Розробка нелінійних алгоритмів оцінювання амплітуди радіосигналу при невідомих статистичних характеристиках ексцесної завади

Міщенко, Валентин Валерійович
Please use this identifier to cite or link to this item: https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/8074
Full metadata record
DC Field	Value	Language
dc.contributor.advisor	Воробкало, Тетяна Василівна	-
dc.contributor.author	Міщенко, Валентин Валерійович	-
dc.date.accessioned	2026-03-12T14:30:22Z	-
dc.date.available	2026-03-12T14:30:22Z	-
dc.date.issued	2022	-
dc.identifier.uri	https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/8074	-
dc.description.abstract	Мета роботи – знаходження спільної оцінки амплітуди радіосигналу прийнятого багатоканальною системою і статистичних характеристик негауссівської ексцесної завади методом максимізації поліному та дослідження точності отриманих оцінок	uk_UA
dc.language.iso	uk	uk_UA
dc.subject	амплітуда радіосигналу	uk_UA
dc.subject	оцінка параметру випадкової величини	uk_UA
dc.subject	метод максимізації поліному	uk_UA
dc.subject	негауссівська завада	uk_UA
dc.subject	коефіцієнт ексцесу	uk_UA
dc.title	Розробка нелінійних алгоритмів оцінювання амплітуди радіосигналу при невідомих статистичних характеристиках ексцесної завади	uk_UA
dc.type	Master Thesis	uk_UA
Appears in Collections:	172 Електронні комунікації та радіотехніка (Радіотехніка та робототехнічні системи)
Files in This Item:
File	Description	Size	Format
М_172_Міщенко_Воробкало.pdf Restricted Access		1.38 MB	Adobe PDF	View/Open Request a copy
Show simple item record
Extracted text
 
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ 
ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ 
ФАКУЛЬТЕТ ЕЛЕКТРОННИХ ТЕХНОЛОГІЙ, АВТОТРАНСПОРТУ ТА 
МАШИНОБУДУВАННЯ 
КАФЕДРА РОБОТОТЕХНІЧНИХ І ТЕЛЕКОМУНІКАЦІЙНИХ СИСТЕМ 
ТА КІБЕРБЕЗПЕКИ 
 
 
Допущений до захисту  
“____”  грудня  2022 р. 
Завідувач кафедри РТСК  
д.т.н., професор  
_________  Палагін В.В. 
 
 
Пояснювальна записка 
до кваліфікаційної роботи 
 магіста  
(освітній ступінь) 
 
 
на тему:  
Розробка нелінійних алгоритмів оцінювання амплітуди 
радіосигналу при невідомих статистичних характеристиках 
ексцесної завади 
 
 
Виконав: студент  2  курсу, групи РТ-015  
спеціальності 
172 «Телекомунікації та радіотехніка»  
(шифр і назва напряму підготовки, спеціальності) 
(освітня програма – «Радіотехніка та  
робототехнічні системи»)  
 Міщенко В.В.  
(прізвище та ініціали) 
Керівник  Воробкало Т.В.  
(прізвище та ініціали) 
Рецензент  Ключка К.М.  
(прізвище та ініціали) 
 
 
 
 
 
Черкаси – 2022 року 
Форма № Н-9.01 
ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ  
 
Факультет електронних технологій, автотранспорту і машинобудування 
Кафедра робототехнічних і телекомунікаційних систем та кібербезпеки  
Освітній рівень магістр 
Спеціальність 172 – Телекомунікації та радіотехніка 
Освітня програма Радіотехніка та робототехнічні системи 
  
ЗАТВЕРДЖУЮ: 
 Завідувач кафедри Палагін В.В. 
 «  »   2022 р. 
 
ЗАВДАННЯ 
НА ДИПЛОМНУ РОБОТУ СТУДЕНТУ 
Міщенко Валентину Валерійовичу 
(прізвище, ім’я, по батькові) 
1. Тема проекту (роботи) Розробка нелінійних алгоритмів оцінювання амплітуди 
радіосигналу при невідомих статистичних характеристиках ексцесної завади 
 
Керівник проекту (роботи) Воробкало Тетяна Василівна, к.т.н., доцент 
 (прізвище, ім’я, по батькові, науковий ступінь, вчене звання) 
затверджені наказом по університету від « 13 » вересня  2022 р. № 234/04 
2. Термін здачі студентом закінченої роботи 09.12.2022 
3. Вихідні дані до проекту (роботи) Корисний сигнал – радіосигнал, вид завади – 
негауссівська ексцесна завада, взаємодія сигналу та завади –  
адитивна, параметри що підлягають спільному оцінюванню – амплітуда  
радіосигналу, дисперсія та коефіцієнт ексцесу завади 
4. Зміст розрахунково-пояснювальної записки (перелік питань, що їх належить розробити) 
1. Математичні моделі корисного сигналу та завади, метод максимізації 
полінома оцінювання векторного параметру векторної випадкової величини 
2. Алгоритми спільного оцінювання параметрів методом максимізації поліному 
3. Дослідження асимптотичних властивостей отриманих оцінок  
5. Перелік графічного матеріалу (з точним зазначенням обов’язкових креслень)  
1. Назва роботи, математичні моделі корисного сигналу та завади,  
2.  Метод максимізації полінома оцінювання параметрів  
3. Системи рівнянь максимізації поліному  
4. Асимптотичні властивості оцінок параметрів 
 
 
6. Консультанти розділів проекту (роботи) 
Прізвище, ініціали та посада Підпис, дата 
Розділ 
консультанта завдання видав завдання прийняв 
   
 
    
    
    
 
   
    
    
 
7. Дата видачі завдання 13.09.2022 
 
КАЛЕНДАРНИЙ ПЛАН 
№ Назва етапів дипломного Строк виконання етапів 
Примітка 
з/п проекту (роботи) проекту (роботи) 
 
Пошук та огляд літератури по 20.09.2022 
1. оц інюванню параметрів випадкових 
величин 
 В ивчення методів оцінювання 05.10.2022 
2.  
параметрів випадкових величин 
Розробка алгоритмів спільного 27.10.2022 
3. оц інювання параметрів методом  
максимізації поліному при s =1,2,3,4  
Дослідження асимптотичних 15.11.2022 
4.   
властивостей отриманих оцінок 
5. О формлення пояснювальної записки 28.11.2022  
6. О формлення плакатів 08.12.202  
    
    
    
    
    
  
 Студент-дипломник Міщенко В.В.  
 
   (підпис)  
  
 Керівник проекту Воробкало Т.В.  
 
   (підпис)  
 
 
 
ЗМІСТ 
сторінка 
Вступ ………………………………………………………………………………...5 
 
1. ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ СИГНАЛІВ В РАДІОТЕХНІЧНИХ 
СИСТЕМАХ ……...……………...............................................................................7 
1.1. Радіотехнічні системи ………………...7 
1.2. Фізичні основи радіолокації та радіонавігації ………………................9 
1.3. Постановка задачі оцінювання амплітуди прийнятого  
корисного радіосигналу..................................................................................10 
1.4. Класичні методи знаходження оцінок параметрів сигналів…………12 
1.5. Метод максимізації полінома …………………………....….................16 
 
2. АЛГОРИТМИ ОЦІНЮВАННЯ АМПЛІТУДИ РАДІОСИГНАЛУ 
 ТА ПАРАМЕТРІВ ЗАВАДИ МЕТОДОМ МАКСИМІЗАЦІЇ  
ПОЛІНОМА ……………………………………………….....................................25 
2.1. Постановка задачі.....................................................................................25 
2.2.  Розрахунок початкових моментів ексцесної випадкової 
величини……………………………………………………………………...27 
2.3. Оцінка амплітуди гармонічного сигналу при першому степені 
 поліному …….………………………............................................................31 
2.4. Знаходження сумісної оцінки параметрів при s = 2  …………………33 
2.5. Знаходження оцінки векторного параметру ексцесної випадкової  
величини при  s=3……....................................................................................38 
 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
Змн. Лист № докум. Підпис Дата  
 Розроб. Міщенко В.В. Розробка нелінійних алгоритмів Літ. Арк. Акрушів 
А.Л. 
 Перевір. Воробкало Т.В. оцінювання амплітуди  3 69 
   радіосигналу при невідомих 
 Н. Контр. Воробкало Т.В статистичних характеристиках ЧДТУ 
 Затверд. Палагін В.В. ексцесної завади 
2.6. Оцінювання амплітуди раіосигналу при невизначених статистичних 
характеристиках при s = 4………………………………………………….42 
 
3. ТОЧНІСТЬ ОЦІНЮВАННЯ АМПЛІТУДИ СИГНАЛУ ПРИ 
НЕВІДОМИХ ПАРАМЕТРАХ ЕКСЦЕСНОЇ ЗАВАДИ ..................................50 
3.1. Точність  оцінювання амплітуди сигналу при лінійній  
обробці випадкової величини ……………….……………………………...50 
3.2. Дисперсії оцінок  параметрів ексцесної випадкової величини 
 при s=2……………………………………………………………………….52 
3.3. Асимптотичні властивості спільної оцінки при третьому  
степені поліному ……………………….........................................................56 
3.4. Дисперсії сумісної оцінки параметрів при четвертому степені  
стохастичного поліному …………………….……………………………...59 
 
 
ВИСНОВКИ ............................................................................................................66 
 
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ.....................................................68 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
4 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
ВСТУП 
 
 Однією з важливих задач опрацювання сигналів є задача оцінювання 
параметрів прийнятого сигналу. При цьому точність оцінювання параметрів буде 
обмежуватися впливом завад, які діють на сигнал. Відомо, що завади мають 
непередбачуваний характер і тому вважаються випадковими величинам і для їх 
опрацювання  застосовується теорія ймовірності.  
В більшості наукових робіт при обробці сигналів розглядаються завади, що 
описуються узагальненою функцією щільності розподілу - гауссівською 
щільністю. І ці завади називаються гауссівськими, та для них отримані 
фундаментальні результати з обробки сигналів у різних галузях науки та техніка: 
радіотехніці, радіолокації, зв'язку та ін.. 
Але гауссівське представлення завади є математичною ідеалізацією 
реальних завад, які на практиці зазвичай мають щільність розподілу відмінну від 
гауссівської. Останній час зростає інтерес саме до теорії і методів побудови 
систем вимірювання параметрів сигналів при негауссівських завадах завдяки 
яким є можливість покращити точність визначення параметрів сигналів, 
прийнятих при впливі різноманітних завад.. 
Для ефективного опису негауссівських завад застосовують послідовності 
моментів, кумулянтів і кумулянтних функцій. Саме на використанні такого опису 
базується метод максимізації поліному, розроблений відомим науковцем  
Кунченко Юрієм Петровичем. Перевагою даного методу є можливість 
вираховування особливості структури негауссівських завад завдяки кумулянтним 
коефіцієнтам вищих порядків, також оптимального їх використання.  
Також останнім часом популярності набуває цифрова багатоканальна 
обробка сигналів, яка вимагає великих апаратних та обчислювальних ресурсів. 
Але в наш час її можливо здійснювати за допомогою сучасної техніки та 
програмного забезпечення, що інтенсивно розвивається.  
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
5 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
Застосовуючи багатоканальну обробку можливо визначити координати та 
параметри руху різних об’єктів в просторі. Наприклад, амплітудний метод 
пеленгації, заснований на аналізі амплітудного розподілу поля, створеного 
сигналом, на розкриві приймальної антени, дозволяє визначити кутове положення 
об’єкту. Тому в роботі ставиться задача оцінювання амплітуди радіосигналу, що 
приймається на фоні негауссівських завад. 
В попередніх роботах розглядався випадок знаходження оцінки параметру 
сигналу при апріорно відомих статистичних характеристиках завади, але на 
практиці, данні характеристики можуть бути невідомі. Тому актуальною буде 
задача знаходження оцінки амплітуди сигналу в умовах невизначеності 
статистичних характеристик завади, тобто сумісна оцінка параметрів. 
Але відомо, що негауссівські завади представляють досить широкий клас 
завад, в роботі обмежимося розглядом тільки ексцесних завад першого типу 
першого виду. 
Отже метою роботи є знаходження спільної оцінки амплітуди радіосигналу 
прийнятого багатоканальною системою і статистичних характеристик ексцесної 
негауссівської завади методом максимізації поліному та дослідження точності 
отриманих оцінок. 
 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
6 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
1. ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ СИГНАЛІВ В РАДІОТЕХНІЧНИХ 
СИСТЕМАХ 
 
 
1.1.  Радіотехнічні системи  
 
Радіотехнічною системою (РТС) називається сукупність технічних засобів, 
які призначені для виконання певного ряду задач, і в якій під час обміну 
інформацією між окремими її частинами використовуються радіосигнали, що 
переносять інформацію [1]. 
За своїм функціональним призначення радіосистеми поділяються на наступні 
класи: 
• системи передавання iнформацiї; 
• системи здобування iнформацiї; 
• системи радiопротидiї; 
• системи радiорозвiдки; 
• системи радiокерування рухом. 
Одним із основних класів РТС є так звані радіосистеми здобування 
інформації, такі як, наприклад, системи радіолокації, радіонавігації, 
радіовимірювання, радіоастрономії. У цих системах корисна інформація, не 
передається, а отримується з сигналів, що випромінюють в напрямі на 
досліджуваний об'єкт та відбитих від нього або з сигналів, що  приймаються від 
інших радіотехнічнихсистем.  
Узагальнену структурну схему системи здобування інформації можна 
представити наступним чином (рис. 1.1.) [2]. 
 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
7 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
 
Рис.1.1 – Узагальнена структурну схему системи здобування інформації 
 
Радіопередавальний пристрій (РПП) випромінює у напрямку об'єкта, що 
досліджується спеціальний сигнал,  так званий “зондуючий” з відомими 
параметрами, який після відбиття від об'єкта поступає до радіоприймального 
пристрою (РПрП). В РПрП здійснюється попереднє оброблення та порівняння з 
зондуючим сигналом, який поступає безпосередньо від РПП [2]. 
В результаті цього порівняння здобувається інформація про наявність або 
відсутність об'єкта, а також можна визначити його місце розташування, напрям 
руху, тощо. Після цього здобута інформація подається в блоки подальшого 
оброблення, наприклад, індикаторів або інших функціональних блоків.  
Такий процес виявлення об'єктів, визначення їх місця розташування та 
параметрів руху називається спостереженням, а сама система, що виконує вказані 
вище функції називається радіолокаційною системою (РЛС). 
Радіотехнічні методи, що застосовуються для оцінки відстані між 
радіолокаційною системою та об'єктом спостереження за допомогою зондуючого 
сигналу з відомими параметрами називається радіодальнометрією, а пристрої, що 
реалізовують ці функції, називаються радіодальномірами [3]. 
 
1.2. Фізичні основи радіолокації та радіонавігації 
 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
8 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
В основі роботи всіх радіотехнічних систем здобування інформації, до яких 
відносяться радіолокаційні та радiонавiгацiйнi системи, лежать наступні основні  
властивості електромагнітних хвиль [2]: 
1) прямолінійність поширення хвиль у вільному просторі; 
2) постійна швидкість поширення хвиль у вільному просторі; 
3) малі зміни швидкості, напрямку, форми та поляризації хвилі.  
На використанні саме цих властивостей базуються методи призначені для 
визначення координат об’єктів та швидкості їх руху в радіотехнічних систем. 
Виявлення об’єктів та вимірювання їх просторових координат і параметрів руху 
здійснюється засобами виявлення та оцінкою параметрів сигналу, що 
випромінюється або перевипромінюється даним об'єктом на трі різного роду 
завад. 
Активне радіовиявлення базується на таких фізичних явищах, як відбиття або 
розсіювання радіохвиль, якщо на шляху їх розповсюдження  зустрічається об'єкт з 
іншими параметрами в середовища. Такий об'єкт, сам стає джерелом відбитого 
сигналу, тобто вторинного електромагнітного поля. Це вторинне електромагнітне 
поле, поширюється в просторі та  наводить на приймальній антені 
електрорушійну силу пропорційну сигналу. Потужність та параметри цього 
сигналу будуть залежати від інтенсивності первинного поля об'єкта та його  
параметрів: розмірів, форми, електричних властивостей. А також від  поляризації 
первинного поля, положення об'єкта відносно джерела зондуючого сигналу, 
довжини хвилі електромагнітних коливань λ.  
Пасивне виявлення об’єктів та вимірювання їх параметрів базується на 
застосуванні власного випромінювання об'єкта, наприклад, радіовипромінювання 
різних радіопристроїв, розташованих  на цих об'єктах. 
У деяких радіолокаційних та радіонавігаційних системах поряд з 
перерахованими вище використовують ще одну властивість радіохвиль –  ефект 
Доплера [3],  зміну частоти коливань, що приймаються при відбитті чи при 
випроміненні цих коливань об'єктом, що рухається. Ефект Доплера 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
9 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
використовують для вимірювання радіальної або кутової швидкості руху об'єкта 
щодо точки приймання сигналу. 
 
 
1.3. Постановка задачі оцінювання амплітуди прийнятого корисного 
радіосигналу 
 
Як вже згадувалося, сигнал радіолокації, що приходить від об'єкту, є 
електромагнітною хвилею, тобто функціональною залежністю від часу і 
координат простору. Приймальна система перетворює електромагнітну хвилю в 
електричний високочастотний сигнал, який описується багатьма  параметрами, як 
інформативними, тобто в яких закладена корисна інформація, так і 
неінформативними. 
Для визначення кутових координат об’єкту в радіолокації та радіонавігації 
використовується радіопеленгація: визначення кута надходження  радіохвиль, що 
випромінюють об'єктом або відображаються від нього [4]. 
Найбільш поширені методи пеленгації - амплітудний і фазовий [5].  
Амплітудний метод заснований на визначенні залежності амплітуди 
сигналу, що приймається, від відхилення осі діаграми спрямованості антени від  
направлення на джерело радіосигналу [6].  
Суть фазового методу полягає у вимірюванні різниці фаз коливань, що 
приймаються двома антенами рознесеними в просторі, яка залежить від 
направлення надходження  радіохвилі [4].   
Як видно з перерахованих вище методів задача знаходження координат 
зводиться до вимірювання (оцінювання) параметрів сигналів. Для забезпечення 
найкращої точності визначення координат потрібно оцінювати параметри 
сигналу, що приймається оптимально. Така задача є статистичною, так як 
корисний сигнал завжди приймається на фоні різних завад. Оптимальне 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
10 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
розв’язання даної задачі можна отримати використовуючи розділи  теорії 
ймовірностей та математичної статистики [3]. 
В даній роботі зупинимося на вимірюванні одного параметру прийнятого 
радіосигналу -  амплітуди, а інші параметри сигналу будемо розглядати як 
апріорно відомі.  
В попередніх роботах, при знаходженні оцінок параметрів сигналу, що 
приймається багатоканальний пристарієм, розглядався тільки випадок, що 
статистичні характеристики завади апріорно відомі. Але при розв’язку  
практичних задач, досить часто ці характеристики заздалегідь невідомі. Отже 
задача знаходження оцінки амплітуди радіосигналу при невідомих 
характеристиках завади, які теж потрібно знайти буде  актуальною.  
Стама задача оцінювання параметрів сигналу ставиться наступним чином 
[7]. Вважається, що протягом деякого часу спостерігається випадкова величина 
, (t)  з даної величини береться вибірка x  об’ємом n. Відомо, що будь яка 
випадкова величина описується визначеною функцією розподілу F (x / ) , що є 
залежністю від параметрів сигналу  . Незмінні значення параметрів при яких 
була отримана вибірка називаються істинними значеннями векторного параметра 
0 = 10,20,...,m0. Можна вважати, що у вибірці якби неявно закладені істинні 
значення параметрів розподілу. 
Тоді задача полягає в томк, що виконавши математичні операції над 
 
вибірковими значеннями, необхідно знайти  такі m-чисел 1,...,m , які можна було 
б прийняти за значення параметрів. І так як вибіркові значення х1, х2, … , хn є 
випадковими числами, то результат їх обробки також буде випадковим, тобто 
отримані значення не будуть повністю співпадати з істинними значеннями 
параметрів. 
 
Тому значення шуканих параметрів 1,...,m , які є певнимифункціями від 
 
вибіркового значення 1 =1(x1,...,xn ),...,m =m(x1,...,xn ) , називаються точковими 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
11 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
оцінками векторного параметра і вони будуть  близькими до істинних значень 

параметрів сигналу 0 . Отже можна сказати, що  оцінка будь якого параметру 
прийнятого сигналу є деяка функція від випадкових вибіркових значень, що 
спостерігаються. 
 
 
 
1.4. Класичні методи знаходження оцінок параметрів сигналів 
 
В теорії статистичної обробки існує багато різних методів знаходження 
оцінок параметрів сигналу, що приймається на тлі завад. Вибір методу залежить  
від застосованого опису випадкової величини. Найбільш відомі наступні методи 
[7]: метод моментів, метод максимальної правдоподібності, метод найменших 
квадратів, метод максимізації поліному.  
Одним із розповсюджених є метод моментів, який був запропонований  
англійським математиком Пірсоном, яки й полягає в наступному. 

Нехай функція розподілу p(x / )  вибіркових значень має n  невідомих 
параметрів. І обов’язково повинні  існувати моменти даного розподілу. Вибіркові 
1 n
моменти визначаютьсч за формулою  mi =  i
 xv . Тоді при n → ∞ вибіркові 
n v=1
моменти сходяться за ймовірністю до відповідних моментів функції розподілу, 
тобто наступних теоретичних моментів. 
 
  
m i
i ( ) =  x  p(x / )dx. 
−
 
Тоді сам метод моментів буде полягати  в прирівнюванні вибіркових 
моментів до відповідних їм теоретичних моментів 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
12 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
 1 n
mi ( ) =  xi
v      (1.1), 
n v=1
 
Якщо перенесемо ліву частину рівняння (1.1) отримаємо 
 
 1 n
mi ( ) −  i
 xv = 0 . 
n  
v=1 ˆ
 =
 
З розв’язку даного рівняння і будуть знаходитися оцінки параметрів 
сигналу. Цей розв’язок досить легко реалізувати, але оцінки, знайдені методом 
моментів можуть мати досить  низьку ефективність, та не для всіх випадкових 
величин існують моменти. 
Також є розповсюдженим метод знаходження оцінок параметрів сигналів - 
метод найменших квадратів [8]. Цей метод був запропонований німецьким 
математиком Гауссом. Розглянемо суть даного методу.  

Нехай задана, в загальному випадку векторна вибірка x = x1, x2 ,..., xn 
незалежних випадкових величин з існуючими моментами першого порядку 
Exv = m1v , де v =1,n , тобто математичне сподівання для кожного вибіркового 
значення залежить від v. 
Відповідно до методу найменших квадратів в якості оцінки параметра 
береться  таке значення параметру, при якому досягається мінімум суми квадратів 
 
n 
 2
 xv −m1v ( ) = min . 
v=1 
 
Візьмемо похідну по v-ій компоненті векторного параметру та  отримаємо 
систему рівнянь для знаходження оцінок параметрів 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
13 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
n   
− 2 xv −m1v ( ) m1v ( ) = 0 . 
v=1   
r ˆ
 =
 
Якщо вибіркові значення однаково розподілені і мають однакові моменти 
 
першого порядку m1v ( ) = m1( ) , то система рівнянь для знаходження оцінки буде 
мати вигляд 
 
m n 
xv −m1( )= 0 . 
r v=1
 
Як видно, в цьому випадку метод найменших квадратів співпадає з методом 
моментів. 
Найбільш загальним методом знаходження точкових оцінок є метод 
максимальної правдоподібності [8]. Як загальний метод знаходження оцінок він 
був запропонований вперше англійським вченим Робертом Фішером. 
Нехай ми маємо n випадкових величин, тобто  існує вибірка 
 
x = x1, x2 ,..., xn. І кожна випадкова величини має щільність розподілу pv (X v / ) , 
де v =1,n . 
Для незалежних вибіркових значень  сумісна щільність розподілу n 
випадкових величин дорівнює добутку щільностей окремих випадкових величин 
 
   n 
p(x1, x2,...,xn / ) = p(x / ) = pv (Xv / ) . 
v=1
 
Тоді, метод максимальної правдоподібності полягає в тому, що в сумісну 
щільність розподілу замість змінних Хv підставляються вибіркові значення xv. І в 

якості оцінок параметрів   беруться ті значення, при яких отримана функція 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
14 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
досягає максимального значення. Отже  згідно даного методу оцінка знаходиться 
з наступної умови 
 
 
p(x / ) = max       (1.2) 

 
 
Функція p(x / )  називається функцією правдоподібності. 
В математиці оцінку знаходять не з умови (1.2), а застосовують логарифм 
лівої частини 
 
 
ln p(x / ) = max . 

 
Тоді оцінка буде знаходитися з розв’язку наступної системи рівнянь 
 
  
ln p(x / ) = 0 , де r =1,r .  (1.3) 
  
r ˆ
 =
 
Оцінки, знайдені методом максимальної правдоподібності в загальному 
випадку будуть  слушними та  асимптотично ефективними. До недоліка методу 
можна віднести складність знаходження максимуму функції щільності розподілу 
для складних випадкових величин. 
Останнім часом в математиці широкого застосування знаходить теорія 
стохастичних поліномів. Українським вченим Кунченком Ю.П  запропоновано 
новий метод знаходження оцінок параметрів в роботі [7] Даний метод  
називається методом максимізації поліному та основується  на використанні 
степеневих стохастичних поліномів та позбавлений вказаних  вище недоліків.  
 
 
 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
15 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
1.5. Метод максимізації полінома 
 
Нехай існує деяка випадкова величина, яку позначимо ξ та візьмемо 
множину функцій i ( )  від цієї випадкової величини, і розглянемо наступну 
випадкову величину  
 
S
 = h0 +hi i ( ) , 
i=1
 
де hi – довільні константи ( hi   ). 
Величину η будемо називати узагальненим стохастичним поліномом 
степені S [7]. 
Покажемо деякі приклади стохастичних поліномів: 
• поліном заданий в класі степеневих функцій  i ( ) = i  – називається 
степеневим стохастичним поліномом; 
• синусний або косинусний стохастичний поліном i ( ) = sin(ik )  або 
i ( ) = cos(ik ) , де k – деяка константа; 
• експоненціальний стохастичний поліном   ( ) = eik
i . 
Так як функція від випадкової величини є таж випадковою величиною, то 
для неї існує математичне сподівання і дисперсія. 
Позначимо математичне сподівання функції i ( )  буквою ψ та запишемо 
для нього формулу  
 

 i = Ei ( ) = i (x)  p (x)dx . 
−
Тоді можна  говорити, що стохастичний поліном описується за допомогою 
функцій  i ( ) , якщо існує послідовність математичних сподівань  i ( ) , де 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
16 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
i =1,2S . Якщо S  нескінченна величина то стохастичний поліном має повний 
опис, якщо  S – скінчене число, то стохастичний поліном описується частково. На 
практиці зазвичай оперують скінченними числами 
Розглянемо степеневий стохастичний поліном наступного виду i ( ) = i . 
Визначимо функції за допомогою яких описується даний поліном   
 
 
 i ( ) = E i = mi ( ) ,   
 
де mі – і-ті початкові моменти. 
Отже, в цьому випадку, як видно, стохастичний поліном описується за 
допомогою початкових моментів. 
Тоді дисперсія випадкової величини η для узагальненого стохастичного 
полінома буде визначатися за формулою  
 
S S 
 2
 =hi h j Fi, j ( ) . 
i=1 j=1
 

Де  величини Fi, j ( )  називаються центрованими коррелянтами розміром ij 
та визначаються з формули: 
 

Fi, j ( ) = Ei ( ) − i ( )  j ( ) − j ( )= ij ( ) − i ( )  j ( ) , 
 

де  ij ( ) = Ei ( )  j ( ) . 
Для степеневого стохастичного полінома справедливій вираз: 
 

Fi, j ( ) = E
 
 i −mi ( )  j −m j ( )= E i+ j −mi m j = mi+ j −mi m j . 
 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
17 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
Як видно, ліва частина є математичною квадратичною формою, при цьому її 

матриця FS = Fi, j ( ) , де i, j =1,S . 
Матрицю FS будемо називати тілом узагальненого стохастичного полінома 
розміром S. А визначник матриці FS, відповідно, об’ємом тіла стохастичного 
полінома. 

Нехай береться вибірка x  об’ємом n з однаково розподілених і незалежних 

випадкових величин ξ, ямі мають густину розподілу p(x / ) . Тоді можна записати 
степеневий стохастичний поліном розміром (n,S): 
 
n n n S
ln,S = h0 + h1  xv + h2  x2
v + ...+ hS 
S i
 xv = h0 +hi  xv   
v=1 v=1 v=1 i=1
 
Якщо вибіркові значення   х1,…,хn  незалежні і неоднаково розподілені, то 
степеневий поліном прийме наступний вигляд: 
 
n n n S
l = h + h  x + h 2
n,S 0  1v v  2v  xv + ...+ h  xS = h + h S
 Sv v 0  iv  xv  
v=1 v=1 v=1 i=1
 
Спочатку розглянемо випадок, коли  щільність розподілу залежить від 
одного параметра θ. 
Тодіо степеневий стохастичний поліном буде наступного вигляду 
 
 n S
lS ,n (x, ) = K0( ) +Ki ( )  xi
v ,   (1.4) 
v=1 i=1
 
де коефіцієнти К0(θ) і Кіv(θ) – є функціями параметра θ і визначаються за 
слідуючими формулами 
 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
18 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
n S
Kiv( ) = hiv( )d  K0( ) =hiv( ) mi0( )d  
v=1 i=1
 
Для відомої області визначення параметра  a,b можна застосувати 

визначений інтеграл  . 
a
При цьому вагові коефіцієнти hiv(θ) будуть знаходитися з розв’язків такої 
системи лінійних алгебраїчних рівнянь: 
 
S d
h jv F(i, j)v ( ) = miv( ) ,    (1.5) 
j=1 d
 
де i =1,S ; v =1,n ; 
 
F(i, j)v ( ) = m(i+ j)v ( ) −miv( ) m jn( )    (1.6). 
 
Отриманий стохастичний поліном (1.4) буде мати  властивості аналогічні 
властивостям  функції правдоподібності: 
• при будь-якій степені поліному  S і при n → ∞ функція параметра θ 
буде мати  максимум в околиці дійсного значення параметра θ0; 
 
• при різних вибірках x  відхилення максимуму полінома lS (x, )  від 
дійсного значення параметра θ0 має мінімальну (при даному S) 
дисперсію. 
Дані властивості дозволяють знаходити оцінки параметра θ, аналогічно  
методу максимальної правдоподібності. Тоді оцінкою  параметру θ буде значення 
аргументу, при якому стохастичний поліном досягає максимального значення. 
Позначимо оцінку як ̂ . 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
19 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
Враховуючи, що стохастичний поліном диференціюється по θ, то оцінка 
параметра θ буде  знаходитися з розв’язку рівняння: 
 
d 
lSn(x, ) = 0 . 
d  =ˆ
 
Яке можна записати  розгорнутому вигляді: 
 
n S
hiv( )  xi
v −miv( ) = 0 .   (1.7) 
v=1 i=1  =ˆ
 
Це рівняння називається рівнянням максимізації полінома [7]. 
Метод максимізації полінома для знаходження оцінки одного параметра 
випадкової величини при різному розподілу вибіркових значень полягає в тому, 
що оцінка буде знаходиться з розв’язків алгебраїчного лінійного рівняння виду 
(1.7). 
Кількість інформації, що здобувається, про одиничний параметр θ, методом 
максимізації полінома буде дорівнювати  
 
d 2
ISn(0) = −E l
2 Sn(x, ) , 
d
 
або в розгорнутому вигляді 
 
n S d
ISn( ) =hiv( )  miv( )  
v=1 i=1 d
 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
20 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
Для оцінювання точності отриманої оцінки застосовується дисперсія 
оцінки, яка згідно методу максимізації полінома знаходиться знаходиться з 
формули 
 
2 1
 =  
ISn( )
 
 
 
1.6. Метод максимізації полінома для знаходження оцінок векторного 
параметра векторної випадкової величини  
 
Вище було розглянуто метод максимізації поліному для знаходження оцінок 
одного параметру скалярної випадкової величини. Але в роботі буде знаходитися  
сумісна оцінка амплітуди сигналу та невідомих характеристик завади, тобто буде 
здійснюватися оцінка векторного параметру. Тому потрібно розглянути 
реалізацію методу максимізації поліному на випадок знаходження оцінок 
векторного параметра для векторної випадкової величини, що спостерігається. 

Нехай є вектор невідомих параметрів  = 1,2 ,...g, які підлягають 

оцінюванню.  Припустемо, що початкові моменти miv( p) ( )  при всіх i, v існують  і 
для всіх них  виконуються умови, аналогічні  вказаних раніше.  

Тоді можна довести, що для кожної складового m  векторного параметра   
можна використовувати степеневий стохастичний поліном степеня s наступного 
виду 
 
  r−1 n s
(g ) ( ) (p) 
( ) i (r ) 
l x; =  − ( ) ,   m =1, g ,      (1.8) 
sn(m) k iv(m) xv(p) k 0(m)
p=0v=1 i=1
де 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
21 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
   r−1 n s  
k ( p)
iv(m) ( )=  h
( p) (r) ( p)
iv(m) ( )dm , k0(m) ( ) =  hiv(m) ( )miv( p) ( )d(m) , 
p=0v=1 i=1
 

а вагові коефіцієнти h( p)
iv(m) ( ) будуть знаходитися з розв’язку наступної системи 
алгебраїчних лінійних рівнянь  
 
s
(p)  ( 
( ) p) ( )  
h  F  = m ( ),   v =1,n ,     p = 0,r −1         (1.9) 
jv(m) (i, j )v  iv(p)
j=1 m
i =1,2s ,    m =1, g . 
 

Кожний m-ий стохастичний поліном (1.9) при заданій вибірці x , яка є 

функцією складового m  векторного параметра ,  при n→ , тобто 
асимптотично має максимум у точці ̂m , яка розташована в окрузі дійсного 
значення m0 .  
ˆ
Тоді  в якості оцінки  = ˆ1,ˆ2 ,...ˆg векторного параметра ті значення 

(r) 
складових ̂m , для яких кожний із стохастичних поліномів lsn(m) (x; ),  m =1, g ,  
досягає по параметру  m  максимального значення виду (1.9), як і при оцінці 
скалярної випадкової величини. Згідно з умови, всі стохастичні поліноми 
диференційовані по параметрі m . Отже оцінку можна знаходити з спільного 
розв'язку системи наступних рівнянь 
 
 (g )  
l ( )(x; )  ˆ
/= = 0 , 
 sn m
m
 
або у розгорнутому виді  
 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
22 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
r n s
(p)  i 
h ( )x −m ( )   = 0 ,    m =1, g            (1.10) 
iv(m) v iv(p) ˆ
/=
p=1v=1 i=1
 
Можна зробити висновок, що метод максимізації полінома, для 
 
знаходження оцінок векторного параметра   векторної випадкової величини   

складається з того, що при заданій вибірці x  оцінки векторного параметра 
знаходяться зі спільного розв'язку системи рівнянь (1.10) відносно m , m =1, g . 

При цьому в кожному m-ому рівнянні, оптимальні вагові коефіцієнти h( p)
iv(m) ( ) 
знаходяться з розв'язання алгебраїчної системи лінійних рівнянь (1.9). 
Оцінки векторного параметра векторної випадкової величини для 
неоднаково розподілених та незалежних вибіркових значеннях із кожної 
компоненти (p ) , знайдені методом максимізації (1.10) будуть слушними. 
Для оцінювання точності оцінки векторного параметра  тільки дисперсії 
оцінок векторного параметра буде недостатньо. В цьому випадку в 
використовується так звана варіаційна матриця оцінок в класі незміщених оцінок 
[9]. 

Варіаційна матриця оцінок векторного параметра V (g ) (0 )    векторної 
sn
випадкової величини,  що знайдені методом максимізації полінома, при n→ , 

тобто асимптотично  дорівнює оберненій матриці  здобутої інформації J (0 ) , 
sn ( g )
тобто 
 
 
V (g ) ( ) = J −1 ( ) , 
sn 0 sn ( g ) 0
 
 
(m,r )
При цьому елементи J (0 ) ,  m,r =1, g , матриці J (0)  будуть 
sn ( g ) sn ( g )
відповідно дорівнювати 
 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
23 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
( 
m,r )   (g ) ( )  (g ) (
 
J ( )()= E l ( ) x; * l ( ) x;) =  
sn g  sn m 
 m  sn r
r 
2
( ) 
g
− E l (x;), 
m
sn(m)
r
 
або у розгорнутому виді  
 
 g n s s
(m,r )   
( ) (p) (p) ( p)
J ( )  =
sn g h ( ) ( ) ( )  
iv( 
m) h jv(  *  =
r ) F (i, j )v
p=1 v=1 i=1 j=1
g n s
( )   
p
=h () m ().                           (1.11) 
iv(r ) iv(p)
p=1 v=1 i=1 m
 

Матриця J (0)  називається матрицею кількості здобутої інформації про 
sn ( g )
векторний параметр, яку можна отримати з неоднаково розподіленої та 

незалежної вибірки векторної випадкової величини   методом максимізації 
полінома.  
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
24 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
2. АЛГОРИТМИ ОЦІНЮВАННЯ АМПЛІТУДИ СИГНАЛУ ТА 
ПАРАМЕТРІВ ЗАВАДИ МЕТОДОМ МАКСИМІЗАЦІЇ ПОЛІНОМА 
 
2.1. Постановка задачі 
 
Розглянемо, що на багатоканальну приймальну систему надходить хвиля від 
джерела радіосигналу, і на виході кожного p-го приймального пристрою 

спостерігається векторна випадкова величина   ={(0) ,(1)...(r−1)} , яка є  
адитивною суміші корисного сигналу Sv( p)   та  негауссівської завади n  [10]. 
v( p)
Візьмемо дискретну вибірку об’ємом  n  з  цієї величини. Тоді будемо мати 
множину статистично незалежних і неоднаково розподілених випадкових 

вибіркових величин  X p ={x1, x2 ,...xn}  для кожного р-ого приймального пристрою 
 
xv( p) = Sv( p) + n( p) ,     v =1,n ,     p = 0,(r −1) .                (2.1), 
 
де Sv( p)  - детермінований значення корисний радіосигнал, дискретні значення 
якого залежать від моментів часу спостереження v і визначаються  
 
Sv(p) = a0ev cos0 (v − p ) +0 ,    (2.2) 
 
де параметри a , ,  - відповідно амплітуда, частота і фаза радіосигналу на 
0 0 0
виході p -го приймального пристрою;   - час запізнення надходження  сигналу на 
перший приймальний пристрій в порівнянні з нульовим пристроєм; ev  - огинаюча 
радіосигналу,   - крок дискретизації сигналу. 
n  - дискретні  значення негауссівської завади в p -ому приймальному 
( p)
пристрої багатоканальної системи.  
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
25 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
У переважній більшості робіт, в системах радіолокації та радіонавігації, 
вважається, що завади в каналах є гауссівськими. І саме для гауссівських завад 
отримані фундаментальні результати з обробки сигналів на фоні завад [4]. Однак 
на практиці гауссівські моделі представляють собою, не що інше як  математичну 
ідеалізацію реальних завад. В природі всі завади будуть мати щільність розподілу 
відмінну від гауссівської. Такі завади мають загалну назву –  негауссівські завади. 
Тому актуальною буде задача оцінювання параметрів радіосигналів при 
негауссівських завадах, та дослідження їх точності.  
Але всі негауссівські завади охоплюють досить широкий клас завад. Тому  в 
роботі [8] негауссівські завади  класифікуються відповідно до степені близькості 
до гауссівських, а саме, асиметричні, ексцесні та асиметрично-ексцесні.  
В цій роботі, відповідно до технічного завдання буде розглядатися  ексцесна 
завада.  Яка є ексцесною випадковою величиною, що  описується  нульовим 
математичним сподіванням En( p) = 0  (за припущенням), дисперсією 2  і 
коефіцієнтом ексцесу  4 .  
Як видно з виразів (2.1) і (2.2), прийнята випадкова величина буде залежати 
від параметрів корисного сигналу (a0 , 0 , 0 ,  , ev ) і параметрів ексцесної завади 
(2 ,  4 ). Будемо вважати, що значення параметрів сигналу 0 , ,0 , ev  точно 
відомі спостерігачу, а невідомим параметром буде амплітуда сигналу a0  і   також 
статистичні характеристики завади 2 ,  4 . 
При аналізі методів оцінювання параметрів було показано, що для 
знаходження оцінок параметрів випадкової величини, у випадку коли характер 
завади відрізняється від гауссівського доцільно застосовувати метод максимізації 
поліному.  
Тоді згідно технічного завдання в якості оцінюваного параметру, буде 

векторний параметр  = (a0 ,2 , 4 )  розмірністю g = 3 . І тоді  необхідно 
застосовувати метод максимізації поліному саме для знаходження оцінки 
векторного параметра векторної випадкової величини. Але потрібно врахувати, 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
26 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
що для ексцесних випадкових величин коефіцієнт ексцесу  4  входить в початкові 
моменти починаючи тільки з четвертого моменту. Тому оцінити саме  цей 
параметр можливо лише починаючи з четвертого степеня стохастичного поліному 
згідно методу максимізації поліному. Оцінку дисперсії ексцесної випадкової 
величини можливо буде знайти починаючи з другого степеня поліному. 
 
 
 
2.2.  Розрахунок початкових моментів ексцесної випадкової величини 
 
Відомо, що найбільш доцільним математичним описом негауссівських 
випадкових величин, є опис за допомогою моментів та кумулянтів вищих 
порядків [11]. Та в методі максимізації поліному використовується саме 
моментно-кумулянтний опис прийнятої випадкової величини. Тому перш за все 
потрібно розрахувати початкові моменти, для випадкової величини, що 
спостерігається в даному випадку (2.1) 
Нехай завада n(p) , що спостерігається є негауссівською випадковою 
величиною, яка описується нульовим математичним сподіванням, дисперсією 2  
та кумулянтами вищих порядків i . Зв'язок між початковими моментами завади 
  і кумулянтами i  і-го порядку  має наступний вигляд [11]. 
i( p)
 
1( p) = 0 ,   2( p) = 2  
3( p) = 3 ,   4( p) = 4 + 3 2
2 , 
5( p) = 5 +1023         (2.3) 
6( p) = 6 +1524 +10 2
3 +15 3
2  
7( p) = 7 + 3534 + 2125 + 
2
23  
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
27 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
8( p) = 8 + 2826 + 2802
2
3 + 35 2
4 + 56352 + 210 2
24 +105 4
2  
 
З приведених співвідношень можна зробити висновки, що завади в кожному 
приймальному пристрої ідентичні, і  тому кумулянти не залежать від номера 
приймального пристрою p. 
З теоріїї відомо, що кумулянт третього порядку 3  характеризує асиметрією 
розподілу випадкової величини, а четвертого порядку 4 - ексцес. Часто на 
практиці, вводять безрозмірні кумулянти, які називаються кумулянтними  
коефіцієнти [7], і в загальному випадку знаходяться за формулами 
 

 = n  
n 0,5n

2
 
Тоді початкові моменти (2.3) можна виразити через кумулянтні коефіцієнти  
 
1( p) = 0 ,  2( p) = 2 , 
 =  3/ 2
3( p) 2  3 , 
 2
4( p) = 2 ( 4 + 3) ,                                                                                    (2.4) 
5( p) = 
5 / 2
2 ( 5 +10 3 )  
 3 2
6( p) = 2 ( 6 +15 4 +10 3 +15)  
 =  7 / 2
7( p) 2 (3 + 353 4 + 215 +1053 )  
 =  4( + 28 + 280 2 + 35 2
8( p) 2 8 6 3 4 + 5635 + 210 4 +105)  
 
Введені кумулянтні коефіцієнти    і   відповідно, називаються, 
3 4
коефіцієнтами асиметрії й ексцесу. 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
28 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
Застосовуючи формулу  для початкових моментів 
 

mi ( ) = E i =  xi  p(x / )dx , 
−
та використовуючи вирази (2.4) знайдемо початкові моменти i -го порядку д 
випадкової величини v( p) , що спостерігається  на виході p-го приймального 
пристрою. Початкові моменти miv( p)  в загальному випадку будуть залежати від 
номеру вибірки v  та номеру приймального пристрою p. Тоді введемо  наступне 
позначення початкового моменту i-го порядку p-ої випадкової величини яу miv( p) . 
Отже отримаємо вирази початкових моментів до 8-го порядку через кумулянтні 
коефіцієнти  завади: 
 
m1v( p) = sv( p) ,   
m 2
2v( p) = 2 + sv( p) ,  
3
m 2
3v( p) = 23 + 3sv( p)2 + sv( p) ,  
3
m 2
4v( p) = 2 ( 4 + 3) + 4s 2 2 4
v( p)23 + 6sv( p)2 + sv( p) ,                                  (2.5) 
5 3
m 2 2 2 2 2 3 5
5v( p) = 2 (5 +103 ) + 5sv( p)2 4 +15sv( p)2 +10sv( p)23 +10sv( p)2 + sv( p) ,  
5
m 3
6v( p) = 2 ( 6 +15 +10 2
4 3 +15) + 6s 2
v(p)2 (5 +103 ) +
3    
+15s2 2 3 2 4 6
v(p)2 ( 4 + 3) + 20sv(p)23 +15sv(p)2 + sv(p).
m =  7 / 2 3 3
7v( p) 2 ( 7 + 353 4 + 215 +105)+105sv( p)2 4 +105sv( p)2 +
+ 7s 3 + 70s 3 2 + 21s2 5 / 2 + 210s2 5 / 2
v( p) 2 6 v( p) 2 3 v( p) 2 5 v( p) 2 3 + , 
+ 35s3
v( p)
2
2 4 +105s3
v( p)
2 + 35s4 3/ 2 5 7
2 v( p) 2 3 + 21sv( p)2 + sv( p)
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
29 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
m 4 2 2
8v( p) = 2 (8 + 28 6 + 2803 + 35 4 + 5635 + 210 4 +105) +
+168s 7 / 2 7 / 2
v( p)2 5 + 840sv( p)2 3 +
+ 8s  7 / 2
v( p) 2  7 + 280sv( p)
7 / 2
2   + 420s2 3
3 4 v( p) 2 + 420s2
4 v( p)
3
2 +  
+ 28s2 3
v( p) 2 6 + 280s2 3 2 3 5 / 2
v( p)23 + 56sv( p)2 5 + 560s3 5 / 2
v( p)2 3 +
+ 70s4 2
v( p)2
4 2 5 3/ 2 6 8
4 + 210sv( p)2 + 56sv( p)2 3 + 28sv( p)2 + sv( p)
 
В даній роботі, відповідно до технічного завдання, вважаємо що на виході 
кожного приймального пристрою спостерігається ексцесна випадкова величина, 
яка враховує тільки  коефіцієнта ексцесу  , а всі інші кумулянтні коефіціенти 
4
для неї будуть дорівнювати 0. Така величина називається ексцесною величиною 
першого типу першого виду. Тоді  початкові моменти (2.5) приймуть спрощений 
вигляд 
 
m1v( p) = sv( p) ,   
m 2
2v( p) = 2 + sv( p) ,  
m3v( p) = 3sv( p)2 + sv( p) ,  
m 2
4v( p) = 2 ( 4 + 3) + 6s2 4
v( p)2 + sv( p) ,  
m 2 2 3 5
5v( p) = 5sv( p)2 4 +15sv( p)2 +10sv( p)2 + sv( p) ,  
m6v( p) = 
3
2 (15 4 +15) +15s2  2
v(p) 2 ( 4 + 3) +15s4 6
v(p)2 + sv(p) ,  (2.6) 
m7v( p) =105 7 / 2
2 +105sv( p)
3
2 +105s 3
4 v( p) 2 + +35s3 2
v( p)2 4 +
, 
+105s3 2 5 7
v( p)2 + 21sv( p)2 + sv( p)
m 4 2
8v( p) = 2 (35 4 + 210 4 +105) + +420s2 3
v( p)2 4 + 420s2
v( p)
3
2 +
 
+ 70s4  2 4 2 6 8
v( p) 2 4 + 210sv( p)2 + 28sv( p)2 + sv( p)
 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
30 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
Отримані початкові моменти  будемо подалі використовувати при 
знаходженні оцінок параметрів. 
 
 
 
2.3. Оцінка амплітуди гармонічного сигналу при першому степені 
поліному 
 
Почнемо зі знаходження оцінки амплітуди радісигналу при першому 
степені поліному, але при цьому не буде враховуватися негауссівський характер 
завади, тобто оцінка не буде залежати від коефіцієнта ексцесу. Але вона нам 
потрібна для порівняння з оцінками отриманими при вищих степенях поліному.  
При першому степені стохастичного поліному ( s =1) згідно теоріі описаній 
в першому розділі рівняння максимізації поліному (1.7) для знаходження оцінки 
амплітуди сигналу буде мати наступний вигляд 
 
r−1 n
h( p)
  1v (0 )[xv( p) −m1v( p) (0)] = 0 .      (2.7) 
p=0 v=1 0 =ˆ0
 
 Згідно (2.6) момент першого порядку дорівнює 
 
m1v( p) (0 ) = Sv( p) (0 ) . 
 
( p)
Коефіцієнт h1v (0 )  відповідно до формул (1.6) буде знаходиться з наступного 
виразу 
 

  dS
( p) v( p) ()
h1v(m) ()F ( p)
(1,1)v () =  ,     
d0
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
31 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
Де центрований корелянт F(1,1)v (0 )  знайдемо через початкові моменти (2.6) 
 
F ( p) 2
(1,1)v (0 ) = m(1+1)v( p) (0 ) −m1v( p) (0 ) = 2 , 
 
тоді 
( p) 1 dSv( p) (0 )
h1v (0 ) = .    (2.8) 
2 d0
 
Підставимо вираз (2.8) в рівняння максимізації поліному (2.7) і отримаємо 
рівняння для знаходження оцінки параметра в загальному вигляді 
 
r−1 n dSv( p) (0 )
  [xv −Sv( p) (0 )] = 0
p=0 v=1 d0   (2.9) 
0 =ˆ0
 
Для отримання оцінки підставимо модель радіосигналу (2.2) і похідну по 
параметру a0  в (2.9), і отримаємо рівняння максимізації поліному з рішення якого 
можна знайти оцінку амплітуди сигналу при s =1   
 
r−1 n
 [xvev cos0 (v− p )+0 −a 2
0ev cos2 0 (v− p )+0 ] = 0      (2.10) 
p=0 v=1 a0=aˆ0
 
З рівняння (2.10) виразимо амплітуди сигналу, це і буде оцінка параметру 
при степені поліному s =1   
 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
32 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
r−1 n
  xvev cos0 (v − p ) +0 
p=0 v=1
aˆ0 = .   (2.11) 
r−1 n
 e2
v cos20 (v − p ) +0 
p=0 v=1
 
Як бачимо з (2.11) оцінка амплітуди сигналу при першому степені поліному 
не буде залежати від статистичних характеристик завади, тобто спостерігачу 
необов’язково знаті їх значення. Також ця оцінка співпадає з оцінкою, отриманою 
методом моментів для гауссівської випадкової величини. Її основна перевага – 
простота реалізації. 
 
 
 
2.4. Знаходження сумісної оцінки параметрів при s = 2  
 
Відповідно методу максимізації полінома оцінку дисперсії випадкової 
величини можна знайти починаючи з другого степеня стохастичного поліному. 
Тому в даному пункті роботи будемо знаходити сумісну оцінку амплітуди 
радіосигналу та дисперсії ексцесної завади. 
Згідно методу при s = 2 , сумісна оцінка параметрів 0  та 2  буде 
знаходиться з розв'язку системи, яка має наступний вигляд 
 
 r−1 n  r−1 n 
( p) ( p) 2
 h1v (0 )[xv( p) − m1v( p) ( )] +  h2v (0 )[x v( p) −m2v ( )] = 0
0 =ˆ 0
p=0 v=1  ˆ
 = p=0 v=1 (2.12) 

r−1 n
  r−1 n 
h( p)
  1v (2 )[xv( p) − m ( p)
1v( p) ( )] +   h2v (2 )[x2
 v( p) −m2v ( )] = 0
2 =ˆ 2
p=0 v=1  ˆ
 = p=0 v=1
 
Перше рівняння системи  (2.12) буде відповідати за оцінку амплітуди 
сигналу, а друге за оцінку дисперсії завади  
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
33 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
Визначенні початкові моменти першого та другого порядку для випадкової 
величини, що розглядається в роботі відповідно дорівнюють 
 
 
m1v( p) ( ) = Sv( p) ( ) , 
 
m2v ( ) = S 2
v( p)( ) + 2 .     (2.13) 
 
( p) ( p)
 Перше знайдемо  оптимальні вагові коефіцієнти h1v (a0 )  і h2v (a0 )  для 
першого рівняння. Вони будуть знаходитися  з розв'язку наступної системи 
лінійних рівнянь 
 

  
h( p) (a )F ( ) + h( p) dm1v ( )
 1v 0 (1,1)v 2v (a0 )F(1,2)v ( ) =
 da0
  .                    (2.14) 
 
h( p) (a )F ( p) dm2v ( )
 1v 0 (1,2)v ( ) + h2v (a0 )F(2,2)v ( ) =
 da0
 

Знайдемо центровані корелянти F(i, j)v ( )  для ексцесної випадкової 
величини  
 
 
F(1,1)v ( ) = 2 ,   F(1,2)v ( ) = 22Sv( p) , 

F 2
(2,2)v ( ) = 2 ( 4 + 2) + 4 2
2Sv( p) .   (2.15) 
 
Для побудови першого рівняння знайдемо похідні початкових моментів 
(2.13) по параметру a0 . 
 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
34 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
dm1v( p) ( )
= cos(0(v − p ) +0) ,  
da0

dm2v( p) ( )
 = 2a0 cos2 (0 (v − p ) +0 ) . 
da0
 
Система (2.14) будемо розв’язувати за допомогою методу Крамера. 
Спочатку знайдемо основний визначник системи, який для ексцесної випадкової 
величини буде визначається як [9]. 
 
 3
2 = 2 ( 4 + 2) .     (2.16) 
 
 За допомогою додаткових визначників, отримаємо оптимальні вагових 
( p) ( p)
коефіцієнтів h1v (a0 )  і h2v (a0 )  
 
 2
h1v (a ) = 2
0 ( 4 + 2)cos0(v − p ) +0 , 
2
h2v (a0 ) = 0 . 
 
Отримані вище коефіцієнти підставимо в рівняння системи (2.14), і  
виконавши математичні спрощення отримаємо рівняння для знаходження оцінки 
амплітуди в наступному вигляді  
 
r−1 n
 (ev cos0 (v− p )+ 2 2
0 xv( p) − a0ev cos 0 (v− p )+0 ) = 0 . 
=ˆ
p=0 v=1
 
Як видно отримане рівняння повністю співпадає з рівнянням (2.10) для 
першого степеня стохастичного поліному. Отже при s = 2  оцінка буде 
знаходиться теж з виразу (2.11). 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
35 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
Далі знайдемо друге рівняння максимізації полінома для параметра 2 . В 
h( p) ( p)
цьому випадку оптимальні вагові коефіцієнти 1v (2)  та h2v (2 )  для ексцесної 
завади також знаходяться  з розв’язку системи (2.14), тільки похідні потрібно 
брати по параметру 2 , які будуть дорівнювати 
 
 
dm1v( p)( ) dm2v( p)( )
= 0 ,  =1. 
d2 d2
 
Систему (2.14) також будемо вирішувати методом Крамера. Отримаємо 
( p)
коефіцієнти  h1v ( ) h( p)
2  та 2v (2)   
 
2
h( p)
1v (2 ) = − 2еva0 cos0 (v− p )+0   
2
h( p) 1
2v (2 ) = 2 , 
2
 
де основний визначник 2  визначається  по формулі (2.12) 
Підставимо ці коефіцієнти в друге рівняння максимізації поліному та 
спростивши  отримаємо 
 
r−1 n
 (−2a0ev cos0 (v− p ) +0 )  x + x2 −3 / 2a2
v( p) v( p) 02 − 2 = 0  
2=ˆ2
p=0 v=1
 
Отримано систему рівнянь максимізації поліному для знаходження сумісної 
оцінки амплітуди радіосигналу та дисперсії ексцесної завади при другому степені 
поліному. 
 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
36 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 r−1 n
 (ev cos0 (v − p ) + x 2 2
0 v( p) − a0ev cos 0 (v − p )+0 ) = 0
=ˆ
 p=0 v=1
  
r−1 n
 (−2a0ev cos0 (v − p )+0 )  x
2
v( p) + xv( p) −3 / 2a2
02 − 2 = 0
 2=ˆ2
 p=0 v=1
 
Дану систему можливо  розв’язати явно, так як система є лінійною по 
відношенню до невідомих параметрів. Тоді їх можливо перенести вліво. З 
першого рівняння виразимо оцінку параметру a0  
 
r−1 n
  xvev cos0 (v − p ) +0 
ˆ p=0 v=1
a0 = .   (2.17) 
r−1 n
 e2
v cos2 0 (v − p )+0 
p=0 v=1
 
З другого рівняння відповідно виразимо оцінку параметра 2  
 
r−1 n
 (x2 ˆ
v( p) − 2a0ev cos0 (v− p )+0 xv( p) )
ˆ p=0 v=1
 = .  (2.18) 
2
pn(3 / 2aˆ 2
0 +1)
 
Отже алгоритм спільного оцінювання при другому степені поліному 
полягає в наступному:  
1) необхідно знайти оцінку â0  за формулою (2.17),  
2) підставити її в рівняння (2.18) і знайти оцінку параметру 2 . 
 
 
 
 
 
 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
37 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
2.5. Знаходження оцінки векторного параметру ексцесної випадкової 
величини при  s=3 
 
При третьому степені для ексцесної випадкової величини також можливо 
знайти сумісну оцінку тільки двох параметрів a0  та  2 . 
Система рівнянь максимізації поліному  при третьому степені буде мати 
наступний вигляд 
 
 r−1 n  r−1 n 
( p) ( p) 2
 h1v (a0 )[xv( p) −m1v( p) ( )]+  h2v (a0 )[xv( p) −m2v( p) ( )]+
p=0 v=1 p=0 v=1
 r−1 n 
+ h( p)
  3n (a0 )[x3
v( p) −m3v( p) ( )] = 0
 a0 =aˆ0
 p=0 v=1
  (2.19) 
r−1 n
  r−1 n 
( p)
 h1v (2 )[xv( p) −m1v( p) ( )]+ ( p) 2
 h2v (2 )[xv( p) −m2v( p) ( )]+

p=0 v=1 p=0 v=1
 r−1 n 
+ h( p) ( )[x3
   3n 2 v( p) −m3v( p) ( )] = 0
2 =ˆ 2
 p=0 v=1
 
Відмінність від попередньої системи полягає в тому, що кожне вибіркове 
значення, крім того, що підводиться до квадрату, ще й підводиться до третього 
степеня і далі підсумовується з визначеною вагою. Система рівнянь  (2.16) є 
нелінійною кубічною. 
( p ) (p) (p)
При третьому степені вагові  коефіцієнти  h1v (a0 ) ,  h2v (a0 )   і  h3v (a0 )  для 
першого рівняння системи (2.19) знаходитися з розв'язку алгебраїчної системи 
лінійних рівнянь 
 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
38 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 

   
( p) ( p) dm1v( p) ( )
h1v (a0 )F(1,1)v ( ) + h2v (a0 )F(1,2)v ( ) + h( p)
3v (a0 )F(1,3)v ( ) =
 da0
 
   
(P) ( p) ( p) dm2v( p) ( )
h1v (a0 )F(1,2)v ( ) + h2v (a0 )F(2,2)v ( ) + h3v (a0 )F(2,3)v ( ) =  (2.20). 
 da0

   
 ( p) ( p) ( p) dm3v( p) ( )
h1v (a0 )F(1,3)v ( ) + h2v (a0 )F(2,3)v ( ) + h3v (a0 )F(3,3)v ( ) =
 da0
 

в якій, центровані кореляти F(i, j)v ( )  визначаються з наступних виразів для 
ексцесної випадкової величини  
 
 
F(1,1)v ( ) = 2 ,   F(1,2)v ( ) = 22Sv( p) , 

F(2,2)v ( ) =  2 2
2 ( 4 + 2) + 42Sv( p) , 
 
F(1,3)v ( ) =  2
2 ( 4 + 3) + 3 2
2Sv ( ) , 
   
F(2,3)v ( ) = 5 2
2 4S 3
v ( ) + 62Sv ( ) +12 2
2 Sv ( ) , 
   
F(3,3)v ( ) =  3
2 (15 4
4 +15) + 92Sv ( ) + 3 2 (5 +12)S 2 ( ) + 9 S 4
2 4 v 2 v ( )  
 
Похідних перших трьох моментів  по параметру  a0   
 

dm1v( p) ( )
= cos(0 (v − p ) +0 ) ,  
da0

dm2v( p) ( )
= 2a0 cos2 (0 (v − p ) +0) , 
da0

dm3v( p) ( ) 2
= 3[a cos2
0 (0 (v − p ) +0 ) + 2 ]cos(0 (v − p ) +0 ) . 
d
 
Розв’язуємо систему (2.20) методом Крамера  
 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
39 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 4
2
h1v (a0 ) = 2 [ (12 2 2
2 4 + 30 4 +12) + a0 cos (0 (v − p ) +0 )
3 , 
 (−3 2 2
4 − 6 4 +18 3 )]cos(0 (v − p ) +0 )
  4
h2v ( ) = 2 a 2
0 cos (0(v − p ) +0)(3 2
4 + 6 4 ) ,                             (2.21) 
3
  4
h ( ) = 2
3v cos( 2
0(v − p ) +0)(− 4 − 2 4 ) , 
3
 
де визначник системи (2.17) дорівнює 
 
 =  6 3 2
3 2 (− 4 + 7 4 + 24 4 +12)    (2.22). 
 
Підставимо знайдені коефіцієнти (2.21) в перше рівняння максимізації 
поліному системи (2.22), та  виконавши математичні тригонометричні 
перетворення отримаємо  рівняння максимізації полінома для знаходження оцінки 
амплітуди гармонічного сигналу при s = 3 
 
r−1 n
 (2 (12 2
4 + 30 4 +12)ev cos0 (v − p )+ 2
0 −(3 4 + 6 4 )
p=0 v=1
e3
v cos3 0 (v − p )+0 )  x
2 2 2 2
v( p) + a0 (3 4 + 6 4 )ev cos 0 (v − p )+0 )  xv( p) − . 
−( 2
4 + 2 4 )ev cos (v − p )+  x3 2
0 0 v( p) − a0 (6 4 +15 4 + 6)2 −
−3 / 2 4 (3 / 2a2
0 + 2 )( 4 + 2)(a0 −1)+ 9 / 4 4 ( 4 + 2) = 0
a0=aˆ0
 
Знайдемо друге рівняння системи (2.20) з розв’язку якого знаходиться 
оцінка дисперсії ексцесної випадкової величини.  
Перше за все знаходимо оптимальні вагові  коефіцієнти  ( p) ( p)
h1v (2 ) ,  h2v (2 )  та 
( p)
h3v (2 ) , які знаходяться з розв'язку алгебраічної  системи лінійних рівнянь 
 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
40 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
    dm1v( p) ()
h( p) ( p) ( p)
1v (2 )F(1,1)v () + h2v (2 )F(1,2)v () + h3v (2 )F(1,3)v () =
 d2
 
    dm ()
h(P) ( )F () + h( p) ( )F () + h( p) 2v( p)
 1v 2 (1,2)v 2v 2 (2,2)v 3v (2 )F(2,3)v () =    (2.23). 
 d2

    dm
 ( p) 3v( p) ()
h1v (2 )F(1,3)v () + h( p) ( )F ( p)
2v 2 (2,3)v () + h3v (2 )F(3,3)v () =
 d2
 
Похідні перших трьох початкових моментів по параметру  2   
 
 
dm1v( p)( ) dm2v( p)( )
= 0 ,  =1, 
d2 d2

dm3v( p) ( )
= 3a0 cos(0(v − p ) +0) . 
d2
 
Розв’яжемо систему (2.20) методом Крамера. Отримаємо коефіцієнти 
h( p)
1v (2) ( p) ( p)
, h2v (2 ) , h3v (2 )  при третьому степені поліному   
 
( p) 2 4a
h ( ) = 2 0 2
1v 2 [ 4 −9 4 −6]еv cos(0 (v− p )+0 ) , 
3
 4
h( p)
2v (2 ) = − 2 [ 2
4 −9 4 − 6] ,                                 (2.24) 
3
h( p)
3v (2 ) = 0 . 
 
Тепер можемо отримати друге рівняння з системи (2.16)  
 
r−1 n
2( 2
4 −9 4 − 6)a0еv cos0 (v − p )+0  xv( p) +
p=0 v=1 . 
+2( 2 −9 − 6)a2е2 cos2  (v − p )+  x2 − a2
4 4 0 v 0 0 v( p) 0 + 2 = 0
2=ˆ2
 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
41 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
Записавши разом обидва рівняння отримаємо систему рівнянь максимізації 
поліному з розв’язку якої можна знайти сумісну оцінку амплітуди радіосигналу та 
дисперсії ексцесної завади при s = 3  
 
 r−1 n
 ( 2 2
2 (12 4 +30 4 +12)еv cos0 (v − p ) +0 −(3 4 + 6 4 )
 p=0 v=1
е3 3
v cos 0 (v − p )+ 2
0 )  xv( p) + a0 (3 4 + 6 4 )е2
v cos2 0 (v − p )+ )  x2
0 v( p) −

−( 2
4 + 2 4 )еv cos0 (v − p )+ 3
0  xv( p) − a0 (6 2
4 +15 4 + 6)2 −

−3 / 2 (3 / 2a2
 4 0 + 2 )( 4 + 2)(a0 −1) + 9 / 4 4 ( 4 + 2) = 0  (2.25) 
a0 =aˆ0


 r−1 n
2( 2
4 −9 4 − 6)a0еv cos0 (v − p )+0  xv( p) +
 p=0 v=1

+2( 2
4 −9 4 − 6)a2 2
0еv cos2 0 (v − p )+0  x
2 − a2
 v( p) 0 + 2 = 0
2 =ˆ2
 
Перше рівняння буде квадратичним по відношенню до шуканого параметру  
a0 , тому з нього можна виразити оцінку â0 , s підставити її в друге рівняння щоб 
знайти оцінку параметру 2 . Також систему (2.25) можна розв’язати за 
допомогою обчислювальної техніки з використанням сучасних математичних 
середовищ. 
 
 
 
2.6. Оцінювання амплітуди раіосигналу при невизначених 
статистичних характеристиках при s = 4  
 
При четвертому степені стохастичного поліному вже можна визначити 
оцінку коефіцієнту ексцесу, так як коефіцієнт ексцесу  4  в якості параметру 
входить в початкові моменти починаючи з моменту четвертого порядку. Тоді  в  

якості  параметра, що оцінюється, буде векторний параметр  = (a0 ,2 , 4 )  
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
42 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
розмірністю g = 3 . А це означає, що система для знаходження сумісної оцінки 
буде вже складатися з трьох рівнянь максимізації поліному, і буде мати вигляд  
 
r−1 n   r−1 n  
 h( p) ( p)
1v ()[xv( p) −m1v( p) ()]+ h2v ()[x2
v( p) −m2v( p) ()]+
p=0 v=1 p=0 v=1
 (2.26) 
r−1 n   r−1 n  
+ h( p) ()[x3
3n v( p) −m3v( p) ()]+ h( p) ()[x2 −m ()]  
4v v( p) 4v( p) ˆ = 0
=
p=0 v=1 p=0 v=1
 
Систему (2.26) записано  в векторному вигляді щоб скоротити запис. 
   
Вагові коефіцієнти h1v ( ) , h2v ( ) , h3v ( )  і h4v ( )  системи (2.26) можна  
знайти з розв'язку наступної алгебраїчної  системи лінійних рівнянь 
 

         dm
( p) ( p) ( p) ( p) 1v( p) ()
h1v ()F(1,1)v () + h2v ()F(1,2)v () + h3v ()F(1,3)v () + h4v ()F(1,4)v () =
 dm
 
        dm
 (P) ( p) 2v( p) ()
h1v ()F(1,2)v () + h2v ()F(2,2)v () + h( p) ()F ( p)
3v (2,3)v () + h4v ()F(2,4)v () =
 d   (2.27) 
m
 
         dm
( p) ( p) ( p) ( p) 3v( p) ()
h1v ()F(1,3)v () + h2v ()F(2,3)v () + h3v ()F(3,3)v () + h4v ()F(3,4)v () =
 dm 
         dm
( p) 4v( p) ()
h1v ()F(1,4)v () + h( p)
2v ()F(2,4)v () + h( p)
3v ()F(3,4)v () + h( p)
4v ()F(4,4)v () =
 dm
 
Для четвертого степеня стохастичного поліному центровані кореляти по 

F(i, j)v ( )  мають вигляд 
 

F(1,1)v ( ) = 2 , 

F(1,2)v ( ) = 22Sv( p) , 

F(2,2)v ( ) =  2
2 ( 4 + 2) + 42S 2
v( p) , 
 
F(1,3)v ( ) =  2
2 ( 4 + 3) + 3 2
2Sv ( ) , 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
43 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
    
F(2,3)v ( ) = 5 2
2 4Sv ( ) + 6 S 3
2 v ( ) +12 2
2 Sv ( ) , 
   
F ( ) =  3
(3,3)v 2 (15 4 +15) + 92S 4
v ( ) + 3 2
2 (5 4 +12)S 2
v ( ) + 92S 4
v ( ) , 
 
F 3
(1.4)v = 42Sv( p) ( )( 4 + 4) + 4Sv( p) ( )2 , 
 
F 3 2 2 4
(2.4)v = 2 (14 4 +12) + 2Sv( p) ( )2 (7 4 +18) +8Sv( p) ( )2  
,
 
F(3.4)v = 2S3 2
v( p) ( )2 (17 4 + 42) +12S5
v( p) ( )2 , 
 
F 4
(4.4) = 2 (30 2 + 204 2 3 4 2
4 4 + 96) + 408Sv( p) ( )2 4 + 68Sv( p) ( )2 4 +
  
+16S6
v( p) ( )2.
 
Знайдемо перше рівняння максимізації полінома, тобто  для знаходження 
оцінки амплітуди сигналу.  
Похідні початкових моментів  по параметру  a0   
 
 
dm1v( p) ( ) dSv( p) ( )
= ,  
da0 da0
 
dm 
2v( p) ( ) 2Sv( p) ( )
= 2Sv( p) ( )  
da0 da0
 
dm 
3v( p) ( ) 2 dSv( p) ( )
= 3[Sv( p) ( ) + 2] . 
da0 da0
 
dm  
4v( p) ( ) 3 dSv( p) ( )
= [4Sv( p) ( ) +12Sv( p) ( )] . 
da0 da0
 
Модель корисного сигналу (2.2) не будемо підставляти, інакше отримаємо 
дуже  громістки записи. Її можна буде підставити безпосередньо при розв’язку 
системи на компьютері. 
Розв’язжемо систему (2.26) методом Крамера, та  отримаємо  значення 
( p) ( p) ( p) ( p)
оптимальних вагових коефіцієнтів h1v (a0 ) ,h2v (a0 )  , h3v (a0 ) , h4v (a0 ) : 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
44 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 

( p) dSv( p) ( ) 1
h (a ) = [ 9 (408 4 +1116 3 2
1v 0 2 4 4 + 2472 4 +1584 4 + 288) +
da0 4 , 

+ 8.5S ( )(−102 4
2 v( p) 4 − 228 3 − 504 2
4 4 −144 4 )]
 

h( p) dSv( p) ( ) 1
2v (a ) = 8 4 3 2
0 2Sv( p) ( )(102 4 + 228 4 + 504 4 +144 4 ) ,   (2.28) 
da0 4
 
h( p) dSv( p) ( ) 1
(a ) = 8(−34 4 − 76 3
3v 0 2 4 4 −168 2
4 − 48 4 ) , 
da0 4
 
h( p)
4v (a0 ) = 0 ,        
 
Головний визначник системи (2.26)  при s = 4  для ексцесної величини дорівнює  
 
 = 10(−34 5
4 2 4 + 320 4 3
4 + 720 4 +1920 2
4 +1440 4 + 288) . 
 
Отже перше рівняння максимізації полінома системи (2.26) для 
знаходження оцінки амплітуди буде мати вигляд 
 

r−1 n dSv( p) ( )
( [ 9
 2 (408 4
4 +1116 3
4 + 2472 2
4 +1584 4 + 288) +
p=0v=1 da0
 
+ 8.5 4 3 2 8
2 Sv( p) ( )(−102 4 − 228 4 −504 4 −144 4 )]  xv( p) + 2Sv( p) ( )  
 (102 4 + 228 3 + 504 2 +144 )  x2 + 8(−34 4 3 2
4 4 4 4 v( p) 2 4 − 76 4 −168 4 −
− 48 3
4 )  xv( p) = 0
a0 =aˆ0
 
Для другого рівняння максимізації поліному знайдемо вагові коефіцієнти 
h( p)
1v ( ) h( p)
2 , 2v (2 ) , h( p)
3v ( ) h( p)
2 , 4v (2 ) . Спочатку потрібно знайти  похідні  
початкових  моментів по   2   
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
45 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
 
dm1v( p)( ) dm2v( p)( )
= 0 ,   =1, 
d2 d2
 
dm ( ) 
3v( p) dm4v( p)( ) 
0.5
= 3Sv( p) ( ) .  = 62 3Sv( p)( ) + 62 , 
d2 d2
 
По-друге, розв’язати систему  методом Крамера. Отримаємо наступні коефіцієнти  
  

( p) 4 7
2 Sv ( ) 
2
h1v (2 ) = [Sv ( )(24 4 + 24 2 − 66 3 4
4 4 + 2 4 ) +
4 , 
+ 2 (72 − 396 4 − 438 2 + 21 3
4 4 + 3 4
4 )]
6 7 
h( p) ( ) = 2 [S 2 ( )(24 + 48 2 + 22 3 − 2 4
2v 2 v 4 4 4 4 ) +
4 ,                  (2.29) 
+ 2 (−24+108 4 +146 2
4 + 7 3
4 + 
4
4 )]
( p) 8 7 
h3v (2 ) = 2 Sv ( )(16+12 −11 3 + 3
4 4 4 ) , 
4
7
h( p) 22 3 3
4v (2) = −  4 (12+12 4 −10 4 + 4 ) . 
4
 
Отримаємо рівняння максимізації для знаходження оцінки дисперсії завади  
підставивши коефіцієнти (2.29) 
 
r−1 n 
2
[4Sv ( )(24 2
4 + 24 4 − 66 3
4 + 2 4
4 ) +2 (72−396 4 − 438 2
4 +
p=0v=1

+ 21 3
4 + 3 4 2
4 )]xv( p) + +[6Sv ( )(24 4 + 48 2 3
4 + 22 4 − 2 4
4 ) + 2 (−24+

+108 +146 2 3 4
4 4 + 7 4 +  4 )]  x2
v( p) | +8Sv ( )(16+12 4 −11 3
4 + 
3
4 )  
 x3
v( p) − 2 3 3 4 2
4 (12+12 4 −10 4 +  4 )xv( p) − 2 (122 + 422 4 +  4 ) +
+  2
2 ( 3 2
4 +  4 − 6 4 ) = 0
2 =ˆ2
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
46 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
Аналогічно знайдемо трете рівняння системи (2.26), з розв’язку якого  буде 
знаходитися оцінка коефіцієнта ексцесу  4 .  
Похідні перших трьох початкових моментів по параметру  4 , дорівнюють  
нулю, так як параметр не входить до них, а похідна четвертого  моменту дорівнює 

dm4v( p) ( )
= 2 . 
d 4
 
Розв’язавши систему (2.27) отримаємо, що коефіцієнти при оцінюванні 
( p) ( p) ( p) ( p)
коефіцієнта ексцесу h1v ( 4 ) , h2v ( 4 ) , h3v ( 4 ) , h4v ( 4 )  будуть відповідно 
дорівнювати 
 

8
( p) 4 2 S ( ) 
2
h ( ) = v
1v 4 [Sv ( )(24 4
4 + 56 3
4 −166 2
4 + 28 4 ) +
 4 , 
+  (3 4
2 4 − 96 3 2
4 − 48 4 + 21 4 + 72)]
8 
h( p)
2v ( 4 ) = − 2 [S 2
v ( )(2 4 + 24 3
4 4 + 57 2
4 + 48 4 −36) +
4 ,     (2.30) 
+ 2 (−7 3 2
4 + 57 4 + 98 4 + 39)]
48 
h( p) ( ) = 2 S ( )(3 3 +12 2 3
3v 4 v 4 4 − 7 4 + 24) , 
4
( p) 8
h ( ) = − 2 3 2
4v 4 ( 4 −11 4 +12 3
4 +12) . 
4
Як вже не раз робили, підставимо знайдені коефіцієнти (2.30) в рівняння 
максимізації поліному (2.26) та математично спростимо вираз і тоді  отримаємо 
рівняння максимізації полінома для знаходження оцінки параметру   4  при 
четвертому степені степеневого поліному  
 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
47 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
r−1 n 
2
[4S ( )(24 4 3 2
 v 4 + 56 4 −166 4 + 28 4
4 ) +2 (3 4 −96 3
4 − 48 2
4 +
p=0v=1

+ 21 4 + 72)]x 2 4
v( p) − [Sv ( )(2 4 + 24 3
4 + 57 2
4 + 48 4 −36) + 2   

 (−7 3
4 + 57 2
4 + 98 4 + 39)]  x2
v( p) +8Sv ( )(3 3 2
4 +12 4 − 7 3
4 + 24)  x3
v( p)
− 2 ( 3 −11 2 3 4
4 4 4 +12 4 +12)xv( p) −152 = 0
 4 =ˆ4
 
Отже отримали всі три рівняння максимізації поліному та складемо їх в 
систему (3.31).  
 

 r−1 n dSv( p) ()
 ( [9
2 (4084 3 2
4 +11164 + 24724 +15844 + 288) +
p=0 v=1 da0
  
+ 8.5 4 3 2 8
 2 Sv( p) ()(−1024 − 2284 − 5044 −1444 )]  xv( p) + 2Sv( p) ()

 (1024 + 2283 + 5042 +144 )  x2 8
4 4 4 4 v( p) + 2 (−344
4 − 763
4 −1682
 4 −
− 484 )  x3
 v( p) = 0
a0=aˆ0


 r−1 n 
2
[4S 2 3 4
v ()(244 + 244 − 664 + 24 ) +2 (72 − 3964 − 4382
4 +
p=0 v=1

+ 213
4 + 34
4 )]xv( p) + +[6S 2
v ()(244 + 482
4 + 223
4 − 24
4 ) + 2 (−24 +

 
+108 +1462 + 73 + 4 )]  x2
 4 4 4 4 v( p) | +8Sv ()(16 +12 −113 3
4 4 + 4 )

 x3 3 3 4 2
 v( p) − 24 (12 +124 −104 + 4 )xv( p) − 2 (122 + 4224 + 4 ) +

+ 
2 3
2 (4 + 
2
4 − 64 ) = 0
2=ˆ 2


 r−1 n 
2
[4S 4 3 2 4 3
v ()(244 + 564 −1664 + 284 ) +2 (34 − 964 − 482 +        (3.31) 
4
p=0 v=1
 
+ 214 + 72)]x − [S 2 4
v( p) v ()(24 + 243
4 + 572
4 + 484 − 36) + 2 
 
 (−73
4 + 572
4 + 984 + 39)]  x2 3 2 3 3
 v( p) + 8Sv ()(34 +124 − 74 + 24)  xv( p)
− 24 (3
4 −112
4 +123
4 +12)x4
v( p) −15
 2 = 0
4=ˆ4


Як вже згадувалося математичну модель сигналу та його похідні будемо 
підставляти в рівняння безпосередньо при розв’язку його на комп’ютері, тому що 
система є досить громіздкою і оперувати нею вручну буде дуже складно, а 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
48 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
сучасний рівень програмного забезпечення дозволяє достатньо швидко 
розв’язувати подібні системи 
Отже синтезовано алгоритми  сумісного оцінювання трьох невідомих 
параметрів ексцесної випадкової величини. Але будь які оцінки неможливо 
вважати достовірними, поки не буде перевірено точність з якою вони отримані. 
Тому в наступному розділі проведемо дослідження точносних характеристик 
отриманих оцінок і порівняти їх з відомими оцінками отриманими класичними 
методами. 
 
 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
49 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
3. ТОЧНІСТЬ ОЦІНЮВАННЯ АМПЛІТУДИ СИГНАЛУ ПРИ НЕВІДОМИХ 
ПАРАМЕТРАХ ЕКСЦЕСНОЇ ЗАВАДИ 
 
3.1 Точність  оцінювання амплітуди сигналу при лінійній обробці 
випадкової величини  
 
Дослідимо точність синтезованих в роботі алгоритмів оцінювання 
параметрів. При першому степені стохастичного поліному отримана оцінку 
одного параметру, а саме амплітуди радіосигналу. Знайдемо дисперсію цієї 
оцінки. 
Згідно методу максимізації поліному для знаходження дисперсії оцінки 
спочатку необхідно знайти кількість інформації J sn (0 ) , що здобута про  шуканий 
параметр. А сама дисперсія буде асимптотично дорівнювати величині зворотної 
J sn (0 ) . Кількість інформації, що здобута про оцінюваний параметр при s =1 
можна знайти по формулі  
 
r−1 n d
J1n ( ( p)
0) =h1v (0) m1v( p)(0) .   (3.1) 
p=o v=1 d0
 
Вирази для коефіцієнтів h( p)
1v (0)  та початкових  m1v( p) (0)  були  отримані в 
попередньому розділі. Підставимо їх в вираз (3.1) та отримаємо кількість 
інформації, що здобута про параметр 0  
 
1 r−1 n
J1n ( 2 2
0 ) = ev cos [0 (v − p )+0 ] =
2 p=0 v=1
. 
1 r−1 n
 (1+ ev cos2[0 (v − p )+0 ]
22 p=0 v=1
 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
50 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
Щоб математично спростити даний вираз будемо вважати, що шаг 
дискретизації   вибрано так, що за час спостереження відбувається ціле число 
періодів гармонічних коливань, тоді буде справедливі наступні  рівності 
 
n
sin N[0(v − p) + 0]= 0 , 
v=1
n
cos N[0(v − p) + 0 = 0 ,    (3.2) 
v=1
 
для любого цілого N =1,2,... 
Тоді спростивши  отримаємо, що кількість здобутої інформації про параметр 
0  дорівнює 
 
rn
J1n (0) =  
22
 
А сама дисперсія оцінки амплітуди сигналу буде асимптотично дорівнювати  
 
2 
2 2
( )1  .     (3.3) 
0 nr
 
З виразу (3.3) можна сказати, що першому степені дисперсія оцінки 
амплітуди радіосигналу залежить від  потужності (дисперсії) завади 2 , об’єму 
вибірки, що спостерігається, та кількості приймальних елементів в 
багатоканальній системі. 
 
 
 
3.2. Дисперсії оцінок  параметрів ексцесної випадкової величини  
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
51 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 при s=2 
 
При s=2 методом максимізації полінома, були синтезовані алгоритми  
сумісної оцінки двох параметрів амплітуди радіосигналу та дисперсії ексцесної 
завади. 
Як відомо з теорії, для дослідження точністних властивостей  оцінки 
векторного параметра використовується так звана варіаційна матриця оцінок 

Vsn(r ) (0) , яка асимптотично, тобто  при n→  наближено  дорівнює оберненій 

матриці кількості здобутої інформації J sn(r ) (0)  
 
 
V −1
sn(r ) (0) = J sn(r ) (0) .     (3.4) 
 

Елементи матриці  кількості здобутої інформації J (m,r )
sn(r ) (0) ,   m,r =1, g , в 
загальному випадку знаходяться  з наступного рівняння 
 
 g n s  d 
J (m,r)
sn(r) (0) =h( p)
iv(r)() m ()     (3.5) 
iv( p)
p=1 v=1 i=1 dm
 
Дана формула (3.5) при другому степені стохастичного полінома прийме  
вигляд  
 
 
 r−1 n  dm () r−1 n  dm ()
J (m,r)
2n(r) () = h( p)() 1v  
1v ˆ +
=  h( p) 2v
2v () . 
 ˆ
p=0 v=1 dm p=0 v=1 dm =
 
Знайдемо елементи матриці кількості інформації про векторний  параметр 
 = (а0 ,2 )  спочатку в загальному вигляді. Для цього підставимо вагові 

коефіцієнти h( p)
iv ()та похідні початкових моментів по параметрам  0 , 2  які 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
52 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
були отримані в попередньому розділі тоді  отримаємо, що  елементи матриці 
кількості інформації визначаються з формули 
 
 2
 2( + 2) r−1 n  dS 
(1,1) 2 4  v( p)()
J2n(r )() =    , 
  
2 p=0 v=1  d0 
 
 r−1 n
J (2,2) 1
2n(r )() = 2 ,      (3.6) 
2 p=0 v=1
  
  1.5 r−1 n dS ()
J (1,2) () = J (2,1) 2 v( p)
2n(r ) 2n(r)() =  . 
2 p=0 v=1 d0
 
Підставимо в отримані вирази (3.6) математичну модель гармонічного 
радіосигналу (2.2),  та враховуючи умови (3.2) і виконавши нескладні алгебраїчні 
перетворення, отримаємо елементи матриці кількості здобутої інформації при 
другому степені  
 
2
(1,1) 2(4 + 2)nr
J2n(r ) = ,       
2
 
J (2,2) 2nr
2n(r ) = ,     (3.7) 
2
 
J (1,2) (2,1)
2n(r ) = J2n(r ) = 0 . 
 
 Отже отримана матриця кількості інформації, що здобута про векторний 
параметр  = (а0 ,2 )  буде мати наступний вигляд 
 
rn 2(4 + 2) / 2 0
J2n( p) =
2
 
 0 1
.    (3.8) 
2  
 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
53 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 Для отримання варіаційної матриці, виконаємо обернення матриці кількості 
інформації (3.8). Спочатку  знаходимо визначник матриці (3.8) 
 
3
2(4 + 2)n2r2
J2n(r ) = . 
22
2
 
Тоді обернена матриця буде мати вигляд 
 
22
2 rn 1 0
−1 2 
J 2n(r) =   . 
3
2(4 + 2)n2r2 2 
2 0 2(4 + 2) / 2
 
Перемноживши, остаточно отримаємо варіаційну матрицю 
 
 2 
2  0
V2n(r ) =   ( + 2)  .     (3.9) 
 rn 2 4
2  
 0 1
 
З теорії відомо, що на головній діагоналі матриці будуть розташовані 
дисперсії: амплітуди сигналу та дисперсії ексцесної завади. Як бачемо з (3.9) інші 
елементи матриці дорівнюють нулю, а це значить, що дисперсії параметрів 0 , 2  
при спільному оцінюванні дорівнюють дисперсіям цих же параметрів, у випадку 
якби  вони оцінювалися окремо. Тотдо оцінки не корельовані. 
Підставимо в варіаційну матрицю (3.9) об’єм тіла стохастичного поліному, 
знайдений раніше, при s = 2  
 
2 = 
3
2(4 + 2) , 
 
та отримаємо, що дисперсія оцінки амплітуди радіосигналу дорівнює 
 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
54 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
2 2
2n( ) =
2 ,     (3.10) 
0 nr
 
Отримана дисперсія співпадає з виразом дисперсії (3.3), отриманою при 
першому степені поліному,  тобто коли не враховується негауссовість завади.  
З виразу (3.9) підставивши об’єм тіла стохастичного поліному отримаємо  
дисперсію оцінки параметру 2   
 
2
2 2(4 + 2)
2n( ) =      (3.11) 
2 nr
 
 Та пам’ятаємо, що для ексцесної випадкової величини при другому степені 
коефіцієнт ексцесу 4  може приймати значення в інтервалі (−2,) . Як бачимо з  
(3.11) якщо  коефіцієнт ексцесу прямує до границі області визначення 4 →−2 , то 
дисперсія оцінки буде прямувати до нуля 2
2n( ) → 0 , тобто спостерігається 
2
значне зменшення дисперсії, а значить і підвищення точності оцінювання. 
 
 
 
 
 
3.3. Асимптотичні властивості спільної оцінки при третьому степені 
поліному 
 
При третьому степені стохастичного поліному також було синтезовано 
алгоритми знаходиться спільної оцінки двох параметрів амплітуди радіосигналу 
0  та дисперсії ексцесної випадкової величини 2 . Тому для дослідження 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
55 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
точністних характеристик при s = 3  також знайдемо матрицю кількості 
інформації, яка буде 2х2..  

Елементи матриці J (m,r )
3n(r ) ()  при третьому степені поліному знаходяться з 
наступної  формули 
 
 
 r−1 n 
(m,r ) ( p) dm1v () r−1 n  dm ()
J   ( p) 2v
3n(r ) () = h1v () ˆ + h () +
=   2v  ˆ
p=0 v=1 dm p=0 v=1 dm =
     
r−1 n 
+ h( p) dm3v ()
3v () ,
 ˆ
p=0 v=1 dm =
 
Вагові коефіцієнти рівняння максимізації поліному для параметрів 0 , 2   
та похідні початкових моментів по цим же параметрам були отримані в 
попередньому розділі, тому підставивши їх, одержимо елементи  
 
(1,1) (92
4 + 244 +12)nr
J3n(r ) = ,        
2(72 + 24 − 3
2 4 4 4 +12)
 
J (2,2) nr
3n(r ) = ,   
2
2(4 + 2)
 
J (1,2) (2,1)
3n(r ) = J3n(r ) = 0 . 
 
 Отже  матриця  кількості інформації, що здобута про векторний параметр 

 = (0 ,2)   при s = 3 буде мати наступний вигляд  
 
 2(92 + 24 +12)nr 
 4 4 0 
2
 2(72
4 + 24 − 3 +12)
J3n(r ) =
4 4     (3.12) 
 nr 
 0
2 
 2(4 + 2) 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
56 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
Виконаємо обернення матриці (3.12), щоб отримати варіаційну матрицю. В 
результаті обернення, отримаємо дисперсії відповідно: амплітуди сигналу та 
потужності  завади, які розташовані на головній діагоналі варіаційної матриці. 
Інші елементи матриці кількості здобутої інформації, як бачимо з виразу (3.12), 
дорівнюють нулю. Це означає, що дисперсії шуканих параметрів 0 , 2  при їх 
спільному оцінюванні при  s = 3 співпадають з дисперсіями відповідних 
параметрів при їх окремому оцінюванню. Тому для дослідження точності оцінки 
параметрів достатньо знайти тільки елементи головної діагоналі матриці. Перший 
діагональний елемент матриці буде дорівнювати 
 
2
(1,1) 22(74 + 244 − 
3
4 +12) 2  3 + 22 
V 2  4 4 
3n(r) = = 1− . 
nr(92
4 + 244 +12) nr  92 + 24 +12  4 4 
 
 Для, спрощення запису позначимо 
 
3
4 + 22
q =1− 4
31(0 ) .                                      (3.13) 
92
4 + 244 +12
 
Тоді  дисперсія оцінки амплітуди сигналу при третьому степені дорівнює 
 
2
2 =V (1,1) 2
3n(0 ) 3n(r ) = q31( .    (3.14) 
nr 0 )
 
Порівняємо вирази дисперсії оцінки амплітуди сигналу при першому 
степені s =1 (3.3) та тільки що отриманої дисперсії ̂0  при третьому степені s = 3 
(3.14). З порівняння бачимо, що дисперсія ̂0  при s = 3 менша ніж дисперсія ̂0  
при s =1, тобто гауссівській заваді в коефіцієнт q31( )  (3.13), який залежить від 
0
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
57 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
значень, що приймаються коефіцієнтом ексцесу 4 . На рисунку 3.1. зображено 
графік коефіцієнта зменшення дисперсії 
 
 
 
 
Рис 3.1. Залежність q31( )  від  4  при s = 3 
0
 
З [9] відомо, що кумулянтні коефіцієнти при кожному степені поліному 
мають свої допустимі значення. Так при s = 3 область значень  коефіцієнту  
ексцесу 4  (-0,623:9,623)  З графіка 3.1. видно що при прямуванні 4  до границь 
області допустимих значень дисперсія оцінки параметру прямує до нуля. 
Дисперсія оцінки потужності завади 2  буде відповідати  другому 
діагональному елементу отриманої варіаційної матриці  
 
2
V (2,2) ( + 2)
3n(r ) = 
2 2 4
3n( ) = .    (3.15) 
2 nr
 
Як бачимо дисперсія оцінки  при третьому степені (3.15) повністю співпадає  
с дисперсією отриманою при s = 2   (3.15). Також цей вираз співпадає з 
дисперсією оцінки параметр 2  знайденої класичним методом, а саме методом 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
58 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
моментів в роботі [9]). Тому можна зробити висновок, що при оцінюванні 
дисперсії ексцесної випадкової величини при третьому степені стохастичного 
поліному зменшення дисперсії оцінки не спостерігається, тобто виграшу в 
точності не буде. Тільки відмінністю буде  зменьшення  області  визначення  
коефіцієнту ексцесу від (−2,)  до  (-0,623;9,623). 
 
 
 
 
3.4. Дисперсії сумісної оцінки параметрів при четвертому степені 
стохастичного поліному 
 
Як вже згадувалося раніше, починаючи з s = 4  можливо знайти оцінку 
коефіцієнту ексцесу. В другому розділі булу синтезовані алгоритми сумісної 
оцінки амплітуди радіосигналу, дисперсії та коефіцієнту ексцесу у випадку  
ексцесної випадкової величини. Дослідимо точність цих оцінок, знайшовши їх 
дисперсії при сумісному оцінюванні.  
Для початку знайдемо елементи матриці кількості здобутої інформації 

J (m,r )
4n(r ) () , яка буде розміром 3х3 за формулою  
 
 
 r−1 n 
(m,r ) ( p) dm1v () r−1 n 
( p) dm2v ()
J4n(r ) () = h  
1v () ˆ + h2v () +
p=0 v=1 d =  ˆ
m p=0 v=1 dm =
      
r−1 n  r−1 n 
+ h( p) dm3v () ( p) dm4v ()
3v () + h4v () .
 ˆ  ˆ
p=0 v=1 dm = p=0 v=1 dm =
 
Як вже казали векторний параметр, що оцінюється має три компоненти  

 = (0 ,2 ,4) . 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
59 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
В другому розділі, при знаходженні оцінки вже були отримані вагові 

коефіцієнти h( p)
iv ()  а також похідні початкових моментів по параметрам  0 , 2 , 
4 . підставимо їх до крайнього виразу і виконаємо алгебраїчні спрощення. 
Отримаємо слідуючі значення елементів матриці кількості здобутої інформації  
 
(1,1) nr(3964 + 8883 +19682 +1440 + 228)
J4n(r ) =
4 4 4 4 , 
22(−345
2 4 + 3204
4 + 7203
4 +19202
4 +14404 + 288)
 
5 4 3 2
J (2,2) nr(−24 +134 + 214 + 3544 + 2244 + 72)
4n(r ) = , 
42
2(−345
4 + 3204
4 + 7203
4 +19202
4 +14404 + 288)
 
(3,3) nr(−3
4 + 72
4 + 244 +12)
J4n(r ) = ,    (3.16) 
(−345 4 3 2
4 + 3204 + 7204 +19204 +14404 + 288)
 
J (1,2) = J (2,1) (1,3) (3,1)
4n(r ) 4n(r ) = J4n(r ) = J4n(r ) = 0 , 
 
3 2
J (2,3) (3,2) nr4(−
= J = − 4 +114 −124 −12)
4n(r ) 4n(r ) . 
 (−345
2 4 + 3204
4 + 7203
4 +19202
4 +14404 + 288)
 
 З (3.16) бачимо, що  при s = 4  матриця кількості інформації, що здобута про 
векторний параметр  = (а0 ,2 , 3)  буде мати наступний  вигляд 
 
 J (1,1) 
 4n(r ) 0 0

J = 0 J (2,2) (2,3)
4n(r )  4n(r ) J4n(r )      (3.17) 

0 J (3,2) J (3,3) 
 4n(r ) 4n(r ) 
 
За  діагональними  елементами матриці кількості інформації, визначимо 
дисперсії оцінок параметрів, що підлягали в даному пипадку спільному 
оцінюванні. 
З (3.16) видно, так як елементи матриці J (1,2) = J (2,1) (1,3) (3,1)
4n(r ) 4n(r ) = J4n(r ) = J4n(r )  дорівнюють 
нулю, то дисперсія амплітуди сигналу при сумісному оцінюванні буде такою ж 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
60 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
самою, як і  дисперсія даного параметру, якби  ми оцінювали  його тільки одного, 
вважаючи всі інші параметри випадкової величини відомими.  
Знайшовши перший елемент варіаційної матриці (оберненої до матриці  
J4n(r ) ) маємо  
 
22(−345 4
2 2 4 + 3204 + 7203 +19202 +1440 + 288)
4n( ) =
4 4 4 , 
0 nr(3964 3 2
4 +8884 +19684 +14404 + 228)
 
або приведемо д стандартного вигляду 
 
22  345 + 764 +1683 + 482 
2 = 2 
4n( ) 1−
4 4 4 4 
  (3.18). 
0 nr  3964
4 + 8883
4 +19682
4 +14404 + 228
 
 
 
Введемо наступне позначення 
 
345 + 764
4 4 +1683 + 482
q 4 4
41( ) =1− , (3.19) 
0 3964
4 + 8883 2
4 +19684 +14404 + 228
 
та порівняємо дисперсії отриманих оцінок амплітуди при першому степені s =1 
(вираз (3.3))  та при четвертому степені s = 4  (вираз (3.18)).  
Бачимо, що дисперсія оцінки амплітуди радіосигналу при s = 4  буде 
меншою, ніж при s =1 в коефіцієнт q41( )  (3.19), який і називається коефіцієнтом  
0
ефективності. Тому, робимо висновок, що  оцінка параметру амплітуди 0  при 
s = 4  буде точнішою  в порівнянні до оцінки, що знайдена без врахування 
негауссівського характеру завади, тобто при s =1, або класичним методом.  
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
61 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
На рисунку 3.2. намальований графік залежності даного  коефіцієнта 
ефективності q41( )  від значень, що приймає коефіцієнт ексцесу 4 . Область 
0
визначення 4  при четвертому степені  (-0,327;9,623). 
 
 
Рис. 3.2. Залежність q41( )  від 4  при s = 4  
0
 
З графіку знову бачимо, що буде спостерігатися зменшення дисперсії. 
Особливо при прямуванні коефіцієнта ексцесу  до меж припустимих значень 
 →−0,327  та 4 → 0,9623, в цих точках дисперсія оцінки амплітуди сигналу 
4
прямує до нуля. 
Знайдемо дисперсію оцінки другого параметру, тобто потужності завади 2  
при сумісному оцінюванні з амплітудою сигналу та коефіцієнтом ексцесу при 
s = 4 . При здійснені оберненя матриці кількості інформації  другий діагональний 
елемент варіаційної матриці, тобто дисперсія оцінки ̂2  буде визначатися з 
формули 
 
J (3,3)
2 =V (2,2) 4n(r )
4n( ) 4n(r ) =  
2
J (2,2) J (3,3) − J (2,3) 2
4n(r ) 4n(r ) 4n(r )
 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
62 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
Підставимо знайдені раніше вирази для елементів матриці  (3.16) і 
виконавши математичні спрощенні отримаємо 
 
2( + 2)
2 = 2 4
4n( .     (3.20) 
2 )
nr
 
 Знову дисперсія оцінки потужності завади  2  (3.20) при сумісному 
оцінюванні трьох параметрів 0 ,2 ,4  методом максимізації поліному  при s = 4  
повністю співпадає з дисперсіями даного параметру отриманими  при менших 
степенях поліному s = 2,3. Тоді якби ми окремо оцінювали параметр 2 , то  при 
s = 4  спостерігалось би зменшення дисперсії, яке залежить від коефіцієнта 
ексцесу [9]. Це пояснюється тим, що при спільному оцінювання  параметрів  ,  
2 4
оцінки виходять картельованими, на це вказує відмінність від нуля  елементів 
матриці здобутої інформації J (2,3)
4n(r ) , J (3,2)
4n(r )  (3.17). 
І знайдемо дисперсію останнього параметру сумісного оцінювання, а саме  
коефіцієнта ексцесу 4 , при четвертому степені стохостичного поліному s = 4 .  
Дана дисперсія буде дорівнювати третьому діагональному елементу  варіаційної 
матриці 
 
J (2,2)
2 (3,3) 4n(r )
4n( ) =V
4 4n(r ) =  
J (3,3) J (2,2) (2,3) 2
4n(r) 4n(r ) − J4n(r )
 
Підставивши в дану формулу знайдені раніше елементи матриці здобутої 
інформації  (3.16), та математично спростивши  отримаємо 
 
2 1
4n( ) = (24+ 724 +102 + 43
4 4) .   (3.21) 
4 nr
 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
63 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
Пам’ятаємо, що при s = 4  область допустимих значень коефіцієнту ексцесу 
(−0.327,9.623) . 
Так як при менших степенях поліному даний параметр не можливо було 
оцінити, то для  порівняння  застосуємо оцінку даного параметру отриману  
методом моментів  в роботі [9]. Побачимо, що отримана дисперсія оцінки 
коефіцієнту ексцесу (3.21) повністю співпадає з дисперсією даного параметру 
отриманою методом моментів [9]. Тому, можна сказати, що при s = 4  при 
оцінюванні параметру  4  зменшення дисперсії не спостерігається, тоді якби 
окремо оцінювали параметру 4 , тобто ввіжаючи що потужність завади нам 
апріорно відома, спостерігалось би  зменшення дисперсії, яке  залежало б  від 
значень, що приймає коефіцієнт ексцесу [7]. 
Отже, по результатам роботи можна зробити висновки, що при сумісному 
оцінюванні амплітуди радіосигналу та параметрів ексцесної завади методом 
максимізації поліному при степенях s = 2,3,4  та при багатоканальній обробці, 
дисперсія оцінки амплітуди прийнятого радіосигналу  з ростом степеня 
стохастичного поліному зменшується. Це пояснюється тим, що враховується 
негауссівський характер завади у вигляді коефіцієнту ексцесу. Найбільше 
зменшення дисперсії буде спостерігатися на межах області допустимих значень, 
що приймає коефіцієнт ексцесу при кожному степені.  
Дисперсія потужності ексцесної завади 2  при сумісному оцінюванні при 
s = 2,3,4  залишається незмінною, тобто покращення точності оцінки не 
спостерігається, на відміну якби ми розглядали окреме оцінювання даного 
параметру [9], так як при сумісному оцінювання відбувається кореляція між 
параметрами завади. 
І при четвертому степені стохастичного поліному, є можливість оцінити 
коефіцієнт ексцесу, якщо він апріорно невідомий. 
 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
64 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
ВИСНОВКИ 
 
В даній роботі розроблені алгоритми оцінювання амплітуди радіосигналу 
при умові, що статистичні характеристики ексцесної завади заздалегідь не відомі 
спостерігачу. При цьому застосовується багатоканальна обробка випадкової 
величини.  
Побудовано математичну модель випадкової величини, що приймається у 
вигляді адитивної суміші корисного радіосигналу та негауссівської ексцесної 
завади, яка описується за допомогою кумулянтних коефіціентів. 
В роботі проаналізовано існуючі методи знаходження оцінок параметрів 
випадкових величин, в результаті чого обрано метод максимізації поліному, 
перевагою якого є можливість враховувати негауссівський характер завад за 
допомогою кумулянтних коефіцієнтів вищих порядків. Метод застосовує 
степеневі стохастичні поліноми, які проявляють гарні властивості при 
знаходженні оцінок параметрів випадкових величин. Одна з основних 
властивостей – можливість зменшення дисперсії отриманих оцінок, яка і була 
доведена в роботі. 
В роботі саме методом максимiзацiї полінома були побудовані алгоритми 
знаходження сумісної оцінки амплітуди радіосигналу та статистичних 
характеристик завади з першого до четвертого степеня стохастичного поліному.  
Також в роботі були досліджені точносні характеристики оцінок параметрів 
прийнятої випадкової величини отриманих на основі запропонованих алгоритмів. 
Показано, що при степенях s = 2,3,4  дисперсія оцінки амплітуди радіосигналу при 
спільному оцінюванні з характеристиками ексцесної завади буде такою ж як і 
дисперсія даного параметру при окремому оцінюванні. Це пояснюється тим, що 
оцінки параметрів сигналів та параметрів завади не корельовані між собою. 
Для дослідження результатів в роботі побудовано графіки, які показують 
залежність коефіцієнта ефективності оцінки амплітуди сигналу від коефіцієнта 
ексцесу. З графіку видно, що з ростом степеня стохастичного поліному дисперсія 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
65 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
оцінки параметру амплітуди сигналу зменшується. Причому зменшення буде 
залежати від значень коефіцієнту ексцесу. і найбільше зменшення буде 
спостерігається на межах області допустимих значень коефіцієнта ексцесу.  
Отримані дисперсії оцінок характеристик завади: потужності та коефіцієнту 
ексцесу, при сумісному оцінюванні повністю співпадають з дисперсіями оцінок 
цих параметрів отриманих одним з класичних методів, тобто зменшення дисперсії 
не спостерігається, але вони дають можливість визначити ці параметри. 
На основі синтезованих в роботі алгоритмів можна будувати достатньо 
точні системи для вимірювання амплітуди радіосигналу при невідомих 
статистичних характеристиках негауссівської ексцесної завади.  
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
66 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ 
 
1.  Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы / Баскаков С. И. ‒ М.: 
Высшая школа, 2005. ‒ 464 с. 
2.  http://pdf.lib.vntu.edu.ua/books/IRVC/Kichak_P1_2018_122.pdf 
3. Радиотехнические системы : учебник для студ. высш. учеб. заведений / [Ю. 
М. Казаринов, Ю. А. Коломенский, Ю. П. Гришин и др. ] ; под ред. Ю. М. 
Казаринова. ‒ М. : Издательский центр «Академия», 2008. ‒ 592 
4. Ширман Я. Д. Радиоэлектронные системы. Основы построения и теория / 
Ширман Я. Д. ‒ М. : Радиотехника, 2007. ‒ 512 с. 
5. Б. Ф. Бондаренко, В. В. Вишнівський, В. П. Долгушин та ін. Теорія 
радіолокаційних систем; за ред. С. В. Лєнкова , - К. : ВПЦ «Київ. ун-т», 
2011. - 384 с.  
6. М. М. Сумик. Основи теорії радіотехнічних систем, - Л. : Вид-во Нац. ун-ту 
«Львів. політехніка», 2005. - 240 c. 
7. Кунченко Ю.П., Лега Ю.Г. Оценка параметров методом максимизации 
полинома К.: Наукова думка, 1992.-180с.  
8. Кунченко Ю.П. Полиномиальные оценки параметров близких к 
гауссовским случайных величин. Часть 1. Стохастические полиномы, их 
свойства и применения для нахождения оценок параметров. - Черкассы: 
ЧИТИ, 2001. –252 с. 
9. Кунченко Ю.П. Полиномиальные оценки параметров близких к 
гауссовским случайных величин. Часть 2.  Оценка параметров близких к 
гауссовским случайных величин. - Черкассы: ЧИТИ, 2001. –133 с. 
10. Воробкало Т. В. Сумісна оцінка параметрів гармонійного сигналу, що 
приймається антенною решіткою на тлі негауссівських завад. // 
Международная научно–практическая конференция «Системы и средства 
передачи и обработки информации».– Черкассы: ЧДТУ, 2005. – С. 131–133. 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
67 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
11. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ негауссовых сигналов и их 
преобразование. М.: Сов. Радио.1978.-376с.  
12. Методичні вказівки до виконання випускних робіт бакалавра та дипломних 
робіт для студентів напряму підготовки та спеціальності «Радіотехніка» 
освітньо- кваліфікаційних рівнів «бакалавр», «спеціаліст», «магістр» усіх 
форм навчання / Укл. В.В. Палагін, В.В. Філіпов. – Черкаси: ЧДТУ, 2016. – 
53 с. 
 
 Арк 
РТ015.022.124.248 ПЗ 
68 
Змн Арк № докум. Підпис Дата
ChSTU repository

ChSTU repository preserves and enables easy and open access to all types of digital content including text, images, moving images, mpegs and data sets
