Розробка алгоритмів оцінювання інформативних параметрів сигналу, що приймається антенною решіткою при негауссівських завадах

Перепелиця, Олег Володимирович
Please use this identifier to cite or link to this item: https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/5839
Title:	Розробка алгоритмів оцінювання інформативних параметрів сигналу, що приймається антенною решіткою при негауссівських завадах
Authors:	Воробкало, Тетяна Василівна Перепелиця, Олег Володимирович
Keywords:	антенна решітка;гармонічний сигнал;метод максимізації поліному;негауссівська завада;дисперсія оцінки
Issue Date:	2023
Abstract:	Мета роботи – розробка алгоритмів оцінювання інформативних параметрів гармонічного сигналу (часу запізнення та частоти), що приймається на тлі негауссівських завад методом максимізації поліному та дослідження асимптотичних властивостей отриманих оцінок. В роботі методом максимiзацiї полінома, розроблені алгоритми для знахо-дження, як окремої так і спільної оцінки інформативних параметрів, часу запіз-нення та частоти гармонічного сигналу при степенях полінома s=1,2,3. Отримано нелінійні рівняння, з розв’язку яких знаходяться оцінки шуканих параметрів. Розв’язувати рівняння потрібно за допомогою чисельних методів та обчислюва-льної техніки. Також в роботі проведено детальне дослідження точності розроб-лених алгоритмів.
URI:	https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/5839
Appears in Collections:	172 Електронні комунікації та радіотехніка (Радіотехніка та робототехнічні системи)
Files in This Item:
File	Description	Size	Format
М_172_Перепелиця_Воробкало.pdf Restricted Access		1.59 MB	Adobe PDF	View/Open Request a copy
Show full item record
Extracted text
 
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ 
ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ 
ФАКУЛЬТЕТ ЕЛЕКТРОННИХ ТЕХНОЛОГІЙ, АВТОТРАНСПОРТУ ТА 
МАШИНОБУДУВАННЯ 
КАФЕДРА РОБОТОТЕХНІЧНИХ І ТЕЛЕКОМУНІКАЦІЙНИХ СИСТЕМ 
ТА КІБЕРБЕЗПЕКИ 
 
 
Допущений до захисту  
“____”  грудня  2023 р. 
Завідувач кафедри РТСК  
д.т.н., професор  
_________  Палагін В.В. 
 
 
Пояснювальна записка 
до кваліфікаційної роботи 
 магіста  
(освітній ступінь) 
 
 
на тему:  
Розробка алгоритмів оцінювання інформативних 
параметрів  сигналу, що приймається антенною решіткою 
при негауссівських завадах 
 
 
Виконав: студент  2  курсу, групи РТ-025  
спеціальності 
172 «Телекомунікації та радіотехніка»  
(шифр і назва напряму підготовки, спеціальності) 
(освітня програма – «Радіотехніка та  
робототехнічні системи»)  
 Перепелиця О.В.  
(прізвище та ініціали) 
Керівник  Воробкало Т.В.  
(прізвище та ініціали) 
Рецензент  Ключка К.М.  
(прізвище та ініціали) 
 
 
 
 
 
Черкаси – 2023 року 
Форма № Н-9.01 
ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ  
 
Факультет електронних технологій, автотранспорту та машинобудування 
Кафедра робототехнічних і телекомунікаційних систем та кібербезпеки  
Освітній рівень магістр 
Спеціальність 172 – Телекомунікації та радіотехніка 
Освітня програма Радіотехніка та робототехнічні системи 
  
ЗАТВЕРДЖУЮ: 
 Завідувач кафедри Палагін В.В. 
 «  »   2023 р. 
 
ЗАВДАННЯ 
НА ДИПЛОМНУ РОБОТУ СТУДЕНТУ 
Перепелиці Олегу Володимировичу 
(прізвище, ім’я, по батькові) 
1. Тема проекту (роботи) Розробка нелінійних алгоритмів оцінювання інформативних 
параметрів  сигналу, що приймається антенною решіткою при негауссівських завадах 
 
Керівник проекту (роботи) Воробкало Тетяна Василівна, к.т.н., доцент 
 (прізвище, ім’я, по батькові, науковий ступінь, вчене звання) 
затверджені наказом по університету від « 10 » жовтня  2023 р. № 271/04 
2. Термін здачі студентом закінченої роботи 15.12.2023 
3. Вихідні дані до проекту (роботи) Корисний сигнал – гармонічний сигнал,  
вид завади – негауссівська завада, взаємодія сигналу та завади – адитивна, 
параметри що підлягають спільному оцінюванню – час запізнення сигналу, 
частота сигналу 
4. Зміст розрахунково-пояснювальної записки (перелік питань, що їх належить розробити) 
1. Інформативні параметри сигналів, що приймаються антенною решіткою 
2. Метод максимізації полінома оцінювання параметрів векторної випадкової 
величини.  Математичні моделі корисного сигналу та завади. 
3. Алгоритми спільного оцінювання параметрів методом максимізації поліному 
4. Дослідження асимптотичних властивостей оцінок  
5. Перелік графічного матеріалу (з точним зазначенням обов’язкових креслень)  
1. Назва роботи,  антенна решітка та інформативні параметри сигналів  
2.  Метод максимізації полінома, математичні моделі корисного сигналу та завади 
3. Системи рівнянь максимізації поліному  
4. Асимптотичні властивості оцінок 
 
 
6. Консультанти розділів проекту (роботи) 
Прізвище, ініціали та посада Підпис, дата 
Розділ 
консультанта завдання видав завдання прийняв 
   
 
    
    
    
 
   
    
    
 
7. Дата видачі завдання 04.09.2023 
 
КАЛЕНДАРНИЙ ПЛАН 
№ Назва етапів дипломного Строк виконання етапів 
Примітка 
з/п проекту (роботи) проекту (роботи) 
 
Пошук та огляд літератури по 20.09.2023 
1. оц інюванню параметрів випадкових 
величин 
Вивчення методів оцінювання 05.10.2023 
2.   
параметрів випадкових величин 
Розробка алгоритмів спільного 27.10.2023 
3. оц інювання параметрів методом  
максимізації поліному при s =1,2,3  
4. Д ослідження асимптотичних 15.11.2023 
 
властивостей отриманих оцінок 
5. О формлення пояснювальної записки 28.11.2023  
6. О формлення графічного матеріалу 15.12.2023  
    
    
    
    
    
  
 Студент-дипломник Перепелиця О.В.  
 
   (підпис)  
  
 Керівник проекту Воробкало Т.В.  
 
   (підпис)  
 
 
ЗМІСТ 
сторінка 
ВСТУП ……………………………………………………………………………...5 
РОЗДІЛ 1. ІНФОРМАТИВНІ ПАРАМЕТРИ СИГНАЛІВ, ЩО 
ПРИЙМАЮТЬСЯ АНТЕННОЮ РЕШІТКОЮ ……...……………..................7 
1.1. Поняття сигналу ………………................................................................7 
1.2. Антенні решітки ………………..............................................................11 
1.3. Математична модель сигналу, що приймається двохелементною  
антенною решіткою.........................................................................................15 
1.4. Математична модель сигналу, що приймається багатоелементною 
антенною решіткою …………………………………………………………18 
1.5. Принципи вимірювання координат та їх похідних в радіотехнічних  
системах …………………………....…...........................................................20 
РОЗДІЛ 2. ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ СИГНАЛУ,  
ЩО ПРИЙМАЄТЬСЯ АНТЕННОЮ РЕШІТКОЮ …………………………26 
2.1. Оцінювання параметрів випадкових величин, що приймаються  
на тлі завад.......................................................................................................26 
2.2.  Метод максимізації полінома для знаходження оцінки скалярного  
параметра векторної випадкової величини ………………………………..28 
2.3. Метод максимізації полінома для знаходження оцінки векторного 
 параметра векторної випадкової величини …….…………………………33 
2.4. Негауссівські завади та їх моментно-кумулянтний опис  …………...36 
РОЗДІЛ 3. АЛГОРИТМИ ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ СИГНАЛУ 
 МЕТОДОМ МАКСИМІЗАЦІЇ ПОЛІНОМА.....................................................40 
3.1. Постановка задачі……………………………………………………….40 
3.2. Лінійні алгоритми оцінювання параметрів сигналу………………….42 
РТ025.023.281.248 ПЗ 
Змн. Лист № докум. Підпис Дата  
 Розроб. Перепелиця О.В. Розробка алгоритмів оцінювання Літ. Арк. Акрушів 
А.Л. 
 Перевір. Воробкало Т.В. інформативних параметрів  3 75 
   сигналу, що приймається 
 Н. Контр. Воробкало Т.В антенною решіткою при ЧДТУ 
 Затверд. Палагін В.В. негауссівських завадах 
3.3. Алгоритми оцінювання  інформативних параметрів при s=2………..45 
3.4. Оцінювання інформаційних параметрів гармонічного сигналу  
при  s=3……………………………………………………………………….49 
РОЗДІЛ 4. АСИМПТОТИЧНІ ВЛАСТИВОСТІ ОЦІНОК ПАРАМЕТРІВ 
ГАРМОНІЧНОГО СИГНАЛУ………………………………………………….53 
4.1. Асимптотичні властивості оцінок параметрів гармонічного сигналу 
 при лінійній обробці ………………………………………………………..53 
4.1.1. Дисперсія оцінки частоти гармонічного сигналу……………...53 
4.1.2. Дисперсія оцінки часу запізненя гармонічного сигналу……...56 
4.1.3. Точносні характеристики при сумісному оцінюванні 
параметрів ……………………………………………………………...57 
4.2. Асимптотичні властивості оцінок параметрів при s = 2……………..61 
4.2.1. Дисперсія оцінки частоти гармонічного сигналу при s = 2…..61 
4.2.2. Дисперсія оцінки часу запізнення гармонічного сигналу.........64 
4.2.3. Точносні характеристики при сумісному оцінюванні 
параметрів………………………………………………………………65 
4.3. Асимптотичні властивості оцінок при третьму степені стохастичного 
поліному …………………………………….…………….............................67 
4.2.1. Дисперсія оцінки частоти гармонічного сигналу при s = 3…..67 
4.2.2. Дисперсія оцінки часу запізнення гармонічного сигналу на  
антенну решітку при s = 3......................................................................69 
4.2.3. Точносні характеристики при сумісному оцінюванні 
параметрів гармонічного сигналу при s=3……………………………70 
ВИСНОВКИ ............................................................................................................72 
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ.....................................................74 
 Арк 
РТ025.023.281.248 ПЗ 
4 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
ВСТУП 
 
На даному етапі розвитку науки та техніки особливе місце посідає теорія і 
техніка обробки радіолокаційної інформації. Інформацію несе в собі 
електромагнітна хвиля що випромінюється будь-яким джерелом сигналу. 
Джерело сигналу може бути як первинним (при випромінюванні об’єктом), так і 
вторинним (при відображенні від об’єкту).  
За допомогою прийнятого електромагнітного коливання можна отримати 
інформацію про джерело випромінювання: кут та дальність розташування, , 
швидкість тощо, щляхом вимірювання параметрів прийнятого сигналу. Всі 
параметри прийнятого сигналу можна поділити на інформативні та 
неінформативні. До інформативних параметрів відносяться такі параметри, як час 
запізнення, який параметр несе інформацію про дальність та кутове положення 
джерела випромінювання та частота сигналу, як амістить інформацію про 
радіальну та кутову швидкість рухомого джерела випромінювання сигналу.. 
 Параметри сигналу визначаються за допомогою радіосистем. Точність  
вимірювання обмежується впливом дії завад, так як сигнал звичайно приймається 
в супроводі завад. Відомо, що завади мають непередбачуваний характер, отже для 
їх опису використовується теорія випадкових процесів, згідно якої завади є 
випадковими процесами, що описуються  визначеними статистичними 
характеристиками.  
Прийнято в якості моделі завади розглядати гауссівську випадкову 
величину. Але зазвичай, гауссівські випадкові величини є зручною математичною 
ідеалізацією, і на практиці ефект нормалізації завад буде відсутнім. Це 
спостерігається при проходження сигналу через неоднорідні середовища або при 
відбитті  від них, а також при промислових, атмосферних, сейсмологічних і інших 
впливах. Тому на практиці завади зазвичай мають негауссівський закон розподілу 
ймовірностей.  
 Арк 
РТ025.023.281.248 ПЗ 
5 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
Найбільш ефективним методом знаходження оцінок у разі  негауссівських 
завад є метод максимізації полінома, який був розроблений вченим Юрієм  
Кунченко. Цей метод полягає у використанні стохастичних поліномів, і це дає 
можливість найбільш ефективно враховувати негауссовість випадкових величин 
за допомогою опису у вигляді  побудованої послідовності  моментних і 
кумулянтних функцій.  
Тому метою роботи є розробка алгоритмів оцінювання інформативних 
параметрів гармонічного сигналу (часу запізнення та частоти), що приймається на 
тлі негауссівських завад методом максимізації поліному та дослідження 
асимптотичних властивостей отриманих оцінок. 
В якості корисного сигналу в роботі буде розглянуте просте гармонічне 
коливання, так як незважаючи на свою простоту, математична модель 
гармонічного сигналу, є однією з найбільш розповсюджених і широко 
використовуваних в більшості  областей науки і техніки. 
Останнім часом, завдяки розвитку иехнологій, широкої популярності набула 
багатоканальна обробка сигналів. Тому що  багатоканальні системи мають ряд 
переваг в порівнянні з одноканальною обробкою та прийомом інформації. 
Основна перевага спостерігається в тому, що за допомогою багатоканальних 
приймальних систем можливо здійснити просторову обробку сигналів, що 
призводить до збільшення точності вимірювання параметрів. В якості 
багатоканальної приймальної системи в роботі будемо розглядати антенну 
решітку. 
 Арк 
РТ025.023.281.248 ПЗ 
6 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
РОЗДІЛ 1 
 
ІНФОРМАТИВНІ ПАРАМЕТРИ СИГНАЛІВ, ЩО ПРИЙМАЮТЬСЯ 
АНТЕННОЮ РЕШІТКОЮ 
 
 
1.1. Поняття сигналу  
 
Матеріальними носіями є сигнали різної фізичної природи. У вузькому 
значенні сигналами називають коливання різноманітних величин: електричних 
струму та напруги, електромагнітні хвилі, механічні коливання деякого пружного 
середовища [1]. Інформаційні сигнали формуються шляхом зміни тих чи інших 
параметрів носія за законом. Таким чином, інформаційним сигналом може бути 
будь-який фізичний процес, параметри якого здатні змінюватися в залежності від 
інформації, що передається. Цей процес зміни параметрів носія називається 
модуляцією, а самі параметри інформаційними.  
При проходженні сигналу по фізичному середовищі на нього впливають 
різні фактори, що дестабілізують, в результаті чого виникають шуми і перешкоди 
різної природи. При реєстрації сигналу основним завданням є виділення із 
загального сигналу корисної складової та максимальне придушення шумів та 
перешкод [2].  
Щоб аналізувати, досліджувати та обробляти сигнали необхідно 
використовувати математичну модель сигналу, яка є математичним описом 
сигналу. Саме слово "модель" походить від латинського слова «modelium», яке 
переводиться як: міра, спосіб, образ. Призначення моделі полягає в тому, що вона 
відображає тільки найважливіші риси сигналу та дозволяє абстрагуватися і від 
його фізичної природи і від матеріальної форми носія. Як правило, опис сигналу 
представляється функціональною залежністю його значень від деякої незалежної 
змінної та записується, наприклад, s(t).  
 Арк 
РТ025.023.281.248 ПЗ 
7 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
Найпростішими сигналами є одновимірні сигнали, в яких значення сигналу 
залежить від параметра (наприклад, звукові сигнали). Загалом сигнали зазвичай  є 
багатовимірними функціями просторових, часових та інших координат. Приклад 
– інтенсивність комп'ютерного зображення р (x, y).  
За формою подання сигнали бувають двох типів – аналогові та цифрові 
(дискретні) (рис. 1.1) [3]. Аналоговий сигнал визначено для будь-якого значення 
незалежного параметра, тобто безперервною функцією безперервного аргументу. 
Джерелами аналогових сигналів, як правило, є фізичні процеси і явища, 
безперервні у своєму розвитку (динаміці зміни значень певних властивостей) у 
часі, в просторі або за будь-якою іншою незалежною змінною, при цьому 
реєстрований сигнал подібний (аналогічний) його процесу, що породжує. 
 
 
Рис. 1.1. Аналоговий та цифровий сигнали 
 
Фундаментальним аналоговим сигналом є синусоїда (рис. 1.2). Загалом 
синусоїдальний сигнал можна представити так [3]:  
 
S(t) = A0 sin 2 f0t +0   
 
 Арк 
РТ025.023.281.248 ПЗ 
8 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
Синусоїдальний сигнал можна визначити трьома параметрами: 
максимальною амплітудою А0, частотою f0 і початковою фазою 0 . 
Максимальною амплітудою називається максимальне значення або інтенсивність 
сигналу в часі; вимірюється максимальна амплітуда, як правило, у вольтах. 
Частотою називається темп повторення сигналів (у періодах за секунду, чи 
герцах). Еквівалентним параметром є період сигналу Т, що є часом, за який 
відбувається повторення сигналу; тобто, T=1/f . Початкова фаза є мірою 
відносного зсуву часу в межах окремого періоду сигналу.  
 
 
 
Рис. 1.2. Синусоїдальний сигнал 
 
Більшість аналогових сигналів у природі мають складнішу форму. 
Періодичні, тобто повторювані через певний інтервал часу, сигнали довільної 
форми можуть бути представлені у вигляді суми гармонійних коливань за 
допомогою перетворення Фур'є [1]. Застосувавши перетворення Фур'є, тобто. 
склавши разом достатню кількість синусоїдальних сигналів з відповідними 
амплітудами, частотами та фазами, можна отримати електромагнітний сигнал 
будь-якої форми. Аналогічно, будь-який сигнал розглядається як сукупність 
періодичних аналогових (синусоїдальних) сигналів з різними амплітудами, 
частотами та фазами. Аналогічно, цифровий сигнал можна виразити так:  
 
 Арк 
РТ025.023.281.248 ПЗ 
9 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
  sin 2kf t
S(t) = A 0
0   
4 k=1,3,5 k
 
Сукупність спектральних складових сигналу утворює спектр. Амплітуда 
кожної спектральної складової характеризує енергію відповідної гармоніки 
основної частоти сигналу. Чим вище швидкість зміни сигналу, тим більше в його 
спектрі високочастотних гармонік. Різниця між максимальною та мінімальною 
частотою в спектрі сигналу називається шириною спектра сигналу [1].  
Відповідно до зміни амплітуди аналогового сигналу змінюється його 
потужність або енергія, пропорційна квадрату амплітуди. Залежно від часу 
вимірювання сигналу розрізняють середню та миттєву потужність. Десятковий 
логарифм відношення максимальної миттєвої потужності сигналу до мінімальної 
називається динамічним діапазоном сигналу.  
Ознака сигналу, що дозволяє виявляти і розпізнавати його серед інших 
сигналів, називається демаскуючою. Ознаки сигналів описують параметри полів 
та електричних сигналів, що генеруються об'єктом захисту: потужність, частота, 
вид сигналу, ширина спектра тощо.  
Аналоговий сигнал описується набором параметрів, що є його ознаками. До 
них належать наступні параметри [3]:  
• частота та діапазон частот;  
• амплітуда (та потужність) сигналу;  
• фаза сигналу; • тривалість сигналу;  
• вид модуляції;  
• ширина діапазону сигналу;  
• динамічний діапазон сигналу.  
До демаструючих ознак сигналів можна віднести і час їхнього прояву, 
залежно від якого сигнали діляться на регулярні (одержувачу відомий час появи) і 
випадкові (час появи невідомий).  
 Арк 
РТ025.023.281.248 ПЗ 
10 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
Вид інформації, що міститься в сигналі, змінює його ознаки, що 
демаскуються. Наприклад, сигнал стандартного мовлення, що передається 
телефонною лінією, має ширину спектра 300-3400 Гц, звуковий - 16-20000 Гц, 
телевізійний - 6-8 МГц і т.д. [2]. У дискретних сигналів амплітуда має кінцевий, 
наперед визначений набір значень.  
Найбільш поширеним сигналом, застосовуваним, зокрема, ЕОМ, є бінарний 
сигнал. Бінарний сигнал має два рівні амплітуди: низький та високий. Дискретний 
сигнал у випадку характеризується такими параметрами: амплітудою, 
потужністю, тривалістю імпульсу, періодом, шириною спектра сигналу, 
шпаруватістю імпульсів (відношення періоду до тривалості одного імпульсу).  
Бінарний періодичний сигнал характеризується такими параметрами [2]:  
• форма огинаючої спектру 
• амплітуда гармонік  
• постійна складова сигналів  
При проходженні дискретних сигналів по проводах їх спектр змінюється 
через різні фактори, що впливають ззовні і властивостей середовища передачі. В 
результаті спотворюється їх форма та зменшується крутість імпульсів, що 
зменшує дальність їх передачі. 
 
 
1.2. Антенні решітки 
 
В даний час для прийому сигналів в системах зв'язку, і не тільки, 
застосовують рознесений прийом, а саме  антенні решітки [4].   
Антенна решітка це сукупність декількох антен, які за рахунок взаємного 
розташування забезпечують можливість ефективної зміни діаграми 
направленості.  
Пригадаємо, що антена в режимі випромінювання це пристрій, який 
випромінює в простір електромагнітні хвилі за рахунок змінного струму, який 
 Арк 
РТ025.023.281.248 ПЗ 
11 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
протікає по пристрою. Струм зазвичай створюється генератором, який живить 
антену. Основна характеристика антени, це її діаграма направленості, яку створює  
розподіл струму по антені. Тобто діаграма направленості (ДН) це певна  область 
простору, в якому розподілено випромінювання, створене даної антеною [5]. В 
режимі прийому струм в антені буде наводитися електромагнітним полем. 
Діаграма направленості в режимі прийому така ж сама як і ДН в режимі 
випромінювання. Зазвичай антенна є пристроєм взаємним, тобто може працювати 
як на прийом так і на передачу. Управління діаграмою направленості обмежено 
конструкцією антени. 
Антенна решітка представляє собою упорядковану сукупність антенних 
пристроїв (елементів), спільна робота яких формує діаграму направленості 
решітки. [4]. На перевагу одиночній антені решітка має додаткові можливості 
(параметри) для керування ДН: взаємне розташування та відстань між елементами 
решітки та різниця фаз струмів, що протікають по антенним пристроям. 
Найпростішим варіантом приймальної системи є лінійна антенна решітка 
(ЛАР), у якій всі приймальні елементи розташовуються уздовж лінії (рис. 1.3. а)). 
У двомірних антенних решітках елементи упорядковуються на площині, в 
тривимірних - на поверхнях певної форми (півсфера, циліндр, конус та інше). Чим 
більш складніша приймальна система, тим більше можливостей для керування її 
діаграмою направленості. 
Але антенні решіткі в режимі прийому не здатні відокремити корисні 
інформаційні сигнали від шумів і завад. Вони приймають все в площені своєї 
діаграми направленості і здійснюють пряме підсумовування сигналів, що 
надходять на елементи решітки, усуваючи інформацію про фазові відмінності 
сигналів. Особливо це проявляється в складній завадовій ситуації в міських 
умовах, коли завади виникають в результаті чисельного перевідбиття від землі і 
будівель, а корисний сигнал не знаходиться в межах прямої видимості на шляху 
«джерело сигналу - приймальна антенна». В такому випадку рівень корисного 
сигналу може бути  навіть меншим за рівень сукупної перешкоди. 
 Арк 
РТ025.023.281.248 ПЗ 
12 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
Існують адаптивні антенні решітки, в яких сигнали з кожного елемента 
антени надходять на спеціальний пристрій, адаптивний лінійний суматор, який є 
базовим вузлом при адаптивній обробці сигналів [6]. В цьому суматорі сигнали 
підсумовуються з урахуванням їх часу затримання на кожному з елементів. Час  
затримки несе інформацію про розташування джерела сигналу, що надходить на 
елемент антени. До підсумовування сигнали з кожного елемента решітки 
проходять через блок множення на відповідні вагові коефіцієнти w (рис. 1.3. а)). 
 
 
 
Рис.1.3.  Звичайна та адаптивна антенні решітки 
 
Звичайна решітка є складовою частиною адаптивної антенної решітки, яка 
надає інформацію про джерело випромінювання в рамках своєї діаграми 
направленості. Для подальшої роботи з визначення джерел сигналів  та 
придушення завад здійснюється відповідна  обробки сигналів. 
Зараз, актуальним питанням в технологіях зв'язку є боротьба за збільшення 
швидкості передачі інформації та збільшення спектральної ефективності в 
каналах зв'язку. Згідно теореми Шенона:  
 
C = F  ln(1+ s / n)  
 
 Арк 
РТ025.023.281.248 ПЗ 
13 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
де С – швидкість передачі інформації, ΔF – ширина спектра частот сигналу, s/n  – 
відношення рівнів сигнал/шум. Як бачимо, всі ці величини пов'язані між собою. 
При неможливості збільшення ширина спектра ΔF увага приділяється 
гранично можливому збільшенні відношення сигнал/шум s/n. Адаптивні цифрові 
антенні решітки  і  призначені для вирішення саме цієї проблеми. 
В основі принципу роботи цифрових адаптивних решіток лежить адаптивна 
цифрова обробка сигналів, що приймаються окремо кожним елементом антенної 
решітки [6]. 
Отже основне завдання антенної техніки полягає в тому, що адаптивна 
антена повинна автоматично змінювати свої параметри відповідно до існуючої 
інформаційної та завадової ситуації в зоні її дії, щоб як можна краще 
задовольнити поставленим вимогам. 
Основною роботи адаптивної системи є змінне в часі функціонування з 
саморегулюванням. Тому адаптивні системи за своєю природою є змінними в часі 
і нелінійними системами. Їх властивості будуть залежать від вхідних сигналів. 
Адаптивні системи являються саморегульованими, та процес регулювання буде 
залежати від усереднених часових характеристик сигналу, а не від миттєвого 
значення параметрів сигналу або миттєвих значень внутрішніх станів системи. 
Процес регулювання цілеспрямовано застосовується для того, щоб оптимізувати 
задані параметри функціонування. 
Адаптація в антенних системах може бути двох видів: без зворотного 
зв'язку та зі зворотним зв'язком [6]. 
Адаптація без зворотного зв'язку складається з вимірів характеристик 
вхідних сигналів, введення цієї інформації в алгоритм і використання цих 
результатів для регулювання системи відповідно до програми. 
Адаптація зі зворотним зв'язком, крім того, автоматично вносить корекцію з 
метою оптимізації функціонування системи, аналізуючи вихідний сигнал і 
оцінюючи його відхилення від заданих вимог. Цей процес є адаптація з 
 Арк 
РТ025.023.281.248 ПЗ 
14 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
функціональним зворотним зв'язком. У АЦАР в основному використовується 
адаптація зі зворотним зв'язком. 
 
 
 
1.3.  Математична модель сигналу, що приймається двохелементною 
антенною решіткою 
 
Корисна інформація може передаватися за допомогою як вузькосмугових  
та і широкосмугових сигналів. Будемо вважати, що сигнал який приймає антенна 
решітка є вузькосмуговим. Розглянемо його математичну модель. Функція що 
описує довільний сигнал має вигляд.  
 
s(t) =U(t)cos(0t +(t))
     (1.1) 
 
Сигнали  для яких функції U(t) і φ(t)  повільно змінюються в часі в 
порівнянні з cos(ωt) і називаються вузькосмуговими. Для їх опису застосовується 
комплексна огинаюча сигналу наступного вигляду 
 
.
S(t) =U (t)e j (t )
      (1.2) 
 
При цьому, інформація яку переносить сигнал укладена в комплексній 
огинаючій.  Досить просто можна перейти  від комплексної огинаючої до 
реального сигналу [2]: 
 
.
j t
s(t) = Re{U (t)e 0 }  
 
 Арк 
РТ025.023.281.248 ПЗ 
15 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
Далі, використовуючи модель комплексної огинаючої (1.2), виведемо 
основні співвідношення для двоелементної антенної решітки. 
На рисунку 1.4 зображена двухелементна антенна решітка, яка складається   
двох ненаправлених антенних елементів, які розташовані на відстані d один від 
одного. В такому випадку підсилення сигналу в антенному елементі буде 
однакове для будь-якого напрямку. Нехай джерело електромагнітної хвилі 
розташований під деяким  кутом   до нормалі до АР. Будемо вважати джерело 
точковим та досить віддаленим від решітки, і тоді фронт електромагнітної хвилі 
можна вважати плоским. Тоді до 2-го елементу електромагнітна хвиля приходить 
з запізненням на деякий час, позначимо   відносно 1-го елемента (рис.1.4) 
 
 
 
Рис.1.4. Двохелементна антенна решітка 
 
 
Час запізнення   надходження  хвилі на приймальний елемент пов’язано з 
тим, що хвиля потрапляє на решітку під деяким кутом, позначимо  , і зв'язок між 
кутом надходження хвилі і часом запізненням визначається наступним виразом:  
 
d
 = sin        (1.3) 
c
 
де с  = f λ0 - швидкість розповсюдження хвилі в середовищі, а d  - відстань між 
елементами решітки. 
 Арк 
РТ025.023.281.248 ПЗ 
16 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
Якщо в якості джерела розглядається точкове джерело з частотою 
електромагнітної хвилі f0, то час затримки (1.3) призведе до виникнення фазового 
зсуву хвилі, який визначається наступним виразом 
 
d
 = 2 sin , 

0
 
де λ0 - довжина хвилі. 
Отже, якщо на перший елемент надходить сигнал виду 
 
s1(t) = Acos(2 f0 t)
      (1.4) 
 
то  сигнал, що приймається другим елементом буде  мати наступний вигляд 
 
d sin
s2 (t) = Acos(2 f0 t + 2 )  
0     (1.5)
 
Тоді  комплексні амплітуди сигналів (1.4) і (1.5) запишуться в наступному 
вигляді 
 
d sin
. . j2
S = A 
              S = Ae 0
1 2    (1.6) 
 
Так як, залежності від часу в виразах (1.6) немає, та натомість поняття 
комплексної обвідної будемо застосовувати поняття комплексна амплітуда. 
Тоді діаграма направленості антенної решітки бути визначатися за 
наступним  співвідношенням 
.
d sin
j2
 
G( ) = A(1+ e 0 )
     (1.7) 
 Арк 
РТ025.023.281.248 ПЗ 
17 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
Це співвідношення залежить від кутового положення точкового джерела 
сигналу і є комплексною амплітудою сигналу на виході антенної решітки. 
В співвідношенні (1.7) амплітудний множник A особливої ролі не відіграє, а 
інтерес представляє саме залежність від напрямку надходження хвилі. Якщо 
обчислити модуль даної комплексної функції (1.7), то він буде визначати 
амплітуду сигналу на виході антенної решітки. А аргумент цієї функції, являє 
фазу сигналу на виході решітки. Перша характеристика є більш цікавою, ток як 
визначає підсилення або послаблення сигналу на виході антенної решітки в 
залежності від напрямку надходження  електромагнітної хвилі. 
Модуль для виразу діаграми направленості можна записати наступним 
чином 
 
2 d sin (i−1)
j2
G( 
) = e 0
 
i=1     (1.8)
 
 
 
 
1.4.  Математична модель сигналу, що приймається багатоелементною 
антенною решіткою 
 
В попередньому пункті розглянуто співвідношення для двохелементної 
антенної решітки. Тепер розглянемо випадок багатоелементної антенної решітки 
яка має кількість елементів, позначимо N. Нехай всі елементи решітки 
розташовані на одній лінії та на однаковій відстані один від одного. Така антенна 
решітка називається лінійною еквідистантною [6]. 
Нехай еквідістантна антенна решітка віддалена від джерела випромінювання, 
так,  що фронт електромагнітної хвилі, що падає на решітку, можна вважати 
 Арк 
РТ025.023.281.248 ПЗ 
18 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
плоским. Будемо вважати, що в прийомних каналах кожного елемента виділяється 
комплексна огинаюча прийнятого сигналу (рис.1.6). Також до складу приймальної 
системи входить система просторово-часової обробки сигналів (ПЧОС).  
 
 
 
Рис. 1.6. Багатоелементна антенна решітка 
 
Припустимо, що на вхідний стан антенної решітки впливає плоский фронт 
хвилі від джерела сигналу, розташованого в напрямку    відносно до нормалі 
багатоелементної антенної решітки. 
Нехай Sсиг - вектор падаючої на решітку плоскої хвилі, d - крок решітки, 
тобто  відстань між елементами (рис. 1.6), тоді різниця фаз сигналу між сусідніми 
елементами решітки буде  визначатися з виразу (1.3), який був розглянутий 
раніше. Також, будемо вважати, що сигнали, що приймається  є вузькосмуговими, 
для якого  затримка розповсюдження фронту хвилі між крайніми елементами 
антенної решітки дуже мала в порівнянні з тривалістю огинаючої сигналу.  
 Арк 
РТ025.023.281.248 ПЗ 
19 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
Отже, лінійний розмір решітки буде набагато менший, ніж просторова 
протяжність сигналу. Тоді можна не враховувати затримку огинаючої сигналу при 
аналізі процесів в каналах багатоелементної решітки, так як це не призведе до 
значних втрат у відношенні сигнал-шум при реалізації алгоритмів просторово-
часової обробки сигналів. Тому, будемо вважати, що комплексні огинаючі 
сигналів в кожному каналі з’являються одночасно і відрізняються одна від одної 
тільки фазовим зсувом.  
Отже, сигнал в дискретному вигляді в k-му каналі решітки можна записати 
наступним чином: 
 
d
U [n,k]=U [n]exp{ j[ [n]+ 2k sin ]}   (1.9) 
сиг сиг сиг сиг

 
де U [n]  - амплітуда сигналу в n-й момент часу;   [n]  - фаза сигналу в каналі 
сиг сиг
одного з елементів решітки, відповідно до якої розраховується фаза комплексної 
огинаючої в каналах інших  приймальних елементів.  
Тоді сукупність відліків сигналу виду (1.9) в n-й момент часу буде 
утворювати вектор-стовпець  
 
U = [U [n,0],U [n,1],...,U [n, N −1]]  
n cии cии cии
 
 
1.5. Принципи вимірювання координат та їх похідних в радіотехнічних 
системах 
 
Антенні решітки широко застосовують в радіолокації та радіонавігації для 
визначення розташування об’єктивів. Вимірювання координат та їх похідних 
базується на сталості вектора швидкості електромагнітних коливань, що 
розповсюджуються в однорідному середовищі. З фізики відомо значення 
 Арк 
РТ025.023.281.248 ПЗ 
20 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
швидкості розповсюдження радіохвилі в середовищі c = 3108 м/с, та її 
прямолінійність розповсюдження [1]. 
Розглянемо декілька прикладів. Вимірювання відстані до джерела сигналу в 
радіолокаційних системах базується на тому, що час розповсюдження хвилі від 
джерела до точки прийому T  є пропорційним шляху, що проходить сигнал R  і 
визначається за формулою 
 
R
T = . 
c
 
Визначення кутових координат джерела сигналу базується на порівнянні  
часу надходження сигналу від джерела як мінімум в двох або і більше рознесених 
приймальних пристроях [2]. 
Останнім часом в телекомунікації, радіонавігації, радіолокації, сейсмології, 
акустиці та інших галузях техніки широке розповсюдження знаходить 
багатоканальна обробка сигналу [2, 3], так як за допомогою багатоканальної 
обробки можна здійснювати просторову обробку сигналів, що приводить до 
покращення точності отриманих результатів. Одними із розповсюджених 
багатоканальних пристроїв є антенні решітки. 
Розглянемо більш детально постановку задачі визначення кута надходження  
сигналу на антенну решітку. 
Нехай використовується  r - елементна антенна решітка, на яку поступає 
дійсна плоска хвиля. Будемо вважати, що хвиля надходить від деякого джерела 
коливання, і з виходу кожного p-го приймального елементу будемо брати 
дискретну вибірку об’ємом  n  з випадкової величини, що приймається решіткою. 
Взаємодія корисного сигналу та завади може бути різна. Однією з найбільш 
розповсюджених моделей є адитивна взаємодія корисного сигналу Sv( p)  і завади 
n , яку і будемо застосовувати в роботі. Тоді, на виході кожного p-го 
( p)
приймального елементу буде спостерігаєтися випадкова величина   виду: 
v( p)
 Арк 
РТ025.023.281.248 ПЗ 
21 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
v( p) = Sv( p) + n( p) ,     v =1,n ,     p = 0,(r −1) ,                                   (1.10) 
 
де Sv( p)  - корисний сигнал в дискретному вигляді, тобто, розглядаються тільки 
значення в визначені моменти часу спостереження v ; n  - завада в p -ому 
( p)
приймальному каналі. 
 В роботі будемо вважати, що джерело випромінює гармонічне коливання, 
тоді модель корисного сигналу S  буде мати вигляд 
v( p)
 
Sv( p) = a0 cos(0 (v − p ) +0 ) ,   v =1,n ,                                   (1.11) 
 
де a , ,   - параметри гармонічного сигналу, відповідно, амплітуда, частота і 
0 0 0
початкова фаза на виході p -го елементу антенної решітки;   - час запізнення 
надходження хвилі на наступний приймальний елемент решітки в порівнянні з 
попереднім;   - крок дискретизації сигналу.  
Час запізнення   надходження коливань на приймальний елемент 
обумовлений тим, що хвиля падає на решітку під деяким кутом  . Зв'язок між 
кутом надходження хвилі і часом запізненням визначається наступним виразом  
 
d
 = sin        (1.12) 
c
 
В формулі (1.12) с  - це швидкість поширення коливань в середовищі,  d  - 
це відстань між приймальними елементами (рис. 1.7). 
 
 Арк 
РТ025.023.281.248 ПЗ 
22 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
Рис. 1.7. Параметри багатоелементної антенної решітки 
 
Тому робимо висновок, що час запізнення   є інформативним параметром, 
за  яким можливо визначити  кут розташування джерела випромінювання 
корисного сигналу. 
Ще одним з важливих параметрів, що характеризують  джерело 
випромінювання сигналу, та підлягають визначенню в радіосистемах є швидкість 
радіальна та кутова. У випадку багатопозиційної приймальній радіосистемі 
можна визначити ці параметри [3]. 
Розглянемо постановку задачі визначення радіальної швидкості руху 
джерела випромінювання сигналу. 
Радіальна швидкість VR  цє  проекція вектора швидкості руху джерела 
електромагнітних коливань на напрям ”приймач-випромінювач”. В радіолокації 
для визначення радіальної швидкості  використовується так званий ефект 
Допплера, який полягає в тому, що при зміні відстані R між приймачем і 
випромінювачем радіохвиль змінюються і частоти електромагнітних коливань, що 
приймаються. Знайдемо цю зміну. Нехай випромінюється гармонічне 
 Арк 
РТ025.023.281.248 ПЗ 
23 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
коливання з частотою f0  та з початковою фазою 0 ,  тоді на вході приймача 
поточне значення фази коливання буде визначатися 
 
(t) = 2f0 (t − (R /c)) + 0 , 
 
де c = 3108 м/с – швидкість розповсюдження хвилі в середовищі. 
Вважається, що радіосигнали розповсюджуються прямолінійнота  в 
однорідному середовищі і зі сталою  швидкістю c . Але реальне середовище в 
загальному випадку не може бути однорідним. Тому траєкторія розповсюдження 
радіосигналів, зазвичай, відрізняється від прямої лінії та швидкість їх 
розповсюдження буде  змінюватися на своєму шляху. 
Наприклад, при зміні відстані R через неоднорідності середовища 
випромінювач рухаєтьсч з радіальною швидкістю   
 
dR
VR = = R(t) .     (1.13) 
dt
 
При цьому поточне значення фази буде закономірно змінюватися. В результаті 
чого  частота сигналу, що приймається буле знаходитися як похідна від поточного 
значення фази по часу   
 
f = (d / dt) / 2 = f0(1− (R /c)) + 0 , 
 
Та буде  відрізнятися від частоти випромінювання на значення 
 
f Д = − f0VR /c ,     (1.14) 
 
яке і називається частотою Допплера. 
 Арк 
РТ025.023.281.248 ПЗ 
24 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
Тобто вимірювання радіальної швидкості руху об’єкта зводиться до 
вимірювання допплерівського зсуву частоти коливань, що приймається. Тому 
можна зробити висновок, що частота сигналу також є інформативним 
параметром, так як визначивши її можна знайти радіальну та кутову швидкості 
руху джерела електромагнітного випромінювання.  
Зважаючи на вище сказане, в роботі буде розглянута задача визначення 
інформативних параметрів, а саме  часу запізнення та частоти  сигналу, що 
приймається багатоелементною  антенною решіткою. Так як прийом корисного 
сигналу завжди здійснюється на фоні завад то дана задача зводиться до 
статистичної обробки прийнятого сигналу, тобто до оцінювання (пошук 
найближчого значення) інформативних параметрів сигналу, що приймається на 
фоні завад. 
 Арк 
РТ025.023.281.248 ПЗ 
25 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
РОЗДІЛ 2 
 
ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ СИГНАЛУ, ЩО ПРИЙМАЄТЬСЯ 
АНТЕННОЮ РЕШІТКОЮ 
 
2.1. Оцінювання параметрів випадкових величин, що приймаються на 
тлі завад 
 
Як вже говорилося, поставлена в роботі задача має статистичний характер. 
Розглянемо постановку задачі оцінювання параметрів випадкових величин  [7]. 
Припустимо, що протягом деякого часу спостерігається випадкова величина, 
позначимо (t)  і з неї береться вибірка x  об’ємом n. З теорії ймовірності відомо, 
що  будь яка випадкова величина описується відповідною функцією розподілу, 
позначимо як  F(x /) . Ця функція залежить, в загальному випадку, від деякого 
векторного параметра  . Сталі значення параметрів, при яких була здійснена 
вибірка, називаються істинними значеннями параметра 0 = 10 ,20 ,...,m0. Тому 
можна сказати, що у вибірці якби неявно закладені істинні значення параметрів 
закону розподілу. 
Задача оцінювання параметрів випадкової величини полягає в тому, що 
виконавши математичні операції над вибірковими значеннями, знаходяться такі 
 
m-чисел 1,...,m , які можна було б прийняти за значення параметрів. Вибіркові 
значення х1, х2, … , хn  є випадковими числами, тоді і результат їх математичної 
обробки також буде випадковим і не може повністю співпадати з істинними 
значеннями параметрів. 
 
Отримані значення 1,...,m , які є деякими функціями від вибіркових 
 
значень 1 = 1(x1,..., xn ),...,m = m (x1,...,xn ) , називають точковими оцінками 
 Арк 
РТ025.023.281.248 ПЗ 
26 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
векторного параметра, які будуть наближатися  до істинних значень параметра 0 , 
але в точності не дорівнювати йому, тобто будуть наближеними значеннями. 
Отже оцінка  параметрів випадкової величини, що спостерігається є деяка 
функція від випадкових вибіркових значень. 
Яку ж функцію потрібно взяти. В загальному випадку це може бути 
довільна функція. Проте, щоб оцінки були придатними для практичного 
застосування, вони повинні задовольняти таким  вимогам [7]: 
1. Математичне сподівання оцінки повинне дорівнювати  істинному 
значенню  параметру (E (x) =0 ) , це означає що оцінка незміщена. 
Але досить часто до оцінок застосовують менш жорсткі вимоги, які звучать 
наступним чином, оцінка має бути асимптотично незміщеною (тобто при n→) 
 
 
lim E(n) (x) = 0 . 
n→
 
2. Властивість доконливості –при n→оцінка повинна сходитися за 
ймовірністю до істинного значення параметра. Ця властивість оцінки називається 
слушністю 
 
 
limn (x) = 0 . 
n→
 
 
3. Середньоквадратичне відхилення (дисперсія) має бути мінімальним 
для незміщених оцінок 
 

2 2
 = E( − 0) . 
 
 Арк 
РТ025.023.281.248 ПЗ 
27 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
Існує велика кількість методів знаходження оцінок параметрів випадкових 
величин, тобто сигналів, що приймається на тлі завад. Відомо ряд класичних 
методів, які поділяються в залежності від характеру завади, що спостерігається та 
способу її опису. Це такі методи, як метод моментів, метод правдоподібності, 
метод найменших квадратів. В роботі [7] запропоновано метод максимізації 
поліному, який є найкращим на випадок негауссівських завад, який детально 
розглянемо, так як будемо використовувати його в роботі для знаходження 
інформативних параметрів сигналу, що приймається антенною решітною.  
 
 
 
2.2. Метод максимізації полінома для знаходження оцінки скалярного 
параметра векторної випадкової величини  
 
Так як в роботі сигнал приймається багатоелементною антенною решіткою, 
то на виході приймальної системи буде спостерігатися векторна випадкова 
величина, позначимо  = ( , ,...  розміром r. Тому потрібно розглянути 
1) (2) (r )
метод максимізації полінома призначений саме  на випадок векторної випадкової 
величини [8].  Спочатку розглянемо даний метод для знаходження оцінки 
скалярного параметру, тобто коли оцінюється один параметр випадкової 
величини, а всі інші вважаються апріорно відомими. 
Нехай з векторної випадкової величини, що спостерігається на вході 
   
антенної решітки, робиться вибірка x = x(1), x(2),...x(r ), яка є вектором  з  

векторними компонентами x(p)   (вибірки з i-ої компоненти векторної випадкової 
величини) 
 

x(p) = x1(p), x2(p)...xn(p),   p = 0,r −1. 
 Арк 
РТ025.023.281.248 ПЗ 
28 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
Індексом ( p)  у вибіркового значення будемо позначати номер 
приймального каналу в якому зроблена вибірка. Будемо вважати, що з кожної 

компоненти ( )  векторної випадкової величини взято вибірку x
p (p)  з незалежними, 
неоднаково розподіленими вибірковими значеннями об’ємом, позначимо n. 
Кожне вибіркове значення xv(p ) , v =1,n , р-ої компоненти векторного 
випадкової величини, p = 0,r −1, описується послідовністю початкових моментів 
miv( p) , i-того порядку i =1,2s ,  s=1, 2, ..., що залежать від скалярного параметра  . 
Вибірка робиться, коли невідомий параметр приймає своє дійсне значення 0 . 
Будемо вважати, що всі початкові моменти miv( p)  випадкової величини 
існують і як функції параметра    обмежені 
 
miv( p) ()  civ( p)  (a,b) , 
 
та двічі диференційовані по параметру  . 
Згідно методу максимізації полінома при знаходження оцінки скалярного 
параметра векторної випадкової величини необхідно використовувати степеневий 
стохастичний поліном  s-ого степеня, який має наступний вигляд  
 
r−1 n s
l (r) 
sn (x;)= k ( p)
 iv ()xi − k (r)
v( p) 0 () ,                             (2.1) 
p=0v=1 i=1
 
( p) (r )
де коефіцієнти поліному kiv ()  і k0 ()  відповідно рівні 
 
r−1 n s
k ( p) ()= h( p) (r) ( p)
iv  iv ()d ,  k0 () = hiv ()miv( p) ()d . 
p=0v=1 i=1
 Арк 
РТ025.023.281.248 ПЗ 
29 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
( p)
А оптимальні вагові  коефіцієнти hiv ( ) знаходяться з рішення системи 
лінійних алгебраїчних рівнянь [4] 
 
s
( p) ( p) d
h jv F(i, j)v () = miv( p) () ,   j = 1, s ,                           (2.2) 
j=1 d
 
де F ( p )
(i. j )v ()  називаються центрованими корелянтами, та визначаються через 
початкові моменти  
 
( p)
F(i. j)v () = m(i+ j)v( p) () −miv( p) () m jv( p) () .               (2.3) 
 

Як видно з (2.1), поліном lsn (x; ) є функцією n змінних x1(р), x2(р),..., xn(р), і 
якщо цими змінними є  вибіркові значення з випадкової величини, то такий 
поліном називається стохастичним поліномом степеня s і розміром n. Згідно 
методу, знаходити оцінки параметру   можливо, беручи в якості оцінки ̂  те 
значення аргументу, при якому даний стохастичний поліном досягає свого 
максимального значення. 
Тобто, оцінку параметра   можна знаходити з розв'язку наступного 
рівняння, вважаючи що стохастичний поліном диференціюємий по    
 
r−1 n s
( p)
hiv ()[xi
v( p) −miv( p) ()] ˆ = 0                                (2.4) 
=
p=0v=1 i=1
 
Суть методу максимізації полінома для  знаходженні оцінки скалярного 
параметра векторної випадкової величини полягає в тому, що при заданій 
неоднаково розподіленій вибірці  оцінка ̂  знаходиться з розв'язку рівняння (2.4). 
 Арк 
РТ025.023.281.248 ПЗ 
30 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
( p)
При цьому оптимальні вагові  коефіцієнти hiv ( ) знаходяться з розв'язку 
системи лінійних рівнянь (2.2). 
Оцінка, знайдена з розв'язку рівняння (1.4), відповідає всім вимогам 
вказаним вище, що пред’являються  до оцінок. Тобто, буде слушною та  
асимптотично незміщеною і з дисперсією, що асимптотично визначається за 
формулою [7] 
 
 2 1
 ,                                                   (2.5) 
J sn(r) (0 )
 
Де функція параметра 0 , позначена як J sv(r) (0 ) , називається кількістю 
здобутої інформації про скалярний параметр   отриманої  методом максимізації 

полінома із незалежної, неоднаково розподіленої вибірки x   векторної випадкової 

величини   при застосуванні степеневого стохастичного полінома степеня s [4]  
 
d 2
J ( ) = E[ l (r)  2 d (r) 
sn(r) 0 sn (x;0 )] = E[− l (x; ) =
d 2 sn 0
0 d0
. 
r n s
= ( p) d
hiv (0 ) m
 iv( p) (0 )
p=1v=1 i=1 d
 
 
Позначимо як jsv( p) (0 ) вираз  
 
s s
j ( ) =h ( ) h ( ) F ( p ) ( ) =
sv ( p ) 0 iv( p ) 0 jv( p ) 0 (i , j )v 0
i=1 j=1
              (2.6) 
s d
=h ( ) m ( )
iv( p ) 0 iv( p ) 0
i=1 d
 
 Арк 
РТ025.023.281.248 ПЗ 
31 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
Величину j (0 ) (2.6) будемо називати кількістю здобутої інформації 
sv(p)
про скалярний параметр   з одного v-ого вибіркового значення р-ої компоненти 

векторної випадкової величини   при застосуванні степеневого стохастичного 
полінома s. 
Позначимо як J sn( p) (0 ) вираз      
 
n
J sn( p) (0 )= jsv( p) (0 )                                             (2.7) 
v=1
 
Величину J sn( p) (0 ) (2.7) будемо називати кількістю здобутої інформації 

про скалярний параметр   з незалежної, неоднаково розподіленої вибірки x(p)  р-

ої компоненти (p )  векторної випадкової величини   при застосуванні 
степеневого стохастичного полінома степені s. 
Тоді кількість повної здобутої  інформації J sn(r ) (0 )  буде визначатися як   
 
r−1 r−1 n
                            J sn(r) (0 )=  J sn( p) (0 )=  jsv( p) (0 ) .                         (2.8) 
p=0 p=0v=1
 
З виразу (2.8) видно адаптивну властивість повної кількості здобутої 
інформації про параметр, суть якої в тому, що кількості здобутої інформації для 
кожного вибіркового значення окремої компоненти векторної випадкової 
величини підсумовуються і отримується повна кількість здобутої  інформації з 
вибірки з  векторної випадкової величини (p ) . Також і  кількості здобутої 
інформації, отримані з вибірки кожної окремої компоненти векторної випадкової 
величини, так само підсумовуються. 
Розглянутий метод будемо застосовувати для знаходження окремих оцінок 
інформативних параметрів сигналу часу запізнення та частота гармонічного 
 Арк 
РТ025.023.281.248 ПЗ 
32 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
сигналу, при цьому всі інші параметри сигналу  повинні бути обов’язково 
відомим. На практиці може виникнути задача, коли одночасно невідомі обидва 
інформативні параметри, тоді параметр, що підлягає оцінюванню буде векторним 
і необхідно проводити спільне оцінювання параметрів. Отже потрібно розглянути 
метод максимізації полінома для знаходження оцінки векторного параметра 
векторної випадкової величини, що і зробимо в наступному пункті. 
 
 
 
2.3. Метод максимізації полінома для знаходження оцінки векторного 
параметра векторної випадкової величини  
 

Нехай потрібно знайти оцінку векторного параметра  = 1,2 ,...g згідно 
методу максимізації полінома. Тоді потрібно для кожної складового m  

векторного параметра   використовувати степеневий стохастичний поліном 
степеня s виду 
 
  r−1 n s  
 l (g ) (x;)=k ( p) i (r )
sn(m) iv (m) ()xv( p) − k0(m) () ,   m =1, g             (2.9) 
p=0 v=1 i=1
 
де коефіцієнти степеневого поліному дорівнюють 
 
   r−1 n s  
k ( p) ()= h( p) ()d , k (r ) () = h( p)
iv (m)  iv (m) m 0(m)  iv (m) ()miv ( p) ()d(m) . 
p=0 v=1 i=1
 

Оптимальні вагові коефіцієнти h( p)
iv (m) () будуть знаходитися з розв’язку  
наступної системи лінійних рівнянь  
 
 Арк 
РТ025.023.281.248 ПЗ 
33 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
s  
h( p) F ( p) 
jv(m) (i, j )v () = miv ( p) () ,   v =1,n ,     p = 0,r −1             (2.10) 
j=1 m
i =1,2s ,    m =1, g . 
 

При заданій вибірці x  як функції параметра елемента m  векторного 

параметра  , кожний m-ий стохастичний поліном (2.9) асимптотично буде мати 
максимум у точці ̂m , що розташована в околі істинного значення m0 . Тоді  в 
ˆ
якості оцінки  = ˆ ,ˆ ,...ˆ1 2 g векторного параметра можна взяти, як і при оцінці 
скалярної випадкової величини, ті значення складових ̂m , для яких кожний із 
 
стохастичних поліномів l (r )
sn(m) (x;) досягає по параметру m  максимального 
значення.  
Згідно побудові, кожний стохастичний поліном диференційований по 
параметру m . Тоді оцінку векторного параметру можна знаходити зі спільного 
розв'язку системи рівнянь 
 
 
l (g ) 
 
sn(m) (x;) ˆ = 0 , 
 =
m
 
яка у розгорнутому виді буде мати вигляд 
 
r−1 n s  
h( p) ()[xi
 
iv (m) v( p) −miv ( p) ()] ˆ = 0 ,    m =1, g             (2.11) 
=
p=0 v=1 i=1
 
Отже, при незалежних і неоднаково розподілених вибіркових значеннях із 

кожної складової векторної випадкової величини  , для знаходження оцінок 

векторного параметра ,  суть методу максимізації полінома полягає в тому, що 
оцінки векторного параметра знаходяться з розв'язку системи рівнянь (2.11) 
 Арк 
РТ025.023.281.248 ПЗ 
34 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
відносно складових m  векторного параметру. При цьому в кожному m-ому 

рівнянні, оптимальні коефіцієнти h( p)
iv (m) () знаходяться з розв'язку системи 
лінійних рівнянь, формула  (2.10). 
Такі оцінки векторного параметра векторної випадкової величини будуть 
відповідати всім вимогам, що пред’являються до оцінок, будуть слушними, 
асимптотично незміщеними (при n→), тобто 
 
 
Eˆ = Eˆ 1,
ˆ
2 ,...
ˆ
p= 0 = 10 ,20 ,...p0. 
 
Для оцінки векторного параметра, при дослідженні точності, однієї 
дисперсії оцінок складових векторного параметра буде недостатньо. В цьому 
випадку використовується так звані варіаційні матриці оцінок [9]. 
В роботі [10] показано, що згідно методому максимізації полінома, 

варіаційна матриця оцінок компонент векторного параметра, позначимо V (g )
sn (0 )  
векторної випадкової величини,  асимптотично при n→   дорівнює оберненій 

матриці кількості здобутої інформації, позначимо J sng ) (0 ) , тобто 
 
 
V (g )
sn ( ) = J −1
0 sng ) (0 ) .    (2.12) 
 
При цьому елементи матриці кількості здобутої інформації, позначимо  
 
J (m,r )
sng ) (0 ) ,  матриці J sng ) (0)  будуть визначатися з формули 
 
  2  2 
J (m,r )         
sng ) (0 ) = E (g ) (g ) (g )
 lsn(m) (x,) * − E lsn(m) (x,) = −E lsn(m) (x,) , 
m r mr  mr
 
та у розгорнутому вигляді дорівнюють 
 
 Арк 
РТ025.023.281.248 ПЗ 
35 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 r−1 n s  
J (m,r ) ( ) = h( p) 
   (2.13) 
sng ) 0 sv(r ) (0 ) miv ( p) (0 )
p=0 v=1 i=1 m
 

Отже, матриця J sng ) (0)  називається матрицею кількості  інформації, що 
отримана про векторний параметр, яку можна здобути з незалежної вибірки з  

векторної випадкової величини   методом максимізації полінома.  
В даній роботі методом максимізації полінома для оцінювання векторного 
параметру векторної випадкової величини буде знаходитися сумісна оцінка часу 
запізнення та частоти гармонічного сигналу що приймається антенною решіткою. 
Також будуть  досліджуватися точнічні характеристики отриманих оцінок, згідно 
даного методу. 
 
 
 
2.4. Негауссівські завади та їх моментно-кумулянтний опис  
 
Корисний сигнал, що приймається антенною решіткою  завжди приймається 
на тлі завад. Зазвичай, передбачається, що завади в кожному приймальному 
каналі є гауссівськими [2, 3]. Для гауссівських завад отримано багато результатів 
як в радіолокації, радіонавігації, зв'язку та інших галузях науки та техніки. Але 
відомо, що гауссівська модель є достатньо гарною математичною ідеалізацією, 
що використовується для опису завад.  Але на практиці випадкові величини часто 
мають щільність розподілу, яка значно відрізняється від гауссівської, тобто 
говорять, що завади є негауссівськими. Тому інтерес будуть представляти саме 
негауссівські завади та їх обробка. Зрозуміло що обробка сигналів в цьому 
випадку буде більш складною і є менш вивченою. Тому задача, що поставлена в 
роботі достатньо актуальна. 
 Арк 
РТ025.023.281.248 ПЗ 
36 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
Отже, будемо вважати, що завади n( p ) , в кожному приймальному елементі 
решітки є негауссівськими випадковими величинами. 
Одним із гарних підходів до опису негауссівських завад є застосування  
послідовності моментів, кумулянтів і кумулянтних функцій [7]. Метод 
максимізації поліному якраз і заснований на використанні саме такого опису 
випадкових величин, що спостерігаються.  
Позначимо початкові моменти завади як  i( p)  і кумулянти і-го порядку як 
 i . Тоді  згідно моментно-кумулянтного опису ці величини повязані між собою 
наступними виразами [5]:  
 
1( p) = 0 ,   2( p) = 2  
 =  ,    2
3( p) 3 4( p) = 4 + 32 , 
5( p) = 5 +1023      (2.14) 
6( p) = 6 +1524 +102
3 +153
2  
 2
7( p) = 7 + 3534 + 2125 + 23  
8( p) = 8 + 28  + 280 2
2 6 2 3 + 352
4 + 56352 + 2102
24 +1054
2  
 
Так як вважаємо, що завади в кожному приймальному пристрої решітки 
однакові, тому кумулянти не будуть залежати від номера приймального 
пристрою. 
Кумулянт третього порядку 3 , та інші непарні кумулянти характеризують 
асиметрією закону розподілу випадкової величини, а четвертого порядку 4 , та 
інші парні кумулянти характеризують ексцес закону розподілу випадкової 
величини.  
Для більшої зручності на пракииці вводять безрозмірні кумулянти, які 
називають кумулянтні коефіцієнти [7], їх визначають наступним чином 
 
 Арк 
РТ025.023.281.248 ПЗ 
37 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 

 = n       (2.15) 
n 0,5n

2
 
Початкові моменти (2.14) можна також виразити і через кумулянтні 
коефіцієнти (2.15)  
 
1( p) = 0 ,  2( p) = 2 ,   
 3/ 2
3( p) = 2 3 ,     
4( p) = 
2
2 (4 + 3) ,                                              (2.16) 
 5 / 2
5( p) = 2 (5 +103)  
6( p) = 
3
2(6 +154 +102
3 +15)  
 7 / 2
7( p) = 2 (3 + 3534 + 215 +1053)  
 4
8( p) = 2(8 + 28 2 2
6 + 2803 + 354 + 5635 + 2104 +105)  
 
Кумулянтний коефіцієнт   називають коефіцієнтом асиметрії, а   - 
3 4
коефіцієнтом  ексцесу [7]. 
Вирази (2.16) застосуємо для  знаходження  початкових моментів  
випадкової величини v( p) , що спостерігається на виході p-го приймального 
елементу. Ці початкові моменти miv ( p)  будуть залежати від номеру вибірки v.  
Знайдемо вирази початкових моментів до 8-го порядку включно для 
випадкової величини, що спостерігається та є адитивною сумішшю корисного 
сигналу та негауссівської завади 
 
m1v( p) = sv( p) ,  
m 2
2v( p) = 2 + sv( p) ,  
 Арк 
РТ025.023.281.248 ПЗ 
38 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
3
m 2
3v( p) = 23 + 3sv( p)2 + sv( p) ,  
3
m = 2( + 3) + 4s  2 2 4
4v( p) 2 4 v( p) 23 + 6sv( p)2 + sv( p) ,  
5 3
m 2
5v( p) = 2 (5 +10 2 2
3) + 5sv( p)24 +15sv( p)2 +10s2 2 3
v( p)23 +10sv( p)
5
2 + sv( p) ,  
5
m = 3 2 2
6v( p) 2 (6 +154 +103 +15) + 6sv(p)2 (5 +103) +
  (2.17) 3
+15s2 2
v(p)2 (4 + 3) + 20s3 2
v(p)2 +15s4 6
3 v(p)2 + sv(p) .
m 7 / 2
7v( p) = 2 (7 + 3534 + 21 +105)+105s 3 +105s 3
5 v( p) 2 4 v( p) 2 +
+ 7sv( p)
3
26 + 70s 3 2
v( p)23 + 21s2 5 / 2
v( p)2 5 + 210s2 5 / 2
v( p) 2 3 + , 
+ 35s3 2
v( p) 2 +105s3 2 + 35s4 3/ 2 + 21s5  + s7
4 v( p) 2 v( p) 2 3 v( p) 2 v( p)
m8v( p) = 
4
2(8 + 28 2
6 + 2803 + 352
4 + 5635 + 2104 +105) +
+168s 7 / 2 + 840s 7 / 2
v( p) 2 5 v( p) 2 3 +
+ 8s 7 / 2
v( p)2 7 + 280s 7 / 2 2 3
v( p)2 34 + 420sv( p)24 + 420s2 3
v( p)2 +  
+ 28s2 3 + 280s2 32 + 56s3 5 / 2 3 5 / 2
v( p) 2 6 v( p) 2 3 v( p) 2 5 + 560sv( p)2 3 +
+ 70s4 2 4 2 5 3/ 2 6 8
v( p) 2 4 + 210sv( p)2 + 56sv( p)2 3 + 28sv( p)2 + sv( p)
 
Ці вирази (2.17) будуть використовуються, як  при знаходженні оцінок 
параметрів сигналу методом максимізації поліному так і при дослідженні 
властивостей отриманих оцінок. 
 
 Арк 
РТ025.023.281.248 ПЗ 
39 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
РОЗДІЛ 3 
 
АЛГОРИТМИ ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ СИГНАЛУ МЕТОДОМ 
МАКСИМІЗАЦІЇ ПОЛІНОМА 
 
3.1. Постановка задачі 
 
Розглянемо постановку задачі. Припустимо, що плоска хвиля надходить від 
джерела гармонічного коливання та приймається еквідістантною 
багатоелементною антенною решіткою, позначимо r - кількість елементів в 
решітці. Тоді на виході кожного p -го приймального елемента, у разі адитивної 
взаємодії корисного сигналу та завади, можна спостерігати випадкову величину, 
яку позначимо   
v( p)
 
v( p) = Sv( p) + nv( p) ,  p = 0,(r −1) ,  v =1,n ,  (3.1) 
 
де n  - негауссівська завада в p -ому приймальному елементі, з нульовим 
v( p)
математичним сподіванням En( p) = 0 , дисперсією 2   і кумулянтами вищих 
порядків  i , i =3,4,.... Будемо вважати, що завади в у всіх приймальних елементах 
некорельовані, та мають однакові статистичні характеристики вказані вищн.. 
В якості  джерела розглянемо гармонічне коливання, математична модель 
якого, у моменти часу v  та в залежності від номера приймального елементу  р 
буде мати вигляд  
 
Sv( p ) = a0 cos0 (v − p) + 0 ,    (3.2) 
 
 Арк 
 РТ025.023.281.248 ПЗ 
40 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
де a0 ,0 , 0  - параметри гармонічного сигналу, відповідно амплітуда, частота і 
фаза;,   - крок дискретизації гармонічного сигналу,   - час запізнення на р-ий 
елемент решітки. 
Бачимо з (3.1) та (2.2), що  випадкова величина, що спостерігається, буде  
залежати від параметрів корисного сигналу (a0 , 0 , 0 ,  ) і параметрів завади 
(2 , 3 , 4 ,...). Тому і оцінка випадкової величини теж буде залежати від цих же 
параметрів. 
Згідно технічного завдання до роботи, значення таких параметрів як 
амплітуда а0, початкова фаза сигналу 0  та характеристики негаусівської завади 
2 , 3 , 4 ,... точно відомі. А  невідомими параметрами будуть такі  інформаційні 
параметри гармонічного сигналу, як частоту 0  та час запізнення сигналу  . 
В роботі розробимо алгоритми знаходження оцінки частоти та часу 
запізнення сигналу, як при окремому їх оцінюванні, так і при сумісному 
оцінюванні двох параметрів. Як зазначалося раніше, найкращим при 
негауссівських  завадах буде метод максимізації полінома.  
При використання багатоелементної антенної решітки на вході системи 

буде спостерігатися векторна випадкова величина  ={(0) ,(1)...(r−1)} . І нехай  з 
виходу кожного p -го приймального каналу  решітки береться вибірка з адитивної 
суміші прийнятого гармонічного сигналу Sv( p)  (3.2) і негауссівської завади (3.1). 
Тобто при кожному значенні параметру v , який приймає послідовність значень 1, 
2, ... , n , вимірюється одне вибіркове значення xv  з випадкової величини, що 
спостерігається  для кожного приймального елемента антенної решітки.  
Для подальшого розрахунку, будемо вважати, що отримані вибіркові 
значення xv  і xr  при v  r  будуть статистично незалежні.  
Отже в результаті спостереження векторної випадкової величини  

 ={(0) ,(1)...(r−1)}  отримаємо множину статистично незалежних  та неоднаково 

розподілених випадкових вибіркових величин X p ={x1, x2 ,...xn} в кожному р-ому 
 Арк 
 РТ025.023.281.248 ПЗ 
41 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
приймальному елементі.  І  по цій вибірці X p  необхідно знайти методом 
максимізації полінома окремі оцінки параметрів сигналу 0 ,  та сумісну оцінку  

векторного параметра  = (0 ,) . 
 
 
 
3.2. Лінійні алгоритми оцінювання параметрів сигналу  
 
Згідно методу максимізації полінома оцінку параметрів сигналу можна 
знайти починаючи з першого степеня стохастичного поліному, тобто при  s =1. 

Оцінка  векторного параметра   буде знаходиться з розв'язку наступного  
рівняння 
 
r−1 n  
h( p)
  1v(m) ()[xv( p) − m1v( p) ()] = 0 ,  v =1,n , p = 0, r −1,  m =1, g    (3.3) 
p=0 v=1 =ˆ
 
В другому розділі вже були знайдені початкові моменти для моделі 
випадкової величини, що розглядається в даній роботі. Момент першого порядку 
дорівнює 
 
 
m1v( p) () = Sv( p) () , 
 
( p)
а коефіцієнти  з рівняння (3.3) h1v(m) ()    будуть знаходитися з розв'язку системи 
лінійних рівнянь (2.10). При  s =1 в системі буде тільки одне рівняння  
 

  dS ()
h( p) v( p)
1v(m) ()F ( p)
(1,1)v () =      (3.4) 
dm
 
 Арк 
 РТ025.023.281.248 ПЗ 
42 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
В формулі (3.4) F ( p)
(1,1)v ()  це центрований корелянт, який при s =1 буде 
дорівнювати 
 
  
F ( p) 2
(1,1)v () = m(1+1)v( p) () −m1v( p) () = 2 , 
 
Тоді 
 

 1 dSv( p) ()
h( p)
1v(m) () = . 
2 dm
 
Підставимо отриманий коефіцієнт в рівняння (3.3) та отримаємо рівняння 
максимізації поліному з якого знаходиться шукана оцінка 
 
r−1 n dSv( p) ( )
  [xv +Sv( p) ( )] = 0
d    (3.5) 
p=0 v=1 m
=ˆ
Спочатку розглянемо випадок коли невідомим параметром є частота 
гармонічного сигналу 0 . Підставимо в рівняння (3.5) вираз для гармонійного 
сигналу (3.2) та візьмемо похідну по параметру 0 , тобто який  оцінюється. Тоді 
отримаємо рівняння наступного виду 
 
r−1 n
 [xva0 (v− p )sin 0 (v− p )+0 +a2
0 / 2(v− p )sin 20(v− p ) +0 ] = 0  
p=0 v=1 0 =ˆ0
 
Отримане рівняння можна спростити. Будемо вважати, що за час 
спостереження відбувається ціле число періодів коливань гармонійного сигналу, 
тоді  крок дискретизації   можна підібрати  так, щоб виконувалися наступні 
рівності 
 Арк 
 РТ025.023.281.248 ПЗ 
43 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
n n
sin N (0(v − p) + 0) = 0 , cos N (0(v − p) + 0) = 0   (3.6) 
v=1 v=1
 
для любого цілого N =1,2,... 
Тоді попереднє рівняння спроститься та буде мати наступний вигляд 
 
r−1 n
  xv (v − p)sin0(v − p) + 0  = 0    (3.7) 
p=0 v=1 0 =ˆ 0
 
Отже з розв’язку рівняння (3.7) отримується оцінка частоти гармонічного 
сигналу, при умові, що всі інші параметри сигналу та завади, в тому числі і час 
запізнення сигналу   відомі. Якщо ж значення часу запізнення невідоме, тоді 
потрібно аналогічно знайти рівняння для знаходження оцінки параметру  , і вже 
розв’язавши систему з двох рівнянь  можливо буде знайти сумісну оцінку двох 
параметрів 0 ,  . 
Тому знаходимо рівняння максимізації поліному для оцінки часу запізнення  
гармонічного сигналу.  
 
r−1 n
  [xva0 psin0(v − p) + 0 +a2
0 p / 2sin20(v − p) + 0 ] = 0 . 
p=0 v=1  =ˆ
 
Аналогічно, враховуючи умови (3.6) спрощуємо рівняння 
 
r−1 n
  xv psin0(v − p) + 0  = 0 .   (3.8) 
p=0 v=1  =ˆ
 
 Арк 
 РТ025.023.281.248 ПЗ 
44 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
З розв’язку рівняння (3.8) буде знаходитися  окрема оцінка часу запізнення 
сигналу при умові, що всі інші параметри випадкової величини відомі. Якщо, 
наприклад, значення частоти сигналу буде невідоме, то сумісну оцінку параметрів 
гармонічного сигналу  0 ,   при степені поліному s =1 можна знайти  з розв’язку 
наступної системи  рівнянь  
 
 r−1 n
  xv (v − p )sin 0 (v − p ) +0  = 0
 p=0 v=1 0 =ˆ0
 . 
r−1 n

   xv p sin 0 (v − p )+0  = 0
 p=0 v=1  =ˆ
 
Так як рівняння, що входять в систему є нелінійними, то для розв’язку 
необхідно використовувати чисельні методи, наприклад метод Ньютона [12] 
 
 
 
 
3.3. Алгоритми оцінювання  інформативних параметрів при s=2 
 
В роботі [6] показано що зі збільшенням степеня поліному збільшується 
точність оцінювання параметрів випадкових величин. Тому побудуємо 
стохастичний поліном при s=2 та відповідно до методу максимізації побудуємо 
рівняння з розв’язку якого буде  знаходиться оцінка  
 
r−1 n   r−1 n  
h( p)
  1v ()[xv( p) −m1v( p) ()] + ( p) 2
 h2v ()[x v( p) −m2v ()]  ~ = 0 .   (3.9) 
=
p=0 v=1 = p=0 v=1
 
Згідно  до (2.17) розділу 2 момент другого порядку дорівнює 
 
 Арк 
 РТ025.023.281.248 ПЗ 
45 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
  
m2v () = S 2
v () + 2 . 
 
 
Вагові коефіцієнти поліному h1v ()  і h2v ()  знаходимоз розв'язку наступної 
системи лінійних рівнянь 
 

     dm1v ()
h1v ()F(1,1)v () + h2v ()F(1,2)v () =
 dm
                                   (3.10) 
   
 dm ()
h1v ()F(1,2)v () + h2v ()F(2,2)v () = 2v

 dm
 
Центровані корелянти відповідно будуть дорівнювати 
 

F(1,1)v () = 2 , 

F(1,2)v () = 1.5
2 3 + 22Sv ,   (3.11) 

F 2 2 1.5
(2,2)v () = 2(4 + 2) + 42Sv + 42 3Sv . 
 
Лінійну систему (3.10) зручно буде розв’язати методом Крамера. Тому 
знайдемо головний визначник матриці  
 
 1.5
2 2  3 + 22Sv , 
1.5 + 2 S  2 ( 2 1.5
2 3 2 v 2 4 + 2)+ 42Sv + 42  3Sv
 
який позначимо   і він буде дорівнювати 
2
 
 = 3 ( + 2 − 2
2 2 4 3 ) .    (3.12) 
 
 
А коефіцієнти h1v ()  і h2v ()  відповідно за методом Крамера будуть рівні 
 Арк 
 РТ025.023.281.248 ПЗ 
46 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 

 1 dS () 
h () = v [2( 1.5
1v 2 4 + 2) + 22 3Sv ()] ,  (3.13) 
2 dm

 1 dS
h () = − v ()
2v 1.5
2 3 . 
2 dm
 
З видно з виразу (3.13), якщо коефіцієнт асиметрії 3  буде дорівнювати 
 
нулю, то і коефіцієнт h2v () = 0 , а коефіцієнт h1v ()  збігається з коефіцієнтом 

h1v ()  при степені полінома s =1. Тобто, рівняння максимізації полінома для 
знаходження оцінки параметрів буде співпадати з випадком, коли s =1. Відома, 
що для негауссівських завад коефіцієнт асиметрії 3  0  [10]. 
Знайдемо перше рівняння максимізації поліному з якого знаходиться оцінка 
частоти гармонічного сигналу. При цьому оптимальні вагові коефіцієнти (3.13) 
приймуть наступний вигляд 
 
1
h1v (
2
0) = − [2(4 + 2)(v − p)a0 sin0 (v − p) + 0 +
2 ,  (3.14) 
+1.5
2 3(v − p)a2
0 sin2(0 (v − p) + 0)]
 
1
h2v (0) = 1.5
2 3(v − p)a0 sin0(v − p) + 0 . 
2
 
А саме рівняння максимізації поліному для знаходження оцінки невідомого 
параметра 0  при другому степені s = 2  буде мати наступний вигляд 
 
r−1 n
 (− 0.5
2 ( 4 + 2) (v − p )sin 0 (v − p ) +0 − 3(v − p )sin 2(0 (v − p ) + 
0) )  xv( p) +
p=0 v=1  (3.15) 
+ 3(v − p )sin 0 (v − p ) +0  x
2
v( p) = 0
0=ˆ0
 Арк 
 РТ025.023.281.248 ПЗ 
47 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
Отже, з розв’язку рівняння (3.15) можна отримати окрему оцінку частоти 
гармонічного сигналу, при умові, що всі значення параметрів корисного сигналу  
та параметрів випадкової величини відомі спостерігачу. 
 Наступним кроком, синтезуємо рівняння максимізації поліному для 
знаходження оцінки часу запізнення сигналу при другому степені поліному s = 2 . 
Коефіцієнти h1v ()  і h2v ()  будуть відповідно дорівнювати 
 
 
1
h1v ( ) = − [ 2
2 ( 4 + 2) pa0 sin 0v− p +0 + 
1.5
2  3 pa2
0 sin 2(0v− p +0 )]  (3.16) 
2
1
h2v ( ) = 1.5
2  3 pa0 sin 0v − p +0  . 
2
Отже, саме рівняння максимізації поліному 
 
r−1 n
(− 0.5 (  
2 4 + 2) p sin 0v− p +0 − 3 psin 2(0v− p +0) )  xv( p) +
p=0 v=1  (3.17) 
+ 3 psin0v− p +0  x
2
v( p) = 0
 =ˆ
 
З розв’язку рівняння (3.17) чисельними методами отримаємо окрему оцінку 
параметру, часу запізнення сигналу на антенну решітку  , при умові що відоме 
значення частоти сигналу 0 , 
Для  отримання сумісної оцінки параметрів корисного сигналу 0 ,   
складемо наступну систему рівнянь 
 
 r−1 n
 (− 0.5
2 ( 4 + 2) (v − p )sin 0 (v − p )+0 − 3(v − p )sin 2(0 (v − p )+ 
0) )  xv( p) +
 p=0 v=1

+ 3(v − p )sin 0 (v − p )+0  x
2
v( p) = 0
0=ˆ0 (3.18) 

r−1 n
 (− 0.5
2 ( 4 + 2) p sin 0v − p +0 − 3 p sin 2(0v − p + )  x
 0)  v( p) +
p=0 v=1

+ 3 p sin 0v − p +0   x
2
v( p) = 0
 =ˆ
 
 Арк 
 РТ025.023.281.248 ПЗ 
48 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
Отримана система складеться з нелінійних трансцендентних рівнянь і для їй 
розв’язку необхідно використовувати обчислювальні методи, наприклад метод 
Ньютона. Як видно з отриманої системи вибіркові значення при s=2 підлягають 
квадратичній обробці.  
 
 
 
 
3.4. Оцінювання інформаційних параметрів гармонічного сигналу  
при  s=3 
 
Синтезуємо рівняння максимізації полінома з розв’язку якого буде 
знаходитися оцінка  параметрів сигналу при третьому степені s = 3 
 
r−1 n   r−1 n  
( p) ( p) 2
 h1v ()[xv( p) −m1v( p) ()]+ h2v ()[xv( p) −m2v( p) ()]+
p=0 v=1 p=0 v=1
           (3.179) 
r−1 n  
+ h( p) 3
  ()[x  
3n v( p) −m3v( p) ()] ˆ = 0
=
p=0 v=1
 
Як видно з (3.19), при третьому степені поліному вибіркові значення, крім 
того, що підводяться до квадрату, ще й зводиться в а потім всі значення 
підсумовуються з визначеною вагою. При цьому оптимальні вагові коефіцієнти 
  
h1v () , h2v ()  і h3v ()  будуть знаходяться з розв'язку наступної системи лінійних 
рівнянь 
 
 Арк 
 РТ025.023.281.248 ПЗ 
49 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 dm
( p) 1v( p) ( )
h1v ( )F(1,1)v ( ) + h( p) ( p)
2v ( )F(1,2)v () + h3v ( )F(1,3)v ( ) =
 dm

 dm ( )
h(P) ( p) ( p) 2v( p)
 1v ( )F(1,2)v ( ) + h2v ( )F(2,2)v ( ) + h3v ( )F(2,3)v ( ) =              (3.20 
 dm
 dm3v( p) ( )
h( p)
1v ( )F(1,3)v ( ) + h( p)
2v ( )F(2,3)v ( )+ h( p)
3v ( )F(3,3)v ( ) =
 dm
 

Щоб розв’язати дану систему, знайдемо похідну третього моментуm3v( p) ()  
отриманого в другому розділі (2.17) 
 
 
dm 
3v( p) () dSv( p) ()
= 3[S 2
v( p) () + 2] . 
dm dm
 
dm1v( p) () dm2v( p) ()
Вирази для похідних моментів нижчих порядків  й  вже 
dm dm
були отримані  раніше. 

Також раніше  отримані вирази для центрованих корелянт F(1,1)v ()  та 
 
F(1,2)v ()  . Інші корелчнти F(i, j )v ()  будуть дорівнювати 
 
  
F () = 2( + 2) + 43/ 2 S () + 4 S 2
(2,2)v 2 4 2 3 v 2 v () , 
   
F () = 2( + 3) + 3 S 2() + 33/ 2
(1,3)v 2 4 2 v 2 3Sv () , 
     
F () = 5 / 2 2 3 2,5 2 2
(2,3)v 2 (5 + 93) + 524Sv () + 62Sv () + 92 3Sv () +122Sv () , 
   
F () = 3 2
(3,3)v 2(6 +154 + 93 +15) + 9 4
2Sv () + 62,5
2 (5 + 93)Sv () +
    
+181,5 S 3() + 32(5 +12)S 2() + 9 S 4
2 3 v 2 4 v 2 v ()
 
Після обчислень системи (3.20) методом Крамера, що застосовується для 
розв’язку лінійних систем одержимо, що коефіцієнти будуть відповідно рівні: 
 
 Арк 
 РТ025.023.281.248 ПЗ 
50 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 4
2 dSv ()
h1v () = [2(2 +   −15  − 2 +122
6 6 4 3 5 5 4 + 30 2
4 + 934 −
3 dm

− 362
3 +12) + 0,5
2 Sv ()(263 − 245 + 6 3
34 +123 +183) +  

+ S 2
v ()(3  2 2
5 3 − 34 − 64 +183 )]
 
 4
2 dSv ()
h2v () = [0,5
2 (63 − 334 + 54 − 93
3 − 63) +
3 dm ,                          (3.21) 

+ Sv ()(−3 2 2
53 + 34 + 64 −183 )]
 
 4 dS
h () = 2 v ()
3v (53 − 
2
4 − 24 + 62
3 ) , 
3 dm
 
де головний визначник системи дорівнює 
 
 = 6
3 2(2
2 3 2
6 + 64 − 63 −1235 + 2345 − 4 + 74 + 244 +
. 
+122
34 − 242 −94
3 3 +12)
 
Як бачимо з (3.21) вагові залежать від кумулянтних коефіцієнтів до шостого 
порядку та мають достатньо громіздкий вигляд. Для спрощення записів введемо 
наступні позначення 
 
A = 2 +   −15  − 2 +122 + 30 + 92 − 362  
11 6 6 4 3 5 5 4 4 3 4 3 +12
A 3    2 2  
12 = 263 − 245 + 634 +123 +183 A13 = 353 − 34 − 64 +183
A21 = 63 − 3  +  3 , 2
3 4 54 − 93 − 63 A22 = −353 + 34 + 64 −182 , A =   − 2 − 2 + 62   
3 31 5 3 4 4 3
 
 
Підставимо математичну модель сигналу в вирази для  коефіцієнтів (3.21), 
взявши похідну по шуканому параметру та враховуючи умови (3.7) виконаємо 
математичні перетворення і отримаємо рівнянь максимізації поліному для 
знаходження оцінки частоти гармонічного сигналу, який приймається 
еквідістантною антенною решіткою на фоні негауссівських завад. 
 
 Арк 
 РТ025.023.281.248 ПЗ 
51 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
r−1 n
[(2  A11 + a2
0 / 4  A13)(v − p)sin0 (v − p) + 0 +
p=0 v=1
+ 0.5
2 a0 A12 (v − p)sin20 (v − p) + 0 +
+ A 3
13(v − p)sin 0 (v − p) + 0 )]  xv( p) +                (3.22) 
+ [0.5
2 a0 / 2  A12 (v − p)sin0 (v − p) + 0 +
+ a0 / 2A22 (v − p)sin20 (v − p) + 0 ]  x
2
v( p) +
+ a2
0 / 4  A31(v − p)sin 0 (v − p) + 0  x
3
v( p) = 0
0=ˆ 0
 
Аналогічно отримаємо рівнянь максимізації поліному для знаходження 
оцінки часу запізнення гармонічного сигналу на антенну решітку 
 
r−1 n
2
[(2  A11 + a0 / 4  A13) p sin0v − p + 0 +
p=0 v=1
0.5a A p sin2
2 0 12 0v − p + 0 +
+ A13 p sin30v − p + 0 )]  xv( p) +                                      (3.23) 
+ [0.5
2 a0 / 2  A12 p sin0v − p + 0 +
+ a0 / 2A22 p sin20v − p + 0 ]  x
2
v( p) +
+ a2
0 / 4  A31 p sin  v − p +   x3
0 0 v( p) = 0
=
 
У разі необхідності спільного оцінювання параметрів, потрібно розв’язати 
систему з двох рівнянь (3.22) та (3.23). Дана  систему досить громіздка, але її  
можливо розв’язати за допомогою обчислювальних методів, які  закладені в 
сучасних програмах комп’ютерної математики,  наприклад, Mathcad, Matlab. 
 Арк 
 РТ025.023.281.248 ПЗ 
52 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
РОЗДІЛ 4 
 
АСИМПТОТИЧНІ ВЛАСТИВОСТІ ОЦІНОК ПАРАМЕТРІВ 
ГАРМОНІЧНОГО СИГНАЛУ 
 
В попередньому розділі були розроблені алгоритми оцінювання 
інформативних параметрів сигналів. Так як оцінка, ще статистична 
характеристика, то потрібно дослідити точність отриманих алгоритмів. Згідно 
методу максимізації поліному для дослідження точності оцінювання параметрів 
знаходять  дисперсії оцінок, у разі окремого оцінювання параметрів. При 
спільному оцінюванні параметрів застосовується варіаційна матриця. Так як в 
роботі розглянуті алгоритми, як окремого так і спільного оцінювання параметрів, 
то в цьому розділі дослідимо точність оцінювання в обох випадках. 
 
 
4.1 Асимптотичні властивості оцінок параметрів сигналу при лінійній 
обробці 
 
4.1.1. Дисперсія оцінки частоти гармонічного сигналу 
 
В методі максимізації поліному для дослідження точності оцінок 
застосовується асимптотичний аналіз, тобто це метод опису граничної поведінки. 
Тому будемо вважати що кількість вибіркових значень прямує до нескінченності 
( n→). 
Спочатку дослідимо точність оцінювання першого параметру,частоти 
гармонічного сигналу, при його окремому оцінюванні при першому степені 
поліном.  З роботи  [10] відомо, що асимптотично при s =1 дисперсія оцінки 
дорівнює 
 
 Арк 
 РТ025.023.281.248 ПЗ 
53 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
1
2 = , 
J1n (0 )
 
де J1n (0 )  так звана кількість здобутої інформації про шуканий параметр, яка в 
цьому випадку ( s =1) визначається за формулою 
 
n r−1 d
J1n(к) (0 ) =h1v (0 ) m1v (0 ) . 
v=1 p=0 d0
 
Ваговий коефіціент h1v (0 )  та момент першого порядку m ( )  попередньо 
1v 0
знайдені, тоді  кількість здобутої інформації буде дорівнювати 
 
1 r−1 n
J1n(r ) (0) = (v − p)2 a2
0 sin2(0(v − p) + 0) =
2 p=0 v=1
. 
a2 r−1 n
= 0 (v − p)2(1− cos2(0(v − p) + 0))
22 p=0 v=1
 
Даний вираз можна трохи спростити, враховуючи умови (3.6), тоді  
отримаємо 
 
a2 r−1 n
J1n(r ) ( ) = 0 2
0 (v − p) . 
22 p=0 v=1
 
Формули для розкриття суми  [13] 
 
n n(n +1) n n(n +1)(2n +1)
k = , k 2 = , 
k=1 2 k=1 6
 
 Арк 
 РТ025.023.281.248 ПЗ 
54 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
Остаточно отримаємо кількість здобутої інформації при s =1 для оцінки 
частоти сигналу 
 
a2  2
0  rn(n +1)(2n +1) nr(n +1)(r −1) 2nr(r −1)(2r −1) 
J 
1n(r ) (0) = − + 
2  6 2 6   
2  
 
Дисперсія оцінки частоти гармонічного коливання обернено пропорційна до 
отриманого виразу та дорівнює 
 
12
2 2
1( ) = .        (4.1) 
0 a2 2
0 ( rn(n +1)(2n +1) − 3nr(n +1)(r −1) + 2nr(r −1)(2r −1))
 
З отриманого виразу видно, що дисперсія оцінки частоти гармонічного 
сигналу залежить від часу запізнення сигналу   на антенну решітку, обраного 
шагу дискретизації   та  відношення сигнал/шум по потужності.  
 
a2
q = 0 . 
2
 
Чим більшим буде значення відношення сигнал/шум тим меншою буде  
дисперсія оцінки частоти. Ще бачимо, що дисперсія (4.1) залежить від кількості 
вибіркових значень n  та кількості приймальних елементів в антенній решітці r , 
причому чим більша кількість вибіркових значень та приймальних елементів, тим 
меншою буде дисперсія, а значить оцінка буде точнішою.  
Отримані результати відповідають відомим теоретичними знаннями з теорії 
зв’язку. Також вираз для дисперсії (4.1) отриманої методом максимізації поліному  
при s =1 повністю співпадає з вираз для дисперсії отриманим методом 
максимальної правдоподібності, коли розглядалася гауссівська щільність 
 Арк 
 РТ025.023.281.248 ПЗ 
55 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
розподілу. Це означає, що в методі максимізації поліному при s =1 не 
враховується негауссівський характер завади. 
 
4.1.2. Дисперсія оцінки часу запізненя гармонічного сигналу 
 
Тепер знайдемо дисперсію оцінки часу запізнення гармонічного сигналу 
при s =1, тобто при лінійній обробці випадкової величини, коли не враховується 
негаусівський характер завади. Дисперсія буде дорівнювати оберненому 
значенню кількості здобутої інформації про невідомий параметр. Вирази для h1v ( )  
та m1v ( )  були отримані в раніше. Тоді знайдемо, що  
 
2
1 r−1 n a r−1 n
J ( ) = a2 p2 sin2 ( (v− p )+ ) = 0 2
1n(r ) 0 0 0  p (1− cos2(0 (v− p )+0 ))  
2 p=0 v=1 22 p=0 v=1
 
Спростимо вираз враховуючи умови (3.6) та отримаємо 
 
a2 r−1 n
J1n(r ) () =
0 2
 p  
22 p=0 v=1
 
Розкривши суми остаточно отримаємо, значення кількість здобутої інформації 
про оціночний параметр    
 
a2
0 rn(r −1)(2r −1)
J1n(r ) () ==  
22 6
 
Значить дисперсія оцінки часу запізнення на антенну решітку буде мати 
настіпний вигляд  
 
 Арк 
 РТ025.023.281.248 ПЗ 
56 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
2 12
1() =
2 .     (4.2) 
a2
0nr(r −1)(2r −1)
 
З виразу (4.2) бачимо, що дисперсія оцінки параметра   також залежить від 
відношення сигнал/шум по потужності, від числа вибіркових значень і кількості 
приймальних елементів таким же самим чином як і описана вище дисперсія 
оцінки параметра  . 
0
 
 
4.1.3. Точносні характеристики при сумісному оцінюванні параметрів  
 
Як вже говорилося раніше, при спільному оцінюванні параметрів, тобто 

векторного параметру, позначимо  , для оцінки точності отриманих оцінок 
застосовується  варіаційна матриця. Вона отримується шляхом обернення матриці 

кількості здобутої інформації про векторний параметр  . 
 
V −1
n1(r ) = Jn1(r ) . 
 
Елементи цієї матриці Jn1(r )  будуть знаходитися по формулі (2.12), яка у 
випадку s=1 має вигляд 
 
r−1 n  
J (m,z) 
n1(r ) =hi1() m ()  ,    m, z =1, g
1v( p) . 
p=0 v=1 m
 

В даній роботі векторний параметр має розмірність g = 2, тобто  = (0 ,)  
 
Підставивши  знайдені в попередніх розділах  вирази hi1()  та m1v( p) ()  для 
параметрів    ,   отримаємо  
0
 
 Арк 
 РТ025.023.281.248 ПЗ 
57 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
r−1 n 1 dS
(m,z ) v( p) dSv( p)
Jn1(r ) = . 
p=0 v=1 2 dm dz
 
Спочатку знайдемо похідні по кожному з оцінюваних параметрів 
 
dSv( p)
= −a0(v − p)sin(0(v − p) + 0)  , 
d0
dSv = −pa0 sin(0v + 0 − p)  
d
 
Та підставивши їх у попередній вираз, отримаємо елементи матриці J (m,z )
n1(r )  

кількості інформації, що здобута про параметр  = (0 ,) .  
 
1 r−1 n
J (1,1)
ni(r ) =  (v − p )2 a2
0 sin2 (0 (v − p ) +0 ) =
2 p=0 v=1
, 
a2 r−1 n
= 0  (v − p )2 (1− cos2(0 (v − p ) +0 ))
22 p=0 v=1
1 r−1 n a2 r−1 n
J (2,2)
ni(r ) = a2 p2
0 sin2 (0 (v− p )+ 0
0 ) =  p2 (1− cos2(0 (v− p )+0 )) , 
2 p=0 v=1 22 p=0 v=1
r−1 n
J (1,2) (2,1) 1 2
ni(r ) = Jni(r ) =  (v − p ) pa0 sin2 (0 (v − p )+0 ) =
2 p=0 v=1
. 
a2 r−1 n
= 0  p(v − p )(1− cos2(0 (v − p )+0 ))
22 p=0 v=1
 
Спростимо вирази враховуючи  умови (3.6), та отримаємо 
 
a2 r−1 n
J (1,1) 0 2
ni(r ) == (v − p) , 
22 p=0 v=1
a2 r−1 n
J (2,2)
ni(r ) =
0 2
 p , 
22 p=0 v=1
 Арк 
 РТ025.023.281.248 ПЗ 
58 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
2 r−1 n
J (1,2) = J (2,1) a
= 0
ni(r ) ni(r )  p(v − p) . 
22 p=0 v=1
 
Використовуючи формули для чисельних сум остаточно отримаємо, що елементи 
матриці кількості інформації дорівнюють 
 
2 2
(1,1) a 
0  rn(n +1)(2n +1) nr(n +1)(r −1) 2nr(r −1)(2r −1) 
J =  
n1(r ) − + , 
2 
2  6 2 6 

2
(2,2) a0 rn(r −1)(2r −1)
Jn2(r ) = ,        
22 6
a2
 rn(n +1)(r −1) rn(r −1)(2r −1) 
J (1,2) = J (2,1) 0
n2(r ) n2(r ) =  −  . 
22  4 4 
 
Так як вирази достатньо громіздкі, то для  спрощення записів введемо 
позначення  
 
rn(n +1)(2n +1)
Arn = , 
6
nr(n +1)(r −1)
Brn = , 
4
nr(r −1)(2r −1)
Crn = .     (4.3) 
12
 
 Як видно з (4.3), ще будуть коефіцієнти Arn , Brn , Crn , що залежать від 
кількості вибіркових значень n  і кількості елементів решітки r . Тоді остаточно 
елементи матриці кількості інформації запишуться так 
 
2
J (1,1) a
= 0 (2 2
n1(r ) Arn − 2Brn + 2 Crn ), 
22
 Арк 
 РТ025.023.281.248 ПЗ 
59 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
2
J (2,2) a0
sn(r ) == Crn ,         
22
a2
J (1,2) (2,1) 0
ni(r ) = Jni(r ) = (Brn − 3Crn ) . 
22
 
А сама  матриця кількості інформації, що здобута про оцінюваний 
векторний параметр  = (0 , ) , буде мати наступний вигляд 
 
2 2
a2  A − 2B 
J = 0  rn rn + 2 Crn Brn − 3Crn 
1n( p)  ,    (4.4) 
22  Brn − 3C 
rn Crn 
 
 Для отримання варіаційної матриці виконаємо обернення матриці (4.4).  Для 
цього знаходимо головний визначник  матриці 
 
a2
J = 0 (2
n1(r ) ArnCrn + 4BrnCrn +11 2C2
rn −
2B2
rn ) , 
22
 
і обернена матриця буде мати вигляд 
 
2  Crn Brn −3Crn 
V 2
1n(r ) =      (4.5) 
2 ( 2 2 2 2 2 
) B −3C 2 2 
a0  ArnCrn + 4BrnCrn +11 C − B  rn rn Arn − 2Brn + 2 C
rn rn rn 
 
 
З теорії відомо [10], що на головній діагоналі матриці розташовані дисперсії 
відповідних параметрів, що оцінюються, в даному випадку  частоти та часу 
запізнення гармонічного сигналу. А на іншій діагоналі знаходяться елементи, які 
характеризують кореляцію оцінок. Якщо вини рівні нулю, то це означає оцінки 
параметрів незалежні, і дисперсії будуть однаковими, як при окремому, так і при 
сумісному оцінювання параметрів. В нашому випадку елементи  
 Арк 
 РТ025.023.281.248 ПЗ 
60 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
V12 =V21 = Brn −3C  
rn
 
відмінні від 0, це означає, що дисперсії оцінок частоти сигналу і часу запізнення 
при спільному оцінюванні будуть більшими ніж при їх окремому оцінюванні, за 
рахунок того, що ці параметри є корельованими. 
 
 
 
3.2. Асимптотичні властивості оцінок параметрів при s = 2  
 
3.2.1. Дисперсія оцінки частоти гармонічного сигналу 
 
Аналогічно дослідимо точністні характеристики отриманих оцінок при 
другому степені поліному, спочатку окремих оцінок. Дисперсія оцінки частоти 
корисного сигналу, знайденої з розв’язку  рівняння (3.15) буде обернено 
пропорційна відповідній кількості здобутої інформації про параметр 0  яка буде 
дорівнювати 
 
r−1 n d r−1 n
( p) ( p) d
J2n (0 ) =h1v (0 ) m1v( p) (0 )+h2v (0 ) m2v( p) (0 ) .  
p=o v=1 d0 p=o v=1 d0
 
Підставимо раніше знайдені значення коефіцієнтів h( p )
1v ( ) , h( p )
0 2v (0 )  (3.13), та 
провівши математичні обчислення, отримаємо 
 
a2(2 +  ) r−1 n
J ( ) = 0 4 (v − p)2
2n 0  (1− cos20(v − p) + 0 . 
 2
2(2 − 3 + 4) p=0 v=1
 
 Арк 
 РТ025.023.281.248 ПЗ 
61 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
Аналогічно, розкриваючи суми та  враховуючи умови (3.6)отримаємо вираз 
для кількості здобутої  інформації про параметр гармонічного сигналу 0  при  
степені полінома s = 2  
 
a2
0 (2+ 4 )  2rn(n+1)(2n+1) nr(n+1)(r −1)  2nr(r −1)(2r −1) 
J2n(r ) (0 ) =  − +  . 
2 (2− 2
2 3 + 4 )  6 2 6 
 
Тоді, дисперсія оцінки параметра 0  асимптотично буде дорівнювати  
 
2 12 (2− 2 + )
 2( ) =
2 3 4 .  (4.6) 
0 a2
0 (2+ ) (2rn(n+1)(2n+1)−3nr(n+1)(r −1)+ 2
4 nr(r −1)(2r −1))
 
Якщо порівняти вирази (4.6) і (4.1) то видно, що дисперсія оцінки частоти 
гармонічного сигналу при другому степені s = 2  відрізняється від дисперсії при 
першому степені s =1 в деякий  коефіцієнт, який позначають  q21  і він дорівнює 
 
2
q21 =1− 3 .      (4.7) 
2 + 4
 
В роботі [7], коефіцієнт q21   отримав назву коефіцієнта ефективності, який 
показує наскільки зменшується дисперсія оцінки при другому степені поліному 
по відношенню до відповідної дисперсії при першому степені, іншими словами, 
нелінійній обробці вибірки по відношенню до лінійної обробки.  З виразу  (4.7) 
видно, що зменшення дисперсії оцінки залежить від значень, що приймаються 
кумулянтними коефіцієнтами, а саме, коефіцієнтом асиметрії 3  та коефіцієнтом 
ексцесу  4 .  
Наприклад, якщо 3 = 0 , то зменшення дисперсії не буде спостерігатися. Але, 
відомо, що для  негауссівських завад коефіцієнт асиметрії завжди відмінний від 
нуля. Тому можна зробити висновок, для негауссівських завад, дисперсія оцінки 
 Арк 
 РТ025.023.281.248 ПЗ 
62 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
частоти прийнятого сигналу, знайденої методом максимізації полінома при 
другому степені полінома, буде меншою ніж дисперсія оцінки того ж параметра 
при першому степені. В роботі [9], показано, що при s = 2  для кумулянтних 
коефіцієнтів 3  і 4  виконується  нерівність  
 
4 + 2  2
3 . 
 
Побудуємо графік залежності коефіцієнта ефективності q21  від значень 
кумулянтних коефіцієнтів 3  і 4 . Для цього будемо фіксувати  сталі значення для 
коефіцієнта  4 = −1.8,0, 2  та будувати залежність  q21  від 3  (рис.4.1).  
 
 
Рис. 4.1.  Залежність q21  від 3  при різних значеннях 4  
 
Як видно з рисунку 4.1, що  спостерігається зменшення дисперсії оцінки, так 
як коефіцієнт q21  приймає значення менші одиниці. Тобто, існують завади з  
такими значеннями коефіцієнтів 3  і 4 , для яких зменшення дисперсії  може  
бути  значним і навіть прямувати до нуля. Прямування до нуля дисперсії оцінки 
 Арк 
 РТ025.023.281.248 ПЗ 
63 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
спостерігається при прямуванні  коефіцієнтів 3  і 4  до границь області 
визначеності цих коефіцієнтів [9]. 
 
4.2.2. Дисперсія оцінки часу запізнення гармонічного сигналу при s = 2  
 
Тепер знайдемо дисперсію оцінки часу запізнення сигналу, знайденої 
методом максимізації поліному при s = 2   
Кількість здобутої інформації про параметр  , в цьому випадку 
розраховується  за формулою 
 
r−1 n d r−1 n d
J2n ( ) =h( p)
1v ( ) m ( p)
1v( p) ( )+h2v ( ) m2v( p) ( ) .  
p=o v=1 d p=o v=1 d
 
Підставимо попередньо знайдені значення оптимальних вагових 
коефіцієнтів  та отримаємо 
 
a2
0 (2+ ) r−1 n
J ( ) = 4  p2
2n (1− cos20 (v− p )+0 .. 
2 (2− 2
3 + 4 ) p=0 v=1
 
Розкриваючи суму та з врахування умов (3.6) отримаємо остаточний вираз 
для кількості здобутої  інформації про окремий параметр   при другій степені 
стохастичного полінома s = 2  
 
a2
0 (2+ 4 )  rn(r −1)(2r −1) 
J2n(r ) ( ) =
2   . 
22 (2− 3 + 4 )  6 
 
Тоді дисперсія оцінки часу запізнення сигналу на антенну решітку 
асимптотично буде дорівнювати  
 
 Арк 
 РТ025.023.281.248 ПЗ 
64 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
2 122 (2− 2
 = 3 + 4 )
2( ) .     (4.8) 
a2
0nr(2+ 4 )(r −1)(2r −1)
 
Порівняємо отриманий вираз (4.8) з дисперсією цього ж параметра при 
лінійній оцінці (4.2). Бачимо, що отримана дисперсія оцінки параметра 
відрізняється від дисперсії при s =1 в коефіцієнт q21 , який як і у разі оцінювання 
частоти сигналу  дорівнює  
 
2
q =1− 3
21 , 
2 + 4
 
тобто, повністю співпадає виразом  (3.7). Отже, при знаходженні окремої  оцінки 
часу запізнення,  також можуть існувати завади з певними значеннями 
коефіцієнтів 3  і 4 , для яких буде спостерігатися значне зменшення дисперсії 
оцінки.  
 
4.2.3. Точносні характеристики при сумісному оцінюванні параметрів  
 
При сумісному оцінюванні потрібно знайти  варіаційну матрицю оцінок 

двох параметрів  = (0 ,) .  

 При s = 2  елементи матриці кількості  здобутої інформації про параметр   
будуть знаходитися з наступних формул 
 
r−1 n
(m,z ) ( p) dm1v ( ) r−1 n dm ( )
 J2n ( ) = h ( p) 2v
1v ( ) ˆ + h
=   2v ( ) .               (4.9) 
ˆ
p=0 v=1 dm p=0 v=1 d =
m
 
( p) ( p)
Підставимо отримані значення коефіцієнтів h1v , h2v  при s = 2  в загальному 
вигляді  
 
 Арк 
 РТ025.023.281.248 ПЗ 
65 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 2 ( + 2) r−1 n dS ( ) dS ( )
J (m,z ) ( ) = 2 4   v v
2n  
(2− 2
3 + 4 ) p=0 v=1 dm dz
 
  В цьому випадку елементи матриці будуть знаходитися аналогічно як і  при 
s=1, тобто  використовуючи формули тригонометричних перетворень, розкриття 
чисельних сум та умов (3.6). Тоді отримаємо елементи матриці кількості здобутої 
інформації в наступному вигляді 
 
2 2
(1,1) a0 (2+ 
4 )  rn(n+1)(2n+1) nr(n+1)(r −1)  2nr(r −1)(2r −1) 
Jn2(r ) = − + , 
2 (2− 2  
2 3 + 4 )  6 2 6 
2
(2,2) a0 (2+ 4 ) rn(r −1)(2r −1)
J2n(r ) = ,        
2 2
2 (2− 3 + 4 ) 6
2
(1,2) (2,1) a0 (2+ 4 )  rn(n+1)(r −1)  rn(r −1)(2r −1) 
Jn2(r ) = Jn2i(r ) = 2  −  . 
22 (2− 3 + 4 )  4 4 
 
Коефіцієнти досить громіздкі тому застосуємо введені раніше позначення 
(4.3), та запишемо матрицю кількості інформації в наступному вигляді 
 
2 2 2
a0  4 + 2  A 
J = rn − 2Brn + 2 Crn Brn −3Crn
2n(r )          (4.10) 
22  4 + 2− 2
3  Brn −3Crn Crn 
 
  Виконаємо обернення матриці (4.10)  
 
2 
2 2 
V  3 
2n(r ) = 1− 
a2
0 (2 ArnCrn + 4BrnCrn +112C 2
rn − 
2B2
rn ) 4 + 2 
(4.11) 
 Crn Brn −3Crn 
 
2
Brn −3Crn  Arn − 2Brn + 22C 
rn 
 
Отримали варіаційну матрицю оцінок двох інформаційних параметрів 
гармонічного сигналу при другій степені поліному. Як бачимо, результати подібні 
 Арк 
 РТ025.023.281.248 ПЗ 
66 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
до випадку при лінійній обробці, тобто при сумісному оцінюванні параметрів 
дисперсії оцінки частоти сигналу та часу запізнення при будуть більшими ніж при 
їх окремому оцінюванні. В той же час вони будуть меньшими в коєфіціент q21 , 
графік залежності якого від кумулянтних коефіціентів показано на рисунку 4.1. 
Це говорить проте, що оцінки будуть більш точними по відношенню до дисперсій 
оцінок, у разі не врахування негауссівського характеру завад за допомогою 
кумулянтних коефіцієнтів вищих порядків. 
 
 
 
 
4.3. Асимптотичні властивості оцінок при третьму степені 
стохастичного поліному 
 
4.3.1. Дисперсія оцінки частоти гармонічного сигналу при s = 3 
 
Для знаходження дисперсії, знайдемо кількість здобутої інформації про 
параметр 0  при s = 3 за формулою  
 
r−1 n d r−1 n d
J3n (0 ) =h( p) ( ) m ( p)
1v 0 1v( p) (0 ) +h2v (0 ) m2v( p) (0 ) +
p=o v=1 d0 p=o v=1 d0 \. 
r−1 n d
+h( p)
3v (0 ) m3v( p) (0 )
p=o v=1 d0
 
Підставимо знайдені в попередньому розділі відповідні оптимальні вагові 
коефіцієнти  отримаємо  
 
a2
0 (2 +  −12  − 2 + 24 +9 2 +9 2 −18 2 +12)
J3n (0 ) = 6 6 4 3 5 5 4 4 3 4 3 
2  (2 +  −12  − 2 + 24 + 7 2 +12 2 2
2 6 6 4 3 5 5 4 4 3 4 − 24 3 +12− 2 4 3
6 3 −9 3 − 4 )
 
 2rn(n +1)(2n +1) nr(n +1)(r −1)  2nr(r −1)(2r −1) 
 − + 
 6 2 6 
 Арк 
 РТ025.023.281.248 ПЗ 
67 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
Дисперсія оцінки частоти сигналу при третьому степені s = 3, буде 
асимптотично  дорівнювати 
 
2 12    2
3 ( 2 2
6 +9 3 −3 4 + 6)+ 4 ( 
 = 2 1− 4 + 2)− 2 3 4 5
3(0 )  
a2
0  ( 4 + 2)( 6 +9 4 + 6)− 5 ( 5 +12 3)+9 2
3 ( 4 − 2) 
  (4.12) 
1
 .
(2rn(n +1)(2n +1)−3nr(n +1)(r −1)+ 2nr(r −1)(2r −1))
 
Порівняємо з дисперсією при першому степені s =1,  вираз (4.1), і запишемо 
 
2 2
3( ) = 1( )q31 . 
0 0
 
З порівняння видно, що аналогічно як і при s = 2 , дисперсія оцінки 
параметра сигналу   при s = 3 буде меншою, ніж при s =1, тобто при лінійній 
0
обробці. І зменшення буде в певний коефіціент, позначимо q31  (коефіцієнт 
зменшення дисперсії),  який залежить від значень кумульнтних коефіціентів  до 
шостого порядку включно  і  дорівнює 
 
 2
6 3 −3 2 3 2 4 2
q =1− 4 3 − 2 5 4 3 + 4 + 2 4 +9 3 + 6 3
31 . (4.13) 
2 6 + 6 4 −12  − 2 + 24 +9 2 +9 2 −18 2
3 5 5 4 4 3 4 3 +12
 
Для дослідження асимптотичних властивостей оцінки, спростимо  вираз 
(4.13), обмежимося асиметричнo-ексцесною випадковою величиною першого 
типу для якої 5 = 6 = 0 . Тоді коефіцієнт  ефективності q31 буде мати вигляд 
 
 3 + 2 2 −3  2 +9 4 + 6 2
q31 =1− 4 4 4 3 3 3                                          (4.14) 
9 2
4 + 24 +9  2 2
4 4 3 −18 3 +12
 
 Арк 
 РТ025.023.281.248 ПЗ 
68 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
По виразу (4.14) можна простежити, що зменшення дисперсії оцінок буде  
залежати від величин коефіцієнтів асиметрії  3  та ексцесу  4 . Наприклад, при 
 3 = 0  то зменшення дисперсії не буде спостерігатися.  
Знову, зафіксуємо певні значення коефіціенту ексцесу  4 , та побудуємо 
залежність коефіцієнт  ефективності q31 від коефіцієнтів асиметрії  3  
 
 
 
Рис. 4.2 Залежність q31  від 3  при різних значеннях 4  
 
З графіку (рис.4.2) видно, що також спостерыгаэться зменьшення дисперсії 
оцінки і, якщо 3  прагне до межі області визначення (тобто до величини  0,6561 
при 4 = 0 ), то дисперсія оцінки при s = 3 буде мати найменьше можливе 
значення, тобто прагне до нуля.  
 
4.3.2. Дисперсія оцінки часу запізнення гармонічного сигналу на 
антенну решітку при s = 3 
 
По аналогії, кількість здобутої інформації про параметр час запізнення 
гармонічного сигналу на антенну решітку  
 
 Арк 
 РТ025.023.281.248 ПЗ 
69 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
a2
0 (2 6 + 6 4 −12 3 5 −
2
5 + 24 4 +9 2 +9 2 −18 2 +12)
J3n ( ) = 4 3 4 3 
2 2 (2 6 + 6 4 −12 3 5 −
2
5 + 24 4 + 7 2 +12 2 2
4 3 4 − 24 3 +12−  2
6 3 −9 4
3 −
3
4 )
 
 rn(r −1)(2r −1) 
 
 6 
 
Тоді, при s = 3 дисперсія оцінки часу запізнення сигналу, що  знаходиться  з 
розв’язку  рівняння (3.23), буде асимптотично дорівнювати 
 
   2 ( +9 2
2 12 −3 + 6)+ 2 ( + 2)− 2   
 2
3( ) = 1−
3 6 3 4 4 4 3 4 5

a2
0  ( 4 + 2)( 6 + 9 4 + 6)− 5 ( 5 +12 3)+ 9 2
3 ( 4 − 2)    (4.15) 
1
 .
rn(r −1)(2r −1)
 
Аналогічно порівняємо з дисперсією оцінки цього параметру при степені 
s =1 (3.2), та запишемо 
 
2 2
3() = 1()q31 , 
 
де q31  вже введений нами раніше коефіцієнт зменшення дисперсії, який   
визначається за формулою (4.13). З чого можна зробити висновок, що при 
оцінюванні часу запізнення,  також буде спостерігається зменшення дисперсії 
оцінки цього параметру, яке залежить від значень, що приймаються кумулянтнм и 
коефіцієнтами вищих порядків. 
 
4.3.3. Точносні характеристики при сумісному оцінюванні параметрів 
гармонічного сигналу при s=3 
 
В даному випадку потрібно знаходити  матрицю кількості інформації. 
Елементи матриці були знайдені  аналогічно випадкам при s=1 та s=2, тобто  
використовуючи формули розкриття сум, тригонометричних перетворень  та 
 Арк 
 РТ025.023.281.248 ПЗ 
70 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
допущених умов (3.6). Отримана матриця кількості інформації, що здобута про 

векторний параметр   буде мати наступний вигляд 
 
a2 2 Arn − 2Brn + 2 2C 
J = 0 rn Brn −3Crn
32n(r )  
22  Brn −3Crn Crn  . 
2 + 2
6 6 4 −12 3 5 − 5 + 24 4 + 9 2
4 + 9 2
3 4 −18 2
 3 +12
2 +  −12  − 2 + 24 + 7 2 +12 2 − 24 2
6 6 4 3 5 5 4 4 3 4 3 +12−  2 4 3
6 3 −9 3 − 4
 
  Отже  варіаційна матриця при s=1 
 
2 q  Crn Brn −3Crn 
V 2 31
3n(r ) =   ,  (4.16) 
a2 (2
0 A 2 2 2 2
rnCrn + 4BrnCrn +11 Crn − Brn ) B 2 2
rn −3Crn  Arn − 2Brn + 2 Crn 
 
де q31  добре відомий коефіцієнт зменшення дисперсії оцінок знайдених методом 
максимізації поліному і дорівнює виразу (3.13).  
Тому висновки будуть аналогічними як для сумісного оцінювання 
параметрів і при s=1 і при  s=2. Отримані дисперсїї оцінок будуть меньшими в 
коєфіціент q31  по відношенню до дисперсій відповідних оцінок параметрів, коли 
не враховувався негауссівський характер завад, але будуть більшими ніж при 
окремому оцінюванні параметрів, що пояснюється наявністю кореляції між 
інформаційними параметрами сигналу 0  та  .  
 Арк 
 РТ025.023.281.248 ПЗ 
71 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
ВИСНОВКИ 
 
В роботі розроблені алгоритми оцінювання інформативних параметрів 
гармонічного сигналу, а саме часу запізнення та частоти, який приймається  
багатоелементною антенною решіткою на тлі негауссівських завадах.  
Побудовано модель випадкової величин, що приймається антенною 
решіткою, у вигляді адитивної суміші корисного сигналу та завади. В якості 
моделі корисного сигналу розглянуто модель гармонічного сигналу, яка є 
поширеною в радіотехніці. А в якості моделі завади застосовано  негауссівську 
модель, які більш точно відображають вплив реальних завад на корисний сигнал. 
При використанні побудованої моделі випадкової величини, отримані оцінки 
будуть  найбільш відповідати дійсним значенням параметрів. 
Ще на  точність отриманих результатів впливає метод, який 
використовується для оцінювання параметрів. Найбільш доцільним на випадок 
негауссівської завади є метод максимізації поліному, який в повній мірі дозволяє 
враховувати негауссовість моделі завади за допомогою кумулянтних коефіцієнтів 
вищих порядків.  
В роботі методом максимiзацiї полінома, розроблені алгоритми для 
знаходження, як окремої так і спільної оцінки інформативних параметрів, часу 
запізнення та частоти гармонічного сигналу при степенях полінома s=1,2,3. 
Отримано нелінійні трансцендентні рівнянь, з розв’язку яких знаходяться 
потрібні. Розв’язувати рівняння потрібно за допомогою чисельних методів та 
обчислювальної техніки.  
Якісною характеристикою при окремому оцінюванні параметрів є дисперсія 
оцінки, а при спільному оцінюванні -  варіаційна матриця оцінок, на головній 
діагоналі якої розташовані дисперсії оцінок відповідних  параметрів. Як видно з 
результатів, точність оцінювання інформативних параметрів залежить від 
характеристик, як сигналу так і завади: від відношення сигнал-шум, чим більше 
відношення тим точніше знайдена оцінка; від кількості приймальних елементів, 
 Арк 
 РТ025.023.281.248 ПЗ 
72 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
чим більше число елементів в решітці, тим точніше оцінка; від кумулянтних 
коефіцієнтів завади.  
Проаналізувавши  отримані результати бачимо, що за допомогою 
багатоелементної антенної решітки  при негауссівських завадах можна досягти 
значного зменшення дисперсії оцінок, тобто знайдені оцінки будуть найбільш 
наближеними до своїх дійсних значень. 
 На основі отриманих результатів в даній роботі можна будувати 
високоточні вимірювачі інформативних  параметрів сигналу, які можуть 
використовуватися в різних галузях науки та техніки, таких як радіонавігація, 
радіотехніка, телебачення, зв'язок, акустика, гiдроакустика родiоастрономiя, 
сейсмологiя та iн.. 
 Арк 
 РТ025.023.281.248 ПЗ 
73 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
ЛІТЕРАТУРА 
 
1. Волощук Ю.І. Сигнали та процеси у радіотехніці. Підручник для студентів 
вищих навчальних закладів, том 1– Харків «Компанія СМІТ», 2003. –  580 с. 
2. Волощук Ю.І. Сигнали та процеси у радіотехніці: Підручник для студентів 
вищих навчальних закладів, том 2. – Харків: «Компанія СМІТ», 2003. - 444с. 
3. https://org2.knuba.edu.ua/mod/book/tool/print/index.php?id=23040 
4. http://www.dissercat.com/content/prostranstvennaya-obrabotka-signalov-v-
tsifrovykh-antennykh-reshetkakh 
5. https://vuzlit.com/2295141/antenni_reshitki_harakteristiki_osoblivosti 
6. https://uk.wikipedia.org/wiki/Адаптивна_антенна_решітка 
7. Кунченко Ю.П., Лега Ю.Г. Оценка параметров методом максимизации 
полинома К.: Наукова думка, 1992.-180с.  
8. Кунченко Ю.П., Прокопенко Т.В. Применение метода максимизации 
полинома для оценки параметров сигналов, принимаемых многоэлементной 
антенной решеткой. // Радиофизика и электроника. – 2002. – Т. 7, №2. – 
С. 415–418. 
9. Кунченко Ю.П. Полиномиальные оценки параметров близких к 
гауссовским случайных величин. Часть 1. Стохастические полиномы, их 
свойства и применения для нахождения оценок параметров. - Черкассы: 
ЧИТИ, 2001. –252 с. 
10. Кунченко Ю.П. Полиномиальные оценки параметров близких к 
гауссовским случайных величин. Часть 2.  Оценка параметров близких к 
гауссовским случайных величин. - Черкассы: ЧИТИ, 2001. –133 с. 
11. Kunchenko Y.P., Danyk V.A., Prokopenko T.V.. The accuracy of the joint 
estimation of parameters of signal by the antenna arrays at non-Gaussian 
interference. // Proceeding of the 3rd International Conference on Antenna 
Theory and Techniques, Sevastopil, Ukraint, - 1999, p.p. 217-218 
 Арк 
 РТ025.023.281.248 ПЗ 
74 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
12. Воробкало Т. В. Сумісна оцінка параметрів гармонійного сигналу, що 
приймається антенною решіткою на тлі негауссівських завад. // 
Международная научно–практическая конференция «Системы и средства 
передачи и обработки информации».– Черкассы: ЧДТУ, 2005. – С. 131–133 
13. Гнєденко Б. В. Курс теорії ймовірностей. — К.: ВПЦ Київський університет, 
2010. — 464 с 
14. Теорія ймовірностей, математична статистика та імовірнісні процеси: навч. 
посіб. / Ю. М. Слюсарчук, Й. Я. Хром'як, Л. Л. Джавала, В. М. Цимбал ; М-
во освіти і науки України, Нац. ун-т «Львів. політехніка». — Львів: Вид-во 
Львів. політехніки, 2015. — 364 с. 
15. Методичні вказівки до виконання випускних робіт бакалавра та дипломних 
робіт для студентів напряму підготовки та спеціальності «Радіотехніка» 
освітньо- кваліфікаційних рівнів «бакалавр», «спеціаліст», «магістр» усіх 
форм навчання / Укл. В.В. Палагін, В.В. Філіпов. – Черкаси: ЧДТУ, 2016. – 
53 с. 
 
 
 
 
 
 
 
 Арк 
 РТ025.023.281.248 ПЗ 
75 
Змн Арк № докум. Підпис Дата
ChSTU repository

ChSTU repository preserves and enables easy and open access to all types of digital content including text, images, moving images, mpegs and data sets
