Синтез і аналіз адаптивного поліноміального виявляча шумоподібних сигналів, що приймаються на тлі негауссівських завад

Гупаленко, Володимир Сергійович
Будь ласка, використовуйте цей ідентифікатор, щоб цитувати або посилатися на цей матеріал: https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/8064
Повний запис метаданих
Поле DC	Значення	Мова
dc.contributor.advisor	Мартиненко, Сергій Станіславович	-
dc.contributor.author	Гупаленко, Володимир Сергійович	-
dc.date.accessioned	2026-03-12T14:06:44Z	-
dc.date.available	2026-03-12T14:06:44Z	-
dc.date.issued	2021	-
dc.identifier.uri	https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/8064	-
dc.description.abstract	В роботі вирішена задача виявлення шумових сигналів, що приймаються в адитивній суміші з завадою, проведений огляд існуючих критеріїв якості вибору та методи побудови вирішальних правил. Для виявлення шумових сигналів з нульовим та ненульовим математичним сподіванням, використовується моментно-кумулянтний опису випадкових величин як при гіпотезі, так при альтернативі. Для визначення параметрів завади, що змінюється з часом, використовується метод моментів.	uk_UA
dc.language.iso	uk	uk_UA
dc.subject	Адаптивний виявляч	uk_UA
dc.subject	Негауссів- ський шум	uk_UA
dc.subject	Поліноміальні вирішувальні правила	uk_UA
dc.subject	Моменти	uk_UA
dc.subject	Кумулянти	uk_UA
dc.subject	Метод моментів	uk_UA
dc.title	Синтез і аналіз адаптивного поліноміального виявляча шумоподібних сигналів, що приймаються на тлі негауссівських завад	uk_UA
dc.type	Master Thesis	uk_UA
Розташовується у зібраннях:	172 Електронні комунікації та радіотехніка (Радіотехніка та робототехнічні системи)
Файли цього матеріалу:
Файл	Опис	Розмір	Формат
М_172_Гупаленко_Мартиненко.pdf Restricted Access		1.02 MB	Adobe PDF	Переглянути/Відкрити Запит копії
Показати базовий опис матеріалу Перегляд статистики
Усі матеріали в архіві електронних ресурсів захищено авторським правом, усі права збережено.
Extracted text
 
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ 
ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ 
ФАКУЛЬТЕТ ЕЛЕКТРОННИХ ТЕХНОЛОГІЙ, АВТОТРАНСПОРТУ  ТА 
МАШИНОБУДУВАННЯ 
КАФЕДРА РОБОТОТЕХНІЧНИХ І ТЕЛЕКОМУНІКАЦІЙНИХ І СИСТЕМ  
ТА КІБЕРБЕЗПЕКИ 
 
Допущений до захисту  
“____”  грудня  2021 р. 
Завідувач кафедри РТСК  
д.т.н., професор  
_________  Палагін В.В. 
 
 
Пояснювальна записка 
до випускної роботи 
освітньо-кваліфікаційного рівня «магістр» 
на тему: «Синтез і аналіз адаптивного поліноміального виявляча 
шумоподібних сигналів, що приймаються на тлі негауссівських завад» 
 
 Виконав студент 2 курсу, групи РТ-005 
Спеціальності     172 – Телекомунікації та 
 радіотехніка 
Освітня програма   «Радіотехніка  та робото- 
 технічні системи» 
 Гупаленко Володимир Сергійович 
 Керівник роботи Мартиненко С.С. 
 Рецензент Ключка К.М.. 
 
 
 
Черкаси 2021 
 
 
 Форма № Н-9.01 
Черкаський державний технологічний університет 
(назва вузу) 
Факультет електронних технологій і робототехніки 
Кафедра Радіотехніки, телекомунікаційнихі робототехнічних систем  систем 
Освітньо-кваліфікаційний рівень магістр 
Спеціальність  172 – Телекомунікації та радіотехніка 
Освітня програма Радіотехніка 
 ЗАТВЕРДЖУЮ 
 Завідувач кафедри РІТС 
 д.т.н., професор Палагін В.В. 
   
 «  » грудня  2021 р. 
 
ЗАВДАННЯ 
на дипломний проект (роботу) студенту 
Гупаленку Володимиру Сергійовичу 
(прізвище, ім'я, по батькові) 
1. Тема проекту (роботи) Синтез і аналіз адаптивного поліноміального виявляча  
шумоподібних сигналів, що приймаються на тлі негауссівських завад 
 
керівник проекту (роботи) Мартиненко Сергій Станіславович, к.ф.-м.н. 
(прізвище, ім’я, по батькові, науковий ступінь, вчене звання) 
затверджена наказом по університету від « 21 »      вересня    2021 р.  № 289-1/01 
2. Строк подання студентом проекту (роботи) 9 грудня 2021 р. 
3. Вихідні дані до проекту (роботи) тип завади – негаусівська; тип сигналу - 
Шумоподібний сигнал із нульовим та ненульовим математичним сподіванням; ступінь  
поліноміальних вирішальних правил  s=1,2 
4. Зміст розрахунково-пояснювальної записки (перелік питань, які потрібно розробити)______ 
Вступ. 1. Аналіз методів виявлення сигналів на тлі завад. 
2. Розробка поліноміальних алгоритмів для виявлення шумодібних сигналів з нульовим 
математичним сподіванням, що приймаються на фоні негаусівських завад. 
3. Розробка поліноміальних алгоритмів для виявлення шумодібних сигналів з ненульовим 
математичним сподіванням, що приймаються на фоні негаусівських завад.. 
 4. Адаптивне виявлення шумоподібних сигналів. 
Висновки. Список використаної літератури. 
 
5. Перелік графічного матеріалу (з точним зазначенням обов’язкових креслень)  
 
6. Консультанти з проекту (роботи) із зазначенням розділів проекту, що їх стосуються 
  Підпис, дата 
Розділ Прізвище, ініціали та посада  завдання         завдання 
консультанта видав прийняв 
    
    
    
    
    
7. Дата видачі завдання 5 вересня 2021 р. 
 
КАЛЕНДАРНИЙ ПЛАН 
№ Назва етапів дипломного                               С  т  р  о  к    виконання етапів      П   р имітка 
з/п проекту (роботи) проекту (роботи) 
1. Аналіз технічного завдання та огляд літератури 01.09.2021  
2. Ознайомлення з моделями сигналів та завад  14.09.2021  
3. Огляд критеріїв якості та методів побудови    
 вирішальних правил 20.09.2021  
4. Огляд методів оцінювання параметрів випадкових   
 сигналів 28.09.2021  
5 Синтез адаптивних алгоритмів виявлення    
 шумоподібних сигналів із ненульовим    
 математичним сподіванням  фоні  завад 04.10.2021  
6. Дослідження  характеристик синтезованих   
 поліноміальних алгоритмів 04.11.2021  
7. Оформлення пояснювальної записки 01.12.2021  
8. Оформлення матеріалів для презентації 05.12.2021  
    
   
 
 Студент   Гупаленко В.С,. 
  (підпис) (прізвище та ініціали) 
Керівник проекту (роботи)   Мартиненко С.С. 
  (підпис) (прізвище та ініціали) 
 
ЗМІСТ 
Вступ 5 
Розділ 1. Аналіз методів виявлення сигналів на тлі завад 7 
1.1. Статистичний підхід до задач виявлення сигналів на фоні завад 7 
1.2. Застосування нормального закону розподілу для аналізу випадкових 20 
величин  
1.3 Статистичний опис сигналів та їх математичні моделі 23 
1.4. Аналіз імовірнісних та моментних критеріїв якості перевірки  
статистичних гіпотез 25 
1.4.1. Критерій Байеса 26 
1.4.2. Критерій ідеального спостерігача 27 
1.4.3. Критерій Неймана—Пірсона 29 
          1.4.4  Структурна схема виявляча, оптимального по імовірнісному  
критерію. 30 
          1.4.5. Критерій мінімума верхньої межі суми імовірностей похибок  31 
          1.4.6 Побудова вирішувальних правил в вигляді стохастичних  
поліномів 35 
1.5 Аналіз методів оцінки параметрів сигналів 37 
          1.5.1 Метод максимальної правдоподібності 38 
          1.5.2 Метод найменших квадратів 38 
           1.5.3 Метод моментів 39 
Розділ 2. Розробка поліноміальних алгоритмів для виявлення шумодібних  
сигналів з нульовим математичним сподіванням, що приймаються на фоні  
негаусівських завад 40 
2.1 Постановка задачі виявлення  40 
2.2 Синтез вирішувальних правил для виявлення шумоподібних сигналів   
  
  
РТ-005.021131.248 ПЗ 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 Розроб. Гупаленко Синтез і аналіз адаптивного Літ. Арк. Акрушів 
 Перевір. Мартиненко поліноміального виявляча 3 70 
 Реценз.  шумоподібних сигналів, що 
 Н. Контр. Мартиненко приймаються на тлі ЧДТУ 
 Затверд. Палагін негауссівських завад 
при ступеню полінома S=2 42 
2.3 Аналіз ефективності розроблених алгоритмів 44 
Розділ 3. Розробка поліноміальних алгоритмів для виявлення шумодібних  
сигналів з ненульовим математичним сподіванням, що приймаються на фоні  
негаусівських завад 48 
3.1 Постановка задачі виявлення  48 
3.2 Синтез вирішувальних правил для виявлення шумоподібних сигналів  
при ступеню полінома S=1 49 
3.3 Синтез вирішувальних правил для виявлення шумоподібних сигналів 52 
при ступеню полінома S=2  
3.4. Аналіз ефективності розроблених алгоритмів 56 
Розділ 4. Адаптивне виявлення шумоподібних сигналів 61 
4.1. Застосування методу моментів для оцінки параметрів сигналу та завади  61 
4.2. Розробка структурної схеми адаптивного виявляча шумоподібних  
сигналів 64 
ВИСНОВОК 67 
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ 68 
  
  
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 4 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
ВСТУП 
 
Задача виявлення сигналів займає важливе значення як в теорії статистичної 
радіотехніки, так і в теорії телекомунікацій, так і в теорії статистичної 
радіофізики. Дана задача вирішує широке коло практичних задач в радіолокації, 
омент ним і і , в системах зв’язку, таких, що пов’язані з оптимальною 
обробкою сигналів на тлі завад. 
Сигнали, які генеруються радіо передавальними пристроями радіотехнічних 
систем, можуть бути як детермінованими так і випадковими. При проходженні по 
радіоканалу внаслідок ряду випадкових причин, корисні сигнали підлягають 
впливу різноманітних завад адитивної кумулятивної дії. Відповідно, в місці 
прийому сигнали будуть мати чи випадкову амплітуду, чи випадкову фазу і мати 
вигляд квазідетермінованої величини. Тому в сучасній радіотехніці все частіше 
застосовують статистичні методи обробки інформації. Для математичного опису 
сигналів і завад використовується теорія випадкових величин і випадкових 
процесів. В роботі буде проведено аналіз опису випадкових величин, а також 
можливих варіантів побудови вирішувальних правил, які будуються 
оптимальними за імовірностними чи омент ним  критеріями якості. 
Аналіз літератури по даній тематиці показав, що більшість робіт присвячена 
вирішенню проблеми виявлення сигналів, що приймаються на тлі завад, які мають 
гаусівський закон розподілу імовірностей і використовується в численних 
технічних застосуваннях. Це зумовлено тим, що для даної моделі прийнятих 
сигналів легко знайти функціонал відношення правдоподібності, а вже на його   
основі були розвинуті сучасні методи оптимального виявлення сигналів, а також 
методи оцінювання їх параметрів. 
В зв’язку із застосуванням в сучасних умовах цифрового опрацювання 
сигналів, при технічній реалізації доцільно буде синтезувати дискретні алгоритми 
виявлення сигналів для цифрової обробки випадкових послідовностей – кінцевої 
дискретної незалежної вибірки з безперервного процесу, що спостерігається. 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 5 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 Крім імовірнісного опису сигналів і завади застосовується також опис 
негаусівських процесів за допомогою моментів і кумулянтів. Даний напрямок  
опису достаньо повно проведений А.І. Малаховим[6].  В свою чергу методи 
синтезу виявлячів сигналів, що приймаються в адитивній суміші з негаусівськими 
завадами та описуються послідовністю моментів і кумулянтів, запропоновані 
академіком Кунченком Ю.П.  
В роботі синтезовані поліноміальні адаптивні вирішальні правила для 
виявлення  шумоподібних сигналів з нульовим та ненульовим математичним 
сподіванням, що приймаються в адитивній суміші з негаусівською завадою. 
Проведено аналіз синтезованих лінійних і нелінійних виявлячів, та 
розроблені структурні схеми запропонованих виявлячів корисних сигналів. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 6 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
РОЗДІЛ 1.  АНАЛІЗ  МЕТОДІВ  ВИЯВЛЕННЯ СИГНАЛІВ НА ТЛІ 
ЗАВАД 
 
Задача виявлення сигналів займає важливе значення в теорії статистичної 
радіотехніки, оскільки вирішує широке коло практичних задача радіолокації, 
телекомунікацій, систем зв’язку, пов’язаних з оптимальною обробкою сигналів на 
тлі завад[1-5]. 
В сучасній радіотехніці все частіше застосовують статистичні методи 
обробки інформації. Для математичного опису сигналів і завад використовується 
теорія випадкових величин і випадкових процесів, тому нижче наведені короткі 
теоретичні відомості, на основі яких проводиться обробка випадкових сигналів на 
фоні завад. 
При синтезу оптимального виявляча необхідно виділити наступні етапи: 
1) Постановка задачі виявлення; 
2) Вибір критерія якості побудови вирішувального правила; 
3) Синтез вирішувального правила для перевірки статистичних гіпотез; 
4) Побудова структурної схеми виявляча. 
 
1.4. . Статистичний підхід до задач виявлення сигналів на фоні завад. 
 Однією із основних задач РЛС є виявлення та розрізнення (ідентифікація) 
об’єкту в заданому просторі. Статистичний підхід до задачі виявлення 
обумовлений тим, що в радіозв’язку як сигнали так і завади можуть носити 
випадковий  характер. Ця задача зводиться, по суті, до задачі виявлення відбитого 
від об’єкта радіолокаційного сигналу, який спостерігається на тлі завад. Обробка 
сигналів в радіонавігаційних системах також в тій чи іншій формі включає в себе 
рішення задачі виявлення та розрізнення. В загальному випадку задача виявляння 
є частковою задачею розпізнавання.  
Радіолокаційне і радіонавігаційне спостереження завжди супроводжується 
цілим рядом випадкових завад. На корисні сигнали діють завади, які можуть 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 7 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
прийматися антеною із навколишнього простору, а також внутрішні завади, які 
виникають в приймальному пристрої. Крім того, радіолокаційні і радіонавігаційні 
сигнали, як правило, флуктують. Так, наприклад, флуктуації відбитих сигналів 
обумовлені флуктуаціями цілі. При відбитті радіохвиль від суши або від моря 
флуктуації сигналів, що приймаються, викликано зміною властивостей 
відбиваючої поверхні (наприклад, із-за хвиль на морі) і рухом випромінювача. 
Проходження радіохвиль через турбулентну атмосферу, коефіцієнти заломлення і 
поглинання якої неконтрольовано змінюються, також приводить до флуктуацій 
сигналу. В силу цих причин при обробці радіолокаційної і радіонавігаційної 
інформації широко використовують методи теорії ймовірностей, теорії 
випадкових процесів і математичної статистики, а сам прийом сигналів, в тому 
числі і їх виявлення, розглядається як деяка статистична задача. 
Сформулюємо статистична задачу виявлення наступним чином. Нехай 
спостерігається (поступає на вхід пристрою виявлення) процес yt , який є або 
завадою(гіпотеза Н0), або сумішшю корисного сигналу та завади(гіпотеза Н1). 
Потрібно за результатами спостереження реалізації цього випадкового процесу 
протягом деякого часу з’ясувати, яка із можливих гіпотез здійснилася, причому 
зробити це бажано оптимальним (у відповідності з прийнятим критерієм якості) 
способом. 
Система виявлення повинна через деякий час винести  одне із двох 
взаємовиключних рішень: є сигнал (є ціль) того чи іншого виду або немає 
корисного (немає цілі). Отриманні рішення, що приймаються в результаті 
спостереження випадкового процесу yt , будуть носити статистичний характер. 
Для того, щоб створити (синтезувати) алгоритм роботи оптимального виявляча 
сигналів, який вирішував би задачу виявлення найкращим чином, потрібно 
застосувати результатами теорії статистичних рішень[10,12,14,17]. Дана теорія  
вивчає статистичні рішення про реалізації випадкового процесу, що 
спостерігаються, і відповідно надає методи побудови оптимальних вирішальних 
правил. Приведемо деякі основні відомості із теорії статистичних рішень, які 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 8 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
потім будуть використовуватися при синтезі оптимальних виявлячів сигналів.  
Задача статистичного рішення виникає при спостереженні реалізації  
деякого випадкового процесу yt . Простір, на якому визначені все можливі 
реалізації процесу yt , позначимо через Y . Нехай   — деякий параметр, що 
належить простору  . В свою чергу припустимо, що розподіл ймовірностей 
процесу yt , що спостерігається, залежить від параметра  , істинне значення 
якого невідоме. Спостереження може проходить в неперервному часі або в 
дискретному. За умови дискретного часу отримується  кінцева послідовність 
випадкових величин yti  yi , i 1,2,...,n, яка повністю описати за допомогою  
n -мірної функції розподілу ймовірностей Wy | , яка в свою буде залежить від 
параметра   (тут y  y1,..., yn  – n -мірна величина). Якщо послідовність, що 
спостерігається,  складається з неперервних випадкових величин, то її в свою 
чергу, можна описати за допомогою n -мірної густини розподілу ймовірностей 
Wy | . 
В випадку до задачі виявлення параметр   може приймати,  два значення, 
які відповідають ситуаціям наявності чи відсутності корисного сигналу в процесі, 
який спостерігається. В задачі виявлення   може приймати як неперервну так  
дискретну множину значень, які відповідають самому сигналу (або параметрам 
сигналу). При цьому процес yt , що спостерігається буде є адитивною сумішшю 
сигналу і шуму. 
Визначимо через d  елемент множин рішень D , які можна винести 
відносно параметра   за результатами спостережень yt , і нехай   – вирішальна 
функція (вирішальне правило), що належить класу вирішальних функцій   і 
відображає множину Y  в D . Відповідно цьому вирішальному правилу кожній 
можливій  реалізації yY  ставиться у відповідність визначене рішення 
d  y, d . 
В результаті прийняття тих чи інших рішень можливі помилки. «Збиток», 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 9 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
який несе при цьому спостерігач, можна охарактеризувати деякою функцією 
c,d, яка вибирається із евристичних міркувань і називається функцією втрат. 
Ця функція визначає збитки, що виникають внаслідок прийняття рішення d  при 
умові, що істинне значення параметра рівне  . 
Функцію втрат можна використовувати для порівняння вирішальних 
правил і вибору із них найбільш переважного. Оскільки рішення d  y залежить 
от реалізації випадкового процесу, то значення функції втрат при d  y, тобто 
c,y , яке будемо називати втратами, є випадковим. Тому вирішальні правила 
природно вибирати на підставі статистичних характеристик втрат. В теорії рішень 
використовується математичне сподівання втрат (однак, взагалі кажучи, можуть 
враховуватися й інші характеристики). 
Математичне очікування втрат  r,  Mc,y | , яке називають  
функцією ризику, буде залежати залежить від значення параметра   і прийнятого 
вирішального правила  . Якщо розкрити математичне очікування за допомогою 
густини ймовірності Wy | , відповідно функцію ризику можна представити у 
наступному вигляді: 
 
r, c,yWy | dy .                                 (1.1) 
Y
  
Якщо проаналізувати отримані величини, то це дозволяє будувати 
ймовірнісні критерії якості перевірки статистичних гіпотез. 
Розглянемо випадок, який проводиться в незмінних умовах випробувань, 
результати якого є випадковими, тобто від випадку до випадку мають різне 
значення. Результат випадку можна представити у вигляді дійсної величини  , 
яку називають випадковою величиною. 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 10 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 Щоб повністю визначити випадкову величину, достатньо задати сукупність 
її можливих значень і вказати, з якою вірогідністю ця величина приймає кожне з 
них.  
 Така характеристика носить назву функції розподілу. Випадкова величина   
може або приймати дискретний ряд значень, або безперервно змінюватися в межах 
деякої області. Для дискретної випадкової величини значення, які вона приймає, 
можна пронумерувати за допомогою цілих чисел. 
 Нехай випадкова величина   приймає дискретні значення  х1, х2, , х n1 , хn  зі  
значенням вірогідності р1, р1,   р n1 , р n .  Якщо значення х1, х2, , х n1 , хn  можливі, 
то вірогідність того, що   прийме одне з цих значень, дорівнює одиниці. 
Сформульоване вище залежність  визначає закон розподілу даної випадкової 
величини.  
 Безперервна випадкова величина може приймати безкінечну кількість 
значень, при чому вірогідність того, що вона прийме значення, відповідне будь-
якій нескінченно малій області, близька до нуля. Проте можна розбити область 
можливих значень випадкової величини на рахункове число інтервалів. При цьому 
поняття вірогідності того, що значення випадкової величини знаходиться в межах 
деякого інтервалу, стає аналогічним поняттю для випадку, що відноситься до 
дискретної випадкової величини. 
 Як для дискретних, так і для безперервних випадкових величин закон 
розподілу можна задати функцією G(x), яка визначає вірогідність того, що дана 
випадкова величина   залишається менше х для всіх його значень, що лежать в 
межах: -…+ : 
 
G(х)=P(<х), -<х<+ .                                      (1.2) 
 
 Функцію G(x) називають інтегральною функцією розподілу вірогідності. 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 11 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 Якщо випадкова величина   змінюється в межах х1 …х2 , то вірогідність  для 
  знаходиться в цих межах 
 
Р(х<<х)= G(х) – G(х).                                          (1.3) 
 
 
 
 
 
Рисунок 1.1. Функції щільностей розподілу ймовірностей Weibull(a, 1): 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 12 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 а — позитивна асиметрія; б — негативна асиметрія. 
  
  
 
Приклади деяких законів розподілу випадкових величин наведені  на рис. 1.1. 
З рисунків видно, що при зміні параметрів законів розподілу змінюється і вид 
законів розподілу. 
Часто випадкову величину зручно характеризувати густиною вірогідності 
w(х). Розглянемо різницю 
 
G(x + dx) – G(x)= G(x) dx = w(x) dx.                    (1.4) 
 
 Величину w(x)= G(x)  називають густиною вірогідності  або  функцією    
розподілу вірогідності: 
 
w(x)dx = Р(х << х + dx). 
  
Представлені закони розподілу дають повну характеристику випадкової 
величини. Проте така характеристика не завжди є необхідною. В деяких випадках 
достатньо визначити випадкову величину декількома числовими параметрами. При 
цьому зручно ввести поняття моментів. 
 Розрізняють початкові і центральні моменти випадкової величини. Загальний 
вираз для початкових моментів k-го порядку безперервної випадкової величини  : 
 

k
m k ( )=  w(x)dx .                                          (1.5) 

 
 Для дискретної випадкової величини 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 13 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
n
      mk ( ) =  k
pixi  (1.6)  
i1                                                   
 
 Число k  називають порядком моменту випадкової величини. Важливе 
значення має початковий момент першого порядку, який представляє  собою  
математичне  очікування  випадкової  величини m1()  при  k =1: 
 
M( )=m1 ( ).                                                         (1.8) 
 
 В даному випадку, а також надалі знак М( ) означає операцію 
опосередкування величини, яка стоїть в дужках. 
Позначимо через w(x)dx  ймовірність того, що величина   лежить в 
нескінченно малому інтервалі   x...  x  dx . Відповідно початковий момент 
першого порядку m1 ( ) , що інтегральною сумою для добутку значень безперервної 
випадкової величини х i  на відповідну вірогідність і є деяким її середнім значенням, 
яке позначимо через: 
 

х =m i ( )=  xw(x)dx .                                             (1.9) 

 
Для випадкової величини, яка приймає ряд дискретних значень середнє 
значення приймає вигляд: 
n
х = pixi  
i1
  
Якщо всі значення омент ним і і і дорівнюють 1/N, тоді отримаємо 
середню арифметичну величину: 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 14 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
1 n
х  xi . 
N i1
 
Загальний вираз для центральних моментів безперервної випадкової величини: 
 

 s s
s ()  Ms(  m1() )   (x  x) w(x)dx
                                                      (1.10) 
 
Для дискретної випадкової величини центральний момент визначається: 
 
n
s ()  (x s
i  x) pi  
i1
 Центральний момент другого порядку, який характеризує відхилення 
випадкової величини від свого середнього значення при s=2, називається дисперсією. 
Позитивне значення квадратного коріння з дисперсії є середнім квадратичним 
відхиленням: 
х  D(x) . 
 
 Математичне очікування визначає центр розсіювання, а дисперсія є мірою 
розсіювання випадкової величини. У тих випадках, коли математичне очікування і 
дисперсія недостатні для того, щоб охарактеризувати випадкову величину, необхідно 
використовувати початкові і центральні моменти вищих порядків. 
 Що стосується радіотехнічних ланцюгів, в яких діють електричні флуктуації, 
величина m1 ( ) = х  визначає середнє значення струму або напруги, тобто постійну 
складову, а   — «ефективне» значення змінної складової струму або напруги. У ряді 
випадків зручно відносити потужність до одиничного опору ланцюга; при цьому 
величина D(x)=2 рівна потужності шумів. 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 15 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 Одновимірний розподіл, який розглянутий вище, характеризує статистичні 
характеристики однієї випадкової величини.. Одновимірний розподіл дозволяє 
одержати статистичні дані про ймовірність того або іншого значення даної 
випадкової величини. 
 Розглядаючи деякі пари значень випадкової величини, наприклад пари значень 
напруги або струму, розділені певним інтервалом часу t , тут має місце випадок 
двовимірного розподілу. При цьому статистичні характеристики випадкової 
величини визначаються двома змінними   і  , які в загальному випадку залежать 
один від одного. Може бути розподіл і вищого порядку. Для двовимірного розподілу 
добуток w(x,у)dxdy визначає вірогідність того, що значення випадкової величини   
лежить в нескінченно малому інтервалі х, х + dx, тоді як значення випадкової 
величини   — в нескінченно малому інтервалі (у, y + y). Величину w 2 (x,у) 
називають щільністю ймовірності двовимірного розподілу. 
 Вірогідність того, що значення   лежить в межах х1 … х 2 , тоді як значення 
— в межах у1 … у 2 , запишеться як: 
 
x2 y2
Р (x1  < < х 2 , у1 << у2 ) =  w2(x,y)dxdy.  (1.11) 
x1 y1
 
Очевидно, що повинна виконуватися умова 
 
 
 w 2 (x, y)dxdy 1. 
 
 
 Якщо ро інтегрувати w(x,у)dxdy по всьому інтервалу можливих значень  , то 
одержимо деяку величину W1 (x), яка лежить в межах x, x + dx незалежно від значення 
 . Таким чином 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 16 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 

w1 (x)  w(x, y)dy . 

 
Де w1 (x) — щільність ймовірності величини  . 

Аналогічно щільність ймовірності величини  : w1(y)  w(x, y)dx . 

 Якщо величини   і   незалежні , то 
 
w 2 (x, y)  w1 (x)w1(y) . 
 
 Моменти для двовимірного розподілу  можна виразити через щільність ймовірності 
w2 (x, у) . Математичні очікування, тобто  моменти  першого порядку знаходяться за 
формулами: 
  
m1()   xw1 (x)dx   xw2 (x, y)dx,dy , 
  
  
m1()   yw1(y)dy    yw2 (x, y)dx,dy . 
  
 
 Дисперсії, тобто центральні моменти другого порядку знаходяться за формулами: 
 
 2   2
D()  M2 ()  x  m1() w1 (x)dx    x  m1() w2 (x, y)dxdy , 
  
 2   2
D()  M2()  y  m1() w1(y)dy   y  m1() w2 (x, y)dxdy . 
  
 
 Змішаний центральний момент другого порядку визначається як: 
 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 17 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
11(,)  M2(,)  M((  m1())( m1())) , 
 
який називають кореляційним моментом. Кореляційний момент є функцією двох   змінних. 
Звичайно цю функцію називають функцією кореляції, яка має важливе значення для 
аналізу випадкових величин.  
 Розглянемо функцією кореляції більш детально, оскільки вона мажє велике значення 
для опису випадкових величин. 
Функція кореляції В(, ) характеризує ступінь зв’язку між величинами   і   і 
може бути виражена через щільність ймовірності w 2 (х, у): 
 
 
В(, )=  x  m1()y  m1()w2(x, y)dxdy . (1.12) 
 
 
 Коефіцієнтом кореляції випадкових величин   і   називають величину 
 
M2 (,) B(,)
(,)   ,                          (1.13) 
M2 ()M2 () D()D()
 
де D( ) і D()— дисперсії. 
 Коефіцієнт кореляції характеризує ступінь статистичного зв’язку між 
випадковими величинами   і  , які називають некорельованими, якщо (,) =0. 
 Коефіцієнт кореляції або ж функція кореляції сумісно з математичними 
2
очікуваннями, а також дисперсіями D( )=2
x  і D()=y  утворюють просту 
сукупність числових характеристик, що визначають випадкові величини   і  
 . При нормальних (гаусівських) законах вказані величини повністю 
характеризують випадковий процес. 
 У багатьох випадках для характеристики випадкових процесів можна 
використовувати замість густини вірогідності простіші моментні і кореляційні 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 18 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
функції. Так само як і при розгляді випадкових величин, стосовно випадкових 
процесів розрізняють початкові і центральні моменти. 
Початкові моменти n-го порядку визначаються співвідношенням 
 
mn  k
M( 1 (t1)k2 k
(t2)...... n (tn )) , 
 
де ki k
(ti ) -представляє собою i -ю реалізацію випадкового процесу (t)  у момент 
t=t i , а М{ } — знак усереднювання величини, що стоїть в дужках. Разом з 
початковими моментами використовують так само центральні моменти, які можна 
записати у вигляді 
 
 k k
n  M(((t )  m (t )) 1......((t )  m (t )) n
1 1 1 n 1 n ) , 
де m1 ( t1)=M(ki (ti ) ) — середнє значення функції  (t) у момент t=t1 . Найчастіше 
використовуються наступні моментні функції: перший початковий момент 
(математичне очікування), відповідний середньому значенню а(t) випадкового 
процесу (k = 1) 

m1((t))  M((t))   xw(x, t)dx  a(t)kn (t ) , 
 n
 
другий центральний момент, відповідний дисперсії випадкового процесу 
 

1((t))  M(((t)  a(t)2)   (x  a(t))2dx  2(t) , 

 
початковий момент m11(t1 ,t2 ), який називають функцією оваріацією випадкового 
процесу 
 
m (t ,t )=M( (t1) (t2)
11 1 2 )=   x1x2w(x1, x 2; t1, t2 )dx1dx 2 , 
 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 19 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
і центральний момент, названий функцією кореляції B(t1, t2)  випадкового процесу 
 
B(t1, t2 )  11(t1, t2)  M(((t1)  a(t1))((t2 )  a(t2))) 

   (x1  a(t1))(x2  a(t2 ))w(x1,x2; t1, t2)dx1dx2 .                (1.14) 

 При a( t1) =a( t2 ) = 0 функція коваріації співпадає з функцією кореляції. 
Формула відповідає випадку центрованого випадкового процесу. 
 
1.2. Застосування нормального закону розподілу для аналізу 
випадкових величин. 
 Гауссівський закон розподілу випадкових величин має досить велике 
значення для синтезу та аналізу багатьох радіотехнічних систем, тому що багато 
природних процесів характеризуються процесами нормалізації (хоча і не всі). 
Тому важливим є питання розглянути математичний апарат, який би описував 
такі випадкові величини. 
 Розглянуті раніше випадки одновимірного і двовимірного розподілів 
охоплюють досить широкий круг задач, що відносяться до випадкових величин. 
Проте за певних умов, у тому числі і при гауссовськіх законах, виникає 
необхідність вивчення багатовимірних розподілів. Позначимо n-мірну густину 
вірогідності випадкових величин через w n (x1 ,х 2 ,….,х n ). При гауссівському 
законі розподілу щільність ймовірності має вид 
 
1 1 n n x  a x  a
wn (x1,x2,....,xn )  exp( D i i k k
ik ) , 
 n
1,2 ,...,n (2n) D 2D i1 k1 i k
 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 20 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
де i ,a i  — i-e значення дисперсії і математичного очікування; D — визначник 
кореляційної матриці (D=|P|) 
11 12 
 1n 

Р  21 22 2n  . 
  
 n1 n2 nn 
 
В даному вразі коефіцієнти кореляції 11  22 ,....,тт 1; ik =ki ; |ik | l, 
D ik  — доповнення алгебри елементу ik  у визначнику D. 
Матрицю  при скороченому записі, прийнятому в подальших розділах, 
можна представити у вигляді Р=[ik ], де скаляр ik  називають елементом 
матриці. Елемент р ik  розташований в i -й рядку і в k -му стовпці матриці.  
 Для гауссівського розподілу двох випадкових величин, коли n=2, при 
12=21 =  визначник 
1 
D= 1 2  
 1
 
i доповнення алгебри D11  =D 22 = 1, а D12 =D 21 = . При n=2 щільність ймовірності 
має вид: 
1 
 1 (x1  a 2
1) (x1 a1)(x2 a2) (x  a )2 
w (x 2 2 
2 1,x2)  exp   2  
2 12 
 2(1 2
)  2 11 2 2 
1 2 2 
. 
 Якщо випадкові величини незалежні, то коефіцієнт кореляції   0  і 
щільність ймовірності має вид: 
 
1 
 1(x1  a )2
1 (x2  a2)2 
w2(x1, x2)  exp    . 
2  2 2 2 
1 2   1 2 
 
Для n=1 отримаємо ( x1  x,1  ,a1  a ): 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 21 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
1   (x  a)2 
w   . 
1(x)  exp  
 2  22 
  
 
Даний вираз відповідає одновимірному нормальному розподілу — закону 
Гауса. Значна частина випадкових величин має закон розподілу густини 
вірогідності, приблизно відповідний цьому закону.  
 Гауссівський закон розподілу випадкових величин характеризується 
наступною властивістю. Нехай випадкова величина   є сумою незалежних 
випадкових величин, які характеризуються  нормальним законом розподілу: 
 
  1  2  ..... n . 
 
Величина   також характеризується нормальним законом розподілу, 
причому дисперсія суми дорівнює сумі дисперсій доданків. Зокрема, при 
  1  2  
1 2 1 2
w1(1)  ( )exp( 1 ) , w1(2 )  ( )exp( 2 )  
1 2 22 2
1 2 2 22
 
одержимо, що щільність ймовірності розподілу для сумарної величини має вид: 
 
1 2
w()  ( )exp( 2 2 2
) , де   1  
 2
2 22  
 
Функція w1(x) , є першою похідною від інтегральної функції розподілу. 
Тоді інтеграл цієї функції має вид 
 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 22 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 

1 (x  a)2
F(x)   exp( )dx . 
 2 2
 2
 
Даний вираз має назву  нормальної функції розподілу ймовірностей. 
 Проте, не дивлячись на широке застосування даного виду щільності розподілу, 
існує ряд практичних задач, де така математична модель не не відображає реальних 
природних процесів (проходження сигналів через неоднорідні середовища, загоризонтна 
радіолокація, відбиття сигналів від морських поверхонь і т.п.). В цьому випадку необхідно 
використовувати інші закони розподілу, наприклад,  що наведені на рис.1.1. та рис.1.2. 
 
1.3. Статистичний опис сигналів та їх математичні моделі. 
Проаналізуємо загальний статистичний опис і найпростіші статистичні 
характеристики адитивної завади.  
В більшості робіт при дослідженні математичної моделі адитивної завади 
передбачається, що вона є гауссівською завадою, тобто завадою, багатомірна 
щільність розподілу якої має гауссівський (нормальний) закон. Ця модель є 
адекватною для великої кількості реальних ситуацій. Однак гауссівська модель 
завади не охоплює всього різноманіття реально існуючих завад. Існують завади, 
щільність розподілу яких відмінна від гауссівського розподілу. Тому в якості 
загальної математичної моделі адитивної завади, що адекватно описує реальні 
завади, доцільно розглядати негаусівську заваду. 
На відміну від гауссівських завад, негаусівські завади описуються по-
різному. Це веде до різних методів і алгоритмів обробки сигналів. Наведемо 
чотири основні способи опису негаусівських завад: 
- перший спосіб опису представляє класичний опис за допомогою щільності 
розподілу, що відрізняється від гауссівського розподілу (рис.1.1, 1.2.); 
- у другому способі опису використовуються Марківські моделі сигналів і 
завад; 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 23 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
- у третьому способі для опису негаусівських сигналів і завад 
використовуються омент ним і моделі; 
- у четвертому способі використовується моментно-кумулянтний опис 
негаусівських завад. 
В даній роботі використовується моментно-кумулянтний опис суміші 
прийнятих сигналів і завад. 
У зв’язку з широким використанням цифрових методів обробки сигналів 
широко застосовують дискретизований сигнал, який має вид  
 
xv Sv() v,  v 1,n,  
де Sv()  - v -е значення корисного радіосигналу з параметрами  , 
v  - негаусівської завади з нульовим математичним сподіванням. 
r
Нехай є вибірка x  {x1, x2 ,...xn} обсягом n  з цієї величини. В даному 
випадку кожне вибіркове значення xv  є випадковою величиною.  Будемо вважати, 
що крок квантування такий, що випадкові вибіркові значення є незалежними й 
однаково розподіленими випадковими величинами. 
При моментно-кумулянтному описі випадкових величин, в якості апріорної 
інформації про випадкову величину, що спостерігається, використовується 
послідовність початкових моментів mi  порядку i  випадкової величини  : 
 
m  Ei ,  i 1,s ,
i  
 
де символом E  позначено математичне сподівання. 
Для випадкових величин початкові моменти mi  в загальному випадку 
будуть залежати від корисного постійного сигналу а і кумулянтів вищих порядків 
i . Для кумулянтів вищих порядків має місце рівність 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 24 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
i
i  2
2 i ,  i  3,s ,  
 
де i  називаються кумулянтними коефіцієнтами порядку i . [6] 
Отже, моменти mi  в загальному випадку також будуть залежати від 
кумулянта 2  і кумулянтних коефіцієнтів i , тобто 
 
r
mi  mi (a,2 ,i ).  
 
Відзначимо, що тільки для негаусівських завад кумулянтні коефіцієнти 
вищих порядків відмінні від нуля. Якщо всі кумулянтні коефіцієнти вищих 
порядків дорівнюють нулю, то завада буде гаусівською. 
Кумулянтні коефіцієнти 3  і 4  називаються відповідно коефіцієнтом 
асиметрії та коефіцієнтом ексцесу відповідно. 
 
1.4  Аналіз імовірнісних та моментних критеріїв якості перевірки 
статистичних гіпотез. 
Критерії, що засновані на ймовірностях помилок  називають імовірнісними 
критеріями .  
Дані критерії запропоновані й всебічно вивчені  в [10-14]. 
 При прийнятті рішення можливі наступні помилки:   
а) корисний сигнал відсутній, а приймається рішення, що він присутній у 
вибірці.  Позначимо таку помилку через  - імовірність помилки першого роду 
(ще називають  хибною  тривогою); 
б) корисний сигнал присутній, але приймається рішення про його 
відсутність. Таку помилку позначимо через  - імовірність помилки другого  роду  
(чи пропуск сигналу).  
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 25 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 Приведені імовірності помилок будуть залежати від того, яка вибрана 
вирішальна  функція f(х). Відповідно критерії, що побудовані  на ймовірностях 
помилок будуть  деякою функцією F(х),  що залежить  від   та   . Позначимо 
дану функцію як F( ,  ) і будемо називати її імовірностним критерієм.  
Відповідно, у якості вирішувальної функції  f(х), що буде оптимальна за 
вибраним критерієм F( , ) необхідно взяти таку функцію, що забезпечує 
мінімум чи максимум (так названий екстремум) функціонала F( , ). 
 Розглянемо декілька  імовірностних критеріїв вибору вирішальних правил.  
1.4.1. Критерій Байеса. Згідно [10-14] задача виявлення зводиться до 
перевірки простих гіпотез.  
 При цьому підході критерієм оптимального виявлення  сигналу  є критерій  
мінімуму середнього ризику (Rc=min). Інша назва даного критерію – це критерій 
Байеса. Даний критерій можна застосовувати, коли відомі значення апріорної 
ймовірності наявності чи відсутності сигналу, та відомі втрати, які виникають при  
пропуску чи  неправильному виявленню сигналу.  
В [13], показано, що за цим критерієм  оптимальне вирішальне правило буде 
мати вигляд відношення правдоподібності, що порівнюється з порогом: 
                     
r H1
P(x / H ) q(П  П )
                                     1  01 00
r  ,                                         (1.15) 
P(x / H0 ) H p(П
0 10  П11 )
 
r
деP(x / H i ) , i  0,1 - сумісна  щільність розподілу вибіркових випадкових величин 
r
x  при гіпотезах Н0  або Н1, яка має гаусівський характер; 
 П ik , i  0,1, k  0,1 - величина, яка характеризує втрати  від переплутування 
i -го сигналу з  k -м. 
 На практиці більш поширене еквівалентне вирішальне правило наступного 
вигляду:  
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 26 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
                      
r H
P(x / H1 ) 1
 q(П  П )
                                Ln  Ln 01 00
r                                                (1.16) 
P(x / H 0 ) H0 p(П10  П11 )
                            
r H 1
P(x / H1) q(П  П 
  або                        Ln  - Ln 01 00 )
r  0. 
P(x / H0) p(П10  П ) H
11 0
                                                
За умови, коли втрати при правильному  виявленні  і правильному 
невиявленні сигналу дорівнюють нулю, тобто П11=П00=0, вираз для середнього 
ризику прийме виглядд (1.12): 
                     
r H1
P(x / H ) qП
                                     1  01
r  ,                                                    (1.17)                   
P(x / H0 ) pП
H 10
0
 
Також зміниться  й вирішальне правило:  
 
r H
P(x / H ) 1
 qП
                           Ln 1  Ln 01
r                                                (1.18) 
P(x / H0 ) H pП
0 10
r H1
P(x / H ) qП 
                      або                 Ln 1
r  - Ln 01   0 . 
P(x / H0 ) pП H
10 0
                                            
 Якщо імовірності появи гіпотез Н0  або Н1 мають однакові значення, 
критерій Байеса буде збігатися із критерієм ідеального спостерігача, який ще має 
назву критерій Котельникова.  
 1.4.2 Критерій ідеального спостерігача. Як було сказано вище, даний  
критерій є частковим випадком байесовского критерієм, якщо всі втрати 
дорівнюють  П  - довільній позитивній константі.  
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 27 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
Покажемо, що оптимальним  вирішальним  правилом за даним критерієм 
(називаному ще критерієм Котельникова) буде наступний вираз:  
 
r H
P(x / H ) 1 q
                            1 
r  .                                                     (1.19) 
P(x / H0 ) H p
0
 
Як бачимо, що в цьому випадку оптимальне вирішальне правило в вигляді 
відношення правдоподібності теж порівнюється з деяким порогом, але відмінним 
ніж в виразі (1.10).  
Практичне застосування отримало еквівалентне вирішувальне  правило:  
 
r H
P(x / H ) 1 q
                                   Ln 1 
r   Ln                                             (1.20) 
P(x / H0 ) H p
0
або  
r H1
P(x / H ) q 
                                  Ln 1
r  - Ln  0.                                   
P(x / H ) p H
0 0
 
 За умови, коли невідомі апріорні ймовірності появи гіпотезей, можна 
використати критерій мінімуму суми ймовірностей помилок першого й другого 
роду:  
            F(,)= 0,5()                                                   (1.21)  
 
Для даного критерію застосовують наступне вирішальне правило:  
 
r H
P(x / H 1
1) 
r  1                                                     (1.22) 
P(x / H0 ) H0
 
або еквівалентне йому вирішальне правило:  
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 28 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
r H
P(x / H1) 1

Ln r  0. 
P(x / H0 ) H0
 1.4.3 Критерій Неймана – Пірсона. Як було сказано вище, при побудові 
вирішального правила, що буде оптимальним за критерієм Байеса, необхідно 
знати апріорні  ймовірності появи гіпотез Н0  і Н1, та матриці втрат. Али при   
виявленні, наприклад, радіолокаційних сигналів,  вони можуть бути невідомі. 
Тому потрібно використовувати небайесовский критерій оптимальності – 
критерій Неймана-Пірсона.  
 Згідно із цим критерієм, для знаходження оптимального рішення необхідно 
мінімізувати можливу величину ймовірності другого роду за умови,  що  
ймовірність помилки першого роду дорівнює заданій величині, а саме : 
 
                                                    = , 
  = min                                                                 (1.23) 
r
                                                           f( х ) 
 
 Згідно [13], оптимальне вирішальне правило також можна представити в 
вигляді порівняння відношення правдоподібності з певним порогом: 
 
r H
P(x / H1) 1

r  C, 
P(x / H0 ) H0
 
де поріг С необхідно вибирати із умови, що ймовірність помилки першого роду 
дорівнює  , тобто  
 
r x
                    Р[f( х  )>C/H0] =  W0(y) о =                                          (1.24) 
–
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 29 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
де W0(y) – функція щільності розподілу відношення правдоподібності за умови, 
що здійснилася гіпотеза Н0.  
  Якщо розподіл імовірностей при  умові здійснення гіпотези Н0 має 
негаусовий характер, то виникають труднощі при виборі оптимального порогу С.  
1.4.4  Структурна схема виявляча, оптимального за імовірнісним критерієм. 
Як було показано вище, вирішальні правила, що будуть оптимальними за 
імовірнісними критеріями, будують з використанням порівняння відношення 
правдоподібності з деяким  порогом. Бачимо, що відмінність між правилами 
виявлення для різних  критеріїв буде лише  в  різному значенні порогу.  
Відповідно, оптимальна процедура виявлення за даними критеріями буде 
мати наступний вигляд:  
H1
r 
P(x / H )
                             (x) = 1
r  C,                                                  (1.25) 
P(x / H ) H
0 0
 
 Структурна схема оптимального виявляча представлена на рис.1.1.  
 
Рисунок 1.1 – Структурна схема оптимального виявляча. 
 
В даній схемі формується відношення правдоподібності (x) (блок ВП) і 
подається на порівняльний пристрій  (ПП),  де здійснюється порівняння  (x) з 
порогом С,. В результаті роботи даного пристрою може бути прийняте  одне із 
двох рішень:  
- здійснилась гіпотеза H0  - немає сигналу;  
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 30 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 - здійснилась гіпотеза Н1 – присутній корисний сигнал. 
Так, наприклад, у радіолокації значення порогу  С для порогового пристрою 
(ПП)  встановлюється виходячи із критерію Неймана – Пирсона (1.23).  
 
1.4.5. Критерій мінімума верхньої межі суми імовірностей похибок. 
Розглянемо випадок, коли невідома щільність розподілу ймовірностей при 
гіпотезі й альтернативі, та крім тогоо вона має негаусовий характер. Відповідно 
неможливо буде побудувати вирішальне правила у вигляді відношення 
правдоподібності.  
В цьому випадку для опису сигналу і завади будемо  використовувати більш 
прості числові характеристики – моменти й кумулянти, а вирішувальне правило 
представимо у вигляді полінома кінцевому ступеня S, де S  1,2,3,...n  . 
Поліноміальне вирішальне правило будується оптимальним за омент ним 
критерієм якості прийняття рішень. 
Моментні критерії по своїй суті є більш простими критеріями в порівнянні з 
імовірнісними  критеріями. Ці критерії засновані не на ймовірностях помилок, а є 
деякими функціоналами від більш простих числових імовірнісних характеристик  
вирішальної функції, а саме, від математичного  очікування й  дисперсії 
вирішальної функції при гіпотезі й альтернативі.  Ці  числові характеристики є 
функціоналами від  вирішальної  функції, тому що для різних вирішальних 
функцій числові  характеристики будуть приймати різні значення. Тому й  
дисперсійні критерії, як функції числових характеристик, у цілому також будуть 
функціоналами від вирішальної функції.  
 Розглянемо один із відомих моментних критеріїв, а омен критерії 
мінімуму верхніх границь імовірностей помилок або критерії Кu.  
Нехай є деяке вирішальне правило  
 
H1
r r
f( x  ) = (x  ) – K 
0   0,                                                       (1.26) 
H 0
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 31 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
де константа K0 обрана таким чином, що математичні сподівання від 
вирішувальної функції f(x) при гіпотезах H0  і H1  відповідно будуть мати вигляд: 
 

r r r
   M0 = M(f( x  )/H0) =  f( x  ) p( x  /H0)dx < 0, 


r r r
    M1 = M(f( x  )/H1) =  f( x  ) p( x  /H1)dx > 0.                                                      (1.27) 

    
Для ймовірності помилки першого роду можна записати наступний 
ланцюжок нерівностей: 
 
r r
             = P[f( x  )  0/H0] = P[f( x  ) – M0  - M0/H0]  
r G
          P[f( x  ) – M0     M0/H0]  0  = 0,                                                      (1.28) 
M2
0
де             
 

r
 2 r
              Gi =  [f( x  ) – M0]  p( x  /Hi)dx, i=0,1, 

 
G0 і G1 – це дисперсія вирішальної функції f(x) при гіпотезі  H0   і  альтернативі H1 
відповідно.  
 Остання нерівність в (1.28) виходить згідно з нерівністю Чебышева. Для 
ймовірності помилки  другого  роду можна записати подібний ланцюжок 
нерівностей: 
 
r r
            = P[f( r
x  ) < 0/H1] = P[-f( x  >0/H1] = P[-f( x  ) + M1 > M1/H1]  
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 32 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
r G
          P[f( x  ) – M 1
1   >  M1/H1]   =0.                                       (1.29) 
M 2
1
  
Таким чином, за допомогою нерівностей (1.28) і  (1.29)  установлюється верхня 
границя для ймовірностей помилок  першого й другого роду.  
Використовуючи  отримані  співвідношення, можна  записати  для критерію 
F(,) згідно (1.21) наступну нерівність:  
 
G G
              F(,)=+   0+0 = 0  + 1  = Ф1(G,M)                       (1.30) 
M 2
0 M 2
1
 
Права частина в (1.30) залежить від  математичного  очікування й дисперсії 
вирішувального правила при гіпотезах H0  і H1. 
 Для того, щоб виконувалися  нерівності  (1.28) та (1.29), константу K0  в 
виразі (1.30)  можна  вибирати  різним  чином.  У цьому випадку приймемо, що  
 
1
K0  = -  (E0  + E1),                                                    (1.31) 
2
 
r
де  E i – математичне очікування ( x ) при гіпотезі Hi, i=0,1.  
В результаті отримаємо: 
 
1 1
M0  = -  (E1 – E0),    M1  =  (E1 – E0), 
2 2
 
і якщо (E1 – E0 )>0, то умови (1.28) та (1.29) будуть виконуватися. В випадку, коли  
r
(E1 – E0 )<0, то необхідно перемінити на протилежний  знак  в ( x  ).  
 Для константи K0  виду (1.31) функція  
 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 33 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
Ф1(G,M) = 4Ku1(G,E),                                                      (1.32) 
 
Де 
 
G0 [] G1[]
Кu1(G,E)=  .                                           (1.33) 
{E1[] E0[]}2
 
r
Відзначимо, що в (1.33) Gi і Ei є функціоналами від ( x  ), отже й Ku1(G,E) – 
r
є функціоналом від  ( x  ), тобто   Ku1(G,E)= Ku1[].  
В цьому випадку Ku1(G,E) буде верхньою границею суми ймовірностей 
помилок першого й другого роду. 
 Даний критерій Кu1 буде  омент ним  критерієм.  
r
 Якщо функція  ( x) оптимальна за  критерієм мінімуму функціонала Ku1[], 
тобто якщо вона  знайдена  з умови мінімуму правої частини функціонала (1.33), 
то вирішувальне правило  для розрізнення гіпотез H0 і H1 буде мати наступний 
вигляд: 
 
H1
r 1
                            ( x  ) -  (E 
0  + E1)   0,                                             (1.34) 
2
H 0
 
 Таким чином, мінімум суми  ймовірностей  помилок  і  їх верхньої границі 
досягається для того самого  вирішувального правила, а саме, для порівняння 
відношення  правдоподібності  з одиницею.  
 Критерій Кu1 має ясний фізичний зміст, тому що в якості оптимальної 
вирішальної функції береться та, для якої відстань між математичними 
очікуваннями вирішальної функції при гіпотезі H0 і H1 найбільша, а їх дисперсії 
при цьому мінімальні.  
  
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 34 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
1.4.6. Спосіб знаходження коефіцієнтів стохастических поліномів, 
оптимальних за критерієм мінімуму верхньої границі ймовірностей помилок.  
Покажемо, що для побудови вирішувального правила, яке буде оптимальним за 
моментним критерієм, необхідно розкласти багатомірний логарифм відношення 
правдоподібності в узагальнений ряд 
Для сукупності незалежних, але однаково розподілених випадкових величин 
r
x  при гіпотезі H0  і H1, отримаємо наступний вираз: 
 
p(x / H ) 
                          Ln v 1
 = h0 +   hi i(xv),                                  (1.35) 
p(x / H )
v 0 i1
 
У цьому випадку коефіцієнт hi  повинні бути однаковими  для будь-якої 
випадкової величини xv  .  
Вираз (1.35) прийме наступний вигляд: 
  
r
p(x / H )  n
                        Ln 1
r  = h0 +  hi   i(xv),                                  (1.36) 
p(x / H0 ) i1 v1
 
де коефіцієнт h0  можна буде визначити наступним чином:  
 
n 
                                 h0 =  hi(mi - ui). 
2 i1
 
В свою чергу  оптимальні коефіцієнти hi будемо знаходити із розв'язку 
системи лінійних алгебраїчних рівнянь:      
 

                            hjF(i,j) = (mi -ui), i=1,,                                                     (1.37) 
j1
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 35 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
де кореляційні й спільні моменти відповідно дорівнюють: 
 
Fi, j  Fi, j(H0 )  Fi, j (H1)         
                                                  Fi, j(H0 )  u i j  u iu j                                                (1.38) 
Fi, j (H1)  m i j  m im j  
 
Із врахуванням коефіцієнтів, які будуть знайдені із рішення системи (1.38),  
критерій  якості  Ku1 прийме наступний вигляд: 
 
 
n  h h F
r i j (i, j)
i1 j1
                          Ku1[ h  ] =  .                                             (1.39) 
  2
n h (m  u )
 i i i
  
i 1 
 
 а     величину, яка буде зворотною значенню критерію якості, можна 
визначити за наступним виразом:         
  
   J h (m  - u ) 
n = n h i  h j F(i, j)  = n  i i i .                             (1.40) 
i1i1 i1
 
Величина  Jn  називається узагальненою кількістю інформації  про 
розрізнення гіпотез H0  і H1, що  вміщується у вибірці розміром n  однаково 
розподілених випадкових  величин.  
Вирішальні правила у вигляді узагальнених рядів  використовують 
поліноми нескінченного ступеня. На практиці будемо будемо використовувати 
поліноми тільки кінцевого ступеня. Таким чином, вирішальне правило, що задане 
в класі узагальнених поліномів  ступеня S буде мати наступний  вигляд:  
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 36 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
s H
1 1
              i  
hi v  mi  u i   0                                                       (1.41) 
i v1  2  H0
 
В свою чергу, кількість вилученої інформації із вибіркових значень про 
розрізнення гіпотез можна визначити наступним чином: 
 
1 s
J sn   nhi (mi  ui )                                           (1.42) 
Ku1sn i1
 Отримані вирази (1.41) та (1.42) будемо використовувати при синтезі та 
аналізі вирішувальних правил, що використовуються виявленні шумових 
сигналів, що приймаються в адитивній суміші з негауссівською завадою. 
 
1.4 Аналіз методів оцінки параметрів сигналів. 
 Задача оцінки параметрів може бути як самостійною задачею, так і 
складовою частиною при виявленні чи при розрізненні сигналів.  
 В загальному випадку задача статистичного оцінювання параметрів 
сигналів можливо сформулювати наступним чином.  Нехай на вхід підсистеми 
вимірювання подається вибірка, що представляє собою суміш корисного сигналу 
S(t) та адитивної завади n(t). При цьому детермінований сигнал має ряд 
параметрів, серед яких деякі можуть бути невідомі. Кожний із невідомих 
параметрів може бути безперервною чи випадковою величиною із заданим 
законом розподілу ймовірностей.  
 Необхідно визначити невідомі параметри сигналу на інтервалі 
спостереження t(t1,t2).  
 Так як оцінка параметрів здійснюється при наявності випадкової завади, 
точне значення параметрів отримати неможливо, тому отримують статистичні 
оцінки. Існують два види статистичних оцінок: довірча і точкова.  
 Розглянемо деякі методи оцінки параметрів сигналів, на прикладі 
отримання точкових оцінок. 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 37 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
1.4.1 Метод максимальної правдоподібності. 
Даний метод находження оцінок є найбільш важливим. Розкриємо сутність 
даного методу.  
r
По незалежній вибірці х  х1 , х2 ,...хn  об’ємом n із заданою щільністю 
r r
розподілу вибірки х , що залежить від векторного параметра  , тобто 
n
r r r r
p(x / )  p(xi / )  необхідно визначити оцінки векторного параметра  .  
i1
Згідно метода максимальної правдоподібності, в якості оцінки невідомого 
r r
параметра   необхідно вибрати таке значення аргументу  , для якого функція 
правдоподібності досягає свого максимального значення. 
Відповідно потрібно вирішити наступне рівняння: 
 
r r
L(ˆ)  max L( ) . 
 
r r
Часто замість функції  L( )  використовують функцію ln L( ) , яка повинна 
r
мати максимум в тих же точках, що і L( ) .  За умови диференціювання функції 
r r r
p(x / )  за параметром  , оцінку параметрів знаходять із рішення системи рівнянь 
максимальної правдоподібності:  
 
 r
ln L( ) r r)  0 , i  1, p . 
 
i
 
Оцінки, які отримані методом максимальної правдоподібності, є спроможні, 
асимптотично ефективні та асимптотично нормальні. Недоліком методу є 
складність розрахунку максимуму.  
 
          1.4.2 Метод найменших квадратів. 
r
 Для заданої вибірки х  х1 , х2 ,...хn  об’ємом n необхідно знати початкові 
моменти першого порядку та дисперсії: 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 38 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
r
Mxq  m1q ( ), q 1,n  
F (q) r r r
1,1 ( )  m2q ( )  m2
1q ( )  
 
 Згідно даного методу в якості оцінки невідомого параметру береться таке 
r)
значення    , для якого досягається мінімум суми квадратів:  
 
r r n r 2
L(x; )  xq  m1q ( ) . 
q1
 
 Для знаходження оцінок методом найменших квадратів необхідно вирішити 
систему рівнянь: 
 
 r n
r r  r
L(х, )   xq  m1q ( ) m ( )  0, m 1, p . 
 i q1  1q
m r r)

 
 Оцінки параметрів, які знаходяться даним методом будуть слабо 
спроможними[ 27] 
 
           1.4.3 Метод моментів 
 Даний метод є найбільш простим та широко розповсюдженим методом, що 
r
використовується для знаходження оцінок параметрів функції розподілу F (x / ) . 
Даний метод базується на використанні емпирічної функції розподілу. 
 Сутність методу моментів є в порівнянні вибіркових моментів і теретичних 
моментів. Оцінки, що отримані методом моментів будуть сильно спроможні, 
асимптотично нормальні, але володіють низькою ефективністю. 
 Потрібно також відмітити, що метод моментів використовується для тих 
випадкових величин, для яких ці моменти існують. 
 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 39 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
РОЗДІЛ 2. РОЗРОБКА ПОЛІНОМІАЛЬНИХ АЛГОРИТМІВ ДЛЯ 
ВИЯВЛЕННЯ ШУМОДІБНИХ СИГНАЛІВ З НУЛЬОВИМ 
МАТЕМАТИЧНИМ СПОДІВАННЯМ, ЩО ПРИЙМАЮТЬСЯ НА ФОНІ 
НЕГАУСІВСЬКИХ ЗАВАД 
 
2.1 Постановка задачі виявлення.  
Розглянемо постановку задачі виявлення шумоподібного сигналу з 
нульовим математичним сподіванням, що приймається в адитивній суміші із 
негаусівською завадою. В загальному вигляді ця задача буде наступною:  
По незалежній вибірці випадкових величин   1,2 ,...,n об’ємом n 
необхідно визначити, присутній чи ні в даній вибірці корисний сигнал. Якщо 
сигнал  S (гіпотеза H1 ) присутній, то вибіркові значення будуть мати вигляд: 
 
i  i  ni  ,                                                   (2.1) 
 
 а якщо  сигнал відсутній (гіпотеза H0 ), то в вибіркових значеннях присутня лише 
завада:  
i  n i , i 1, n  .                                           (2.2) 
 
Будемо вважати, що шумоподібний сигнал i  є негауссіівським сигналом, 
та описується последовністю моментов mi, а негауссівська завада  n i  -  
послідовністю моментів ui  порядку i  1,2S,  S=1,2,...  
Так моменти і кумулянти зв’язані між собою співвідношенням [6] 
позначимо відповідно кумулянти порядку i для корисного сигналу i  через  , а 
для завади n i  через  .  
Покажемо зв'язок між моментами та  кумулянтами для корисного сигналу 
(гіпотеза Н1) до 4-го порядку включно:  
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 40 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
m1= M(i  ni ) = 0 , 
2
m2= M(i  ni ) =2  2 ,                                                                   (2.3) 
3
m3= M(i  n i ) = 3  3 , 
4
m4=M(i  n 2 2
i ) =4  32  62 2  4  3 2  , 
 
а між моментами та кумулянтами завади (гіпотеза H 0 ) відповідно: 
 
          u1= M(ni)=0 , 
2
          u2= M(ni) = 2                                                                                      (2.4) 
3
          u3= M(ni) = 3  , 
4 2
          u4= M(ni) = 4  32 . 
 
Для вирішення поставленої задачі необхідно знайти функцию f(x1, x2,..., xn ), 
яка залежить від вибіркових значень (x1, x2,..., xn ) і таку, що якщо   
 
f(x1, x2,..., xn )0,                                        (2.5) 
 
вважаємо, що у вибіркових значеннях присутній сигнал, а якщо   
 
f(x1, x2,..., xn )<0,                                        (2.6) 
 
то лише завада. Так як таких функцій f(x1, x2,..., xn ), може бути нескінчена 
кількість, за допомогою яких можливо класифікувати наявність чи відсутність 
корисного сигналу, але вони будуть відрізнятися одна від іншої значенням  
вибраного критерию  якості. Тому із всієї множини функцій, для яких 
виконуються умови (2.5) та (2.6), необхідно вибрати ту, для якої буде 
виконуватися екстремум (мінімум чи максимум) вибраного критерію якості.  В 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 41 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
даному випадку за критерій якості використаємо моментний критерій: критерий 
мінімуму верхньої межі імовірностей помилок (критерій Кu), що приведений в 
розділі 1. 
 В якості вирішувальних правил будемо використовувати поліноміальні 
вирішувальні правила, що й будуть оптимальними за критерієм Ku1: 
 
k n  H1
 s 1  
hs v  ms  u s   0                                              (2.7) 
s1 v1  2  H0
 
2.2 Синтез вирішувальних правил для виявлення шумоподібних 
сигналів при ступеню полінома S=2. 
При ступеню поліному S=1 гіпотезы Н0  та Н1 розрізнити неможливо, так як  
так як моменти першого порядку(математичні сподівання) сигналу та завади 
дорівнюють 0. Т розглянемо випадок, коли використовується нелінійне 
вирішувальне правило при S=2, що має вигляд:  
 
 n 1
      n 1
2   H 1
h1 { i (m1 u1 )} h 2 { i (m  u )} 
2 2 0 ,      (2.8) 
 i1 2  i1 2  
H 0
 
або із врахуванням початкових моментів: 
 
 n   n 1  H 1
h1i   h2 {2
i  ( 
2  22)}  0 ,                                 (2.9) 
i1  i1 2  H 0
 
де оптимальні коефіцієнти h1 и h2 знаходимо із рішення системи лиінійних 
алгебраїчних рівнянь: 
 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 42 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
h1F1,1  h2F1,2  m1  u1 ,
                                                                   (2.10) 
h1F2,1  h2F2,2  m2 u2 .
 
В даній системі рівнянь сумісні моменты Fi, j  дорівнюють сумі  
кореляційних моментів Fi, j(H0 )  и Fi, j (H1)  при гіпотезах H0 і H1 та, відповідно, 
мають вигляд:  
 
F1,1(H0) = u2 - u1u1 = 2 
F1,2(H0) = F2,1(H0) = u2 - u1u1 = 3 
F2,2(H0) = u4 - u2u2 = 4 + 2 2
2  
F1,1(H1) = m2 - m1m1=2 + 2 , 
F1,2(H1) = F2,1(H1) = m2 - m1m1 = 3 +3 ,                                         (2.11) 
2 2 
F2,2(H1) = m4 - m2 m2 = 4 +22  +422+4 + 22 , 
F1,1 = F11(H0) + F11(H1) = 2 + 22, 
F1,2 = F2,1 = F1,2(H0) + F1,2(H1) = 3 + 23, 
2
F2,2 = F2,2(H0) + F2,2(H1) = 4 +22  +42
2
2+2(4 + 22 ) 
 
Рішення системи (2.11) визначаємо за допомогою методу Крамера, де 
визначники будуть мати наступний вигляд::  
1
  3
2  
4( 2 2
4  2  3 )  p (24  8)  p(12 24  43 2
3p )  p3( 2 
4  2  3 )


5 5
1    2 (23p  3p 2 ) , 
2  2
2p(2  p) . 
 
Якщо підставити значення визначників в вирази для в вирази для 
оптимальних коефіцієнтів h1  и  h2 , то відповідно отримає маємо наступне: 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 43 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
5 5
h1   2 (23p   p 2 )1
3 ,                                         (2.12) 
h2  2p(2  p)1
2 , 
 
где  p – відношення потужності флюктуацій шумоподібного сигналу до 
потужності завади і визначається наступним чином:  
 
 
p 2
 . 
2
 
Кількість вилученої інформації про розрізненя гіпотез Н1  и Н0 при ступеню  
поліному S=2 матиме узагальнений вигляд: 
 
J2  n[h1(m1  u1)  h2(m2  u2 )] .                              (2.13) 
 
Із врахуванням (2.11) вираз 2.12 прийме вигляд:: 
 
n3
2
J 2
2  p p  2]                                                 (2.14) 

 
В свою чергу,  значення критерію якості є величиною зворотньо-
пропорційною кількості  вилученої інформації J2  та прийме вигляд: 
 
1
n3 
Q  J1  2 p2
2 2  p  2]  
  
 
2.3 Аналіз ефективності розроблених алгоритмів. 
Проведемо дослідження особливостей виявлення негаусового 
шумоподібного сигналу з нульовим математичним сподіванням, що приймається 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 44 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
в адитивній суміші з негаусівською завадою, в зрівнянні з виявленням  
гаусівського шумоподібного сигналу, що приймається на фоні гаусівських завад.  
Враховуємо, що для гаусівського розподілу кумулянтні коефіцієнти 3-го и 
4-го порядків дорівнюють нулю. Відповідно будемо мати наступний функціонал 
Q для гаусівського сигналу та завади:  
 
2(p2  2p  2)
Q2гаус   
np2
 
Для оцінки чисельного зменшення значення Q2 в зрівнянні з Q2гаус 
Q
використаємо логарифм відношення Q  10lg 2 . Проведення дослідження 
Q2гаус
поведінки функції Q в залежності від коефіцієнтів 3, 3, 4, 4  одночасно 
достатньо складно, тому дослідження буде проведено для наступних випадків:  
а) Нехай сигнал є гауссівським, тобто коефіцієнти 3  4  0 , а завада –
негауссівська випадкова величина, Потрібно враховувати залежність між  
кумулянтними коефіцієнтами завади, яка описується наступною нерівністю:  
  4  2  2
3 .  На рис. 2.1 приведені  графіки залежності функції Q від   3  при 
різних відношеннях сигнал/завада за потужністю р (p=0.25; 1; 5) для 
різноманітних значень коефіцієнту  4  (  4   -1,8; 0; 2). Із графиків бачимо, що  
найбільше зменшення верхніх границь імовірностей помилок при S=2 буде при 
максимальних значениях  3  та відємних значеннях 4 . При позитивних  
значеннях  4  з’являється область значень коефіцієнту  3 , для яких Q>0, тобто 
буде програш в зрівнянні із гаусівськими завадами. Потрібно теж відмітити, чим 
менше значення p, тим  більший буде виграш, який може досягати -9 дБ.  
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 45 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
 
Рисунок 2.1 - Графіки залежності відношення критеріїв якості при 
ступеню полиному S=1 та  S=2 від  3  
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 46 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
б) В том випадку, коли  сигнал є негауссівською  величиною, а завада є 
гауссівською, виграшу не отримаємо, тому графіки не приводимо. 
Структурная схема синтезованого виявляча  приведена на рис.2.2.  
 
 
Рисунок 2.2. Структурная схема поліномиального виявляча  шумового сигналу з 
нульовим математичним сподіванням для S=2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 47 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
РОЗДІЛ 3. РОЗРОБКА ПОЛІНОМІАЛЬНИХ АЛГОРИТМІВ ДЛЯ 
ВИЯВЛЕННЯ ШУМОДІБНИХ СИГНАЛІВ З НЕНУЛЬОВИМ 
МАТЕМАТИЧНИМ СПОДІВАННЯМ, ЩО ПРИЙМАЮТЬСЯ НА ФОНІ 
НЕГАУСІВСЬКИХ ЗАВАД 
 
3.1 Постановка задачі виявлення.  
 Розглянемо задачу виявлення шумоподібного корисного сигналу з 
ненульовим математичним сподіванням  в негауссовому шумі, тобто коли при 
гіпотезі Н1  приймається n незалежних вибіркових значень, що мають вигляд: 
 
 i i  ni  , i  1, n                                              (3.1) 
 
де i  - випадкова величина, яка дорівнює 
i  a   i , 
де  i  - випадкова величина з нульовим математичним сподіванням та 
кумулянтами 2,3,4 . 
При гипотезі H 0  в вибіркових значеннях буде присутній лише шум, тому 
вони мають вигляд: 
 
i  n i i 1, n  ,                                            (3.2) 
 
где n i  - випадкова величина з нульовим математичним сподіванням та  
кумулянтами 2 ,3 ,4 . 
Моменти випадкової величини i  при гипотезі H1  до 4-го включно будуть 
дорівнювати: 
m1= M(i  ni ) = a , 
2 2
m2= M(i  ni ) =a  2  2 ,                                                                                (3.3) 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 48 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
3
m3= M(i  ni ) = 3  3 3
2a  a  3a2  3  
4 2
m4=M(i  ni ) =4  32  4a3  6a2  a 4 2
2  6(2  a )2  4a3  4  32
2   
 
а при гипотезі H 0 : 
 
u1= M(ni)=0 , 
2
u2= M(ni) = 2                                                                                     (3.4) 
3
u3= M(ni) = 3  , 
4
u4= M(ni) = 4  32
2 . 
 
Так, як розподіл кожного вибіркового значення і при гіпотезі H0 так і при 
гіпотезі H1 однаковий, відповідно, в якості вирішувального правила будемо 
застосовувати поліноміальні вирішувальні правила( 1.41).  
 
3.2 Синтез вирішувальних правил для виявлення шумоподібних 
сигналів при ступеню полінома S=1. 
При ступеню поліному S=1 в якості вирішувального правила розглянемо 
лінійне вирішувальне правило:   
 
1 n a  H 1
h1  v    0,                                       (3.5) 
n 2 
v1  H 0
 
Для визначення коеффіцієнта h1 необхідно вирішити наступне лінійне 
рівняння: 
h1 F1,1 = m1 - u1.                                          (3.6) 
 
З врахуванням кореляційних моментів:  
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 49 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
F1,1 (H0) = u2 - u1u1 = 2 
F1,2 (H0) = F2,1 (H0) = u2 - u1u1 = 3 
2
F2,2 (H0) = u4 - u2u2 = 4 + 22  
F1,1 (H1) = m2 - m1 m1=2 + 2 , 
F1,2 (H1) = F2,1 (H1) = m2 - m1m1 = 3 +22a + 2a2 + 3 ,                                 (3.7) 
2 2
F2,2(H1) = m4 - m2 m2 = 4 +22  +4a3 +4a 2 +422+ 
2 2
             + 4 + 22 + 4a 2 + 4a3 , 
 
та сумісних моментів при різних гіпотезах:  
 
F1,1 = F11 (H0) + F11 (H1) = 2 + 22, 
F1,2 = F2,1 = F1,2 (H0) + F1,2 (H1) = 3 +22a + 2a2 + 23,                                 (3.8) 
2 2
F2,2 = F2,2 (H0) + F2,2 (H1) = 4 +22  +4a3 +4a 2 +422+ 
2 2
                                        + 4 + 22 + 4a 2 + 4a3,  
 
отримаємо вираз для рішення рівняння (3.6) в наступному вигляді: 
 
m  u a
      h  = 1 1
1  = .                                             (3.9) 
F1,1  2  2 2
 
Так як коефіцієнт  h1 не дорівнює  0, то  на  нього  можливо  скоротити і 
відповідно віршувальне правило буде мати наступний вигляд: 
 
1 n a  H 1
    
v  0,                                             (3.10) 
n v1 2 
H 0
 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 50 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
Потрібно відмітити, що вирішальне правило  (3.10) повністю співпадає   з 
оптимальним правилом за умови, що завада є гаусівською випадковою 
величиною.  
Кількість вилученої інформації про розрізнення гіпотез в цьому випадку 
дорівнює виразу:  
nq
J1  ,                                                (3.11) 
2  p
 
де  q  - відношення сигнал/завада  за потужністю і визначається виразом: 
a2
q  , 
2
p - відношення потужності флуктуацій шумоподібного сигналу до потужності 
завади(шуму): 

p  2  
2
де 2  - кумулянт другого порядку(дисперсія) випадкової величини  i . 
Значення критерію якості при лінійному опрацюванні матиме вигляд: 
 
1 2  p
Q1  J1                                                    (3.12) 
nq
 
Асимптотичні імовірності помилок першого та другого роду можемо 
визначити наступним чином:  
 
2
C x
1 1 
 2
1   e dx  
2 
2
1  x

1 
 e 2 dx  
2 C2
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 51 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
J
де                                                      C  1
1  , 
2 G1
J
C2  1 . 
2 G 0
Отримані вирази будемо використовувати при дослідженні степеневого 
виявляча  2-го ступеню. 
Структурна схема степеневого виявляча при S=1 представлена на рис.1.  
 
 
Рисунок 3.1 - Структурная схема лінійного виявляча шумоподібного сигналу,  
що приймається на тлі негаусових завад. 
 
3.3 Синтез вирішувальних правил для виявлення шумоподібних 
сигналів при ступеню полінома S=2. 
Для виявлення сигналу використовується вирішальне правило виду: 
 
 n n   n
2 n  H 1
h1   i  (m1  u1 )  h 
2   i  (m 2  u 2 ) 0           (3.13) 
 
i1 2   i1 2  H 0
 
або з врахуванням початкових моментів: 
 
 n 1   n 1  H 1
h1  ( i  a)  h 2 {2
i  (  a 2  2 )} 
2 2
 2   2   0 , 
i1 i1
H 0
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 52 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
де оптимальні коефіцієнти h1 та h2  визначаються із розв'язку системи лінійних 
алгебраїчних рівнянь: 
 
h1F(1,1)  h2F(1,2 )  m1  u1

                                               (3.14) 
h1F(2,1) h2F(2,2 ) m2 u2
 
З врахуванням виразів (3.4), (3.4) та (3.9) головний визначник системи (3.14) 
і відповідно коефіцієнти h1 і  h2 будуть мати наступний вигляд вигляд: 
 3 1
  3 2 2
2 4(q   4  2 3 )  p (24 8)  p(4p 2q 23  4q 12

 
1 1 
 4q 2  2  4  p 2
3 4 3 3 )  p3 (4  2 2
3 ) ,

5 1 3 1 3 1 3
h1   2 ( 2
4p q 2  3 2 2
3p q  4q  2pq 2  2pq 2  2q 2 
 
5 1
 23p  3p 2  23q  2 q 2
4 ) /  ,
3 1 1
 2 2
h (2p  p  pq   p 2 2
2 2 3 q  2 q 2
3 ) / . 
 
У цих виразах через  i  позначені кумулянтні коефіцієнти флуктуацій 
шумового сигналу, що дорівнюють виразу:  
   n 2
n n 2 . 
Згідно (1.42), кількість  вилученої інформації про розрізнення гіпотез H0 і H1 
у цьому випадку буде дорівнювати:  
 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 53 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 3  1 1
n
J  2
2 2q(q   4  2)  3  2
p p (2  4q  2 2 2
 3 p q ) 

                            (3.15) 
1 3 1 
 p(q 2  4q  2 p 2 q 2
3  4 3q 2 ) .

 
Порівнюючи (3.11) з отриманим  виразом для  J2, видно, що кількість 
вилученої інформації про розрізнення гіпотез, при використанні стахостичного 
виявляча ступеню S=2, залежить від  кумулянтнbх  коефіцієнтів  3 ,  4 ,3 ,4  
більш високого порядку. При цьому значення  критерію якості для ступеню 
поліному S=2 буде мати вигляд: 
 
 1 1
1 n3 
Q2  J   2 
2 2q(q   4  2)  p3  p2 (2   q  2 p 2 q 2
4 3 ) 
  
 2 
 
1
1 3 1 
 p(q 2  4q  23p 2q 2  43q 2 


 
 Для аналізу якісних характеристик виявляча шумоподібних сигналів 
скористаємося порівнянням критерію якості Q1  для виявляча ступеню S=1 і Q2  
для виявляча ступеню S=2. Для цього розглянемо відношення Q, шо дорівнює 
наступному виразу:  
 
Q
Q 10log 2 .  
Q1
 
Проведемо аналіз даного виразу. Припустимо, що флуктуація амплітуди 
шумового сигналу є гауссівска величина ( тобто 3  4  0  ), а завада - 
негаусівська величина. На рисунку 3.2 наведені графіки залежності відношення Q 
від  3  і значеннях 4  1.8;0;2  для малих значень p і q (q=0.25, p=0.05). Для цих  
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 54 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
Рисунок 3.2 -  Графіки залежності відношення критеріїв якості при 
ступеню полінома S=1 і S=2 від 3  
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 55 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
значень p і q кількість вилученої інформації, буде найбільшою і значення  
коефіцієнта ефективності досягає -7 дб.  
Як з ростом q, при однакових р, так і з ростом p при однакових q 
відбувається погіршення коефіцієнта ефективності Q. Для цих значень p і q 
графіки приводити не будемо. 
Можна відзначити, що чим більше  3 , тобто чим більше негаусовість 
завади, тим більше коефіцієнт ефективності Q. 
Q
Графіки залежності Q  10log 2  залежно від 3  для різних 4  не 
Q1
приводимо, тому що врахування негауссовості флуктуацій при гауссовості завади 
( 3  4  0  ) практично не впливає на ефективність роботи нелінійного виявляча 
в порівнянні з лінійним виявлячем. 
 
3.3 Аналіз роботи виявлячів шумоподібних сигналів із ненульовим 
математичним сподіванням. 
Як відзначалося раніше, можна знайти не тільки верхні границі ймовірностей 
помилок, але й асимптотичні значення самих імовірностей помилок першого й 
другого роду.  
Легко показати, що асимптотично при n    ймовірність  помилки  другого 
роду 2  буде дорівнювати:  
x2
C
1 3 
   e 2
2 dx  
2 
J
де C  2
3 , 
2 G1(s2)
 
а ймовірність помилки першого роду 2 визначатися виразом: 
 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 56 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
2
 x
1 
2   e 2 dx , 
2 C4
J
де  C 2
4  , 
2 G 0(s2)
 
а G0 і G1 – дисперсії вирішального правила (3.12) відповідно при гіпотезах Н0 і Н1.  
 У свою чергу G1  і G0  визначаються по формулах:  
 
2 2
    G1  nh 2 2
ih jFi, j (H1 )  nh1 F1,1(H1 )  h1h 2F1,2 (H1 )  h 2F2,2 (H1), 
i1 j1
2 2
G 0  nh ih jFi, j (H0 )  nh 2 2
1 F1,1 (H0 )  h1h 2F1,2 (H0 )  h 2F2,2 (H0 ). 
i1 j1
 
Тоді сума іймовірностей помилок при ступені полінома S=2 буде 
дорівнювати: 
 x2 2
 C x
1 1 4 
2 2   e 2 dx   e 2 dx . 
2 C 2
3 
 
На рисунку 3.3 наведені графіки залежності відношення 
 
  
 10log 2 2
   
 1 1 
 
від  3  для різних значень 4 (  4  1.8; 0; 2  ). При цьому вважаємо, що 
флуктуації є гауссівськими величинами (3  4  0 ), а значення p і q малі й 
відповідно рівні q=0.25, p=0.1. Графіки наведені для різних обсягів вибірки 
n(n=10; 36; 100).  
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 57 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
  
Рисунок 3.3 - Графіки залежності відношення сум імовірностей помилок при  
ступені полінома S=2 і S=1 від коефіцієнта ассиметрії 3 . 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 58 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
Із графіків видн0, що зі збільшенням обсягу вибірки n з 10 до 100 значення 
суми іймовірностей помилок першого й другого роду зменшується для 
нелінійного виявляча в порівнянні з лінійним виявлячем. При цьому відношення 
  змінюється відповідно від –5 дБ до –30 дБ. 
Можна відзначити, що як з ростом q, при однакових значеннях p, так і  з 
ростом p при однакових q відбувається погіршення роботи нелінійного 
виявляча.  
Структурна схема поліноміального виявляча шуподібних сигналів при 
ступені S=2 представлена на рисунку 3.4. 
 
Рисунок 3.4 - Структурна схема поліноміального виявляча шумового  
сигналу при ступеню S=2 
 
Структурна схема має два канали обробки вхідного сигналу. У першому 
каналі з вибіркових значень віднімається половина рівня сигналу, а після 
накопичення відбувається множення коефіцієнт h1, сформований відповідним 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 59 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
чином, і подається потім сигнал на суматор. У другому каналі вибіркові значення 
зазнають спочатку зведенню у квадрат,  а потім вирахуванню величини 
1
(  a 2
2  2 2 ) , також подальшому накопиченню, потім здійснюється 
2
перемноження на коефіцієнт h2 і підсумовуванню із сигналом з першого каналу. З 
виходу суматора сигнал подається на вирішальний пристрій (ВП), який приймає 
рішення відносно того, яка гіпотеза відбулася.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 60 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
РОЗДІЛ 4. АДАПТИВНЕ ВИЯВЛЕННЯ ШУМОПОДІБНИХ СИГНАЛІВ 
 
Для аналізу роботи запропонованих виявлячів шумоподібних сигналів при 
адитивному прийомі необхідно знати апріорну інформацію про самі сигнали та 
вимірювати параметри завади в процесі опрацювання вхідного сигналу. Як було 
відмічено в розділі 1, для вимірювання параметрів можна використати метод 
найменших квадратів, метод максимальної правдоподібності або метод моментів.  
В розділах 2 та 3 в постановці задачі виявлення шумоподібних сигналів сказано, 
що апріорною інформацією при побудові виявлячів є початкові моменти при 
гіпотезі та альтернативі, тому будемо використовувати метод моментів для оцінки 
параметрів завади. 
 
4.1. Застосування методу моментів для оцінки параметрів сигналу та 
завади.  
Адаптуємо метод моментів, що представлений в підрозділі.1.4, для 
визначення параметрів негауссівської завади.  Будемо вважати, що опрацювується 
незалежна вибірка дискретних значень випадкових величин   об’ємом  n.  Згідно 
[6], для визначення початкових і центральних моментів  до 4-го порядку включно, 
використаємо наступний математичний апарат: 
-  середнє значення(математичне сподівання) дискретної випадкової 
величини   визначається виразом:  
 
1 n
xсер  v . 
n v
 
В свою чергу середнє значення у це є перший початковий момент m1  x сер . 
- центральний момент розподілу другого порядку є дисперсією дискретної 
випадкової величини і визначається наступним чином: 
 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 61 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
1 n
M 2   2
v m1 . 
n v1
 
В синтезованих вирішальних правилах потрібно знати коефіцієнти асиметрії 
та ексцесу. Для їх визначення  необхідно знайти центральні моменти 3-го та 4-го 
порядку: 
- центральний момент 3-го порядку:  
 
1 n
M 
3   v  3
m 
1 . 
n v1
 
- центральний момент 4-го порядку:  
 
  1 n
M 4      4
v m1 . 
n v1
 
За умови, якщо середнє значення дорівнює нулю, то центральні моменти 
дорівнюють початковим: m2  M 2 , m3  M 3 , m4  M 4  і т.д. 
Коефіцієнт асиметрії, який характеризує асиметрію кривої розподілу 
ймовірностей, визначається наступним безрозмірним відношенням: 
 
M
 3  3 ,  
M 3
2
Коефіцієнт  ексцесу, який  дає характеристику згладженності  кривої 
розподілу біля її моди, теж є безрозмірною величиною: 
 
M
 4  4 3 . 
2
M 2
 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 62 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
Структурна схема вимірювача моментів завади представлена на рис. 4.1. 
 
Рисунок 4.1 – Вимірювач моментів завади 
 
На вхід вимірювача моментів подаються дискретні значення випадкової 
величини  . Дані значення підлягають як лінійному перетворенню, так і 
квадратуванню і перемноженню. Для отримання необхідного моменту, випадкові 
значення в кожному каналі підлягають накопиченню. З виходу вимірювача 
моментів завади, отримані величини подаються на блок розрахунку коефіцієнтів 
асиметрії негауссівської завади, структурна схема якого представлена на рис.4.2.  
 Отриманні значення коефіцієнтів будуть використовуватися для 
формування оптимальних коефіцієнтів в поліноміальних вирішальних правилах.  
 
 
 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 63 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
Рисунок 4.2 – Блок розрахунку коефіцієнтів асиметрії  3  та ексцесу  4  
негауссівської завади.    
 
 
4.2. Розробка структурної схеми адаптивного виявляча шумоподібних 
сигналів. 
Представимо схему адаптивного виявляча шумових сигналів з нульовим 
математичним сподіванням з врахування поліноміального вирішувального 
правила (2.9)  при ступеню полінома S=2 (див. рис.4 .3). 
Вибіркові значення вхідного процесу  v  перед подачею на схему 
поліноміального виявляча шумового сигналу затримують на час вимірювання   в 
блоці вимірювання параметрів завади  в блоці та формування оптимальних 
коефіцієнтів h1 та h2. Схема виявляча вміщує 2 паралельних канали: лінійний та 
нелінійний. В лінійному каналі накопиченні значення перемножують на  
коефіцієнтом h1 . В нелінійному каналі вибіркові значення підлягають 
квадратуванню, нормуванню (відніманню половини суми потужностей завади  та 
корисного сигналу) та після накопичення перемноженню на коефіцієнт h2. З 
виходів перемножувачів кожного каналу отримані сигнали підлягають додаванню 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 64 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
і подальшій подачі на вирішувальний пристрій (ВП), який і приймає рішення, яка 
гіпотеза відбулася:  HO чи H1. 
В якості апріорної інформації повинні бути відомі параметри корисного 
шумового сигналу:  середнє значення, яке дорівнює 0, та дисперсія(потужність) 
2 . Параметри завади отримуємо за допомогою вимірювача, а за допомогою 
формувача отримуємо оптимальні коефіцієнти. Даний момент отримуємо в 
вимірювачі параметрів завади. 
 
Рисунок 4.3 – Адаптивний виявляч шумового сигналу з нульовим 
математичним сподіванням 
 
Адаптивний виявляч шумового сигналу з ненульовим математичним 
сподіванням представлено на рис.4.4. Для даного виявляча середнє значення 
корисного шумового сигналу апріорно вважаємо відомим: m1=a,   
дисперсія(потужність) 2 . Корисний сигнал вважаємо таким, що має гауссівський 
розподіл, для якого центральні моменти 3  4  0 . Структурна схема 
адаптивного поліноміального виявляча при S=2 побудована із врахування виразу 
(3.9).  
 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 65 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
Рисунок 4.4 – Структурна схема адаптивного виявляча шумового сигналу з 
ненульовим математичним сподіванням 
 
 Даний виявляч теж має 2 канали опрацювання вибіркових значень: лінійний 
і нелінійний. Так як середнє значення не дорівнює нулю, в лінійному каналі в 
блоці накопичення від вибіркових значень  v  віднімається половина середнього 
значення корисного шумового сигналу ( m1  a ). Оптимальні коефіцієнти h1 та h2 
формуються теж із врахування цього параметру m1  a . 
 Всі інші блоки подібні блокам, що приведені в схемі рис.4.3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 66 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
ВИСНОВОК 
 
В даній магістерській роботі була представлена актуальність досліджень,  
поставлена задача виявлення шумових сигналів, що приймаються в адитивній 
суміші з завадою, проведений огляд існуючих критеріїв якості вибору та методи 
побудови вирішальних правил. Для вирішення поставленої задачі виявлення 
шумових сигналів з нульовим та ненульовим математичним сподіванням, 
використовується моментно-кумулянтний опису випадкових величин як при 
гіпотезі, так при альтернативі. Показана можливість використання в якості 
критерію оптимальності вибору вирішальних правил моментного критерію якості, 
а саме критерію мінімуму верхніх границь імовірностей помилок. Вирішувальні 
правила побудовані в вигляді стохастичних поліномів ступеню s=1 та s=2.  
В роботі проведено порівняльний аналіз синтезованих вирішальних правил. 
Даний аналіз показав, що при нелінійному опрацюванню вибіркових значень, а 
також врахуванню негаусового характеру адитивної завади, ефективність роботи 
вирішувальних правил вище, ніж для лінійного опрацювання. Оцінку 
ефективності роботи синтезованих алгоритмів показано на порівнянні як кількості 
вилученої інформації про розрізнення гіпотезі, так і на сумі з імовірності помилок 
вирішальних правил при різних гіпотезах.  
На базі наведених поліноміальних вирішальних правил були розроблені 
структурні схеми алгоритмів виявлення корисних сигналів, за умови дії 
негауссівської завади. За умови змінного характеру завади, в роботі приведений 
математичний апарат для оцінки статистичних параметрів завади. Оцінювачі 
параметрів завади дозволяють оцінити початкові та центральні моменти до 4-го 
порядку включно: математичне сподівання, дисперсію, коефіцієнт асиметрії  та 
коефіцієнт ексцесу.  
Використання оцінювачів параметрів завади дозволило  отримати 
адаптований алгоритм виявлення шумових сигналів, що  приймаються на тлі 
негаусівських адитивних завад, структурні схема  яких також приведені в роботі. 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 67 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ 
 
1.  Вопросы статистической теории радиолокации // Под общей редакцией проф. 
Т.П.Тартаковского.  Монография. Т.1,2  М.: Сов. радио, 1963, 424 с.  
2.  Г. Ван Трис. Теория  обнаружения,  оценок  и  модуляции, т.1,2, пер. с англ. 
проф. В.И.Тихонова, М.: Сов.  радио, 1972.  
3.  Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. кн.2, М.: Сов. 
радио, 1968, 504 с, в 3-х кн.  
4.  Стратонович Р.Л.  Обнаружение  и  оценивание  сигналов  в шумах, когда оба 
или  один  из  них  негауссовские//Труды ИИЭР, Том 58, №5, 1970, c.73-82. 
5.  Стратонович Р.Л., Сосулин Ю.Г. Оптимальный  прием  сигналов на фоне 
негауссовской помехи. Радиотехника и электроника, №46 1966, c.579-591. 
6.  Малахов А.Н. Кумулянтный  анализ  негауссовых  случайных процессов и 
преобразований. М.: Сов. радио. 1979, 376 с.  
7.  Прикладна теорiя випадкових процесiв i  полiв // Колективна монографiя пiд 
ред. Я.П.Драгана, В.О.Омельченка,  Харкiв-Львiв-Тернопiль, ТПI, 1993, 248 
с.  
8. Прикладная теория случайных процессов и  полей //Под  ред. К.К.Васильева и 
В.А.Омельченко, Ульяновск, УлГТУ,  1995, 256 с.  
9.  Основы  загоризонтной  радиолокации. / Под  ред.   проф. А.А.Колосова, М.: 
Радио и связь, 1984, 256 с.  
10.  Теория обнаружения сигналов./Под ред. проф. П.А. Бакута. М.: Радио и связь, 
1984, 440 с.  
11.  Обнаружение радиосигналов./  П.С.Акимов,  Ф.Ф.Евстратов, С.И.Захаров и 
др. Под ред.  А.А.Колосова,  М.:  Радио  и связь, 1989, 288 с.  
12.  Вальд А. Статистические решающие функции. Сб.  Позиционные игры, М.: 
Наука, 1967, с.300-522.  
14  Лемaн Э. Проверка  статистических  гипотез.  М.:  Наука, пер. с англ., 1979,408 
с.  
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 68 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
15. Ю.Нейман. Вводный курс теории вероятностей  и  математической 
статистики, М.: Наука, 1968.  
16.  Прием сигналов при наличии шума. Сб.  статтей  под  ред. Л.С.Гуткина, 
Москва, ИЛ, 1960.  
17.  Радиотехнические системы //Под ред. проф.  Ю.М.Козакевича, М.: Высшая 
школа, 1990, 496 с.  
18. Ю.Г.Сосулин. Теоретические основы радиолокации и  радионавигации. 
Учебное пособие для  вузов.  М.: Радио  и  связь, 1978, 608 с.  
19  Теоретические основы радиолокации. Учебное пособие для вузов. Под ред. 
В.Е.Дулевича. 2-е издание, переработанное и дополненное. М.: Сов. радио, 
1978, 608 с.  
20.  В.И. Тихонов, Статистическая радиотехника, М.: Сов. Радио, 1976, 678 с.  
21. Левин Б.Р., Шинаков Ю.С. Совместнооптимальные  алгоритмы обнаружения 
сигналов и оценивание их  параметров  //  Радиотехника и электроника, 1977, 
т.22, N11, с.2239-2256.  
22. Варакин Л.Е. Обнаружение сложных сигналов и измерение их параметров. 
Радиотехника и электроника, 1973, т.18, N8.  
23. Ширман Я.Д., Манжос В.Н. Теория и техника обработки  ра- диолокационной 
информации на фоне  помех.  М.:  Радио  и связь, 1981, 416 с.  
24.  Сосулин Ю.Г. Теория обнаружения и  оценивания  стохастических сигналов. 
М.: Сов. радио, 1978, 320 с.  
25.   Кунченко Ю.П.,Мартыненко, Палагін В.В. Виявлення шумового сигналу на 
фоні негаусових завад // Збірник статей аспірантів і пошуковців ЧІТІ, частина 
1, – Черкаси, 1995, –С.5-8. 
26. Мартыненко С.С. Силенко Р.А. Имитационное моделирование работы 
обнаружителя шумоподобных сигналов с нулевым математическим 
ожиданием, принимаемых на фоне негауссовых помех // Праці VІІ Міжн. 
наук.-практ. конф. «Обробка сигналів і негауссівських процесів»: Тези 
доповідей. – Черкаси: ЧДТУ, 2019, С.169-172. 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 69 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
27. Оценка параметров случайных величин методом максимизации полинома // 
Кунченко Ю.П., Лега Ю.Г.: Отв. Ред.. Быков В.И. Черкас. Инж.-технол. Ин-т. 
– Киев: Наукова думка, 1991, -180с. 
28. Ю.П. Кунченко. Критерий минимума верхней границы среднего риска для 
проверки статистических гипотез. // Тезисы доклада Всесоюзной научно-
технической конференции «Статистические методы в теории передачи и 
преобразования информационных сигналов», 1988. 
29. Кунченко Ю.П., Мельяновский П.А., Слюсаренко В.М. Применение 
функциональных полиномов для обнаружения радиосигналов на фоне 
негауссовских шумов. Харьков, 1988, 48 с, (Препринт N363, АН УССР, 
Институт радиофизики и  электроники).  
30.  Кунченко Ю.П. Моментные критерии качества принятия решений при 
проверке простых статистических гипотез.// Тезисы докладов LI научной 
сессии, посвященной Дню радио. - Москва, 1996, Ч. II. 
31.  Максимей И.В, Имитационное моделирование на ЭВМ. – М.: Радио и связь, 
1988, - 232с. 
32.  Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике. –М.: 
Сов. радио, 1971. –296с. 
33. Б.Уидроу, С.Стирнз. Адаптивная обработка сигналов. Перевод с англ. Ю.К. 
Сальникова. –М: Радио и связь, 1989. -440с. 
34. Адаптивные фильтры и их приложение в радиотехнике и связи/ В. Джиган, 
Сборник статей «Современная электроника», №9, 2009 
35. Городецкий А.Я. Информационные системы. Вероятностные модели и 
статистические решения. Учеб.пособие. СПб: Изд-во СПбГПУ, 2003. 326 c. 
36.  Гуткин Л.С. Теория оптимальных методов радиоприема при флуктуационных 
помехах. М.: Госэнергоиздат, 1961. – 485 с. 
 
 
 
Арк. 
            РТ-005.021131.248 ПЗ 70 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Репозиторій ЧДТУ
