Репозиторій ЧДТУ
Репозиторій ЧДТУ зберігає і дозволяє легкий і відкритий доступ до всіх видів цифрового контенту, включаючи текст, зображення, анімовані зображення, MPEG і набори даних
Дізнатися більше
Будь ласка, використовуйте цей ідентифікатор, щоб цитувати або посилатися на цей матеріал:
https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/8068Повний запис метаданих
| Поле DC | Значення | Мова |
|---|---|---|
| dc.contributor.advisor | Воробкало, Тетяна Василівна | - |
| dc.contributor.author | Подорожній, Антон Анатолійович | - |
| dc.date.accessioned | 2026-03-12T14:14:03Z | - |
| dc.date.available | 2026-03-12T14:14:03Z | - |
| dc.date.issued | 2021 | - |
| dc.identifier.uri | https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/8068 | - |
| dc.description.abstract | Мета роботи – знаходження спільної оцінки амплітуди радіосигналу прийнятого багатоканальною системою і статистичних характеристик асиметричної негауссівської завади методом максимізації поліному, а також дослідження точності отриманих оцінок | uk_UA |
| dc.language.iso | uk | uk_UA |
| dc.subject | амплітуда радіосигналу | uk_UA |
| dc.subject | оцінка параметру випадкової величини | uk_UA |
| dc.subject | метод максимізації поліному | uk_UA |
| dc.subject | негауссівська завада | uk_UA |
| dc.subject | коефіцієнт асиметрії | uk_UA |
| dc.title | Оцінювання амплітуди радіосигналу в умовах апріорної невизначеності статистичних характеристик асиметричної завади | uk_UA |
| dc.type | Master Thesis | uk_UA |
| Розташовується у зібраннях: | 172 Електронні комунікації та радіотехніка (Радіотехніка та робототехнічні системи) | |
Файли цього матеріалу:
| Файл | Опис | Розмір | Формат | |
|---|---|---|---|---|
| М_172_Подорожній_Воробкало.pdf Restricted Access | 1.24 MB | Adobe PDF | Переглянути/Відкрити Запит копії |
Усі матеріали в архіві електронних ресурсів захищено авторським правом, усі права збережено.
Extracted text
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ФАКУЛЬТЕТ ЕЛЕКТРОННИХ ТЕХНОЛОГІЙ І РОБОТОТЕХНІКИ
КАФЕДРА РОБОТОТЕХНІЧНИХ І ТЕЛЕКОМУНІКАЦІЙНИХ СИСТЕМ
ТА КІБЕРБЕЗПЕКИ
Допущений до захисту
“____” грудня 2021 р.
Завідувач кафедри РТСК
д.т.н., професор
_________ Палагін В.В.
Пояснювальна записка
до кваліфікаційної роботи
магіста
(освітній ступінь)
на тему: Оцінювання амплітуди радіосигналу в умовах
апріорної невизначеності статистичних характеристик
асиметричної завади
Виконав: студент 2 курсу, групи РТ-005
спеціальності
172 «Телекомунікації та радіотехніка»
(шифр і назва напряму підготовки, спеціальності)
(освітня програма – «Радіотехніка та
робототехнічні системи»)
Подорожній А.А.
(прізвище та ініціали)
Керівник Воробкало Т.В.
(прізвище та ініціали)
Рецензент Ключка К.М.
(прізвище та ініціали)
Черкаси – 2021 року
Форма № Н-9.01
ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Факультет електронних технологій і робототехніки
Кафедра Робототехнічних і телекомунікаційних систем та кібербезпеки
Освітній рівень магістр
Спеціальність 172 – Телекомунікації та радіотехніка
Освітня програма Радіотехніка та робототехнічні системи
ЗАТВЕРДЖУЮ:
Завідувач кафедри Палагін В.В.
« » 2021 р.
ЗАВДАННЯ
НА ДИПЛОМНУ РОБОТУ СТУДЕНТУ
Подорожньому Антону Анатолійовичу
(прізвище, ім’я, по батькові)
1. Тема проекту (роботи) Оцінювання амплітуди радіосигналу в умовах апріорної
невизначеності статистичних характеристик асиметричної завади
Керівник проекту (роботи) Воробкало Тетяна Василівна, к.т.н., доцент
(прізвище, ім’я, по батькові, науковий ступінь, вчене звання)
затверджені наказом по університету від « 02 » вересня 2020 р. № 244/01
2. Термін здачі студентом закінченої роботи 15.12.2021
3. Вихідні дані до проекту (роботи) Корисний сигнал – радіосигнал, вид завади –
негауссівська асиметрична завада, взаємодія сигналу та завади –
адитивна, параметри що підлягають спільному оцінюванню – амплітуда
радіосигналу, дисперсія та коефіцієнт асиметрії завади
4. Зміст розрахунково-пояснювальної записки (перелік питань, що їх належить розробити)
1. Математичні моделі корисного сигналу та завади, метод максимізації
полінома оцінювання векторного параметру векторної випадкової величини
2. Алгоритми спільного оцінювання параметрів методом максимізації поліному
3. Дослідження асимптотичних властивостей отриманих оцінок
5. Перелік графічного матеріалу (з точним зазначенням обов’язкових креслень)
1. Назва роботи, математичні моделі корисного сигналу та завади,
2. Метод максимізації полінома оцінювання параметрів
3. Системи рівнянь максимізації поліному
4. Асимптотичні властивості оцінок параметрів
6. Консультанти розділів проекту (роботи)
Прізвище, ініціали та посада Підпис, дата
Розділ
консультанта завдання видав завдання прийняв
7. Дата видачі завдання 01.09.2021
КАЛЕНДАРНИЙ ПЛАН
№ Назва етапів дипломного Строк виконання етапів
Примітка
з/п проекту (роботи) проекту (роботи)
Пошук та огляд літератури по 15.09.2021
1. оц інюванню параметрів випадкових
величин
В ивчення методів оцінювання 05.10.2021
2.
параметрів випадкових величин
Розробка алгоритмів спільного 27.10.2021
3. оц інювання параметрів методом
максимізації поліному при s =1,2,3,4
Дослідження асимптотичних 17.11.2021
4.
властивостей отриманих оцінок
5. О формлення пояснювальної записки 08.12.2021
6. О формлення плакатів 14.12.2021
Студент-дипломник Подорожній А.А.
(підпис)
Керівник проекту Воробкало Т.В.
(підпис)
ЗМІСТ
сторінка
Вступ ………………………………………………………………………………...5
1. ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ СИГНАЛУ ПРИ БАГАТОКАНАЛЬНІЙ
ОБРОБЦІ ……...…………….....................................................................................7
1.1. Амплітудний метод вимірювання координат об’єкту ………………...7
1.2. Оцінювання параметрів випадкової величини ……………….............11
1.3. Математичні моделі корисного сигналу та завади...............................13
1.4. Метод максимізації полінома для знаходження оцінки скалярного
параметра векторної випадкової величини …………………………....…..18
1.5. Метод максимізації полінома для знаходження оцінки векторного
параметра векторної випадкової величини…………………………....…...23
2. АЛГОРИТМИ СПІЛЬНОГО ОЦІНЮВАННЯ АМПЛІТУДИ
РАДІОСИГНАЛУ ТА ПАРАМЕТРІВ ЗАВАДИ МЕТОДОМ
МАКСИМІЗАЦІЇ ПОЛІНОМА ………………………………………………...27
2.1. Постановка задачі.....................................................................................27
2.2. Лінійна оцінка амплітуди радіосигналу …….………………………...28
2.3. Оцінювання параметрів методом максимізації полінома
при s = 2……………………………………………………………………...31
2.4. Знаходження оцінки параметрів при s=3……......................................36
2.5 Оцінювання параметрів при четвертому степені
стохастичного поліному………………………………………………….....43
РТ005.021.109.248 ПЗ
Змн. Лист № докум. Підпис Дата
Розроб. Подорожній А.А Оцінювання амплітуди Літ. Арк. Акрушів
А.Л.
Перевір. Воробкало Т.В. радіосигналу в умовах апріорної 3 70
невизначеності статистичних
Н. Контр. Воробкало Т.В характеристик асиметричної ЧДТУ
Затверд. Палагін В.В. завади
3. АСИМПТОТИЧНІ ВЛАСТИВОСТІ СПІЛЬНОЇ
ОЦІНКИ ПАРАМЕТРІВ РАДІОСИГНАЛУ ТА АСИМЕТРИЧНОЇ
ЗАВАДИ.....................................................................................................................51
3.1. Дисперсія лінійної оцінки амплітуди радіосигналу ……………….…51
3.2. Асимптотичні властивості оцінок параметрів випадкової
величини при s=2……………………………………………………………52
3.3. Асимптотичні властивості оцінок при третьому
степені стохастичного поліному ………………………...............................56
3.4 Дисперсії оцінок параметрів при четвертому степені
стохастичного поліному …………………….……………………………...62
ВИСНОВКИ ............................................................................................................67
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ.....................................................69
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
4
Змн Арк № докум. Підпис Дата
ВСТУП
В наш час, з високо інтенсивним розвитком електроніки та обчислювальної
техніки набуває популярності багатоканальна обробка сигналу, яка вимагає
великих апаратних та обчислювальних ресурсів. Але тепер це можливо
здійснювати за допомогою сучасної техніки та програмного забезпечення. А
завдяки багатоканальній обробці можливо отримувати результати з підвищеною
точністю. Багатоканальна обробка застосовується в різних галузях науки та
техніки: радіотехніка, радіонавігація, радіоастрономія, телекомунікації,
телебачення та ін.
За допомогою багатоканальної обробки прийнятих сигналів можливо
визначити координати та параметри руху різних об’єктів, що розташовані в
просторі навіть досить далеко [1].
В даній роботі буде розглянуто задачу визначення амплітуди радіосигналу,
що приймається багатоканальною системою. Ця задача відноситься до
статистичних задач, так як прийом та обробка корисного сигналу завжди
супроводжується наявністю різних за своєю природою походження завад. Завади,
які виникають в системі призводять до погіршення точність отриманих
результатів при обробці сигналів [2].
На практиці досить часто виникає ситуація коли статистичні
характеристики завад невідомі спостерігачу. Тоді на приймальній стороні
потрібно оцінювання не тільки параметрів прийнятого корисного сигналу, але й
параметри завади. Таке оцінювання називається сумісним, тобто розробляються
алгоритми, які дозволяють оцінювати не тільки параметр корисного сигналу але і
невідомими параметрами завади.
З теорії обробки сигналів відомо [2], що знайдені оцінки параметрів
випадкових величин повинні бути ефективними. Тому потрібно правильно
обрати метод знаходження оцінок, який буде давати достатньо точні результати
оцінювання на основі моделей випадкових величин, що спостерігаються..
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
5
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Класичною моделлю є представлення завади у вигляді гауссівської
випадкової величини, і вони розглянуті в багатьох роботах по обробці сигналів [3,
4]. Але такі моделі зазвичай не враховують всі властивості реальних завад, і тому
не дають точних результатів. Тому актуальною буде задача застосування
негауссівської моделі завади при оцінювання амплітуди радіосигналу, що
приймається багатоканальною системою.
В роботі [5] описаний метод максимізації полінома та доведена його
ефективність знаходження оцінок на випадок негауссівських завад. Даний метод
базується на застосуванні степеневих стохастичних поліномів та моделі завади у
вигляді послідовності моментних та кумулянтних функцій.
Але негауссівська модель завади охоплює досить широкий клас випадкових
величин. Тому в роботі [5] запропоновано поділ негауссівських моделей завад на
асиметричні, ексцесі та асиметрично-ексцесні, в залежності від того, які
характеристики завади мають більший вплив. В даній роботі будемо розглядати
асиметричну модель.
Тому метою даної роботи буде знаходження спільної оцінки амплітуди
радіосигналу прийнятого багатоканальною системою і статистичних
характеристик асиметричної негауссівської завади методом максимізації
поліному, а також дослідження точності отриманих оцінок.
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
6
Змн Арк № докум. Підпис Дата
1. ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ СИГНАЛУ ПРИ
БАГАТОКАНАЛЬНІЙ ОБРОБЦІ
1.1. Амплітудний метод вимірювання координат об’єкту
В радіолокації, радіонавігації широке розповсюдження знаходить задача
визначення координат та параметрів руху різноманітних об’єктів в просторі [1,2]
Вимір кутових координат заснований на визначенні кута приходу радіохвиль,
випромінених чи відбитих об'єктом. Для цього використовують радіопеленгатори.
Важливою характеристикою радіопеленгатора є його пеленгаційна
характеристика U (a) - залежність нормованої вихідної напруги приймача від
напрямку приходу радіохвиль. У залежності від того, який параметр радіосигналу
впливає на формування пеленгаційної характеристики, методи пеленгації
підрозділяють на амплітудні, фазові, частотні і комбіновані (амплітудно-фазові).
Основними з цих методів, що знайшли поширення на практиці, є перші два; їхній
ми і розглянемо.
Амплітудні методи пеленгації засновані на використанні спрямованих
властивостей антен. Якщо використовуються спрямовані властивості тільки
приймальної антени, то пеленгаційна характеристика радіопеленгатора
U (a) = k fпр (a)
де fnp(a) - коефіцієнт пропорційності. При використанні спрямованих
властивостей як приймальні, так і передавальної антени
U(а) =K'np(a)fnep(a),
де fnep(a) - ДН передавальної антени. Якщо на передачу й прийом працює одна
антена, то
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
7
Змн Арк № докум. Підпис Дата
fпер (а)= fпр (а)= f (а),
при цьому
U (a)= K ' f2(а)
Серед амплітудних методів пеленгації розрізняють методи максимуму,
мінімуму й порівняння [1]. Пеленгація методом максимуму здійснюється шляхом
сполучення напрямку максимуму пеленгаційної характеристики з напрямком на
об'єкт ао в результаті плавного обертання ДН антени; пеленг відраховується в той
момент, коли напруга на виході приймача стає максимальною. Переваги методу
максимуму: простота технічної реалізації, одержання найбільшого відношення
сигнал-шум у момент відліку пеленга. Недоліки методу: низька пеленгаційна
чутливість і, як наслідок, низька точність пеленгації.
Пеленгаційна чутливість - це здатність радіопеленгатора змінювати напруга
на виході приймача при зміні положення ДН антени щодо напрямку на об'єкт.
Чим більше зміна напруги при заданій зміні кута, тим вище пеленгаційна
чутливість. Кількісною мірою пеленгаційної чутливості є крутизна пеленгаційної
характеристики.
du(a)
Kп = a = ao
da
Якщо du - мінімальна зміна вихідної напруги приймача, що може зафіксувати
вимірювач, то абсолютна похибка виміру кутової координати
U
a
Kп
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
8
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Таким чином, чим більше крутизна пеленгаційної характеристики, тим вище
пеленгаційна чутливість і тем менше похибка виміру кута. Тому що максимум ДН
антени звичайно, "тупий", то пеленгаційна чутливість при пеленгації методом
максимуму мала і, отже, похибка виміру висока.
Пеленгація методом мінімуму здійснюється шляхом плавного обертання
ДН із різким провалом. Кут відраховується в той момент, коли напрямок
мінімуму пеленгаційної характеристики a збігається з напрямком на об'єкт ao, при
цьому напруга на виході приймача мінімальна. Крутизна пеленгаційної
характеристики в цьому випадку вище, ніж при 1 методі максимуму, тому вище і
точність пеленгації. Однак амплітуда прийнятого сигналу поблизу напрямку на
об'єкт мала, що затрудняє дальнометрію і, отже, використання методу мінімуму в
активній радіолокації. Цей метод застосовується, головним чином, у
радіонавігації при пеленгації джерел потужнього власного випромінювання.
При пеленгації методом порівняння кут визначається по співвідношенню
амплітуд двох прийнятих сигналів, що відповідають двом пересічним діаграмам
спрямованості f1(a) і f2(a). Приймач у цьому випадку двохканальный, причому
напруги на виході каналів пропорційні значенням f1(ao) і f2(ao).
S1 = K1·f1(ao)., S2 = K2·f2(ao),
Порівнюючи ці сигнали, наприклад, шляхом розподілу, знаходимо
S K f (а )
S = 1 = 1 1 о
S2 K2 f2 (ао )
Виміривши відношення S і, вирішивши рівняння відносно ао, знайдемо
шуканий кут. Перевагами методу порівняння є можливість швидкого визначення
напрямку на об'єкт (протягом одного імпульсу) у межах порівняно широкого
сектора при нерухомих антенах. Однак точність виміру може іноді виявитися
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
9
Змн Арк № докум. Підпис Дата
низкою в залежності від виду і взаємного положення ДН антен і кута приходу
радіохвиль.
S
У тому випадку, коли відношення сигналів 1 прагнуть зробити рівним
S2
одиниці, приходимо до ріавносигнального методу пеленгації. При цьому методі
ДН антеною системи повертається доти, поки об'єкт не виявиться на
S
рівносигнальному напрямку РСН, коли S = 1 =1. Переваги рівносигнального
S2
методу - порівняно висока точність пеленгації, тому що при вимірі
використовується та частина ДН, що має велику крутість. Даний метод
застосовується при автоматичному спостереженні по кутових координатах за
об'єктом, що рухається. У цьому випадку зручніше формувати не відношення
сигналів, а їхня різниця S = S1 − S2 . Система керування повертає антену (чи ДН
при нерухомій антені) у ту чи іншу сторону (у залежності від знака величини S ),
прагнучи звести неузгодженість S до нуля. При цьому рівносигнальному
напрямку буде відслідковувати зміна напрямку на об'єкт.
Методи порівняння, зокрема рівносигнальний, використовують у
багатоканальних радіопеленгаторах і в одноканальних. У першому випадку
завдяки багатоканальності приймальної системи порівняння сигналів відбувається
в той самий момент часу. В другому випадку потрібно періодично змінювати
положення ДН антени в просторі, при цьому порівнюються між собою сигнали,
прийняті в різні моменти часу при різних положеннях ДН. Одноканальні
радіопеленгатори простіше багатоканальних, однак менш завадозахищені і
забезпечують меншу точність [2]. Тому широке розповсюдження знаходить
багатоканальна пеленгація.
Як видно, при амплітудній пеленгації виникає необхідність вимірювання
амплітуди прийнятого сигналу, яку необхідно вимірювати, як змога точніше.
Тому в даної роботі розглянемо знаходження амплітуди прийнятого радіосигналу.
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
10
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Причому, так як корисний сигнал буде приймається на тлі різноманітних
завад, то задача вимірювання параметрів сигналу є статистичною, і буде
зводиться до математичного оцінювання параметрів спостерігаємої випадкової
величини. Тому в наступному пункті розглянемо поняття оцінювання параметру
випадкової величини.
1.2. Оцінювання параметрів випадкової величини
Математична задача статистичного оцінювання параметрів сигналу
ставиться наступним чином [5]. Припускається, що на проміжку часу
спостерігається випадкова величина (t) і з цієї величини береться певна вибірка,
яку позначимо x , об’ємом n. З теорії ймовірності відомо, що випадкова величина
описується функцією розподілу F(x /) , яка є певною залежністю від деякого
параметра позначеного . Нехай відомі істинні значення цих параметрів, які
позначимо вектором 0 = 10,20,...,m0. Вибірка x якби неявно (точніше
статистично) несе істинні значення параметрів розподілу.
Тоді задача оцінювання полягає в тому, що виконавши певні математичні
операції над вибірковими значеннями, потрібно знайти такі m-чисел 1,...,m , які
можливо буде прийняти за значення параметрів. Так як значення вибірки х1, х2, …
, хn є випадковими числами, то і результат їх математичної обробки теж буде
випадковим і не буде повністю співпадати з істинними значеннями цих
параметрів. Отримані шляхом такої обробки значення 1,...,m , які є функціями
від вибіркових значень 1 = 1(x1,...,xn ),...,m = m (x1,...,xn ) , і називаються
точковими оцінками векторного параметра . Бони будуть близькими до
істинних значень параметра 0 , тобто мати певну похибку.
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
11
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Таким чином можна зробити висновок, що оцінка векторного параметра і є
деяка функція від випадкових вибіркових значень. Виникає питання яку функцію
взяти. Теоретично можна взяти довільну функцію, але щоб отримані оцінки були
слушними, повинні виконуватися наступні вимоги:
1. Математичне сподівання оцінки параметру мусить відповідати
істинному значенню E(x) = 0 , ця вимога називається незміщенітю оцінки.
Але до оцінок можна пред’явити менш жорстку вимогу, а саме – оцінка
має бути тіьки асимптотично незміщеною
lim E(n) (x) = 0 .
n→
2. Оцінка мусить бути слушною
limn (x) = 0 .
n→
Тобто при n → ∞ оцінка пмусить сходитися за ймовірністю до істинного значення
параметру.
3. Середньоквадратичне відхилення, тобто дисперсія оцінки має бути
мінімальною
2
= E( − )2
0 .
На сьогодні відомо багато різних методів знаходження оцінок параметрів
випадкової величини. Це і відомі класичні методи: метод найменших квадратів,
метод моментів, метод максимальної правдоподібності. Та більш специфічні
методи, розроблені сучасними вченими, наприклад метод максимізації поліному.
Оцінки отримані даними методами обов’язково відповідають перерахованим вище
вимогам.
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
12
Змн Арк № докум. Підпис Дата
1.3. Математичні моделі корисного сигналу та завади
Так як знаходження оцінки параметрів випадкової величини здійснюється
за допомогою математичної обробки, то необхідно мати математичні моделі
випадкової величини.
Позначимо корисний радіосигнал що поступає на вхід р-го приймального
пристрою багатоканальної системи як S( p) (t) . Цей сигнал буде прийматися в
присутності завади, яку позначимо n( p) (t) . Взаємодія сигналу і завади може бути
різною. Найбільш відомою моделлю такої взаємодії є адитивна суміш, тобто сума
корисного сигналу і завади. Тоді випадкову величину, прийняту р-м приймальним
пристроєм за певний час [0,T] можна записати як
( p) (t) = S( p) (t) + n( p) (t) , p = 0,(r −1) , t0,T (1.1)
r - кількість приймальних пристроїв в багатоканальній системі.
За модель корисного сигналу S( p) (t) візьмемо радіосигнал з огинаючою
довільного виду ev тобто
S( p) (t) = a0ev cos[0 (t − р ) +0 ] (1.2)
де a0 , 0 , , 0 - параметри корисного сигналу, відповідно, амплітуда, частота,
час запізнення і початкова фаза які можуть бути, як відомими перед
знаходженням оцінки, так і невідомими.
В даній роботі будемо оцінювати амплітуду корисного радіосигналу a0 , а
всі інші параметри сигналу будемо вважати відомими.
В більшості наукових теорій в якості завад широко застосовують гауссівські
завади (тобто такі, що відповідають нормальній функції щільності розподілу). Але
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
13
Змн Арк № докум. Підпис Дата
нормальний закон розподілу є певною математичною ідеалізацією реальних
випадкових величин і не враховує в повній мірі їх характер. Тому, актуальним є
питання, як найбільше раціонально і повно описувати завади, а також
використовувати його для синтезу оптимальних алгоритмів знаходження оцінок
параметрів випадкових величин.
В роботі [6] запропоновано опис негауссівських випадкових величин за
допомогою послідовності моментів, кумулянтів та кумулянтних функцій. Саме на
використанні даного опису розроблений методи оцінки параметрів випадкових
величин, який називається методом максимізації поліному [6].
Розглянута модель випадкової величини, що спостерігається (1.1)
представлена для випадку неперервного часу. Але останнім часом широке
поширення одержують цифрові, тобто дискретні методи обробки сигналів
сигналів. Тому в роботі далі будемо розглядати модель сигналу і завади з
дискретним часом. тобто на виході кожного р-ого прийомного елемента потрібно
розташоувати аналого-цифровий перетворювач, тоді на виході будемо мати
сигнал у вигляді послідовність дискретних вибіркових значень xv( p )
xv( p ) = Sv( p ) + nv( p ), v =1,n, p = 0,(r −1), (1.3)
а дискретна модель корисного сигналу
Sv(p) = a0ev cos0 (v − p ) +0 (1.4)
Отже маємо вибіркові значення xv( p ) взяті в моменти часу v і з шагом
дискретизації рівним .. При цьому будемо вважати, що вибіркові значення
завади nv( p ) і nk ( p ) будуть незалежними випадковими величинами, що можна
отримати обравши відповідний шаг дискретизації.
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
14
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Враховуючи з (1.3) можна показати, що при багатоканальній обробці
спостерігається випадкова величина v( p) , на виході кожного p-ого приймального
пристрою рівна
v( p ) = Sv( p ) + nv( p ), , (1.5)
де nv( p ) - дискретна негауссівська випадкова величина. Відповідно до роботи [6]
вона описується послідовністю початкових моментів i( p) i-го порядку.
1( p) = 0 , 2( p) = 2
3( p) = 3 , 2
4( p) = 4 + 32 ,
5( p) = 5 +1023 (1.6)
= +15 2 3
6( p) 6 24 +103 +152
2
7( p) = 7 + 3534 + 2125 + 23
= 2 2 2
8( p) 8 + 2826 + 28023 + 354 + 56352 + 21024 +1054
2
Будемо вважати, що завади в кожному приймальному пристрої ідентичні, і
тому кумулянти не залежать від номера приймального пристрою p.
Як відомо з теорії, кумулянт третього порядку 3 характеризує асиметрію
закону розподілу і називається асиметрією, а четвертого порядку 4 - ексцес. На
практиці частіше користуються безрозмірними кумулянтами, які називаються
кумулянтними коефіцієнтами [6] і визначаються за формулою
= n (1.7)
n 0,5n
2
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
15
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Початкові моменти (1.6) буде тоді зручніше представити через кумулянтні
коефіцієнти (1.7)
1( p) = 0 , 2( p) = 2 ,
3( p) =
3/ 2
2 3 ,
2
4( p) = 2(4 + 3) , (1.8)
5( p) =
5/ 2
2 (5 +103)
3
6( p) = 2(6 +154 +102
3 +15)
= 7 / 2
7( p) 2 (3 + 3534 + 215 +1053)
4
8( p) = 2(
2 2
8 + 286 + 2803 + 354 + 5635 + 2104 +105)
Кумулянтні коефіцієнти і називаються, відповідно до своїх
3 4
характеристик, коефіцієнтами асиметрії й ексцесу [6].
Так як випадкова величина, що приймається v( p) є адитивною сумішшю
корисного сигналу та завади (1.5), то використовуючи вираз (1.8) можна знайти
початкові моменти до i -го порядку для v( p) . Отримані початкові моменти miv( p)
будуть залежати від номеру вибіркового значення v, тому позначимо початковий
момент i-го порядку p-ої випадкової величини як miv( p) :
m1v( p) = sv( p) ,
m 2
2v( p) = 2 + sv( p) ,
3
m 2
3v( p) = 23 + 3sv( p)2 + sv( p) ,
3
m 2 2 2 4
4v( p) = 2(4 + 3) + 4sv( p)23 + 6sv( p)2 + sv( p) , (1.9)
5 3
m5v( p) =
2
2 ( +10 ) + 5s 2 2
5 3 v( p) 24 +15sv( p)2 +10s2 2 3 5
v( p)23 +10sv( p)2 + sv( p) ,
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
16
Змн Арк № докум. Підпис Дата
5
m = 3 ( +15 +102 +15) + 6s 2
6v( p) 2 6 4 3 v(p) 2 (5 +103) +
3
+15s2 2 3 2 4 6
v(p)2(4 + 3) + 20sv(p)23 +15sv(p)2 + sv(p).
m = 7 / 2
7v( p) 2 (7 + 3534 + 215 +105)+105s 3 3
v( p)24 +105sv( p)2 +
+ 7s 3 3 2 2 5 / 2 2 5 / 2
v( p)26 + 70sv( p)23 + 21sv( p)2 5 + 210sv( p)2 3 + ,
+ 35s3
v( p)
2 +105s3 2 + 35s4 3/ 2 5
2 4 v( p) 2 v( p) 2 3 + 21sv( p)2 + s7
v( p)
m 4
8v( p) = 2(8 + 286 + 2802
3 + 352
4 + 5635 + 2104 +105) +
+168s 7 / 2
v( p) 2 5 + 840s 7 / 2
v( p)2 3 +
+ 8s 7 / 2 + 280s 7 / 2 2 3 2 3
v( p) 2 7 v( p)2 34 + 420sv( p)24 + 420sv( p)2 +
+ 28s2 3 + 280s2 32 + 56s3 5 / 2 + 560s3 5 / 2
v( p) 2 6 v( p) 2 3 v( p) 2 5 v( p) 2 3 +
+ 70s4 2 + 210s4 2 + 56s5 3/ 2 + 28s6
v( p) 2 4 v( p) 2 v( p) 2 3 v( p)2 + s8
v( p)
Отримані вирази досить громіздкі і ними буде важко математично
оперувати, тому в роботі [7] запропоновано обмежити число використовуваних
кумулянтних коефіцієнтів і цим самим задати певні типи випадкових величин.
Для завдання випадкових величин з відмінними від нуля заданими
кумулянтами введені так звані перфоровані випадкові величини (Perforated -
продірявлений, перфорований).
Введено поняття перфорованої випадкової величини (Perforated), це
величини, в кумулянтному описі яких частина кумулянтних коефіцієнтів
починаючи з третього порядку відмінні від нуля, частина кумулянтних
коефіцієнтів дорівнює нулю, а всі інші кумулянтні коефіцієнти вищих порядків
можуть приймати довільні значення.
З теорії відомо, що для гауссівської випадкової величини кумулянтні
коефіцієнти починаючи з третього порядку дорівнюють нулю, а відмінність їх від
нуля буде характеризувати степінь близькості негауссівської величини до
гауссівської [5]. Тому в роботі [7] запропоновано негауссівські випадкові
величини поділити на три види, на асиметричні, ексцесі та асиметрично-ексцесні
випадкові величини, а кожен вид на типи.
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
17
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Наприклад, асиметрична випадкова величиною першого типу описується
тільки параметрами дисперсією 2 і коефіцієнтом асиметрії , а асиметрична
3
величина другого типу – параметрами 2 , , . Ексцесна випадкова величина
3 5
першого типу описується 2 і коефіцієнтом ексцесу , ексцесна випадкова
4
величина другого типу – параметрами2 , , . Асиметрично-ексцесна
4 6
випадкова величина описується 2 , коефіцієнтом асиметрії і коефіцієнтом
3
ексцесу . І так далі [7].
4
В даній роботі обмежимося асиметричною випадковою величиною першого
типу.
1.4. Метод максимізації полінома для знаходження оцінки скалярного
параметра векторної випадкової величини
В роботі [5] запропоновано метод знаходження оцінок параметрів
негауссівських випадкових величин - метод максимізації полінома. Даний метод
застосовує стохастичні поліноми та враховує негауссовість випадкової величини,
що спостерігається за допомогою моментно-кумулянтного опису, розглянутого в
попередньому пункті.
В поставленій в роботі задачі для прийому випадкової величини
застосовується багатоканальний приймальний пристрій. То буде спостерігатися
векторна випадкова величина = (1),(2),...(r ) розміром r. Тому потрібно
розглянути методом максимізації поліному для знаходження оцінок параметрів
саме векторної випадкової величини.
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
18
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Нехай з випадкової величини, що спостерігається робиться вибірка
x =
x(1), x(2),...x(r ). Вона буде представляти собою вектор, компонентами якого є
також вектори x(p) , тобто вибірки з i-ої складової векторної випадкової величини
x(p) = x1(p), x2(p)...xn(p), p = 0,r −1.
Індексом (p) у вибіркового значення будемо позначати номер кскладової
векторної випадкової величини, з якої була зроблена вибірка. При цьому будемо
вважати, що x(p) це вибірка незалежних, неоднаково розподілених вибіркових
значень однакового об’єму n.
І нехай кожне вибіркове значення xv(p ) , v =1,n , р-ої складової векторного
випадкової величини, p = 0,r −1, описується послідовністю розглянутих вище
початкових моментів miv( p) , i-того порядку i =1,2s , s=1, 2, ..., які будуть залежати
від того деякого параметра . Причому вибірка робиться, коли цей параметр
приймає своє дійсне значення 0 .
Будемо вважати, що для розглянутої випадкової величини існують
початкові моменти miv( p) , і як функції параметра обмежені
miv( p) () civ( p) (a,b) ,
Також всі початкові моменти i-го порядку повинні буди двічі
диференційовані по параметрі .
Тоді можна математично показати, що на випадкок векторної випадкової
величини, для знаходження оцінки параметра випадкової величини методом
максимізації полінома потрібно застосовуват степеневий стохастичний поліном
степеня s.
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
19
Змн Арк № докум. Підпис Дата
r−1 n s
l (r)
sn (x;)= k ( p)
iv ()xi (r)
v( p) − k0 () , (1.10)
p=0v=1 i=1
( p) (r )
де коефіцієнти kiv () і k0 () відповідно дорівніюють
r−1 n s
k ( p) ()= h( p) (r)
iv iv ()d , k0 ( ( p)
) = hiv ()miv( p) ()d .
p=0v=1 i=1
( p)
А оптимальні вагові коефіцієнти полінома hiv ( ) знаходяться з рішення
системи лінійних алгебраїчних рівнянь
s
( p) ( p) d
h jv F(i, j)v () = miv( p) () , j = 1, s , (1.11)
j=1 d
де
( p)
F(i. j)v () = m(i+ j)v( p) () −miv( p) () m jv( p) () .
Як видно з (1.10), представлений поліном lsn (x; ) є функцією від n значень
x1(р), x2(р),..., xn(р). Дана функція має корисну властивість, якщо в неї замість
змінних x1(р), x2(р),..., xn(р) підставити отримані а результаті спостереження
вибіркові значення x1( p) , x2( p) ,..., xn( p) , то поліном (1.10) можна назвати
стохастичним поліномом степені s і розміром n. В цьому випадку отриманий
стохастичний поліном буде мати властивості подібні властивостям функції
правдоподібності;
1) поліном lsn (x; ) при будь-якому s і при n→ як функція параметра
буде мати максимум навколо істинного значення параметра 0 ;
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
20
Змн Арк № докум. Підпис Дата
2) відхилення максимального значення поліному lsn (x; ) від істинного
значення параметра 0 буде мати мінімальну дисперсію. при заданому степені
стохастичного поліному s.
Обидві перераховані вища властивості дозволяють знаходити оцінки
шуканого параметра , обираючи в якості оцінки ̂ таке значення аргументу ,
при якому даний стохастичний поліном досягає свого максимального значення,
так само як і в методі максимальної правдоподібності,
Тому оцінку невідомого параметра можна знаходити з розв'язку рівняння
r−1 n s
( p)
hiv ()[xi
v( p) −miv( p) ()] ˆ = 0 (1.12)
=
p=0v=1 i=1
Отже згідно методу максимізації полінома, для знаходження оцінки
скалярного параметра векторної випадкової величини потрібно розв’язати
( p)
рівняння (1.12), у якому коефіцієнти поліному hiv ( ) знаходяться з розв'язку
системи лінійних алгебраїчних рівнянь (1.11), при заданій вибірці x .
Оцінка ̂ , знайдена методом максимізації поліному буде слушною,
асимптотично незміщеною, та з мінімальною дисперсією, що знаходиться за
формулою
2 1
, (1.13)
J sn(r) (0 )
d d 2
J sn(r) (0 ) = E[ l (r) (x; )]2 = E[− l (r)
sn 0 (x; ) =
d 2 sn 0
0 d0
.
r n s
= ( p) d
hiv (0 ) miv( p) (0 )
p=1v=1 i=1 d
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
21
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Де функція позначена як J sv(r) (0 ) називається кількістю здобутої
інформації про скалярний параметр , що був знайдений методом максимізації
полінома, при обробці незалежної, неоднаково розподіленої вибірки x векторної
випадкової величини при використанні степеневого стохастичного полінома
степеня s.
Введемо наступні позначення
s s s d
jsv( p) (0) =hiv( p) ( ) h ( ) F ( p) ( ) =h ( ) m (1.14)
0 jv( p) 0 (i, j)v 0 iv( p) 0 iv( p) (0 )
i=1 j=1 i=1 d
n
J sn( p) (0 )= jsv( p) (0 ) (1.15)
v=1
В роботі [5] вираз j (0 ) (1.14) називається кількістю здобутої
sv(p)
інформації про скалярний параметр , знайдений методом максимізації полінома
з одного v-ого вибіркового значення р-ої складової векторної випадкової
величини .
А вираз J sn( p) (0 ) (1.15) називається кількістю здобутої інформації про
скалярний параметр , що був знайдений методом максимізації полінома на
основі незалежної, неоднаково розподіленої вибірки x(p) р-ої складової (p )
векторної випадкової величини .
Отже кількість всієї здобутої інформації J , в процесі оцінювання
sn(r )(0 )
параметру буде дорівнювати
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
22
Змн Арк № докум. Підпис Дата
r−1 r−1 n
J (0 )= J (0 )= j (0 ) . (1.16)
sn(r) sn( p) sv( p)
p=0 p=0v=1
З останнього виразу (1.16) бачимо, що кількість здобутої інформації
кожного вибіркового значення окремої складової векторної випадкової величини
додаються і тим самим отримується кількість здобутої інформації з вибірки
відповідної складової (p ) векторної випадкової величини. В цьому полягає
корисна властивість кількості здобутої інформації, а саме - адаптивність.
Отже розглянутий метод максимізації поліному можливо застосовувати для
знаходження оцінки одного параметру випадкової величини, при умові що всі
інші параметри апріорно відомі спостерігачу. Але в даній роботі ставиться задача
оцінювання амплітуди радіосигналу при невідомих статистичних
характеристиках завади, тобто потрібно буде знаходити оцінку векторного
параметру випадкової величини. Тому необхідно розглянути та розповсюдити
метод максимізації поліному на випадок знаходження оцінок декількох
параметрів (векторної оцінки) векторної випадкової величини, який і позглянемо
в наступному пункті.
1.5. Метод максимізації полінома на випадок знаходження оцінки
векторного параметра векторної випадкової величини
Нехай функція залежить не від одного параметру, а від векторного
параметра = 1,2 ,...g. І нехай існують початкові моменти miv( p) ( ) при всіх
i, і для цих моментів виконуються умови, аналогічні вказаним в попередньому
пункті.
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
23
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Тоді можна побудувати степеневий стохастичний поліном для векторної
випадкової величини степеня s, який має вигляд
(g ) r−1 n s
(p) i (r )
l , m =1, g (1.17)
sn( )(x; )=
m k ( )
iv(m) xv(p)−k ( )( )0 m
p=0v=1 i=1
де
r−1 n s
k ( p) ( )= h( p)
iv(m) iv(m) ( )d , k (r) ( ) = h( p)
m 0(m) iv(m) ( )miv( p) ( )d(m)
p=0v=1 i=1
а оптимальні вагові коефіцієнти h( p)
iv(m) ( ) будуть знаходитися з розв’язку
наступної системи алгебраїчних рівнянь
s
(p) (p)
h , v =1,n , p = 0,r −1 (1.18)
jv( ( ) ( )= ( )
m) F (i, j )v miv(p)
j=1 m
i =1,2s , m =1, g .
Можна математично показати, що стохастичний поліном (1.17) при заданій
вибірці x як функція векторного параметра при n→ , тобто асимптотично
має максимум у точці ̂m , що розташована в околі дійсного значення m0 . Тому,
як і при оцінці скалярної випадкової величини, в якості векторної оцінки
ˆ
параметра = ˆ ,ˆ ,...ˆ1 2 g беруться, ті значення компонент параметра ̂m , для
яких стохастичний поліном (1.17) досягає при параметрі m максимального
значення. При цьому стохастичний полін повинен бути диференційованим по
параметру m . Отже оцінку векторного параметру можна знаходити зі спільного
розв'язання наступної системи рівнянь
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
24
Змн Арк № докум. Підпис Дата
(g )
l ˆ
sn( )(x; )/= = 0 ,
m
m
яка у розгорнутому вигляді
r n s
(p)
h ( )(
i
)x −m ( )( ) = 0 , m =1, g (1.19)
iv m v iv p ˆ
/=
p=1v=1 i=1
Отже, метод максимізації полінома полягає в тому, що при знаходженні
оцінок векторного параметра векторної випадкової величини , при заданій
вибірці x оцінка векторного параметра знаходяться зі спільного розв'язання
системи рівнянь (1.19). При цьому вибірка робиться із кожної складової векторної
випадкової величини і складається з незалежних і неоднаково розподілених
( p)
вибіркових значеннях, а оптимальні коефіцієнти hiv(m) ( ) в кожному m-ому
рівнянні, знаходяться з розв'язання системи алгебраїчних рівнянь (1.18).
Оцінки векторного параметра векторної випадкової величини в цьому
випадку також будуть слушними та асимптотично при n→ незміщеним, тобто
Eˆ = Eˆ ,ˆ ,...ˆ1 2 p=0 = 10,20,...p0.
Для характеристики точності отриманих оцінок векторного параметра
однієї дисперсії оцінок недостатньо. На випадок оцінювання векторного
параметру в класі незміщених оцінок необхідно використовувати так звану
варіаційну матрицю оцінок [5].
Варіаційна матриця оцінок складових векторного параметра (g )
V ( )
sn 0
векторної випадкової величини, що знайдені методом максимізації полінома, при
n→ , тобто асимптотично дорівнює оберненій матриці J ( ) , тобто
sn(g ) 0
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
25
Змн Арк № докум. Підпис Дата
( ) g ( −1
V )= ( ) ,
sn 0 J sn(g ) 0
(m,r )
При цьому елементи J sn( )(0 ) , m, r =1, g , матриці J ( )( ) будуть
g sn g
дорівнювати
(m,r )
( (g ) (g )
J ( ) )= E l (x; )* (x; ) =
sn g sn(m) l sn(r )
m r
2
(g )
− E l ( )(x; ),
sn m
m r
які у розгорнутому виді дорівнюють
(m,r ) g n s s
( ) (p) (p) (p)
J ( ) = h ( )( )h ( )( )*F ( ) ( )=
sn g iv m jv r i, j v
p=1v=1 i=1 j=1
g n s
(p)
( )
=h m . (1.20)
iv(r ) iv( )( )p
p=1v=1 i=1 m
Матриця (m,r )
J ( ), аналогічно як і в попередньому пункті, називається
sn(g )
матрицею кількості інформації, тільки вже про векторний параметр. Дану
інформацію можна здобути із вибірки (незалежної і неоднаково розподіленої) з
векторної випадкової величини методом максимізації полінома.
В даній роботі оцінювання параметрів випадкової величини, а саме
амплітуди радіосигналу та параметрів асимптотичної завади, при багатоканальній
обробці буде знаходитися безпосередньо методом максимізації полінома на
випадок оцінювання векторного параметру векторної випадкової величини.
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
26
Змн Арк № докум. Підпис Дата
2. АЛГОРИТМИ СПІЛЬНОГО ОЦІНЮВАННЯ АМПЛІТУДИ
РАДІОСИГНАЛУ ТА ПАРАМЕТРІВ ЗАВАДИ МЕТОДОМ
МАКСИМІЗАЦІЇ ПОЛІНОМА
2.1. Постановка задачі
Розглянемо задачу оцінювання амплітуди радіосигналу при невідомих
статистичних характеристиках асиметричної завади першого типу.
Нехай корисний радіосигнал, що приймається в суміші з негауссівською
завадою надходить на багатоканальну приймальну систему. Тоді, на її виході буде
спостерігатися векторна випадкова величина
={(0) ,(1)...(r−1)} ,
де r - кількість приймальних пристроїв в багатоканальній системі.
Нехай взаємодія сигналу і завади є адитивною. Тоді на виході р-го
приймального пристрою буде спостерігається дискретна випадкова величина, що
має наступний вигляд
v( p) = Sv( p) + nv( p) , p = 0,(r −1) , (2.1)
де nv( p) - негауссівська асиметрична завада в p -ому приймальному каналі, яка
описується за допомогою моментів та кумулянтів: нульового математичного
сподівання Env( p) = 0 , дисперсії 2 і коефіцієнта асиметрії 3 . Також будемо
вважати, що статистичні характеристики завади в кожному приймальному каналі
однакові і невідомі спостерігачу. І припустимо, що негауссівські завади в
приймальних каналах є незалежними.
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
27
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Корисний радіосигнал Sv( p) , в дискретному вигляді в моменти часу v
буде описуватися математичною моделлю наступного виду
Sv(p) = a0ev cos0 (v − p ) +0 , (2.2)
де 0 ,0 , ,0 - параметри на виході p -го приймального пристрою, відповідно,
амплітуда, частота, час запізнення сигналу та початкова фаза.
Випадкова величина v( p) , що спостерігається (2.1) залежить, як від
параметрів корисного сигналу (a0 , 0 , 0 , ) так і статистичних характеристик
завади; дисперсії завади 2 і коефіцієнту асиметрії 3 . В даній роботі будемо
розглядати випадок, коли невідомими параметрами, що підлягають оцінюванню є
амплітуда радіосигналу a0 , дисперсія завади 2 і коефіцієнт асиметрії 3 , а всі
інші параметри будемо вважати точно відомими. Тобто статистичні
характеристики асиметричної завади апріорно невідомі спостерігачу.
Як вже відомо з теорії [7], що при першому степені стохастичного
поліному знайти оцінку параметрів завади 2 , 3 методом максимізації полінома
неможливо. Оцінити параметр дисперсію завади можливо починаючи з другого
степеня стохастичного поліному, а коефіцієнт асиметрії – з третього степеня.
Тому при першому степені поліному буде знаходитися лише оцінка параметру
корисного сигналу – амплітуда.
2.2. Лінійна оцінка амплітуди радіосигналу
Припустимо, що на виході кожного p -го приймального каналу робиться
вибірка з адитивної суміші радіосигналу і негауссівської завади (2.1). Параметр
v приймає значеннь 1,2, ... , n , де n - об’єм даної вибірки, і при кожному значенні
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
28
Змн Арк № докум. Підпис Дата
параметру v в кожному приймальному каналі відбувається вимірювання одного
вибіркового значення xv з випадкової величини, що спостерігається виду (2.1).
Припустимо, що вибіркові значення xv і xr при v r статистично
незалежні. Тоді при спостереження векторної випадкової величини
={(0) ,(1)...(r−1)} в кожному р-ому приймальному каналі ми можемо мати
множину неоднаково розподілених, а також статистично незалежних вибіркових
величин X p ={x1, x2 ,...xn}
xv( p) = Sv( p) + nv( p) , (2.3)
де Sv(p ) - корисний радіосигнал, що описується виразом (2.2),
- шаг дискретизації вибірки,
nv( p) - асиметрична завада в моменти часу v .
Тоді, згідно обраного методу – методу максимізації полінома, на основі
вибіркових значень xv( p) (2.3), можна знайти оцінки параметру корисного
сигналу, а саме амплітуди 0 .
Почнемо зі знаходження оцінки невідомого параметру радісигналу при
першому степені поліному. Але при s =1 не буде враховуватися негауссівський
характер завади.
Згідно методу максимізації полінома при s =1 оцінка параметра
радіосигналу знаходиться з розв'язання рівняння [7]
r−1 n
h( p)
1v (0)[xv( p) −m1v( p) (0)] = 0 , v =1,n , p = 0,r −1. (2.4)
p=0 v=1 0=ˆ 0
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
29
Змн Арк № докум. Підпис Дата
В першому розділі вже були знайдені вирази для математичного
очикування (1.7), при s =1 буде застосовуватися тільке один m ( ) , який
1v( p) 0
дорівнює
m1v( p) (0) = Sv( p) (0) ,
Згідно методу, що застосовується, оптимальні коефіцієнти h( p)
1v (0) , буд уть
знаходитися з розв'язання системи лінійних рівнянь (1.11), яка в даному випадку
буде складатися з одного рівяння і мати вигляд
h( p) ( )F ( p) dSv( p) ()
1v(m) 0 (1,1)v () =
d0
З виразу (1.9). можна знайти перший центрований корелянт
F ( p)
(1,1)v () = 2 ,
Тоді
( p) 1 dSv( p) ()
h1v (0 ) = . (2.5)
2 d0
Підставимо знайдені коефіціенти в рівняння максимізації поліному (2.4) при
першому степені. Отримали рівняння для знаходження оцінки невідомого
параметра радіосигналу
r−1 n dSv( p) ()
[xv( p) −Sv( p) ()] = 0
d
p=0 v=1 0
0 =ˆ0
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
30
Змн Арк № докум. Підпис Дата
В отримане рівняння підставмо математичну модель корисного
радіосигналу (2.2), візьмемо похідну по 0 , та отримаємо рівняння з розв’язку
якого знаходиться оцінка амплітуди радіосигналу при s =1
r−1 n
[xvev cos0(v − p ) +0 −a0e
2 2
v cos 0(v − p ) +0 ] = 0 . (2.6)
p=0 v=1 a0 =aˆ0
Отриманий вираз не складний (2.6), і з нього можна виразити в явному
вигляді значення оцінки амплітуди радіосигналу:
r−1 n
xvev cos0 (v − p ) +0
p=0 v=1
aˆ0 = . (2.7)
r−1 n
e2
v cos20 (v − p ) +0
p=0 v=1
З виразу (2.7) видно, що оцінка амплітуди сигналу a0 , знайдена методом
максимізації поліному при s =1 не залежить від статистичних характеристик
негауссівської завади, про що ми говорили раніше.
2.3. Оцінювання параметру методом максимізації полінома при s = 2
При другому степені стохастичного поліному можливо знайти оцінку, не
тільки параметру сигналу, а й дисперсію завади. Тому за відомою вибіркою X p
знаходимо сумісну оцінку векторного параметра = (a0 ,2 ) , розміром g=2.
методом максимізації полінома.
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
31
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Рівняння максимізації полінома при степені стохастичного поліному s = 2
має наступний вигляд
r−1 n r−1 n
h( p)
1v ( )[x −m ( )] + h( p) 2
v( p) 1v( p)
2v ( )[x v( p) −m2v ( )] ˆ = 0 . (2.8)
=
p=0 v=1 ˆ
= p=0 v=1
Математичні очікування відповідно до (1.9) розділу 1 дорівнюють
m 2
1v( p) ( ) = Sv( p) ( ) , m2v ( ) = Sv( p)( ) + 2 є
В цьому випадку вагові коефіцієнти h( p)
1v ( ) і h( p)
2v ( ) будуть знаходитися з
розв'язання системи з двох рівнянь
( p) ( p) dm1v ( )
h1v ( )F(1,1)v ( ) + h2v ( )F(1,2)v ( ) =
dm
(2.9)
dm ( )
h( p)
1v ( )F(1,2)v ( ) + h( p) 2v
2v ( )F(2,2)v ( ) =
dm
А центровані коррелянти розраховуються як
F(1,1)v ( ) = 2 , F(1,2)v ( ) = 1.5
2 3 + 22Sv( p)( ) ,
F 2 3/ 2
(2,2)v ( ) = 22 + 42 3Sv( p)( ) + 4 S 2
2 v( p)( ) ,
Так як система (2.9) є лінійною системою, то для її розв’язку доцільно буде
застосувати метод Крамера. Тоді, головний визначник системи (2.9) буде
дорівнювати
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
32
Змн Арк № докум. Підпис Дата
3
2 = 2(4 + 2 − 2
3 ) .
А оптимальні коефіцієнти h( p)
1v (0) і h( p)
2v (0)
1 dS
( p) v( p) ()
h1v (0 ) = [2 2 + 21.5
2 2 3Sv( p) ()],
2 d0
( p) 1 dSv( p) ()
h2v ( 1.5
0 ) = − 2 3 .
2 d0
Підставимо модель корисного радіосигналу (2.2), отримаємо
( p) 1
h ( ) = [ 2
1v 0 2 ( 4 + 2)ev cos0 (v − p ) +0 +
2
+ 21.5
2 3a
2 2
0ev cos 0 (v − p ) +0 ]
h( p) 1
2v (0 ) = − 1.5
2 3ev cos0 (v − p ) +0 (2.10)
2
Тепер отримані вагові коефіцієнти (2.10) можна підставити в рівняння
максимізації полінома (2.10), та виконаємо спрощення математичних виразів
окремо в кожному доданку
r−1 n 1 r−1 n
( p)
h1v ()[xv( p) −m 2
1v( p) ()] = [22ev cos0 (v − p ) +0 +
p=0 v=1 2 p=0v=1
+ 21.5
2 3a e2
0 v cos20 (v − p ) +0 ] [xv( p) − a0ev cos0 (v − p ) +0 ] =
1 r−1 n
= 2
[22 4ev cos0 (v − p ) +0 xv( p) −
2 p=0v=1
− 2 2
2 a0e
2
v cos 1.5 2 2
0 (v − p ) +0 + 22 3a0ev cos 0 (v − p ) +0 xv( p) −
− 21.5 2 3 3
2 3a0ev cos 0 (v − p ) +0 ]
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
33
Змн Арк № докум. Підпис Дата
r−1 n r−1 n
( p) 1
h2v ()[x2
v( p) −m2v ()] = − 1.5
2 3ev cos0 (v − p ) +0
p=0 v=1 2 p=0v=1
r−1 n
1
[x2
v( p) − a2e2 2
0 v cos 0 (v − p ) + ] = − [1.5
0 2 3ev cos0 (v − p ) +0
2 p=0v=1
x2
v( p) −
1.5
2 3a
2e3 3
0 v cos 0 (v − p ) +0 ]
Після спрощення остаточно отримаємо рівняння максимізації полінома, я
розв’язку якого можливо знайти, наближене значення, тобто оцінку амплітуди
радіосигналу
r−1 n
[(2 0.5
2 4ev cos0 (v − p ) +0 + 2 3a e2
0 v cos20 (v − p ) +0 ) xv( p) −
p=0v=1
− 3ev cos0 (v − p ) + x2 0,5 2
0 v( p) − 22 a0ev cos0 (v − p ) +0 − (2.11)
− a2e3
3 0 v cos30 (v − p ) +0 ] = 0
0 =ˆ0
Як видно з (2.11) в даному випадку (при s=2) оцінка амплітуди сигналу
â0 буде залежати і від статистичних характеристик завади, а саме, дисперсії та
коефіцієнта асиметрії.
В отриманому рівнянні (2.11) значення вибірки X p підводяться до квадрату,
тобто рівняння є нелінійним, і для його розв’язку потрібно застосовувати
чисельні методи.
Тепер синтезуємо наступне рівняння максимізації поліному, з розв’язку
якого буде знаходитися оцінка дисперсії завади.
Враховуючи що
dm1v( p)( ) dm2v( p)( )
= 0 , =1,
d2 d2
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
34
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Отримаємо вагові коефіцієнти h( p)
1v (2) і h( p)
2v (2)
h( p) 1
( 1.5
1v 2 ) = − [2 3 + 22eva0 cos0 (v − p ) +0 ]
2
( p) 1
h2v (2) = 2 .
2
Підставимо в рівняння максимізації поліному та виконаємо математичні
спрощення, отримаємо
r−1 n
(− 0.5
2 3 − 2eva0 cos0 (v − p ) +0 ) xv( p) + x2
v( p) +1/ 2a2
0 − 2 = 0 (2.12)
=ˆ2 2
p=0 v=1
Таким чином ми отримали систему з двох рівнянь, з розв’язку якої
знаходиться спільної оцінки амплітуди радіосигналу та дисперсії асиметричної
завади при другому степені полінома.
r−1 n
[(2 0.5 e cos (v − p ) + + 2 a e2 2
2 4 v 0 0 3 0 v cos 0 (v − p ) +0 ) xv( p) −
p=0v=1
− 3ev cos (v − p ) + 2 0,5 2
0 0 xv( p) − 22 a0ev cos0 (v − p ) +0 −
− 3a
2 3 3
0ev cos 0 (v − p ) +0 ] = 0
=ˆ
0 0
r−1 n
0.5
(−2 3 − 2eva0 cos0 (v − p ) + 2
0 ) xv( p) + xv( p) +1/ 2a2
0 − 2 = 0
2 =ˆ 2
p=0v=1
В отриманій системі вибіркові значення підлягають підведенню до
квадрату, тобто ця система складеться з нелінійних трансцендентних рівнянь і для
того, щоб її розв’язати необхідно використовувати чисельні методи, наприклад
метод Ньютона-Раффсона.
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
35
Змн Арк № докум. Підпис Дата
2.4. Знаходження оцінки параметрів при s=3
При третьому степені стохастичного поліному стає можливим знайти
оцінку коефіцієнта асиметрії негауссівської завади [7]. Тому як ы в попередных
пунктах, знайдемо методом максимізації полінома про відомих вибіркових
значеннях X p сумісну оцінку векторного параметра = (a0 ,2 , 3) , розмір
вектору в даному випадку складае g=3.
При третьому степені стохастичного поліному, відповідно до методу
максимізації поліному, спільна оцінка параметрів буде знаходиться з розв'язку
такої системи рівнянь
r−1 n r−1 n
( p)
h1v ( )[xv( p) −m1v( p)( )]+ h( p) 2
2v ( )[xv( p) −m2v( p)( )]+
p=0 v=1 p=0 v=1
(2.13)
r−1 n
+ ( p) 3
h
3n ( )[xv( p) −m3v( p)( )] ˆ = 0
=
p=0 v=1
Як видно з виразу (2.13), що при s = 3 кожне значення вибірки, крім того,
що підводиться в квадрат, ще й підводиться в куб, а потім всі ці отримані
значення підсумовуються з визначеними оптимальними ваговими коефіцієнтами.
( p ) ( p ) ( p )
Ці коефіцієнти позначені як h1v ( ) , h2v ( ) і h3v ( ) і знаходяться з розв'язку
наступної системи лінійних рівнянь
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
36
Змн Арк № докум. Підпис Дата
( p) dm1v( p) ( )
h1v ( )F(1,1)v ( ) + h( p)
2v ( )F ( p)
(1,2)v ( ) + h3v ( )F(1,3)v ( ) =
dm
(P) dm2v( p) ( )
h1v ( )F ( p) ( p)
(1,2)v ( ) + h2v ( )F(2,2)v ( ) + h3v ( )F(2,3)v ( ) = (2.14)
dm
h( p) ( )F ( ) + h( p) dm3v( p) ( )
1v (1,3)v 2v ( )F ( ) + h( p)
(2,3)v 3v ( )F(3,3)v ( ) =
dm
Вирази для центральних коррелянт F(1,1)v ( ) , F(1,2)v ( ) і F(2,2)v ( ) вже були
отримані в попередньому пункті. Інші функції F(i, j)v ( ) будуть мати вигляд
F ( ) = 3 2 + 3 S 2 1.5
(1,3)v 2 2 v( p)( ) + 32 3Sv( p) ( ) ,
F ( ) = 9 2.5
(2,3)v 3 2 + 62S3 2,5 2 2
v( p) ( ) + 92 3Sv( p) ( ) +122 Sv( p)( ) ,
F(3,3)v ( ) = 3 2 4
2 (93 +15) + 92Sv( p)( ) +181,5 S3
2 3 v( p)( ) +
+ 36 2 2 2,5
2Sv( p)( ) + 542 3Sv( p)( )
( p)
Так як в системі для знаходження оптимальних коефіцієнтів h1v (0) ,
h( p) ( ) h( p)
1v 0 , 1v (0) (2.14) присутні похідні перших трьох моментів, то для першого
рівняння максимізації полінома знайдемо ці похідні по параметру 0
dm1v( p) ( ) dS
v( p) ( ) dm2v( p) ( ) Sv( p) ( )
= , = 2Sv( p) ( )
d0 d0 d0 d0
dm3v( p) ( ) dSv( p) ( )
= 3[S 2
v( p) ( ) + 2 ] .
d0 d0
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
37
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Систему (2.14) також будемо розв’язувати методом Крамера. Основний
визначник системи (2.14) позначимо, як 3 . Він буде залежати від статистичних
характеристик асиметричної завади і дорівнювати
3 = 3 6
2 (4 −8 2 4
3 − 33 ) ,
Визначник 3 в роботі [7] називається об’ємом тіла стохастичного поліному
при третій степені s = 3
Тепер можна отримати і коефіцієнти h( p) ( ( p) ( p)
1v 0) , h1v (0) , h1v (0)
відповідно
4 dSv( p) ( )
h( p)
1v ( ) = 2
0 [2 (12−36 2
3 ) + 6 0,5 2 2 2
2 3Sv( p) ( )(2+ 3 3 ) +18Sv( p) ( ) 3 ] ,
3 d0
4 dS
( p) 2 v( p) ( )
h ( ) = [−3 0,5 2
2v 0 2 3 (3 3 − 2) −18S 2
v( p) ( ) 3 ],
3 d0
6 4 2 dSv( p) ( )
h( p)
3v ( ) = 2 3
0 ,
3 da0
( p)
Як видно з отриманих виразів, коефіцієнти hiv (a0) для асиметричної
випадкової величини при третьому степені поліному достатньо громіздкі, тому,
щоб спростити вигляд рівняння максимізації поліному введемо наступні
позначення
A11 =12 − 36 2 3
3 A21 = −9 3 − 6 3
A12 =12 3 +18 3
3 A22 = −18 2
3
A13 =18 2 2
3 A31 = 6 3 .
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
38
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Отже оптимальні коефіцієнти h( p)
iv (a0) приймуть вигляд
4 dS
v( p) ( )
h( p) ( ) = 2 [ A + 0,5 2
1v 0 2 11 2 Sv ( )A12 + Sv ( )A13] ,
3 d0
4 dS ( )
h( p) v( p)
2v (0 ) = 2 [ 0,5
2 A21 + Sv ( )A22] , (2.15)
3 d0
4 dS ( )
h( p) 2 v( p)
3v (0 ) = A31,
3 d0
Знайдені коефіцієнти (2.15) підставимо в рівняння максимізації полінома
(2.13) та щоб коректо спростити розглянемо окремо кожний доданок
r−1 n r−1 n 4 dSv( p) ( )
h( p) ( )[x −m ( )] = 2 [ A + 0,5
1v v( p) 1v( p) 2 11 2 Sv ( )A12 +
p=0 v=1 p=0v=1 3 d0
+ S 2
v ( )A13] [xv( p) − Sv( p) ( )]
r−1 n r−1 n 4 dSv( p) ( )
h( p)
2v ( )[x2
v( p) −m2v( p) ( )] = 0,5
2 [2 A21 + Sv ( )A22 ]
p=0 v=1 p=0v=1 3 d0
[x2 − S 2
v( p) v( p) ( ) − 2 ]
r−1 n r−1 n 4 dS ( ) 3
v( p)
h( p)
3n ( )[x3 2 3 2
v( p) −m3v( p) ( )] = A31[xv( p) − 2 3 −
p=0 v=1 p=0v=1 3 d0
−3Sv( p) ( )2 − Sv( p) ( )]
Зібравши доданки в суму отримаємо рівняння максимізації полінома для
знаходження при s = 3 оцінки амплітуди радіосигналу
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
39
Змн Арк № докум. Підпис Дата
r−1 n dS
v( p) ( )
([ A + 0,5 2
2 11 2 Sv ( )A12 + Sv ( )A13] [xv( p) − Sv( p) ( )]+
p=0v=1 d0
3
+ [ 0,5
2 A21 + Sv ( )A22 ] [x2 2 3 2
v( p) − Sv( p) ( ) − 2 ]+ A31[xv( p) − 2 3 − (2.16)
− 3Sv( p) ( )2 − Sv( p) ( )] = 0
a0 =aˆo
Так як рівняння досить громіздке, то для зменшення запису модель
корисного радіосигналу (2.4) не будемо підставляти.
Так як в даній роботі розглядається випадок, коли апріорно невідомі
параметри завади, то необхідно вивести друге рівняння системи, з розв’язку якого
визначається оцінка дисперсії асиметричної випадкової величини.
Як і в попередньому випадку почнемо з знаходження похідних трьох
перших моментів по параметру 2
dm1v( p)( ) dm2v( p)( )
= 0 , =1,
d2 d2
dm
3v( p)( ) 0.5
= 3/ 22 3 + 3Sv( p)( ) .
d2
Далі розв’язуємо систему рівнянь(2.16) методом Крамера, в результаті чого
отримаємо наступні оптимальні коефіцієнти
3.5
h( p) 3 2
( ) = 2 [−3 S ( )(1+1/ 2 2) − 4 0.5
1v 2 3 v( p) 3 2 Sv( p)( ) + 23(1+ 3/ 2 2
3 )] ,
3
33.5
h( p)( ) = 2 [3S ( ) (1+1/ 2 2) + 20.5
1v 2 v( p) 3 3 2 ] , (2.17)
3
3.5
h( p) 3
1v (2) = − 2 3 (1+1/ 2 2
3 ) ,
3
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
40
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Підставимо ці коефіцієнти рівняння максимізації полінома при s = 3, та
виконавши математичні спрощення отримаємо рівняння для знаходження оцінки
дисперсії завади
r−1 n
[−3 3 (1+1/ 2 2 )a2 2 2
3 0ev cos (v − p ) + − 4 0.5
0 0 2 a0ev cos0 (v − p ) +0 +
p=0 v=1
+ 2
2 3 (1+ 3/ 2 3 )] xv( p) + [3 3 (1+1/ 2 2
3 )a0ev cos0 (v − p ) +0 + 2 0.5 ] x2
2 v( p) −
− 2
3 (1+1/ 2 2 3 2
3 ) xv( p) + 3 (1+1/ 2 2 1.5 2 0.5 1.5
3 )2 + a02 − 22 = 0
2 =ˆ 2
І залишилася отримати трете рівняння системи для оцінювання коефіцієнта
асиметрії завади 3 .
Похідні першого та другого початкових моментів в цьому випадку будуть
дорівнювати нулю, тому що вони не залежать від коефіцієнта асиметрії.
Знайдемо похідну третього моменту по параметру 3 .
dm3v( p)( )
= 1.5
2 .
d3
h( p)( ) h( p) ( p)
Оптимальні коефіцієнти 1v 3 , 2v (3) , h3v (3) для третього рівняння
максимізації поліному знаходимо з розв’язку системи (2.15). Одержимо
3 4.5
h( p)
1v ( ) = 2 [(2 −3 2)S2 0.5 2
3 3 v( p)( ) + 42 3Sv( p)( ) + 323 − 22] ,
3
4.5
h( p) 3
( ) = 2
2v 3 [( 2
3 − 2)Sv( p)( ) − 2 0.5
2 3 ] , (2.18)
3
4.5
h( p)( ) = − 2 (2 − 2
3v 3 3 ) .
3
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
41
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Підставимо вагові коефіцієнти (2.18) та модель корисного гармонійного
сигналу (2.4) в рівняння максимізації полінома, та виконавши математичні
спрощення отримаємо наступний вираз
r−1 n
[3(2 − 3 2 )a2 2 2
3 0ev cos 0 (v − p ) + +12 0.5
0 2 3a0ev cos0 (v − p ) +0 +
p=0 v=1
+ 9 2
2 3 − 22 ] xv( p) + [3( 3 − 2)a0ev cos0 (v − p ) + − 6 0.5
0 2 3 ] x2
v( p) + .
+ ( 2 − 2) x3 − 1.5 3 + 81.5 + 3a2 0.5
3 v( p) 2 3 2 3 0 2 3 = 0
3 =ˆ3
Отже отримано всі три рівняння для систему рівнянь максимізації
поліному, з розв’язку якої можливо знайти спільну оцінку невідомих параметрів
a0 , 2 , 3 .
r−1 n dS ( )
v( p)
([ A + 0,5
2 11 2 Sv ( )A 2
12 + Sv ( )A13] [xv( p) − Sv( p) ( )] +
p=0v=1 d0
3
+ [ 0,5
2 A21 + Sv ( )A22 ] [x2 − S 2
v( p) v( p) ( ) − 3
2 ] + A31[xv( p) −
2
2 3 −
− 3Sv( p) ( )2 − Sv( p) ( )] = 0
a0=aˆo
r−1 n
[−3 2 2 2 2
3 (1+1/ 2 3 )a0ev cos 0 (v − p ) +0 − 4 0.5
2 a0ev cos0 (v − p ) +0 +
p=0v=1
+ 2 3 (1+ 3/ 2 2
3 )] xv( p) + [3 (1+1/ 2 2 )a e cos (v − p ) + + 2 0.5 ] x2
3 3 0 v 0 0 2 v( p) −
− 2
3 (1+1/ 2 2 ) x3 + 2 (1+1/ 2 2 )1.5 + a2 0.5 1.5
3 v( p) 3 3 2 0 2 − 22 = 0
2=ˆ2
r−1 n
2 2 2 2
[3(2 − 3 3 )a0ev cos 0 (v − p ) +0 +12 0.5
2 3 a0ev cos0 (v − p ) +0 +
p=0v=1
+ 92
2 0.5 2
3 − 22 ] xv( p) + [3( 3 − 2)a0ev cos0 (v − p ) +0 − 62 3 ] xv( p) +
+ ( 2 − 2) x3 − 1.5 3
3 v( p) 2 3 + 81.5
2 3 + 3a2 0.5
02 3 = 0
3=ˆ3
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
42
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Отримана система досить громіздка і складається з нелінійних та ще й
трансцендентних рівнянь. Тому цю систему можливо розв’язати тільки за
допомогою чисельних методів. Зараз існує багато різного програного
забезпечення, що дозволяє виконувати будь-які математичні розрахунки, в тому
числі і розв’язувати рівняння та системи чисельними методами. Це такі програми
як Mathematica, MathCad, MathLab та ін.
2.5 Оцінювання параметрів при четвертому степені стохастичного
поліному
При четвертому степені стохастичного полінному, також можливо оцінити
коефіцієнт асиметрії завади. Тому синтезуємо рівняння для знаходження сумісної
оцінки векторного параметра = (a0 ,2 , 3) , розміром g=3. по відоміим
вибірковим значенням X p методом максимізації полінома.
Отже сумісна оцінка амплітуди сигналу та статистичних характеристиках
завади при s = 4 буде знаходитися з розв’язку наступної системи рівнянь
r−1 n r−1 n
h( p) ( )[x −m ( )]+ h( p)
1v v( p) 1v( p) 2v ( )[x2
v( p) −m2v( p) ( )]+
p=0 v=1 p=0 v=1
(2.19)
r−1 n r−1 n
+ ( p) 3 ( p) 2
h ( )[x
3n v( p) −m3v( p) ( )]+ h4v ( )[xv( p) −m4v( p) ( )] ˆ = 0
=
p=0 v=1 p=0 v=1
Де вагові коефіцієнти h1v ( ) , h2v ( ) , h3v ( ) і h4v ( ) знаходяться з
розв'язку системи що складається з чотирьох рівнянь і має вигляд
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
43
Змн Арк № докум. Підпис Дата
( p) ( p) dm1v( p)( )
h1v ( )F(1,1)v ( ) + h2v ( )F ( ) + h( p) ( p)
(1,2)v 3v ( )F(1,3)v ( ) + h3v ( )F(1,4)v ( ) =
dm
dm
(P) ( p) ( p) 2v( p)( )
h1v ( )F(1,2)v ( ) + h2v ( )F(2,2)v ( ) + h3v ( )F(2,3)v ( ) + h( p)
3v ( )F(2,4)v ( ) =
dm
h( p) ( p) ( p) ( p) dm3v( p) ( )
1v ( )F(1,3)v ( ) + h2v ( )F(2,3)v ( ) + h3v ( )F(3,3)v ( ) + h3v ( )F(3,4)v ( ) =
dm
( p) ( p) ( p) ( p) dm4v( p) ( )
h1v ( )F(1,4)v ( ) + h2v ( )F(2,4)v ( ) + h3v ( )F(3,4)v ( ) + h3v ( )F(4,4)v ( ) =
dm
(2.20)
Центровані коррелянти до F(3,3)v ( ) вже були розраховані в попередніх
пунктах. Тому знайдемо тільки наступні коррелянти F(i ,4)v ( )
F 5 / 2
(1,4)v ( ) =102 3 +82Sv( p) ( ) + 6S 2
v( p) ( ) 3 / 2
2 3 + 4S 3
v( p) ( )2
F 3 2
(2,4)v ( ) = 2 (10 3 +12) + 56S ( ) 5 / 2
v( p) 2 3 ) + 36S 2 2
v( p)2 ( )2 +
16S 3 3 / 2
v( p) ( )2 4
3 +8Sv( p) ( )2
F ( ) =102 7 / 2 + 66S ( ) 3 2 +133S 2 5 / 2 3 2
(3,4)v 2 v( p) 2 3 v( p) ( )2 3 +84Sv( p) ( )2 +
+ 30S 4 3 / 2
v( p) ( )2 3 +12S 5
v( p) ( )2
F(4,4)v ( ) = 4
2 (280 2
3 + 96) +802S ( ) 7 / 2
v( p) 2 3 + 4S 2 3 2
v( p) ( )2 (66 3 + 96 3 ) +
+ 512S 3 5 / 2
v( p) ( )2 + 48S 5
3 v( p) ( ) 3 / 2
2 3 +16S 6
v( p) ( )2
Спочатку отримаємо рівняння максимізації поліному, з розв’язку якого
знаходеться оцінка параметру сигналу, а саме a0 .
Похідна четвертого моменту по параметру a0 буде дорівнювати
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
44
Змн Арк № докум. Підпис Дата
dm ( )
4v( p) dS ( )
= [4S 3 ( ) +12S 2.5 v( p)
v( p) v( p) ( ) + 42 3 ] .
d0 d0
Розв’яжемо систему (2.20) методом Крамера. При четвертому степені
поліному основний визначник системи має вигляд
4 = 3610
2 (8− 40 2
3 − 45 6
3 ) (2.21),
а оптимальні коефіцієнти будуть відповідно рівні
dS ( )
( p) v( p) 1
h1v (a0 ) = [ 9
2 (−540 6 4
3 −1440 3 −1728 2
3 + 288) +
da0 4
+ 8.5S ( )(3240 5 − 2592 3
2 v( p) 3 3 + 288 3 ) + 8S 2 4
2 v( p) ( )(1944 3 + 432 2
3 ) +
+ 7.5S 3 ( )(−216 5
2 v( p) 3 + 720 3
3 )]
dS ( )
h( p) v( p) 1
2v (a0 ) = [ 8.5
2 (−1620 5
3 +1296 3
3 −144 3 ) +
da0 4
+ 8
2Sv( p) ( )(−1944 4
3 − 432 2
3 ) + 7.5
2 S 2 5
v( p) ( )(224 3 −1080 3
3 )
dS ( )
h( p) v( p) 1 8 4 2 7.5 5 3
3v (a0 ) = [2 (648 3 +144 3 ) + 2 Sv( p) ( )(−260 3 + 720 3 )]
da0 4
dS 7.5
( p) v( p) ( )
h 2 5
4v (a0 ) = (54 3 −180 3
3 ) (2.22)
da0 4
Аналогічно випадку при s = 3, для спрощення записів введемо наступні
позначення
A = 540 6 −1440 4
11 3 3 −1728 2
3 + 288 ,
A12 = 3240 5
3 − 2592 3
3 + 288 3 ,
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
45
Змн Арк № докум. Підпис Дата
A13 =1944 4
3 + 432 2
3 ,
2
A 5 3
14 = −216 3 + 720 3
3
A21 = −1620 5
3 +1296 3
3 −144 3 ,
A22 = −1944 4 2
3 − 432 3 ,
A 5
23 = −224 3 −1080 3
3 ,
A31 = 648 4
3 +144 2
3
A32 = − − 260 5 3
3 + 720 3 ,
A41 = 54 5
3 −180 ,
Тоді перепишемо коефіцієнти h( p)
iv (a0 ) в наступному вигляді
dSv( p) (a( p) 0 ) 1
h 9 8.5 8 2 7.5 3
1v (a0 ) = [2 A11 + 2 Sv( p) ()A12 + 2Sv( p) ()A13 + 2 Sv( p) ()A14] ,
da0 4
( p) dS
h (a ) = v (a0 ) 1
2v 0 [ 8.5A + 8
2 21 2Sv( p) (a )A + 7.5
0 22 2 S 2
v( p) (a0 )A23] ,
da0 4
dS
( p) v( p) (a0 ) 1
h (a ) = [ 8A + 7.5
3v 0 2 31 2 Sv( p) (a0 )A32] , (2.23)
da0 4
dSv( p) (a ) 7.5
0
h( p)
4v (a0 ) = 2 A41.
a0 4
Підставимо ці коефіцієнти (2.23) в рівняння максимізації поліному (2.19).
Виконаємо математичні спрощення і отримаємо перше рівняння максимізації
полінома для системи спільного оцінювання параметрів при s = 4
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
46
Змн Арк № докум. Підпис Дата
r−1 n dSv( p) (a0 )
( [ 9 A 8.5
2 11 +2 Sv( p) ()A12 +
8 2
2Sv( p) ()A13] xv( p) +
p=0v=1 da0
+ [ 8.5
2 A21 +
8 7.5 2 2 8
2Sv( p) ()A22 + 2 Sv( p) ()A23] xv( p) + [2 A31 +
+ 7.5
2 Sv( p) ()A32 ] x3 7.5 4
v( p) + 2 A41 xv( p) ) = 0
a0=aˆ0
Модель корисного сигналу та його похідну не будемо підставляти в
рівняння щоб не загромаджувати запис.
Отримаємо друге рівняння з системи (2.19) призначене для оцінки дисперсії
випадкової величини при четвертій степені стохастичного поліному.
Похідна четвертого початкового моменту по параметру 2 буде
дорівнювати
dm
4v( p)( ) 0.5
= 62 3Sv( p)( ) + 62 .
d2
Вагові коефіцієнти в даному випадку будуть дорівнювати
7
h( p) 3
( ) = 2 [ 2S ( )(248+ 300 2 + 270 4 ) + 0.5 2
1v 2 3 v 3 3 2 Sv ( )(−340 3 −
4 ,
−128 3
3 +154 5
3 ) + S ( )(216+ 360 2
2 v 3 ) + 1.5
2 (72+ 900 2
3 + 270 4
3 )]
7
h( p) ( 2
2v 2 ) = [3S 2 3 5 0.5
v ( )(546 3 −312 3 − 248 3 ) + 2 Sv ( )(288+
4 , (2.24)
+ 360 2
3 − 690 4 2
3 ) + 2 (144−864 3 )]
7
h( p) 2 3 5
3v (2) = [Sv ( )(8643 + 325 3 − 6903 ) − 2 3 (72+ 252 2
3 + 270 4
3 )] ,
4
7
h( p) 2 2
4v (2 ) = 18 3 (4+ 3 3 )] .
4
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
47
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Підставивши, отримаємо рівняння максимізації полінома при s = 4 для
знаходження оцінки дисперсії завади
r−1 n
[ 2 3 2
S ( )[(248+ 300 2 + 270 4 ) + 0.5S ( )(−340 −128 3 +154 5
3 v( p) 3 3 2 v( p) 3 3 3 ) +
p=0v=1
+ 2
2Sv( p) ( )(216+ 360 3 ) + 1.5 2 4
2 (72+ 900 3 + 270 3 )]xv( p) +
[3S 2
v( p) ( )(546 3 −312 3
3 − 248 5
3 ) + 0.5
2 Sv( p) ( )(288+ +360 2 4
3 − 690 3 ) +
+ (144−864 2 )] x2 3 5 2 4
2 3 v( p) − [(864 3 + 325 3 − 690 3 ) − 2 3 (72+ 252 3 + 270 3 )]
x3
v( p) + 8 3 (4 + 3 2 4
3 )xv( p) − 2 5(1+ 6 2 ) + 2 2
2 3 2 (−2 + 9 / 4 3 +15/ 4 4
3 ) = 0
2 =ˆ2
Знайдемо трете рівняння системи (2.19).
Похідні 1-го та 2-го початкових моментів будуть дорівнювати нулю, тому
що ці моменти не залежать від коефіцієнта асиметрії. Похідну третього
початкового моменту ми вже знайшли в попередньому пункті, тому тепер
знайдемо похідну четвертого моменту
dm4v( p)( )
= 4 2
2Sv( p)( ) .
d3
( p) ( p) ( p)
Тепер можемо знайти оптимальні коефіцієнти h1v ( 3) , h2v ( 3) , h3v ( 3) ,
h( p)
4v ( 3) , які будуть дорівнювати
8
h( p) 2 2 4 3
1v ( 3) = [(144−120 3 + 300 3 )S ( ) + 0.5 2 4
v( p) 2 3Sv( p) ( )(48−196 3 ) +
4 ,
+ 2Sv( p) ( )(118 2
3 −54 4 ) − 1.5
3 2 (144+ 360 2
3 −900 4
3 )]
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
48
Змн Арк № докум. Підпис Дата
( p) 8
h ( ) = 2 [S 2
2v 3 v( p) ( )(126 3 + 360 3
3 − 256 5
3 ) +
4 , (2.25)
+ 0.5S ( )(144+118 2 + 54 4
2 v( p) 3 3 ) + 2 (288+1080 2
3 )]
8
h( p)
3v (3 ) = 2 [Sv( p) ( )(288+1080 4
3 ) + 0.5
2 (48+ 264 2
3 −180 4
3 )] ,
4
8
h( p)
4v ( 3 ) = − 2 72 (1− 2
3 3 )
4
Підставимо знайдені коефіцієнти (2.25) в рівняння максимізації поліному
(2.1). Виконаємо математичні перетворення і отримаємо
r−1 n
3
[(144−120 2 + 300 4 )S ( ) + 0.5 S 2 4
3 3 v( p) 2 3 v( p) ( )(48−196 3 ) +
p=0v=1
+ 2Sv( p) ( )(118 2
3 −54 4 ) − 1.5
3 2 (144+ 360 2 4
3 −900 3 )] xv( p) +
[S 2 ( )(126 3 5 0.5 2 4
v( p) 3 + 360 3 − 256 3 ) + 2 Sv( p) ( )(144+118 3 + 54 3 ) +
_ 2 (288+1080 2
3 )] x2 3 4
v( p) + [xv( p) (288+1080 3 ) +
+ 0.5
2 (48+ 264 2 −180 4 )] x3
3 3 v( p) − 72 3 (1− 2
3 ) x4
v( p) +
+ 44 2
2 −361.5
2 3Sv( p) ( ) = 0
3 =ˆ3
Отримане рівняння призначене для знаходження оцінки коефіцієнта
асиметрії завади при s = 4
Отже отримано всі три рівняння максимізації поліному системи для
знаходження сумісної оцінки амплітуди сигналу, дисперсії завади та коефіцієнта
асиметрії.
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
49
Змн Арк № докум. Підпис Дата
r−1 n dSv( p) (a0 )
( [ 9 A + 8.5 8 2
2 11 2 Sv( p) ()A12 + 2 Sv( p) ()A13 ] xv( p) +
p=0v=1 da0
+ [ 8.5 A + 8S ()A + 7.5 2 2 8
2 21 2 v( p) 22 2 Sv( p) ()A23 ] xv( p) + [2 A31 +
+ 7.5S 3
2 v( p) ()A32 ] xv( p) +
7.5
2 A41 x
4
v( p) ) = 0
a0=aˆ0
r−1 n
[ 2 3 2
S ( )[(248+ 300 2 + 270 4 ) + 0.5S ( )(−340 3 5
3 v( p) 3 3 2 v( p) 3 −128 3 +154 3 ) +
p=0v=1
+ 2 Sv( p) ( )(216+ 360 2 1.5
3 ) + 2 (72+ 900 2
3 + 270 4
3 )]xv( p) +
2
[3Sv( p) ( )(546 3 −312 3 − 248 5 ) + 0.5
3 3 2 S ( )(288+ +360 2 4
v( p) 3 − 690 3 ) +
+ 2 (144−864 2
3 )] x2 3 5
v( p) −[(864 3 + 325 3 − 690 3 ) − 2 3 (72+ 252 2
3 + 270 4
3 )]
x3
v( p) +8 3 (4+ 3 2
3 )x4
v( p) − 2 5 2
2 (1+ 6 3 ) + 2
2 (−2+ 9 / 4 2
3 +15/ 4 4
3 ) = 0
2=ˆ2
r−1 n
3
[(144−120 2 + 300 4
3 3 )S 0.5 2 4
v( p) ( ) + 2 3 Sv( p) ( )(48−196 3 ) +
p=0v=1
+ 2
2 Sv( p) ( )(118 3 −54 4
3 ) − 1.5
2 (144+ 360 2
3 −900 4
3 )] xv( p) +
[S 2
v( p) ( )(126 3 + 360 3 5 0.5
3 − 256 3 ) + 2 Sv( p) ( )(144+118 2
3 + 54 4
3 ) +
_ 2 (288+1080 2
3 )] x2 3 4
v( p) + [xv( p) (288+1080 3 ) +
+ 0.5 2 4
2 (48+ 264 3 −180 3 )] x3
v( p) − 72 3 (1− 2
3 ) x4
v( p) +
+ 44 2
2 −361.5
2 3S v( p) ( ) = 0
3=ˆ3
Отримана система ще більш громіздка ніж при s = 3 , тому її також
можливо розв’язати за допомогою чисельних методів.
Як бачимо з ростом степені поліному зростає складність рівнянь, що буде
призводити до збільшення апаратних затрат на реалізацію розробленого процесу
оцінювання параметрів. Тому необхідно провести дослідження асимптотичних
властивостей отриманих оцінок, щоб можливо було зробити висновки чи потрібні
такі апаратні затрати на знаходження сумісної оцінки параметрів корисного
сигналу та завади, чи достатньо обійтися відомими класичними методами, які
вимагають менших апаратних затрат.
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
50
Змн Арк № докум. Підпис Дата
РОЗДІЛ 3
АСИМПТОТИЧНІ ВЛАСТИВОСТІ СПІЛЬНОЇ ОЦІНКИ ПАРАМЕТРІВ
РАДІОСИГНАЛУ ТА АСИМЕТРИЧНОЇ ЗАВАДИ
3.1. Дисперсія лінійної оцінки амплітуди радіосигналу
Як відомо, основною характеристикою точності оцінювання параметру
випадкової величини є дисперсія. В першому розділі було показано, що для
знаходження дисперсії оцінки амплітуди радіосигналу, потрібно знайти
величину J sn (0 ), яка називається кількістю здобутої інформації про параметр, що
оцінюється.
При першому степені поліному s =1 кількість здобутої інформації
знаходиться за формулою
r−1 n
d
J1n ( ( p)
0 ) =h1v (0) m1v( p) (0 ) .
d
p=ov=1 0
( p)
Ви другому розділі вже були отримані вирази для коефіцієнта h1v (0) (2.5)
та похідна початкового моменту m1v( p) (0 ) . Тоді підставивши їх отримаємо
r−1 n
1
J1n (0) = e2
v cos2(0v +0 + p ) .
2 p=0v=1
Дисперсія оцінки амплітуди радіосигналу буде визначатися як обернена
величина до кількості здобутої інформації
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
51
Змн Арк № докум. Підпис Дата
1
2
(a )1 = = 2 . (3.1)
0 J r−1 n
1n (a0 )
e2
v cos2 (0v +0 + p )
p=0v=1
З отриманого виразу (3.1) бачимо, що при s=1 дисперсія оцінки амплітуди
радіосигналу залежить від наступних величин:
• дисперсії завади 2 ,
• об’єму вибірки,
• кількості приймальних елементів.
Також з формули видно, що, чим менша буде потужність завади
(характеризується 2 ) тим точнішою буде сама оцінка амплітуди радіосигналу. Та
можна зробити висновки, що збільшуючи кількість приймальних пристроїв
системи або кількість вибіркових значень можлна підвищити точність
оцінювання параметру.
3.2 Асимптотичні властивості оцінок параметрів випадкової
величини при s=2
Якщо оцінювати векторний параметр , то дисперсії для дослідження
точності оцінок буде недостатньо. В цьому випадку використовують варіаційну
матрицю, яка виступає якісною характеристикою отриманих оцінок. Варіаційна
матриця визначається як обернена матриця кількості інформації про векторний
параметр
V −1
sn(r) = J sn(r) . (3.2)
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
52
Змн Арк № докум. Підпис Дата
При s=2 формула для знаходження елементів матриці (3.2) Jn1(r) має вигляд
r−1 n r−1 n
J (m,z) ( p) dm1v ( ) dm ( )
( p)
2n(r) ( ) = h1v ( ) ˆ + h2v ( ) 2v ,
=
p=0 v=1 dm p=0 v=1 d ˆ
m =
m, z =1, g .
Визначимо окремо кожен елемент матриці кількості інформації про
параметр = (a0 ,2 ) . В другому розділі вже знайдені вагові коефіцієнти і похідні
п моментів по параметрам a0 , 2 . Тому підставимо їх в попередній вираз та
отримаємо
1.5 r−1 n dS ( )
J (1,1) 2 v( p) 0.5
2n(r) ( ) = [2 + 2 3 Sv( p) ( )] ,
2 p=0 v=1 da0
r−1 n
J (2,2) 1
2n(r) = 2 ,
2 p=0v=1
1.5 r−1 n dS ( )
J (1,2) (2,1) 2 3 v( p)
2n(r) = J2n(r) = .
2 p=0v=1 da0
Підставивши модель корисного сигналу та її похідні і виконавши
математичні спрощення, остаточно отримаємо елементи матриці кількості
здобутої інформації
r−1 n
J (1,1) 2 2 2
2n(r ) = 2 ev cos (0 (v − p ) +0 ) ,
2 (2− 3 ) p=0v=1
J (2,2) 2nr
2n(r ) = , (3.3)
3 2
2 (2− 3 )
J (1,2) (2,1)
2n(r) = J2n(r) = 0 .
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
53
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Отже матриця кількості інформації, що здобута про векторний параметр
= (a0 ,2 ) буде мати наступний вигляд
r−1 n
2e2
v cos2 (0 (v − p ) +0 ) 0
1
J = p=0v=1
2n( p) ,
2 (2 − 2 ) nr
3
0
2
Виконаємо обернення цієї матриці для отримання варіаційної матриці при
другому степені поліному
2
0
r−1 n
2 2 2
e cos ( (v − p ) + )
.V 3 v 0 0
2n(r ) = (1− ) p=0v=1 (3.4)
2 2 2
0 2
nr
Як відомо з [8] на головній діагоналі матриці (3.4) розташовані відповідні
дисперсії: амплітуди радіосигналу та дисперсії завади. Інші елементи матриці, як
бачимо, дорівнюють нулю. Це пояснюється тим, що дисперсії параметрів a0 , 2 у
разі другого степеня стохастичного поліному при спільному оцінюванні
дорівнюють дисперсіям цих параметрів, якби ми їх оцінювали окремо.
Отже дисперсія амплітуди радіосигналу дорівнює
2
2 2 3
2n(a0 ) = (1− )
r−1 n
e2 cos2 2
v (0v +0 + p )
p=0v=1
а дисперсія оцінки параметра 2 дорівнює
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
54
Змн Арк № докум. Підпис Дата
2 2 2 2
2 3
2n( = (1− ) .
2 )
nr 2
Позначимо
2
q21 =1− 3 . (3.5)
2
Вираз (3.5) в роботі [6] введений як коефіцієнт зменшення дисперсії оцінки
при другому степені по відношенню до дисперсії коли оцінка знаходиться без
врахування негауссівського характеру завади, наприклад, при s=1 або методом
моментів.
Як очевидно з (3.5) цей коефіцієнт буде меншим за одиницю. Тоді можна
зробити висновок, що при s=2 спостерігається зменшення дисперсії оцінки
амплітуди радіосигналу і дисперсії завади. Причому воно буде однакове для бох
параметрів і залежить від значення коефіцієнта асиметрії 3 .
Якщо 3 = 0 , тоді зменшення дисперсії не буде спостерігатися. Але для
асиметричних випадкових величин, згідно визначення [7], коефіцієнт асиметрії
не дорівнює нулю. На рисунку 3.1 наведено графік зміни коефіцієнта зменшення
дисперсії q21 від коефіцієнта асиметрії 3 .
Рис.3.1 Залежність q21 від 3 при s = 2 .
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
55
Змн Арк № докум. Підпис Дата
З рисунку 3.1. бачимо, що коли коефіцієнт асиметрії 3 прямує до границі
області своїх допустимих значень 1.414 (значення розраховане в роботі [7])
досягається значне зменшення дисперсії отриманих оцінок, тобто точність буде
вищою в порівнянні з випадком якби не враховували в моделі завади значення
коефіцієнта асиметрії.
3.3. Асимптотичні властивості оцінок при третьому степені
стохастичного поліному
При s = 3 спочатку знайдемо матрицю кількості здобутої інформації.
Елементи цієї матриці J (m,z)
3n(r) ( ) будуть знаходитися по формулі
r−1 n dm ( ) r−1 n
J (m,z) ( ) = h( p) ( ) 1v + h( p) dm
( ) 2v ( )
3n(r) 1v ˆ +
= 2v ˆ
p=0 v=1 dm p=0 v=1 dm =
r−1 n
+ h( p) dm ( )
3v ( ) 3v , m, z =1, g
ˆ
p=0 v=1 dm =
Так як при третьому степені поліному знаходиться спільна оцінка 3-х
параметрів амплітуди радіосигналу a0 , дисперсії 2 та коефіцієнта асиметрії
завади 3 то розмірність векторного параметру, що підлягає оцінюванню буде
дорівнювати трьом ( g = 3),
В другому розділі були вже отримані оптимальні коефіцієнти та похідні
початкових моментів по параметрам a0 , 2 , 3 , тому підставивши їх в
попереднью формулу, отримаємо
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
56
Змн Арк № докум. Підпис Дата
2
2(2−3 2 ) 1 r−1 n dSv( p) ()
J (1,1)
3n(r) =
3 ,
2
2 (4−8 2 −3 4
3 3 ) 2 p=0v=1 da0
2 4 2
J (2,2) nr(8− 63 − 33 ) nr(2 − )
3n(r) = , J (3,3) = 3
3n(r)
4 2
2 (4 −8 2
3 − 3 4
3 ) 3(4 −8 2
3 − 3 4
3 )
J (1,2) (2,1)
3n(r) = J3n(r) = J (1,3) = J (3,1)
3n(r) 3n(r) = 0 .
nr (2 + 2
J (2,3) = J (3,2) = − 3 3 )
3n(r) 3n(r)
2 2 4
2 (4 −83 −33 )
Тоді матриця кількості здобутої інформації про векторний параметр
= (a0 ,2 , 3) буде мати вигляд
J (1,1)
3n(r) 0 0
J (2,2) (2,3)
3n(r) = 0 J3n(r) J3n(r) (3.6)
0 J (3,2) (3,3)
3n(r) J3n(r)
Далі знайдемо елементи оберненої матриці кількості інформації (3.6) яких
можна скласти варіаційну матрицю.
Як вже казали раніше, що на головній діагоналі варіаційної матриці
розташовані дисперсії відповідних параметрів. Тому в першу чергу знайдемо саме
елементи головної діагоналі матриці для дослідження асимптотичних
властивостей сумісної оцінки параметрів.
Перший діагональний елемент матриці буде дорівнювати
2 2
V (1,1)
= 2 3 (2 + 3
1− 3 )
3n(r ) .
r−1 n 2
e2
cos2 ( (v − p ) + )
2(2 − 3 3 )
v 0 0
p=0v=1
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
57
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Позначимо
2 (2+ 3 2 )
q =1− 3 3 . (3.7)
31(a0 )
2(2−3 2
3 )
Вираз (3.7) є коефіцієнт зменшення дисперсії оцінки параметру при
третьому степені поліному по відношенню до дисперсії коли оцінка знаходилася
при гауссівській заваді [6].
Тоді дисперсію оцінки амплітуди радіосигналу при s = 3 можна записати як
2 (1,1)
3n(a =V = 2 q .
0 ) 3n(r ) r−1 n 31(a0 )
e2
v cos2 (0 (v − p ) +0 )
p=0v=1
Побудуємо графік залежності введеного коефіцієнта q31(a ) (3.7) від
0
коефіцієнта асиметрії 3 (Рис. 3.2)
Рис 3.2. Залежність q31(a ) від 3 при s = 3
0
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
58
Змн Арк № докум. Підпис Дата
З рисунку 3.2. бочимо, якщо коефіцієнт асиметрії 3 прямувє до границі
області своїх допустимих значень (0,6561 [7]) досягається значне зменшення
дисперсії оцінки параметру a0 .
Знайдемо другий діагональний елемент варіаційної матриці. Це буде
дисперсія оцінки параметра завади 2
2 2
V (2,2) 2
3n(r) =
2 2 3
3n(2 ) = 1− .
nr
2
Позначимо
2
q
= 1− 3 . (3.8)
31( 2 ) 2
З даного виразу (3.8) бачимо, що при спільному оцінюванні методом
максимізації полінома дисперсія оцінки параметра завади 2 буде меншою в
порівнянні з дисперсією оцінки знайденої методом моментів [7].
Коефіцієнт (3.8) співпадає з коефіцієнтом зменшення дисперсії при s = 2
q21 (3.5) Але це не означає що точність при s = 2 та s = 3 буде однакова. Будуть
відрізнятися області визначення параметру 3 . При s = 2 область визначення
складає [-1,414; 1.414], а при s = 3 - [-0,6561; 0,6561]. Тому графік залежності
коефіцієнта ефективності q
31( від 3 при s = 3 буде мати наступний вигляд
2 )
(рис. 3.3).
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
59
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Рис. 3.3. Залежність q31( ) від 3 при s −3
2
Отже бачимо (рис. 3.3), що дисперсія оцінки параметра завади 2 при
спільному оцінюванні буде меншою за дисперсію оцінки отриманої методом
моментів, але з ростом 3 вона не прямує до нуля, як при окремому оцінюванні
даного параметру [7], а тільки трохи зменшується. Тобто спостерігається незначне
зменшення дисперсії оцінки параметра завади 2 при спільному оцінюванні в
порівнянні з дисперсією оцінки цього ж параменту знайденої класичним методом,
методом моментів.
Третій елемент основної діагоналі варіаційної матриці буде відповідати
дисперсії оцінки коефіцієнта асиметрії 3 . Знайдемо його
1 3(4 + 4
(3,3) 3 + 4 2)
V 3
3n(r) = 1− . (3.9)
nr 2
2(10−93 )
Позначимо
3(4 + 4
3 + 4 2
q 3 )
31( =1− .
3 )
2(10− 9 2
3 )
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
60
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Тобто дисперсія оцінки параметра 3 дорівнює
q
2 31( 3 )
3n( ) =
3 nr
На рисунку 3.4. побудовано графік залежності зменшення дисперсії оцінки
параметра коефіцієнта асиметрії 3 до дисперсії оцінки даного параметру
знайденої методом моментів при спільному оцінюванні параметрів.
Рис. 3.4. Залежність q31( ) від 3 при s = 3
3
З графіку бачимо (рис. 3.4.), що в даному випадку дисперсія оцінки ̂3 не
прямує до нуля при прямуванні коефіцієнта асиметрії до свого граничного
значення (0,6561 [7]), а приймає практично постійне значення у всій області
допустимих значень. Це значення приблизно в 2,5 раз менше дисперсії оцінки,
знайденої методом моментів. як у випадку окремого оцінювання. Тобто при
спільному оцінюванні параметрів завади оцінка буде гіршою ніж при їх окремому
оцінюванні.
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
61
Змн Арк № докум. Підпис Дата
3.4. Дисперсії оцінок параметрів при четвертому степені стохастичного
поліному
Аналогічно знайдемо дисперсії отриманих в другому розділі оцінок
амплітуди радіосигналу, дисперсії та коефіцієнта асиметрії завади при їх
сумісному оцінюванні при четвертому степені поліному s = 4 .
В даному випадку елементи матриці кількості здобутої інформації J (m,z)
4n(r) ( )
будуть знаходитися по формулі
r−1 n dm ( ) r−1 n dm ( )
J (m,z) ( p) ( p)
4n(r) ( ) = h1v ( ) 1v ˆ + h 2v
= 2v ( ) +
ˆ
p=0 v=1 dm p=0 v=1 dm =
r−1 n dm ( ) r−1 n
( p) 3v ( p) dm4v ( )
+ h3v ( ) + h4v ( ) .
p=0 v=1 d ˆ d ˆ
m = p=0 v=1 m =
Аналогічно, як і при s = 3 розмірність векторного параметру, що підлягає
оцінюванню буде g = 3 .
( p)
Вагові коефіцієнти hiv ( ) та похідні початкових моментів по параметрам
a0 , 2 , 3 були вже отримані в попередньому розділі. Підставимо їх, та
виконаємо математичні спрощення, отримаємо значення елементів матриці
кількості здобутої інформації
(8−36 2 +18 4 2
r−1 n dS
(1,1)
3 3 ) 1 v( p) ()
J4n(r) = ,
2 (8− 40 2 6
2 3 − 45 3 ) 2 p=0v=1 da0
(2,2) nr(16− 60 2
3 − 6 4
3 − 45 4
J 3 )
4n(r) = ,
4 2
2 (8− 40 2 − 45 6
3 3 )
2 4
J (3,3) nr(4 + 223 −153 )
4n(r) = , (3.10)
3(8− 40 2 − 45 6
3 3 )
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
62
Змн Арк № докум. Підпис Дата
J (1,2) = J (2,1) = J (1,3) = J (3,1)
4n(r) 4n(r) 4n(r) 4n(r) = 0 ,
2 4
J (2,3) (3,2) nr3 (4 +143 +153 )
4n(r) = J4n(r) = − .
2 (8− 40 2 − 45 6
2 3 3 )
Отже, при s = 4) вигляд матриці кількості інформації, що здобута про
векторний параметр = (a0 ,2 , 3) буде мати вигляд
J (1,1)
4n(r) 0 0
J = 0 J (2,2) (2,3)
4n(r) 4n(r) J4n(r)
0 J (3,2) (3,3)
4n(r) J4n(r)
Як бачимо він повністю співпадає з виглядом такої ж матриці при s = 3
(3.6),
Знайдемо дисперсії оцінок параметрів, що підлягали спільному оцінюванні.
Дисперсія оцінки амплітуди радіосигналу при спільному оцінюванні буде
такою ж самою як і дисперсія при окремому оцінюванні, це пояснюється тим що
елементи матриці дорівнюють нулю J (1,2) = J (2,1) (1,3) (3,1)
4n(r) 4n(r) = J4n(r) = J4n(r) = 0 .
2
2
4n(a ) = q
0 r−1 n 41(a ) , 0
2
ev cos2 (0 (v − p ) +0 )
p=0v=1
де
2 2 2 4
q =1− 3 (2−3 3 +18 3 )
41(a . (3.11)
0 )
8−36 2
3 − 6 4 6
3 −9 3
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
63
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Вираз (3.11) є відомий коефіцієнт зменшення дисперсії оцінки амплітуди
радіосигналу при s = 4 по відношенню до дисперсії цього ж параметру коли
оцінка знаходиться при гауссівданого ській заваді [7]. Графік залежності
коефіцієнта ефективності q41(a ) від коефіцієнта асиметрії
0 3 зображений на
рисунку 3.5.
Рис. 3.5. Залежність q41(a ) від при s = 4
0 3
З побудованого графіку (рис. 3.5) видно, що є зменшення дисперсії оцінки
параметру, причому при прямуванні 3 до межі припустимих значень
3 →0,4382 дисперсія оцінки амплітуди радіосигналу буде прямувати до нуля,
тобто спостерігається значне зменшення дисперсії.
Знайдемо другий елемент діагоналі варіаційної матриці, тобто дисперсію
оцінки параметра завади 2 при спільному оцінюванні з амплітудою сигнала та
дисперсією завади при s = 4
2 2 2 2 2 + 9 4
= 2 1− 3 3
4n( ) .
2 nr
4(1+ 6 2
3 )
Позначимо
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
64
Змн Арк № докум. Підпис Дата
2 2 + 9 4
q =1− 3 3
41( 2 )
4(1+ 6 2
3 )
Побудуємо графік залежності цього коефіцієнта q від коефіцієнта
41(2 )
асиметрії завади 3 (рис. 3.6).
Рис. 3.6. Залежність q від при
41( ) 3 s = 4
2
З рисунку 3.6. бачимо, що при s = 4 також спостерігається зменшення
дисперсії оцінки параметра 2 при сумісному оцінюванні параметрів a0 ,2 , 3
методом максимізації поліному в порівнянні з методом моментів.
Знайдемо третій діагональний елемент варіаційної матриці, тобто дисперсію
оцінки коефіцієнта 3 при супільному оцінюванні параметрів асиметричної
випадкової величини при s = 4
2 1 − 40+ 228 2
3 −18 4
3 −135 6
4n( ) = 1− 3 .
3 nr 8(1+ 6 2
3 )
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
65
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Позначимо
− 40+ 228 2 −18 4 6
q =1− 3 3 −135 3
41( 3 )
8(1+ 6 2
3 )
Побудуємо графік залежності q від при
41( ) 3 s = 4
3
Рис. 3.7. Залежність q від 3 при
41( 3 ) s = 4
З графіка бачимо, що дисперсія оцінки коефіцієнта асиметрії завади 3
знайденої методом максимізації поліному буде значно меншою за дисперсію
оцінки знайденої методом моментів при спільному оцінюванні параметрів завади.
Отже, проаналізувавши отримані результати можна сказати, що при
степенях поліному s = 3,4 дисперсія оцінки параметра a0 при спільному
оцінюванні зі статистичними характеристиками асиметричної завади буде
співпадати з дисперсією при окремому оцінюванні цього параметру. Дисперсії
оцінок характеристик завади 2 , 3 при спільному оцінюванні будуть більшими
чим при їх окремому оцінюванні. Але в цілому, оцінки параметрів a0 , 2 , 3 ,
знайдені методом максимізації поліному будуть більш точними ніж класичні,
знайдені при гауссівському характері розподілу випадкової величини, що
спостерігається.
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
66
Змн Арк № докум. Підпис Дата
ВИСНОВКИ
В даній кваліфікаційній роботі синтезовані алгоритми спільного оцінювання
амплітуди радіосигналу та статистичних характеристик асиметричної завади при
застосуванні багатоканальної обробки випадкової величини.
У цьому випадку спостерігається векторна випадкова величина. Вона
представляє собою адитивну суміш корисного сигналу та завади. В якості
корисного сигналу розглянуто радіосигнал так як він, достатньо широко
застосовується в радіотехніці. В якості завади розглянуто негауссівську
асиметричну заваду. Цей тип завади дозволяє більш точно описати реальну
заваду, так як враховує коефіцієнт асиметрії завади, який для гауссівської
величини дорівнює нулю.
Для знаходження оцінок обрано метод максимізації поліному, який
базується на використанні степеневих стохастичних поліномів, і дозволяє
знаходити більш точно оцінки параметрів завдяки завдяки врахуванню
кумулянтних коефіцієнтів вищих порядків.
При першому степені стохастичного поліному знайдено оцінку параметру
корисного сигналу амплітуди, але отриманий алгоритм не дозволяє знайти
спільну оцінку з параметрами завади та врахувати негауссівський характер
завади.
При другому степені полінома синтезовано алгоритм спільного оцінювання
амплітуди радіосигналу та дисперсії завади, при третьому та четвертому степенях
алгоритми дозволяють оцінити вже три параметри: амплітуду сигналу, дисперсію
завади та коефіцієнт асиметрії. Отримані методом максимізації поліному рівняння
для знаходження оцінок параметрів при s = 2,3,4 залежать, як від параметрів
самого сигналу так і від параметрів негауссівської завади. Тому оцінка теж
залежить від цих параметрів і враховується негауссівський характер завади.
Отримані системи рівнянь є нелінійними і досить громіздкими. Для
знаходження оцінок амплітуди радіосигналу, дисперсії та коефіцієнта асиметрії
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
67
Змн Арк № докум. Підпис Дата
завади при багатоканальній обробці їх потрібно розв’язувати за допомогою
чисельних методів, що можна здійснити використовуючи сучасні програмні
засоби такі, як Mathematica, MathCad, MathLab та ін..
Також в роботі проведено дослідження асимптотичних властивостей
синтезованих алгоритмів спільного оцінювання параметрі. Показано, що при
степенях s = 2,3,4 дисперсія оцінки амплітуди при спільному оцінюванні з
характеристиками асиметричної завади буде дорівнювати дисперсії при окремому
оцінюванні цього параметру. Значення дисперсії амплітуди сигналу буде
залежати від коефіцієнта асиметрії завади, тому побудовані графіки залежності
коефіцієнтів зменшення дисперсії оцінки амплітуди від коефіцієнта асиметрії. З
яких видно, що з ростом степеня стохастичного поліному дисперсія оцінки
амплітуди сигналу зменшується. Причому це зменшення буде залежати від
значень коефіцієнта асиметрії завади. Найбільше зменшення дисперсії будемо
спостерігати коли значеня кумулянтного коефіцієнта прямує до границі області
визначення допустимих значень.
Дисперсії оцінок параметрів дисперсії завади та коефіцієнта асиметрїї при
спільному оцінюванні будуть більшими чим при їх окремому оцінюванні.
Незважаючи на це вони будуть в цілому менші, і зменшуються також з ростом
степеня стохастичного поліному, при порівнянні з оцінками цих же параметрів
знайдених методом моментів.
Тому на основі отриманих в даній роботі алгоритмів оцінювання параметрів
випадкових величин можна побудувати високоточні пристрої, які дозволять
вимірювати амплітуди радіосигналів при невідомих статистичних
характеристиках завад.
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
68
Змн Арк № докум. Підпис Дата
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
1. Сосулин Ю.Г. Теоретические основы радиолокации и радионавигации. –
Москва. Радио и связь. 1992. – 303 с.
2. Ширман Я.Д., Манжос В.Н. Теория и техника обработки радиолокационной
информации на фоне помех. – М.: Радио и связь, 1981.-416 с..
3. Журавлёв А.К., Лукошкин А.П., Поддубный С.С. Обработка сигналов в
адаптивных антенных решётках. - Л.: Изд-во Ленингр. университета, 1983.-
240 с.
4. Радио технические системы. Под ред. проф. Ю.М. Казаринова. - М.:
Высшая школа, 1990. – 496 с.
5. Кунченко Ю.П., Лега Ю.Г. Оценка параметров методом максимизации
полинома К.: Наукова думка, 1992.-180с.
6. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ негауссовых сигналов и их
преобразование. М.: Сов. Радио.1978.-376с.
7. Кунченко Ю.П. Полиномиальные оценки параметров близких к
гауссовским случайных величин. Часть 1. Стохастические полиномы, их
свойства и применения для нахождения оценок параметров. - Черкассы:
ЧИТИ, 2001. –252 с.
8. Кунченко Ю.П. Полиномиальные оценки параметров близких к
гауссовским случайных величин. Часть 2. Оценка параметров близких к
гауссовским случайных величин. - Черкассы: ЧИТИ, 2001. –133 с.
9. Кунченко Ю.П., Прокопенко Т.В. Применение метода максимизации
полинома для оценки параметров сигналов, принимаемых многоэлементной
антенной решеткой. // Радиофизика и электроника. – 2002. – Т. 7, №2. –
С. 415–418.
10. Воробкало Т. В. Сумісна оцінка параметрів гармонійного сигналу, що
приймається антенною решіткою на тлі негауссівських завад. //
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
69
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Международная научно–практическая конференция «Системы и средства
передачи и обработки информации».– Черкассы: ЧДТУ, 2005. – С. 131–133
11. Kunchenko Y.P., Danyk V.A., Prokopenko T.V.. The accuracy of the joint
estimation of parameters of signal by the antenna arrays at non-Gaussian
interference. // Proceeding of the 3rd International Conference on Antenna
Theory and Techniques, Sevastopil, Ukraint, - 1999, p.p. 217-218
12. Теория вероятностей : справочник / М. А. Плескунов, Л. В. Корчёмкина. -
Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2017. — 136 с.
13. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика - М.,
Высш.шк., 2003.- 479 с.
14. Методичні вказівки до виконання випускних робіт бакалавра та дипломних
робіт для студентів напряму підготовки та спеціальності «Радіотехніка»
освітньо- кваліфікаційних рівнів «бакалавр», «спеціаліст», «магістр» усіх
форм навчання / Укл. В.В. Палагін, В.В. Філіпов. – Черкаси: ЧДТУ, 2016. –
53 с.
Арк
РТ005.021.109.248 ПЗ
70
Змн Арк № докум. Підпис Дата