ChSTU repository

ЗМІСТ 
 
 Вступ …………………………………………………….…………. 4 
Розділ 1. Огляд процесів теплообміну при нанометричних  
вимірюваннях …...…………………………………………..... 7 
1.1. Аналіз сучасних досягнень у вивченні процесів теплообміну  
при нанометричних вимірюваннях ............................................ 7 
1.2. Методи та засоби дослідження процесів теплообміну при  
нанометричних вимірюваннях ………....................................... 11 
1.3. Огляд методів розрахунку та моделювання теплових  
процесів при нанометричних вимірюваннях ……….................2 7 
 Висновки до розділу 1 ………………………………………… 33 
Розділ 2. Методологічне забезпечення теплообміну при  
нанометричних вимірюваннях …...…………………………. 33 
2.1. Основні вимоги та характеристики об’єктів дослідження ..… 33 
2.2. Методики досліджень і обладнання для моделювання  
процесів теплообміну при нанометричних вимірюваннях ….. 34 
 Висновки до розділу 2 ………………………………….…….…6 2 
Розділ 3. Розрахунок процесів теплообміну при нанометричних  
вимірюваннях …………….……………………………………… 64 
3.1. Фізичні процеси, що відбуваються при діагностуванні та  
перетворенні вимірюваних даних ............................................. 64 
3.2. Математична модель процесу діагностування поверхонь .… 82 
 Висновки до розділу 3 …………………………………………..9 3 
Розділ 4. Дослідження та експериментальна перевірка   
результатів розрахунку теплообміну при   
нанометричних вимірюваннях ….…………………………. 95 
4.1. Результати дослідження процесу теплообміну в зоні  
 контакту мікроінструменту та поверхні ……………………….9 5 
 2 
4.2. Обробка експериментальних даних процесу теплообміну ..….9 9 
4.3. Порівняння результатів моделювання з   
 експериментальними даними ……………………….…….….. 108 
 Висновки до розділу 4 ………………………………….…….. 109 
 Висновки ……………………………….……………………………1 10 
Список використаних джерел …………………………………… 112 
Додатки ……………………………………………...……………… 115 
 3 
ВСТУП 
Актуальність теми дослідження. Розвиток приладобудування в таких 
галузях, як мікро- та наноелектроніка, функціональна електроніка та інтеграція 
нових напівпровідникових пристроїв у промисловість, вимагає, щоб пристрої та 
системи були високонадійними, швидкими та точними у своєму функціонуванні. 
Основною метою використання цих пристроїв є підвищення їх швидкості та 
зменшення розміру, що підвищує їх ефективність і мінімізує споживання енергії. 
Досягнення успіху в цьому завданні неможливе без використання сучасних 
методів і інструментів дослідження стану поверхні та фізичних та енергетичних 
властивостей напівпровідникових приладів. 
Саме таку можливість можна отримати за допомогою використання 
сучасного експериментального обладнання, а саме: атомно-силового мікроскопу 
(АСМ) та тепловізору, що дозволяє проводити як технологічний експеримент 
шляхом керованого впливу нанометричного інструменту (кремнієвого зонду 
АСМ) на досліджувану поверхню та одночасне спостереження та 
термографування стану досліджуваної поверхні методом тепловізійного 
дослідження. Ця система може бути вдосконалена додатковим обладнанням у 
будь-який момент часу, поєднана з іншими системами або, якщо потрібно, 
розділена на окремі компоненти, що забезпечує масштабованість.  
У зв’язку з цим актуальною є дослідження та розрахунок процесів 
теплообміну при нанометричних вимірюваннях. 
Мета і завдання дослідження. Метою магістерського дослідження є 
підвищення терміну надійної експлуатації інструментарію пристрою для 
нанометричних вимірювань шляхом дослідження та розрахунку процесів 
теплообміну в зоні його контакту з досліджуваною поверхнею. 
Для вирішення поставленої мети необхідно розв’язати такі задачі: 
1. Проаналізувати стан сучасних досягнень у вивченні процесів 
теплообміну при нанометричних вимірюваннях. 
2. Розробити серію методів дослідження (включаючи як усталені, так і 
інноваційні методи), враховуючи робочі режими сканування та гідрофобні 
характеристики інструментів і поверхонь, що вивчаються. 
 4 
3. Провести аналіз, встановити основні гіпотези та припущення, що 
дозволить якісно описати узагальнений механізм взаємодії наноінструментарію з 
різними поверхнями, визначити основні фактори шкідливого впливу на процес 
дослідження поверхні. 
4. Розробити математичну модель процесу діагностування поверхонь із 
залученням сучасного математичного пакету MathLAB. 
5. Провести експериментальні дослідження процесів теплообміну в зоні 
контакту мікроінструменту та поверхні; провести обробку експериментальних 
даних процесу теплообміну, а також порівняння результатів моделювання з 
експериментальними даними. 
Об'єкт дослідження – процеси теплообміну при нанометричних 
вимірюваннях. 
Предмет дослідження – дослідження та розрахунок процесів теплообміну 
в зоні контакту інструментарію пристрою для нанометричних вимірювань з 
досліджуваною поверхнею. 
Методи дослідження При вирішенні поставлених завдань в ході 
проведених в кваліфікаційній роботі досліджень використаний метод атомно-
силової мікроскопії, методи математичного та чисельного моделювання 
теплофізичних процесів в зоні контакту наноінструментарію з досліджуваною 
поверхнею. 
Наукова новизна отриманих результатів. Новизна роботи полягає в тому, 
що дослідження та розрахунки процесів теплообміну в зоні контакту зонду з 
досліджуваною поверхнею дозволяють підвищити термін надійної експлуатації 
інструментарію при нанометричних вимірюваннях. 
Практичне значення отриманих результатів. Запропоновані розрахункові 
моделі та підходи можуть бути впроваджені в технологічних процесах, 
пов’язаних з розробкою інструментарію для нанометричних досліджень, а також 
для створення нових зразків метрологічного обладнання. Використання цих 
розробок сприятиме зниженню витрат на обслуговування обладнання та 
покращенню економічних показників його експлуатації. 
 5 
Апробація результатів дисертації. Результати досліджень були 
представлені на Всеукраїнській науково-технічній конференції «Методологія 
наукових досліджень» (Черкаси: ЧДТУ, 2024).  
Публікації. По темі дисертації опублікована 1 теза доповідей. 
 6 
РОЗДІЛ 1 
ОГЛЯД ПРОЦЕСІВ ТЕПЛООБМІНУ  
ПРИ НАНОМЕТРИЧНИХ ВИМІРЮВАННЯХ 
Розділ пропонує ґрунтовний розгляд вітчизняних та міжнародних питань. 
Науково-технічна література про досягнення та проблеми у вивченні процесів 
теплообміну під час нанометричних вимірювань у приладобудуванні. 
Вагомий науковий внесок у розробку новітніх методів діагностики та 
контролю в точному приладобудуванні, зокрема методу атомно-силової 
мікроскопії, зробили багато вітчизняних і зарубіжних учених, зокрема: Снєжко 
ДВ,. Рожицький НН,. Биков ВА. свирідьонок а. І,. Чизик СА,. Миронов ВЛ,. Рорер 
Х,. Бінніг Г,. Куйт К,. Гербер К І інші. 
Аналіз науково-технічної літератури виявив низку невирішених питань, 
пов’язаних із загальною метою збільшення терміну надійної роботи АФМ-зондів 
шляхом дослідження та розрахунку процесів теплообміну в зоні контакту зонда 
атомно-силового мікроскопа з досліджуваної поверхні, що в свою чергу 
забезпечить високі та стабільні експлуатаційні показники характеристик 
елементів виробів прецизійного приладобудування. Дотримання цих показників 
забезпечується дотриманням параметрів якості та експлуатаційних характеристик 
вимірювального інструменту атомно-силового мікроскопу. 
З цією метою проведено огляд методів розрахунку та моделювання 
теплових процесів при нанометричних вимірюваннях. 
 
1.1. Аналіз сучасних досягнень у вивченні процесів теплообміну при 
нанометричних вимірюваннях 
Комплексний аналіз структури теплового потоку дозволяє на високому рівні 
спланувати та реалізувати необхідні технологічні процеси. Загальновизнано, що 
більшість матеріалів, які використовуються в дослідженнях, мають унікальні 
властивості, що робить вивчення закономірностей процесу теплообміну дуже 
важливим [1]. 
 7 
На сьогоднішній день дослідження теплопередачі в матеріалах обмежені, і 
більшість існуючих досліджень мають теоретичний характер. Складна поведінка 
матеріалів на нанорозмірі ускладнює точне моделювання теплопередачі, тому 
дослідники часто спрощують проблему та зосереджуються на стаціонарному 
режимі теплопередачі. 
При вивченні конвективного теплообміну на основі постановки математичної 
задачі використовується методика, яка приводить до складання системи рівнянь, 
яка включає: рівняння реологічного стану матеріалу, рівняння розриву, енергії та 
рівняння термодинаміки. Відповідь на це питання полягає у функціях, які 
задовольняють наведені рівняння та відповідають заданим граничним умовам. 
Граничні умови охоплюють початкові умови, які стосуються розподілу 
швидкості, температури та інших змінних на початку заданого періоду часу 
Якщо теплопередача залишається постійною, то включення початкових умов 
не потрібне. Граничні умови встановлюються на основі форми системи та 
напрямків, у яких вона рухається та обмінюється теплом. 
Вперше питання теплообміну, що залежить від температури, було вирішено 
Лейбензоном (2021). Підсумок нашого результату. Він знайшов розв'язок задачі, 
але вимагав, щоб температура і в'язкість були однаковими по всьому поперечному 
перерізу по осі. Розв'язання задачі було досягнуто роздільним розв'язуванням 
рівнянь руху та теплової енергії. Дослідження теплообміну розглядається в 
залежності від виду профілю швидкості. 
Модель, яка дуже нагадує реологічне рівняння Шведова-Бінгамова, з 
повністю розробленим профілем швидкості, також була розглянута в [4].  
Розв'язання задачі було досягнуто роздільним розв'язуванням рівнянь руху та 
теплової енергії. Дослідження теплообміну розглядається в залежності від виду 
профілю швидкості. 
Давайте коротко обговоримо деякі з них. У роботі [5] після деяких 
перетворень запропоновано розраховувати витрати тепла по довжині за 
наведеною формулою: Q = ñðd LT , де L – довжина зразка, м; T – різниця 
температур, К. 
 8 
Застосувавши до рівняння математичні перетворення, ми вивели формулу, 
яка дозволяє розрахувати коефіцієнт теплообміну: 
d T2 −T
ñð = kc   1 , 
4L T
де ρ – густина матеріалу, кг/м3, vk – середня швидкість зразка, м/с. 
Для визначення критерію Nu пропонується використовувати наступну 
 2 2
формулу: Nu = kd 1− d
 , де d – діаметр кони контакту, м; L – довжина зразка, 
2La 1+ d2
м; а – коефіцієнт температуропровідності, м2/c. 
Вперше мА. Левек у [6] представив наближене рішення для профілю зразка, 
який є повністю стабілізованим. Отримане рівняння дозволяє розрахувати 
критерій Нуссельта для ламінарної течії рідини, виражений у наведеній формі: 
 3
ñðd  cb 
Nu = =1,62 3   , 
  8L 
де с – питома теплоємність матеріалу, кДж/кг∙К;  – коефіцієнт теплопровідності, 
Вт/м2∙К;  – градієнт швидкості коло стінки, м/с. 
Проаналізувавши. запропоновані рівняння, Пігфорд у своєму дослідженні [7] 
розробив формулу, яка включає варіації щільності теплопередачі.: 
ñðd 8n C
=1,753  , 
 d L
де δ – відношення градієнта швидкості, яка дорівнює 8υ/d і визначається як: 

 = . 
8
d
Коли профіль швидкості повністю розподілений за степеневим законом, він 
представлений розподілом швидкостей можна визначити за формулою: 
 n+1 
 3n +1 2
   2y  n
 1−   d T 1 dT 
    =  + 
2  . 
 n +1    d    dz r r 
 
Тоді, коли n=0 рівняння аналогічні рівнянням квазітвердого матеріалу, якщо 
n=1, тоді аналогічні з рівняннями, які мають поведінку цих матеріалів. 
 9 
Автори у роботі [8] продовжили дослідження і після математичних 
перетворень запропонували рівняння, яке дозволяє знайти рішення у випадку 
коли n = ½ і n = 1/3: 
 n+1 
d2R* 1 dR*
  r  n
+  +  1− 
  R* = 0 . 
dr2 r dr   R  
 
Вони були першими, хто звернувся до питання конвективного теплообміну в 
матеріалах Бінгема. Хіраї [9]. На жаль, у рішенні не враховано зміни в умовах між 
частинами напівтвердих матеріалів і більш текучими.  
Крім того, концепція теплообміну була врахована для моделі Шведова-
Бінгема, коли система перебувала в стаціонарному стані з постійним профілем 
швидкості, припускаючи, що фізичні величини залишаються незмінними і 
дисипація відсутня.:  
2 * T a 
( )  T 
R  R =   *
* * R  , 
z R R  R*

де R* – радіус квазітвердого ядра, м. 
Автори запропонували формулу 
Шляхом застосування необхідних перетворень було отримано рівняння для 
розрахунку профілю швидкості в моделі Шведова-Бінгема: 
 2
 R* −  
(R* ) =  1− 0 
max   , де β0 – ділянка квазітвердої речовини. 
  1−
 0  
Аналізуючи запропоноване рівняння, автори в роботі [10] розробили вираз, 
що дає змогу отримувати теплофізичні характеристики процесів теплообміну, які 
узгоджуються з результатами експериментальних вимірювань:  
T −T 
 =  =A * 2 , 
nn (R ) exp(−nZ)
T0 −T n=0
де Z – приведена довжина, м. 
Однак важливо зазначити, що пошук аналітичного розв’язку для заданого 
рівняння є складним завданням. Останнім часом обсяг досліджень теплообміну 
значно розширився.   
 10 
У книзі [11] автори розглянули моделювання теплообміну в кільцевих 
зразках. Запропоновано методику моделювання процесу теплопередачі під час 
екструзії середовищ із змінним станом. Вимірювали та записували розподіл 
температури вздовж поперечного перерізу матеріалу під час екструзії різних 
матеріалів. Створена та запланована математична модель дозволяє оптимізувати 
технологічні параметри виробництва кільцевих профілів. 
Дослідження [12] вивчало теплообмін і тертя матеріалів під час стаціонарної 
конвекції, враховуючи варіації в’язкості:  = k  n . 
 
1.2. Методи та засоби дослідження процесів теплообміну при 
нанометричних вимірюваннях 
Калориметричні методи вимірювання. Найбільш часто калориметри 
використовують в режимі незмінності умов навколишнього середовища. Це 
стосується в першу чергу до більшості калориметр горіння, час реакції в яких 
дуже малий. У той час як температура внутрішніх частин калориметра змінюється 
внаслідок протікання реакції, температура навколишнього повітря залишається 
постійною. У багатьох випадках в якості навколишнього середовища 
використовують керується за допомогою терморегулятора ванну з метою 
уникнути впливу на вимірювану величину зовнішніх перешкод – коливань 
температури в приміщенні, випромінювання, протяга тощо. 
Перевагою цієї вимірювальної схеми є порівняно малі витрати на апаратуру, 
за допомогою якої можна виконати переважну частину калориметричних вимірів. 
Основним недоліком слід вважати теплообмін калориметра з навколишнім 
середовищем, що ускладнює розшифровку результатів. Цей спосіб вимірювання 
завжди називають ізоперібольним (діатермічним). У будь-якому випадку його не 
можна називати ізотермічним, сутність якого полягає в тому, що температура 
калориметра під час протікання реакції залишається постійною, як, наприклад, 
калориметр, призначених для вимірювання фазових перетворень. 
 11 
Адіабатичний метод. Якщо вдається виключити теплообмін з навколишнім 
середовищем, тобто забезпечити адіабатичне протікання процесу, то проведення 
експерименту і розшифровка результатів спрощується, а результат вимірювання 
виходить більш точним, оскільки відпадає необхідність в безперервного запису 
зміни температури і в обчисленні поправок. Крім того, в цьому випадку можна 
допустити дещо більший підйом температури в калориметричному посудині; у 
неадіабатичних приладах це неприйнятно внаслідок збільшення теплових витрат. 
Щоб виключити теплообмін між калориметричною посудиною і його 
безпосереднім оточенням (зазвичай рідинної ванни), температуру ванни 
необхідно весь час коригувати відповідно до змін температури всередині судини. 
За допомогою електронного регулятора (схеми стеження) можна постійно 
підтримувати різницю цих температур практично рівною нулю. Це підвищує 
вартість вимірювальної апаратури в залежності від необхідної точності 
вимірювань.  
Елементи апаратури повинні бути швидкодіючими і зберігати стабільність 
протягом тривалого часу (мати мінімальний дрейф). Зона нечутливості контуру 
регулювання повинна бути в межах від ±10-3 до ±10-5 К. В якості вимірювальних 
пристроїв можна використовувати будь-які малоінерційні електричні контактні 
термометри, які при включенні в схему дають імпульс регулятору на зміну 
потужності нагріву. Нагрівання здійснюється або за допомогою електричної 
спіралі опору, або прямим способом в рідинної ванні, яка завдяки слабкій 
дисоціації діє як нагрівальний опір (так званий електролітичний нагрів). 
Цей другий спосіб практично безінерційний. Результат можна отримувати 
за допомогою вже наявних засобів для електричного вимірювання температури 
або ж по додатково встановленому рідинному термометру (Бекмана). 
Адіабатичний метод вимірювання придатний для вивчення головним чином 
повільних процесів з тепловими ефектами. При швидких змінах кількості тепла 
(калориметр горіння) інерційність вирівнювання температур надає такий 
несприятливий вплив, що не досягається навіть точність звичайних  
 12 
неадіабатичних методів. Однак, забезпечуючи малу теплоємність нагрівальних 
елементів і датчиків температури і здійснюючи інтенсивне перемішування рідини 
ванни, можна отримати малі значення різних постійних часу (зменшити 
інерційність). 
Компенсаційний метод. Використовуючи диференціальні або здвоєні 
калориметри, основані на принципі компенсації, вдається значною мірою 
виключити зовнішні впливи на процес вимірювання. Дві ідентичні 
калориметричні судини з ідентичними допоміжними пристроями поміщені в 
навколишнє середовище за однакових умов. В одній посудині протікає 
досліджуваний процес з тепловим ефектом, а іншу посудину за допомогою 
системи, що стежить регулювання нагрівається таким чином, що втрати тепла в 
навколишнє середовище для обох судин однакові. Тому потужність нагріву, що 
підводиться P можна поставити в пряму залежність від кількості тепла Q, що 
вивільняється при досліджуваному процесі. При цьому експериментальна задача 
вимірювання переходить в іншу область і зводиться до дуже точному визначенню 
електричної потужності нагріву  
t2
Q  P   i Udt .  
t1
Диференціальний калориметр застосовується, зокрема, при адіабатичних 
умовах навколишнього середовища, перш за все тоді, коли слід очікувати дуже 
малих або дуже повільних змін кількості тепла. При ендотермічних процесах 
досить мати одну калориметричну посудину. 
Підведення тепла контролюється з таким розрахунком, щоб температура в 
посудині весь час залишалася однією і тією ж (ізотермічний метод). Недоліком 
диференціальних калориметр є великі витрати на апаратуру і на кошти техніки 
вимірювань. 
 
 13 
Рідинні калориметри. Цей тип калориметрів є найбільш поширеним у 
технічних застосуваннях завдяки своїй простій конструкції та зручності в 
обслуговуванні. Теплова енергія, що виділяється під час зовнішньої реакції, 
спочатку поглинається реакційним контейнером. (в якій протікала реакція), а 
потім рідинній ванні, рис.1.1.  
 
 
Рисунок 1.1 – Пристрій рідинного калориметру 
 
Рідина у термостатичній ванні постійно перемішується за допомогою 
крильчатки, підйомного гвинта або насосних установок, що сприяє швидкому 
вирівнюванню температури. Ванна має бути максимально теплоізольована або 
екранірована для зменшення впливу зовнішніх температурних коливань. 
Коливання температури в рідинній ванні використовуються як індикатор 
кількості переданого тепла. Теплоємність нагрітих мас повинна бути помірною, 
аби забезпечити значну зміну температури при мінімальних затратах енергії та не 
надмірно подовжити процес вимірювання, що дозволяє уникнути зайвих теплових 
ДРАС. 
При високих вимогах до стабільності оточуючих умов можна весь 
калориметр помістити в ще одну ванну і стабілізувати температуру в ній з 
високою точністю, використовуючи контур регулювання. 
 14 
Це необхідно в першу чергу в тих випадках, коли потрібно провести дослід 
при температурах, значно відрізняються від температури навколишнього 
середовища. 
Для проведення аналізів при низьких температурах (приблизно до -150 °С) в 
якості охолоджуючої середовища застосовують рідкий азот. При цьому необхідно 
звертати увагу на те, щоб на проби або судини з пробами при їх зміні не осідав 
іній з навколишнього вологого повітря, оскільки його шар може вплинути на 
процес вимірювання. Щоб уникнути цього, коли калориметр відкритий, пробу і 
посудину з пробами обдувають холодним газоподібним азотом. 
Калориметри з металевим корпусом. Для проведення калориметричних 
вимірювань у більш широкому температурному діапазоні рідинні калориметри 
виявляються недостатньо ефективними. В таких випадках використовуються 
калориметри з металевим корпусом, де кількість переданого тепла вимірюється 
через металевий блок (наприклад, з срібла, міді або алюмінію), який зазвичай 
знаходиться на температурі навколишнього середовища. Ці пристрої призначені 
переважно для визначення питомої теплоємності рідких і твердих матеріалів, як 
показано на рис. 1.2. 
Зразок спочатку охолоджують за межами калориметра за допомогою 
холодильного обладнання або нагрівають у спеціальній печі, після чого, 
досягнувши сталого температурного стану, зразок поміщають в металевий блок 
через спеціальний отвір. Такий пристрій отримав назву калориметра вільного 
падіння через метод його роботи, а в контексті термодинамічних процесів інколи 
його також називають калориметром зміщення. 
 
Рисунок 1.2 – Схема пристрою металевого калориметру 
 15 
Кількість тепла, переданого при такому змішанні від проби до металевого 
блоку, викликає зміна температури блоку, піддається вимірюванню. Це дозволяє 
визначити зазвичай невідоме значення питомої теплоємності проби для ідеальних 
умов (при відсутності теплообміну з навколишнім середовищем) з виразу:  
 c 
2m2
 (−2 )
 m
c = 1   Дж /кг.К. 
1 −
Сам металевий блок розташовується в вакуумованій посудині Д‘юара, а 
іноді в рідинній ванні. В останньому випадку для отримання теплоємності 
калориметра Ск до теплоємності металевого блоку С2 потрібно додати 
теплоємність ванни Cw: CK = C2 + CW = c2m2 + cWmW . 
Калориметр горіння. Паливо, що застосовується в теплосиловому 
господарстві, досліджують з метою визначення його теплоти згорання Н (Дж/кг). 
Цей показник потрібен для визначення коефіцієнтів корисної дії, дослідження 
економічності і розрахунків за витрачену енергію в різних установках, а також 
для оптимального управління процесом горіння. Значні коливання в складі 
горючих компонентів нерідко обумовлюють необхідність безперервного 
визначення теплоти згорання. 
При повному згорянні речовини виділяється певна кількість тепла Q (тепло 
згоряння). Якщо розділити його на масу m (або на об‘єм за нормальних умов Vn), 
то вийде (питома) теплота згоряння: H = Q/m. 
Залежно від стану продуктів згоряння розрізняють два види теплоти 
згорання: вищу Н0 і нижчу Ні, які називають також теплотою горіння і 
теплотворною здатністю. При визначенні нижчої теплоти згорання Ні вода, що 
утворюється при хімічних реакціях, повинна знаходитися в пароподібному стані. 
Різниця обох теплот Н0–Ні відповідає теплоті пароутворення сконденсованої води 
r, яка дорівнює 2,441 МДж/кг. 
Для твердих і рідких палив кількість води, що отримується можна 
визначити на основі елементарного аналізу, а при спалюванні газоподібних палив 
– виміром кількості конденсату. 
 16 
У промислових топках температура продуктів згоряння завжди перевищує 
точку кипіння води. Тому зазвичай становить інтерес тільки нижча теплота 
згоряння Ні, оскільки теплота конденсації води не може бути використана. 
Калориметри горіння для твердих і рідких речовин. Для процесів горіння, 
що швидко протікають розроблена спеціальна форма рідинного калориметру – так 
звана калориметрична бомба Бертло (рис.1.3).  
 
Рисунок 1.3 – Будова калориметричної бомби 
 
Процес спалювання точно відміряної малокількісної речовини здійснюється 
в герметичній бомбі, об’єм якої залишається незмінним, при подачі чистого 
кисню під тиском близько 30 атмосфер (3 МПа). Бомба, заповнена цією 
речовиною, поміщається в рідинну ванну калориметра, що поглинає тепло, яке 
виділяється внаслідок горіння. 
Для спалювання твердих матеріалів їх зазвичай пресують у компактні 
брикети або таблетки, які зважуються з високою точністю. Для погано горючих 
речовин доцільно застосовувати змішування з легкозаймистими рідинами, що 
мають відому теплоту згоряння, наприклад, з бензойною кислотою. Рідкі 
речовини розміщують у спеціальних чашечках (човниках) з платини або кварцу 
або в невеликих пластикових капсулах. 
 17 
На кришці бомби, що закріплюється болтами до її корпусу, розташовані всі 
необхідні пристрої для проведення досліджень: клапани для подачі кисню та 
відведення продуктів горіння, тримачі для проб і електричний запальник. 
Запалювання здійснюють підведенням електрики до тонких платинових 
дротів. Тепло що підводиться для запалювання повинно бути точно виміряним, 
щоб його можна було врахувати при розшифровці результатів експерименту. У 
калориметричній бомбі визначають вищу теплоту згоряння Н0. При перевірці 
визначають тепловий еквівалент калориметра Ск спалюванням еталонної 
речовини (наприклад, бензойної кислоти) або за допомогою електричного 
нагрівального пристрою. 
Калориметр для визначення теплоти згорання газоподібних речовин. Для 
визначення теплоти згорання газоподібних речовин використовуються різні 
методи, які, на відміну від методів для твердих та рідких речовин за допомогою 
калориметричних бомб, базуються на безперервному вимірюванні. Принцип 
вимірювання є доволі простим: газ, що досліджується, постійно спалюють в 
пальнику при сталому тиску. Весь виділений при згорянні тепло поглинається або 
потоком охолоджуючого середовища, що проходить через теплообмінник (як у 
випадку з вологим або теплообмінним калориметром), або через змішування 
продуктів згоряння з потоком повітря з відомим витратом (у сухому калориметрі). 
Зазвичай вимірюють нижчу теплоту згоряння (Ні), а для визначення вищої 
теплоти згоряння (Н0) потрібно конденсувати водяну пару, що міститься в газах. 
Визначаючи масовий витрат потоків і різницю температур на вході 
(позначення "е") і виході (позначення "а") калориметра, можна за допомогою 
рівняння теплового балансу обчислити відповідну теплоту згоряння. 
У всіх типах газових калориметрів підготовка газу здійснюється за 
стандартною процедурою. Перед спалюванням газ (позначення "G") очищають від 
механічних домішок за допомогою фільтра, зволожують до насичення вологою, а 
потім доводять до заданих значень тиску (за допомогою редукційного клапана) та 
температури охолоджуючого середовища (позначення "К").  
 18 
Повітря (позначення "L"), необхідне для горіння, також зволожується та 
доводиться до температури охолоджуючого середовища. 
Залежно від точності вимірювань та бюджетних обмежень для обладнання 
деякі з цих умов можуть бути опущені або адаптовані. 
 
Рисунок 1.4 – Будова вологого (а) і сухого (б) калориметру  
для газоподібного палива 
 
Повірка калориметрів повинна проводитися за допомогою еталонного газу 
(наприклад, водню) для визначення відхилень від рівняння ідеального стану 
калориметра. Для теплообмінного (вологого) калориметра, згадане рівняння має 
вигляд: 
rh
H K
0 = cK   , 
K
rhG
де mK і mG – масові витрати охолоджуючої середовища і палива, кг/с;  
ск – питома теплоємність охолоджуючої середовища, Дж/(кг.К); K – приріст 
температури охолоджуючої середовища, К. 
  
Зазвичай підвищення температури ΔθK складає від 5 до 15 К. Через значну 
термічну масу теплообмінні калориметри характеризуються великою сталою часу, 
яка може досягати кількох хвилин.  
 19 
Це обмежує їх застосування в замкнутих регулюючих системах як датчиків, 
порівняно з сухими калориметрами, що мають сталу часу всього кілька секунд. 
Однак, теплообмінні калориметри демонструють високу точність вимірювань, з 
похибкою не більше ±0,25…±1%, що робить їх придатними для лабораторних 
досліджень та калібрувань. Сухі калориметри мають більшу похибку, в межах від 
±1 до ±2% на верхній межі вимірювального діапазону. 
Конструктивні виконання калориметрів різних виробників розрізняються 
перш за все допоміжними і запобіжними пристроями, чутливими елементами і 
обчислювальними схемами, що забезпечують компенсацію похибок. Так, в 
теплообмінних калориметрах різними способами підтримується сталість 
відношення витрат газу і охолоджувального середовища, завдяки чому вища 
теплота згоряння Н0, безпосередньо залежить тільки від підвищення температури 
K. 
У сухих калориметрах підвищення температури K вимірюють або 
безпосередньо за допомогою електричних контактних термометрів, або побічно за 
допомогою дилатометрічних датчиків – розширюються труби, розташовані в 
потоці газів, що відходять. У калориметр фірми ADOS термічне подовження 
дилатометрічної труби безпосередньо відповідає теплоті згоряння і може бути 
перетворено в будь-який сигнал за допомогою важеля передачі і вимірювача 
довжини. У калориметр фірми Reinecke подовження стрижня використовується як 
вимірювальний сигнал в ланцюзі регулювання, яка управляє витратою 
охолоджуючого повітря з таким розрахунком, щоб підвищення його температури 
залишалося практично незмінним. Контур регулювання при цьому виходить 
чисто пропорційним, проте в ньому неминуче деяке залишкове відхилення. При 
цьому витрата охолоджуючого повітря або подовження дилатометрічної труби 
(стержня) є мірою визначається теплоти згорання. Необхідною передумовою для 
отримання достатньої точності у всіх сухих калориметрах є хороше 
перемішування охолоджуючого повітря і продуктів згоряння. 
 20 
Вимірювання теплових потоків. Тепло, як форма енергії, передається 
трьома основними способами: через тверді тіла (теплопровідність), рідкі та 
газоподібні середовища (конвекція) і без безпосередньої участі матерії 
(випромінювання). У технічних системах зазвичай спостерігається одночасне 
здійснення всіх трьох процесів передачі тепла. Однак в окремих випадках можна 
досягти достатньо точних результатів, вимірюючи лише одну з цих складових. 
При вимірюванні теплопотоку через теплопровідність важливу роль відіграє 
передача тепла через стінки з високою теплопровідністю, що має значення в 
численних технічних сферах, таких як теплообмінники, теплоізоляційні матеріали 
тощо. У таких випадках основний інтерес становлять не стільки безперервні 
вимірювання в процесі роботи, скільки одноразові заміри, які використовуються 
для оцінки навантаження, перевірки відповідності заданим характеристикам та 
аналізу економічної ефективності. 
Оскільки коефіцієнт теплопровідності стінки , Дж/(м.с.К) та її геометричні 
розміри відомі, вимір теплового потоку зводиться до вимірювання різниці 
температур. Однак ця методика вимагає дуже точного визначення температур 
поверхонь. Похибки, пов'язані зі зміною умов теплопередачі при установці 
температурних чутливих елементів на поверхнях, можуть бути досить великими. 
Тому для більш точних вимірювань рекомендуються методи, наведені нижче, при 
яких одночасно використовуються і теплопровідність, і тепловіддача. 
Вимірювання теплових потоків при теплопередачі (тепловіддачі в поєднанні 
з теплопровідністю) 
Для вимірювання теплового потоку через плоску стінку на її поверхню 
накладають тонку металеву пластинку, температуру якої фіксують за допомогою 
вбудованих тонкоплівкових термопар (рис. 1.5). Перевага цього методу полягає в 
тому, що вимірювання не вимагає знання термічних властивостей стінки, оскільки 
необхідні характеристики пластинки можна визначити під час калібрування і 
привести до сталої величини.Такі чутливі елементи мають розмір приблизно 
30300,5 мм; діапазон виміру охоплює теплові потоки від 10 до 100 кВт/м2; 
похибка  становить 2-5%. 
 21 
 
Рисунок 1.5 – Принцип роботи вимірювача теплового потоку 
 
Під час удосконалення цього методу вимірювань замість використання 
накладних пластин застосовуються гумові мати. При фіксації їх на нерівних 
поверхнях або обгортанні криволінійних ділянок можна визначити тепловіддачу 
від поверхонь значної площі, таких як труби, резервуари тощо. Термопари 
інтегруються в обидві поверхні матів таким чином, щоб їх гарячі та холодні спаї 
знаходилися точно один навпроти іншого (рис. 1.1). У цьому випадку щільність 
теплового потоку, відповідно до калібрування, пропорційна різниці температур. 
Однак, коли мати накладаються кілька разів, вони можуть порушувати 
початковий теплообмін, що стає помітним при точних вимірюваннях. Тому цей 
метод вимірювання зазвичай використовується для визначення термодинамічних 
констант речовин, де порушення теплового потоку не впливає на точність 
результату. 
Вимірювання теплових потоків у рухомих середовищах. Значна частина 
теплової енергії передається рідкими або газоподібними середовищами 
(наприклад, водою або парою), які циркулюють у замкнутих трубопровідних 
системах. Однак, на відміну від передачі електричної енергії через проводи, 
відстань, на яку може бути передана теплова енергія, є обмеженою. Для 
теплотехнічних досліджень у всіх типах нагрівальних та холодильних систем 
необхідно здійснювати вимірювання виділення і споживання тепла, рис.1.6. 
 22 
 
Рисунок 1.6 – Схематичне зображення електричного вимірювання теплового 
потоку для стисканого та нестисканого теплоносія (у даному випадку 
вимірювання витрат здійснюється за допомогою різниці тисків на діафрагмі). 
 
Тепловий потік Ф (Дж/с), що переноситься середовищем – теплоносієм m 
(кг/с) через контрольний перетин площею А (м²) в певній ділянці, для якої 
виконано тепловий баланс (в процесній зоні), визначається за рівнянням:: 
 = rhi . 
Кількість тепла, переданого за відрізок часу t2–t1 визначиться як інтеграл 
t2
(Дж): Q =  rhidt , де i – різниця теплоємності (ентальпія, Дж/кг) теплоносія на 
t1
вході (індекс е) і на виході (індекс а) зони теплового балансу. 
Оскільки величина ентальпії має значення лише в порівнянні з певним 
базовим рівнем, наприклад, з ентальпією при температурі навколишнього 
середовища, усі вимірювання теплових потоків по суті є вимірюваннями різниці. 
Конкретні значення ентальпії, які входять до загального рівняння, можуть бути 
виражені через відповідні температури і питомі теплоємності: 
 = rh (cee − caa ) .  
Отже, вимірювання теплового потоку фактично зводиться до визначення 
температурних значень та витрат маси. У ряді випадків замість масової витрати m 
вимірюється об'ємна витрата теплоносія; V, при цьому отриманий результат буде 
відрізнятися лише на коефіцієнт щільності теплоносія.. Питомі теплоємності сi, 
самі є функціями температури i. 
 23 
Проте, зважаючи на обмежений діапазон вимірювань багатьох приладів, їх 
зазвичай можна розглядати як сталі величини без суттєвих втрат точності. Питома 
теплоємність повинна бути відома. Для рідин рівняння теплового потоку стає ще 
простішим, оскільки питомі теплоємності цих речовин не залежать від тиску: 
 = rhc (e −a ) , Дж/с. 
В усіх рівняннях такого виду необхідно брати до уваги знаки величин в 
залежності від того, підводиться або відводиться тепло, чи є процес 
ендотермічним або екзотермічним, чи відбувається охолодження або нагрів. 
Вимірювання температури в зоні контакту. Температурне поле, яке завжди 
присутнє під час теплообміну за умов природної конвекції, створює додаткові 
труднощі для вимірювань, оскільки тепловіддача від нагрітого елемента 
змінюється залежно від температури. При перетині нагрітим елементом 
прикордонного шару відбувається зміна температури контакту, що генерує 
сигнал, який потрібно відокремити від сигналу, викликаного швидкістю. Зміна 
температури контакту також впливає на фізичні властивості матеріалу, що може 
позначитися на роботі датчика. Щоб компенсувати ці температурні зміни, 
необхідно проводити калібрування в заданому діапазоні температур, одночасно 
вимірювати температуру і швидкість та застосовувати калібрувальні криві, 
відповідні температурі контакту. 
Температурні вимірювання є ключовим методом дослідження процесів 
конвекційного теплообміну. Вони необхідні для аналізу механізмів теплопереносу 
і процесів конвекційної течії. Таким чином, критично важливо здійснювати 
вимірювання температури в потоці, навколишньому середовищі та на поверхнях, 
що нагріваються, оскільки це спричиняє природну конвекцію. Особлива увага 
зазвичай акцентується на вимірюванні локальних температур, оскільки вони 
дозволяють корелювати отримані результати з параметрами теплообміну та руху 
рідини, а також здійснювати оцінку загальних теплових характеристик 
досліджуваної області для глибшого розуміння властивостей процесу. Локальні 
температурні вимірювання включають зони контакту і поверхню тіла. 
 24 
Більшість температурних вимірювань у зоні контакту обмежуються областю 
впливу тепла, хоча в окремих випадках вимірювання поза зоною течії також 
необхідні. Визначення температурного градієнта на поверхні дає змогу 
корелювати ці вимірювання з тепловими потоками. Для поверхонь, на яких 
підтримується сталий тепловий потік, температура виступає як індикатор 
місцевого коефіцієнта тепловіддачі α (х), оскільки вираз α(х)×(ts–ta) дорівнює 
тепловому потоку q (x), що залишається сталим. Тому температури поверхні, 
навколишнього середовища та температурний градієнт в зоні контакту мають 
особливе значення при проведенні експериментальних досліджень. 
Існують два основні методи вимірювання температури поверхні: контактні 
та безконтактні. Термопари відносяться до контактних засобів і є одними з 
найпоширеніших інструментів для вимірювання температури в промислових і 
лабораторних умовах. Це обумовлено їх широким температурним діапазоном (від 
–270 °C до +2500 °C), прийнятною точністю, низькою вартістю, можливістю 
взаємозаміни та високою надійністю. Принцип роботи термопари базується на 
термоелектричному ефекті Зебека. Під час вимірювання температури термопара 
генерує сигнал, що відображає різницю температур між двома з'єднаннями. 
Важливим аспектом при вимірюванні температури поверхні за допомогою 
термопари є потенційні похибки, викликаних нестаціонарними умовами через 
кінцеву теплоємність елемента поверхні. Зміни температури поверхні через зміну 
теплового потоку фіксуються сигналом термопари із запізненням, яке залежить 
від матеріалу поверхні та положення датчика. Іншою проблемою є похибки, 
пов’язані з випромінюванням від нагрітого об’єкта. 
На сьогодні інфрачервоні пірометри займають широке застосування, де 
принцип їх роботи ґрунтується на виявленні інфрачервоного випромінювання від 
досліджуваного об'єкта за допомогою напівпровідникового чутливого елемента. 
Отримане випромінювання перетворюється в електричний сигнал через 
відповідну електронну схему, яка здійснює подальшу обробку. Основним 
компонентом пірометра є датчик, що конвертує теплову енергію в електричний 
сигнал (струм або напругу). 
 25 
Оптична система пірометра фокусується на тепловому випромінюванні, 
після чого отриманий сигнал піддається обробці, а результат зазвичай 
відображається у цифровому форматі на сучасних приладах цього типу.Фактори, 
що впливають на точність вимірювання температури поверхні за допомогою 
радіаційного пірометра, включають складність врахування коефіцієнта 
випромінювання об’єкта, а також залежність результатів вимірювання від таких 
параметрів, як відстань до об’єкта, форма та природа матеріалу. Інші фактори, 
такі як запиленість чи загазованість проміжного середовища, наявність захисного 
скла або непрозорих об’єктів у полі зору пірометра, а також перешкоди від 
зовнішніх інфрачервоних променів, є або несуттєвими, або можуть бути легко 
усунуті. 
Коефіцієнт випромінювання для більшості внутрішніх поверхонь 
огороджень становить приблизно 0,95 і залишається стабільним у діапазоні 
температур, що дозволяє проводити вимірювання без необхідності додаткових 
заходів. Однією з основних характеристик пірометра є його спектральний 
діапазон, тобто довжини хвиль, які він здатний реєструвати. Усі матеріали 
випромінюють хвилі певної довжини залежно від температури: зі зростанням 
температури довжина хвилі зменшується і навпаки. Відбивні металеві поверхні 
випромінюють коротші хвилі, тоді як невідбивні неметалеві матеріали – довші. 
Пірометри загального призначення використовуються для матеріалів із довжиною 
хвилі 8–14 мкм або 6–14 мкм, що робить їх непридатними для вимірювання 
температури, наприклад, скла або металів. 
Скло є прозорим у видимому та ближньому інфрачервоному діапазонах 
спектра, а його теплове випромінювання залежить від хвильової довжини та 
товщини матеріалу. Максимальний коефіцієнт випромінювання скла 
спостерігається в спектральному діапазоні від 5 до 8 мкм, що дозволяє точно 
визначати температуру скла саме в цьому діапазоні. 
 26 
Також необхідно враховувати оптичні параметри пірометра, такі як 
коефіцієнт візування і тип фокусування. Коефіцієнт візування розраховується як 
співвідношення відстані між пірометром і вимірюваною поверхнею до діаметра 
світлової плями на цій поверхні. Оскільки пірометр вимірює середню 
температуру на певній площі, розмір цієї площі повинен точно відповідати 
розмірам об’єкта вимірювання. 
Зважаючи на наявність градієнтів температури та щільності в потоці тепла, 
для аналізу теплопереносних характеристик можна використовувати різні методи 
візуалізації, як для якісної, так і для кількісної оцінки процесів. 
 
1.3. Огляд методів розрахунку та моделювання теплових процесів при 
нанометричних вимірюваннях  
При заданому диференціальному рівнянні теплопровідності та наявності 
крайових умов поставлена задача визначення T = T (x, y, z, t), як кажуть 
математики, має рішення, причому єдине. Однак отримання цього рішення є 
істотною проблему. 
Для розв'язання задач теплопровідності використовують як аналітичні, так і 
числові методи. Аналітичні підходи передбачають вибір рівняння, яке відповідає 
диференціальним рівнянням теплопровідності та задає відповідні граничні умови. 
Серед аналітичних методів найчастіше використовуються методи інтегральних 
перетворень (перетворення Ханкеля, Лапласа, Фур'є) та метод джерел. Методи 
інтегральних перетворень є потужним інструментом вирішення рівнянь 
математичної фізики (до яких відноситься і рівняння теплопровідності), але їх 
використання вимагає упевнених навичок в розділах математики, які виходять за 
рамки курсу математичного аналізу технічних університетів. 
Тому в подальшому ми будемо застосовувати тільки метод джерел як 
найбільш простий і, з достатньою для практичних завдань, що описує розподіл 
температури в більшості випадках нагрівання матеріалу в зоні контакту 
вимірювального наноінструменти і зразка.  
 27 
Існуючі аналітичні підходи дозволяють отримувати рішення лише для 
процесів, що моделюються лінійними диференціальними рівняннями за умови 
лінійних граничних умов, тобто для ситуацій, де теплофізичні характеристики 
вважаються сталими щодо температури. 
Ці методи дають змогу отримати загальні рівняння, які діють при різних 
значеннях параметрів, що описують конкретну задачу, таких як геометричні 
розміри, теплові характеристики нагрівальних режимів та фізичні властивості 
матеріалу. Для простих задач можна отримати рішення в аналітичній формі, 
виражаючи рівняння через відомі функції, що залежать від часу, просторових 
координат і сталих параметрів процесу. У випадках більш складних завдань, 
рішення описуються через певні інтеграли або нескінченні ряди. 
Чисельні методи, на відміну від аналітичних, дозволяють вирішувати задачу 
теплопровідності в складній постановці, тобто з урахуванням реальної геометрії 
конструкції, температурної залежності теплофізичних властивостей, розподілу 
джерела нагріву і т.д. В даний час найбільш поширеним є чисельний метод 
скінченних елементів (МСЕ, або FEM). Сучасні програмні продукти, наприклад 
ANSYS, надають широкі можливості розрахунку теплопровідності при контакті. 
Чисельні розрахунки повідомляють інформацію тільки для даних умов завдання 
при певних значеннях всіх постійних параметрів. Чисельний метод не дає, 
подібно аналітичному, загального рішення задачі, але його доцільно 
застосовувати для інженерних розрахунків в тих випадках, коли отримання 
аналітичного рішення з огляду на складності умов завдання стає вкрай 
трудомістким або взагалі недоступним. 
Чим простіше умови задачі, тим легше отримати просте і ясне аналітичне 
рішення, яке описує процес в загальному вигляді і дає можливість повного аналізу 
процесу. Для отримання такого рішення часто виявляється необхідним 
спрощувати постановку задачі. Але, схематизуючи явище, потрібно усвідомити і 
правильно оцінити головні особливості досліджуваного процесу, нехтуючи 
другорядними. Помилки в схематизації процесу нагріву призводять до 
принципово не вірному результату.  
 28 
Геометрична форма досліджуваних виробів в реальних умовах є складною. 
Облік дійсної форми може значно ускладнити рішення температурних задач. 
Тому реальну форму в теплових розрахунках ідеалізують, зводячи її до однієї з 
наступних теплових схем, для яких рішення рівняння теплопровідності можна 
отримати в аналітичному вигляді. 
Нескінченне тіло – це такий об'єкт, в якому теплопровідність відбувається у 
всіх просторових напрямах T = T (x, y, z, t). При цьому реальні його межі в умовах 
локального нагріву не роблять істотного впливу на величину температури. Ця 
схема передбачає дію джерел нагріву всередині розглянутого обсягу. 
Напівнескінчене тіло займає область по одну сторону площині в 
нескінченному тілі (рис.1.7, а). В даному випадку температурне поле також 
тривимірне: T = T (x, y, z, t). Подібна схема реалізується, наприклад, при 
дослідженні площин значної товщини, коли температура на зворотній поверхні 
підвищується незначно. 
Пластина характеризується двовимірним (плоским) температурним полем T 
= T (x, y, t). Геометрично це простір, обмежений двома паралельними площинами, 
в напрямку нормалі до яких всередині тіла теплопровідність відсутня, тобто 
температури точок по товщині пластини однакові (рис.1.7, в). 
 
Рисунок 1.7 – Теплові схеми: а – напівнескінченне тіло; б – плоский шар; в – 
пластина; г – стрижень  
 29 
Плоский шар представляє собою проміжний між напівнескінченних тілом і 
пластиною випадок. У цій схемі також тіло обмежена двома паралельними 
площинами, але температура в напрямку товщини значно змінюється: T = T (x, y, 
z, t) (рис.1.7, б). 
Стрижень є тіло, в якому теплопровідність відбувається тільки в одному 
напрямку: T = T (x, t) (рис.1.7, г). 
Наведена схематизація тіл, що нагріваються умовна. Наприклад, 
напівнескінченне тіло можна розглядати як плоский шар нескінченної товщини, 
пластину - як плоский шар малої товщини, коли можна знехтувати перепадом 
температури по товщині, стрижень - як циліндр без перепаду температури по 
перетину. Більш того, одному і тому ж товстостінну зварювального виробу 
можуть відповідати різні схеми тіл: нескінченне тіло - при виконанні кореневих 
проходів у вузький зазор (теплові потоки існують на всі боки); напівнескінченне 
тіло - при виконанні на поверхні останнього проходу (теплові потоки спрямовані 
вглиб металу). Тільки розуміння фізичної моделі може дозволити грамотно 
вибрати відповідну теплову схему. 
Застосування виду зосередженого джерела нагріву має бути погоджено з 
прийнятою теплової схемою розрахунку теплопровідності. Так, на поверхні 
напівнескінченного тіла і плоского шару діє точковий, в пластині - лінійний, а в 
стрижні - плоский джерела тепла. 
Існують джерела теплоти зі складною формою розподілу теплового потоку. 
Теплота може розподілятися по товщині зразка за різними законами. У разі 
наплавлення на масивне тіло розподілу теплоти в напрямку осі z можна 
знехтувати і вважати джерело точковим, що знаходяться на поверхні тіла. 
При необхідності врахувати розподілу теплоти можна прийняти 
нормальний закон розподілу. У загальному випадку використання різних джерел 
теплоти питання про розподіл теплового потоку по товщині зразка має 
вирішуватися конкретно в залежності від властивостей самого джерела і його 
взаємодії з інструментом. У першому наближенні про характер розподілу 
введеної енергії можна судити по формі теплового впливу. 
 30 
Специфічним для задач теплопровідності є те, що в області високої 
температури на температурне поле впливають більшою мірою особливості 
введення теплоти і в меншій мірі граничні умови. 
Існують різні аналітичні методи вирішення завдань теорії теплопровідності 
(метод поділу змінних, операційні методи, метод джерел та ін.). Запропонований 
ще лордом Кельвіном метод джерел (в математичній фізиці званий методом 
функцій Гріна) є кращим в силу своєї наочності, простоти обліку особливостей 
джерел теплоти; разом з тим він має математичної строгістю. Все це і зумовило 
його популярність при розрахунку температурних полів. 
Диференціальне рівняння теплопровідності є лінійним. Одним із наслідків 
лінійності рівняння є принцип суперпозиції: результат суми впливів дорівнює 
сумі результатів кожного впливу окремо. Фізичний принцип методу джерел 
полягає в тому, що будь-який тепловий процес, що відбувається в тілі, можна 
уявити як суму процесів теплового вирівнювання, що походять від численних 
елементарних джерел тепла, розподілених як у просторі, так і в часі. Підкреслимо, 
що закладений в метод джерел принцип суперпозиції (накладення) рішень 
застосовується лише в разі, коли крайова задача лінійна (в рівнянні 
теплопровідності та граничних умовах cρ, λ, a, q2
s, α не залежить від температури, 
а q3 є лінійна функція T) . 
Будь реальний постійно діючий, що рухається і довільно розподілений в 
просторі джерело можна, користуючись принципом суперпозиції, представити у 
вигляді сукупності миттєвих зосереджених джерел і отримати рішення задачі, 
підсумовуючи температурне поле від кожного з них. 
 
Висновки до розділу 1  
Аналіз проблеми теплообміну при нанометричних вимірюваннях у зоні 
контакту дозволяє сформулювати низку важливих висновків. Наразі не існує 
єдиного алгоритму, який би забезпечував можливість проведення теоретичних 
розрахунків процесів теплообміну, які могли б бути підтверджені 
експериментально з високим рівнем достовірності. 
 31 
Найбільш розповсюдженим методом, що застосовується для дослідження 
теплообміну, є аналіз розмірних параметрів. 
Додатково, огляд наукових джерел свідчить про те, що питання теплообміну 
в контексті нанометричних вимірювань досліджувались лише обмежено. 
Проблема опису теплофізичних процесів та явищ, що відбуваються в 
нанорозмірах, є однією з найскладніших в сучасній науці і на сьогоднішній день 
вивчена недостатньо. 
У зв’язку з цим, актуальним завданням є проведення досліджень та розробка 
математичних моделей для процесів теплообміну при нанометричних 
вимірюваннях. Це дасть змогу глибше дослідити теоретичні засади теплообміну 
між вимірювальним наноінструментом та навколишнім середовищем, обчислити 
коефіцієнти теплообміну, тертя та місцевих опорів, а також розробити модель 
процесу діагностування. Отримані результати сприятимуть проектуванню 
високоточних вимірювальних приладів для нанометричних досліджень. 
 32 
РОЗДІЛ 2. 
МЕТОДОЛОГІЧНЕ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ ТЕПЛООБМІНУ  
ПРИ НАНОМЕТРИЧНИХ ВИМІРЮВАННЯХ 
 
За результатами аналізу сучасного стану задачі дослідження теплообміну 
при нанометричних вимірюваннях, визначено мету магістерської кваліфікаційної 
роботи, що присвячена дослідженню та розрахунку процесів теплообміну при 
нанометричних вимірюваннях із використанням методу атомно-силової 
мікроскопії шляхом застосування тепловізійних методів вимірювання розподілу 
температурних полів. 
Об’єктом досліджень визначено процес теплообміну при нанометричних 
вимірюваннях. В результаті аналізу та структуризації об'єкта дослідження був 
розроблений комплекс експериментальних методів, що використовують кремнієві 
зонди. Ці методики враховують режими сканування, а також гідрофобні 
властивості як зондів, так і поверхонь, що досліджуються. Комплекс методів 
включає як традиційні, так і новаторські підходи до проведення досліджень. 
 
2.1. Основні вимоги та характеристики об’єктів дослідження  
У магістерській роботі будуть вивчені тонкошарові (менше 20 нм 
завтовшки) оксидні та металеві покриття (SiO2, HfO2, Au), нанесені на кремнієві 
пластини (30×30×0,5 мм) марки Кр0, а також нанорозмірні структури, такі як 
плоскі відзеркалюючі решітки, наноконтакти та нанопровідники, сформовані на 
цих покриттях. Ці матеріали та наноструктури широко використовуються в 
наноелектроніці, зокрема в інтегральних схемах та їх компонентах, і мають різні 
фізико-механічні властивості. Зі зменшенням розміру елементів до 
нанометричних масштабів, домінують квантові ефекти, що відкриває нові 
можливості та властивості для подальшого розвитку цієї технології. Оскільки 
невідповідність таких елементів сучасним міжнародним стандартам може 
призвести до відмови всього пристрою, важливим є проведення високоточних 
вимірювань і контролю якості [14-16]. 
 33 
Для вимірювання використовувалися кремнієві конічні зонди CSC-38 
(виробник «Micromash», Німеччина) з радіусом вістря 10 нм. Цей тип зонда є 
одним з найбільш розповсюджених у масовій діагностиці нанорельєфу та 
механічних характеристик твердих поверхонь. Він має кілька переваг у 
порівнянні з іншими типами зондів: висока точність сканування (до 0,2 нм по осі 
Z і до 10 нм по осі XY), висока чутливість до незначних перепадів рельєфу 
поверхні, відсутність руйнівного впливу на досліджувану поверхню, широкий 
діапазон вимірюваних поверхонь і доступність за ціною (середня вартість зонда 
становить 15-30 €) (рис. 2.1). 
 
Рисунок 2.1 – Діапазон застосування різних типів зондів 
 
2.2. Методики досліджень і обладнання для моделювання процесів 
теплообміну при нанометричних вимірюваннях 
Методика досліджень процесів теплообміну в зоні контакту 
мікроінструменту та поверхні. 
Обладнання та матеріали: атомно-силовий мікроскоп модель “NT-206V” та 
пінцет для зорового контролю. Для спостереження за об'єктами з коефіцієнтом 
збільшення до 100 разів використана оптична камера “Logitech” (виробництва 
США), з полем зору 1×0,75 мм². 
 34 
Дослідження процесів теплообміну між поверхнями з використанням 
атомно-силової мікроскопії проводяться наступним чином: (рис.2.2) [17-20]: 
 
Рисунок 2.2 – Алгоритм проведення досліджень за допомогою АСМ 
 
Підготовка зразків до дослідження. Зразок, призначений для дослідження 
на приладі розміщується на предметному столику. Максимальні розміри повинні 
бути: діаметр 30 мм, висота 8 мм.  Якщо зразок має діаметр менше 10 мм. Об'єкт 
розміщується на підкладці, при цьому його розміри повинні відповідати 
встановленим обмеженням. Для досягнення високої якості зображення 
досліджувану поверхню необхідно розмістити паралельно основі підкладки (або 
нижній частині зразка, якщо він монтується без підкладки).  
 35 
Безпосередньо перед встановленням зразка його очищують розчинниками 
або в камері ультразвукового очищення від забруднень і сторонніх об’єктів. При 
встановленні зразка область сканування повинна бути ближча до центру для 
уникнення на АСМ-зображенні спотворень, викликаних сферичним характером 
руху сканера АСМ. 
Підготовка атомно-силового мікроскопу до роботи. При дослідженні 
методом атомно-силової мікроскопії, до вимагаються наступні умови 
навколишнього середовища: температура (20±3) °С; відносна вологість повітря не 
більше 80 %; атмосферний тиск (100±4) кПа; напруга мережі живлення 220 В; 
частота мережі живлення 50 Гц. 
Після з’єднання модулів АСМ та їх підключення до ПК і до електрик-ної 
мережі, прилад може бути включений, для цього виконуються дії: 
- включається управляючий комп’ютер (у тому числі і монітор); 
- включається блок електроніки управління за допомогою кнопки „POWER”; 
- запускається програма управління АСМ „SurfaceScan”; 
- активізується панель „Laser” в програмі управління, включається лазер і джерело 
освітлення предметного столика п’єзосканера. 
Після цього комплекс готовий до подальшого налаштування і роботи. На 
рис. 2.3 представлено вигляд АСМ NT-206V. 
 
 
Рисунок 2.3 – Комплект атомно-силового мікроскопу „NT-206V” з ПК та 
системою керування  
 36 
Налаштування системи детектування. Система детектування 
налаштовується в разі установки/заміни зонда, а також у разі неправильного, 
ненадійного функціонування системи. 
Порядок налаштування системи детектування АСМ наступний: 
1. Включається АСМ (включається блок електроніки, запускається програма 
управління АСМ „SurfaceScan” і включається лазер в панелі „Laser” програми 
управління натисканням кнопки „Laser”). Налаштування системи детектування 
виконується в статичному режимі роботи АСМ, для чого обирається відповідний 
режим в селекторі режимів панелі „MAIN” програми управління. Також 
необхідно переконатись, що зонд, встановлений в приладі знаходиться на 
достатній відстані (5…10 мм) від поверхні. 
2. Налаштовується регулятор „Set-point” в панелі „Feedback” програми 
управління АСМ так, щоб мітка RSP-індикатора знаходилась в середньому 
положенні, або нижче цього положення на 5…7%. 
3. Обертанням ручок „Laser X” та „Laser Y” на вимірювальній головці 
відрегульовуються положення лазера так, щоб лазерний промінь позиціонувався 
на вільному кінці консолі. Для зручності налаштування лазера і для 
спостереження за позиціонуванням лазерного променя, рекомендується 
використовувати зображення, одержане мікроскопом Logitech (×150). 
4. Спостерігаючи слід на екрані монітора ПК проводиться остаточне 
налаштування положення лазера. Для цього обертанням в невеликому діапазоні 
ручок „Laser X” і „Laser Y” на вимірювальній головці досягається таке положення 
плями на екрані монітору за допомогою камери, щоб вона була якомога більш 
яскрава і кругла (рис. 2.4).  
5. Обертанням ручок „Detector X” і „Detector Y” на вимірювальній головці, 
регулюється положення фотодетектора таким чином, щоб промінь відбитий від 
зворотної сторони консолі потрапляв на активну зону фотодетектора. Контроль за 
даною процедурою виконується за допомогою панелі „Laser” програми керування 
АСМ. В зоні візуалізації відображається положення світлової плями на 
фотодетекторі. 
 37 
   
Рисунок 2.4 – Схема позиціонування лазерного променя на вільному кінці 
консолі. Справа наведено приклад зображення, що одержується інтегрованою 
відеокамерою при правильному позиціонуванні лазерного променя 
 
Найоптимальнішим положенням фотодетектора при налаштуванні системи 
детектування є такі координати: X=100%; Y=75%. В такому положенні вісь Х 
перетинає пляму навпіл, а вісь Y є дотичною до кола плями (рис. 2.5). 
Reflected spot position
X=100%
Y=75%
 
Рисунок 2.5 – Положення світлової плями у вікні візуалізації панелі 
„Laser” при оптимальному регулюванні положення фотодетектора 
 
Налаштування положення фотодетектора наведеним чином забезпечує 
стійку роботу системи детектування після підведення зонда до поверхні зразка, 
оскільки після контакту і відхилення консолі від початкового положення, світлова 
пляма зміщується вниз до центру фотодіода. В такому положенні система має 
більший діапазон вимірювання відхилення консолі. 
 38 
Встановлення утримувача з досліджуваним зразком. Утримувач із зразком, 
призначеним для дослідження на приладі, розміщується на предметному столику 
АСМ. Для отримання високоякісного АСМ-зображення, зразок розташовують в 
горизонтальній площині, плоскою стороною до зонду. 
Перед встановленням зразка на предметному столику АСМ забезпечується 
достатня відстань між столиком та зондом, щоб уникнути його пошкодження. 
Предметний столик АСМ NT-206 оснащений магнітами, що дозволяє зафіксувати 
зразок. 
Попередні налаштування. Для одержання найбільш чіткого зображення 
використовується контактний (статичний) режим. В такому режимі зонд входить 
у безпосередній контакт з поверхнею, що зводить до мінімуму вплив на результат 
сканування рідкої плівки адсорбованій на досліджуваній поверхні. Статичний 
режим вмикається селектором „Mode” в панелі „Main” програми управління. 
Основний параметр, який вимірювальна система підтримує в ході сканування 
постійним – це відхилення консолі від нейтрального (вільного) стану. Рівень 
відхилення визначається регулятором „Set-point” в панелі „FeedBack”. 
Налаштування регулятора „Set-point” в панелі „FeedBack” програми керування 
проводиться таким чином, щоб мітка індикатора „Rsp” розташовувалася в 
середині або нижче на 5…7%. Регулятор затримки зворотного зв'язку Delay 
встановлюється на значення 20…40 (близько 10…20 % від повного діапазону 
починаючи від мінімального рівня). 
Підведення зразка до зонда. Процедура підведення виконується в 
автоматичному режимі, оскільки система керування досить точно фіксує момент 
входження зонда в контакт з поверхнею і відключає підведення.  
У приладі АСМ NT-206 реалізовано вертикальне переміщення платформи 
(предметного столика) з зразком, яке здійснюється на кількох швидкостях. Для 
забезпечення швидкого підведення зразка до зонду, відстань між ними 
регулюється до приблизно 1 мм, після чого зменшується швидкість обертання 
крокового двигуна вертикального переміщення, і завершується процес 
автоматичного підведення. 
 39 
Швидкість обертання двигуна вертикального переміщення регулюється за 
допомогою установки затримки через селектор „Drive delay” на панелі „Main”. 
При цьому варто врахувати, що збільшення затримки відповідає зниженню 
швидкості підведення. Грубе підведення виконується із затримкою „Drive delay” 
2,72 мкс та активацією кнопки автопідведення. Оператор здійснює візуальний 
контроль за процесом підведення, і коли відстань між зразком і зондом досягає 
приблизно 1 мм, він припиняє грубе підведення, натискаючи кнопку „Stop” на 
панелі „Main” або клавішу „Esc” на клавіатурі комп'ютера, що керує пристроєм. 
Подальше підведення виконується в наступній послідовності: 
1. Встановлюється високе значення затримки „Drive delay” (10,88 мкс) в 
панелі „Main”, для забезпечення низької швидкості підведення. 
2. Натисканням кнопки автопідведення здійснюється автоматичне 
підведення (після закінчення підведення буде виведено відповідне повідомлення). 
Після цього кнопка автопідведення стає заблокованою і подальше підведення до 
поверхні можливе лише в ручному режимі. 
 3. Якщо індикатор Z в панелі „Indicators” не знаходиться в середині 
діапазону, необхідно додатково підвести (якщо індикатор вище середини) або 
відвести (якщо індикатор нижче середини) поверхню відносно зонда. Для цього в 
зоні ручного управління підведенням, натисканням кнопок „ON” і „OFF” 
здійснюється підведення або відведення зразка відносно зонда. Дана процедура 
повторюється до тих пір, поки індикатор Z не переміститься в середину діапазону. 
Сканування. В залежності від досліджуваного матеріалу обирається один із 
режимів сканування: 
1. Контактний режим: для гладких зразків (шорсткість не перевищує  
3 мкм), біологічних об’єктів, а також при вимірюванні в середовищі повітря. 
2. Динамічний режим: при дослідженні порошків. 
3. Безконтактний режим: для визначення механічних характеристик 
поверхонь твердих матеріалів, модуль пружності яких перебільшує 200 ГПа. При 
цьому бажано проводити сканування у вакуумі. 
 40 
Для кожного з режимів обирають параметри сканування згідно з умовами 
проведення та в залежності від об’єкту дослідження. 
Завершення роботи атомно-силового мікроскопу. Для завершення роботи 
АСМ виконують такі процедури: 
1. Зупиняється сканування, якщо воно не завершене автоматично. 
2. Встановлюється максимальна швидкість зворотного зв'язку (мінімальне 
значення затримки „Delay” в панелі „Feedback”). 
3. В панелі „Main” натискається кнопка автовідведення „OFF” в зоні 
керування автоматичним рухом двигуна вертикального переміщення зразка. Після 
виходу поверхні з контакту із зондом індикатор Z збільшується до максимального 
значення. Відведення відбувається до тих пір, поки вістря зонда не опиняється на 
досить великій відстані від зразка, що необхідно проконтролювати візуально. 
Якщо необхідно, зразок знімається з предметного столика. 
4. Результати вимірювань зберігаються на жорсткий диск ПК шляхом 
натискання кнопки „Save” в меню „File” програми керування „SurfaceScan”. 
5. В панелі „Laser” програми керування „SurfaceScan” вимикається лазер та 
освітлення. 
6. Вимикається блок електроніки керування за допомогою кнопки „Power” 
на його передній панелі. 
7. Закривається програма керування АСМ „SurfaceScan”. 
8. При необхідності вимикається керуючий комп'ютер, дотримуючись 
послідовності, передбаченої операційною системою. 
Обробка та аналіз результатів сканування 
Обробка даних сканування поверхонь полягає в аналізі температурних 
характеристик уздовж заданого напрямку досліджуваної площини, оцінці 
розподілу висот, побудові кутових гістограм, а також в обробці інформації про 
геометричні параметри досліджуваної поверхні з використанням програмного 
забезпечення Surface Viewer v.6.2. 
 41 
Методика теплового контролю. Процес теплового контролю об'єктів 
здійснюється за допомогою тепловізійного огляду, який реалізується через кілька 
етапів, що дозволяють детально оцінити температурний стан та інші важливі 
характеристики об'єктів: 
Етапи проведення теплового контролю: Підготовка до контролю. 
Підготовка засобів контролю. Виконання контролю (зовнішня та внутрішня 
тепловізійна зйомка, інструментальні вимірювання). Аналіз та інтерпретація 
отриманих результатів. Кожен етап виконується в чітко визначеній послідовності. 
Підготовка до теплового контролю. На цьому етапі необхідно ретельно 
ознайомитись з технічною документацією об'єкта дослідження. Важливо 
проаналізувати застосовані конструкторські рішення, а також внесені зміни, якщо 
вони мали місце. Необхідно також врахувати умови експлуатації об'єкта та 
специфіку використання елементів пам'яті. 
Далі слід оцінити готовність об'єкта до проведення контролю. Тепловізійне 
обстеження зазвичай проводиться на етапі тестування об'єкта, зокрема при його 
введенні в експлуатацію. Зйомка виконується під час роботи об'єкта, коли 
запущено тестування, адже важливим є створення температурного натиску — 
різниці температур між об'єктом і навколишнім середовищем. Зазвичай ця різниця 
повинна бути не менше 10-15°C, що дозволяє виявити дефекти теплового захисту, 
якщо вони існують. 
Після цього виконується візуальний огляд об'єкта для оцінки рівня його 
нагріву. Рекомендується, щоб відстань між точкою зйомки та об'єктом була в 
межах 10-30 см, оскільки на більших відстанях, особливо при роботі тепловізорів 
з малими матрицями, не можна гарантувати виявлення всіх дефектів. Також 
важливо прив'язати точку зйомки до місцевих орієнтирів, щоб чітко визначити її 
положення. Початковий візуальний огляд дозволяє створити загальне уявлення 
про об'єкт та виявити елементи, які потребують детальнішого термографічного 
дослідження. Однак така оцінка є попередньою і не може бути використана для 
точного аналізу дефектів. 
 42 
Після візуального огляду необхідно визначити на поверхні об'єкта реперні 
зони для подальших вимірювань. Реперні зони — це однорідні ділянки на 
поверхні захищених конструкцій з постійною температурою, що мають відносно 
ізотермічну поверхню. Розмір таких ділянок зазвичай становить від 2 до 10 мм 
(рис.2.6). У цих зонах будуть проводитись контактні вимірювання для 
подальшого аналізу. 
 
Рисунок 2.6 – Визначення контрольних точок на конструкції 
 
Завершенням цього етапу є розробка плану (схеми) тепловізійного 
обстеження, який передбачає прив'язку досліджуваних об'єктів до конкретних 
елементів конструкції ПК. У плані слід зазначити точки зйомки, їх кількість та 
місцезнаходження, а також відстань до об'єктів, напрямок зйомки. Крім того, 
потрібно вказати вибрані реперні зони та ділянки з аномальними (або 
дефектними) ознаками, виявленими під час візуального огляду. Це можуть бути 
участки з нестандартними конструктивними рішеннями або ділянки, де помітні 
візуальні дефекти. Після формування загального уявлення про об'єкт дослідження 
та визначення схеми контролю, здійснюється підготовка необхідного обладнання. 
 43 
Підготовка засобів вимірювання. Цей етап включає вибір приладів для 
контролю з урахуванням температурного діапазону вимірів, чутливості, точності 
вимірювання та характеристик контрольованих об'єктів. Перед проведенням 
тепловізійного обстеження необхідно виконати ряд підготовчих заходів, 
спрямованих на мінімізацію похибок вимірювання температури в реальних 
умовах та на досягнення найкращої візуалізації термозображення об'єкта. Для 
цього в тепловізійних пристроях здійснюються налаштування, що забезпечують 
коректність і точність вимірювань. 
Умовно параметри налаштування приладу можна поділити на дві категорії: 
параметри, що залежать від умов навколишнього середовища, та параметри, 
безпосередньо пов'язані з роботою самого пристрою. До налаштувань, що 
визначають значення параметрів навколишнього середовища, належать: 
температура повітря, відстань до об'єкта, а також вологість. 
Атмосферні умови, у яких здійснюється тепловізійний контроль, впливають 
на інтенсивність інфрачервоного випромінювання, що проходить від об'єкта до 
тепловізора. Тому для зниження похибок вимірювань температури об'єкта 
важливо враховувати ці зовнішні параметри. У разі налаштування приладу з 
урахуванням цих умов, процесор тепловізора може здійснити корекцію 
компенсації на основі заданих параметрів, що дозволяє мінімізувати вплив 
атмосферних змінних на точність температурних вимірювань. Виміряти 
температуру повітря та вологість можна за допомогою термогігрометра, а 
відстань – за допомогою лазерного далекоміра. 
Щодо налаштувань, що стосуються самого тепловізора та об'єкта контролю, 
до них відносяться: 
Встановлення температурного діапазону вимірювань. Зазвичай тепловізори 
мають кілька піддіапазонів для вимірювання температур (наприклад: від -40°C до 
+100°C, від -10°C до +300°C, від 10°C до +600°C).  
Якщо не врахувати цей параметр, можливо не отримати жодного 
зображення на екрані тепловізора (якщо температура об'єкта нижча за мінімальну 
межу обраного діапазону)  
 44 
або пошкодити чутливі елементи матриці (якщо високотемпературний об'єкт 
потрапить у кадр при виборі низькотемпературного діапазону). 
Встановлення коефіцієнта випромінювання. Реальні матеріали 
випромінюють менше енергії, ніж ідеальне чорне тіло при однаковій температурі. 
Для коректного обчислення температури та зменшення похибок необхідно 
вказувати коефіцієнт випромінювання матеріалу, з якого виготовлено об'єкт. Це 
налаштування дає змогу точно визначити температурні значення, враховуючи 
властивості матеріалу, що контролюється. 
Зазвичай значення коефіцієнта випромінювання визначають за допомогою 
довідкових таблиць або встановлюють експериментальним шляхом безпосередньо 
на об'єкті. Згідно з нормативними вимогами, контроль об'єкта з коефіцієнтом 
випромінювання менше 0,6 не рекомендовано. У таких випадках необхідно вжити 
заходів для підвищення цього показника до 1,0, наприклад, шляхом нанесення 
фарби на поверхню або використання інших доступних методів. 
Вибір оптимальної кольорової палітри для тепловізора є важливим для 
покращення сприйняття теплових особливостей об'єкта під час термографічного 
обстеження. Вибір палітри залежить від вподобань оператора і стандартів, що 
склалися в конкретній галузі. Однак існують загальні рекомендації, які варто 
враховувати під час роботи. Так, якщо об'єкт, що знімається, має широкий 
температурний діапазон (десятки чи сотні градусів), доцільно обирати палітру з 
обмеженою кількістю кольорів (2–3). В разі, коли температура об'єкта змінюється 
в межах декількох градусів або десятих часток градуса, краще використовувати 
палітру з великою кількістю відтінків (до 8). 
У більшості сучасних тепловізорів налаштування температурного інтервалу 
здійснюється автоматично, з урахуванням мінімальних і максимальних значень 
температури об'єкта в полі зору тепловізора. В окремих випадках, коли необхідно 
детально розглянути певну частину об'єкта з обмеженим температурним 
діапазоном, може знадобитися ручне регулювання інтервалу. 
 45 
Корекція фокусу (різкості) є важливим аспектом для досягнення чітких 
термозображень. Якщо зображення отримано з низькою різкістю, подальша 
корекція неможлива. Однак інші налаштування можуть бути скориговані в 
програмному забезпеченні для обробки термозображень, якщо під час зйомки 
були допущені помилки. Корекція фокусу доступна лише до моменту зйомки 
кадру. Тепловізори можуть мати як ручне, так і автоматичне налаштування 
фокусу, кожен з яких має свої переваги та недоліки. 
Однак, для досягнення максимальної ефективності, рекомендується 
використовувати тепловізор, який підтримує обидва режими налаштування 
фокусу. 
Налаштування об'єктивів тепловізора. Деякі моделі тепловізорів мають 
можливість встановлення різних об'єктивів, що забезпечують змінні кути поля 
зору, зокрема телеоб'єктиви (вузькокутні) та панорамні об'єктиви (ширококутні). 
При зміні об'єктива важливо відображати ці зміни в налаштуваннях пристрою, 
оскільки це дозволяє коригувати показання тепловізора. Це необхідно через те, 
що оптична система тепловізора сприймає інфрачервоне випромінювання, а 
кожен об'єктив має свій коефіцієнт поглинання, залежно від його конструктивних 
особливостей. У деяких пристроях коригування під новий об'єктив може бути 
виконано автоматично. 
Після виконання всіх підготовчих робіт, що включають налаштування 
приладів і забезпечення необхідних умов для проведення контролю, можна 
переходити до етапу безпосередньо тепловізійного знімання. Спочатку потрібно 
виконати геометричну прив'язку об'єктів, визначивши розташування інших 
конструкційних елементів ПК відносно них. Також необхідно встановити 
відстань, на якій буде проводитись зовнішня тепловізійна зйомка, при цьому 
бажано, щоб ця відстань залишалася стабільною під час всього процесу зйомки. 
Далі проводиться вимірювання температури та вологості навколишнього 
середовища за допомогою відповідних приладів. Паралельно визначається 
температура контрольних зон як контактним (за допомогою термометра) так і 
безконтактним методом (за допомогою тепловізора).  
 46 
На основі отриманих значень встановлюється коефіцієнт випромінювання 
об'єкта в меню тепловізора. Крім цього, в меню тепловізора також 
налаштовуються додаткові параметри, такі як відстань до об'єкта, температура 
середовища, вологість та інші, що дозволяє зменшити похибки вимірювань. 
Після цього можна переходити до основного етапу — тепловізійного 
знімання. Тепловізійна зйомка проводиться послідовно по кожній ділянці з 
перекриттям кадрів на 15-20%, рухаючись знизу вгору і зліва направо. 
 
Рисунок 2.7 – Схема проведення тепловізійних зйомок  
Це робиться з метою забезпечення повного контролю за всіма ділянками, 
щоб уникнути випадкового пропуску якихось частин об'єкта. Тепловізійну зйомку 
рекомендується розпочинати з найбільш холодних зон. Процес тепловізійної 
зйомки слід поєднувати з фотографуванням. Сучасні тепловізори дозволяють 
виконувати обидві операції одночасно, але якщо камера не має функції 
фотографування, слід використовувати окремий фотоапарат. Для зйомки 
оптимально вибирати найменший кут огляду, але він не повинен перевищувати 
60°. В іншому випадку, результати контролю можуть бути спотворені. Після того, 
як об'єкт буде зафіксовано з усіх боків, можна при необхідності провести більш 
детальну зйомку підозрілих ділянок, таких як зони перекриттів, кути, виступи 
тощо. Рекомендується також виконати панорамне термографічне дослідження 
кожного елемента.  
 47 
Для цього потрібно відійти від об'єкта на більшу відстань. Проте, часто 
буває, що для того, щоб увесь об'єкт потрапив на один знімок, термографіст 
відходить занадто далеко, що призводить до значного погіршення якості 
зображення і втрати дрібних теплових деталей. Такий панорамний знімок не надає 
корисної інформації для подальшого аналізу. 
Для збереження необхідної роздільної здатності та уникнення погіршення 
загального вигляду теплового зображення, доцільно виконувати панорамну 
зйомку з відстані, що не перевищує 1-2 метри. В цьому випадку кожен елемент 
можна зафіксувати в кількох знімках, а потім, завдяки комп'ютерній обробці, 
об'єднати їх в один загальний тепловий знімок. Це дозволяє зберегти якість 
теплового зображення, не втрачаючи важливих температурних деталей, і 
отримати загальну картину дефектів, характерних для всього об'єкта. Сучасне 
програмне забезпечення для тепловізійних камер дає можливість автоматично 
"зшивати" окремі термограми в єдине панорамне зображення, проте не завжди 
якість такого знімка відповідає вимогам. 
Після тепловізійної зйомки отримуються термограми всіх елементів об'єкта, 
зокрема детальні термограми окремих частин зовнішніх елементів, що їх 
захищають, а також термограми, отримані в результаті внутрішнього обстеження. 
Ці термограми піддаються комп'ютерному аналізу та включаються до 
термографічного звіту. Для інструментальних вимірювань вибираються зони на 
об'єкті, де температурний режим зберігається стабільним за однакових умов 
вологості. Такі ділянки, як правило, мають однорідні ізотермічні поверхні, що 
характеризуються певним опором теплопередачі. 
Дані тестів реєструються автоматично або вручну через проміжки часу 
(наприклад, кожні 0,5 - 1 хвилину) протягом кількох годин. Після завершення 
реєстрації проводиться обробка результатів вимірів, на основі яких обчислюються 
фактичні значення приведеного опору теплопередачі елементів конструкції. 
Отже, в результаті інструментальних вимірювань отримуються показники 
температури як на поверхні об'єкта, так і всередині, температура зовнішніх і 
внутрішніх поверхонь, вологість в досліджуваній зоні, а також щільність  
 48 
теплових потоків через конструктивні елементи. Кількісні параметри, отримані в 
процесі вимірювань, фіксуються та зберігаються. Обробка результатів 
здійснюється за допомогою спеціалізованого програмного забезпечення, що 
постачається разом з обладнанням, а також за допомогою стандартних 
програмних пакетів. На основі цих даних можна провести розрахунок показників 
теплових втрат. 
Аналіз термограм та інтерпретація результатів інструментальних вимірів 
включає комп'ютерну обробку з виявленням теплових аномалій — зон, де 
температура відрізняється від прогнозованого розподілу. Для уточнення та 
виокремлення таких аномалій в програмному забезпеченні використовуються 
різні функції, такі як встановлення точок, ліній, прямокутників чи овалів із 
зазначенням температур або температурних відхилень. Додатково, для аналізу та 
інтерпретації результатів можуть використовуватися гістограми температурних 
значень на зображеннях. 
  
Рисунок 2.8 – Гістограма температурного розподілу по поверхні 
 
Термограми, які пройшли відповідну обробку, дозволяють виявити на 
контрольованому об'єкті аномальні області, що можуть свідчити про порушення в 
процесах виробництва або монтажу. Ці дані можуть бути включені в 
термографічний звіт. Після виявлення аномальних зон на термограмах, 
проводиться їх подальший аналіз і виконуються кількісні розрахунки. Одним з 
таких розрахунків є визначення опору теплопередачі R0 (м2.С/Вт) для термічно 
однорідної зони використовують формулу: R0 = (tint – text) / qj, де tint – середня за 
розрахунковий період вимірювань  
 49 
температура досліджуваного об‘єкту, С; text – середня за розрахунковий період 
вимірювань температура зовнішнього повітря, С, qj – середня за розрахунковий 
період вимірювань фактична щільність теплового потоку, Вт/м2. Приведений опір 
теплопередачі Rr0 (м2.С/Вт) елементів об‘єкту дослідження, що захищає, має 
нерівномірність температур поверхні, розраховується по формулі: Rr0 = А / (Σ А / 
Аi / Ri), де А - площа випробовуваної конструкції, що захищає, м2; Аi – площа 
характерної ізотермічної зони, м2; Ri – опір теплопередачі характерної зони, 
м2.С/Вт. Дані для цих розрахунків беруться з інструментальних вимірів. Після 
виконання розрахункових процедур отримуються фактичні (розраховані) 
значення еквівалентного опору теплопередачі захисних конструкцій ПК. Далі ці 
розраховані значення опору теплопередачі для досліджуваних об'єктів повинні 
бути порівняні з нормативними показниками. Отже, в результаті таких 
розрахунків визначаються фактичні параметри теплових втрат. 
Обладнання для моделювання процесів теплообміну при нанометричних 
вимірюваннях.  В експериментах по моделюванню процесів теплообміну в зоні 
контакту нанометричного інструменту з досліджуванною поверхнею 
використовувалося наступне науково-експериментальне обладнання: атомно-
силовий мікроскоп NT-206, основне призначення якого – проведення дослідного 
експерименту по взаємодії кремнієвого зонду (наноінструменту) з поверхнями 
досліджуваних зразків (діелектричних та металевих); тепловізор IR-60 
(«SIMVOLT», м.Харків, Україна) – призначений для дослідження розподілу 
теплоти в зоні контакту наноінструменту з досліджуваною поверхнею та 
термографування картини розподілу. 
 Принцип дії пристроїв та їх основні характеристики наведені нижче. 
 Атомно-силовий мікроскоп NT-206. У атомно-силовому мікроскопі 
сканування поверхні здійснюється за допомогою тонкого зонду, закріпленого на 
кінці консолі, яка виконує роль кантилевера. Кантилевер є гнучкою конструкцією, 
що забезпечує точну взаємодію з досліджуваною поверхнею. Високоточне 
переміщення поверхні під щупом здійснюється за допомогою п'єзоелектричних 
елементів, які змінюють свою довжину залежно від прикладеної напруги. 
 50 
Під час сканування нерівної поверхні зонд здійснює мікроскопічні 
вертикальні рухи, які реєструються за допомогою лазерного променя, 
спрямованого на верхню сторону відбивного кантилевера. 
Хоча амплітуда вертикальних переміщень кантилевера є надзвичайно 
малою, відхилення відбитого лазерного променя формується під досить значним 
кутом, що дозволяє його точно зафіксувати за допомогою матричного 
фотодетектора. Отримані дані обробляються спеціалізованою електронною 
системою, яка генерує високоточне зображення поверхні. 
Для підтримання стабільної сили взаємодії між зондом і поверхнею, а також 
для запобігання можливим пошкодженням зонда чи досліджуваної поверхні, 
застосовується інтегрована система зворотного зв'язку. Ця система автоматично 
та динамічно регулює положення зонда, забезпечуючи оптимальні умови 
вимірювань. 
 Багатофункціональний скануючий зондовий мікроскоп NT-206 представляє 
собою атомно-силовий мікроскоп (АСМ) в комплексі з апаратними та 
програмними засобами, необхідними для вимірювання і аналізу мікро- і 
субмікрорельефа поверхонь, об'єктів мікро- і нанометрового розмірного 
діапазону, їх мікромеханічних і інших властивостей з високим дозволом. 
Вбудована відеосистема в поєднанні з автоматизованою платформою 
мікропереміщень забезпечують зручність настройки приладу і можливість точно 
вибирати область вимірювань на поверхні зразка, що якісним чином підвищує 
функціональність приладу при роботі з мікрооб'єктами. 
 
Таблиця 2.1 - Технічні характеристики 
Поле сканування: від 5х5 мкм до 90x90 мкм 
1 2 
Максимальний діапазон від 2 до 4 мкм 
вимірювання висот: 
Латеральний дозвіл 1–5 нм (в залежності від жорсткості поверхні зразків) 
(площина XY): 
Вертикальний дозвіл 0,1–0,5 нм (в залежності від жорсткості поверхні зразків) 
(напрямок Z): 
 51 
1 2 
Розмір матриці сканування: до 1024x1024 точок 
Швидкість сканування: 40–250 точок/с в площині X-Y 
Мінімальний крок сканування: 0,3 нм 
Схема сканирования: Рухомий зразок під нерухомим зондом. 
Тип сканера: П‘єзокерамічний трубчатий. 
Зонди: Промислові зонди 
Система детектування відхи- Лазерно-променева з чотирьохсекційним позиціонно-
лення вимірювальної консолі: чутливим фотодетектором 
Розміри зразка: До 30x30x5 мм (ш–г–в) 
Вихідна напруга високо- +190 В 
вольтного підсилювача: 
АЦП: 16 bit 
Умови роботи: Відкрите повітря, 760+40 мм рт. ст., 22+4°С, Відносна 
вологість <70% 
Діапазон автоматизованих 10x10 мм в площині XY для мікропозиціонування зонда 
переміщень вимірювальної відносно об‘єкта з кроком 2,5 мкм з оптичним візуальним 
голівки: контролем. 
Габарити: Блок сканування: 185x185x290 мм 
Блок електроніки управління: 360x420x220 мм 
Поле огляду вбудованої 1x0.75 мм, розмір вікна візуалізації 640x480 піксел. 
відеосистеми: 
 
Залежно від специфіки дослідницьких завдань АСМ NT-206 може 
комплектуватися спеціалізованими змінними модулями для проведення мік-
ротрібометричних та адгезіометричних вимірювань або наноіндентування. 
Тепловізор IR-60. Принцип функціонування тепловізорів. Тепловізори 
працюють за рахунок аналізу нерівномірного нагрівання об'єктів. Наприклад, 
температура автомобіля з увімкненим двигуном буде вищою, ніж у автомобіля з 
вимкненим двигуном, що створює характерний розподіл інфрачервоного (ІЧ) 
випромінювання. 
Основою роботи всіх тепловізійних систем є виявлення температурної 
різниці між об'єктом і його фоном, а також перетворення цієї інформації у 
візуальний формат, доступний для сприйняття людським оком.  
 52 
Сучасні тепловізійні пристрої здатні визначати температурний контраст з 
точністю до 0,05–0,1 К. 
Оптичні пристрої нічного бачення, що базуються на електронно-оптичних 
перетворювачах (ЕОП), фіксують випромінювання в діапазоні довжин хвиль 
приблизно 1–2 мкм. Цей діапазон лише трохи виходить за межі спектральної 
чутливості людського ока. 
 Натомість тепловізійна апаратура працює в основних діапазонах довжин 
хвиль 8-14 мкм (далеке інфрачервоне випромінювання) та 3-5,5 мкм (середнє 
інфрачервоне випромінювання). Саме ці спектральні області забезпечують 
максимальну прозорість приземних шарів атмосфери для ІЧ-випромінювання та 
оптимальну випромінювальну здатність об'єктів з температурою в діапазоні від -
50 до +500 °С. 
Завдяки цим характеристикам тепловізійні прилади здатні забезпечувати 
ефективне спостереження на великій відстані незалежно від часу доби, через 
прозорі для ІЧ-випромінювання перешкоди та навіть за умов часткової зниженої 
прозорості атмосфери, наприклад, у тумані, дощі, снігопаді, пилу чи диму. Однак 
варто зазначити, що водяна пара і вуглекислий газ мають високу здатність 
поглинати ІЧ-випромінювання, що суттєво впливає на чутливість приладів. 
Фотосенсорною складовою сучасних тепловізійних пристроїв є двовимірна 
фокально-площинна матриця фотодетекторів (FPA), яка виготовляється з 
напівпровідникових матеріалів, наприклад, легованого кремнію або германію. 
Оскільки в сучасних тепловізорах відсутні оптико-механічні скануючі 
пристрої, вони відрізняються компактністю, малою енергоємністю, високим 
відношенням сигнал / шум і гарною якістю зображення. 
Основним і головним недоліком тепловізора є велика ціна. 90% вартості 
приладу складає його основні елементи: матриця і об'єктив. Матриці вельми 
складні у виробництві, тоді, як об'єктиви не можна зробити зі скла, тому що цей 
матеріал не пропускає інфрачервоне випромінювання. З цієї причини для 
створення об'єктивів застосовуються рідкісні і дорогі матеріали (наприклад, 
германій). 
 53 
Для пониження шумів і, отже, підвищення порогової чутливості, в 
тепловізійних приладах матрицю фоточутливих елементів охолоджує 
мікрокомпрессорная система, або використовується термостабілізація за 
допомогою термоелектричної системи. Останнім часом все більшого поширення 
набувають прилади з неохолоджуваної мікроболометричних матрицею. 
Тепловізор IR-60 – Тепловізійна камера з функціями вимірювання 
температури поверхонь та формування теплового зображення в реальному часі 
Цей тепловізор об'єднує можливості аналізу температурних параметрів і 
візуалізації теплових аномалій, що виключає необхідність окремих вимірювань, 
як у традиційних пристроях. Завдяки кольоровому дисплею, користувач може 
миттєво ідентифікувати потенційні проблемні зони, що полегшує визначення 
центральної точки для точного вимірювання температури. 
Для більшого зручності візуалізації пристрій оснащений камерою, яка 
створює візуальні зображення. При необхідності теплове зображення можна 
трансформувати у візуальне, а обидва види зображень легко зберігаються на 
зйомній карті пам’яті. 
Тепловізор простий у використанні: готовність до роботи досягається вже за 
кілька секунд після ввімкнення. 
Додаткові функції для підвищення точності вимірювань і зручності 
використання: 
• Регулювання коефіцієнта випромінювання і компенсація температури фону 
забезпечують більш точне визначення температури різних поверхонь. 
• Автоматичне визначення гарячих і холодних точок дозволяє швидко знайти 
найтепліші та найхолодніші області на тепловому зображенні. 
• Вибір кольорової палітри надає можливість адаптувати відображення під 
специфічні вимоги або умови спостереження. 
Ця камера є універсальним інструментом для температурного моніторингу, 
забезпечуючи високу точність, зручність і оперативність. 
 54 
Таблиця 2.2 - Технічні характеристики 
Кольоровий екран 2,4 дюйми з повним кутом 
Екран дисплею 
огляду та високою роздільною здатністю 
Роздільна здатність ІЧ зображення 60х60 (3600 пікселів) 
Роздільна здатність візуального 0,3 мегапікселів 
зображення 
Поле зору / найменша фокусна відстань 20°х20°/0,5 м 
Теплова чутливість 0,15 °C 
Діапазон вимірювання температури від -20 до +300 °C 
Точність вимірювання температури ±2 % або ±2 °C (±2 % або ±4 °F) 
Коефіцієнт випромінювання регулюється від 0,1 до 1,0 
Частота знімання зображень 6 Гц 
Діапазон довжини хвиль 8~14 мкм 
Фокусна відстань Фіксована фокусна відстань 
Залізо червоне, райдуга, райдуга високої 
Кольорова палітра контрастності, відтінки сірого (біле світіння) й 
відтінки сірого (чорне світіння) 
від інфрачервоного до візуального зображення 
Функція візуалізації 
з кроком 25 % 
Карта пам’яті Карта Mini-SD 
Файловий формат bmp 
Живлення 4 батареї типу AA 
Автономна робота 6 годин 
Час автоматичного вимкнення 12 хвилин 
Електромагнітна сумісність CE (EN61326~1:2006) 
Розміри приладу (ДхШхВ) 212х95х62 мм 
Температура експлуатації від -5 до ±40 °C 
Температура зберігання від -20 до ±50 °C 
Відносна вологість від 10 до 80% RH 
 
Визначення похибок при теплових вимірюваннях. Проведення 
експериментальних досліджень і виявлення витрат тепла це половина шляху. Для 
виявлення всієї картини та отримання результатів експерименту, необхідно 
правильно розрахувати та отримати ці результати з необхідною точністю.  
 55 
У багатьох джерелах, зокрема [21], тепловізійні дослідження називають нето-
чними, з великою похибкою вимірювання і використовують їх тільки для 
виявлення витрат тепла, отримують тільки картинки зображень з тепловитратами, 
без температурних полів і без обробки експериментальних даних. 
Для визначення реального значення термічного опору проведення 
експериментальних випробувань дозволить отримати детальну картину 
температурного розподілу в глибині об'єкта. Застосування тепловізійного 
моніторингу забезпечить можливість дослідити всю поверхню цілісно, а не окремі 
її сегменти, та виявити зони з відхиленнями температурних показників. 
 Найбільш цікава методика визначення приведеного опору теплопередачі 
безконтактним способом наведена на рисунку 2.9 [22].  
1. Обстежувані об‘єкти розбиваються на ділянки, зручні для термографування, з 
тим, щоб при подальшій обробці можна було відтворити цілісну картину. 
 
Рисунок 2.9 – Алгоритм і обробка даних термографічного аналізу 
автоматизованим методом дистанційного контролю [22] 
 
Пошарове тепловізійне сканування кожної зони забезпечує формування 
зображення, представленого на рисунку 1 пунктирною лінією, що містить N 
кількість дискретних точок. 
Після виділення на отриманій термограмі певної області з відповідною 
кількістю точок, в систему вводяться початкові параметри, необхідні для 
розрахунків зведеного теплового опору передачі тепла та коефіцієнта теплообміну 
на внутрішній поверхні. 
За допомогою ЕОМ для кожної окремої ділянки проводиться автоматичний 
розрахунок зведеного теплового опору теплопередачі: R пр пр пр
0(1) , R0(2) , …., R0(6)  
 56 
 
Рисунок 2.10 – Максимальна, середня і мінімальна температури виділеної 
ділянки з гістограмою та температурним полем досліджуваного фрагмента 
 
5. Приведений опір теплопередачі всього об‘єкту визначається таким чином: 
R пр
0(1)  + R пр
0(2)  +….+ R пр
0(N) /n, 
де n – кількість ділянок, зручних для термографування. 
В наш час дуже важливим є проведення масового та оперативного 
обстеження фактичного теплообміну в зоні контакту наноінструменту тз 
поверхнею, інакше кажучи, фактичного розподілу температурних полів на 
поверхні досліджуваних об‘єктів. Це можливо тільки проведенням тепловізійного 
обстеження. 
Тепловізійне вимірювання поверхонь проводять відповідно до ГОСТ 26629-
R   r
85 згідно формули: t 0
min = , де  - межа температурної чутливості 
1− r
тепловізора (°С), який працює в заданому діапазоні температур з чутливістю 
0,05...0,1°С (згідно паспорту); R0 – значення опору теплопередачі, м2.°С/Вт: 
1  1 1 0,4 1
R = + + = + + =1,068  м2.°С/Вт, де  - розрахунковий 
0
â  í 8,7 0,44 23
коефіцієнт тепловіддачі, 1-30 Вт/м.°С; r – відносний опір теплопередачі вибраної 
ділянки, що приймається рівним відношенню прогнозованого значення до 
проектного значення опору теплопередачі, але не більше 0,85. 
Важливе значення має налаштування коефіцієнту випромінювання і 
температури фону. Встановлення правильних значень коефіцієнта 
випромінювання і температури фону украй важлива для точних вимірювань 
температури.  
 57 
Значення коефіцієнта випромінювання на даній камері і збережених 
зображеннях регулюються в діапазоні від 0,01 до 1,00 з величиною кроку 0,01. 
Дане значення, разом з температурою фону і випромінюванням об’єкту зйомки, 
вимірюваними камерою, використовується для розрахунку температур об’єкту 
зйомки. Значення коефіцієнта випромінювання визначаємо за допомогою таблиці 
в інструкції до використання тепловізора, в якій перераховані значення ко-
ефіцієнта випромінювання деяких поширених матеріалів, як посібник при встано-
вленні коректних значень коефіцієнта випромінювання.  
Відстань місця установки тепловізора L в метрах від поверхні об’єкта 
H N
визначають за формулою: L  c , де  - кутовий вертикальний розмір поля 
10
огляду тепловізора, рад; Н - лінійний розмір ділянки з порушеннями  
теплообміну, яка підлягає виявленню; Nc - число рядків розгортки в кадрі теп-
ловізора; число елементів розкладання за рядком не менше 100 (в нашому 
1N 1480
випадку 480): L  c = = 91,6  мм. 
10 0,524 10 0,524
Для енергетичного обстеження об‘єктів кут візування обстежуваної поверхні 
приймається до 45° від нормалі до неї, поле зору об’єктива - не більше 20°, 
дистанція до обстежуваної поверхні - до 50 см. 
Градуювання тепловізора проводять перед виміром температурних полів 
кожного фрагмента поверхні об’єкта з постійним коефіцієнтом випромінювання, а 
також при зміні об’єктива або зміні відстані. 
Градуювання тепловізора проводиться для встановлення залежності між 
значенням його вихідного сигналу і температурою обстежуваної поверхні. 
Для градуювання тепловізора на обстежуваній поверхні вибирають дві, так 
звані реперні ділянки, доступних для вимірювання на них температур τ1 і τ 2 в °С 
контактним методом. 
Реперні ділянки на поверхні досліджуваного фрагменту вибирають за його 
тепловим зображенням на екрані тепловізора як ізотермічні ділянки,  
 58 
яким відповідають мінімальний і максимальний вихідні сигнали тепловізора. 
Лінійні розміри реперних ділянок повинні становити не менше 10% лінійних 
розмірів досліджуваного фрагмента. Контури реперних ділянок на фрагменті 
відзначають за вказівкою оператора, який спостерігає за екраном. В якості 
реперних допускається вибирати ділянки фрагмента, яким відповідають значення 
вихідних сигналів, що відрізняються від екстремальних значень не більш, ніж на 
20%. 
Значення вихідних сигналів тепловізора для реперних ділянок встановлюють 
за шкалою ізотерм тепловізора відповідно до інструкції з його експлуатації. 
Для визначення похибки вимірювання використовувалося джерело [23]. Ви-
значалася похибка методом «двох реперів». 
Коефіцієнти градуювальної характеристики обчислюють за формулами: 
 − 
A = 2 1 ;  B = τ1 – AL1. 
L2 − L1
Значення випадкової абсолютної похибки визначення температури δτв(б) в °С 
ділянки об‘єкту розраховують за формулою: 
2 2 2 2
 = (p ) + 2(AL) = (0,1) + 2(1,5 0,02) = 0,01+ 0,0018 = 0,109 , 
де δτр - абсолютна похибка вимірювання температур реперних ділянок, яка 
приймається за половину ціни ділення шкали вимірювального приладу, °С; δL - 
похибка вимірювання вихідного сигналу тепловізора, що береться за половину 
ціни поділки шкали ізотерм тепловізора. 
Значення випадкової відносної похибки визначення відносного опору 
теплопередачі δr розраховують за формулою: 
1 2 2 2
r =  (t ) + ( , 
â â ) + (á )
tâ − â
де te, τе - температури відповідно повітря і поверхні, °С; δtв, δτб, δτв - значення 
абсолютних випадкових значень похибки визначення температури відповідно 
повітря, базової ділянки, контрольованої ділянки, °С. 
 59 
Для визначення похибки при кожному температурному режимі 
випромінювача (у нижній, середній і верхній точках діапазону тепловізора) 
виконують не менше 10 вимірів. 
За похибку тепловізора беруть межі сумарної похибки , вираженої в 
градусах Цельсія, оцінюваної для кожного температурного режиму 
випромінювача. 
За отриманими результатами вимірювань для кожного температурного 
режиму розраховують середнє арифметичне значення температури, Т , °С, за 
n
Ti
формулою: T = i=1 , де Ti - i-й результат вимірювань температури, °С;  
n
n – число вимірювань. 
Середнє квадратичне відхилення середнього арифметичного результатів 
n 2
(Ti −T)
вимірювань S , °С, обчислюють за формулою: S = i=1 . 
n (n −1)
Довірчі межі випадкової похибки , °С, оцінюють за формулою:  = t . S , де t - 
коефіцієнт Стьюдента (при n = 10 і довірчої ймовірності 0,95,  
t = 2,262). 
Межу не виключення систематичної похибки тепловізора , °С, оцінюють за 
формулою:  = k T + 2
e(0) . 
Різниця отриманого середнього арифметичного значення температури Т  і 
значення температури еталонного (зразкового) протяжного випромінювача, Т – 
Те0 °С, обчислюють за формулою: T = T −Te(0) , де k – коефіцієнт, що залежить 
від обраної довірчої ймовірності; при довірчій імовірності 0,95,  
k = 1,1; e(0) - межа похибки еталонного (зразкового) випромінювача. 
1 18 − −25
R òð n  ( tâ − t ) ( ( )
í )
2.
0 = = = 0,843 м °С/Вт. 
t í  â 6 8,7
 60 
Межу сумарної похибки тепловізора  для кожного температурного режиму 
обчислюють за формулою:  = k S2 + 1
3 (T2 + 2
e(0) ) , де k – коефіцієнт, відносна 
величина, обчислюють за формулою:  
 + 
k = . 
S+ 1
3 (T2 + 2
e(0) )
Межа сумарної похибки , що визначена при кожному температурному 
режимі, не повинна перевищувати межі допустимої похибки, зазначеної в ТУ на 
тепловізор, що становить для даного виду тепловізора 2°С. 
Розрахунок випадкової відносної похибки проводився для кожного кадру. 
Для одного з кадрів наведемо приклад розрахунку. 
Значення випадкової відносної похибки визначення відносного опору 
теплопередачі δr розраховують за формулою: 
1 2 2 2 0,01+ 0,026 + 0,012
r =  (0,102) + (0,1602) + (0,109) = = 0,07 . 
21−17,9 3,1
Значення відносної похибки не перевищили 15%. Результати вимірювань 
визнають достовірними, якщо відносна похибка δr не перевищує 15%. 
Критичне значення відносного опору теплопередачі rкр захисної конструкції 
R òð
по лінії ізотерми визначають за формулою: rêð =
0 , де R тp
0  – необхідний опір 
R á
0
теплопередачі, м2.°С/Вт; R б
0  – опір теплопередачі базової ділянки об‘єкту 
визначають за результатами натурних вимірювань відповідно до ГОСТ 26254-84, 
R б
0  = 1,068 м2.С/Вт. 
Необхідний опір теплопередачі (за винятком світлопрозорих), визначають за 
0,843
формулою: rêð = = 0,789 . 
1,068
 61 
З вищесказаного можна зробити висновок, що точність тепловізійних ви-
пробувань відповідає вимогам ГОСТу. Звичайно ж тепловізійні дослідження ма-
ють цілий ряд особливостей: це величезна кількість кадрів та обробка великої 
кількості температурних точок. Дослідження необхідно проводити з урахуванням 
коефіцієнта випромінювання матеріалів і проводити обов'язкове градуювання 
тепловізора. Температура досліджуваних поверхонь визначається теплофізичними 
характеристиками матеріалів, з яких вони виготовлені, а також присутністю 
теплопровідних включень. Такі включення можуть бути як передбаченими 
конструктивно, так і випадковими, що виникають через технологічні або 
конструктивні недоліки. 
Застосування традиційних методів для оцінки теплофізичного стану об'єкта 
вимагає встановлення десятків або навіть сотень термодатчиків. Цей підхід 
характеризується значними витратами часу та високою вартістю виконання, що 
ускладнює оперативний моніторинг та оцінку теплофізичних параметрів у процесі 
проведення досліджень. Тепловізор дозволяє не лише одночасно зареєструвати 
більше 65000 значень температур, усереднених на площі в декілька квадратних 
сантиметрів, але й отримати тепловий «портрет» об‘єкту дослідження, 
проаналізувати зображення на комп’ютері та прийняти експертний висновок за 
результатами досліджень.  
Звичайно, краще було б використовувати відразу ж два методи одночасно, 
особливо там, де необхідно визначати тепловий потік, що проходить через об‘єкт. 
Проведені тепловізійні експериментальні дослідження дозволяють швидко, 
масово й оперативно, в режимі реального часу, не руйнуючи об‘єкт, визначити 
фактичні опори теплопередачі, виявити його дефекти, тощо. 
 
Висновки по розділу 2 
В розділі, для вирішення задачі дослідження та розрахунку процесів 
теплообміну при нанометричних вимірюваннях із використанням методу атомно-
силової мікроскопії шляхом застосування тепловізійних методів вимірювання 
розподілу температурних полів, дослідницький процес  
 62 
було структуровано у кілька послідовних етапів, кожен з яких забезпечувався 
відповідним методологічним супроводом. Розроблено процедури дослідження, що 
базуються на стандартизованих підходах із подальшою адаптацією та 
удосконаленням існуючих методик:  
• методика досліджень процесів теплообміну в зоні контакту 
мікроінструменту та поверхні;  
• методика проведення теплового контролю; 
• методика визначення похибок при теплових вимірюваннях.  
На основі розроблених методик за-для проведення експериментів по 
моделюванню процесів теплообміну в зоні контакту нанометричного інструменту 
з досліджуванною поверхнею доведена доцільність використання наступного 
науково-експериментального обладнання: атомно-силовий мікроскоп NT-206; 
тепловізор IR-60, для яких в розділі наведено короткий опис принципу роботи та 
їх основні технічні характеристики. 
 
 63 
РОЗДІЛ 3. 
РОЗРАХУНОК ПРОЦЕСІВ ТЕПЛООБМІНУ  
ПРИ НАНОМЕТРИЧНИХ ВИМІРЮВАННЯХ 
 
Метою дослідження та розрахунку процесів силової взаємодії та 
теплообміну між кремнієвим зондом атомно-силового мікроскопу та 
наноструктурами на досліджуваній поверхні при нанометричних вимірюваннях є 
прагнення уникнути ситуацій пов’язаних з недотриманням робочих режимів 
роботи АСМ, що призводить до некоректної інтерпретації результатів 
вимірювання і як наслідок – передчасного руйнування вимірювального 
інструменту АСМ, а саме: кремнієвого зонду. Для цього необхідно провести 
відповідний аналіз, встановити основні гіпотези та припущення, що дозволить 
якісно описати узагальнений механізм взаємодії зондів АСМ з різними 
поверхнями, визначити основні фактори шкідливого впливу на процес 
дослідження поверхні та провести їх математичне моделювання.  
 
3.1. Фізичні процеси, що відбуваються при діагностуванні та 
перетворенні вимірюваних даних методом АСМ 
Механізм енергетичної та силової взаємодії чутливого елементу АСМ з 
поверхнями матеріалів. За об'єкти дослідження механізму взаємодії приймалися: 
- кремнієвий зонд конічної форми (рис. 3.1) з радіусом закруглення вістря R = 10 
нм, висотою hз = 1,2 мкм та кутом нахилу на вістрі зонду φ = 25°; 
- плоскопаралельні пластини із кремнію Кр0 розмірами 10×10×0,5 мм, 
п'єзоелектричної кераміки ЦТС-19 розмірами 20×15×5 мм та оптичного скла К8 
(диски 25×10 мм); 
- плоскопаралельні пластини із кремнію Кр0 розмірами 10×10×0,5 мм на 
поверхню яких методом термічного випаровування у вакуумі наносилося 
покриття Au-995 товщиною 25 нм. 
 64 
 
Рисунок 3.1 – Схематичне зображення зонда АСМ 
 
Приймаються наступні гіпотези та допущення: 
• Гіпотеза суцільності та однорідності: досліджувані матеріали є однорідними, 
суцільними (не мають сколів, пор й інших поверхневих нерівностей), а їх 
властивості в усіх точках тіла однакові і не залежать від розмірів тіла. 
• Гіпотеза про ізотропність матеріалів: фізико-механічні властивості матеріалів 
однакові в усіх напрямках. 
• Принцип незалежності дії сил: результат дії декількох зовнішніх факторів 
дорівнює сумі результатів дії кожного з них, що прикладається окремо і не 
залежить від порядку їхнього прикладання. 
У процесі вивчення механізмів силового та енергетичного впливу контактні 
взаємодії аналізуватимуться з використанням принципів класичної теорії 
механіки суцільних середовищ, а задача теплообміну – в рамках класичної теорії 
теплопровідності Фур‘є. При цьому не розглядатимуться наступні 
фундаментальні взаємодії між зондом та поверхнями: 
- сили магнітної взаємодії – приймаємо, що як зонд, так і досліджувані зразки не 
є феромагнетиками, тому сили магнітної взаємодії між зондом та поверхнею є 
набагато меншими в порівнянні з іншими силовими взаємодіями; 
- гравітаційні сили – вважаємо їх зневажливо малими через малу масу зонду 
(порядку 2.10-16 кг);  
- піроелектричні та п‘єзоелектричні ефекти, що виникають внаслідок дії сил між 
зондом та досліджуваною поверхнею через складність та малу вивченість 
механізмів цих ефектів та їх вплив на інші покажчики механізму силової 
взаємодії. 
 65 
При розрахунках сил взаємодії тонких покриттів на підкладинках 
вважається, що тонкі покриття – гомогенні, однорідні, а товщина та лінійні 
розміри таких покриттів перевищують розміри зони взаємодії зонда з ними. 
Умови контактного руйнування чутливого елементу. Для аналітичного 
рішення задачі контактного руйнування чутливого елементу були застосовані 
методи опору матеріалів і відомі рішення задач механічної взаємодії. 
Моделювання завдання механічного взаємодії проводилося в такій 
послідовності: аналітичний розв'язок задачі взаємодії, чисельне моделювання 
процесу механічної дії досліджуваної поверхні на зонд АСМ, порівняння 
результатів чисельного моделювання з результатами експерименту. 
Для початку розрахуємо критичне навантаження на зонд. Для простоти 
рішення задачі конічний зонд розіб'ємо на n частин (рис.3.2) і розрахуємо силу, 
яку можна прикласти до вістря зонда за умови, що експлуатація зонда буде 
проводитися до тих пір, поки значення радіуса вістря зонда не перевищить 20 нм.  
 
Рисунок 3.2 – Розбитий на n частин конічний зонд 
 
Відомо [24], що в разі стиснення зонда знаходять небезпечні перетину, в 
яких напруга досягає найбільших по модулю значень, і для цих перетинів 
записують умова міцності: 
N
 = max
max   , max = 2300 МПа. 
F
 66 
Виходячи з цього отримуємо, що критична сила, яка веде до руйнування 
зонда становить Р =14·10-8
кр  Н. 
Далі знайдемо критичну силу консолі, з чого можна обчислити критичні 
відстані вигину консолі - ω. 
Для вирішення цього завдання представимо консоль, як балку прямокутного 
перетину з жорстким закріпленням на одному кінці (з боку кріплення консолі до 
пьезочіпу) і з доданою критичною силою Р на іншому кінці (рис.3.3). 
 
Рисунок 3.3 – Консоль АСМ 
 
Критичними зонами в конструкції балки виступають верхня та нижня 
ділянки перетину в місці фіксації, для яких критерії міцності формулюються 
наступним чином: 
M max Pl
max = =    . 
W W
Звідки 
 
P  P  W
= = 4,7 10−4 Н , 
l
де max – межа міцності кремнію на вигин; W - осьовий момент опору;  
l - довжина балки. 
Знаючи критичну силу, діючу на консоль, можна обчислити максимальний 
прогин балки: 
1  Pl3 Pl3  Pl3
(0) =  0 + 
0  −  = , 
EI  6 2 
 3EI
де І – момент інерції. 
Підставляючи значення критичної силі консолі, Р -4
кр = 4,7·10  Н, знаходимо, 
що консоль = 4,4 мкм.  
 67 
Таким чином, можна зробити висновок, що при дослідженні поверхні з 
максимальною висотою піків 4,4 мкм кремнієвий зонд може витримати зовнішнє 
зусилля Ркр = 14·10-8 Н. 
Далі розглянемо сили міжмолекулярної взаємодії, що діють на зонд [25]. 
Сила Ван-дер-Ваальса - це сила міжмолекулярної взаємодії, яка має три складові, 
які мають кілька різної фізичної природою, але за значенням залежать від відстані 
між молекулами. Відповідно, сила дорівнює похідній по відстані r: 
6A
f = 3 , 
r 7
де А3 – константа Гамакера. 
 На основі даного мікроскопічного опису можна визначити величину сили, 
що діє між зондом і зразком у цілому [26]. Ця сила залишається однаковою для 
всіх точок, розташованих по периметру кола з радіусом ρ, тому в подальших 
розрахунках приймається така залежність: 
 
z 6A A n
F1 = n2  2d  dx 3 = 3 2 . 
 2 + x 2 (  2 + x 2 )7 2x 4
0 x0 0
 Подальші обчислення необхідно проводити для конкретної моделі зонда. Як 
приклад, розглянемо модель конічного зонда з заокругленим кінцем (рис.3.4), яка 
була взята з розрахункового додатку компанії НТ-МДТ [26]. 
 
Рисунок 3.4 – Модель конічного зонда з заокругленим кінцем 
 
Для цього зонда сила, що виникає між зондом і зразком, відповідно може 
бути визначена зі співвідношення: 
 68 
 
 2  2  6  3 2 
n1n2 A
F = 3  tg  3 sin 
1−   +  3 ( −1)(1− sin ) + 3(1− sin )  , 
6h  1− sin  6 3 3
1−   cos ( (1− sin )+1) 
 ( (1− sin )+1) 
 sin 
 
R
де  = ; R = 10 нм – радіус заокруглення; h = 0,5 нм – відстань між зондом та 
h
зразком; n1 – концентрація молекул зонда; n2 – концентрація молекул зразка; A3 – 
стала Гамакера; φ = 25° – кут конусу зонда. 
Пружні взаємодії. При контакті зонда і зразка вступають в дію сили 
пружності. Визначення деформацій тіл при локальному контакті під дією сили F є 
класичною задачею Герца. 
Під впливом прикладеного навантаження взаємодіючі тіла зазнають таких 
змін, що в зоні контакту, замість ідеальної точки дотику, формується певна 
контактна область (рис. 3.5). Ця область набуває круглої геометричної 
форми.Його радіус позначаємо а. 
 
Рисунок 3.5 – Контакт зонда і зразка 
 
1 1 1
Введемо зручні в розрахунках величини: = + , а також ефективний 
R r r1
модуль Юнга для заданої пари матеріалів: 
 2
1 3 1−  1−  2 
=  1 +  . 
K 4  E E 
 1 
 Для випадків малих деформацій встановлюється наступна геометрична 
залежність, що пов'язує глибину занурення h та радіус утвореного контактного 
a 2
кола а: h = . 
R
 69 
Розв’язання задачі Герца встановлює залежність між прикладеною силою F 
та глибиною деформації поверхні h: 
Ka3 3 1
F = = Kh 2 R 2 . 
R
Таким чином, можна обчислити підсумовує силу, яка діє на вістрі зонда при 
дослідженні різних матеріалів, табл.3.1. 
 
Таблиця 3.1 – Основні механічні характеристики і результати розрахунку сил 
взаємодії зонда CSC-12 з різними матеріалами. 
Тип Густина, Молярна Сила Ван- Модул Коефіцієнт Сила 
матеріалу кг/м3 маса, дер- ь Пуасона пружності, 
кг/моль Ваальса, Н Юнга, Н 
ГПа 
Скло 2500 60∙10-3 13,87∙10-12 56 0,25 7,7∙10-8 
Свинець 11300 207∙10-3 7,505∙10-12 18 0,44 3,1∙10-8 
Алюміній 2700 26∙10-3 14,29∙10-12 70 0,34 9,8∙10-8 
Мідь 8200 63∙10-3 17,91∙10-12 110 0,35 14∙10-8 
Сталь 7900 67∙10-3 16,23∙10-12 210 0,28 21,4∙10-8 
Вольфрам 15000 183∙10-3 11,28∙10-12 350 0,29 28,8∙10-8 
 
Як видно з наведених вище даних, сила Ван-дер-Ваальса набагато менше 
сили пружності, тому її можна не враховувати. 
У ході проведення аналітичного розрахунку було визначено критичне 
навантаження, яке чиниться на зонд з боку поверхні. Для поверхонь з висотою 
піків 4,4 мкм критичне навантаження на кремнієвий зонд становить Pкр = 140 пН. 
Аналіз процесу взаємодії зонду з поверхнями різного типу 
продемонстрував, що характер взаємодії залежить від механічних характеристик 
матеріалу досліджуваного об’єкта. Було побудовано залежність між параметрами 
взаємодії та механічними властивостями, такими як модуль Юнга. 
 70 
При співставленні критичних навантажень, які впливають на зонд, із 
фактичними значеннями сил взаємодії встановлено, що кремнієві зонди конічної 
форми типу CSC-12 у контактному режимі сканування зазнають прискореного 
зношування при роботі з матеріалами, модуль Юнга яких перевищує 110 ГПа. Для 
прикладу, такі умови відповідають поверхням з характеристиками міді. 
Схема силових та енергетичних зв‘язків в АСМ при діагностуванні виробів 
точного приладобудування. Результати теоретичних досліджень процесів та явищ, 
на основі яких уточнено механізми, що відбуваються при дослідженні поверхонь 
матеріалів методом АСМ.  
Розроблені математичні моделі процесів силової та енергетичної взаємодії 
зондів атомно-силового мікроскопа (АСМ) з поверхнями матеріалів на етапах 
підготовки, сканування та завершення дослідження дозволяють визначати 
оптимальні режими стабільного функціонування під час аналізу топології та 
механічних властивостей елементів мікросистемної техніки. 
Досліджено фізичні явища, що виникають у процесі взаємодії зонду АСМ із 
досліджуваною поверхнею в реальних умовах, із врахуванням силових і 
енергетичних компонент. Усі фізичні процеси поділено на дві категорії: 
Процеси, що відбуваються безпосередньо в зоні контакту зонду з 
поверхнею, зокрема дії пружних, капілярних та електростатичних сил, а також 
вплив електромагнітного поля на консоль із зондом, що рухається під час 
сканування. 
Процеси, які виникають у системі сканування АСМ, наприклад: 
Прямий п’єзоефект, що проявляється на п’єзочипі при його стисканні чи 
розтягуванні внаслідок впливу консолі. 
Зворотний п’єзоефект, що виникає на п’єзосканері при керуванні його 
обертово-поступальними рухами під час сканування зразка. 
Механізм силової взаємодії було проаналізовано з використанням класичної 
механіки суцільних середовищ, теорій контактної взаємодії на нанорівні, а також 
моделей міжмолекулярної та електромагнітної взаємодії.  
 71 
Сили було класифіковано за характером взаємодії на безконтактні, 
поверхневі та контактні (рис. 3.6). 
Для кількісного опису сил застосовувалися класичні фізичні рівняння, 
адаптовані шляхом введення корекцій, які враховували геометричні параметри 
моделі силової взаємодії та нанорівневі процеси в матеріалах. 
Результати досліджень показали, що ключову роль у процесах АСМ відіграє 
силова взаємодія зонду зі зразком. Сили було структуровано за такими групами: 
Сили взаємодії між зондом та поверхнею, серед яких: електромагнітні, 
пружні, капілярні, електростатичні, а також сили механічної деформації зонду. 
Сили, що діють на консоль, такі як гравітаційна сила системи «зонд-
консоль», сили кручення та згину консолі. 
Зовнішні сили, наприклад, зусилля, що передаються на п’єзосканер для 
забезпечення його руху. 
Таким чином, детальний аналіз взаємодій в АСМ дозволив визначити 
домінуючі фактори, що впливають на точність та стабільність процесу 
сканування, і розробити рекомендації для оптимізації роботи мікроскопів цього 
типу. 
 
Рисунок 3.6 – Схема силової взаємодії вимірювального інструменту (зонду) 
АСМ зі зразком 
 
 72 
Сила міжмолекулярної взаємодії (сила Ван-дер-Ваальса), яка виникає між 
вістрям зонду, що має закруглення на кінці, з досліджуваною поверхнею 
описується рівнянням: 
 
2n n A  tg 2  3 2
3 sin6  
3 ( −1)(1− sin) + 3(1− sin 
F = 1 2 3 )

ì â  1−  +   , 
6h  1− sin 3 3

1−  cos6 ((1− sin) +1)  ((1− sin) +1) 
 
 sin 

R
де  =  - довжина, що утворюється конічною поверхнею, яка обмежена 
h
областю міжмолекулярного взаємодії зонда із зразком; R – радіус вістря зонда; h – 
відстань між зондом і зразком; n1, n2 – відповідно, концентрація молекул в 
поверхневих шарах матеріалів зонду та зразка; A3 – постійна Гамакера; φ – кут 
ухилу вістря зонда. 
Величина та орієнтація ван-дер-ваальсових сил залежать від просторового 
розташування зонда стосовно досліджуваної поверхні. У процесі наближення 
зонда до поверхні сила взаємодії поступово збільшується. При зменшенні відстані 
між зондом і поверхнею до значень у межах 0,2–0,5 нм характер ван-дер-
ваальсової сили змінюється: вона переходить із притягувальної у 
відштовхувальну. 
Сила деформування зонду, яка виникає безпосередньо в самому зонді при 
фізичному контакті вістря зонда з досліджуваною поверхнею, коли твердість 
останньої співрозмірна або перевищує твердість самого зонду, визначається, як: 
ES
F , 
ä = x
R
де Е – модуль пружності матеріалу зонду, МПа; S – площа ділянки контакту – 
проекції умовної площини зонду на досліджувану поверхню; R – радіус вістря 
зонда; Δх – абсолютна деформація зонда (різниця між прогином консолі та 
глибиною проникнення зонда в досліджуваний матеріал). 
 73 
Сила капілярної взаємодії, що утворюється в зоні взаємодії між зондом 
(який умовно вважається сухою поверхнею) та рідкою плівкою атмосферної або 
природної вологи, що покриває поверхню досліджуваного об'єкта, розраховується 
за наступним виразом: 
F = 2k R2 + z2
ê cos , 
де R – радіус вістря зонда; σ – поверхневий натяг адсорбованої рідини;  
θ – крайовий кут змочування; k – коефіцієнт гідрофільності зонду; z – деформація 
плівки 
Сила пружної взаємодії. Основним механізмом взаємодії під час контакту 
зонду з досліджуваним зразком є сила пружного впливу. Визначення деформації, 
що виникає внаслідок локального контакту між тілами під дією навантаження F, є 
класичною задачею Герца. Під впливом прикладеного механічного навантаження 
взаємодіючі поверхні деформуються таким чином, що замість точки контакту 
формується контактна область круглої форми з радіусом a. Величина сили 
взаємодії в такому контакті обчислюється за наступною формулою.: 
4 E E a3
Fï ð =
0 ç , 
3( E (1−2
0 ç )+ Eç(1−2
0 ))
де  а – радіус контактної площадки, що виникає під дією сили Fпр;  
Eз, Eо – відповідно, модуль пружності матеріалу зонда та матеріалу зразка;  
μз, μ0 – коефіцієнти Пуассона для матеріалу зонда і досліджуваного матеріалу 
відповідно. 
Для визначення сили електростатичної взаємодії Для системи, що 
складається з двох діелектриків, було сформульовано наступне рівняння, 
засноване на фундаментальних принципах закону Кулона: 
q  q   −  
Fåñ =
1 2 s m
  ,  
4  r 2
m 0  s + m 
де εm – діелектрична проникність середовища (для повітря приймаємо  
εm = 1 Кл2/нм2); ε0 – діелектрична стала, ε0 = 8,85·10-12 Кл2/нм2; εs – діелектрична 
проникність зразка; q1, q2 – заряди, накопичені на зонді та зразку,  
 74 
r – відстань між зондом і поверхнею. 
 Величина електромагнітної взаємодії, що виникає переважно у провідних 
зондах (консолях), які виконують вертикальні коливальні рухи під час 
наближення або віддалення зонда від поверхні в межах впливу електромагнітного 
поля, характеризується як: 
  l
Fåì = k q + 2 B  l    z , 
r2
де k – коефіцієнт Кулона, k = 9.109 Н.м2/Кл2; r – відстань від зонду до поверхні; l – 
довжина консолі; q – заряд на поверхні зразка; τ – лінійна щільність заряду на 
зонді; ν – частота коливань консолі (залежить від швидкості та кроку сканування); 
z – максимальне відхилення зонда у вертикальній площині; В – вектор магнітної 
індукції магнітного поля. 
Сила згину консолі: F  = F  – F  – F  – F  – F  ± F  
1 пр к ес д т ем; 
Сила кручення консолі:  F  = (F  – F ) cos θ – F  ; 
2 пр т д
2
Сила подачі п’єзосканеру: F  = α ρ (2π n R) ,  
3
де α – коефіцієнт питомого видовження п’єзосканеру; n – частота обертання 
п’єзосканеру при скануванні; ρ – густина матеріалу п’єзосканеру; θ – відхилення 
верхньої поверхні досліджуваного зразка від горизонтальної площини. 
На основі виконаних обчислень встановлено залежності інтегральної сили 
взаємодії між зондувальним елементом та досліджуваною поверхнею зразка від 
просторового розташування зонду щодо цієї поверхні (рис. 3.7).  
Крім того, з’ясовано, що на взаємодію в системі "зонд-зразок" істотний вплив 
мають такі фактори: сила пружної взаємодії Fпр = 10,8 мкН, сила електростатичної 
взаємодії Fес = 12 мкН, сила кручення F  
2 = 3,1  мкН, сила подачі п‘єзосканеру F3 = 
18 мкН. 
З представлених графіків випливає, що на етапах наближення та віддалення 
зонда від поверхні сили взаємодії залишаються на мінімальному рівні і практично 
не залежать від властивостей матеріалу, що досліджується (графіки наближення 
та віддалення на рис. 3.7.а збігаються). 
 75 
180 190 80
162 181 72
144 172 64
126 163 56
108 154 48
90 145 40
72 136 32
54 127 24
36 118 16
18 109 8
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 20 15 10 5 0 5 10 15 20 20 15 10 5 0 5 10 15 20
³äñò àí ü, í ì Ãëèáèí à ³äñò àí ü, í ì Ãëèáèí à ³äñò àí ü, í ì
ï ðî í èêí åí í ÿ, í ì ï ðî í èêí åí í ÿ, í ì  
а.      б.     в. 
Рисунок 3.7 – Залежність сил взаємодії між кремнієвим зондом і 
досліджуваною поверхнею: а – наближення зонда до зразка; б, в – занурення 
зонда в діелектричну поверхню (б, кремній Si0) та провідну поверхню (в, золото 
Au-998). 
 
У процесі проникнення зонда в діелектричну поверхню основний вплив 
мають електростатичні сили (рис. 3.7.б), тоді як для провідних матеріалів ці сили 
не беруться до уваги (рис. 3.7.в). 
Крім сил взаємодії, в системі атомно-силової мікроскопії також діють 
механічні моменти, що впливають на точність вимірювань, а саме: М  = F l – 
1 1
момент згину консолі; М  = 2аF  – момент кручення консолі; М  = πRF  – момент 
2 2 3 3
кручення п’єзосканеру, найбільший вплив серед яких чинить момент кручення 
п‘єзосканеру. 
Окрім силової взаємодії, досліджувався механізм енергетичного 
перетворення у вимірювальній системі АСМ та складена її енергетична схема, 
рис.3.8.  
Основою теплових розрахунків є набір нелінійних нестаціонарних моделей, 
які враховують геометричні параметри, розміри та теплофізичні властивості як 
конструктивних елементів вимірювальної системи, так і досліджуваних об’єктів. 
У розрахунках брали до уваги лише теплопровідність як механізм 
теплопередачі, тоді як конвективні та радіаційні процеси теплообміну не 
розглядалися через їхню незначну роль у даних умовах. 
 76 
-9
Ñèëà, F10    H
-7
Ñèëà, F10    H
-7
Ñèëà, F10    H
 
Рисунок 3.8 – Схема енергетичного обміну у вимірювальній системі АСМ:  
Теплові витрати: Q1 – на механічне тертя зонду по досліджуваній поверхні; 
Q – дія електромагнітних полів та електричного заряду; Q – при вигину консолі; 
2 3 
Q – при кручені консолі; Q – при кручені п’єзосканеру  
4 5 
Енергетичний вплив: W – енергія випромінювання лазерного позиціонеру; 
1 
W – енергія лазерного випромінювання, що потрапляє на фотодетектор; W – 
2 3 
енергія, що подається на п’єзосканер; А – корисна робота п’єзосканеру  
 
Для проведення теплових розрахунків складені та аналітично розв‘язані 
математичні моделі процесу нагрівання окремих елементів вимірювальної 
системи АСМ із залученням методу зворотного інтегрального перетворення 
Фур‘є. При цьому, розв‘язок математичних моделей цих елементів має вигляд: 
- для моделі нагрівання зрізаного конусного елементу (зонду): 
   r  
  2Rsin 2
( +1)q R 3a2t  n    a 
− n 0 
   t 
T (r,t ) = T +1 R 
 0 + n0   0 −   e  R   ; 
 10R2 3 
 0  n=1 n cos(n )R 
  
- для моделі нагрівання пластини великої товщини (зразка): 
 77 
1
2
 z +1
−
2

+1 ( +1)qn0a
t 4a0 (t−)e 
T ( z,t ) = T + 0
0  d ; 
 0 0 t −  
 
- для моделі нагрівання пластини малої товщини (консолі): 
1
   nz  +1
2
 cos  a n 
 +1 ( +1)q a2t 3z2 − H 2 2H    − 0 t 
n0 0 n+1 H  
T ( z,t ) = T +   + + (−1)   e  H  
 0  ; 
 0  H 6H 2 2
n=1 n 
  
- для моделі нагрівання торцевої поверхні циліндру (п‘єзосканера): 
 ( +1) + r 22 r 44 r66    R22 R44 R6 6

T (r, z,t ) = T +1 1 1 1  
 0 + 1− + −   p01 1− + −  +
 4 
0  4 64 2304    8 192 9216
0 
 2 4
2 2  2 2 6 
+ p02 1− (R2 − R1 ) + (R2 − R1 ) − (R2  
2 − R2
1 ) 
 8 192 9216 
1
   z    z  +1

e
− z
1− erf  − a0 t − e− z
 1− erf  + a0 t d
  2a    
   0 t    2a0 t  
Тут, Т0 – початкова температура моделі;  - коефіцієнт Пуасона, qn0 – зовнішній 
тепловий потік, Вт/м2; r, R – відповідно, радіуси вістря та основи зонда, м; 0 – 
коефіцієнт теплопровідності, Вт/м.К; а0 – коефіцієнт температуропровідності, 
м2/с; t – час термічного впливу, с;  – змінна товщина шару, що нагрівається, м; z 
– глибина проникнення зонду в зразок, м; Н – товщина пластини, м.  
З використанням відомих геометричних параметрів та теплофізичних 
характеристик матеріалів, які застосовуються як для елементів вимірювальної 
системи, так і для досліджуваних об’єктів, що входять до наведених вище рівнянь, 
а також за допомогою програмного забезпечення для розрахунку теплових втрат 
та енергетичних потоків у компонентах вимірювальної системи, було визначено, 
що найбільший тепловий внесок генерується енергією, поданою на п’єзосканер. 
Водночас максимальне тепловиділення спостерігається в зоні контакту зонда з 
досліджуваною поверхнею (рис. 3.9). 
 
 78 
Коригування та узгодження моделей виконувалися за методикою теплового 
балансу, в якій сукупний тепловий потік рівномірно розподілявся між усіма 
елементами системи, що брали участь у процесі теплообміну. При цьому 
теплофізичні характеристики матеріалів, з яких були виготовлені ці компоненти, 
не враховувалися. 
 
   
а.      б. 
Рисунок 3.9 – Розподіл теплових потоків (а) та джерел тепловиділення (б) у 
компонентах вимірювальної системи АСМ (на основі аналітичних розрахунків) 
Для перевірки коректності запропонованих моделей теплопередачі була 
створена та проаналізована еквівалентна теплова схема АСМ (рис. 3.10). Ця схема 
побудована з урахуванням теплових опорів, які інтегруються у форму теплової 
мережі. 
 
Рисунок 3.10 – Еквівалентна теплова схема АСМ: 
 79 
W -W , Q -Q  – див. пояснення на рис.3.8; С , С , С , С  – відповідно питома 
1 3 1 6 п к з м
теплоємність матеріалу п’єзочипу, консолі, зонду та досліджуваного зразку;  
М , М  – дисипація енергії, що відбувається від дії механічних моментів вигину 
зг кр
та кручення консолі 
Дана модель відтворює реальні шляхи перенесення теплових потоків у 
вимірювальній системі атомно-силової мікроскопії (АСМ), базуючись на аналогії 
між тепловим потоком та електричним струмом. 
Система рівнянь, яка описує схему, представлену на рис. 3.10, розглядається 
для усталеного теплового режиму. 
  m  m
 P1 = k1  (1 −â )− (k1  (k −â ))
  k=1  k=1
  m  m
 P2 = k2  (2 −â )− (k2  (k −â ))
  k=1  k=1  


  m  m
Pm = km  (m −â )− (km  (k −â ))
  k=1  k=1
У цій системі рівнянь: m – кількість вузлів еквівалентної теплової схеми; В 
– температура зовні елемента, що розглядається; Λki=1/Rki – теплова провідність 
відповідної ділянки схеми; Рi – теплові витрати в i-му вузлі. Для аналізу 
нестаціонарного теплового режиму використовується та сама еквівалентна 
теплова схема, проте кожен вузол додатково з'єднується через ємність. У цьому 
випадку теплоємність об'єкта інтерпретується як електрична ємність у тепловій 
моделі. Система рівнянь для опису нестаціонарного теплового процесу матиме 
наступний вигляд: 
 d  m  m
 C1 
1 = −k1  (1 −â )+ (k1  (k −â ))+ P1
 dt  k=1  k=1
 d  m  m
 C  2
2 = −k2  (2 −â )+ (k2  (k −â ))+ P2
 dt  k=1  k=1  


 dm  m  m
Cm  = −km  (m −â )+ (km  (k −â ))+ Pm
 dt  k=1  k=1
де Сi – теплоємність відповідного вузла схеми. 
 80 
Системи диференціальних рівнянь, наведені вище, по-суті, є тепловими 
моделями нагріву окремих елементів вимірювальної системи АСМ. 
Аналіз еквівалентної схеми дозволив ідентифікувати ключові джерела 
теплових втрат та енергетичного впливу в області контакту зонда з 
досліджуваною поверхнею. Зокрема, було виявлено, що основна частина 
тепловиділення в зоні контакту (близько 68%) обумовлена тертям зонда об 
поверхню. Водночас, домінуючим фактором енергетичного впливу є енергія, що 
постачається до п’єзосканера, частка якої становить 53%. Отримані результати 
цілком узгоджуються з аналітичними розрахунками, що підтверджує їх 
достовірність, рис.3.11.  
 
а.      б. 
Рисунок 3.11 – Графіки розподілу теплової генерації (а) та енергетичного 
теплового впливу (б) у зоні взаємодії зонду з досліджуваною поверхнею.  
 
Пояснення до рис.3.11: Тепловиділення: Q1 – на механічне тертя зонда об 
досліджувану поверхню; Q2 – на дію електромагнітних полів і електричного 
заряду; Q3 – на вигин консолі; Q4 – на кручення консолі; Q5 – на кручення 
п‘єзосканера.  
Тепловий внесок енергії: W1 – енергія, яка задіює п‘єзосканер; А1 – корисна 
робота п‘єзосканеру; W2 – енергія, що подається на консоль із зондом; А2 – 
корисна робота чутливого елементу; W3 - енергія випромінювання лазерного 
позиціонеру; А3 – енергія лазерного випромінювання, що потрапляє на 
фотодетектор. 
 81 
 
Здійснене математичне моделювання процесів механічної та енергетичної 
взаємодії зондів атомно-силового мікроскопа (АСМ) із поверхнями матеріалів на 
етапах підготовки, завершення та сканування досліджуваної поверхні дозволило 
визначити режими стабільного функціонування АСМ. Це досягнуто шляхом 
мінімізації впливу факторів, що погіршують як точність вимірювань, так і стан 
зонду та об’єкта дослідження. Серед ключових дестабілізуючих чинників слід 
виділити: електростатичну силу Fес, капілярну силу Fк, пружну силу Fпр, а також 
тепловиділення Q1, що виникає через тертя зонду об поверхню. 
 
3.2. Математична модель процесу діагностування поверхонь методом 
атомно-силової мікроскопії 
Математична модель процесу нагрівання тонкоплівкового елементу 
(досліджуваної поверхні). Для даного тонкоплівкового елементу виконуються 
T T
наступні умови:  > В, Н та  < 2b, тобто = = 0  (одновимірне температурне 
y z
поле T(x,t)). 
У даному випадку густина енергетичного потоку q трансформується у 
внутрішнє джерело тепла qv(x) (Вт/м³), яке переміщується вздовж осі Ox  зі 
швидкістю V: 
 2
P0 ( I ï ,U ï ð ) k0 ( I ï ,l ) −k0 ( Iï ,l ) x
e
 , x  b.
 q (x) =  B H  erf b( Iï ,l ) k0 ( I ï ,l 
v )   (3.1) 
 

0, x  b
Математичний опис процесу нагрівання цього елемента, сформульований у 
системі координат, що рухається разом із тепловим джерелом, представлений 
наступними рівняннями [27]:  
T   T  T
C (T ) = (T ) +C (T )V + q (x) , t > 0, −  x  + , (3.2) 
V V v
t x  x  x
T =T ,      (3.3) 
t=0 0
 82 
T
T →T0 , → 0 , qv (x)→ 0  при x → .   (3.4) 
x
Враховуючи СV(Т) та (Т) і вводячи нові змінні, 
 +1
 (x,t ) =T +1 −T +1
0  Ôv (x) = qv (x) ,   (3.5) 
CV 0
отримаємо систему рівнянь: 
 2
2   
 = a0 +V +Ô (x) ,     (3.6) 
v
x x2 x
  = 0 ,       (3.7) 
t=0

 → 0 , → 0 , Ôv (x)→ 0  при x → .   (3.8) 
x
Далі зведемо систему рівнянь (3.6)-(3.8) до фундаментальної форми (форми 
Фур‘є) шляхом підстановки  
 (x,t ) = (x,t )e x+t ,     (3.9) 
2
V V
де  = − ,  = − . 
2 4a2
2a0 0
Підставляючи (3.9) в (3.6)-(3.8), Отримуємо основне рівняння 
теплопровідності, доповнене початковими та крайовими умовами:  
 2
2 
 = a +Ô v (x,t ) ,    (3.10) 
0
t x2
  = 0 ,      (3.11) 
t=0

 → 0 , → 0 , Ô v (x,t )→ 0  при x → ,   (3.12) 
x
V x V 2 t
+
2a2 4a2
де Ô 0 0
v (x,t ) =Ôv (x)e .     (3.13) 
Для розв'язання систем рівнянь (3.10)-(3.12) застосовано метод інтегральних 
перетворень Фур'є, описаний раніше у контексті одновимірних задач 
теплопровідності. 
 83 
Відповідно до цього підходу, функція визначається шляхом використання 
( x,t )  на першому етапі використовуємо пряме перетворення Фур‘є по 
координаті x: 
1 +
 (x,t )→ F ( ,t ) = (u,t ) e−iu
 du ,   (3.14) 
1
2 −
де ( x,t )  – оригінал (шукана функція); F (1 ,t )  – зображення для функції    
(i – уявна одиниця; −  1  +  – деякий речовий параметр). 
Знайдемо F (1 ,t ) , перетворивши рівняння (3.10)-(3.12) за допомогою 
(3.14):  
 1 +  −i u   1 +
−i u  F dF
→ e 1
 du = 1
   e du  =  ,  (3.15) 
t 2 − t t  2 −  t dt
2 
2  + 2 
 a → a2 1   −i
e 1 u
0 0   du  .    (3.16) 
x2 2
 2 − u 
Застосовуючи до інтеграла, наведенного у правій частині рівняння (3.16), 
метод інтегрування за частинами двічі поспіль та беручи до уваги граничні умови 
(3.14), можна отримати наступний результат: 
1 + 2
  e−i1 u du = −2 F .    (3.17) 
2 1
2 − u
Тоді  
2
 a2 →−a22 F .     (3.18) 
0 2 0 1
x
Окрім цього, маємо  
1 +
 Ô v (x,t )→Ô v (1 ,t ) =  Ô v (u,t ) e−i1 u du .   (3.19) 
2 −
Застосовуючи співвідношення (3.15)-(3.19), для визначення зображення 
отримуємо стандартне лінійне диференціальне рівняння першого порядку, що 
замінює диференціальне рівняння другого порядку з частковими похідними для 
функції ( x,t ) ): 
 84 
dF
 = −a2 2 F + v ( ,t )      (3.20) 
0 1 1
dt
з початковою умовою 
 F = 0 .      (3.21) 
t=0
Розв‘язок заданої задачі Коші (3.20)-(3.21) проводимо базовим методом 
(наприклад, методами Ейлера, Бернуллі, тощо) [28]: 
t
−a2 2
( 0 1 (t−) F 1 ,t ) = Ô v ( ,) e d .   (3.22) 
1
0
На другому кроці вирішення завдання для визначення оригінальної функції 
застосуємо інверсне перетворення Фур'є до заданої функції: 
1 +
 F (1 ,t )→(1 ,t ) =  F (1,t ) ei1 xd .   (3.23) 
1
2 −
Підставляючи (3.19) та (3.22) в (3.23), отримуємо:  
1 +  t  1 +  −a2 2
( −i u (t−)  
i x
 x,t ) =     Ô v (u,)e 1 du 0 1
e d 1
 e d1 .  (3.24) 
2 − 0 2 −   
Систематизувавши інтеграли та розділивши їх на внутрішні й зовнішні 
складові, отримуємо: 
1 + t + 2 2
( )  ( ) −a0 1 (t−) i (x−u) 
 x,t =  Ô v u, du d  e e 1 d
 1 ,  (3.25) 
2  
− 0 − 
   
 I   
Для обчислення внутрішнього інтеграла I скористаємося відомою 
формулою Ейлера [28]: 
i (x−u)
 e 1 = cos1 (x − u) + i sin1 (x − u) .   (3.26) 
+ 2 2 + 2 2
Отримуємо: −a 
I = e 0 1  −a  t
 cos1 (x −u)d 0 1 ,  (3.27) 
1 +i  e sin1 (x −u)d1
− −
    
      I   
Беручи до уваги, що інтеграл від непарної функції в межах симетрії 
дорівнює нулю), отримуємо: 
+
−a2 2
 I = e 0 1 
 cos (x −u)d .    (3.28) 
1 1
−
Вираз для інтегралу формату (3.28) може бути отриманий із відповідного 
довідкового джерела [29]: 
 85 
2
(x−u)
 −
4a2
 t
I = e 0 .     (3.29) 
a0 t
Вставляючи рівняння (3.29) у формулу (3.25), отримуємо такий вираз для 
функції: 
2
 (x−u) 
1 t d + −
( )  ( 4a2 (t−)
  x,t =   Ô u,) e 0 duv .  (3.30) 
2a  0 t −  − 
0
 
 
Зрештою, для вирішення вихідної задачі приходимо до наступного 
результату: 
1
+1
V 2 
2 2 
 V x V t 2 V u (x−u)
− − 4a −
2 2 t 0 + 2 2 
T (x,t ) =  +1  +1 2a0 4a e
T0 + e 0
 d  qv ( ) 2a0 4a0 (t−)u e du .(3.31) 
 2  CV 0  0
0 t −  − 


Підставляючи в (3.31) отримаємо, отримуємо наступне рівняння, яке дає 
змогу визначити вплив характеристик АСМ на розподіл температурного поля в 
тонкоплівковому елементі: 
 V x V 2 t
− −
2
 ( ) ( ) ( ) 2a0 4a2
  +1 P0 Iï ,U ï ð k0 Iï ,l e 0
T (x,t ) = T +1
 0 +   
 2  CV 0 H B erf (b( I ï ,l ) k0 ( I ï ,l ) )

2
V 2  4a0 k0 ( Iï ,l ) x2−V 2x+V (t-)
− 
4a2
0 4a2 
0 1+4a2
 0 k0 ( I ,l )(t−)
t e  ï    1
 erf  (b( I ï ,l ) 1+ 4a2
0 k0 ( I ï ,l )(t-) +  
1+ 4a2
0 k 2a t − 
0 0 ( I ï ,l )(t − )   0
x +V (t − )  
+ 
1
+ erf    
1+ 4a2 k ( I ,l )(t − )  2a t − 
0 0 ï   0
1
+1
2 x +V (t − ( ) 

 b( Iï ,l ) 1+ 4a0 k0 ( Iï ,l )(t − ) − d . (3.32) 
1+ 4a2 k ( I ,l )(t − ) 0 0 ï  

 86 
 Математичне моделювання процесу нагрівання тонкої пластини значних 
розмірів (консоль АСМ). Для тонкої пластини великих площинних розмірів 
встановлюються наступні співвідношення: d<2b,2c та d>H, що відповідає умовам 
двовимірного температурного поля. 
 У такому випадку густина енергетичного потоку q розглядається як об'ємне 
джерело тепла, яке визначає внутрішнє теплове навантаження пластини. 
P ( I ,U −k0( Iï ,l )x2
0 ï ï ð ) k0 ( I ï ,l ) e
 ,
 2C H 
 erf b( I ,l ) k ( I 
 ï 0 ï ,l )
Q ( x,y ) = 
v   (3.33) 
 x  b, y  c,

0, x  b, y  c ,
У цьому випадку теплове джерело переміщується вздовж осі Ox із 
постійною швидкістю V. 
Математичний опис процесу нагрівання пластини, представлений у системі 
координат, що рухається разом із джерелом тепла, формулюється наступними 
рівняннями: 
T   T    T  T
CV (T ) =  (T ) +  (T )  +CV (T )V +Qv (x,y ) ,  
t x  x  y  y  x
 t>0, −  x,y  + ,     (3.34) 
 T =T0 ,       (3.35) 
t=0
T T
 T →T0 , , → 0 , Qv (x,y)→ 0  при x,y → .  (3.36) 
x y
З урахуванням залежностей СV(Т) та (Т) отримуємо: 
 2  
2 2  
 = a0  +  +V +Q (x,y
v ) ,    (3.37) 
t x2 y2
  x
  = 0 ,      (3.38) 
t=0
 
 → 0 , , → 0 , Q x,y → 0 x,y →
v ( )  при ,   (3.39) 
x y
+1 +1  +1
де  =T −T0 , Qv (x,y) = Qv (x,y) .   (3.40) 
CV 0
 87 
Робимо підстановку  
V x V 2 t
− −
2 2
  (x,y) = (x,y) 2a
e 0 4a0 .     (3.41) 
v
Отримуємо: 
  2
2   2 
 = a0  +  +Qv (x,y) ,     (3.42) 
t  x2 y2

  = 0 ,      (3.43) 
t=0
 
 → 0 , , → 0 , Q (x,y)→ 0  при x,y → ,  (3.44) 
v
x y
V x V 2 t
+
2 2
де      2a 4a
Q (x,y) =Q (x,y) e 0 0 .    (3.45)  
v v
Вирішуючи систему рівнянь (3.42)-(3.44) цими методами перетворень 
інтегральних Фур‘є (спершу по х, а по-друге по у) і знаючи (3.40), (3.41) і (3.45), 
маємо розв‘язок початкової задачі:  
 V x V 2 t
 +1 − −
( 2a2 4a2
T x,y,t ) = T +1 0 0
0 + e   
 40

1
+1
V 2  2 2 
2 V  (x−) +( y−)
t 4a
e 0 + + −
2a2 4a2 
(t−)
  d   Qv (,) e 0 0 dd . (3.46) 
0 t −  − − 

Вставивши (3.33) в (3.46), маємо заключний вираз для T (x,y,t ), що дозволяє 
встановлювати вплив характеристик АСМ на поле температур в тонкій великих 
розмірів пластині: 
 V x V 2 t
 ( +1) P0 ( Iï ,U ï ð ) k0 ( I ï ,l ) a2 − −
0
( 2a2 4a2
T x,y,t ) = T +1 + e 0 0
   
0
 8  c H 0 erf b( Iï ,l ) k0 ( Iï ,l )
  
V 2  4a2
0 k0( Iï ,l ) x2−V 2x+V (t−)−
4a2
0 4a2 1+4a2
0 k I ,l t−
 0 0( ï )( )
t e     c + y   c − y 
 erf   + erf     
0 1+ 4a2
0 k0 ( Iï ,l )(t − )  
  2a0 (t − )   
  2a0 (t − ) 
  1+ 4a2 k  
erf  0 0 ( Iï ,l )(t − ) x +V (t − )
b( I ï ,l +
2 )  +  
  4a0 (t − )  1+ 4a2
0 k0 ( I ï ,l )(t − )
  
 88 
1
 +1
1+ 4a2
0 k0 ( Iï ,l )(t − )  x +V (t − )  
+erf 
2 b( Iï ,l ) − d . (3.47) 
 4a0 (t − )  1+ 4a2
0 k0 ( Iï ,l )(t − ) 
  
 
 Математична модель процесу теплового впливу на тонкий прямокутний 
брусок (зонд). Розглядається тонкий прямокутний брусок із заданими 
геометричними умовами: d<2b, δ∼H, d>B, що відповідає формуванню 
двовимірного температурного поля. При цьому, уздовж осі Oz брусок вважається 
обмеженим, тобто враховується теплообмін на нижній межі. 
 За відсутності конвекційних та радіаційних теплових втрат з поверхонь 
бруска, теплообмін на верхній стороні (z=H) відповідає умовам адіабатичного 
теплового процесу. У такому випадку густина теплового потоку дорівнює нулю. 
Математичний опис процесу нагрівання прямокутного бруска малої 
товщини, що знаходиться у рухомій системі координат (зв’язаній з джерелом 
теплового випромінювання), може бути сформульовано у вигляді системи 
рівнянь, що описують динаміку температурного поля та енергетичного потоку в 
об'ємі бруска. 
Такий підхід дозволяє враховувати специфіку теплообміну через граничні 
поверхні та реалізувати аналіз температурного стану з урахуванням геометричних 
і фізичних параметрів досліджуваного об'єкта. [27]:  
T   T    T  T
 CV (T ) = (T )  + (T )  +C (T )V ,  
V
t x  x  z  z  x
 t>0, −   x  + ,  0  z  H ,    (3.28) 
 T =T0 ,        (3.49) 
t=0
T
 −(T ) = q (x) ,      (3.50) 
ï
z z=0
T
 (T ) = 0 ,       (3.51) 
z z=H
T
 T →T0 , → 0 , при x → .    (3.52) 
x
 89 
З врахуванням СV(Т) та (Т) маємо: 
 2 2
 = a2       
0  +  +V ,     (3.53) 
t 2 2
 x z  x
  = 0 ,       (3.54) 
t=0

 − = q (x) ,       (3.55) 
ï
z z=0

 = 0 ,      (3.56) 
z z=H
+1 +1  +1
де  =T −T0 ,  q (x) = q (x) .      (3.57) 
ï ï
0
Далі, використовуючи підстановку: 
V x V 2t
− −
 ( 2a2 4a2
 x,z,t ) = (x,z,t )e 0 0 ,     (3.58) 
отримуємо  
  2 2 
= a2    
 0  +  ,      (3.59) 
t x2
 z2

  = 0 ,       (3.60) 
t=0

 − = q x
ï ( ) ,      (3.61) 
z
z=0

 = 0 ,       (3.62) 
z z=H

 → 0 , → 0 , при x → ,    (3.63) 
x
V x V 2 t
 +1 +
2 2
де q (x) = q ( ) 2a
x,t e 0 4a0
ï ï .    (3.64) 
0
Застосовуючи метод Фур'є для інтегральних перетворень за змінною x та 
метод розділення змінних відносно координати z, з урахуванням (3.57), (3.58) і 
(3.64), отримуємо: 
 90 
V x V 2
 t
 − −
( ) +1  +1 2a2
0 4a2
T x,z,t = T + e 0
   
0
 4
 0
2 1
V  2
2
4a2  na V  (x−) +1

t e 0  0
1  nz −  (t−)  + −
2a2 2
 d +  cos e  H  
  q ()e 0 4a0 (t−)
 d . (3.65) 
n
0 t −  2 n=0 H  −
  
Враховуючи (3.30), Отримуємо наступне рівняння, яке забезпечує 
можливість визначення впливу параметрів атомно-силової мікроскопії (АСМ) на 
розподіл температури у прямокутному пластинчастому елементі з незначною 
товщиною: 
 2
 ( +1)P0 ( Iï ,U ï ð ) k0 ( Iï ,l ) V x V t
a − −
0 2 2
T ( 2a 4a
x,z,t ) = T +1 0 0
  
0 + e 
 40B erf b( I 
  ï ,l ) k0 ( I ï ,l )

2
  n a
t 0 
1 N  n z − (t−)   
  + cos  H
 
   e    
0 2 n=0  H  
 
  1+ 4a2
0 k0 ( Iï ,l )(t − )  x +V (t − ) 
erf  b( I ï ,l ) +  +  
  4a2
0 (t − )  1+ 4a2
0 k0 ( I ,l )(t − ) 
  ï 
 1+ 4a2 k ( I ,l )(t − )  x +V (t − ) 
+erf  0 0 ï
b( I ï ,l ) −    
 4a2
0 (t − )  1+ 4a2
0 k0 ( I ï ,l )(t − ) 
 
1
2 4a2 x2
V  0 k0 ( Iï ,l )−V 2x+V (t−) +1
−
4a2
4a2  2 
0 0 1+4a0 k0 ( Iï ,l )(t−)
e   

 d .    (3.66) 
(t − )(1+ 4a2
0 k0 ( Iï ,l )(t − )) 

 
Результати розрахунків впливу параметрів АСМ на температурні поля в 
зоні контакту наноінструменту з поверхнею. Для підвищення ефективності 
числового моделювання на персональних електронно-обчислювальних машинах, 
на основі створеного набору нелінійних математичних моделей було виконано 
вирішення інженерно-технологічних завдань у межах дослідження математичних 
моделей із застосуванням спеціалізованих програмних пакетів прикладного 
спрямування, що реалізують основні чисельні методи.  
 91 
Використовуючи відомі теплофізичні характеристики досліджуваних 
матеріалів та зондів атомно-силової мікроскопії, представлених у формі тонких 
прямокутних пластин, а також залучаючи зазначені вище програмні засоби, 
проведено розрахунки залежностей граничних температур в зоні контакту Tm від 
даних параметрів АСМ, рис. 3.12 (○,● - експериментальні дані для кривих 1 і 2, 
отримані безконтактним методом на базі тепловізійного методу дослідження 
(відносна похибка 5-8%).  
 
а)       б) 
 
в)       г) 
Рисунок 3.12 – Вплив параметрів АСМ на максимальну температуру Tm 
досліджуваної поверхні з кремнію Кр0: а) – час контакту t = 0,5 с,  
крок переміщення l = 60 нм, швидкість переміщення зонду вздовж поверхні  
V = 0,02 мм/с; б) – час контакту t = 0,5 с, напруга зворотнього зв‘язку  
Uзв = 4 В, крок переміщення l = 60 нм, в)  – час контакту t = 0,5 с, струм  
 92 
тунелювання Iт = 100 нА, крок переміщення l = 60 нм; г) – час контакту 
t = 0,5 с, напруга зворотнього зв‘язку Uзв = 4 В, швидкість переміщення зонду 
вздовж поверхні V = 0,02 мм/с. 
З результатів розрахунків, представлених на рис.3.12, маємо, що для часу 
контакту t  t*  (t* = 0,2…0,3 с – для кремнію Кр0; t* = 0,4…0,5 с – для кераміки 
ЦТС-19) процес локального нагрівання як поверхні кераміки, так і поверхні 
кремнію переходить у стан квазістатичного режиму, при якому температура Tm  
залишається постійною з часом; водночас значення t∗ виявляє мінімальну 
залежність від характеристик атомно-силового мікроскопа (АСМ). 
 
Висновки до розділу 3  
В даному розділі проведені дослідження та розрахунки процесів силової 
взаємодії та теплообміну між кремнієвим зондом атомно-силового мікроскопу та 
наноструктурами на досліджуваній поверхні при нанометричних вимірюваннях, 
що дозволяє підібрати робочі режими роботи АСМ і, таким чином, уникнути  
ситуацій пов’язаних з некоректною інтерпретацією результатів вимірювання і як 
наслідок – передчасного руйнування вимірювального інструменту (кремнієвого 
зонду) АСМ.  
У результаті теоретичного аналізу фізичних явищ і процесів, що виникають 
під час функціонування вимірювальної системи АСМ у ході дослідження 
матеріалів, а також створення та дослідження еквівалентної теплової схеми, 
уточнено закономірності силової та енергетичної взаємодії зондів АСМ із 
досліджуваними матеріалами. На основі цих уточнень розроблено фізико-
математичні моделі, які дозволяють оптимізувати режими стабільного 
функціонування АСМ. 
Експериментальні дослідження роботи зонду АСМ виявили, що основною 
причиною втрати його функціональності є деградація поверхні, яка спричиняється 
як механічними навантаженнями, так і температурним дрейфом. 
 93 
Збільшення тривалості надійної роботи зонду призводить до нелінійного 
зростання загального терміну експлуатації. Наприклад, подвоєння часу надійної 
експлуатації забезпечує збільшення граничного ресурсу зонду в 1,5–2,5 рази. 
Водночас лінійне зростання поверхневої щільності мікродефектів, спричинених 
температурним дрейфом, скорочує максимальний термін експлуатації до 25% від 
початкового. 
 
 94 
РОЗДІЛ 4. 
ДОСЛІДЖЕННЯ ТА ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНА ПЕРЕВІРКА РЕЗУЛЬТАТІВ 
РОЗРАХУНКУ ТЕПЛООБМІНУ ПРИ НАНОМЕТРИЧНИХ 
ВИМІРЮВАННЯХ 
 
В даному розділі наводяться результати експериментальних досліджень 
процесів теплообміну при нанометричних вимірюваннях, а саме: процесу 
теплообміну в зоні контакту мікроінструменту та поверхні, проводиться обробка 
експериментальних даних процесу теплообміну, а також порівняння результатів 
моделювання з експериментальними даними. Наводяться залежності 
досліджуваних параметрів теплообміну в зоні контакту наноінструменту АСМ з 
поверхнями від режимів сканування. 
 
 4.1. Результати дослідження процесу теплообміну в зоні контакту 
мікроінструменту та поверхні 
В якості досліджуваного зразка використовувався зразок кремнієвої 
пластини Кр0, який попередньо підготовлювався. Це дозволило очистити його від 
захисного шару. Після завершення підготовки, зразок було проаналізовано 
методом двоетапного сканування за допомогою атомно-силового мікроскопа 
(детальна методика наведена в розділі 2). Це дозволило отримати топографічне 
зображення поверхневого рельєфу (рис. 4.1, а, б) та карту розподілу теплових 
потоків по поверхні (рис. 4.1, в, г). 
На аксонометричних зображеннях фрагмента кремнієвої пластини (рис. 4.1, 
а, б) чітко простежуються наноструктури, розташовані вздовж електропровідного 
«гребеня». Одночасно, на тепловій карті тієї ж ділянки (рис. 4.1, в, г) 
спостерігається виразна залежність інтенсивності накопичення тепла від 
просторового положення структур теплових внесків та теплових витрат від 
окремих фрагментів кремнієвого зразка.  
 95 
Так, найбільша інтенсивність розподілу теплових потоків спостерігається 
саме на наноструктурах, тоді як металізація – електричний провідник, напроти, 
має просаджений профіль у розподілі теплових потоків (по ньому теплота вся 
уходить за рахунок явища теплопровідності). 
 
а.       б.  
  
в.       г.  
Рисунок 4.1 – Аксонометрія (а, в) та топограма (б, г) рельєфу (а, б) та карти 
розподілу теплових потоків (світлі кольори – теплові внески; темні кольори – 
теплові витоки) (в, г) по поверхні зразка кремнію Кр0 
 
Розраховано прогнозований максимальний термін служби зонду та 
визначено залежності між тривалістю його взаємодії з поверхнею і параметрами 
надійності. Також встановлено взаємозв'язок між впливом зовнішніх умов та 
довговічністю зондів.  
 96 
Наведено результати тепловтрат на кремнієвих зразках через 5 та 60 хвилин 
після початку контакту зонду із зразком. На рисунку 4.2 представлено 
профілограму розподілу теплових градієнтів по поверхні кремнієвої пластини 
Кр0.  
 
Рисунок 4.2 – Профілограма розподілу теплових градієнтів по поверхні 
кремнієвої пластини Кр0: 1 – в початковий момент часу; 2 – через 5 хвилин;  
3 – через 60 хвилин.  
 
В ітозі цього дослідження маємо залежність зменшення розподілу теплових 
градієнтів з часом, яка дозволяє встановити причини такого зменшення та надати 
рекомендації щодо підвищення надійності теплообміну в матеріалах на 
наометричному рівні.  
Так, через п‘ять хвилин від початку взаємодії зонду з поверхнею 
відбувається незначний (на 1,5-2%) виток тепла, який, на думку автора, втрати 
тепла обумовлені впливом зовнішніх факторів, таких як теплове випромінювання 
та конвективний теплообмін із навколишнім середовищем, а також методичними 
похибками, що виникають при використанні методу атомно-силової мікроскопії 
(АСМ). У той же час, вже через 60 хвилин після початку спостережень 
відзначається значна втрата теплової енергії, яка може досягати 80%. 
 97 
Це явище особливо виражене в ділянках, що межують із металізованими 
зонами. Причиною такого витоку тепла може бути перенесення теплової енергії 
через металізований шар, який має значно вищий коефіцієнт теплопровідності 
порівняно з діелектричними матеріалами.. З вищесказаного можна зробити 
висновок, що для надійної роботи зондів в зоні контактів, варто час-від-часу 
(частіше, аніж раз на годину) проводити атестацію зондів на тест-об‘єктах. Разом 
з тим, автором також досліджувалися металізовані ділянки, пошкодженні 
внаслідок механічного та термічного впливу, здійснювалися заходи по 
відновленню пошкоджених ділянок.  
Аналіз несправної області за допомогою атомно-силової мікроскопії (АСМ) 
виявив, що зона теплового витоку пов'язана з механічним ушкодженням на цій 
ділянці (рис. 4.3).  
 
Рисунок 4.3 – Тривимірне зображення зразка кремнієвої пластини з 
пошкодженою ділянкою металізованого покриття 
 
У подальшому автор здійснив дії з відновлення пошкодженої області, 
використовуючи унікальну властивість методу АСМ. Ця особливість полягає у 
здатності робочого елемента – зонду, працювати в режимі колоїдного сенсора. 
Завдяки цьому зонд не лише визначає порушення структури зразка, але й сприяє 
їх усуненню. Відновлення відбувається шляхом захоплення вільної молекули 
вістрям зонду з області металізації та її переміщення до місця пошкодження (рис. 
4.4). 
 98 
 
Рисунок 4.4 – Тривимірна візуалізація реконструйованої структури 
металізованого покриття зразка, отримана за допомогою колоїдного режиму 
атомно-силового мікроскопа 
 
Застосування методу атомно-силової мікроскопії дає змогу не лише 
ідентифікувати ушкоджені зони, але й виконувати їх реконструкцію за допомогою 
зонда, що працює в режимі колоїдного датчика. Це сприяє підвищенню 
довговічності та стабільності роботи зонда. 
Така інноваційна особливість методу відкриває перспективи використання 
АСМ як ключового інструменту для відновлення компонентів у галузях мікро- та 
наноелектроніки, мікромеханіки, фотоніки та інших суміжних напрямках. 
 
 4.2. Обробка експериментальних даних процесу теплообміну 
Аналіз експериментальних даних щодо процесу теплообміну із 
застосуванням методу багатофакторного експериментального планування 
ґрунтується на припущенні, що необхідно побудувати модель поверхні відгуку 
чинників. У загальному вигляді її можна представити аналітичним виразом [30]: 
Y = f ( X1 ,X 2 , ...,X i ) , 
де  Y - відгук процесу, тобто параметр, який підлягає вивченню та оптимізації, 
X1, X2, Xі, - відомі параметри, які можна змінювати при постановці експерименту. 
 99 
Під час експериментів значення Y та X фіксуються й стають доступними для 
аналізу. Однак форма функціонального зв’язку між ними (модель) до виконання 
досліду зазвичай невідома й визначається на основі отриманих даних. При цьому 
передбачається, що результат Y залежить не лише від значень керованих 
параметрів X1, X2, Xi, але й від впливу неконтрольованих факторів. До таких 
факторів можна віднести похибки вимірювань, випадкові зміни зовнішніх умов та 
інші труднощі, що не підлягають прямому регулюванню. 
Унаслідок цього навіть при фіксованих значеннях X відгук Y демонструє 
випадкову поведінку. Тому завданням дослідження є визначення математичного 
сподівання, дисперсії або довірчих інтервалів для моделі, яка описує цей процес. 
Оскільки вид функції Y заздалегідь не відомий, її обирають у вигляді 
полінома, вірніше, відрізку полінома, вибір якого залежить від передбачуваного 
характеру залежності і необхідної точності її визначення. 
Математичне очікування функції представляється у виді: 
k k k
M (Y ) = 0 + 2
i X i +ij X i +ii X i + ...  
i=1 i j i=1
При цьому 
f f 2 f 1 2 f 1 2 f
1 = ; 2 = ; 12 = ; 11 = ; 22 = ; ... , 
X1 X 2 X1X 2 2 X 2 2
1 2 X 2
де β - коефіцієнти регресії. 
Основним завданням регресійного аналізу є визначення форми функції Y 
(тобто вигляду частини полінома) та оцінювання коефіцієнтів регресії. Обрана 
функція повинна бути якомога простішою, але водночас здатною адекватно 
описати реальну залежність. Вибір форми функції базується на фізичних 
передумовах, аналізі схожих задач та інших даних. У ході регресійного аналізу 
вибрана модель перевіряється за певними критеріями, і за необхідності може бути 
скоригована. 
 100 
Аналіз функції передбачає її подання у вигляді степеневого ряду. Точність 
опису процесу цим рядом залежить від його порядку, тобто від степеня останніх 
членів у виразі. Якщо досліджуваний процес обмежується вузьким діапазоном 
змінних X1, X2, Xі, то, як правило, достатньо використовувати лише частину ряду, 
ігноруючи члени вищих порядків. 
У цій методиці розглядається модель із чотирма факторами та одним 
відгуком. Під час розрахунків задачі множинної регресії зводяться до серії 
простих поліноміальних регресій із чотирма предикторами. 
На кожному рівні змінної Хі визначається рівняння наступного формату:: 
Y =  +  X + 2 3
0i 1i i 2i  X i +3i  X i .      (4.1) 
Рівняння (4.1) Даний текст ілюструє залежність відгуку Y від змінної Xi. 
Щоб полегшити методику визначення коефіцієнтів регресії, приймаються 
наступні передумови: 
Результати вимірювань (де n – кількість спостережень величини Y) є 
незалежними та підкоряються нормальному закону розподілу. 
Дисперсії D(yi) рівні між собою або пропорційні відомій функції Φ(Y)/. 
Змінні X1, X2, Xi -  незалежні одна від одної, а похибки їх вимірювання 
настільки малі, що можуть бути проігноровані у порівнянні зі значенням самих 
величин. 
Для обчислення коефіцієнтів регресії застосовується метод матриць. 
Експериментальні дані організовуються у формі двох матриць Х та Y: 
 x01 x11 x21 x41   y1 
   
x02 x12 x
 22 x42 y2
X = ;   Y =   . 
 x   
03 x13 x23 x43 y3
   
 x04 x14 x24 x44   y4 
Спочатку виконується множення транспонованої матриці X∗  на матрицю X, 
а потім на матрицю Y. З матриці, отриманої як результат добутку X∗X, 
обчислюється обернена матриця, яка надалі множиться на результат множення X∗ 
Y. 
 101 
У підсумку, після виконання всіх проміжних операцій з матрицями, 
отримується матриця T: 
c00( 0y ) c01(1y ) c02( 2y ) c03( 3y )
 
−1 c10( 0y ) c11(1y ) c12( 2y ) c13( 3y )
T = (X * X ) (X *Y ) =   . 
c20( 0y ) c 
21(1y ) c22( 2y ) c23( 3y )
 
c30( 0y ) c31(1y ) c32( 2y ) c33( 3y )
Де параметри рівняння (2.29) розраховується за формулою: 
k
i =cij( jy ). 
j=0
де  cij( jy )  - елементи шуканої вище матриці Т. 
Отже, формуються чотири рівняння, які описують залежність реакції Y від 
фактора Xi. 
Однак, застосування цієї залежності для прогнозування Y не забезпечує 
достатнього рівня точності. Для покращення точності прогнозу до розрахунків 
вводять додаткову змінну. 
З цією метою визначають залежність коефіцієнтів βi від другої змінної Xi+1, 
що виражається у формі: = a + a 2 3
i 0i 1i  X i+1 + a2i  X i+1 + a3i  X i+1  Для кожного з 
отриманих чотирьох рівнянь застосовується однаковий метод обчислення 
коефіцієнтів. Використовується матриця X′  у поєднанні з матрицею Y′: 
 
 x01 x11 x21 x31  b0 
 
x x x  
 02 12 22 x32  b1
X`= ; Y`=  
   . 
x x   
03 13 x23 x33 b2
   
 x04 x14 x24 x34  b3 
Далі виконуються подібні обчислення, у результаті яких формується 
система з чотирьох рівнянь, що визначає взаємозв'язок коефіцієнтів  ji  від Хі+1. 
 
 102 
Далі, підставивши отримані рівняння у формулу (4.1) отримується рівняння: 
y = ( a 2 3 2
01 + a11  x1 + a21  x1 + a31  x1 )+ ( a02 + a12  x1 + a22  x1 + a32  x
3
1 )  x2 +
 
+( a03 + a13  x1 + a23  x
2
1 + a33  x
3 )  x2
1 2 + ( a04 + a14  x1 + a24  x
2 + a  x3 )x3
1 34 1 2
При відкритті дужок, отримується вираз: 
y = a 2 3 2 3
01 + a11  x1 + a21  x1 + a31  x1 + a02  x2 + a12  x1  x2 + a22  x1  x2 + a32  x1  x2 +
 
+a03  x
2 2 2 2 3 2
2 + a13  x1  x2 + a23  x1  x2 + a33  x1  x2 + a04  x
3
2 + a14  x1  x
3 + a  x2  x3 3
2 24 1 2 + a34  x1  x
3
2
 Після знаходження коефіцієнтів проводиться статистична оцінка 
регресійного рівняння. У першу чергу перевіряється, наскільки точно побудована 
модель відображає досліджуваний процес, тобто визначається її відповідність або 
адекватність. Для цього тестується гіпотеза щодо адекватності моделі, для чого 
обчислюється залишкова дисперсія (також відома як дисперсія адекватності). Цей 
показник описує ступінь розсіювання фактичних даних відносно значень, 
передбачених за отриманим рівнянням регресії. Ця дисперсія знаходиться за 
виразом: 
S 2 s
= R ,      (4.2) 
àä
fR
де  sR  – залишкова сума квадратів, fR = N − ( k +1)  –  число ступенів свободи. 
Залишкова сума квадратів визначається за формулою:  
N k N
sR = y2
u −bi xiu yu .    (4.3) 
u=1 i=0 u=1
Щоб оцінити достовірність гіпотези про адекватність, потрібно мати 
інформацію про дисперсію повторюваності експериментальних даних. Перевірка 
гіпотези адекватності здійснюється згідно F-критерію Фішера, який 
розраховується за формулою: 
S 2
Fp =
àä .      (4.4) 
S 2
y
Якщо розрахункове значення Fp виявляється меншим за табличне Ft, 
встановлене для заданого рівня значущості, то гіпотеза визнається прийнятною. 
 103 
Коефіцієнт детермінації R2, що використовується для оцінювання 
регресійних моделей, показує, наскільки добре модель відповідає емпіричним 
даним, і визначається за наступною формулою: 
ˆ 2
R2 =1− ,     (4.5) 
ˆ 2
y
де дисперсії ̂2
y , ̂2  обчислюються за формулами: 
n n n
2 1
=( y − ˆt yt )2 , 2
y =( yt −  yi )2 .   (4.6) 
t=1 t=1 n i=1
Для оцінювання точності визначення значень коефіцієнтів регресії 
обчислюється їх дисперсія за допомогою відповідної формули: 
S 2
2 y
Sbi = ,      (4.7) 
N
якщо паралельні досліди відсутні. 
Для перевірки статистичної значущості коефіцієнтів регресії 
використовується t-критерій Стьюдента. Для цього необхідно скористатися 
формулою: 
b
ti =
i .      (4.8) 
Sbi
Розраховане значення t-критерію зіставляється з табличним при заданому 
рівні значущості та відповідній кількості ступенів свободи. Якщо для конкретного 
коефіцієнта ti перевищує tтабл, це свідчить про його суттєву відмінність від нуля. 
Коефіцієнти вибірки, для яких ti не перевищує tтабл, вважаються статистично 
незначущими, і їх слід вилучити з рівняння регресії. 
На основі результатів термографічного аналізу, представлених на рис. 4.5, 
було виявлено підвищення температури на ділянках зразка в зоні максимального 
віддалення від металізованих ділянок.  
У той же час ділянки, розташовані ближче до центру зразка, демонстрували 
підвищену температуру приблизно 42 °С, тоді як периферійні області мали нижчу 
температуру, близько 38 °С. 
 104 
 
Рисунок 4.5 – Результати термографічного аналізу напівпровідникових 
матеріалів із позначенням контрольної точки (т.1) 
 
Для оптимізації процесу була обрана величина теплових втрат, за умови, що 
її значення має наближатися до мінімального. Як незалежні змінні, що впливають 
на оптимізацію, були визначені наступні параметри: X1 – відносна вологість (RH), 
X2  – сила тиску зонда на досліджуваний матеріал (р), X3 – здатність носіїв заряду 
до руху (μ) (див. таблицю 4.1). 
При цьому дотримувались таких вимог: незалежність вхідних і вихідних 
характеристик, нормальний розподіл ймовірних результатів вимірювань, стійкість 
експериментальних даних до впливу перешкод, а також послідовність виконання 
вимірювань, яка не порушує принципу ортогонального планування. 
 
Таблиця 4.1 – Експериментальні рівні варіювання 
Кодоване Інтервал Рівні факторів 
Фактори оптимізації 
значення факторів варіювання верхній основний нижній 
Вологість, RH, % Х1 50 100 50 0 
Тиск зонда на 
Х2 19,5 39 19,5 0 
зразок, р, ГПа 
Рухливість носіїв 
2 . Х3 0,0705 0,14 0,0705 10-3 
заряду, μ, м /В с 
Відгук, Q, мкДж Y 6000,125 12000 6000,125 0,25 
 105 
Було розроблено план експерименту з трьома змінними [31]. За допомогою 
методів статистичного проектування n-го порядку отримано математичну модель, 
представлену у вигляді квадратичного нелінійного рівняння регресії, що враховує 
три фактори оптимізації. 
Cm = b0 +bi xi +bij xi x + b x2
j  ii i , 
X − X (0)
де  х – безрозмірна змінна ( x i i
i = ). 
X i
Щоб уникнути систематичних похибок, експерименти були випадковим 
чином упорядковані за допомогою таблиці випадкових чисел. На основному етапі 
виконано чотири одночасні досліди, які дали змогу визначити дисперсію 
експерименту при двох ступенях свободи та на рівні значущості 5%: 
s 2
C = 18936,54. 
За даними експерименту розраховано коефіцієнти регресії (у кодованому 
масштабі): 
b0 = 2168,31 b11 = 351,39 b22 = 594,76 b33 = 87,11 
b1 = - 1290,98 b12 = - 1273,04 b23 = - 2789,95  
b2 = 2937,28 b13 = 942,08   
b3 = - 2479,99    
Значення t-критерію для 15 випробувань при рівні значущості 0,05 дорівнює 
4,3. Межі довіри, отримані під час обчислення коефіцієнтів регресії, становлять: 
b₀: 341,63; bᵢ: 209,21; bᵢᵢ: 307,94; bᵢⱼ: 295,86. 
Отримана модель залежності теплових витрат від трьох визначених 
факторів має вигляд: 
Fåñ = 2168,31−1290,98RH + 2937,28  p − 2479,99  −1273,04RH  p −
 
−2789,95  p  + 942,08RH  + 351,39RH 2 + 594,76  p2 + 87,112
У ході дослідження за допомогою створеної моделі було визначено 
взаємозв'язок між тепловими втратами Q, тиском зонда на досліджувану 
поверхню p та мобільністю носіїв заряду μ (рис. 4.6) при крайових рівнях 
вологості навколишнього середовища.. 
 106 
 
Рисунок 4.6 – Взаємозалежність теплових втрат Q, тиску зонда на зразок р 
та мобільності носіїв заряду μ за різних рівнів вологості навколишнього 
середовища: 1 - RH = 100 %; 2 - RH = 50 %; 3 - RH = 0 %. 
 
З аналізу представлених графіків видно, що зі збільшенням вологості 
повітря до 100%, зменшенням сили тиску зонда на зразок до 0 Па (при цьому зонд 
не контактує з поверхнею під час динамічного сканування) і зростанням 
мобільності носіїв заряду до 0,14 м²/В·с, теплові втрати Q між зондом і 
досліджуваною поверхнею досягають мінімальних значень Q ≤ 1·10⁻¹² Дж. Такий 
режим роботи запобігає пошкодженню як зонда, так і поверхні зразка. 
Таким чином, на основі проведених експериментів та отриманих 
залежностей, розробленої математично-статистичної моделі та плану 
експерименту (за методом випадкового пошуку) встановлено чинники, які 
найліпшим чином впливають на мінімізацію теплових витрат в зоні взаємодії 
зонду АСМ з поверхнею.  
 
 107 
4.3. Порівняння результатів моделювання з експериментальними 
даними 
Порівняння результатів моделювання з експериментальними даними 
представлено на залежностях, рис.4.7. 
 
Рисунок 4.7 – Залежність часу підведення (●, ■) / відведення (○, □) від часу 
експлуатації кремнієвих зондів в статичному (——) та динамічному режимах (– –)  
 
З аналізу залежностей можна зробити висновок, що із зростанням терміну 
використання зондів час на подачу та відведення тепла збільшується за 
квадратичним законом як у статичному, так і в динамічному режимах. Таке 
нелінійне зростання часу, найімовірніше, обумовлене процесами старіння та 
деградації матеріалу зонду, що проявляється у підвищенні питомого опору та 
пошкодженні поверхні, які збільшують тривалість взаємодії зонду з 
досліджуваною поверхнею. Усе це призводить до зниження загальної 
ефективності роботи пристрою, що є неприйнятним. 
Проведені експериментальні дослідження, спрямовані на визначення 
граничного терміну експлуатації зондів за критичних умов, дозволили встановити 
тривалість їхньої роботи до повного зносу: у статичному режимі – 6 років, у 
динамічному – 6,9 року. Отримані експериментальні результати демонструють 
високу відповідність даним математичного моделювання. Розбіжність між 
розрахунковими та експериментальними значеннями не перевищує 3%, що 
підтверджує точність і достовірність виконаних розрахунків. 
  
 108 
Висновки по розділу 4 
В розділі наводяться результати експериментальних досліджень процесів 
теплообміну при нанометричних вимірюваннях, а саме: процесу теплообміну в 
зоні контакту мікроінструменту та поверхні, проводиться обробка 
експериментальних даних процесу теплообміну, а також порівняння результатів 
моделювання з експериментальними даними.  
В результаті проведених досліджень були отримані наступні результати: 
• через п‘ять хвилин від початку взаємодії зонду з поверхнею відбувається 
незначний (на 1,5-2%), а вже через 60 хвилин – суттєвий (до 80%) виток тепла; 
• за допомогою методу атомно-силової мікроскопії можна не тільки виявити 
пошкоджену ділянку, а й відновити її за допомогою зонда, що працює в режимі 
колоїдного датчика, що дозволяє підвищити надійність і час роботи зонда, 
• вперше встановлено, що при підвищенні вологості навколишнього середовища 
до 100%, зниженні тиску зонда до 0 Па (зонд не торкається поверхні при 
динамічному скануванні) і збільшенні рухливості носіїв заряду до 0,14 м2/В.с 
величина витрати тепла Q між зондом і поверхнею досягає мінімальних значень Q 
≤ 1 пДж, що виключає руйнування поверхні зонда і досліджуваної поверхні, 
• на основі проведених експериментів з визначення максимально можливого 
терміну служби зондів у критичних умовах експлуатації встановлено час до 
їхнього зносу: у статичному режимі – 6 років, у динамічному режимі – 6,9 років. 
• результати експериментів підтвердили високу відповідність із даними 
математичного моделювання, причому розбіжність між експериментальними та 
теоретичними показниками не перевищила 3%. 
 109 
ВИСНОВКИ 
 
В результаті виконання магістерської кваліфікаційної роботи з дослідження 
та розрахунок процесів теплообміну при нанометричних вимірюваннях. 
Проведений аналіз літературних джерел показав, що проблема теплообміну 
на сьогоднішній день не досліджена: немає чіткого алгоритму, який би дозволив 
провести теоретичні розрахунки теплообміну, які з великою часткою вірогідності 
були підтверджені експериментально. 
Актуальним завданням магістерської роботи є дослідження і розробка 
моделей процесів теплообміну при нанометричних вимірюваннях, що дозволило 
дослідити теоретичні основи теплообміну між вимірювальним наноприладом та 
навколишнім середовищем, розрахувати коефіцієнти теплообміну, опори тертя та 
місцеві опори, створити модель діагностичного процесу. Отримані результати 
дають змогу розробити вимірювальну техніку для нанометричних досліджень. 
На основі розроблених методик за-для проведення експериментів по 
моделюванню процесів теплообміну в зоні контакту нанометричного інструменту 
з досліджуванною поверхнею доведена доцільність використання наступного 
науково-експериментального обладнання: атомно-силовий мікроскоп NT-206; 
тепловізор IR-60, для яких в розділі наведено короткий опис принципу роботи та 
їх основні технічні характеристики. 
Проведені дослідження та розрахунки процесів силової взаємодії та 
теплообміну між кремнієвим зондом атомно-силового мікроскопу та 
наноструктурами на досліджуваній поверхні при нанометричних вимірюваннях, 
що дозволяє підібрати робочі режими роботи АСМ і, таким чином, уникнути 
ситуацій пов’язаних з некоректною інтерпретацією результатів вимірювання і як 
наслідок – передчасного руйнування вимірювального інструменту (кремнієвого 
зонду) АСМ. 
Встановлено, що при збільшенні часу надійної роботи на 100% термін 
максимальної експлуатації збільшується в 1,5-2,5 рази. 
 110 
Лінійне зростання поверхневої щільності мікродефектів зонда за рахунок 
теплового дрейфу знижує максимальний термін служби до 25% 
Вперше. встановлено, що при збільшенні вологості навколишнього 
середовища до 100 % знижується тиск зонда на зразок до 0 Па (при динамічному 
скануванні зонд не торкається поверхні) і збільшення рухливості носіїв заряду до 
0,14 м2/В.с, величина тепловтрат Q між зондом і поверхнею досягає мінімальних 
значень Q ≤ 1 пДж, що виключає руйнування поверхні зонда і досліджуваної 
поверхніВ цілому виконані дослідження можуть служити основою для подальших 
досліджень з питання удосконалення методів та засобів нанометричних 
вимірювань. 
 
 
 111