Index method of minimization of Boolean functions

Abstract

The paper presents a new method of minimization that implements the Boolean function in classical minimal form of representation by means of a directed selection of possible ways of minimization according to the criteria of a necessary and sufficient condition – the index method. This method is a continuation of evolutionary development of methods of minimization by reducing the value of the basis coefficient K: the method of minimization by parts, the method of parallel decomposition by reducing K, the matrix method of parallel decomposition. The evolution of methods by reducing the value of the basis coefficient K is a thorough study of the structure and structural organization of a set of Boolean functions, a detailed analysis of the strengths and weaknesses of already existing previous variants of the methods, the identification of critical places that significantly slow down the minimization process, and the search for alternative ways of accelerating the minimization process. The index method is developed based on the use of a new way of recording individual Boolean functions in the form of indexes of significant rows of the truth table. Thanks to this form of recording, it has been possible both to realize the strengths of the previous methods and significantly improve the weak stages of the previous methods, which in general gives a big gain in the time of minimization. The advantage of the method is two-stage minimization of the process, which makes it possible not to use the directed sorting criterion directly. When forming a complete list of elements, the elements of the final answer are immediately obtained without specifying intermediate results. Structural elements of the method – a complete set of possible elements of the final answer for Boolean functions, containing one number of arguments for the value of the basic coefficient K=1...n, are formed even before the beginning of the execution of the method. and are used as a table value. When implementing the method, only units without zeros are processed in the columns of the truth table, which reduces the number of processing objects. The method is implemented by two-level column processing – checking necessary and sufficient conditions. The machine implementation of the method uses parallelization of the minimization process. All this significantly reduces the minimization time – the main value that distinguishes this method from others. The developed method of minimization is one of the constituent parts of the creation of the software code, which is the basis of the development of a fractal computer. The main feature of a fractal computer is the presence of fractal (non-smooth) functions in its software code, which will radically expand its capabilities in certain areas of computing. To date, none of modern computers uses these functions in the program code.

У роботі представлено новий метод мінімізації, що реалізує булеву функцію у класичній мінімальній формі представлення шляхом направленого перебору можливих шляхів мінімізації за критеріями необхідної і достатньої умови – індексний метод. Цей метод є продовженням еволюційного розвитку методів мінімізації шляхом зменшення значення базисного коефіцієнта К: методу мінімізації по частинах, методу паралельної декомпозиції шляхом зменшення К, матричного методу паралельної декомпозиції. Еволюція методів шляхом зменшення значення базисного коефіцієнта К йде шляхом досконалого вивчення будови та структурної організації множини булевих функцій, детального аналізу сильних і слабких сторін уже існуючих попередніх варіантів методів, виявлення критичних місць, що суттєво сповільнюють процес мінімізації, та пошуку альтернативних шляхів прискорення процесу мінімізації. Індексний метод розроблено на основі використання нового способу запису окремих булевих функцій у вигляді індексів значущих рядків таблиці істинності. Завдяки такій формі запису вдалося як реалізувати сильні сторони, шо використовували попередні методи, так і значно поліпшити слабкі етапи попередніх методів, що в цілому дає великий виграш у часі мінімізації. Перевагою методу є двоетапна мінімізація процесу, що дає можливість безпосередньо не використовувати критерій спрямованого сортування. При формуванні повного списку елементів одразу отримують елементи остаточної відповіді без зазначення проміжних результатів. Структурні елементи методу – повний набір можливих елементів кінцевої відповіді для булевих функцій, що містить одну кількість аргументів для значення базового коефіцієнта K=1...n, – формуються ще до початку виконання методу і використовуються як табличне значення. При реалізації методу в стовпцях таблиці істинності обробляються тільки одиниці без нулів, що зменшує кількість об'єктів обробки. Метод реалізується дворівневою обробкою стовпців – перевіркою необхідних і достатніх умов. Машинна реалізація методу використовує розпаралелювання процесу мінімізації. Все це істотно скорочує час мінімізації – основну цінність, що відрізняє цей метод від інших. Розроблений метод мінімізації є однією зі складових частин створення програмного коду, що є основою розробки фрактального комп’ютера. Головною особливістю фрактального комп’ютера є наявність у його програмному коді фрактальних (негладких) функцій, що дозволить радикально розширити його можливості в окремих областях обчислень. На сьогоднішній день жоден iз сучасних комп'ютерів не використовує ці функції в програмному коді.