ChSTU repository
ChSTU repository preserves and enables easy and open access to all types of digital content including text, images, moving images, mpegs and data sets
Learn More
Please use this identifier to cite or link to this item:
https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/5840| Title: | Розробка нелінійних алгоритмів спільного оцінювання часу запізнення сигналу та параметрів асиметрично-ексцесної завади |
| Authors: | Воробкало, Тетяна Василівна Мороз, Назар Володимирович |
| Keywords: | час запізнення сигналу;метод максимізації поліному;асиметрично-ексцесна завада;дисперсія оцінки;коефіцієнт асиметрії;коефіцієнт ексцесу |
| Issue Date: | 2023 |
| Abstract: | Мета роботи – розробка алгоритмів спільного оцінювання часу запізнення гармонічного сигналу та параметрів асиметрично-ексцесної (негауссівської) завади методом максимізації поліному та дослідження асимптотичних властивостей отриманих оцінок.В роботі розроблені алгоритми спільного оцінювання часу запізнення гар-монічного сигналу з параметрами асиметрично-ексцесної завади при багатока-нальній обробці саме методом максимізації поліному, та досліджено точність отриманих оцінок. Показано, що отримані оцінки відрізняються підвищенною точністю. Тому, на основі розроблених в даній роботі алгоритмів можна будува-ти пристрої для визначення часу запізнення гармонічного сигналу на багатокана-льний приймальний пристрій при невідомих статистичних характеристиках аси-метрично-ексцесної завади, які будуть відрізнятися підвищеною точністю. |
| URI: | https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/5840 |
| Appears in Collections: | 172 Електронні комунікації та радіотехніка (Радіотехніка та робототехнічні системи) |
Files in This Item:
| File | Description | Size | Format | |
|---|---|---|---|---|
| М_172_Мороз_Воробкало.pdf Restricted Access | 1.93 MB | Adobe PDF | View/Open Request a copy |
Items in DSpace are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.
Extracted text
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ФАКУЛЬТЕТ ЕЛЕКТРОННИХ ТЕХНОЛОГІЙ, АВТОТРАНСПОРТУ ТА
МАШИНОБУДУВАННЯ
КАФЕДРА РОБОТОТЕХНІЧНИХ І ТЕЛЕКОМУНІКАЦІЙНИХ СИСТЕМ
ТА КІБЕРБЕЗПЕКИ
Допущений до захисту
“____” грудня 2023 р.
Завідувач кафедри РТСК
д.т.н., професор
_________ Палагін В.В.
Пояснювальна записка
до кваліфікаційної роботи
магіста
(освітній ступінь)
на тему:
Розробка нелінійних алгоритмів спільного оцінювання часу
запізнення сигналу та параметрів асиметрично-ексцесної
завади
Виконав: студент 2 курсу, групи РТ-025
спеціальності
172 «Телекомунікації та радіотехніка»
(шифр і назва напряму підготовки, спеціальності)
(освітня програма – «Радіотехніка та
робототехнічні системи»)
Мороз Н.В.
(прізвище та ініціали)
Керівник Воробкало Т.В.
(прізвище та ініціали)
Рецензент Ключка К.М.
(прізвище та ініціали)
Черкаси – 2023 року
Форма № Н-9.01
ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Факультет електронних технологій, автотранспорту та машинобудування
Кафедра робототехнічних і телекомунікаційних систем та кібербезпеки
Освітній рівень магістр
Спеціальність 172 – Телекомунікації та радіотехніка
Освітня програма Радіотехніка та робототехнічні системи
ЗАТВЕРДЖУЮ:
Завідувач кафедри Палагін В.В.
« » 2023 р.
ЗАВДАННЯ
НА ДИПЛОМНУ РОБОТУ СТУДЕНТУ
Морозу Назару Володимировичу
(прізвище, ім’я, по батькові)
1. Тема проекту (роботи) Розробка нелінійних алгоритмів спільного оцінювання
часу запізнення сигналу та параметрів асиметрично-ексцесної завади
Керівник проекту (роботи) Воробкало Тетяна Василівна, к.т.н., доцент
(прізвище, ім’я, по батькові, науковий ступінь, вчене звання)
затверджені наказом по університету від « 10 » жовтня 2023 р. № 271/04
2. Термін здачі студентом закінченої роботи 15.12.2023
3. Вихідні дані до проекту (роботи) Корисний сигнал – гармонічний сигнал,
вид завади – негауссівська асиметрично-ексцесна завада,
взаємодія сигналу та завади – адитивна, параметри що підлягають спільному
оцінюванню – час запізнення сигналу, дисперсія та коефіцієнт асиметрії завади
4. Зміст розрахунково-пояснювальної записки (перелік питань, що їх належить розробити)
1. Математичні моделі корисного сигналу та завади, метод максимізації
полінома оцінювання векторного параметру векторної випадкової величини
2. Алгоритми спільного оцінювання параметрів методом максимізації поліному
3. Дослідження ефективності розроблених алгоритмів
5. Перелік графічного матеріалу (з точним зазначенням обов’язкових креслень)
1. Назва роботи, математичні моделі корисного сигналу та завади,
2. Метод максимізації полінома оцінювання параметрів
3. Системи рівнянь максимізації поліному
4. Властивості ефективності розроблених алгоритмів
6. Консультанти розділів проекту (роботи)
Прізвище, ініціали та посада Підпис, дата
Розділ
консультанта завдання видав завдання прийняв
7. Дата видачі завдання 04.09.2023
КАЛЕНДАРНИЙ ПЛАН
№ Назва етапів дипломного Строк виконання етапів
Примітка
з/п проекту (роботи) проекту (роботи)
Пошук та огляд літератури по 20.09.2023
1. оц інюванню параметрів випадкових
величин
05.10.2023
2. В ивчення методів оцінювання
параметрів випадкових величин
Розробка алгоритмів спільного 27.10.2023
3. оц інювання параметрів методом
максимізації поліному при s =1,2,3,4
4. Д ослідження асимптотичних 15.11.2023
властивостей отриманих оцінок
5. О формлення пояснювальної записки 28.11.2023
6. О формлення графічного матеріалу 15.12.2023
Студент-дипломник Мороз Н.В.
(підпис)
Керівник проекту Воробкало Т.В.
(підпис)
ЗМІСТ
сторінка
Вступ ………………………………………………………………………………...5
Розділ 1. Оцінювання параметрів сигналу при багатоканальному
прийомі……………………………………………………………………….............7
1.1. Визначення часу запізнення гармонічного сигналу при надходженні
на багатоканальний приймальний пристрій …………..……………………7
1.2. Оцінювання параметрів випадкової величини………………………..10
1.3. Негауссівські завади та їх моментно-кумулянтний опис.....................11
1.4. Метод максимізації полінома для знаходження оцінки векторного
параметра векторної випадкової величини…………………………….…..14
Розділ 2. Оцінювання часу запізнення гармонічного сигналу та параметрів
завади методом максимізації полінома...................................................................19
2.1. Постановка задачі.....................................................................................19
2.2. Оцінювання параметрів методом максимізації полінома
при s = 2 …….……………………….............................................................21
2.3. Знаходження оцінки векторного параметру при s=3………………...25
2.5. Оцінювання параметрів при четвертому степені стохастичного
поліному…………………………………………………………………..….32
Розділ 3. Дослідження ефективності алгоритмів спільного оцінювання часу
запізнення сигналу та параметрів асиметрично-ексцесної завади......................43
3.1. Ефективність оцінок параметрів випадкової величини при s = 2…...43
3.2. Властивості ефективності оцінок при третьому степені
РТ025.023.279.248 ПЗ
Змн. Лист № докум. Підпис Дата
Розроб. Мороз Н.В. Розробка нелінійних алгоритмів Літ. Арк. Акрушів
Перевір. Воробкало Т.В.
спільного оцінювання часу 3 71
запізнення сигналу та параметрів
Н. Контр. Воробкало Т.В. асиметрично-ексцесної завади ЧДТУ
Затверд. Палагін В.В.
поліному ……………………………………………………………………..49
3.3. Дисперсії оцінок параметрів при четвертому степені
стохастичного поліному …………………………………….……………...54
Висновки ..............................................................................................................…60
Література.................................................................................................................62
Додаток А……………………………………………………..……………………64
Арк.
РТ025.023.279.248 ПЗ
4
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
ВСТУП
Задача визначення параметрів сигналу, що приймається багатоканальною
системою є актуальною в радіотехніці, та зводиться до оцінювання параметрів
випадкової величини що спостерігається, так як корисний сигнал звичайно
приймається в присутності завад. Точність оцінювання буде обмежуватися
впливом дії завад. Відомо, що завади мають непередбачуваний характер і для їх
опису використовується теорія ймовірності. В теорії ймовірності всі випадкові
величини описуються законом розподілу з визначеними статистичними
характеристиками.
Досить часто в радіотехніці розглядають завади, що описуються
гауссівським законом розподілу, а самі завади називаються гауссівськими. І для
гауссівських завад розроблено ряд моделей та методів обробки випадкових
величин, що спостерігаються.
Але можна сказати, що гауссівські моделі завад є певною математичною
ідеалізацією реальних завад, які практиці зазвичай мають закон розподілу
відмінний від гауссівського. При розробці високоточних пристроїв вимірювання
параметрів сигналів потрібно враховувати саме негауссівський характер завади.
Тому останнім часом зростає інтерес саме до негауссівських завад та моделей і
методів побудови оптимальних радіотехнічних систем що враховують
негауссівський вплив завад.
Одним із підходів до застосування для опису негауссівських випадкових
величин послідовності моментів, кумулянтів і кумулянтних функцій. Також
розробляються методи які базуються саме на такому опису, наприклад, метод
максимізації поліному. Цей метод дозволяє враховувати особливості тонкої
структури негауссівських завад у вигляді кумулянтних коефіцієнтів вищих
порядків та найбільш оптимально їх використовувати при оцінюванні параметрів
випадкових величин.
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
5
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Досить часто на практиці виникає потреба оцінювати не тільки параметри
корисного сигналу, але й характеристики самої завади, які можуть бути невідомі
спостерігачу. Тому метою роботи є розробка алгоритмів спільного оцінювання
часу запізнення гармонічного сигналу та параметрів асиметрично-ексцесної
(негауссівської) завади методом максимізації поліному та дослідження
асимптотичних властивостей отриманих оцінок.
В роботі вважається, що джерело випромінює просте гармонічне коливання,
так як модель гармонічного сигналу найбільш розповсюджена та широко
застосовується для опису радіотехнічних процесів.
Одним з інформативних параметрів корисного гармонічного сигналу
прийнятого багатоканальним пристроєм буде час запізнення, який буде містити
інформацію про дальність та кут розташування джерела випромінювання сигналу.
Цим пояснюється вибір саме часу запізнення в якості параметру, що підлягає
оцінюванню в роботі.
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
6
Змн Арк № докум. Підпис Дата
РОЗДІЛ 1
ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ СИГНАЛУ ПРИ БАГАТОКАНАЛЬНОМУ
ПРИЙОМІ
1.1. Визначення часу запізнення гармонічного сигналу при надходженні
на багатоканальний приймальний пристрій
В сучасній теорії зв’язку та радіотехніки все більше популярності набуває
багатоканальна обробка сигналів. Завдяки багатоканальній обробці можливо
визначити координати та параметри руху об’єктів в просторі з достатньо високою
точністю. Дана задача буде зводиться до визначення параметрів сигналів, що
приймаються при випромінюванні чи відображенні об’єктом [1]. В залежності від
застосованого методу, буде вимірюватися один або декілька параметрів прийнятої
випадкової величини, яка представляє собою суміш корисного сигналу та завади.
Так як корисний сигнал приймається у супроводі завад, то можна виконати
тільки оцінку параметрів. Оцінив параметри корисного сигналу, можна знайти
такі характеристики джерела випромінювання, як кутові координати, дальність,
різницю дальностей, радіальну та кутову швидкості об’єктів.
Одним із інформативних параметрів сигналу, що приймається
багатоканальним пристроєм, наприклад антенною решіткою є час запізнення
сигналу [2]. Тому розглянемо постановку задачі визначення часу запізнення
гармонічного сигналу, що надходить на антенну решітку.
Нехай в якості приймальної системи застосовується r - елементна антенна
решітка [3], на яку потрапляє дійсна плоска хвиля від деякого джерела
електромагнітних коливань. Будемо вважати, що хвиля надходить від джерела
гармонічного коливання, і з виходу кожного p-го приймального елементу
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
7
Змн Арк № докум. Підпис Дата
береться вибірка об’ємом n з суміші корисного сигналу Sv(p) і завади n (p)
(рис.1.1).
Рис. 1.1 - Багатоелементна антенна решітка.
Припустимо адитивну взаємодію сигналу та завади, тоді на виході кожного
p-го приймально елементу решітки буде спостерігається випадкова величина
, наступного виду
v(p)
v(p) = Sv(p) + n (p) , v =1,n , p = 0, (r −1) , (1.1)
де Sv(p) - модель корисного сигналу, детермінована величина, що залежить від
параметра v (моменту часу спостереження); n - завада в p -ому приймальному
(p)
елементі.
Математична модель дискретного гармонічного сигналу має наступний
вигляд
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
8
Змн Арк № докум. Підпис Дата
sv(p) = a0 cos(0 (v − p) +0 ) , v =1,n , (1.2)
в якій a , , - параметри гармонічного сигналу, відповідно амплітуда, частота і
0 0 0
фаза; - час запізнення надходження сигналу на перший приймальний пристрій
по відношення до нульового елементу; - крок, з яким здійснювалася
дискретизація корисного сигналу.
Наявність часу запізнення надходження сигналу на приймальні пристрої
повязане з тим, що хвиля падає на решітку під деяким кутом , і тоді зв'язок між
кутом надходження і часом запізненням хвилі визначається виразом (Рис.1.1):
d
= sin (1.3)
c
де d - відстань між приймальними елементами, а с - швидкість поширення хвилі
в середовищі [3].
Як видно з виразу (1.3), знаючи час запізнення можливо визначити кут
розташування джерела випромінювання гармонічного коливання, так як d та с
сталі параметри.
В роботі буде якраз і ставиться задача визначення часу запізнення
гармонічного сигналу що приймається антенною решіткою. Ця задача має
статистичній характер, завдяки наявності завад тому зводиться до статистичного
оцінювання часу запізнення сигналу.
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
9
Змн Арк № докум. Підпис Дата
1.2. Оцінювання параметрів випадкової величини
Розглянемо поняття статистичного оцінювання параметрів сигналу [4].
Припустимо, що протягом певного часу спостерігається деяка випадкова
величина (t) з неї береться вибірка x об’ємом n. З теорій ймовірностей відомо,
що випадкова величина описується функцією розподілу F (x / ) , яка залежить від
ряду параметрів, які позначимо вектором . Сталі значення параметрів при яких
виконувалася вибірка називається дійсними значеннями векторного параметра
0 = 10 ,20 ,...,m0. Тому, можна сказати, що у вибірці вже закладені дійсні
значення параметрів розподілу.
Задача оцінювання параметрів сигналу полягає в тому, щоб виконавши
математичні операції над вибірковими значеннями, знайти такі чисела 1,...,m , які
будуть найближчими до дійсних значень параметрів, і їх можна прийняти за
значення параметрів. Тобто, результат обробки вибіркові значення х1, х2, … , хn
буде випадковими.
Знайдені значення 1,...,m називаються точковими оцінками компонент
векторного параметра і є визначеними функціями від вибіркових значень,
тобто 1 = 1(x1,..., xn ),...,m = m (x1,..., xn ) . Отже оцінка параметра це є визначено
функція, яка залежить випадкових вибіркових значень.
Щоб оцінки параметрів як можна були ближчими до їх дійсних значень, та
підходили до практичного використання, вони повинні відповідати наступним
вимогам [4]:
1. Математичне сподівання оцінок параметру повинне відповідати
істинному значенню E(x) = 0 Це властивість незміщеності оцінки, або хоча б
lim E(n) (x) = 0 .
n→
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
10
Змн Арк № докум. Підпис Дата
оцінка має бути асимптотично незміщеною
2. Властивість переконливості
lim n (x) = 0 .
n→
Асимптотично оцінка сходитися до істинного значення параметра.
3. Середньоквадратичне відхилення оцінки повинно бути мінімальним
2
= E(− 2
0 ) .
Побудувати функції для оцінювання параметрів сигналу можна за
допомогою різних статистичних методів, які базуються на різних способах опису
випадкових величин.
1.3. Негауссівські завади та їх моментно-кумулянтний опис
Як згадувалося раніше, корисний сигнал приймається на тлі завад. Щоб
більш точно побудувати оціночну функцію потрібно знати тип завади, та як
можна більш повно описати її характер. В більшості робіт по обробці сигналів на
фоні завад, вважається, що завади в є гауссівськими [1,3]. Але гауссівська модель
випадкової величини є досить гарною математичною ідеалізацією завад, а на
практиці зустрічаються завади, які мають характеристики відмінні від
гауссівьких, і їх називають є негауссівськими. Тому з точки зору науки та
практики, представляє інтерес обробка сигналів саме при негауссівських завада,
які є більш складними і менш вивченими в порівнянні з гауссівськими.
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
11
Змн Арк № докум. Підпис Дата
В статистичних задачах, одним з найкращих підходів до опису
негауссівських завад, є опис за допомогою послідовності усереднених
характеристик, таких як моменти, кумулянти та кумулянтні коефіцієнти вищих
порядків [5]. Отже задача оцінювання параметрів сигналу при негауссівських
завадах є досить актуальною на даний час.
В роботі будемо вважати, що в кожному приймальному елементі антенної
решітки спостерігоютьсч негауссівські завади (n (p )), які описуються початковіими
моментами i(p) і кумулянтами i і-го порядку наступного виду [4]:
1(p) = 0 , 2(p) = 2
3(p) = 3 , 4(p) = 4 + 32
2 ,
5(p) = 5 +1023 (1.4)
6(p) = 6 +1524 +102
3 +153
2
7(p) = 7 + 3534 + 2125 +
2
23
2 2 2 4
8(p) = 8 + 2826 + 28023 + 354 + 56352 + 21024 +1052
Будемо вважати що завади в кожному приймальному елементі статистично
однакові, тому і їх кумулянти не залежать від номера приймального елементу p.
Досить часто вводять поняття безрозмірних кумулянтів, тобто кумулянтних
коефіцієнтів [5] які визначаються за формулою
= n (1.5)
n 0,5n
2
Виразимо початкові моменти (1.4) через введені кумулянтні коефіцієнти
(1.5)
1(p) = 0 , 2(p) = 2 ,
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
12
Змн Арк № докум. Підпис Дата
3/ 2
3(p) = 2 3 ,
4(p) =
2
2 (4 + 3) , (1.6)
5/ 2
5(p) = 2 (5 +103)
3
6(p) = 2 (6 +154 +102
3 +15)
7(p) =
7 / 2
2 (3 + 3534 + 215 +1053)
8(p) =
4 2
2 (8 + 286 + 2803 + 352
4 + 5635 + 2104 +105)
Кумулянтний коефіцієнт третього порядку називається коефіцієнтом
3
асиметрії, а четвертого порядку - коефіцієнтом ексцесу.
4
Знайдемо початкові моменти i -го порядку m iv (p) для випадкової величини
v(p) (1.1), що спостерігається на виході p-го приймального елементу,
використовуючи вирази (1.6)
m1v(p) = sv(p) ,
m = + s2
2v(p) 2 v(p) ,
3
m 2
3v(p) = 23 + 3sv(p)2 + sv(p) ,
3
m = 2 ( + 3) + 4s 2 2 4
4v(p) 2 4 v(p) 23 + 6sv(p)2 + sv(p) , (1.7)
5 3
m5v(p) =
2
2 (5 +103) + 5sv(p)
2
24 +15sv(p)
2 +10s2 2 +10s3
2 v(p) 2 3 v(p)2 + s5
v(p) ,
5
m6v(p) =
3
2 (6 +154 +102
3 +15)+ 6s 2
v(p)2 (5 +103)+
3
+15s2 2
v(p)2 (4 +3)+ 20s3 2
v(p)23 +15s4
v(p)2 + s6
v(p).
m7v(p) =
7 / 2
2 (7 + 3534 + 215 +105)+105s 3 3
v(p)24 +105sv(p)2 +
+ 7s 3 + 70s 32 + 21s2 5/ 2
v(p) 2 6 v(p) 2 3 v(p) 2 5 + 210s2 5/ 2
v(p) 2 3 + ,
+ 35s3 2 +105s3 2
v(p) 2 4 v(p)2 + 35s4 3/ 2 5 7
v(p)2 3 + 21sv(p)2 + sv(p)
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
13
Змн Арк № докум. Підпис Дата
m8v(p) =
4
2 (8 + 286 + 2802
3 + 352
4 + 5635 + 2104 +105) +
+168s 7 / 2
v(p)2 5 +840sv(p)
7 / 2
2 3 +
+8s 7 / 2 7 / 2 2 3 2 3
v(p)2 7 + 280sv(p)2 34 + 420sv(p)24 + 420sv(p)2 +
+ 28s2
v(p)
3
26 + 280s2 3 2 3 5/ 2
v(p)23 + 56sv(p)2 + 560s3 5/ 2
5 v(p) 2 3 +
+ 70s4 2
v(p) 24 + 210s4 2 5 3/ 2 6 8
v(p) 2 + 56sv(p)2 3 + 28sv(p)2 + sv(p)
Отримали моменти до 8-го порядку включно, які залежать від вигляду
корисного сигналу сигнал Sv(p) і кумулянтних коефіцієнтів, що описують
негауссівську заваду. Отримані початкові моменти в загальному випадку
залежать від номеру вибіркового значення v.
1.4. Метод максимізації полінома для знаходження оцінки векторного
параметра векторної випадкової величини
Як згадувалося раніше існують різні методи знаходження оцінок випадкових
величин, наприклад, методу максимальної правдоподібності [4]. Цей метод
показує гарні результати коли завада є гауссівською. Якщо ж завада негауссівська,
то знаходження оцінок згаданим методом буде достатньо проблематичним, так як
не всі завади можливо описати функцією щільності ймовірності, або щільність
розподілу матиме досить складною х для математичних обчислень.В роботі [4]
представлено метод знаходження оцінок, запропонований професором Ю.П.
Кунченко який називається метод максимізації поліному. Цей метод дозволяє
досить легко, з математичної точки зору, знаходити ефективні оцінки параметрів
саме для негауссівської випадкової величини, так як він заснований на моментно-
кумулянтному опису випадкової величини, про який говорилося раніше, та на
застосуванні степеневих стохастичних поліномів.
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
14
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Даний метод дозволяє знаходити як оцінки окремого параметру випадкової
величини, так і сумісні оцінки параметрів. Так як згідно технічного завдання до
цієї роботи оцінка часу запізнення знаходиться в умовах апріорної невизначеності
статистичних характеристик завади. Тому потрібно оцінювати не тільки невідомий
параметр сигналу, а і невідомі параметри завади. Тобто потрібко виконувати
сумісну оцінку параметрів при багатоканальній обробці випадкової величини. В
зв’язку з цим необхідно використовувати модифікацію методу максимізації на
випадок знаходження оцінки векторного параметра векторної випадкової величини
[6], який детально розглянемо далі.
Будемо припускати, що початкові моменти miv (p) () залежать від векторного
параметра = , ,...
1 2 g .
Тоді згідно методу максимізації полінома, для векторної випадкової
величини, необхідно для кожної складового m векторного параметра
використовувати степеневий стохастичний поліном степеня s виду
( ) r−1 n s
( ) ( )
g p i r
l (x;)=
sn(m) k ()x −k () , m =1,g (1.8)
iv (m) v(p) 0(m)
p=0 v=1 i=1
де
r−1 n s
k (p)
iv (m) ()= h (p)
iv (m) ()d , k (r)
m 0(m) () = (p)
h iv (m) ()miv (p) ()d(m)
p=0 v=1 i=1
а коефіцієнти h (p)
iv (m) () знаходяться з розв’язку наступної системи лінійних
алгебраїчних рівнянь
s
(
p) ( (p)
h )F ()= m (), v =1,n , p = 0, r −1 (1.9)
jv (m) (i, j)v
j=1 iv (p)
m
i =1,2s , m =1,g .
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
15
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Кожний m-ий стохастичний поліном (1.8) при заданій вибірці x , як функція
складового m векторного параметра асимптотично при n → має максимум у
точці ̂m , що розташована в окрузі істинного значення m0 . Тому в якості оцінки
ˆ
= ˆ 1,
ˆ
2 ,...
ˆ
g векторного параметра беруться, як і при оцінці скалярної
випадкової величини, ті значення складових ̂m , для котрих кожний із
стохастичних поліномів l(r)
sn(m) (x;), m =1,g , виду (1.8) досягає спільно по параметрі
m максимального значення. По своїй побудові, кожний із стохастичних
поліномів диференційовані по параметрі m . Тому оцінку можна знаходити зі
спільного розв'язання системи рівнянь
(
g )
l (x;) ˆ
/= = 0 ,
sn(m)
m
яка у розгорнутому виді буде дорівнювати
r n s
( )
p
h ( ) i
x −m () = 0 , m =1,g (1.10)
iv (m) v iv (p) ˆ
/=
p=1 v=1 i=1
Отже, метод максимізації полінома, при знаходженні оцінок векторного
параметра векторної випадкової величини , при незалежних і неоднаково
розподілених вибіркових значеннях із кожної складової векторної випадкової
величини полягає в тому, що при заданій вибірці x оцінки складового векторного
параметра знаходяться зі спільного розв'язання системи рівнянь (1.10) щодо
складових m , m =1,g . При цьому в кожному m-ому рівнянні, коефіцієнти h (p)
iv (m) ()
знаходяться з розв'язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь (1.9).
Оцінки векторного параметра векторної випадкової величини при
незалежних і неоднаково розподілених вибіркових значеннях із кожної
компоненти (p ) векторної випадкової величини x (p ) , p = 0, r −1 , знайдені методом
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
16
Змн Арк № докум. Підпис Дата
максимізації полінома із спільного розв'язання системи рівнянь (1.9) будуть
слушними.
Оцінки векторного параметра векторної випадкової величини, знайдені
методом максимізації полінома, є асимптотично при n → незміщеним, тобто
Eˆ = Eˆ ,ˆ1 2 ,...
ˆ
p= 0 = 10 ,20 ,...p0.
При знаходженні оцінки векторного параметра однієї дисперсії оцінок
складових векторного параметра для характеристики якості оцінювання
недостатньо. В цьому випадку в класі незміщених оцінок використовується
варіаційна матриця оцінок.
Варіаційна матриця оцінок компонент векторного параметра V (g ) (0 )
sn
векторної випадкової величини, знайдених методом максимізації полінома,
асимптотично при n→ дорівнює оберненій матриці J (0 ) , тобто
sn ( g )
V (g ) (0 ) = J −1 ( ) , (1.11)
sn sn ( g ) 0
(m,r )
При цьому елементи J (0 ) , m,r =1, g , матриці J ( ) будуть
sn ( g ) sn ( g ) 0
дорівнювати
(m,r )
( ) (g )
J = E l (x;) (g )
( ) * l (x;) =
sn g
sn(m) sn(r )
m r
2
(g )
− E l (
( ) x;),
sn m
m r
які у розгорнутому виді дорівнюють
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
17
Змн Арк № докум. Підпис Дата
g n s s
(m,r ) ( ) (p)
( ) (p) ( )
p
J ( ) =
sn g h ()* ()=
iv(m) h jv(r ) F (i, j )v
p=1 v=1 i=1 j=1
g n s
(
p)
=h () m (). (1.12)
iv(r ) iv(p)
p=1 v=1 i=1 m
Матриця J ( ) називається матрицею кількості інформації про
sn ( g ) 0
векторний параметр, яку можна здобути з незалежної і неоднаково розподіленої
вибірки векторної випадкової величини методом максимізації полінома. Або
коротко, матриця кількості здобутої інформації про векторний параметр
векторної випадкової величини методом максимізації полінома.
Отже в даній роботі буде знаходитися сумісна оцінка часу запізнення
гармонічного сигналу, дисперсії та коефіцієнта асиметрії завади методом
максимізації полінома для оцінювання векторного параметру векторної
випадкової величини, та досліджуватися асимптотичні властивості отриманих
оцінок.
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
18
Змн Арк № докум. Підпис Дата
РОЗДІЛ 2
ОЦІНЮВАННЯ ЧАСУ ЗАПІЗНЕННЯ ГАРМОНІЧНОГО СИГНАЛУ
ТА ПАРАМЕТРІВ ЗАВАДИ МЕТОДОМ МАКСИМІЗАЦІЇ ПОЛІНОМА
2.1. Постановка задачі
Розглянемо постановку задачі. Нехай корисний гармонічний сигнал надходить
на багатоелементну антенну решітку [3]. Будемо розглядати, що взаємодія сигналу
і завади є адитивною, тобто складаються, тоді випадкова величина прийнята р-м
пристроєм має вигляд
v(p) = Sv(p) + n v(p) , p = 0, (r −1) , v =1,n (2.1)
де r – кількість приймальних елементів в решітці, n v(p) – завада, що спостерігається
в p -ому приймальному елементі, яку будемо вважати асиметрично-ексцесною
випадковою величиною першого типу, яка має нульове математичним сподіванням
E{n v(p)}= 0 , дисперсію 2 , коефіцієнт асиметрії 3 та коефіцієнт ексцесу 4 . Будемо
вважати, що характеристики завади в кожному приймальному елементі однакові.
Джерело випромінює гармонічне коливання, то корисний сигнал Sv(p) в
дискретному вигляді в моменти часу v буде визначатися як
Sv(p ) = a0 cos0 (v − p) +0 , (2.2)
де a0 – амплітуда, – частота, – час запізнення і 0 – початкова фаза
0
гармонічного сигналу, що спостерігається на виході p –го приймального елементу
– шаг дискретизації.
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
19
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Будемо вважати, що значення параметрів сигналу a0 ,0 , 0 точно відомі
спостерігачу, а невідомим параметром слугує інформативний параметр сигналу
час запізнення та статистичні параметри завади 2 , 3 , 4 .
Для оцінювання невідомих параметрів потрібно з випадкової величини v(p)
(2.1) взяти вибірку X(p) ={x1(p) , x2(p) ,...xn(p)} об’ємом n та обробивши вибіркові
значення знайти оцінку векторного параметру , тобто спільну оцінку параметрів
= (,2 , 3) . Вибіркові значення в момент часу v в р-му приймальному елементі
будуть дорівнювати
x v(p) = Sv(p) + n v(p) , p = 0, (r −1) , v =1,n , (2.3)
Будемо вважати, що при v r вибіркові значення x v і x r статистично
незалежні та однаково розподілені.
В разі негауссівських завад для знаходження оцінок параметрів випадкової
величини доцільним є використання методу максимізації полінома,
запропонованого Кунченком Ю.П. [4].
Тому в цьому розділі побудуємо алгоритми сумісного оцінювання часу
запізнення гармонічного сигналу з дисперсією та коефіцієнтом асиметрії завади
методом максимізації полінома, використовуючи степеня поліному s = 2,3,4 .
Отже, нехай на виході багатоканальної приймальної системи
спостерігається випадкова векторна величина ={(0) ,(1) ...(r−1)} і параметром, що
підлягає оцінюванню є векторний параметр , який складається з трьох
компонент ( ,2 , 3) . Будемо застосовувати модефікований метод максимізації
поліному на випадок знаходження оцінки векторного параметра векторної
випадкової величини, який описано в першому розділі
З теорії відомо [7], що при першому степені полінома знайти оцінку
параметрів завади 2 , 3 методом максимізації полінома неможна. Оцінку
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
20
Змн Арк № докум. Підпис Дата
дисперсії завади знаходять починаючи з другого степеня поліному, а оцінку
параметра завади коефіцієнта асиметрії знаходять починаючи з третього степеня.
Отже почнемо з розробки алгоритмів сумісного оцінювання параметрів , при
2
другому степені поліному s = 2 .
2.2. Оцінювання параметрів методом максимізації полінома при s = 2
. При другому степені поліному постановка задачі оцінювання буде
ставиться наступним чином. Нехай, сздійснена вибірка X (p) (2.3) з векторної
випадкової величини по якій необхідно знайти спільну оцінку векторного
параметра , що складається з двох компонент ( , 2 ) .
В цьому випадку, оцінка буде знаходитися з розв'язку рівняння максимізації
полінома наступного виду
r−1 n r−1 n
h (p)
1v(m) ()[x −m ()] + h (p) 2
v(p) 1v(p) 2v(m) ()[x v(p) −m2v ()] ˆ = 0 , (2.4)
=
p=0 v=1 ˆ
= p=0 v=1
m =1,g ,
де g позначено кількість компонент векторного параметру, які потребують
оцінюванню. В нашому випадку g = 2 .
Початкові моменти знайдені в попередньому розділі та дорівнюють(1.7)
m1v(p) () = Sv(p) () , m2v () = S2
v(p) () + 2 .
Згідно методу, коефіцієнти стохастичного поліному h (p) (p)
1v(m) () і h 2v(m) ()
знаходяться з розв'язку слідуючої системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
21
Змн Арк № докум. Підпис Дата
(p) (p) dm ()
h1v(m) ()F(1,1)v ()+ h 2v(m) ()F(1,2)v () = 1v
dm
(2.5)
h (p) dm ()
1v(m) ()F ()+ h (p) 2v
(1,2)v 2v(m) ()F(2,2)v () =
dm
Центровані кореляти для асиметрично-ексцесної випадкової величини
розрахуємо наступним чином
F 1.5
(1,1)v ( ) = 2 , F(1,2)v () = 2 3 + 22Sv(p) () ,
F () = 2 ( + 2)+ 4 S2 1.5
(2,2)v 2 4 2 v(p) () + 42 3Sv(p) () (2.6)
Лінійну система (2.5) будемо розв’язувати за допомогою методу Крамера.
Спочатку знаходимо головний визначник системи (2.6), який буде мати вигляд
3 2
2 = 2 ( 4 + 2 − 3 ) .
Як видно з системи (2.5) коефіцієнти h (p)
1v(m) () і h (p)
2v(m) () будуть мати різні
значення для різних компонент векторного параметру, так як в рівняння входять
похідні початкових моментів по оцінюваній компоненті.
Тому спочатку знайдемо коефіцієнти h (p)
1v() () і h (p)
2v() () для рівняння
оцінювання часу запізнення гармонічного сигналу
(p) 1 dS
v(p) ()
h 2
1v() () = [2 ( 4 + 2)+ 21.5
2 3Sv(p) ()] ,
2 d
dS ()
h (p) 1 v(p)
2v() () = − 1.5
2 3 .
2 d
Підставимо модель корисного сигналу, вираз (2.2) та отримаємо
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
22
Змн Арк № докум. Підпис Дата
1
h (p)
1v() () = − [2
2 ( + 2)pa 1.5 2
4 0 sin0 (v − p)+0 +2 3pa0 sin2(0 (v − p)+0 )]
2
h (p) 1 1.5
2v() () = 2 3pa0 sin0 (v − p)+0 (2.7)
2
Розраховані коефіцієнти (2.7) в рівняння максимізації полінома (2.4).
Щоб спростити вираз, можна вважати, що за час спостереження буде ціле
число періодів гармонійних коливань і шаг дискретизації обрано так, що
виконуються наступні рівності
n n
sin N0 (v− p)+0 = 0 , cosN0 (v− p)+0 = 0 (2.8)
v=1 v=1
для любого цілого N =1,2,...
Тоді враховуючи умови (2.8) та виконав математичні тригонометричні
перетворення отримаємо перше рівняння системи для знаходження спільної
оцінки часу запізнення гармонічного сигналу та дисперсії асиметрично-ексцесної
завади
r−1 n
(−0.5
2 ( 4 + 2)p sin0v − p + 0 − 3psin 2(0v − p + 0) ) x v(p) +
p=0 v=1
+ 3psin0v − p + 0 x
2
v(p) = 0
=ˆ
Далі знайдемо оптимальні коефіцієнти h (p)
1v( ) () і h (p)
2v( ) () для другого
2 2
рівняння системи. Похідні початкових моментів по шуканому параметру 2
будуть дорівнювати
dm1v(p) () dm2v(p) ()
= 0 , =1 ,
d2 d2
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
23
Змн Арк № докум. Підпис Дата
тоді отримаємо
h (p) 1 1.5
1v(2 ) () = − [2 3 + 22a 0 cos0 (v − p)+0 ]
2
(p) 1
h 2v( ) () = 2 . (2.9)
2 2
Отримані коефіцієнти (2.9) підставляємо в рівняння максимізації поліному
для знаходження оцінки параметру дисперсії асиметрично-ексцесної завади. Та
спростивши отримаємо
r−1 n
(−0.5
2 3 − 2a0 cos 2 2
0 (v − p)+0 ) xv(p) + xv(p) +1/ 2a0 −2 = 0
2=ˆ 2
p=0 v=1
Отже отримали два рівняння для знаходження оцінок часу запізнення
гармонічного сигналу та дисперсії завади при другому степені стохастичного
поліному. Об’єднавши їх можна отримати систему, з розвязку якої буде
знаходитися спільна оцінка обох параметрів
r−1 n
(−0.5
2 ( 4 + 2)p sin0v − p +0 − 3psin 2(0v− p +0) ) x v(p) +
p=0 v=1
+ 3psin0v − p + x 2
0 v(p) = 0
=ˆ
r−1 n
(−0.5 − 2a cos (v− p)+ ) x + x 2
2 3 0 0 0 v(p) v(p) +1/ 2a 2
0 −2 = 0
2=ˆ 2
p=0 v=1
При s=2, як видно з отриманої системи, вибіркові значення підлягають
квадратичній обробці тобто отримані оцінки будуть нелінійними.
Розв’язати отриману систему можливо якщо з другого рівняння ко виразити
оцінку параметру та підставити її в перше рівняння системи. А от друге
2
рівняння системи, по відношенню до шуканого параметру є трансцендентним та
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
24
Змн Арк № докум. Підпис Дата
нелінійним, а тому для його розв’язку необхідно використовувати чисельні
методи та реалізувати розв’язок за допомогою обчислювальної техніки
2.3. Знаходження оцінки векторного параметру при s=3
При третьому степені стохастичного поліному вже можливо знайти спільну
оцінку трьох параметрів: часу запізнення гармонічного сигналу , дисперсії
завади 2 та коефіцієнта асиметрії 3 асиметрично-ексцесної завади
Відповідно до методу максимізації полінома при s = 3 оцінка векторного
параметру векторної випадкової величини буде знаходитися з розв'язку системи з
рівняннями наступного виду для кожного параметру, що оцінюється
r−1 n r−1 n
h (p) ()[x −m ()]+ h (p) 2
1v(m) v(p) 1v(p) 2v(m) ()[x v(p) −m2v(p) ()]+
p=0 v=1 p=0 v=1
(2.10)
r−1 n
+ h (p) 3
3n(m) ()[x v(p) −m
3v(p) ()] ˆ = 0
=
p=0 v=1
Невизначені вагові оптимальні коефіцієнти h (p)
1v(m) () , h (p)
2v(m) () та h (p)
3v(m) () зв
цьому випадку будуть знаходитися з розв'язку системи лінійних алгебраїчних
рівнянь наступного виду
dm
(p) 1v(p) ()
h1v(m) ()F (p) (p)
(1,1)v () + h 2v(m) ()F(1,2)v ()+ h3v(m) ()F(1,3)v () =
dm
dm2v(p) ()
h (P)
1v(m) ()F(1,2)v ()+ h (p) (p)
2v(m) ()F(2,2)v ()+ h3v(m) ()F(2,3)v () = (2.11)
dm
dm ()
h (p) ()F ()+ h (p) (p) 3v(p)
1v(m) (1,3)v 2v(m) ()F(2,3)v ()+ h3v(m) ()F(3,3)v () =
dm
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
25
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Вже було отримано вирази для н центрованих корелятів F(1,1)v () , F(1,2)v () і
F(2,2)v () асиметрично-ексцесної випадкової величини. Функції , що залишилися
F(i, j)v () будуть мати вигляд
F 2
(1,3)v () = 2 ( 4 + 3) + 3 S2 ()+ 33/ 2
2 v(p) 2 3Sv(p) () ,
F () = 5 / 2 ( + 9 ) + 52 S () + 6 S3 2,5 2 2
(2,3)v 2 5 3 2 4 v(p) 2 v(p) ()+ 92 3Sv(p) ()+122Sv(p) () ,
F 3 2
(3,3)v () = 2 (6 +15 4 +93 +15)+9 S4
2 v(p) ()+ 62,5
2 (5 +93 )Sv(p) ()+
+181,5
2 3S
3
v(p) ()+32
2 (5 4 +12)S2 4
v(p) ()+92Sv(p) ()
Побудуємо перше рівняння максимізації поліному.
По-перше, знайдемо похідних перших трьох моментів по параметру
dm1v(p) () dSv(p) ()
= ,
d d
dm2v(p) () 2Sv(p) ()
= 2Sv(p) ()
d d
dm
3v(p) () dSv(p) ()
= 3[S2
v(p) ()+2 ] .
d d
Оптимальні коефіціенти h (p) () , h (p) () та h (p)
1v() 2v() 23() () для першого рівняння
системи (2.10) знаходяться з розв’язку лінійної системи (2.11). Розвяжемо її
методом Крамера та отримаємо, що вагові коефіцієнти будуть відповідно
дорівнювати:
4 dS
(p) 2 v(p) ()
h1v() () = [2 (12 2
4 + 30 4 + 9 2
3 4 −36 2
3 +12) +
3 d
+ 0,5
2 Sv ()(63 4 +123 +183
3 ) +S2 2 2
v ()(−3 4 − 6 4 +183 )]
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
26
Змн Арк № докум. Підпис Дата
4 dS
(p) v(p) ()
h 2v() () = 2 [0,5
2 (−93
3 −63 )+Sv ()(3 2
4 + 6 4 −18 2
3 )]
3 d
(p) 4 dS ()
h () = 2 v(p) 2
3v() (− 4 − 2 4 + 6 2
3 ) ,
3 d
де головний визначник системи (2.11) дорівнює
6 3
3 = 2 (− 4 + 7 2 + 24 +12 2 − 24 2
4 4 3 4 3 −9 4
3 +12) .
Як бачимо з отриманих виразів, коефіцієнти h (p)
iv () () при s = 3 достатньо
громіздкі для асиметрично-ексцесної випадкової величини, тому для спощення
записів введемо наступні позначення
A11 =12 2 2 2
4 + 30 4 + 93 4 −363 +12 ,
A12 = 63 4 +12 +183
3 3 ,
A 2
13 = −3 4 −6 2
4 +183 ,
A21 = −33 4 −93
3 − 63 ,
A = +3 2 2
22 4 + 6 4 −183 ,
A = − 2
31 4 − 2 2
4 + 63 ,
Тоді коефіцієнти h (p)
iv () () можна буде записати в наступному вигляді
4 dS
(p) 2 v(p) ()
h1v() () = [2A11 +
0,5
2 Sv ()A 2
12 +Sv ()A13)] ,
3 d
4 dS
(p) 2 v(p) ()
h 0,5
2v() () = [2 A21 +Sv ()A22 ] , (2.12)
3 d
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
27
Змн Арк № докум. Підпис Дата
4 dS
(p) v(p) ()
h3v() () = 2 A31 .
3 d
Тепер підставимо знайдені коефіцієнти (2.12) і модель корисного
гармонічного сигналу в рівняння (2.4), та виконавши математичні перетворення,
отримаємо рівняння для знаходження оцінки часу запізнення сигналу при s = 3
відповідно до методу максимізації полінома
r−1 n
[( 2
2 A11 + a 0 / 4 A13 )psin0 (v − p)+0 +
0.5 2
2 a 0A12p sin 0 (v − p)+0 +
p=0 v=1
+A psin 3
13 0 (v − p)+0 )]x v(p) + [0.5
2 a 0 / 2 A12psin0 (v − p)+0 +
+ a 0 / 2A22psin 2 0 (v − p)+0 ]x
2
v(p) + a 2
0 / 4 A31psin 0 (v − p)+ 3
0 x v(p) = 0
=
Знайдемо друге рівняння, з розв’язку якого визначається оцінка дисперсії
асиметрично-ексцесної випадкової величини.
Похідні по параметру 2 перших двох початкових моментів були знайдені в
попередньому пункті. Тому знайдемо тільки похідну третього моменту
dm3v(p) ()
0.5
= 3/ 22 3 +3Sv(p) () .
d2
Розв’язувати систему (2.11) також будемо методом Крамера, тоді одержимо,
оптимальні вагові коефіцієнти в такому виді
3.5
2
h (p)
1v( ) () = 2 [Sv(p) ()(−93 +15/ 23 4 −9/ 23
3 )+0.5
2 Sv(p) ()
2 3 ,
(22
4 −18 4 −32
3 4 −12)+2 (9 / 23
3 +33 + 27/ 2 2
3 4 )]
3.5
h (p)
() = 2 [S 2 0.5
2v( ) v(p) ()(9 / 23 +93 −15/ 23 4 )+2 (6− 2
4 +9 +3/ 2 2 )] ,
2 4 3 4
3
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
28
Змн Арк № докум. Підпис Дата
3.5
h (p) 2 3
3v( ) () = (5/ 2
2 3 4 −33 −3/ 23 ) ,
3
Для спрощення запису введемо наступні позначення
B11 = −93 +15 / 2 −9/ 23
3 4 3 ,
B 2
12 = 2 4 −18 4 −3 2
3 4 −12 ,
B13 = 9 / 23
3 + 33 + 27 / 23
2
4 ,
B21 = 9 / 2 2
3 + 93 −15 / 23 4 ,
B = 6− 2
22 4 + 9 4 + 3/ 2 2
3 4 ,
B31 = 5/ 2 3
3 4 −33 −3/ 23 .
Перепишемо коефіцієнти h (p)
iv ( ) () враховуючи позначення
2
3.5
h (p) 2 2 0.5
1v( ) () = [S
2 v(p) ()В11 +2 Sv(p) ()В12 +2В13] ,
3
3.5
h (p)
2v( ) () = 2 [S ()В 0.5
2 v(p) 21 +2 В22 ] , (2.13)
3
3.5
h (p) 2
3v( ) () = В31 ,
2 3
Отже, отримано рівняння максимізації полінома при s = 3 для оцінювання
дисперсії завади
r−1 n
[B a 2 cos2 (v − p)+ +B 0.5
11 0 0 0 12 2 a 0 cos0 (v − p)+0 +
p=0 v=1
+ 2B13 ]x v(p) +[B21a 0 cos0 (v − p)+ 0.5 2
0 + 2 B22 ]x v(p) +
+B31 x
3
v(p) − (B11 +B31 )1.5 + a 2
2 0
0.5
2 B31 = 0
2 =ˆ 2
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
29
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Як вже згадувалося, що починаючи з третього степеню стохастичного
поліному можливо також знайти оцінку параметру 3 (коефіцієнта асиметрії).
Тому, наступним кроком, знайдемо коефіцієнти h (p)
1v( ) () , h (p)
2v( ) () та h (p)
23( ) () для
3 3 3
третього рівняння системи (2.10).
Визначимо похідні перших трьох моментів по шуканому параметру 3 .
Похідні початкових моментів першого та другого порядку будуть дорівнювати
нулю, так як ці моменти не залежать від коефіцієнта асиметрії. Визначимо
похідну моменту третього порядку
dm3v(p) ()
= 1.5
2 .
d3
Після розв’язку системи (2.11) отримаємо, що оптимальні коефіцієнти в
цьому випадку дорівнюють
4.5
h (p) 2 2 2 0.5
1v( ) () = [S
3 v(p) ()(6−33 +3 4 )+2 Sv(p) ()(123 − 23 4 )+
3 ,
+ (9 2 − 2
2 3 4 −54 −6)]
4.5
h (p) 2 2 0.5
2v( ) () = [Sv(p) ()(23 −3 4 −6)+2 (−63 + 3 4 )] ,
3 3
4.5
h (p) () = 2
3v( ) (2− 2
3 + 4 ) .
3 3
Знову введемо позначення для більш компактного запису рівняння
максимізації поліному
C 2 2
11 = 6−33 + 3 4 , C21 = 23 −3 4 − 6 ,
C12 =123 − 23 4 , C22 = −63 + 3 4 ,
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
30
Змн Арк № докум. Підпис Дата
C13 = 9 2
3 −
2
4 −5 4 − 62
4 , C31 = 2− 2
3 + 4 .
Коефіцієнти h (p)
iv ( ) () запишуться в наступному вигляді
3
4.5
h (p)
() = 2 2 0.5
1v(3 ) [Sv(p) ()C11 +2 Sv(p) ()C12 +2C13] ,
3
4.5
h (p) 2 0.5
2v( ) () = [Sv(p) ()C21 +2 C22 ] , (2.14)
3 3
4.5
h (p)
3v( ) () = 2 C31 . 3 3
Підставимо знайдені коефіцієнти (2.14) і модель корисного сигналу,
виконаємо математичні спрощення та отримаємо рівняння максимізації
полінома для знаходження оцінки невідомого в цьому випадку параметра
(коефіцієнта асиметрії) завади при s = 3
r−1 n
[C a 2 cos2 (v − p)+ +C 0.5
11 0 0 0 12 2 a 0 cos0 (v − p)+0 +
p=0 v=1
+ 2C13 ]x v(p) + [C21a 0 cos0 (v − p)+ 0.5 2
0 + 2 C22 ]x v(p) + .
+C x3 1.5 2 0.5
31 v(p) −2 (C11 −C31)+ a 02 C31 = 0
3=ˆ3
Таким чином отримали всі три рівняння, з яких буде складатися система
рівнянь максимізації поліному для спільного оцінювання параметрів , 2 , 3 у
випадку асиметрично-ексцесної завади.
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
31
Змн Арк № докум. Підпис Дата
r−1 n
[( A + a 2 / 4 A )psin (v − p) + + 0.5a A p sin 2
2 11 0 13 0 0 2 0 12 0 (v − p) + 0 +
p=0 v=1
+ A13psin 3 0 (v − p) + 0 )] x
0.5
v(p) + [2 a 0 / 2 A12psin0 (v − p) + 0 +
+ a 0 / 2A 22psin 2 2
0 (v − p) + 0 ] x v(p) + a 2
0 / 4 A31psin 0 (v − p) + 0 x
3
v(p) = 0
=
r−1 n
[B 2
11a 0 cos2 0 (v − p) + 0 + B 0.5
122 a 0 cos0 (v − p) + 0 +
p=0 v=1
+ 2B13 ] x v(p) + [B21a 0 cos0 (v − p) + + 0.5 2
0 2 B22 ] x v(p) +
+ B31 x
3
v(p) − (B11 + B31)
1.5 + a 20.5
2 0 2 B31 = 0
2=ˆ 2
r−1 n
[C 2 2
11a 0 cos 0 (v − p) + 0 +C 0.5
122 a 0 cos0 (v − p) + 0 +
p=0 v=1
+ 2C13 ] x v(p) + [C21a 0 cos0 (v − p) + 0 +
0.5C 2
2 22 ] x v(p) +
+C31 x
3
v(p) −
1.5
2 (C11 −C31) + a 2
0
0.5
2 C31 = 0
3=ˆ 3
Як бачимо з системи, вибіркові значення крім того що підводяться до
квадрату також підлягають і кубічній обробці. Тобто розроблені алгоритми ще є
більш складними. Отримано систему трансцендентних нелінійних рівнянь
потрібно розв’язувати лише за допомогою чисельних методів використовуючи
комп’ютер.
2.4. Оцінювання параметрів при четвертому степені стохастичного
поліному
При четвертому степені стохастичного поліному також можливо оцінити всі
три параметри задані в технічному завданні роботи. Тоді сумісна оцінка
параметрів випадкової величини знаходиться з розв'язку такої системи рівнянь
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
32
Змн Арк № докум. Підпис Дата
r−1 n r−1 n
h (p)
1v(m) ()[x (p) 2
v(p) −m1v(p) ()]+ h 2v(m) ()[x v(p) −m2v(p) ()]+
p=0 v=1 p=0 v=1
є (2.15)
r−1 n r−1 n
+ h (p) 3 (p)
3n(m) ()[x v(p) −m3v(p) ()]+ h 4v(m) ()[x 2
v(p) −m4v(p) ()] ˆ = 0
=
p=0 v=1 p=0 v=1
А оптимальні вагові коефіцієнти h (p)
1v(m) () , h (p) (p) (p)
2v(m) ()) , h3v(m) () і h 4v(m) () відповідно
знаходяться з системи наступного виду
dm
(p) 1v(p) ()
h1v(m) ()F(1,1)v ()+ h (p) (p) (p)
2v(m) ()F(1,2)v ()+ h3v(m) ()F(1,3)v () + h 4v(m) ()F(1,4)v () =
dm
dm ()
h (P) ()F ()+ h (p) 2v(p)
1v(m) (1,2)v 2v(m) ()F(2,2)v ()+ h (p)
3v(m) ()F (p)
(2,3)v () + h 4v(m) ()F(2,4)v () =
dm
(2.16)
dm
(p) (p) (p) 3v(p) ()
h1v(m) ()F(1,3)v ()+ h 2v(m) ()F(2,3)v ()+ h3v(m) ()F ()+ h (p)
(3,3)v 4v(m) ()F(3,4)v () =
dm
dm ()
h (p) 4v(p)
1v(m) ()F(1,4)v ()+ h (p)
2v(m) ()F(2,4)v ()+ h (p)
3v(m) ()F () + h (p)
(3,4)v 4v(m) ()F(4,4)v () =
dm
Частина потрібних центрованих корелят для асиметрично-ексцесної
випадкової величини були вже попередньо знайдені. Знайдемо інші функції
F(i, j)v ()
F 5 / 2
(1,4)v () =102 3 + 42Sv(p) ()( 4 + 4) + 6S2
v(p) ()3/ 2
2 3 + 4S3
v(p) ()2
F 3 2 5/ 2 2 2
(2,4)v () = 2 (14 4 +103 +12)+56Sv(p) ()2 3 + 2Sv(p)2 ()2 (7 4 +18)+
+16S3
v(p) ()3/ 2
2 3 +8S4
v(p) ()2
F 7 / 2 3 2 2 5/ 2
(3,4)v () = 2 (1023 +34 43 )+ 66Sv(p) ()23 +192Sv(p) ()2 +
+ 2S3 2
v(p) ()2 (17 4 + 42)+30S4
v(p) ()3/ 2
2 3 +12S5
v(p) ()2
F 4 2 2 7 / 2
(4,4)v () = 2 (2803 + 30 4 + 204 4 + 96) +8Sv(p)v2 (34 43 +1023 ) +
+ 4S2
v(p) ()3
2 (66 2
3 +102 4 + 963 ) + 512S3
v(p) ()5 / 2
2 3 + 68S4
v(p) ()2
2 4 +
+ 48S5 3/ 2 6
v(p) ()2 3 +16Sv(p) ()2
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
33
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Система (2.15) буде складатися з трьох рівнянь максимізації полінома так к
в якості параметра, що оцінюється в цьому випадку розглядається векторний
параметр = (,2 , 3) .
Аналогічно, як і для третьої степені визначимо перше рівняння системи
(2.15) для параметра час запізнення гармонічного сигналу .
Похідна моменту четвертого порядку по параметру
dm4v(p) () dSv(p) ()
= [4S3
v(p) ()+12Sv(p) ()+ 42.5
2 3] .
d d
Розв’яжемо систему методом Крамера та одержимо оптимальні вагові
коефіцієнти для четвертого степеня поліному
dSv(p) () 1
h (p) () = [9 (−1416 2 2 − 7143 2 + 3060 4 2
1v() 2 4 3 4 3 4 3 − 408 43 +
d 4
+ 408 4
4 +11163
4 + 2472 2
4 +1584 4 −5406 −1440 4
3 3 −1728 2
3 + 288)+
+ 8.5
2 Sv(p) ()(10443
43 + 2856 2 2 3 3
43 −828 43 − 2808 43 + 2484 43 + ,
32405 − 25923 + 288 ) + 8
3 3 3 2S
2
v(p) ()(−252 2 2
43 − 432 4
4
3 − 432 2
4 3 −
102 4 3 2 4
4 − 228 4 −504 4 −144 4 +19443 + 432 2 7.5
3 ) + 2 S3 3
v(p) ()(−120 43 −
480 2 3
4 3 + 360 43 − 480 43 − 2165
3 + 7203
3 )]
dSv(p) () 1
h (p) () = [8.5 3
2v() 2 (−522 43 + 414 2
4
3 2
3 −1428 43 −1404 3
43 −1224 43 −
d 4
−16205 +12963
3 3 −1443 ) + 8
2Sv(p) ()(252 2
4
2
3 + 432 4
4
3 + 438 2
43 + ,
+102 4
4 + 2283
4 + 504 2
4 +144 4 −1944 4
3 − 432 2
3 ) + 7.5S2 3
2 v(p) ()(180 43 +
+ 720 2 3
4 3 −540 43 + 720 43 + 2245 −10803
3 3 )]
dSv(p) ()
(p) 1
h () = [8 (−84 2 2
3v() 2 4 3 + −144 4
4 2
3 −144 43 −34 4 3 2
4 −76 4 −168 4 −
d 4
− 48 + 648 4 +144 2 )+7.5
4 3 3 2 Sv(p) ()(−1203 +360 3 2
4 3 43 − 480 43 − ,
− 480 5
43 − 2603 + 7203
3 )]
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
34
Змн Арк № докум. Підпис Дата
dS () 7.5
h (p) v(p)
() = 2 (303 2 3 5
4v() 43 +120 43 +120 43 −90 43 +543 −1803
3 ) .
4
Головний визначник системи (2.16) дорівнює
4 =
10
2 (−345
4 +320 4
4 + 7203
4 +1920 2 6 2
4 +1440 4 −16203 −14403 −
−10203 2 − 2040 2 2 2 4 4 2
4 3 4 3 + 270 43 +3780 43 −720 43 + 288)
Введемо наступні позначення
A = −1416 2 2 −7143 2 +3060 4 − 408 2 4 3
11 4 3 4 3 4 3 4 3 + 408 4 +1116 4 + ,
+ 2472 2
4 +1584 4 −5406
3 −1440 4
3 −1728 2
3 + 288
A12 =10443
43 + 2856 2 2 3 3
43 −828 43 − 2808 43 + 2484 43 +
,
3
32405
3 − 25923
3 + 28833
A 2 2 4 2 4 3
13 = −252 43 − 432 43 − 432 43 −102 4 − 228 4 − ,
−504 2 4 2
4 −144 4 +19443 + 4323
A = −5223 + 414 23 −1428 2 −1404 3
14 4 3 4 3 4 3 4 3 −1224 43 −
−16205 3
3 +12963
3 −14433
A21 = −5223
43 + 414 2 3
43 −1428 2
43 −1404 3
43 −1224 43 − ,
−16205
3 +12963
3 −1443
A 2 2 4 2 4 3 2
22 = 252 43 + 432 43 + 438 43 +102 4 + 228 4 +504 4 + ,
+144 4 −1944 4
3 − 432 2
3
A23 =1803
43 + 720 2
43 −540 3 5
43 + 720 43 + 2243 −1080 3
3
A31 = −84 2 2
43 −144 4
43 −144 2 4 3 2
43 −34 4 −76 4 −168 4 − ,
− 48 + 648 4 +144 2
4 3 3
A = −1203 + 360 3 − 480 2 − 480 − 2605 + 7203
32 4 3 4 3 4 3 4 3 3 3 ) ,
A41 = 303
43 +120 2
43 +120 43 −90 4
3
3 + 545
3 −1803
3 .
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
35
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Тоді коефіцієнти h (p)
iv () () запишуться в такому вигляді
dS
(p) v(p) () 1
h () = [9A +8.5 8 2
1v() 2 11 2 Sv(p) ()A12 +2Sv(p) ()A +7.5
13 2 S3
v(p) ()A14 ] ,
d 4
dS
(p) v(p) () 1
h 2v() () = [8.5
2 A 8 7.5 2
21 +2Sv(p) ()A22 +2 Sv(p) ()A23] ,
d 4
dS
(p) v(p) () 1
h () = [8A +7.5
3v() 2 31 2 Sv(p) ()A32 ] , (2.17)
d 4
dS 7.5
(p) v(p) ()
h 2
4v() () = A41 .
4
Підставимо їх і отримаємо рівняння максимізації полінома для
оцінювання часу запізнення сигналу при s = 4
r−1 n dSv(p) ()
( [9
2A11 +
8.5
2 Sv(p) ()A12 +
8
2S
2
v(p) ()A13 ]x v(p) +
p=0 v=1 dm
+ [8.5A +8S ()A +7.5S2 2 8
2 21 2 v(p) 22 2 v(p) ()A23 ]x v(p) + [2A31 +
+7.5
2 Sv(p) ()A32 ]x3
v(p) +
7.5
2 A41 x
4
v(p) ) = 0
=ˆ
Наступним кроком знайдемо друге рівняння максимізації поліному для
системи (2.15) з якого визначається оцінка дисперсії асиметрично-ексцесної
завади при s = 4 .
Похідні моментів перших трьох порядків знайдені в попередньому пункті,
тому знайдемо тільки похідну початкового моменту четвертого порядку по
шуканому параметру 2
dm
4v(p) () 0.5
= 2 2
2 ( 4 +3)+ 62 3Sv(p) ()+ 6Sv(p) () .
d2
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
36
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Оптимальні коефіцієнти в цьому випадку дорівнюють
(p) 7
h () = 2 [1.5
1v( ) 2 (723 +9003
3 + 2705
3 − 4443 4 −1002 2 3 4
2 3 4 −3313 4 +173 4 −
4
−6003
3 4 +3453
3
4
4 −1805
3 4 )+ 2Sv ()(3603
3 + 2705
3 + 244 4 + 435 2
4 −
2
−563
3
5
4 +345 2 4
3 4 −180 0.5
3 4 + 216)+2 Sv ()(−3403 −1283
3 +1545
3 + ,
3
+124 2
4 −36 4
4 −600 2
3 4 −1763
2 −98 3
4 3 4 )+Sv ()(300 4
3 + 2706
3 + 24 4 +
+ 24 2
4 −63
4 + +8643 4 −576 2
3 4 −198 2
3 4 − 248)]
7
h (p)
() = 2 [ (144−864 2 + 792 +876 2 − 423 4 2
2v( ) 2 3 4 4 4 −6 4 + 5763 4 −198 2 2
2 3 4 +
4
+ 3 23 + 270 4
3 4 3 4 ) + 0.5
2 Sv ()(288+ 360 2
3 −690 4
3 +102 4
4 + 2283
4 + 504 2
4 +
+ 252 2 2 4 2 2 3
4 3 +132 43 + 38 43 ) + 3Sv ()(5463 −3123 − 2485
3 + 45 4
4 −763
4 −
−168 2
4 +84 2
4
2 4
3 −144 43 )]
7
h (p) 2 0.5 3 5 2 3 3
3v( ) () = [2 (723 + 2523 + 2703 +1232 4 −1263 4 −93 4 − 4323 4 +
4
+33 2
3 4 )+Sv ()(8643 +3253 −6905
3 3 −102 4
4 −504 2
4 + 252 2 2 4
43 − 432 43 − ,
− 432 2
4 3 − 252 4
4 3 )]
7
h (p)
() = 2 (72 +54 4 − 24 − 24 2 + 223 − 2 4 −102 2 −114 2 2 4
4v( ) 3 3 4 4 4 4 3 4 3 4 +183 4 ) .
2 4
Введемо позначення
B11 = 723 +9003
3 + 2705
3 − 4443 4 −1002 2
3 4 −3313
3
4 +173
4
4 − ,
−6003 +3453 4
3 4 3 4 −1805
3 4
B = 3603 + 2705 + 244 + 435 2 3 5 2 4
12 3 3 4 4 −563 4 + 3453 4 −1803 4 + 216 ,
B13 = −340 −1283 +1545 +124 2 −36 4 − 600 −176 2 2
3 3 3 4 4 3 4 3 4 −98 3
3 4 ,
B 4 6
14 = 3003 + 2703 + 24 4 + 24 2
4 − 63
4 + +864 2 2
3 4 −5763 4 −1983 4 − 248
B21 =144−864 2
3 + 792 4 +876 2
4 − 423
4 −6 4
4 +576 2 2 2
3 4 −1983 4 + ,
+3 2 3
3 4 + 270 4
3 4
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
37
Змн Арк № докум. Підпис Дата
B22 = 288 + 360 2
3 − 690 4 4 3 2 2 2 4 2
3 +102 4 + 228 4 + 504 4 + 252 43 +132 43 + 38 43 ,
B = 546 −3123 − 2485 + 45 4 − 763 −168 2 +84 2
23 3 3 3 4 4 4 4
2 4
3 −144 43 ,
B = 72 + 2523 5 2 3 3 3 2
31 3 3 + 2703 +123 4 −1263 4 −93 4 − 4323 4 + 33 4 .
B 3
21 = 8643 +3253 −6905
3 −102 4 2
4 −504 4 + 252 2 2
4 3 − 432 4
43 − ,
− 432 2
4 3 − 252 4
43
B41 = 723 + 54 4
3 − 24 4 − 24 2 + 223 4
4 4 − 2 4 −102 2 −114 2 2 4
3 4 3 4 +183 4 .
І за пишемо оптимальні вагові коефіцієнти в наступному вигляді
7
h (p) () = 2 [1.5B 0.5 2 3
1v( ) 2 11 +2Sv ()B12 +2 Sv ()B
2 13 +Sv ()B14 ] ,
4
7
h (p) 2 0.5
2v( ) () = [2B21 +2 Sv ()B22 +3S2
v ()B23]
2 4
7
h (p)
3v( () = 2 [0.5B +S ()B ] , (2.18)
2 ) 2 31 v 32
4
7
h (p)
() = 2
4v(2 ) B41 .
4
Тоді, друге рівняння, рівняння для знаходження оцінки дисперсії завади
буде мати вигляд
r−1 n
1.5 2 3
[2 B11 +2Sv(p) ()B +0.5
12 2 Sv(p) ()B13 +Sv(p) ()B14 ]x v(p) +
p=0 v=1
+ [2B21 +
0.5
2 Sv(p) ()B22 +3S2
v(p) ()B23]x 2
v(p) + [2B31 +B32 ]x3
v(p) +
+B 4 0.5
41x v(p) + (B11 − 2B22 )2 +2 Sv(p) ()B41 = 0
2=ˆ 2
Побудуємо трете рівняння максимізації полінома.
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
38
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Похідні початкових моментів першого та другого порядку, як вже було
визначено дорівнюють нулю, похідна початкового моменту третього порядку
знайдена в попередньо, тому залишилося тільки знайти похідну моменту
четвертого порядку по шуканому параметру
dm ()
4v(p)
= 42
2Sv(p) () .
d3
Після розв’язку системи (2.16) одержимо оптимальні коефіцієнти h (p)
iv ( ) ()
3
для оцінюванні коефіцієнта асиметрії:
8
h (p)
() = 2 [1.5
1v( ) 2 (144+ 360 2 −900 4 2 3 4
3 3 3 + 552 4 +396 4 +178 4 +34 4 −
4
−120 2 4 −170 2 2 4
3 4 3 4 +1403 4 )+ 2Sv(p) ()(118 2 −54 4
3 3 + 244 4 +
+115 2
4 −563
3
5
4 +145 2 4 0.5 2 4
3 4 −183 4 ) −2 3Sv(p) ()(48−1963 + ,
3
+124 2
4 − 74 4
4 − 643 4 −126 2 2 3
3 4 −1083 4 ) +Sv(p) ()(144−120 2
3 +
+ 300 4 −120 −176 2 2 −98 3
3 3 4 3 4 3 4 )]
8
h (p) 2 4 2 3 3
2v( ) () = [2 (288−10803 +963 4 +3363 4 + 343 4 +1803 4 )+
3 4
+0.5S 2 4 2 2
2 v(p) ()(144+1183 + 543 + 240 4 +124 4 + 2643 4 −563 4 − ,
−196 2 )+S2
3 4 v(p) ()(1263 +3603
3 − 2565
3 + 68 2
3 4 +84 2 2
3 4 −1443
2
4 )]
(p) 8
h 2 0.5 2
3v( ) () = [2 (48+ 2643 −180 4
3 +168 4 + 76 2
4 +343
4 − 24 2
3 4 +3 4
+34 2
3
2
4 )+Sv(p) ()(288+1080 4
3 −102 4
4 −54 2
4 +152 2 2
43 − 432 4
43 − ,
−132 2 4
43 −52 43 )]
8
h (p) 2
4v( ) () = (−72 + 723 2 3
3 3 3 −1083 4 −383 4 +363 4 ) .
4
Введемо наступні позначення
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
39
Змн Арк № докум. Підпис Дата
C11 =144+360 2
3 −900 4 2
3 +552 4 +396 4 +1783 +34 4
4 4 − ,
−120 2
3
4 2 2
4 −1703 4 +140 4
3 4
C12 =118 2
3 −54 4
3 + 244 4 +115 2 3 5
4 −563 4 +145 2
3
4
4 −183 4 ,
C13 = 48 −196 4
3 +124 2 4
4 − 74 4 − 643 4 −126 2 2 3
3 4 −1083 4 ,
C 2 4
14 =144 −1203 + 3003 −1203 4 −176 2
3
2
4 −98 3
3 4 ,
C = 288 −1080 4
21 3 + 963 4 + 3363
2 3 3
4 + 343 4 +1803 4 ,
C22 =144 +118 2
3 + 54 4
3 + 240 2 2 2
4 +124 4 + 2643 4 −563 4 −1963 4 ,
C =126 + 3603 − 2565 + 68 2 +84 2 2 2
23 3 3 3 3 4 3 4 −1443 4 ,
C 2
31 = 48 + 2643 −180 4
3 +168 4 + 76 2
4 + 343
4 − 24 2 2 2
3 4 + 343 4 ,
C32 = 288 +1080 4
3 −102 4 2
4 −54 4 +152 2 2
43 − 432 4 −132 2 4
4 3 43 −52 43 ,
C31 = −72 3
3 + 723 −1083 4 −38 2 + 363
3 4 3 4 .
Перепишимо оптимальні вагові коефіцієнти з врахуванням введених вище
позначень
8
(p) 3
h1v( ) () = 2 [1.5 0.5 2
2 C11 +2Sv(p) ()C12 −2 3Sv(p) ()C
3 13 +Sv(p) ()C14 ] ,
4
8
h (p)
2v( ) () = 2 [ C 0.5 2
3 2 21 +2 Sv(p) ()C22 +Sv(p) ()C23] ,
4
8
h (p) 2
3v( ) () = [0.5
2 C31 +Sv(p) ()C32 ] , (2.19)
3 4
8
h (p) 2
4v(3 ) () = C41 .
4
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
40
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Отримаємо трете рівняння максимізації полінома підставивши знайдені
коефіцієнти (2.18) та виконавши математичні спрощення, я якого буде
знаходитися оцінка коефіцієнта асиметрії завади при s = 4
r−1 n
3
[1.5
2 C11 +2Sv(p) ()C 2
12 +C13Sv(p) ()+C14Sv(p) ()]x v(p) +
p=0 v=1
[ C +0.5S 2 2 0.5 3
2 21 2 v(p) ()C22 +Sv(p) ()C23]x v(p) + [2 C31 +C32 ]x v(p) +
+C x 4
41 v(p) + (C11 −C22 )2
2 −
1.5
2 Sv(p) ()C41 = 0
3=ˆ3
Отже отримали систему рівнянь максимізації поліному, з розв’язку якої
буде отримуватися спільна оцінка трьох параметрів, часу запізнення гармонічного
сигналу, дисперсії та коефіцієнта асиметрії при багатоканальній обробці
асиметрично-ексцесної завади
r−1 n dS ()
v(p)
( [9
2A11 +
8.5
2 Sv(p) ()A + 8
12 2S
2
v(p) ()A13 ] x v(p) +
p=0 v=1 dm
+ [8.5A + 8S ()A + 7.5 2
2 21 2 v(p) 22 2 Sv(p) ()A23 ] x 2
v(p) + [8
2A31 +
+ 7.5S 3 7.5 4
2 v(p) ()A32 ] x v(p) + 2 A41 x v(p) ) = 0
=ˆ
r−1 n
[1.5 2 3
2 B11 + 2Sv(p) ()B12 +
0.5
2 Sv(p) ()B13 +Sv(p) ()B14 ]x
v(p) +
p=0 v=1
+ [ B + 0.5S 2
2 21 2 v(p) ()B22 + 3Sv(p) ()B 2 3
23 ] x v(p) + [2B31 +B32 ]x v(p) +
4 0.5
+B41x v(p) + (B11 − 2B22 )2 + 2 Sv(p) ()B41 = 0
2=ˆ 2
r−1 n
[1.5C + S ()C 2 3
2 11 2 v(p) 12 +C13Sv(p) () +C14Sv(p) ()] x v(p) +
p=0 v=1
[ C + 0.5
2 21 2 Sv(p) ()C 2
22 +Sv(p) ()C ] x 2
23 v(p) + [0.5 3
2 C31 +C32 ] x v(p) +
+C41 x
4
v(p) + (C11 −C )2 1.5
22 2 −2 Sv(p) ()C41 = 0
3=ˆ3
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
41
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Отримана система складається з трьох нелінійних рівнянь, яку можливо
розв’язати лише за допомогою чисельних методів, наприклад метода Ньютона.
Зрозуміло, що складність системи буде призводити до збільшення часу та
апаратних затрат на реалізацію процесу оцінювання невідомих параметрів для
асиметрично-ексцесної випадкової величини в порівнянні з оцінюванням даних
параметрів класичними методами, які найчастіше не враховують негауссівський
характер завади. Тому в роботі також потрібно дослідити ефективність
розроблених алгоритмів, що і зробимо в наступному розділі.
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
42
Змн Арк № докум. Підпис Дата
РОЗДІЛ 3
ДОСЛІДЖЕННЯ ЕФЕКТИВНОСТІ АЛГОРИТМІВ СПІЛЬНОГО
ОЦІНЮВАННЯ ЧАСУ ЗАПІЗНЕННЯ СИГНАЛУ ТА ПАРАМЕТРІВ
АСИМЕТРИЧНО-ЕКСЦЕСНОЇ ЗАВАДИ
3.1 Ефективність оцінок параметрів випадкової величини при s = 2
При оцінці векторного параметра , згідно методу максимізації поліному,
характеристикою ефективності отриманих оцінок є варіаційна матриця, яка
визначається як
Vsn(r) = J−1
sn(r) , (3.1)
тобто дорівнює оберненій матриці кількості інформації, яка отримана про
векторний параметр, що підлягає оцінюванню. Елементи матриці Jsn(r)
знаходяться по формулі (1.12).
В другому розділі було розроблено алгоритм оцінювання векторного
параметру = (,2 ) асиметрично-ексцесної випадкової величини при другому
степені поліному. Дослідимо ефективність (асимптотичні властивості) отриманих
оцінок.
Елементи матриці кількості інформації J2n(r) при s = 2 знаходяться по
наступній формулі
r−1 n r−1 n
J(m,z) dm () dm ()
2n(r) () = h (p) () 1v (p)
1v ˆ + h () 2v , m,z =1,g ,
d = 2v ˆ
p=0 v=1 =
m p=0 v=1 dm
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
43
Змн Арк № докум. Підпис Дата
де g - розмірність векторного параметру, що підлягає оцінюванню.
Отже, знайдемо елементи матриці кількості інформації, що отримана про
параметр = (,2 ) . Оптимальні коефіцієнти були попередньо отримані в другому
розділі роботи, підставивши їх, отримаємо
1.5 r−1 n d2S ()
J(1,1) () = 2 v(p)
[0.5
2n(r) (
2 2 4 + 2)+ 23Sv(p) ()] ,
2 p=0 v=1 d
1 r−1 n
J(2,2)
2n(r) () = 2 , (3.1)
2 p=0 v=1
1.5 r−1 n dS ()
J(1,2) v(p)
2n(r) () = J(2,1) 2 3
2n(r) () = ,
2 p=0 v=1 d
де позначено об’єм тіла стохастичного поліному, який при s = 2 дорівнює
2
3 2
2 = 2 (4 + 2− 3 ) . (3.2)
В вирази (3.1) підставимо модель корисного сигналу та застосувавши умови
(2.8 ) спростимо елементи. Тоді остаточно отримаємо, що елементи матриці
кількості отриманої інформації при другому степені стохастичного поліному
мають вигляд
2a 2n r−1 2a 2 2 n
(1,1) 2 0 2 2 00n (r −1)r(2r −1) 2 n(n −1)(2n −1)
J
2n(r) = p = , p =
2 6 6 ,
2 p=0 2 p=1
J(2,2) 2nr
2n(r) = , (3.3)
2
J (1,2) = J (2,1)
2n(r) 2n(r) = 0 .
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
44
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Отже отримали матрицю кількості інформації про векторний параметр
= (,2 )
a2 2
002 (r −1)(2r −1)
rn2 0
J2n(p) = , (3.4)
2 6
2
0 1
Для отримання варіаційної матриці необхідно виконати обернення
отриманої матриці кількості інформації.
Знайдемо визначник матриці
3a 22n2
2 0 0 r2
J2n(r) = (r −1)(2r −1) .
122
2
А обернена матриця буде мати наступний вигляд
2 1 0
−1 12 2 rn
2 a22
J 2n(r) =
3 2 2 2 2 0 0 02 (r −1)(2r −1) .
2a00n r (r −1)(2r −1)
2 6
Спростивши, отримаємо варіаційну матрицю оцінок при s = 2
6
2 0
V = 2 2 2
2n(r) 2a00 (r −1)(2r −1) .
2rn
0 1
Відомо, що на головній діагоналі матриці розташовані дисперсії часу
запізнення гармонійного сигналу та дисперсії асиметричної завади відповідно. Як
бачимо, інші елементи матриці дорівнюють нулю. З чого слідує, що дисперсії
параметрів сигналу , 2 при спільному оцінюванні при другому степені
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
45
Змн Арк № докум. Підпис Дата
поліному дорівнюють дисперсіям параметрів при окремому оцінюванню кожного
параметру відповідно.
Підставимо в отриману матрицю вираз для об’єму тіла стохастичного
поліному (3.2), та спростивши отримаємо, що в цьому випадку варіаційна матриця
має наступний вигляд
2 2 6
2 0
V 2
2n(r) = 1−
3 a22 (r −1)(2r −1) . (3.5)
rn + 2 2 0 0
4
0 1
Перший елемент матриці (3.5) є дисперсія оцінки часу запізнення
гармонічного коливання при багатоканальному прийомі
12 2
2 2 3
2n() = 1− . (3.6)
a 22
0 0nr(r −1)(2r −1) 4 + 2
В роботі [8] була наведена оцінка дисперсія часу запізнення при першій
степені стохастичного поліному, яку застосуємо для визначення ефективності
12
2 2
1n() = . (3.7)
a 2 2
00nr(r −1)(2r −1)
З порівняння виразів (3.6) та (3.7) бачимо, що дисперсія оцінки часу
запізнення при s = 2 буде відрізнятися від дисперсії лінійної оцінки даного
параметру (s =1) в коефіцієнт рівний
2
q =1− 3
21 . (3.8)
4 + 2
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
46
Змн Арк № докум. Підпис Дата
В роботі [6] вираз (3.8) отримав назву як коефіцієнт зменшення дисперсії
оцінки при s = 2 по відношенню до дисперсії коли оцінка знаходиться за лінійним
алгоритмом, тобто при умові що завада є гауссівською випадковою величиною.
Розглянемо дисперсію оцінки параметра 2 . Вона двідповідає другому
елементу головної діагоналі побудованої варіаційної матриці (3.5)
2 22
2 2
= 3
2n( ) 1− . (3.9)
2 nr 4 + 2
В роботі [7] приведена дисперсія оцінки параметра завади 2 , знайдена
методом моментів
22
2
( )1 =
2 . (3.10)
2 nr
Знову, при порівнянні виразів (3.10) та (3.9) бачимо, що вони відрізняються
також в коефіцієнт ефективності q21 (3.8).
Як бачимо, що при s = 2 зменшення дисперсії оцінки часу запізнення
гармонічного коливання і дисперсії завади співпадає за виразом і залежить від
значення коефіцієнта асиметрії 3 . Якщо коефіцієнт 3 = 0 , то зменшення
дисперсії не буде, але для асиметрично-ексцесних випадкових величин коефіцієнт
асиметрії завжди відмінний від нуля. Також, значення коефіцієнту ефективності
q21 (3.8) залежать і від коефіцієнта ексцесу 4 . З роботи [6] відомо, що для
коефіцієнтів 3 і 4 існує нерівність
4 + 2 2
3 ,
з якої слідує, що коефіцієнт ефективності завжди менший одиниці
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
47
Змн Арк № докум. Підпис Дата
q 21 1 .
Для дослідження ефективності оцінок побудуємо двомірний графік
залежності коефіцієнта зменшення дисперсії q21 від коефіцієнта асиметрії 3
фіксуючи значеннях коефіцієнта ексцесу 4 (рис.3.1).
Рис.3.1 Залежність q21 від 3 при різних значеннях 4 при s = 2 .
З рисунку 3.1. бачимо, що при прямуванні коефіцієнта асиметрії 3 ,
наприклад до значення 1.414 при = 0 , тобто до границі області допустимих
4
значень, дисперсія оцінок прямує до нуля. Також чим менше буде значення
коефіцієнту ексцесу (з врахуванням області допустимих значень) тим швидше
дисперсія оцінки прямує до 0. Отже досягається значне зменшення дисперсії
оцінок.
Також для більшої наочності побудуємо об’ємний графік коефіцієнту
зменшення дисперсії оцінок при s = 2 , за яким видно одночасну залежність від 3
та 4 і його проекцію на площину (додаток А, рис. 1). Проекція дозволяє бачити
область визначення параметрів 4 ,3 .
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
48
Змн Арк № докум. Підпис Дата
За отриманими графіками можна зробити висновки, що можуть існувати
такі асиметрично-ексцесні завади для яких зменшення дисперсії може бути
значним.
3.2. Властивості ефективності оцінок при третьому степені поліному
При третьому степені, в другому розділі, знайдено спільну оцінку вже трьох
параметрів: часу запізнення гармонічного сигналу , дисперсії 2 та
коефіцієнта асиметрії 3 . Завади.
Для дослідження властивостей ефективності оцінки при s = 3 побудуємо
матрицю кількості інформації. Елементи цієї матриці J (m,z)
3n(r) () в даному випадку
будуть знаходитися по формулі
r−1 n dm () r−1 n dm ()
J(m,z)
3n(r) () = h (p)
1v () 1v ˆ + h (p) () 2v +
d = 2v
p=0 v=1 m p=0 v=1 d ˆ
=
m
r−1 n
(p) dm ()
+ h () 3v
3v , m,z =1,g, g = 3,
ˆ
p=0 v=1 d =
m
В другому розділі вже отримані агові коефіцієнти та похідні початкових
моментів по параметрам , 2 , 3 , підставимо їх
5 r−1 n d2S
(1,1) v(p) ()
J3n(r) () = 2 [24 +92 −182
4 4 3 +92
34 +12] ,
2
2 p=0 v=1 d
4 r−1 n
J(2,2)
3n(r) () = 2 [94 −
2
4 −9 / 24
3 −9 / 42 + 21/ 42
3 34 ] , (3.11)
2 p=0 v=1
4 r−1 n
J(3,3) 2
3n(r) () = [ + 2− 2
4 3 ]
2 p=0 v=1
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
49
Змн Арк № докум. Підпис Дата
4,5 r−1 n dS ()
J(1,2) () = J(2,1) 2 v(p) 2
3n(r) 3n(r) () = [−634 −3/ 234 −63] ,
2 p=0 v=1 d
(1,3) (3,1) 5,5 r−1 n dS
2 v(p) ()
J 2 2
3n(r) () = J3n(r) () = [−4 − 24 + 63 ]
2 p=0 v=1 d
5 r−1 n
J(2,3)
3n(r) () = J(3,2)
3n(r) () = 2 [5 / 234 −3 3
3 −3/ 23] .
2 p=0 v=1
Об’єм тіла стохастичного поліному при s = 3 дорівнює
= 6 3 2 2 2 4
3 2 (−4 + 74 + 244 +1234 − 243 −93 +12)
В вирази (3.11) підставимо модель корисного гармонічного сигналу та
об’єму тіла стохастичного поліному, виконаємо математичні перетворення
враховуючи умови (2.8) і отримаємо елементи матриці кількості інформації при
s = 3 в наступному вигляді
2 2
(1,1) a00nr(r −1)(2r −1)(244 +92
4 −182 +92
J 3 34 +12)
3n(r) = ,
62 (−3 2
4 + 74 + 24 2
4 +1234 − 242
3 −94
3 +12)
2
(2,2) nr(94 − 4 −9 / 24
3 −9 / 42 + 21/ 42 )
J 3 3 4
3n(r) = ,
2
2 (−3 + 72 + 24 2
4 4 4 +1234 − 242
3 −94
3 +12)
(3,3) nr(4 + 2− 2
3 )
J3n(r) = , (3.12)
1.5 3 2 2 2 4
2 (−4 + 74 + 244 +1234 − 243 −93 +12)
J (1,2) = J (2,1) (1,3) (3,1)
3n(r) 3n(r) = J3n(r) = J3n(r) = 0 ,
(2,3) (3,2) nr3 (5/ 23 4 −33 −3/ 23
J = J 3 )
3n(r) 3n(r) = − .
(−3
2 4 + 7 2
4 + 24 2 2 4
4 +123 4 − 243 −93 +12)
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
50
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Матриця кількості інформації про = (,2 , 3) буде мати наступний вигляд
J (1,1)
3n(r) 0 0
J = 0 J (2,2) J (2,3)
3n(r) 3n(r) 3n(r) (3.13)
0 J (3,2) J (3,3)
3n(r) 3n(r)
Знайдемо елементи оберненої матриці кількості інформації щоб побудувати
варіаційну матрицю, на головній діагоналі якої будуть розташовані дисперсії
часу запізнення гармонічного сигналу, дисперсії та коефіцієнта асиметрії завади
відповідно. Тому для дослідження ефективності оцінок параметрів достатньо
знайти саме елементи головної діагоналі матриці.
Перший елемент – дисперсія оцінки часу запізнення гармонічного сигналу
на багатоканальний приймальний пристрій
3 2 2 4
(1,1) 2 12
2 4 + 24 −343 +93 + 62
V3n(r) = = 3
3n() 1− . (3.14)
a2
0
2
0nr(r −1)(2r −1) 92
4 + 244 +9 2
4 3 −182 +12 3
Порівняємо отриманий вираз (3.14) з виразом (3.7), бачимо, що дисперсія
при s = 3 відрізняється в коефіцієнт який дорівнює
3 + 22 2 4
4 4 −343 +93 + 62
q31() =1− 3 . (3.15)
92 2
4 + 244 +943 −182
3 +12
Дисперсію оцінки часу запізнення гармонічного сигналу при s = 3 можна
записати в наступному вигляді
12 2
2 q
2 31( )
3n( ) = .
a2
0
2
0 nr(r −1)(2r −1)
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
51
Змн Арк № докум. Підпис Дата
q31() і є коефіцієнтом зменшення дисперсії оцінки часу запізнення при
третьому степені по відношенню до дисперсії лінійної оцінки (яка знаходиться
при умові що завада є гауссівською випадковою величиною) [8]. Побудуємо
двомірний графік залежності q31() від коефіцієнта асиметрії 3 , причому при
різних значеннях коефіцієнту ексцесу 4 (Рис. 3.2.)
З рисунку 3.2. видно, що при прямуванні параметра завади 3 до границі
області допустимих значень (наприклад, 0,6561 при 4 = 0 ) може досягатися
значне зменшення дисперсії оцінки цього параметру.
Рис 3.2. Залежність q31() від 3 при фіксованих значеннях 4 при s = 3
Також побудуємо за допомогою програмного забезпечення Matlab,
об’ємний графік залежності коефіцієнта зменшення дисперсії оцінки часу
запізнення сигналу при s = 3 та його проекцію (Додаток А, рис. 2).
Наступний діагональний елемент варіаційної матриці, який відповідає
дисперсії оцінки параметра 2 дорівнює
2
V(2,2) 2 2 2 2
3n(r) = 3n( ) = (4 + 2− 3 ). (3.16)
2 nr
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
52
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Останній елемент основної діагоналі варіаційної матриці, дисперсія оцінки
коефіцієнта асиметрії 3 дорівнює
V (3,3) = 2 1 9
= 6− 4 9
− 2 21 2
3n(r) 3n( ) 3 3 + 3 4 −
2 +9 . (3.17)
3 4 4
nr 4 2 4
Так як елементи матриці J (2,3) (3,2)
3n(r) , J3n(r) не будуть дорівнювати нулю, то і
дисперсії оцінок ̂ та ̂ 3 при спільному оцінюванні будуть більшими ніж при їх
2
окремому оцінюванні. З роботи [7] відомо, що при сумісному оцінюванні цих
параметрів методом моментів дисперсії оцінок визначені як
2
2 = 2 ( 2
(2 )1 4 + 2), (3.18)
nr
2 3
( )1 = (3 2
3 +5 4 +5). (3.19)
3 nr
Поділивши знайдені дисперсії (3.16), (3.17) на дисперсії (3.18), (3.19)
відповідно отримаємо коефіцієнти ефективності для параметрів 2 та 3 , які
будуть рівні
2
q 3
31(2 ) =1− , (3.20)
4 + 2
9 9
6− 4 − 2 21
3 3 + 2 2
3 4 − 4 +9 4
q = 4 2 4
31() =
3(3 2
3 +5 4 +5) (3.21)
−9+9 4 −9 2 2 2
=1− 3 3 + 213 4 − 4 4 − 21 4
9 2
3 +15 4 +15
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
53
Змн Арк № докум. Підпис Дата
В додатку А на рисунку 3 приведено графік конфігурації поверхні
отриманого коефіцієнта зменшення дисперсій оцінки ̂ (3.20), з якого можна
2
побачити, що на вісі 3 = 0 дисперсія оцінки знайдена методом максимізації
поліному дорівнює дисперсії оцінки знайденої методом моментів (відношення
дорівнює одиниці), а при прямуванні значень параметрів до правої та лівої
границі області визначення відповідних параметрів, дисперсія оцінок знайдених
методом максимізації полінома зменшується і на границі прямує до нуля.
В додатку А на рисунку 4 приведено графік конфігурації поверхні
коефіцієнта зменшення дисперсії оцінки другого параметра завади ̂ 3 (3.21), з
графіка видно, що дисперсія оцінки коефіцієнта асиметрії 3 при спільному
оцінюванні в цілому є більш ефективною в порівнянні з дисперсією оцінки цього
ж параметра отриманої методом моментів, і в області визначення є граничні
точки, при прямуванні до яких коефіцієнт ефективності прямує до нуля.
3.3. Дисперсії оцінок параметрів при четвертому степені стохастичного
поліному
Знайдемо дисперсії спільних оцінок невідомих параметрів асиметрично-
ексцесної випадкової величини за алгоритмами розробленими в попередньому
розділі при s = 4 .
При четвертому степені елементи матриці кількості отриманої інформації
J (m,z)
4n(r) () знаходяться по формулі
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
54
Змн Арк № докум. Підпис Дата
r−1 n dm () r−1 n dm ()
J(m,z)
4n(r) () = h (p)
1v () 1v + h (p)
2v
ˆ () +
= 2v ˆ
p=0 v=1 d =
m p=0 v=1 dm
r−1 n
(p) dm3v () r−1 n
+ h () + h (p) dm ()
3v 4v () 4v .
p=0 v=1 d ˆ
=
m p=0 v=1 d ˆ
=
m
Розмірність векторного параметру, що оцінюється буде складати g = 3 , так
як спільно оцінюються три параметра, час запізнення корисного сигналу ,
дисперсії асиметрично-ексцесної завади 2 і коефіцієнтр асиметрії 3 .
Похідні початкових моментів по параметрам , 2 , 3 та вагові коефіцієнти
h (p)
iv () вже були отримані в другому розділу, тому підставивши їх, та зробивши
математичні спрощення, отримаємо матрицю кількості інформації, що здобута
про векторний параметр = (,2 , 3) при s = 4 .
J (1,1)
4n(r) 0 0
J = 0 J (2,2) J (2,3)
4n(r) 4n(r) 4n(r) . (3.22)
(3,2) (3,3)
0 J4n(r) J4n(r)
Вигляд матриці з точністю співпадає з виглядом аналогічної матриці при
s = 3 (3.6). Елементи матриці (3.13) розраховані за допомогою програмного
забезпечення Mathcad і мають наступний вигляд.
2 2
J (1,1) a
= 00nr(r −1)(2r −1)K1
3n(r)
62 ,
4
K1 =
11
2 (1440 4 +306 4
4 +8883
4 +1968 2 −3246 − 216 4 −1296 2 + 2268 4
4 3 3 3 4 3 − ,
−360 2
4 3 + 288−3246
3 )
J (2,2) nrK2
3n(r) = ,
22
24
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
55
Змн Арк № докум. Підпис Дата
K = 10 (52 4
2 2 4 +843
4 +1368 2
4 +1296 4 −8106 −102 4
3 3 −1080 2
3 +180 2
4 3 − ,
−1110 2 2 2 2 4
4 3 − 2268 43 −63 43 + 288)
J (3,3) nrK3
3n(r) = ,
4
K = 10
3 2 (343
4 + 76 2
4 +168 4 −180 4
3 − 264 2
3 − 24 2 −34 2 2
4 3 43 + 48) , (3.23)
J (1,2) (2,1) (1,3) (3,1)
3n(r) = J3n(r) = J3n(r) = J3n(r) = 0 ,
J (2,3) = J (3,2) nrK4
3n(r) 3n(r) = ,
24
K = 310 (33 + 42 2 − 4 −90 4
4 2 3 4 4 4 3 − 284 2 +1443 2 2
3 43 − 43 − 24) .
Дисперсія параметру корисного сигналу часу запізнення при спільному
оцінюванні буде така ж сама як і дисперсії цього параметру при окремому
оцінюванні. Це пояснюється тим, що J (1,2) = J (2,1) (1,3) (3,1)
4n(r) 4n(r) = J4n(r) = J4n(r) = 0 і означає що даний
параметр не корельований з параметрами завади
122
2q2 41()
4n() = ,
a 22
0 0nr(r −1)(2r −1)
де
345
4 + 76 4
4 +1683 + 48 2 +12966 − 216 4 2
q =1− 4 4 3 3 +1443 −
41() →
1440 4 + 306 4
4 +8883
4 +1968 2
4 −3246
3 − 216 4
3 −1296 2
3 + . (3.24)
−1512 4 + 360 2 2 4
→ 4 3 4 3 − 270 43
+ 2268 4
4 3 −360 2
4 3 + 288−3246
3
Вираз (3.24) є коефіцієнт ефективності дисперсії оцінки часу запізнення при
s = 4 по відношенню до дисперсії коли оцінка знаходиться при умові що завада є
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
56
Змн Арк № докум. Підпис Дата
гауссівською випадковою величиною [7]. Графік залежності цього коефіцієнта
q41() від коефіцієнта асиметрії 3 при 4 = 0 зображенийна рисунку 3.5.
З графіка видно, що може спостерігається значне зменшення дисперсії,
причому при 3 →0,4382 (тобто при прямуванні 3 до межі припустимих значень)
дисперсія оцінки буде прямувати до нуля.
В додатку А на рисунку 5 приведено графік конфігурації поверхні
коефіцієнта зменшення дисперсій оцінки часу запізнення сигналу на
багатоканальний приймальний пристрій та його проекція на площину.
Рис. 3.3. Залежність q41() від 3 при s = 4 , 4 = 0
Знайдемо дисперсії оцінок інших параметрів, що підлягають оцінюванню.
Дисперсія параметра 2 при спільному оцінюванні параметрів асиметрично-
ексцесної випадкової величини в цьому випадку розраховується за формулою
J(3,3)
2 = V(2,2) 4n(r)
4n( ) 4n(r) = .
2 J(2,2) J(3,3)
4n(r) 4n(r) −[J(2,3) 2
4n(r) ]
Підставивши елементи (3.23) та спростивши отримаємо
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
57
Змн Арк № докум. Підпис Дата
2 22
2 4K4n( = 3 . (3.25)
2 )
nr (K3K 2 − 2K 2
4 )
Вирази для введених коефіцієнтів K 2 , K3 , K 4 (3.23) підставимо в (3.25) в програмі
Mathcad для отримання графіку поверхні коефіцієнта зменшення дисперсії оцінки
q41( ) , який визначається як відношення виразу (3.25) до виразу (3.18)
2
2
4n(2 )
q41( ) = .
2 2
(2 )1
Отриманий графік представлений в додатку А (рисунок 6).
Знайдемо дисперсію оцінки останнього параметра, коефіцієнта 3 при
спільному оцінюванні параметрів асиметрично-ексцесної випадкової величини
при s = 4 по формулі
J(2,2)
2 = V(3,3) 4n(r)
4n( ) 4n(r) = .
3 J(2,2) (3,3) (2,3) 2
4n(r)J4n(r) −[J4n(r) ]
Підставивши елементи (3.23) та спростивши отримаємо
1 K
2 4 2
4n( ) = . (3.26)
3 nr (K3K 2 − 2K 2
4 )
Коефіцієнт ефективності дисперсії оцінки q 41( ) , дорівнює відношенню
3
виразу (3.26) до виразу (3.19)
2
4n(
q 3 )
41( ) = ,
3 2
(3 )1
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
58
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Графік поверхні коефіцієнт зменшення дисперсії оцінки q 41( ) показано в додатку
3
А (Рис. 7).
З графіків можна побачити, що дисперсії оцінок потужності завади 2 та
коефіцієнта асиметрії 3 при спільному оцінюванні методом максимізації
поліному можуть бути значно меншими за дисперсії оцінок цих же параметрів,
знайдених методом моментів.
Таким чином можна зробити висновки, що при третьому та четвертому
степенях s = 3,4 дисперсія оцінки параметру сигналу при сумісному оцінюванні
зі статистичними характеристиками завади буде дорівнювати дисперсії при
окремому оцінюванні цього параметру, а дисперсії оцінок параметрів завади 2 ,
3 при спільному оцінюванні будуть більшими ніж при їх окремому оцінюванні.
Незважаючи га це, знайдені оцінки невідомих параметрів , 2 , 3 , будуть більш
точними в порівнянні з відомими класичними оцінками відповідних параметрів.
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
59
Змн Арк № докум. Підпис Дата
ВИСНОВКИ
В даній роботі розроблені алгоритми спільного оцінювання часу запізнення
гармонічного сигналу зі статистичними характеристиками асиметрично-ексцесної
завади при багатоканальній обробці.
В якості випадкової величини, що спостерігається на вході
багатоканального пристрою розглядається адитивна суміш корисного
гармонічного сигналу та негауссівської завади асиметрично-ексцесного типу.
Застосовано моделі саме негауссівських завади так як вини більш адекватно
відображають вплив реальних завад на корисний сигнал, завдяки врахуванню в
описі кумулянтних коефіцієнтів вищих порядків, які для гаусівської моделі
дорівнюють нулю.
Найбільш ефективним методом оцінювання параметрів негауссівської
випадкової величини є метод максимізації поліному, який основується на
використанні степеневих стохастичних поліномів та моментно-комулянтному
описі величини, що спостерігається.
В роботі відповідно до методу максимізації поліному розроблені алгоритми
оцінювання часу запізнення гармонічного сигналу спільно з характеристиками
негауссівської завади, а саме дисперсії та коефіцієнту асиметрії при степенях
стохастичного полінома s = 2,3,4 .
Також в роботі досліджено ефективність розроблених алгоритмів
оцінювання. У разі оцінювання векторного параметра, характеристикою
ефективності, згідно застосованого методу, є варіаційна матриця. В роботі
побудовано варіаційні матриці при степенях поліному s = 2,3,4 . на діагоналі якмх
розташовані дисперсії оцінюваних параметрів відповідно. Досліджено отримані
вирази дисперсій оцінок, шляхом побудови графічних залежностей коефіцієнтів
ефективності (зменьшення дисперсій) оцінок параметрів від значень кумулянтних
коефіцієнтів.
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
60
Змн Арк № докум. Підпис Дата
По дослідженням проведеним в роботі можна зробити висновки, що при
спільному оцінюванні часу запізнення гармонічного сигналу зі статистичними
характеристиками асиметрично-ексцесної випадкової величини дисперсія оцінки
параметру корисного сигналу зменшується з ростом степеня стохастичного
поліному. Причому, зменшення дисперсії оцінки залежить від значень, що
приймаються коефіцієнтами асиметрії та ексцесу. Як видно з графіків, найбільше
зменшення дисперсії спостерігається на границях області допустимих значень цих
коефіцієнтів. Дисперсії оцінок характеристик завади, дисперсії та коефіцієнту
асиметрії при спільному оцінюванні більші ніж при їх роздільному оцінюванні у
зв’язку з кореляцією між ними. Але в цілому вони будуть більш точними в
порівнянні з класичними оцінками цих параметрів, отриманих методом моментів.
На основі розроблених в даній роботі алгоритмів можна будувати пристрої
для визначення часу запізнення гармонічного сигналу на багатоканальний
приймальний пристрій при невідомих статистичних характеристиках
асиметрично-ексцесної завади, які будуть відрізнятися підвищеною точністю.
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
61
Змн Арк № докум. Підпис Дата
ЛІТЕРАТУРА
1. Основи теорії радіотехнічних систем: навч. посіб. для студ. вищ. техн. навч.
закладів, які навч. за напр.«Радіотехніка» / М.М. Сумик ; Нац. ун-т
«Львівськ. політехніка». - Л. : , 2005. - 239 с
2. Волощук Ю.І. Сигнали та процеси у радіотехніці. Підручник для студентів
вищих навчальних закладів, том 1– Харків «Компанія СМІТ», 2003. – 580 с.
3. http://www.dissercat.com/content/prostranstvennaya-obrabotka-signalov-v-
tsifrovykh-antennykh-reshetkakh
4. Кунченко Ю.П., Лега Ю.Г. Оценка параметров методом максимизации
полинома К.: Наукова думка, 1992.-180с.
5. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ негауссовых сигналов и их
преобразование. М.: Сов. Радио.1978.-376с.
6. Кунченко Ю.П. Полиномиальные оценки параметров близких к
гауссовским случайных величин. Часть 1. Стохастические полиномы, их
свойства и применения для нахождения оценок параметров. - Черкассы:
ЧИТИ, 2001. –252 с.
7. Кунченко Ю.П. Полиномиальные оценки параметров близких к
гауссовским случайных величин. Часть 2. Оценка параметров близких к
гауссовским случайных величин. - Черкассы: ЧИТИ, 2001. –133 с.
8. Kunchenko Y.P., Danyk V.A., Prokopenko T.V.. The accuracy of the joint
estimation of parameters of signal by the antenna arrays at non-Gaussian
interference. // Proceeding of the 3rd International Conference on Antenna
Theory and Techniques, Sevastopil, Ukraint, - 1999, p.p. 217-218
9. Кунченко Ю.П., Прокопенко Т.В. Применение метода максимизации
полинома для оценки параметров сигналов, принимаемых многоэлементной
антенной решеткой. // Радиофизика и электроника. – 2002. – Т. 7, №2. –
С. 415–418.
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
62
Змн Арк № докум. Підпис Дата
10. Воробкало Т. В. Сумісна оцінка параметрів гармонійного сигналу, що
приймається антенною решіткою на тлі негауссівських завад. //
Международная научно–практическая конференция «Системы и средства
передачи и обработки информации».– Черкассы: ЧДТУ, 2005. – С. 131–133.
11. Гнєденко Б. В. Курс теорії ймовірностей. — К.: ВПЦ Київський університет,
2010. — 464 с
12. Методичні вказівки до виконання випускних робіт бакалавра та дипломних
робіт для студентів напряму підготовки та спеціальності «Радіотехніка»
освітньо- кваліфікаційних рівнів «бакалавр», «спеціаліст», «магістр» усіх
форм навчання / Укл. В.В. Палагін, В.В. Філіпов. – Черкаси: ЧДТУ, 2016. –
53 с.
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
63
Змн Арк № докум. Підпис Дата
ДОДАТОК А
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
64
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Рис. 1. Графік поверхні коефіцієнту зменшення дисперсії оцінок при s = 2
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
65
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Рис. 2. Графік поверхні коефіцієнту зменшення дисперсії оцінки часу
запізнення гармонічного сигналу при s = 3
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
66
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Рис. 3. Графік поверхні коефіцієнту зменшення дисперсії оцінки потужності
завади при s = 3
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
67
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Рис. 4. Графік поверхні коефіцієнту зменшення дисперсії оцінки коефіцієнта
асиметрії при s = 3
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
68
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Рис. 5. Графік поверхні коефіцієнту зменшення дисперсії оцінки часу
запізнення гармонічного сигналу при s = 4
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
69
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Рис. 6. Графік поверхні коефіцієнту зменшення дисперсії оцінки потужності
завади при s = 4
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
70
Змн Арк № докум. Підпис Дата
Рис. 7. Графік поверхні коефіцієнту зменшення дисперсії оцінки коефіцієнта
асиметрії при s = 4
Арк
РТ025.023.279.248 ПЗ
71
Змн Арк № докум. Підпис Дата