, якщо замість позначення 5  підставити його вираз і 
привести подібні, то коефіцієнти (3.6) і (3.15), а також (3.7) і (3.16) попарно 
співпадають.  
Як вже зазначалось, застосування даного алгоритму не дає виграшу в 
точності опрацювання, тому і його технічна реалізація не доцільна. 
 
 
3.6 Адаптивний алгоритм оцінювання параметра А при ексцесній заваді 
1-го типу при застосуванні стохастичних поліномів шостого та 
четвертого ступенів для обробки відповідно основної та навчальної 
вибірок 
 
Розглянемо випадок, коли перше рівняння максимізації поліному для 
знаходження оцінки амплітуди радіосигналу при його сумісному оцінюванні з 
параметрами ексцесної завади 1-го типу має шостий ступінь, а саме 
 
m   m  
k (v) (v) 2
 1A ( )[yv − m1v ( )]+ k2A ( )[yv − m2v ( )]+
v=1 v=1
m   m  
+ k (v) 3 (v) 4
 3A ( )[yv − m3v ( )]+ k4A ( )[yv − m4v ( )]+              (3.17) 
v=1 v=1
m   m  
+ k (v)
 5A ( )[y5
v − m5v ( )]+ k (v)
6A ( )[y6
v − m6v ( )]  ˆ = 0;
 =
v=1 v=1
 

У виразі (3.17) всі початкові моменти miv( ), i = 1,6  для кожного v -го 
значення залежать від оцінюваних параметрів і описуються виразами (1.29). 
Завадова вибірка опрацьовується алгоритмом побудованим із застосуванням 
поліномів четвертого ступеня, тобто друге і третє рівняння системи, як і раніше, 
описуються виразами (3.2) і (3.3) з оптимальними коефіцієнтами виду (3.6) і (3.7) 
відповідно.  
Легко показати, що розв’язуючи систему з шести лінійних алгебраїчних 

(v)
рівнянь відносно шести невідомих, вагові коефіцієнти першого рівняння kiA ( ) , 
i = 1,6  запишуться у вигляді 
 

k (v)
1A () = 18
2 a0a1[S
4
v 2
4b1 + Sv 4c1 + d1],        
 

k (v)
2A () = −Sv 18
2 a0a
2
1 4[2Sv b1 + c1],                            (3.18) 
 
 
k (v) 1 18 2 (v)
3A ( ) = 2 a0a1 4[6Sv b1 + c1] ,          k4A ( ) = −S 18
v 2  4a0a1b1, 
3
 
 1 
k (v)
5A ( ) = 18
2  (v)
4a0a1b1 ,        k6A ( ) = 0 . 
5
 
У виразах (3.18) зроблені наступні позначення: 
 
a1 = (7735 6 5
4 + 28980 4 + 29700 4 + 81504  3
4 4 + 61776 2
4 +19008 4 +1728) , 
 
600
a0 = − B 2
v ,      b1 = −5 4 ( 4 + 2) ,      c1 = 2 (115 4 +120 4 +12) , 
6
 
d1 =  2
2 (35 4
4 − 225 3
4 − 320 2
4 −168 4 − 24) , 
 
Для обчислення шуканої оцінки з системи рівнянь максимізації поліному 
виду (3.17), (3.3) необхідно використовувати чисельні методи, наприклад, метод 
Ньютона-Рафсона. 
Блок-схема адаптивного алгоритму оцінювання амплітуди радіосигналу, що 
приймається на фоні ексцесної завади 1-го типу, при використанні поліномів 
шостого і четвертого ступенів практично повністю співпадає з блок-схемою 
алгоритму знаходження оцінки при використанні поліномів п’ятого і четвертого 
ступенів. Відмінність між схемами полягає в тому, що алгоритм, який описується 
рівнянням (3.17) додатково містить блоки формування і опрацювання значень y6
v  
порівняно з алгоритмом (3.11). 
 
4. ТОЧНІСНІ ВЛАСТИВОСТІ АДАПТИВНИХ АЛГОРИТМІВ 
ОЦІНЮВАННЯПАРАМЕТРУ А ПРИ ЕКСЦЕСНІЙ ЗАВАДІ  
1-ГО ТИПУ З ВИКОРИСТАННЯМ НАВЧАЛЬНОЇ ВИБІРКИ 
 
4.1. Метод аналізу точнісних властивостей адаптивних алгоритмів 
оцінювання параметру А при ексцесній заваді 1-го типу з 
використанням навчальної вибірки 
 
Для аналізу точнісних властивостей отриманих оцінок не можна 
користуватися методикою, описаною в пункті 2.3, оскільки вона розрахована 
лише на випадок використання однієї вибірки. В даному пункті розглянемо як 
можна проаналізувати точністні характеристики алгоритму у разі використання 
двох вибірок (основної і навчальної). 
Система рівнянь для знаходження адаптивної оцінки амплітуди 

радіосигналу по основній вибірці Y , об'ємом m  та оцінок параметрів ексцесної 

завади 1-го типу по навчальній вибірці X , об'ємом n  має вигляд 
 
s m  
(v)
kiA ( )[ yi
v − miv ( )]  ˆ = 0, s = 2,3,...                 (4.1) 
 =
i=1 v=1
 
s n
k (v) i
 i, (
q 2 , 4 )[xv − miv (2 , 3)] 2 =ˆ2 = 0, s = 4,5,... q = 2,3 .      (4.2) 
 4 =ˆ
i=1 v=1 4
 
  
У системі рівнянь (4.1), (4.2) коефіцієнти k (v) ( ) , k (v)
  ( ) ,..., k (v) ( ) , 
1 q 2 q sq
q = 1,3  знаходиться з розв'язання систем алгебраїчних рівнянь виду (2.9). В 
подальшому будемо вважати, що 1 = A , 2 = 2 , 3 =  4 . 
Перепишемо систему рівнянь для спільної оцінки параметрів A, 2 , 4  при 
використанні основної та навчальної вибірок у вигляді 
 

f1A(Y / A, 2 , 4 ) = 0,  
 

f2 (X / 2 , 4 ) = 0,                                            (4.3) 
2
 
f3 (X / 2 , ) = 0 . 
4 4
 
При великих значеннях m  і n  розкладемо відповідні рівняння в ряд 
Тейлора в околиці відповідних векторних параметрів, обмежившись першими 
двома членами. Маємо 
 
   
f1A(Y / Aˆ, ˆ2 ,ˆ4 )  f1A(Y / A0 , 20 , 40 ) + (Aˆ − A0 ) f1A(Y / A0 , 20 , 40 ) +
A
   (4.4) 
 
+ (ˆ2 − 20 ) f1A(Y / A0 , 20 , 40 ) + (ˆ4 − 40 ) f1A(Y / A0 , 20 , 40 )  0,
2  4
 
   
f2 (X / ˆ2 ,ˆ4 )  f2 (X / 20 , 40 ) + (ˆ2 − 20 ) f2 (X / 20 , 40 ) +
2 2  2
2
     (4.5) 
 
+ (ˆ4 −  40 ) f2 (X / 
2 20 , 40 )  0,
 4
 
   
f3 (X / ˆ2 ,ˆ4 )  f3 (X / 20 , ) + (ˆ −  ) f
4 4 40 2 20 3 (X / 
4 20 , 40 ) +
2
       (4.6) 

+ (ˆ4 −  40 ) f3 (X / 20 , 40 )  0.
 4
4
 
Легко помітити, що у відповідності з виразом  
 
2   
− l (q)
sm (Y / )  → J (q,g )
sm (0 ) .                             (4.7) 
  0
q g
 
можна для рівняння (4.4) ввести наступні позначення 
 
 
f (Y / A ,  , ) = −J (1,1)
1A 0 20 40 sm (A0, 20, 40) , 
A
 
 
f (1,2)
1A(Y / A0 , 20 , 40 ) = −J sm (A0 , 20 , 40 ) , 
2
 
 
f1A(Y / A0 , 20 , 40 ) = −J (1,3)
sm (A0 , 20 , 40 ) . 
 4
 
Аналогічно рівнянь (4.5) і (4.6) можна записати 
 
 
f (X /  , ) = −J (2,2)
2 20 40 sn ( ,
2 20 40 ) , 
2
 
 
f (X /  , ) = −J (2,3)
2 ( , ) , 
 2 20 40 sn 20 40
4
 
 
f3 (X / 20 , 40 ) = −J (2,3)
sn (20 , 40 ) , 
 4
2
 
 
f3 (X /  (3,3)
4 20 , 40 ) = −J sn (20 , 40 ) . 
 4
 
Тоді система рівнянь (4.4)-(4.6), з врахуванням позначень, може бути 
записана у вигляді 
 
(Aˆ − A0)J (1,1)
sm (A0, 20, 40) + (ˆ2 − 20)J (1,2)
sm (A0, 20, 40) +
            (4.8) 
+ (ˆ4 − 40)J (1,3)
sm (A0, 20, 40) = f1A(Y / A0, 20, 40),
 

(ˆ −  )J (2,2) ( , ) + (ˆ −  )J (2,3)
2 20 sn 20 40 4 40 sn (20 , 40 ) = f2 (X / 20 , 40 ),   (4.9) 
2
 

(ˆ −  )J (2,3) ( , (3,3)
2 20 sn 20 40 ) + (ˆ4 −  40 )J sn (20 , 40 ) = f3 (X / 20 , 40 ) . (4.10) 
4
 
Розв’язуючи систему рівнянь (4.8)-(4.10) легко знайти величини відхилень 
оцінок параметрів від своїх істинних значень. У відповідності з правилом 
Крамера маємо  
 
ˆ   
(A − A0 ) = 1 ,       (ˆ −  2
2 20 ) = ,       (ˆ − ) = 3
4 40 , 
  
 
де   - головний визначник системи рівнянь (4.8)-(4.10), який дорівнює 
 
J (1,1) (A (1,2) (1,3)
sm 0 , 20 , 40 ) J sm (A0 , 20 , 40 ) J sm (A0 , 20 , 40 )
 = 0 J (2,2) ( , ) J (2,3)
sn 20 40 sn (20 , 40 ) =
0 J (2,3) (3,3)
sn (20 , 40 ) J sn (20 , 40 )
 (4.11) 
= J (1,1)
sm (A0 , 20 , 40 )[J (2,2) ( , )J (3,3) (2,2)
sn 20 40 sn (20 , 40 ) − (J sn (20 , 40 ))2 ],
 
де  l , l =1,2,3  - визначники, одержувані з головного визначника  , шляхом 
заміни l -го стовпця стовпцем вільних членів. 
Тоді легко одержати вираз для величини (Aˆ − A0)  

f1A(Y / A0 , 20 , 40 ) J (1,2)
sm (A0 ,  , ) J (1,3)
20 40 sm (A
 0 , 20 , 40 )
ˆ 1
(A − A (2,2) (2,3)
0 ) = f2 (X / 20 , 40 ) J sn (20 , 40 ) J sn (20 , 40 ) =
 2 
f3 (X / 20 , 40 ) J (2,3)
sn (20 , 4 ) J (3,3)
sn (
4 20 , 40 )
 
1   
= [ f1A(Y / A0 , 20 , 40 )M1,1 − f2 (X / 20 , 40 )M2,1 + f3 (X / 20 , 40 )M ],
 2 4 3,1
де M i,1 , i =1,3  мінори елементів ai,1 . 
Величина відхилення оцінки параметра 2  від свого істинного значення має 
вид 
 

J (1,1) (A ,  , ) f (1,3)
sm 0 20 40 1A(Y / A0 , 20 , 40 ) J sm (A
 0 , 20 , 40 )
1
(ˆ (2,3)
2 − 20 ) = 0 f2 (X / 20 , 40 ) J sn (20 , 40 ) =
 2 
0 f3 (X /  , ) J (3,3)
20 40 sn (20 , 40 )
4
1 
= [ f (X /  , )J (1,1)
2 20 40 sm (A0 ,  (3,3)
2 20 , 40 )J sn (20 , 40 ) −  


− f3 (X / 20 , (1,1) (2,3)
4 40 )J sm (A0 , 20 , 40 )J sn (20 , 40 )],
 
Відхилення оцінки параметра  4  від свого істинного значення дорівнює 

J (1,1) (A ,  , ) J (1,2)
sm 0 20 40 sm (A0 , 20 , 40 ) f1A(Y / A
 0 , 20 , 40 )
1
(ˆ4 − 40 ) = 0 J (2,2)
sn (20 , 40 ) f2 (X / 20 , 40 ) =
 2 
0 J (2,3)
sn (20 , 40 ) f3 (X /  , )
4 20 40
1 
= [ f3 (X /  , )J (1,1)
20 40 sm (A0 ,  (2,3)
4 20 , 40 )J sn (20 , 40 ) −  


− f2 (X / 20 , )J (1,1) (2,2)
2 40 sm (A0 , 20 , 40 )J sn (20 , 40 )].
Дисперсія оцінки ̂  може бути знайдена в такий спосіб 
 
2 = E(ˆ −  )2
0 . 

Маємо  
 
1  
 2
ˆ = E(Aˆ − A 2
0 ) = [M 2 2
1,1E{ f1A(Y / A0 ,  2 2
A 2 20 , 40 )}+ M 2,1E{ f2 (X / 20 , 40 )}+
 2
  
+ M 2 2
3,1E{ f3 (X / 20 , 40 )}− 2M1,1M 2,1E{ f1A(Y / A , 
4 0 20 , 40 ) f2 (X / 20 , )}+
2 40
 
 
+ 2M1,1M3,1E{ f1A(Y / A0 , 20 , 40 ) f3 (X / 20 , 40 )}−
4
 
− 2M 2,1M3,1E{ f2 (X / 20 , 40 ) f3 (X / 20 , 40 )}].
2 4
 
Розкривши операцію математичного очікування одержимо 
 

E{ f 2
1A(Y / A ,  (1,1)
0 20, 40)}= J sm (A0, 20, 40) , 
 

E{ f 2 (2,2)
2 (X / 20 , 40 )} = J sn (20 , 40 ) , 
2
 

E{ f 2 (X /  , )} = J (3,3)
3 20 40 sn (20 , 40 ) , 
4
 
 
E{ f1A(Y / A0 , 20 , 40 ) f2 (X /  , )} =
2 20 40
   
= E{ f1A(Y / A0 , 20 , 40 ) f3 (X / 20 , 40 )} = 0,
4
 
 
E{ f (X /  , ) f (X /  , (2,3)
2 20 40 3 20 40 )} = J sn (
2 4 20 , 40 ) . 
 
Таким чином, кінцевий вираз для обчислення дисперсії оцінки параметра A  
має вигляд 
 
 2 1
= [M 2 J (1,1) 2 (2,2)
Aˆ 2 1,1 sm (A0 , 20 , 40 ) + M2,1J sn (20 , 40 ) +
             (4.12) 
+ M 2 J (3,3)
3,1 sn (20 , ) − 2M M J (2,3)
40 2,1 3,1 sn (20 , 40 )].
 
Розглянемо важливий з практичної точки зору випадок, коли кореляція між 
амплітудою радіосигналу і параметрами ексцесної завади 1-го типу відсутня, 
тобто 
 
J (1,2)(A ,  , ) = J (1,2)
sm 0 20 40 sm (A0, 20, 40) = 0.                       (4.13) 
 
Легко показати, що при виконанні умови (4.13) вираз (4.12) прийме вид 
 
 2 1
ˆ = ,                                     (4.14) 
A
J (1,1)
sm (A0 , 20, 40)
 
тобто дисперсія оцінки амплітуди радіосигналу, знайдена спільно з параметрами 
ексцесної завади 1-го типу із застосуванням навчальної вибірки, буде повністю 
співпадати з оцінкою скалярного параметра А при відомих параметрах ексцесної 
завади 1-го типу. 
Приведемо ланцюжок перетворень для виводу формули дисперсії оцінки 
̂2 . 
 
1
 2
ˆ = E(ˆ −  2 (1,1) (3,3) 2
2 2 20 ) = [(J
2 sm (A0 , 20 , 40 )J sn (20 , 40 )) 

 

 E{ f 2
2 (X / 20 , )}+ (J (1,1) (A ,  (2,3) 2
40 sm 0 20 , 40 )J sn (20 , 40 )) 
2

 E{ f 2
3 (X / 20 , 40 )}− 2(J (1,1) (A 2 (2,3)
4 sm 0 , 20 , 40 )) J sn (20 , 40 ) 
 
 
 J (3,3)
sn (20 , 40 )E{ f2 (X / 20 , 40 ) f
2 3 (X / 
4 20 , 40 )}].
 
Використовуючи, наведені вище вирази для математичних очікувань 
відповідних функцій, одержимо кінцевий вираз для визначення дисперсії оцінки 
параметра 2  
 2 1
ˆ = E(ˆ2 −  2
20 ) = [(J (1,1)
sm (A0 , 20 , )J (3,3) ( , ))2
2 40 sn 20 40 
2
 (4.15) 
 J (2,2) ( , ) − (J (1,1) (A ,  , )J (2,3) ( 2
sn 20 40 sm 0 20 40 sn 20 , 40 )) J (3,3)
sn (20 , 40 )].
 
І, нарешті, дисперсія оцінки коефіцієнта ексцесу дорівнює 
 
1
 2
ˆ = E(ˆ −  )2 = [(J (1,1)
4 40 sm (A0 , 20 , 40 )J (2,3) 2
4 2 sn (20 , 40 )) 


 E{ f 2 (X /  , )}+ (J (1,1) (A ,  , )J (2,2)
3 ( , ))2 
4 20 40 sm 0 20 40 sn 20 40
 

 E{ f 2 (X /  (1,1) 2 (2,2)
22 20 , 40 )}− 2(J sm (A0 , 20 , 40 )) J sn (20 , 40 ) 
 
 J (2,3)
sn (20 , 40 )E{ f2 (X / 20 , 40 ) f3 (X / 20 , 40 )}].
2 4
 
Після розкриття операції математичного очікування й приведення подібних, 
одержимо 
2 1
 = [(J (1,1) (A ,  , )J (2,3) ( , ))2 J (3,3)
ˆ sm 0 20 40 sn 20 40 sn ( , ) +
4 2 20 40

+ (J (1,1)
sm (A0 , 20 , 40 ))2 (J (2,2)
sn (20 , 40 ))3 −        (4.16) 
− 2(J (1,1) (2,3)
sm (A0 , 20 , 40 )J sn (20 , ))2 J (2,2)
40 sn (20 , 40 )].
 
З виразів (4.12), (4.15) і (4.16) видно, що для відшукання точністних 
характеристик шуканих оцінок необхідно знати елементи відповідних матриць 
кількості добутої інформації, які обчислюються за виразом (2.12). 
Дослідження точнісних характеристик будемо вести за трьома напрямками: 
✓ порівнюючи дисперсію оцінки параметра А, знайденої спільно з 
параметрами ексцесної завади 1-го типу із застосуванням навчальної 
вибірки, з аналогічними результатами, отриманими при опрацюванні лише 
основної вибірки (див. п.2.4);   
✓ порівнюючи дисперсії знайдених оцінок параметра А, при прийомі сигналу 
на фоні ексцесної завади 1-го типу, із застосуванням навчальної вибірки, з 
результатами, отриманими при гауссівській заваді (див. п.3.1); 
✓ аналізуючи зміну величини дисперсії з ростом ступені поліному. 
 
 
4.2 Дисперсія оцінки параметра А, знайденої сумісно з оцінками 
параметрів ексцесної завади 1-го типу, при квадратній обробці 
основної та обробці навчальної при s=4 вибірок 
 
Проаналізуємо точністні характеристики адаптивного алгоритму 
оцінювання параметра А при ексцесній заваді 1-го типу при квадратній обробці 
основної та обробці навчальної при s=4 вибірок, синтезованого в п.3.2. 
Використовуючи вагові коефіцієнти виду (3.5) і похідні від початкових моментів 
за шуканими параметрами виду (1.36)-(1.38) та підставляючи їх у вираз (2.12) 
знаходимо елементи матриці кількості добутої інформації про векторний 

параметр  ={A, 2, 4} при s = 2  
 
m
J (1,1) = ,      J (1,2) = J (1,3)
2m 2m 2m = 0 ,                           (4.17) 
22
 
Елементи матриці кількості добутої інформації про параметр {2 , 4}  при 
s = 4  дорівнюють  
 
(2,2) n
J 4n = − 2 8 ( 2
2 4 − 9 4 − 6)(2 3 + 5 2
4 4 + 36 4 +12) , 
4
 
(2,3) (3,2) n
J = J = − 2 9
4n 4n 2 4 ( 4 − 2)( 2
4 − 9 4 − 6) ,              (4.18) 
4
 
(3,3) n
J 4n = − 210
2 ( 4 + 2)( 2
4 − 9 4 − 6) . 
4
 
Внаслідок виконання умови (4.13) знаходимо, що дисперсія оцінки 
амплітуди радіосигналу дорівнює  
 
2 2
 ( A)24 = 2                                                (4.19) 
m
 
і співпадає з гауссівською оцінкою.  
Зауважимо, що при використанні навчальної вибірки в позначенні дисперсії 
використовується подвійна індексація. Перша цифра – ступінь опрацювання 
основної вибірки; друга цифра – ступінь опрацювання навчальної вибірки.  
 
 
4.3 Дисперсія оцінки параметра А, знайденої сумісно з оцінками 
параметрів ексцесної завади 1-го типу, при кубічній обробці 
основної та обробці навчальної при s=4  вибірок 
 
Проведемо аналіз асимптотичних властивостей адаптивного алгоритму 
оцінювання амплітуди радіосигналу при ексцесній заваді 1-го типу при кубічній 
обробці основної та біквадратній обробці навчальної вибірок, синтезованого в 
п.3.3. Використовуючи вагові коефіцієнти виду (3.10) і похідні від початкових 
моментів за шуканими параметрами виду (1.36)-(1.38) та підставляючи їх у вираз 
(2.12) знаходимо елементи матриці кількості добутої інформації про векторний 

параметр  ={A, 2, 4} при ступені поліному s = 3 
 
(1,1) m 6 + 9
J = 4 ,      J (1,2) = J (1,3)
3m 3m 3m = 0 ,                     (4.20) 
22 6 + 9 4 − 2
4
 
Елементи матриці кількості добутої інформації про параметр {2 , 4}  при 
s = 4  вже знайдені і мають вид (4.18). 
При ступені поліному s = 3 також як і при s = 2  виконується умова (4.13), 
внаслідок чого дисперсія оцінки амплітуди радіосигналу дорівнює оберненій 
величині J (1,1)
3m , а саме 
 
2 2 2
 = 2  4
( A)34 [1− ] .                                               (4.21) 
m 6 + 9 4
 
Дисперсія оцінки параметра А виду (4.21) відрізняється від дисперсії оцінки 
виду (4.19) і залежить від істинного значення коефіцієнта ексцесу. На рисунку 4.1 
наведено графік залежності ефективності оцінки амплітуди радіосигналу 
g( A)32( 40 ) . Із графіка видно, що за умови нормалізації завади ( 4 = 0 ) дисперсії 
оцінок параметра А, знайдених при різних ступенях поліному співпадають, що 
відповідає значенню g( A)32 (0) =1. При любому іншому значенні коефіцієнта 
ексцесу синтезований алгоритм матиме підвищенні точністні характеристики 
порівняно з гауссівським алгоритмом. Значний виграш в точності оцінювання 
може бути досягнуто за умови, що значення коефіцієнту ексцесу спостерігаємої 
завади прагне до границі області допустимих значень (ОДЗ). 
Порівнюючи дисперсію оцінки параметра А виду (4.21), знайденої спільно з 
параметрами ексцесної завади 1-го типу із застосуванням навчальної вибірки, з 
дисперсію оцінки параметра А виду (2.22), отриману при опрацюванні лише 
основної вибірки, бачимо що вони співпадають. Проте перевагою алгоритму, 
синтезованому в п.3.3 при використанні навчальної вибірки, порівняно з 
алгоритмом, синтезованим в п.2.4 при використанні лише основної вибірки, є 
більш проста алгоритмічна та технічна реалізації. 
 
 
4.4 Дисперсія оцінки параметра А, знайденої сумісно з оцінками 
параметрів ексцесної завади 1-го типу, при обробці основної та 
навчальної вибірок при s=4 
 
Знайдемо величину дисперсії оцінки амплітуди радіосигналу, знайдену 
сумісно з оцінками параметрів ексцесної завади 1-го типу, при обробці основної 
та навчальної вибірок при s=4. Для цього, розглянемо елементи першої строки 

матриці кількості добутої інформації про векторний параметр  ={A, 2, 4} при 
ступені поліному s = 4 , які описуються виразами (2.21). Елементи матриці 
кількості добутої інформації про параметр {2 , 4}  при s = 4  описуються 
виразами (4.18).  
Вище зазначалося, що за відсутності кореляції між оцінкою амплітуди 
радіосигналу і оцінками параметрів ексцесної завади 1-го типу дисперсія 
обчислюється за простою формулою (4.14). Очевидно, що за таких умов дисперсія 
шуканої оцінки описується виразом (2.22) і співпадає з дисперсією оцінки 
параметра А при кубічній обробці основної та біквадратній обробці навчальної 
вибірок. При цьому збільшення ступеня поліному для опрацювання навчальної 
вибірки не дасть ніякого результату. 
Оскільки вирази для дисперсій оцінок, знайдених при s = 3  і s = 4  тотожні, 
то точністні властивості алгоритму при s = 4  не зміняться, а от алгоритмічна 
реалізація ускладниться.  
 
 
4.5 Дисперсія оцінки параметра А, знайденої сумісно з оцінками 
параметрів ексцесної завади 1-го типу, при застосуванні 
стохастичного поліному п’ятого ступеня для обробки основної 
вибірки 
 
Дослідимо точнісні властивості адаптивного алгоритму оцінювання 
параметру A  при спільній оцінці з параметрами  2  та  4  при використанні 
навчальної вибірки. В даному випадку суттєвим є лише ступінь опрацювання 
основної вибірки, який дорівнює п’яти. Використовуючи вагові коефіцієнти 
k (v)
iA (A, 2, 4) , i = 1,5  виду (3.12), легко показати, що елементи матриці кількості 
добутої інформації про параметр {A,2, 4} дорівнюють 
 

J (1,1) m
5m ( ) = − 3014
2 (17 3 + 38 2
4 4 + 84 4 + 24) 
5          (4.22) 
 (30 4 −135 3
4 4 − 230 2
4 −156 4 − 24),
 
 
J (1,2)
5m () = J (1,3)
5m () = 0 . 
 
Елементи матриці кількості добутої інформації про параметр {2 , 4}  при 
s = 4  описуються виразами (4.18). 
Тоді легко показати, що дисперсія оцінки параметра А при ступені 
поліному s = 5  описується виразом 
 
2 22 175 4
4 − 345 3
4 − 678 2
4 − 468 4 − 72
 ( A)54 = [ ] .             (4.23) 
m 3(30 4
4 −135 3
4 − 230 2
4 −156 4 − 24)
 
Порівнюючи вирази для дисперсій оцінок виду (4.19) і (4.23) видно, що 
вираз в квадратних дужках формули (4.23) описує ефективність шуканої оцінки. 
На рисунку 3.2 наведено графік залежності коефіцієнта ефективності g( A)51  
оцінки параметра А від істиного значення коефіцієнту ексцесу  4 . Якщо істинне 
значення коефіцієнту ексцесу відміне від нуля, то дисперсія оцінки параметра А, 
знайдена при ступені поліному s = 5 , буде меншою порівняно з дисперсією 
оцінки цього ж параметру, знайденої при s = 2 .  
 
Рисунок 3.2 – Графік залежності коефіцієнтів ефективності g( A)31  і g( A)51  
від істинних значень коефіцієнту ексцесу 
 
Знаходячи відношення дисперсій оцінок виду (4.23) і (4.21), знайдених 
відповідно при ступенях поліному s = 5  і s = 3 , проаналізуємо зміну точністних 
характеристик з ростом ступеня поліному. На рисунку 3.3 наведено графік 
залежності коефіцієнту ефективності g( A)53  від істинних значень коефіцієнту 
ексцесу. З аналізу графіка випливає, що ефекивність використання алгоритму з 
більш високим ступенем нелінійності опрацювання вибіркових даних, буде 
спостерігатися у тому випадку, коли значення коефіцієнту ексцесу, що належать 
ОДЗ, як найбільше відмінні від нуля. 
 
 
Рисунок 3.3 – Графік залежності коефіцієнту ефективності  g( A)53   
від істинних значень коефіцієнту ексцесу 
 
 
4.6 Дисперсія оцінки параметра А, знайденої спільно з оцінками 
параметрів ексцесної завади 1-го типу, при застосуванні поліномів 
шостого та четвертого ступенів для обробки відповідно основної та 
навчальної вибірок 
 
Використовуючи шістку вагових коефіцієнти виду (3.18), легко показати, 
що елементи матриці кількості добутої інформації про векторний параметр 
{A,2, 4} мають вид 
 
J (1,1) m
= − 300 20(30 4
6m 2 4 −135 3 − 230 2
4 4 −156 4 − 24) 
6  
 (7735 6
4 + 28980 5
4 + 29700 4
4 + 81504 3
4 + 61776 2
4 +19008 4 +1728),
(4.24) 
J (1,2) = J (1,3)
6m 6m = 0 . 
 
Легко впевнитись, що елементи матриці кількості добутої інформації виду 
(4.24) співпадають з відповідними елементами виду (4.22), знайденими при 
ступені поліному s = 5 . Цілком природно, що і дисперсії оцінок параметра А, 
знайдені відповідно при ступенях поліному s = 5  і s = 6 , співпадають і 
описуються виразом виду (4.23). 
 
 
ВИСНОВКИ 
 
В магістерській даній роботі використовується метод максимізації поліному 
для синтезу обчислювальних алгоритмів оцінювання амплітуди радіосигналу, які 
самоналаштовуються під конкретну завадову ситуацію після обробки навчальної 
вибірки, і оптимальні при ексцесній заваді 1-го типу. Побудовані алгоритми 
дозволять з більш високою точністю оцінювати амплітуду радіосигналу за умови, 
що завада відноситься до класу ексцесних випадкових величин 1-го типу. 
Показано, що при наближені істинного значення коефіцієнту ексцесу до границі 
інтервалу визначення, тим більшим може бути виграш в точності оцінювання 
амплітуди раліосигналу новими обчислювальними алгоритмами порівняно з 
гауссівським алгоритмом. 
Цінність отриманих результатів насамперед полягає в тому, що за рахунок 
опрацювання навчальної вибірки, зменшується ступінь нелінійності двох каналів 
обчислювального алгоритму, при збереженні точністних характеристик порівняно 
з випадком самонавчання за основною вибіркою. Другою перевагою синтезованих 
алгоритмів є те, що з ростом ступеня поліному точнісні властивості алгоритмів 
можуть підвищуватися, якщо на їх вхід потрапляють негауссівські процеси, які 
достатньо повно описуються лише першим, другим та четвертим кумулянтами. 
Відмінність синтезованих алгоритмів від класичних алгоритмів, заснованих 
на використанні лише основної вибірки, полягає в тому, що ступінь поліному для 
опрацювання вхідних даних першого каналу може відрізнятися від ступеня 
поліному другого і третього каналів. При оцінюванні параметрів ексцесної завади 
1-го типу за навчальною вибіркою мінімальний ступінь поліному дорівнює 
чотирьом. Поряд з цим мінімальний ступінь поліному для оцінювання амплітуди 
радіосигналу, яка залежить від параметрів ексцесної завади 1-го типу, дорівнює 2. 
Показано, що підвищення точності обчислювальних алгоритмів відбувається при 
збільшенні ступені поліному на два, а саме оптимальними будуть алгоритми, 
синтезовані при непарних ступенях поліному (в даному випадку s = 3,5).  
Достовірність отриманих результатів підтверджується тим, що коли 
коефіцієнт ексцесу дорівнює нулю, синтезовані алгоритми і їх точністні 
характеристики повністю збігаються з алгоритмом скалярної оцінки параметра А 
при гауссівській заваді.  
Результати даної магістерської роботи можуть бути використані для 
побудови обчислювальних систем різноманітного призначення, що працюють в 
умовах впливу на корисний сигнал негауссівських завад, які гарно 
апроксимуються ексцесними випадковими величинами 1-го типу.  
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ 
 
1. Братченко Г.Д. Методи та засоби обробки сигналів: навч. посіб. / Г.Д. 
Братченко , Б. В. Перелигін , О. В. Банзак , Н. Ф. Казакова , Д. В. Григор’єв. – 
Одеса: Типографія-видавництво «Плутон», 2014. – 452 с. 
2. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ негауссовских случайных процессов и их 
преобразований. - М.: Сов. радио, 1978. – 376 с. 
3. Кунченко Ю.П. Полиномиальные оценки параметров близких к гауссовским 
случайных величин. Часть 1. Стохастические полиномы, их свойства и 
применение для нахождения оценок параметров. – Черкассы: ЧИТИ, 2001. – 
133 с.  
4. Кунченко Ю.П., Заболотний С.В. Полиномиальные оценки параметров 
близких к гауссовским случайных величин. Часть 2. Оценка параметров 
близких к гауссовским случайных величин. – Черкассы: ЧИТИ, 2001. - 251с.  
5. Кунченко Ю.П., Лега Ю.Г. Оценка параметров случайных величин методом 
максимизации полинома. - К.: Наукова думка, 1992. – 180 с. 
6. S. Miller and D. Childers. Probability and Random Processes With Applications to 
Signal Processing and Communications. Second edition, Amsterdam: 
Elseiver/Academic Press, 2012. – 598 p. 
7. Васильєв В. М. Теорія ймовірностей в радіотехніці: підручник / В. М. 
Васильєв, С. Я. Жук. – Київ: КПІ ім. Ігоря Сікорського, 2023. – 362 с.
ChSTU repository

ChSTU repository preserves and enables easy and open access to all types of digital content including text, images, moving images, mpegs and data sets
