Визначення кутового положення джерела сигналу при рознесеному прийомі на фоні негауссівських завад

Півнюк, Андрій Миколайович
Please use this identifier to cite or link to this item: https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/5846
Title:	Визначення кутового положення джерела сигналу при рознесеному прийомі на фоні негауссівських завад
Authors:	Воробкало, Тетяна Василівна Півнюк, Андрій Миколайович
Keywords:	рознесений прийом;кут надходження сигналу;фазовий метод;метод максимізації поліному;негауссівська завада;дисперсія оцінки
Issue Date:	2024
Abstract:	Мета роботи – розробка алгоритмів оцінювання фази сигналу в приймальних елементах двохелементної антенної решітки при впливі негаусівських завад методом максимізації поліному, та на їх основі розробка алгоритмів визначення кутового положення джерела випромінювання сигналу, а також дослідження точності запропонованих алгоритмів. В роботі на основі методу максимiзацiї полінома були розроблені алгорит-ми для знаходження оцінки фази гармонічного сигналу, що надходить на прий-мальний елемент антенної решітки при степенях полінома s=1,2,3. Отримані рів-няння, з розв’язку яких знаходяться потрібні оцінки та побудовані блок-схеми для практичної реалізації розроблених алгоритмів. Також в роботі досліджено точність отриманих оцінок.
URI:	https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/5846
Appears in Collections:	172 Електронні комунікації та радіотехніка (Радіотехніка та робототехнічні системи)
Files in This Item:
File	Description	Size	Format
М_172_Півнюк_Воробкало.pdf Restricted Access		1.48 MB	Adobe PDF	View/Open Request a copy
Show full item record
Extracted text
 
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ 
ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ 
ФАКУЛЬТЕТ ЕЛЕКТРОННИХ ТЕХНОЛОГІЙ, АВТОТРАНСПОРТУ ТА 
МАШИНОБУДУВАННЯ 
КАФЕДРА РОБОТОТЕХНІЧНИХ І ТЕЛЕКОМУНІКАЦІЙНИХ СИСТЕМ 
ТА КІБЕРБЕЗПЕКИ 
 
 
Допущений до захисту  
“____”  грудня  2024 р. 
Завідувач кафедри РТСК  
д.т.н., професор  
_________ Володимир ПАЛАГІН 
 
 
Пояснювальна записка 
до кваліфікаційної роботи 
 магіста  
(освітній ступінь) 
 
 
на тему:  
Визначення кутового положення джерела сигналу при 
рознесеному прийомі на фоні негауссівських завад 
 
 
Виконав: студент  2  курсу, групи мРТ-36  
спеціальності 
172 «Електронні комунікації та радіотехніка»  
(шифр і назва напряму підготовки, спеціальності) 
(освітня програма – «Радіотехніка та  
робототехнічні системи»)  
 Півнюк А.М.  
(прізвище та ініціали) 
Керівник  Воробкало Т.В.  
(прізвище та ініціали) 
Рецензент  Гальченко В.Я.  
(прізвище та ініціали) 
 
 
 
 
 
Черкаси – 2024 року 
Форма № Н-9.01 
ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ  
 
Факультет електронних технологій, автотранспорту та машинобудування 
Кафедра робототехнічних і телекомунікаційних систем та кібербезпеки  
Освітній рівень магістр 
Спеціальність 172 – Електронні комунікації та радіотехніка 
Освітня програма Радіотехніка та робототехнічні системи 
  
ЗАТВЕРДЖУЮ: 
 Завідувач кафедри Палагін В.В. 
 «  »   2024 р. 
 
ЗАВДАННЯ 
НА ДИПЛОМНУ РОБОТУ СТУДЕНТУ 
Півнюку Андрію Миколайовичу  
(прізвище, ім’я, по батькові) 
1. Тема проекту (роботи) Визначення кутового положення джерела сигналу при  
рознесеному прийомі на фоні негауссівських завад 
 
Керівник проекту (роботи) Воробкало Тетяна Василівна, к.т.н., доцент 
 (прізвище, ім’я, по батькові, науковий ступінь, вчене звання) 
затверджені наказом по університету від « 16 » вересня  2024 р. № 272/04 
2. Термін здачі студентом закінченої роботи 06.12.2024 
3. Вихідні дані до проекту (роботи) Корисний сигнал – гармонічний сигнал, вид завади 
негауссівська завада, взаємодія сигналу та завади – адитивна, відомі параметри –  
амплітуда та частота сигналу, параметри що підлягають оцінюванню – фаза сигналу, 
кут надходження  сигналу, кількість елементів антенної решітки  – 2  
4. Зміст розрахунково-пояснювальної записки (перелік питань, що їх належить розробити) 
1. Системи зв’язку з рознесеними передавальними та приймальними антенами 
2. Математичні моделі випадкових величин, що спостерігаються при рознесеному  
прийомі 
3. Алгоритми визначення кутового положення джерела сигналу методом максимізації  
поліному, дослідження точності оцінок  
5. Перелік графічного матеріалу (з точним зазначенням обов’язкових креслень)  
1. Назва роботи. 2. Мета  та завдання роботи. 2. Застосування технології MIMO.  
3. Двохелементна антенна решітка. 4. Постановка задачі. 5. Оцінка фази при s=1 
6. Оцінка фази при s=2. 7. Блок-схема обчисння кута надходження сигналу на АР 
8. Дисперсїї оцінки фази. 9. Графіки коефіцієнтів ефективності 
 
 
6. Консультанти розділів проекту (роботи) 
Прізвище, ініціали та посада Підпис, дата 
Розділ 
консультанта завдання видав завдання прийняв 
    
    
    
    
 
   
    
    
 
7. Дата видачі завдання 16.09.2022 
 
КАЛЕНДАРНИЙ ПЛАН 
№ Назва етапів дипломного Строк виконання етапів 
Примітка 
з/п проекту (роботи) проекту (роботи) 
 
Пошук та огляд літератури по 22.09.2024 
1. оц інюванню параметрів випадкових 
величин 
П оняття рознесеного прийому. 30.09.2024 
2.  
Постановка задачі 
Аналіз моделей випадкових величин та 14.10.2024 
3. м етодів оцінювання параметрів  
випадкових величин 
Розробка алгоритмів спільного 28.10.2023 
4. оц інювання параметрів методом  
максимізації поліному при s =1,2,3  
5. Д ослідження асимптотичних 18.11.2024 
 
властивостей отриманих оцінок 
6. О формлення пояснювальної записки 28.11.2024  
 Оформлення графічного матеріалу 06.12.2024  
    
    
    
  
 Студент-дипломник Півнюк А.М.  
 
   (підпис)  
  
 Керівник проекту Воробкало Т.В.  
 
   (підпис)  
 
 
ЗМІСТ 
сторінка 
ВСТУП ……………………………………………………………………………...5 
 
РОЗДІЛ 1. СИСТЕМИ ЗВ'ЯЗКУ З РОЗНЕСЕНИМИ ПЕРЕДАВАЛЬНИМИ 
І ПРИЙМАЛЬНИМИ АНТЕНАМИ ……...……………......................................6 
 
1.1. Особливості рознесеного прийому ………………..................................6 
1.2. Технологія МІМО ………………..............................................................7 
1.3. Антенні решітки.......................................................................................10 
1.4. Принцип визначення кутового положення за допомогою  
фазованих антенних решіток ……………………………………………….14 
1.5. Постановка задачі визначення кутового положення  
джерела за  допомогою двохелементної антенної решітки ………………21 
 
РОЗДІЛ 2. МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН, ЩО 
СПОСТЕРІГАЮТЬСЯ ПРИ РОЗНЕСНЕОМУ ПРИЙОМІ …………..……24 
 
2.1. Види завад в каналах зв’язку...................................................................24 
2.2. Математичний опис негаусівських завад……………………………..29 
2.3. Визначення початкових моментів випадкової величини,  
що спостерігається ………………………………………………………….32 
 
РОЗДІЛ 3. АЛГОРИТМИ ВИЗНАЧЕННЯ КУТОВОГО ПОЛОЖЕННЯ  
ДЖЕРЕЛА СИНГАЛУ...........................................................................................36 
 
3.1. Методи оцінювання параметрів випадкових величин ………………36 
 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
Змн. Лист № докум. Підпис Дата  
 Розроб. Півнюк А.М. Визначення кутового положення Літ. Арк. Акрушів 
 Перевір. Воробкало Т.В. джерела сигналу при рознесеному 3 60 
   прийомі на фоні негауссівських 
 Н. Контр. Воробкало Т.В завад ЧДТУ 
 Затверд. Палагін В.В. 
3.2. Оцінка параметрів сигналу методом максимізації  
полінома ……………………………………………………………………..38 
3.3. Знаходження оцінки методом максимізації поліному  
при степені полінома s =1…………………………………………………...41 
3.4. Знаходження оцінки фази гармонійного сигналу при s = 2 …………..44 
3.5. Оцінювання фази сигналу при  s=3……………………………………52 
 
ВИСНОВКИ ............................................................................................................57 
 
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ.....................................................59 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
4 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
ВСТУП 
 
Визначення кутового положення джерела сигналу є фундаментальною 
задачею в таких областях, як радіолокація, комунікації, радіоастрономія та ін. 
Класичні методи, засновані на припущенні про гауссовський характер завад, 
часто виявляються неефективними в реальних умовах, де завади можуть мати 
складну структуру і не підкорятися гауссовому розподілу. Тому розробка 
ефективних методів оцінки кутового положення в умовах негауссівських завад є 
актуальним завданням в сучасних дослідженнях. 
Визначити кутове положення джерела сигналу, можливо тільки тоді, коли  
приймальна система  складається з декількох елементів, тобто при рознесеному 
прийомі. Тоді задача визначення кута надходження сигналу зводиться до 
визначення фазового зсуву сигналів в приймальних елементах. В роботі буде 
розглянутий найпростіший випадок рознесеної приймальної системи – 
двохелементна антенна решітка. При цьому на прийнятий сигнал будуть впливати 
негауссівські завади, які можуть мати різну природу (імпульсні, гармонічні, 
нелінійні спотворення тощо).  
Мета полягає в розробці алгоритмів, які дозволяли як можна точніше 
оцінити кутову координату джерела сигналу в таких умовах. Тому в роботі 
запропоновано використовувати один з сучасних методів оцінювання параметрів 
випадкових величин – метод максимізації поліному, який дозволяє ефективно 
оцінювати параметри сигналів навіть у випадку негаусівських завад завдяки 
застосуванню моментно-кумулянтного опису випадкових величин. 
Отже метою даної роботи є розробка алгоритмів оцінювання фази сигналу в 
приймальних елементах двохелементної антенної решітки при впливі 
негаусівських завад методом максимізації поліному, та на їх основі розробка 
алгоритмів визначення кутового положення джерела випромінювання сигналу, а 
також дослідження точності запропонованих алгоритмів.  
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
5 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
1. СИСТЕМИ ЗВ'ЯЗКУ З РОЗНЕСЕНИМИ ПЕРЕДАВАЛЬНИМИ І 
ПРИЙМАЛЬНИМИ АНТЕНАМИ  
 
1.1. Особливості рознесеного прийому 
 
Рознесений прийом сигналів (diversity reception) набуває все більшої 
популярності у сучасних системах зв'язку. Ця технологія відіграє ключову роль у 
підвищенні якості та надійності передачі даних, особливо в умовах складних 
радіоканалів, де присутні завади, багатошляхність та замирання сигналу [1]. 
Рознесений прийом - це техніка, яка передбачає використання декількох 
приймальних антен для прийому одного і того ж сигналу. Кожна антена приймає 
трохи різну копію сигналу, оскільки сигнали досягають антен різними шляхами. 
За рахунок об'єднання сигналів, прийнятих різними антенами, можна суттєво 
покращити якість прийому, а також оцінити (визначити) параметри прийнятого 
сигналу 
Існують наступні види рознесеного прийому [2]: 
• Частотний рознос: використовується декілька несучих частот для передачі 
одного і того ж сигналу. 
• Часовий рознос: сигнал передається з деяким часовим інтервалом. 
• Просторовий рознос: сикористовується декілька фізично рознесених антен 
для прийому сигналу. Саме цей вид рознесення найбільш поширений у 
сучасних системах зв'язку. 
Переваги рознесеного прийому:  
• збільшення відношення сигнал/шум за рахунок об'єднання сигналів, 
прийнятих різними антенами (можна суттєво зменшити вплив адитивного 
шуму);  
• зменшення глибини замирань за рахунок того, що сигнали, прийняті 
різними антенами, зазнають різних замирань (можна зменшити загальну 
глибину замирання);  
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
6 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
• підвищення надійності за рахунок збільшення відношення сигнал/шум і 
зменшення глибини замирань (підвищується ймовірність безпомилкового 
прийому сигналу);  
• збільшення пропускної здатності, в деяких випадках рознесений прийом 
може дозволити збільшити пропускну здатність системи за рахунок 
використання просторового мультиплексування. 
Застосування рознесеного прийому: 
• Мобільний зв'язок: для забезпечення стабільного прийому сигналу в умовах 
руху або в приміщеннях зі складними умовами поширення. 
• Радіолокація: для підвищення точності виявлення цілей і зменшення впливу 
завад. 
• Супутниковий зв'язок: для забезпечення стійкого зв'язку в умовах 
багатошляховості і завад. 
• Бездротові локальні мережі: для збільшення пропускної здатності і покриття 
бездротових мереж. 
Рознесений прийом є основою для технології MIMO (Multiple-Input 
Multiple-Output), яка дозволяє передавати декілька потоків даних одночасно за 
допомогою декількох антен на передавачі і приймачі [3]. 
 
 
1.2. Технологія МІМО  
 
MIMO – це технологія, яка використовує декілька антен як на передавачі, 
так і на приймачі для покращення якості та пропускної здатності бездротового 
зв'язку. Завдяки цьому досягається значне підвищення ефективності використання 
радіочастотного спектру (рис. 1.1). 
 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
7 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
 
Рис.1.1. Технологія МIMO 
 
Основна ідея MIMO полягає в тому, що шляхом передачі декількох потоків 
даних одночасно через різні антени, можна збільшити загальну пропускну 
здатність системи [4]. Крім того, використання декількох антен дозволяє 
зменшити вплив завад та багатошляховості, підвищуючи надійність передачі 
даних. 
Системи MIMO (Multiple-Input Multiple-Output) можуть функціонувати за 
двома основними принципами: просторове ущільнення та просторово-часове 
кодування. 
При просторовому ущільнені різні передавальні антени передають різні 
частини інформаційного блоку або навіть різні інформаційні блоки одночасно. Це 
дозволяє збільшити швидкість передачі даних, оскільки паралельно працюють дві 
або більше антен. На приймальній стороні відбувається розділення та обробка 
сигналів від різних антен. Просторове ущільнення дозволяє збільшити пропускну 
здатність системи, але вимагає більш складних алгоритмів декодування. 
При просторово-часовому кодуванні всі передавальні антени передають 
один і той самий потік даних, але з використанням спеціальних схем кодування. 
Це забезпечує підвищення надійності передачі, оскільки одна і та ж інформація 
передається по декількох шляхах. Просторово-часове кодування забезпечує 
високу надійність передачі, особливо в умовах багатошляховості, але може 
знизити пропускну здатність. 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
8 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
Вибір принципу роботи MIMO залежить від конкретних вимог до системи, 
таких як швидкість передачі, надійність, складність реалізації тощо. 
Кількість антен на передавачі та приймачі може бути різною, утворюючи 
симетричні (2x2, 4x4) та несиметричні (1x2, 2x4) конфігурації [4] (рис 1.2). 
 
 
 
Рис.1.2. Типи MIMO-систем. 
 
Системи MIMO в порівнянні з одноканальними системами мають ряд 
переваг: 
- Збільшення пропускної здатності: За рахунок просторового 
мультиплексування, коли кілька потоків даних передаються одночасно 
через різні антени. 
- Підвищення надійності: За рахунок просторового різноманіття, коли одна 
і та ж інформація передається по декількох шляхах, що дозволяє 
компенсувати завади та замирання сигналу. 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
9 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
- Зменшення потужності передавача: За рахую оптимального розподілу 
потужності між антенами. 
- Збільшення ефективності використання спектра: За рахунок більш 
щільного розміщення користувачів. 
Технологія MIMO знаходить широке застосування в сучасних системах 
звязку [4]: 
- Мобільний зв'язок: Стандарти 4G і 5G широко використовують 
технологію MIMO для забезпечення високих швидкостей передачі даних. 
- Бездротові локальні мережі: MIMO застосовується для збільшення 
пропускної здатності і покриття бездротових мереж. 
- Радіолокація: MIMO використовується для підвищення точності 
виявлення цілей і зменшення впливу завад. 
- Супутниковий зв'язок: MIMO дозволяє збільшити пропускну здатність 
супутникових каналів і підвищити їхню стійкість до завад. 
Також технологію MIMO використовують при оцінюванні завадової 
ситуації в каналах зв’язку, (зміни в середовищі поширення сигналу можуть 
суттєво впливати на характеристики каналу), при проектування антенних решіток, 
(оптимальний вибір кількості антен, їх розміщення і характеристики) [3]. 
Отже МIMO є однією з ключових технологій, яка забезпечує розвиток 
сучасних бездротових систем зв'язку. Завдяки своїм перевагам, MIMO знаходить 
все більш широке застосування в різних областях. 
 
 
1.3. Антенні решітки 
 
Як згадувалося, MIMO - це системи, що використовують декілька антен як 
на передавачі, так і на приймач. Кожна антена передає або приймає незалежний 
сигнал, що дозволяє використовувати просторовий вимір для збільшення 
пропускної здатності. 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
10 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
Кожна антена передає або приймає незалежний сигнал, що дозволяє 
використовувати просторовий вимір для збільшення пропускної здатності. Для 
ефективного управління цими множинними антенами використовуються антенні 
решітки. Вони дозволяють формувати вузькі промені, направлені на конкретні 
приймачі, що зменшує перешкоди та підвищує якість сигналу. Завдяки антенним 
решіткам, система може одночасно обслуговувати декількох користувачів, 
розділяючи їх сигнали в просторі. 
Антенна решітка [5] – це сукупність антенних елементів, розташованих у 
просторі певним чином і що працюють узгоджено/Така конфігурація дозволяє 
формувати діаграми направленості з необхідними характеристиками, що широко 
використовується в різних галузях радіотехніки, зв’язку та радіолокації. 
Антенна решітка є системою випромінювачів одного типу, що розташовані 
визначиним чином та збуджуються одним або декількома когерентними 
генераторами. Найбільш розповсюдженими антенними решітками є наступні: 
щілинна антена, директорна антена, поверхневі антени з напівхвильових 
симетричних вібраторів та інші. 
Класифікувати антенні решітки можна за наступними основним 
властивостями [6]: геометрія розташування випромінювачів у просторі, 
закономірності розміщення випромінюючих елементів у решітках, способу 
збудження елементів, способу обробки сигналу в решітці, типу випромінювачів та 
амплітудно-фазовому розподілу струмів в решітці.  
Згідно класифікації по геометрії розташування випромінювачів, антенні 
решітки підрозділяються на лінійні, кільцеві, дугові, плоскі, опуклі (конічні, 
циліндричні, сферичні та ін.) та просторові (тривимірні) (рис. 1.3). Просторова 
решітка в найпростішому випадку представляє собою систему з двох плоских 
решіток, паралельно розташованих в просторі.  
В залежності від розміщення випромінювачів в решітці, АР можуть бути 
еквідистантні [5], в яких відстань між випромінювачами постійна (рис. 1.3, а-д), і 
нееквідистантні, у яких крок змінюється за певним законом чи випадковим чином 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
11 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
(рис. 1.3, з). У плоских антенних решітках випромінювачі можуть бути 
розташовані в вузлах, як  прямокутної, так і косокутної координатної системи. 
 
 
 
Рис.1.3. Типи антенних решіток 
а) – лінійна решітка; б) – дугова решітка; в) – кільцева решітка;  
г) – плоска решітки; д) – циліндрична решітка; е) – конічна решітка;  
ж) – сферична решітка; з) – нееквідистантна решітка 
 
Принцип роботи АР полягає в наступному [5]. Кожен елемент антенної 
решітки випромінює електромагнітну хвилю. За рахунок інтерференції цих хвиль 
формується результуюча діаграма направленості. Шляхом зміни амплітуд і фаз 
струмів в елементах решітки можна керувати формою та напрямком головного 
пелюстка діаграми направленості. 
Можна відмітити наступні переваги антенних решіток [6]: 
- Можливість формування діаграм з різною формою та шириною головного 
пелюстка, а також придушення бічних пелюсток, тобто можливе 
керування діаграмою направленості. 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
12 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
- Антенні решітки дозволяють зосереджувати випромінювання у вузькому 
діапазоні кутів, тобто формувати вузькі діаграми направленості. 
- Можливість формування кількох променів одночасно, що дозволяє 
здійснювати одночасний зв'язок з кількома абонентами або відстежувати 
кілька цілей. 
- Адаптивність антенних решіток, тобто можливість динамічно змінювати 
діаграму направленості залежно від умов роботи. 
Антенні решітки застосовуються в радіолокації для виявлення та супроводу 
цілей, формування діаграм направленості з високою роздільною здатністю; d 
cстільниковому зв'язку для підвищення ємності мережі та покращення якості 
зв’язку; в супутниковому зв’язку для формування вузьких променів, спрямованих 
на конкретні супутники; в радіоастрономії для дослідження космічних об’єктів з 
високою точністю; в радіозв’язку для забезпечення спрямованого зв’язку та 
зменшення взаємних перешкод [7]. 
До основних параметрів антенних решіток відносяться [8]: 
Діаграма направленості – графічне зображення залежності інтенсивності 
випромінювання від напрямку. 
Ширина діаграми направленості – кут, в межах якого інтенсивність 
випромінювання перевищує певний рівень. 
Бічні пелюстки – додаткові максимуми діаграми направленості, які можуть 
призводити до перешкод. 
Коефіцієнт підсилення – відношення потужності, випромінюваної антеною 
в напрямку максимуму діаграми направленості, до потужності, випромінюваної 
ізотропною антеною при однаковій підведеній потужності. 
Сучасні тенденції в розвитку антенних решіток, це фазовані антенні 
решітки, які дозволяють електронним способом керувати фазою сигналу в 
кожному елементі решітки, що забезпечує високу швидкість сканування діаграми 
направленості [9]. Також находять поширення інтелектуальні антенні решітки, які 
використовують методи штучного інтелекту для адаптації діаграми направленості 
до змінних умов середовища, та масивні MIMO системи,  які складаються з  
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
13 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
великої кількості антен як на передавальній, так і на приймальній стороні для 
підвищення пропускної здатності та надійності бездротових систем зв’язку. 
Отже антенні решітки відіграють ключову роль у розвитку сучасних систем 
зв’язку та радіолокації. Завдяки своїм унікальним властивостям, вони дозволяють 
створювати високопродуктивні та гнучкі системи, здатні вирішувати широке коло 
задач. 
 
 
 
1.4. Принцип визначення кутового положення за допомогою фазованих 
антенних решіток 
 
Спочатку розглянемо інтуїтивно зрозумілий приклад керування променем 
фазованої решітки [9]. На рисунку 1.4 а) показана ілюстрація хвильового фронту, 
що надходить на чотири елементи антени з двох різних напрямків. Після кожного 
елемента антени в тракті прийому застосовується затримка часу, а потім усі 
чотири сигнали підсумовуються. Ця затримка збігається з різницею часу 
хвильового фронту, що вражає кожен елемент. І в цьому випадку застосована 
затримка призводить до того, що чотири сигнали надходять у фазі в точці 
поєднання. Це когерентне об’єднання призводить до більшого сигналу на виході 
об’єднувача. На рисунку 1.4 b) застосована та сама затримка; однак у цьому 
випадку хвильовий фронт перпендикулярний елементам антени. Ця затримка 
тепер зміщує фазу чотирьох сигналів, і вихід об’єднувача значно зменшується. 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
14 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
 
 
 
 
 
Рис. 1.4. Фазовані антенні решітки 
 
У фазованій решітці затримка часу є кількісно визначеною дельтою, 
необхідною для керування променем [9]. Але затримку часу також можна 
емулювати за допомогою фазового зсуву, що є звичайним і практичним у 
багатьох реалізаціях. Розглянемо реалізацію зсуву фази та виведемо розрахунок 
для керування променем із цим зсувом фази. 
На рисунку 1.5 показано цю схему фазованої решітки з використанням 
фазообертача, а не затримки часу. В цьому випадку визначається напрямок 
візування (θ = 0º) як перпендикуляр до лицьової сторони антени. Позитивний кут 
θ визначається праворуч від прямої точки візування, а від’ємний кут визначається 
ліворуч від прямої точки візування [9]. 
 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
15 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
 
 
Рис. 1.5. Концепція фазованої решітки з використанням радіочастотних 
фазообертачів 
 
Щоб візуалізувати фазовий зсув, необхідний для керування променем, між 
сусідніми елементами можна намалювати набір прямокутних трикутників, як 
показано на рисунку 1.6, де Δф –   фазовий зсув між цими суміжними елементами. 
 
Рис. 1.6. Виведення фазового зсуву Δф від кута повороту променя 
 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
16 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
Рисунок 1.6. a) визначає тригонометрію між цими елементами, причому 
кожен елемент розділений відстанню (d). Промінь спрямований у напрямку від 
проекції θ, що є кутом φ від горизонту [9].  
З рисунку  1.6. b) бачимо, що сума θ + φ = 90 o , що дозволяє обчислити L, 
дельта-відстань поширення хвилі, як L = dsin(θ). Час затримки, щоб спрямувати 
наш промінь, дорівнює часу, необхідному хвильовому фронту, щоб подолати цю 
відстань, L. Якщо ми розглядаємо L як частку довжини хвилі, тоді цю затримку 
часу можна замінити фазовою затримкою. Потім рівняння для ΔΦ можна 
визначити відносно θ, як показано на малюнку 3c і повторити в рівнянні 1. 
 
      (1.1) 
Якщо відстань між елементами становить рівно половину довжини хвилі 
сигналу, це можна спростити так: 
 
     (1.2) 
Розглянемо два елементи антени, розташовані на відстані 15 мм один від 
одного. Якщо хвильовий фронт 10,6 ГГц досягає 30º від механічної проекції, який 
тоді оптимальний фазовий зсув між двома елементами? 
• θ = 30º = 0,52 рад 
• λ = c/f = (3 × 10 8 м/с)/10,6 ГГц = 0,0283 м 
• ∆Φ = (2π × d × sinθ)/λ = 2π × 0,015 × sin(0,52)/0,0283 м = 1,67 рад = 95º 
Отже, якщо хвильовий фронт досягає θ = 30º, тоді, якщо зрушити фазу 
сусіднього елемента на 95º, спричинимо когерентне додавання окремих сигналів 
обох елементів. Це максимізує посилення антени в цьому напрямку. 
Для кращого уявлення про те, як фазовий зсув змінюється залежно від 
напрямку променю (θ), ці рівняння нанесено на рисунку 1.7 для різних умов [9]. 
На цих графіках можна зробити деякі цікаві спостереження. Для випадку d = λ/2 
існує приблизний нахил 3 до 1 поблизу проекції, який є множником π у рівнянні 
(1.2). Цей випадок також показує повний зсув на 180° між елементами, що 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
17 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
забезпечує теоретичний зсув на 90° у напрямку променю . На практиці, з 
реальними шаблонами елементів, це неможливо реалізувати, але рівняння 
показують теоретичний ідеал. Зауважте, що для d > λ/2 ніякий зсув фази не 
забезпечує повного зсуву променю. Пізніше ми побачимо, що цей випадок може 
призвести до пелюстків решітки в діаграмі спрямованості антени, і цей графік є 
першим індикатором того, що щось інше у випадку d > λ/2. 
 
 
 
Рис. 1.7. Фазовий зсув ΔΦ між елементами в залежності від напрямку 
променю (θ) для трьох випадків d/λ. 
 
Розроблені вище рівняння застосовано лише до двох елементів. Однак 
справжня фазована решітка може складатися з тисяч елементів, розташованих у 
двох вимірах. Зупинимося на  розгляді одно вимірного лінійного масиву. 
Лінійний масив –  це один елемент завширшки з N елементами поперек. 
Відстань може бути різною, але часто рівномірною. Розглянемо однакову відстань 
між кожним елементом d (рис. 5). Незважаючи на спрощену форму, ця модель 
лінійної решітки з рівномірними відстанями забезпечує основу для розуміння 
того, як формується діаграма спрямованості антени в різних умовах. Ми можемо 
далі застосувати принципи лінійного масиву для розуміння двовимірних масивів. 
 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
18 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
 
 
 
Рис. 1.8. Рівномірно розподілений лінійний масив (N = 4). 
 
Рівняння, розроблені раніше для лінійного масиву N = 2 можна застосувати 
і до лінійного масиву N = 10 000. На рисунку 1.9 здається, що кожен елемент 
антени має дещо інший кут, спрямований на сферичний хвильовий фронт [9]. 
 
 
 
 
Рис. 1.9. Джерело РЧ поблизу лінійної решітки. 
 
Коли радіочастотне джерело знаходиться поблизу, кут падіння змінюється 
для кожного елемента. Ця ситуація називається ближнім полем. Можна рахувати 
всі ці кути, і іноді потрібно зробити це для тестування та калібрування антени. 
Але якщо замість цього просто припустимо, що джерело сигналу знаходиться 
далеко, то матимемо випадок, показаний на рисунку 1.10. 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
19 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
 
 
Рис. 1.10. Джерело РЧ далеко від лінійної решітки. 
 
Коли радіочастотне джерело знаходиться далеко, великий радіус 
сферичного хвильового фронту призводить до того, що шляхи поширення хвилі 
приблизно паралельні. Тому всі кути променю рівні, і кожен сусідній елемент має 
довжину шляху L = d sinθ більшу, ніж його сусідній. Це спрощує математику та 
означає, що отримані рівняння з двома елементами можна застосувати до тисяч 
елементів за умови, що між ними є однакові відстані [9]. 
Але коли можна зробити припущення про дальнє поле? Як далеко це 
далеко? Це трохи суб’єктивно, але загалом далеке поле вважається більшим за: 
 
     (1.3) 
 
де D –  діаметр антени ((N-1)d для однорідної лінійної решітки, що 
розглядається). 
Для малого масиву (малий D) або низької частоти (великий λ) відстань 
далекого поля мала. Але для великого масиву (або високої частоти) відстань 
далекого поля може становити багато кілометрів! Це ускладнює тестування та 
калібрування масиву. Для цих умов можна використати більш детальну модель 
ближньої зони, а потім зв’язати її з дальньою зоною, реальним використанням 
масиву. 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
20 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
1.5.  Постановка задачі визначення кутового положення джерела за  
допомогою двохелементної антенної решітки 
 
Двоелементна антенна решітка є найпростішою моделлю для розуміння 
принципів роботи систем MIMO [5]. Вона складається з двох антен, розташованих 
на деякій відстані одна від одної. Кожна антена може передавати або приймати 
сигнал. 
Запишемо основні співвідношення для двоелементної антенної решітки 
(рис.1.11), при цьому будемо 
 
 
 
Рис.1.11. Двохелементна антенна решітка 
 
 
На рисунку 1.11 показані два ненаправлених антенних елемента, які 
розташовані на відстані d одна від одної. В цьому випадку посилення сигналу в 
антенному елементі однаково для будь-якого напрямку. Точкове джерело 
електромагнітної хвилі розташований під кутом   щодо нормалі до АР. Будемо 
вважати джерело досить віддаленим від АР, і тому фронт електромагнітної хвилі 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
21 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
можна вважати плоским. З рис.1.5 видно, що фронт хвилі плоский, і отже до 
лівого елементу (2-го) електромагнітна хвиля приходить з запізненням на час   
відносно правого елемента 
Запізнення   приходу хвилі на приймальний елемент обумовлено тим, що 
хвиля падає на решітку під кутом  , і зв'язок між кутом приходу хвилі і 
запізненням визначається виразом:  
 
d
 = sin        (1.4) 
c
 
де с  - швидкість поширення хвилі в середовищі, а d  - відстань між 
приймальними елементами. 
Якщо ми розглядаємо точкове джерело електромагнітної хвилі з частотою 
f0, то час затримки зводиться (1.4) зводиться до фазового зсуву хвилі. Цей фазовий 
зсув 
 
d
 = 2 sin ,       (1.5) 

0
 
де λ0 - довжина хвилі, а також враховано с = f λ0.  
Таким чином, якщо в перший елемент надходить сигнал 
 
s (t) = Acos(2f t)
1 0     (1.5) 
 
то в другому елементі сигнал буде приймати наступний вигляд 
 
d sin
s (t) = Acos(2f t + 2 )
2 0  

0    (1.6)
 
В цьому випадку комплексні амплітуди сигналів (1.5) і (1.6) будуть 
записуватися так 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
22 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
 
d sin
. . j 2

S = A S = Ae 0
1               2    (1.7) 
 
Так як, залежності від часу в співвідношеннях (1.7) немає, тозамість поняття 
комплексна обвідна можна  використовувати комплексну амплітуду. 
Діаграма спрямованості решітки може бути визначена співвідношенням 
.
d sin
j 2

G( ) = A(1+ e 0 )       (1.8) 
 
Це співвідношення і є комплексна амплітуда сигналу на виході АР, що 
залежить від кутового положення джерела сигналу. 
У співвідношенні (1.8) амплітудний множник (A) ролі не відіграє, а інтерес 
представляє залежність від напрямку надходження. Якщо обчислити модуль 
комплексної функції (1.8), то він буде визначати амплітуду сигналу на виході 
антенної решітки. А аргумент (1.8) буде являти собою фазу цього сигналу на 
виході решітки. Перша характеристика визначає посилення або ослаблення 
сигналу на виході АР, що  залежить від напрямку приходу електромагнітної хвилі. 
Тому, можна записати модуль діаграми спрямованості таким чином 
 
d sin (i−1)
2 j 2

G( ) = e 0
i=1    (1.9) 
 
Отже можна зробити висновок, що для  визначення кутового положення 
джерела сигналу, що розташоване в дальній зоні, необхідно визначити фази 
сигналів в кожному елементі двохелементної антенної решітки, та на основі їх 
різниці  з формули (1.5) визначити кут надходження хвилі. 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
23 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
2. МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН, ЩО 
СПОСТЕРІГАЮТЬСЯ ПРИ РОЗНЕСНЕОМУ ПРИЙОМІ 
 
2.1. Види завад в каналах зв’язку  
 
В попередньому розділі було показано, що для визначення кутового 
положення джерела сигналу   необхідно визначити фазу прийнятого сигналу в 
кожному елементі антенної решітки, та на основі їх різниці з формули (1.5) 
визначити кутове положення джерела сигналу. 
Дана задача має статистичний характер так як в каналах зв’язку до 
корисного сигналу додаються різноманітні завади, які накладають істотні 
обмеження на якість зв’язку та точність вирішення задач з обробки сигналів [10]. 
Розглянемо більш детально основні фактори, що впливають на якість 
бездротового зв'язку. 
Якість бездротового зв'язку значною мірою залежить від особливостей 
поширення радіохвиль. Серед основних факторів, що впливають на це, можна 
виділити багатопроменевість і ослаблення сигналу [11]. 
Багатопроменевість – це явище, коли радіосигнал доходить до приймача 
кількома шляхами через відбиття від різних об'єктів (будинків, дерев тощо). Це 
призводить до спотворень сигналу, що ускладнює його обробку і знижує якість 
зв'язку. Характер багатопроменевості залежить від таких факторів, як рельєф 
місцевості (гори, будівлі, дерева створюють перешкоди для прямого поширення 
сигналу), відбивні властивості поверхонь, так як  різні матеріали (бетон, метал, 
вода) по-різному відбивають радіохвилі, взаємне розташування антен. 
Ослаблення сигналу відбувається через поглинання радіохвиль 
атмосферними явищами, матеріалами будівель, рослинністю тощо. Наявність 
прямої видимості між передавачем і приймачем також суттєво впливає на рівень 
сигналу. 
У міських умовах канал радіозв'язку має ряд особливостей [11]. 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
24 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
Неоднорідність середовища: наявність великої кількості об'єктів, що 
відбивають сигнал, створює складну картину поширення радіохвиль. Рухливість 
абонентів: рух абонентів призводить до доплерівського зсуву частоти, що 
додатково ускладнює прийом сигналу. Затінення сигналу: будівлі можуть 
затінювати сигнал, що призводить до його ослаблення або повного зникнення. 
Зміна умов поширення радіохвиль призводить до завмирань сигналу, тобто 
коливань його амплітуди і фази. Виділяють три основні типи завмирань: дуже 
повільні, зв'язані зі зміною атмосферних умов і дальності між передавачем і 
приймачем, повільні, викликані переміщенням абонента на значні відстані і 
зміною шляхів поширення сигналу, швидкі, спричинені інтерференцією сигналів, 
що прийшли по різних шляхах. 
Вказані особливості поширення радіохвиль обмежують швидкість передачі 
даних і можуть призводити до помилок при передачі інформації.  
На практиці найчастіше розглядають моделі каналів зв’язку з білим 
гаусівським шумом.  
Модель каналу з білим гаусівським шумом (БГШ) є однією з 
найпоширеніших моделей в теорії зв'язку [10]. Вона використовується для опису 
процесів, що відбуваються під час передачі сигналу через фізичне середовище, і 
дозволяє оцінити вплив шуму на якість передачі. 
Білий шум це випадковий процес, спектральна щільність потужності якого є 
сталою для всіх частот. Це означає, що всі частотні компоненти шуму мають 
однакову середню потужність. 
Гаусівський шум це шум, амплітуда якого має нормальний (гаусівський) 
розподіл ймовірностей. Це означає, що більшість значень шуму зосереджені біля 
середнього значення, а великі відхилення від середнього є малоймовірними. 
Гауссівська функція щільності ймовірності має наступний вигляд 
 
2
1  (x −m) 
f (x) = exp−   . (2.1) 
2  2 2 
 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
25 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
 
Відповідний їй графік показаний на рисунку 2.1. 
 
 
0.8
0.6
f1(x)
f2(x)
0.4  = 0.5
 
 =1
0.2
0
− 2 0 2
x  
Рис.2.1-  Функція щільності ймовірності розподілу Гаусса (m = 0) 
 
Переваги гауссівської моделі [10]: простота, тобто модель БГШ є 
математично зручною і дозволяє проводити аналітичні розрахунки, 
універсальність, так як незважаючи на свою простоту, модель БГШ досить добре 
описує багато реальних каналів зв'язку, особливо в умовах високого 
співвідношення сигнал/шум. Також БГШ є основою для більш складних моделей. 
Модель БГШ часто використовується як основа для побудови більш складних 
моделей каналів, які враховують такі ефекти, як багатопроменевість, затінення та 
інші. 
Математично канал з БГШ можна представити як лінійну систему, на вхід 
якої подається корисний сигнал, а на виході спостерігається сума корисного 
сигналу та білого гаусівського шуму: 
y(t) = x(t) + n(t), 
де: 
y(t) - прийнятий сигнал; 
x(t) - переданий сигнал; 
n(t) - білий гаусівський шум. 
Модель каналу з БГШ широко використовується в таких областях:  
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
26 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
- Теорія інформації, для розрахунку пропускної здатності каналів 
зв'язку. 
- Цифрова обробка сигналів, для проектування приймачів і кодерів. 
- Радіолокація, для оцінки точності вимірювань. 
- Спілкування, для аналізу систем мобільного зв'язку. 
Незважаючи на свою універсальність, модель БГШ має певні 
обмеження: 
- Не враховує нелінійні спотворення: в реальних каналах можуть 
виникати нелінійні спотворення сигналу, які не враховуються в моделі 
БГШ. 
- Не враховує багатопроменевість: в умовах багатопроменевості сигнал 
може доходити до приймача по декількох шляхах, що призводить до більш 
складних моделей каналу. 
- Не враховує затінення: затінення сигналами перешкод також не 
враховується в моделі БГШ. 
Отже, модель каналу з білим гаусівським шумом є важливим інструментом 
для аналізу систем передачі даних [10]. Вона дозволяє оцінити вплив шуму на 
якість передачі і розробити ефективні методи боротьби з ним. Однак, для більш 
точного моделювання реальних каналів зв'язку необхідно використовувати більш 
складні моделі, які враховують додаткові фактори, такі як багатопроменевість, 
затінення та нелінійні спотворення. 
Зрозуміло, що реальні канали зв'язку часто демонструють відхилення від 
гауссового розподілу шуму. Це може бути обумовлено різними факторами, 
такими як: 
Нелінійні спотворення, в електронних компонентах можуть виникати 
нелінійні спотворення сигналу, що призводить до появи гармонік і інших 
компонентів, які не мають гауссового розподілу. 
Імпульсні завади, атмосферні розряди, радіоперешкоди від промислових 
установок та інших джерел можуть створювати імпульсні завади, які мають 
значно більшу амплітуду, ніж гаусівський шум. 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
27 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
Багатопроменевість, у каналах з багатопроменевістю розподіл сигналу може 
бути складним і не підкорятися гауссовому закону. 
Існує багато різних типів негаусівських завад, кожен з яких має свої 
особливості. Деякі з найбільш поширених [12]: 
Імпульсні завади: характеризуються високою амплітудою і короткою 
тривалістю. Часто моделюються за допомогою процесів Пуассона або інших 
імпульсних процесів. 
Альфа-стабільні розподіли: ці розподіли узагальнюють нормальний 
розподіл і дозволяють описувати процеси з важкими хвостами, тобто процеси, в 
яких великі відхилення від середнього значення більш ймовірні, ніж у випадку 
гауссового розподілу. 
Гамма-розподіл: цей розподіл часто використовується для моделювання 
імпульсних завад. 
Логарифмічно-нормальний розподіл: цей розподіл використовується для 
опису випадкових величин, які є добутком багатьох незалежних випадкових 
величин. 
Отже, негаусівські завади можуть значно погіршити якість передачі даних. 
Вони можуть призводити до: збільшення ймовірності помилок, погіршення 
спектральної ефективності, ускладнення процесу приймання. Тому врахування  
негаусівських завад відіграє важливу роль в аналізі та проектуванні систем 
зв'язку. Вони дозволяють більш точно оцінити вплив реальних завад на якість 
передачі даних і розробити більш ефективні методи боротьби з ними. 
Хоча моделі негаусівських завад дозволяють більш точно описувати реальні 
канали зв'язку, вони мають свої обмеження та недоліки [12]: 
Перш за все це математична складність та складність генерування. Моделі 
негаусівських завад зазвичай є більш складними для аналізу порівняно з 
моделями гаусівського шуму. Це пов'язано з відсутністю простої аналітичної 
форми для багатьох негаусівських розподілів. Генерація випадкових чисел з 
негаусівським розподілом може бути більш обчислювально складною, ніж 
генерація гауссового шуму. 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
28 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
По-друге, не існує єдиної універсальної моделі негаусівських завад, яка б 
підходила для всіх випадків. Вибір моделі залежить від конкретних умов каналу. 
Також, алгоритми обробки сигналів, розроблені для гаусівського шуму, 
можуть бути неефективними для негаусівських завад. Це вимагає розробки нових, 
більш складних алгоритмів.  Параметри моделей негаусівських завад можуть мати 
не завжди очевидний фізичний зміст, що ускладнює їх інтерпретацію. Не існує 
єдиного стандартизованого методу вимірювання характеристик негаусівських 
завад, що ускладнює верифікацію моделей. 
Незважаючи на ці недоліки, моделі негаусівських завад є важливим 
інструментом для дослідження та проектування сучасних систем зв'язку. Вони 
дозволяють більш точно оцінити вплив реальних завад на якість передачі даних і 
розробити більш ефективні алгоритми обробки сигналів. Тому в роботі будемо 
розглядати випадок, коли на корисний сигнал впливають саме негаусівські завади. 
 
 
 
2.2. Математичний опис негаусівських завад 
 
Для опису негаусівських завад використовують різноманітні математичні 
моделі, які дозволяють врахувати специфіку конкретного типу завад. 
Зазвичай випадкові величини описують за допомогою наступних 
характеристик [12]: 
- Функція щільності ймовірності –  описує ймовірність того, що випадкова 
величина прийме певне значення. 
- Характеристична функції. 
- Кумулянти  –  числові характеристики розподілу, які пов'язані з моментами 
розподілу. 
Для негауссівських розподілів функції щільності ймовірності мають досить 
складний вигляд. Розглянемо приклади розподілів поширених в каналах зв’язку. 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
29 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
Розподіл Релея – це статистичний розподіл, який часто використовується 
для опису амплітуди випадкової величини, що є сумою квадратів двох 
незалежних гауссових випадкових величин з нульовим математичним 
очікуванням і однаковою дисперсією [10]. Іншими словами, це розподіл, який 
виникає, коли ми маємо суму двох незалежних випадкових помилок, які 
розподілені за нормальним законом. 
Функція щільності ймовірності Релея має вигляд 
a  a2 
f (a) = exp−         (2.2)  
 2
 2 2

 
Відповідний їй графік зображено на рисунку 2.2. 
 
 
 
Рис.2.2 -  Функція щільності ймовірності розподілу Релея. 
 
Райсовський розподіл (або розподіл Райса) є статистичним розподілом, який 
часто використовується для опису амплітуди випадкової змінної, яка є сумою 
двох незалежних гауссових випадкових величин, одна з яких має ненульове 
середнє значення [10]. Іншими словами, це розподіл, який виникає, коли до 
чистого синусоїдального сигналу додається гаусівський шум. 
Функція щільності ймовірності розподілу Райса має наступний вигляд 
 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
30 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
2 2
a  (a +m )   a m 
f (a) = exp−  I (2.3) 
 2  2  0  2 
2
    
   
 
Відповідний їй графік представлений на рисунку 2.3 
 
 
 
Рис.2.3 - Функція щільності ймовірності розподілу Райса 
 
Найбільш простішим вважається моментний-кумулянтний опис випадкових 
величин [13].  
Моментний-кумулянтний опис є потужним інструментом у статистиці та 
теорії ймовірностей, який використовується для характеристики розподілів 
випадкових величин. Він дозволяє детально описати форму розподілу, його 
симетрію, гостроту піків та інші важливі характеристики. 
Моменти – це числові характеристики розподілу, які визначаються як 
математичне очікування степенів випадкової величини. Найбільш відомими 
моментами є математичне очікування (перший момент) і дисперсія (другий 
центральний момент). Вищі моменти надають інформацію про асиметрію та 
ексцес розподілу. 
Кумулянти – це функції, які пов'язані з моментами і надають більш зручний 
спосіб опису розподілу, особливо для складних розподілів. Перший кумулянт 
дорівнює математичному очікуванню, другий – дисперсії, третій – коефіцієнту 
асиметрії, а четвертий – коефіцієнту ексцесу. 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
31 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
За допомогою моментів і кумулянтів можна отримати детальну інформацію 
про розподіл завад, що дозволяє краще розуміти їх природу та вплив на систему, 
виявити відхилення від нормального розподілу, розробляти адаптивні алгоритми 
обробки сигналів, які будуть більш ефективними в конкретних умовах, а також 
оцінити якість сигналів і виявити наявність спотворень. 
До переваг моментного-кумулянтного опису можна віднести 
універсальність, так як опис може бути застосований до різних типів завад, та 
детальність, тобто такий опис надає детальну інформацію про розподіл завад.  
Серед недоліки моментного-кумулянтного опису можна виділити наступні: 
- Чутливість до викидів: Високі моменти і кумулянти можуть бути сильно 
чутливими до викидів в даних. 
- Складність обчислень: Для високих порядків моментів і кумулянтів 
обчислення можуть бути складними. 
Незважаючи на вказані недоліки, моментно-кумулянтний опис є потужним 
інструментом для аналізу завад. Він дозволяє отримати детальну інформацію про 
їх розподіл і розробляти більш ефективні алгоритми обробки сигналів. Тому в 
роботі будемо використовувати, саме моментно-кумулянтний опис випвдкової 
величини, що приймається антенною решіткою.  
 
 
 
2.3. Визначення початкових моментів випадкової величини, що 
спостерігається 
 
Отримаємо моментно-кумулянтний опис для випадкової величини, що буде 
спостерігатися на вході приймального елементу. Будемо вважати, що випадкова 
величина є  адитивною сумішю прийнятого корисного сигналу Sv  і негауссівської 
завади, та з неї береться дискретна вибірка  
 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
32 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
v = Sv + nv  v =1,n        (2.4) 
 
де n  - завада в приймальному елементі, яку вважатимемо негауссівською 
v
випадковою величиною 
Як було визначено раніше, будемо застосовувати підхід до опису 
негауссівських завад у вигляді  послідовності початкових моментів та повязаних з 
ними кумулянтних функцій [13]. Даний опис буде використовуватися при 
оцінюванні невідомого параметру корисного сигналу. 
Відомо, що  початкові моменти завади, які позначимо  i , і-го порядку,  
повязані з кумулянтами  i  наступними відомими виразами [13]: 
 
1 = 0 ,   2 = 2  
3 = 3 ,   4 = 4 + 3 2
2 , 
5 = 5 +1023      (2.5) 
6 = 6 +1524 +10 2 3
3 +152  
 2
7 = 7 + 3534 + 2125 + 23  
8 = 8 + 2826 + 2802
2
3 + 35 2
4 + 56  + 210 2
3 52 24 +105 4
2  
.   .   . 
 
Непарні коефіцієнти  3 ,5 ,7 ,...  показують асиметрією розподілу, а парні 
кумулянти 4 ,6 ,8 ,...  показують  ексцес розподілу.  
На практиці зручніше користуватися безрозмірними кумулянтами, а саме, 
кумулянтними  коефіцієнтами [13], які визначаються як 
 

 = n       (2.6) 
n 0,5n

2
 
Розрахуємо початкові моменти (2.5) через кумулянтні коефіцієнти (2.6)  
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
33 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
 
 
1 = 0 ,  2 = 2 ,   
 3/2
3 = 2  3 ,     
4 = 
2
2 ( 4 + 3) ,                                                (2.7) 
 =  5/2
5 2 ( 5 +10 3 )  
6 = 
3
2 ( 6 +15 4 +10 2
3 +15)  
7 = 
7/2
2 ( 3 + 35 3 4 + 21 5 +105 3 )  
8 = 
4
2 ( 8 + 28 6 + 280 2
3 + 35 2
4 +56 3 5 + 210 4 +105)  
.   .   . 
 
Найчастіше, будуть використовуватися кумулянтні коефіцієнти менших 
порядків,    і  , які  називають коефіцієнтами асиметрії та ексцесу, 
3 4
відповідно[13]. 
Так як в роботі, випадкова величина представляє адитивну суміш корисного 
сигналу та завади, то для подальших розрахунків необхідно визначити  початкові 
моменти випадкової величини   в цілому, враховуючи вираз (2.4). 
Розрахуємо моменти випадкової величини, що спостерігається за 
наступною формулою [12] 
miv = E ( i
v ) . 
 
Отримаємо 
m1v = sv ,  
m2v = 2 + s2
v ,  
3
m =  2
3v 2 3 + 3sv2 + sv ,  
3
m 2 2 2 4
4v = 2 ( 4 +3) + 4sv2 3 + 6sv 2 + sv ,        (2.8) 
5 3
m =  2 ( +10 ) +5s  2 2 2 2 3 5
5v 2 5 3 v( p) 2 4 +15sv( p)2 +10sv( p)2 3 +10sv2 + sv ,  
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
34 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
5
m =  3( +15 +10 2 2
6v 2 6 4 3 +15)+ 6sv(p)2 ( 5 +10 3 )+
 
3
+15s2
v(p)
2
2 ( 4 +3)+ 20s3 2
v2 3 +15s4
v2 + s6
v.
 
 Отримані вирази початкових моментів, випадкової величини, що 
спостерігається (2.8) будемо застосовувати для знаходженні оцінки невідомого 
параметра корисного сигналу. 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
35 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
3. АЛГОРИТМИ ВИЗНАЧЕННЯ КУТОВОГО ПОЛОЖЕННЯ  
ДЖЕРЕЛА СИНГАЛУ  
 
3.1. Методи оцінювання параметрів випадкових величин 
 
Так як корисний сигнал приймається на фоні завад, то необхідно провести 
оцінювання невідомого параметру. Оцінювання параметрів - це статистичний 
процес визначення невідомих параметрів випадкової величини за наявними 
даними вибірки, тобто отримання наближеного значення параметру [12]. 
Проблема оцінювання параметрів сигналу в зашумлених умовах є однією з 
найважливіших в обробці сигналів. В реальних системах корисний сигнал завжди 
супроводжується різноманітними завадами, які спотворюють інформацію і 
ускладнюють процес вилучення корисних даних. 
Існують різні методи оцінювання параметрів сигналу. Вибір методу 
оцінювання залежить від типу сигналу (детермінований, випадковий, 
стаціонарний, нестаціонарний), типу завади (адитивна, мультиплікативна, 
корельована, некорельована), апріорної інформації про сигнал і заваду [12]. 
Широко відомі наступні класичні методи: 
Метод найменших квадратів – застосовується для оцінки параметрів 
лінійних моделей, при цьому інімізується сума квадратів відхилень між 
модельними і виміряними значеннями. 
Метод максимальної правдоподібності – знаходить такі значення 
параметрів, при яких спостережувані дані є найбільш ймовірними та  вимагає 
знання розподілу ймовірностей сигналу і завади. 
Байєсівський метод –  враховує априорну інформацію про параметри, 
оцінка параметра розглядається як випадкова величина та вимагає визначення 
априорного розподілу параметра. 
Метод моментів – оцінки параметрів знаходяться шляхом прирівнювання 
теоретичних моментів розподілу до їх вибіркових аналогів. Простий у реалізації, 
але може бути неефективним. 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
36 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
Фактори, що впливають на точність оцінки: 
Останнім часом набирають популярності сучасні методи: 
Адаптивні фільтри –  дозволяють оцінювати і компенсувати зміни 
параметрів сигналу і завади в реальному часі. 
Методи машинного навчання –  дозволяють вирішувати складні задачі 
оцінювання параметрів, особливо в умовах великих даних. 
Методи, що базуються на моментно-кумулянтній характеристиці 
випадкових величин і дозволяє ефективно оцінювати параметри сигналів навіть у 
випадку негаусівських завад. Одним з таких методів є метод максимізації 
поліному. 
Метод максимізації поліному є одним з потужних інструментів для оцінки 
параметрів сигналів на фоні завад, особливо коли традиційні методи, такі як 
метод найменших квадратів або метод максимальної правдоподібності, не дають 
задовільних результатів. Основна ідея методу полягає в побудові спеціального 
поліному, коефіцієнти якого залежать від невідомих параметрів сигналу. Далі, за 
допомогою вибіркових моментів або кумулянтів обчислюються значення цього 
поліному,  і   шляхом   його  максимізації знаходяться оцінки шуканих параметрів 
випадкової величини [14]. 
Переваги методу максимізації поліному: 
Ефективність при негаусівських завадах, метод особливо ефективний для 
оцінки параметрів сигналів на фоні завад з негуасівським розподілом, де 
традиційні методи можуть давати неточні результати. 
Гнучкість, метод може бути застосований для оцінки різних типів 
параметрів, таких як частота, фаза, амплітуда, тривалість імпульсів тощо. 
Можливість використання апріорної інформації, в метод можна інтегрувати 
апріорну інформацію про сигнал і завади, що підвищує точність оцінки. 
Недоліки  даного методу: складність обчислень (для високих степенів 
поліномів розв'язання системи рівнянь може бути складним завданням), 
чутливість до вибору полінома, вибір неправильного полінома може призвести до 
невірних оцінок, необхідність наявності априорної інформації про сигнал і завади. 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
37 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
Проаналізувавши методи знаходження оцінок параметрів випадкової 
величини, оберемо метод максимізації поліному, для оцінювання фазового здвигу 
сигналу прийнятого двохелементною антенною решіткою. Розглянемо цей метод 
більш детально. 
 
 
 
3.2. Оцінка параметрів сигналу методом максимізації полінома 
 
Нехай спостерігається скалярна випадкова величина   і нехай з цієї 

випадкової величини зроблена незалежна вибірка x = (x1,x2 ,...,xn )  об'ємом n  
неоднаково розподілених вибіркових значень. І як описувалося раніше, кожна 
випадкова величина описується послідовністю початкових моментів miv ()  i -го 
порядку i = 1,2s , s = 1,2,..., що залежать від невідомого параметра  , який і потрібно 
оцінити. Будемо вважати, що існує істинне  значення 0 .  
Відповідно до методу максимізації полінома, при використанні степеневих 
поліномів для перебування оцінок параметрів застосовується поліном s-того 
степеня виду [15] 
 
 n s
lsn (x;)=k ( p) i
iv ()xv − k0 ()  ,        (3.1) 
v=1 i=1
 
де коефіцієнти поліному kiv ()  і k0 ()  є функціями параметра   і відповідно рівні 
 
n s
kiv ()= hiv ()d  ,  k0 () =hiv ()miv ()d . 
v=1 i=1
 
При цьому коефіцієнти hiv ( ) , які також залежать від параметра   
знаходяться з рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь виду 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
38 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
 
s d
h jvF(i, j )v () = miv ()  ,   j = 1, s ,   (3.2) 
j=1 d
де функції 
 
F(i. j )v () = m(i+ j )v () − miv () m jv () ,    (3.3) 
 
називаються центрованими корелянтами. 
Якщо стохастичний поліном продиференціюємо по  , те оцінку параметра 
  можна знаходити з рішення рівняння  
 
d 
lsn (x;) ˆ = 0  ,  
d =
 
що у розгорнутому виді буде  
 
n s
h ()[x i
iv v −miv ()] ˆ = 0     (3.4) 
=
v=1 i=1
 
Це рівняння називається рівнянням максимізації полінома [12]. 
Отже, метод максимізації полінома полягає в тому, що при заданій вибірці 

x  оцінка   знаходиться з рішення рівняння (3.4), у якому коефіцієнти поліному 
hiv ( )  знаходяться з рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь (3.22). 
Як видно з (3.22), для розрахунку коефіцієнтів hiv ( )  використовуються 
тільки початкові моменти різного порядку, тобто, при знаходженні  оцінок 
методом максимізації полінома як апріорну інформацію застосовують початкові 
момент до порядку 2s  кожного вибіркового значення. 
Дисперсія оцінок, знайдених методом максимізації полінома асимптотично 
дорівнює [12] 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
39 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
2 1
   ,      (3.5) 
J sn ()
де J ()  розраховується як 
sn
 
d  d 2 
J sn () = E[ lsn (x;)]2 = E[− lsn (x;)]    (3.6) 
d d 2
 
чи в розгорнутому виді 
 
n s s n s d
J sn ( )=hiv ()h jvF(i, j )v ()=hiv () miv ()    (3.7) 
v=1 i=1 j=1 v=1 i=1 d
 
Функція параметра J sn ( ) визначена рівностями (3.6) і (3.7), називається 
кількістю інформації, що витягається, про скалярний    параметр методом 

максимізації полінома з незалежної, неоднаково розподіленої x  вибірки скалярної 
випадкової   величини при використанні степеневого стохастичного полінома 
s ступеня [12]. 
Позначимо через jsv ()  наступний вираз: 
 
s s s d
jsv () =hiv () h jv () F(i, j)v () =hiv () miv () .  (3.8) 
i=1 j=1 i=1 d
 
Тоді кількість інформації, що витягається, буде дорівнює 
 
n
J sn ()= jsv () 
v=1
 
У такий спосіб одержали, що кількість інформації, що витягається, 
дорівнює сумі jsv ()  значень, що визначають кількість інформації, що 
витягається, з окремого вибіркового значення. 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
40 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
Функція j () , визначена рівністю (3.9), називається кількістю інформації, 
sv
що витягається, про   параметр з одного v-го вибіркового значення. 
Для кількості інформації, що витягається, у загальному випадку 
справедлива рівність [12] 
 
J sn ( )I ( ) . 
 
І тільки при певних обмеженнях, що накладаються на щільності розподілу 
вибіркових значень і початкових моментів може досягатися  рівність 
 
lim J sn ( )= I ( ) . 
s→
 
Звичайно на практиці доцільно знаходити оцінки при кінцевому s  і, отже, у 
цьому випадку оцінки не будуть ефективними, але можуть незначно відрізнятися 
від ефективних.  
 
 
3.3.. Знаходження оцінки методом максимізації поліному при степені 
полінома s =1 
 
 Нехай спостерігається випадкова величина 
 
  = S            (3.9) 
v v (0)+ nv
 
де nv  - негауссівська випадкова величина  із нульовим математичним сподіванням 
, S v  - невипадкова величина, яка дорівнює  
 
 Sv (0 ) = a 0 cos(0v +0 ) ,          (3.10) 
 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
41 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
де   - вірне значення фази. 
0
 Нехай параметр v  приймає послідовність значень 1, 2, ... n  і при кожному 
значенні v  проводиться вимір одного вибіркового значення x v  з випадкової 
величини (3.9). Припустимо, що вибіркові значення x  і x r , при v  r  статистично 
v
незалежні. 
 Тоді при спостереженні над випадковою величиною   будемо мати 
множину неоднаково розподілених і статистично незалежних випадкових 

вибіркових величин (вибірку) X = {x1 , x 2 ,...x n } . 
 Згідно технічного  завдання, значення параметрів a 0  та   відомі і 
0
необхідно знайти методом максимізації поліному оцінку параметра ̂ . 
Згідно  методу при s =1 оцінка ̂  знаходиться з рішення рівняння 
 
n
 h1v ()[xv −m1v ()] = 0 ,          (3.11) 
v=1 =ˆ
 
де m1v = Sv () , розраховано в попередньому розділі. 
а коефіцієнт h1v () , v =1, n , знаходиться з рішення системи лінійних алгебраїчних 
рівнянь (3.4) та буде дорівнювати 
 
1 dS ()
h1v () = v  
2 d
 
Підставивши коефіціенти, легко знайти, що оцінка фази гармонійного 
коливання буде дорівнювати 
 
n
 x v sin 0v
 ˆ = −arctg v=1 .     (3.12) 
n
 x v cos0v
v=1
 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
42 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
Це відома оцінка, що знаходить широке застосування в прикладних задачах . 
 Алгоритм (3.12) є оптимальним для випадку, коли перешкода є 
гауссівською. Перевагами такої оцінки є простота її обчислення та технічної 
реалізації,  тадля знаходження такої оцінки не потрібно знати значення інших 
параметрів сигналу (наприклад, a 0 ) та завади (наприклад,  ,  3  і т.д.). 
2
Знайдемо дисперсію оцінки (3.12) використовуючи формули (3.5) та (3.7)   
 
2
 2
1 =
2 .      (3.13) 
a 2
0n
 
З отриманого виразу, по-перше, видно, що дисперсія оцінки фази (3.12) не 
буде залежати від значення самої фази  , та, по-друге, чим більше буде 
відношення сигнал-шум по потужності 
 
a 2
q = 0 , 
 2
 
тим менша буде дисперсія оцінки фази. 
Згідно формули (3.12) розробимо блок-схему реалізації алгоритму 
оцінювання фази (рис. 3.1).  
 
Рис. 3.1 Блок-схема реалізації алгоритму оцінювання фази при s =1 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
43 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
 
 
Як видно з рисунку 3.1, для знаходження оцінки необхідно  застосувати 
задаючий генератор (гетеродин) Г, який буде генерувати дискретні значення 

синусного гармонійного коливання, та зсувом фази на  отримаємо косинусне 
2
гармонійне коливання. Кожне вибіркове значення x  помножується на відповідне 
v
v -е синусне sin 0 v  і v -е косинусне cos v  значення. Далі отримані результати 
0
циклічно додаються для значень v  від 1 до n . Результати підсумовування 
діляться і від отриманого значення обчислюється арксинус. Таким чином 
отримується оцінка фазового зсуву в одному з приймальних елементів 
двохелементної антенної решітки. 
 
 
 
3.4. Знаходження оцінки фази гармонійного сигналу при s = 2  
 
Відповідно до методу максимізації поліному оцінка фази ̂  буде 
знаходиться з рішення рівняння (3.4), яке при другому степені прийме вигляд 
 
n n
 h1v ()[x v −m1v ()]+h 2v ()[x 2
v −m2v ()] = 0 ,         (3.14) 
v=1 v=1 =ˆ
 
де попередньо знайдений момент другого порядку  
 
m 2v () = S2
v () +  2 , 
 
а коефіцієнти h1v ()  і h 2v ()  знаходяться з розв’язку системи лінійних 
алгебраїчних рівнянь 
 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
44 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
 dm ()
h1v ()F(1,1)v () + h 2v ()F(1,2)v () = 1v
 d
          (3.15) 
 dm ()
h ()F 2v
 1v (1,2)v () + h 2v ()F(2,2)v () =
 d
 
Визначимо центровані корелянти  
 
F(1,1)v () = 2 , 
F(1,2)v () = 1.5
2  3 + 22Sv ,    (3.16) 
F 2
(2,2)v () = 2 ( 4 + 2) + 4 S 2 + 41.5
2 v 2  3Sv . 
 
Тоді, лінійну систему (3.15)  розв’яжемо методом Крамера. Для цього 
знайдемо головний визначник матриці  
 
 1.5
2 2  3 + 22Sv , 
1.5 2
2  3 + 22Sv 2 ( 4 + 2)+ 4 S 2 1.5
2 v + 42  3Sv
 
позначимо  як    
2
 
2 = 
3
2(4 + 2 − 2
3 ) .    (3.17) 
 
А коефіцієнти h1v ()  і h ()  відповідно будуть рівні 
2v
 
1 dS ()
h () = v [ 2 1.5
1v 2 ( 4 + 2)+ 22  3Sv ()] ,  (3.18) 
2 d
1 dS ()
h () = − v 1.5
2v 2  3 . 
2 d
 
 
 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
45 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
Підставивши отримані коефіцієнти в рівняння максимізації поліному, 
отримаємо 
 
n n
0,5
2 ( 4 + 2) x v sin(0v + ) + 2 3a 0 x v sin(0v + ) cos(0v + ) −
v=1 v=1   (3.19) 
n
−  3 x 2
v sin(0v + ) = 0
=ˆ
v=1
 
Для спрощення запису введемо такі позначення 
 
n
Z r
r(s)k = x v sin k0v ,         (3.20) 
v=1
n
Z r
r(c)k =x v cosk0v ,  r, k =1,2,... 
v=1
 
Величини Z r(s)k  і Z r(c)k  назвемо статистиками степеня r  с частотою k , тому 
що  до них входять вибіркові значення, підведені до степені r  і кожне з них 
множиться на  значення гармонійного коливання частоти k . Тоді Z r(s)k  буде 
синусна статистик, а Z r(c)k  - косинусна статистика. При цьому перший індекс у Z  
( r ) вказує на величину степені вибіркового значення, другий індекс вказує, яка 
саме зі статистик використовується, синусна (s) чи косинусна (c); а третій індекс 
вказує на розмір частоти. Для прикладу, статистика Z2(s)4  - називається синусною 
статистикою 2-ї степені з 4-ю частотою і має вид  
 
n
Z =x2
2( c )4 v cos40v , 
v=1
 
Після введення запропонованих позначень та проведення математичних 
перетворень, рівняння максимізації поліному для знаходження оцінки ̂  
запишеться в наступному вигляді  
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
46 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
 
[0,5 ( + 2)Z 0,5
2 4 1(c)1 −  3Z2(c)1 ]sin  + [2 ( 4 + 2)Z1(s)1 −  3Z2(s)1 ]cos +
      (3.21) 
+ a 0 3[Z1(c)2 sin 2 + Z1(s)2 cos2] = 0.
=ˆ
 
Як бачимо, при s = 2  рівняння максимізації поліному для знаходження 
оцінки фази є трансцендентним нелінійним  рівняння, і його потрібно вирішувати 
або за допомогою ітеративної процедури Ньютона-Рафсона, або за допомогою 
адаптивної процедури.  
З рівняння (3.21) бачимо, що в цьому випадку оцінка буде залежати від 
амплітуди сигналу a 0 , та параметрів негауссівської перешкоди: дисперсії  , 
2
коефіцієнту асиметрії  3  та коефіцієнт ексцесу  4 . Згідно технічного завдання до 
роботи  дані  параметри вважаються апріорно відомими. 
Також розробимо блок-схему алгоритму обчислення оцінки фази сигналу 
при другому степені поліному. Алгоритм розбитий на три блоки. У першому 
блоці (блоці гетеродинів), є задаючий дискретний генератор Г, який генерує 
гармонійні коливання, дискретні sin 0 v , v =1, n . З цього сигналу також 

формується коливання зсунуте по фазі на , тобто косинусне гармонічне  
2
коливання cos0v . Далі з них формуються синусні і косинусні коливання з 
подвоєною частотою. Таким чином у блоці гетеродинів формується чотири 
гармонійних коливання, а саме, sin 0 v , cos sin 2 v
0v , 0  і cos20v . 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
47 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
 
 
Рис. 3.2. Блок-схема реалізації алгоритму оцінювання фази при s = 2  
  
 У блоці II  будуть формуватися статистики Z r(s)k  і Z r(c)k , шляхом піднесення 
вибіркових значень x v  до відповідного степеня, множенням на косінусні або 
сінусні складові та циклічним підсумовуванням. В блоці III , на з використанням 
отриманих статистик формується значення лівої частини рівняння (3.21). 
Сформоване рівняння поступає у вирішальний пристрій в якому здійснюється 
виконання ітеративного алгоритму рішення рівняння відповідно до обраного 
чисельного методу. Рішення лівої частини рівняння відбувається при різних 
значеннях   згідно ітеративного алгоритму тому в блок-схемі передбачено 
зворотній зв'язок для значень sin , cos , sin 2  і cos2 . 
 Також в  блок-схемі передбачені виходи сигналів блока гетеродинів, які 
можуть використовуватися для синхронного вимірювання фази сигналу на виході 
другого приймального елементу антенної решітки. 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
48 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
Для аналі зу точності розробленого алгоритму, розрахуємо дисперсію 
оцінки фази, що знаходиться з рішення рівняння (3.21). Як вже було сказано, 
дисперсія оцінки обернено дорівнює величіні кількості вилученої інформації при 
s = 2 .  
 У даному випадку кількість вилученої інформації про фазу буде 
дорівнювати 
 
n dm () n dm ()
J 2n ( ) =h ( ) 1v +h ( ) 2v
0 1v 0 2v 0 . 
d 0 d 0
v=1 v=1
 
Підставивши знайдені значення коефіцієнтів, знайдемо 
 
2 ( + 2) n
2 4 dSv ()
 J ( ) =  ( )2
2n 0 .         (3.22) 
 2 v=1 d
 
Отже, дисперсія оцінки буде дорівнювати 
 
2 2  2
2 = [1− 3 ] .         (3.23) 
n dSv () 2  4 + 2
 ( )
v=1 d
 
Або  
 
2  2
2 = 2 3
2 [1− ] .         (3.24) 
a 2
0n  4 + 2
 
Якщо порівняємо отриманий вираз (3.24)  з  (3.13), бачимо, що дисперсія 
оцінки фази в загальному випадку відрізняється ніж при в деякий коефіцієнт, який 
позначимо q (21)   
 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
49 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
 2
 q 3
21 =1− .          (3.25) 
 4 + 2
 
Коефіцієнт q (21)  буде менший за одиницю, тобто вказує на зменшення 
дисперсії оцінки, та називається коефіцієнтом ефективності і залежить від значень 
коефіцієнтів асиметрії  3  та ексцесу  4 . Так як для коефіцієнтів  3  і  4  
виконується нерівність [14] 
 
 4 + 2   2
3 . 
 
q (21)  може дорівнювати 1, якщо 3 = 0 , але тоді ніякого зменшення дисперсії 
не буде. Для негауссівських завад коефіцієнт асиметрії відмінний від нуля. Тому, 
для негауссівських завад дисперсія оцінки фази, знайденої методом максимізації 
поліному при s = 2  буде менше, ніж при s =1.  
 На рисунку 3.3 побудований графіки залежностей q (21)  від  3  при різних 
значень  4 . 
 
Рис. 3.3. Графік залежностей q (21)  від  3  при різних значень  4  
  
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
50 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
Як видно з графіку (рис.3.3) існують завади, для яких зменшення дисперсії 
може бути досить значним, а значить оцінки параметрів більш точними. 
Використовуючи отримані результати можна легко одержати алгоритм 
визначення кутового положення джерела сигналу. Для цього потрібно провести 
оцінювання фази сигналу на виході кожного приймального елементу, знайти 
різницю фаз, та за формулою (1.5) розрахувати кут. На рисунку 3.4 приведена 
розроблена блок-схема обчислення кута надходження сигналу на двохелементну 
антенну решітку. За допомогою блока генераторів виконується синхронізація 
обробки сигналів, які отримуються від кожного приймального елемента решітки. 
 
 
Рис. 3.4. Блок-схема обчислення кута надходження сигналу на АР 
 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
51 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
 
3.5. Оцінювання фази сигналу при  s=3 
 
Будуємо рівняння максимізації полінома при третьому степені s = 3, з 
рішення якого буде знаходитися оцінка фази сигналу  
 
n n
h 2
1v ()[xv −m1v ()]+h2v ()[xv −m2v ()]+
v=1 v=1                        (3.26) 
n
+h 3
3n ()[xv −m3v ()] = 0
=ˆ
v=1
 
Особливістю при третьому степені поліному, є те що вибіркові значення, 
підводяться ще і до третього степеню а потім всі значення, аналогічно, 
підсумовуються з визначеною вагою.  
Коефіцієнти h1v () , h ()  і h ()  будуть знаходяться з рішення системи, що 
2v 3v
складається з 3-х лінійних рівнянь 
 
 dm ()
h1v ()F(1,1)v () + h ()F () + h ()F () = 1v
2v (1,2)v 3v (1,3)v
d

 dm
h ()F () + h ()F () + h ()F () = 2v ()
 1v (1,2)v 2v (2,2)v 3v (2,3)v              (3.27) 
 d
 dm ()
h1v ()F(1,3)v () + h2v ()F(2,3)v () + h3v ()F(3,3)v () = 3v
 d
 
Похідна третього моменту m ()   
3v
 
dm3v () dS ()
= 3[S 2 v
v ()+ 2 ] . 
d d
 
Вирази для центрованих корелянти F(1,1)v ()  та F(1,2)v ()  приведені в 
попередньому пункті, а інші розрахуємо 
 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
52 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
F(2,2)v () =  2
2 ( 4 + 2) + 4 3/2
2  3Sv () + 42 S 2
v () , 
 
F () =  2 ( +3) +3 S 2 () +3 3/2
(1,3)v 2 4 2 v 2  3Sv () , 
 
F () =  5/2 ( +9 ) +5 2 S () + 6 S 3() +9 2,5 2 2
(2,3)v 2 5 3 2 4 v 2 v 2  3Sv () +122 Sv ( ) , 
 
F 3 2 4 2,5
(3,3)v () = 2 ( 6 +15 4 +9 3 +15)+92Sv ()+ 62 ( 5 +9 3)Sv () +
 
+181,5
2  S 3
3 v ()+3 2
2 (5 2 4
4 +12)Sv ()+92Sv ()
 
Вирішимо систему (3.27) методом Крамера: 
 
 4 dS ()
h1v () = 2 v [2 (2 + 2 2 2
6 6 4 −15 3 5 − 5 +12 4 +30 4 +9 3 4 −
3 d
−36 2 +12)+  0,5 3
3 2 Sv ()(2 6 3 − 2 4 5 + 6 3 4 +12 3 +18 3 ) +  
+S 2
v ()(3 5 3 −3 2
4 −6 2
4 +18 3 )]
 
 4 dS ()
h () = 2 v [ 0,5 3
2v 2 ( 6 3 −3 3 4 + 5 4 −9 3 −6 3 )+
3 d ,                                  (3.28) 
+Sv ()(−3 2
5 3 +3 4 + 6 4 −18 2
3 )]
 
 4 dSv ()
h3v () = 2 ( 5 3 −
2
4 − 2 4 + 6 2
3 ) , 
3 d
 
де головний визначник системи  
 
 6 2
3 = 2(26 + 64 − 63 −1235 + 234 − 3
5 4 + 72
4 + 244 +
. 
+122 − 242
3 4 3 −94
3 +12)
 
Так як коефіціенти (3.28), що залежать від кумулянтних коефіцієнтів до 
шостого порядку, досить громіздкі,  для спрощення записів введемо наступні 
позначення 
 
A = 2 +   −15  − 2 2
11 6 6 4 3 5 5 +124 + 304 + 92
34 − 362
3 +12  
A12 = 263 − 245 + 634 +12 3    
3 +183 A13 = 35 − 32 − 6 +182  
3 4 4 3
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
53 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
A =   − 3  +   − 93 − 6 , A = −3  + 32 + 6 −182 , 
21 6 3 3 4 5 4 3 3 22 5 3 4 4 3 A31 = 53 − 
2
4 − 24 + 62   
3
 
 
Тоді  виконавши математичні перетворення отримаємо рівнянь максимізації 
поліному з рішення якого, буде знаходитися оцінка фази гармонічного сигналу, 
який приймається елементом антенної решітки на тлі негауссівських завад. 
 
n
[(2  A11 + a2
0 / 4  A13)(v − p )sin(0v +) +
v=1
+ 0.5 2
2 a0 A12 (v − p )sin (0v +) +
+A13(v − p )sin3(0v +)] xv( p) +                            (3.29) 
+[ 0.5
2 a0 / 2  A12 (v − p )sin(0v +) +
+a0 / 2A22 (v − p )sin2 ( v +)]  x2
0 v( p) +
+a2
0 / 4  A 3
31(v − p )sin (0v +)  xv( p) = 0
0 =ˆ0
 
Для спрощення практичної реалізації даного алгоритму, потрібно так як і у 
випадку другого степеню розкласти за тригонометричною формулою синус суми 
sin( v+)  та ввести синусні та косинусні статистики Z r(s)k  і Z r(c)k . Тоді блок 
0
схема реалізації даного алгоритму буде подібна до схеми на рисунку 3.2. 
Розрахуємо дисперсію оцінки фази сигналу при s = 3, для цього знайдемо 
кількість витягнутої інформації про шуканий параметр   
 
n d n d
J3n () =h1v () m1v () +h2v () m2v () +
v=1 d v=1 d
. 
n d
+h3v () m3v ()
v=1 d
 
Підставимо вже знайдені коефіцієнти (3.28)  
 
a2
0 n (2 +  −12  − 2 + 24 +9 2 +9 2 −18 2 +12)
J3n () = 6 6 4 3 5 5 4 4 3 4 3  
2  (2 +  −12  − 2 + 24 + 7 2 +12 2 − 24 2 +12−  2 −9 4 − 3
2 6 6 4 3 5 5 4 4 3 4 3 6 3 3 4 )
 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
54 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
Отже дисперсія оцінки фази сигналу при s = 3 буде  дорівнювати 
 
2 2   2 2 2 
 = 2 1− 3 ( 6 +9 3 −3 4 + 6)+ 4 ( 4 + 2)− 2 3 4 5
3 2  
a0n  ( 4 + 2)( 6 +9 4 + 6)− 5( 5 +12 3)+9 2
3 ( 4 − 2)    (3.30) 
 
Якщо порівняти з дисперсією при першому степені s =1, то можна записати з 
 
 2
3 =
2
1 q31 . 
 
Бачимо, що аналогічно як при s = 2 , дисперсія оцінки фази сигналу  при 
s = 3 буде меншою, ніж при s =1. І дане зменшення буде визначатися 
коефіціентом позначиним q31  (коефіцієнт зменшення дисперсії) (3.31), значення 
якого залежить від значень, які приймають кумулянтні коефіціентів. В цьому 
випадку враховуються коефіціенти  до шостого порядку включно   
 
  2 −3  2 − 2   + 3 + 2 2 +9 4 + 6 2
q =1− 6 3 4 3 5 4 3 4 4 3 3
31 . (3.31) 
2 2 2 2 2
6 + 6 4 −12 3 5 − 5 + 24 4 +9 4 +9 3 4 −18 3 +12
 
Щоб дослідити точність отриманої оцінки, обмежимося асиметричнo-
ексцесною випадковою величиною першого типу для якої 5 = 6 = 0 . Тоді вираз 
(3.31) спроститься  і коефіціент  q31 буде мати вигляд 
 
 3
4 + 2 2
4 −3 4
2
3 +9 4 + 6 2
q31 =1− 3 3                                          (3.32) 
9 2
4 + 24 4 +9 4
2 2
3 −18 3 +12
 
Побудуємо графік залежності отриманого коефіцієнта  q31  (3.32) від 
коефіцієнтів асиметрії  3 , зафіксувавши значення коефіціенту ексцесу  4  (рис. 
3.5) 
 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
55 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
 
 
Рис. 3.5 Залежність q31  від 3  при різних значеннях 4  
 
З графіку (рис. 3.5) видно, що в даному випадку також є зменьшення 
дисперсії оцінки і, якщо 3  прагне до границі області визначення ( 0,6561 при 
4 = 0 ), то дисперсія оцінки буде мати найменьше можливе значення при s = 3, 
тобто буде прагнути  до нуля.  
Схема алгоритму визначення кутового положення джерела сигналу при 
s = 3 буде аналогічна як і при при s = 2  (рис.3.4). 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
56 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
ВИСНОВКИ 
 
В даній роботі вирішувалася задача визначення кутового положення 
джерела сигналу при рознесеному прийомі в умовах впливу негауссівських завад. 
Негауссовий характер завад суттєво ускладнює застосування традиційних методів 
оцінки параметрів, оскільки вони зазвичай засновані на припущенні про 
гауссовський розподіл завад. 
В роботі проведено аналіз, як класичних, так і сучасних методів оцінювання 
параметрів випадкових величин, на основі якого було прийняте рішення 
застосувати метод максимізації поліному, який дозволяє ефективно оцінювати 
параметри реальних випадкових величин завдяки застосуванню моментно-
кумулянтного опису останніх. 
Ще однією особливістю роботи, є застосування саме рознесеного прийому 
сигналів, що дозволяє значно підвищити ефективність систем зв'язку в складних 
умовах. Завдяки своїм перевагам, рознесений прийом широко використовується в 
сучасних системах зв'язку. Рознесений прийом є основою для технології MIMO, 
яка зараз досить широко використовується та дозволяє передавати декілька 
потоків даних одночасно. Складовою частиною систем МІМО є антенні решітки, 
які завдяки своїм унікальним властивостям, дозволяють створювати 
високопродуктивні та гнучкі системи, здатні вирішувати широке коло задач. 
Однією з таких задач і є задача визначення кута розташування джерела 
сигналу. Для визначення кут надходження сигналу на двохелементну антенну 
решітку необхідно знайти оцінку фази прийнятого сигналу в кожному  
приймальному елементі, та на основі різниці знайдених фаз визначити кут. 
В роботі на основі методу максимiзацiї полінома були розроблені алгоритми 
для знаходження оцінки фази гармонічного сигналу, що надходить на 
приймальний елемент антенної решітки при степенях полінома s=1,2,3. Отримано 
рівнянь, з розв’язку яких знаходяться потрібні оцінки. При другому та третьому 
степенях, оцінку фази не можливо виразити в явному вигляді, тому отримані   
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
57 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
рівняння потрібно розв’язувати за допомогою чисельних методів. Також 
побудовані блок-схеми для  практичної реалізації розроблених алгоритмів. 
Згідно методу максимізації поліному, якісною характеристикою при 
оцінюванні параметрів випадкових величин є дисперсія оцінки. Як видно з 
отриманих в роботі дисперсій оцінки фази сигналу, точність оцінювання залежить 
від відношення сигнал-шум, а саме, чим більше значення відношення, тим 
точніше буде знайдена оцінка; від кількості вибіркових значень,  чим більше 
число, тим точніше оцінка; та від кумулянтних коефіцієнтів негауссівської завади, 
таких як коефіцієнт асиметрії та коефіцієнт ексцесу; від застосованого степеня 
стохастичного поліному, чим більше степінь, тим оцінка точніше, але при цьому 
значно ускладнюються обчислювальні алгоритми. 
Проаналізувавши отримані результати бачимо, що за допомогою методу 
максимізації полінома можна досягти значного зменшення дисперсії оцінок, отже 
знайдені оцінки кутового положення джерела сигналу будуть найбільш 
наближеними до своїх дійсних значень. Тому, отримані в даній роботі результати 
можна використовувати для побудови високоточних вимірювачі кута 
надходження сигналу на двохелементну антенну решітку в складних завадових 
умовах.  
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
58 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
 
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ 
 
1. Бондаренко І.М. Системи радіозв’язку. Кн.2, ч.1. Радіолінії зв’язку: Навч. 
посібник. – Харків.: ХІ ВПС, 2003. 162с 
2. Proakis J. G., Salehi M.. Digital Communications, 5th ed. McGraw-Hill Higher 
Education, 2008, p. 1170. 
3. http://en.wikipedia.org/wiki/MIMO 
4. Prospects for the use of MIMO based on IEEE 802.11 ac in IoT. National 
University "Yuri Kondratyuk Poltava Polytechnic", Випуск 4, 2020, с.126-131. 
5. https://uk.wikipedia.org/wiki/Адаптивна_антенна_решітка 
6. https://org2.knuba.edu.ua/mod/book/tool/print/index.php?id=23040 
7. http://www.dissercat.com/content/prostranstvennaya-obrabotka-signalov-v-
tsifrovykh-antennykh-reshetkakh 
8. https://vuzlit.com/2295141/antenni_reshitki_harakteristiki_osoblivosti 
9.  https://www.analog.com/en/resources/analog-dialogue/articles/phased-array-
antenna-patterns-part1.html 
10. Стеклов В.К., Беркман Л.Н. Теорія електричного зв’язку: Підручник для 
ВНЗ за ред. В.К. Стеклова. – К.: Техніка, 2006. – 552 с 
11. https://studfile.net/preview/1583224/page:3/ 
12. Кунченко Ю.П., Лега Ю.Г. Оценка параметров методом максимизации 
полинома К.: Наукова думка, 1992.-180с.  
13. Кунченко Ю.П. Полиномиальные оценки параметров близких к 
гауссовским случайных величин. Часть 1. Стохастические полиномы, их 
свойства и применения для нахождения оценок параметров. - Черкассы: 
ЧИТИ, 2001. –252 с. 
14. Кунченко Ю.П. Полиномиальные оценки параметров близких к 
гауссовским случайных величин. Часть 2.  Оценка параметров близких к 
гауссовским случайных величин. - Черкассы: ЧИТИ, 2001. –133 с. 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
59 
Змн Арк № докум. Підпис Дата  
 
 
15. Кунченко Ю.П., Прокопенко Т.В. Применение метода максимизации 
полинома для оценки параметров сигналов, принимаемых многоэлементной 
антенной решеткой. // Радиофизика и электроника. – 2002. – Т. 7, №2. – 
С. 415–418. 
16. Kunchenko Y.P., Danyk V.A., Prokopenko T.V.. The accuracy of the joint 
estimation of parameters of signal by the antenna arrays at non-Gaussian 
interference. // Proceeding of the 3rd International Conference on Antenna 
Theory and Techniques, Sevastopil, Ukraint, - 1999, p.p. 217-218 
17. Гнєденко Б. В. Курс теорії ймовірностей. — К.: ВПЦ Київський університет, 
2010. — 464 с 
18. Теорія ймовірностей, математична статистика та імовірнісні процеси: навч. 
посіб. / Ю. М. Слюсарчук, Й. Я. Хром'як, Л. Л. Джавала, В. М. Цимбал ; М-
во освіти і науки України, Нац. ун-т «Львів. політехніка». — Львів: Вид-во 
Львів. політехніки, 2015. — 364 с. 
19. Методичні вказівки до виконання випускних робіт бакалавра та дипломних 
робіт для студентів напряму підготовки та спеціальності «Радіотехніка» 
освітньо- кваліфікаційних рівнів «бакалавр», «спеціаліст», «магістр» усіх 
форм навчання / Укл. В.В. Палагін, В.В. Філіпов. – Черкаси: ЧДТУ, 2016. – 
53 с. 
 
 
 Арк 
МРТ36.024.406.248 ПЗ 
60 
Змн Арк № докум. Підпис Дата
ChSTU repository

ChSTU repository preserves and enables easy and open access to all types of digital content including text, images, moving images, mpegs and data sets
