Розробка методів та алгоритмів поліноміальної демодуляції зашумлених сигналів в середовищі Matlab

Бершадська, Тетяна Василівна

Please use this identifier to cite or link to this item: https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/5831

Title:	Розробка методів та алгоритмів поліноміальної демодуляції зашумлених сигналів в середовищі Matlab
Authors:	Палагін, Володимир Васильович Бершадська, Тетяна Василівна
Keywords:	рsk сигнали;моментно-кумулянтні моделі;негаусові випадкові процеси;моментний критерій якості перевірки статистичних гіпотез
Issue Date:	2023
Abstract:	Мета роботи полягає у створенні та реалізації моделей процесів демодуляції РSK сигналів на фоні адитивних негаусових завад на основі моментно-кумулянтного представлення випадкових величин з формуванням моментного критерію якості перевірки статистичних гіпотез та поліноміальних розв’язувальних правил для забезпечення побудови ефективних методів обробки даних. Об’єкт дослідження – поліноміальні алгоритми побудови нелінійних демодуляторів цифрових сигналів в середовищі Matlab. Розроблено методи демодуляції сигналів при застосуванні нелінійних стохастичних розв’язувальних правил, оптимальних за моментним критерієм якості верхньої границі ймовірностей помилок, що дозволяє збільшити точність обробки сигналів у порівнянні з відомими результатами. Отримані результати можуть знайти своє застосування в програмних реалізаціях високоточних пристроїв обробки сигналів на фоні складних завадових ситуаціях
URI:	https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/5831
Appears in Collections:	172 Електронні комунікації та радіотехніка (Радіотехніка та робототехнічні системи)

Files in This Item:

File	Description	Size	Format
М_172_Бершадська_Палагін.pdf Restricted Access		1.74 MB	Adobe PDF	View/Open Request a copy

Show full item record

Extracted text

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ФАКУЛЬТЕТ ЕЛЕКТРОННИХ ТЕХНОЛОГІЙ,
АВТОТРАНСПОРТУ ТА МАШИНОБУДУВАННЯ
КАФЕДРА РОБОТОТЕХНІЧНИХ І ТЕЛЕКОМУНІКАЦІЙНИХ СИСТЕМ
ТА КІБЕРБЕЗПЕКИ

До захисту допущено
завідувач кафедри РТСК
д.т.н., професор
_______________ В.В. Палагін
"_____" _____________ 2023 року

Пояснювальна записка
до дипломного роботи
магістра
(освітньо-кваліфікаційний рівень)

на тему Розробка методів та алгоритмів поліноміальної демодуляції
зашумлених сигналів в середовищі Matlab

Виконав: студент 2 курсу, групи РТ-025
Спеціальності 172 – «Телекомунікації та радіо-
техніка»,
(шифр і назва спеціальності)

освітньої програми «Радіотехніка
та робототехнічні системи»
(назва освітньої програми)
Бершадська Т.В.
(прізвище та ініціали)
Керівник Палагін В.В.
(прізвище та ініціали)
Рецензент Гальченко В.Я.
(прізвище та ініціали)

Черкаси – 2023 року
Форма № Н-9.01

ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Факультет електронних технологій, автотранспорту та машинобудування
Кафедра робототехнічних і телекомунікаційних систем та кібербезпеки
Освітньо-кваліфікаційний рівень магістр
Спеціальність 172 – «Телекомунікації та радіотехніка»
Освітня програма – «Радіотехніка та робототехнічні системи»

ЗАТВЕРДЖУЮ
Завідувач кафедри В.В. Палагін
“_____” ___________________ 2023 року

ЗАВДАННЯ
НА ВИПУСКНУ РОБОТУ СТУДЕНТУ

Бершадська Тетяна Василівна
(прізвище, ім’я, по батькові)
1. Тема проекту (роботи) Розробка методів та алгоритмів поліноміальної
демодуляції зашумлених сигналів в середовищі Matlab

Керівник проекту (роботи) Палагін Володимир Васильович, д.т.н., професор
(прізвище, ім’я, по батькові, науковий ступінь, вчене звання)
затверджені наказом вищого навчального закладу від «10» жовтня 2023 року № 271/04
2. Строк подання студентом проекту (роботи) “ 10 ” грудня 2023 року _________

3. Вихідні дані до роботи: вид модульованого сигналу – бінарний фазомодульований
сигнал; вид демодулятора – фазовий детектор, вид завади – асиметрична негаусова
завада 1-го виду 1-го типу; опис випадкового процесу - моментно-кумулянтний; критерій
якості перевірки статистичних гіпотез –моментний критерій якості верхньої границі
ймовірностей помилок (Ku); вид розв’язувальних правил – нелінійні стохастичні поліноми,
степінь поліному s=1,2.

4. Зміст розрахунково-пояснювальної записки (перелік питань, що їх належить
розробити):
Аналіз систем демодуляції сигналів; побудова поліноміальних алгоритмів демодуляції
сигналів; побудова структурної схеми демодуляції та її реалізація в середовищі Matlab.

5. Перелік графічного матеріалу (з точним зазначенням обов’язкових креслень, плакатів)
1. Структурна схема демодулятора на основі фазового детектора; 2. Моментний
критерій якості перевірки статистичних гіпотез; 3. Поліноміальні алгоритми вивлення
сигналів; 4. Структурні схеми оптимального поліноміального прийому сигналів; 5.
Структурні схеми поліноміальної реалізації алгоритмів обробки сигналів в середовищі
Matlab та графічне представлення отриманих результатів/
.

6. Консультанти з проекту (роботи) із зазначенням розділів проекту, що їх стосуються

Розділ Консультант Підпис, дата

7. Дата видачі завдання 04 вересня 2023 року

КАЛЕНДАРНИЙ ПЛАН

Термін
№ Назва етапів дипломного проекту
виконання етапів Примітка
з/п (роботи)
проекту (роботи)
1. Формування технічного завдання та аналіз
04.09.23 – 20.09.23
літератури
2. Аналіз статистичних методів обробки
21.09.23 – 03.10.23
сигналів
3. Побудова моментного критерію якості
перевірки статистичних гіпотез (критерій 04.10.23 – 22.10.23
Ku)та аналіз його застосування
4. Побудова поліноміальних алгоритмів
демодуляцї бінарних сигналів на фоні 23.10.23 – 15.11.23
негаусових завад
5. Практична реалізація алгоритмів демодуляції
16.11.23– 01.12.23
сигналів в середовищі Matlab
7. Оформлення пояснювальної записки 01.12.23 – 10.12.23
8. Оформлення презентації 11.12.23– 16.12.23

Студент Бершадська Т.В.
( підпис ) (прізвище та ініціали)

Керівник проекту (роботи) Палагін В.В.
( підпис ) (прізвище та ініціали)

ЗМІСТ

ВСТУП.............................................................................................................................5
РОЗДІЛ 1. СУЧАСНІ МЕТОДИ МОДУЛЯЦІЇ ТА ЇХ ПРАКТИЧНЕ
ЗАСТОСУВАННЯ.........................................................................................................6
1.1. Модуляція сигналів та їх застосування при передачі
даних...................................................................................................................6
1.2. Аналіз різновидів цифрової модуляції та їх застосування...................14
1.3. Формування PSK сигналів та методи їх демодуляції ……..................19
1.4. Статистичні методи обробки сигналів та їх застосування
для демодуляції сигналів ………………………………………………25
1.5. Висновки...................................................................................................30
РОЗДІЛ 2. НЕЛІНІЙНІ МЕТОДИ ОБРОБКИ СИГНАЛІВ ЗА МОМЕНТНИМ
КРИТЕРІЄМ ЯКОСТІ ПЕРЕВІРКИ СТАТИСТИЧНИХ ГІПОТЕЗ ………..........31
2.1. Застосування відношення правдоподібності для побудови
розв’язувальних правил............................................................................31
2.2. Синтез моментного критерію якості верхньої границі ймовірностей
помилок.....................................................................................................34
2.3. Поліноміальні алгоритми виявлення сигналів на фоні негаусових
завад...........................................................................................................38
2.4. Висновки....................................................................................................44
РОЗДІЛ 3. МОДЕЛЮВАННЯ ПОЛІНОМІАЛЬНИХ АЛГОРИТМІВ
ВИЯАВЛЕННЯ СИГНАЛІВ В СЕРЕДОВИЩІ MATLAB.......................................45
3.1 Побудова генератора випадкових величин…....................................... 45
3.2 Поліноміальна демодуляція цифрових сигналів в середовищі
Matlab…………………………………………………………………….53
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Розроб. Бершадська Т Розробка методів та алгоритмів Літ. Арк. Акрушів
Перевір. Палагін В. поліноміальної демодуляції 3
Реценз.
Н. Контр. зашумлених сигналів в середовищі
Matlab ЧДТУ
Затверд. Палагін В.
3.3 Висновки……………………………………………………………….61
ВИСНОВКИ................................................................................................................62

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ............................................................64

Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис 4
Дата

ВСТУП
Системи модуляції та демодуляції сигналів є важливою частиною
сучасних систем обробки сигналів, побудова яких характеризується
додатковими вимогами до якості обробки сигналів та підвищеним рівнем
завадостійкості. Важливу роль у побудові таких систем відіграють нові
методи, моделі та інструменти, спрямовані на покращення якості обробки.
Сучасні системи обробки сигналів використовують різноманітні
аналогові та цифрові схеми модуляції. Наприклад, квадратурна PSK-
модуляція (фазова маніпуляція) є цифровою модуляцією і широко
використовується в системах зв'язку.
Демодуляція сигналів PSK може бути класифікована на фазовий
детектор (ФД) і демодуляцію на основі фільтрів. ФД має гіршу
продуктивність, ніж методи на основі фільтрів. Методи на основі фільтрів
можуть зменшити частоту помилок демодуляції, але вони мають
характерні проблеми узгодження, і не всі випадкові процеси мають
нормальний розподіл, що відповідає оптимальним умовам фільтрації.
В кваліфікаційній роботі пропонується підхід, який дозволяє знайти
компромісне рішення щодо простоти побудови демодулятора та високу
його якість, враховуючи природу стохастичного сигналу, що обробляється.
Зокрема, розглянуто найбільш загальний випадок обробки сигналів з
негаусовим шумом з використанням поліноміальної PSK обробки сигналів
на основі моментного критерію якості верхньої границі ймовірності
помилок та моментно-кумулянтного опису випадкової величини.
Результати, отримані в роботі, відрізняються від аналогічних
результатів, отриманих відомими методами. Запропоновано використання
поліноміальних правил ідентифікації та виявлення зашумленого сигналу та
визначення його бінарної форми.
Процес поліноміальної обробки сигналу змодельовано в середовищі
Matlab і представлено аналіз отриманих рішень.
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 5

РОЗДІЛ 1
СУЧАСНІ МЕТОДИ МОДУЛЯЦІЇ ТА ЇХ ПРАКТИЧНЕ
ЗАСТОСУВАННЯ

1.1. Модуляція сигналів та їх застосування при передачі даних
Спілкування - одне з основних захоплень людини. У повсякденному
житті ми спілкуємося з багатьма людьми і спілкуємося самі з собою за
допомогою таких засобів, як телебачення, радіо, Інтернет, газети тощо. Ці
засоби слугують джерелом комунікації. До електронних засобів зв'язку
належать телебачення, радіо та Інтернет. Для того щоб передати сигнал з
одного місця в інше, його необхідно підсилити. Завдяки підсиленню
сигнал передається на велику відстань.
Зв'язок - це процес обміну (двосторонній зв'язок) або передачі
(односторонній зв'язок) інформації від однієї людини до іншої. Базова
електронна система зв'язку складається з таких компонентів: передавача,
приймача і каналу зв'язку.
Передавач - це група електронних схем, призначених для
перетворення інформації на сигнали і передавання їх заданим середовищем
зв'язку.
Приймач - це група електронних схем, призначених для
перетворення сигналів у вихідну інформацію.
Канал зв'язку - це середовище, призначене для передавання
електронних сигналів з одного місця в інше.
Модуляція - це процес зміни параметрів несучої відповідно до
сигналу повідомлення. Методи модуляції використовують для зміни
характеристик сигналу. Здебільшого існує два види модуляції: аналогова
та цифрова.
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 6

Модуляція використовується для передавання даних та інформації
каналом зв'язку. Модуляція - це зміна параметрів носія сигналу відповідно
до функції відображуваного повідомлення.
Прикладами можуть слугувати постійні струми, які використовують
у дротовому телеграфуванні, високочастотні струми, які застосовують у
телефонії, а також зміна параметрів радіосигналів, які широко
використовують у радіорелейному, супутниковому та мобільному зв'язку.
Модульованими параметрами є амплітуда, фаза і частота
радіосигналу. Крім того, існують й інші види модуляції, наприклад
імпульсна, односмугова тощо.
Аналогова модуляція.
Аналогова модуляція використовує аналоговий сигнал
(синусоїдальний) як несучий сигнал, який модулює повідомлення або
сигнал даних. Загальна функція синусоїдального сигналу показана на
рисунку нижче, де модуляція здійснюється шляхом зміни трьох
параметрів: амплітуди, частоти і фази (рис. 1.1), де:
• амплітудна модуляція (AM);
• частотна модуляція (FM);
• фазова модуляція (РМ).

Рис.1.1. Представлення моделі радіосигналу.
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 7

Амплітудна модуляція.
Амплітудна модуляція була розроблена на початку двадцятого
століття та є однією з перших технік модуляції, що використовується для
передачі голосу по радіо. Цей метод зберігає свою актуальність у сучасних
електронних засобах зв'язку. Амплітудна модуляція використовується в
електронному спілкуванні, де амплітуда несучого сигналу змінюється
відповідно до сигналу повідомлення, утримуючи фазу і частоту на
постійному рівні.
Частотна модуляція.
Щодо модуляції частоти, у цьому випадку частота несучого сигналу
змінюється відповідно до сигналу повідомлення, залишаючи амплітуду і
фазу незмінними. Цей вид модуляції широко використовується в різних
областях, таких як радари, радіо- і телеметрія, сейсмічна розвідка та
моніторинг.
Частотна модуляція виявляє високу стійкість до аддитивного шуму,
що робить її ефективною для передачі сигналів у затребуваних
середовищах. Частотна модуляція широко використовується для трансляції
аудіосигналів, оскільки дозволяє високу якість звуку та відтворення
музики.
Порівняно з іншими методами модуляції, частотна модуляція
дозволяє зменшити вплив шуму на якість передачі сигналу. Цей вид
модуляції забезпечує високу пропускну здатність, що дозволяє передавати
широкосмугові сигнали, такі як відео, з високою якістю.
Разом з тим, частотна модуляція характеризується високими
вимогами до пропускної здатності для ефективної передачі сигналів. Це
може створювати проблеми при обмежених ресурсах передавальних
систем. Фільтрація та демодуляція сигналу можуть виявитися складними
завданнями, особливо при наявності шуму та інтерференції. Частотна
модуляція може бути більш вразливою до імпульсних завад, таких як
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 8

спалахів або раптових змін інтенсивності сигналу. Окрім того, такий вид
модуляції характризується складністю реалізації на високих частотах.
Передача сигналів на високих частотах може вимагати використання
дорогого обладнання та більш ефективних методів компенсації втрат
сигналу.
Незважаючи на ці недоліки, частотна модуляція залишається
важливим методом для передачі інформації в різних сферах, таких як
телебачення, радіо та інші форми зв'язку.
Фазова модуляція.
Фазова модуляція, що представляє собою зміну фази несучого
сигналу залежно від сигналу повідомлення, також впливає на частоту.
Зазвичай цей тип модуляції використовується для передачі хвиль і є
ключовою частиною багатьох схем кодування цифрової передачі. Фазова
модуляція використовується у технологіях, таких як GSM, WiFi та
супутникове телебачення.
Фазова модуляція виявляє високу стійкість до аддитивного шуму, що
робить її ефективною для систем з великим рівнем шуму. У порівнянні з
іншими методами модуляції, фазова модуляція може використовувати
просте обладнання для реалізації. Фазова модуляція особливо ефективна
для передачі дискретних сигналів та цифрових даних. Вона широко
використовується у телекомунікаціях для передачі даних в рамках систем
зв'язку, таких як супутникове телебачення та мобільні мережі.
Разом з тим, фазова модуляція може вимагати великої пропускної
здатності, щоб передати високочастотні сигнали, що може бути важким
завданням. При наявності шумів чи інтерференції фазова модуляція може
бути менш стійкою, особливо при передачі сигналів на великі відстані.
Реалізація фазової модуляції може вимагати великої кількості обладнання
та комплексних алгоритмів демодуляції.
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 9

На рис.1.2 показано часове представлення різновидів аналогової
модуляції, а саме носійної частоти (а), інформаційного повідомлення (b),
реалізації АМ (с), та ЧМ і ФМ (d).

Рис.1.2. Часове представлення різних видів аналогової модуляції

Аналогова модуляція чутлива до шумів. Коли шум потрапляє в
систему, він накопичується і переноситься на кінцевий приймач. Тому цей
недолік може бути усунутий за допомогою цифрових методів модуляції.
Цифрова модуляція сигналів - це процес представлення цифрової
інформації в аналоговому сигналі. В цьому процесі цифрові дані
перетворюються в аналоговий сигнал, який може бути переданий через
канал передачі для подальшого відтворення чи обробки.
Основна ідея цифрової модуляції полягає в тому, що цифрові дані,
які можуть приймати два стани (0 і 1), кодуються в аналоговий сигнал,
який може набувати багато значень в залежності від властивостей
модуляції (амплітуда, частота, фаза тощо).
Існує кілька видів цифрової модуляції.
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 10

Амплітудна маніпуляція (Amplitude Shift Keying, ASK) - амплітуда
несучого сигналу змінюється відповідно до цифрових даних (рис.1.3).

Рис.1.3. Часове представлення ASK.

Частотна маніпуляція (Frequency Shift Keying, FSK) - частота
несучого сигналу змінюється відповідно до цифрових даних (рис.1.4).
Фазова маніпуляція (Phase Shift Keying, PSK) - фаза несучого сигналу
змінюється відповідно до цифрових даних (рис.1.4).

Рис.1.4. Часове представлення різновидів цифрової модуляції.
Квадратурна амплітудна маніпуляція (Quadrature Amplitude
Modulation, QAM) - одночасне зміщення амплітуди і фази для кодування
цифрової інформації.
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум.
Підпис Дата 11

QAM використовує дві або більше амплітуди і фази для кодування
бітів. Це означає, що кожен символ в QAM представляє комбінацію
амплітуди та фази. QAM може мати різноманіття комбінацій амплітуд та
фаз для представлення бітів. Наприклад, у QAM16 (16-QAM) є 16 різних
комбінацій, а у QAM64 (64-QAM) - 64 комбінації. QAM дозволяє
передавати більше бітів за один символ порівняно з іншими методами
модуляції, такими як ASK чи FSK, що робить його ефективним для
використання пропускної здатності. QAM широко використовується в
цифрових комунікаціях, зокрема в кабельному телебаченні, цифровому
супутниковому телебаченні, Wi-Fi мережах та інших системах передачі
даних. Здатність QAM адаптуватися до змін у каналі зв'язку робить його
ефективним для роботи в різних умовах передачі даних.
Разом з тим, за великої кількості комбінацій QAM може бути
вразливим до помилок в передачі сигналу, особливо при наявності шуму
чи інтерференції.
Таким чином, цифрова модуляція використовується у багатьох
аспектах телекомунікацій, включаючи мобільні мережі, бездротові зв'язки,
супутникове та кабельне телебачення, комп'ютерні мережі та ін.
Окрім терміну «модуляція» для цифрової форми передачі даних
використовують такий термін, як «маніпуляція». Маніпуляція вказує на
зміну параметра, який приймає бінарні дискретні значення. Маніпуляція
пов'язана зі зміною параметра відповідно до бінарної інформації. Це може
включати в себе зміну амплітуди, частоти, фази тощо, але зазвичай зміна
відбувається між двома дискретними станами.
Проекти, що ґрунтуються на маніпуляції, охоплюють різноманітні
області передачі даних, такі як Bluetooth, GSM, GPS, RFID, Mobile, Ethernet
і інші.
Під час отримання сигналу відбувається зворотній процес
перетворення сигналу, який має назву як демодуляція і спрямований на
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 12

відокремлення інформаційного сигналу від носія. Для здійснення
модуляції та демодуляції використовуються спеціальні пристрої, такі як
модулятори та демодулятори. Також розглядається пристрій, відомий як
модем, який конвертує кодову послідовність в електричний сигнал під час
модуляції, а також виконує обернений процес, перетворюючи електричний
сигнал назад в кодову послідовність під час демодуляції.
Один із прикладів використання цифрових методів демодуляції для
створення сучасних цифрових систем обробки даних - навігаційний
приймач спутникових систем ГЛОНАСС/GPS (рис.1.5.)

Рис.1.5. Навігаційний приймач спутникових систем ГЛОНАСС/GPS

Демодулятор цифрових сигналів — це пристрій чи програмне
забезпечення, яке здійснює процес демодуляції, тобто реалізує вилучення
інформаційного сигналу з цифрового сигналу, що був раніше
модульований для передачі або зберігання даних. Демодулятор
перетворює цифровий сигнал, який може бути змінений частотою, фазою
або іншими параметрами, на оригінальний інформаційний сигнал у вигляді
бінарного потоку «0» та «1». Демодулятори грають важливу роль у
бездротових системах зв'язку, супутниковому та кабельному телебаченні,
радіозв'язку, а також в інших системах передачі та прийому цифрових
сигналів.
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис
Дата 13

Розглянемо особливості деяких методів модуляції/демодуляції
цифрових систем передавання інформації та виявимо загальні
закономірності й відмінності в реалізації цих методів.

1.2. Аналіз різновидів цифрової модуляції та їх застосування

Розглянемо детальніше різновиди цифрової модуляції з метою
виділення основних позитивних характеристик і їх практичного
застосування.
При реалізації амплітудній модуляції (ASK - Amplitude Shift Keying)
пiд впливом інформаційного сигналу змінюється параметр амплiтуди
носійної, але частота i фаза залишаються не змінними:

Енергія сигналу, яка розповсюджується по каналах звяку при застосуванні
даного виду модуляції, описується спектральними характеристиками,
представленими на рис.1.6.

Рис.1.6. Спектральне представлення реалізації ASK.

Як видно з рисунка, енергетична складова сигналу буде розподілена
в околиці носійної частоти f0 і залежати від шпаруватості цифрового
сигналу.
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн.
Арк. № докум. Підпис Дата 14

При частотній модуляції (FSK - Frequency Shift Keying) пiд впливом
інформаційного цифрового сингалу змінюється частота носійної, а
амплітуда i фаза залишаються не змінними. Математична модель такого
сигналу зображена в (1.1)
sm(t) = Асcos[2πfct + 2πfmt] (1.1)
і описується амлітудою і частотою носійної відповідно - Ас, fc, а також
частотою інформаційного повідомлення fm. Спектральне представлення
такого виду модуляції представлено на ис.1.7, де видно розширення
спектру BW у порівнянні з реалізацією ASK.

Рис.1.7. Спектральне представлення реалізації FSK.

При фазовiй модуляцiї (PSK - Phase Shift Keying) пiд впливом
інформаційного цифрового сигналу змінюється фаза носійної і він має
наступний вид (1.2):
sm(t) = g(t)cos[2πfct + φm(t)], (1.2)
де g(t) — обвідна сигналу, φm(t) - модулюючий сигнал, fc — носійна
сигналу.
Спектральне представлення даного виду модуляції буде подібним до
рис.1.7.
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 15

Як вже відмічалося, одним із варіантів фазової маніпуляції є
квадратурно-фазова маніпуляція sm (t) , яку можна представити у вигляді
ортонормованих двох сигналів Y1 і Y2:
,
де
.
Такі сигнали також представляють у вигляді так званих
«фазових сузірь», представлених на рис.1.8. Таке представлення дає
можливість наглядно уявити всі можливі варіанти зміни сигналу, побачити
відстань між різними позиціями і скласти уявлення про швидкодію і
завадостійкість модуляції.

Двійкова фазова Квадратурна фазова Восьмирічна фазова
маніпуляція (BPSK) маніпуляція (QPSK) маніпуляція (8-PSK)
Рис.1.8. Фазові сузірря сигналів з фазовою маніпуляцією.

Завадостійкість в цифровій модуляції вказує на здатність системи
передачі сигналів (зокрема, модульованих цифрових сигналів)
витримувати вплив різних видів завад або спотворень та продовжувати
нормальну роботу при їх наявності. Це важливий аспект в розвитку систем
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 16

зв'язку, де сигнали можуть бути піддані різноманітним впливам у процесі
передачі через канал зв'язку.
Основні фактори, які можуть спричиняти завади в цифровій
модуляції, включають:
- введення випадкових сигналів часто спричиняє шум, що може
призводити до помилок у прийому сигналу;
- втрати сигналу або його спотворення під час передачі через канал
можуть призводити до помилок у даних;
- електромагнітні завади від інших пристроїв чи джерел можуть
впливати на якість сигналу;
- поступове зменшення амплітуди сигналу при передачі на великі
відстані.
Для покращення завадостійкості використовують різні техніки в
цифрових системах, такі як кодування з помилками, корекція помилок,
використання антен та алгоритми, спрямовані на зменшення впливу шуму
та інших завад. Вибір конкретних методів залежить від властивостей
каналу зв'язку та вимог до системи передачі даних.
Для оцінки якості передачі даних вводять такий параметр, як Bit
Error Rate (BER) або відсоток помилкових бітів. BER - це метрика, яка
визначає відношення кількості помилкових бітів до загальної кількості
переданих бітів у цифровій комунікаційній системі. BER вимірює якість
передачі даних, вказуючи, яка частина переданих бітів має помилки.
BER виражається у відсотках або у вигляді десяткового дробу
(наприклад, 1E-6). Чим менше значення BER, тим краща якість передачі
даних. Наприклад, якщо BER дорівнює 1%, це означає, що 1% переданих
бітів містять помилки.
Для визначення BER використовують тестові дані, відомі як
"золотий стандарт" (зразок правильних даних), і порівнюють їх з
отриманими даними під час передачі. BER є важливим показником
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 17

ефективності цифрових комунікаційних систем і використовується для
оцінки, наскільки добре система впоралася з завадами та шумом під час
передачі даних.
На рис.1.9. продемонстровані залежності BER для різних видів
сигналів при їх детектуванні від відношення S/N.

Рис.1.9. Значення BER детектування при когерентному прийомі від
відношення S/N.

Як видно з рисунка, найбільш завадостійкою модуляцією є
BPSK/QPSK. Разом з тим, такий вид модуляції характеризується низькою
швидкодією.
Визначимо ймовірність помилки виявлення/детектування сигналів з
енергією Eb при бінарній фазовій модуляції в каналі звязку з адитивним
нормальним шумом:
,
де
.
Таким чином видно, що при зростанні потужності шуму N0 в каналі
зв’язку ймовірність помилкового виявлення/детектування сигналів також
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 18

зростає, що потребує застосування спеціальних методів підвищення
завадостійкого їх відтворення.

1.3. Формування PSK сигналів та методи їх демодуляції
Для демонстрації нових статистичних підходів обробки сигналів
розглянемо базову двійкову фазову маніпуляцію РSK та особливості її
реалізації.
Двійкова фазова модуляція (Binary Phase Shift Keying, BPSK) - це
метод цифрової модуляції, де передавальна частота змінюється між двома
значеннями, щоб представляти дві різні цифрові стани (0 і 1). Це означає,
що для передачі біта "0" може використовуватися одна фаза частоти
сигналу, а для передачі біта "1" - інша.
У BРSK існує одна носійна з різним двома фазамию Під час передачі
біта, передавальна фаза змінюється згідно з бітом, який потрібно передати.
Цей метод забезпечує простий спосіб передачі цифрових даних та є одним
із видів частотної модуляції (рис.1.10).

Рис.1.10. Двійкова фазова модуляція
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 19

Розглянемо приклад отримання BFSK сигналів, зображений на
рис.1.11, де сформований інформаційний сигнал подається на балансний
модулятор.

Рис.1.11. Формувач BFSK сигналу

Реалізація такого балансного модулятора показана на рис.1.12.

Рис.1.12. Реалізація балансного модулятора BFSK сигналу.
Інформаційний сигнал приймає два значення «0» і «1».
Квадратурна і синфазна компоненти BFSK сигналу
запишуться як:

Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум.
Підпис Дата 20

Тоді BFSK отримає вигляд:

а структурну схему модулятора можна спростити, як показано на
рис.1.13.

Рис.1.13. Формувач BPSK сигналу.

Такий вид модуляції характеризується високою завадостійкістю і
простою реалізацією.

Основною метою даної роботи є розробка методів і засобів
демодуляції цифрових сигналів. Схеми демодуляції BPSK можна
умовно поділити на дві категорії: демодуляція на основі фазових
детекторів і демодуляція на основі фільтрів. Перші розробки
демодуляторів BPSK були засновані на фазових детекторах, тому цю
категорію розглядають першою.
Модулятори на основі фазового детектора обробляють PSK-
сигнали, як звичайні ФМ-сигнали з двійковою модуляцією. Блок-схему
такого демодулятора наведено на рис. 1.14. Спочатку сигнал
фільтрується для придушення позасмугових випромінювань, потім
сигнал обмежується для видалення паразитної амплітудної модуляції.
Обмежений сигнал піддається фазовому детектуванню. Виявлений
сигнал піддається низькочастотній фільтрації для придушення шумових
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 21

складових на частотах, що перевищують швидкість передавання даних,
і, нарешті, схема обмежувача (компаратор) перетворює позитивні
напруги на рівні логічної 1, а негативні - на рівні логічного 0.

Рис. 1.14. Структурна схема BPSK демодулятора на основі фазового
детектора

Фазові детектори є субоптимальними в тому сенсі, що їхні
характеристики виявлення сигналу гірші за теоретично можливі. Щоб
переконатися в цьому, розглянемо спектр типового BPSK -сигналу. Як
показано на рис. 1.15, практично вся енергія сигналу зосереджена в
смузі, ширина якої дорівнює подвоєній швидкості передачі.
На рис. 1.16 показано спектр у присутності завади. Сигнали завад
на частоті fА пригнічуються, оскільки вони не потрапляють в смугу
пропускання вхідного фільтра фазового детектора. Сигнал завад на
частоті fв пригнічується обмежувачем, що призводить до появи сигналу
максимального рівня. Однак сигнал перешкоди на частоті fC має вищий
рівень і перебуває в смузі пропускання вхідного фільтра, що робить
демодуляцію корисного сигналу повністю неможливою.
Вплив широкосмугової шумової перешкоди складніше показати
графічно. Демодуляція переривається, коли огинаюча шуму досягає
значення амплітуди PSK-сигналу.
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн.
Арк. № докум. Підпис Дата 22

Рис.1.15. Спектр бінарного РSK сигналу

Рис.1.16. Спектр РSK сигналу з позасмуговими випромінюваннями

Таким чином, застосування демодуляторів BPSK сигналів є досить
чутливим до рівня завад, які можуть виникнути в каналах звязку.
Блок-схема найпростішого фазового демодулятора для когерентного
РSK сигналу показана на рис.1.17.

Рис.1.17. Структурна схема демодулятора PSK сигналів.

В загальному випадку реалізація демодулятора PSK сигналів в
умовах дії завад, відмінних від білого шуму, є набагато складнішою через
підбір характеристик фільтрів.
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 23

Ефективність і якість BPSK модулятора в умовах завад залежать від
ряду факторів. Наприклад, SNR є важливим фактором для ефективності
BPSK. Якщо SNR велике, то ймовірність помилок при прийманні буде
низькою, і ефективність буде високою. Однак у ситуаціях низького SNR
можуть виникати помилки при демодуляції, що призведе до втрати якості.
Завади від шуму та інтерференції можуть спричинити фазові зсуви,
що може призвести до помилок у визначенні бітів. Додаткові заходи, такі
як використання кодування помилок, можуть поліпшити якість передачі в
умовах завад.
У бездротових каналах може виникати множинне розсіювання та
інші ефекти. Довжина каналу може впливати на якість передачі сигналу.
Також властивості антени впливають на характеристики передачі сигналу.
Таким чином, BPSK може бути ефективним при деяких умовах
завад, але в умовах великої інтерференції, високого рівня шуму або
низького SNR, може збільшуватися ймовірність помилок.
Дія негаусових завад на процес демодуляції може призвести до
збільшення ймовірності помилок при визначенні бітів сигналу. Негаусові
завади включають різноманітні типи шуму та інтерференції, які можуть
впливати на фазу чи амплітуду сигналу, що передається.
Такі типи завад можуть бути особливо проблематичними для BPSK,
оскільки BPSK використовує фазовий зсув для кодування бітів. Якщо
негаусові завади спричиняють випадкові зміни фази сигналу, то це може
призвести до неправильного визначення переданого біта при демодуляції.
Одним із методів боротьби з негаусовими завадами є використання
корекції помилок. Також можуть застосовуватися методи фільтрації та
обробки сигналу для зменшення впливу завад. Однак, враховуючи
складність негаусових завад, повністю їх усунути може бути важливим
завданням.

Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк.
№ докум. Підпис Дата 24

1.4. Статистичні методи обробки сигналів та їх застосування для
демодуляції сигналів
Модернізація систем демодуляції PSK-сигналів ґрунтується на
додаванні пристрою, який після демодуляції зашумленого сигналу
визначає реалізацію логічного "0" або "1" на основі статистичного
опрацювання даних, що дає змогу максимально врахувати випадковий
характер оброблюваного сигналу.
Цей підхід ґрунтується на теорії перевірки статистичних гіпотез і
використанні ймовірнісних критеріїв якості. Розглянемо ймовірнісний
підхід, заснований на використанні щільності розподілу випадкових
процесів та ряду статистичних критеріїв якості для обробки даних.

Критерій Байєса
Статистичний критерій Байєса — це метод прийняття рішень, що
базується на теорії ймовірностей та статистиці. Використовуючи критерій
Байєса, можна приймати рішення в умовах невизначеності, враховуючи
апріорні знання та нові емпіричні дані.
В контексті задач виявлення сигналів, статистичний критерій Байєса
може бути використаний для прийняття рішень щодо наявності сигналу в
заданому шумовому середовищі. Він враховує апріорні ймовірності
(попередні знання про наявність сигналу та шуму) та ймовірності
спостережень.
Для рішення задач виявлення сигналу на фоні завад середній ризик
або середню функцію ризику для двох станів (s0 – стан дії лише завада, s1
– стан дії корисного сигналу на фоні завади) можна записати як:
R = p0r0 + p1r1 ,
де p0 і p1 – ймовірності станів s0 і s1 відповідно,
r0 = Π01P{γ1 / s0}= Π01F – умовний ризик для стану s0 ,
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк.
№ докум. Підпис Дата 25

r1 = Π10P{γ0 / s1}= Π10D0 – умовний ризик для стану s1 ,
Π01 і Π10 – втрати при хибній тривозі й при пропуску сигналу
відповідно.
При підстановці в R = p0r0 + p1r1 визначені ймовірності хибної
тривоги F і пропуску сигналу D0 :
F = P{γ1 / s0}= P{(y1,..., yn )∈G1 / s0}= ∫ ... ∫Wn (y1,..., yn / s0 )dy1...dyn ,
G1
D0 = P{γ0 / s1}=1−D =1− P{γ1 / s1}=1− P{(y1,..., yn )∈G1 / s1}=
=1− ∫ ... ∫Wn (y1,..., yn / s1)dy1...dyn ,
G1
одержимо значення для обрахунку середньої функції ризику:
R = p0Π01∫ ... ∫Wn (y1,..., yn / s0 )dy1... dyn + p1Π10 −
G1
− p1Π10 ∫ ... ∫Wn (y1,..., yn / s1)dy1...dyn =
G1
= p1Π10 − ∫ ... ∫ [p1Π10Wn (y1,..., yn / s1)− p0Π01Wn (y1,..., yn / s0 ) ] dy1...dyn .
G1
Оскільки p1Π10 – постійна величина, найменше значення середнього
ризику буде тоді, коли підінтегральна функція буде ненегативною. Така
умова виконується, якщо в критичну область G1 простору вибірок
включаються тільки ті точки, для яких:
p1Π10Wn (y1,..., yn / s1)≥ p0Π01Wn (y1,..., yn / s0 ),
або
p1Wn (y1,..., yn / s1) Π
≥ 01 .
p0Wn (y1,..., yn / s0 ) Π10
Отже, сформулюємо оптимальне правило прийняття рішення:
приймається рішення γ1 про наявність сигналу в спостережуваному
процесі, якщо для вибірки виконується вище наведена нерівність, і
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 26

приймається рішення γ0 про відсутність корисного сигналу, якщо ця
нерівність не виконується.
Частину цієї нерівності
p1Wn (y1,..., yn / s1)
p0Wn (y1,..., yn / s0 )
ще називають відношенням правдоподібності.
Алгоритм прийняття рішення зводиться до обчислення відношення
правдоподібності та порівняння його з певним порогом:
C Π
= 01 .
Π10
Величина, яка дорівнює відношенню функцій правдоподібності,
називають відношенням правдоподібності:
l Wn (y1,..., yn / s1)= .
Wn (y1,..., yn / s0 )
Таким чином, при застосуванні критерія мінімуму середнього ризику
алгоритм прийняття рішення про реалізацію відповідного стану системи
зводиться до обчислення відношення правдоподібності та порівняння його
значення з порогом:
l Wn (y1,..., yn / s
= 1) p
≥ 0Π01
( .
Wn y1,..., yn / s0 ) p1Π10
При виконанні нерівності приймається рішення про наявність
корисного сигналу у вибірці, яка обробляється, в іншому разі ухвалюється
рішення про відсутність корисного сигналу.

Критерій максимальної правдоподібності
Критерій максимальної правдоподібності використовується тоді,
якщо немає інформації про функцію втрат та про апріорні ймовірності
станів. За цим критерієм при спостереженні вибірки (y1,..., yn )
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 27

приймається одна з гіпотез, у якої функція правдоподібності вибірки
відповідає більшому значенню:
– якщо Wn (y1,..., yn / s1) ≥ Wn (y1,..., yn / s0 ) , приймається рішення γ1
про наявність у спостережуваній вибірці корисного сигналу,
– якщо Wn (y1,..., yn / s1)< Wn (y1,..., yn / s0 ), приймається рішення γ0
про відсутність корисного сигналу.
Отже, приймається рішення про наявність корисного сигналу, якщо
буде виконана нерівність:
l(y1,..., y ) Wn (y1,..., yn / s
= 1)
n Wn (y1,..., yn / s0 )
≥1.
Якщо ця нерівність не виконується, приймається рішення про
відсутність сигналу. Отже, перевірки простої гіпотези зводиться до
обчислення відношення правдоподібності й порівняння його з одиницею.
Наведене правило – окремий випадок використання критерію максимуму
апостеріорної ймовірності, коли стани s0 і s1 рівноймовірні, тобто
p1 = p0 = 0,5 .

Критерій Неймана – Пірсона
Інший підхід до побудови правила прийняття рішення при
відсутності апріорної інформації про втрати й імовірності станів визначає
критерій Неймана –Пірсона.
Критерій Неймана-Пірсона — це статистичний тест, який
використовується для прийняття рішень в статистичних задачах, зокрема в
задачах виявлення сигналу в шумовому середовищі. Цей критерій
базується на використанні ймовірності помилок першого і другого роду. В
основі критерію Неймана-Пірсона лежить ідея визначення критичної
області, при перетині якої приймається рішення про наявність або
відсутність сигналу. Критерій оптимізований так, щоб мінімізувати
ймовірність помилок при фіксованій ймовірності помилок першого роду.
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 28

За цим критерієм обирається таке правило, яке забезпечує
мінімально можливу ймовірність пропуску сигналу (іншими словами,
забезпечує максимум ймовірності правильного виявлення) за умови, що
ймовірність хибної тривоги не більше заданої величини.
Зазначеному правилу відповідає критична область G1 (при
потраплянні в яку ухвалюється рішення про наявність сигналу), що
включає тільки ті точки, для яких виконується нерівність:
l(y ,..., y ) Wn (y1,..., yn / s )
1 n = 1 ≥ C ,
Wn (y1,..., yn / s0 )
де C – деякий поріг.
Якщо для прийнятої вибірки (y1,..., yn ) виконується ця нерівність,
приймається рішення про наявність корисного сигналу.
Поріг C вибирається з умови, що ймовірність хибної тривоги не
повинна перевищувати заданої величини:
∞
P{l(y1,..., yn )≥ C / s0}= ∫W10 (y)dy = Fз ,
C
де Fз – задана ймовірність хибної тривоги.
Відповідно до критерію Неймана – Пірсона, правило ухвалення
рішення також зводиться до порівняння відношення правдоподібності з
порогом.
При цьому ймовірність пропуску корисного сигналу визначається як:
C
D0 = P{(y1,..., yn )∈G0 / s1}= P{l (y1,..., yn ) < C / s1}= ∫W11(y)dy.
0
Критерій Неймана-Пірсона дозволяє досягти балансу між
ймовірністю помилок першого і другого роду, а отже, ефективно
використовується для задач виявлення сигналів в шумових умовах.
Існують і інші статистичні критерії якості прийняття рішення, але їх
розгляд виходить за рамки даного кваліфікаційного дослідження.
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 29

Таким чином, при застосуванні статистичних методів обробки
сигналів можна врахувати вплив різноманітних завад на корисні сигнали,
які обробляються, і покращити роботу демодуляторів для обробки
бінарних сигналів.

1.5. Висновки
В даному розділі розглянуті актуальні задачі передачі даних за
допомогою цифрової модуляції, в основі якої лежить застосування BFSK
та BPSK сигналів.
Основою якісного прийому таких сигналів в зашумленому каналі
зв’язку лежить здатність демодуляторів протидіяти негативному впливу
завад та можливість якісно відтворювати сигнали. Такий процес залежить
від багатьох фкторів, в тому числі від статистичних властивостей
завадового середовища.
В роботі пропонується покращити роботу таких демодуляторів за
рахунок додавання пристроїв з можливістю статистичної обробки сигналів.
Разом з тим, застосування традиційних статистичних методів є
неможливим, оскільки в більшості випадків в каналах зв’язку діють
негаусові завади, як найбільш загальні, що суттєво ускладнює
математичний апарат і алгоритмічні рішення.
Таким чином, в роботі пропонується інший підхід до поставленої
статистичної задачі виявлення/класифікації модульованих бінарних
сигналів на основі моментно-кумулянтного опису випадкових процесів та
застосуванні поліноміальних розв’язувальних правил, оптимальних по
моментному критерію якості.
Застосування додаткової статистичної обробки сигналів покращить
роботу розглянутих демодуляторів та підвищіть якість цифрової передачі
інформації.
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 30

РОЗДІЛ 2
НЕЛІНІЙНІ МЕТОДИ ОБРОБКИ СИГНАЛІВ ЗА МОМЕНТНИМ
КРИТЕРІЄМ ЯКОСТІ ПЕРЕВІРКИ СТАТИСТИЧНИХ ГІПОТЕЗ

Для синтезу поліноміального алгоритму виявлення сигналу на фоні
негаусових завад в даному розділі розглядається синтез поліноміальних
правил прийняття рішень (ППР), оптимальних за одним із моментних
критеріїв якості – верхньої границі помилок першого та другого роду.

2.1 Застосування відношення правдоподібності для побудови
розв’язувальних правил
У разі використання традиційного підходу до перевірки статистичної
гіпотези завдання зводиться до порівняння відношення правдоподібності з
деяким пороговим значенням, що обирається із заданого критерію якості.
Розглянемо альтернативний розв'язок цього завдання, за якого відношення
правдоподібності може бути представлено в іншому вигляді.
Нехай вибіркові значення x = {x1, . . . , xn} при гіпотезах H0 і H1 є
статистично незалежними величинами. Тоді щільність розподілу
незалежних випадкових величин дорівнює добутку n одновимірних
щільностей розподілу, тобто
n
Ρ(x Η k ) =∏Ρv (xv Η k ), k = 0,1.
v=1
Логарифм відношення правдоподібності для статистично незалежних
вибіркових значень можна записати у вигляді
Ρ(x Η ) n Ρ (x Η )
ln 1
( ) = ∑ ln v v 1
Ρ x Η 0 v=1 Ρv (xv Η 0 )
Нехай логарифм відношення правдоподібності при будь-яких v є
безперервною функцією для кожного xv. Згідно 1-ї теореми Вейєрштрасса
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис
Дата 31

про наближення функції, існують такі коефіцієнти kiv, при яких логарифм
відношення правдоподібності записується як:
Ρ(x Η ) ∞
ln v 1
( ) = k0v +∑ k i
iv xv , (2.1)
Ρ xv Η 0 i=1
а логарифм відношення правдоподібності для n незалежних і неоднаково
розподілених випадкових величин прийме вид
Ρ(x Η1 ) n ∞
ln = k + k xi ,
Ρ(x Η ) 0 ∑∑ iv v
0 v=1 i=1
n
де k0 =∑ k0v .
v=1
Таким чином існують такі коефіцієнти kiv, при яких розв’язувальне
правило (РП) для перевірки гіпотез запишеться у вигляді ряду
Η1
n ∞
k +∑∑ k xi >
0 iv v 0 .
v=1 i=1 <
Η 0
При застосуванні не нескінченного ряду, а поліному кінцевого
степеня s РП запишеться в наступному вигляді
Η1
n s >
k0 +∑∑ k i
iv xv 0 . (2.2)
v=1 i=1 <
Η 0
Для однаково розподілених вибіркових значеннь РП буде
відрізняється від представленого в (2.2). Тоді коефіцієнти ki не залежать
від вибіркових значень v і РП запишеться як:
Η1
∞ n >
k0 +∑ k ∑ xi
i v 0 .
i=1 v=1 <
Η 0
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн.
Арк. № докум. Підпис Дата 32

Отже, при застосуванні поліному кінцевого степеня s РП
представиться як:
H1
s n
l (xns ) i >
= k0 +∑ki∑ xv 0 . (2.3)
i=1 v=1 <
H0
Тоді можемо назвати стохастичний поліном виду (2.2) поліномом 1-
го типу степеня s, а (2.3) - стохастичним поліном 2-го типу степеня s.
Зауважемо, що відмінність представлених поліномів від традиційних
полягає в тому, що параметр поліному xv є випадковою величиною.
Зазначимо, що існують коефіцієнти k0 і kiv, які призводять до
мінімізації заданого імовірнісного критерію якості. Тоді можна зробити
висновок про те, що невідомі коефіцієнти необхідно знаходити за умови
мінімізації заданого статистичного імовірнісного критерію якості.
Разом з тим, знайти такі коефіцієнти k0 і kiv при застосуванні такого
підходу неможливо. При застосуванні довільних імовірнісних критеріїв
якості перевірки статистичних гіпотез необхідно відшукати ймовірності
помилок першого і другого роду α і β РП. Тоді необхідно відшукати
щільності спільного розподілу випадкових величин для статистичних
гіпотез. В загальному випадку це зробити не можливо. Таким чином,
потрібно запропонувати і застосовувати нові моментні критерії якості
перевірки статистичних гіпотез, які добре себе проявили для подібних
задач виявлення сигналів на фоні завад.
Моментні критерії за своєю суттю є простішими критеріями, ніж
імовірнісні. В основі цих критеріїв лежать не ймовірності помилок, а
простіші числові ймовірнісні властивості функції прийняття рішення
(правила прийняття рішення), тобто функції математичного очікування і
дисперсії функції прийняття рішення за заданих гіпотези та альтернативи.
Ці числові властивості є функціями прийняття рішення, оскільки різні
функції прийняття рішення мають різні значення числових властивостей.
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 33

Тому моментний критерій, як функція числових характеристик, у
загальному випадку також є функцією прийняття рішення. Це означає, що
оптимальне правило прийняття рішення, отримане з умови мінімуму
моментного критерію, порівнює відношення правдоподібності з тим самим
пороговим значенням, отриманим із добре відомих ймовірнисних критеріїв
якості.

2.2. Синтез моментного критерію якості верхньої границі
ймовірностей помилок
Нехай на вході системи обробки сигналу спостерігається випадкова
величина ξ у вигляді адитивної суміші корисного постійного сигналу a та
негаусової завади η , яка характеризується нульовим математичним
очікуванням:
ξ = a +η .
Нехай з випадкового сигналу ξ зроблена вибірка x = {x1, x2 ,...xn}
об'ємом n . За результатами обробки необхідно прийняти рішення про
прийняття гіпотези H1, коли спостерігається корисний сигнал виду
ξ = a +η , або гіпотези H0 , коли приймається тільки завада - ξ =η .
Для побудови такого РП скористаємося моментним критерієм якості
верхньої границі ймовірностей помилок, або скорочено критерієм Ku, та
приведемо його коротке обґрунтування.
Нехай РП f (x) про розрізнення гіпотези H1 та альтернативи H0 має
вигляд
H1
>
f (x) 
= γ (x)− k0 0 , (2.4)
<
H 0
де γ (x) - деяка функція від вибіркових значень x , k0 - константа, яка
обрана з умови
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 34

∞
M 0 = E[ f (x)/ H 0 ] = ∫ f (x)p(x H 0 )Πdx < 0 ,
−∞
∞
M1 = E[ f (x)/ H ] f (x)p(x1 = ∫ H1 )Πdx ≥ 0 , (2.5)
−∞
де M 0 й M1 - математичне очікування розв’язувальної функції при
гіпотезах H0 і H1 відповідно.
Верхні границі ймовірностей помилок першого роду α (фіктивна
тривога) РП (2.4), відповідно до нерівності Чебишева, буде мати вигляд
α = P[ f (x) ≥ 0 / H 0 ] ≤ P[ ( G
f x)− M 0
0 ≥ −M 0 H 0 ]≤ 2 = α0 , (2.6)
M 0
∞
де G [ f (xi = ∫ )− M i ]2 p(x Hi )Πdx, i = 0,1 - дисперсія розв’язувальної
−∞
функції f (x) при гіпотезах Hi , i = 1,0 .
Аналогічно, верхні границі ймовірностей помилок другого роду β
РП (2.7) запишуться як

β = P[ f (x)< 0 / H1 ]≤ P[ f (x) − M1 > M 1 H1] G
≤ 1
M 2 = β0 (2.7)
1 .
У свою чергу математичне очікування РП (2.4) при гіпотезах H0 й
H1 мають вигляд відповідно M 0 = T0 − k0 , M1 = T1 − k0 , де T0 , T1 -
математичне очікування функції γ (x) PП (2.4) при гіпотезі й альтернативі
Таким чином, за допомогою нерівностей (2.6) і (2.7) встановлюється
верхня границя помилок першого й другого роду. В такому випадку
моментний критерій верхніх границь ймовірностей помилок запишеться як
G G
Φ = 0 1
2 + 2 . (2.8)
(E0 − k0 ) (E1 − k0 )
Якщо припустити, що константа k0 , що відіграє роль порога і
обирається як середнє значення між математичними очікуваннями
розв’язувальної функції, а саме
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 35

k 1
0 = − (E1 + E0 ), 2
то вираз (2.8) прийме остаточний вигляд
G +G
Φ = 1 0
2 . (2.9)
(E1 − E0 )
Оскільки РП представлено у вигляді функції (2.4), то таку функцію
також можна представити у вигляді стохастичного ряду, а при обмеженій
кількості членів ряду у вигляді стохастичного полінома кінцевого степені s
(2.2) або (2.3).
Тоді РП для незалежних й однаково розподілених вибіркових
значень має вигляд
H1
s n >
Λns (x
) = ∑ki∑ xi
v + k0 0 , (2.10)
i=1 v=1 <
H0
де невідомі коефіцієнти k0 задаються у вигляді
k 1
0 = − (E1(sn) + E0(sn) ), (2.11)
2
а коефіцієнти РП ki мають знаходитися з умови мінімуму критерію якості
(2.9).
З урахуванням (2.10) та (2.11) критерій верхніх границь
ймовірностей помилок або коротко критерій Kusn має вид
G
Ku = 1(sn) + G0(sn)
sn ( )2 , (2.12)
E1(sn) − E0(sn)
де Ei(sn) , Gi(sn) - математичне очікування та дисперсія РП (2.10), i = 0,1.
Ці значення залежать від кількості вибіркових значень n, степеня полінома
s і мають вид
s s
E0(sn) = n∑kiui , E1(sn) = n∑kimi ,
i=1 i=1
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 36

s s s s
G0(sn) = n∑∑kik j Fi, j (H 0 ) , G1(sn) = n∑∑kik j Fi, j (H1 ),
i=1 j=1 i=1 j=1
де Fi, j (H 0 ) , Fi, j (H1 ) – коррелянти розміром (i, j) при гіпотезі H0 та H1
відповідно, mi , ui – початкові моменти при гіпотезі H1 та H0 відповідно.
Для знаходження оптимальних коефіцієнтів ki РП (2.10)
скористаємося системою рівнянь (2.13), корні якої відповідають мінімуму
зазначеного критерію якості (2.12)
s
∑ k j [Fi, j (H 0 ) + Fi, j (H1 )]= mi − ui , i = 1, s . (2.13)
j=1
Для коефіцієнтів, які знайдені з наведеної системи алгебраїчних
рівнянь має місце наступна рівність
Isn = G1(sn) +G0(sn) = E1(sn) − E0(sn) ,
де Isn - кількість видобутої інформації про розрізнення гіпотез.
Показано, що величина, зворотна критерію (2.12), є величиною I sn ,
що також можна записати у вигляді
s
I 1
sn = = n k (m − u ) . (2.14)
Ku ∑ i i i
sn i=1
Показано, що мінімум помилок РП (2.10) відповідає мінімум
критерію (2.12) або максимум кількості видобутої інформації про
розрізнення гіпотез I sn (2.14). Для оцінки ефективності синтезованих
поліноміальних РП можна використати значення (2.14). Чим більше це
значення, тим менші ймовірності помилок першого й другого роду PП, а
відповідно, і більша ефективність виявлення сигналу на фоні завад.
На основі запропонованого статистичного підходу щодо виявлення
сигналів на фоні завад проведемо вдосконалення блоку демодуляції PSK
сигналів для отримання кращих характеристик його функціонування і
збільшення завадостійкості.
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 37

2.3. Поліноміальні алгоритми виявлення сигналів на фоні
негаусових завад

У математичній статистиці випадкові процеси можна описати
кількісно двома способами: шляхом установлення ймовірності настання
конкретної події та за допомогою більш грубих кількісних числових
властивостей випадкових величин, таких як математичне очікування
(перший початковий момент), дисперсія (другий початковий момент) і т.д.
Очевидно, що критерії вибору РП можуть бути засновані на конкретних
кількісних значеннях похибок їх функціонування.
В роботі пропонується синтез оптимальних алгоритмів детектування
постійних сигналів (як результат виявлення) на фоні негаусових завад,
оптимальних за моментним критерієм якості, а саме за критерім Ku, який
заснований на моментному і кумулянтному описі випадкових величин.
Розглянемо простий випадок, коли розглядається дві гіпотези Hi ,
i = 0,1:
Н0 —сигнал відсутній, спостерігається лише завада: ξv =η ,
Н1 — прийнятий сигнал a1: ξv = a +η ,
де a — корисний постійний сигнал, який необхідно виявити.
Для опису випадкових характристики досліджуваного процесу
скористаємося альтернативним підходом, який базується на моментно-
кумулятному описі. Тоді, почіткові моменти випадкової величини η
(завади) знаходяться з наступного виразу
mi = E(η i ), i =1, s.
Існує зв’язок між кумулянтами та кумулянтними коефіцієнтами в
наступному виді
i
χi = χ 2
2 γ i , i = 3, s,
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн.
Арк. № докум. Підпис Дата 38

де початкові моменти можна представити через кумулянтні коефіцієнти.
Визначимо початкові моменти завад до шостого порядку в
наступному виді:
u1 = 0 , u2 = χ 2 , u 3 / 2
3 = γ 3χ 2 , u4 = 3χ 2 , u =10γ χ 5 / 2
2 5 3 2 ,
u = (15 +10γ 2
6 3 )χ 3
2 .
Оскільки досліджується ще й адитивна суміш корисного сигналу та
завади, для розрахунків необхідно знайти початкові моменти випадкової
величини ξ при реалізації гіпотези H1.
Початкові моменти асиметричних 1-го типу 1-го виду негаусових
випадкових величин ξ при гіпотезі H r , r = 0, N мають вид:
m1 = q1/ 2χ 1/ 2
2 , m2 = (1+ q)χ 2 ,
m 1/ 2 3 / 2
3 = (3q + q + γ 3 )χ 3 / 2
2 ,
m4 = (3 + 6q + q 2 + 4q1/ 2γ 3 )χ 2
2 ,
m = (15q1/ 2 3 / 2 5 / 2
5 +10q + q + (10 +10q )γ )χ 5 / 2
3 2 ,
m = (15 + 45q +15q 2 + q3 + (60q1/ 2 + 20q3 / 2
6 )γ 3 +10γ 2 3
3 )χ 2 ,
a 2
де q = — відношення сигнал/завада по потужності при реалізації
χ 2
гипотези H1.
Центровані коррелянти при реалізації гіпотези H1 визначаються з
виразу F (1)
(i, j) = m(i+ j) − mi m j ,
а при реалізації гіпотези H 0 .
F (0)
(i, j) = u(i+ j) − ui u j .

На основі наведених виразів моментно-кумулянтного опису
випадкових величин необхідно синтезувати поліноміальні алгоритми
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 39

виявлення постійних сигналів на фоні асиметричних 1-го типу 1-го виду
негаусових завад.

Синтез поліноміальних РП та їх аналіз.
Представимо в загальному виді поліноміальне РП при степені
поліному s:
s n H1
Λ(X) = ∑ ki ∑ xi
v + k >
0 < 0 ,
sn i=1 v=1 H0
де невідомі коефіцієнти ki , k0 знаходяться згідно запропонованого
моментного критерію верхньої границі ймовірностей помилок.
Синтезуємо лінійне РП при степені s=1, де узагальнений вид
стохастичного поліному запишеться:
H1
n >
Λ(X) = k1 ∑ x + k 0
1n v 0
v=1 <
H0 .
З наведених виразів необхідно знайти невідомі коефіцієнти ki для РП.
Оптимальні коефіцієнти РП знаходяться з рішення системи алгебраїчних
рівнянь (2.13), а пороговий коефіцієнт k0 з (2.13).
В цьому випадку невідомий коефіцієнт k1 РП знаходяться з системи
рівнянь
k [F (1) (0)
1 (1,1) + F(1,1) ] = m1 −u1,
де після нескладних алгебраїчних перетворень і підстановки початкових
даних запишемо наступний вираз для знайденого коефіцієнта:
q
k1 = ,
2 χ 2
де q – відношення сигнал/шум по потужності.
Тоді РП при степені поліному s =1 прийме вигляд:
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ

Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 40

H1
1 n
( ) qχ 2 >
Λ X = ∑ xv + 0 . (2.15)
1n n v=1 2 <
H0
Зазначимо, що отриманий вираз (2.15) співпадає з аналогічним
виразом, отриманим з імовірнісних критеріїв якості у випадку, коли
розглядається гаусова модель завади. Таким чином, простежується тісний
зв'язок отриманих результатів (2.15) з добре відомими РП в припущені
гаусової моделі завад.
Показано, що значення суми верхніх границь ймовірностей помилок
першого і другого виду РП, або значення критерію якості (2.12), набуде
вигляду:
Ku 2
1n = . (2.16)
nq
Зазначимо, що отримане РП (2.15) є лінійним, для побудови якого
використовувалися лише початкові моменти першого і другого порядку, а
відповідно, таке РП не враховує степінь негаусовості розподілу
досліджуваних вибіркових значень. Тому збільшимо степінь поліному, де
будуть враховуватися початкові моменти вищих порядків.
Синтезуємо нелінійне РП при степені s=2, де узагальнений вид
стохастичного поліному, згідно (2.10), запишеться як:
H1
n n
Λ( ) >
X = k1 ∑ xv + k2 ∑ x 2
v + k0 0 , (2.17)
2n v=1 v=1 <
H0
де невідомі коефіцієнти РП (2.17) знаходяться з рішення системи рівнянь
(2.13), яка має вигляд
k (F (1) + F (0) )+ k (F (1) + F (0)
 1 (1,1) (1,1) 2 (1,2) (1,2) )= m1 − u1

k (F (1) (0) (1) (0)
 1 (2,1) + F(2,1) )+ k2 (F(2,2) + F(2,2) )= m2 − u2
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ

Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 41

Розв’язок такої системи рівнянь не представляє труднощів,
скориставшись, наприклад, методом Крамера. Після нескладних
математичних перетворень отримаємо оптимальні коефіцієнти для
нелінійного РП виду (2.17):
2q − 2 qγ + q 2
3 q (2 + q + qγ ) qγ
k = , k = 3 , k = 3
0 1 ( ) 2 ( ) . 4γ 2
3 − 4q − 8 2 χ 2 2 + q − γ 2
3 2 χ 2 2 + q − γ 2
3
Показано, що значення суми верхніх границь ймовірностей помилок
першого і другого виду РП, або значення критерію якості (2.12), прийме
вигляд:
2 2 + q −γ 2 
Ku2n =  3  . (2.18)
n 2
 2q + q 
Аналіз виразу (2.18) показує, що його значення залежить не тільки
від відношення сигнал/шум q на вході пристрою виявлення (демодуляції),
а й також від значення коефіцієнта асиметрії γ3 негаусової асиметричної 1-
го типу та 1-го виду завади.
На рис.2.1 представлено порівняльний аналіз ефективності
поліноміальних РП для різних степенів поліному в залежності від значень
коефіцієнта асиметрії та відношення сигнал/шум. З графіків можна
побачити, що при врахуванні негаусового характеру завади нелінійна
обробка сигналів за допомогою полінома другого степеня дозволяє
отримувати більш ефективні алгоритми обробки (виявлення) сигналів
порівняно з лінійним РП, яке є оптимальним для гаусових завад.
Ефективність обробки виражається у зменшенні значень критерію якості,
що відповідно призводить до зменшення ймовірностей помилок першого
та другого роду непорівняно з лінійними регресійними процедурами. Це
відкриває можливість покращення результатів демодуляції прийнятого
сигналу.

Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 42

На рис.2.1 наведений аналіз поліноміальних РП для різних степенів
поліному від значення коефіцієнта асиметрії та відношення сигнал/шум. Із
графіків видно, що при врахуванні негаусового характеру завади нелінійна
обробка сигналів при другій степені поліному дозволяє отримувати більш
ефективні алгоритми обробки (виявлення) сигналів в порівнянні з лінійним
РП, які є оптимальним для гаусових завад. Ефективність обробки
проявляється в зменшенні значення критерію якості при другий степені
полінома РП у порівнянні з першою, а відповідно, в цьому випадку
зменшуються ймовірності помилок РП першого та другого роду
нелінійного РП у порівнянні з лінійним РП.
Така нелінійна поліноміальна обробка сигналів на фоні негаусових
забезпечує зменшення ймовірностей помилок виявлення сигналів, що
може покращити роботу демодуляторів сигналів і збільшити якість
передачі інформації в зашумлених каналах зв’язку.

Рис.2.1. Залежності значень кількості добутої інформації про
розрізнення гіпотез поліноміальними РП при степені поліному s=2 до s=1
від значень коефіцієнта асиметрії γ 3 при різних значення відношення
сигнал/шум q=0.1; 1; 10.

Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 43

2.4. Висновки
В роботі наведено інформацію про синтез моментного критерію
якості для перевірки статистичних гіпотез (критерій Ku) та його
застосування для синтезу поліноміальних РП. Такий підхід дозволяє
синтезувати алгоритми виявлення постійних сигналів на фоні негаусових
асиметричних завад 1-го типу та 1-го виду.
Аналіз отриманих результатів підтверджує, що врахування
характеристик негаусової завади у формі параметра коефіцієнта асиметрії
сприяє покращенню (зменшенню) значень критерію якості і зменшенню
ймовірності помилок першого та другого роду. Це, в свою чергу,
призводить до збільшення ефективності прийняття рішень щодо наявності
сигналу в системах демодуляції сигналу, що еквівалентно розпізнаванню
відповідної цифрової послідовності як «0» або «1».
Практична реалізація та моделювання отриманих результатів буде
представлена в наступному розділі середовищі Matlab.

Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 44

РОЗДІЛ 3
МОДЕЛЮВАННЯ ПОЛІНОМІАЛЬНИХ АЛГОРИТМІВ
ВИЯВЛЕННЯ СИГНАЛІВ В СЕРЕДОВИЩІ MATLAB

3.1. Побудова генератора випадкових величин
На основі розроблених моделей, методів та отриманих алгоритмів
обробки сигналів було внесено зміни до блоку демодуляції PSK сигналів.
Такі зміни включають поліноміальну обробку вибіркових значень з
урахуванням параметрів їх негаусового розподілу при моментно-
кумулянтному представленні у вигляді кумулянтних коефіцієнтів третього
порядку і вище. Для перевірки ефективності запропонованих рішень
необхідно провести моделювання, яке буде реалізовано засобами пакету
Matlab.
Структура системи моделювання включає такі блоки, як:
- блок формування послідовності імпульсних сигналів, що служать
перемикаючими послідовностями для включення різних носійних
частот, що відповідає передачі «0» та «1»;
- блок формування негаусових завад, які спостерігаються в каналі
зв’язку;
- блоки реалізації лінійної (s = 1) і нелінійної (s = 2) поліноміальної
обробки представленим в попередньому розділі РП;
- блоки індикації параметрів і візуалізації результатів.
Для проведення моделювання потрібно сформувати блок
(генератор), який буде імітувати негусові завади в каналі зв’язку.
Існує кілька основних методів отримання негаусової щільності
розподілу випадкових величин.
Аналітичні методи:
- метод зміни змінних: використовується для трансформації
змінних так, щоб отримати бажаний розподіл;
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 45

- метод характеристичних функцій: отримання щільності розподілу
через характеристичну функцію випадкової величини;
- метод генерації функції розподілу: заснований на використанні
властивостей функцій розподілу.
Числові методи:
- метод Монте-Карло: заснований на використанні випадкового
вибору точок у просторі і обчисленні їх значень для отримання
наближеного розподілу;
- метод Марковських ланцюгів Монте-Карло: використовується для
симуляції складних розподілів за допомогою марковських
ланцюгів.
Емпіричні методи:
- застосування історичних даних: використовується для побудови
розподілу на основі наявних спостережень.
Спеціальні функції:
- використання спеціальних функцій: застосування функцій, таких
як Лагерра, Ерміта, Чебишова тощо, для отримання негаусових
розподілів.
Вибір конкретного методу залежить від характеру даних,
доступності інформації та задачі, яку необхідно вирішити.
В даній роботі запропоновано використовувати полігаусовий підхід
щодо отримання негусових випадкових величин, які будуть використані
при проведенні моделювання.
Для створення такого генератора негаусових випадкових величин
використовувався полігаусовий підхід, де негаусова випадкова величина із
заданими параметрами коефіцієнтів асиметрії та ексцесу формувалася на
основі двох гаусових розподілів з різними параметрами. На основі даного
підходу можна задавати значення кумулянтних коефіцієнтів вищих
порядків для псевдовипадкової послідовності, що генерується і
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум.
Підпис Дата 46

використовуються для моделей поліноміальних РП.
Полігаусові моделі є способом апроксимації негаусових розподілів
випадкових величин за допомогою комбінації гаусових розподілів. Цей
метод базується на ідеї змішування декількох гаусових компонент з
різними параметрами для отримання більш складної форми розподілу, яка
може більш точно відображати негаусові характеристики.
У полігаусових моделях кожна гаусова компонента характеризується
своїм середнім значенням, дисперсією та вагою. Вага вказує, наскільки
важливою є кожна компонента при змішуванні. Чим більше вага, тим
більший внесок відповідної гаусової компоненти.
В основі полігаусового підходу результуюча щільність розподілу
ймовірностей описується виразом
( ) r δ i  (x −τ 2
i ) 
p x ϑ = exp − 
∑
2  2 , (3.1)
i=1 2πσ i  2σ i 
де τ i , σ 2
i - параметри математичного очікування і дисперсії окремих
гаусовских компонент;
δ i - коефіцієнти, які вказують на пропорційність вибіркових значень
кожної i -й гаусової складової, де повинна виконуватися наступна умова
r
∑δi =1.
i=1
Цей метод передбачає пропорційне змішування вибіркових значень,
які генеруються декількома стандартними генераторами із розрахунковими
параметрами гаусового розподілу. Реалізацію цього підходу можна
виконати шляхом комп'ютерного моделювання за допомогою різних
прикладних комп'ютерних програм.
Існують два прості варіанти формування полігаусової випадкової
величини, які включають змішування результатів двох і трьох гаусових
компонент. Відповідно, отримані випадкові величини називають
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 47

бігаусовими і тригаусовими.
Для бігаусової випадкової величини щільність розподілу можна
записати з урахуванням виразу (3.1) в наступному вигляді:

δ  (x −τ )2  1−δ  (x −τ )2 
p(x ϑ )= exp− 1 + exp− 2 
. (3.2)
2πσ 2
1  2σ 2
1  2πσ 2
2  2σ 2
2 
Якщо дану математичну модель буде застосовано для побудови
генераторів негусової випадкової величини, то необхідно дослідити
характер залежності кумулятних коефіцієнтів від значень параметрів
бігаусового розподілу.
Дослідження показали, що існує зв'язок між параметрами виразу
(3.2) і значеннями тих кумулянтів випадкої послідовності, яка буде
використовуватися як негаусова випадкова величина. Тоді, перші чотири
кумулянти бігаусової випадкової величини з законом розподілу виду (3.2)
будуть описані з урахуванням наступних залежностей:
χ1 = δτ1 + (1− δ)τ2 , χ 2
2 = σ2 + δ(1− δ)(τ 2 2 2
1 − τ2 ) + δ(σ1 − σ2 ),
χ3 = δ(1− δ)(1− 2δ)(τ 3 2 2
1 − τ2 ) +3δ(1− δ)(τ1 − τ2 )(σ1 − σ2 ), (3.3)
χ = δ(1− δ)(1− 6δ + 6δ2 )(τ − τ )44 1 2 +

+ 6δ(1− δ)(1− 2δ)(τ − τ )2 (σ2 − σ2 2 2 2
1 2 1 2 )+ 3δ(1− δ)(σ1 − σ2 ) .
З наведених співвідношень (3.3) видно, що при значеннях параметрів
τ1 = τ2 і δ = 0 щільність розподілу ймовірностей бігаусової випадкової
величини перетворюється в гаусовий закон щільність розподілу, а
кумулянти 3-го порядку і вище стають рівними нулю. Також потрібно
відмітити, що кумулянт другого порядку залежить не стільки від значень
параметрів τ1 і τ 2 , скільки від їх різниці. А кумулянти вищих порядків
залежать також і від різниці параметрів дисперсій розподілів: σ2
1 − σ
2
2 .
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 48

З врахуванням відмічених особливостей формування бігаусової
випадкової величини для спрощення розрахунків і не порушуючи
загальних співвідношень може дещо спроститися, якщо прийняти τ2 = 0 і
σ2 =1. В цьому випадку, при фіксуванні значення параметрів однієї
гаусової компоненти будемо змінювати інші компоненти для отримання
необхідних значень кумулянтів бігаусової випадкової величини. В цьому
випадку можемо не зазначати індекси для параметрів τ і σ2 , тоді вираз
(3.3) можна представити як:
χ1 = δτ,
χ2 = (1− δ)(δτ2 +1)+ δσ2 ,
χ = δ(1− δ)(1− 2δ)τ3 + 3δτ(1− δ)(σ2
3 −1), (3.4)
2
χ4 = δ(1− δ)(1− 6δ + 6δ2 )τ4 + 6δτ2(1− δ)(1− 2δ)(σ2 −1)+ 3δ(1− δ)(σ2 −1) .
Окрім цього існує залежність між кумулянтами випадкових величин
і їх кумулянтними коефіцієнтами, яка виражається наступним виразом
 
γ (ϑ)= χ (ϑ)χ−0,5r 
r r 2 (ϑ).
При зміні параметрів бігаусового розподілу можна отримати досить
широкий діапазон значень для коефіцієнтів асиметрії γ3 та ексцесу γ4 , але
разом з тим цей діапазон є менше, ніж загальна теоретична область
допустимих значень. Зокрема залежність між коефіцієнтами γ3 і γ4 має
вид:
γ2 ≤ γ 4 + 2 .
3
Коефіцієнт асиметрії γ3 та ексцесу γ4 є статистичними мірниками
форми розподілу випадкових величин і використовуються для опису
їхнього відхилення від симетрії та нормального розподілу випадкового
процесу.
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 49

Коефіцієнт асиметрії (асиметрія) γ3 визначає ступінь відхилення
форми розподілу від її симетричності. Значення коефіцієнта асиметрії
вказують, у якому напрямку та наскільки великою мірою хвіст розподілу
відхиляється від середнього значення.
Коефіцієнт асиметрії дорівнює 0 для симетричного розподілу.
Коефіцієнт γ3 > 0 вказує на те, що величини розташовані більше вправо від
середнього значення та хвіст розподілу зміщений вправо.
Коефіцієнт γ3 < 0 вказує на те, що величини розташовані більше
вліво від середнього значення та хвіст розподілу зміщений вліво (рис.3.1).

Рис.3.1. Ілюстрація значень коефіцієнта асиметрії γ3 при його нульових,
негативних та позитивних значеннях та вплив на щільність розподілу.

Коефіцієнт ексцесу γ4 - визначає ступінь заострення або
заокруглення вершини розподілу в порівнянні з нормальним розподілом.
Коефіцієнт ексцесу дорівнює 0 для нормального розподілу.
Коефіцієнт γ4 > 0 (ексцес вище нуля) вказує на більш високу та вузьку
вершину розподілу (острий пік). Коефіцієнт γ4 < 0 (ексцес нижче нуля)
вказує на менш високу та більш широку вершину розподілу (заокруглений
пік) (рис.3.2).
Узагальнюючи можна сказати, що ці коефіцієнти надають
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 50

інформацію про форму розподілу випадкової величини, її симетрію та
концентрацію значень навколо середнього.
Такі числові характеристики, з одного боку, є простішими на відміну
від повного опису у вигляді щільності розподілу випадкових величин, а з
іншого боку, надають опис і характеристики випадкових величин і
процесів, які є відмінними від гаусових.

Рис.3.2. Ілюстрація значень коефіцієнта ексцесу γ4 при його нульових,
негативних та позитивних значеннях та вплив на щільність розподілу.

Застосування полігаусових моделей випадкових величн теоретично
дозволяє при збільшенні кількості гаусових компонент r в (3.1) точно
описати будь яку негаусову щільність розподілу випадкової величини.
Зауважимо, що значення математичного очікування α = χ1 будь якої
випадкової величини може бути змінена за допомогою додавання
константи до кожного значення вибірки. Таким чином, при застосуванні
бігаусової моделі є можливість отримати випадкову послідовність з
необхідними значеннями заданих перших чотирьох початкових моментів:
математичного сподівання, дисперсії та параметрів, які описують степінь
негаусового розподілу - коефіцієнти асиметрії та ексцесу.
Опишемо процедуру отримання вибірки обсягом x = {x1,x2 ,...xn} з
заданими значеннями параметрів асиметрії γ30 та ексцесу γ 40 :
1) розв’язується система нелінійних рівнянь щодо невідомих параметрів,
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк.
№ докум. Підпис Дата 51

τ и σ2 (3.4);
2) формується вибірка y = {y1, y2 ,...ym} обсягом m = δn значень з
випадковою послідовності, яка має гаусовий закон розподілу з
математичним очікуванням τ і дисперсією σ2 ;
3) формується вибірка z = {z1,z2 ,...zk} обсягом k = (1− δ)n значень з
випадкової послідовності, яка має гаусовий закон розподілу з нульовим
математичним очікуванням і одиничною дисперсією;
4) об'єднуються вибірки y і z в результуючу вибірку x′ обсягу n ;
5) до кожного вибіркового значенням x′v v =1,n можна додати величину
∆ , в результаті чого отримається шукана вибірка x з необхідними
статистичними характеристиками математичного очікування.
Відмітимо, що при виконанні пункту 4 необхідно перемішати
вибіркові значення для отримання реального характеру випадкового
процесу.
При використанні та дослідженні поліноміальних алгоритмів, в яких
фігурують кумулянтні коефіцієнти вищих порядків ( γ50 , γ60 та ін.),
необхідно розширити склад гаусових компонет більше ніж два - r > 2
згідно виразу (3.1):
2
(  ) δ1  (x − τ1)  δ2  (x − τ2 )2 p x ϑ = exp − 
2 2  2  + exp− 2  +
πσ1  2σ1  2πσ2
2  2σ2 
.
1− (δ1 + δ + 
+ δ ) (x − τ )2 
+ + 2 r
 exp− r 
.
2πσ2
r  2σ2
r 
Наприклад, тригаусова модель дозволяє отримувати випадкову
послідовність з необхідними першими шести значеннями кумулянтів
γ1,γ2,,γ6 , які входять до складу поліноміальних РП виявлення та
розрізнення сигналів на фоні негаусових завад при степені полінома s = 3 .

Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 52
3.2. Поліноміальна демодуляція цифрових сигналів в середовищі
Matlab
На основі запропонованого моментного критерію якості перевірки
статистичних гіпотез надамо приклад синтезу та аналізу поліноміальних
РП для виявлення сигналів у середовищі Matlab для моделювання процесів
демодуляції PSK цифрових сигналів.
Розглянемо простий випадок обробки незалежних і однаково
розподілених випадкових величин, таких як постійні сигнали
післядетекторної обробки на фоні негаусових шумів, отриманих в
демодуляторах PSK цифрових сигналів. Прикладом такої обробки є
модернізація демодулятора PSK, зображеного на рис. 3.3.
Демодулятор, заснований на фазовому детекторі, замінюється
нелінійним поліноміальним РП. Після нелінійної обробки вибіркових
значень приймається рішення щодо наявності сигналу або його
відсутності, що відповідає аналізу логічних рівнів «0» або «1» в системах
обробки дискретних повідомлень.
Структурна схема системи обробки сигналів (рис.3.3.) включає такі
функціональні блоки:
- блок формування сигналу PSK (за допомогою маніпуляції
цифровою послідовністю двох гармонійних коливань);
- формування негаусової завади на основі бігаусової випадкової
величини;
- використання стандартних блоків модуляції та демодуляції
бібліотеки Simulink Matlab для порівняння результатів обробки;
- блоки формування лінійної і нелінійної обробки вибіркових
значень на основі запропонованих подіноміальних алгоритмів;
- блоки прийняття рішення;
- індикація та візуалізація результатів обробки.
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 53
Осцилограми на рис. 3.4 ілюструють процес формування та
демодуляції РSK сигналів при різних параметрах, зокрема на рисунку
показано:
а) сформована послідовність «0» та «1», яка відповідає за передачу
інформаційного двійкового повідомлення;
б) результат формування РSK сигналу;
в) результат демодуляції РSK сигналів без завад та з негаусовими
завдами (г) базовими методами пакету Simulink Matlab;
д) результат демодуляції зашумленого РSK сигналу лінійним РП;
е) результат демодуляції зашумленого РSK сигналу нелінійним РП.
Результати показують, що нелінійна обробка зменшує ймовірність
помилок та поліпшує точність обробки в умовах впливу інтенсивних
негаусових завад.
Осцилограми на рис. 3.5 - 3.5 відображають наступні залежності при
різних значеннях параметрів q, коефіцієнтів асиметрії та ексцесу:
а) сформована цифрова послідовність;
б) сформований сигнал РSK на основі вбудованого модулятора в
суміші з негаусовими завадами;
в) результат демодуляції вбудованим демодулятором РSK сигналів
без завад;
г) результат демодуляції РSK сигналу в суміші з негаусовими
завадами вбудованим демодулятором;
д) результат обробки демодуляції лінійним РП;
ж) результат обробки демодуляції нелінійним РП;
з), к) результат прийняття рішень лінійним та нелінійним РП
відповідно.
Результати досліджень показують, що навіть при відношенні
сигнал/шум q=1 стандартний вбудований демодулятор РSK перестає
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 54
функціонувати і на його виході спостерігається хаотична випадкова
послідовність, що не відповідає вхідному інформаційному повідомленню.
Запропонована нелінійна поліноміальна обробка сигналів суттєво
покращує результат демодуляції, покращує точність та забезпечує якісну
обробку в умовах дії інтенсивних негауссових завад, що розширює
можливості передачі інформації в каналах зв'язку.
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 55
Рис. 3.3. Структурна схема реалізації системи демодуляції РSK сигналів в Matlab
а)
б)
в)
г)
д)
е)

Рис. 3.4. Осцилограми процесу формування та демодуляції РSK сигналів в середовищі Simulink при наступних
параметрах q=10, γ 3 = 1, γ 4 = 0:
а) – цифрова послідовність; б) - сформований сигнал РSK сигнал; в) - результат демодуляції РSK сигналів без завад та з
негаусовими завадами (г); д) - результат демодуляції зашумленого РSK сигналу лінійним РП; ) е - результат демодуляції
зашумленого РSK сигналу нелінійним РП.
а)
б)
в)
г)
д)
ж)
з)
к)
Рис. 3.5. Осцилограми процесу демодуляції РSK сигналів в середовищі Matlab при наступних параметрах q=1, γ 3 = 1,
γ 4 = 0:
а) – цифрова послідовність; б) – сформований сигнал РSK на основі вбудованого модулятора в суміші з негаусовими
завадами; в) - результат демодуляції вбудованим демодулятором РSK сигналів без завад; г) - результат демодуляції РSK
сигналу в суміші з негаусовими завадами вбудованим демодулятором, д) – результат обробки демодуляції лінійним РП;
ж) - результат обробки демодуляції нелінійним РП; з) - результат прийняття рішень лінійним РП; к) - результат
прийняття рішень нелінійним РП.
а)
б)
в)
г)
д)
ж)
з)

Рис. 3.6. Осцилограми процесу демодуляції РSK сигналів в середовищі Matlab при наступних параметрах q=0.5, γ 3 = 1,
γ 4 = 0:
а) – цифрова послідовність; б) – сформований сигнал РSK на основі вбудованого модулятора в суміші з негаусовими
завадами; в) - результат демодуляції вбудованим демодулятором РSK сигналів без завад; г) - результат демодуляції РSK
сигналу в суміші з негаусовими завадами вбудованим демодулятором, д) – результат обробки демодуляції лінійним РП;
ж) - результат обробки демодуляції нелінійним РП; з) - результат прийняття рішень лінійним РП; к) - результат
прийняття рішень нелінійним РП.
а)
б)
в)
г)
д)
ж)
з)
к)
Рис. 3.7. Осцилограми процесу демодуляції РSK сигналів в середовищі Matlab при наступних параметрах q=0.1, γ 3 = 1,
γ 4 = 0:
а) – цифрова послідовність; б) – сформований сигнал РSK на основі вбудованого модулятора в суміші з негаусовими
завадами; в) - результат демодуляції вбудованим демодулятором РSK сигналів без завад; г) - результат демодуляції РSK
сигналу в суміші з негаусовими завадами вбудованим демодулятором, д) – результат обробки демодуляції лінійним РП;
ж) - результат обробки демодуляції нелінійним РП; з) - результат прийняття рішень лінійним РП; к) - результат
прийняття рішень нелінійним РП.
3.3. Висновки
На основі розроблених моделей, методів та алгоритмів запропонована
структурна схема системи демодуляції РSK сигналів в середовищі Matlab, що
дозволяє проводити комп'ютерне моделювання поліноміальної системи
обробки сигналів при наявності негаусових завад. Така система демодуляції
сигналів може застосовуватися в телекомунікаційних системах, де отримані
сигнали були спотворені інтенсивними завадами з негаусовим законом
розподілу.
Один із блоків, який був розглянутий для модернізації - це блок
демодулятора. Традиційно його оптимальна робота передбачає обробку
детермінованих сигналів, або сигналів, які містять гаусову складову в якості
впливу завади. Однак відхилення від нормального (гаусового) закону
розподілу досліджуваного сигналу може призвести до втрати корисної
інформації у прийнятому сигналі і, як наслідок, недостатньої точності його
обробки в блоці демодулятора.
На основі розроблених поліноміальних алгоритмів виявлення
зашумлених сигналів проведено модернізацію блоку демодулятора РSK
сигналів, в якому передбачено врахування випадкової складової саме з
негаусовою щільністю розподілу, яка є найбільш загальна в каналах зв’язку.
Таке врахування тонкої структури сигналу, який обробляється, забезпечується
за рахунок використання кумулянтних коефіцієнтів третього та вищих
порядків в запропонованих алгоритмах обробки.
Результати досліджень підтверджують, що нелінійна обробка
вибіркових значень та врахування параметрів негаусової випадкової величини
призводить до покращення якості демодуляції сигналів і підвищує якість
передачі інформації по каналах зв’язку.
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
ВИСНОВКИ
Системи модуляції та демодуляції сигналів є необхідною складовою
сучасних систем обробки сигналів для передачі даних. Їх побудову
характеризують високі вимоги до якості обробки сигналів та стійкість до
впливу інтенсивних завад. В цьому контексті нові методи, моделі та
інструменти стають важливими для покращення якості функціонування
систем передачі інформації.
Сучасні системи обробки сигналів широко використовують різноманітні
аналогові та цифрові схеми модуляції. Наприклад, цифрова PSK-модуляція,
яка базується на фазовій маніпуляції, займає важливе місце в системах зв'язку.
У кваліфікаційній роботі розглянуто вдосконалення функціонування
блоку демодулятора PSK сигналів з врахування інтенсивного впливу
негаусових завад в каналах зв’язку. Запропоновна концепція, яка дозволяє
знайти оптимальний баланс між простотою модернізації демодулятора та
високою його ефективністю, враховуючи стохастичну природу сигналу, який
піддається обробці.
У дослідженні надано відомості про синтез моментного критерію якості
перевірки статистичних гіпотез (критерій Ku) та його використання для
створення поліноміальних РП. Такий підхід дозволяє розробляти алгоритми
виявлення постійних сигналів на фоні негаусових завад, які циркулюють в
каналах передачі даних. Аналіз отриманих результатів підтверджує, що
врахування характеристик негаусових завад у формі коефіцієнтів асиметрії
сприяє покращенню (зменшенню) значення критерія якості і зниженню
ймовірностей помилок першого та другого роду виявлення сигналів. Це
дозволило синтезувати поліноміальні алгоритми обробки сигналів з кращими
якісним характеристиками, які застосовані при вдосконаленні блока
демодулятора PSK сигналів.
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Результати моделювання обробки сигналів довели, що застосування
поліноміальної нелінійної обробки та врахування параметрів негаусового
розподілу завад дозволяє покращити результати демодуляції РSK сигналів у
порівнянні з традиційними відомими методами.
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
1. Палагін В. В. Статистичне оцінювання параметрів негаусових
корельованих випадкових процесів : [монографія] / В. В. Палагін,
О. В. Івченко, Д. А. Вєдєрніков; Черкас. держ. технол. ун-т. – Черкаси:
видавець ФОП Гордієнко Є.І., 2018. – 199 с
2. Кунченко Ю.П. Поліноміальні оцінки параметрів близьких до гауссівських
випадкових величин. Ч.1. Стохастичні поліноми, їх властивості та
застосування для знаходження оцінок параметрів / Ю.П. Кунченко ―
Черкаси: ЧІТІ, 2001. ― 133 с.
3. Кунченко Ю.П. Стохастичні поліноми / Ю.П. Кунченко ― Київ: Наук.
думка, 2006. ― 275 с.
4. Kunchenko Y.P. Polynomial Parameter Estimations of Close to Gaussian
Random variables / Y.P. Kunchenko ― Germany, Aachen: Shaker Verlag, 2002.
― 396 p.
5. Безрук В.М. Теоретичні засади проектування систем розпізнавання
сигналів для автоматизованого радіоконтролю: монографія / В.М. Безрук,
Г.М. Певцов - Х.: Коллегиум, 2007 - 430 с.
6. E.Palahina, M.Gamcová , I.Gladisova, J.Gamec, V.Palahin. Signals Detection in
Correlated non-Gaussian Noise Using Higher-Order Statistics. – Circuits,
Systems, and Signal Processing, 2018, 37(4), 1704-1723.
7. Палагін, В.В. і Зорін, О.С. Моделі та методи розрізнення RZ-сигналів в
інформаційно-вимірювальних системах на фоні асиметричних негаусових
завад. Вісник Вінницького політехнічного інституту. 4 (Серп. 2023), 78–86.
8. Д.О.Смірнов, О.А.Палагіна, В.В.Палагін. Математичне моделювання задач
виявлення сигналів на фоні негаусових корельованих завад // Інтегровані
інтелектуальні робототехнічні комплекси (ІІРТК-2022), п’ятнадцята
міжнародна науково-практична конференція, 17-18 травня 2022 р., Київ,
Україна, - с.224-225.
9. D. Smirnov, E. Palahina, V. Palahin. Mathematical Modeling of Signal
Detection in Non-Gaussian Correlated Noise // International Conference on
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Smart Technologies in Urban Engineering - Proceedings of STUE-2022, Lecture
Notes in Networks and Systems - LNNS, volume 536, pp.65-74.
10. D.Smirnov, V.Chepynoha, O.Zorin, A.Honcharov, E.Palahina, V.Palahin. The
Methods of Joint Signal Discrimination and Parameters Estimation in non-
Gaussian Noise // IEEE 4-th International Conference on Advanced Trends in
Information Theory – 2022, Kyiv, Ukraine, 2022, pp. 23-27.
11. Д.О.Смірнов, Д.А.Ведерников, О.А.Палагіна, В.В.Палагін. Методи
статистичного оцінювання параметрів сигналу на фоні негаусових
корельованих завад. // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія:
Технічні науки: зб. наук. праць – Кам.-Подільський: Кам.-Подільський нац.
ун-т ім. Івана Огієнка, 2021. – Вип. 22. – С. 106-118
Арк.
РТ025.023.22272.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата

ChSTU repository

ChSTU repository preserves and enables easy and open access to all types of digital content including text, images, moving images, mpegs and data sets