Поліноміальні алгоритми спільного вимірювання амплітуди гармонічного сигналу та параметрів асиметричної завади 1-го типу

Костенко, Андрій Петрович
Please use this identifier to cite or link to this item: https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/5834
Title:	Поліноміальні алгоритми спільного вимірювання амплітуди гармонічного сигналу та параметрів асиметричної завади 1-го типу
Authors:	Гончаров, Артем Володимирович Костенко, Андрій Петрович
Keywords:	метод максимізації полінома;негаусівська завада;гармонічний сигнал;дисперсія;коефіцієнт асиметрії
Issue Date:	2023
Abstract:	Метою даної роботи є синтез алгоритмів спільного вимірювання амплітуди гармонічного сигналу та параметрів асиметричної завади 1-го типу (дисперсії і коефіцієнта асиметрії) по основній вибірці. Об’єкт дослідження – процес вимірювання амплітуди гармонічного сигналу та параметрів асиметричної завади 1-го типу. Методи дослідження – методи теорії ймовірності та математичної статистики. В магістерській роботі синтезовано степеневі алгоритми вимірювання амплітуди гармонічного сигналу спільно з дисперсією і коефіцієнтом асиметрії завади. Мінімальний степінь полінома, який можна використати, s=3. Відомо, що метод максимізації полінома володіє властивістю зменшувати дисперсію оцінок з ростом степеня полінома, тому додатково побудовані алгоритми спільної оцінки трьох параметрів при степенях s=4 і 5. Для аналізу точнісних властивостей синтезованих алгоритмів розраховано матрицю кількості добутої інформації та знайдено обернену матрицю, яка зветься варіаційною матрицею оцінок. Проведене порівняння дисперсій оцінок, отриманих методом максимізації полінома, з дисперсіями оцінок методу максимальної правдоподібності. Показано, що нові алгоритми можуть бути більш точними за умови, якщо коефіцієнт асиметрії завади відмінний від нуля. З ростом степеня полінома дисперсії оцінок можуть зменшуватися, а конкретна величина зменшення залежить від коефіцієнта асиметрії. Значного покращення в точності оцінювання можна отримати для амплітуди і коефіцієнта асиметрії, в той час як точність вимірювання дисперсії майже не змінюється з ростом степеня полінома.
URI:	https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/5834
Appears in Collections:	172 Електронні комунікації та радіотехніка (Радіотехніка та робототехнічні системи)
Files in This Item:
File	Description	Size	Format
М_172_Костенко_Гончаров.pdf Restricted Access		1.06 MB	Adobe PDF	View/Open Request a copy
Show full item record
Extracted text
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ 
ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ 
ФАКУЛЬТЕТ ЕЛЕКТРОННИХ ТЕХНОЛОГІЙ, АВТОТРАНСПОРТУ ТА 
МАШИНОБУДУВАННЯ 
КАФЕДРА РОБОТОТЕХНІЧНИХ І ТЕЛЕКОМУНІКАЦІЙНИХ СИСТЕМ ТА 
КІБЕРБЕЗПЕКИ 
 
До захисту допущено  
завідувач кафедри РТСК 
д.т.н., професор __________  
Володимир ПАЛАГІН  
"_____" грудня 2023 року 
 
 
Пояснювальна записка 
до випускної роботи 
освітнього ступеня «магістр» 
на тему: «Поліноміальні алгоритми спільного вимірювання амплітуди 
гармонічного сигналу та параметрів асиметричної завади 1-го типу» 
 
 Виконав студент 2 курсу, групи РТ-025 
Спеціальність – 172 «Телекомунікації та 
 радіотехніка» 
Освітня програма – «Радіотехніка та 
 робототехнічні системи» 
 КОСТЕНКО Андрій Петрович 
 Керівник роботи ГОНЧАРОВ Артем 
 Рецензент ГАЛЬЧЕНКО Володимир 
 
 
Черкаси 2023 
Форма № Н-9.01 
Черкаський державний технологічний університет 
(назва вузу) 
Факультет електронних технологій, автотранспорту та машинобудування 
Кафедра Робототехнічних і телекомунікаційних систем та кібербезпеки 
Освітній ступінь магістр 
Спеціальність 172 -  Телекомунікації та радіотехніка 
Освітня програма Радіотехніка та робототехнічні системи 
 ЗАТВЕРДЖУЮ 
 Завідувач кафедри РТСК 
 д.т.н., професор Володимир ПАЛАГІН 
   
 «  » вересня  2023 р. 
 
ЗАВДАННЯ 
на дипломний проект (роботу) студенту 
Костенку Андрію Петровичу 
(прізвище, ім'я, по батькові) 
1. Тема проекту (роботи) Поліноміальні алгоритми спільного вимірювання амплітуди  
гармонічного сигналу та параметрів асиметричної завади 1-го типу 
керівник проекту (роботи) Гончаров Артем Володимирович, к.т.н., професор 
(прізвище, ім’я, по батькові, науковий ступінь, вчене звання) 
затверджена наказом по університету від «  »    жовтня      2023 р.  № 271/04 
2. Строк подання студентом проекту (роботи) 1 грудня 2023 р. 
3. Вихідні дані до проекту (роботи)  вибірка значень спостережуваного сигналу обсягом n; 
гармонічний сигнал з невідомою амплітудою; вид завади – асиметрична 1-го типу 
(з невідомими дисперсією та коефіцієнтом асиметрії). 
4. Зміст розрахунково-пояснювальної записки (перелік питань, які потрібно розробити)______ 
Вступ. 1. Статистичні методи оцінювання параметрів сигналів. 2. Оцінювання параметрів  
сигналів методом максимізації поліному. 3. Алгоритми спільного вимірювання амплітуди  
гармонічного сигналу і параметрів асиметричної завади 1-го типу. 4. Аналіз точності  
алгоритмів спільної оцінки амплітуди гармонічного сигналу та параметрів асиметричної  
завади 1-го типу. Висновки. Список використаної літератури 
5. Перелік графічного матеріалу (з точним зазначенням обов’язкових креслень)  
Презентація в Power Point обсягом 10 плакатів 
 
6. Консультанти з проекту (роботи) із зазначенням розділів проекту, що їх стосуються 
  Підпис, дата 
Розділ Прізвище, ініціали та посада  завдання         завдання 
консультанта видав прийняв 
    
    
    
    
    
    
 
7. Дата видачі завдання 04 вересня 2023 р. 
 
КАЛЕНДАРНИЙ ПЛАН 
№ Назва етапів дипломного                               С  т  р  о  к   виконання етапів      П   р имітка 
з/п проекту (роботи) проекту (роботи) 
1. Аналіз технічного завдання та огляд літератури 05.09.2023  
2 Розробка методики проведення дослідження 18.09.2023  
3 Розрахунок початкових моментів і центрованих    
 корелянтів асиметричної випадкової величини 01.10.2023  
4 Синтез обчислювальних алгоритмів вимірювання    
 амплітуди сигналу і параметрів завади при s=3, 4, 5 16.10.2023  
5. Дослідження точності синтезованих алгоритмів   
 спільного вимірювання амплітуди і параметрів  01.11.2023  
 асиметричної завади 1-го типу   
6. Оформлення пояснювальної записки 07.11.2023  
7. Оформлення плакатів 28.11.2023  
    
    
    
   
 
 Студент   КОСТЕНКО Андрій 
  (підпис) (прізвище та ініціали) 
Керівник проекту (роботи)   ГОНЧАРОВ Артем 
  (підпис) (прізвище та ініціали) 
 
ЗМІСТ 
Стор. 
Вступ 5 
1. СТАТИСТИЧНІ МЕТОДИ ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ 7 
СИГНАЛІВ 
1.1 Поняття про оцінку параметрів сигналів, що приймаються 7 
1.2 Якість оцінок та критерії оптимальності вимірювання параметрів 10 
1.3 Основні положення байєсівської теорії вимірювання 13 
1.4 Максимально правдоподібна оцінка 18 
1.5 Потенційна точність визначення параметра 24 
2. ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ СИГНАЛІВ МЕТОДОМ  
МАКСИМІЗАЦІЇ ПОЛІНОМУ 27 
2.1 Оцінка векторного параметру випадкової величини методом  
максимізації поліному 27 
2.2 Варіаційна матриця оцінок, знайдених методом максимізації поліному 31 
3. АЛГОРИТМИ СПІЛЬНОГО ВИМІРЮВАННЯ АМПЛІТУДИ  
ГАРМОНІЧНОГО СИГНАЛУ І ПАРАМЕТРІВ АСИМЕТРИЧНОЇ  
ЗАВАДИ 1-ГО ТИПУ 37 
3.1 Постановка задачі оцінювання амплітуди гармонічного сигналу при  
відсутності апріорної інформації про параметри завади 37 
3.2 Алгоритм вимірювання амплітуди гармонічного сигналу при  
гауссівській заваді, синтезований методом максимальної  
правдоподібності 44 
3.3 Синтез алгоритму спільного вимірювання амплітуди гармонічного  
сигналу і параметрів асиметричної завади 1-го типу, оптимальний в класі  
степеневих перетворень при s=3 47 
  
  
  
  
3.4 Побудова алгоритму спільного вимірювання амплітуди гармонічного  
сигналу і параметрів асиметричної завади 1-го типу, заданого в класі  
степеневих поліномів при s=4 53 
3.5 Розробка алгоритму спільного вимірювання амплітуди гармонічного  
сигналу і параметрів асиметричної завади 1-го типу заданого в класі  
поліноміальних перетворень при s=5 57 
4. АНАЛІЗ ТОЧНОСТІ АЛГОРИТМІВ СПІЛЬНОЇ ОЦІНКИ АМПЛІТУДИ  
ГАРМОНІЧНОГО СИГНАЛУ ТА ПАРАМЕТРІВ АСИМЕТРИЧНОЇ  
ЗАВАДИ 1-ГО ТИПУ 61 
4.1 Знаходження дисперсій оцінок, знайдених методом максимізації  
поліному при s=3 61 
4.2 Обчислення дисперсій оцінок, знайдених методом максимізації  
поліному s=4 65 
4.3 Розрахунок дисперсій оцінок, знайдених методом максимізації  
поліному s=5 69 
Висновки 73 
Список використаної літератури 75 
 
 
ВСТУП 
 
Актуальність роботи. При оцінюванні кутової координати об’єкту 
амплітудним методом пеленгації виникає необхідність вимірювати (статистично 
оцінювати) амплітуду корисного сигналу, що приймається на фоні завад. 
Класичною моделлю адитивної завади є випадкова величина з гауссівським 
законом розподілу, але вона не в повній мірі описує реальні завади. Для 
врахування тонкої структури завади пропонується крім математичного сподівання 
і дисперсії, характеризувати її додатковим параметром – коефіцієнтом асиметрії. 
Параметри завади можуть змінюватися в рамках вибраної моделі, тому їх 
доцільно вимірювати разом з інформативним параметром корисного сигналу. 
Оскільки завада має кумулянтний опис, то для знаходження оцінок параметрів 
можна використовувати метод Кунченка (метод максимізації поліному) [1, 2]. 
Негауссівські завади більш повно описують завади в реальних каналах зв'язку, 
тому синтез поліноміальних алгоритмів оцінювання амплітуди гармонічного 
сигналу, що адаптуються під конкретну завадову обстановку, є важливою 
технічною задачею. 
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами темами. Дана випускна 
магістерська робота виконується в рамках наукових досліджень по оцінці 
параметрів сигналів на фоні негауссівських завад, що проводяться 
співробітниками кафедри РТСК Черкаського державного технологічного 
університету.  
Мета і завдання дослідження.  
Метою даної роботи є синтез алгоритмів спільного вимірювання амплітуди 
гармонічного сигналу A  та параметрів асиметричної завади 1-го типу (дисперсії 
2  і коефіцієнта асиметрії 3 ) по основній вибірці. 
Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити такі завдання: 
• проаналізувати існуючі статистичні методи оцінювання параметрів 
випадкової послідовності і обґрунтувати доцільність використання методу 
максимізації поліному для синтезу адаптивних алгоритмів вимірювання 
амплітуди гармонічного сигналу; 
• синтезувати поліноміальні алгоритми спільного вимірювання амплітуди 
гармонічного сигналу і параметрів асиметричної завади 1-го типу при 
степенях поліному s = 3,4,5 ; 
• побудувати блок-схеми обчислювальних алгоритмів спільного вимірювання 
амплітуди гармонічного сигналу і параметрів досліджуваної моделі завади; 
• знайти аналітичні вирази та дослідити точнісні характеристики 
синтезованих алгоритмів і провести порівняння з точнісними 
характеристиками алгоритму-прототипу та з ростом степені поліному. 
Наукова новизна одержаних результатів. В магістерській випускній роботі 
синтезовано алгоритми вимірювання амплітуди гармонічного сигналу спільно з 
параметрами асиметричної завади 1-го типу при s = 3,4,5 . Отримано аналітичні 
вирази асимтотичних дисперсій оцінок параметрів і проаналізовано їх характер в 
залежності від значень коефіцієнта асиметрії. 
Практичне значення одержаних результатів. Точність синтезованих 
алгоритмів може бути вищою ніж у існуючих аналогів, за умови, що коефіцієнт 
асиметрії завади відмінний від нуля. 
1. СТАТИСТИЧНІ МЕТОДИ ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ СИГНАЛІВ 
 
1.1 Поняття про оцінку параметрів сигналів, що приймаються 
 
Вимірювання (оцінювання) використовується як засіб реєстрації фізичних 
величин і явищ безперервного типу з метою отримання інформації про 
властивості та параметри об'єктів спостереження. До таких параметрів в 
інформаційних системах, у тому числі в системах промислового та медичного 
контролю, належать насамперед такі параметри: 
1) Час появи або запізнення сигналу по відношенню до опори, наприклад, 
ехо-сигналу, відбитого від об'єкта, що виявляється, щодо часу посилки 
зондувального сигналу =2r/c, де  - тривалість до відбивача, с - швидкість 
поширення сигналу. 
2) Кутові координати об'єкта – азимут та кут місця. 
3) Частота сигналу чи доплерівське зміщення частоти відбитого сигналу, 
пропорційне радіальній швидкості об'єкта, що відбиває Vr=dr/dt. 
4) Зміна форми або спектра сигналу, що визначається геометрією, 
матеріалом об'єкта тощо. 
5) Амплітуда. 
Розрізняють прямі (безпосередні) та непрямі вимірювання. У першому 
випадку вимірюється сама величина i, що цікавить спостерігача, у другому 
випадку – деяка функція  (1 , 2,… n) від сукупності величин i, що цікавлять 
спостерігача. У сучасних інформаційних системах прямі вимірювання як наслідок 
порівняння деякої вимірюваної величини з іншою, прийнятої за зразок, мають 
місце зазвичай лише в найпростіших випадках. Як правило, вихідна величина, що 
цікавить нас, визначається шляхом обробки первинних вимірювань за певним 
алгоритмом або за допомогою відповідних аналогових пристроїв. Так, наприклад, 
дальність від відбивачів визначається перерахуванням інтервалу часу  на 
відстань r; радіальна швидкість розраховується за вимірами доплерівського зсуву 
частоти і т.д. 
Будь-якому виміру притаманні помилки, які за походженням можна 
поділити на такі основні види: 
- особисті помилки, що залежать від фізичних особливостей спостерігача 
(його кваліфікація, досвід, стомлюваність тощо); 
- інструментальні, пов'язані з не ідеальністю приладу; 
- Зовнішні помилки, пов'язані з впливом на процес вимірювань зовнішнього 
середовища (вібрації, течії, флуктуації параметрів середовища, зовнішні шуми та 
шуми апаратури і т.д.); 
- методичні помилки або помилки моделі, що виявляються при обробці даних 
первинних вимірювань і пов'язані з неминучими наближеннями, прийнятими в 
алгоритмі обробки, та неможливістю врахування всіх факторів, що впливають на 
величину, що вимірюється. 
За характером прояви кожну з цих помилок можна зарахувати до 
систематичної чи випадкової помилки. 
Систематична помилка визначається суттєвими зв'язками, що виникають у 
процесі вимірів і неминуче спотворюють результати вимірів при кожному 
повторенні виміру. Ця помилка зазвичай усувається або зменшується до 
прийнятного рівня шляхом ретельного аналізу причин, що її викликають, та 
введення відповідних поправок. Найбільш радикальним методом виправлення 
систематичної помилки є калібрування приладу за еталонним приладом високої 
точності. 
Тому межа підвищення точності вимірів зазвичай визначається випадковими 
помилками, які у принципі неможливо точно врахувати та виправити, так як вони 
зумовлені впливом на процес вимірювань статистичних явищ – шумів та завад. 
Відповідно до всього сказаного завдання оцінки параметрів сигналу можна 
сформулювати в такий спосіб. Нехай сигнал на вході приймального пристрою х(t) 
представляє собою комбінацію корисного сигналу s(t; 1 , 2,… n), де i  є 
комбінацією корисного сигналу - параметри, що цікавлять спостерігача, а також 
мультиплікативної (t) і адитивної n(t) завад, тобто 
 
x(t)= (t)* s(t; 1 , 2,… n)+n(t) 
 
Завдання отримання оцінки полягає у відшуканні такого алгоритму обробки 
вхідного сигналу х(t), який дозволить отримати за даними вимірювання оцінки 
параметрів i*, у певному сенсі максимально близькі до дійсних значень i. 
При цьому розрізняють два види оцінки: 
- точкова оцінка, коли для кожної скалярної складової вимірюваного 
параметра i дається одне значення оцінки i*; 
- інтервальна оцінка, що визначається областю, ймовірність попадання 
істинного значення, в яку залишається в заданих межах. В інформаційних 
системах найчастіше використовуються точкові оцінки. 
 
1.2 Якість оцінок та критерії оптимальності вимірювання параметрів 
 
Наявність завад спричиняє відмінність точкової оцінки * від істинного 
значення параметра . При цьому показником якості є статистично усереднене 
значення помилки виміру ε=*-. Якщо вжито заходів щодо виключення грубих 
промахів та систематичних помилок, то помилки вимірювання зводяться лише до 
випадкових. 
Математичне очікування помилки  =М[α*-α] дозволяє визначити наявність 
або відсутність систематичної помилки. Якщо  =0, тобто  *= , оцінка 
називається незміщеною, що свідчить про відсутність систематичної помилки. 
При   0 , тобто * , оцінка називається зміщеною, що є результатом дії не 
усуненої систематичної помилки. Якщо при необмеженій кількості вимірювань 
(n→∞) оцінка α* прагне α, то така оцінка називається слушною. 
Показниками якості вимірювання є: 
1) Середньоквадратична помилка: 
 
 
 
де p(ε) – одномірна густина розподілу ε. 
2) Ймовірна (середня) помилка εсер, що відповідає такому значенню ε= εсер, 
яке ділить площу під кривою p(ε) навпіл (рис.1.1) 
P(│ε│≤ εсер)= P(│ε│≥ εсер)=0,5 
 
p(ε) 
P(│ε│≤ εсер) 
 
Рисунок 1.1 – Одномірна густина розподілу ε 
3) Максимальна похибка εмах – така, ймовірність перевищення якої по 
модулю менше 0,8%. Інтервал 2εмах зветься довірчим інтервалом. 
У разі центрованого гаусівського закону розподіл випадкових помилок 
однозначно пов'язаний співвідношеннями 
 
ε 2 8
вер≈ ε
3 скв;  εмах=  ε
3 скв≈4εвер 
 
 
Рисунок 1.2 – Ймовірність помилки 
 
4) Дисперсія помилки  Dε=M[( −  )]= 2 − 2 .  
У випадку незсунутої оцінки  = 0  і Dε= 2 =ε2
cкв. Бажано, щоб дисперсія 
оцінки була як можна менше. Оцінка, що має найменшу дисперсію із усіх 
можливих оцінок, називається ефективною. 
5) За аналогією з теорією статистичних рішень у задачах виявлення як 
фундаментальний критерій вимірювання може бути прийнятий середній ризик 
помилки вимірювання: 
 

r =   r( ,*) p( ,*)dd *                                   (1.1) 
−
 
де p(α, α*) – спільна густина ймовірності значення оцінки α* та істинного 
значення α, тобто p(α, α*)dαdα* - елемент ймовірності довільної ситуації 
відповідності α* та α; r(α, α*) – функція вартості помилки для ситуації (α, α*). 
Оптимізація вибору оцінки α* зводиться, як і в теорії виявлення, до мінімізації 
середнього ризику. 
Мінімізація пов'язана з перебором значної частини ситуацій (α, α*). Щоб 
зменшити це число, зіставлення α і α* виробляють при одному з двох припущень, 
що спрощують: вимірювана величина α вважається не випадковою; вимірювана 
величина α випадкова, але відома густина ймовірностей її значень p(α). 
Перший підхід відповідає класичній теорії оцінювання, коли не потрібно 
знання функцій розподілу. Завдання зводиться до запровадження критерію 
незсунутості оцінки, тобто. усувається систематична помилка без оцінки 
випадкової чи функціональної помилки (метод найменших квадратів). 
У системах локації, у тому числі в системах неруйнівного контролю та 
медичної діагностики, перевага надається другому підходу - байєсівської теорії 
оцінок, яка дозволяє за апріорним розподілом p(α) та обраною функцією вартості 
помилки r(α,α*) створити однакову методику оптимізації оцінок. 
 
 
1.3 Основні положення байєсівської теорії вимірювання 
 
Нехай на вхід вимірювального пристрою надходить сигнал х(t), що 
складається з інформативного сигналу s(t,α,β), де α – випадковий параметр, що 
вимірюється, β – випадковий не вимірюваний параметр, і флуктуаційної завади 
n(t). Потрібно визначити правило визначення оцінки α*, оптимальної з погляду 
критерію мінімуму середнього ризику r . Оскільки оцінка α* закономірно 
встановлюється у залежність від прийнятої реалізації сигналу x, тобто. α*= α*(х), 
то й плата за помилку тепер залежатиме від вибору функції α*(х), тобто. r(α, 
α*)=[α*(x)]. Аналогічно для елементу ймовірності можна записати рівність: 
 
p(α*, α)dα*dα=p(x,α)dxdα=p(x)p(α/x)dxdα                          (1.2) 
 
де p(x) – густина розподілу реалізації вхідного сигналу; p(α/х) – апостеріорна 
(після дослідна) щільність розподілу параметра α. 
Вираз середнього ризику (3.1) з урахуванням рівності (3.2) тоді запишеться 
як: 
Выражение для среднего риска (3.1) с учетом равенства (3.2) тогда запишется 
в виде: 
 

r  *(x) =   r ( , *) p( , *)dd*=  r  * (x)p (x) p (x / )dxd =
− x  (1.3) 
=  r  *(x) / xp(x)dx
x
де  

r[α*(x)/x]=  r  *(x)p( / x)d                                     (1.4) 
−
 
умовний середній ризик, тобто. середній ризик прийому цієї реалізації х. 
Мінімум виразу (1.3) досягається тоді, коли для кожної прийнятої реалізації 
досягається мінімум умовного середнього ризику по рівнянню (1.4). 
Для пошуку умов мінімізації виразу (1.4) необхідно встановити функцію 
плати за помилку r[α*(x)]. Розглянемо деякі можливі види функцій плати за 
помилку чи функції ризику r(ε)=r(α*-α). 
1) Проста функція ризику 
 
r(ε)=c-δ(α-α*), с=сonst                                                (1.5) 
 
r(ε) 
c 
ε=α-α* 
-ε ε 
 
Рисунок 1.3 – Проста функція ризику 
 
Всім правильним відлікам приписується вартість, що дорівнює -∞, а всім 
неправильним, незалежно від величини помилки, приписують вартість с. 
2) Допустима (ступінчаста) функція ризику 
 
r(ε)=0, │α-α*│<ε0                                          (1.6) 
с, │α-α*│>ε0 
 
r(ε) 
 
c 
-ε - ε0 ε0 ε 
  
 
Рисунок 1.4 – Ступінчаста функція ризику 
Всім оцінкам, абсолютна помилка яких не перевищує деяку допустиму ε0, 
приписують нульову вартість, а оцінкам з помилкою більше  ε0 – постійну 
вартість с. 
3) Лінійна (модульна) функція ризику 
  
r(ε) 
-ε ε 
 
Рисунок 1.5 – Лінійна функція ризику 
 
4) Квадратична функція ризику  
 
R(ε)=c(α-α*)2                                                                             (1.8) 
 
 
r(ε) 
-ε ε 
 
Рисунок 1.6 – Квадратична функція ризику 
 
5) Функція ризику с насиченням  
 
r(ε)=1-еxp[-c(α-α*)2]                                           (1.9) 
 
 
 
r(ε) 
-ε ε  
Рисунок 1.7 – Функція ризику з насиченням 
 
Тут враховується, що найчастіше вартість помилки не може зростати 
необмежено зі зростанням помилки. 
При використанні квадратичної функції ризику оптимізація вимірювань 
зводиться до мінімуму середньоквадратичної помилки. Вибір лінійної (модульної) 
функції ризику призводить до забезпечення мінімуму середнього модуля 
помилки. Вибір ступінчастої функції ризику забезпечує мінімум ймовірності 
перевищення модулем помилки певної межі ε0. 
Мабуть, найчастіше використовується квадратична функція ризику. 
Підставляючи її в (1.4), отримаємо: 
 

2
r  *(x) / x =   *(x) − p( / x)d                             (1.10) 
−
 
Для знаходження оптимальної оцінки α*опт досліджуємо екстремум рівності 
(1.10): 

d 2
d * 
( *− ) p( / x)dx = 0,  
−
звідки 

2
 ( − *) p( / x)d =0                                      (1.11) 
−

Оскільки  p( / x)d =1 при будь-якому х, то з виразу (1.11): 
−

α*опт(х)=   p( / x)d =М[α/х] .                             (1.12) 
−
Оптимальна оцінка відповідає в цьому випадку математичному очікуванню α 
за умови прийому реалізації х або середнього значення α, визначеного після 
дослідної кривої розподілу p(α/х). Інакше кажучи, вона відповідає центру тяжіння 
кривої p(α/х). З огляду на рівності (1.11) така оцінка є незсунутою, тобто М[α*-
α]=0. Тому мінімальний середній квадрат помилки визначається дисперсією 
розподілу після дослідної густини ймовірності прийнятої реалізації, тобто 
 
2
( − * 2
опт) =  −M ( / x) =D(α/x) 
 
Для модульної функції ризику аналогічно можна отримати: 
 
 
d d
 *− p( / x)d = ( *− ) p( / x)d +
d *  d * 
− −
 

d
+  ( − *) p( / x)d = 0
d *
−
або 
* 
 p( / x)d =  p( / x)d . 
− *
 
Таким чином, оптимальна оцінка за модульною функцією ризику 
r[α*(x)]=│α*- α│ Відповідає медіані після дослідного розподілу p(α/х). Той самий 
результат виходить і для ступінчастої функції ризику. 
У більшості прикладних завдань функції розподілу p(α/х) мають 
симетричну форму, наприклад, гаусівську. І тут центр тяжіння розподілу та її 
медіана збігаються з максимумом щільності розподілу. Отже, у більшості цікавих 
випадків оптимальна байесівська оцінка залежить від вибору функції ризику. 
1.4 Максимально правдоподібна оцінка 
 
З аналізу байєсовських оцінок випливає, що для отримання оптимальних 
оцінок потрібне знання після дослідних густин розподілу ймовірностей 
вимірюваного параметра α. По теоремі множення щільність розподілу 
ймовірностей поєднання подій p(α,х) може бути представлена у двох видах: 
 
p(α,х)=p(х)p(α/х)=p(α)p(х/α)                                       (1.13) 
 
Користуючись цією рівністю, можна встановити зв'язок після дослідної 
густини ймовірностей p(α/х) з безумовною до дослідною густиною розподілу 
вимірюваного параметра p(α) і умовною густиною ймовірності прийнятої 
реалізації при виміряному значенні параметра p(х/α): 
 
1
p(α/x)= p(α)p(x/α)                                             (1.14) 
p(x)
 
Безумовна щільність ймовірностей реалізації х, яка стоїть у знаменнику 
рівності (1.14), що містить будь-яке значення α, може бути визначена, як: 
 

p(x)=  p(x / )p( )d .                                          (1.15) 
−
 
З урахуванням (1.15) та (1.14) може бути записана у вигляді: 
 
 
 
 1 
p(α/x)=  p(α)p(х/α), 

  p(x / ) p( )d 
 
− 
 
де не залежний від α знаменник грає роль нормуючого множника 
 
1
N= , 

 p(x / ) p( )d
−
тобто 
p(α/x)=Np(α)p(x/α).                                         (1.16) 
 
За аналогією з теорією виявлення можна ввести умовне відношення 
правдоподібності як відношення умов густини ймовірностей реалізації за 
наявності сигналу, що містить параметр α, до густини ймовірностей реалізації, що 
містить лише заваду: 
 
p(x / )
l(x/α) = .                                             (1.17) 
pn (x)
 
З урахуванням (1.17) вираз (1.16) може бути переписаний у вигляді: 
 
p(α/x)=N’p(α)l(x/α),                                      (1.18) 
де  
1
N’=  

 l(x / ) p( )d
−
множник, як і N, що нормує площу під кривою після дослідної щільності 
ймовірностей до одиниці. Таким чином, методика відшукання оптимальних 
оцінок α*опт зводиться до визначення функцій, пропорційних після дослідної 
щільності ймовірностей параметра α, та визначення абсциси максимуму цих 
функцій. При цьому значний вплив на після дослідний розподіл має рівень завад. 
Розглянемо вплив перешкод на найпростішому прикладі оптимізації 
вимірювання параметра з рівномірною щільністю розподілу в інтервалі α1<α<α2: 
 
 
 
1
  2 −1
 
α2 α1 
 
Рисунок 1.8 – Рівномірна щільність розподілу 
 
Розподіл завади вважаємо центрованим гауссовським (рис.1.9,а). Тоді 
умовна щільність ймовірностей при виміряному значенні α має вигляд, 
представлений на рис.1.9,б. 
 
а) б) 
Рисунок 1.9 – Гауссівський розподіл завади (а) та умовна щільність ймовірностей 
при виміряному значенні α 
 
Відповідна після дослідна густина розподілу ймовірностей на основі 
рівності (3.16)  
p(x/α)=Np(α)p(x/α) 
α1 α2 α 
 
Рисунок 1.10 – Післядослідна густина розподілу ймовірностей 
Крива p(α/x), таким чином враховує як результат вимірювання х, так і 
дослідні дані про розподіл вимірюваної величини і завади n(t). Вплив 
співвідношення сигнал/завада на результат вимірювання можна проілюструвати 
рисунком 1.11 для двох крайніх випадків – слабкої та сильної перешкоди. 
 
Нехай завада мала (σn<<α 2 –α1) 
 
При сильній заваді (σn>>α 2 –α1) 
 
Рисунок 1.11 – Вплив співвідношення сигнал/завада на результат вимірювання 
 
У першому випадку (при високочастотних вимірах) немає потреби у знанні 
переддослідного розподілу p(α), і перебіг кривої післядослідного розподілу 
визначається виміром х та дисперсією перешкоди σn. У другому випадку крива 
післядослідного розподілу не відрізняється від переддослідного, тобто результати 
виміру не достовірні. Отже, у разі високоточних вимірів, тобто. коли розподіл 
p(α) значно ширший за p(х/α), дослідна інформація не уточнює результати 
вимірювань, і відшукання оптимальної оцінки зводиться до оцінки максимальної 
правдоподібності, що відповідає абсцисі максимуму однієї з монотонно 
пов'язаних між собою функцій: p(х/α), l(x/α), lnl(x/α). Остання функція найчастіше 
зручна, так як для ряду законів розподілу зводиться до якоїсь простої функції 
вимірюваного параметра α, одержуваного на виході оптимального пристрою 
виявлення до порогової схеми. 
У разі вимірювання параметрів 1 , 2,… n оптимізація оцінки зводиться до 
розв'язання рівнянь правдоподібності 
 
l l l
= 0 ;   = 0 ;    = 0 . 
  
1 2 3
 
Слід зазначити, що й помилки вимірювання розподілені по гауссовскому 
закону, то метод максимальної правдоподібності дає ті самі результати, як і 
класичний спосіб обробки статистичних вимірів методом найменших квадратів. 
Відношення правдоподібності монотонно пов'язане із кореляційним 
інтегралом. Тоді оптимальну оцінку можна знайти з умови: 
 

Z (x / ) = 0 , 

 
де Z(x/α) – кореляційний інтеграл при значенні параметра, що дорівнює α. Це 
оптимальна оцінка за критерієм максимуму правдоподібності. 
Реалізація оптимальної оцінки потребує обчислення безлічі значень 
кореляційного інтегралу. Отже, потрібно мати багатоканальні корелятори, кожен 
канал яких обчислює кореляційний інтеграл Z(x/α) при фіксованому значенні 
параметра. Практично число каналів обмежується кінцівкою інтервалів 
невизначеності τ і Ω для функцій невизначеності реальних зондувальних сигналів. 
Якщо у нас використовуються не корелятори, а узгоджені фільтри, то кожен канал 
все одно потрібно стробувати за часом, і узгоджені фільтри ставляться вже після 
стробуючого пристрою. 
Схема кореляційного інтеграла має вигляд, представлений на рис.1.12. 
 
 
 
Рисунок 1.12 – Схема кореляційного інтеграла 
 
На перемножувач подаються копії сигналів, причому значення параметра, що 
вимірюється в кожному каналі своє, що змінюється з кроком ∆α. Максиму буде в 
i-тому каналі, в якому α+(i-1)∆α найближче до вимірюваного. Вирішальний 
пристрій вибирає канал з максимальним значенням кореляційного інтеграла, і 
відповідне значення параметра приписується параметру, що вимірюється. 
 
1.5 Потенційна точність визначення параметра 
 
Похибка вимірювання параметрів сигналів у будь-якій вимірювальній 
системі обумовлена такими причинами: 
1) Флуктуаціями, що супроводжують сигнал. 
2) Змінами параметра, що вимірюється, протягом часу вимірювання. 
3) Недосконалістю вимірювальної апаратури. 
Перша причина обмежує потенційну точність вимірів, друга – динамічну 
точність (динамічну помилку), третя причина зумовлює інструментальну 
похибку. 
Розглянемо потенційну точність вимірів. Вона визначає граничну точність 
виміру параметра сигналу від нерухомого, незмінного у часі об'єкта при ідеальній 
роботі апаратури. При знайденні оцінок параметрів сигналу вважатимемо, що 
параметр α, що вимірюється, протягом часу Т аналізу та оцінки залишається 
постійним. На вході вимірювача діє суміш сигналу з шумом 
 
х(t)=s(t,α)+n(t). 
 
Відомо, що сигнал з вимірюваним параметром існує в прийнятому 
коливанні, і відношення сигнал/завада δ>>1. 
Знайдемо оптимальну оцінку за критерієм максимальної правдоподібності. 
Для гаусівського білого шуму та детермінованого сигналу ми можемо записати 
функцію правдоподібності так само, як раніше записували відношення 
правдоподібності: 
 
 E  2Z (x / )  2 
l(x/α)=exp −
s
exp   = K exp  Z (x / ) , 
 N0   N0  N0 
 
T
де Z(x/α)=  x(t)s(t,*)dt  - кореляційний інтеграл. 
0
Представимо його у вигляді: 
 
T T
Z (x / ) =  x(t)s(t,*)dt =  s(t, )s(t,*)dt +
0 0
. 
T
+n(t)s(t,*)dt = Zs (*, ) + Zn(n,*)
0
 
Перший інтеграл є кореляційною функцією сигналу, а другий - флуктуації на 
виході корелятора. Оскільки виміри проводяться при δ>>1, то другим інтегралом - 
флуктуаційним - можна знехтувати. В результаті функцію правдоподібності 
можна записати у вигляді: 
 
 2 
l(x/α)=l(α*/α)=Kexp  Zs (*, ) . 
N0 
 
Сигнальну складову кореляційного інтеграла можна розкласти в ряд Тейлора 
на околицях точки α*=α, обмежуючись трьома першими членами: 
 
1
Zs(α*,α)=Zs(α,α)+ Zs’(α,α)(α-α*)+  Zs’’(α,α)(α-α*)2. 
2
 
Перший член не містить помилки виміру. Другий член дорівнює нулю, так як 
похідна в точці екстремуму дорівнює нулю (оцінка ведеться по максимуму 
кореляційного інтеграла). Таким чином, функція правдоподібності для 
оптимальної оцінки вимірюваного параметра 
 
( −*)2Z ''
s ( , ) 
l( * / ) = K exp   .                            (1.19) 
 N0 
 
При широкому апріорному розподілі p(α), як ми вже говорили раніше, цей 
вираз може розглядатися як густина розподілу оцінки α*. Видно, що закон цей 
гаусівський із середнім  * =  та дисперсією 
 
N
 2 = − 0
                                                    (1.20) 
2Z ''
s ( , )
Тут 
2
Z '' d
s ( , ) = Zs (*, )  
d2
a*=a
 
На рис.1.13 зображено відгук корелятора або узгодженого фільтра на суміш 
довільного сигналу з шумом. 
 
 
Рисунок 1.13 – Відгук корелятора на суміш довільного сигналу з шумом 
 
Справжнє значення параметра, що вимірюється – α. Напруга шуму зміщує 
максимум на величину α- α*, з чого з'являється помилка виміру. 
Якщо вимірюваним параметром є затримка сигналу, то замість α потрібно 
підставити τ. Якщо оцінюється частота доплерівського зсуву Ω, то підставляється 
значення частоти, а відгук корелятора чи узгодженого фільтра сприймається як 
функція частоти. Таким чином, при вимірюванні будь-якого параметра сигналу 
вираз (1.20) визначає потенційну похибку вимірювання, обумовлену наявністю 
шуму у вхідній суміші x(t). 
2. ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ СИГНАЛІВ  
МЕТОДОМ МАКСИМІЗАЦІЇ ПОЛІНОМУ 
 
2.1 Оцінка векторного параметру випадкової величини методом 
максимізації поліному 
 
При розв'язанні практичних задач часто виникає необхідність оцінювати не 

один параметр, а декілька параметрів, тобто оцінюваний параметр   є векторним 

 = 1,2 ,...,q розмірністю q = 2,3,....  
При оцінці параметрів методом максимізації поліному у якості апріорній 

інформації використовується послідовність функцій iv (), i =1,2s , що залежать 

від векторного параметра  . При оцінці векторного параметра, ці функції в 
загальному випадку будуть залежати або від усіх складових векторного 
параметра, або тільки від частини. Однак, надалі, залежність функцій від 

векторного параметра будемо позначати через  iv ().  

Будемо припускати, що функції iv (), i =1,2s, v =1,n , існують, тобто 
 
 
iv ()  civ   , для  , 
 
і вони двічі дифференцьовані по кожній складовій векторного параметра, тобто 
 
  2   
 iv ( )  
  biv   ,   iv ()   ,    
2 iv ()   ,   для i  . 
m  pm m
 
 
Вибіркові значення x  отримані, коли параметр   має істинне значення 

0 = 10 ,20 ,...,q0. 

За вибіркою x  незалежних неодноково розподілених вибіркових значень 
̂
необхідно знайти оцінку векторного параметра  , тобто необхідно знайти оцінку 

кожної компоненти векторного параметра, тобто ˆ = ˆ 1,
ˆ
2 ,...ˆ q. 
Для знаходження оцінки векторного параметра, необхідно для кожного 

складової m , m =1,q вектора   побудувати степеневий стохастичний поліном 
ступеня s виду 
 
  s n  
(v)
l 
sn(m) (x;) =h ( ) ()i (xv )−h0(m) ().                    (2.1) 
0 i m
i=1 v=1
де 
 m   n s m  
(v) (v)
hi(m) ()=  ki(m) ()dm ,    h0(m)() (v)
=  ki(m) () iv ()dm . 
a v=1 i=1
m am
 
 
(v)
Коефіцієнти параметра   ki(m) ()  знаходяться для кожної m-ої складової 
із розв'язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь 
 
s   
(v) 
k j(m) ()F(i, j)v ()=  iv (), i =1, s, m =1,q, v =1,n .          (2.2) 
j=1 m
 
  
( ) (v)
Індексом m у скобках знизу в поліномах lsn(m) x;  і в коефіцієнтах ki(m) () 
надалі будемо позначати номер складової оцінюваного векторного параметра. Для 
покращення сприйняття результатів замість номера будемо записувати сам 
параметр, який підлягає оцінюванню.  
В якості оцінки беруться ті значення складових, для яких кожний зі 
 
стохастичних поліномів lsn(m) (x;), m =1,q  виду (2.1) досягає спільно 
максимального значення.  
Оскільки за будовою стохастичних поліномів (2.1), кожний із них 
диференціюється за параметром m , то знаходження оцінки приводить до того, 

що оцінки складових вектора   знаходяться зі спільного розв'язку системи q 
рівнянь максимізації поліному виду 
 
  
lsn(m )(x;) = 0, m = 1,q .                           (2.3) 
  
m ˆ
=
 
Остання система в розгорнутому виді буде дорівнювати 
 
s n  
k (v)
i(m) ()i (xv )−  iv () = 0, m = 1,q .            (2.4) 
 
i=1 v=1 ˆ
=
 
Отже, метод максимізації поліному, при знаходженні оцінки векторного 
параметра випадкової величини, що спостерігається, при незалежних і неоднаково 

розподілених вибіркових значеннях полягає в тому, що при заданій вибірці x  
оцінки складових векторного параметра знаходяться зі спільного розв'язку 

(v)
системи рівнянь (2.4). При цьому в кожному m-у рівнянні коефіцієнти ki(m) () 
знаходяться з розв'язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь (2.2). 
Система рівнянь виду (2.2) для знаходження коефіцієнтів із різним номером 
(m) відрізняється одна від іншої тільки правою частиною рівнянь. При цьому в 
правій частині цієї системи рівнянь використовуються часткові похідні від 

функцій iv (), i =1, s , за тією ж складовою векторного параметра m , для якої 

(v)
знаходяться коефіцієнти ki(m) () m-го рівняння, m =1,q .  
Показано [1], що оцінки векторного параметра випадкової величини, що 
спостерігається, знайдені методом максимізації поліному із спільного розв'язання 
системи рівнянь (2.4) будуть слушними. 
Складніше знаходити дисперсії оцінок складових векторного параметра. 
Справа в тому, що при знаходженні оцінки векторного параметра однієї дисперсії 
оцінок складових векторного параметра в якості характеристики якості 
оцінювання недостатньо. У цьому випадку в класі незсунутих оцінок 
використовується варіаційна матриця оцінок 
 
 
Vsn (0 )= V (i, j )
sn (0 ) , 
з елементами 
 

(
V i, j ) ( )= E(ˆ ˆ
sn 0 i − i0 )( j −  j0 ), i, j = 1,q . 
 
Далі буде показано, що знаходження варіаційної матриці оцінок, знайдених 
методом максимізації поліному, за формою збігається з випадком знаходження 
оцінок методом максимальної правдоподібності. 
 
 
 
 
 
 
 
2.2 Варіаційна матриця оцінок, знайдених методом максимізації поліному 
 
Оцінка кожної складової векторного параметра m , m =1,q , при великому 
обсязі вибірки n 1, буде незначно відрізнятися від відповідного істинного 
значення m0 . Тому кожне рівняння (2.4) можна розкласти в ряд Тейлора в 
околиці істинного значення m0 , обмежившись двома членами розкладу. 
Отримаємо 
 
  q
( ) (ˆ ) 2   
lsn(m) x;  − l − l0 − l
0 sn(m)(x;)  0. 
m l=1  m 
l 0
 
При n→  має місце наступна збіжність 
 
2  
− l  ( 
m,l )
sn(m)(x;) → J sn (0 ),                         (2.5) 
m
0
l
де 
( )  2   s n  
J m,l  (v)  
sn (0 )= −E lsn(m) (x;) =ki(m) (0 )  iv () .    (2.6) 
m
0 0
l i=1 v=1 l
 
Використовуючи вирази (2.3) і (2.4), отримаємо 
 
2   s n  
− l (x;) 
sn(m)  = −
0  k (v)
i(m) (0 )i (xv )−iv (0 )+
ml i=1 v=1 l
 
s n   
+k (v)
i(m) (0 )  iv (0 )
i=1 v=1 l
Однак, в силу слушності стохастичних поліномів перший доданок в 
отриманому виразі асимптотично прагне до нуля. Тому автоматично залишається 
другий доданок, отже, має місце збіжність (2.5). 
Оцінки векторного параметра випадкової величини, знайдені методом 
максимізації поліному, є асимптотично незсунутими. Систему рівнянь (2.4) 
можна записати у наступному вигляді 
 
q  
(ˆ l − l ) (
J m,l ) 
sn (0 ) lsn(m)(

x;) , m =1,q , 
0
l=1 m
 
Розв'язком цієї системи лінійних алгебраїчних рівнянь буде 
 
 
(ˆ m − m0 )
B
 m (x; )
 0 ,  
Dqs (0 )
 
 
де Dqs (0 ) - визначник матриці J sn (0 ) розміром qq, складеної з елементів 
J (m,l )  
sn (0 ),  виду (2.6), тобто матриця J sn (0 ) дорівнює 
 
 ( 
J ( )= J m,l )
sn 0 sn (0 ) , m,l =1,q . 
 
  
Bm (x,0 ) - визначник, що утворюється з визначника Dqs (0 ) заміною m-го 
стовпця стовпцем, складеним з елементів 
 
  
lsn(r ) (x;) , r = 1,q . 
 0
r
 
Розкладаючи визначник Bm (x,0 ) по елементах m-го стовпця, отримаємо 
 
 q
   
Bm (x;0 ) = l
0  sn(r )(x;) rm (0 ), 
r=1 
0
r
 

де rm (0 ) - алгебраїчне доповнення елемента r у m-му стовпці визначника 
 
Bm (x,0 ). Тоді для оцінки кожної складової векторного параметра асимптотично 
має місце рівність 
 
q  
(ˆ 1  
m −  
m0 )  lsn(r )(x;) rm ( ).               (2.7) 
 ps (
0
 0
0 ) r=1 l
 
В силу того, що 
 
  
E lsn(r ) (x;) = 0  
 0
r
 
для кожного r =1,q  одержуємо, що 
 
E(ˆ m −m0 )= 0,   m =1,q  
 
тобто оцінка кожної складової векторного параметра є незсунутою. Отже, оцінка 
̂
векторного параметра   в цілому буде незсунутою. 
Отримана рівність (2.6) дозволяє знайти варіаційну матрицю оцінок 
векторного параметра. Попередньо доведемо наступне твердження. Для 

(v)
коефіцієнтів ki(m) (), знайдених із розв'язку системи алгебраїчних рівнянь (2.2), 
справедлива рівність 
 
        2  
E lsn(m)(x;) lsn(m)(x;) = −E lsn(m)(x;).          (2.8) 
m r  mr
 
Використовуючи вирази (2.2) і (2.3), легко показати, що мають місце такі 
рівності: 
 
  (
     s s n  
(v) (v)
E lsn(m) x;) lsn(r ) (x;) =ki(m) ()k j(r) ()F(i, j)v (), 
m r  i=1 j=1 v=1
2  s n 
(v)  
− E lsn(m) ()=ki(m) ()  iv (). 
mr i=1 v=1 r
 

(v)
З іншого боку, коефіцієнти ki(m) () задовольняють системі рівнянь (2.2). 
Якщо тепер праву і ліву частини кожного рівняння (2.2) помножити на коефіцієнт 

(v)
ki(r) () і знайти суму по i, отримаємо рівність 
 
s s    s  
(v) (v)
ki(m) ()k j(r) ()F(i, j)v () (v) 
=ki(m) () iv (). 
i=1 j=1 i=1 r
 
Знайшовши суму по v  праву і ліву частини цього виразу, з врахуванням 
попередніх рівностей, одержимо рівність (2.8).  
Вразовуючи позначення (2.6), тепер можна записати, що  
 
         2  
J (m,r )
sn = E lsn(m) (x;) lsn(m) (x;) = −E lsn(m) (x;),   (2.9) 
m r  mr
 
яке у розгорнутому виді дорівнює 
 
s s n    s n  
(m,r) (v) ( ) (v) ( ) ( (v) 
J sn =ki(m)  k j(r)  F(i, j)v )=ki(m) () iv ().    (2.10) 
i=1 j=1 v=1 i=1 v=1 r

Для величини J (m,r )
sn () справедлива рівність 
 
 
J (m,r )
sn ()= J (r,m)
sn ().                                          (2.11) 
 
Варіація оцінок ̂m  і ̂r , знайдених методом максимізації поліному, 

асимптотично дорівнює відношенню алгебраїчного доповнення mr (0 ) елемента 
J (   
m,r )
sn (),  у визначнику Dqs (0 ) до визначника Dqs (0 ), тобто 
 
 
E(ˆ m − )(ˆ −1
m0 r −r0 )= mr ()Dqs (0 ).                        (2.12) 
 
Використовуючи вираз (2.7), можна записати  
 
q q
1  
E(ˆ −  ˆ 
m m0 )(r − r0 )= lm ( ) ( )  
D2
qs (0 )
0 kr 0
l=1 k=1
     
 E lsn(l ) (x;)* lsn(k ) (x;) , 
l k  0
 
який з врахуванням (2.9) дорівнює 
 
E(ˆ m −m0 )(ˆ r −r0 )=  
q q
1   ( )  lm ( ) ( )J k ,l
0 kr 0 sn (0 )=  
D2
qs (0 ) l=1 k=1
q q
1   
=  kr ( ) ( )J (k ,l )
0  0 sn (0 ). 
Dqs (0 )k=1 l=1
 
Оскільки виконується рівність (2.11), то внаслідок наступних властивостей 
визначника 
 
q 
( ( ) 
lm  )J k ,l
0 sn (0 )= 0 ,   k  m , 
l=1
 
q  ( )  
lm ( k ,l
0 )J sn (0 )= Dqs (0 ),    k = m  
l=1
 
одержимо рівність (2.12). 

Варіаційна матриця Vsn (0 ) оцінок компонент векторного параметра, 
знайдених методом максимізації поліному, асимптотично дорівнює зворотній 
 
матриці J sn (0 ), складеної з елементів J (m,r )
sn (), , тобто  
 
 
V ˆ ˆ
sn (0 )= E(m −m0 )(r −r0 ) −1 ( −1
= J m,r )
sn (0 )= J sn , m, r = 1, q . 
 

Матриця J sn () називається матрицею кількості інформації про векторний 
параметр, що можна добути з незалежної й неоднаково розподіленої вибірки з 
випадкової величини   методом максимізації поліному. Або коротко будемо 
називати матрицею кількості добутої інформації про векторний параметр 
випадкової величини методом максимізації поліному. 
Відзначимо, що на діагоналі цієї матриці лежать кількості добутої 
інформації про складові векторного параметра, у припущенні, що значення інших 
компонент відомі. 

Діагональні елементи матриці Vsn (0 ) є дисперсіями компонент оцінки 
векторного параметра і характеризують точність оцінок, отриманих методом 
максимізації поліному при фіксованій степені поліному s . 
3. АЛГОРИТМИ СПІЛЬНОГО ВИМІРЮВАННЯ АМПЛІТУДИ 
ГАРМОНІЧНОГО СИГНАЛУ І ПАРАМЕТРІВ АСИМЕТРИЧНОЇ ЗАВАДИ 
1-ГО ТИПУ 
 
3.1 Постановка задачі оцінювання амплітуди гармонічного сигналу при 
відсутності апріорної інформації про параметри завади 
 
Гармонічний сигнал широко використовується в різних системах передачі 
інформації. В параметрах сигналу міститься інформація про дальність, кутові 
координати, радіальну та кутову швидкість об’єкту [4]. Метод вимірювання 
координат об’єкту визначає, який з параметрів підлягає оцінці: амплітуда, 
частота, фаза. При проходженні корисного сигналу через канал зв'язку на нього 
завжди діє завада, що спотворює його. Характер взаємодії між корисним 
сигналом і завадою може бути достатньо складним, але в якості математичної 
моделі найчастіше використовують адитивні завади, тобто такі, що додаються до 
сигналу.  
Завади можуть мати різне походження: бувають атмосферні, індустріальні, 
іоносферні, космічні, внутрішні (теплові, дробові) завади. При цьому імовірнісний 
характер не завжди описується гауссівським законом розподілу. 
У загальному випадку математичною моделлю вхідного сигналу є адитивна 
суміш корисного сигналу S(A,t)  та завади n(t)  виду 
 
x(t) = S(A, t) + n(t), t[0;T ]. 
 
Задача вимірювання параметрів прийнятого сигналу з неперервним часом є 
достатньо складною. При використанні цифрового способу опрацювання сигналу, 
будемо вважати, що в розпорядженні спостерігача є незалежна вибірка 

X = {x1, x2 ,xn}  обсягом n  із генеральної сукупності значень випадкової 
величини xv , що має вигляд: 
xv = Sv + nv , v =1,n ,                                       (3.1) 
де Sv  - гармонічний сигнал, що у загальному випадку можна записати в 
наступному вигляді  
 
Sv = Acos(v +) = A Bv ,                                      (3.2) 
 
де для тригонометричної функції введемо позначення 
 
Bv = cos(v +) .                                             (3.3) 
 
У виразі (3.1) другий доданок nv - центрована випадкова величина, в описі 
якої кумулянти 2-го та третього порядків  2  і 3  грають основну роль, кумулянти 
 i  порядку i, i = 4,2s  строго рівні нулю, а вищі кумулянти не використовуються, 
тому можуть бути довільними. Таким чином, nv  є перфорованою асиметричною 
випадковою величиною 1-го типу з глибиною перфорації r = 2s −3 .  
У виразі (3.2) A,,  - відповідно амплітуда, частота і початкова фаза 
гармонічного коливання,   - рівномірний крок дискретизації, v  - відліки 
(моменти часу спостереження);  
У багатьох випадках частота коливання і початкова фази бувають відомі. У 
якості інформативного параметра сигналу виступає амплітуда A , тому її 
необхідно вимірювати. Така задача виникає при оцінюванні кутової координати 
об’єкту амплітудним методом пеленгації [4]. Згідно цього методу, амплітуда 
прийнятого сигналу залежить від різниці кутів між напрямком максимуму 
результуючої діаграми спрямованості антени і напрямком приходу радіохвиль, 
відбитих від об’єкту.  
Будемо вважати, що завадова обстановка може змінюватися з часом, тому 
невідомою виявляється не тільки амплітуда корисного сигналу, але і параметри 
асиметричної завади 1-го типу. Параметри завади можна вимірювати окремо від 
амплітуди гармонічного сигналу. У цьому випадку необхідно використовувати 
декілька вибірок, що ускладнює процедуру знаходження оцінок. Налагоджуватися 
(адаптуватися) до невідомих параметрів завади можна, використовуючи одну 
основну вибірку, а саму процедуру оцінювання називають навчанням без вчителя 
або самонавчання. 
Таким чином, метою даної роботи є синтез поліноміальних алгоритмів 
спільної оцінки (вимірювання) амплітуди гармонічного сигналу A  та параметрів 
асиметричної завади 1-го типу (дисперсії 2  і коефіцієнта асиметрії 3 ) по 
основній вибірці. Тобто алгоритми будуть постійно адаптуватися під конкретну 
завадову обстановку і крім інформативного параметру A  додатково спільно з ним 
оцінюються параметри завади 2  і 3 . 
Введемо додаткові обмеження на вибіркові значення сигналу, які спростять 
алгоритми знаходження оцінок параметрів і можуть бути легко реалізовані на 
практиці. При цьому асимптотичні властивості оцінок параметрів зберігаються. 
Нехай за час спостереження T  (тобто за час n ) кількість періодів 
гармонічного сигналу дорівнює цілому числу, а саме = 2l, l =1,2,   
Вибір кроку дискретизації   здійснюється таким чином, що для будь-якої 
непарної степені k  тригонометричної функції виконується тотожність 
 
n n
sink (v + ) =cosk (v + ) = 0,                        (3.4) 
v=1 v=1
 
а для парних степенів перетворення тригонометричної функції: 
 
n n n
sin2 (v + ) =cos2 (v + ) = ,  
v=1 v=1 2
n n
sin4 3
(v + ) =cos4 (v + ) = n.                            (3.5) 
v=1 v=1 8
 
Крок дискретизації обраний таким чином, що накладаються обмеження на 
комбінації добутків тригонометричних функцій для будь-яких p,k = 2,3,  
n
sin( pv +)cos(kv +) = 0,  
v=1
n
sin( pv + )sin(kv + ) = 0, p  k,                        (3.6) 
v=1
n
cos(pv + )cos(kv + ) = 0, p  k.  
v=1
 
Перш ніж синтезувати алгоритми оцінювання параметрів розглянемо 
моментно-кумулянтний опис випадкової послідовності виду (3.1), що поступає на 
вхід приймача. Передбачається, що метод максимізації поліному буде 
використовуватися до 5-ї степені, тому необхідно знати вирази початкових 
моментів до 10-го порядку. В роботі [1, стор.111] наведено вирази початкових 
моментів через кумулянти до 12-го порядку для центрованої асиметричної 
випадкової величини 1-го типу. 
Тоді для досліджуваної перфорованої випадкової величини виду (3.1) 
вирази для початкових моментів запишуться у вигляді: 
 
m 2
1v = Sv ,   m2v = Sv + 2 ,  
m = S 3 + 3S  + 1,5
3v v v 2 2 3 ,  
m = S 4
4v v + 6S 2 1,5 2
v 2 + 4Sv2 3 + 32 ,  
m = S 5 +10S 3 +10S 21,5 +15S 2 + 2,5
5v v v 2 v 2 3 v 2 2 3 ,  
m = S 6 +15S 4 + 20S 31,5 2 2 2,5 3
6v v v 2 v 2 3 + 45Sv 2 + 60Sv2 3 + 2 (102
3 +15),  
m = S 7 5
7v v + 21Sv2 + 35S 41,5 +105S 3 2
v 2 3 v2 + 210S 22,5
v 2 3 +
 
+ 7S 3 (102
v 2 3 +15) +1053,5
2 3 ,
m = S 8 + 28S 6 + 56S 51,5 + 210S 42 + 560S 32,5
8v v v 2 v 2 3 v 2 v 2 3 +
                (3.7) 
+ 28S 2
v 
3
2 (102
3 +15) + 840S 3,5 + 4
v 2 3 2 (2802
3 +105),
m 9 7 6 1,5 5 2 4 2,5
9v = Sv + 36Sv 2 + 84Sv 2 3 + 378Sv2 +1260Sv 2 3 +
+ 84S 33 (102 +15) + 3780S 2 3,5 4
v 2 3 v 2 3 + 9Sv2 (2802
3 +105) +  
+ 4,5
2 3(2802
3 +1260),
m10v = S10 + 45S 8 7 1,5 6 2 5 2,5
v v2 +120Sv 2 3 + 630Sv 2 + 2520Sv2 3 +
+ 210S 43 (102 +15) +12600S 3 3,5 2 4 2
v 2 3 v2 3 + 45Sv 2 (2803 +105) +  
+10Sv
4,5
2 3 (2802 +1260) + 5 2
3 2 (63003 + 945)
 
Використовуючи початкові моменти виду (3.7) легко знайти вирази для 
кореляційних моментів досліджуваної перфорованої випадкової величини: 
 
F(1,1)v = 2 ,            F(1,2)v = 2Sv2 + 
1,5
2 3 , 
F = 4S 2
(2,2)v v 2 + 4Sv
1,5
2 3 + 22
2 , 
F 2
(1,3)v = 3Sv 2 + 3S 1,5
v 2 3 + 32 , 
F 3 2
(2,3)v = 6Sv2 + 9Sv 
1,5
2 3 +12S 2
v2 + 93
2,5
2 ,  
F = 9S 4 +18S31,5 + 36S 22 + 54S 2,5 + 3 (92
(3,3)v v 2 v 2 3 v 2 v 2 3 2 3 +15),  
F = 4S3 + 6S 21,5 2 2,5
(1,4)v v 2 v 2 3 +12Sv2 +102 3 , 
F 4 3 1,5 2 2 2,5 3 2
(2,4)v = 8Sv 2 +16Sv2 3 + 36Sv 2 + 56Sv2 3 + 2 (103 +12), 
F 5 4
(3,4)v =12Sv2 + 30Sv 
1,5 3 2
2 3 + 84Sv2 +192S 2
v 
2,5
2 3 + 66Sv
3
2
2
3 +
     (3.8) 
+ 96S 3 3,5
v 2 +1022 3 ,
F =16S 6 5 1,5 4 2 3 2,5 2 3 2
(4,4)v v 2 + 48Sv2 3 +168Sv 2 + 512Sv2 3 + 264Sv 23 +
 
+ 384S 2
v 
3
2 + 816S 3,5 4 2
v 2 3 + 2 (2803 + 96),
F = 5S 4 +10S31,5
(1,5)v v 2 v 2  + 30S 2 2 2,5 3 2
3 v 2 + 50Sv2 3 + 2 (103 +15),  
F 5
(2,5)v =10Sv2 + 25S 41,5 + 80S 3 2 2 2,5
v 2 3 v2 +190Sv 2 3 + 70S 3 2
v23 +
 
+ 90S 3 + 953,5
v 2 2 3 ,
F 6
(3,5)v =15Sv 2 + 45S 51,5
v 2 3 +165S 4
v 
2 + 510S 32,5 2
2 v 2 3 + 270Sv 
32
2 3 +
 
+ 375S 23 3,5 4
v 2 + 795Sv2 3 + 2 (2702
3 +105),
F(4,5)v = 20S 7 + 70S 61,5
v 2 v 2 3 + 300S 5 2 4 2,5
v2 +1150Sv 2 3 +1140S 3 3
v2 +
+ 800S 3 3 2 2 3,5 4 2 4
v23 + 3630Sv 2 3 + 2480Sv23 + 900Sv2 +  
+ 4,5
2 (2803
3 +12303),
F(5,5)v = 25S8 7 1,5 6 2 5 2,5
v2 +100Sv 2 3 + 500Sv2 + 2300Sv2 3 + 2000S 4 3 2
v 23 +
+ 2850S 4 3
v 2 +12100S 3
v
3,5
2 3 +12400S 242 + 4500S 2 4
v 2 3 v 2 + 2800Sv
4,5 3
2 3 +  
+12300S 4,5
v2 3 + 
5
2 (62002
3 + 945).
Для знаходженні вагових коефіцієнтів рівнянь максимізації поліному 
використовуються вирази для похідних від початкових моментів по кожному з 
шуканих параметрів. 
• Похідні від початкових моментів по амплітуді A  
 
m 2
1v = Bv ,   m2v = 2SvBv = 2ABv , 
A A
 
m = B (3S 2 + 3 ) m = B (4S 3 +12S  + 41,5
3v v v 2 ,  4v v v v 2 2 3) , (3.9) 
A A

m 4 2 1,5 2
5v = Bv (5Sv + 30Sv 2 + 20Sv2 3 +152 ) , 
A
• Похідні від початкових моментів по дисперсії завади  2  
 
m1v = 0 ,   m2v =1 
2 2

m = 3S +1,50,5  2 0,5
3v v 2 3 , m4v = 6Sv + 6Sv2 3 + 62 ,  
2 2

m 3 2 0,5 1,5
5v =10Sv +15Sv 2 3 + 30Sv2 + 252 3 ,                
2
• Похідні від початкових моментів по коефіцієнту асиметрії 3  
  
m1v = 0 ,       m2v = 0 ,       m 1,5
3v = 2 , 
3 3 3

m = 4S 1,5 
4v v 2 ,     m 2 1,5 2,5
5v =10Sv 2 + 2 . 
3 3
Похідні від перших двох початкових моментів по коефіцієнту асиметрії 3  
дорівнюють нулю, отже оцінка цього параметра і векторного параметра 

 = {A,2 , 3} не можлива при степенях поліному s =1,2 .  
3.2 Алгоритм вимірювання амплітуди гармонічного сигналу при 
гауссівській заваді, синтезований методом максимальної 
правдоподібності 
 
Найбільш близькими до розроблювальних будуть алгоритми, синтезовані 
методом максимальної правдоподібності в припущенні, що гармонічний сигнал 
приймається на тлі центрованої (з нульовим математичним сподіванням) 
гауссівської завади з невідомою дисперсією.  
Нехай є незалежні неоднаково розподілені вибіркові значення 

X ={x1, x2 ,xn} із генеральної сукупності значень випадкової величини xv , що 
має вигляд (3.1), але другий доданок nv  - центрована випадкова величина, 
розподілена за гауссівським законом, з невідомою дисперсією  2 .  
Спільна щільність розподілу незалежних випадкових величин xv , v = 1, n  
має вигляд: 
 
  n 1 − (xv − S )2
p(x / ) = exp[ v ] . 
v=1 22 22
 
Тоді логарифм спільної щільності розподілу запишеться у вигляді 
 
   n − (x − S )2 
ln p(x /) = ln
1
 exp[ v v ] =

 v=1 22 22  . 
n 1 n
= − ln(22 ) −  (xv − Sv )2 .
2 22 v=1
 
Далі, використовуючи метод максимальної правдоподібності [1, стор.27], 

знайдемо оцінку векторного параметра ={A,2}. Система рівнянь максимальної 
правдоподібності має вигляд: 
  
ln p(x /)  ˆ = 0 ,    q =1,2 .                                 (3.10) 
 =
q
 
Після нескладних перетворень систему рівнянь виду (3.10) можна записати 
у вигляді: 
1 1 n
[−n + (xv − S 2
v ) ] = 0 ,                          (3.11) 
2  
2 2 v=1 ˆ
=
1 n  
[xv − Sv ()]Bv ()  ˆ = 0 . 
 =
2 v=1
 
Зі спільного розв'язку рівнянь (3.11), з врахуванням обмежень виду (3.4), 
(3.5), легко знайти оцінки 
 
2 n
Aˆ =  xv cos(v + ),                                           (3.12) 
n v=1
1 n 2 n
ˆ 2 = { x2
v − [ xv cos(v + )]2}. 
n v=1 n v=1
 
Легко показати, що ці оцінки є незсунутими. 

Для знаходження дисперсії оцінки векторного параметра   скористаємося 

інформаційною матрицею Фішера I () . Легко показати, що в даному випадку 
елементи матриці дорівнюють 
 
 2  
Im,k (0 ) = −E{ ln p(x /)}    
  =0
m k

де 0  - істинне значення векторного параметра. 
Дисперсії оцінок розглядуваних параметрів є відповідними діагональними 

елементами варіаційної матриці оцінок V () , що дорівнює оберненій матриці 
Фішера, тобто  
 
 
V () = I −1() . 
 
Опускаючи проміжні обчислення легко показати, що дисперсії оцінок Â  і 
̂2  відповідно рівні 
 
2 2 2
 = 2 ,             2 2
ˆ (ˆ )1 =
2 .                                (3.13) 
( A)1 n 2 n
 
Отримані оцінки виду (3.12) і їх дисперсії виду (3.13), що характеризують 
точність, надалі будуть використані для порівняння з новими алгоритмами 
вимірювання амплітуди гармонічного сигналу при асиметричній заваді 1-го типу. 
Оскільки далі будуть синтезовані степеневі алгоритми, то для позначення 
класичних результатів в індексі умовно будемо писати одиницю. 
 
 
3.3 Синтез алгоритму спільного вимірювання амплітуди гармонічного 
сигналу і параметрів асиметричної завади 1-го типу, оптимальний в 
класі степеневих перетворень при s=3 
 
При степені поліному s = 3 спільна оцінка параметрів A ,  2 , 3  
знаходиться зі спільного розв'язання трьох рівнянь максимізації поліному:  
 
n  n 
k (v)
1A ()[xv − S (v) 2
v ]+k2 A ()[xv − (S 2
v + 2 )]+
v=1 v=1
 
n 
+k (v)
3A ()[x3
v − (S 3
v + 3Sv + 1,5  
2 2 3 )] ˆ = 0;
=
v=1
 
n  n 
k (v) ()[x − S ]+k (v) ()[x2
v v − (S 2 +  )]+
12 22 v v 2
v=1 v=1
                   (3.14) 
n 
+k (v) ()[x3
v − (S 3
v + 3S  + 1,5 )]  
32 v 2 2 3 ˆ = 0;
=
v=1
 
n  n 
k (v) ()[x − S ]+ k (v) ()[x2 − (S 2 +  )]+
13 v v  23 v v 2
v=1 v=1
 
n 
+k (v) ()[x3
v − (S 3
v + 3S 1,5
v2 + 2 3 )]   = 0.
3 ˆ
3 =
v=1
 
 
Три коефіцієнти k (v) ()  k (v) ()  відповідного p -го рівняння знаходиться із 
1p 3p
системи лінійних алгебраїчних рівнянь виду  
 
       
k (v) ()F () + k (v) 
 (1,1)v ()F(1,2)v () + k (v) ()F(1,3)v () = m (),
1p 2p 3p 1v
  p
        
k (v)
1 ()F () + k (v)
(1,2)v 2 ()F(2,2)v () + k (v)
3 ()F
p p p (2,3)v () = m2v (),     (3.15) 
  p
      
(v) (v) (v)  
k ()F
1p (1,3)v () + k ()F(2,3)v () + k ()F(3,3)v () = m
2p 3p 3v ().
  p
 
Для знаходження коефіцієнтів з системи рівнянь (3.15) можна скористатись 
методом Крамера. Проводячи символьні розрахунки в середовищі MathCad, 
отримаємо вирази для шуканих коефіцієнтів. Коефіцієнти першого рівняння 
мають вигляд  
 

(v) 1
k () = 6B 4 (3A2B22 + 3AB 0,5 3
1A v 2 v 3 v 2 3 + 2AB 0,5
v 2 3 − 6 2
23 + 22 ) , 
3

(v) 1
k () = − 3B 4 0,5 2 0,5
2A v 23 (6ABv3 + 32 3 + 22 ) ,                   (3.16) 
3

(v) 1
k3A () = 6B 4 2
v23 . 
3
 
Коефіцієнти другого рівняння (стохастичний поліном оптимізується по 
параметру 3 ) дорівнюють 
 

(v) 1 3,5 2 3 3
k () = − 32 (3A B2
v 3 + A2B2 3
v 3 + 4ABv
0,5 −  3
2 23 − 23 ) , 
12 3 2 2

(v) 1 3
k () = 33,5
2 (3ABv3 + AB 3
v 3 + 20,5
2 ) ,                    (3.17) 
22 3 2

(v) 1 1
k () = − 33,5
2 (1+  2
3 ) . 
32 3 2
 
Аналогічно, оптимізуючи стохастичний поліном по коефіцієнту асиметрії 
3 , обчислюються коефіцієнти останнього рівняння 
 

(v) 1
k () = 34,5
2 (2A2B2 − A2B2 2 + 4AB 0,5 2
1 v v 3 v 2 3 + 3
3 23 − 22 ) , 
3

(v) 1
k () = 34,5 2
2 (3ABv3 − 2AB − 20,5
v 2 3 ) ,                 (3.18) 
23 3

(v) 1
k () = 4,5
2 (2 −  2 ) . 
3 3
3 3
 
У коефіцієнтах виду (3.16)-(3.18) величина 3  - головний визначник 
 
(v) (v)
системи рівнянь для знаходження коефіцієнтів k ()  k () , рівний: 
1p 3p
 
  
F(1,1)v () F
 (1,2)v () F
 (1,3)v ()

 6 2 4
3 = F(1,2)v () F(2,2)v () F(2,3)v () = 32 (4 −83 − 3 ) . 
   3
F(1,3)v () F(2,3)v () F(3,3)v ()
 
Значення кумулянтних коефіцієнтів не можуть приймати довільні значення, 
вони є взаємопов’язаними [1, 3]. У даному випадку, умова, що головний 
визначник 3  системи рівнянь (3.15), який називається об'ємом тіла асиметричної 
випадкової величини 1-го типу [1, стор.97], завжди більше або дорівнює нулю, 
накладає обмеження на інтервал допустимих значень коефіцієнта асиметрії. 
Розв’язавши відповідну нерівність легко знайти, що оцінка ̂ 3  повинна приймати 
значення в інтервалі [−0,6561; 0,6561] . 

Оцінки компонент векторного параметра ={A,2 , 3} не вдається знайти 
в явному вигляді з розв'язку системи рівнянь (3.14) із коефіцієнтами (3.16)-(3.18), 
тому необхідно використовувати чисельні методи розв'язку системи.  
При практичній реалізації отриманого алгоритму, необхідно створювати 
спеціалізований вирішальний пристрій, за допомогою якого здійснювався б 
розв'язок системи рівнянь.  
Розглянемо схемну реалізацію синтезованих алгоритмів вимірювання 
амплітуди гармонічного сигналу і параметрів асиметричної завади 1-го типу при 
ступені стохастичного поліному s = 3, представлену на рисунку 3.1.  
 
Рисунок 3.1 – Блок схема вимірювання амплітуди гармонічного сигналу і 
параметрів асиметричної завади 1-го типу при ступені поліному s = 3 
 
На вхід пристрою надходить неперервний сигнал x(t), що подається на 
аналого-цифровий перетворювач (АЦП), який здійснює дискретизацію 
неперервного випадкового процесу. При цьому частота дискретизації повинна 
вибиратися таким чином, щоб період дискретизації перевищував максимальний 
інтервал кореляції досліджуваного випадкового процесу.  
Вибіркові значення xv  за допомогою помножувачів піддаються 
квадратичному x2
v  і кубічному x3
v  опрацюванню. Після цього значення x , x2
v v  і x3
v  
надходять на відповідні блоки віднімання (суматор з одним прямим і одним 
інверсним входом), за допомогою яких обчислюються величини відхилень 

( xi
v −m1v () ) для кожного v -го значення випадкової послідовності.  
Далі схема розділяється на три канали, що мають однакову структуру. 
Кожний канал відповідає за формування рівняння максимізації поліному за p -ою 

складовою  p  векторного параметру ={A,2 ,3} . У кожному з каналів 

i (v)
значення xv  множаться на відповідні коефіцієнти k () , i, p =1,3 , після чого 
i p
отримані добутки усереднюються і надходять на p -ий суматор. 

Кінцеве обчислення оцінки векторного параметру   здійснюється в блоці 
РП, що представляє собою спеціалізований розв’язувальний пристрій. У ньому за 
допомогою чисельних методів вирішується система трьох рівнянь максимізації 
поліному і знаходяться значення оцінок Â , ̂ 2  і ̂ 3 . 
На рисунку 3.1, використовуються такі позначення: 
  
 
 АЦП  Блок, що виконує аналого-цифрове перетворення 
x(t)               xv (дискретизацію) неперервного випадкового процесу;  
 
xv                    x    Блок, що обчислює середнє арифметичне дискретних числових 
1
   значень, що поступають на його вхід (складається з суматора та 
n
 пристрою нормування на об'єм вибірки);  
 
a   Блок, що обчислює добуток двох числових значень a та b ; 
                     c 
   c = ab  
b 
 
 
a Блок, що обчислює суму двох числових значень a та b ; 
 
            +          c 
   c = a + b  
b 
 
 
a _  Блок, що обчислює різницю двох числових значеньb  та a; 
 
                       c 
c = b−a  
b 
 
 
  
F (x)                    Розв’язувальний пристрій (сигнальний процесор) - блок, що 
 РП 
 здійснює розв’язок нелінійного рівняння або системи 
 нелінійних рівнянь з отриманням оцінки на його виході.  
 
 
 
 
3.4 Побудова алгоритму спільного вимірювання амплітуди 
гармонічного сигналу і параметрів асиметричної завади 1-го типу, 
заданого в класі степеневих поліномів при s=4 
 
Спільна оцінка досліджуваних параметрів при s=4 знаходиться з розв'язку 
системи рівнянь максимізації поліному: 
 
n  n 
k (v)
1A ()[xv − Sv ]+k (v) ()[x2 − S 2
2 A v v − 2 ]+
v=1 v=1
n 
+k (v)
3A ()[x3 − S 3
v v − 3Sv2 − 
1,5
2 3 ]+  
v=1
n 
+k (v) 4 4
4 A ()[xv − Sv − 6S 2
v 2 − 4Sv
1,5
2 3 − 32
2 ]  ˆ = 0;
=
v=1
 
n  n 
k (v) ()[x (v) 2 2
12 v − Sv ]+k ()[x
22 v − Sv − 2 ]+
v=1 v=1
n 
+k (v) ()[x3 3
v − Sv − 3Sv − 1,5
3 2 2 3 ]+                      (3.19) 
2
v=1
n 
+k (v) ()[x4 − S 4 − 6S 2 1,5
v v v 2 − 4Sv2  − 32 ]  
3 2 ˆ = 0;
42 =
v=1
 
n  n 
k (v) ()[xv − Sv ]+k (v) ()[x2
v − S 2
v − 2 ]+
13 23
v=1 v=1
n 
+k (v) ()[x3
v − S 3 − 3S  − 1,5 ]+
33 v v 2 2 3  
v=1
n 
+k (v) ()[x4 − S 4 − 6S 2 − 4S 1,5 − 32 ]  
4 ˆ = 0.
3 v v v 2 v 2 3 2 =
v=1
 
 
(v) (v)
Коефіцієнти кожного p -го рівняння k () -k () , p =1,3  знаходяться зі 
1p 4 p
спільного розв'язку відповідних чотирьох лінійних алгебраїчних рівнянь: 
 
4   
(v) (v) 
k ()Fi, j () = miv (), i =1,4, p =1,3 .                  (3.20) 
jp
j=1 p
Скориставшись виразами (3.8) і (3.9) легко знайти шукані коефіцієнти в 
середовищі MathCad. Коефіцієнти 1-го рівняння запишуться у вигляді: 
 

(v) 36B 7,5
k () = v 2 (20A3B33 − 6A3B35 +12A2B20,5 2
1A v 3 v 3 v 2 3 +
4
+ 54A2B2 0,5 4 3
v 2 3 + 8ABv23 − 72ABv23 + 90AB  5
v 23 −  
−151,56 − 401,5 4 − 481,5 2 + 81,5
2 3 2 3 2 3 2 ),
 36B 7,5
k (v)
2 A () = v 2 3 (9A2B24
v 3 − 30A2B22
v 3 −12AB 0,5
v2 3 −
4    (3.21) 
−54AB 0,5 3
v2 3 − 45 4
2 3 + 362
2
3 − 42 ),
 72B 7,52
k (v)
3A () = v 2 3 (10ABv3 − 3AB 3 0,5 2 0,5
v3 + 92 3 + 22 ), 
4
 7,5 3
k (v) 18Bv 
4A () = 2 3 (32
3 −10) . 
4
 
Коефіцієнти другого рівняння системи (3.21) відповідно рівні: 

(v) 187
k () = − 2 (16A3B3 2 +12A3B3 4 +12A2B20,5 +
12 v 3 v 3 v 2 3
4
+ 42A2B20,5
v 2 3
3 + 45A2B2
v 
0,5
2 3
3 +16AB 2
v2 − 96ABv23 −  
− 41,5 − 501,53 −151,5 5
2 3 2 3 2 3 ),
 7
k (v) 18
() = 2 (24A2B22 2 2
v 3 +18A Bv 
4
3 +12AB 0,5 +
22 v 2 3
4          (3.22) 
+ 42AB 0,5
v 2 3
3 + 45AB 0,5 5 2
v 2 3 − 4823 +82 ),

k (v) 1
() = − 187
23(16ABv3 +12AB 3
32 v3 +
4  
+150,5 4
2 3 +140,5
2 2 + 40,5
3 2 ),

(v) 1
k () = 187 2
2 3 (3 2
3 + 4) . 
42 4
Коефіцієнти третього рівняння мають вид: 
 

(v) 368
k () = 2 (8A3B3 −8A3B33 + 4A2B20,5
13 v 3 v 3 v 2 +
4
+ 22A2B2 0,5 2 2 2 0,5 4
v 2 3 −15A Bv 2 3 −16ABv23 +  
+ 60AB  3 1,5 4 1,5 2 1,5
v 2 3 + 252 3 −102 3 − 42 ),
 8
k (v) 36
() = 2 (12A2B2
v 3 +12A2B23
v 3 − 4AB 0,5 −
23 v 2
4             (3.23) 
− 22AB 0,52 +15AB 0,54 − 30 3
v 2 3 v 2 3 2 3 +823 ),

(v) 128
k () = 2 (24ABv3 − 24AB 3
33 v3 −
4  
−150,5
2 4 + 220,52 + 40,5
3 2 3 2 ),
 8
k (v) 72
() = 23 (2
3 −1) , 
43 4
де  4  - головний визначник системи рівнянь (3.20), рівний: 
 
 = 3610 (8− 402
4 2 3 − 456
3 ) . 
 
Показано [1, стор.39], що визначник  4  завжди повинен бути невід’ємним. 
Отже обмеження, що накладаються, приводять до зменшення інтервалу 
допустимих значень 3 , що дорівнює 3 [−0,4382; 0,4382]. 
Підставивши коефіцієнти (3.21)-(3.23) у вираз (3.21) одержимо систему, в 
якій кожне рівняння є функцією від оцінюваних параметрів. Розв’язок системи 
рівнянь здійснюється чисельними методами. 

Блок схема знаходження оцінки векторного параметру   при ступені 
поліному s = 4  практично співпадає з блок-схемою алгоритму знаходження 
оцінки при s = 3. Додатковим в цій схемі є обчислення вибіркових значень x4
v , 

центрування кожного з них відносно величини m4v ()  і множення цієї різниці на 

(v)
відповідний множник k ()  в кожному з трьох каналів. Далі значення 
4 p
попадають на пристрій усереднення, після чого додаткові статистики подаються 
на  відповідний p -ий  суматор. 
Набір коефіцієнтів при s=3 повністю відрізняється від однойменних 
коефіцієнтів при s=4. 
 
3.5 Розробка алгоритму спільного вимірювання амплітуди 
гармонічного сигналу і параметрів асиметричної завади 1-го типу 
заданого в класі поліноміальних перетворень при s=5 
 

При ступені полінома s = 5  оцінка векторного параметру   знаходиться з 
розв’язку системи рівнянь максимізації поліному 
 
n   n   n  
k (v)
1A ()[xv −m1v ()]+k (v)
2 A ()[x2
v −m2v ()]+k (v) 3
3A ()[xv −m3v ()]+
v=1 v=1 v=1
 
n   n  
+k (v)
4 A ()[x4
v −m4v ()]+k (v) ()[x5  
5A v −m5v ()] ˆ = 0;
=
v=1 v=1
 
n   n   n  
k (v) ()[xv −m (v) 2 (v) 3
1v ()]+k ()[x −m ()]+ k ()[x −m ()]+
12 22 v 2v  32 v 3v
v=1 v=1 v=1
      (3.24) 
n   n  
+k (v) ()[x4
v −m4v ()]+k (v) ()[x5 −m  
42 52 v 5v ()] ˆ = 0;
=
v=1 v=1
 
n   n   n  
k (v) ()[x (v) 2 (v) 3
13 v −m1v ()]+k ()[x
23 v −m2v ()]+k ()[xv −m3v ()]+
33
v=1 v=1 v=1
 
n   n  
+k (v) ()[x4 −m ()]+k (v)
v 4v ()[x5 −m ()]  
4 5 v 5v ˆ = 0.
3 3 =
v=1 v=1
 

(v)
В системи рівнянь (3.24) коефіцієнти k () , i =1,5 , p =1,3 та початкові 
ip

моменти i -го порядку miv (), i =1,5  є функціями від оцінюваного векторного 

параметру  .  
Легко показати, що розв’язуючи відповідну систему лінійних алгебраїчних 
рівнянь, коефіцієнти першого рівняння можна записати у вигляді 
 

(v)
k 4 4 3 3 2
1A () = a1[A Bv b1 + 4A Bv c1 + 24A B2
v d1 + 4ABv e1 + f1] , 

(v)
k2A () = −2a1[A3B3
v b1 + 3A2B2
v c1 +12ABv d1 + e1] ,                  (3.25) 

(v)
k () = 2a 2 2
3A 1[A Bv b1 + 2ABv c1 + 4d1] , 
 
(v) (v)
k4A () = −a1[ABv b1 + c1] ,          k5A () = a1b1 / 5 . 
 
Для спрощення запису у виразах (3.25) зроблені наступні позначення: 
 
1080B 12
a = v2
1 ,     b1 = 54
3 (28−362
3 −94
3 ) , 
5
c1 = 2 
3
3 (20 +1742
3 −1354
3 ) ,  d =  2
1 23 (2−362
3 +1354
3 ) , 
e = 1,5
1 2 3 (8−1122
3 −3404
3 +8556 −1808
3 3 ),  
f = 2 (−12158
1 2 3 − 27606
3 +8604
3 −3522
3 +32), 
5 = 216015
2 (16−1602
3 + 2204
3 − 4206
3 −10358
3 +13510
3 ). 
 
Оптимальні коефіцієнти другого рівняння мають вигляд: 
 

(v)
k () = a2[A4B4 3 3 2 2
v b2 − 4A Bv c2 + 6A Bv d2 − 4AB e
1 v 2 + f2 ] , 
2

(v)
k () = 2a [−A3B3
2 v b2 + 3A2B2c
2 v 2 −3ABv d2 + e2 ] ,                         (3.26) 
2

(v)
k () = 2a2[A2B2
v b2 − 2ABv c2 + d2 ] , 
32
 
(v) (v)
k () = −a2[ABv b2 − c2 ] ,              k () = a2b2 / 5 . 
42 52
У виразах (3.26) зроблені наступні позначення: 
 
540
a = 11,5
,  b 3 2 4
2 2 2 = 53(−20− 63 + 273 ) , 
5
c2 = 2 
2
3 (16 +1322
3 +1204
3 − 456
3 ) , 
d2 = 23 (−8 +112 2
3 − 220 4
3 − 4656
3 + 458
3 ) , 
e 1,5
2 = 2 (16 −1762 − 2004 +1506
3 3 3 −1358
3 ),  
f = 2
2 23(1808 +15456 + 6904
3 3 3 −1802
3 +16) . 
 
Аналогічно записуються і коефіцієнти третього рівняння  
 

(v)
k () = 3a [A4B4
3 v b3 − 4A3B3 2 2
1 v c3 + 2A Bv d3 − 4ABv e3 + f3 ] , 
3

(v)
k () = 6a3[−A3B3
v b3 + 3A2B2
v c3 − ABv d3 + e3],                (3.27) 
23

(v)
k () = 2a [3A2B2
3 v b3 − 6ABv c3 + d3] , 
33
 
(v) (v)
k () = −3a3[ABv b3 − c3 ],          k () = 3a b / 5 . 
4 3 3
3 53
 
Також для компактності запису у виразах (3.27) зроблені наступні 
позначення: 
 
360
a = 12,5
, b = 52 (12− 262 4
3 2 3 3 3 + 33 ) , 
5
c3 = − 2 
2 4 6
3 (8 + 723 −1303 +153 ) , 
d3 = 2 (8−1762
3 +8604
3 − 4656
3 + 458
3) , 
e = 1,5
3 2 3 (16 +1602
3 − 6204 6
3 + 753 ),  
f 2
3 = 2 (−1208 +10856 −10504 2
3 3 3 + 2203 −16) . 
 
На визначник 5  накладається умова невід’ємності. Це приводить до 
зменшення інтервалу допустимих значень 3 , який дорівнює 
3 [−0,3356; 0,3356]. 
Таким чином, при застосуванні стохастичного поліному 5-ї степені для 
̂
знаходження оцінки векторного параметру  , необхідно чисельними методами 
розв’язати систему рівнянь (3.24) з коефіцієнтами (3.25)-(3.27).  
При s = 5  блок-схему алгоритму сумісного вимірювання амплітуди 
гармонічного сигналу та параметрів асиметричної завади 1-го типу можна 
розглядати як подальший розвиток блок-схеми при s = 4 . Удосконалення полягає 
у тому, що в схемі додатково містяться пристрої, які формують статистики виду 
 
1 n  
(v)
k ()(x5 −m ()) , p =1,3. 
n 5 v 5v
p
v=1
 
 
 
4. АНАЛІЗ ТОЧНОСТІ АЛГОРИТМІВ СПІЛЬНОЇ ОЦІНКИ АМПЛІТУДИ 
ГАРМОНІЧНОГО СИГНАЛУ ТА ПАРАМЕТРІВ АСИМЕТРИЧНОЇ 
ЗАВАДИ 1-ГО ТИПУ 
 
4.1 Знаходження дисперсій оцінок, знайдених методом максимізації 
поліному при s=3 
 
Для знаходження дисперсій оцінок, спочатку необхідно знайти матрицю 
кількості добутої інформації. У випадку оцінювання трьох параметрів це буде 
матриця розмірності 3х3 виду  
 
J (1,1) J (1,2) (1,3)
sn sn J sn
J sn = J (2,1) J (2,2) J (2,3)
sn sn sn .                                    (4.1) 
J (3,1) J (3,2) (3,3)
sn sn J sn
 
В загальному вигляді елементи цієї матриці рівні 
 
s n
( p,m) (v) m (a, , )
J sn =ki (A,2 ,3) iv 2 3 .                        (4.2) 
p
i=1 v=1 m
 
Тоді дисперсії оцінок параметрів A ,  2  та 3 , при їх спільному оцінювані, 
лежать на головній діагоналі варіаційної матриці оцінок, що дорівнює зворотній 
матриці кількості добутої інформації (4.1), тобто 
 
V = J −1
sn sn , 
2 =V (1,1) 2 (2,2) 2 (3,3)
( A)s sn ,     ( )s =Vsn ,     
2 ( )s =Vsn .                (4.3) 
3
 
При степені поліному s = 3 спільна оцінка параметрів знаходиться з 
(v)
розв'язку системи рівнянь (3.14), де коефіцієнти k (A,2 ,3 ) , i, p =1,3  мають 
i p
вигляд (3.16)-(3.18).  
(v)
Використовуючи коефіцієнти k (A,2 ,3 ) , i, p =1,3 , а також похідні за 
i p
відповідними параметрами виду (3.9), легко знайти елементи матриці кількості 
добутої інформації 
 
(1,1) n 5 2 (1,2) (2,1) (1,3) (3,1)
J3n = 32 (2 − 33 ) ,      J3n = J3n = J3n = J3n = 0 , 
3
J (2,2) 0,75n 4 (3,3) n
3n = 2 (8− 62 4 6 2
3 − 33 ) ,      J3n = 2 (2 − 3 ) ,         (4.4) 
3 3
1,5n
J (2,3) = J (3,2) = − 5 (2 + 2
3n 3n 2 3 ) . 
3
 
Слід зазначити, що при обчисленні елементів виду (4.4) враховувалися 
обмеження виду (3.4)-(3.6). 
Знаючи елементи матриці кількості добутої інформації легко знайти 
елементи варіаційної матриці оцінок. Наведемо вирази для діагональних 
елементів матриці V3n , що характеризують величини дисперсій відповідних 
оцінок Â , ̂2  та ̂ 3 . 
 
2 (1+1,52 ) 22 2
2 22 2 
(A)3 = [1− 3 3 ],             ( )3 =
2 [1− 3 ] ,              (4.5) 
n 2
2 − 32 n 2
3
0,75
2
( )3 = (8− 62 − 34
3 3 3 ) . 
n
 
Цікаво порівняти величини дисперсій оцінок виду (4.5) з відповідними 
дисперсіями класичних оцінок виду (3.15), коли завада є гауссівською і її 
дисперсія невідома.  
Для кількісного визначення зміни величини дисперсії оцінки складової 
векторного параметру  p , p =1,3 введемо коефіцієнт ефективності G( )s1 . Індекс 
p
у скобках вказує на параметр, дисперсія оцінки якого знаходиться. Другий індекс 
вказує якими методами знайдені оцінки, дисперсії яких порівнюються. Цифра 1 
відповідає випадку знаходження оцінки методом максимальної правдоподібності, 
а значення s  вказує на те, що оцінка знаходиться методом максимізації поліному 
із використанням стохастичного поліному степені s . 
Очевидно, що 
 
2
3 (1+1,52 ) 2
G =1− 3 ,           G =1− 3
( A)31 .                     (4.6) 
(2 − 32 (2 )31
3 ) 2
 
Ефективність оцінки ̂3  не досліджується, оскільки цей параметр не 
оцінювався класичним методом. 
На рисунку 4.1 наведено графік залежності коефіцієнта ефективності G( A)31  
від коефіцієнта асиметрії 3 , із якого видно, що при s = 3  ефективність оцінки 
може бути дуже висока і при 3 →0,656 величина G( A)31  прагне до нуля. 
Відзначимо, що через парність функції G( A)31  достатньо розглянути її поведінку 
для позитивних значень 3 . 
На рисунку 4.2 показана залежність коефіцієнта ефективності G( )31  від 
2
коефіцієнта асиметрії 3 . З графіка видно, що при s = 3  точністні характеристики 
оцінки дисперсії можуть покращуватися при відміності 3  від нуля, але незначно. 
У випадку, якщо сигнал приймається на фоні гауссівських завад ( 3 = 0 ), то 
точність дисперсії не змінюватиметься.  
 
 
Рисунок 4.1 – Залежність коефіцієнтів ефективності G( A)51 , G( A)41  і G( A)31  від 
коефіцієнту асиметрії завади 3  
 
 
Рисунок 4.2 – Залежність коефіцієнтів ефективності G( )51 , G( )41  і G(  від 
2 2 2 )31
коефіцієнту асиметрії завади 3  
4.2 Обчислення дисперсій оцінок, знайдених методом максимізації 
поліному s=4 
 
При s = 4  оцінка векторного параметру знаходиться з розв'язку системи 
(v)
рівнянь максимізації полінома (3.19), де коефіцієнти трьох рівнянь k (A,
i 2 ,3 ) , 
p
i = 1,4 , p =1,3 мають вигляд (3.21)-(3.23).  
Використовуючи коефіцієнти, легко показати, що при спільному оцінювані 
параметрів A ,  2  та 3  при степені полінома s = 4  елементи матриці кількості 
добутої інформації рівні 
 
(1,1) n
J 9 2 4 6
4n = 182 (8 − 363 − 63 − 93 ) , 
4
(1,2) (2,1) (1,3) (3,1)
J4n = J4n = J4n = J4n = 0 , 
(2,2) n
J4n = 98 2 4
2 (16 − 603 − 63 − 456
3 ) , 
4
(2,3) (3,2) n
J4n = J4n = − 189
2 (4 +142
3 +154
3 ) ,                    (4.7) 
4
(3,3) n
J4n = 1210
2 (4 + 222
3 −154
3 ) . 
4
 
Тоді легко найти варіаційну матрицю оцінок, а з неї виписати діагональні 
елементи 
 
2 22 8 − 402
3 − 456
 3
(A)4 = [ ] , 
n 8 − 362 − 64 − 96
3 3 3
2 4
2 22
2 4 + 223 −15
 3
( )4 = [ ] ,                                  (4.8) 
2 n 4(1+ 62
3 )
 
2 4 6
2 3 16− 603 − 63 − 45
 3
(3)4 = ( ) . 
8n 1+ 62
3
 
Порівнюючи вирази (4.8) з виразами (4.5) видно, що дисперсії оцінок 
досліджуваних параметрів при s = 4  змінюються з ростом ступеня поліному. 
Порівнюючи (4.8) з (3.15) легко побачити, що вирази в квадратних дужках 
величин дисперсій виду (4.8) представляють собою коефіцієнти ефективності 
G( A)41  і G( )41 .  
2
Ефективність оцінок Â  і ̂2  залежить від значення коефіцієнту асиметрії і 
не залежить від його знаку. На рисунках 4.1, 4.2 представлені графіки залежності 
ефективності відповідної оцінки від значення коефіцієнту асиметрії. Якщо 
коефіцієнт асиметрії відминний від нуля, то дисперсії оцінок, знайдених методом 
максимізації поліному, будуть меншими порівняно з дисперсіями відповідних 
оцінок, знайдених методом максимальної правдоподібності.  
Ефективність оцінки параметра A  може бути досить високою, якщо завада 
має асиметричний розподіл. Чим більше асиметрія розподілу ( 3 →0,438 ) тим 
вища ефективність оцінок.  
Мінімальне значення коефіцієнту ефективності при оцінюванні параметра 
2  складає 0,87 на границях інтервалу 3  0,438 .  
Кількісні зміни від збільшення степені полінома описуються коефіцієнтами 
ефективності відповідних оцінок 
 
2(8− 402
3 − 454 )(2 − 32 )
G( A)43 =
3 3 , 
(8− 362 − 64 − 96
3 3 3 )(4 −82
3 − 34
3 )
4 + 242 6 2 6
G = 3 − 33 16 − 60 − 9
( )43 ,      G 3 3
2 2 (3 )43 = .          (4.9) 
4(1+ 63 ) 4(4 − 272
3 +184
3 )
 
На рисунку 4.3 наведено залежність коефіцієнта ефективності оцінки G( A)43  
від значення 3 , якісний характер якої збігається з поведінкою функції G( A)41(3) .  
На рисунку 4.4 наведено графік залежності G(2 )43  від 3 , з якого видно, що 
дисперсія оцінки ̂2  при s = 4  хоч і зменшується у порівнянні з дисперсією при 
s = 3 для значень коефіцієнта асиметрії, що лежать в інтервалі допустимих 
значень але на дуже мізерну величину.  
На рисунку 4.5 представлений графік залежності коефіцієнта ефективності 
G( )43(3) . З цього графіка видно, що дисперсія оцінки параметру 3  при s = 4  
3
може бути в кілька разів меншою порівняно з дисперсією оцінки s = 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Рисунок 4.3 – Залежність коефіцієнтів  Рисунок 4.4 – Залежність коефіцієнтів 
ефективності G( A)53  і G( A)43     ефективності G(2 )53 , G(2 )43  
від коефіцієнту асиметрії завади 3   від коефіцієнту асиметрії завади 3  
  
Рисунок 4.5 – Залежність коефіцієнтів  Рисунок 4.6 – Залежність коефіцієнту 
ефективності G( )53 , G( )43    ефективності G( A)54  від 3   
3 3
від коефіцієнту асиметрії завади 3   
4.3 Розрахунок дисперсій оцінок, знайдених методом максимізації поліному 
s=5 
 

При степені поліному s = 5  оцінка векторного параметру ={A,2 ,3}  
знаходиться з розв'язку трьох рівнянь максимізації полінома виду (3.24), де 
(v)
відповідні коефіцієнти цих рівнянь k (A,2 ,3 ) , i =1,5 , p =1,3  мають вигляд 
i p
(3.25)-(3.27).  
Використовуючи коефіцієнти, знайдемо елементи матриці кількості добутої 
інформації при степені s = 5  
 
(1,1) n
J 14 2 4 6 8
5n = 10802 (16 −1523 +1683 − 3783 − 4053) , 
5
(2,2) n
J 13
5n = 5402 (32 − 2802
3 + 2284
3 − 3906
3 −1260 8
3 +13510
3 ) ,     (4.10) 
5
(2,3) (3,2) n
J5n = J5n = − 108014
2 3 (8 −122
3 + 2504
3 + 3306 8
3 − 453) , 
5
(3,3) n
J = 72015 (8 + 42 + 4704 − 4206 8
5n 2 3 3 3 + 453 ) . 
5
(1,2) (2,1) (1,3) (3,1)
J5n = J5n = J5n = J5n = 0 , 
 
Легко показати, що діагональні елементи варіаційної матриці оцінок 
дорівнюють 
 
2 4 6
2 22 16 −1603 + 2203 − 4203 −10358
3 +13510
 3
(A)5 = [ ] , 
n 16 −1522
3 +1684
3 − 3786
3 − 4058
3
2 4 6 8
2 22
2 8 + 43 + 4703 − 4203 + 45
 3
(2 )5 = [ ] ,                    (4.11) 
n 2(4 + 42
3 + 2404 6
3 − 453 )
 
2 3 32 − 2802 4
3 + 2283 − 3906
3 −12608 +13510
 3 3
(3 )5 = ( ) . 
4n 4 + 42
3 + 2404
3 − 456
3
 
Порівнюючи дисперсії оцінок виду (4.11), отриманих методом максимізації 
поліному при s = 5 , з виразами (4.8) і (4.5) дисперсій оцінок, знайдених 
відповідно при s = 4  та s = 3, бачимо, що з ростом ступеня поліному величини 
дисперсій шуканих оцінок змінюються, але завжди залежать від істинного 
значення коефіцієнту асиметрії. 
Вирази в квадратних дужках величин дисперсій виду (4.11) представляють 
собою коефіцієнти ефективності G( A)51  і G( .  
2 )51
На рисунках 4.1, 4.2 представлені графіки залежності коефіцієнтів 
ефективності відповідної оцінки від істинного значення коефіцієнту асиметрії в 
інтервалі (-0,3356; 0,3356). Якщо 3  0 , то точність оцінок, знайдених методом 
максимізації поліному, буде вищою порівняно з точністю відповідних оцінок, 
знайдених методом максимальної правдоподібності. На границях інтервала 
допустимих значень коефіцієнта асиметрії, а саме при 3 →0,335 , ефективність 
оцінки амплітуди гармонічного сигналу A  можу буть досить значною. Тенденція 
до зменшення дисперсії оцінки ̂2  з ростом ступені поліному зберігається, але 
величина максимального виграшу в точності оцінювання при s = 5  невелика. 
Для кількісного порівняння дисперсій оцінок, знайдених при різних 
ступенях поліному, запишемо вирази для відповідних коефіцієнтів ефективності 
оцінок. Коефіцієнти ефективності G( p )53  
 
2(16 −1602 + 2204 − 4206 −10358
3 3 3 3 +13510
3 )(32
3 − 2)
g(A)53 = , 
(16 −1522 4
3 +1683 − 3786 − 4058
3 3)(4 − 82
3 − 34
3 )
8 + 42 4
3 + 4703 − 4206 8
g = 3 + 453 ,                      (4.12) 
(2 )53
(2 − 2
3 )(4 + 42
3 + 2404
3 − 456
3 )
32 − 2802 + 2284 − 3906 −12608 +13510
g = 3 3 3 3 3 . 
(3 )53
(4 + 42
3 + 2404
3 − 456
3 )(8 − 62
3 − 34
3 )
 
На рисунку 4.3 наведено графік залежності коефіцієнта ефективності оцінки 
G( A)53  від значення коефіцієнту асиметрії 3 . Для більшості значень 3 , що 
належать інтервалу допустимих значень, точність вимірювання амплітуди 
гармонічного сигналу практично не змінюється і лише при 3 →0,335  
ефективність оцінки Â  стрімко підвищується. 
На рисунку 4.4 показано залежність G( )53  від 3 , з якого видно, що 
2
дисперсія оцінки ̂2 , як і при s = 4  зменшується, але незначно у порівнянні з 
дисперсією при s = 3.  
На рисунку 4.5 подано графік залежності коефіцієнта ефективності G(3 )53  
від коефіцієнту асиметрії. З графіка видно, що чим більше значення модуля 
коефіцієнта асиметрії тим точніше можна оцінити цей параметр.  
І на завершення розглянемо якісний характер залежності коефіцієнтів 
ефективності G(  від коефіцієнту асиметрії завади 
p )54
 
(16 −1602 + 2204 − 4206 −10358 +13510 )(8 − 362 − 64 − 96 )
g(A)54 =
3 3 3 3 3 3 3 3 , 
(16 −1522
3 +1684
3 − 3786
3 − 4058
3)(8 − 402 − 456
3 3 )
2(8 + 42 + 4704
3 3 − 4206
3 + 458
3)(1+ 62
3 )
g = ,                  (4.13) 
(2 )54
(4 + 222 −154 )(4 + 42
3 3 3 + 2404
3 − 456
3 )
2(32 − 2802
3 + 2284
3 − 3906
3 −12608
3 +13510
3 )(1+ 62
g = 3 )
. 
(3 )54
(4 + 42 + 2404 6 2 4 6
3 3 − 453 )(16 − 603 − 63 − 453 )
 
На рисунках 4.6-4.8 наведено графіки функцій виду (4.13) з яких випливає, 
що точність оцінок Â , ̂2  і ̂3  при s = 5  тим вище чим більше значення модуля 
коефіцієнта асиметрії відрізняється від нуля. При 3 →0,335  ефективність 
оцінок Â  і ̂3  може значно підвищуватися, а для оцінки параметра 2  величина 
зменшення дисперсії є досить незначною. 
 
 
Рисунок 4.7 – Залежність коефіцієнту  Рисунок 4.8 – Залежність коефіцієнту 
ефективності G( )54  від 3    ефективності G
2 (3 )54  від 3  
 
ВИСНОВКИ 
 
Розвиток апаратури опрацювання сигналів обумовлює необхідність 
створення сучасних методів та алгоритмів, які б більш точно враховували вплив 
завади на корисний сигнал. В даній випускній роботі пропонується адитивну 
заваду описувати негауссівською моделлю у вигляді кінцевої послідовності 
кумулянтів. Причому відмінними від нуля будуть лише другий і третій кумулянт. 
Вважається, що спостерігачеві невідомі значення параметрів завади і тому вони 
оцінюються спільно с інформативним параметром сигналу – амплітудою.  
При такому способі опису випадкової величини гарно себе зарекомендував 
метод максимізації поліному, запропонований проф. Ю.П.Кунченком. Суть 
методу полягає в поліноміальному перетворенні вхідної послідовності, причому 
статистики, які отримують, множаться на вагові коефіцієнти, що забезпечують 
мінімальну дисперсію оцінок.  
В якості алгоритму-прототипу розглянуто алгоритм спільної оцінки 
амплітуди гармонічного сигналу і дисперсії центрованої гауссівської завади. 
Класичних алгоритмів, які б дозволяли спільно знаходити амплітуду сигналу і 
обидва параметри асиметричної завади 1-го типу не існує.  
Синтезовано степеневі алгоритми вимірювання амплітуди гармонічного 
сигналу спільно з дисперсією і коефіцієнтом асиметрії завади. Мінімальна степень 
поліному, яку можна використати s=3. Відомо, що метод максимізації поліному 
володіє властивістю зменшувати дисперсію оцінок з ростом степені поліному, 
тому додатково побудовані алгоритми спільної оцінки трьох параметрів при 
степенях s=4 і 5. 
Для аналізу точнісних властивостей синтезованих алгоритмів розраховано 
матрицю кількості добутої інформації та знайдено обернену матрицю, яка зветься 
варіаційною матрицею оцінок. Діагональні елементи останньої матриці 
характеризують дисперсії оцінок, отже описують точнісні характеристики 
розроблених алгоритмів. Проведене порівняння дисперсій оцінок, отриманих 
методом максимізації поліному, з дисперсіями оцінок методу максимальної 
правдоподібності. Показано, що нові алгоритми можуть бути більш точними за 
умови, якщо коефіцієнт асиметрії завади відмінний від нуля. З ростом степені 
поліному дисперсії оцінок можуть зменшуватися, а конкретна величина 
зменшення залежить від коефіцієнта асиметрії. Значного покращення в точності 
оцінювання можна отримати для амплітуди і коефіцієнта асиметрії, в той час як 
точність вимірювання дисперсії майже не змінюється з ростом степеня поліному. 
Одержані результати мають як теоретичний так і прикладний інтерес. На 
базі запропонованих математичних моделей алгоритмів можуть бути створені 
конкретні навігаційні або ж радіолокаційні системи опрацювання сигналів з 
підвищеними точнісними характеристиками.  
 
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ 
 
1. Кунченко Ю.П. Полиномиальные оценки параметров близких к 
гауссовским случайных величин. Часть 1. Стохастические полиномы, их 
свойства и применение для нахождения оценок параметров. – Черкассы: 
ЧИТИ, 2001. – 133 с.  
2. Кунченко Ю.П. Полиномиальные оценки параметров близких к 
гауссовским случайных величин. Часть 2. Оценка параметров близких к 
гауссовским случайных величин. -Черкассы: ЧИТИ, 2001. - 251с.  
3. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ негауссовских случайных процессов и 
их преобразований. - М.: Сов. радио, 1978. – 376 с. 
4. Прокопенко І.Г. Статистична обробка сигналів: навч. посіб. Київ: НАУ, 
2011. - 220 с. 
5. Бабак В.П., Білецький А.Я., Приставка О.П., Приставка П.О. Статистична 
обробка даних/ Монографія. – Київ: «МІВВЦ», 2001. – 388 с. 
6. Антонюк А.О. Моделювання систем.: навчальний посібник / А.О. Антонюк. 
– Ірпінь: Університет ДФС України, 2019. – 412 с. 
7. Гавриш О.С., Гончаров А.В., Костенко А.П., Баранов А.Д., Балакін О.М. 
Поліноміальні алгоритми спільного вимірювання амплітуди гармонічного 
сигналу та параметрів асиметричної завади 1-го типу. // Збірка тез доповідей 
за матеріалами Х Міжн. науково-технічної конференції «Датчики, прилади 
та системи  –  2023». - Черкаси, вересень 2023. – С.11-12.
ChSTU repository

ChSTU repository preserves and enables easy and open access to all types of digital content including text, images, moving images, mpegs and data sets
