Моделюваня роботи адаптивного виявляча імпульсних сигналів за умови неповної визначенності параметрів негаусівської завади

Широков, Євгеній Павлович

Please use this identifier to cite or link to this item: https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/6512

Full metadata record

DC Field	Value	Language
dc.contributor.advisor	Мартиненко, Сергій Станіславович	-
dc.contributor.author	Широков, Євгеній Павлович	-
dc.date.accessioned	2025-12-23T17:26:15Z	-
dc.date.available	2025-12-23T17:26:15Z	-
dc.date.issued	2025	-
dc.identifier.uri	https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/6512	-
dc.description.abstract	"Метою роботи є розробка та моделювання поліноміальних алгоритмів виявлення імпульсних сигналів при адитивній суміші із негауссівською завадою, що має неповністю визначені параметри. Об’єкт дослідження – процес моделювання пристрою виявлення імпульсних сигналів з відомими параметрами. Методи дослідження – методи теорії імовірності та математичної статистики. "	uk_UA
dc.language.iso	uk	uk_UA
dc.subject	адаптивні поліноміальні вирішувальні правила	uk_UA
dc.subject	метод моментів	uk_UA
dc.subject	кумулянти	uk_UA
dc.subject	імпульсний сигнал	uk_UA
dc.subject	негауссівська завада	uk_UA
dc.title	Моделюваня роботи адаптивного виявляча імпульсних сигналів за умови неповної визначенності параметрів негаусівської завади	uk_UA
dc.type	Master Thesis	uk_UA
Appears in Collections:	172 Електронні комунікації та радіотехніка (Радіотехніка та робототехнічні системи)

Files in This Item:

File	Description	Size	Format
М_172_Широков_Мартиненко.pdf Restricted Access		1.07 MB	Adobe PDF	View/Open Request a copy

Show simple item record

Extracted text

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ФАКУЛЬТЕТ ЕЛЕКТРОННИХ ТЕХНОЛОГІЙ, АВТОТРАНСПОРТУ ТА
МАШИНОБУДУВАННЯ
КАФЕДРА РОБОТОТЕХНІЧНИХ І ТЕЛЕКОМУНІКАЦІЙНИХ І СИСТЕМ
ТА КІБЕРБЕЗПЕКИ

Допущений до захисту
“____” грудня 2025 р.
Завідувач кафедри РТСК
д.т.н., професор
_________ Палагін В.В.

Пояснювальна записка
до випускної роботи
освітньо-кваліфікаційного рівня «магістр»
на тему: «Моделювання роботи адаптивного виявляча імпульсних
сигналів за умови неповної визначенності параметрів негаусівської завади»

Виконав студент 2 курсу, групи мРТ-46
Спеціальності 172 – Електронні комунікації
та радіотехніка
Освітня програма «Радіотехніка та робото-
технічні системи»
Широков Євгеній Павлович
Керівник
роботи Мартиненко С.С.
Рецензент Бондаренко М.О.

Черкаси 2025
Форма № Н-9.01
Черкаський державний технологічний університет
(назва вузу)
Факультет електронних технологій, автотранспорту та машинобудування
Кафедра Робототехнічних і телекомунікаційних систем та кібербезпеки
Освітньо-кваліфікаційний рівень Магістр
Спеціальність 172 – Електронні комунікації та радіотехніка
Освітня програма Радіотехніка та робототехнічні системи
ЗАТВЕРДЖУЮ
Завідувач кафедри РТСК
д.т.н., професор Палагін В.В.

« » 2025 р.

ЗАВДАННЯ
на дипломний проект (роботу) студенту
Широкову Євгенію Павловичу
(прізвище, ім'я, по батькові)
«Моделювання роботи адаптивного виявляча імпульсних сигналів за
1. Тема проекту (роботи)
умови неповної визначенності параметрів негауссівської завади»

керівник проекту (роботи) Мартиненко Сергій Станіславович, к.ф.-м.н., доцент
(прізвище, ім’я, по батькові, науковий ступінь, вчене звання)
затверджена наказом по університету від « 13 » вересня 2025 р. № 234/04
2. Строк подання студентом проекту (роботи) 16 грудня 2025 р.
3. Вихідні дані до проекту (роботи) тип завади – негауссівська; тип сигналу –
імпульсний сигнал із відомими параметрами, степінь поліноміальних вирішувальних правил
S=1,2.

4. Зміст розрахунково-пояснювальної записки (перелік питань, які потрібно розробити)______
Вступ.
1. Аналіз існуючих методів виявлення імпульсних сигналів.
2. Моделювання роботи адаптивного виявляча в умовах неповної визначенності параметрів
завади
3. Оцінка параметрів негаусівської завади методом моментів.
4. Експериментальне моделювання та аналіз результатів.
Висновки. Список використаної літератури.

5. Перелік графічного матеріалу (з точним зазначенням обов’язкових креслень)

6. Консультанти з проекту (роботи) із зазначенням розділів проекту, що їх стосуються
Підпис, дата
Розділ Прізвище, ініціали та посада завдання завдання
консультанта видав прийняв

7. Дата видачі завдання 5 вересня 2025 р.
Керівник С.С. Мартиненко
(підпис) (ініціали, прізвище)
Студент Є.П .Широков
(підпис) (ініціали, прізвище)
КАЛЕНДАРНИЙ ПЛАН
№ Назва етапів дипломного С т р о к виконання етапів П р имітка
з/п проекту (роботи) проекту (роботи)
1. Аналіз технічного завдання та огляд літератури 08.09.2025
2. Ознайомлення з моделями сигналів та завад 14.09.2025
3. Огляд критеріїв якості та методів побудови
вирішувальних правил 20.09.2025
4. Огляд алгоритмів виявлення сигналів 24.09.2025
5. Огляд методів оцінювання параметрів випадкових
сигналів 30.09.2025
6. Синтез алгоритмів виявлення імпульсних сигналів
що приймаються на тлі негаусівських завад 04.10.25
7. Дослідження характеристик синтезованих
поліноміальних алгоритмів 15.11.25
8. Розробка структурної схем моделювання
адаптивних виявлячів імпульсних сигналів, що 24.11.25
приймаються на тлі негауссівських завад
9. Оформлення пояснювальної записки 03.12.25
10. Оформлення матеріалів для презентації 04.12.25

Є.П. Широков.
Студент
(підпис) (ініціали та прізвище)
Керівник проекту (роботи) С.С.Мартиненко
(підпис) (ініціали та прізвище)

Зміст
Стор
Вступ 5
РОЗДІЛ 1. АНАЛІЗ ІСНУЮЧИХ МЕТОДІВ ВИЯВЛЕННЯ
ІМПУЛЬСНИХ СИГНАЛІВ 7
1.1. Класичні методи виявлення імпульсних сигналів 7
1.2. Сучасні підходи до адаптивного виявлення сигналів 11
1.3. Математичні моделі сигналу та завади в системах
виявлення 14
1.4. Критерії оптимальності та якості вирішальних правил 20
1.5. Огляд статистичних методів оцінювання параметрів завад. 24
РОЗДІЛ 2. МОДЕЛЮВАННЯ РОБОТИ АДАПТИВНОГО
ВИЯВЛЯЧА В УМОВАХ НЕПОВНОЇ ВИЗНАЧЕННОСТІ
ПАРАМЕТРІВ ЗАВАДИ 29
2.1. Постановка задачі адаптивного виявлення імпульсного сигналу,
що приймається адитивній суміші із завадою 29
2.2. Математичний опис умов неповної визначенності параметрів
завади 31
2.3. Розробка полініальних вирішувальних правил для відомих
параметрів сигналу та завади 34
2.4. Побудова адаптивного вирішального правила при неповній
визначенності 40
2.5. Моделювання статистичних характеристик негаусівської завади 59

мРТ-46.025351.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Розроб. Øèðîêîâ Ìîäåëþâàííÿ ðîáîòè àäàïòèâíîãî âèÿâëÿ÷à Літ. Арк. Аркушів
Перевір. Ìàðòèíåíêî ³ìïóëüñíèõ ñèãíàë³â çà óìîâè íåïîâíî¿ 3 9 6
âèçíà÷åííîñò³ ïàðàìåòð³â
Рецензент
íåãàóñ³âñüêî¿ çàâàäè
Н. Контр. Ìàðòèíåíêî ЧДТУ
Затверд. Ïàëàã³í Â.Â. Ïîÿñíþâàëüíà çàïèñêà

РОЗДІЛ 3. ОЦІНКА ПАРАМЕТРІВ НЕГАУСІВСЬКОЇ ЗАВАДИ
МЕТОДОМ МОМЕНТІВ 66
3.1. Вибір та обґрунтування математичної моделі негауссівської 67
завади
3.2. Метод моментів для оцінки статистичних параметрів завади 68
3.3. Зв’язок початкових, центральних моментів і кумулянтів 70
3.4. Побудова алгоритму обчислення параметрів негаусівської завади 73
РОЗДІЛ 4. ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА АНАЛІЗ
РЕЗУЛЬТАТІВ 76
4.1. Генерація бігауссівського шуму. 76
4.2. Оцінка параметрів завади. 78
4.3. Проведення експериментів у різних умовах завадової обстановки 79
4.4. Порівняння ефективності класичного та адаптивного виявлення 82
4.5. Рекомендації щодо практичного використання моделі
адаптивного виявляча 91
ВИСНОВКИ 92
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ 94
Додатки
Додаток А. Виявлення імпульсного сигналу на фоні гаусового шуму.
Додаток Б. Імітаційне моделювання роботи виявлячів сигналу, що
приймається на фоні завад

Арк.
мРТ-36.025351.248 ПЗ
4
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

ВСТУП

Розвиток сучасних радіотехнічних систем, зокрема систем зв’язку,
радіолокації та навігації, супроводжується постійним підвищенням вимог до
надійності виявлення сигналів у складних умовах завад. У багатьох
практичних випадках завади мають негаусівський характер і змінюють свої
параметри в часі, що створює умови неповної визначенності. За таких
обставин класичні методи обробки сигналів, розраховані на гаусівські моделі
шуму, втрачають ефективність. Тому постає необхідність розробки
адаптивних виявлячів, здатних змінювати свої характеристики відповідно до
параметрів середовища та типу завад.
Актуальність роботи зумовлена потребою створення нових методів
адаптивного виявлення імпульсних сигналів у негаусівських умовах, де
статистичні параметри завад невідомі або частково відомі. Такі умови
характерні для сучасних радіоелектронних систем, у яких діють завади
імпульсного, корельованого чи змішаного типу. Забезпечення високої
ймовірності правильного виявлення при обмежених знаннях про завади є
ключовим завданням для підвищення стійкості систем зв’язку, навігації та
спостереження.
Дана робота є частиною роботи, що провдилася в рамках виконання
наукової роботи ДР №0123U105373 «Методи адаптивного виявлення
сигналів в умовах неповної визначенності негаусівських завад».
Одним із ефективних підходів до дослідження процесів виявлення є
моделювання алгоритмів виявлячів у середовищі MATLAB/Simulink так і в
середовищі Mathcad, яке дозволяють досить гнучко описувати статистичні
характеристики сигналів і завад, а також змінювати параметри моделі та
оцінювати ефективність алгоритмів у різних сценаріях. Використання цих
інструментів дає змогу проводити експерименти без потреби у складному
апаратному забезпеченні, що значно скорочує час і витрати на розробку.
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
5
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

Метою даної магістерської роботи є моделювання роботи адаптивного
виявляча імпульсних сигналів за умов неповної визначенності параметрів
негауссівської завади та дослідження впливу точності оцінювання параметрів
завад на ефективність роботи виявляча.
Для досягнення поставленої мети необхідно розв’язати такі завдання:
– провести аналіз існуючих методів виявлення імпульсних сигналів при
дії негауссівських завад;
– розробити математичну модель адаптивного виявляча, який буде
змінювати свої параметри залежно від статистики завади;
– реалізувати алгоритм оцінювання параметрів завади методом
моментів та дослідити зв’язок між моментами й кумулянтами;
– побудувати модель виявляча в Mathcad та MATLAB/Simulink та
провести серію експериментів для оцінки точності й стійкості
запропонованоъ системи.
Наукова новизна роботи полягає в розробці підходу до моделювання
адаптивного виявляча, який враховує змінність параметрів негауссівської
завади та використовує статистичні оцінки параметрів даної завади при
незмінному порозі виявлення. Практична цінність роботи полягає у
можливості застосування отриманих результатів під час проектування
сучасних радіотехнічних систем, де необхідна висока завадостійкість і
адаптивність.
Очікується, що результати моделювання дозволять уточнити критерії
ефективності виявлення сигналів у нестаціонарних негауссівських
середовищах і сприятимуть підвищенню точності та надійності
функціонування реальних систем обробки сигналів.

Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
6
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

РОЗДІЛ 1. АНАЛІЗ ІСНУЮЧИХ МЕТОДІВ ВИЯВЛЕННЯ
ІМПУЛЬСНИХ СИГНАЛІВ

У сучасних радіотехнічних, телекомунікаційних та інформаційно-
вимірювальних системах однією з ключових задач є своєчасне та достовірне
виявлення імпульсних сигналів на фоні завад різноманітної природи.
Ефективність процесу виявлення визначає якість подальшої обробки
інформації, надійність зв’язку, точність вимірювань і стійкість систем до
різноманітних завад[2,5,6,8].
Якщо акцентувати увагу на класичні підходи до виявлення, то
базуються на припущенні, що завади мають гаусівський розподіл та
характеризуються відомими статистичними параметрами. За таких умов
побудовано фундаментальні методи — критерій Неймана–Пірсона, matched-
фільтри, енергетичні та кореляційні детектори. Проте у реальних умовах,
коли завади є негаусівськими, імпульсними або статистично невизначеними,
ці методи будуть втрачати оптимальність і тому вимагають адаптації.
Науковий інтерес буде представляти аналіз існуючих методів
виявлення імпульсних сигналів, їх ефективності в різних умовах, а також
розроблення адаптивних алгоритмів, які здатніх функціонувати при неповній
або змінній інформації про параметри завадового середовища[16,30,31].

1.1 Класичні методи виявлення імпульсних сигналів.
Виявлення імпульсних сигналів є однією з фундаментальних задач
теорії статистичного приймання сигналів[8,11,26]. Суть проблеми полягає у
прийнятті рішення про наявність або відсутність сигналу на фоні завад. У
класичних методах передбачається, що завада є стаціонарною, адитивною та
підпорядковується гаусівському розподілу. За таких умов система може бути
описана двома гіпотезами:

Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
7
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

- гіпотеза Н1, коли присутня адитивна суміш корисного сигналу s(t) та
гаусівської завади n(t);

H1 : x(t)  s(t)  n(t) (1.1)

- гіпотеза Н0, коли присутня лише гаусівська завада n(t);

H 0 : x(t)  n(t) (1.2)

де n(t) — шум (зазвичай гаусівський з нульовим середнім),
s(t) — корисний сигнал, що підлягає виявленню.

1.1.1 Критерій Неймана–Пірсона.
Одним із найвідоміших класичних методів є критерій Неймана–
Пірсона, який забезпечує максимальну ймовірність правильного виявлення
сигналу при фіксованій ймовірності хибної тривоги. Згідно з цим критерієм,
оптимальним є наступне вирішувальне правило:

(х)  f x H1 (x) f x H0 (x) 
  , (1.3)

де fₓ|H1(x) і fₓ|H0(x) – умовні щільності ймовірності спостережень за
гіпотезами H1 і H0,
η – поріг прийняття рішення.
Критерій Наймана–Пірсона є оптимальним при повному знанні
статистичних характеристик сигналу та завади, однак на практиці така
інформація часто є неповною або неточною. Саме тому у подальшому
розвитку теорії виникли спрощені або адаптивні варіанти цього методу.

Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
8
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

1.1.2 Метод енергетичного виявлення[20].
В тому випадку, коли невідома точна форма сигналу, а його наявність
проявляється у підвищенні середньої потужності, застосовують енергетичний
детектор. Статистика перевірки у цьому випадку буде мати наступний
вигляд:

N
2
N  x 
i   , (1.4)
i1

де N - кількість відліків,
xᵢ - спостереження сигналу,
γ - поріг виявлення.
Перевагою цього методу є його простота реалізації та відсутність
необхідності знати точну форму сигналу. Недоліком є низька завадостійкість
при негаусівських або корельованих завадах. Ефективний енергетичний
детектор буде лише за умови білого гаусівського шуму з відомою
дисперсією.

1.1.3 Кореляційне та matched-фільтр виявлення.
Коли відома форма сигналу, то оптимальним у сенсі відношення
сигнал/шум є matched-фільтр. Matched-фільтр — це оптимальний лінійний
фільтр, який забезпечує максимальне відношення сигнал/шум (SNR) на
виході при виявленні відомого сигналу, в суміші із гаусівським шумом.
Matched-фільтр “узгоджується” із формою відомого сигналу таким чином,
щоб максимально підсилити його присутність на фоні шуму.
За умови, якщо прийнятий сигнал має вигляд (1.1), то завдання
matched-фільтра полягає у тому, щоб знайти фільтр із імпульсною
характеристикою h(t), який максимізує вихідне відношення сигнал/шум.

Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
9
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

Його імпульсна характеристика визначається як обернене
відображення сигналу у часі:

h(t)  k  s* (T  t) (1.5)

де s* (T  t) - комплексно-спряжена форма сигналу,
T - тривалість сигналу,
K – масштабний коефіцієнт.
Вихідний сигнал matched-фільтра описується виразом:

Y(t) = ∫₀ᵀ x(τ) h(T − τ) dτ. (1.6)

Максимум виходу фільтра відповідає найбільшій ймовірності наявності
сигналу. Кореляційне виявлення є окремим випадком matched-фільтра, коли
приймається рішення на основі обчислення кореляції між прийнятим
сигналом і його еталоном. Такі методи показують високу ефективність у
системах, де сигнал апріорно відомий (наприклад, у радіолокації).

1.1.4 Оптимальні та порогові критерії
У класичній теорії виявлення також застосовуються критерії мінімізації
ризику та максимізації апостеріорної ймовірності (MAP-оцінка). У цьому
випадку враховується не лише форма сигналу, але й апріорні ймовірності
гіпотез:
P(H1|x) 
 P(H0|x), (1.7)

що призводить до формування порогу прийняття рішення, оптимального у
сенсі мінімального середнього ризику.

Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
10
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

1.1.5 Недоліки класичних методів у випадку дії негаусівсих завад.
Хоча розглянуті методи залишаються базовими у статистичній теорії
виявлення, вони мають низку обмежень при використанні в реальних умовах:
- гаусівське припущення про шум часто не виконується (особливо у
випадках імпульсних або корельованих завад);
- параметри шуму можуть бути невідомими або змінними у часі;
фіксований поріг γ не гарантує стабільного рівня хибних тривог.
У випадку дії негауссівських завад класичні методи втрачають
оптимальність, тому виникає необхідність використання адаптивних і
робастних методів виявлення, які підлаштовуються до зміни статистичних
параметрів завади.
Можемо відмітити, що класичні методи - matched-фільтр, енергетичний
детектор та критерій Неймана–Пірсона є фундаментальною основою теорії
виявлення сигналів. Вони ефективні при виконанні гаусівських припущень і
служать базовими моделями для подальшого вдосконалення. Однак у
випадку негаусівських завад і неповної визначеності параметрів середовища
їх ефективність знижується, що обґрунтовує доцільність розроблення
адаптивних підходів, які розглядатимуться в наступних розділах роботи.

1.2. Сучасні підходи до адаптивного виявлення сигналів.
На відміну від класичних методів, розглянутих у підрозділі 1.1, сучасні
підходи до виявлення сигналів базуються на принципах адаптації та
статистичного навчання[18]. Зростання складності середовища, поява
негаусівських і нестаціонарних завад вимагають створення алгоритмів, які
можуть змінювати свої параметри в реальному часі для підтримання заданої
точності виявлення.
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
11
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

1.2.1 Основна ідея адаптивного виявлення. Адаптивне виявлення
ґрунтується на автоматичному підстроюванні параметрів алгоритму під
поточні характеристики шуму, завад або середовища.
На відміну від фіксованих методів, адаптивні алгоритми постійно
оцінюють статистичні властивості вхідного процесу та змінюють поріг,
коефіцієнти фільтра або форму критерію виявлення.
Таке підналагоджування дозволяє підтримувати незмінною ймовірність
хибної тривоги (Pfa) і високу ймовірність виявлення (Pd) навіть при
нестабільних умовах роботи системи.
Загальний принцип адаптивного виявлення можна подати у вигляді
структури:
1. Оцінка параметрів середовища (середня потужність шуму,
дисперсія, рівень завади);
2. Обчислення порогового рівня або коефіцієнтів фільтра, залежно
від оцінених параметрів;
3. Порівняння статистики спостережень із порогом;
4. Адаптація (оновлення оцінок у реальному часі).
1.2.2. CFAR-виявлення (Constant False Alarm Rate). Одним із
найпоширеніших адаптивних методів є CFAR (Constant False Alarm Rate) —
метод з постійною ймовірністю хибної тривоги.
CFAR-метод (Constant False Alarm Rate) є ключовим елементом
сучасних адаптивних систем виявлення сигналів, особливо в радіолокації,
системах зв’язку та обробці імпульсних сигналів.
Поріг виявлення визначається динамічно за рівнем шуму в сусідніх
комірках вибірки.

T = α · (1/N) Σ |xᵢ|² (1.8)

Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
12
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

Де α -коефіцієнт масштабування,
N - кількість відліків для оцінки рівня шуму,
xᵢ - відліки сигналу.
CFAR забезпечує сталість Pfa незалежно від коливань енергетичного
фону. Існує кілька модифікацій CFAR:
CA-CFAR (Cell Averaging) — базовий варіант з усередненням;
GO-CFAR (Greatest Of) — вибір більшого середнього (для завад зліва
або справа);
SO-CFAR (Smallest Of) — вибір меншого середнього;
OS-CFAR (Order Statistic) — вибір порогового значення за
порядковими статистиками.

1.2.3 Методи на основі моментів і кумулянтів[22]. У середовищі з
негаусівськими завадами доцільно застосовувати методи оцінки параметрів
за моментами та кумулянтами. Ці методи дозволяють визначати основні
характеристики шуму — середнє, дисперсію, асиметрію, ексцес — без
потреби знати його точний розподіл.

σ̂² = (1/N) Σ (xᵢ – x̄)² (1.9)
C₄ = μ₄ – 3μ₂² (1.10)

Де μ₄ і μ₂ — центральні моменти четвертого та другого порядку
відповідно.
Позитивне значення C₄ свідчить про “важкі хвости” розподілу, які є
характерними для імпульсних завад.

1.2.4 Робастні та байєсівські підходи. Робастні методи зменшують
вплив аномальних спостережень, що особливо важливо при нестаціонарних
процесах.
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
13
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

Байєсівські підходи враховують апріорну інформацію про параметри шуму
та сигналу і формують адаптивний поріг за правилом мінімізації середнього
ризику.
1.2.5 Інтелектуальні методи адаптації. З розвитком штучного інтелекту
набули популярності нейромережеві та машинно-навчальні методи адаптації
порогів. Мережі типу CNN або RNN навчаються на прикладах реальних
сигналів і можуть прогнозувати оптимальний поріг виявлення залежно від
контексту завад. Такі підходи ефективні у складних нестаціонарних
середовищах, але потребують великих обсягів даних та обчислювальних
ресурсів.
Сучасні адаптивні методи забезпечують високу стійкість систем
виявлення до змін середовища. Вони базуються на оцінці поточних
параметрів шуму, динамічному налаштуванні порогів і використанні
статистичних або інтелектуальних моделей. Поєднання CFAR, моментних та
робастних підходів дозволяє досягти оптимального співвідношення між
точністю виявлення та кількістю хибних тривог.

1.3. Математичні моделі сигналу та завади в системах виявлення.
Математичне моделювання сигналу та завади є основою побудови
оптимальних систем виявлення[21]. Завдання виявлення полягає у
розрізненні двох станів прийнятого процесу: відсутність сигналу (лише
завада) або наявність сигналу на фоні шуму.
1.3.1 Загальна модель процесу виявлення. В процесі виявлення на
вході приймача формується суміш сигналу та шуму:
x(t) = s(t) + n(t). (1.11)
де x(t) – процес, що спостерігається,
s(t) - корисний сигнал,
n(t) - завада (шум).
Задача виявлення формулюється як перевірка двох гіпотез:
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
14
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

(сигнал відсутній) H0: x(t) = n(t),
(сигнал присутній). H1: x(t) = s(t) + n(t), (1.12)

Рішення приймається на основі порівняння статистики спостереження
Z(x) з порогом T:

Z(x) > T → приймається H1, (1.13)
Z(x) ≤ T → приймається H0.

1.3.2. Модель імпульсного сигналу. Імпульсний сигнал тривалістю τ
набагато меншою за період спостереження описується рівнянням:

s(t) = A · p(t − t₀). (1.14)

де A - амплітуда сигналу,
p(t) - нормована форма імпульсу,
t₀ - момент надходження сигналу.
У дискретній формі:
s = [s₁, s₂,…, sN]ᵀ, sᵢ = A·pᵢ. (1.15)
1.3.3. Модель завади. У найпростішому випадку шум моделюється як
адитивний білий гаусівський шум (АБГШ) з нульовим середнім значенням і
дисперсією σ²:
n(t) ~ N(0, σ²). (1.16)

У дискретному вигляді:
n =
⎡ n₁ ⎤
⎢ n₂ ⎥
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
15
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

⎢ ⋮ ⎥ , nᵢ ~ N(0, σ²). (1.17)
⎣ nᴺ ⎦
У реальних умовах часто спостерігаються негаусівські імпульсні
завади, які можна описати, наприклад, розподілом Лапласа:
pₙ(x) = (1 / 2b) · exp(−|x| / b), (1.18)

де b - параметр масштабу, oj пов’язаний із дисперсією σ² = 2b².
1.3.4. Кореляційні властивості завади[25]. Якщо завада має часову
кореляцію, її властивості описуються автокореляційною функцією:

Rₙ(τ) = E[n(t) · n(t + τ)]. (1.19)

а спектральна щільність потужності визначається перетворенням
Фур’є:

Sₙ(f) = ∫ Rₙ(τ) · ê(−j2πfτ) dτ. (1.20)

Наявність кореляції погіршує ефективність виявлення, тому в реальних
системах застосовують попередню фільтрацію або ортогоналізацію вибірки.
1.3.5. Співвідношення сигнал/шум (SNR). Рівень якості виявлення
оцінюється через відношення сигнал/шум:

SNR = Ps / Pn. (1.21)

Для неперервного сигналу тривалістю T:
SNR = (1 / (σ²·T)) ∫₀ᵀ |s(t)|² dt. (1.22)

Для дискретної вибірки:
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
16
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

SNR₍d₎ = (1 / (N·σ²)) Σ₍i=1→N₎ sᵢ². (1.23)

Розглянуті моделі сигналу та завади забезпечують основу для
математичного опису процесів виявлення. Гаусівська модель шуму є
найзручнішою для аналітичних розрахунків, але для реальних
нестаціонарних умов необхідно враховувати негаусівські, імпульсні та
корельовані завади.Векторна форма запису дозволяє застосовувати сучасні
методи аналізу, такі як фільтрація, робастне оцінювання та байєсівське
виявлення.
1.3.6. Математичні моделі негауссівської завади[19]. Математичні
моделі негаусівських завад, які є важливою частиною сучасних систем
виявлення сигналів, особливо коли класичне припущення про “білий
гаусівський шум” не виконується.
У реальних умовах завади часто не підпорядковуються нормальному
(гаусівському) закону розподілу. Такі завади називають негаусівськими або
імпульсними, оскільки вони мають вищу частоту появи великих відхилень
від середнього значення (важкі “хвости” розподілу).
Моделювання негаусівських процесів необхідне для правильного
налаштування адаптивних і робастних виявлячів.
1.3.7. Математичні моделі негаусівських завад. У реальних умовах
завади часто не підпорядковуються нормальному (гаусівському) закону
розподілу. Такі завади називають негаусівськими або імпульсними, оскільки
вони мають вищу частоту появи великих відхилень від середнього значення
(важкі “хвости” розподілу).
Моделювання негаусівських процесів необхідне для правильного
налаштування адаптивних і робастних виявлячів.
Розглянемо декілька розподілів, які відмінні від гауссівського:
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
17
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

- Лапласівський (подвійно експоненційний) розподіл. Це один із
найпростіших типів негаусівських завад має лапласівський розподіл
густини ймовірності:

pₙ(x) = (1 / 2b) · exp(−|x − μ| / b). (1.24)

де μ - математичне сподівання (зазвичай 0),
b - параметр масштабу, пов’язаний із дисперсією за формулою
σ² = 2b².
Такий шум характеризується гострим піком у центрі та більш важкими
хвостами, ніж гаусівський. Лапласівська завада часто використовується для
моделювання відео-, радарних та акустичних імпульсних завад.
- α-стійкий (стейбл) розподіл. Загальним узагальненням гаусівського
закону є α-стійкий розподіл, який описує випадкові процеси з
необмеженою дисперсією. Характеристична функція для такого
розподілу має вигляд:

φ(ω) = exp{ jμω − γ|ω|ᵅ [1 − jβ·sign(ω)·tan(πα/2)] }. (1.25)

де α - параметр стабільності (0 < α ≤ 2); при α = 2 розподіл стає
гаусівським,
β - коефіцієнт асиметрії (−1 ≤ β ≤ 1),
γ - параметр масштабу (подібний до σ),
μ - параметр зсуву.
α - стійкі розподіли здатні описувати сильні імпульсні сплески,
характерні для завад у радіолокації, телекомунікаціях і фінансових процесах.
- Розподіл Коші. Розподіл Коші є окремим випадком α-стійкого
розподілу при α = 1 і β = 0. Його щільність ймовірності задається таким
виразом:
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
18
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

pₙ(x) = (1 / πγ) · [ γ² / ((x − x₀)² + γ²) ]. (1.26)

Де x₀ — медіана (зсув),
γ - параметр масштабу (половина ширини на рівні половини максимуму).
Розподіл Коші не має скінченної дисперсії — це означає, що великі
значення шуму трапляються часто. Такі завади описують потужні імпульсні
сплески, характерні для електричних перешкод або природних шумів у
системах зв’язку.
- Розподіл Вейбулла. Ще однією моделлю негауссівького розподілу є
розподіл Вейбулла, що використовується для опису позитивних
імпульсних завад у системах із фазовою когерентністю:

.pₙ(x) = (k / λ) · (x / λ)^(k−1) · exp[−(x / λ)^k], x ≥ 0. (1.27)

Де λ - параметр масштабу,
k - параметр форми, який визначає крутість спаду розподілу.
При k = 2 розподіл наближається до гаусівського, а при k < 2 буде
формуватися імпульсний характер завади з важкими хвостами.
1.3.8. Узагальнена модель імпульсної завади. Негаусівські завади часто
моделюються сумішшю двох процесів:

n(t) = n1 (t) + q(t)·n2(t). (1.28)

де n1(t) - фоновий гаусівський шум,
n2(t) - імпульсна складова з великими відхиленнями,
q(t) - випадковий бінарний процес, який визначає моменти появи
імпульсів.
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
19
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

Таке подання дозволяє моделювати реалістичні сценарії роботи систем
виявлення, де шум складається з постійної фонової компоненти та
періодичних імпульсних завад.
Моделювання негаусівських завад є необхідним для точного аналізу
ефективності виявлення в реальних умовах. Лапласівські, α-стійкі, Кошівські
та Вейбуллівські моделі забезпечують адекватне описання різних типів
імпульсних і нестаціонарних шумів. Такі моделі використовуються для
синтезу робастних алгоритмів виявлення, які зберігають ефективність навіть
при сильних відхиленнях від нормального закону розподілу.

1.4. Критерії оптимальності та якості вирішальних правил[26].
Під час побудови систем виявлення сигналів важливо сформулювати
не лише правило прийняття рішення, а й правильно вибрати критерій, за
яким оцінюється оптимальність і, відповідно, якість цього правила.
Оптимальний виявляч повинен забезпечувати найкраще співвідношення між
імовірностями правильних і помилкових рішень при заданих умовах шуму та
статистичних характеристиках сигналу.
1.4.1. Основні ймовірнісні характеристики процесу виявлення.
Результати роботи системи виявлення описуються наступними чотирма
подіями:
Pᴅ (Probability of Detection) — імовірність правильного виявлення
сигналу:
Pᴅ = P(прийнято H₁ | істинне H₁).
Pꜰₐ (Probability of False Alarm) — імовірність хибної тривоги:
Pꜰₐ = P(прийнято H₁ | істинне H₀).
Pᴍ (Probability of Miss) — імовірність пропуску сигналу:
Pᴍ = P(прийнято H₀ | істинне H₁) = 1 − Pᴅ.
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
20
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

PꜴ (Probability of Correct Rejection) — імовірність правильного
відхилення сигналу:
PꜴ = P(прийнято H₀ | істинне H₀) = 1 − Pꜰₐ.
Головною метою оптимізації є максимізація Pᴅ при обмеженні Pꜰₐ на
заданому рівні.
Розглянемо декілька критеріїв якості для побудови оптимальних
вирішувальних правил.
1.4.2. Критерій Neyman–Pearson. Класичним підходом до оптимального
виявлення є критерій Неймана–Пірсона. Даний критерій формулюється
таким чином:
Серед усіх вирішальних правил, що забезпечують задану імовірність
хибної тривоги Pꜰₐ ≤ α, вибирається те, що максимізує імовірність виявлення
Pᴅ.
Відношення правдоподібностей, яке є вирішувальним правилом,
побудованим за даним критерієм, є наступним:

Λ(x) = p(x | H1) / p(x | H0). (1.29)

Якщо Λ(x) > η → приймається рішення що здійснилася гіпотеза H1, а
якщо Λ(x) ≤ η → то приймається H0.
Порогове значення η визначається з умови, що ймовірність хибної
тривоги не перевищує деякий рівень α:

P(Λ(x) > η | H₀) = α. (1.30)

Критерій Neyman–Pearson забезпечує максимальну ефективність
виявлення при обмеженій кількості хибних спрацьовувань і є базовим для
розробки більшості сучасних алгоритмів.

Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
21
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

1.4.3. Байєсівський критерій. Байєсівський критерій враховує апріорні
ймовірності появи гіпотез (P(H₀), P(H₁)) та вартість рішень Cᵢⱼ (вартість
прийняття гіпотези Hᵢ при істинності Hⱼ).
Середній ризик прийняття рішення визначається наступним чином:

R = ΣΣ Cᵢⱼ · P(Hⱼ) · P(прийнято Hᵢ | Hⱼ). (1.31)

Метою в цьому випадку є мінімізація середнього ризику R. Правило
для приняття рішення є наступним:

Λ(x) = p(x | H₁) / p(x | H₀) > ηᴮ → H₁, (1.32)

де ηᴮ = [C₁₀ − C₀₀] / [C₀₁ − C₁₁] · P(H₀) / P(H₁).
Байєсівський критерій враховує наслідки помилкових рішень (вартісні
функції), що важливо у військових, медичних або енергетичних системах.
1.4.4 Критерій мінімуму середньої квадратичної похибки (СКП). Для
систем оцінювання параметрів сигналу часто застосовується критерій
мінімізації середньої квадратичної похибки:

J = E[(θ̂ − θ)²], (1.33)

де θ̂ - оцінка параметра θ,
E[·] - оператор математичного сподівання.
Оптимальним вважається оцінювач, який мінімізує функціонал J:

θ̂ₒₚₜ = arg min E[(θ̂ − θ)²]. (1.34)

Цей критерій забезпечує незміщеність і найменшу дисперсію оцінки,
що є необхідним для точного адаптивного налаштування виявлячів.
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
22
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

1.4.5 ROC-крива (характеристика якості виявлення)[11]. Для оцінки
ефективності вирішального правила використовують характеристику
приймача (Receiver Operating Characteristic, ROC), що показує залежність Pᴅ
від Pꜰₐ:

Pᴅ = F(Pꜰₐ). (1.35)

ROC-крива (рис.1.1) будується експериментально або аналітично для
різних значень порогу η.

Рисунок 1.1 - Нефлуктуаційні Когерентні Криві Робочих
Характеристик Приймача (ROC)
Ідеальний виявляч має криву, що максимально наближена до верхнього
лівого кута діаграми (Pꜰₐ = 0, Pᴅ = 1).
Площа під ROC-кривою (AUC — Area Under Curve) використовується
як інтегральна міра якості виявлення.
1.4.6 Інші критерії оптимальності. У практиці адаптивних систем
застосовуються також такі критерії:
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
23
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

- Критерій мінімуму ентропії: мінімізується невизначеність розподілу
рішень.
- Критерій максимальної правдоподібності (МП): максимізується
функція p(x|θ) за θ.
- Критерій максимальної інформації (Шеннона):
обирається рішення, яке забезпечує найбільше зменшення інформаційної
ентропії.
- Моментні критерії (Кu, Yu, Pe), які базуються на числових
характеристиках вирішувальних правил.

1.5. Огляд статистичних методів оцінювання параметрів завад[13,18].
Як відомо, оцінювання параметрів завад є одним із ключових етапів,
що використовується при розробці адаптивних систем виявлення сигналів. В
даному випадку основна задача полягає у визначенні характеристик
випадкових процесів, що характеризують шум або негаусівські завади. Це
робиться з метою підвищення точності прийняття рішень.
Належать до основних статистичних методів оцінювання наступні методи:
метод моментів, метод максимальної правдоподібності, метод найменших
квадратів, робастні оцінювачі та байєсівські методи.
Розглянемо коротко деякі з них.
1.5.1. Метод моментів. Даний метод моментів базується на порівнянні
теоретичних та вибіркових моментів розподілу випадкової величини.
Нехай маємо вибірку Х=(х1, х2,…, хN) обсягом N значень шумового
процесу, що спостерігається.
Тоді будемо мати, що вибірковий момент k-го порядку визначається
таким чином:

1 N
m   х k
k i (1.36)
N i1

Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
24
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

Найпростіші параметри розподілу (наприклад, математичне сподівання
μ та дисперсія σ²) відповідно знаходяться з наступних рівнянь:

m₁ = μ, (1.37)
m₂ = μ² + σ². (1.38)

Цей метод дуже простий у реалізації та добре працює при великих
вибірках, але досить чутливий до викидів, тому менш ефективний при
наявності імпульсних негаусівських завад.
1.5.2. Метод максимальної правдоподібності (ММП)[15]. Метод
максимальної правдоподібності полягає у виборі таких параметрів розподілу
θ̂, які максимізують функцію правдоподібності:

N
L(  X   f (xi ; ) . (1.39)
i1

або, у логарифмічній формі:

N
l(  X   lnL(  X  ln f (xi ;  . (1.40)
i1

Для нормального розподілу із функцією щільності розподілу
імовірностей f(μ, σ²) будемо мати, що:

N
)
1
  хі , (1.42)
N i1
N
) 2 1

N 
)
(хі  )2 . (1.42)
i1

Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
25
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

Оцінки, що отримані ММП є ефективними, тобто мають найменшу
можливу дисперсію серед незміщених оцінювачів.
1.5.3. Метод найменших квадратів (МНК). МНК мінімізує суму
квадратів відхилень моделі від спостережень:

Q(θ) = Σ [nᵢ − f(i, θ)]² → min. (1.43)

де f(i, θ) — модель шумового сигналу.

Метод часто використовується для оцінювання параметрів
корельованих або структурованих завад, наприклад у фільтрах
авторегресійного типу. МНК дає точні результати для нормальних шумів, але
є нестійким при наявності імпульсів.
1.5.4. Робастні оцінювачі. Робастні методи оцінювання зменшують
вплив викидів і негаусівських сплесків. Типовий приклад — оцінка медіани
або усічене середнє.
Для медіанного оцінювача:
μ̂₍med₎ = median(n1, n2, …, nN). (1.44)

Для усіченого середнього (із відкиданням k% найекстремальніших
значень):

1 Nk
)(trim)   хі . (1.45)
N  2k ik1

Такі методи менш чутливі до одиничних імпульсів і добре підходять
для систем адаптивного виявлення в негаусівських середовищах.
У системах виявлення, де присутні нестаціонарні шуми або потужні
імпульсні завади, робастні оцінювачі дозволяють мінімізувати вплив
аномальних даних на результат прийняття рішення. Це забезпечує вищу
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
26
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

стабільність роботи виявляча, навіть якщо середовище змінюється, а
статистичні параметри завади є невизначеними.
1.5.5. Байєсівські методи оцінювання. Байєсівський підхід враховує
апріорну інформацію про параметри завади.
Після спостереження вибірки n формується апостеріорна щільність:

p(θ | n) = [p(n | θ) · p(θ)] / p(n). (1.46)

Оптимальна оцінка параметра за критерієм мінімуму середньої
квадратичної похибки визначається як:

θ ̂ = ∫ θ · p(θ | n) dθ. (1.57)

Байєсівські оцінювачі забезпечують найкращі результати при неповній
або нечіткій інформації про статистику шуму, однак вимагають значних
обчислювальних ресурсів.
1.5.6. Порівняльна характеристика методів.
Стійкість
Складність
Метод Точність до Тип шуму
реалізації
викидів
Метод моментів Середня Низька Низька Гаусівський
ММП Висока Середня Висока Будь-який
МНК Висока Низька Середня Гаусівський
Робастні
Середня Висока Середня Негаусівський
оцінювачі
Байєсівський Дуже Висока Висока Негаусівський,
метод висока складні розподіли

Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
27
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

Оцінювання параметрів завад є невід’ємною частиною адаптивного
виявлення сигналів. Для гаусівських шумів достатньо класичних методів
моментів або максимальної правдоподібності, тоді як у випадку
негаусівських або імпульсних завад ефективними є робастні та байєсівські
підходи. Вибір методу залежить від статистичної моделі завади, необхідної
точності та допустимої складності реалізації.

Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
28
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

РОЗДІЛ 2. МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ РОБОТИ
АДАПТИВНОГО ВИЯВЛЯЧА В УМОВАХ НЕПОВНОЇ
ВИЗНАЧЕННОСТІ ПАРАМЕТРІВ ЗАВАДИ

У цьому розділі розглядаються основні етапи побудови та дослідження
математичної моделі адаптивного виявляча імпульсних сигналів у
середовищі з неповною визначеністю параметрів завади.
Здійснюється формалізація постановки задачі, визначаються аналітичні
співвідношення, що описують поведінку сигналу та завадового процесу, а
також розробляються вирішальні правила для випадків відомих і невідомих
параметрів завади[10].
Особливу увагу приділено побудові адаптивних алгоритмів оцінювання
параметрів шуму та моделюванню статистичних характеристик
негаусівських завад[21].
Проведене математичне моделювання дозволить як оцінити
ефективність роботи виявляча так і дослідити вплив неповної інформації про
параметри середовища на ймовірність правильного прийняття рішення.

2.1. Постановка задачі адаптивного виявлення імпульсного сигналу, що
приймається адитивній суміші із завадою[18].
У цьому підрозділі розглядається задача виявлення імпульсного
сигналу в умовах дії негаусівської завади, статистичні характеристики якої
описуються моментами та кумулянтами випадкового процесу.
Метою є побудова вирішального правила, яке забезпечує мінімальну
ймовірність помилки при неповній апріорній інформації про параметри
завади.
Нехай, сигнал, що спостерігається, x(t) описується сумою корисного
сигналу s(t) та завади n(t):
x(t) = s(t) + n(t). (2.1)
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
29
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

Задача виявлення приводить до розрізнення двох статистичних гіпотез:

H0: x(t) = n(t); (2.2)
H1: x(t) = s(t) + n(t).

Вважаємо, що негауссівська завада n(t) є випадковим процесом із
нульовим математичним сподіванням m[n(t)] = 0, але з довільним
розподілом, який може відрізнятись від нормального.
Для повного опису її статистичних властивостей будемо
використовувати моменти та кумулянти [Малахов ].
Кумулянти високих порядків (κ₃, κ₄ і далі) характеризують відхилення
розподілу від гаусівського - асиметрію та ексцес. Отже, при негаусівських
завадах саме ці параметри і будуть визначати форму ймовірнісної щільності
шуму p(n).
В адаптивній постановці задача виявлення полягає у виборі такого
вирішального правила φ(x), яке мінімізує ймовірність помилки виявлення
при оцінених (а не точних) параметрах кумулянтів.
Оцінювання моментів і кумулянтів здійснюється за
експериментальною вибіркою Х=(х1, х2,…,хN), де N- обсяг вибірки.
Після оцінювання статистичних характеристик формується адаптивне
вирішальне правило.
Таким чином, моментно-кумулянтний опис завади дозволяє
уніфіковано представляти як гаусівські, так і негаусівські моделі шуму,
забезпечуючи адаптацію вирішальних правил до змінних умов середовища.
У подальших підрозділах буде наведено аналітичний опис умов неповної
визначенності параметрів завади та розроблено відповідні алгоритми
адаптивного виявлення.

Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
30
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

2.2. Математичний опис умов неповної визначенності параметрів
завади.
У реальних умовах виявлення сигналів часто стикаються з ситуацією,
коли параметри негаусівської завади є неповністю визначені. Це може
виникати як через недостатність спостережень так і через труднощі у
визначенні точної моделі шуму. В таких умовах задача адаптивного
виявлення буде полягати в оцінці невідомих параметрів завади з
послідуючим використанням отриманих оцінок для прийняття оптимальних
рішень.
Неповна визначеність параметрів завади впливає на ефективність
адаптивних систем виявлення. Якщо параметри завади оцінені з похибкою,
то ймовірність помилок, таких як хибна тривога або пропуск сигналу, може
збільшуватися. У разі недостатньої точності оцінок, адаптивні системи
можуть неправильно інтерпретувати дані, що призводить до зниження
ймовірності виявлення (Pᴅ) та збільшення ймовірності хибної тривоги (Pꜰₐ).
2.2.1. Моделювання неповної визначенності за допомогою параметрів
розподілу
Нехай завада n(t) описується деяким невідомим розподілом з
параметрами, що не відомі в момент спостереження. Параметри цього
розподілу можуть включати середнє значення, дисперсію, кореляційні
характеристики, а також вищі моменти та кумулянти. Нехай процес n(t) має
невідомі параметри, позначені через вектор θ = [θ₁, θ₂, ..., θk].
Ймовірнісна функція для цього процесу виглядатиме наступним чином:

p(n(t) | θ) = f(n(t); θ₁, θ₂, ..., θk). (2.3)

Але в умовах неповної визначенності параметри θ можуть бути або не
відомі зовсім, або бути оціненими з певною похибкою. Тому задача
адаптивного виявлення в таких умовах полягає в тому, щоб побудувати
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
31
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

адаптивне вирішальне правило, яке використовує оцінки параметрів θ для
прийняття рішення.
2.2.2. Оцінка параметрів негауссівської завади в умовах неповної
визначенності.
Для оцінки параметрів θ використовуються методи статистичної
оцінки, такі як метод моментів, метод максимальної правдоподібності або
байєсівський підхід.
Використаємо в якості основного методу для оцінки параметрів завади
метод моментів(емпіричних), так як для побудови стохастичних
вирішувальних правил застосовується моментно-кумулянтний опис сигналу
та завади відповідно при гіпотезі та альтернативі.
Метод моментів дозволяє оцінити параметри завади до 6-го порядку
включно за допомогою наступних рівнянь для моментів:
- Загальний вираз для визначення k-го початкового моменту на основі
вибіркових значень:

1 n
)
m k
k  x
n v (2.4)
v1

- момент першого порядку характеризує середнє значення вибіркових
величин:

) 1 n
m1  n xv . (2.5)
v1

- другий початковий момент визначає дисперсію:

1 n
)
m2  2
X
n v . (2.6)
v
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
32
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

- третій початковий момент(характеризує асиметрію):

1 n
)
m   3
3 X
n v . (2.7)
v

- четвертий початковий момент, що характеризує ексцес:

1 n
)
m4 
n
4
X
v . (2.8)
v

- пятий початковий момент теж, як і третій характеризує асиметрію:

1 n
)
m5   5
X
v . (2.9)
n v

- шостий початковий момент моменттеж як і четвертий характеризує
ексцес:

) 1 n
m   6
6 X
v (2.10)
n v

2.2.3. Статистичні критерії для оцінки ефективності адаптивного
виявлення
Для оцінки якості оцінок параметрів θ використовуються різноманітні
критерії, такі як, наприклад, середня квадратична помилка (СКП):

J(θ̂) = E[(θ̂ − θ)²] , (2.11)

Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
33
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

де θ̂ - оцінка параметра,
E - математичне сподівання.
Оптимальна оцінка параметра θ досягається, коли J(θ̂) мінімізується:

θ̂ₒₚₜ = arg min J(θ̂). (2.12)

Моделювання умов неповної визначеності параметрів завади є
важливим етапом при розробці адаптивних систем виявлення. Оцінка
параметрів як за допомогою методів моментів, так і за допомогою методу
максимальної правдоподібності та байєсівських методів дозволяє адаптувати
вирішальні правила для виявлення сигналів в умовах змінних і неповних
даних. Однак для досягнення більш високої ефективності виявлення
необхідно використовувати робастні оцінювачі, які мінімізують вплив
неповної визначеності параметрів завади на результат виявлення. На відміну
від класичних оцінювачів (а саме оцінювач максимальної правдоподібності
(MLE) або метод найменших квадратів (LSE)), які сильно чутливі до викидів,
робастні методи забезпечують стабільність результату.

2.3. Розробка поліноміальних вирішувальних правила для відомих
параметрів сигналу та завади.
Завдання виявлення імпульсного сигналу на фоні завад є важливим
аспектом у багатьох галузях, зокрема в телекомунікаціях та
радіоелектроніці.
За умови використання в якості математичної моделі імпульсного
сигналу, що має повністю відомі параметри, використаємо модель
радіосигналу з безперервним часом:

S(t) = Ar (t) cos( 0t +  0 ), (2.13)

Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
34
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

а модель відеоімпульсу буде мати наступний опис:

S(t) = Ar (t), (2.14)
де r (t) – огинаюча імпульсу з одиничною амплітудою,
A - відома амплітуда імпульсу,
 0 - несуча частота,
 0 - початкова фаза.
Так як на практиці імпульсні сигнали найчастіше спостерігаються в
адитивній суміші з завадою n(t) , тобто можемо представити сигнал, що
спостерігається :

 (t) = S (t) + n (t). (2.15)

де n(t) - завада, яку будемо вважати стаціонарним випадковим
процесом, що має нульове математичне сподівання.
Відійдемо від того, що завада має гауссівський закон розподілу і
використаємо в подальшому не щільність розподілу імовірностей, f
моментно-кумулянтний опис як завади n(t), так і суміші завади n(t) з
корисним сигналом S(t).
Перейдемо при постановці задачі виявлення від безперервного сигналу
до дискретного випадкового процесу (t), з якого проведемо незалежну
вибірку  {1 , 2 ,...,n } деяким обсягом N. Якщо відбувається гіпотеза Н1 ,
то вибіркові значення приймають вигляд:

v  (t v )  Sv  n v , (2.16)

а якщо присутній лише випадковий процес(шум) у вибіркових значеннях, то
відповідно здійснилася гіпотеза Н0 (корсний сигнал відсутній у вибіркових
значеннях). Відповідно такий сигнал матиме наступний вигляд:
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
35
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

v  (t v )  n v , v  1, n . (2.17)

В якості моделі імпульсного сигналу з відомими параметрами
використаємаємо наступну модель:

S(t)  Ae(t)cos(t 0 ) (2.18)

де А – амплітуда сигналу
0 - початкова фаза сигналу,
 - частота викочастотного заповнення,
e(t) - обвідна радіоімпульсу.

В випадку дискретного сигналу використаємо наступну модель
корисного сигналу:

S  Alv . (2.19)

де lv  rv cos(0v  0 ) - для радіосигналу,
lv  rv - для відеосигналу.
Так як вважаємо, що завада є негауссівським випадковим процесом,
тому для математичного опису випадкових величин як при гіпотезі так і при
альтернативі використаємо послідовність початкових моментів і кумулянтів.
[Малахов].
Для побудови поліноміального вирішувального правила кількість цих
моментів буде залежати від порядку і дорівнюватиме 2S. Розглянемо
випадки коли S=1(лінійне вирішувальне правило) та S=2 (нелінійне
вирішувальне правило).
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
36
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

Приведемо по чотири початкові моменти при гіпотезі гіпотезі H1 :

m1v Sv ,
m 2
2v  Sv  2 , (2.20)
m3v  S3
v 3Sv2  3 ,
m  S 4
4v v  6S 2 2
v 2  4Sv3  4  32 ,

Запишемо також вирази для початкових записати для альтернативи Н0 :

u1v  0 ,
u2v  2 , (2.21)
u3v  3 ,
u4v  4  3 2
2

В даних виразах кумулянти  i характеризують наступні параметри
завади:
- 1- середнє значення;
-  2 - дисперсія(потужність);
- 3 - ассиметрія кривої розподілу;
-  4 - ексцесс(гостровершинність) кривої розподілу.
r
Необхідно по вибірці  обсягом N необхідно синтезувати таке
вирішувальне правило для визначення того, яка із гіпотеза Н1 чи Н0
відбуллася. При цьому потрібно забезпечити найменьшу імовірність
похибки, яка може виникнути при прийнятті рішення[ ].
Для побудови вирішувальних правил (лінійного і нелінійного) будемо
використовувати стохастичні поліноми ступеню S=1 та S=2.
У загальному вигляді лінійне вирішувальне правило при S=1запишемо
таким чином:
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
37
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

n H 1
 h1v  v - (m 1v + u 
1v )  0 . (2.22)
v 1 H 0

З врахуванням виразів для початкових моментів першого порядку із
рівнянь (2.18) та (2.19), де m1v=Sv і u1v=0, то відповідно вирішувальне
правило можемо записати в такому вигляді:

n  1  H1
h1v v  S 
v   0 . (2.23)
v1  2  H0

Для визначення оптимального коефіцієнта h1v запишемо кореляційні
моменти при гіпотезах H0 і H1, які відповідно будуть мати вигляд[ ]:

F(1,1)v (H0 )  2 ,
F(1,2)v (H 0 )  F(2,1)v (H 0 )  3 ,
F 2
(2,2)v (H0 )  4  22 ,
F(1,1)v (H1)   2 , (2.24)
F(1,2)v (H1 )  F(2,1)v (H1)   3  2S v 2 ,
F 2 2
(2,2)v (H1)  4  22  4Sv 2  4Sv3 ,

Із врахуванням значень для кореляційних моментів, запишемо вирази
для чотирьох сумістних моментів [ ] :

F(1,1)v  2 2 ,
F(1,2)v  F(2,1)v  2 3  2S v 2 , (2.25)
F 2
(2,2)v  2(4  2 2 )  4S 2
v 2  4Sv3 ,

Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
38
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

Для визначення коефіцієнта h1v використаємо наступний вираз:

h1v F(1,1)v  m1v  u1v

Із врахуванням виразів для початкових моментів і сумістного моменту
отримаємо наступний для визначення оптимального кофіцієнту першого
порядку:

h1v 22 = Sv, v  1, n .

Із даного виразу можемо записати, що:

S
h  v
1v (2.26)
2 2

Представимо вирішувальне правило (2.21) із врахування знайденого
виразу (2.24) для оптимального коефіцієнту h1v.

n S  1 H1
 v
 v  S  
v   0 . (2.27)
v1 22  2  H0

Отримане вирішувальне правило (2.25) буде співпадати із оптимальним
вирішувальним правилом, отриманим за умови, що завада є гауссівською
випадковою величиною. (додаток А).
Структурна схема лінійного виявляча імпульсного сигналу, що
побудована для виразу (2.27),представлена на рис. 2.1.
Робота лінійного виявляча полягає в формуванні оптимального
коефіцієнта h1v за допомогою генератора огинаючої (ГО). Даний пристрій
генерує сигнал, що збігається за формою з огинаючою корисного сигналу Sv
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
39
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

і має нормовану амплітуду. Також вміщує виявляч перемножувач рівня
сигналу на обвідної і дільник отриманого сигналу на подвійне значення

Рисунок 2.1 - Структурна схема лінійного виявляча імпульсного сигналу при
ступеню поліному S=1.

потужності завади(вона ж дисперсія випадкового процесу). В даному
схемному рішенні вважаємо, що дисперсія є відомою величиною. В
подальшому від кожного вибіркового значення потрібно відняти половину
рівня сигналу й здійснюється перемноження на значення коефіцієнта
S
h1v  v . Після накопичення результуючих вибіркових значень обсягом N,
22
необхідно вибірку подати на пороговий пристрій (ПП), який в свою чергу і
приймає рішення про наявність або відсутність корисного сигналу у
вибіркових значеннях.
В даному пристрої значення дисперсії, що характеризує кумулянт
другого порядку  2 . Для реалізації адаптивного виявляча необхідно
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
40
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

проводити оцінку даного параметра і підставляти в виявляч оціночне
значення дисперсії. Схему оцінювача парамтрів завади розглянемо в
наступних розділах роботи.
Так як отримана схема не враховує всих особливостей негаусівської
завади, перейдемо до синтезу поліноміаального вирішувального правила при
ступеню поліному S=2 та розглянемо його особливості по зрівнянню з
лінійним вирішувальним правилом.
При ступеню поліному S=2 запишемо вирішувальне правило в
загальному випадку в такому вигляді:

n 1 n 1 H 1
 h (  S )   h 2 2 
1v v v 2 v [ v  (S v  2  2 )]  0 (2.28)
v 1 2 v 1 2 H 0

Дане вирішувальне правило залежить від 2-х оптимальних коефіцієнтів:
h1v та h2v . Знайдемо дані коефіцінти із системи лінійних рівнянь(2.27) із
врахуванння виразів для початкових моментів (2.20) та (2.21), для
кореляційних моментів(2.24) та сумісних моментів (2.25):

h1v 22  h2v (23  2Sv2 )  Sv
 2 2 2 (2.29)
h1v (23  2Sv2)  h2v (24  42  4Sv 2  4Sv3)  Sv

Розв’язок системи знайдемо за допомогою методу Крамера та
відповідно отримаємо, що:


h  1v
1v ,
v

h2v  2v ,
v

Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
41
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

де визначники системи (2.27) мають наступний вигляд:

v  4[2 (4  22   2 2
2 2Sv )  3 ],
1v  2(( 3 2
4  2) Sv  Sv   3S v ) (2.30)
 2v  23 S v .

Оптимальні коефіцієнти hiv у вирішувальному правилі (2.28) приймуть
вигляд:

(4  2) Sv  S 3
v   S 2
h 3 v
1v  (2.31)
2[ (  2 2 2
2 4 2   2Sv )   2
3 ]
  S
h  3 v
2v
2[2 ( 2 2 2
4  22  2Sv )  3 ]

Якщо підставити їх в вираз (2.28), то вирішальне правило буде мати
наступний вигляд:

n ( 4  2) S v  S 3 2
 v   3 S v 1
(  S ) 
2[ (  2  2 v v
v 1 2 4 2   2 S 2
v )   2
3 ] 2
(2.32)
n  3 S H 1
  v 1
[ 2  ( S 2 
   2  2  2 v 2 v  2  2 )]  0
v 1 2[ 2 ( 4  2 2  2 S v )  3 ] H 0

Як бачимо із виразу (2.32) поліноміальне вирішувальне правило при
S=2, буде залежати не лише від кумулянта другого порядку, що дорівнює
дисперсії, а й від кумулянтів 3-го і 4-го порядків, що характеризують
відповідно аиметрію та ексцес завади.
Для дослідження ефективності отримаманого правила по зрівнянню з
лінійним вирішувальним правилом визначимо вирази для кількості вилученої
інформації про розрізнення гіпотез для лінійного і нелінійного виявлячів.
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
42
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

В загальному випадку кількість вилученої інформації для розрізнення
гіпотез визначається наступним виразом:

s s n  n
Jn =    hiv hjv F(i,j)v =   hiv(miv -uiv). (2.33)
i1 i1 v1 i1 v1

Якщо у формулах (2.32) замінити кумулянти 3-го та 4-го порядків на
A2
кумулянтні коефіцієнти:  i    n / 2
i і ввести коефіцієнт q  -
2 2
відношення сигнал/завада за потужністю, то о отримаємо вираз для кількості
вилученої інформації про розрізнення гіпотез при ступеню поліному S=2:

q n   2 
J 2  r 2
v 1
3
2 2  . (2.34)
2 v1   4  2 3  qrv 

При ступеню поліному S=1 будемо мати наступний вираз:

q n
J 2
1   rv . (2.35)
2 v1

Вираз (2.34) показує, що кількість вилученої інформації при S=2 у
загальному випадку залежить від залежить як від коефіцієнта асиметрії 3
так і від коефіцієнта ексцесу  4 . Якщо коефіцієнт асиметрії 3 відмінний від
0(а це характерно для негауссівської завади), то буде збільшення кількості
вилученої інформації про розрізнення гіпотези, по зрівнянню з лінійним
вирішальним правилом, для якого кількість вилученої інформації має вигляд
(2.35).
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
43
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

Потрібно відзначити, що коефіцієнт 3 не дорівнює 0 для багатьох
негаусівских випадкових величин. Представимо структурну схему
оптимального виявляча імпульсного сигналу, за умови, що параметри
негаусівских завад відомі, при ступені поліному S=2 (рис.2.2).
Структурна схема поліноміального виявляча імпульсних сигналів при
S=2 є більш складнішою в зрівнянні з лінійним виявлячем, так як вміщує 2
канала опрацювання вхідних вибіркових значень(лінійний і квадратичний).
В цих каналах відбувається в подальшому перемноження на відповідні
коефіцієнти h1v та h2v . Сформовані коеіцієнти залежать від парметрів завади,
а саме кумулянтів з 1-го по 4-й порядку. Результуючі значення піісля
накопичення в кожному каналі опрацювання через підсумовуючий пристрій
подаються на пороговий пристрій(ПП). ПП призначений для прийняття
рішення про наявність сигналу чи лише шуму у вибіркових значеннях.
Для аналізу кількісних характеристик виявляча ступені S=2
скористаємося рівнянням значення критерію якості Q[n] для лінійного
виявляча й виявляча при S=2. Для цього розглянемо відношення Q2/ Q1 , яке
дорівнює виразу:

n
r 2
Q  v
Q  10 lg 2  10 lg( v1 ) (2.36)
Q n   2
1 
 r 2
v  3
1 
 2 2 
v1  4  2   3  qrv 

Для аналізу кількісних характеристик виявляча ступені S=2
скористаємося рівнянням значення критерію якості Q[n] для лінійного
виявляча й виявляча при S=2. Для цього розглянемо відношення Q2/ Q1 , яке
дорівнює виразу:

Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
44
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

Рисунок 2.2 – Структурну схему оптимального виявляча імпульсного
сигналу, при ступені поліному S=2.

Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
45
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

n
Q  r 2
v
Q  10 lg 2  10 lg( v1 ) . (2.38)
Q n   2
1 
 r 2 1 3
v  
  2   2  qr 2 
v1  4 3 v 

Проведемо аналіз цього вираження для наступних імпульсних
сигналів:
- прямокутного та колоколоподібного відеоімпульсу;
- прямокутного та колоколоподібного радіоімпульсу.
На рис. 2.3-2.6 наведені графіки залежностей 10lg(Q2/Q1 ) від 3 для
перераховани вище випадків.
Із графіків видно, що зі збільшенням  3 ефективність роботи
поліноміального виявляча ступені S=2 збільшується в порівнянні з лінійним
виявлячем. При цьому ефективність роботи не залежить від форми імпульсу
(відео- або радіоімпульсів), а відповідно буде залежити лише від виду
обвідної імпульса. Найбільший ефект спостерігається для колоколоподібного
радіоімпульсу.
Загальний висновок можна зробити такий: найбільше ефективно
стохастичні виявлячі при S=2 будуть працювати при відношеннях сигнал/
завада менших одиниці, та у випадку значного відхилення коефіцієнта
асиметрії  3 завади від нуля.

2.4. Побудова адаптивного вирішального правила при неповній
визначенності негауссівської завади.
У попередньому підрозділі розглядалася побудова лінійного та
поліноміального вирішувальних правил для відомих параметрів завади.
Проте в реальних умовах параметри завади: дисперсія, а також кумулянти
третього та четвертого порядку є зазвичай невідомими та змінюються з
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
46
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

Рисунок 2.3 - Графіки залежності відношення критеріїв якості
від  3 при ступені полінома S=1 і S=2
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
47
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

Рисунок 2.4 - Графіки залежності відношення критеріїв якості
від  3 при ступені полінома S=1 і S=2
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
48
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

Рисунок 2.5 - Графіки залежності відношення критеріїв якості
від  3 при ступені полінома S=1 і S=2
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
49
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

Рисунок 2.6 - Графіки залежності відношення критеріїв від  3
якості при ступені полінома S=1 і S=2
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
50
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

часом. Тому система виявлення повинна мати адаптивний характер, тобто
здатність оцінювати ці параметри за поточними спостереженнями[29].
В даному випадку постановка задачі виявлення не змінюється, тому
розглянемо особливості побудови адаптивних пліноміальних виявлячів при
використанні стохастичних поліномів першого і другого порядків. Дані
вирішувальні правила залежать від від оптимальних коефіцієнтів hiv, що в
свою чергу залежать від параметрів завади, які для адаптивних алгоритмів
потрібно відповідним чином визначати(оцінювати) і підставляти у вирази для
оптимальних коефіцієнтів.
2.4.1. Адаптивне лінійне вирішальне правило (S=1).
Якщо завада має нульове математичне сподівання, вирішувальне
правило при S=1 набуває вигляду(2.22):

n 1 H1
 h 
1v v  S  
v   0 .
v1  2  H0

де h1v - оптимальний коефіцієнт, що визначається
співвідношенням(2.26):

S
h1v = v .
22

При лінійному вирішувальному правилі основним статистичним
параметром є дисперсія завади  2  2 , яка відповідає кумулянту другого
порядку.
Оцінювання дисперсії завади є ключовим елементом побудови
адаптивного лінійного вирішувального правила, оскільки саме цей параметр
визначає масштаб випадкових коливань шуму і використовується для
нормування порогу прийняття рішення. У випадку неповної визначенності
статистичних характеристик завади для підтримання адаптивності оцінки
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
51
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

дисперсії, необхідно постійно оновлювати оцінку дисперсії ) 2 у процесі
роботи системи.
Розглянемо декілька алгоритмів визначення оцінки дисперсії[13]:
- Алгоритм ковзного середнього (Moving Window Variance Estimation).
Даний алгоритм є найпростішим і базується на оцінюванні дисперсії
в межах ковзного вікна довжиною M:

) 2 1 k
  x 2
i  x(k) , (2.38)
M ikM 1

k
де 1
x(k)   xi - середнє значення поточних даних.
M ikM 1

Переваги:
- простота реалізації;
- контрольована інерційність (за рахунок вибору M).
Недолік даного методу - повільне реагування при малому M або шумна
оцінка при надто короткому вікні.

- Експоненційно-зважене оновлення (Recursive Variance Estimation)
Даний метод є більш ефективним у реальному часі, так як здійснюється
рекурсивна адаптація за правилом експоненційного згладжування:
) )
(k)  (k 1)  (1 ) x(k) ,

де x(k) - новий відлік сигналу,
)(k) - адаптивна оцінка середнього на поточному кроці,
0,9;0,99 - коефіцієнт пам’яті алгоритму.
Сама дисперсія на поточному кроці визначається наступним виразом:

) 2 ) )
(k)   2 (k 1)  (1 )x(k)  (k)2 (2.39)
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
52
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

Таким чином, )(k) використовується для нормування та обчислення як
дисперсії так і кумулянтів у реальному часі. Вона дозволяє алгоритму
автоматично підлаштовуватись до зміни середнього рівня шуму або сигналу.
Цей метод забезпечує швидку реакцію на зміни рівня завади, не потребує
зберігання історії спостережень і підходить для реальних часових систем.
Після кожного оновлення оцінки ) 2 σ̂²(k) нове значення підставляється
в рівняння (2.39), забезпечуючи адаптивне налаштування вирішувального
правила у часі.
Оптимальне адаптивне вирішувальне правило при S=1 в результаті
прийме наступний вигляд.

n S H1
 v  1  
)  v  S v   0 . (2.40)
v1 2 2  2  H0

Рисунок 2.7 – Структурна схема лінійного адаптивного виявляча
імпульсних сигналів
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
53
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

Структурна схема такого адаптивного виявляча(рис.2.7) складається з:
- генератора огинаючої сигналу;
- блоку оцінки дисперсії σ̂²;
- перемножувача (для формування оптимального коефіцієнта h1v);
- пристрою накопичення;
- порогового пристрою.
Отримане адаптивне правило дозволяє компенсувати зміни
енергетичного рівня завади та підтримувати стабільну ймовірність хибної
тривоги.
Вирішувальному правилі (2.40) за знак суми не порушуючи ніякої
рівності винесемо величину 1
) за знак суми і скоротимо на цю величину.
2 2
Це можливо зробити, так як дисперсія випадкового процесу не дорівнює
нулю. В результаті лінійне вирішувальне правило прийме вигляд:

n  1 H1
 S v 
 
v  S v   0 . (2.41)
v1  2  H0

Даний вираз співпадатиме з виразом для побудови вирішувального
правила, коли завада має гауссівський розподіл імовірностей (див. Додаток
А).
Структурна схема такого виявляча прийме вигляд рис.2.8.
Можемо зробити висновок, що лінійний виявляч в цьому випадку має
простішу структуру, але не враховує зміну завадової обстановки.

Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
54
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

Рисунок 2.8 – Структурна схема лінійного виявляча імпульсних
сигналів, що приймаються в адитивній суміші із гауссівською завадою

Перейдемо до побудови адаптивного виявляча імпульсних сигналів при
ступеню полінома S=2.
Згідно виразу (2.32) поліномальне вирішувальне правило за умови
нульового середнього значення завади має вигляд:

n (  2) S  S 3   2
 4 v v 3 S v 1
( v  S v ) 
2 2 2
v 1 2[  2 ( 4  2  2   2 S v )   3 ] 2

n  S 1 H 1
  3 v [ 2  ( S 2
v v  2  2 )]  0
2
v 1 2[ 2 ( 4  2  2   2 
2 S v )   2
3 ] 2 H 0

Перейдемо до адаптивного вирішувального правила, якщо в виразі
(2.32) зробимо заміни параметрів завади(ккумулянти 2-го, 3-го та 4-го
порядків) на оціночні значення цих параметрів завади. Вирішувальне
правило прийме вигляд:

Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
55
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

n () )
4  2) S v  S 3 2
 v   3 S v  1
  S 
) ) ) ) ) 
v 1 2[ 2
2 ( 4  2  2   2 S 2 )   2 ]  v
v 3  2 v 
) (2.42)
n  S
 3 v  2 1 H
) 1
 2
) ) ) ) )  v  ( S  2  ) 
2[ (  2  2   S 2 )   2 ] 2 v 2   0
v 1 2 4 2 2 v 3   H 0

В виразі (2.42) крім оцінки дисперсії(кумулянт 2-го порядку), потрібно
знаходити також оціночні значення кумулянтів 3-го і 4-го порядків.
Кумулянти є важливими статистичними характеристиками випадкового
процесу, які описують його відхилення від гауссівського розподілу. Для
негауссівських завад саме кумулянти 3-го (асиметрія) та 4-го (ексцес)
порядків є ключовими параметрами, що впливають на форму розподілу.
Як відомо, у реальних умовах параметри шуму змінюються в часі, тому
необхідно здійснювати оцінювання кумулянтів на основі поточних
спостережень і порівнювати їх із значеннями на попередньому
спостереженні, щоб здійснювати процес адаптації оптимальних коефіцієнтів
вирішувального правила, що залежать від вказаних кумулянтів, що
характеризують негауссівську заваду.
Розглянемо декілька методів для оцінювання кумулянтів:
- Базові визначення кумулянтів.
Як відомо із [22] для випадкової величини x(t) з математичним
сподіванням μ і дисперсією σ² кумулянти 1–4-го порядку визначаються
таким чином:

1  Ех
 2
2  Е(х  ) 
 3  Е(х  )3  (2.43)
 4  Е(х  ) 4 

- Наступним методом є адаптивне рекурсивне оцінювання кумулянтів.

Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
56
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

) )
1 (k) 1 (k 1)  (1 )x(k) ,
) ) )
2 (k)  2 (k 1)  (1 )(x(k)  1 (k)) 2 , (2.44)
)3 (k) ) )
3 (k 1)  (1 )(x(k)  1 (k))3 ,
) )   ) )
4 (k)  4 (k 1)  (1 ) (x(k)  (k)) 4
1  3 2
2 (k),

де  [0,9; 0,99] - коефіцієнт згладжування («пам’яті»).
Цей метод не потребує зберігання всієї історії даних і придатний для
адаптивної обробки потокових сигналів в режимі реального часу.

- Метод ковзного вікна для оцінювання кумулянтів.
В цьому випадку використовується ковзне вікно з фіксованою
довжиною M, у межах якого обчислюються кумулянти:

1 k
)1 (k)   x
М i
ikM 1
) 1 k
 )
2 (k)   xi  1 (k)2 (2.45)
M ikM 1
k
) 1
 )
3 (k)   x   3
M i 1 (k)
ikM 1
k
) 1
 ) )
4 (k)  x   (k)4  3 2
M  i 1 2
ik M 1

Потрібно відмітити в якості переваги простоту реалізації та
інтуїтивність даного методу. Головним недоліком є повільна реакція при
малому M або нестійкість при великому М.
- Робастна адаптивна оцінка для негауссівських завад.
Так як для імпульсних або важкохвостих розподілів класичні формули
можуть бути нестійкими, тому застосовують робастні адаптивні алгоритми,
які базуються на медіанах і відкиданні екстремальних спостережень.
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
57
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

Для прикладу, оцінка кумулянтів третього та четвертого порядків із
відкиданням 5–10% крайніх значень визначається такими виразами:

v ( роб ) 1
3   (xi  median(x))3 , (2.46)
М i
v ( роб ) 1
4   (xi  median(x)) 4 ,
М i

де Ω - підмножина спостережень без викидів,
) роб - робастна оцінка стандартного відхилення.
Оцінки кумулянтів ) 2 , )3 та ) 4 застосовуються для побудови адаптивних
нелінійних вирішувальних правил при неповній визначенності параметрів
середовища.
Узагальнена структурна схема адаптивного виявляча імпульсних
сигналів при ступеню поліному S=2 представлена на рис. 2.9.
Для формування оптимальних коефіцієнтів вирішувального правила
необхідно спочатку провести оцінку параметрів завади, порівняти з
параметрами завади на попередньому кроці і в випадку відмінності замінити
їх на нові значення. Таким чином відбувається адаптація оптимальних
коефіцієнтів поліноміального вирішувального правила до зміни параметрів
завади, що повинности привести до більшої ефективності роботи
запропонованого алгоритму. Каналів опрацьововування вхідних вибіркових
даних в даному алгоритмі є два (лінійний і нелінійний. Після накопичення
цих даних вони подаються на суматор, а вже з виходу суматору на пороговий
пристрій, який і приймає рішення, що відбулася чи гіпотеза(присутній
корисний сигнал в вибіркових даних) чи альтернатива (присутній лише шум).
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
58
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

Рисунок 2.9 – Структурна схема адаптивного виявляча імпульсних
сигналів при S=2.

2.5. Моделювання статистичних характеристик негаусівської завади.
Як відомо, у системах виявлення сигналів негауссівські завади
відіграють ключову роль. Це зумовлено тим, що їх статистичні властивості
буть істотно впливати на ефективність вирішувальних правил. На відміну від
гауссівського шуму, який повністю визначається своїми першими двома
моментами, негауссівські розподіли характеризуються додатковими
параметрами: асиметрією, ексцесом та вищими кумулянтами. Що в свою
чергу вимагає до моделювання статистичних характеристик таких завад
спеціального підходу.
2.5.1. Основні статистичні параметри негауссівського шуму.
За умови, коли випадковий процес n(t) є негауссівською випадковою
завадою з нульовим середнім значенням E[n(t)]=0, то її статистичні
властивості можна описати послідовністю моментів та кумулянтів:

m1  En ,
m  En 2
2 ,
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
59
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

m  En3
3 ,
m4  En 4 , (2.47)
1  m1 ,
 2  m2 ,
 3  m3 ,
 2
4  m4  m2 .

Коефіцієнти асиметрії та ексцесу відповідно мають вигляд:


  3
3 ,
3
 2
2

 4  4 .
 2
2

Дані параметри визначають відхилення щільності розподілу шуму від
гауссівського закону розподілу.
2.5.2. Моделі негауссівських завад[10]. Для моделювання негауссівськх
завад використовують такі типи розподілів:
1. Модель Лапласа (двобічний експоненційний шум)
 n 
Щільність розподілу, яка має вигляд: 1
p(n)  exp

 , характери-
2b  b 
зується наступними властивостями:
- підвищеною ймовірністю великих відхилень.
- нульовою асиметрією,
- високим ексцесом (гостровершинність),
2. α-стійкі розподіли (Stable distributions)
Відмітимо їхні основні характеристики:
- відсутність скінченних дисперсій при α<2\alpha < 2α<2,
- важкі хвости,
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
60
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

- застосовуються для моделювання імпульсних завад.
Так як аналітичної форми для щільності розподілу імовірностей (PDF)
вони не мають, тому формування здійснюється чисельно за методом
Чамберса–Мелона–Стака.
3. Узагальнений гауссівський розподіл (Generalized Gaussian
Distribution, GGD)
Даний шум має розподіл, що близький до гауссівського розподілу.
Щільність розподілу імовірностей для цього розподілу(PDF) наступна:

1  
 n  
p(n)  exp   
  ,
2 1    b  
  
  

де параметр β визначає "гостровершинність" розподілу.
2.5.3. Генерація негауссівських завад у моделюванні. Для кожного типу
розподілу використовуються відповідні методи моделювання:
1) Моделювання шуму Лапласа
Використовується метод інверсії:

b ln(2u), u p1 2,
n  
 b ln(2(1 u)), u 1 2,

де u ~ U(0,1).
2) Генерація α-стійкого шуму
Застосовується Метод Чамберса:
1
sin(V )  cos(V (1 ))  
n 
1   ,
cos(V )   W 

де V~  
U 
 , 
 . W~exp(1).
 2 2 
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
61
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

3) Генерація GGD шуму:
1
n  (sign(u)  ln(1 u )  ,
де u ~ U(-1,1).

4) Бігауссівська модель негауссівської завади (Gaussian Mixture Model,
GMM).
Сутність даної моделі наступна: бігауссівська завада моделюється як
суміш двох нормальних розподілів з різними дисперсіями:

n1  N (0, 2
1 ), з імовірністю р,
n  
n2  N (0, 2
2 ), з імовірністю 1 р,

або у вигляді суміші щільностей розподілу імовірностей:

p(n)  pN (0, 2
1 )  (1 p)N (0, 2
2 ) .

Використовується бігауссівський шум для моделювання:
- імпульсних завад,
- завад з різко змінною енергетикою,
- так названих “хвостатих” розподілів,
- реальних радіолокаційних завад у поганих погодних умовах.
Якщо σ2≫σ1, то такі рідкісні великі імпульси будуть відображаються
лише другим компонентом розподілу.
Для такого розподілу при нульових середніх значеннях в обох
компонентах середнє значення теж залишається нульовим:

m1  En=0.

Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
62
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

Дисперсія визначається таким виразом:

 2  p 2 2
1  (1 p) 2 .

Третій момент (асимтрія) буде дорівнювати нулю, так як обидві
компоненти гауссівські та є симетричними:  3  0 .
Четвертий і відповідно ексцес будуть мати наступний вигляд:

m 4 4
4  3p 1  (1 p) 2 ,
 4  m4  3 4 .

Коефіцєнт ексцессу в цьому випадку дорівнює виразу:


 4  4 .
 4

Потрібно зауважити:
- якщо  1  2 , то така модель зводиться до гауссівської;
- якщо  1   2 то ексцес стає великим і завада стає імпульсною.
Потрібно відмітити, що бігауссівський шум дещо ускладнює побудову
лінійних вирішувальних правил, так як:
- дисперсія стає змішаною та нестійкою , що зумовлює помилки у
лінійному нормуванні;
- при великому ексцесі лінійні моделі (S=1) працюють погано;
- нелінійні моделі (S=2) підвищують чутливість до структури завади із
включенням кумулянтів 3–4 порядку;
- адаптивні алгоритми повинні відслідковувати відношення між
дисперсіями  2
1  2
2 та імовірністю р. Ці параметри можуть в реальних
системах можуть змінюватись у часі.
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
63
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

Тому бігауссівська модель є ключовою для тестування:
- адаптивних методів оцінювання ексцессу  4 ,
- робастних оцінювачів дисперсії,
- ефективності вирішувальних правил при S=2.
Додавання бігауссівської моделі дозволяє:
- тестувати адаптивні системи виявлення в умовах важких хвостів
розподілу,
- адекватно моделювати реальні, імпульсні та кластеризовані завади,
- реалізувати точне оцінювання ексцесу при змінних параметрах шуму.
- забезпечити порівняння ефективності різних вирішувальних правил
(лінійних і нелінійних),
2.5.4. Оцінювання статистичних характеристик у моделюванні. При
моделюванні будемо знаходити оцінки параметрів за вибіркою обсягом N
значень:
Отримані параметри використовуються для:
- побудови адаптивних вирішувальних правил (підпункт 2.4),
- налаштування коефіцієнтів стохастичного полінома,
- формування порогу виявлення.
2.5.5. Використання моделювання для аналізу ефективності. Потрібно
відмітити, що моделювання негауссівської завади дозволяє оцінити:
- Вплив асиметрії (γ₃) на вирішувальне правило, що дозволяє
збільшувати небаланс між позитивними/негативними відхиленнями.
- Вплив ексцесу (γ₄) на надійність виявлення, так як наявність важких
хвостів зумовлено більшою кількістю імпульсів, що приводить до
погіршення характеристик виявлення корисних сигналів.
- Робастність(стійкість) адаптивних алгоритмів оцінювання
(σ²,  3 ,  4 ) при різних типах завад.
Моделювання статистичних характеристик негауссівських завад є
необхідним етапом розробки адаптивних систем виявлення сигналів.
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
64
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

Використання спеціальних математичних моделей та методів генерації
розподілів дозволяє точно відтворити реальні умови та забезпечити коректне
налаштування вирішувальних правил у середовищі зі складною структурою
шуму.
У системах виявлення сигналів негауссівські завади можуть мати
складну форму розподілу, що відрізняється від класичного гауссівського
шуму. Однією з важливих складових моделювання таких завад є
використання моделей з важкими хвостами, імпульсними складовими або
комбінаціями різних гауссівських процесів.
Додавання бігауссівської моделі дозволяє:
- адекватно моделювати реальні, імпульсні та кластеризовані завади,
- тестувати адаптивні системи виявлення в умовах важких хвостів
розподілу,
- забезпечити порівняння ефективності різних вирішувальних правил
(лінійних і нелінійних),
- реалізувати точне оцінювання ексцесу при змінних параметрах шуму.
Бігауссівська модель є однією з базових у розділі 2.5 і повинна входити
до моделювального експерименту разом з іншими негауссівськими завадами.

Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
65
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

РОЗДІЛ 3. ОЦІНКА ПАРАМЕТРІВ НЕГАУСІВСЬКОЇ ЗАВАДИ
МЕТОДОМ МОМЕНТІВ

Ефективність адаптивних систем виявлення імпульсних сигналів буде
суттєво залежати від точності оцінювання статистичних параметрів завади.
Як відомо, гаусівський шум однозначно описується лише математичним
сподіванням та дисперсією. На відміну, для негаусівських завад, які мають
більш складнішу структуру, потрібно відобразити також моменти та
кумулянти вищих порядків. Це зумовлено тим, що такі завади
характеризуються такими парметрами: асиметрією, гостровершинністю,
наявністю важких хвостів або імпульсною природою. Тому їх некоректно
буде описувати класичними гаусівськими моделями і тому потрібно
застосовувати узагальнені статистичні методи.
Розглянемо більш детальніше метод моментів, який є одним із базових
та найпоширеніших підходів, що використовується для оцінювання
параметрів негаусівських розподілів. Даний метод дозволяє отримати оцінки
математичного сподівання, дисперсії, третього та четвертого моментів, а
також відповідних кумулянтів на основі вибіркових статистик. Кумулянти є
складовими опимальних коефіціє нтів, що використовуються при побудові
адаптивних вирішувальних правил при ступеню поліномів першого (S=1) та
другого (S=2) порядків. Нелінійне вирішувальне правило в свою чергу
враховує несиметричність та імпульсність адитивної завади.
Особливу увагу приділено задачі оцінки параметрів завад із
бігауссівською, лапласівською, узагальнено-гауссівською та α-стійкою
природою, оскільки саме ці моделі найадекватніше описують реальні
імпульсні завади у радіотехнічних та радіолокаційних системах. Також
показано зв’язок між початковими моментами та кумулянтами, а це дозволяє
в подальшому формувати ефективні аналітичні моделі для синтезу
оптимальних вирішувальних правил.
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
66
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

Таким чином, даний розділ є ключовим для забезпечення адаптивності
системи виявлення та створює основу для побудови робастних методів у
середовищах із невизначеними та нестабільними статистичними
параметрами завади.

3.1. Вибір та обґрунтування математичної моделі негауссівської
завади.
Характер завадового середовища у системах виявлення імпульсних
сигналів відіграє визначальну роль як у формуванні вирішувальних правил
так і в виборі алгоритмів обробки сигналів. Класична гауссівська модель
шуму часто є недостатньою, оскільки реальні завади в радіолокаційних,
навігаційних, телекомунікаційних та інформаційно-технічних системах
демонструють такі властивості:
-імпульсність;
-асиметрію;
-важкохвостість (heavy-tailed behavior);
-неоднорідність статистичних параметрів у часі.
Тому використаємо негауссівську модель, яка описує точніше
характеристики реальної завади.
Під час вибору математичної моделі негауссівської потрібно
враховувати такі вимоги:
- Здатність відтворювати емпіричні властивості шуму, зокрема
дисперсію, асиметрію, ексцес, важкі хвости.
- Можливість аналітичного або чисельного моделювання.
- Робастність до імпульсних викидів, які є типовими для реальних
шумів.
- Придатність до оцінювання параметрів методом моментів..
- Коректність поведінки у поліноміальному вирішувальному правилі,
зокрема при S = 1 та S = 2.
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
67
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

Беручи до уваги ці вимоги, обґрунтованим є використання трьох
базових моделей завади, які були розглянуті в попередньому розділі.
Найбільш універсальною моделлю, є модель, яка відображає ситуації,
коли завада формується із двох різних джерел і має щільність розподілу
імовірностей:
p(n)  pN (0, 2
1 )  (1 p)N (0, 2
2 ) ,
lе  2  1 /
Переваги даної моделі наступні:
- описує імпульсні завади з великими "викидами";
- легко генерується чисельно;
- точно моделює важкі хвости розподілу;
- має закриті форми моментів та кумулянтів, а це дуже зручно для
використання методу моментів.

3.2. Метод моментів для оцінки статистичних параметрів завади.
Після визначення математичної моделі завади оберемо метод
оцінювання її параметрів.
Оскільки завада має складну, негауссівську структуру, а параметри
можуть змінюватися у часі, пріоритетними є такі вимоги до алгоритму:
- адаптивність (здатність працювати з часозмінними параметрами),
- робастність (стійкість до викидів),
- низькі обчислювальні витрати,
- придатність до використання в реальному часі.
З врахуванням перерахованих вимог пропонується використання
методу моментів у поєднанні з адаптивною ковзною оцінкою.
Метод моментів є одним із найпоширеніших способів статистичного
оцінювання параметрів випадкових процесів. Його сутність полягає у заміні
теоретичних моментів розподілу на їх вибіркові оцінки, що дозволяє
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
68
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

визначити параметри моделі завад без необхідності максимізації функцій
правдоподібності або побудови складних оптимізаційних процедур.
Для випадкової величини nnn теоретичні початкові моменти
визначаються як:
mk  En k  ,
де k=1,2,3,4 — порядок моменту. У практичних умовах замість них
використовуються вибіркові оцінки:

1 N
m  n k
k i ,
N i1

де N — довжина вибірки, а ni — окремі реалізації завади.
Розглянемо основні параметри, що можна оцінювати методом моментів:
) )
- Математичне сподівання:   m1

) 2 ) ) 2
- Дисперсія:   m2  m ,
1

- Асиметрія: ) ) ) ) ) 3
3  m3  3m2m1  2m1 ,

- Ексцес: ) ) ) ) ) ) ) )
3  m4  4m3m1  6m 2 4 2
2m1  2m1  3m2 .

Метод моментів навіть у випадках складних негаусівських
розподілів,забезпечує просту та швидку оцінку параметрів, на відміну від
методу максимальної правдоподібності, який характеризується високою
обчислювальною складністю та не має закритої форми.
Адаптивні оцінки парамерів негауссівської завади можемо знайти за
допомогою рівнянь(2.44):

) )
1 (k) 1 (k 1)  (1 )x(k) ,
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
69
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

) 2 (k) ) )
2 (k 1)  (1 )(x(k)  1 (k)) 2 , (2.44)
) ) )
3 (k)  3 (k 1)  (1 )(x(k)   3
1 (k)) ,
) 4 (k) ) ) )
4 (k 1)  (1 )(x(k)   (k)) 4  3 2
1 2 (k),

Потрібно відмітити, що для статичних вибірок у моделюванні метод
моментів застосовується у звичайному вигляді — всі оцінки обчислюються
один раз. Адаптивні формули використовуються лише для систем реального
часу, де параметри завади змінюються.
Кумулянти другого, третього та четвертого порядків є критичними для
побудови вирішувальних правил S=1 та S=2 в умовах негауссівської завади.

3.3. Зв’язок початкових моментів і кумулянтів.
Згідно ( ) емпіричні початкові моменти m̂k до четвертого порядку
включно розраховуються за формулою:

) 1 n
m k
k  x
n v
v1

Запишемо вирази для початко моментів:
- Перший початковий (середнє значення):

1 n
)
m1  x
n v .
v1

- Другий початковий момент дисперсія:

) 1 n
m 2
2  X
n v .
v

Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
70
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

- Третій початковий момент(асиметрію):

n
) 1
m3  n
3
X
v .
v

- Четвертий початковий момент (ексцес):

1 n
)
m 4
4  X
n v .
v

Структурна схема для визначення емпіричних моментів
представлена на рис. 3.1.
Кумулянти через початкові моменти можуть бути обчислені до 4-го
порядку таким чином:
- Кумулянт першого порядку 1 дорівнює першому початковому
моменту (середньому значенню):
) )
1  m1

Кумулянт другого порядку 2 :

) ) ) 2
2  m2  m1

Даний кумулянт є дисперсією розподілу, що характеризу розкид
випадкових величин навколо середнього значення.
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
71
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

Рисунок 3.1 – Узагальнена труктурна схема для визначення емпіричних
початкових моментів mˆ 1  mˆ 4 .

- Кумулянт третього порядку 3 :

) ) ) ) ) 3
3  m3 3m2m1  2m1

Кумулянт 3-го порядку характеризує асиметрію кривої розподілу
ймовірностей.
- Кумулянт четвертого порядку 4 характеризує ексцес розподілу :

) ) ) ) ) ) ) )
4  m4  4m3m1 3m 2
2 12m m2
2 1  6m4
1 .
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
72
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

3.4. Побудова алгоритму обчислення параметрів негаусівської завади.
Для визначення параметрів негауссівської завади спочатку необхідно
визначити емпіричні початкові моменти(див. рис.3.1), а потім визначити
емпіричні значення кумулянтів.
Структурна схема для визначення кумулянтів розподілу негауссівської
завади представлена на рис. 3..2.
Оціночні значення кумулянтів завади будуть використовуватися для
формування оптимальних вирішувальних правил лінійного чи нелінійного
вирішувального правил, що побудовані в підрозділі 2.4 (рис.2.7 та рис.2.9
відповідно). Якщо при кожному спостереженні кумулянти завади будуть
змінюватися, відповідно будуть змінюватися і оптимальні коефіцієнти
поліноміальних вирішувальних правил. Таким чином буде здійснюватися
адаптація вирішувального правила до зміни параметрів адитивної
негауссівської завади.
Через емпіричні моменти кумулянти до 4го порядку можна визначити
наступним чином:
1 n
̂1   х
n v ,
v1
1 n 2  1 n 2
ˆ  x  
2  v  x  ,
n v1  n v
v1 
1 n 1 n  1 n 3
ˆ   1 n 
3  n x3
v 3  x2
v   хv   2  хv  ,
v n v  n v1   n v 
1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n
̂ 4 3
4   xv  4  xv (  хv )  3( x2 )2 12( x2 )( х )2  6( х )4
n v n v n v n v n v n v n v
v v v v

Узагальнена структурна схема для визнчення оціночних значень
кумулянтів представлена на рис. 3.3.

Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
73
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

Рисунок 3.2 – Структурна схема для отримання кумулянтів завади

Рисунок 3.3. – Структурна схема визначення оціночних параметрів
негауссівської завади
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
74
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

Розрахунок оціночних параметрів завади буде проведено в пакеті
програм Matchad 15 при проведені моделювання роботи адаптивного
виявляча імпульсних сигналів.
У результаті виконання алгоритму отримуються оцінки параметрів
( 1 ,  2 ,  3 ,  4 ), які повністю характеризують негаусівську заваду та можуть
бути використані для:
- моделювання шумових процесів у телекомунікаційних системах;
- аналізу завадостійкості каналів зв’язку;
- синтезу оптимальних фільтрів;
- порівняння різних середовищ поширення сигналів.

Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
75
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

РОЗДІЛ 4. ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА АНАЛІЗ
РЕЗУЛЬТАТІВ

У цьому розділі розглядається процес експериментального моделювання
роботи адаптивного виявляча імпульсних сигналів за умови неповної
визначеності параметрів негауссівської завади. Метою є перевірка
ефективності теоретичних розробок та аналіз результатів, отриманих у
процесі моделювання різних вирішувальних правил (лінійних та нелінійних)
для завадових середовищ з бігауссівськими, лапласівськими, α-стійкими та
іншими негауссівськими розподілами.

4.1 Генерація бігауссівського шуму.
Як було відмічено раніше, бігауссівський шум (bi-Gaussian noise)
представляє собою випадковий процес, який формується із суміші двох
незалежних гауссівських шумів, що мають різні параметри: кількість
випадкових величин, математичне сподівання та дисперсія:

X
X  1 , з імовірністю p,

X 2 , з імовірністю 1 p,

де X 1  N (1 , 2
1 ) ,
X 2  N ( 2
2 , 2 )
p0,1 - коефіцієнт змішування.
Використовуються такий шум при моделюванні наприклад фонової
теплової завади, що має малу дисперсію, або імпульсної завади із великою
дисперсією.
Алгоритм генерації бігауссівського шуму, який використовуємо при
моделюванні, наступний:
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
76
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

- задаємо параметри двох нормальних розподілів: середні значення 1 ,
 2 та середньоквадратичні відхилення  1 ,  2 ;
- Визначаємо кількість випадкових величин, що генеруються для обох
гаусових розподілів.
- Генеруємо гауссівські послідовності із заданими параметрами;
- Обєднуємо дві послідовності в одну і робимо перемішування
отриманої негауссівської послідовності.
- За потреби можна виконати нормалізацію вибірки (забечити нульове
середнє значення та одиничну дисперсію)
Фрагмент програми із Matcad 15:

де  - коефіцієнт змішування.
Для перевірки бігауссівської вибірки побудуємо гістограму отриманого
шуму, приклади якої представлено на рис.4.1.
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
77
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

а)

б)
Рисунок 4.1 – Гістограми та щільності розподілу імовірностей для бігауссівського
шуму.
Характерна ознака для приведених гістограм це або подвійна вершина
(а), або «розширені хвости» (б).

4.2 Оцінка параметрів завади.
Статистичні параметри шуму були оцінені за допомогою методу
моментів для кожної реалізації завади. Вибірка в процесі моделювання могла
варірувати від 100 до 10000 точок для кожного типу негауссівського шуму.
Для лінійного вирішувального правила потрібно було визначити лише
2 початкових моменти, а для нелінійного вирішувального правила моменти
обчислювались до четвертого порядку.
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
78
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

Якщо в процесі моделювання середнє значення вибіркових значень
відрізняється від нуля, можна ці значення центрувати відносно середнього
значення і користуватися центральними моментами.
Приклад реалізації показав, що відхилння від нульового значення не
суттєвий, тому центрування не проводили.

4.3 Проведення експериментів у різних умовах завадової обстановки.
Так як поліноміальні вирішувальні правила залежать від оптимальних
коефіцієнтів, які в свою чергу залежать від параметрів завади, проведемо
моделювання роботи адаптивних виявлячів імпульсних сигналів для
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
79
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

а)

б)
 4
v
2
0
2 v
0 60 120 180 240 300
в)
Рисунок 4.2. Графічне представлення аддитивно суміші (в)
импульсного відеосигналу(а) та негауссівської завади (б)
при  3  1.2 і  4  1.2 .
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
80
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

перевірки різних гіпотез: Н0 – коли присутній лише шум і Н1 – суміш
корисного сигналу і завади. Приклади шуму, імпульсного сигналу та їх
суміші представлені на рис.4.2.
Узагальнена функціональна схема моделювання запропонованих
алгоритмів виявлення представлена на рис.4.3.

Рисунок 4.3 –Узагальнена функціональна схема моделювання
адаптивного виявляча імпульсних сигналів

На відміну від схеми, що приведена в додатку Б, дана схема крім
датчика випадкових чисел, що генерує бігаусову заваду, блоку гетеродинів
(БГ), лінійного(ЛВП) та нелінійного вирішувальних пристроїв (НВП) та
блоку точнісних характеристик (БТХ), вміщує також вимірювач параметрів
шуму (ВПШ) в вигляді кумулянтів до 4-го порядку включно, які
використовуються для формування оптимальних коефіцієнтів
вирішувальних правил.
Метою моделювання є визначення характеристик точності нелінійного
адаптивного виявляча, тобто необхідно з’ясувати, наскільки ефективнішими
є нелінійні поліноміальні вирішальні правила, ніж лінійні вирішальні
правила, які є оптимальними за Гаусовим законом розподілу шуму.

Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
81
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

4.4. Порівняння ефективності класичного та адаптивного виявлення.
Як відомо, поліноміальні вирішувальні правила будуються
оптимальними за моментним критерієм Ku:

G1  G
Ku  0 ,
E1  E 2
0 

де E0 – математичне сподівання сподівння вирішувального правила при
гіпотезі Н0;
E1 – математичне сподівання сподівння вирішувального правила при
гіпотезі Н0;
G0 – дисперсія вирішувального правила при гіпотезі Н0;
G1– дисперсія вирішувального правила при гіпотезі Н1
При проведенні моделювання накопичемо ряд середніх значень
значень вирішувального правила вирішувального правила при кожному
досліді для фіксованих значень параметрів завади, які визначимо за
допомогою пристрою вимірювання параметрів шуму. В цьому відмінність від
проведення моделювання при класичному виявленню, де параметри завади
відомі апріорно(до дослідно).
Проведемо по NN дослідів за умови, що в вибіркових значеннях
присутній лише шум і коли присутні шум і корисний сигнал.
Математичні сподівання вирішальних правил при гіпотезі Н0 та
альтернативі тернативі Н 1 будуть дорівнювати виразам:
1 k
E 0s  E
k 0s,w ,
w1
1 k
E1s  E
k 1s,w .
w1
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
82
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

Дисперсії вирішального правила за гіпотези H0 і H1 будуть рівними
відповідно:
1 k
G 0s   E 2
k 0s,w  E0s  ,
w1
1 k
G 2
1s   E
k 1s,w  E1s  ,
w1

где E 0s,w - значення вирішального правила за гіпотезою H0 для w-й
реалізації ,
E1s,w - значення вирішального правила за гіпотезою H1 для w-й
реалізації ,,
E 0s - математичне очікування вирішального правила за гіпотезою Н0,
E1s - математичне очікування вирішального правила за гіпотезою Н1,
s - степінь поліному, s 1,2 .
Для побудови графіків залежності експериментальних значень
коефіцієнта ефективності, тобто значень критерію якості Ku, крім
математичних сподівань вирішальних правил та дисперсії вирішальних
правил за гіпотезою та альтернативою для ступеня полінома s=1 і s=2, ці
значення необхідно отимати для різних значень коефіцієнта асиметрії  3
при фіксованих значеннях коефіцієнта ексцесу  4 , які звязані з кумулянтами
співвідношенням:

 і
і  .
і
 2
2

Експериментальні значення коефіцієнта якості вирішувального правила
при ступенях поліному S=1 та S=2 відповідно будуть мати вигляд:

G11  G
Q  01
1
E 2
11  E01 
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
83
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

G12  G
Q  02
2
E12  E 2
02 

Для аналізу ефективності роботи представлених алгоритмів побудуємо
графіки залежності Q  10lg Q2 Q1 від кумулянтного коефіцієнта  3 при
різних значеннях кумулянтного коефіцієнта кумулянтного коефіцієнта  4
( рис.4.5 -4.12).
Між кумулянтними коефіцієнтами повинно виконуватися
співвідношення, що  2  2  2
3 . Графіки приведені для обсягу вибірки n=200,
для відеоімпульсів і радіоімпульсів з колоколоподібною огинаючою та для
2
відношення сигнал/завада за потужністю A
q  (q=0,1; 1; 5).
 2
Для полегшення порівняння, результати теоретичних дослідженнь і
результати моделювання приведені на одному графіку.
Потрібно відмітити, що розбіжність, яка існує між
експериментальними та теоретичними результатами зумовлена кінцевим
розміром вибірки n та кінцевою кількістю експериментів NN. З графіків
можемо зробити висновок, що зі збільшенням цих значень n,NN похибка
експерименту зменшується і результати моделювання наближуються до
результатів дослідження.
На рис.4.10 крива, що зображена штрих-пуктирною лінією, вказує на
те, що при фіксованих значеннях параметрів завади, а саме кумулянтів 3-го і
4-го порядків ефективність роботи нелінійного поліноміального виявляча не
залежить від зміни парметрів завади в вибіркових значеннях.
Найбільш ефект досягає 5-6 дб при відношеннях сигнал/завада менших
1. При інших відношеннях потужностей цей ефект складає 1-1,5 дБ, тобто не
суттєвий виграш в роботі нелінійного виявляча в зрівнянні з лінійним.
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
84
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

Риисунок 4.5 - Залежність відношення критеріїв якості від  3
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
85
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

Риисунок 4.6 - . Залежність відношення критеріїв якості від  3
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
86
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

Риисунок 4.7 - . Залежність відношення критеріїв якості від  3

Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
87
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

Риисунок 4.8 - . Залежність відношення критеріїв якості від  3
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
88
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

Риисунок 4.9 - . Залежність відношення критеріїв якості від  3
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
89
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

Рисунок 4. 10 – Залежність відношення критеріїв якості вирішувальних
правил при S=2 та S=1 від  3
За результатами моделювання можемо сказати, що лінійні алгоритми
мають високу чутливість до важких хвостів розподілу, що знижує їх
ефективність у разі імпульсних завад, а нелінійні алгоритми, навпаки,
перевищують лінійні за ефективністю в умовах, коли завада має важкі
хвости, що характерно для бігауссівської моделі завади з параметрами
аксцессу і асиметріїї відмінних від нуля.
Потрібно також відмітити робастність нелінійних алгоритмів до змін
статистики завади, що забезпечує стабільну роботу вирішувальних правил у
реальних умовах, яким характерні непередбачувані зміни характеристик
шуму.

Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
90
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

4.5. Рекомендації щодо практичного використання моделі адаптивного
виявляча
Адаптивні виявлячі ефективні там, де статистичні характеристики шуму
або завад не є стабільними (наприклад, змінюються в часі або залежать від
умов середовища).
Серед областей застосування можна виділити
- Телекомунікації, для виявлення імпульсних сигналів у радіоканалах з
імпульсними завадами, системи UWB (Ultra-Wideband) зв'язку та
Виявлення пілот-сигналів у OFDM системах;
- в раадіолокації для виявлення імпульсних радіолокаційних сигналів, в
системах з активним шумоподавленням, в пасивна радіолокація;
- В гідроакустиці для виявлення гідроакустичних сигналів при
наявності імпульсних завад, в системах підводного зв'язку та інш.

Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
91
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

ВИСНОВКИ

У магістерській роботі розроблена модель та проведено імітаційне
моделювання адаптивного виявляча імпульсних сигналів, за умови роботи
при дії адитивних негауссівських завад, що мають неповне апрірне
визначення. Моделювання роботи запропонованого поліноміального
виявляча імпульсних сигналів проведено в середовищі програмного пакету
Мathcad 15. Імітаційне моделювання в роботі було спрямоване на аналіз
узгодженості теоретичних і експериментальних результатів.
Для визначення параметрів негауссівської завади пропонується у
структурну схему розробленого виявляча добавити вимірювач параметрів
шуму, а саме кумулянтів з 1-го до 4 – го порядків включно.
Для визначення кумулянтів вищих порядків використовується метод
моментів, відповідно в роботі показано зв'язок між початковими моментами і
кумулянтами. В подальшому отримані кумулянти використовуються для
формування оптимальних коефіцієнтів лінійного і нелінійного
вирішувальних правил. Використання методу методу моментів для
оцінювання статистичних параметрів негауссівських завад є найбільш
доцільним, так як відомо, що даний метод при невеликих обчислювальних
витратах дозволяє отримати високу точність вимірювань.
В роботі синтезовані поліноміальні вирішувальні, які побудовані
оптимальними за моментним критерієм якості (критерієм Ku), який в свій час
запропонував професор Кунченко Ю.П. показано, що врахування параметрів
негауссівських завад, а саме кумулянтів вищих порядків, дозволить будувати
нелінійні вирішувальні правила з якіснішими імовірнісними
характеристиками, а саме виявляти корисні імпульсні сигнали з більшою
імовірністю виявлення, та меншою імовірністю пропуску сигналу.
В результаті імітаційного моделювання були підтверджені результати
теоретичних досліджень, які направлені на визначення кількості вилученої
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
92
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

інформації про розрізнення гіпотез і порівняння їх з практичними
напрацюваннями.
В середовищі Mathcad 15 було розроблено програмну реалізацію як
пристрою оцінювання параметрів завад, що дозволили через емпіричні
моменти визначити оціночні значення кумулянтів, що характеризують
бігауссівську модель шуму, так і математичну модель лінійного і нелінійного
вирішувального правила. В результаті моделювання було накопичено
результати роботи лінійного і нелінійного виявляча та проведено їх
порівняння, що приведено на відповідних графіках. Результати моделювання
показали, що ефективність нелінійного виявляча досягає при моделюванні до
-10 дБ, в зрівнянні з лінійним виявлячем.
Робастність(стійкість) нелінійних алгоритмів до змін статистики завади ,
дозволяє забезпечити стабільну роботу вирішувальних правил, що необхідно
забезпечити у реальних умовах, коли можливі зміни характеристик шуму.
При виконананні експериментального дослідження, для перевірки
працездатності пристрою в різних умовах, проведено серію експериментів.
Результати експериментів показали, що отримана достатньо висока точність
оцінювання параметрів завад та потрібно відмітити стійкість методу до
незначних відхилень у характеристиках вхідних даних.
Практична значимість розробленого пристрою є досить актуальна в
даний час, так як знаходяить застосування у радіолокації та зв’язку, тобто
де існують системи обробки сигналів.
Дані пристрої забезпечують як підвищення точності оцінювання завад
у реальних умовах та і покращують характерики виявлення корисних
сигналів в адитивній суміші із негауссівською завадою.

Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
93
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Басюк І. М., Головач І. В. "Теорія радіосигналів". Київ: НАУ,
2017, 424с.
2. Бондаренко В. Ф., Гнатюк В. А. Обробка сигналів у системах
виявлення та вимірювання. — Київ: Видавництво КПІ ім. І.
Сікорського, 2016. — 312 с.
3. Ван Т. Л. "Статистична теорія обробки сигналів". Переклад з
англійської. Київ: Наукова думка, 1997, 480с.
4. Вовк В. Ф. Теорія випадкових процесів і сигналів: навчальний
посібник. — Харків: ХНУРЕ, 2018. — 274 с.
5. Гнатенко М. Ф., Чернявський В. М. "Шуми і завади в системах
зв'язку". Київ: НАУ, 2014, 392с.
6. Головко В. А., Трохименко С. Г. Математичні методи аналізу
сигналів і шумів. — Київ: КНТ, 2017. — 226 с.
7. Градінар А. В., Шидловський А. К. "Теорія випадкових процесів
та її застосування в техніці". Київ: Вища школа, 2003, 400с.
8. Грищук І. В., Тарасенко М. П. Оптимальні методи прийняття
рішень у системах зв’язку. — Київ: КНУТД, 2020. — 178 с.
9. Дж. Проакіс., М. Салліван. "Цифрові комунікації". Переклад з
англійської. Київ: Вища школа, 1998, 672с.
10. Дорошенко О. І., Мороз В. В. Стохастичні процеси та моделі
завад у радіосистемах. — Київ: НАУ, 2020. — 238 с.
11. Дубина О. П. Стохастичні сигнали та методи їх аналізу в
системах виявлення. — Харків: ХНУРЕ, 2021. — 195 с.
12. Жук Ю. А., Микитенко О. І. "Сигнали і процеси у радіотехніці".
Київ: Наукова думка, 2009, 496с.
13. Кей С. М. "Статистичне оцінювання сигналів". Переклад з
англійської. Київ: Либідь, 2001, 368с.
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
94
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

14. Кендалл М., Стьюарт А. Теория распределений. Перевод с англ.
В.В. Сазонова, А.Н. Ширяева под редакцией Колмогорова, М.:
Наука, 1966, 588с.
15. Ковальов В. Г., Ляшенко А. Г. "Основи обробки сигналів".
Харків: ХНУРЕ, 2013, 432с.
16. Кравець В. П. Ймовірнісні характеристики систем виявлення
сигналів. — Чернівці: Рута, 2017. — 224 с.
17. Кучеров А. Д. "Основи цифрової обробки сигналів". Київ:
Либідь, 2007, 448с.
18. Лісовий В. Г. Оцінювання параметрів сигналів і шумів у
адаптивних системах. — Київ: КПІ ім. І. Сікорського, 2022. —
212 с.
19. Лісовий О. В., Марченко І. П. "Обробка сигналів у
негауссівському середовищі". Львів: ЛНУ, 2015, 392с.
20. Лисенко В. Г. "Теорія сигналів і систем". Одеса: ОНПУ, 2015,
372с.
21. Ляшенко В. І., Соловйов В. М. "Аналіз сигналів та завад у
системах радіозв’язку". Харків: ХНУРЕ, 2018, 368с.
22. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовских
процессов и их преобразований, М. «Сов.радио», 1978, 376 с.
23. Морозов М. О., Погребняк В. К. "Цифрова обробка сигналів".
Харків: ХНУРЕ, 2010, 288с.
24. Папуліс А. "Ймовірність, випадкові змінні та стохастичні
процеси". Переклад з англійської. Київ: Наукова думка, 1995,
575с.
25. Плюта Г. А., Соколова І. М. "Основи теорії випадкових
процесів". Харків: ХАІ, 2008, 164с.
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
95
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

26. Савченко О. О. Теорія статистичних рішень і критерії
оптимальності в задачах розпізнавання сигналів. — Харків:
ХНУРЕ, 2015. — 204 с.
27. Сердюк С. Ю., Білак О. О. "Сигнали та їх фільтрація в умовах
завад". Дніпро: ДНУ, 2020, 296с.
28. Черняк Ю. І., Черняк О. Ю. "Основи теорії інформації та
кодування". Київ: КНУ ім. Тараса Шевченка, 2005. 70 с.
29. Rangaswamy M., Gerlach K. Statistical Techniques for Non-Gaussian
Clutter and Adaptive Detection. — IEEE Transactions on Aerospace
and Electronic Systems, 2018, Vol. 54(3), pp. 1031–1049.
30. https://prometheus.org.ua/
31. https://www.coursera.org/
Арк.
мРТ-46.025351.248 ПЗ
96
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

Додатки

ChSTU repository

ChSTU repository preserves and enables easy and open access to all types of digital content including text, images, moving images, mpegs and data sets