ChSTU repository
ChSTU repository preserves and enables easy and open access to all types of digital content including text, images, moving images, mpegs and data sets
Learn More
Please use this identifier to cite or link to this item:
https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/5849| Title: | Поліноміальні алгоритми оцінювання параметрів ексцесної завади 1-го типу при відомих параметрах радіосигналу |
| Authors: | Гончаров, Артем Володимирович Тарасюк, Анатолій Олександрович |
| Keywords: | метод максимізації полінома;негаусівська завада;радіосигнал;дисперсія;коефіцієнт ексцесу |
| Issue Date: | 2024 |
| Abstract: | Метою даної роботи є синтез поліноміальних алгоритмів оцінювання параметрів ексцесної завади 1-го типу (дисперсії і коефіцієнта ексцесу) при апріорно відомих параметрах радіосигналу. Об’єкт дослідження – процес оцінювання параметрів ексцесної завади 1-го типу при апріорно відомих параметрах радіосигналу. Методи дослідження – методи теорії ймовірності та математичної статистики. В магістерській роботі розглядається адитивна взаємодія радіосигналу, параметри якого є відомими, і ексцесної завади 1-го типу з невідомими параметрами. Для синтезу поліноміальних алгоритмів використовується метод максимізації полінома при степенях s=2,3,4 для оцінки кумулянта другого порядку і при s=4 – для оцінки коефіцієнту ексцесу. Показано, що для завад, які характеризуються від’ємними значеннями коефіцієнту ексцесу, можна несуттєво підвищити точність вимірювання дисперсії завади. |
| URI: | https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/5849 |
| Appears in Collections: | 172 Електронні комунікації та радіотехніка (Радіотехніка та робототехнічні системи) |
Files in This Item:
| File | Description | Size | Format | |
|---|---|---|---|---|
| М_172_Тарасюк_Гончаров.pdf Restricted Access | 1.06 MB | Adobe PDF | View/Open Request a copy |
Items in DSpace are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.
Extracted text
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ФАКУЛЬТЕТ ЕЛЕКТРОННИХ ТЕХНОЛОГІЙ, АВТОТРАНСПОРТУ ТА
МАШИНОБУДУВАННЯ
КАФЕДРА РОБОТОТЕХНІЧНИХ І ТЕЛЕКОМУНІКАЦІЙНИХ СИСТЕМ ТА
КІБЕРБЕЗПЕКИ
До захисту допущено
завідувач кафедри РТСК
д.т.н., професор __________
Володимир ПАЛАГІН
"_____" грудня 2024 року
Пояснювальна записка
до випускної роботи
освітнього ступеня «магістр»
на тему: «Поліноміальні алгоритми оцінювання параметрів ексцесної завади 1-го
типу при відомих параметрах радіосигналу»
Виконав студент 2 курсу, групи мРТ-36
Спеціальність – 172 «Електронні комунікації
та радіотехніка»
Освітня програма – «Радіотехніка та
робототехнічні системи»
ТАРАСЮК Анатолій Олександрович
Керівник роботи ГОНЧАРОВ Артем
Рецензент БОНДАРЕНКО Максим
Черкаси 2024
Форма № Н-9.01
Черкаський державний технологічний університет
(назва вузу)
Факультет електронних технологій, автотранспорту та машинобудування
Кафедра Робототехнічних і телекомунікаційних систем та кібербезпеки
Освітній ступінь магістр
Спеціальність 172 - Електронні комунікації та радіотехніка
Освітня програма Радіотехніка та робототехнічні системи
ЗАТВЕРДЖУЮ
Завідувач кафедри РТСК
д.т.н., професор Володимир ПАЛАГІН
« » вересня 2024 р.
ЗАВДАННЯ
на дипломний проект (роботу) студенту
Тарасюку Анатолію Олександровичу
(прізвище, ім'я, по батькові)
1. Тема проекту (роботи) Поліноміальні алгоритми оцінювання параметрів ексцесної завади
1-го типу при відомих параметрах радіосигналу
керівник проекту (роботи) Гончаров Артем Володимирович, к.т.н., професор
(прізвище, ім’я, по батькові, науковий ступінь, вчене звання)
затверджена наказом по університету від « » 2024 р. №
2. Строк подання студентом проекту (роботи) 1 грудня 2024 р.
3. Вихідні дані до проекту (роботи) вибірка значень спостережуваного сигналу обсягом n;
радіосигнал з відомими параметрами; вид завади – ексцесна 1-го типу (з невідомими
дисперсією та коефіцієнтом ексцесу).
4. Зміст розрахунково-пояснювальної записки (перелік питань, які потрібно розробити)______
Вступ. 1. Загальні відомості про системи зв'язку. 2. Випадкові процеси. 3. Оцінювання
параметрів ексцесної завади при відомих параметрах радіосигналу. Висновки.
Список використаної літератури
5. Перелік графічного матеріалу (з точним зазначенням обов’язкових креслень)
Презентація в Power Point обсягом 11 плакатів
6. Консультанти з проекту (роботи) із зазначенням розділів проекту, що їх стосуються
Підпис, дата
Розділ Прізвище, ініціали та посада завдання завдання
консультанта видав прийняв
7. Дата видачі завдання 04 вересня 2024 р.
КАЛЕНДАРНИЙ ПЛАН
№ Назва етапів дипломного С т р о к виконання етапів П р имітка
з/п проекту (роботи) проекту (роботи)
1. Аналіз технічного завдання та огляд літератури 05.09.2024
2 Розробка методики проведення дослідження 17.09.2024
3 Розрахунок початкових моментів і центрованих
корелянтів ексцесної випадкової величини 03.10.2024
4 Синтез обчислювальних алгоритмів оцінювання
параметрів завади при s=2, 3, 4 15.10.2024
5. Дослідження точності синтезованих алгоритмів
оцінювання параметрів ексцесної завади1-го типу 01.11.2024
6. Оформлення пояснювальної записки 06.11.2024
7. Оформлення плакатів 25.11.2024
Студент ТАРАСЮК Анатолій
(підпис) (прізвище та ініціали)
Керівник проекту (роботи) ГОНЧАРОВ Артем
(підпис) (прізвище та ініціали)
ЗМІСТ
Стор.
Вступ 4
1. ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ ПРО СИСТЕМИ ЗВ'ЯЗКУ 6
1.1 Інформація, сигнали та завади 6
1.2 Загальні засади побудови систем зв'язку 12
1.3 Класифікація систем зв'язку 17
1.4 Розкладання безперервних сигналів в ряд Котельникова 19
2. ВИПАДКОВІ ПРОЦЕСИ 25
2.1 Характеристики випадкових процесів 25
2.2 Нормальний випадковий процес 29
2.3 Оптимальне оцінювання сигналу 31
2.4 Знаходження оцінок параметрів ексцесної випадкової величини
методом моментів 37
3. ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ ЕКСЦЕСНОЇ ЗАВАДИ ПРИ ВІДОМИХ 41
ПАРАМЕТРАХ РАДІОСИГНАЛУ
3.1 Постановка задачі 42
3.2 Оцінка кумулянта другого порядку ексцесної завади при відомих
параметрах радіосигналу 48
3.3 Точнісні характеристики нелінійних оцінок кумулянта другого порядку
за умови відомих значень параметрів радіосигналу 53
3.4 Оцінка коефіцієнта ексцесу завади та дослідження її точнісних
властивостей 58
3.5 Спільна оцінка кумулянта другого порядку та коефіцієнта ексцесу 62
завади
Висновки 64
Список використаної літератури 66
ВСТУП
Протягом багатьох десятиліть складати точні прогнози погоди допомагають
радіозонди – пристрої вимірювання різних параметрів атмосфери. Застосування
радіозондів дозволило створити оперативну аерологічну мережу та новий метод
аналізу атмосферних процесів. Сьогодні організовано систематичне
радіозондування атмосфери. Сотні радіозондів у різних куточках планети
піднімаються на висоту до 35-50 км двічі на день – о 00:00 та 12:00 світового часу.
У вільний політ запускається гелієва кулька. До неї кріпиться радіозонд,
обладнаний приймачем навігаційних сигналів. Куля піднімається у небо, а потім
передає на базову станцію сигнали. Крім отримання метеоданих радіозондування
можна використовувати для визначення завадової обстановки атмосфери в рамках
обраної моделі.
Сучасним радіозондам не страшні екстремальні температури: від мінус 90
до плюс 50 °С. Нові батареї навіть за таких умов забезпечують безперервну
роботу радіозонду до кількох годин. Тепер за допомогою радіозондів можна
виміряти не лише метеорологічні параметри атмосфери, а й визначити її
спеціальні параметри. З появою пристроїв радіолокації стало можливим
визначати положення зонда за допомогою радара. Так з'явилися системи
радіозондування, засновані на принципі радіолокаційного визначення координат.
Це і визначає профіль вимірюваних величин. В даний час у багатьох країнах світу
використовуються супутникові навігаційні системи зондування або різницево-
далекомірний метод.
Метою даної роботи є синтез алгоритмів оцінювання параметрів ексцесної
завади 1-го типу (дисперсії і коефіцієнта ексцесу) при апріорно відомих
параметрах радіосигналу.
Поставлена мета досягається розв’язком таких завдань:
• аналіз класичних методів знаходження оцінки параметрів випадкових
послідовностей;
• синтез алгоритмів оцінювання кумулянта другого порядку ексцесної завади
1-го типу, оптимальних при ступенях поліному s=2, 3, 4 методом
максимізації поліному;
• аналіз точнісних властивостей синтезованих алгоритмів оцінки кумулянта
другого порядку ексцесної завади 1-го типу, оптимальних при ступенях
поліному s=2, 3, 4;
• побудова обчислювального алгоритму оцінювання коефіцієнту ексцесу
ексцесної завади 1-го типу, оптимального при ступені поліному s=4, і
дослідження його точнісних властивостей.
1. ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ ПРО СИСТЕМИ ЗВ'ЯЗКУ
1.1 Інформація, сигнали та завади
Системи зв'язку призначені для передачі інформації. Інформація
надсилається за допомогою повідомлень. Отже, повідомлення – форма подання
інформації. Прикладами повідомлень можуть бути текст телеграми, фраза у
телефонній розмові, послідовність цифр передачі даних, зображення у системі
фототелеграфії, послідовність зображень (кадрів) у системі телебачення тощо.
Повідомлення є сукупністю знаків (символів). Наприклад, текст телеграми
складається з літер, цифр, пробілів та спеціальних знаків, а готове для передачі
каналом зв'язку телеграфне повідомлення – з канальних символів (наприклад, з
«крапок», «тире» та пауз при використанні «азбуки Морзе»).
У системі чорно-білого телебачення повідомленням є послідовність кадрів,
кожен із яких, своєю чергою, є послідовність значень яскравості, упорядкованих
згідно зі схемою телевізійної розгортки. У телефонії повідомлення – безперервна
послідовність значень напруги (струму), що відображає зміну у часі звукового
тиску на мембрану мікрофона.
З наведених прикладів стає ясно, що повідомлення можуть бути
дискретними (що складаються із символів, що належать кінцевій множині –
алфавіту) або безперервними (континуальними, аналоговими), що описуються
функціями безперервного часу.
Для передачі необхідний матеріальний носій, званий сигналом. Сигналом
може бути світло багаття, удар барабана, звук мови або свистка, предмет, що
знаходиться в обумовленому місці, помах прапорця або шпаги тощо.
У радіотехніці та електричного зв'язку використовуються електричні
сигнали, які завдяки простоті їх генерування та перетворення найкраще
пристосовані для передачі великих обсягів даних на великі відстані. Зауважимо,
що у сучасних каналах зв'язку та пристроях зберігання даних електричні сигнали
найчастіше перетворюються на оптичні чи магнітні, але, зазвичай, передбачається
їх зворотне перетворення.
Природною формою подання сигналу вважається його опис деякою
функцією часу (залежною змінною найчастіше є напруга чи струм).
У сучасних системах зв'язку використовують різноманітні сигнали з
різними властивостями. Математичний опис та подання сигналів дозволяє
створити математичну модель сигналу.
Якщо математична модель дозволяє точно описати сигнал, такий сигнал
називається детермінованим. У разі неможливості точного опису сигналу в будь-
які моменти часу сигнал називається випадковим.
Високочастотне модульоване коливання називається радіосигналом. Сигнал
без високочастотного заповнення є відеосигналом. Якщо сигнал може бути
описаний функцією s(t) = s(t + T), де T – період, він називається періодичним. При
неможливості такого представлення сигнал є неперіодичним.
Сигнал, що описує в часі процес, що безперервно змінюється, називається
аналоговим. Сигнал кінцевої тривалості імпульсний. Іноді зручно передавати
лише значення безперервного сигналу (відліки чи вибірки), взяті в окремі
моменти часу. Такий квантований за часом сигнал називається дискретним. Якщо
ж передавати не самі вибірки, а їх числові значення, спочатку необхідно ці
значення отримати. Ця процедура у техніці зв'язку називається квантуванням за
рівнем. Таким чином, сигнал, квантований за часом та рівнем, називається
цифровим.
Цікаво відзначити, що детерміновані сигнали не несуть у собі жодної
інформації. Однак за їх допомогою можна передавати інформацію, якщо
випадковим буде розташування сигналів на часовій осі. Наприклад, телеграфний
сигнал складається із семи імпульсів прямокутної форми із заданими
параметрами. Перший (стартовий) та останній (стоповий) імпульси позначають
початок та кінець посилки. Інформаційний зміст посилки залежить від літери
алфавіту, що передається в даний момент, і представляє собою відповідну цій
літері комбінацію струмових і безструмових посилок.
По виду повідомлень, що передаються, сигнали, наприклад, можна
розділити на радіомовні, телевізійні, телеграфні і т.д.
По смузі частот сигнали зазвичай поділяються на вузькосмугові та
широкосмугові.
Для широкосмугових сигналів ΔF/Fсер >> 1, де
ΔF = Fmax - Fmin - абсолютна ширина спектра сигналу,
Fсер = (Fmax + Fmin)/2 – середня частота спектра сигналу,
Fmax - максимальна частота в спектрі сигналу,
Fmin – мінімальна частота в спектрі сигналу.
Для вузькосмугових сигналів F/Fсер < 1.
Сигнали так само поділяються на складні та прості в залежності від
величини бази сигналу В (добуток тривалості сигналу на ширину смуги його
спектру).
Для складних сигналів В> 1,
де ΔF∙ΔТ – база сигналу, ΔF – абсолютна ширина спектра сигналу, ΔТ –
тривалість сигналу.
Для простих сигналів В= 1.
По виду модуляції сигнали розрізняються за ознакою того параметра, який
змінюється за законом повідомлення, що передається. Так будь-яке гармонічне
коливання характеризується амплітудою, частотою та миттєвою фазою, то і
радіосигнали бувають з амплітудною модуляцією (АМ), частотною (ЧМ) і
фазовою модуляцією (ФМ). В даний час в системах зв'язку використовується
велика різноманітність сигналів зі складними видами модуляції, наприклад з
амплітудно-імпульсною модуляцією (АІМ), Кодово-імпульсною модуляцією
(КІМ), широтно-імпульсною модуляцією (ШІМ). На даний час розроблено не
один десяток складних видів модуляції і, природно, велику кількість відповідних
сигналів з різними характеристиками.
На рис.1.1 наведено осцилограми різних сигналів, що широко
застосовуються в системах зв'язку.
На цьому рисунку зображені такі сигнали: а – періодичний імпульсний, б –
безперервний (аналоговий) радіосигнал з АМ, в – дискретний, г – випадковий, д –
цифровий кодований, е – з амплітудною маніпуляцією, ж – з частотною
маніпуляцією, з – з фазової маніпуляцією, і – з фазовою маніпуляцією.
Слід зазначити, що жорстку класифікацію до реальних сигналів застосувати
неможливо. Наприклад, сигнал (рис. 1.1,а) можна класифікувати як
детермінований періодичний імпульсний відеосигнал, а сигнал (рис. 1.3,з) як
випадковий радіосигнал із фазовою маніпуляцією.
Рисунок 1.1 – Осцилограми сигналів, що застосовуються в системах зв'язку
Крім перерахованих, використовуються інші критерії класифікації сигналів,
наприклад, іноді розрізняють інформаційні та керуючі сигнали (коливання) і т.д.
В теорії зв'язку прийнято розглядати сигнал як «об'єкт транспортування». З
цієї точки зору сигнал можна описати трьома «габаритними характеристиками»,
подібними до довжини, ширини і висоти вантажу, що перевозиться, скажімо,
залізницею. Перша з таких характеристик – тривалість сигналу Tс, яка
вимірюється в секундах (с). Будь-який сигнал можна представити сумою
(суперпозицією) гармонічних коливань з певними частотами, тому друга
«габаритна характеристика» – ширина спектру, або смуга частот сигналу ΔFс, що
дорівнює різниці найвищої та нижчої частот його гармонічних складових і
вимірюється в герцах (Гц). Третьою «габаритною» характеристикою є динамічний
діапазон, що вимірюється в децибелах (дБ) і визначається формулою
Dc = 20lg (Хmax / Хmin),
де Хmax та Хmin – відповідно максимальне та мінімальне можливі значення сигналу
(напруги або струму). Добуток цих трьох величин називається обсягом сигналу:
Vc = TcΔFcDc
Корисні сигнали відрізняються від тих, що заважають тим, що корисні
сигнали служать для передачі повідомлень, в той час як ті, що заважають, є
причиною їх спотворення (втрати інформації).
Часто корисний сигнал називають просто сигналом, а той що заважає –
завадою. Сигнали та завади, що розглядаються в сукупності, називатимемо
коливаннями. Завади можуть бути природними та навмисними (штучними),
шумовими (флуктуаційними) та імпульсними, активними та пасивними тощо.
Необхідно відзначити, що те саме коливання може бути корисним сигналом
по відношенню, наприклад, до однієї системи зв'язку або радіолокації і завадою –
по відношенню до іншої.
Варто також відзначити, що всі завади, як і всі сигнали, є випадковими
(якщо завада детермінована, то її можна виключити з коливання, що
спостерігається, і таким чином позбутися її шкідливого впливу на повідомлення).
На рис. 1.2 наведено приклади випадкового сигналу та випадкової
(шумової) завади.
За способом взаємодії з сигналом завади поділяються на адитивні (від
англійського add - складати), мультиплікативні (від англійського multiply -
множити) і змішані (сюди відносяться всі взаємодії, що не зводяться до адитивної
або мультиплікативної).
Рисунок 1.2 – Випадковий (мовний) сигнал (а) та випадкова завада (шум) (б)
1.2 Загальні засади побудови систем зв'язку
Сучасна система зв'язку є складною сукупністю пристроїв, що виконують
перетворення повідомлень і сигналів з метою найбільш ефективної передачі
інформації. До показників ефективності відносяться достовірність та швидкість
передачі інформації, а також деякі інші величини.
Повідомлення – це сукупність відомостей про навколишні предмети, явища.
Повідомлення можуть бути звуковими (мова, музика), світловими (зображення
нерухомих та рухомих об'єктів), текстовими (літерно-цифрові повідомлення).
Узагальнена структурна схема системи зв'язку (рис. 1.3) відбиває найбільш
типові перетворення, яким піддається повідомлення у системі зв'язку, вона
справедлива для будь-яких видів повідомлень. Розглянемо призначення основних
блоків системи зв'язку.
Рисунок 1.3 – Узагальнена структурна схема системи зв'язку
Джерело інформації – джерело повідомлення підлягає передачі (людина,
довкілля тощо).
Повідомлення – мова, музика, текст, зображення, параметри деяких об'єктів
тощо.
Кодер – а) перетворює неелектричне повідомлення на електричний сигнал
(сигнал – це електрична копія повідомлення).
б) перетворює аналоговий (безперервний) сигнал на дискретний (цифровий);
в) здійснює ефективне кодування з метою зменшення необхідної швидкості
передачі інформації при заданій якості (усунення надмірності повідомлення);
г) здійснює завадостійке кодування, що дозволяє поліпшити якість повідомлення,
що приймається.
Генератор несучої – генерує коливання із постійною амплітудою, частотою,
фазою.
Модулятор – змінює амплітуду, частоту або фазу переносника у
відповідність до модулюючого сигналу, що надходить від кодера.
Вихідний пристрій – підсилює сигнал, для забезпечення заданої якості
зв'язку і обмежує спектр сигналу, що випромінюється, до смуги частот, відведеної
для заданої системи зв'язку.
Кодер, модулятор, генератор несучої та вихідний пристрій утворюють
передавач.
Лінія зв'язку – сукупність технічних пристроїв (кабель, двопровідна лінія,
оптична лінія зв'язку) або ефір, якими сигнал надходить від передавача до
приймача. Напругу на вході приймача можна записати як:
Uпрм(t) = K(t)Uпрд + x(t)
,
де Uпрм(t) - напруга на вході приймача;
K(t) - мультиплікативна завада (це змінний коефіцієнт передачі лінії зв'язку);
Uпрд - напруга на виході передавача;
x(t) – адитивна завада (тепловий шум, завада від сусідніх передавачів, завади від
різних технічних пристроїв тощо).
Вхідний пристрій – виділяє сигнал свого передавача, відфільтровує (не
пропускає) сигнали сусідніх за частотою передавачів та частину завад, підсилює
сигнал.
Демодулятор – перетворює ВЧ модульований сигнал на НЧ модулюючий
(сигнал на виході демодулятора, приблизно, відповідає тому, що було на вході
модулятора).
Декодер – а) приймає рішення щодо кожної посилки (1 або 0);
б) декодує кодові комбінації, виправляє частину помилок;
г) перетворює кодові комбінації на повідомлення зручні для одержувача.
Отримувач повідомлення – людина, комп'ютер чи інші технічні пристрої.
Вхідний пристрій, демодулятор та декодер утворюють приймач.
КОДЕР + ДЕКОДЕР = КОДЕК
МОДУЛЯТОР + ДЕМОДУЛЯТОР = МОДЕМ
КОДЕР+МОДУЛЯТОР+ДЕКОДЕР+ДЕМОДУЛЯТОР=КОДЕМ
З кодуванням не слід плутати шифрування повідомлень. Мета шифрування
полягає у запобіганні несанкціонованого вилучення або навмисної зміни
інформації. Під час шифрування відбувається заміна відкритого повідомлення на
шифрограму (шифр-текст), а при розшифруванні відбувається зворотне
перетворення. Шифрування виконується до перетворення повідомлення в
первинний сигнал або кодову послідовність.
Таким чином, для модуляції в залежності від складності системи
використовується первинний сигнал або послідовність кодових символів.
Як переносник часто використовують гармонічне коливання A∙cos(ωt+φ),
яке має три параметри: амплітуду A , кругову частоту ω = 2πf та початкову фазу φ.
Тому можливі три види модуляції гармонічного переносника аналоговим
сигналом: амплітудна модуляція (АМ), частотна модуляція (ЧМ) чи фазова
модуляція (ФМ), рис. 1.4.
У багатьох випадках роль переносника у системах зв'язку грає періодична
послідовність імпульсів однакової форми (часто імпульси вважають у першому
наближенні прямокутними).
При заданій формі імпульсів послідовність характеризується амплітудним
(піковим) значенням, тривалістю імпульсів та періодом повторення.
Рисунок 1.4 – Несуче гармонійне коливання (а) та одержувані на його основі
модульовані сигнали: АМ (б), ЧМ (в) та ФМ (г)
Тому при аналоговому первинному сигналі розрізняють:
– амплітудно-імпульсну модуляцію (АІМ), коли за законом зміни первинного
сигналу змінюється амплітуда імпульсів;
– широтно-імпульсну модуляцію (ШІМ), за якої змінюється тривалість
(«ширина») імпульсів;
– часово-імпульсну модуляцію (ЧІМ), за якої змінюється час затримки імпульсів
щодо середнього становища;
- частотно-імпульсну модуляцію (ЧІМ), коли в такт з первинним сигналом
змінюється частота проходження імпульсів.
Широко застосовують також модуляцію гармонічного коливання
квантованим (цифровим) первинним сигналом. Ділянка маніпульованого сигналу,
протягом якого модульований параметр постійний, називається елементарною
посилкою, або просто посилкою.
Рисунок 1.5 – Види дискретної модуляції (маніпуляції) гармонічного коливання:
ДАМ(а), ДЧМ(б), ДФМ(в)
Коливання при дискретній модуляції характеризують технічною швидкістю
(швидкістю модуляції, швидкістю телеграфування), що дорівнює кількості
елементарних посилок на секунду. Одиницею вимірювання швидкості модуляції є
бод (1 бод відповідає одній посилці на секунду).
Демодуляція полягає у відновленні первинного сигналу за прийнятим
спотвореним коливанням, а декодування – у відновленні дискретного
повідомлення за демодульованим сигналом.
Часто перед демодуляцією застосовують додаткове перетворення для
підвищення достовірності (зменшення ймовірності помилки). Таке перетворення
називають обробкою. Оптимальною називається обробка, що забезпечує найвищу
достовірність рішення.
Якщо оптимальна обробка виявляється занадто складною та/або дорогою,
застосовують квазіоптимальну (субоптимальну) обробку, яка простіше та
дешевше і при цьому забезпечує достовірність, близьку до граничної. Часто
квазіоптимальна обробка є фільтрацією прийнятого коливання з метою
придушення завад.
1.3 Класифікація систем зв'язку
По виду повідомлень, що передаються, розрізняють:
1) телеграфію (передача тексту),
2) телефонію (передача мови),
3) фототелеграфію (передача нерухомих зображень),
4) телебачення (передача рухомих зображень),
5) телеметрію (передача результатів вимірів),
6) телеуправління (передача керуючих команд),
7) передачу даних (у обчислювальних системах та АСУ).
За діапазоном частот – відповідно до декадного поділу діапазонів
електромагнітних хвиль від міріаметрових (3÷30) кГц до дециміліметрових
(300÷3000) ГГц.
За призначенням – мовні (високоякісна передача мови, музики, відео від
малої кількості джерел повідомлень до великої кількості їх одержувачів) та
професійні (зв'язкові), у яких кількість джерел та одержувачів повідомлень одного
порядку.
Розрізняють такі режими роботи систем зв’язку:
1) симплексний (передача сигналів в одному напрямку),
2) дуплексний (одночасна передача сигналів у прямому та зворотному
напрямках),
3) напівдуплексний (почергова передача сигналів у прямому та зворотному
напрямках).
Каналом зв'язку називається комплекс радіотехнічних пристроїв, з яких
передається і приймається інформація, плюс середовище між ними. Залежно від
виду сигналів на вході та виході розрізняють канали: безперервні; дискретні;
дискретно-безперервні; безперервно-дискретні.
Канали зв'язку можна характеризувати за аналогією з сигналами
наступними трьома параметрами:
– часом доступу Тк,
– шириною смуги пропускання ΔFк,
Pк.доп.
– динамічним діапазоном Dк =10 lg [дБ],
Pш
де Pк.доп. - максимально допустима потужність сигналу в каналі,
Pш - потужність власних шумів каналу.
Узагальненим параметром каналу є його ємність
Vк =Tк Fк Dк .
Очевидною необхідною умовою узгодження сигналу та каналу є виконання
нерівності Vc < Vк.
1.4 Розкладання безперервних сигналів в ряд Котельникова
Будь-які сигнали кінцевої тривалості мають теоретично нескінченно
широкий спектр частот. У той самий час частка енергії, що передається на
високих частотах, дуже мала і нею в розрахунку повної енергії сигналу можна
знехтувати. Отже сигнали з обмеженим спектром є зручними математичними
моделями реальних сигналів.
У 1933 році В.А. Котельников довів, що сигнал s(t) з обмеженою смугою
частот, що не має спектральних компонент із частотами, які перевищують
значення ωв = 2πFв, однозначно визначається значеннями, вибраними через рівні
проміжки часу [5]
Δt = π/ωв = 1/2Fв.
Відомо, що при аналогово-цифровому перетворенні, чим менша частота
оцифрування (або більший період дискретизації) і грубіше квантування сигналу,
тим менше даних необхідно для подання аналогового сигналу в цифровому
вигляді. З іншого боку зі зменшенням обсягу даних збільшується ймовірність
втрати інформації, що міститься в сигналі.
Щоб продемонструвати спотворення інформації при неправильному виборі
частоти дискретизації сигналу, розглянемо приклади.
Приклад. Гармонійний сигнал має частоту f (період T= 1/f). Проведемо
дискретизацію сигналу з періодом дискретизації Tд меншим за половину періоду
вхідного сигналу T (рис. 1.6).
Рисунок 1.6 – Дискретизація сигналу з періодом Тд < Т/2
Очевидно, що дискретні відліки сигналу однозначно не відображають
форму вихідного сигналу, зокрема по точках, що виходять, можна побудувати
гармонійний сигнал з періодом Tспотв., відрізняється від періоду вихідного сигналу
T. Період Tспотв. більше періоду вихідного сигналу T, відповідно частота менша,
частоти вихідного сигналу f (рис. 1.7).
Цей ефект називається стробоскопічним ефектом або аліасингом. Він
полягає в появі помилкової низькочастотної складової при дискретизації сигналу
з частотою меншої подвоєної частоти вихідного сигналу (або з більшим періодом
половини періоду вихідного сигналу), відсутньої у вихідному сигналі.
Рисунок 1.7 – Стробоскопічний ефект дискретизації
При дискретизації з кроком, що рівний половині вихідного аналогового
сигналу (fд = 2f) виникає невизначеність початкової фази і амплітуди сигналу,
тобто. можливе дзеркальне спотворення (протифаза), при цьому частота
вихідного сигналу не спотворюється. У крайньому випадку ми можемо отримати
відліки сигналу рівні нулю (рис. 1.8).
Рисунок 1.8 – Дискретизація сигналу з періодом Тд = Т/2
Якщо період дискретизації менше половини періоду вихідного сигналу, то
очевидно, що через точки, що вийшли після оцифрування, можна побудувати
тільки один гармонічний сигнал, відповідний вихідному, без спотворення
початкової фази, амплітуди і частоти (рис. 1.9).
Рисунок 1.9 – Дискретизація сигналу з періодом Тд < Т/2
Таким чином, для адекватного відновлення гармонічного сигналу за
дискретними відліками період дискретизації повинен бути не менше половини
періоду сигналу. Частота дорівнює половині частоти дискретизації називається
частотою Найквіста fN = fд/2.
Таким чином, аналоговий сигнал з обмеженим спектром може бути
відновлений однозначно і без спотворень за своїми дискретними відліками,
взятими з частотою більшої подвоєної максимальної частоти спектру Fд > 2∙Fmax.
Дане твердження відоме як теорема Котельникова (у західній літературі теорема
Найквіста-Шеннона) чи теорема відліків.
Рисунок 1.10 – Часові діаграми безперервного та дискретизованого сигналів
Важливо, що не треба безперервно передавати вихідний сигнал s(t),
достатньо передавати відліки s(kt). Це перший крок переходу від безперервного
сигналу до цифрового. З погляду математики теорема Котельникова означає
подання сигналу як ряду:
sinв (t − kt)
s(t) = s(kt) , (1.1)
k=− в (t − kt)
де s(k∆t) – відліки;
(sin ωв(t - k∆t)) / ωв(t - k∆t) – функції відліків.
Ряд Котельникова – це розкладання сигналу s(t) в ряд по ортогональних
функціях φk(t).
k (t) = (sinв (t − kt)) /в (t − kt) (1.2)
Теоретично дискретизація здійснюється за допомогою -імпульсів.
0, t 0 0, t a
(t) = ; (t − a) =
, t = 0 , t = a
Рисунок 1.11 – Часова діаграма одиночного -імпульсу
Спектр одиночного -імпульса отримаємо, використовуючи перетворення
Фур’є:
•
− jt
S ( j) = (t)e dt = 1
−
Використана "фільтруюча" властивість дельта-функцій:
(t − a) f (t)dt = f (a)
−
Відповідно, спектр одиночного дельта-імпульсу має вид:
Рисунок 1.12 – Спектр одиночного δ-імпульсу
Щоб отримати відліки функції s(t) перемножимо функцію s(t) на періодичну
послідовність дельта-імпульсів з періодом Т = t.
Рисунок 1.13 – Часова діаграма періодичної послідовності δ-імпульсів
Так як сигнал періодичний, то його спектр буде
дискретним.
jkt 1 −2 jkt 1 − jkt 1 1
u (t) = Ck e =+ e + e + + e jkt + (1.3)
k=− t t t t
T
1 2
C = (t)e− jkt 1
dt = 2 2 2в
k = = = = 2 =
T T t ; в д
T t
−
2
Т = t; ωд – частота дискретизації.
Спектр періодичної послідовності дельта-імпульсів у відповідності з
формулою для U(t) має наступний вид:
Рисунок 1.14 – Спектр періодичної послідовності δ-імпульсів
2. ВИПАДКОВІ ПРОЦЕСИ
2.1 Характеристики випадкових процесів
Процеси, що розглядаються в теорії зв'язку, можуть бути детермінованими
чи випадковими. Детерміновані процеси - це процеси, протягом яких у часі
відомо заздалегідь і практично точно. Наприклад, гармонійний сигнал
U(t)=Umcos(ωt+φ), де Um,, ω, φ – задані. Це найпростіша модель інформаційного
сигналу, вона не забезпечує точний опис його основних перетворень, що
зумовлює похибки у розрахунках.
Тому вводиться нова, складніша модель – випадкові процеси. Опис
випадкових (чи нерегулярних) процесів здійснюється за допомогою випадкових
(імовірнісних) функцій.
Приклад - тепловий шум, випадковий процес, оскільки його параметри
невідомі. Випадковий процес описується своїми реалізаціями, чи вибірками,
сукупність реалізацій утворює ансамбль (повна, але дуже складна характеристика
випадкового процесу).
Функція розподілу ймовірностей позначається F(x), що характеризує
ймовірність того, що випадковий процес у певний момент часу t1 набуває
значення менше x1. Повне позначення одновимірної функції розподілу
ймовірностей
F(x1, t1) = P(x < x1, t = t1)
Двовимірна функція розподілу імовірностей.
F2 (x1 t1, x2, t2) = P(x < x1, t = t1, x < x2; t = t2)
Найбільш повна характеристика n-вимірна функція розподілу ймовірностей:
Fn (x1, t1,..., xn, tn) = P (x < x1; t = t1; ... x < xn; t = tn)
У найпростішому випадку одновимірна функція густини ймовірностей
дорівнює:
P(x1 x x1 +x; t = t )
W (x1t1 ) = lim 1
x→0 x
Одномірна функція щільності ймовірностей дорівнює межі відношення
ймовірності попадання випадкового процесу в інтервал від x1 до х1+х, при t = t1,
до х при х, що прагне до нуля.
Найбільш повною характеристикою є n-вимірна функція щільності
ймовірностей.
Функція розподілу ймовірностей та функція щільності ймовірностей
пов'язані одна з одною. Функція щільності ймовірностей – це перша похідна
функції розподілу ймовірностей по х1, відповідно, функція розподілу
ймовірностей дорівнює інтегралу від - до х1 від функції щільності ймовірностей:
x1
F (x1t1) = W (x1t1)dx1
−
Умова нормування:
W (x1t1)dx1 =1
−
Розглянемо числові характеристики випадкового процесу.
1. Середнє значення (математичне очікування чи перший початковий
момент)
+
m1 = x = xW(x, t)dx
−
Фізичний зміст m1 – це стала складова випадкового процесу.
2. Другий початковий момент.
+
m2 = x 2 = x2W (x, t)dx
−
Фізичний зміст m2 - це повна середня потужність випадкового процесу на
одиничному опорі.
3. Дисперсія (другий центральний момент)
+
2
2 = M2 = (x −m1) = (x −m 2
1) W (x, t)dx
−
Фізичний зміст 2 – це середня потужність змінної складової випадкового
процесу на одиничному опорі.
Числові характеристики пов'язані між собою:
2 = m 2
2 - m1
Стаціонарність.
1. Нестаціонарний випадковий процес – функція розподілу ймовірностей та
функція щільності ймовірностей залежать від початку відліку часу.
2. Стаціонарний у вузькому значенні – функція розподілу ймовірностей і
функція щільності ймовірностей не залежить від початку відліку часу.
3. Стаціонарний у сенсі одно- і двовимірної функції щільності ймовірностей
і функції розподілу ймовірностей не залежить від початку відліку часу.
Для стаціонарного випадкового процесу m1, m , 2
2 – не залежить від часу.
Розглянемо тепловий шум на виході увімкненого підсилювача. Після
включення підсилювач прогрівається і шум його виході – нестаціонарний. Після
"прогрівання" шум буде стаціонарним процесом.
Рисунок 2.1 –Часова діаграма теплового шуму
Ергодичність.
Випадковий процес називається ергодичним, якщо його усереднення за
часом однієї реалізації і усереднення по безлічі реалізацій дає той самий
результат. Ця властивість має велике значення практично, оскільки усереднення
за часом однієї реалізації технічно реалізувати простіше, але не завжди дає
справжній результат. Тому підтвердження ергодичності процесу дозволяє значно
спростити знаходження його параметрів.
2.2 Нормальний випадковий процес
Процес називається нормальним або гауссівським, якщо його одновимірна
функція щільності розподілу ймовірності має вид:
( x−m 2
1 )
1 −
2
W (x) = e 2
2
де m1 – середнє значення випадкового процесу; 2 – дисперсія випадкового
процесу. Графіки нормальної функції щільності розподілу ймовірності наведено
на рис. 2.2:
Рисунок 2.2 – Графіки нормальної функції щільності розподілу ймовірності
Властивості нормального випадкового процесу.
W(x) 0
Нормальна функція щільності розподілу ймовірності симетрична відносно x = m1
W(x) – max при х = m1
Площа під кривою W(x) дорівнює 1.
При зміні m1 форма кривої не змінюється, але крива зміщується вздовж вісі Ох.
Чим більша дисперсія 2, тем крива нижче и ширше.
З імовірністю близькою к 1 (Р 0,997) миттєві значення нормального
випадкового процесу лежать в межах: m1 - 3 < x < m1+3
Рисунок 2.3 – Межі розподілу випадкової величини з імовірністю 0,997
Якщо відомі дисперсія і m1, то робоча ділянка ВАХ повинна мати
протяжність m1 3.
Функція розподілу імовірностей для нормального випадкового процесу
x − m x−m1 x−m
1 1
x ( x−m ) 2 y = y 2
1
1 −
−
2 2 1 1 2
F (x) = e dx = = e 2 dy = e− y
dy =
− 2 dx 2 2
dy = − −
x − m
= F ( 1 )
– табульована функція (інтеграл імовірності Лапласа)
F(0) = 0,5 F(-x) = 1- F(x)
F(3,9) = 0,99995 F(-) = 0; F() = 1.
Функція розподілу імовірностей для нормального процесу має вид:
Рисунок 2.4 – Функція розподілу імовірностей нормального процесу
2.3 Оптимальне оцінювання сигналу
Безперервні повідомлення (наприклад, мова, музика тощо) можуть
передаватися по каналу зв'язку безпосередньо (наприклад, місцевою дротовою
радіомережею, телефонним кабелем) або за допомогою модуляції. У першому
випадку сигнал s(t), що передається каналом, може збігатися з повідомленням
(первинним сигналом) b(t) або бути пов'язаний з ним простою пропорційною
залежністю, у другому – сигнал s[t, b(t)], що передається, є функцією
повідомлення, в загальному випадку – нелінійною (рис. 2.5).
Рисунок 2.5 – Структура системи передачі безперервних повідомлень
Коливання на вході демодулятора z(t) = s[t, b(t)] + ξ(t) представляє собою в
найпростішому випадку суму сигналу, що передається, і завади ξ(t).
Завдання демодулятора полягає у знаходженні оцінки первинного сигналу
(повідомлення), найкращої відповідно до обраного критерію близькості. Як
критерій часто використовують середній квадрат помилки
2
2 = b(t)−b(t) , (2.1)
де риска вгорі означає статистичне усереднення по ансамблю. У системах
телеметрії використовується критерій максимальної помилки; у радіомовленні –
збільшення вихідного відношення сигнал/завада порівняно з вхідним, критерій
розбірливості мовних повідомлень тощо.
Оцінювання сигналу, як функції часу, досить складна задача. У багатьох
випадках її можна звести до більш простої задачі оцінювання одного або
декількох параметрів сигналу.
Найпростішим завданням, пов'язаним з оцінюванням параметрів сигналу, є
оцінка параметра, що постійно або настільки повільно змінюється в часі, що на
інтервалі спостереження його можна вважати постійним.
Розглянемо завдання оцінювання скалярного параметра λ, який до досліду
розглядається як випадкова величина, що має апріорний розподіл із щільністю
w(λ).
Реалізацію цієї випадкової величини є значення, постійне на інтервалі (0, T)
спостереження коливання z(t) = s[t, λ] + ξ(t).
Правило оцінювання – це алгоритм обробки коливання, результатом
виконання якого є значення оцінки параметра λ.
Для оцінювання одного й того ж параметра може існувати безліч
алгоритмів, які обчислюють різні оцінки. Для порівняння алгоритмів оцінювання
між собою та вибору найкращого використовують показники незміщеність,
слушність та ефективність.
Незміщеність Оцінка називається незміщеною, якщо виконується умова
− = 0 , що означає, що при будь-якому значенні параметра умовне
математичне очікування оцінки дорівнює цьому значенню = .
Інакше кажучи, незміщеність означає відсутність систематичної помилки
оцінювання. В іншому випадку оцінка називається зміщеною. Слід зазначити, що
зміщені оцінки також знаходять застосування, якщо зміщення досить мало або
прагне нуля зі збільшенням часу спостереження або потужності сигналу.
Слушність. Оцінка називається слушною, якщо при необмеженому
зростанні часу спостереження оцінка сходиться за ймовірністю до значення
параметра
~
limT→ P − = 0
при довільному Δ > 0.
В останньому виразі P{A} означає ймовірність події A.
Зміщена оцінка може бути слушною, якщо її зміщення прагне нуля при
T→∞. Отже, дисперсія помилки для слушної оцінки прагне нуля
~ 2
limT→ − = 0
Ефективність. Незміщена оцінка називається ефективною, якщо серед усіх
оцінок, отриманих при заданому часі спостереження усілякими алгоритмами
оцінювання, вона забезпечує найменшу дисперсію помилки
~ 2
− = min
Класичний підхід до оцінювання параметрів сигналів ґрунтується на
формулі Байєса для апостеріорної щільності розподілу ймовірностей параметра,
що оцінюється
w()w(z | )
w( | z) =
w(z) , (2.2)
де w(λ) – апріорна щільність розподілу ймовірностей параметра λ; w(λ|z) – умовна
щільність розподілу ймовірностей спостережуваного процесу при заданому
значенні λ, що розглядається як функція від λ при даному z (функція
правдоподібності); w(z) – при фіксованій реалізації z стала величина.
Вираз (2.2) показує, що знаючи апріорну щільність w(λ) і спостерігаючи
реалізацію процесу z, можна отримати уточнене уявлення про значення параметра
λ. На рис.2.6 показані приклади апріорної та апостеріорної щільністю розподілу
ймовірностей параметра (справжнє значення параметра позначено λ0).
Апостеріорний розподіл загострюється порівняно з апріорним розподілом,
оскільки реалізація z містить додаткову інформацію про параметр, що зменшує
вихідну невизначеність апріорної щільністю розподілу ймовірностей.
Апостеріорний розподіл містить всю інформацію про параметр, яку можна
отримати зі спостережуваної реалізації та апріорних даних. Тому правило
оцінювання має використовувати апостеріорну щільність розподілу ймовірностей,
а спосіб її використання залежить від обраного критерію якості оцінки.
Рисунок 2.6 – Апріорна та апостеріорна щільності розподілу імовірностей
оцінюваного параметра
Помилки оцінювання параметра призводять до різних наслідків, тому для їх
~
врахування вводиться функція втрат L( −) , залежить від різниці оцінки та
істинного значення параметра.
Усереднюючи функцію втрат за апостеріорним розподілом параметра,
отримуємо кількісну характеристику, яка називається апостеріорним (умовним)
ризиком.
~ ~
r( , z) = L( −)w( | z)d
( ) (2.3)
описує втрати, пов'язані з отриманням оцінки при спостереженні реалізації z.
Усереднення апостеріорного ризику (2.3) за всілякими реалізаціями призводить
до середнього ризику
~ ~
R( ) = w(z) L( − )w( | z)ddz
( z) ( ) .
Правило оцінювання, якому відповідає найменший середній ризик,
називається байєсівським, а відповідна оцінка – байєсівською, або оцінкою за
критерієм мінімуму середнього ризику. Правило, оптимальне у сенсі мінімуму
середнього ризику, виходить із умови мінімізації умовного ризику (2.3).
~ ~ 2
Часто використовують квадратичну функцію втрат L( −) = ( −) , тоді
~ ~ ~
r( , z) = L( −)2 w( | z)d = ( −)2
( ) (2.4)
Таким чином, апостеріорний ризик дорівнює середньому квадрату помилки
(а якщо оцінка незміщена, то дисперсії помилки). Байєсівська оцінка в цьому
випадку стає оцінкою мінімуму середньоквадратичної помилки. Для знаходження
правила розкриємо дужки у виразі (2.4):
~ ~ ~ ~
r( , z) = ( − )2 = 2 − 2 w( | z)d + 2
w( | z)d
( ) ( ) .
Диференціюючи отриманий вираз по λ і прирівнюючи результат нулю,
отримуємо правило
~
= w( | z)d
( )
Тобто оцінка, оптимальна у сенсі мінімуму середньоквадратичної помилки,
дорівнює апостеріорному середньому значенню параметра.
Крім квадратичної часто використовується проста функція втрат
~ ~
L( −) = const - ( −) , (2.5)
Підставляючи (2.5) в (2.4), отримаємо
~
const - ( −)w( | z)d = const -w( | z) ~
=
( )
Очевидно, що цей вираз досягає мінімуму, якщо як оцінку використовувати
значення параметра, що забезпечує максимум апостеріорної щільності розподілу
ймовірностей w(λ|z). Така оцінка називається МАЙ-оцінкою (оцінкою максимуму
апостеріорної ймовірності).
У багатьох завданнях апріорна щільність розподілу ймовірностей параметра
невідома, тоді приймають її рівній константі і максимізують функцію
правдоподібності w(λ|z). Отримані в такий спосіб оцінки називаються оцінками
максимальної правдоподібності, чи МП-оцінками.
2.4 Знаходження оцінок параметрів ексцесної випадкової величини
методом моментів
Близькі до гауссівських ексцесні випадкові величини 1-го типу описуються
тільки кумулянтом другого порядку 2 і коефіцієнтом ексцесу 4 . У даному
параграфі буде розглянуто знаходження оцінок цих параметрів методом моментів
і отримані дисперсії цих оцінок. Ці результати необхідні надалі для порівняння з
дисперсіями відповідних оцінок, знайдених методом максимізації поліному.
Відомо, що метод моментів полягає в прирівнювані вибіркових моментів
теоретичним.
Будемо вважати, що в розпорядженні спостерігача є вибірка x = x1,x2 ,...xn
об'ємом n з генеральної сукупності значень ексцесної випадкової величини 1-го
типу. Оцінка параметра 2 методом моментів дорівнює:
1 n
ˆ = x2
2 v . (2.6)
n v=1
Легко показати, що ця оцінка є незсунута і має дисперсію рівну:
2( + 2)
2 2 4
( )1 = . (2.7)
2 n
Очевидно, що дисперсія оцінки параметра 2 залежить від значення
коефіцієнта ексцесу 4 . Ця оцінка є слушною тому що з виразу (2.7) видно, що
при n→ дисперсія 2 → 0 .
2
При знаходженні оцінки параметра 4 необхідно розглядати 2 випадки.
Перший, у припущенні, що значення кумулянта 2 відоме. Тоді відповідно до
методу моментів, оцінка параметра 4 дорівнює:
1 n
ˆ 4 = x4
v − 3 . (2.8)
2
2n v=1
Ця оцінка так само є слушною, а її дисперсія для ексцесних випадкових
величин 1-го типу дорівнює:
2 34( 2
4 + 3) − 210
( )1 = . (2.9)
4 n
З виразу (2.9) видно, що оцінка (2.8) є слушною. Крім того, дисперсія цієї
оцінки не залежить від дисперсії спостерігаємої випадкової величини 2 .
Параметр може приймати значення з області − 0,515;+
4 . І при прагненні
коефіцієнта ексцеса 4 до крайнього мінімального значення з інтервалу
допустимих значень дисперсія оцінки прагне до нуля.
В другому випадку, коли значення кумулянта 2 невідоме, то оцінку
параметра 4 знаходять із спільного розв'язку (2.6) і (2.8), тобто в даному випадку
необхідно у виразі (2.8) замість 2 підставити її оцінку (2.6). Тоді оцінка
коефіцієнта ексцесу дорівнює:
1 n
x4
v
n
ˆ v=1
4 = − 3 . (2.10)
2
1 n
2
xv
n v=1
Для знаходження дисперсії оцінки (2.10) розглянемо асимптотичний
випадок, коли об'єм вибірки n прагне до нескінченності. Тоді в силу слушності
1 n
оцінок (2.6) і (2.7), значення статистики x2
v буде збігатися до істинного
n v=1
1 n
значення 20 , а значення статистики x4
v буде збігатися до істинного значення
n v=1
+ 3 2
40 20 . Отже, при великому n можна записати, що
1 n
x4
v − − 32 2
40 20 + 40 + 320
n v=1
ˆ
4 = − 3.
2
1 n
x2
v −
20 + 20
n v=1
Вирази в круглих дужках у чисельнику і знаменнику отриманого виразу при
великому n будуть приймати значення в окрузі нуля. Тому праву частину цього
1 n
виразу можна розкласти в ряд Тейлора по x4 − − 32
v 40 20 і по
n v=1
1 n
x2
v −
20 , обмежившись трьома членами розкладання. Тоді
n v=1
1 1 n
4 2
40 1 n
ˆ = + x − − 3 − 2 x2 −
4 40 2 v 40 20 3 v 20 .
n n
20 v=1 20 v=1
Дисперсія цієї оцінки асимптотично дорівнює:
2 1 2
40 4
( )1 F4,4 − 4 F 40
4 2,4 + F2,2 ,
n4 n5 6
20 20 n20
де Fi, j мають вид [2]. Підставивши Fi, j в останній вираз, одержимо, що дисперсія
оцінки параметра 4 при спільному оцінювані дорівнює:
2
2 34(4 + 3) − 210 4 (2
= 1− 4 4 −124 −12)
( )1 . (2.11)
4 n 2
34(4 + 3) − 210
Одержали цікавий результат. З порівняння (2.10) і (2.11) видно, що
асимптотично дисперсія оцінки ̂4 (2.10) при спільному оцінювані параметрів 2
і 4 буде менше, ніж при оцінці параметра 4 при відомому значенні 2 . При
цьому 4 може приймати значення в інтервалі −0,448;23,254. З (2.11) видно, що
при прагненні 4 до крайніх значень інтервалу допустимих значень дисперсія
оцінки прагне до нуля.
3. ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ ЕКСЦЕСНОЇ ЗАВАДИ
ПРИ ВІДОМИХ ПАРАМЕТРАХ РАДІОСИГНАЛУ
3.1. Постановка задачі
Радіосигнали відіграють важливу роль при передачі різного роду
повідомлень у багатьох системах передача інформації, таких як радіотехніка,
радіолокація, гідроакустика, сейсморозвідка і системи автоматичного керування.
Зазвичай корисна інформація закодована в деяких параметрах
= 1,2 , радіосигналів. В подальшому наявність параметрів в радіосигналі
будемо позначати у вигляді S(t;).
В загальному випадку математично звичайний радіосигнал можна записати
таким чином
S( t ) = Аe( t )cosω0t + , (3.1)
де А - амплітуда радіосигналу;
e(t) - огинаюча імпульсного сигналу з одиничною амплітудою.
За допомогою гармонічної функції cos (або sin ) описується несуча
радіосигналу з частотою ω0 і початковою фазою .
Корисна інформація в звичайному радіосигналі може міститися або в
амплітуді А, або в фазі , або в часі запізнення імпульсу τ0 (тобто S(t − τ0 )), або
в певній комбінації цих параметрів. Таким чином вектор корисних параметрів
сигналу (3.1) може бути рівним =А,ω0 ,, τ0 . В складніших радіосигналах
можуть бути і інші параметри, за допомогою яких передається корисна
інформація. Тому в загальному випадку вектор інформативних параметрів будемо
записувати у вигляді
= 1,2 ,,q, q =1, 2,,
де q - кількість інформативних параметрів (розмірність вектора ).
Як правило параметри приймають значення у визначеній області θ , яку
будемо позначати θ .
В подальшому будемо припускати, що радіосигнали задовольняють таким
вимогам:
1) сигнал S(t;) диференціюється по будь-якій складовій k вектора (по
будь-якому параметру k ), тобто існують похідні
d
S(t;) , k =1,q
dk
2) для i =1,S і для будь-якого θ існують інтеграли
+
Si (t;)dt , i =1,S, S =1,2,,
−
тобто сигнал S(t;) інтегрується в степені i, i =1,S, S =1,2,3,.
3) для будь-якого k і r існують інтеграли
+ d
S( d
t;) S(t;)dt , k, r =1,q ,
dk d
− r
тобто сигнали S(t;) такі, що добуток похідних сигналу інтегрується по будь-яких
параметрах.
Зазвичай радіосигнали ξ(t), що приймаються, представляють собою
адитивну суміш корисного сигналу S(t;) і завади n(t) , тобто
ξ(t)= S(t;)+ n(t), t0,T, (3.2)
де T - час спостереження сигналу, що приймається.
В більшості наукових робіт прийнято, що завади n(t) належать до
гауссівських завад, тобто мають гауссівський закон розподілу. Проте гауссівські
завади не завжди адекватно описують реально існуючі завади і тому часто
представляють собою математичну ідеалізацію реальних завад.
Під негауссівськими завадами будемо розуміти завади, котрі описуються
послідовністю кумулянтів χ 2 порядку r = 2,3, 4,. До того ж кумулянти χ 2
порядку r 3 не дорівнюють нулю.
Добре відомо, що саме для негауссівських випадкових величин кумулянти
порядку r 3 не дорівнюють нулю.
Наведені моделі сигналів (3.1), (3.2) є моделями з неперервним часом. В
даній роботі будуть використовуватися моделі сигналів з дискретним часом,
тобто будемо припускати, що з сигналу ξ(t), що приймається, в моменти часу
t1, t2 ,, tn зроблена вибірка ξ1,ξ2 ,,ξn , тобто ξv = ξ(t i ), v =1,n . Будемо
припускати, що крок дискретизації δ рівномірний, тобто δ = const і такий, що
вибіркові значення ξ v і ξ r є статистично незалежними.
В цьому випадку вибіркові значення xv будуть мати вигляд
xv = Sv + nv , v =1,n , (3.3)
де
Sv = Aev cos(v +)
ev = e(t v ) , n v = n(t v ) .
Із виразів (3.3) бачимо, що вибіркові значення xv внаслідок випадковості
nv мають випадковий характер. Причому величина випадкових значень,
внаслідок детермінованої зміни Sv (), залежить від номера спостереження v .
Тому вибіркові значення xv можливо інтерпретувати як вибірку, зроблену з
випадкової величини ξ , яка має неоднаковий розподіл в різні моменти
спостереження v . Іншими словами, вибірка x представляє собою вибірку із
випадкових величин ξ = ξ1,ξ2 ,,ξn неоднаково розподілених випадкових
величин, де
ξv = Sv ()+ n .
У останньому виразі значення детермінованої величини Sv () залежить від
номера випадкової величини v і від параметрів , які залишаються незмінними
напротязі спостереження випадкової величини ξ v , тобто тоді, коли робляться
вибіркові значення xv , v =1,n . Випадкова величина n не залежить від номера v і
залишається однією і тією ж випадковою величиною. Таким чином у випадковій
величині ξ v в залежності від v змінюється лише детермінований доданок Sv ().
У виразі (3.3) складова nv -представляє собою адитивну широкосмугову
заваду, в моделі якої математичне очікування дорівнює нулю, а вона повно
описується кумулянтом другого порядку 2 і коефіцієнтом ексцесу 4 . При
цьому припускаємо, що кумулянтні коефіцієнти { 3 , i } i = 5,2s будуть строго
фіксовані, а саме дорівнюють нулю, а кумулянтні коефіцієнти j порядку
j (2s +1) , що не входять до вагових коефіцієнтів, тобто не використовуються,
тому можуть вважатися довільними. За класифікацією, запропонованою в роботі
[1], негауссівська завада nv є перфорованою ексцесною випадковою величиною 1-
го типу.
Припустимо, що завадова ситуація каналу зв’язку змінюється, тобто
параметри ексцесної завади 2 , 4 в різні моменти часу можуть набувати різних
значень.
Для побудови алгоритмів оцінювання параметрів ексцесної завади 1-го типу
і для обчислення оптимальних коефіцієнтів рівнянь максимізації поліному
потрібно мати моментний опис дискретної послідовності (3.3). Для синтезу
обчислювальних алгоритмів при ступені поліному s = 4 потрібно знати формули
початкових моментів випадкової величини, як функції від кумулянтів або
кумулянтних коефіцієнтів до 8-го порядку. В роботі [1] розглянуто вирази для
початкових моментів, представлених через кумулянти до 12-го порядку для
центрованої ексцесної випадкової величини 1-го типу.
Використовуючи формулу
miv() = Exi
v
легко записати вирази для початкових моментів випадкової величини виду (3.3).
Символ E в останньому виразі означає операцію математичного сподівання.
Маємо:
m1v () = S 2
v , m2v () = Sv + 2,
m 3 4 2 2
3v () = Sv + 3Sv2, m4v () = Sv + 6Sv2 + 2(4 + 3),
m 5
5v () = Sv +10S3
v2 + 5Sv
2
2(4 + 3),
m6v() = S6
v +15S4
v
2 2
2 +15Sv2(4 + 3) +153
2(4 +1), (3.4)
m () = S7
7v v + 21S5
v2 + 35S3
v
2
2(4 + 3) +105S 3
v2(4 +1),
m8v () = S8
v + 28S6
v2 + 70S4
v
2
2(4 + 3) + 420S2
v
3
2(4 +1) +
+ 354
2(2
4 + 64 + 3).
Скориставшись початковими моментами виду (3.4) легко відшукати вирази
для кореляційних моментів випадкової величини:
при ступені поліному s =1
F(1,1)v () = 2 ; (3.5)
при ступені поліному s = 2 додатково використовуються
F(1,2)v () = 2Sv2 ,
(3.6)
F(2,2)v () = 2
2 (4Sv +24 + 22 ) ;
при ступені поліному s = 3 додатково залучені
F(1,3)v () = 2
2(3Sv + 24 + 32) ,
F(2,3)v () = Sv2(6S2
v + 524 +122) , (3.7)
F(3,3)v () = 32(3S4 2 2 2
v + 5Sv24 +12Sv2 + 52(4 +1)) ;
при ступені поліному s = 4 додатково потрібні вирази
F(1,4)v () = 4S 2
v2(Sv + 2(4 + 3)) ,
F(2,4)v () = 22(4S4
v + 7S2
v24 +18S2
v + 72 2
2 24 + 62) ,
F 4 2 2 2 2
(3,4)v () = 2Sv2(6Sv +17Sv24 + 42Sv2 + 5124 + 482) , (3.8)
F 6 4 4 2 2
(4,4)v () = 22 (8Sv + 34Sv24 +84Sv2 + 204Sv24 +
+192S 2 2
v2 +
3
2 (172
4 +102 4 + 48)).
При розрахунку оптимальних вагових коефіцієнтів рівнянь максимізації
поліному також потрібно знати функції для похідних від початкових моментів по
кожному оцінюваному параметру. Маємо:
похідні від початкових моментів по дисперсії завади 2
m1v = 0 , m2v =1 ,
2 2
(3.9)
m3v = 3S 2
v , m4v = 6Sv + 22 (4 + 3) ,
2 2
похідні від початкових моментів по коефіцієнту ексцесу 4
m 2
1v = m2v = m3v = 0 , m4v = 2 . (3.10)
4 4 4 4
3.2 Оцінка кумулянта другого порядку ексцесної завади при відомих
параметрах радіосигналу
Розглянемо оцінки кумулянта другого порядку методом максимізації
полінома при різних степенях поліному при апріорно відомих параметрах
радіосигналу.
В роботі [2]показано, що при степені s =1 відшукати оцінку параметра χ2
методом максимізації полінома не вдається, тому відразу почнемо зі степені s = 2 .
В загальному випадку оцінка χ2 знаходиться з розв’язку рівняння
s n
hiv(χ )()xi
v −miv () = 0 , (3.11)
2
i=1 v=1
χ2 = χ2
де оптимальні коефіцієнти hiv(χ ) () рівняння максимізації поліному (3.11)
2
залежать від параметрів ексцесної завади 1-го типу χ2 , γ4 і радіосигналу
1 ,2 , ,q , тобто = 1 ,2 , ,q , χ2 , γ4 та можуть бути знайдені з розв’язку
системи лінійних алгебраїчних рівнянь
s
h jv( ()F ()= m (), i = 1,s,v = 1,n . (3.12)
2 ) (i, j)v iv
j=1 2
При степені поліному s = 2 вагові коефіцієнти h1v(χ ) () і h2v(χ ()
2 2 )
знаходяться зі спільного розв’язку двох алгебраїчних рівнянь виду
d
h1v(χ ) ()F2 (1,1)v ()+ h2v(χ ) ()F2 (1,2)v ()= m1v ()
d2
d
h1v(χ2 )()F(1,2)v ()+ h2v(χ )()F(2,2)v ()= m2v () 2 d2
Підставляючи центровані корелянти F(i, j)v () виду (3.5) і (3.6), а також
функції для відповідних похідних виду (3.9), за допомогою правила Крамера
знаходимо вирази для шуканих оптимальних коефіцієнтів.
Проводячи розрахунки в середовищі MathCad, легко показати, що вагові
коефіцієнти h1v(χ )() і h2v(χ )() мають вигляд
2 2
2S χ χ
h v 2
1v(χ )()= − , h2v(χ )()= 2 , (3.13)
2 Δ 2
2 Δ2
де величина Δ2 називається об’ємом тіла розміром 2 ексцесної випадкової
величини 1-го типу [1], який дорівнює
Δ2 = χ3
2 (2 + γ4 ) . (3.14)
При врахуванні вагових коефіцієнтів (3.13) в рівнянні виду (3.11) маємо
квадратне відносно вибіркових значень рівняння для оцінювання параметра χ2 ,
розв’язком якого буде оцінка виду
1 n 2
χˆ2 = xv − Sv () . (3.15)
n v=1
При порівняні оцінки параметра χ2 виду (3.15) з оцінкою, отриманою
методом максимальної правдоподібності, коли завада є гауссівською видно, що
вони ідентичні.
Блок-схема, що реалізує обчислювальний алгоритм (3.15), наведена на
рисунку 3.1.
xv
χ
- 1 2
n
ГС
Рисунок 3.1 – Блок-схема оцінювання параметра χ2 при степені s = 2
При s = 3 оптимальні коефіцієнти рівняння h1v( ) (), h2v( ) () і h3v( ) () 2 2 2
знаходяться з розв’язку системи рівнянь виду
( ) ( ) ( ) d
h1v(χ ) F(1,1)v + h
2 2v(χ2 ) F(1,2)v ()+ h3v(χ )()F(1,3)v ()= m
2 1v ()
d
2
d
h1v(χ ()F
2 ) (2,1)v ()+ h2v(χ )()F(2,2)v ()+ h
2 3v(χ )()F2 (2,3)v ()= m2v ()
d2
h1v(χ )()
d
F(3,1)v ()+ h
2 2v(χ )()F(3,2)v ()+ h
2 3v(χ )()F2 (3,3)v ()= m3v ()
d2
Підставляючи центровані корелянти F(i, j)v () виду (3.5)-(3.7), а також
відповідні похідні від кумулянта другого порядку виду (3.9), обчислюємо вирази
для шуканих вагових коефіцієнтів
( ) 2χ 4a ( γ )S () − χ 4a ( γ )
h1v(χ ) = − 2 3 4 v 2 3 4
, h2v( χ ) ()= , h3v( χ )()= 0 , (3.16)
2 Δ 2 Δ 2
3 3
де об’єм тіла розміром 3 ексцесної випадкової величини 1-го типу має вигляд
3 =
6
2 (4 + 2)(6 + 94 −
2
4 ) .
Для компактності запису коефіцієнтів виду (3.16) введемо позначення
a3 ( γ4 ) = 6 + 9 4 −
2
4 , (3.17)
Підставивляючи коефіцієнти (3.16) у рівняння (3.11), після низки
алгебраїчних перетворень отримаємо, що оцінка параметра 2 при s = 3 співпадає
з оцінкою (3.15), знайденою при степені s = 2 .
З ростом степені поліному до s = 4 коефіцієнти рівняння максимізації
полінома h1v( 2 ) ()− h4v( ) () набувають вигляд
2
27S ()
h1v(χ )()= − 2 v χ2a4 ( γ4 )+2b 2
2 4 ( γ4 )Sv (),
Δ4
7
h2v(χ )()
= 2 χ2a4 ( γ )+ 6b ( γ )S2
4 4 4 v (), (3.18)
2 Δ4
7
( ) 42b4 ( γ 7
h = − 4 )Sv ()
3v(χ ) , h4v(χ )()= 2 b4 ( γ2 4 ),
Δ 2
4 Δ4
де об’єм тіла розміром 4 ексцесної випадкової величини 1-го типу має вигляд
Δ 2
4 = [288 + 4γ4 (360 + 480γ4 +180γ4 + 57,5γ3
4 − 8,5γ4 10
4 )]χ2 ,
а множники, що залежать від коефіцієнту ексцесу, можуть бути подані у вигляді
a4 ( γ4 ) =144+ 64 (132+146 2
4 − 74 ),
b4 ( γ4 ) = −24 (12 +124 −112 3
4 + 4 ).
Після підстановки коефіцієнтів (3.18) до рівняння (3.11) запишемо рівняння
максимізації полінома при s = 4 для оцінювання параметра 2 , яке буде мати
вигляд
1 n 1 n
2 4
χ 2
2 A4 ( γ4 )+ χ2a4 ( γ4 ) xv − Sv () + b4 ( γ4 ) xv − Sv () = 0 . (3.19)
n v=1 n v=1
2 =2
де
A4 ( γ4 )= a4 ( γ4 )- 3b4 ( γ4 )= 6(24+1444 +1582
4 −183
4 +
4
4 ).
Аналізуючи рівняння (3.19) можна зробити висновок, що воно є квадратним
рівнянням відносно шуканого параметру 2 , розв’язок якого може знаходиться
аналітично у вигляді
2
1 n 1 n
2 n
( ) 4 1 2
a4 xv − Sv − 4A4b4 xv − Sv () + a4 xv − Sv ()
n v=1 n v=1 n v=1
ˆ 2 = . (3.20)
2A4
Порівнюючи вирази (3.20) і (3.15) бачимо, що вони суттєво відрізняються,
проте коли коефіцієнт ексцесу 4 = 0 оцінка (3.20), знайдена при s = 4 , збігається з
виразом (3.15), отриманим при s = 2 .
Очевидно, що технічна реалізація такого алгоритму є простою та основана
на використанні елементарних обчислювальних блоків, що реалізують прості
математичні операції: додавання, віднімання, ділення, множення, добування
квадратного кореня і накопичення.
3.3 Точнісні характеристики нелінійних оцінок кумулянта другого
порядку за умови відомих значень параметрів радіосигналу
Якщо позначити вектор параметрів завади через λ = λ1 ,λ2 ,,λq, де q -
кількість компонент, то в даному випадку можна вважати 1 – це кумулянт
другого порядку, 2 - коефіцієнт ексцесу.
При оцінюванні довільного скалярного параметра завади m , m =1, q
ефективність такої оцінки описується за допомогою кількості добутої інформації
( )
J m, m
sn () [1], вираз для якої має вигляд
S n
(m,m)
Jsn (0 ) =hiv(m) (0 ) miv ( ) . (3.21)
i=1 v=1 m 0
Тоді дисперсія оцінки, яка знайдена методом максимізації полінома,
асимптотично дорівнюватиме
1
s(m) . (3.22)
(m,m)
Jsn (0 )
Підставимо у вираз (3.21), вагові коефіцієнти виду (3.13) і похідні виду
(3.9), отримаємо, що кількість добутої інформації про оцінку параметру 2 , при
степені поліному s = 2 , дорівнює
(1,1) n
J2n (20 )= . (3.23)
2
2 (4 + 2)
Отже, дисперсія оцінки (3.15), , буде асимптотично визначається виразом
2 22
2 2 (1+ 0,54 ). (3.24)
2 n
Із виразу (3.24) видно, що дисперсія оцінки залежить від трьох параметрів:
обсягу вибірки n , дисперсії 2 та коефіцієнту ексцесу 4 . Якщо коефіцієнт
ексцесу 4 дорівнює нулю, то дисперсія оцінки параметра 2 , яка знайдена
методом максимізації полінома при степені поліному s = 2 , дорівнює дисперсії
оцінки 2
, знайденої методом максимальної правдоподібності, коли завада є
гауссівською [2].
З виразу (3.24) видно, що якщо коефіцієнт 4 набуває від’ємних значень, а
2
саме належить інтервалу (-2, 0), то дисперсія 2 знайденої оцінки буде меншою
2
за дисперсію 2
оцінки параметра 2 , яка знайдена методом максимальної
правдоподібності, а якщо коефіцієнт ексцесу набуває позитивних значень
4 (0, ) 2
, то дисперсія 2 буде більшою, ніж дисперсія 2
оцінки метода
2
максимальної правдоподібності.
Рисунок 3.2 – Залежність коефіцієнту ефективності дисперсії оцінки
параметра 2 від коефіцієнту ексцесу 4
При степені поліному s = 3 , підставляючи вагові коефіцієнти (3.16) і похідні
виду (3.9), легко отримати, що кількість добутої інформації про параметр 2 буде
дорівнювати
(1,1) n 2(6+ 94 −
2
4 ) n
J3n (2 )= = . (3.25)
22 12+ 24 + 72 − 3 2
20 4 4 4 2 (4 + 2)
Тоді дисперсія оцінки 2 виду (3.15) буде асимптотично визначатися
виразом
2
3 = 2
g31( 4 ), 2
де
2
g31( 4 )
3
= 2
2
і в даному випадку дорівнює
g31( 4 )=1+ 0,54 . (3.27)
Графік залежності функції g31 від 4 збігається з лінією g21(4 ) , наведеною
на рисунку 3.2, проте слід враховувати звуження інтервалу допустимих значень, а
саме при s = 3 коефіцієнт ексцесу може приймати значення з інтервалу (-0,623;
9,623). Отже, дисперсія оцінки при s = 3 збігається дисперсією оцінки, знайденої
при s = 2 .
При степені s = 4 кількість добутої інформації про параметр 2
розраховується з врахуванням коефіцієнтів (3.18) і похідних від початкових
моментів виду (3.9) і буде мати вигляд
(1,1) n
J4n (20 )= a4 ( γ4 )+ 6b4 ( γ4 ), (3.28)
2
24
де коефіцієнти a4 (γ4 ) , b4 (γ4 ) і визначник 4 , що залежать від коефіцієнту
ексцесу, подані у вигляді (3.18).
Тоді дисперсія оцінки параметра 2 виду (3.20), буде асимптотично
дорівнювати
22
2 2
4 g41(γ4 ) , (3.29)
2 n
де коефіцієнт ефективності (зменшення дисперсії) визначається виразом
4 ( γ )
g41( γ4 )=
4 . (3.30)
2a4 (γ4 )+ 6b4 ( γ4 )
Графік залежності g41(γ4 ) від коефіцієнта ексцесу 4 наведено на рис.3.3.
Рисунок 3.3 – Залежність коефіцієнту ефективності g41( γ4 ) дисперсії оцінки
параметру 2 від коефіцієнту ексцесу 4
Зазначимо, що при степені поліному s = 4 інтервал допустимих значень
коефіцієнту ексцесу 4 звужується порівняно з випадком при s = 3 і дорівнює
(-0,327; 9,623). Якщо 4 приймає від’ємні значення з інтервалу допустимих
значень, то дисперсія оцінки метода максимізації полінома буде меншою за
дисперсію оцінки метода максимальної правдоподібності. Якщо ж 4 0 , то буде
діапазон значень (0; 9,33), де дисперсія оцінки метода максимізації полінома буде
більшою, ніж дисперсія метода максимальної правдоподібності, і буде вузький
діапазон (9,33; 9,623), де оцінки метода максимізації полінома будуть точнішими
за оцінки метода максимальної правдоподібності. У загальному випадку інтервал
значень 4 , в якому спостерігається зменшення дисперсії, складає 6,2% від
інтервалу допустимих значень.
Отриманні результати вказують на те, що при оцінювання дисперсії
ексцесної випадкової величини, використання поліноміальних алгоритмів
доцільне лише для випадку, коли 4 0 .
3.4 Оцінка коефіцієнта ексцесу завади та дослідження її точнісних
властивостей
При знаходженні оцінки коефіцієнта ексцесу методом максимізації
полінома використовуються поліноми степені 4 і вище. При s = 4 оцінка
знаходиться із розв’язку рівняння
n n
h1v(2)(4 )xv − Sv ()+h ( )x2 − − S 2
2v(2) 4 v 2 v ()+
v=1 v=1
n
+h3v(2)(4 )x3
v − 3 3
2Sv ()− Sv ()+ (3.31)
v=1
n
+h4v(2)(4 )x4 − 2 ( + 3)− 6 S 2 ()− S4
v 2 4 2 v v () = 0,
v=1
4 =4
де вагові коефіцієнти h1v(2)(4 )− h4v(2)(4 ) будуть мати вигляд
27
2Sv ()
h 2
1v(2)( γ4 )= − χ a ,
2 4 ( γ4 )+2b4 ( γ4 )Sv ()
Δ4
7
h ( γ )= 2 χ a ( γ )+ 6b ( γ )S2
( ) (), (3.32)
2v 2 4 2 4 4 4 4 v
Δ4
47b 7
h ( γ )= − 2 4 ( γ4 )Sv ()
( ) ,
3v 2 4 h4v(2)( γ4 )=
2 b4 ( γ4 ),
Δ4 Δ4
де множники a4 ( γ4 ), b4 (γ4 ) будуть відповідно дорівнювати
a4 (4 )= −72 −192 4 −114 2
4 +143
4 ,
4
b4 ( 4 )=12 + 4 (24 + 7 2
4 4 − 4 ).
Підставивши знайдені вагові коефіцієнти h1v(2)(4 )− h4v(2)(4 ) в рівняння
(3.31), легко знайти, що рівняння максимізації полінома для знаходження
коефіцієнта ексцесу 4 при s = 4 буде мати вигляд
1 n 4 1 n 2
b4 ( γ4 ) xv − Sv () + χ2a4 ( γ4 ) xv − Sv () −
n v=1 n v=1 (3.33)
− χ2
2 (4 + 3)b4 ( γ4 ) = 0.
4 =4
Порівнюючи рівняння (3.33) з (3.19) видно, що вони аналогічні за будовою,
але в рівнянні (3.33) множники a4 (γ4 ), b4 ( γ4 ) відиінні від відповідних множників
в рівнянні (3.19).
Рівняння для знаходження оцінки коефіцієнту ексцесу 4 буде дорівнювати
4
4 + A 3 2
4 ()4 + B4 ()4 +C4 ()4+D4 () = 0, (3.34)
4 =4
де
( ) 1 n n
A4 = 34 xv − Sv (
1 2
)+14−1
2 xv − Sv () −
n v=1 n v=1
n
− −2 1
2 xv − Sv ()
4
− 4,
n v=1
1 n 1 n
B4 ()= 206 x − S −1 2
v v ()−1142 xv − Sv () +
n v=1 n v=1
1 n
+ 7−2 4
2 xv − Sv () − 45 ,
n v=1
n n
C4 (
1
)=168 xv − Sv ()
1 2
−192−1
2 xv − Sv () +
n v=1 n v=1
1 n 4
+ 24−2
2 xv − Sv () −86,
n v=1
1 n n
D4 (
2 1 4
)= −72−1
2 xv − Sv () +12−2
2 xv − Sv () − 36.
n v=1 n v=1
З рівняння (3.34) видно, що для знаходження оцінки коефіцієнту ексцесу 4
використовується рівнянням четвертої степені відносно 4 .
Підставляючи знайдені вагові коефіцієнти виду (3.32) і похідні за
відповідними параметрами (3.10) легко знайти, що кількість добутої інформації
про коефіцієнт ексцесу 4 буде дорівнювати
(2,2) nb (γ )
J4n (γ40 )=
4 40 (3.35)
4 (γ40 )
тоді дисперсія оцінки буде визначатися співвідношенням
2 1 4 ( γ )
40 = 2
4 1 g41( γ4 ), (3.36)
4 n d4 (γ40 )
У виразі (3.36) коефіцієнт зменшення дисперсії g41(γ4 ) описується функцією
(γ )
g41(γ4 )=
4 40 . (3.37)
b4 (γ4 )2(48+1024 +172
4 )
Графік залежності g41(γ4 ) від істинного значення коефіцієнту ексцесу 4
наведений на рисунку 3.4.
Із графіка видно, що зменшення дисперсії оцінки метода максимізації
поліному в порівнянні з методом моментів [2] можливе при будь-яких значеннях
коефіцієнту ексцесу, в тому числі при нульовому значенні 4 , тобто коли завада
гауссівська. Якщо ж 4 приймає від’ємні значення з інтервалу допустимих
значень, то зменшення дисперсій може бути значним.
Рисунок 3.4 – Залежність коефіцієнту ефективності g41( γ4 ) дисперсії оцінки
параметра 4 від коефіцієнту ексцесу 4
3.5 Спільна оцінка кумулянта другого порядку та коефіцієнта ексцесу
завади
Згідно з методом максимізації полінома, сумісна оцінка двох параметрів
ексцесної завади 1-го типу 2 і 4 знаходиться із розв’язку системи двох рівнянь
виду (3.19) і (3.33) відносно вказаних параметрів
2 1 n 2
χ2 A4χ ( γ4 )+ χ2a4χ ( γ4 ) xv − S () +
2 2 v
n v=1
1 n
+ b4χ ( γ4 ) xv − Sv ()
4
= 0,
2 n
v=1 2 =2
4 =4
(3.38)
1 n n
4 1 2
b4γ ( γ4 ) xv − Sv () + χ2a4γ ( γ ) x − S () −
4 n 4 4 v v
v=1 n v=1
− χ2
2 (4 + 3)b4γ ( γ )
4 = = 0.
4 2 2
4 =4
де амплітудні множники першого рівняння мають вигляд
A4χ ( γ4 ) = a4χ ( γ4 ) - 3b 2 3 4
2 2 4χ ( γ
2 4 ) = 6(24 +144 4 +1584 −184 + 4 ),
a4χ ( γ4 )=144 + 64 (132 +1464 − 72
4 ), 2
b 2 3
4χ ( γ4 )= −24 (12 +124 −11 +
2 4 4 ),
а для другого рівняння залежності від параметра 4 мають вигляд
a4 (4 )= −72 −192 −114 2
4 4 +143
4 ,
4
b4 ( 4 )=12 + 4 (24 + 74 −
2
4 ). 4
Для відшукання виразів для дисперсій оцінок, знайдених із розв’язку цих
рівнянь, знаходимо матрицю кількості добутої інформації J 4n з елементами
( )
J m,k
sn (λ ), а саме
( )
J m,k
4n (λ )= J sn (λ ) , m,k = 1,s . (3.39)
Діагональні елементи (1,1)
J4n () (2,2)
, J4n () цієї матриці дорівнюють відповідно
виразам (3.28) і (3.35), а позадіагональні елементи представлені у вигляді
( ) ( ) nb4χ ( γ )
1,2 ( ) 2,1
J λ = J (λ )= 2 4
4n 4n , (3.40)
χ2Δ4 ( γ4 )
Тоді варіаційна матриця спільної оцінки параметрів 2 і 4 знаходиться як
обернена матриця J4n (λ ), тобто J −1
4n (λ ). На головній діагоналі оберненої матриці
J −1
4n (λ ) розташовуються дисперсії оцінок параметрів 2 і 4 , знайдених методом
максимізації полінома при S= 4 із сумісного розв’язку рівнянь (3.19) і (3.33).
ВИСНОВОК
В магістерській роботі розглядається адитивна взаємодія радіосигналу,
параметри якого є відомими, і ексцесної завади 1-го типу з невідомими
параметрами. Оскільки для сигналу, що приймається, використовується
моментно-кумулянтний опис, то для знаходження оцінок параметрів доцільно
використовувати метод максимізації поліному. Точність отриманих оцінок
характеризується величиною дисперсії.
При s =1 знайти оцінку параметра χ2 методом максимізації полінома
неможливо. Тому розглянемо випадок s = 2 . Рівняння максимізації полінома при
S= 2 для оцінки параметра χ 2 співпадає з оцінкою метода максимальної
правдоподібності. Блок-схема вимірювання параметра χ 2 при S= 2 і s=3
співпадають.
При степені s=4 рівняння для знаходження оцінки є квадратним рівнянням
відносно 2 , розв’язок якого може бути знайдено аналітично. При порівнянні
виразів оцінок при s=4 і при S= 2 бачимо їх суттєву відмінність, проте коли
коефіцієнт ексцесу 4 = 0 оцінка, знайдена при s = 4 , збігається з виразом,
отриманим при s = 2 . Очевидно, що технічна реалізація такого пристрою є
нескладною, оскільки базується на використанні простих обчислювальних блоків,
що реалізують операції віднімання, додавання, множення, ділення, накопичення і
добування квадратного кореня.
Проведено порівняння точнісних властивостей алгоритмів при степені 2 і 3
з точністю класичного методу. Показано, що для завад, які характеризуються
від’ємними значеннями коефіцієнту ексцесу, можна несуттєво підвищити
точність вимірювання дисперсії завади. У разі, коли адитивна завада
характеризується 4 0 ефективність оцінки дисперсії може значно
погіршуватися.
При степені поліному s = 4 інтервал допустимих значень коефіцієнту
ексцесу 4 звужується порівняно з випадком при s = 3 і дорівнює (-0,327;
9,623). Якщо 4 приймає від’ємні значення з інтервалу допустимих значень, то
дисперсія оцінки метода максимізації полінома буде меншою за дисперсію оцінки
метода максимальної правдоподібності. Якщо ж 4 0 , то буде діапазон значень
(0; 9,33), де дисперсія оцінки метода максимізації полінома буде більшою, ніж
дисперсія метода максимальної правдоподібності, і буде вузький діапазон (9,33;
9,623), де оцінки метода максимізації полінома будуть точнішими за оцінки
метода максимальної правдоподібності.
Рівняння максимізації полінома для знаходження оцінки параметра 4 при
s=4 є рівнянням четвертої степені відносно 4 . Показано, що зменшення дисперсії
оцінки метода максимізації поліному в порівнянні з методом максимальної
правдоподібності можливе при будь-яких значеннях коефіцієнту ексцесу, в тому
числі при нульовому значенні 4 , тобто при гауссівській заваді. Якщо ж 4
приймає від’ємні значення з інтервалу допустимих значень, то зменшення
дисперсій може бути значним.
За допомогою синтезованих алгоритмів може бути проведене попереднє
вивчення каналів передачі інформації, в результаті чого будуть виміряні
характеристики негауссівської завади. Таким чином, виміряні значення завад
каналів передачі інформації (χ2,γ4 ) можуть слугувати характеристиками каналу і
використовуватися під час синтезу оптимальних вимірювачів сигналу.
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
1. Кунченко Ю.П. Полиномиальные оценки параметров близких к гауссовским
случайных величин. Часть 1. Стохастические полиномы, их свойства и
применение для нахождения оценок параметров. – Черкассы: ЧИТИ, 2001. –
133 с.
2. Кунченко Ю.П., Заболотний С.В. Полиномиальные оценки параметров
близких к гауссовским случайных величин. Часть 2. Оценка параметров
близких к гауссовским случайных величин. -Черкассы: ЧИТИ, 2001. - 251с.
3. Бабак В.П., Білецький А.Я., Приставка О.П., Приставка П.О. Статистична
обробка даних/ Монографія. – Київ: «МІВВЦ», 2001. – 388 с.
4. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ негауссовских случайных процессов и их
преобразований. - М.: Сов. радио, 1978. – 376 с.
5. Булига К.Б., Барановська Л.В. практикум з теорії ймовірностей та
математичної статистики. – К.: Європ. ун-т, 2000. – 173 с.
6. Кунченко Ю.П., Заболотній С.В., Гавриш О.С. Області допустимих значень
параметрів імовірнісних моделей близьких до гаусових випадкових величин. //
Вісник ЧІТІ. – Черкаси. №4. 2000. – С. 8-17.
7. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. - Т. 2. М.: Сов
радио, 1975. – 392 с.