ChSTU repository
ChSTU repository preserves and enables easy and open access to all types of digital content including text, images, moving images, mpegs and data sets
Learn More
Please use this identifier to cite or link to this item:
https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/5843| Title: | Розробка виявляча імпульсних сигналів при неповній визначеності параметрів негауссівської завади |
| Authors: | Мартиненко, Сергій Станіславович Ричіхін, Дмитро Сергійович |
| Keywords: | поліноміальні вирішувальні правила;повністю відомий імпульсний сигнал;кількість вилученої інформації;початкові моменти;кумулянти |
| Issue Date: | 2024 |
| Abstract: | Метою роботи є розробка поліноміальних алгоритмів виявлення імпульсних сигналів при адитивній суміші із негауссівською асиметричною завадою. Об’єкт дослідження – процес виявлення імпульсних сигналів з відомими параметрами. Методи дослідження – методи теорії імовірності та математичної статистики. В магістерській роботі синтезовано нелінійні алгоритми виявлення повністю відомих імпульсних сигналів, що приймаються в адитивній суміші з негауссівською завадою. В якості апріорною інформації для опису корисного сигналу та завади використовується послідовність моментів та кумулянтів. Процес виявлення повністю відомих імпульснх сигналів здійснюється за допомогою поліноміальних вирішувальних правил ступеня S=1, S=2 та S=3. |
| URI: | https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/5843 |
| Appears in Collections: | 172 Електронні комунікації та радіотехніка (Радіотехніка та робототехнічні системи) |
Files in This Item:
| File | Description | Size | Format | |
|---|---|---|---|---|
| 172_Ричіхін_Мартиненко.pdf Restricted Access | 851.86 kB | Adobe PDF | View/Open Request a copy |
Items in DSpace are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.
Extracted text
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ФАКУЛЬТЕТ ЕЛЕКТРОННИХ ТЕХНОЛОГІЙ, АВТОТРАНСПОРТУ ТА
МАШИНОБУДУВАННЯ
КАФЕДРА РОБОТОТЕХНІЧНИХ І ТЕЛЕКОМУНІКАЦІЙНИХ І СИСТЕМ
ТА КІБЕРБЕЗПЕКИ
Допущений до захисту
“____” грудня 2024 р.
Завідувач кафедри РТСК
д.т.н., професор
_________ Палагін В.В.
Пояснювальна записка
до випускної роботи
освітньо-кваліфікаційного рівня «магістр»
на тему: «Розробка виявляча імпульсних сигналів при неповній визначеності
параметрів негауссівської завади»
Виконав студент 2 курсу, групи мРТ-036
Спеціальності 172 – Електронні
комунікації та радіотехніка
Освітня програма «Радіотехніка та робото-
технічні системи»
Ричіхін Дмитро Сергійович
Керівник роботи Мартиненко С.С.
Рецензент Бондаренко М.О.
Черкаси 2024
Форма № Н-9.01
Черкаський державний технологічний університет
(назва вузу)
Факультет електронних технологій, автотранспорту та машинобудування
Кафедра Робототехнічних і телекомунікаційних систем та кібербезпеки
Освітньо-кваліфікаційний рівень Магістр
Спеціальність 172 – Телекомунікації та радіотехніка
Освітня програма Радіотехніка та робототехнічні системи
ЗАТВЕРДЖУЮ
Завідувач кафедри РТСК
д.т.н., професор Палагін В.В.
« » 2024 р.
ЗАВДАННЯ
на дипломний проект (роботу) студенту
Ричіхіну Дмитру Сергійовичу
(прізвище, ім'я, по батькові)
«Розробка виявляча імпульсних сигналів при неповній визначеності
1. Тема проекту (роботи)
параметрів негауссівської завади»
керівник проекту (роботи) Мартиненко Сергій Станіславович, к.ф.-м.н., доцент
(прізвище, ім’я, по батькові, науковий ступінь, вчене звання)
затверджена наказом по університету від « 16 » вересня 2024 р. № 272/04
2. Строк подання студентом проекту (роботи) 9 грудня 2024 р.
3. Вихідні дані до проекту (роботи) тип завади – негауссівська; тип сигналу –
імпульсний сигнал із відомими параметрами, степінь поліноміальних вирішувальних правил
S=1,2,3.
4. Зміст розрахунково-пояснювальної записки (перелік питань, які потрібно розробити)______
Вступ.
1. Аналіз існуючих методів виявлення імпульсних сигналів.
2. Виявлення імпульсних сигналів на тлі негаусівских завад
3. Розробка алгоритму визначення статистичних параметрів неауссівської завади. .
Висновки. Список використаних джерел.
5. Перелік графічного матеріалу (з точним зазначенням обов’язкових креслень)
6. Консультанти з проекту (роботи) із зазначенням розділів проекту, що їх стосуються
Підпис, дата
Розділ Прізвище, ініціали та посада завдання завдання
консультанта видав прийняв
7. Дата видачі завдання 5 вересня 2024 р.
Керівник С.С. Мартиненко
(підпис) (ініціали, прізвище)
Студент Д. С. Ричіхін
(підпис) (ініціали, прізвище)
КАЛЕНДАРНИЙ ПЛАН
№ Назва етапів дипломного С т р о к виконання етапів П р имітка
з/п проекту (роботи) проекту (роботи)
1. Аналіз технічного завдання та огляд літератури 08.09.2024
2. Ознайомлення з моделями сигналів та завад 14.09.2024
3. Огляд критеріїв якості та методів побудови
вирішувальних правил 20.09.2024
4. Огляд алгоритмів виявлення сигналів 24.09.2024
5. Огляд методів оцінювання параметрів випадкових
сигналів 30.09.2024
6. Синтез алгоритмів виявлення імпульсних сигналів
що приймаються на тлі негаусівських завад 04.10.24
7. Дослідження характеристик синтезованих
поліноміальних алгоритмів 15.11.24
8. Розробка структурних схем поліноміальних
виявлячів імпульсних сигналів, що приймаються на 24.11.24
тлі негауссівських асиметричних завад
9. Оформлення пояснювальної записки 03.12.24
10. Оформлення матеріалів для презентації 04.12.24
Ричіхін Д. С.
Студент
(підпис) (ініціали та прізвище)
Керівник проекту (роботи) С.С.Мартиненко
(підпис) (ініціали та прізвище)
Зміст
Стор
ВСТУП 5
РОЗДІЛ 1. АНАЛІЗ ІСНУЮЧИХ МЕТОДІВ ВИЯВЛЕННЯ
ІМПУЛЬСНИХ СИГНАЛІВ 7
1.1. Класичні методи виявлення імпульсних сигналів 7
1.2. Сучасні методи виявлення.імпульсних сигналів. 14
1.3. Математичні моделі сигналу та завади при виявленні. 15
1.4. Аналіз критеріїв якості побудови вирішальних правил. 17
1.5. Побудова ступеневих вирішувальних правил оптимальних за
критерієм КУ1. 20
РОЗДІЛ 2. ВИЯВЛЕННЯ ІМПУЛЬСНИХ СИГНАЛІВ НА ТЛІ
НЕГАУСІВСКИХ ЗАВАД 24
2.1. Постановка завдання виявлення імпульсного сигналу в
умовах неповної визначенності завади. 23
2.2. Виявлення повністю відомих радіосигналів за
допомогою лінійного вирішувального правила 26
2.3. Розробка поліноміального вирішувального правила при S=2.. 29
2.4. Розробка виявляча повністю відомих імпульсних сигналів
при ступеню поліному S = 3.. 38
РОЗДІЛ 3. РОЗРОБКА АЛГОРИТМУ ВИЗНАЧЕННЯ
СТАТИСТИЧНИХ ПАРАМЕТРІВ НЕАУССІВСЬКОЇ ЗАВАДИ. 48
3.1. Використання методу центральних моментів для
визначення параметрів негауссівської завади. 49
3.2. Математична модель сигналу і завади. 50
мРТ36.29593.248 ПЗ
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Розроб. Ричіхін .С.. Розробка виявляча імпульсних Літ. Арк. Аркушів
Перевір. Мартиненко С.С. сигналів при неповній 3 6 0
Рецензент визначеності параметрів
Н. Контр. Мартиненко С.С. негауссівської завади. ЧДТУ
Затверд. ПалагінВ.В. Пояснювальна записка
3.3. Розробка блоку розрахунку статистичних паметрів
негауссівської завади. 51
ВИСНОВКИ 57
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ 59
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
4
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
ВСТУП
Виявлення сигналів у складних завадових умовах є однією з основних
задач сучасної радіотехнічної апаратури, зокрема, в системах радіолокації,
навігації та зв’язку. Надійність роботи таких систем значною мірою
залежить від здатності ефективно виявляти імпульсні сигнали на фоні завад,
параметри яких часто є невизначеними та змінними. У реальних умовах
експлуатації, коли характеристики завад мають негауссівський характер,
класичні методи обробки, засновані на гауссівському розподілі, можуть
виявитися недостатньо ефективними. Це обумовлює необхідність розробки
нових підходів до виявлення імпульсних сигналів в умовах неповної
визначеності параметрів завад, які характеризуються негауссівською
природою[1,2,6,7].
Магістерська робота є одним із етапів виконання наукової роботи
0123U105373 «Методи адаптивного виявлення сигналів в умовах неповної
визначенності негаусівських завад».
Розробка пристрою виявлення для повністю відомих імпульсних
сигналів у середовищі з невизначеними параметрами завад є актуальним
напрямом досліджень, оскільки дозволяє підвищити ефективність роботи
радіотехнічних систем у складних умовах. У випадках, коли характеристики
імпульсних сигналів відомі заздалегідь, але характеристики завад мають
випадковий і непередбачуваний характер, необхідним є виявлення, яке не
залежить від точної інформації про завади і забезпечує високу стійкість до
змін середовища.
Особливий інтерес представляють алгоритми виявлення, що
враховують статистичні особливості негауссівських завад, які можуть бути
описані за допомогою різноманітних моделей розподілів: від симетричних
розподілів Лапласа до розподілів з важкими хвостами, таких як розподіл
Стьюдента[10,14 ]. Вибір оптимальної моделі дозволяє розробити адаптивні
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
5
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
алгоритми, які забезпечують необхідний рівень надійності при виявленні
імпульсних сигналів у реальних умовах. Розв’язання таких задач вимагає
комплексного підходу, який включає розробку математичних моделей завад,
аналіз їх впливу на процес виявлення сигналів, а також створення пристроїв,
здатних працювати в умовах неповної визначеності завад.
Мета даної магістерської роботи полягає в розробці пристрою для
виявлення повністю відомих імпульсних сигналів у середовищі з неповною
визначеністю параметрів негауссівської завади. Для досягнення цієї мети
необхідно розробити математичні моделі завад, провести аналіз існуючих
підходів до виявлення сигналів у негауссівських умовах, обґрунтувати вибір
методу виявлення та реалізувати його в рамках обчислювальної моделі.
Результати дослідження дозволять оцінити ефективність розробленого
пристрою для різних типів негауссівських завад та випадкових змін їх
параметрів.
Після аналізу літературних джерел та вивчення існуючих методів
виявлення сигналів у негауссівських завадах був проведений вибір і
розробку алгоритмів виявлення, із застосуванням стохастичних поліномів,
які дозволяють більш ефективно виявляти повністю відомі імпульсні
сигнали у середовищі з невизначеними параметрами адитивних завад.
Дослідження ефективності запропонованих вирішувальних правил
проведено в середовищі Mathcad 15 при проведенні експериментального
дослідження здійснювалося порівняння розроблених алгоритмів з
класичними методами обробки сигналів.
Очікувані результати можуть бути використані для вдосконалення
існуючих систем виявлення в радіотехніці та створення нових пристроїв при
наявності різноманітних завад. Розроблені в рамках цієї роботи методи
можуть знайти застосування у військових та цивільних системах, де висока
точність виявлення сигналів є критичною для забезпечення безпеки та
ефективності інформаційного обміну.
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
6
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
РОЗДІЛ 1. АНАЛІЗ ІСНУЮЧИХ МЕТОДІВ ВИЯВЛЕННЯ
ІМПУЛЬСНИХ СИГНАЛІВ
Як відомо, виявлення імпульсних сигналів є досить важливою задачею
зокрема в радіолокації, системах електронної розвідки та телекомунікації.
Для виявлення імпульсних сигналів на фоні шуму, зокрема негауссівських
завад, існує кілька методів, які використовуються на практиці. Розглянемо
основні методи виявлення імпульсних сигналів, вкажемо на їх переваги та
недоліки.
1.1. Класичні методи виявлення імпульсних сигналів.
Класичні методи виявлення сигналів базуються на статистичних
принципах і використовують різноманітні алгоритми для підвищення
точності виявлення. Нижче наведено детальний аналіз основних класичних
методів виявлення імпульсних сигналів[17,18,22].
1.1.1. Енергетичний детектор. Одним з найпростіших і
найпоширеніших методів виявлення сигналів є використання енергетичний
детектор. Ідея даного полягає в тому, що здійснюється підрахунок енергії
прийнятого сигналу за певний проміжок часу. Якщо отримана в результаті
підрахунку енергія буде перевищувати заданий поріг, то вважаємо що
сигнал буде виявленим.
Структурна схема виявляча імпульсних сигналів, що базується на
методі енергетичного детектора, представлена на рис.1.1:
Рисунок 1.1 - Структурна схема виявляча імпульсних сигналів
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
7
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Вхідний сигнал, що складається з корисного імпульсу та адитивної
завади, надходить на вхід виявляча і подається на смуговий фільтр. В даному
блоці здійснюється фільтрація небажаних частот з вхідного сигналу. Тобто,
фільтр пропускає лише ті частоти, які відповідають частоті імпульсного
сигналу, і вілповідно зменшує вплив адитивного шуму.
З вихода смугового фільтру сигнал подається на детектор енергії, який
підраховує енергію сигналу за визначений інтервал часу. Енергія буде
пропорційна інтегралу від квадрату амплітуди сигналу за часом. Якщо
підрахована енергія перевищує заданий поріг, це буде свідчити про наявність
корисного імпульсного сигналу у вхідному сигналі.
Порівняльний пристріц порівнює вихідний сигнал детектора енергії з
деяким пороговим значенням. В тому випадку, коли дана енергія перевищує
заданий поріг, на виході порівняльного пристрою генерується сигнал
"виявлено".
На основі вихідного сигналу порівняльного пристрою блоком
прийняття рішень формується рішення про наявність або відсутність
імпульсного сигналу. Реалізовано це може бути або через логічні схеми або
через програмні алгоритми.
Вихідний блок формує результати виявлення і передає їх на подальшу
обробку або відображення. Вихідний блок може бути представлено або в
вигляді індикатора або системи оповіщення.
Для опису роботи енергетичного детектора імпульсних сигналів можна
використовувати кілька рівнянь, які відображають основні етапи його
функціонування. Так як основна мета детектора полягає в підрахунку енергії
сигналу та прийняття рішення про наявність сигналу при порівнянні її з
певним пороговим значенням.
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
8
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Обчислення енергії сигналу:
Енергія імпульсного сигналу EE за проміжок часу TT визначається як
інтеграл квадрату амплітуди сигналу:
T 2
E x(t) dt
0 ,
де x(t) – це вхідний сигнал, що представляє суму корисного сигналу та
шуму.
Для прийняття рішення про виявлення сигналу, енергія порівнюється з
пороговим значенням Eth:
E Eth
Ймовірність помилки виявлення Pe може бути оцінена через
відношення сигналу до шуму (SNR):
Pe Q( 2 SNR)
де Q(x) — це функція Q, яка визначає ймовірність того, що нормальна
випадкова величина перевищить значення x.
SNR (Signal-to-Noise Ratio) – це міра для порівняння бажаного сигналу
з рівне фонових шумів.
Psignal
SNR
Pnoise
де Psignal -середня потужність сигналу,
Pnoise — середня потужність шуму.
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
9
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
SNR часто виражається в децибелах:
P
( ) 10 lg signal
SNR dB
Pnoise
Дана міра визначається як відношення потужності сигналу до
потужності шуму, часто виражається в децибелах (дБ). Високе значення SNR
свідчить про те, що сигнал чіткий і легко розпізнається, тоді як низьке
значення вказує на те, що сигнал може бути спотворений або затінений
шумом.
Важливим для ефективності систем зв'язку, обробки аудіо та відео,
радіолокації та інших технологій є високий SNR. Наприклад, якщо у
цифрових системах зв'язку достатньо низький SNR, то це може призвести до
помилок передачі даних і зниження швидкості передачі даних.
SNR є важливим параметром для оцінки якості сигналів у
різноманітних технічних системах. Підвищити SNR можна шляхом
збільшення потужності сигналу, зменшення рівня шуму або використанням
технік корекції помилок.
Енергетичний детектор добре працює при високих рівнях шуму, якщо
правильно налаштований поріг.
Недоліком енергетичного детектора є низька ефективність шум при
значних потужністях шуу або при низьких амплітудах імпульсів.
Крім того, при цьму методі дуже велика до варіацій параметрів шуму,
тому неохідно використовувати адаптацію порогових значень.
1.1.2. Метод максимальної правдоподібності (ММП). Даний метод
використовує для оцінки параметрів сигналу ймовірнісні моделі. Базується
він на максимізації функції правдоподібності, що описує ймовірність
спостереження даних за умовою певних параметрів.
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
10
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Метод максимальної правдоподібності (ММП) є потужним
інструментом для оцінки параметрів сигналів на фоні шуму. Структурна
схема виявляча, що використовує цей метод, представлена на рис.1.2.
Рисунок 1.2 - Структурна схема виявляча імпульсів, що використовує
метод ММП.
В якості вхідного сигналу використовуються: радіосигнал, акустичний
сигнал або інший тип імпульсу в адитивній суміші із завадою.
Смуговий фільтр пропускає лише ті частоти, які відповідають частоті
імпульсного сигналу, ти самим зменшуючи вплив шуму.
В подальшому відбувається обчислення функції правдоподібності
L(θ) для вибірки даних із вхідного сигнал. Визначається функція
правдоподібності як ймовірність спостереження отриманих даних при
заданих параметрах моделі.
L() P(X | ) .
В блоці оптимізації знаходять значення параметрів θ, які максимізують
функцію правдоподібності. Це може бути реалізовано за допомогою
чисельних методів оптимізації, а саме таких як градієнтний спуск або метод
Ньютона-Рафсона.
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
11
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
В блоц прийняття рішень приймається рішення про наявність або
відсутність імпульсного сигналу на основі отриманих оцінок параметрів та
значення функції правдоподібності. Реалізація відбувається через
порівняння з певним порогом або за допомогою статистичних тестів.
Вихідний блок, після формування результатів виявлення, передає їх
на подальшу обробку або відображення. В якості вихідного блоку
використовується індикатор, який дає сповіщання про виявлення сигналу,
або система оповіщення.
Метод максимальної правдоподібності забезпечує високу точність
оцінок при знанні статистичних характеристик шуму та дозволяє
адаптуватися до різних умов і типів розподілів.
В якості недоліків потрібно видмітити вибагливість до значних
обчислювальних ресурсів, особливо це відчувається при складних моделях,
та необхідність знати форми розподілу шуму, що може бути обмеженням у
деяких випадках.
Так як дана схема дозволяє реалізувати складні алгоритми обробки
даних і прийняття рішень, відповідно вона є досить актуальною для багатьох
застосувань у радіотехніці, телекомунікаціях та інших сферах.
1.1.3. Параметричні методи[16,18]. Ці методи включають використання
моделей для опису як сигналів, так і шуму. Наприклад, можна
використовувати авторегресійні моделі або моделі з ковзаючим середнім
(ARMA).
Існує кілька параметричних методів, які використовуються для
виявлення сигналів. Доцих методів відносяться:
- Метод найменших квадратів (МНК). Використовується цей
метод для оцінки параметрів лінійних моделей, зокрема для виявлення
сигналів, які можуть бути представлені як лінійна комбінація базисних
функцій. Мінімізує МНК суму квадратів відхилень між
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
12
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
спостережуваними значеннями та передбаченими моделлю
значеннями.
- Автокореляційний метод, який використовується для оцінки
періодичних сигналів. Автокореляція дозволяє виявити повторювані
патерни в сигналах, що є корисним для ідентифікації частоти та інших
параметрів сигналу.
- Метод спектрального оцінювання, який икористовується для
аналізу частотних характеристик сигналів. Параметричні методи
спектрального оцінювання, такі як метод пісочниці або метод
автогресії (AR), дозволяють оцінювати спектр сигналу та його
параметри.
- Методи на основі вейвлет-перетворення. Хоча вейвлети часто
вважаються непараметричними, їх можна використовувати в
параметричних контекстах для оцінки параметрів сигналу на різних
масштабах і частотах. Вони дозволяють локалізувати інформацію про
частоту та час, що робить їх корисними для виявлення імпульсних
сигналів.
До переваг данихо потрібно потрібно віднести можливість
моделювання складних сигналів та шумів, а до недоліку відноситься
достатня складність при налаштуванні моделей та для адекватної оцінки
параметрів існує вимога до великих обсягів даних.
1.1.4. Непараметричні методи. Непараметричні методи не вимагають
знання форми розподілу сигналу або шуму. Вони базуються на статистичних
тестах, таких як критерій знаків або критерій Манна-Уітні.
Переваги: Гнучкість та можливість застосування в умовах
невизначеності.
Недоліки: Зазвичай менш ефективні, ніж параметричні методи при
великих вибірках.
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
13
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Класичні методи виявлення імпульсних сигналів мають свої переваги
та недоліки, які слід враховувати при виборі підходу для конкретної задачі.
Енергетичний детектор та метод максимальної правдоподібності
залишаються основними інструментами у цій сфері, проте нові технології,
такі як вейвлет-перетворення, відкривають нові можливості для підвищення
точності та ефективності виявлення сигналів на фоні шуму.
1.2. Сучасні методи виявлення імпульсних сигналів.
Щоб відповідати вимогам нових технологій і умов роботи, потрібно
сучасним методам виявлення сигналів постійно розвиваються. Розглянемо
кілька основних сучасних методів, які використовуються для виявлення
сигналів на фоні шуму:
- Метод максимізації полінома. Розроблений цей метод, Ю.П.
Кунченком. Дозволяє метод оцінювати параметри радіосигналів на
фоні негауссівських завад. До таких параметрів відносяться такя, як
амплітуда, частота та фаза. Підвищується ефективність оцінок
параметрів сигналу, як показали дослідження, за рахунок зростання
ступеня стохастичного полінома, при цьому зменшуючи їх
дисперсію. особливои корисний цей метод у випадках, коли не
можуть адекватно описати реальні умови за допомогою традиційних
гауссівських моделей.
- Аналізатор спектра у реальному масштабі часу (RTSA). Даний
аналізатор є потужним інструментом для вимірювання, а також
аналізу імпульсних сигналів у реальному часі. використовує даний
метод для обробки нестаціонарних сигналів швидке перетворення
Фур'є (ШПФ), тому дозволяє дослідникам отримувати детальну
інформацію про параметри сигналу. Потрібно відмітити, що дуже
важливо для радіолокаційних систем і систем електронної розвідки,
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
14
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
так як там необхідні швидкість і точність аналізу є досить
критичними.
- Локально-оптимальний ранговий алгоритм. Даний алгоритм здатний
ефективно виявляти сигнали в умовах різноманітних завад, в тому
числі і імпульсних завад. Локально-оптимальний ранговий алгоритм
досить стійкий до імпульсної завади, відповідно може бути
використаний у складних умовах для підвищення ефективності
систем виявлення сигналів.
- Методи на основі вейвлет-перетворення. Як відомо, вейвлет-
перетворення дозволяє аналізувати сигнали на різних масштабах і
частотах. Це робить його робить його особливо корисним для
виявлення короткочасних імпульсних сигналів на фоні шуму. Так як
цей метод забезпечує локалізацію інформації про частоту та час,
тому це приводить до підвищення точность виявлення.
- Адаптивні алгоритми при виявленні використовують інформацію
про змінювані умови прийому для автоматичного налаштування
параметрів детектора[5,7,13]. Це може включати адаптацію фільтрів
або порогових значень залежно від характеристик шуму.
Сучасні методи виявлення сигналів включають різноманітні підходи,
які враховують специфіку умов роботи та характеристики шуму.
Використання нових технологій, таких як RTSA та адаптивні алгоритми,
разом з класичними методами, такими як максимізація полінома, дозволяє
досягати високої точності та надійності виявлення сигналів у складних
ситуаціях. Ці інновації відкривають нові можливості для застосування у
радіотехніці, телекомунікаціях та інших сферах.
1.3 Математичні моделі сигналу та завади при виявленні.
Основою для розробки алгоритмів виявлення сигналів
використовуються математичні моделі сигналу та завади . Вони дозволяють
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
15
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
не тільки формалізувати процеси, що відбуваються в системах обробки
сигналів, але й забезпечують можливість аналізу та оптимізації методів
виявлення. Розглянемо деякі основні моделі, що використовуються для опису
сигналів і шуму.
1.3.1. Модель корисного сигналу.
Корисний сигнал може бути представленим у вигляді:
S(t) Acos(2ft ) , (1.1)
lе S(t) — корисний сигнал у момент часу tt,
A - амплітуда імпульсного сигналу,
f - частота,
ϕ - початкова фаза.
Дана модель підходить для періодичних сигналів, таких як радіосигнал,
звукові сигнали тощо. У випадку імпульсних сигналів, а саме відеосигналів,
модель може бути дещо спрощена до такого виду:
S(t) A e(t)
lе e(t) – обвідна, яка характеризує форму імпульсу (наприклад,
прямокутний або гауссовий імпульс).
1.3.2. Модель адитивної завади
Завада може бути описана різними статистичними моделями, залежно
від її природи. Розглянемо найбільш поширеніші моделі:
- Гауссівський шум. Для шуму з нормальним розподілом можна
використати наступний опис:
N (t) N (0, 2 ) ,
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
16
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
де N(t) - адитивна завада із нульовим середнім значенням та
дисперсією 2 .
- Негауссівський шум. Негауссівські завади можуть мати інші
розподіли, такі, наприклад, як експоненціальний або
Лапласовий., Для Лапласового шуму, наприклад можна
використовувати:
N (t) b c Z
Де Z – випадкова величина з Лапласовим розподілом імовірностей.
-
1.3.3. Загальна модель спостережуваного сигналу. Загальна модель
спостережуваного сигналу при виявленні може бути представлена наступним
чином[6,11]:
(t) S(t) n(t) , (1.2)
де: (t) - сигнал, що спостерігається,
S(t) – корисний сигнал,
n(t) – адитивна завада.
Для більшості алгоритмів виявлення дана модель є основою, так як
вона відображає реальні умови прийому сигналу.
1.4. Аналіз критеріїв якості побудови вирішальних правил.
Імовірнісні критерії якості є досить важливими інструментами для
оцінки ефективності вирішувальних правил у системах виявлення сигналів на
фоні шуму. Вони дозволяють формалізувати процес прийняття рішень,
враховуючи ймовірність і невизначеність помилок. Розглянемо основні
аспекти імовірнісних критеріїв.
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
17
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
При побудові вирішувальних правил, що будуть оптимальними за
імовірносними критеріїями, вводиться імовірність помилки.
Таких помилок у системах виявлення сигналів існують два основних
типи:
Помилка першого роду (α), коли приймається рішення про виявлення
сигналу, але його насправді немає (помилкова тривога).
Помилка другого роду (β): коли сигнал не виявили, але він насправді є
(пропуск сигналу).
Приведені ймовірності є критично важливими для оцінки якості
вирішальних правил.
Так як вирішувальні правила будуються оптимальними за
імовірносними критеріями, розглянемо декілька таких критеріїв якості:
- Критерій Неймана-Пірсона. Даний критерій направлений на
максимізацію ймовірності правильного виявлення сигналу при
фіксованій ймовірності помилкової тривоги. Формулюється він
таким чином:
D P(| H1 ) , P(| H 0 ) , (1.3)
де D – імовірність правильного виявлення,
H 0 гіпотеза про відсутність сигналу,
H1 гіпотеза(альтернатива) про наявність сигналу.
- Байєсове правило. В цьому випадку повинна бути відома апріорна
інформація про ймовірності сигналів та завад. Дане правило
дозволяє розбити простір вибірок на області, що мінімізують
середній ризик:
R P(H 0 ) P(| H 0 ) P(| H1)P(| H1) . (1.4)
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
18
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
В відповідності із імовірнісним критерієм структурна схема
оптимального виявляча (рис.1.3) формує відношення правдоподібності (x)
(блок ВП), потім подає його на пороговий пристрій ПП, де відбувається
зрівняння (х) з порогом С, і в результаті буде прийнято одне із 2-х рішень:
- H0 - сигнал відсутній;
- Н1 – наявність сигналу.
В залежності від вибору часткового оптимальності (байесовского,
Неймана - Пірсона і т.д.) встановлюється відповідний поріг С, але при цьому
основна частина (блок ВП) залишається незмінним. В блоці ВП відбувається
v
оптимальне опрацювання реализації x .
Узагальнена структурна схема виявляча імпульсних сигналів,
оптимального за імовірнісним критерієм приведена на рис.1.3
Рисунок 1.3 – Структурна схема оптимального виявляча за імовірнісним
критерієм
Значення порога спрацьовування порогового пристрою (ПП) в
радіолокації встанавлюється згідно критерія Неймана – Пірсона.
Вирішальні правила можуть бути побудовані на основі ймовірнісних
характеристик, що включають як середній ризик, тобто оцінка ризику для
кожного можливого рішення, а в свою чергуосновою якого є імовірності
помилок, так і функції правдоподібності з використанням умовних
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
19
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
щільностей ймовірності для прийняття рішень на основі спостережуваних
даних[4,6].
У практиці виявлення сигналів імовірнісні критерії використовуються
для:
- Оцінки ефективності алгоритмів виявлення.
- Визначення оптимальних порогових значень для прийняття рішень.
- Адаптації систем до змінних умов шуму та сигналів.
Крім імовірносних критеріїв існують і моментні критерії якості
вирішальних правил, які є також важливими інструментами для оцінки
ефективності управлінських рішень. Вони базуються на статистичних
характеристиках,а саме на середньому значенні та дисперсії вирішувальних
правил. А це в свою чергу дозволяєь формалізувати процес прийняття
рішень, враховуючи різноманітні фактори та умови. Саме використання
моментного критерію буде використано для побудови статистичних
вирішувальних правил в наступному розділі даної роботи.
1.5. Побудова ступеневих вирішувальних правил оптимальних за
критерієм КУ1.
Вирішувальні правила при використанні імовірносних критеріїв
будуються з використанням відношення правдоподібності чи логарифму
відношення правдоподібності. Коли знайдено логарифм відношення
правдоподібності, то синтезувати оптимальний виявляч досить не важко.
В випадку побудови вирішувальних правил в вигляді узагальнених
поліноми кінцевого ступеня, то для визначення оптимальних коефіцієнтів
використовують умову мінімуму моментного критерію Кu1. В цьому випадку
вирішувальне правило буде оптимальним за цим критерієм Кu1.
Вирішувльне правило, яке буде заданим в класі узагальнених
поліномів I-го типу ступеня S мати наступний вигляд:
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
20
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
S n H1
h iv [
] 0 , (1.5)
i1 v1 H0
Якщо прийняти i , а 1
i (xv ) xv K o (miv uiv ) , відповідно вирішувальне
2
правило прийме вигляд:
S n 1 H1
h i
iv [xv (miv uiv )]
0 , (1.6)
i1 v1 2 H0
mе miv ,uiv - початкові моменти, що описують значення сигналу
відповідно при гіпотезі Н1 чи Н0.
Якщо для перевірки гіпотез використовується узагальнений поліном I-
r
го типу, то критерій якості Ku1s [ n ] для кінцевого S, буде дорівнювати
такому виразу:
s s n
h h F
iv jv (i, j)v
r i1 j1v1
Ku1[ h ] , (1.7)
2
s n
h (m u )
iv iv iv
i1v1
Оптимальні коефіцієнти, які будуть мінімізувати праву частину (1.7),
знаходоми із рішення системи лінійних рівнянь:
n
hjvf(i,j)v = (miv -uiv), i 1,s , v 1, n . (1.8)
j1
Так як коефіцієнти hiv знаходяться із розв'язку системи рівнянь (1.8),
r
то значення функціонала Ku1s[ h ] буде дорівнювати наступному значенню:
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
21
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
r
Ku1s[ h ] = J -1
sn , (1.9)
де
n
Jsn = Jsv, (1.10)
v1
s s s
Jsn = hivhjvf(i,j)v = hiv(miv - uiv), v 1, n . (1.11)
i1j1 i1
Величина Jsn є узагальненою кількістю вилученої информації, про
розрізнення гіпотез Н0 і Н1 з вибірки об’ємом n неоднаково розподілених
випадкових величин за допомогою вирішального правила заданого в класі
узагальнених поліномів I-го типу ступеня S і оптимального за критерієм КУ1.
Критерій КУ1, який введений професором Кунченком Ю.П., мінімізує
суму верхніх меж помилок першого ( - «хибна тривога») та другого ( -
«пропуск сигналу») роду.
Кількість інформации, яка вилучена з вибірки об’ємом n, буде
дорівнювати сумі кількостей вилученої інформації з кожного вибіркового
значення.
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
22
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
РОЗДІЛ 2. ВИЯВЛЕННЯ ІМПУЛЬСНИХ СИГНАЛІВ НА ТЛІ
НЕГАУСІВСКИХ ЗАВАД
Негауссівські завади, які можуть виникати внаслідок різноманітних
природних і штучних джерел, представляють собою серйозний виклик для
традиційних методів виявлення сигналів. Ці завади характеризуються
непередбачуваними статистичними властивостями, що ускладнює їх
моделювання та обробку. В даному розділі будуть синтезовані алгоритми
виявлення імпульсних сигналів з повністю відомими параметрами при
ступені полінома S=1,2,3. Стохастичні вирішувальні правила будуть
побудовані оптимальними за моментним критерієм якості КУ1, який
запропонував професор Кунченко Ю.П.
2.1. Постановка завдання виявлення імпульсного сигналу в умовах
неповної визначенності завади.
Завдання виявлення імпульсного сигналу на фоні завад є важливим
аспектом у багатьох галузях, зокрема в телекомунікаціях та
радіоелектроніці.
За умови використання в якості математичної моделі імпульсного
сигналу з повнстю відомими параметрами з безперервним часом, відповідно
в якості моделі радіоімпульсу використаємо наступний вираз:
S(t) = Ar (t) cos( 0t + 0 ), (2.1)
а в якості моделі відеоімпульсу:
S(t) = Ar (t), (2.2)
де r (t) – обвідна імпульсу з одиничною амплітудою,
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
23
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
A - амплітуда імпульсу,
0 - несуча частота,
0 - початкова фаза.
На практиці імпульсні сигнали спостерігаються найчастіше в адитивній
суміші з завадою n(t) , тобто:
(t) = S (t) + n (t). (2.3)
де n(t) - завада, яка вважається випадковим стаціонарним процесом з
нульовим математичним очікуванням.
Найчастіше вважають, що завада має гауссівський закон розподілу, або
«білий шум» з рівномірним спектром в усьому діапазоні спостереження.
Зробимо постановку задачі виявлення в такому розрізі: Нехай
спостерігаємо випадковий процесу (t), з якого проводиться незалежна
дискретна вибірка {1 , 2 ,...,n } об”ємом n. В тому випадку, коли тобто
коли користний сигнал S(t) присутній в вибіркових значеннях, то
здійснюється гіпотеза Н1 , то вибіркові значення приймають вигляд:
v (t v ) Sv n v , (2.4)
а в випадку відсутності корисного сигналу, тобто присутній лише шум, а це
говорить, що здійснилася гіпотеза Н0 (сигналу немає), то такий сигнал
матиме вигляд:
v (t v ) n v , v 1, n . (2.5)
В останніх виразах Sv = S(tv), nv =n(tv), тобто зроблено перехід від
безпервного процесу до вибіркових значень у визначенні моменти часу v.
Будемо вважати, що випадкові величини nv у загальному випадку є
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
24
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
негаусівскими. Для математичного опису випадкових величин як при гіпотезі
так і при альтернативі використаємо послідовність початкових
моментів[Малахов].
Кількість цих моментів буде залежати від порядку поліноміального
вирішувального правила і дорівнюватиме 2S, де S=1,2,3:
Так при гіпотезі H1 будемо мати наступну послідовність моментів:
m1v = M(v+ nv) = Sv,
m = M( + n )2 = S 2
2v v v v +2.
……………………..
m 2S 2S
2Sv= M(v+ nv) = Sv +……..
А при гіпотезі Н0 можемо відповідно записати такі вирази:
u1v = M(nv) = 0,
u2v = M(n )2
v =2
………………
u2v= M( nv)
2S= 2S+……..
r
Необхідно по вибірці синтезувати таке вирішувальне правило, яке б
допомогло б визначити, яка із гіпотеза Н1 чи Н0 здійснилася, тобто
присутній чи відсутній у вибіркових значеннях корисний сигнал S(t).
Зробити це потрібно з найменьшою імовірністю похибки, яка може
виникнути чи прийнятті рішення[Похибки ВП].
У даній роботі в якості вирішувального правил будемо
використовуємо стохастичні поліноми ступеню S. Синтез виявляча
імпульсних сигналів проводемо послідовно при степені полінома S=1,2,3.
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
25
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
2.2. Виявлення повністю відомих радіосигналів за допомогою
лінійного вирішувального правила
Запишемо у загальному випадку ступеневе вирішувальне правило при
S=1в такому вигляді:
n H 1
h1v v - (m + u
1v 1v ) 0 . (2.6)
v 1 H 0
З врахуванням того, що початкові моменти першого порядку
відповідно при гіпотезі та альтернативі дорівнюють m1v=Sv і u1v=0, запишемо
вирішувальне правило в такому вигляді:
n 1 H1
h1v v Sv 0 . (2.7)
v1 2 H0
Для визначення оптимального коефіцієнта h1v запишемо кореляційні
моменти при гіпотезах H0 і H1, які відповідно будуть мати вигляд:
F(1,1) v (H0) = 2,
F(1,1) v(H1) = 2,
а сумістний момент запишемо наступним чином:
F(1,1) v F(1,1) v (Н1) F(1,1) v (Н0 ) 22 .
З врахуванням сумісного моменту рівняння для визначення коефіцієнта
h1v буде наступним:
h1v 22 = Sv, v 1, n .
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
26
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Тепер можемо записати, що:
S
h v
1v = (2.8)
22
Тоді для коефіцієнтів (2.8) можемо записати записати, що дозволить
визначити кількість інформації про розрізнення гіпотез H0 і H1 за допомогою
лінійного вирішувального правила:
S 2 q n
J1=
v l2
v , (2.9)
22 2 v1
A2
де q - відношення сигнал/завада за потужністю,
2
lv rv cos(0v 0 ) - для радіосигналу,
або lv rv - для відеосигналу.
Значення критерію якості Q1 [n], яке будемо використовувати в
подальших дослідженнях, є величиною, що зворотня кількості вилученої
інформації, відповідно буде мати такий вигляд:
22 2
Q1[n] (2.10)
n n
S2 l2
v v
v1 v1
Потрібно відмітити, що вирішувальне правило (2.7) з коефіцієнтом
(2.8) співпадає із оптимальним вирішувальним правилом, отриманим у
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
27
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
випадку, коли завада є гауссівською випадковою величиною. (див. додаток
А).
Представимо структурну схему лінійного виявляча імпульсного
сигналу (див. рис.3.1.).
Рисунок 2.1 - Структурна схема виявляча імпульсного сигналу при ступеню
поліному S=1.
В даній схемі лінійного виявляча здійснюється формування
оптимального коефіцієнта h1v за допомогою генератора обвідної (ГО), який
генерує сигнал, що збігається за формою з обвідною сигналу Sv і
нормованою амплітудою, а також перемножувача рівня сигналу та обвідної і
дільника отриманого сигналу на 2. В. З кожного вибіркового значення
віднімається половина рівня сигналу й здійснюється перемноження на
значення коефіцієнта h1v . Після накопичення результуючих вибіркових
значень обсягом n, вибірка подається на пороговий пристрій (ПП), який і
приймає рішення про наявність або відсутність корисного сигналу у
вибіркових значеннях. Перейдемо до синтезу вирішувальних правил при
ступенях поліному S=2 та S=3, які будуть мати деякі особливості по
зрівнянню з лінійним вирішувальним правилом.
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
28
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
2.3. Розробка поліноміального вирішувального правила при S=2.
Вирішувальне правило при S=2 в загалному випадку запишемо в
такому вигляді:
n 1 n 1 H 1
2 2
h1v ( v S
2 v ) h2 v [ v (S v 2 2 )] 0 (2.11)
v 1 v 1 2 H 0
де коефіцієнти h1v і h2v знайдено із рішення системи лінійних
алгебраїчних рівнянь (2.13).
Як видне з (2.11), у другому доданку вибіркові значення підлягають
нелінійному перетворенню, так вони зводяться у квадрат і підсумуються з
деяким коефіцієнтом.
Знайдемо спочатку початкові моменти до шостого порядку включно, як
при гіпотезі так і при альтернативі:
u1v 0 ,
u2v 2 ,
u3v 3 ,
u4v 4 3 2
2 ,
u5v 5 1023 ,
15 10 2 15 3
u6v 6 2 4 3 2 ,
m1v Sv , (2.12)
m S 2
2v v 2 ,
3
m3v Sv 3Sv2 3 ,
m 4 2 2
4v Sv 6Sv 2 4Sv3 4 32 ,
5 3 2 2
m5v Sv 10Sv 2 10Sv 3 Sv (4 32 ) u5v ,
m S 6 15S 4 20S 3 15S 2
6v v v 2 v 3 v (4 3 2
2 ) 6Svu5v u6v .
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
29
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Наведені вирази для початкових моментів дозволяють визначити
відповідно кореляційні моменти:
F(1,1) (H0 )
v 2 ,
F(1,1)v (H0 ) 3 ,
F(2,2)v (H 2
0 ) 4 22 ,
F 2
(1,3)v (H 0 ) 4 32 ,
F(2,3)v(H0 ) 5 923 ,
F(3,3)v (H 0 ) 6 1524 9 2 3
3 15 2 ,
F(1,1) (H1)
v 2 , (2.13)
F(1,2)v (H1) 3 2Sv2 ,
F(2,2)v (H ) 2 2 2
1 4 2 4Sv 2 4Sv3 ,
F 2 2
(1,3)v (H 1) 4 3 2 3S v 2 3S v 3 ,
F (H ) 9 6S3
(2,3)v 1 5 2 3 v2 9S2
v3 5Sv4 12Sv
2
2 5 923 ,
F 2
(3,3)v (H1) 6Sv (5 923 ) 15Sv 4 36S 2 2 18S 3 9S 4 2 3
v 2 v 3 v 2 6 1524 93 152
та сумістні моменти:
F(1,1) 2
v 2 ,
F(1,2)v 23 2Sv 2 ,
F 2 2
(2,2)v 2(4 2 2 ) 4Sv 2 4Sv3 , (2.14)
F 2 2
(1,3)v 2( 4 3 2 ) 3S v 2 3S v 3 ,
F 3 2
(2,3)v 6Sv2 9Sv 3 5Sv4 12S 2
v 2 2(5 923) ,
F 2 2 2
(3,3)v 6Sv (5 923 ) 15Sv 4 36Sv 2 18S 3 4
v 3 9Sv 2 2(6 15 2 3
24 93 152 )
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
30
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Систему рівнянь для визначення коефіцієнтів h1v і h2v представимо в
такому вигляді:
h1v 22 h2v (23 2Sv2 ) Sv
(2.15)
h1v (23 2Sv2) h2v (2 2 2
4 42 4Sv 2 4Sv
2
3) Sv
Вирішуємо цю систему методом Крамера та отримаємо, що:
h 1v
1v ,
v
h 2v
2v ,
v
де отримані визначники системи мають вигляд:
v 4[2 ( 2 2 2
4 22 2Sv ) 3 ],
1v 2(( 4 2)S 3
v Sv 2
3Sv ) (2.16)
2v 23 Sv .
У формулах (2.16) замінимо кумулянти на кумулянтні коефіцієнти
A2
наступним чином: i n / 2
i і введемо коефіцієнт q - відношення
2 2
сигнал/завада за потужністю. Тоді отримаємо, що кількість вилученої
інформації про розрізнення гіпотез при S=2 буде дорівнювати виразу:
n 2
q
J 2
r 1 3
2 v
2 . (2.17)
2 v1 4 2 3 qr 2
v
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
31
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Вираз (2.17) показує, кількість вилученої інформації при S=2 у
загальному випадку залежить від залежить від коефіцієнта асиметрії 3 та
коефіцієнта ексцесу 4 . Збільшення даної кількості інформації можливо коли
коефіцієнт асиметрії 3 відмінний від 0. Якщо 3 =0, то в даному випадку
отримаємає вираз, що аналогічний при S=1,, тобто ніякого збільшення не
буде. Відзначимо, що коефіцієнт 3 не дорівнює 0 для багатьох негаусівских
випадкових величин. Структурна схема оптимального виявляча імпульсного
сигналу, що приймається тлі негаусівских завад при ступені поліному S=2
представлено на рис 2.6.
Для аналізу кількісних характеристик виявляча ступені S=2
скористаємося рівнянням значення критерію якості Q[n] для лінійного
виявляча й виявляча при S=2. Для цього розглянемо відношення Q2/ Q1 , яке
дорівнює виразу:
n
2
rv
Q
Q 10 lg 2 10 lg( v1 )
Q n 2
1 r 2
v 1 3
2 2 2
qr
v1 4 3 v
Проведемо аналіз цього вираження для наступних імпульсних
сигналів:
- прямокутного та колоколоподібного відеоімпульсу;
- прямокутного та колоколоподібного радіоімпульсу.
На рис. 2.2-2.5 наведені графіки залежностей 10lg(Q2/Q1 ) від 3 для
перераховани вище випадків.
Із графіків видно, що зі збільшенням 3 ефективність роботи
поліноміального виявляча ступені S=2 збільшується в порівнянні з лінійним
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
32
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Рисунок 2.2 - Графіки залежності відношення критеріїв якості при
ступені полінома S=1 і S=2 від 3
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
33
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Рисунок 2.3 - Графіки залежності відношення критеріїв якості при
ступені полінома S=1 і S=2 від 3
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
34
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Рисунок 2.4 - Графіки залежності відношення критеріїв якості при
ступені полінома S=1 і S=2 від 3
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
35
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Рисунок 2.5 - Графіки залежності відношення критеріїв якості при
ступені полінома S=1 і S=2 від 3
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
36
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Рисунок 2.6 - Структурна схема поліноміального виявляча імпульсних
сигналів при ступеню поліному S=2
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
37
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
виявлячем. При цьому ефективність роботи не залежить від форми імпульсу
(відео- або радіоімпульсів), а відповідно буде залежити лише від виду
обвідної імпульса. Найбільший ефект спостерігається для колоколоподібного
радіоімпульсу.
Структурна схема поліноміального виявляча імпульсних сигналів при
S=2 є більш складнішою в зрівнянні з лінійним виявлячем, так як вміщує 2
канала опрацювання вхідних вибіркових значень(лінійний і квадратичний). В
цих каналах відбувається в подальшому перемноження на відповідні
коефіцієнти h1v та h2v . Після накопичення в кожному каналі опрацювання
результуючі значення через підсумовуючий пристрій подаються на
пороговий пристрій(ПП), який призначений для прийняття рішення про
наявність сигналу чи лише шуму у вибіркових значеннях.
Загальний висновок можна зробити такий: найбільше ефективно
стохастичні виявлячі при S=2 будуть працювати при відношеннях сигнал/
завада менших одиниці, та у випадку значного відхилення коефіцієнта
асиметрії 3 завади від нуля.
2.4. Розробка виявляча повністю відомих імпульсних сигналів при
ступеню поліному S = 3.
Вирішальне правило, що задане в класі стохастичних поліномів
ступеню S=3 має вигляд:
n
1 n
2 1 n H1
h1v{xv (m1v u1v )} h2v{xv (m2v u2v )}h {x3 1
3v v (m
3v u3v )} 0 (2.18)
v1 2 v1 2 v1 2 H0
У цьому випадку вирішальне правило також буде нелінійним, і
вибіркові значення зазнають не тільки квадратичне перетворення, але й
зведенню в куб і перемноженню з відповідним коефіцієнтом.
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
38
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Оптимальні коефіцієнти h1v, h2v і h3v знайдемо із рішення системи
рівнянь:
h1vF(1,1)v h2vF(1,2)v h3vF(1,3)v Sv
h F 2
1v (2,1)v h2vF(2,2)v h3vF(2,3)v Sv (2.19)
h1vF(3,1)v h2vF(3,2)v h3vF(3,3)v S 3
v 3Sv2
Сумістні моменти F(i,j)v приведені в виразах (2.14).
Оптимальні коефіцієнти h1v , h2v h3v знайдемо із рішення системи (2.19)
методом Крамера:
K K K
h 1v , h 2v , 3v
1
v 2v h3v
v v v
де v - головний визначник системи (2.19) має вигляд:
F(1,1)v F(1,2)v F(1,3)v
v F(2,1)v F(2,2)v F(2,3)v ,
F(3,1)v F(3,2)v F(3,3)v
а значення K1v , K2v, K3v будуть дорінювати визначнику v , в якому
замінені відповідно перший, другий і третій стовпці на стовпець вільних
членів з рівняння (2.19). Аналітичні вирази для як v , так і h1v, h2v і h3v
мають досить громіздкий вигляд, тому їх приводити не будемо. Відзначимо,
що в загальному випадку кількість вилученої інформації про розрізнення
гіпотез при S=3 буде більше, чим при S=2.
Розглянемо випадки, коли негуссівська завада при S=3 має неповну
визначенність, тобто деякі кумулянтні коефіцієнти або невідомі, або
дорівнюють нулю.
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
39
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Розглянемо перший випадок, коли розподіл завади буде симетричний,
тобто кумулянтні коефіцієнти непарного порядку 3 5 0 . Потрібно
відмітити, що в цьому випадку кількість вилученої інформації про
розрізнення гіпотез при S=2 дорівнювала кількості інформації при S=1.
При 3 5 0 покажемо, що рішення системи рівнянь (2.19) методом
Крамера дасть наступний результат:
2 11
4 2
h1v qrv[ 4 2 qrv ][(
4 4 6)qrv 612 4 6 ] / v ,
6S 2
v
3
h 2
2v [ 4 2 2 2
qr
v ][ 4 0,5qrv ]/v ,
v
(2.20)
4 4
S
h v 2
3v [ 2
4 2 qrv ][ 2
4 0,5qrv ]/v ,
v
9
v 8 6
2 [ 2 2 2
4 2 qrv ][ 6 4 9 4 6 qrv ( 4 2)] .
4
Кількість вилученої інформації про розрізнення гіпотез Н1 та Н0 при
використанні виршувального правила при S=3 для даного випадку запишемо
в такому вигляді:
2 2q n 0,5qr
J 1 4 v
3 (2.21)
2 v1 2 9 2
6 4 9 4 6 qrv ( 4 2)
4
Із виразу (2.21) можемо зробити висновок, що при S=3 кількість
вилученої інформації про розрізнення гіпотез у порівнянні з випадком S=1 і
S=2 збільшується. Це відбувається за рахунок відмінності від 0 коефіцієнтів
ексцесу 4 та 6 . Якщо провести кількісну оцінки ефективності вирішального
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
40
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Рис.3.7 - Графіки залежності відношення критеріїв якості при
ступені полінома S=1 і S=3 від 4
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
41
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Рисунок 2.8 - Графіки залежності відношення критеріїв якості при
ступені полінома S=1 і S=3 від 4
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
42
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
правила при S=3 для розглянутого випадку, тобто коли 3 5 0 при
зрівнянні з випадком S=1, необхідно розглянути логарифм відношення
критеріїв якості Q3/Q1, які, як відомо, є зворотніми величинами до кількості
вилученої інформації про розрізнення гіпотез.
Із графіків видно, що зі збільшенням коефіцієнта ексцесу 4 якість
статистичного виявляча при S=3 збільшується в порівнянні з лінійним
виявлячем. Особливо це видно для випадку c колоколоподібним імпульсом.
Для всіх видів імпульсів є залежність від кумулянтів шуму 4-го й 6-го
порядків, причому, максимальна якість спостерігається при відхиленні
характеристик шуму від гаусівских.
Зі збільшенням відношення сигнал/шум q ефективність роботи
виявляча при S=3, так само як і при S=2, трохи зменшується.
Розглянемо випадок, коли для негауссівської завади кумулянтні
коефіцієнти, що характеризують ексцес завади, дорівнюють нулю, тобто
4 6 0 .
Кількість вилученої інформації про розрізнення гіпотез для одного
вибіркового значення в загальному вигляді буде наступна:
J3v h1v (m1v u1v ) h2v (m2v u2v ) h3v (m3v u3v ) (2.22)
Вирази для оптимальних коефіцієнтів h1v , h2v , h3v , будуть відрізнятися
від виразів для оптимальних коефіцієнтів, що представлені в (2.20). Вирази
для них будуть дещо громадні, залежати від кумулянтних коефіцієтів 3-го і 5-
го порядків. Тому приведемо лише вираз для кількості вилученої інформації
про розрізнення гіпотез для вибірки об’ємом n при значенні при умові, що
коефіцієнт 3 0 :
n qr 2 q 4r 8 2q3
v v r 6
v 60q 2r 4
v 48qr 2
J v 48
3 , (2.23)
2 2 3
v1 4 ( 5 9 2 4 3
q r 2
v 12 q 5rV 6q rv 5 24
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
43
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Рисунок 2.9 – Графіки залежності J 3 від кумулянтного коефіцієнта 5 .
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
44
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Рисунок 2.10 - Графіки залежності відношення критеріїв якості при
ступені полінома S=1 і S=3 від 5
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
45
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Як видно із виразу 2.23 кількість вилученої інформації відрізняється
від випадку S=1, де
n qr 2
J v
1 .
v1 2
Дослідим залежність J 3 від кумулянтного коефіцієнта 5 . Графік даної
залежності представлено на рис.2.9/
Із графіків 2.9 бачимо, що при ступеню полінома S=3 J 3 збільшується в
межах зміни коефіцієнта 5 в межах від -4 до 1.
Проведемо дослідження відношення критеріїв якості при S=1 та S=3
від 5 для різних значень відношення сигнал/завада (q=0.25, 1, 5). Графіки
даних відношень представлені на рисунках 2. 10. .
Можемо зробити висновок із графіків 2.10, що при S=3, при значенні
коефіцієнта асиметрії 3 0 кількість вилученої інформації буде більше, ніж
при лінійному вирішувальному правилі.
Проаналізуємо ще один випадок, коли будуть невизначеними
кумулянтні коефіцієнти 5 , 6 . Приймемо їх значення, що дорівнюють нулю
5 6 0 і знайдемо кількість вилученої інформації про розрізнення гіпотез
при S=3. Даний вираз в загальному випадку має вигляд 2.22. За умови, що
кумулянтний коефіцієнт 3 0 вираз для J 3 буде залежати лише від 4 .
Графіки залежності відношення критеріїв якості при ступеню поліному
S=1 і S=3 від 4 представлені на рисунках рис 2.10. Із графіків бачимо, що в
зміни коефіцієнта асиметрії 4 в межах від -0.5 до 2 для малих відношень
сигнал/завада за потужністю.
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
46
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Рисунок 2.10 - Графіки залежності відношення критеріїв якості при
ступені полінома S=1 і S=3 від 4
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
47
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
РОЗДІЛ 3. РОЗРОБКА АЛГОРИТМУ ВИЗНАЧЕННЯ
СТАТИСТИЧНИХ ПАРАМЕТРІВ НЕАУССІВСЬКОЇ ЗАВАДИ.
У сучасних системах обробки сигналів, системах зв'язку та системах
виявлення імпульсних сигналів на фоні негауссівських завад є досить
складним завданням. Дане завдання яке потребує розробки як нових підходів
так і методів. Негауссівські завади характеризуються непередбачуваними
статистичними властивостями, тому можуть досить суттєво ускладнити
процес виявлення сигналів. Важливим інструментом у боротьбі з такими
завадами є адаптивні виявлячі сигналів[13]. Здатність автоматично
налаштовувати свої параметри залежно від умов прийому, що можуть
змінюватися з часом, дозволяє отримати достатньо вищу ефективність
виявлення імпульсних сигналів. У цьому розділі будуть представлені
алгоритм та метод, які дозволяють оцінювати параметри негауссівських
завад. В попередніх розділах роботи проведено аналіз методу побудови
вирішальних правил, в яких використовуються статистичні характеристик
випадкових просесів, а саме середнє значення, дисперсія і кумулянтні
коефіцієнти вищих порядків. В результаті визначення даних параметрів, вони
в подальшому будуть подаватися на блок формування оптимальних
коефіцієнтів, які використовуються для побудови стохастичних вирішальних
правил ступеню S=1, 2 чи 3. В даному розділі будуть представлені структурні
схеми як вимірювача статистичних характеристик шуму, та і структурна
схема виявляча імпульсних сигналів при ступеню поліному S=3, яка буде
використовувати запропоновану схему вимірювача статистичних параметрів
завади.
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
48
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
3.1. Використання методу центральних моментів для визначення
параметрів негауссівської завади.
Метод моментів є одним із важливим статистичних інструментів, що
отримав широке використання для оцінки параметрів розподілів випадкових
величин[15, 20]. Суть методу полягає в тому, що відбувається при цьому
заміна справжніх значень моментів вибірковими моментами(емпіричними
аналогами), а це дозволить отримати оцінки параметрів на основі даних, що
спостерігаються.
Застосовується метод моментів для оцінки параметрів шуму не лише в
ситуаціях, коли дані розподілені по певному закону, але не обов'язково
тільки гауссівському. Потрібно відмітити актуальність даного методу в
умовах дії негауссівських завад, закон розподілу яких може бути невідомий і
тому традиційні методи є недостатньо ефективними.
На основі отриманих моментів встановлюються рівняння, які
пов'язують ці моменти з невідомими параметрами розподілу шуму.
Розв'язуючи цю систему рівнянь, можна отримати оцінки параметрів.
Може бути використаний метод моментів для оцінки параметрів різних
типів шуму, до яких відносяться як асиметричні, або ексцесні розподіли. У
випадку негауссівських завад, що мають специфічні статистичні властивості,
метод дозволяє адаптувати оцінки до реальних умов.
Перевагою методу є його як простота так і швидкість реалізації. Проте
метод моментів може давати неточні результати в умовах малих вибірок або
за умови високої асиметрії розподілу.
В цілому, метод моментів є потужним інструментом для аналізу шуму
та оцінки його параметрів, особливо в умовах складних статистичних
характеристик.
Кількість початкових моментів, які потрібно буде взначити, зумовлено
порядком вирішувального правила, яке має максимальне значення S=3. А
кількість моментів, які при цьому потрібно знати дорівнює 2S, тобто 6.
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
49
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
На основі отриманих моментів встановлюються рівняння, які
пов'язують ці моменти з невідомими параметрами розподілу шуму.
Розв'язуючи цю систему рівнянь, можемо отримати необхідні оцінки
параметрів шуму, що і буде показано в наступному підрозділі.
3.2 Математична модель сигналу і завади .
Вявлення імпульсних сигналів з повністю відомими параметрами із
застосуванням моментно-кумулянтного опису сигналу та завад потребує
створення моделі, яка описує їх характеристики за допомогою моментів і
кумулянтів. У цьому підході вважається, що сигнал має відому амплітуду,
частоту носія та початкову фазу..
Корисний імпульсний сигнал S(t) має такий вигляд:
S(t) Ae(t) cos(t ) (3.1)
де А - амплітуда сигналу
- частота викочастотного заповнення,
e(t) - обвідна радіоімпульсу.
- початкова фаза.
Використаємо для опису випадкового процесу, яким є негауссівська
завада, моментно-кумулянтний опис [9,12] з використанням деякої
послідовності кумулянтів та центральних моментів.
Кумулянти i , що характеризують заваду, до 6-го порядку включно,
через центральні i представлено в наступних виразах:
1 m1 ,
2 2
3 3 , (3.2)
2
4 4 32
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
50
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
5 5 1032
6 6 1542 10 2
3 30 3
2
Середнє значення вибіркових значень дорівнює кумулянт першого
порядку 1 m1 , а кумулянт другого порядку 2 , в свою чергу характеризує
дисперсію випадкових величин. Кумулянти непарного порядку 3 , 5
характеризують асиметрію розподілу, а кумулянти парного порядку 4 , 6
характеризують відповідно ексцес кривої розподілу. Між кумулянтами і
кумулянтними коефіцієнтами існує наступне співвідношення:
і
і . (3.3)
і
2
2
Врахування вищих моментів та кумулянтів, як показано в розділі 2,
дозволяє виявляти корисний сигналу в адитивній суміші із завадою з
меншими імовірностями як пропуску сигналу, так і хибної тривоги.
3.3. Розробка блоку розрахунку статистичних паметрів негауссівської
завади.
В розділі 2 показано синтез виявлячів імпульсних сигналів при
когерентному прийомі. В цьому випадку вважали, що завада апріорно відома.
Оптимальні коефіцієнти стохастичного вирішувального правила як при S=2
так і при S=3 залежали від кумулянтних коефіцієнтів 3 , 4 для випадку S=3
потрібно знати уже кумулянтні коефіцієнти 3 , 4 , 5 , 6 , при цьому деякі з них
можуть бути невизначені.
Центральні вибіркові моменти k-го порядку які мають такий загальний
вигляд:
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
51
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
1 n
k (xv m )k
1 , (3.4)
n i1
де: xv – вибіркове значення випадкової величини,
n – об’єм вибірки,
1 n
m1 x v — середнє значення вибірки.
n i1
Для деякого спрощення виразів зробимо заміну:
(xv m1) Av .
Другий центральний момент μ2 дорівнює дисперсії вибірки і визначає
розкид вибіркових значень навколо середнього значення m1
Другий центральний момент μ2:
1 n
2
2 Av
n v1
Третій центральний момент μ3:
1 n
3 3
A .
v
n v1
Четвертий центральний момент μ4:
1 n
4
A .
4 v
n v1
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
52
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
П'ятий та шостий центральний моменти відповідно матимуть такий
вигляд:
1 n
5 5
A
v ,
n v1
1 n
6
6 A
v .
n v1
Для розрахунку статистичних параметрів прирівнямо теоретичні і
емпіричні центральні моменти.
Із врахування того, кумулянтні коефіцієнти із кумулянтами (3.2)
звязані співвідношенням (3.3), отримаємо наступні вирази для визначення
статистичних параметрів негауссівської завади:
1 n
m1 n xv ,
v1
1 n
ˆ A2
2 n v ,
v1
1 n
A3
v
ˆ n v1
3 ,
n 1,5
1
n
2 Av
v1
1 n
nA4
v
ˆ v1 (3.5)
4 3,
1 n 2
n
A2
v
v1
1 n 1 n 1 n
A5
v 10 A2
v A3
v
ˆ n v1 n v1 n v1
5 ,
n 5/2
1
2 Av
n v1
1 n 1 n 1 n 1 n 2 3
6 1 n
Av 15 A2
v A4
v 10 A3 30 A2
n n n n v n v
ˆ v1 v1 v1 v1 v1
6 .
1 n 3
2
A
n v
v1
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
53
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Узагальнені структурні схеми визначення центральних моментів та для
визначення кумулянтних коефіцієнтів представлені відповідно на рис.3.1 та
рис. 3.2.
Рисунок 3.1 – Узагальнена структурна схема для визначення
емпіричних центральних моментів M 2 M 6 .
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
54
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Рисунок 3.2 - Структурна схема для визначення кумулянтних
коефіцієнтів через центральні моменти
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
55
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Якщо ввести схему вимірювача параметрів в узагальнену схему
виявляча імпульсних сигналів при степені полінома S=3, отримаємо наступну
структурну схему виявляча (рис.3.3):
Рисунок 3.3 – Структурна схема виявляча імпульсного сигналу при
ступеню полінома S=3.
З виходу вимірювача статистичних параметрів завади кумулянтні
коефіцієнти i подаються блок формувача оптимальних коефіцієнтів, які
будуть залежати від статистичних параметрів негауссівської завади.
В виразах (3.6) кумулянтні коефіцієнти 3 , 5 характеризують
асиметрію завади, а кофіцієнти 4 , 6 - відповідно ексцес завади.
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
56
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
ВИСНОВКИ
В даній роботі проведена розробка алгоритмів виявлення імпульсних
сигналів при когерентному прийомі за умови дії негауссівських задач, які
мають неповне визначення. Побудовано тохастичні вирішувальні правила до
ступеня поліному S=3. Дані правила будуть оптимальними за моментним
критерієм якості КУ1, критерієм, який характеризує мінімум верхніх границь
суми імовірностей помилок. Базується даний критерій на числових
характеристиках вирішального правила – математичному очікуванні та
дисперсії вирішувального правила при гіпотезі й альтернативі.
Показано, що використовується моментний та кумулянтний опис
сигналу та завади при гіпотезі й альтернативі в якості апріорної інформації.
Такий підхід є альтернативою класичному підходу, де використовуються
щільності розподілу ймовірностей, як при гіпотезі так й при альтернативі,.
В якості вирішальних правил використовуються стохастичні поліноми
до ступеня S=3. Оптимальні коефіцієнти в даних вирішувальних правилах
визначаються в результаті розв'язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь.
Введено поняття про кількість вилученої информації про розрізнення гіпотез,
при опрацюванні неоднаково розподілених вибіркових значеннях вхідного
процесу.
Проведено дослідження роботи синтезованих нелінійних алгоритмів в
зрівнянні з лінійним вирішувальним правилом, що співпадає з вирішальним
правилом для завади, яка має гауссівський розподіл.
Показано виграш, що можна отримати при використанні
поліноміальних вирішувальних правил, який досягає 8-12 дБ, в залежності
від виду корисного синалу(радіоімпульсу чи відеоімпульсу). Від виду
обвідної виграш майже не залежить. Даний виграш найбільший при
відношеннях сигнал/завада за потужністю меньших одиниці. При більших
відношеннях виграшу майже немає (0,5-1 дб).
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
57
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
В процесі виявлення імпульсних сигналів, що приймаються в
адидитивній суміші із негауссівською завадою, показано , що необхідно
визначати статистичні параметри завади, а саме кумулянтні коефіцієнти
вищих порядків, які характеризують асиметрію і ексцес розподілу випадкової
завади.
Для побудови блоку вимірювання цих характеристик запропоновано
використати метод центральних моментів, в якому відбувається порівняння
теоретичних і емпіричних(вибіркових) моментів.
З виходу блоку можемо отримувати всі кумулянтні коефіцієнти, які
були невизначені на момент виявлення, і використати їх для формування
оптимальих коефіцієнтів степеневих вирішувальних правил.
Результати, що представлені в даній роботі, можуть бути застосовані в
таких галузях, як в радіолокації, системах зв’язку, системах виявлення та
оповіщення та ін.
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
58
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
1. Баранов С. В., Костенко В. І. "Обробка сигналів у системах зв'язку".
Київ: Наукова думка, 2010.
2. Бондаренко А.М., Федоренко В.О., "Аналіз і обробка імпульсних
сигналів". Дніпро: ДНУ, 2014.
3. Воловик А. Ю., Гаврілов Д. В., Семенов А. О., Шутило М. А., Червак
О. П. "Сигнали та процеси в радіотехніці". Вінниця: Вінницький
національний технічний університет, 2017.
4. Коваленко О. М., Левченко В. І. "Основи теорії сигналів". Харків:
ХНУРЕ, 2012.
5. Костюк Т.А., Бондарчук Р.В., "Адаптивна обробка сигналів у
системах зв'язку". Одеса: ОДЕУ, 2022.
6. Кравчук М.В., Логвиненко І.В., "Сигнали та їх обробка в умовах
шуму". Київ: НТУУ КПІ, 2020
7. Кузнєцов С. Г., Мельник О. П. "Методи обробки сигналів у шумі".
Дніпро: ДНУ, 2018.
8. Кей С. М. "Статистичне оцінювання сигналів". Переклад з
англійської. Київ: Либідь, 2001, 368с.
9. Кендалл М., Стьюарт А. Теория распределений. Перевод с англ. В.В.
Сазонова, А.Н. Ширяева под редакцией Колмогорова, М.: Наука,
1966, 588с.
10. Лісовий О. В., Марченко І. П. "Обробка сигналів у негауссівському
середовищі". Львів: ЛНУ, 2015, 392с.
11. Лисенко О. Г., Дяченко С. М. "Статистичні методи в обробці
сигналів". Харків: ХНУ, 2011.
12. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ негауссовых случайных
процессов и преобразований. М.: Сов. радио. 1979, 376 с.
13. Петров С.М., Костюк Н.А., "Обробка сигналів у системах зв'язку з
адитивними завадами". Харків: ХНТУСГ, 2013.
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
59
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
14. Романов А. В., Ткаченко І. Ю. "Системи обробки сигналів у
радіотехніці". Одеса: ОНПУ, 2016.
15. Руденко О. М., Соловйов В. П. "Теорія ймовірностей та математична
статистика". Київ: Освіта, 2008.
16. Соловей О.М., Шевчук Т.В., "Теорія випадкових процесів і її
застосування в техніці". Київ: НТУУ КПІ, 2019.
17. Сидоренко І. П., Гончарук В. М. "Виявлення сигналів на фоні шуму".
Київ: Техніка, 2004.
18. Степаненко І.В., Гриценко Т.О., "Методи виявлення сигналів у
складних умовах". Львів: ЛНТУ, 2021.
19. Федоров С. І., Бабенко О. В. "Аналіз імпульсних сигналів у системах
зв'язку". Львів: ЛНУ, 2015.
20. Шидловський А. К., Градінар А. В. "Теорія випадкових процесів та її
застосування в техніці". Київ: Вища школа, 2003.
21. Шевченко І. О., Кравченко Т. А. "Моделювання випадкових процесів
у радіотехніці". Чернівці: ЧНУ, 2019.
22. Яремчук Р. В., Бондаренко С. П. "Сигнали та системи". Київ:
Наукова думка, 2007.
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
60
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
61
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Арк.
мРТ36.29593.248 ПЗ
62
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата