Обчислювальні алгоритми вимірювання параметрів асиметричної завади 1-го типу при відомих параметрах радіосигналу

Бондаренко, Даніїл Анатолійович
Будь ласка, використовуйте цей ідентифікатор, щоб цитувати або посилатися на цей матеріал: https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/5841
Назва:	Обчислювальні алгоритми вимірювання параметрів асиметричної завади 1-го типу при відомих параметрах радіосигналу
Автори:	Філіпов, Віталій Вікторович Бондаренко, Даніїл Анатолійович
Ключові слова:	метод максимізації поліному;негауссівська завада;радіосигнал;дисперсія;коефіцієнт асиметрії
Дата публікації:	2023
Короткий огляд (реферат):	Метою даної роботи є синтез обчислювальних алгоритмів вимірювання параметрів асиметричної завади 1-го типу (дисперсії і коефіцієнта асиметрії) при апріорно відомих параметрах радіосигналу. Об’єкт дослідження – процес вимірювання параметрів асиметричної завади 1-го типу при апріорно відомих параметрах радіосигналу. Методи дослідження – методи теорії ймовірності та математичної статистики. В магістерській роботі розглядається адитивна взаємодія радіосигналу, параметри якого є відомими, і асиметричної завади 1-го типу з невідомими параметрами. Почерговому (скалярному) вимірюванню підлягають параметри дисперсії та коефіцієнту асиметрії. Для синтезу поліноміальних алгоритмів використовується метод максимізації поліному при ступенях s=2, 3, 4 для оцінки кумулянта другого порядку і при s=3,4 – для оцінки коефіцієнту асиметрії. Це обумовлено тим, що на сьогоднішній день, це єдиний метод, здатний оптимально враховувати моментно-кумулянтний опис дискретного випадкового процесу. Відзначимо, що отримані алгоритми характеризуються певною громіздкістю і складністю обчислення оцінок параметрів при високих степенях поліному, проте мають покращені точністні характеристики порівняно з «класичними» алгоритмами. При цьому точністні властивості проявляються тим краще, чим більше відмінність значення коефіцієнта асиметрії від нуля.
URI (Уніфікований ідентифікатор ресурсу):	https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/5841
Розташовується у зібраннях:	172 Електронні комунікації та радіотехніка (Радіотехніка та робототехнічні системи)
Файли цього матеріалу:
Файл	Опис	Розмір	Формат
М_172_Бондаренко_Філіпов.pdf Restricted Access		1.14 MB	Adobe PDF	Переглянути/Відкрити Запит копії
Показати повний опис матеріалу Перегляд статистики
Усі матеріали в архіві електронних ресурсів захищено авторським правом, усі права збережено.
Extracted text
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ 
ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ 
ФАКУЛЬТЕТ ЕЛЕКТРОННИХ ТЕХНОЛОГІЙ, АВТОТРАНСПОРТУ ТА 
МАШИНОБУДУВАННЯ 
КАФЕДРА РОБОТОТЕХНІЧНИХ І ТЕЛЕКОМУНІКАЦІЙНИХ СИСТЕМ ТА 
КІБЕРБЕЗПЕКИ 
 
До захисту допущено  
завідувач кафедри РТСК 
д.т.н., професор __________  
Володимир ПАЛАГІН  
"_____" грудня 2023 року 
 
 
Пояснювальна записка 
до випускної роботи 
освітнього ступеня «магістр» 
на тему: «Обчислювальні алгоритми вимірювання параметрів асиметричної 
завади 1-го типу при відомих параметрах радіосигналу» 
 
 Виконав студент 2 курсу, групи РТ-025 
Спеціальність – 172 «Телекомунікації та 
 радіотехніка» 
Освітня програма – «Радіотехніка та 
 робототехнічні системи» 
 БОНДАРЕНКО Даніїл Анатолійович 
 Керівник роботи ФІЛІПОВ Віталій 
 Рецензент КЛЮЧКА Костянтин 
 
 
Черкаси 2023 
Форма № Н-9.01 
Черкаський державний технологічний університет 
(назва вузу) 
Факультет електронних технологій, автотранспорту та машинобудування 
Кафедра Робототехнічних і телекомунікаційних систем та кібербезпеки 
Освітній ступінь магістр 
Спеціальність 172 -  Телекомунікації та радіотехніка 
Освітня програма Радіотехніка та робототехнічні системи 
 ЗАТВЕРДЖУЮ 
 Завідувач кафедри РТСК 
 д.т.н., професор Володимир ПАЛАГІН 
   
 «  » вересня  2023 р. 
 
ЗАВДАННЯ 
на дипломний проект (роботу) студенту 
Бондаренку Даніїлу Анатолійовичу 
(прізвище, ім'я, по батькові) 
1. Тема проекту (роботи) Обчислювальні алгоритми вимірювання параметрів асиметричної  
завади 1-го типу при відомих параметрах радіосигналу 
керівник проекту (роботи) Філіпов Віталій Вікторович, к.т.н., доцент 
(прізвище, ім’я, по батькові, науковий ступінь, вчене звання) 
затверджена наказом по університету від « 10 » жовтня 2023 р.  № 271/04 
2. Строк подання студентом проекту (роботи) 1 грудня 2023 р. 
3. Вихідні дані до проекту (роботи)  вибірка значень спостережуваного сигналу обсягом n; 
радіосигнал сигнал з відомими параметрами; вид завади – асиметрична 1-го типу 
(з невідомими дисперсією та коефіцієнтом асиметрії). 
 
4. Зміст розрахунково-пояснювальної записки (перелік питань, які потрібно розробити)______ 
Вступ. 1. Опис сигналів і завад в каналах зв’язку. 2. Основи оптимального радіоприйому  
сигналів. 3. Оцінювання параметрів асиметричної завади при відомих параметрах  
радіосигналу. Висновки. Список використаної літератури 
 
5. Перелік графічного матеріалу (з точним зазначенням обов’язкових креслень)  
Презентація в Power Point обсягом 14 плакатів 
 
6. Консультанти з проекту (роботи) із зазначенням розділів проекту, що їх стосуються 
  Підпис, дата 
Розділ Прізвище, ініціали та посада  завдання         завдання 
консультанта видав прийняв 
    
    
    
    
    
    
    
 
7. Дата видачі завдання 04 вересня 2023 р. 
 
КАЛЕНДАРНИЙ ПЛАН 
№ Назва етапів дипломного                               С  т  р  о  к   виконання етапів      П   р имітка 
з/п проекту (роботи) проекту (роботи) 
1. Аналіз технічного завдання та огляд літератури 04.09.2023  
2 Розробка методики проведення дослідження 15.09.2023  
3 Розрахунок початкових моментів і центрованих    
 корелянтів асиметричної випадкової величини 01.10.2023  
4 Синтез обчислювальних алгоритмів вимірювання    
 дисперсії завади при s=2, 3, 4 та дослідження   
 точності синтезованих алгоритмів 14.10.2023  
5. Синтез обчислювальних алгоритмів вимірювання    
 Коефіцієнту асиметрії завади при s=3, 4 та    
 аналіз точності синтезованих алгоритмів 28.10.2023  
6. Оформлення пояснювальної записки 04.11.2023  
7. Оформлення плакатів 25.11.2023  
    
   
 
 Студент   БОНДАРЕНКО Даніїл 
  (підпис) (прізвище та ініціали) 
Керівник проекту (роботи)   ФІЛІПОВ Віталій 
  (підпис) (прізвище та ініціали) 
 
ЗМІСТ 
Стор. 
Вступ 4 
1. ОПИС СИГНАЛІВ І ЗАВАД В КАНАЛАХ ЗВ’ЯЗКУ 6 
1.1 Загальні відомості про радіотехнічні сигнали 6 
1.2 Класифікація радіотехнічних сигналів 9 
1.3 Завади у радіотехнічних системах 17 
2. ОСНОВИ ОПТИМАЛЬНОГО РАДІОПРИЙОМУ СИГНАЛІВ 25 
2.1 Оптимальний радіоприйом як статистична задача 25 
2.2 Оптимальна оцінка параметрів сигналу 27 
2.3 Знаходження оцінок параметрів асиметричної випадкової величини  
методом моментів 30 
2.4 Оцінка параметрів асиметричної завади 1-го типу методом моментів за  
умов відомих параметрів сигналу 34 
3. ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ АСИМЕТРИЧНОЇ ЗАВАДИ ПРИ ВІДОМИХ  
ПАРАМЕТРАХ РАДІОСИГНАЛУ 36 
3.1 Постановка задачі 36 
3.2 Оцінка кумулянта другого порядку асиметричної завади при відомих  
параметрах радіосигналу при s=2 41 
3.3 Алгоритм вимірювання кумулянта другого порядку асиметричної  
завади при відомих параметрах радіосигналу при s=3 45 
3.4 Обчислювальний алгоритм для знаходження кумулянта другого порядку  
асиметричної завади при відомих параметрах радіосигналу при s=4 48 
3.5 Точнісні властивості нелінійних оцінок кумулянта другого порядку за  
умови відомих значень параметрів радіосигналу 50 
3.6 Оцінка коефіцієнта асиметрії завади за умови відомих параметрів  
сигналу при s=3 55 
3.7 Алгоритм вимірювання коефіцієнта асиметрії завади за умови відомих 58 
параметрів сигналу при s=4 
3.8 Ефективність оцінок коефіцієнта асиметрії 61 
Висновки 64 
Список використаної літератури 66 
 
ВСТУП 
 
Актуальність роботи. До задач статистичної радіотехніки належить 
розробка оптимальних методів обробки прийнятого сигналу на фоні завад для 
того, щоб щонайкраще витягти інформацію, що цікавить. Пристрій оптимальної 
обробки сигналу може бути призначене для рішення однієї із задач: 
• виділення корисного сигналу з завад - задача фільтрації корисного сигналу; 
• виявлення корисного сигналу в шумі; 
• оцінка або вимірювання параметрів прийнятого сигналу; 
• задача розпізнавання сигналу. 
У кожній з перерахованих задач знаходиться найкраще перетворення, 
оптимальне з точки зору обраного критерію. Головною задачею можна вважати 
задачу оцінки параметрів сигналу, оскільки найчастіше тільки сам факт 
можливості оцінки якого-небудь параметра сигналу служить свідченням про його 
наявність на вході прийомного пристрою, тобто дозволяє виявити сигнал. Існують 
різні підходи до розв'язання задачі оцінки параметрів сигналу на фоні завад. Так, 
при адаптивному прийомі передбачається попереднє визначення характеристик 
завад з метою вибору найбільш оптимальних процедур обробки сигналу. У даній 
роботі зупинимося на ситуації, коли параметри корисного сигналу апріорно 
відомі, а клас завади строго заданий, невідомими є значення всіх параметрів 
завади у конкретний момент часу.  
У багатьох випадках традиційна гауссівська модель завади недостатньо 
повно описує реальні фізичні процеси, що відбуваються в каналі зв'язку, що 
обумовлює необхідність використовувати негауссівські моделі. Тому 
використання нових імовірнісних моделей представлення негауссівських завад і 
наступна розробка оптимальних поліноміальних алгоритмів оцінки їх параметрів 
є актуальними задачами.  
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами темами. Дана робота 
виконується в рамках наукових досліджень по опрацюванню негауссівських 
процесів, що проводяться співробітниками кафедри РТСК.  
Мета і завдання дослідження. Метою даної роботи є синтез 
обчислювальних алгоритмів вимірювання параметрів асиметричної завади 1-го 
типу (дисперсії 2  і коефіцієнта асиметрії  3 ) при апріорно відомих параметрах 
радіосигналу. 
Поставлена мета досягається розв’язком таких завдань: 
• аналіз класичних методів оцінки параметрів випадкових послідовностей; 
• синтез алгоритмів оцінювання кумулянта другого порядку 2  асиметричної 
завади 1-го типу, оптимальних при ступенях поліному s = 2,3,4 , методом 
максимізації поліному; 
• аналіз асимптотичних властивостей синтезованих алгоритмів оцінки 
кумулянта другого порядку 2  асиметричної завади 1-го типу, оптимальних 
при ступенях поліному s = 2,3,4 ; 
• побудова алгоритмів оцінювання коефіцієнту асиметрії  3  асиметричної 
завади 1-го типу, оптимальних при ступенях поліному s=3, 4; 
• дослідження точносних властивостей обчислювальних алгоритмів 
оцінювання коефіцієнту асиметрії  3  асиметричної завади 1-го типу, 
оптимальних при ступенях поліному s=3, 4. 
Наукова новизна одержаних результатів. Синтезовано поліноміальні 
алгоритми вимірювання параметрів асиметричної завади 1-го типу при ступенях 
поліному s = 2,3,4 . В аналітичному виді отримані вирази для асимтотичних 
дисперсій оцінок параметрів і досліджено ефективність оцінок з ростом ступеня 
поліному. 
Практичне значення одержаних результатів.  
• отримала подальший розвиток методика синтезу поліноміальних алгоритмів 
вимірювання параметрів негауссівських послідовностей; 
• сформульовані практичні рекомендації по використанню розроблених 
алгоритмів, що забезпечують їх високу ефективність. 
 
 
1. ОПИС СИГНАЛІВ І ЗАВАД В КАНАЛАХ ЗВ’ЯЗКУ 
 
1.1 Загальні відомості про радіотехнічні сигнали 
 
З погляду вирішення багатьох проблем передачі інформації математичні 
моделі сигналів і завад є фундаментом радіотехніки. Особливо це стосується 
радіотехнічних сигналів. Математичний апарат, що використовується в описах 
сигналів, дозволяє проводити аналіз без урахування їх природи. Однак для 
розуміння суті, характеристик та параметрів електричних сигналів зручніше 
звертатися до їхнього фізичного наповнення. 
При передачі на відстань за допомогою різних радіосистем (особливо 
систем зв'язку) використовують різноманітні радіотехнічні сигнали. Традиційно 
радіотехнічними прийнято вважати електричні (а тепер і оптичні) сигнали, що 
належать до радіодіапазону. З математичної точки зору будь-який радіотехнічний 
сигнал можна уявити деякою функцією часу u(t), яка характеризує зміну його 
миттєвих значень напруги (таке уявлення застосовують найчастіше), струму, 
заряду або потужності. Подібний опис радіотехнічного сигналу найбільш 
поширений і зручний, але він не виключає й інші види його подання. 
Кожен клас сигналів має свої особливості та вимагає специфічних методів 
опису та аналізу. Одним із ключових компонентів подання та обробки сигналів є 
аналіз. Основною метою аналізу є порівняння сигналів один з одним для 
виявлення їх подібності та відмінності. Розрізняють три основні складові аналізу 
електричних сигналів: 
• вимірювання числових параметрів сигналів; до таких параметрів, перш за 
все, відносять енергію, середню потужність та середнє квадратичне 
значення; 
• розкладання сигналу на елементарні складові або їх розгляду окремо, або 
порівняння властивостей різних сигналів; таке розкладання проводять з 
використанням рядів та інтегральних перетворень, найважливішими з яких 
є ряди та перетворення Фур'є; 
• кількісний вимір ступеня «схожості» різних сигналів, їх параметрів та 
характеристик; такий вимір проводять із застосуванням апарату 
кореляційного аналізу. 
Вивчати сигнали можна експериментально за допомогою різних приладів 
та пристроїв – осцилографів, аналізаторів спектрів, корелометрів, приймачів, 
вольтметрів та ін. Такий емпіричний підхід має суттєвий недолік. Явища, що 
фіксуються спостерігачем, завжди виступають як приватні, поодинокі прояви, 
позбавлені того ступеня узагальненості, яка дозволила б судити про їх 
фундаментальні властивості, передбачати результати в умовах, що змінилися. 
Щоб зробити сигнали об'єктами вивчення і розрахунків, слід зазначити 
спосіб їх математичного описи, тобто створити математичну модель 
досліджуваного сигналу. Математичною моделлю сигналу називають його опис за 
допомогою математичного апарату (функцій, векторів, розподілів тощо), що 
дозволяє робити висновки про особливості сигналу, застосовуючи при цьому 
формальні процедури (наприклад, математичні перетворення). 
Математичною моделлю сигналу може бути, наприклад, певна 
функціональна залежність, аргументом якої є час. Створення моделі фізичного 
сигналу - перший істотний крок на шляху систематичного вивчення його якості. 
Насамперед математична модель дозволяє абстрагуватися від конкретної природи 
фізичного носія сигналу. 
У радіотехніці кожному класу сигналів відповідає своє математичне 
уявлення, своя математична модель, причому одна й та сама математична модель 
може практично завжди адекватно описувати напругу, струм, заряд, потужність, 
напруженість електромагнітного поля і т. д. Реальні радіотехнічні сигнали дуже 
складні за структурою, а математичні моделі, що їх описують, — абстрактні. Тому 
між досліджуваним сигналом-оригіналом та її математичною моделлю не завжди 
вдається отримати повного збігу у всіх відносинах, коли будь-яку модель можна 
розглядати як оригінал чи як узагальнену модель іншим. 
По суті, будь-який аналітичний опис реального сигналу є його спрощенням, 
яке отримують шляхом зосередження уваги на найбільш важливих обставинах 
(залежностях) та виключення інших для даного дослідження несуттєвих. 
Наприклад, у спектральному поданні головну увагу зосереджено на частотному 
складі сигналу, а часові залежності його параметрів з розгляду практично 
виключені. 
Для математичного моделювання сигналів можна використовувати 
формули, рівняння, функціональні залежності, матриці, графіки, таблиці, графи, 
закони розподілу імовірності, вектори, багатовимірні простори та інші аналітичні 
образи. При моделюванні сигналів не можна обмежуватись статичною фіксацією 
відомостей про сигнал-оригіналі. Для отримання подальших висновків та 
узагальнень необхідно вміти перетворити наявну інформацію за певними 
правилами. Ці правила, будучи закладеними в аналітичну модель, перетворюють 
її зі статичної на динамічну. 
Очевидно, що вибір моделі реального сигналу – процес значною мірою 
творчий. Найбільш поширеними способами представлень (описів) сигналів є 
часовий, спектральний, аналітичний, статистичний, векторний, графічний та 
геометричний. Функції, що описують сигнали, можуть набувати як речові, так і 
комплексні значення. Використання того чи іншого принципу представлення — 
справа математичного «зручності». Знаючи математичні моделі сигналів, можна 
порівнювати ці сигнали між собою, встановлювати їх тотожність та відмінність, 
проводити класифікацію сигналів за низкою специфічних ознак. 
 
 
 1.2 Класифікація радіотехнічних сигналів 
 
Перш ніж приступити до вивчення будь-яких нових явищ, процесів або 
об'єктів, у науці завжди прагнуть провести їх класифікацію за можливо більшими 
ознаками. Для розгляду та аналізу сигналів виділимо їх основні класи. Це 
потрібно з двох причин. По-перше, перевірка належності сигналу до конкретного 
класу – процедура аналізу. По-друге, для представлення та аналізу сигналів різних 
класів найчастіше доводиться використовувати різні засоби та підходи.  
Радіотехнічні сигнали зручно розглядати у вигляді математичних функцій, 
заданих у часі та фізичних координатах. З цієї точки зору сигнали зазвичай 
описується однією (одномірний сигнал; n = 1), двома (двовимірний сигнал; n = 2) 
або більше (багатомірний сигнал n > 2) незалежними змінними. Одновимірні 
сигнали є функціями лише часу, а багатовимірні, ще, відбивають становище в n-
мірному просторі [1]. 
Будемо для визначеності та спрощення в основному розглядати одновимірні 
сигнали, що залежать від часу, проте допускається узагальнення і на 
багатовимірний випадок, коли сигнал подається у вигляді кінцевої або 
нескінченної сукупності точок, наприклад, у просторі, положення яких залежить 
від часу. У телевізійних системах сигнал чорно-білого зображення можна 
розглядати як функцію f(x, y, t) двох просторових координат і часу, що 
представляє інтенсивність випромінювання в точці (x, y) в момент часу t на 
катоді. При передачі кольорового телевізійного сигналу маємо три функції f(x, y, 
t), g(x, y, t), h(x, y, t), визначені на тривимірній множині (можна розглядати ці три 
функції також як компоненти тривимірного векторного поля). Крім того, різні 
види телевізійних сигналів можуть виникати під час передачі телевізійного 
зображення спільно зі звуком. 
Багатовимірний сигнал – впорядкована сукупність одновимірних сигналів. 
Багатовимірний сигнал створює, наприклад, система напруги на затисканнях 
багатополюсника (рис.1.1). Багатовимірні сигнали описують складними 
функціями, і їхня обробка частіше можлива в цифровій формі. Тому 
багатовимірні моделі сигналів особливо корисні у разі, коли функціонування 
складних систем аналізується за допомогою комп'ютерів. Отже, багатовимірні, 
або векторні, сигнали складаються з безлічі одновимірних сигналів 
 
    (1.1) 
 
де n - ціле число, розмірність сигналу. 
 
 
 
Рисунок 1.1 – Система напруг багатополюсника 
 
За особливостями структури часового представлення (рис.1.2) всі 
радіотехнічні сигнали поділяються на аналогові (analog), дискретні (discrete-time; 
від латів. discretus - розділений, переривчастий) та цифрові (digital). 
Якщо фізичний процес, що породжує одновимірний сигнал, можна уявити 
безперервною функцією часу u(t) (рис.1.2,а), то такий сигнал називають 
аналоговим (безперервним), або, узагальнено, континуальним (continuos — 
багатоступінчастим), якщо останній має стрибки, розриви по осі амплітуд. 
Зауважимо, що зазвичай термін «аналоговий» використовують для опису 
сигналів, які безперервні у часі. Безперервний сигнал можна трактувати як дійсне 
або комплексне коливання у часі u(t), що є функцією безперервної дійсної часової 
змінної. Поняття «аналоговий» сигнал пов'язане з тим, що будь-яке миттєве 
значення аналогічне закону зміни відповідної фізичної величини в часі. 
Прикладом аналогового сигналу є деяка напруга, яка подана на вхід осцилографа, 
в результаті чого на екрані виникає безперервна крива як функція часу. Оскільки 
сучасна обробка безперервних сигналів з використанням резисторів, 
конденсаторів, операційних підсилювачів тощо має мало спільного з аналоговими 
комп'ютерами, термін «аналоговий» сьогодні видається не зовсім невдалим. 
Більш коректним було б називати безперервною обробкою сигналів те, що 
сьогодні зазвичай називають аналоговою обробкою сигналів. 
 
Рисунок 1.2 – Радіотехнічні сигнали: 
а - аналоговий; б - дискретний; в - квантований; г - цифровий 
 
У радіоелектроніці та техніці зв'язку широко застосовуються імпульсні 
системи, пристрої та ланцюги, дія яких ґрунтується на використанні дискретних 
сигналів. Наприклад, електричний сигнал, що відображає мову, є безперервним як 
за рівнем, так і за часом, а датчик температури, що видає її значення через кожні 
10 хв, служить джерелом безперервних сигналів за значенням, але дискретних за 
часом. 
Дискретний сигнал одержують з аналогового шляхом спеціального 
перетворення. Процес перетворення аналогового сигналу на послідовність 
відліків називається дискретизацією (sampling), а результат такого перетворення 
— дискретним сигналом чи дискретним рядом (discrete series). 
Найпростіша математична модель дискретного сигналу UT (t)  - 
послідовність точок на часовій осі, взятих, як правило, через рівні проміжки часу 
T = t , які називаються періодом дискретизації (або інтервалом, кроком 
дискретизації; sample time), і в кожній з яких задані значення безперервного 
сигналу (рис.1.2,б). Величина, обернена до періоду дискретизації, називається 
частотою дискретизації (sampling frequency): f Д =1 T  (інше позначення 
f Д =1 T ). Відповідна їй кутова (кругова) частота визначається так: Д = 2 t . 
Дискретні сигнали можуть бути створені безпосередньо джерелом 
інформації (зокрема, дискретні відліки сигналів датчиків у системах керування). 
Найпростішим прикладом дискретних сигналів можуть бути відомості про 
температуру, що передаються в програмах новин радіо і телебачення, а в паузах 
між такими передачами відомостей про погоду зазвичай немає. Не слід думати, 
що дискретні повідомлення обов'язково перетворять на дискретні сигнали, а 
безперервні повідомлення — безперервні сигнали. Найчастіше саме безперервні 
сигнали використовують для передачі дискретних повідомлень (як їх носіїв, тобто 
несучої). Дискретні сигнали можна використовувати для передачі безперервних 
повідомлень. 
Очевидно, що у випадку представлення безперервного сигналу набором 
дискретних відліків призводить до певної втрати корисної інформації, оскільки ми 
нічого не знаємо про поведінку сигналу в проміжках між відліками. Однак існує 
клас аналогових сигналів, для яких такої втрати інформації практично не 
відбувається, і тому вони можуть бути з високим ступенем точності відновлені за 
значеннями своїх дискретних відліків. 
Різновидом дискретних сигналів є цифровий сигнал (digital signal), У 
процесі перетворення дискретних відліків сигналу в цифрову форму (зазвичай у 
двійкові числа) проводиться квантування за рівнем (quantization) напруги  . При 
цьому значення рівнів сигналу можна пронумерувати двійковими числами з 
кінцевим числом розрядів. Сигнал, дискретний у часі та квантований за рівнем, 
називають цифровим сигналом. До речі, сигнали, квантовані за рівнем, але 
безперервні у часі, практично зустрічаються рідко.  
У цифровому сигналі дискретні значення сигналу UT (t)  спочатку 
квантують за рівнем (рис.1.2,в) і потім квантовані відліки дискретного сигналу 
замінюють числами Uu (t)  найчастіше реалізованими в двійковому коді, який є 
високим (одиниця) і низьким (нуль) рівнями потенціалів напруги — короткими 
імпульсами тривалістю   (рис.1.2,г). Такий код називають уніполярним. Оскільки 
відліки можуть набувати кінцеву множину значень рівнів напруги (див. 
наприклад другий відлік на рис.1.2, г, який у цифровому вигляді практично 
рівноймовірно може бути записаний як числом 5 - 0101, так і числом 4 - 0100), то 
при поданні сигналу неминуче відбувається його округлення. Помилки 
округлення, що виникають при цьому, називаються помилками (або шумами) 
квантування (quantization error, quantization noise). 
Послідовність чисел, що представляє сигнал під час цифрової обробки, є 
дискретним рядом (discrete series). Числа, що становлять послідовність, є 
значеннями сигналу в окремі (дискретні) моменти часу і називаються цифровими 
відліками сигналу (samples). Далі квантоване значення сигналу представляється у 
вигляді набору імпульсів, що характеризують нулі («0») та одиниці («1») при 
поданні цього значення в двійковій системі числення (рис.1.2,г). Набір імпульсів 
використовують для амплітудної модуляції несучого коливання та отримання 
кодово-імпульсного радіосигналу. 
В результаті цифрової обробки не виходить нічого «фізичного», лише 
цифри. А цифри – це абстракція, спосіб опису інформації, що міститься у 
повідомленні. Отже, нам необхідно мати щось фізичне, що представлятиме цифри 
або бути носієм цифр. Отже, сутність цифрової обробки полягає в тому, що 
фізичний сигнал (напруга, струм і т. д.) перетворюється на послідовність чисел, 
яка піддається математичним перетворенням в обчислювальному пристрої. 
Трансформований цифровий сигнал (послідовність чисел) за потреби може 
бути перетворений назад, у напругу або струм. 
Цифрова обробка сигналів надає широкі можливості з передачі, прийому та 
перетворення інформації, у тому числі й ті, які не можуть бути реалізовані за 
допомогою аналогової техніки. На практиці під час аналізу та обробки сигналів 
найчастіше цифрові сигнали замінюють дискретними, а їх відмінність від 
цифрових інтерпретують як шум квантування. У зв'язку з цим ефекти, пов'язані з 
квантуванням за рівнем та оцифруванням сигналів, у більшості випадків не 
братимуть до уваги. Можна сміливо сказати, що у дискретних і цифрових 
ланцюгах (зокрема, в цифрових фільтрах) обробляють дискретні сигнали, лише 
усередині структури цифрових ланцюгів ці сигнали представлені числами. 
Обчислювальні пристрої, призначені для обробки сигналів можуть 
оперувати з цифровими сигналами. Існують також пристрої, побудовані 
переважно на базі аналогової схемотехніки, які працюють з дискретними 
сигналами, представленими у вигляді імпульсів різної амплітуди, тривалості або 
частоти повторення. 
Однією з основних ознак, якими розрізняються сигнали, є передбачуваність 
сигналу (його значень) у часі. 
За математичним уявленням (за ступенем наявності апріорної, від лат. a 
priori — з попередньої, тобто переддослідної інформації) всі радіотехнічні 
сигнали прийнято поділяти дві основні групи: детерміновані (регулярні; 
determined) і випадкові (casual) сигнали (рис.1.3). 
Детермінованими називають радіотехнічні сигнали, миттєві значення яких 
будь-якої миті часу достовірно відомі, тобто передбачувані з ймовірністю, що 
дорівнює одиниці. Детерміновані сигнали описуються заздалегідь заданими 
функціями часу. До речі, миттєве значення сигналу - це міра того, на яке значення 
та в якому напрямку змінна відхиляється від нуля; таким чином, миттєві значення 
сигналу можуть бути як позитивними, і негативними (рис.1.3,а). Найпростішими 
прикладами детермінованого сигналу є гармонічне коливання з відомою 
початковою фазою, високочастотні коливання, модульовані за відомим законом, 
послідовність або пачка імпульсів, форма, амплітуда та часове положення яких 
наперед відомі [1]. 
Якби повідомлення, що передається по каналах зв'язку, було 
детермінованим, тобто заздалегідь відомим з повною достовірністю, то його 
передача була б безглуздою. Таке детерміноване повідомлення не містить жодної 
нової інформації. Тому повідомлення слід розглядати, як випадкові події (або 
випадкові функції, випадкові величини). Інакше кажучи, має існувати кілька 
варіантів повідомлення (наприклад, безліч різних значень тиску, що видаються 
датчиком), з яких реалізують з певною ймовірністю одне. У зв'язку з цим сигнал є 
випадковою функцією. Детермінований сигнал може бути носієм інформації. 
Його можна використовувати лише для випробувань радіотехнічної системи 
передачі або тестування окремих її пристроїв. Випадковий характер повідомлень, 
і навіть завад зумовив найважливіше значення теорії ймовірностей у побудові 
теорії передачі. 
 
Рисунок 1.3 – Сигнали: а - детермінований; б - випадковий 
 
Детерміновані сигнали поділяють на періодичні та неперіодичні (імпульсні). 
Сигнал кінцевої енергії, істотно відмінний від нуля протягом обмеженого 
інтервалу часу, який можна порівняти з часом завершення перехідного процесу в 
системі, для впливу на яку він призначений, називають імпульсним сигналом. 
Випадковими називають сигнали, миттєві значення яких у будь-який 
момент часу не відомі і не можуть бути передбачені з ймовірністю, що дорівнює 
одиниці. Фактично для випадкових сигналів можна знати лише ймовірність того, 
що він набуде будь-якого значення. 
Може здатись, що поняття «випадковий сигнал» не зовсім коректне. 
Але це не так. Наприклад, напруга на виході приймача тепловізора, 
спрямованого на джерело ІЧ-випромінювання, представляє хаотичні коливання, 
що несуть різноманітну інформацію про об'єкт, що аналізується. Строго кажучи, 
всі сигнали, що зустрічаються на практиці, є випадковими і більшість їх 
представляють хаотичні функції часу (рис.1.3,б). Як не парадоксально на перший 
погляд, але сигналом, що несе корисну інформацію, може бути лише випадковий 
сигнал. Інформація в такому сигналі закладена у безлічі амплітудних, частотних 
(фазових) або кодових змін сигналу, що передається. Сигнали зв'язку в часі 
змінюють миттєві значення, причому ці зміни можуть бути передбачені лише з 
деякою ймовірністю меншої одиниці. Таким чином, сигнали зв'язку є до певної 
міри випадковими процесами, тому і їх опис здійснюється за допомогою методів, 
аналогічних методам опису випадкових процесів. 
У процесі передачі корисної інформації радіотехнічні сигнали можуть бути 
піддані тому чи іншому перетворенню. Це зазвичай відображають у їх назві: 
сигнали модульовані, демодульовані (детектовані), кодовані (декодовані), 
посилені, затримані, дискретизовані, квантовані та ін. 
За призначенням, яке сигнали мають у процесі модуляції, їх можна 
розділити на модулюючі (первинний сигнал, який модулює несуче коливання) або 
модульовані (несуче коливання). 
За приналежністю до того чи іншого виду радіотехнічних систем, зокрема 
систем передачі інформації, розрізняють «зв'язкові», телефонні, телеграфні, 
радіомовні, телевізійні, радіолокаційні, радіонавігаційні, вимірювальні, керуючі, 
службові (у тому числі пілот-сигнали) та інші сигнали. 
Наведена коротка класифікація радіотехнічних сигналів не повністю 
охоплює їх різноманітність. 
1.3 Завади у радіотехнічних системах 
 
Радіотехнічні сигнали рідко присутні в електричних ланцюгах у чистому 
вигляді. Практично завжди на них накладаються шуми та завади. При цьому 
корисний сигнал спотворюється під час передачі і повідомлення відтворюється з 
деякою помилкою. Причиною помилок є як спотворення, що вносяться самим 
каналом, так і різного виду завади, що впливають на сигнал у процесі передачі. 
Наявність шуму, накладеного на сигнал, «затіняє», або маскує його; це обмежує 
здатність приймача приймати точні рішення про значення символів, отже, 
обмежує швидкість передачі. У власне радіоелектронних пристроях каналу 
передачі є два основних джерела шумів: дискретна структура струму в 
підсилювальних елементах (транзистори, мікросхеми тощо) і тепловий рух 
вільних електронів у провідниках електричного ланцюга. При цьому часові та 
частотні характеристики каналу визначають так звані лінійні спотворення. Крім 
того, радіоканал може вносити і нелінійні спотворення, зумовлені нелінійністю 
тих чи інших ланок, ланцюгів або пристроїв. 
Слід відрізняти спотворення від завад, що мають випадковий характер. 
Якщо лінійні та нелінійні спотворення обумовлені відомими характеристиками 
каналу, то в принципі вони можуть бути виключені їхньою належною корекцією. 
Завади ж заздалегідь, як правило, не відомі, і тому практично не можуть 
бути повністю усунути. Боротьба з завадами (шумами) одна із головних проблем 
радіотехніки. 
У загальному випадку під радіотехнічною завадою розуміють випадковий 
сигнал, однорідний з корисним. Для систем передачі інформації завада - це будь-
який випадковий вплив на корисний сигнал, що погіршує вірність прийому та 
відтворення повідомлень, що передаються по лінії зв'язку. 
Радіотехнічні завади класифікують за низкою ознак, оскільки вони 
різноманітні і за походженням, і за фізичними властивостями. 
За місцем виникнення завади ділять на зовнішні та внутрішні. Причиною 
виникнення зовнішніх завад є природні процеси та робота різних технічних 
пристроїв. У діапазонах дециметрових і менших хвиль мають значення і космічні 
завади, пов'язані з електромагнітними процесами, що відбуваються на Сонці, 
зірках та інших позаземних об'єктах. У діапазоні оптичних частот важливе 
значення має квантовий шум, викликаний дискретною природою сигналу. 
У радіоканалах зустрічаються атмосферні завади, зумовлені електричними 
процесами у атмосфері, передусім грозовими розрядами. Їхня енергія зосереджена 
в області кілометрових та гектометрових хвиль.  
Сильні завади створюють промислові установки. Це так звані індустріальні 
завади, що виникають через різкий змін струму в потужних електричних 
ланцюгах всіляких електротехнічних пристроїв. Сюди відносять завади від 
електротранспорту, електричних двигунів, медичних установок, систем 
запалювання двигунів внутрішнього згоряння тощо. 
Поширеним видом зовнішніх завад є завади від сторонніх радіо та 
телестанцій, систем військового призначення. Вони обумовлені порушенням 
регламенту розподілу частот, недостатньою стабільністю частот генераторів і 
поганою фільтрацією гармонік сигналу, а також нелінійними процесами в 
каналах, що ведуть до так званих перехресних спотворень (проявляються в 
перенесенні модуляції з позасмугового сигналу на корисний). 
Основним видом зовнішніх завад у провідних каналах зв'язку є імпульсні 
шуми та переривання зв'язку. Поява імпульсних завад часто пов'язана з 
автоматичною комутацією каналів та перехресними наведеннями. 
Переривання зв'язку — явище, у якому сигнал у лінії різко згасає чи зникає. 
Слід зазначити навмисні активні та пасивні завади, хибні цілі та пастки. Ці 
завади, як правило, встановлюють у системах військового та спеціального 
призначення з метою маскування, радіопротидії, «глушіння» різних засобів 
радіомовлення та підвищення таємності. 
Внутрішні завади обумовлені процесами, що відбуваються під час роботи 
самого радіотехнічного пристрою. Практично у будь-якому діапазоні частот 
мають місце внутрішні шуми радіотехнічних пристроїв, пов'язані з хаотичним 
рухом носіїв заряду підсилювальних приладах, резисторах та інших елементах. Ці 
завади особливо позначаються під час передачі в діапазонах дециметрових і 
менших довжин хвиль, де інші завади невеликі. 
Аналітично вплив завади r(t)  на корисний сигнал u(t) у загальному вигляді 
можна виразити оператором Y: 
 
                                           (1.2) 
 
де функція s u (t )  відображає спотворений корисний сигнал. 
Можливі два поєднання корисного сигналу та шуму. Якщо оператор Y 
вироджується в лінійну суму сигнальної складової та завади: 
 
                                                (1.3) 
 
то заваду називають адитивною (від англ. addition - додавання; термін 
«адитивний» означає, що шум просто підсумовується з сигналом). 
Якщо оператор Y може бути представлений у вигляді добутку деякого 
коефіцієнта k(t) (тут k(t) — випадковий процес) і сигналу 
 
                                                 (1.4) 
 
то на заваді називають мультиплікативною (від англ. multiplication — множення). 
Мультиплікативні завади обумовлені випадковими змінами параметрів 
радіоканалу. Вони проявляються у зміні рівня сигналу. 
Найпростіші випадки — телефонна лінія зв'язку з поганими електричними 
контактами, грозові розряди, що накладаються на сигнал, змінюється коефіцієнт 
посилення приймача і т.д. У реальних каналах передачі інформації зазвичай 
мають місце і адитивні, і мультиплікативні завади, і тому 
 
                                           (1.5) 
За основними властивостями адитивні завади ділять на три класи: 
зосереджені за спектром (вузькосмугові завади), імпульсні завади (зосереджені в 
часі) та флуктуаційні (fluctuation; розподілені за частотою та часом) завади, не 
обмежені ні в часі, ні за спектром. 
Зосередженими за спектром називають завади, переважна більшість 
потужності яких займає окремі ділянки діапазону частот, менше смуги 
пропускання радіотехнічної системи. Завади, що наводяться у радіотехнічних 
ланцюгах від промислової силової мережі частотою 50 Гц, є зосередженими. 
Ефективність їх придушення значною мірою визначається достовірністю 
апріорних даних про частотний спектр сигналу, що передається. 
Імпульсною (зосередженою у часі) завадою називають регулярну чи 
хаотичну послідовність імпульсних сигналів, однорідних із корисним сигналом. 
Імпульсні та зосереджені завади часто називають наведеннями. Джерелами таких 
завад є цифрові та комутуючі елементи радіотехнічних ланцюгів або пристрою, 
що працює поряд з ними. До імпульсних завад відносять багато видів 
атмосферних та індустріальних завад. Залежно від частоти проходження 
імпульсів одна і та ж завада може впливати як імпульсна на приймач з широкою 
смугою пропускання і як флуктуаційна на приймач з відносною вузькою смугою 
пропускання. Насправді імпульсні завади розглядають як випадковий, щодо 
широкосмуговий (тим ширше, ніж коротше імпульси завади) процес, що з 
окремих рідкісних, випадково розподілених у часі і по амплітуді, імпульсів. Для 
усунення впливу завад доцільно виключити причини їх виникнення. Способи 
боротьби з завадами значною мірою залежать від їх спектрального складу, виду 
сигналу, що передається, і завади. 
Флуктуаційна завада (флуктуаційний шум) є випадковим процесом з 
нормальним розподілом - гаусівський процес (normal distribution, Gaussian 
distribution; закон Гауса; закон Муавра-Лапласа). Ці завади мають місце 
практично у всіх реальних каналах зв'язку і їх називають шумами. 
Флуктуаційний шум становлять найбільший інтерес як у теоретичному, так 
і в практичному відношенні. З фізичної погляду адитивні флуктуаційні завади 
породжуються у системах зв'язку різноманітних флуктуаціями, тобто 
випадковими відхиленнями тих чи інших фізичних величин (параметрів) від своїх 
середніх значень. 
Серед таких шумів можна насамперед назвати внутрішні шуми електронних 
підсилювачів. 
Розрізняють такі види флуктуаційних шумів: 
• тепловий (thermal noise; шум Джонсона); 
• фліккер-шум (flicker noise; іноді, рожевий шум); 
• дробовий (schrot noise; квантовий). 
Однією з головних причин виникнення шуму є флуктуація об'ємної 
щільності електричного заряду в резисторах (і резистивних елементах) через 
хаотичний тепловий рух носіїв. У будь-якому резисторі завжди є вільні 
електрони, що знаходяться в хаотичному тепловому русі. При цьому може 
виявитись, що в певний момент часу в одному напрямку проходить більше 
електронів, ніж в іншому. 
Отже, навіть без зовнішньої ЕРС миттєве значення струму, що протікає 
через резистор, відмінне від нуля. Ці миттєві зміни струму викликають на виводах 
резистора шумову різницю потенціалів. Середнє значення такої напруги дорівнює 
нулю, а змінна складова проявляється як шум. 
Важливе значення для радіотехніки та систем зв'язку має спектр потужності 
шумової напруги на кінцях резистора. Його визначають за формулою Найквіста, 
відомої з фізики: 
 
                                                     (1.6) 
 
де R - Опір резистора, Ом; k =1.38 10−23  Дж/К - постійна Больцмана; Т - 
абсолютна температура резистора в градусах Кельвіна. 
Часто зручніше користуватися одностороннім енергетичним спектром, який 
задають у сфері позитивних частот [ B2 / Гц ]: 
                                            (1.7) 
 
Спектральну густину потужності теплового шуму можна оцінити з 
наступного прикладу: при T=300К і R = 20 кОм значення 
 
                    (1.8) 
 
−2
звідки його середнє квадратичне значення напруга UШ = 3,3110−16 В Гц . 
Незважаючи на малий рівень, тепловий шум може стати вирішальним 
фактором, що обмежує реальну чутливість приймальних пристроїв. 
Спектральна щільність потужності теплового шуму однакова всім частот, 
що становлять інтерес більшості систем зв'язку; іншими словами, джерело 
теплового шуму на всіх частотах випромінює з рівною потужністю на одиницю 
ширини смуги від постійної складової до частоти порядку 1012 Гц. Отже, проста 
модель теплового шуму передбачає, що його спектральна густина потужності 
рівномірна і досить точно відповідає моделі білого шуму. Тепловий шум 
практично встановлює нижню межу напруги шумів радіотехнічного пристрою. 
Однією з кращих візуалізацій теплового шуму служить «брижі» на екрані не 
налаштованого телевізора. Насамкінець вкажемо, що наведені співвідношення 
можна використовувати також при аналізі теплового шуму у виборчих ланцюгах. 
Специфічним для електронних приладів є флікер-шум, який виникає 
внаслідок різного роду поверхневих явищ. 
Фліккер-шум — шум, спектральна щільність якого змінюється із частотою 
згідно із законом 1 f  (приблизно постійною спектральною потужністю на декаду 
— зміна вдесятеро). У електровакуумних та газорозрядних приладах шуми такого 
виду викликаються випаровуванням атомів. Часто флікер-шумом називають будь-
який шум, спектральна щільність якого зменшується із збільшенням частоти. 
Зазвичай на частотах вище 10 кГц фліккер-шумами нехтують. 
Найбільш яскравий приклад фліккер-шуму - шум гелікоптеру, що пролітає. 
У телебаченні та відеотехніці фліккер-шум (мерехтіння) — дратівлива завада, 
головним чином пов'язана з кадровою синхронізацією та відображенням полів. 
Дробовий (квантовий) шум обумовлений нерівномірним рухом дискретних 
носіїв електричного струму в електронних приладах – діодах, транзисторах, 
мікросхемах та лампах; він має рівномірний спектр, тобто є білим; на відміну від 
резисторів флуктуації, виникають не за рахунок хаотичного теплового руху 
електронів, а внаслідок статистичної незалежності їх упорядкованого 
переміщення. 
Оскільки тепловий шум присутній у всіх системах передачі інформації та 
зв'язку та для їх більшості є помітним джерелом завад, характеристики теплового 
шуму (адитивний, білий та гауссівський) часто застосовуються для моделювання 
шуму в системах зв'язку. Гаусівський шум з нульовим середнім повністю 
характеризується дисперсією, тому цю модель особливо просто використовувати і 
при детектуванні сигналів і проектуванні оптимальних приймачів. Вважатимемо 
(якщо не обумовлено інше), що корисний сигнал піддається спотворенню з боку 
адитивного білого гаусового шуму (additive white Gaussian noise - AWGN) з 
нульовим середнім, незважаючи на те, що іноді таке спрощення надто сильне [1]. 
По виду частотного діапазону завади ділять на білий і нестаціонарний 
шуми. Білий шум містить гармонічні складові з однаковою амплітудою та 
випадковою початковою фазою, які рівномірно розподілені практично по всьому 
частотному радіодіапазону - від постійної складової до частоти 1012 Гц. В теорії 
оптимальної фільтрації часто вводять поняття «квазібілого шуму» (від латів. quasi 
— нібито; також — майже схожий), параметри та характеристики якого близькі 
до показників білого шуму. Нестаціонарний шум має нерівномірний діапазон. 
Залежно від спектру завади можуть бути суцільними чи дискретними 
(селективними). Сигнал суцільної завади характеризується розподілом його 
потужності за широким спектром частот — це вже згадуваний білий шум. 
Селективна завада характеризується тим, що її потужність зосереджена або 
на одній частоті або дуже вузькій смузі частот. 
Фактично між сигналом та завадою немає принципової відмінності. Більше 
того, вони існують у єдності, хоч і протилежні за дією. Так випромінювання 
антени передавача є корисним сигналом для антени приймача, якому призначено 
це випромінювання, і на заваді всім антенам інших приймачів. Електромагнітне 
випромінювання зірок - одна з причин космічного шуму в НВЧ-діапазоні, і тому 
це завада для радіосистем. З іншого боку, це випромінювання є дуже корисним 
сигналом, яким визначають деякі фізико-хімічні властивості зірок. 
Хороше технічне проектування може усунути більшість шумів шляхом 
екранування, фільтрації, вибору модуляції та оптимального розташування 
приймача. Наприклад, радіоастрономічні дослідження проводять у пустельних 
місцях, далеко від природних джерел шуму. Теплові шуми помітно зменшуються 
при охолодженні їхнього джерела. Проте загалом боротьба із завадами 
надзвичайно складна і є і мистецтвом, і наукою. 
З математичної точки зору інформаційні випадкові сигнали (сигнали 
випадкового характеру, що несуть інформацію, що передається) і шуми 
підпорядковуються одним імовірнісним законам, тому вони отримали 
узагальнену назву випадкові коливання або випадкові процеси. 
Для аналізу випадкових сигналів застосовують методи статистичної 
радіотехніки, що базується на математичному апараті теорії ймовірності та теорії 
випадкових процесів. Однак використання теорії ймовірності для аналізу 
випадкових процесів утруднено через складність дослідження та практичні 
розрахунки. Тому з метою спрощення та наочності аналізу роботу радіотехнічних 
ланцюгів часто розглядають при дії детермінованих сигналів. Для врахування 
випадкового характеру реального сигналу як його математичну модель 
використовують не окрему детерміновану функцію u(t), а сукупність подібних 
функцій uk (t) = u1(t),u2(t), , що утворюють випадковий процес, в якому буде 
укладена корисна інформація. 
2. ОСНОВИ ОПТИМАЛЬНОГО РАДІОПРИЙОМУ СИГНАЛІВ 
 
2.1 Оптимальний радіоприйом як статистична задача 
 
Особливість радіоприймача полягає в тому, що разом з сигналами через 
антенну систему в приймальному пристрої надходять різноманітні завади. Завади 
спотворюють сигнал і тим самим перешкоджають одержанню достовірної 
інформації. 
Можливість радіотехнічної системи зберігати свої функції незмінними або 
змінними в допустимих межах при дії завади називається завадостійкістю. 
Кількісно завадостійкість оцінюється за допомогою різних показників, що 
використовують ймовірнісний опис завад і сигналів. Наприклад, застосовуються 
такі показники, як відношення сигнал/завада на вході та виході вихідного 
пристрою, ймовірність правильного виявлення сигналу, середнє квадратичне 
відхилення помилки визначеного параметра сигналу. Конкретний показник 
завадостійкості вибирається із зручності рішення задачі [3]. 
В теорії завадостійкості розрізняють дві основні задачі: аналіз і синтез. 
Задача аналізу присвячена розрахунку показників завадостійкості існуючих 
(розроблених) радіотехнічних систем. В цьому випадку, беручи відомий 
ймовірнісний опис сигналу і завади на вході, визначають ймовірні характеристики 
вихідного процесу, а по ньому – показники завадостійкості. Ця задача, по своїй 
суті, зводиться до аналізу проходження випадкового процесу через лінійні і 
нелінійні кола, з яких складається радіотехнічна система. 
Задача синтезу присвячена визначенню структурної схеми радіотехнічної 
системи або, в більш простому варіанті, структурної схеми радіоприймального 
пристрою, яка володіла найліпшими, або оптимальними (від латинського optimus 
– «найкращий»), показниками завадостійкості, при заданому призначенні 
пристрою, і при відомому ймовірнісному описі сигналу і завади на вході. У цьому 
випадку вхідний конкретний вид сигналу і завади, який спостерігається в 
визначений час на приймачі і який розглядається як вибірка з цього випадкового 
процесу, умовний ймовірнісний опис якого передбачається відомим. Тому задачі 
синтезу, які називаються також задачами оптимального радіоприйому, 
розглядаються як подальший розвиток таких задач математичної статистики, як 
завдання перевірки гіпотез і завдання оцінки параметрів розподілу. 
У науково-технічній літературі [7] завдання оптимального радіоприйому 
поділяється на чотири окремі завдання: виявлення сигналу, розрізнення сигналів, 
оцінка параметрів сигналу, фільтрація сигналу або повідомлень. Кількісно ці 
завдання можна сформулювати таким чином. 
У задачі виявлення сигналу потрібно найбільшим чином за заданим 
критерієм оптимальності на підставі процесу спостереження відповісти на 
питання, чи містить спостережуваний процес сигнал разом з завадою або є тільки 
завада. 
У задачі розрізнення сигналів спостережуваний процес може разом з 
завадами містити один із двох взаємно виключаючих сигналів, але який саме, 
невідомо. Потрібно за заданим критерієм оптимальним способом відповісти на 
питання, який саме сигнал разом з завадою присутній у спостережуваному 
процесі. 
У задачі оцінки параметрів сигналу вважається, що в спостережуваному 
процесі разом з завадою існує сигнал з одним або декількома невідомими 
параметрами і потрібно найкращим чином за заданим критерієм оцінити ці 
невідомі параметри. До цієї задачі тісно прив’язане завдання розрізнення сигналу, 
якщо вважати, що разом з завадою у спостережуваному процесі можуть існувати 
один або два сигнали, невідомі параметри яких незначно відрізняються між 
собою. Однак скільки цих сигналів – один або два – заздалегідь невідомо. 
Потрібно, збільшивши різницю між параметрами сигналів, визначати ту 
найменшу різницю, при якій виникає впевнене розрізнення сигналів. 
У задачі оптимальної фільтрації вважається, що в спостережуваному 
процесі існує разом з завадою сигнал, у якому певний параметр відповідно до 
випадкового закону модуляції змінюється в часі. Треба в кожен момент часу дати 
кращу оцінку змінного параметра за заданим критерієм оптимальності. 
Відмінність від завдання оцінки параметра тут полягає в тому, що цей параметр є 
випадковою функцією часу, в той час як у попередньому завданні параметр є 
випадковою величиною, але постійною в інтервалі спостереження. 
 
2.2 Оптимальна оцінка параметрів сигналу 
 
Як відомо, сигнал, що передається на прийомну сторону радіотехнічної 
системи, є суттєвим для одержувача інформації, що міститься в значеннях тих або 
інших параметрів: амплітуди, частоти, фази, часу запізнення та ін. 
Очевидно, користувачеві слід для вилучення з отриманого сигналу 
відомоостей визначити значення параметрів сигналу, які несуть потрібну 
інформацію. Пристрій, призначене для вимірювання параметрів сигналу, будемо 
називати вимірювачем. Вимірюванні значення параметрів не обов'язково 
відображають істинні значення цих параметрів, так як в реальних умовах 
корисний сигнал надходить на приймальну сторону тільки в суміші з завадами. 
Крім того, на вимірювання може суттєво впливати наявність у сигналі не лише 
корисних (що несуть необхідну інформацію) параметрів, але й параметрів, 
невідомих користувачеві та таких, що не містять цікавих для нього даних. 
Корисні параметри сигналу, що містять потрібну абоненту інформацію, будемо 
називати інформаційними, а інші невідомі параметри – такими, що заважають 
(неінформаційними, несуттєвими, паразитними, небажаними). 
Якщо в процесі вимірювання інформаційних параметрів на інтервалі часу 
[0, T] їх значення не змінюються, то в цьому випадку завдання вимірювання 
зводиться до завдання оцінки параметрів сигналу. 
Нехай на вході вимірювача діє випадковий процес, що представляє собою 
суму детермінованого сигналу s(t,λ) з невідомим параметром λ і гауссівського 
білого шуму n(t) зі спектральною щільністю N0  
 
                                               (2.1) 
 
Оптимальний вимірювач визначає операцію, необхідну над реалізацією x(t) 
випадкового процесу на інтервалі часу [0, T], щоб знайти оптимальну оцінку 
параметра λ за вибраним критерієм оптимальності. При цьому вважається, що 
задача виявлення сигналу вирішена і на вході вимірювача дійсно існує сума (2.1). 
На практиці для оцінки параметрів сигналів найчастіше застосовують два 
методи: 
1) метод максимуму апостеріорної ймовірності щільності: 
 
                                         (2.2) 
 
тут k1 – коефіцієнт пропорційності; р(λ) – апріорна щільність ймовірності 
параметра λ; L(λ) – функція правдоподібності; 
2) метод максимуму функції правдоподібності: 
 
                     (2.3) 
 
Другий метод використовується в тих випадках, коли апріорна щільність 
ймовірності р(λ) невідома для параметра, що оцінюється. Оцінки, знайдені цим 
методом, називаються правдоподібними оцінками. 
Правдоподібна оцінка та оцінка, знайдена за методом максимуму 
апостеріорної щільності ймовірності, збігаються між собою, якщо параметр має 
рівномірний розподіл. 
Якщо функція правдоподібності має один максимум, то правдоподібна 
оцінка λ виходить із рішення рівняння 
 
                                                (2.4) 
або 
                                              (2.5) 
 
де y(λ) є достатньою статистикою, яка визначається за формулою 
                                 (2.6) 
 
                                (2.7) 
 
Достатня статистика обчислюється як різниця між кореляційним інтегралом 
і половиною квадрата відношення сигнал/шум. При цьому як кореляційний 
інтеграл, так і відношення сигнал/шум у загальному випадку залежать від 
параметра λ. 
Усі параметри можна розділити на енергетичні і неенергетичні. 
Енергетичним називається такий параметр, від якого залежить енергія сигналу та, 
відповідно, відношення сигнал/шум. 
До енергетичних параметрів відносяться амплітуда та тривалість сигналу. 
Неенергетичним називається такий параметр, від якого енергія сигналу та 
відношення сигнал/шум не залежать. До неенергетичних параметрів відносяться 
початкова фаза, частота тощо. Для неенергетичного параметра в якості достатньої 
статистики (λ) замість виразу (2.6) зручніше використовувати співвідношення 
 
                                     (2,8) 
 
Таким чином, вимірювач, оптимальний за критерієм максимуму функції 
правдоподібності, повинен сформувати достатню статистику (2.6) або (2.8), а 
потім для знаходження оцінки параметра потрібно вирішити рівняння (2.3). 
 
2.3 Знаходження оцінок параметрів асиметричної випадкової величини 
методом моментів  
 
До останнього часу при описі випадкових величин послідовністю моментів 
або кумулянтів єдиним методом знаходження оцінок параметрів залишався метод 
моментів. Тому, використовуючи цей метод, спочатку в даному параграфі 
розглянемо знаходження оцінок параметрів асиметричних випадкових величин 1-
го типу і знайдемо дисперсії цих оцінок. Надалі  знайдені дисперсії будуть 
використовуватися для порівняння з дисперсіями відповідних оцінок, знайдених 
методом максимізації поліному. 
 Добре відомо, що метод моментів полягає в прирівнювані вибіркових 
моментів теоретичним. Асиметричні випадкові величини 1-го типу описуються 
тільки кумулянтом другого порядку 2  і коефіцієнтом асиметрії  3 . Тому 
знайдемо оцінки цих параметрів методом моментів. 
 Нехай є вибірка x = x1, x2 ,...xn об'ємом n  із спостерігаємої асиметричної 
випадкової величини 1-го типу. Тоді оцінка параметра 2  методом моментів 
дорівнює: 
 
1 n
ˆ 2
2 =  xv .                                                   (2.9) 
n
v=1
 
Ця оцінка незсунена і легко показати, що її дисперсія дорівнює: 
 
2 2
 2 2
(2 )1
= .                                                 (2.10) 
n
 
2
З виразу (2.10) видно, що при n→  дисперсія оцінки   → 0 , тобто 
2
оцінка (2.9) є обгрунтованою. 
 Надалі для позначення дисперсії оцінки будемо використовувати символ 
 2  із подвійним індексом внизу. Індекс у дужках указує на параметр дисперсії 
оцінки який визначається. Другий індекс внизу є ціле число. Причому цифра 1 
указує на те, що оцінка знаходиться методом моментів. Цифри 2 і вище вказують 
на те, що оцінка знаходитися методом максимізації поліному із використанням 
стохастичних поліномів ступеня 2 і вище. 
При знаходженні оцінки параметра  3  розглянемо 2 випадки. Спочатку 
припустимо, що значення кумулянта 2  відоме. Тоді відповідно до методу 
моментів, оцінка параметра  3  дорівнює: 
 
1 n
ˆ3 =  x3
v .                                               (2.11) 
3
 2
2 n v=1
 
Ця оцінка так само обгрунтована і її дисперсія для асиметричних випадкових 
величин 1-го типу дорівнює: 
 
2 3
 2
( )1 = (5+ 33 ) .                                            (2.12) 
3 n
 
Насамперед  із (2.12) видно, що оцінка (2.11) є обгрунтованою. Далі, видно, 
що дисперсія цієї оцінки не залежить від дисперсії спостерігаємої випадкової 
величини 2 . 
 У тому випадку, коли значення кумулянта 2  невідоме, то оцінку 
параметра  3  знаходять із спільного розв'язання (2.9) і (2.11), тобто в даному 
випадку необхідно в (2.11) замість 2  підставити її оцінку (2.9). Тоді оцінка 
параметра  3  дорівнює: 
1 n
 x3
v
n
ˆ = v=1
3 .                                               (2.13) 
3
 1 n 2
 x2 
 v 
 n
v=1 
Для знаходження дисперсії оцінки (2.13) розглянемо асимптотичний 
випадок, коли об'єм вибірки n  прагне до нескінченності. Тоді в силу 
1 n
обгрунтованості оцінок (2.9) і (2.11), значення  x2
v  буде сходиться до 
n
v=1
1 n
істинного значення 20 , а значення  x3
v  буде сходитися до істинного значення 
n
v=1
30 . Отже, при великому n  можна записати, що 
 
 1 n  
3
  xv −  30  +  30 
ˆ  n
v=1  
3 =
 . 
3
 1 n  2
2
  xv − 20  +   20 
 n
v=1  
 
Вирази в круглих дужках у чисельнику і знаменнику отриманого виразу при 
великому n  будуть приймати значення в окрузі нуля. Тому праву частину цього 
 1 n   1 n 
виразу можна розкласти в ряд Тейлора по   x3
v − 30   і по 
    x2
v − 20  , 
 n n 
v=1   v=1 
обмежившись трьома членами розкладання. Тоді 
 
1  1 n n
ˆ =  +  x3  3  1 
3 30  v −  − 30 2
30    xv − 3   5  20  . 

 2  n  n
v=1 2 2  v=1 
2 2
 
Дисперсія цієї оцінки асимптотично дорівнює: 
 
2
 2 1 30 9
 F 30
( )1 3 3,3 − 3 F
4 2,3 + F
5 2,2 , 
3 n20 n20 4n20
 
де F i, j  мають вид: 
5
F2,2 = 2 2
2 ,       F 2 3 2
2,3 = 932 ,       F3,3 = 2 (93 +15).  
 
Підставивши Fi, j  в останній вираз, одержимо, що дисперсія оцінки 
параметра  3  при спільному оцінювані 2  і  3  дорівнює: 
 
 
2 3 ( 2 )  7,5 2
 3 
( )1 = 5+ 33 1− .                             (2.14) 
3 n  5 + 3 2 
 ( 3 )
 
 Одержали цікавий результат. З порівняння (2.12) і (2.14) видно, що 
асимптотично дисперсія оцінки ̂ 3  (2.13) при спільному оцінювані 2  і  3  буде 
меншою, ніж при оцінці параметра ̂ 3  при відомому значенні 2 . При  цьому  3  
може приймати значення в інтервалі (-1,0541; 1,0541). З (2.14) видно, що при 
прагненні  3  до крайніх значень області визначення дисперсія оцінки прагне до 
нуля. 
2.4 Оцінка параметрів асиметричної завади 1-го типу методом моментів 
за умов відомих параметрів сигналу 
 
Для того, щоб мати можливість порівняти ефективність оцінок методу 
максимізації полінома і методу моментів, в даному пункті знайдемо оцінки 
параметрів негауссівських завад методом моментів та їх точнісні характеристики. 

Будемо вважати, що параметри   сигналу відомі, так що значення сигналу 

Sv () для кожного v  також відомі точно. Тому якщо відомі вибіркові значення 

x = x1,,xn суми сигналу і завади, то різниця 
 
nv = xv −Sv (), v =1,n  
 
являє собою вибіркові значення тільки завади. Тому для знаходження оцінок 
параметрів негауссівської завади можливо скористатися методом моментів. 
Для знаходження оцінки  2  відповідно до методу моментів необхідно 
теоретичний момент другого порядку прирівняти до вибіркового другого 
моменту. Через те, що математичне сподівання завади дорівнює нулю, то оцінка 
параметра  2  методом моментів буде дорівнювати 
 
 1 n  2
2 =  x v −Sv () .                                   (2.15) 
n v=1
 
Легко показати, що дисперсія цієї оцінки буде дорівнювати 
 
2 2 2
  = 2 .                                                  (2.16) 
2 n
 
Із отриманого виразу видно, що дисперсія оцінки методу моментів залежить 
лише від дисперсії завади 2  і співпадає з дисперсію оцінки при гауссівській 
заваді. 
Оцінка коефіцієнта асиметрії, знайдена методом моментів, дорівнює 
 
1 n 3
 
3 =  xv − Sv ( ) ,                                         (2.17) 
1.5n  
2 v=1
 
а її дисперсія для асиметричної завади 1-го типу буде дорівнювати 
 
 2 3
 = (5 + 3 2
3 ) .                                                  (2.18) 
3 n
 
Очевидно, дисперсія оцінки коефіцієнта асиметрії 3  залежить як від 
значення коефіцієнту асиметрії 3 . Негауссівість завади призводить в загальному 
випадку до збільшення дисперсії оцінки. 
 
3. ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ АСИМЕТРИЧНОЇ ЗАВАДИ  
ПРИ ВІДОМИХ ПАРАМЕТРАХ РАДІОСИГНАЛУ 
 
3.1 Постановка задачі  
 
При розв’язку задач статистичного оцінювання (вимірювання) параметрів 
сигналів часто припускається, що закон розподілу ймовірностей завад і сигналів 
повністю відомі спостерігачеві. В цьому випадку говорять про повну статистичну 
апріорну інформацію. Проте на практиці апріорні відомості про статистичні 
властивості сигналів і завад можуть бути частково або навіть повністю відсутні. 
За таких умов виникає необхідність спільного вимірювання параметрів корисного 
сигналу і параметрів спотворюючої завади. З математичної точки зору така 
процедура є доволі громіздкою і, для спрощення розв’язку, може бути розділена 
на дві задачі: 
• оцінювання параметрів завади; 
• оцінювання параметрів корисного сигналу. 
Використовуються різні підходи для розв’язку таких задач. Для оцінювання 
параметрів завади можна використовувати навчальну вибірку, елементи якої не 
залежать від корисного сигналу. Ішим підходом є оцінювання параметрів завади, 
що є адитивною складовою в суміші з корисним сигналом. Якщо параметри 
корисного сигналу апріорно відомі, то він може бути легко видалений із 
випадкового процесу шляхом віднімання корисної складової. Проте такий підхід 
ефективний лише за умови, що параметрі завади сталі та не змінюються з часом. 
Якщо є необхідність постійно контролювати параметри завади, то 
алгоритми їх оцінювання будуть залежати від параметрів корисного сигналу. В 
кінцевому випадку обчислювальний алгоритм спільної оцінки параметрів сигналу 
та завади представлятиме собою багатоканальний комплекс, кожен канал якого 
буде вимірювати скалярну оцінку однієї з компонент векторного параметру. 
В даній роботі розв’язується задача синтезу алгоритмів вимірювання 
скалярних параметрів завади при відомих параметрах корисного сигналу. В 
подальших роботах планується використовувати отримані результати як складові 
елементи багатоканальної системи спільного вимірювання параметрів 
радіосигналу та завади.  
Будемо вважати, що у розпорядженні спостерігача є вибірка 

X = {x1, x2 ,xn} обсягом n  незалежних неоднаково розподілених значень із 
генеральної сукупності значень випадкової величини xv  виду 
 
xv = Sv + nv , v =1,n ,                                           (3.1) 
де  
Sv = Aev cos(v +)                                             (3.2) 
 
радіосигнал, параметри якого є апріорно відомі: амплітуда A , частота   і 
початкова фаза  . Символом ev  позначається обвідна сигналу, форма якої задана. 
Індекс v  вказує на те, що кожне вибіркове значення залежить від моменту (часу) 
v  спостереження. Крок дискретизації   вибирається у відповідності з теоремою 
Котельнікова.  
У виразі (3.1) складова nv  - адитивна широкосмугова завада, моделлю якої є 
центрована випадкова величина, яка достатньо повно описується кумулянтом  2  і 
кумулянтним коефіцієнтом  3 . При цьому будемо вважати, що кумулянтні 
коефіцієнти  i  i = 4,2s  строго дорівнюють нулю, а кумулянтні коефіцієнти  j  
порядку j  (2s +1)  не використовуються, тому можуть бути довільними. За 
класифікацією, наведеною в роботі [1], завада nv  є перфорованою асиметричною 
випадковою величиною 1-го типу. 
Будемо вважати, що завадова обстановка каналу зв’язку змінюється, тобто 
параметри асиметричної завади  2 ,  3  в різні моменти часу можуть набувати 
різних значень.  
Для синтезу алгоритмів оцінювання параметрів завади і для обчислення 
оптимальних коефіцієнтів рівнянь максимізації поліному необхідно володіти 
моментним описом дискретної послідовності виду (3.1). Для синтезу 
поліноміальних алгоритмів при ступені s = 4  необхідно знати вирази початкових 
моментів випадкової величини через кумулянти і кумулянтні коефіцієнти до 8-го 
порядку. В роботі [1] наведено вирази початкових моментів через кумулянти до 
12-го порядку для центрованої асиметричної випадкової величини 1-го типу. 
Використовуючи формулу 
 

miv() = Exi
v                                                (3.3) 
 
легко отримати вирази для початкових моментів досліджуваної випадкової 
величини виду (3.1). В останньому виразі символ E  вказує на операцію 
знаходження математичного сподівання. Маємо: 
 
m1v = Sv ,   m2v =S2
v +2 ,  
 
m3v =S3 1,5
v +3Sv2 +2 3,  
 
m =S4 +6S2 +4S 1,5 +32
4v v v 2 v 2 3 2,  
 
m =S5 +10S3 2 1,5 2 2,5
5v v v2 +10Sv2 3 +15Sv2 +2 3,                   (3.4) 
 
m 6 4 3 1,5
6v =Sv +15Sv2 +20Sv2 3 +45S2
v
2 +60S 2,5 3
2 v2 3 +2(102
3 +15), 
m = S7 + 21S5 + 35S41,5
7v v v 2 v 2  3 2 2 2,5
3 +105Sv2 + 210Sv2 3 +
 
+ 7S 3 2
v 2(103 +15) +1053,5
2 3,
 
m 8 6 5 1,5 4 2 3 2,5
8v = Sv + 28Sv2 + 56Sv2 3 + 210Sv2 + 560Sv2 3 +
 
+ 28S2
v
3
2(102
3 +15) +840S 3,5 4 2
v 2 3 +2(2803 +105),
Використовуючи початкові моменти виду (3.4) легко знайти вирази для 
кореляційних моментів шуканої випадкової величини: 
при ступені поліному s =1 
 
F(1,1)v = 2 ;                                                  (3.5) 
 
при ступені поліному s = 2  додатково використовуються 
 
F = 2S  + 1,5
(1,2)v v 2 2 3 , 
(3.6) 
F 2
(2,2)v = 4Sv2 + 4Sv
1,5
2  + 22
3 2 , 
 
при ступені поліному s = 3 додатково знадобляться 
 
F(1,3)v = 3S2
v2 + 3S 1,5
v 2 3 + 32 , 
 
F(2,3)v = 6S3 2 1,5 2
v2 + 9Sv2 3 +12Sv2 + 93
2,5
2 ,                           (3.7) 
 
F 4 3 1,5 2 2 2,5 3 2
(3,3)v = 9Sv2 +18Sv2 3 + 36Sv2 + 54Sv2 3 + 2(93 +15),  
 
при ступені поліному s = 4  додатково потрібні вирази 
 
F 3 2 1,5 2 2,5
(1,4)v = 4Sv2 + 6Sv2 3 +12Sv2 +102 3 , 
 
F(2,4)v = 8S4
v +16S31,5 + 36S22 + 56S 2,5
2 v 2 3 v 2 v 2  + 3 2
3 2(103 +12),  
 
F 5 4 1,5
(3,4)v =12Sv2 +30Sv2 3 +84S3 2 2 2,5 3 2
v2 +192Sv2 3 +66Sv23 +
           (3.8) 
+96S 3
v2 +1023,5
2 3,
F 6 5 1,5 4 2 3 2,5
(4,4)v =16Sv2 + 48Sv2 3 +168Sv2 +512Sv2 3 + 264S2 3
v2
2
3 +
 
+384S2
v
3
2 +816S 3,5 4
v 2 3 +2(2802
3 + 96),
 
При обчисленні вагових коефіцієнтів рівнянь максимізації поліному також 
корисно знати вирази для похідних від початкових моментів по кожному з 
оцінюваних параметрів. Маємо: 
похідні від початкових моментів по дисперсії завади 2  
 
 
m1v = 0 ,   m2v =1 , 
2 2
(3.9) 

m = 3S 0,5  2
3v v +1,52 3 ,   m4v = 6Sv + 6Sv
0,5
2 3 + 62 , 
2 2
 
похідні від початкових моментів по коефіцієнту асиметрії  3  
 
 
m1v = m2v = 0 , 
3 3
 

m = 1,5  1,5
3v 2 ,          m4v = 4Sv2 .                        (3.10) 
3 3
 
3.2 Оцінка кумулянта другого порядку асиметричної завади при 
відомих параметрах радіосигналу при s=2 
 
Розглянемо степеневі оцінки кумулянта другого порядку методом 
максимізації полінома при апріорно відомих параметрах радіосигналу. 
Як показано в [2], при s =1 знайти оцінку параметра χ2  методом 
максимізації полінома неможливо. Тому розглянемо випадок s = 2 . 

В загальному випадку оцінка χ2  знаходиться з розв’язку рівняння 
 
s n  
h i
iv(χ )()xv −miv () = 0 ,                          (3.11) 
2
i=1 v=1 
χ2 = χ2
 

де вагові коефіцієнти hiv(χ ) () рівняння (3.11) залежать від параметрів завади 
2
χ2 , γ3  і корисного сигналу 1 ,2 , ,q , тобто  =1,2, ,q,χ2, γ3  та 
знаходяться з розв’язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь 
 
s   
h jv( )()F(i, j)v ()

= miv (), i = 1,s,v = 1,n .                  (3.12) 
2
j=1 2
 
 
При s = 2  коефіцієнти h1v(χ2 ) () і h2v(χ )() знаходяться з сумісного 
2
розв’язку двох лінійних алгебраїчних рівнянь виду 
 
    
h1v(χ ) (
d
)F
2 (1,1)v ()+ h2v(χ ) ()F2 (1,2)v ()= m1v () 
d2
 
    
h1v(χ )()F(1,2)v ()+ h2v(χ )()F(2,2)v ( ) d
 = m2v () 2 2 d2

Використовуючи центровані корелянти F(i, j)v ()  виду (3.5) і (3.6), а також 
вирази для відповідних похідних виду (3.9), знаходимо методом Крамера вирази 
для шуканих вагових коефіцієнтів.  
 
Легко показати, що в цьому випадку коефіцієнти h1v(χ )() і h
2 2v(χ2 )() 
будуть відповідно дорівнювати 
 
χ
h ( ) = − 2 (2S 0.5
1v(1) v + χ2 γ3 )
χ
,      h ( ) = 2
2v(χ ) ,                             (3.13) 
Δ 2
2 Δ2
 
де Δ2  - об’єм тіла розміром 2 асиметричної випадкової величини 1-го типу [1], 
який дорівнює 
 
Δ = χ3 2
2 2 (2 − γ3 ) .                                                 (3.14) 
 
При підстановці оптимальних коефіцієнтів (3.13) в рівняння виду (3.11) 
отримаємо квадратичне (відносно вибіркових значень) рівняння максимізації 
полінома для знаходження оцінки параметра χ2 ,  
 
1 n n 2
χ + χ0.5  1
2 2 γ3  xv −S ( )v −  xv −Sv ( ) = 0 .              (3.15) 
n   n  
v=1 v=1 χ2 =χ2
 
Порівнюючи (3.15) з (2.15) видно, що оцінка параметра χ 2 , яка знайдена 
методом максимізації полінома при S= 2  в загальному випадку не співпадає з 
оцінкою метода максимальної правдоподібності у випадку, коли завада є 
гауссівською і методом моментів. Тільки у випадку, коли γ3 = 0 , то усі оцінки 
співпадають. 
Блок-схема, що реалізує алгоритм (3.15), наведена на рисунку 3.1. 
 
 
Рисунок 3.1 – Блок-схема вимірювання кумулянта другого порядку  
асиметричної завади при відомих параметрах радіосигналу при s=2 
 
Із цього рисунка видно, що пристрій вимірювання параметра χ 2  при S= 2  
складається із блока вхідних ланцюгів, в якому обчислюється вибіркові середні 
 
1 n n 2
  1
xv −S  
v ( ) ,  xv −Sv (   
n   n  )
v=1 v=1
 
узагальненого гетеродина, який складається із генератора імпульсного сигналу 
(ГІС) з відомими параметрами і обчислювального пристрою, в якому вирішується 
квадратне рівняння відносно 0.5
2 . Після піднесення 0.5
2  до квадрату отримуємо 
оцінку 2 . 
Із (3.15) видно, що рівняння максимізації полінома є квадратним рівнянням 
відносно 0.5
2 , його розв’язанням буде 
 
 2 0.5
1 1 n 1  1 n  1 n
0.5  2
( ) = −   
2 3 xv −S ( ) +  γ2
  x −S ( ) 
v 3 v v  +  x −S  
2 n   4  n    n  v v ( ) 
v=1   v=1  v=1 
 
Піднісши до квадрату отриманий вираз, будемо мати 
 
2
1 n 2 1  1 n  1 n
2 =  xv −S  2    
 v ( ) + 3   xv −Sv ( )  − 3  xv −Sv ( ) 
n  2      
v=1  n n
v=1  v=1
  (3.16) 
 2 0.5
n n
1 
2 1  1 2
  γ3   x −S   + x −S  
4  n  v v ( )    v v ( ) 
  n
v=1  v=1 
 
Знайдена оцінка істотно відрізняється від оцінки 2 , знайденої методом 
максимальної правдоподібності для гауссівської завади, коли коефіцієнт асиметрії 
 3  не дорівнює нулю. У тому випадку, коли 3 = 0 , то оцінка (3.16) співпадає з 
добре відомою оцінкою (2.15). 
3.3 Алгоритм вимірювання кумулянта другого порядку асиметричної 
завади при відомих параметрах радіосигналу при s=3 
 
 
При степені поліному s = 3 вагові коефіцієнти рівняння h1v(  ) (), h
2 2v( 2 ) () і 

h3v(  ) () знаходяться з розв’язку системи рівнянь 
2
 
       
h1v(χ )()F(1,1)v ()
d
+ h
2 2v(χ )()F2 (1,2)v ()+ h3v(χ2 )()F(1,3)v ()= m1v ()
d
 2


       d 
h1v(χ )()F2 (2,1)v ()+ h2v(χ )()F2 (2,2)v ()+ h3v(χ2 )()F(2,3)v ()= m2v () 
 d2

       
h1v(χ )()F(3,1)v ()+ h2v(χ )()F(3,2)v ()
d
+ h3v(χ )()F 2 2 2 (3,3)v ()= m3v ()
 d2
 

Використовуючи центровані корелянти F(i, j)v ()  виду (3.5)-(3.7), а також 
вирази для відповідних похідних виду (3.9), знаходимо вирази для шуканих 
вагових коефіцієнтів  
 
χ3.5
h ( ) = − 2 
1v(1) 12χ0.5
2 Sv ( ) + 3γ 2
3a3 (γ3 )Sv ( ) − χ2b3 (γ 
3 ) , 
Δ  
3
χ3.5
h2v(1) ( ) = 2 3a3 (γ3 )Sv ( ) − 6χ0.5
2 ,                          (3.17) 
Δ  
3
χ3.5
h 2
3v(1) ( ) = − a3 (γ3 ) , 
Δ3
 
де об’єм тіла розміром 3 асиметричної випадкової величини 1-го типу має вигляд  
 
Δ3 = χ6 12 − 3γ2
2 3 (3γ2 
 3+8) . 

Для спрощення запису коефіцієнтів виду (3.17) використовуються 
позначення 
 
a (γ ) =  (3+1.5 2 ) 2
3 3 3 3 ,       b3 (γ3 ) = 33 (1+1.53 ) . 
 
Підставивши коефіцієнти (3.17) у (3.11) і після не складних алгебраїчних 
перетворень знайдемо, що оцінка параметра 2  при S= 3  знаходиться із 
вирішення рівняння виду 
 
n
χ1.5 1
2 A3 (γ3 ) + χ2b 
3 (γ3 )  x  0.5
 v −Sv ( ) + 6χ 
n  2
v=1
          (3.18) 
1 n 2 1 n 3
  xv −Sv ( ) − a3 (γ3 )  xv −Sv ( ) = 0
n   n  
v=1 v=1 2=2
де  
A3 (γ3 ) = 3a3 (γ3 ) − 6 . 
 
Із (3.18) видно, що рівняння для знаходження оцінки 2  в загальному 
випадку є кубічним рівнянням відносно 0.5
2 . Проте, якщо  3 = 0 , то із рівняння 
(3.18) знову отримуємо добре відому оцінку (2.15). 
На рисунку 3.2 наведена блок-схема пристрою, який реалізує алгоритм 
знаходження оцінки параметра 2  при S= 3 . 
Відмінність пристрою при S= 3  від пристрою при S= 2  полягає в тому, що в 
блоці вхідних ланцюгів здійснюється операція обчислення вибіркового 
середнього 
1 n 3
 xv −Sv ( )  
n  
v=1
 
і вирішуючий пристрій повинен знаходити розв’язок рівняння третьої степені 
відносно 0.5
2 . 
 
Рисунок 3.2 – Блок-схема вимірювання кумулянта другого порядку  
асиметричної завади при відомих параметрах радіосигналу при s=3 
 
3.4 Обчислювальний алгоритм для знаходження кумулянта другого 
порядку асиметричної завади при відомих параметрах радіосигналу 
при s=4 
 
При збільшенні степені поліному до s = 4  коефіцієнти рівняння максимізації 
 
полінома h1v(  ) ()− h4v(  () будуть мати вигляд 
2 2 )
 
7
h 2  1.5 0.5 2
1v(1) ( ) = χ2 a4 (γ3 ) − 2χ2b4 (γ3 )Sv ( ) + 3χ2 c4 (γ3 )Sv ( ) −
Δ 
4  
−4d4 (γ3 )S
3
v ( )
7
h ( ) = 2 χ b γ − 3χ0.5
2v(1) c γ S  + 6d γ S2   ,           (3.19) 
Δ  2 4 ( 3 ) 2 4 ( 3 ) v ( ) 4 ( 3 ) v ( )
4
7
h 2  0.5
3v(1) ( ) = χ2 c4 (γ 3 ) − 4d (γ 
4 3 )Sv ( ) , 
Δ 
4
7
h4v(1) ( ) = 2 d4 (γ3 ) , 
Δ4
 
де об’єм тіла розміром 4 асиметричної випадкової величини 1-го типу має вигляд 
 
Δ 10 2
4 = χ2 [288− 4γ3 (360 + 405γ4
3 )]  
 
а множники, що залежать від коефіцієнту асиметрії, можуть бути представлені у 
вигляді  
 
a (γ ) = γ (72 + 90γ2 + 270γ4
4 3 3 3 3 ) 2
,       b4 (γ3 ) =144 −8643  
c4 (γ3 ) = −93 (8 + 28 2
3 + 30 4 ) 2 2
3 ,       d4 (γ3 ) =183 (4 + 33 ) . 
 
Після підстановки коефіцієнтів (3.19) в рівняння (3.11) отримаємо рівняння 
максимізації полінома для знаходження оцінки параметра 2 , яке буде мати 
вигляд 
 
2 1.5 1 n 1 n 2
χ A (γ ) + χ   
2 4 3 2 a4  xv −Sv ( ) + χ2b4  xv −S 
   v ( ) +
n n 
v=1 v=1
           (3.20) 
1 n 3 1 n 4
+χ0.5
2 c  x −S   + d  
4  v v ( ) 4  x −S  = 0
n n  v v ( )
v=1 v=1 2=2
де  
A4 = −(3 + 3)d4 −3c4 − b4 . 
 
Із рівняння (3.20) видно, що воно є рівнянням четвертої степені відносно 
параметра 0.5
2 . 
Блок-схема пристрою для знаходження оцінки параметра 2  при S= 4 , яка 
реалізує алгоритм (3.20), практично співпадає з блок-схемою пристрою при S= 3 , 
яка наведена на рисунку 3.2. Відмінність полягає в тому, що блоці вхідних 
ланцюгів повинен бути додатковий ланцюг, за допомогою якого обчислюється 
вибірковий середній вираз 
 
1 n 4
 xv −Sv ( ) . 
n  
v=1
 
Крім того, у вирішуючому пристрої повинно вирішуватися рівняння (3.20) 
відносно 0.5
2 . 
Очевидно, що технічна реалізація такого пристрою є нескладною, оскільки 
базується на використанні простих обчислювальних блоків, що реалізують 
операції віднімання, додавання, множення, ділення, накопичення і добування 
квадратного кореня. 
3.5 Точнісні властивості нелінійних оцінок кумулянта другого порядку 
за умови відомих значень параметрів радіосигналу 
 
Позначимо в загальному випадку вектор параметрів завади через 
λ =λ1,λ2, ,λΩ , де   - вимірність вектора параметрів. В нашому випадку 1  
може бути кумулянт другого порядку, 2  - коефіцієнт асиметрії. Хоча може бути 
використана і інша відповідність. 
Як і під час оцінювання параметрів корисного сигналу, при оцінці 
довільного скалярного параметра завади m , m =1,  ефективність цієї оцінки 
(m,m)
визначається за допомогою кількості інформації, що вилучається, Jsn ( ) , 
вираз для якої має вигляд 
 
S n
(m,m) 
Jsn (0 ) =hiv(m) (0 ) miv ( ) .                     (3.21) 
 
i=1 v=1 m 0
 
Тоді дисперсія оцінки, яка знайдена методом максимізації полінома, 
асимптотично буде дорівнювати 
 
1
 Sm  .                                           (3.22) 
(m,m)
Jsn (0 )
 
При оцінці параметра 2  при S= 2  похідні від m1v (2 )  і m2v (2 )  будуть 
відповідно дорівнювати 0 і 1. Тоді використовуючи коефіцієнти (3.13) легко 
знайти, що кількість інформації, що вилучається, буде дорівнювати 
 
(1,1) n
J2n (20 ) = .                                      (3.23) 
 2
2 (2 − 2
3 )
Отже, дисперсія оцінки, яка знайдена із вирішення рівняння (3.15), (або 
оцінки (3.16)), буде асимптотично дорівнювати 
 
2 2 2   2 
2  2 3
1−  .                                      (3.24) 
2 n 
 2 

 
Із отриманого виразу видно, що дисперсія оцінки залежить від параметра, 
який характеризує негауссовість завади — це коефіцієнт асиметрії  3 . Якщо цей 
коефіцієнт дорівнює нулю, то дисперсія оцінки параметра 2 , яка знайдена 
методом максимізації полінома, дорівнює дисперсії оцінки  2
 , знайденої 
методом максимальної правдоподібності, коли завада є гауссівською. Якщо  3  
дорівнює нулю, то дисперсія  2
2  дорівнює дисперсії оцінки, знайденій методом 
2
моментів (2.15).  
Якщо ж  3   не дорівнює нулю, то в залежності від конкретних значень 3  
буде інтервал, де дисперсія оцінки  2
2 , яка знайдена методом максимізації 
2
полінома, буде завжди меншою за дисперсію оцінки, яка знайдена методом 
моментів (рис.3.3). 
При S= 3 , використовуючи коефіцієнти (3.9) і рівність (3.17) легко 
отримати, що кількість інформації, що вилучається, про параметр 2  буде 
визначатися виразом 
 
(1,1) n
J3n (20 ) = 6 −1.53a3 (γ3 ) ,                         (3.25) 
 2
23
 
який в розгорнутому вигляді можливо записати 
 
8− 3 2 2
(1,1) n  3 (2 + 3 )
J 
3n (2 ) = .                           (3.26) 
4 2 
20 4 −8 2 4 
 3 − 33 
 
Рисунок 3.3 – Графіки залежності коефіцієнтів ефективності g21, g31 
від коефіцієнту асиметрії  3   
 
Тоді дисперсія оцінки 2 , знайденої із вирішення рівняння (3.18), буде 
асимптотично дорівнювати 
 
 2 2
3 =
2 g3 (3 ) , 
де  
 2
3
g3 (3 ) =
2  
 2

 
і в даному випадку дорівнює 
 
 2
3 (10 + 3 2
3 )
g3 (3 ) =1− .                                  (3.27) 
8− 3 2
3 (2 +  2
3 )
 
Графік залежності g3  від  3  наведений на рисунку 3.3 (крива, що 
проведена штриховою лінією). Із графіка видно, що дисперсія оцінки 2 , 
знайденої методом максимізації полінома, може бути значно меншою, ніж 
дисперсії оцінки метода моментів. 
Наостанок з’ясуємо, чи буде зменшуватися дисперсія оцінки при S= 3  в 
порівнянні з випадком S= 2. Очевидно, коефіцієнт зменшення дисперсії буде 
дорівнювати 
 
3 (g ( ) = 3 )
32 3 .                        (3.28) 
 6
2 (1+ 0.5 4 − 0.5 2
3 )6 −1.53a3 (3 )
 
Графік залежності g32 (3 )  від  3  наведений на рисунку 3.4. 
 
Рисунок 3.4 – Графіки залежності коефіцієнтів ефективності g32 
від коефіцієнту асиметрії  3   
 
Із графіків видно, що із збільшенням степені поліному дисперсії знайдених 
оцінок зменшуються.  
Використовуючи коефіцієнти (3.19) і рівність (3.17), можливо отримати, що 
кількість інформації, що вилучається, про параметр 2  при S= 4  буде мати вигляд 
 
(1,1) n
J4n (20 ) = b4 (γ3 ) +1.53c4 (γ3 ) + 2(3 + 3)d4 (γ3 ) ,             (3.29) 
 2
24
 
Тоді дисперсія оцінки параметра 2 , яка знайдена із вирішення рівняння 
(3.20), буде асимптотично дорівнювати 
 
2 2
 2 2
4  g4 (γ3 ) ,                                         (3.30) 
2 n
 
де коефіцієнт зменшення дисперсії визначається виразом 
 
4 (γ )
g4 (γ3 ) =
3
.                (3.31) 
2b4 (γ3 ) +1.53c4 (γ3 ) + 2(3 + 3)d4 (γ3 )
 
Графік залежності g4 (γ3 )  від  3  наведений на рисунку 3.3. 
Зазначимо, що при S= 4  інтервал допустимих значень  3  буде меншим, ніж 
при S = 3. Дисперсія оцінки метода максимізації полінома буде меншою за 
дисперсію оцінки метода максимальної правдоподібності для усіх значень  3 . 
 
3.6 Оцінка коефіцієнта асиметрії завади за умови відомих параметрів 
сигналу при s=3 
 
Відповідно до метода максимізації полінома при знаходженні оцінки 
коефіцієнта асиметрії завади використовуються стохастичні поліноми не нижче 3-
ої степені. При степені полінома S= 3  оцінка  3  знаходиться із вирішення 
рівняння 
 
n n
h1v(2) (3 )xv −S   2 2
v ( ) +h2v(2) (3 ) xv − 2 −Sv (   ) +
v=1 v=1
               (3.32) 
n
+h ( )x3 − 1.5 3 
3v(2) 3  − 3 S
 v 2 3 2 v ( ) −Sv ( ) = 0,

v=1 3=3
 
де коефіцієнти h1v(2) (3 ) − h3v(2) (3 )  будуть відповідно дорівнювати 
 
1
h  0.5 2
1v(2) (3 ) = 2χ2 b3 (γ3 )Sv ( ) + 3c3 (γ3 )Sv ( ) + χ 
2a3 (γ3 ) ,          (3.33) 
χ1.5Δ  
2 3
1
h ( ) = − 3c (γ )S ( ) + χ0.5 
2v(2) 3 3 3 v 2 b3 (γ3 ) , 
χ1.5
2 Δ  
3
1
h3v(2) (3 ) = c3 (γ3 ) , 
χ1.5
2 Δ3
 
де у виразах (3.33) зроблені позначення 
 
a3 (γ3 ) = −(6 − 9 2
3 ) 2
,        b3 (γ3 ) = 63 ,          c3 (γ3 ) = (2 − 3 ) ,           (3.34) 
 
Підставивши (3.33) у (3.32) і після нескладних алгебраїчних перетворень 
отримаємо рівняння максимізації полінома для знаходження оцінки параметра  3  
1 n 3 1 n 2
c (γ )  x  0.5  
3 3  v −Sv ( ) − χ2 b3 (γ3,)  xv −S v ( ) +
n n  
v=1 v=1
            (3.35) 
1 n
+2a3 (γ3 )  xv −Sv ( ) −χ1.5
2 3c3 (γ3 ) = 0
n  
v=1 3=3
 
або в розгорнутому вигляді це рівняння буде мати вигляд 
 
 3
3 + A 2
3 (2, )3 + B3 (2, )3 +C3 (2, ) = 0,                    (3.36) 
3=3
де 
1 n 1 n 3
A3 (2, ) = 90.5  x −S ( ) 
2 v v −  xv −Sv ( ) ,  
n   1.5  
v=1 2 n v=1
 6 1 n 2 
B3 (2, ) = −2 +  x 
v −Sv ( )  ,  
 n  
 2 v=1 
6 1 n 2 1 n 3
C3 (2 , ) = −  xv −S   
v ( ) −  xv −Sv ( ) . 
0.5 n   1.5 n  
2 v=1 2 v=1
 
Із (3.36) видно, що рівняння для знаходження оцінки представляє собою 
кубічне рівняння відносно  3 . 
Блок-схема пристрою для вимірювання коефіцієнта асиметрії  3  наведена 
на рисунку 3.5. 
Вимірюючий пристрій складається із блок-схеми вхідних ланцюгів, 
гетеродина, блоку формування коефіцієнтів A3 ,B3 ,C3  і обчислювального 
пристрою. 
Блок вхідних ланцюгів і гетеродин в даному випадку такий самий, як і при 
вимірюванні параметра 2  при S= 3 . В обчислювальному пристрої також повинне 
вирішуватися рівняння 3-ої степені. Створення блоку формування коефіцієнтів 
A3 ,B3 ,C3  не представляє технічних труднощів. 
 
 
Рисунок 3.5 – Блок-схема вимірювання коефіцієнту асиметрії  
завади при відомих параметрах радіосигналу при s=3 
3.7 Алгоритм вимірювання коефіцієнта асиметрії завади за умови 
відомих параметрів сигналу при s=4 
 
При S= 4  так як і при S= 3  можливо показати, що оцінка параметра  3  
знаходиться із рівняння, аналогічного рівнянню (3.32), в якому коефіцієнти 
h1v(2) ( )− h4v(2) ( )  будуть відповідно дорівнювати 
 
1
h 
1v(2) ( ) = -2χ2b4 (γ3 )S ( ) + 3χ0.5
v 2 c4 (γ3 )S
2
v ( ) −
χ2 
2Δ4  
− 4d (γ )S3 ( ) + χ1.5a (γ )4 3 v 2 4 3 ,

1
h2v(2) ( ) = -3χ0.5
2 c4 (γ 3 )S
2
v ( ) + 6d4 (γ3 )Sv ( ) + 2b4 (γ 
3 ) ,  
χ2Δ 
2 4
1
h ( ) = -4d (γ )S ( ) + 0.5
3v(2) 4 3 v 2 c4 (γ3 ) ,                         (3.37) 
χ2Δ  
2 4
1
h4v(2) ( ) = d4 (γ3 ),  
χ2
2Δ4
 
де у виразах (3.37) використовуються позначення 
 
a4 (3 ) = −144 −  2
3 (360 − 900 2
3 ),         b4 (3 ) = 3 (228 −1080 2
3 ),    (3.38) 
3 3
c 2
4 (3 ) = 48 + 3 (264 −180 2
3 ),  d4 (3 ) =  (−72 + 72 2 ),  
3 3 3 3
 
Підставивши коефіцієнти (3.37) в рівняння максимізації полінома і після 
нескладних алгебраїчних перетворень отримаємо, що при S= 4  оцінка параметра 
 3  знаходиться із вирішення рівняння 
1 n 4 1 n 3
d   0.5  
4 (γ3 )  x
 v −Sv ( ) + χ2 c4 (γ 3 )  xv −Sv ( ) +
n n 
v=1 v=1
1 n 2
+χ b (γ )  x −S   + χ1.5
2 4 3 a γ              (3.39) 
n  v v ( ) 2 4 ( 3 )
v=1
1 n
  x  2
 v −Sv ( ) − 3χ2d4 (γ 3 ) = 0.
n
v=1  3= 3
 
В розгорнутому вигляді отримане рівняння буде дорівнювати 
 
 4
3 + A 3 2
4 (2, )3 + B4 (2, )3 +C4 (2, )3+D4 (2, ) = 0,        (3.40) 
3=3
де 
 n 2 1 n
 4
A 1.5
4 (2, ) = 2 −1080 xv −S ( )v − 216+  xv −S   E−1  , ,  
  v ( )  ( 2 )
 n  
v=1 v=1 
1 n 1 n 3
B4 (2, ) 
=−360  
2 xv −S    −1
 v ( ) +264  xv −Sv ( ) E  , ,  
n  n    ( 2 )
v=1 v=1 
   −2 n 4 
C ( 
 1.5 2
4 2, ) = 2162 3−  xv −S ( ) v   +
  n
v=1 
 
1 n 2
1.5 
+288  
x −S ( ) E−1
2   v v  (2, ),
n 
v=1 
n
 1 1 n 3
D4 (

 , ) = −144  x −S ( ) + 481.5  
2 2 v v 2 xv −Sv ( ) E−1
 (2,
  ),  
 n n  
v=1 v=1 
 1 n n
 3
E ( , ) = −90   1
2 2 xv −S
 v ( )

+180 x −S 
   v v ( ) .  
 n n 
v=1 v=1 
 
Таким чином, при S= 4  оцінка  3  знаходиться із розв’язання рівняння (3.40) 
четвертої степені відносно  3 . 
Ми не будемо наводити блок-схему пристрою, який реалізує алгоритм 
(3.40), оскільки вона практично співпадає з блок-схемою, зображеною на рис.3.5. 
Відмінність полягає лише в блоці вхідних ланцюгів, де необхідне додаткове 
кільце, яке обчислює 
 
1 n 4
 xv −S   ,  
n  v ( )
v=1
 
а також в блоці формування коефіцієнтів, де необхідно обчислювати коефіцієнти 
A4 ,B4 ,C4 ,D4 . В обчислювальному пристрої необхідно вирішувати рівняння 4-ої 
степені. 
 
 
3.8 Ефективність оцінок коефіцієнта асиметрії 
 
Використовуючи вираз (3.10) та обчислені коефіцієнти (3.33) легко знайти, 
що кількість інформації, що вилучається, про параметр  3 , яка знайдена методом 
максимізації полінома при S= 3  буде дорівнювати 
 
n n (2 − γ2
(2,2) 3 )
J3n (γ30 ) = c3 (γ3 ) = .                 (3.41) 
Δ3 12 − 3γ2 8 + 3γ2 
 3 ( 3 )
 
Тоді дисперсія оцінки буде асимптотично дорівнювати 
 

1 12 − 3γ2
3 (8 + 3γ2
 3 )
 2
3 =  .                                    (3.42) 
3 n (2 − γ2
3 )
 

Використовуючи вираз для дисперсії оцінки 3 , знайденої методом 
моментів (2.18), можливо визначити коефіцієнт зменшення дисперсії, який буде 
дорівнювати 
 
12 −3γ2
3 (8+ 3γ2
3 )
g3M (γ3 ) = .                                (3.43) 
3(2 − γ2
3 )(5+ 3 2
3 )
 
Графік залежності g3M (γ3 )  від  3  наведений на рисунку 3.6. 
Із графіка видно, що якщо  3  дорівнює нулю, дисперсія оцінки параметра 
 3 , знайденої методом максимізації полінома, буде у 2,5 разів меншою, ніж 
дисперсія оцінки, яка знайдена методом моментів. 
 
 
Рисунок 3.6 – Залежність коефіцієнтів ефективності g31 ( γ3 )  і g41 ( γ3 )   
дисперсії оцінки параметра  3  від коефіцієнту асиметрії  3  
 
При S= 4  кількість інформації, що вилучається, визначається виразом 
 
(2,2) nc (γ
J (γ ) = 4 30 )
4n 30 .                                          (3.44) 
4 (γ30 )
 
Тоді дисперсія оцінки параметра  3 , знайденої із вирішення рівняння (3.39) 
або (3.40), буде асимптотично дорівнювати 
 
2 1 
 (γ ) = 4 (γ3 ) = 2
4 30 M g4M (γ3 ).                             (3.45) 
3 n c4 (γ3 )
 
При цьому коефіцієнт зменшення дисперсії g4M (γ3 )  метода максимізації 
полінома при S= 4  в порівнянні з дисперсією методу моментів буде дорівнювати 
4 (γg (γ ) = 3 )
4M 3 .                                      (3.46) 
c (γ 2
4 3 )(5+ 33 )
Графік залежності g4M (γ3 )  від  3  наведений на рисунку 3.6. Із графіка 
видно, що із підвищенням степені поліному дисперсії оцінок метода максимізації 
полінома в порівнянні з методом моментів зменшуються істотно, особливо коли 
 3  наближається до границь значень своєї області допустимих значень. 
Певний інтерес викликає дослідження зменшення дисперсії оцінки при S= 4  
в порівнянні з S= 3 . Очевидно, коефіцієнт зменшення дисперсії g43 (γ3 )  буде 
дорівнювати 
 
4 (γ3 )c3 (γ3 )g43 (γ3 ) = .                                         (3.47) 
3 (γ3 )c4 (γ3 )
 
Графік залежності g43 (γ3 )  від  3  наведений на рис.3.7. З цього графіку 
також можна зробити висновок про підвищення точності оцінок із збільшенням 
степені стохастичного поліному. 
 
Рисунок 3.7 – Залежність коефіцієнту ефективності g43 ( γ3 )  дисперсії оцінки 
параметра  3  від коефіцієнту асиметрії  3  
 
ВИСНОВОК 
 
В різних радіотехнічних системах при передачі корисного сигналу 
необхідно враховувати адитивну заваду, параметри якої можуть постійно 
змінюватися, отже їх необхідно вимірювати. Завади можна описувати різними 
математичними моделями, які відрізняються різною степеню складності та 
способами опису випадкової величини. Для опису негауссівських завад гарно себе 
зарекомендували так звані моделі близьких до гауссівських випадкових величин, 
які в свою чергу діляться на класи.  
В даній роботі досліджується завада, яка описується кінцевою 
послідовністю кумулянтів, причому основний вклад вносять кумулянтний 
коефіцієнт другого порядку і коефіцієнт асиметрії. Така модель більш повно 
описує фізичний стан реального каналу зв’язку порівняно з гауссівською моделю. 
В магістерській роботі розглядається адитивна взаємодія радіосигналу, 
параметри якого є відомими, і асиметричної завади 1-го типу з невідомими 
параметрами. Почерговому (скалярному) вимірюванню підлягають параметри 2  
і  3 . Для синтезу поліноміальних алгоритмів використовується метод 
максимізації поліному при ступенях s = 2,3,4  для оцінки кумулянта другого 
порядку і при s=3,4 – для оцінки коефіцієнту асиметрії. Це обумовлено тим, що на 
сьогоднішній день, це єдиний метод, здатний оптимально враховувати моментно-
кумулянтний опис дискретного випадкового процесу. Відзначимо, що отримані 
алгоритми характеризуються певною громіздкістю і складністю обчислення 
оцінок параметрів при високих степенях поліному, проте мають покращені 
точністні характеристики порівняно з «класичними» алгоритмами. При цьому 
точністні властивості проявляються тим краще, чим більше відмінність значення 
коефіцієнта асиметрії від нуля.  
Отримано аналітичні вирази для оптимальних вагових коефіцієнтів 
рівнянь максимізації поліному при степенях s = 2,3,4 , які використовуються 
як для знаходження самих оцінок так і для аналізу їх асимптотичних 
властивостей. 
Дисперсія оцінки параметра 2  залежить від коефіцієнта асиметрії  3 . 
Якщо коефіцієнт асиметрії дорівнює нулю, то дисперсія оцінки параметра 2 , 
знайдена методом максимізації полінома, співпадає з дисперсією оцінки, 
знайденої методом максимальної правдоподібності, коли завада є гауссівською.  
Якщо  3  відмінна від нуля, то дисперсія оцінки, яка знайдена методом 
максимізації полінома, буде завжди меншою за дисперсію оцінки, яка знайдена 
класичним методом. 
Зі збільшенням степені поліному дисперсії знайдених оцінок параметра 2   
зменшуються.  
У випадку, коли  3  дорівнює нулю, дисперсія оцінки параметра  3 , 
знайденої методом максимізації полінома, буде у 2,5 разів меншою, ніж дисперсія 
оцінки, яка знайдена методом моментів. З ростом степені поліному дисперсії 
оцінок метода максимізації полінома в порівнянні з дисперсіями оцінок, 
отриманих методом моментів, зменшуються істотно, особливо коли значення  3  
прямує до границь значень свого інтервалу допустимих значень. 
Одержані теоретичні результати, при бажані, цілком можуть бути доведені 
до етапу технічної реалізації і застосовуватися в різноманітних вимірювальних 
системах.  
 
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ 
 
1. Кунченко Ю.П. Полиномиальные оценки параметров близких к гауссовским 
случайных величин. Часть 1. Стохастические полиномы, их свойства и 
применение для нахождения оценок параметров. – Черкассы: ЧИТИ, 2001. – 
133 с.  
2. Кунченко Ю.П. Полиномиальные оценки параметров близких к гауссовским 
случайных величин. Часть 2. Оценка параметров близких к гауссовским 
случайных величин. -Черкассы: ЧИТИ, 2001. - 251с.  
3. Братченко Г.Д. Методи та засоби обробки сигналів: навч. посіб. / Г.Д. 
Братченко , Б. В. Перелигін , О. В. Банзак , Н. Ф. Казакова , Д. В. Григор’єв. – 
Одеса: Типографія-видавництво «Плутон», 2014. – 452 с. 
4. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ негауссовских случайных процессов и их 
преобразований. - М.: Сов. радио, 1978. – 376 с. 
5. Васильєв В. М. Теорія ймовірностей в радіотехніці: підручник / В. М. 
Васильєв, С. Я. Жук. – Київ: КПІ ім. Ігоря Сікорського, 2023. – 362 с. 
6. Кунченко Ю.П., Заболотній С.В., Гавриш О.С. Області допустимих значень 
параметрів імовірнісних моделей близьких до гаусових випадкових величин. // 
Вісник ЧІТІ. – Черкаси. №4. 2000. – С. 8-17. 
7. S. Miller and D. Childers. Probability and Random Processes With Applications to 
Signal Processing and Communications. Second edition, Amsterdam: 
Elseiver/Academic Press, 2012. – 598 p. 
8. Design and Analysis of Modern Tracking Systems / S. Blackman, R. Popoli. – 
London: Artech House radar library,1999. – 1230 p.
Репозиторій ЧДТУ
