Синтез алгоритмів адаптивного розрізнення дискретних сигналів на фоні негаусових завад

Зоріна, Любов Іванівна
Please use this identifier to cite or link to this item: https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/6510
Title:	Синтез алгоритмів адаптивного розрізнення дискретних сигналів на фоні негаусових завад
Authors:	Палагін, Володимир Васильович Зоріна, Любов Іванівна
Keywords:	дискретні сигнали;адаптивне розрізнення;негаусові завади;поліноміальні розв’язувальні правила
Issue Date:	2025
Abstract:	"Метою роботи є розробка та дослідження алгоритмів адаптивного розрізнення дискретних сигналів при функціонуванні системи на фоні негаусових завад. Проведено аналіз сучасних методів розрізнення та виявлення дискретних сиг-налів, а також показано обмеженість алгоритмів, що базуються на припущенні гаусової моделі завад. Обґрунтовано доцільність використання моментних характеристик вищих порядків для підвищення ефективності розрізнення сиг-налів у складних завадових умовах."
URI:	https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/6510
Appears in Collections:	172 Електронні комунікації та радіотехніка (Радіотехніка та робототехнічні системи)
Files in This Item:
File	Description	Size	Format
М_172_Зоріна_Палагін.pdf Restricted Access		1.42 MB	Adobe PDF	View/Open Request a copy
Show full item record
Extracted text
 
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ 
ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ 
ФАКУЛЬТЕТ ЕЛЕКТРОННИХ ТЕХНОЛОГІЙ, АВТОТРАНСПОРТУ ТА 
МАШИНОБУДУВАННЯ 
КАФЕДРА РОБОТОТЕХНІЧНИХ І ТЕЛЕКОМУНІКАЦІЙНИХ СИСТЕМ ТА 
КІБЕРБЕЗПЕКИ 
 
 
 
Допущений до захисту  
“____”  _____________2025 р. 
Завідувач кафедри РТСК  
д.т.н., професор  
          _____________  Володимир ПАЛАГІН 
 
 
Пояснювальна записка 
до кваліфікаційної роботи 
 магістра  
(освітній ступінь) 
 
 
 
на тему:  
Синтез алгоритмів адаптивного розрізнення дискретних сигналів  
на фоні негаусових завад 
 
 
 
Виконав: студент  2  курсу, групи мРТ-46  
спеціальності 
172 «Електронні комунікації та радіотехніка»  
(шифр і назва напряму підготовки, спеціальності) 
(освітня програма – «Радіотехніка та 
робототехнічні системи»)  
 Зоріна Л.І.  
(прізвище та ініціали) 
Керівник  Палагін В.В.  
(прізвище та ініціали) 
Рецензент  Бондаренко М.О.  
(прізвище та ініціали) 
 
 
Черкаси – 2025 року 
Форма № Н-9.01 
Черкаський державний технологічний університет 
(назва вузу) 
Факультет електронних технологій, автотранспорту та машинобудування 
Кафедра Робототехнічних і  телекомунікаційних систем та кібербезпеки  
Освітньо-кваліфікаційний рівень Магістр 
Спеціальність  172 – Електронні комунікації та радіотехніка 
Освітня програма Радіотехніка та робототехнічні системи 
                  ЗАТВЕРДЖУЮ 
       Завідувач кафедри РТСК 
 д.т.н., професор Володимир ПАЛАГІН 
   
 «  »   2025 р. 
 
ЗАВДАННЯ 
на дипломний проект (роботу) студенту 
Зоріній Любов Іванівні 
(прізвище, ім'я, по батькові) 
«Синтез алгоритмів адаптивного розрізнення дискретних сигналів  
1. Тема проекту (роботи) 
на фоні негаусових завад» 
 
керівник проекту (роботи) Палагін Володимир Васильович, д.т.н., професор 
(прізвище, ім’я, по батькові, науковий ступінь, вчене звання) 
затверджена наказом по університету від « 13 »   вересня   2025 р.  № 234/04 
2. Строк подання студентом проекту (роботи) 9 грудня 2024 р. 
3. Вихідні дані до проекту (роботи)  
Вивчити можливості MATLAB/Simulink для моделювання систем розрізнення дискретних 
сигналів. Розробити структурну схему адаптивної системи розрізнення при функціонуванні 
на фоні негаусових завад. Синтезувати алгоритми адаптивного оцінювання параметрів та 
поліноміальні розв’язувальні правила. Провести імітаційні дослідження ефективності 
системи при зміні параметрів сигналів і завад. 
4. Зміст розрахунково-пояснювальної записки (перелік питань, які потрібно розробити) 
Вступ.  
1. Аналіз методів та алгоритмів обробки та розрізнення дискретних сигналів 
2. Обґрунтування вибору статистичних критеріїв РП для адаптивного розрізнення 
сигналів 
3. Синтез алгоритмів розрізнення дискретних сигналів на фоні негаусових завад 
4. Моделювання та оцінка ефективності синтезованих алгоритмів у  matlab/simulink 
Висновки. Список використаних джерел.                                                                    
5. Перелік графічного матеріалу (з точним зазначенням обов’язкових  
креслень) 
 
 
6. Консультанти з проекту (роботи) із зазначенням розділів проекту, що їх стосуються 
  Підпис, дата 
Розділ Прізвище, ініціали та посада  завдання         завдання 
консультанта видав прийняв 
    
    
 
7. Дата видачі завдання                    5 вересня 2025 р. 
Керівник   В.В. Палагін 
 (підпис) (ініціали, прізвище) 
Студент              Л.І. Зоріна 
 (підпис) (ініціали, прізвище) 
КАЛЕНДАРНИЙ ПЛАН 
№ Назва етапів дипломного проекту (роботи) Строк виконання Примітка 
з/п етапів          
проекту (роботи) 
1. Аналіз технічного завдання та огляд літератури. 08.09.2024  
2. Ознайомлення з бібліотеками Simulink для реалізації  14.09.2024  
 моделей сигналів і завад.   
3. Розробка структурної схеми адаптивної системи  20.09.2024  
 розрізнення дискретних сигналів.   
4. Реалізація алгоритмів адаптивного оцінювання  04.10.24  
 параметрів та поліноміальних розв’язувальних правил.   
5. Проведення імітаційних досліджень та аналіз  15.11.24  
 ефективності системи розрізнення.   
8. Оформлення пояснювальної записки. 03.12.24  
9. Підготовка презентації до захисту. 04.12.24  
                      
                                 
 
   Студент 
                              Л.І. Зоріна 
  (підпис) (ініціали та прізвище) 
Керівник проекту (роботи)   В.В. Палагін 
  (підпис) (ініціали та прізвище) 
 
 
ЗМІСТ 
 
ВСТУП .............................................................................................................................. 5 
РОЗДІЛ 1.  АНАЛІЗ МЕТОДІВ ТА АЛГОРИТМІВ ОБРОБКИ ТА РОЗРІЗНЕННЯ 
ДИСКРЕТНИХ СИГНАЛІВ ........................................................................................... 7 
1.1 Актуальність задачі розрізнення дискретних сигналів на фоні негаусових завад
  .............................................................................................................................. 8 
1.2 Властивості дискретних сигналів у телекомунікаційних системах ................... 11 
1.3 Моделі негаусових завад та їх статистичний опис .............................................. 13 
1.4 Методи розрізнення сигналів: класичні та адаптивні підходи ........................... 16 
1.5 Обмеження застосування класичних методів розрізнення дискретних сигналів 
при наявності негаусових завад. .................................................................................. 19 
1.6 Висновки .................................................................................................................. 21 
РОЗДІЛ 2. ОБҐРУНТУВАННЯ ВИБОРУ СТАТИСТИЧНИХ КРИТЕРІЇВ РП ДЛЯ 
АДАПТИВНОГО РОЗРІЗНЕННЯ СИГНАЛІВ.......................................................... 23 
2.1 Імовірнісні критерії якості перевірки статистичних гіпотез та їх застосування
 ......................................................................................................................................... 23 
2.2 Моментні критерій якості перевірки статистичних гіпотез ............................... 30 
2.3 Адаптація критерію верхньої границі помилок для багатоальтернативної 
перевірки статистичних гіпотез ................................................................................... 34 
2.4 Оцінка параметрів негаусових завад: огляд підходів та метод моментів ......... 40 
2.5 Висновки .................................................................................................................. 43 
  
мРТ46.025235.248 ПЗ 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 Розроб. Зоріна Л.І.. Синтез алгоритмів адаптивного Літ. Арк. Акрушів 
 Перевір. Палагін В.В. розрізнення дискретних сигналів 3 75 
 Реценз.  на фоні негаусових завад 
 Н. Контр. Палагін В.В. Пояснювальна записка. ЧДТУ 
 Затверд.    
 
РОЗДІЛ 3. СИНТЕЗ АЛГОРИТМІВ РОЗРІЗНЕННЯ ДИСКРЕТНИХ СИГНАЛІВ 
НА ФОНІ НЕГАУСОВИХ ЗАВАД ............................................................................. 44 
3.1 Моментно – кумулянтний опис прийнятих дискретних сигналів на фоні 
асиметричних негаусових завад .................................................................................. 44 
3.2 Синтез РП розрізнення дискретних сигналів при степені полінома S=1 .......... 45 
3.3 Синтез РП розрізнення дискретних сигналів при степені полінома S=2 .......... 50 
3.4 Аналіз ефективності синтезованих алгоритмів .................................................... 54 
3.5 Висновки .................................................................................................................. 55 
РОЗДІЛ 4. МОДЕЛЮВАННЯ ТА ОЦІНКА ЕФЕКТИВНОСТІ СИНТЕЗОВАНИХ 
АЛГОРИТМІВ У MATLAB/SIMULINK .................................................................... 57 
4.1 Побудова системи оцінювання параметрів негаусових завад. ........................... 57 
4.2 Побудова структурної схеми адаптиного розрізнення дискретних сигналів в 
середовищі Simulink. ..................................................................................................... 59 
4.3 Висновки .................................................................................................................. 70 
ВИСНОВОК ................................................................................................................... 72 
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ .............................................................. 74 
 
 
  
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
4 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
ВСТУП 
 
У сучасних телекомунікаційних та інформаційно-вимірювальних системах 
дедалі більшого значення набувають методи обробки сигналів на фоні негаусових 
завад. Такі завади виникають у результаті впливу імпульсних джерел завад, 
електромагнітних імпульсів техногенного походження, багатопроменевого 
поширення сигналів, а також через роботу радіоелектронних пристроїв із 
нелінійними характеристиками. Застосування традиційних методів оптимального 
розрізнення, розроблених для випадку гаусової випадковох величини, у таких 
умовах призводить до суттєвого погіршення якості приймання рішень та підвищує 
ймовірності помилок. 
Задача синтезу алгоритмів розрізнення сигналів на фоні негаусових завад є 
актуальною для широкого класу систем зв’язку, радіолокації, радіомоніторингу та 
технічних засобів захисту інформації. Особливої складності набуває задача 
адаптації розв’язувальних правил до зміни статистичних характеристик завад, коли 
параметри їх розподілу є невідомими і можуть змінюватися в часі. У таких 
випадках доцільним є використання методів моментно-кумулянтного опису, 
статистичної адаптації та побудови поліноміальних розв’язувальних правил (РП), 
що забезпечують компроміс між ефективністю та обчислювальною складністю. 
Метою даної роботи є синтез алгоритмів адаптивного розрізнення 
дискретних сигналів на фоні негаусових завад, які забезпечують підвищення 
завадостійкості розрізнення дискретних сигналів в умовах невизначеності 
статистичних параметрів завадового середовища. 
Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити наступний клас задач: 
• Провести аналіз існуючих статистичних методів розрізнення сигналів 
на фоні гаусових і негаусових завад. 
• Розробити математичну модель процесу приймання дискретних 
сигналів на фоні негаусових завад. 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
5 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
• Побудувати адаптивні алгоритми розрізнення на основі моментно-
кумулянтного опису статистичних характеристик. 
• Провести моделювання ефективності запропонованих алгоритмів і 
порівняти їх із традиційними методами. 
• Дослідити вплив зміни параметрів негаусовості на ймовірність 
правильного розрізнення сигналів. 
• Об’єктом дослідження є процес розрізнення дискретних сигналів на 
фоні негаусових завад. 
• Предметом дослідження є алгоритми адаптивного розрізнення сигналів 
із використанням статистичних критеріїв моментно-кумулянтного типу. 
Наукова новизна роботи полягає у розробленні адаптивного алгоритму 
розрізнення дискретних сигналів на фоні негаусових завад, який змінює параметри 
РП відповідно до оцінених моментно-кумулянтних характеристик завади. 
Практичне значення отриманих результатів полягає в можливості їх 
застосування під час розробки систем виявлення, розрізнення та оцінювання 
параметрів сигналів у засобах радіомоніторингу, зв’язку. 
  
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
6 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
РОЗДІЛ 1.  АНАЛІЗ МЕТОДІВ ТА АЛГОРИТМІВ ОБРОБКИ ТА 
РОЗРІЗНЕННЯ ДИСКРЕТНИХ СИГНАЛІВ 
 
У сучасних інформаційно-вимірювальних та телекомунікаційних системах 
дедалі більшого значення набувають алгоритми ефективної обробки і надійного 
розрізнення дискретних сигналів на фоні завад, статистично складних за своєю 
структурою. В умовах зростання щільності спектрального використання 
радіочастотного діапазону, переходу до високошвидкісних схем передачі даних із 
мінімальним відношенням потужності сигнал/шум, а також збільшення кількості 
джерел природних і штучних завад виникає потреба в застосуванні методів аналізу 
сигналів, які виходять за межі класичних гаусових моделей завад. 
Розрізнення дискретних сигналів є фундаментальною задачею теорії 
прийому сигналів, яка полягає у використанні статистичних розв’язувальних 
правил (РП) прийняття рішень щодо прийнятого сигналу до однієї з 
альтернативних гіпотез. Ефективність таких РП визначається як властивостями 
самих сигналів, статистичними характеристиками завад, від яких залежить 
розподіл можливих значень випадкових вибірок на вході приймача, так і від 
критерію якості [1]. Якщо у класичному випадку завада розглядається як 
стаціонарний випадковий процес з нормальною щільністю розподілу, то в реальних 
умовах спостерігаються процеси, що мають асиметрію, ексцес або імпульсні 
прояви, що ускладнює застосування традиційних алгоритмів. 
У цьому розділі розглядаються основні підходи до обробки дискретних 
сигналів та методи статистичного розрізнення на фоні завад.  
 
  
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
7 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
1.1 Актуальність задачі розрізнення дискретних сигналів на фоні 
негаусових завад 
У сучасних телекомунікаційних та інформаційно-вимірювальних системах 
задача розрізнення сигналів на фоні складних завадових умов залишається однією 
з фундаментальних проблем, що визначає велику частину вимог до побудови 
приймальних пристроїв, їх стійкості, здатності адаптуватися до змін середовища та 
забезпечувати гарантований рівень достовірності прийому. В умовах 
безперервного ускладнення умов передачі інформації, росту щільності спектру 
радіоелектронних систем, використання широкосмугових форматів модуляції, а 
також появи активних джерел завад стає очевидним, що класична модель 
адитивного білого гаусового шуму вже не є універсальною основою для аналізу 
прийому сигналів [3]. Істотне відхилення статистичних характеристик реальних 
завад від нормального розподілу призводить до необхідності перегляду 
фундаментальних підходів до побудови алгоритмів оптимального або 
квазіоптимального розрізнення сигналів. 
Радіоканали передачі інформації у практичних умовах характеризуються 
впливом завад, що мають властивості асиметрії та ексцесу розподілу, наявність 
нестаціонарних або квазістаціонарних імпульсних впливів, флікер-шумів, 
статистично нерегулярних компонентів із важкими хвостами розподілу. Відомо, 
що гаусова модель є оптимальною в сенсі центральної граничної теореми лише для 
сум великої кількості незалежних шумових складових однакової дисперсії. Однак 
у реальному середовищі джерела завад є просторово та фізично неоднорідними за 
своїм природним походженням і енергетичними характеристиками. Як показано в 
роботах [1–4], статистичний опис таких процесів суттєво відрізняється від 
ідеалізованої гаусової моделі випадкового процесу і вимагає узагальненого 
математичного опису. 
Дискретні сигнали мають наступні параметри: часову тривалість елемента, 
енергетичну густину, тип модуляції, структуру спектральної огинаючої та 
кореляційні властивості. Наприклад, передачі на основі RZ та NRZ-кодування, як і 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
8 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
фазові схеми модуляції типу BPSK та QPSK, забезпечують різні профілі 
спектральної щільності, а також по-різному реагують на завадові умови. Однак 
незалежно від особливостей модуляції, наявність негауссових завад здатна 
спотворювати розподіл прийнятих символів і призводити до помилок прийняття 
рішень.  
В умовах, коли класичні правила Неймана–Пірсона чи Байєсові алгоритми 
розрізнення передбачають оптимальність для гаусових завад, у випадку негаусових 
завад вони демонструють суттєві втрати якості, що відзначається у роботах [2, 7, 
10]. На практиці джерела негаусових завад охоплюють широкий спектр фізичних 
механізмів. Завади можуть спричинюватися комутаційними переходами у 
промисловому електрообладнанні, електромагнітними імпульсами від індуктивних 
навантажень, імпульсними локальними джерелами у радіочастотному діапазоні, 
випромінювання каналів цифрової електроніки. Особливо важливою стає задача 
розрізнення сигналів в умовах прицільного створення навмисних імпульсних 
радіозавад, які використовують підхід активного маскування інформаційного 
сигналу й моделюються за допомогою важкохвостих розподілів (наприклад, 
розподілу Парето, α-стабільних розподілів чи розподілу Леві). За наявності таких 
моделей середньоквадратичні оцінки втрачають ефективність, оскільки дисперсія 
шуму перестає бути визначальною характеристикою його статистики. Тому 
актуальним є використання моментно-кумулянтних описів, які включають не лише 
дисперсійний, а й третій та четвертий кумулянти, що відображають асиметрію та 
ексцес завади. 
На противагу класичним підходам, адаптивні алгоритми розрізнення, що 
базуються на оцінюванні вищих статистичних моментів та адаптації параметрів РП 
до реальних статистичних властивостей завад, забезпечують суттєве підвищення 
стійкості системи прийому. Цей підхід дозволяє будувати алгоритми, які не просто 
фільтрують сигнал у сенсі максимуму відношення сигнал/шум, а формально 
перебудовують критерії розрізнення, мінімізуючи апостеріорну ймовірність 
помилки в умовах відхилень від нормального закону. Подібний підхід відображено 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
9 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
у працях [5, 8], де показано, що використання кумулянтних коефіцієнтів дозволяє 
сформувати робастні критерії оцінювання, менш чутливі до викидів. 
З іншого боку, технологічна актуальність задачі зумовлюється стрімким 
розвитком систем зв’язку, що працюють у нестабільних умовах: децентралізовані 
бездротові мережі, сенсорні системи і Internet-of-Things, інформаційно-
вимірювальні комплекси реального часу, системи супутникового зв’язку, а також 
безпілотні системи управління та автономні рішення на основі машинного навання. 
У цих умовах стабільність каналу зв’язку часто не гарантований, а рівень шуму 
може коливатися нерегулярно, змінюючи статистичну структуру. Це створює 
задачу адаптивної обробки сигналу, де алгоритм розрізнення повинен змінювати 
свої параметри за результатом оцінювання поточних статистичних характеристик 
каналу. 
Таким чином, задача розрізнення дискретних сигналів на фоні негаусових 
завад є критично важливою як з теоретичної, так і практичної точки зору. 
Актуальність її зумовлена не лише фундаментальним інтересом до проблеми 
робастного статистичного оцінювання, але й необхідністю забезпечення 
достовірності передачі інформації в умовах реальних фізичних каналів, де гаусова 
модель шуму не лише неточна, але й потенційно хибна та шкідлива для 
ефективного розрізнення сигналів. Розробка адаптивних алгоритмів, що здатні 
узгоджуватися зі статистичними характеристиками каналу в режимі реального 
часу, створює підґрунтя для побудови нових поколінь приймачів, що здатні 
працювати в умовах сталих і нестаціонарних негаусових завад, забезпечуючи 
мінімальну ймовірність помилки при максимально можливій пропускній здатності 
каналу та енергетичній ефективності системи. 
  
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
10 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
1.2 Властивості дискретних сигналів у телекомунікаційних системах 
Дискретні сигнали є основою передачі цифрової інформації в 
телекомунікаційних системах і характеризуються сукупністю фізичних, 
спектральних та статистичних властивостей, що визначають їхню здатність до 
надійного відтворення на приймальному боці на фоні завад. Канали передачі 
інформації мають наступні параметри: енергетичну ефективність, спектральну 
щільність, часову структуру символів. 
Нехай дискретний сигнал описується послідовністю символів 
∞
��(��) = ∑ ����  ��(�� − ����), 
��=−∞
де ����– інформаційні символи з алфавіту повідомлень ��, ��– тривалість 
символу, ��(��)– базова імпульсна форма (shape function), що визначає часову 
структуру сигналу. 
Енергетична середня потужність сигналу визначається як 
1 ��
���� = ∫ ∣ ��(��) ∣2 ����. 
�� 0
У схемах, де використовується ортонормований базис, сигнал може бути поданий 
у скалярній формі через коефіцієнт кореляції між символами. У загальному вигляді 
кореляційна функція має вигляд 
����(��) = ��[��(��)��(�� + ��)], 
що визначає статистичні властивості сигналу та впливає на ефективність 
розрізнення у випадку каналів з пам’яттю. 
Спектральні властивості дискретних сигналів визначаються перетворенням 
Фур'є 
∞
��(��) = ∫ ��(��)��−��2����������. 
−∞
Для типового бінарного сигналу з прямокутною імпульсною формою ��(��)ширина 
спектра сигналу ��наближено визначається як 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
11 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
1
�� ≈ , 
��
що показує взаємозв’язок між швидкістю передавання та зайнятою смугою частот. 
У телекомунікаційних системах, використовують фазову маніпуляцію, 
наприклад BPSK, дискретний сигнал може бути поданий як: 
��(��) = √2����cos⁡(2�������� + ����), 
де ����– несуча частота, ���� ∈ {−1,+1}, а фазова маніпуляція визначається 
0, ���� = +1,
���� = {  
��, ���� = −1.
Амплітудне представлення цього сигналу після демодуляції зазвичай 
переходить у скалярну форму 
�� = ���� + ��, 
де ��– завада, модель якої може бути гаусовою або негаусовою. 
Одним із ключових параметрів розрізнення сигналів є евклідова відстань між 
символами: 
�� = √��[(�� − �� )2�� �� ], 
яка визначає мінімальну відстань між точками сузір’я сигналів у фазово-
просторовому представленні. Для M-позиційних сигналів при нормованій енергії 
розподілу ця відстань визначає граничну здатність до коректного прийому. 
Оскільки у реальних телекомунікаційних каналах присутні негаусові завади, 
модель прийнятого сигналу коректно описується як: 
��(��) = ��(��) + ��(��), 
де ��(��)– завад, що піддається кумулянтному опису 
Таке представлення суміші дозволяє врахувати асиметрію та ексцес завади, 
що критично важливо для правдивого визначення достовірності прийнятих 
символів на фоні негаусових завад. 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
12 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
Таким чином, властивості дискретних сигналів визначаються поєднанням 
часової структури, спектральної густини, енергетичних характеристик та 
статистичних властивостей, що проявляються як на рівні формування сигналу, так 
і на рівні його прийому нафоні гауссових та негаусових завад. Розуміння цих 
властивостей створює основу для розроблення алгоритмів адаптивного 
розрізнення, які враховують реальні умови каналу зв’язку, у тому числі відхилення 
завади від нормального закону розподілу. 
1.3 Моделі негаусових завад та їх статистичний опис 
У сучасних телекомунікаційних системах питання адекватного опису та 
моделювання завад є ключовим для побудови ефективних алгоритмів розрізнення 
дискретних сигналів. Класичні моделі, які ґрунтуються на припущенні гаусового 
характеру завади, забезпечують високу точність лише для випадків, коли завади є 
результатом сумування великої кількості незалежних флуктуацій. Проте значна 
частина завад, що виникають у реальних каналах зв’язку, не підпорядковується 
нормальному розподілу. До таких належать імпульсні електромагнітні завади, 
атмосферні перешкоди, промислові імпульсні шуми та інші процеси, які мають 
виражену асиметрію, підвищену піковість або важкі степеневі хвости. У таких 
випадках застосування гаусової моделі призводить до некоректної оцінки 
ймовірності помилок та зниження ефективності як класичних кореляційних 
приймачів, так і адаптивних алгоритмів обробки. 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
13 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
 
Рис. 1.1. Приклад негаусового розподілу. 
 
Одним із найбільш поширених типів негаусових процесів є α-стійкі 
розподіли [6-7]. Такі розподіли застосовуються для моделювання сигналів із 
важкими хвостами, де значні відхилення від середнього значення виникають із 
суттєво більшою ймовірністю, ніж у нормальному випадку. Характеристична 
функція α-стійкого розподілу задається співвідношенням 
��(��) = exp⁡{������ − �� ∣ �� ∣�� [1 − ���� sign⁡(��)Φ]}, 
де �� ∈ [0,2]визначає важкохвостість розподілу, �� ∈ [−1,1]– параметр асиметрії, 
�� > 0– параметр масштабу, �� ∈ ℝ– параметр зсуву. При �� < 2 дисперсія розподілу 
стає нескінченною: 
��{��} = ∞. 
Унаслідок цього класичні оцінки потужності завади та методи, засновані на 
мінімізації середньоквадратичної помилки, стають непридатними. 
Іншою важливою моделлю є модель змішаного (двомодовго) нормального 
шуму [5-6], яка широко використовується для опису імпульсних завад у 
радіоканалах. Така модель визначається щільністю ймовірності 
��(��) = (1 − ��)��(0, ��2) + �� ��(0, ����2), 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
14 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
де �� ≪ 1– імовірність появи імпульсу, �� ≫ 1– коефіцієнт збільшення дисперсії 
імпульсних завад. Модель коректно описує ситуації, у яких більшість відліків 
завади мають низьку амплітуду, але іноді виникають імпульси, значно більші за 
середній рівень завади. Саме так поводяться промислові, атмосферні та цифрові 
імпульсні завади. 
До типових негаусових моделей належить також лапласівський розподіл, 
який має щільність розподілу: 
1 ∣ �� ∣
��(��) = exp⁡(− ), 
2�� ��
де параметр �� > 0 визначає ширину розподілу. Для такого розподілу характерні 
підвищена піковість та експоненційні хвости. Лапласівський розподіл адекватно 
моделює процеси, що містять часті невеликі флуктуації та рідкісні, але значні 
стрибки амплітуди. У порівнянні з нормальним розподілом лапласівський має 
ексцес 
��2 = 3, 
що характеризує його більш «гострий» центр та важчі хвости. 
Для визначення ступеня відхилення реальної завади від гаусової моделі 
використовують моментно-кумулянтний опис. Моменти завади визначаються як 
�� ��
�� = ��{�� (��)}, 
Особливу роль відіграють моменти третього і четвертого порядків. Третій 
момент (або третій кумулянт): 
��3 = ��{��3(��)} 
визначає ступінь асиметрії, тобто перевагу позитивних або негативних імпульсів 
завади. Четвертий кумулянт: 
��4 = ��{��4(��)} 
визначає ексцес і характеризує гостроту розподілу. Відмінність ��4від нуля прямо 
свідчить про негаусову природу завади. 
Існують також спеціалізовані моделі негаусових завад, що застосовуються в 
конкретних типах каналів [8]. Наприклад, у широкосмугових радіоканалах та у 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
15 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
морській радіонавігації часто використовують розподіл Мідлтона типу А, який 
моделює сумарну дію великої кількості незалежних імпульсних джерел. Цей 
розподіл має щільність: 
∞
��−������
��(��) =∑  ��(0, ��2��), ��!
��=0
що є сумішшю нескінченної кількості нормальних розподілів з різними 
дисперсіями. Параметр �� визначає інтенсивність імпульсних завад, а ��2�� 
змінюється відповідно до моделі джерел імпульсів. Дана модель є однією з 
найточніших для опису складних імпульсних середовищ. 
Статистичний опис негаусових завад є ключовим не лише для моделювання, 
а й для синтезу алгоритмів розрізнення. Для негаусових середовищ оптимальні РП 
стають нелінійними й часто залежать від параметрів конкретного розподілу. 
Наприклад, для лапласівської моделі оптимальний приймач містить знакозалежні 
функції, а при α-стійкому оптимальне правило має вигляд нелінійного функціонала 
над відліками сигналу з параметрами, що залежать від �� та ��. Це робить 
необхідним використання адаптивних алгоритмів оцінювання параметрів шуму та 
побудову РП, які враховують вищі моменти та кумулянти. 
Таким чином, статистичний опис негаусових завад має фундаментальне 
значення для розробки ефективних алгоритмів розрізнення дискретних сигналів у 
реальних телекомунікаційних системах. Наявність асиметрії, ексцесу суттєво 
впливає на ймовірність помилок та визначає необхідність переходу від класичних 
методів обробки до адаптивних. 
 
1.4 Методи розрізнення сигналів: класичні та адаптивні підходи 
У задачах виявлення та розрізнення сигналів ключовим є вибір максимально 
наближеної математичної моделі прийнятого сингалу та побудова оптимального 
або наближеного РП. Традиційно проблема формується як перевірка двох простих 
гіпотез: 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
16 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
��0: сигнал відсутній, спостерігається лише завада; 
��1: сигнал присутній на фоні завади. 
Вибір методу розрізнення визначається статистичними властивостями завади, 
видом сигналу та обмеженнями на обчислювальні ресурси.  
Розглянемо класичні підходи до розрізнення сигналів які застосовуються на 
практиці. У рамках класичної теорії приймання сигналів припускається, що завада 
є гаусовою з відомими статистичними характеристиками. Найпоширенішим 
підходом є: Критерій Неймана–Пірсона [9]. 
Це фундаментальний метод побудови оптимального РП у випадку простих 
гіпотез. Його основою є відношення правдоподібності: 
��(�� ∣ �� ≥
1)
Λ(��) = ��. 
��(�� ∣ ��0)≤
Рішення приймається порівнянням Λ(��)⁡ з порогом ��, вибраним для 
забезпечення заданого рівня ймовірності хибної тривоги ������. 
Перевага критерію полягає в оптимальності за максимальною ймовірністю 
правильного виявлення ���� при фіксованому ������. Недоліком є залежність від повної 
апріорної інформації про завади. 
Баєсівський критерій (мінімального ризику) [10]. Для випадків, коли відомі 
апріорні ймовірності гіпотез і функції втрат, використовується Баєсівський підхід, 
що мінімізує математичне сподівання ризику прийняття рішення. 
Баєсівські правила оптимальні в середньому, однак вимагають апріорної 
інформації, яка не завжди доступна. 
Мінімаксні критерії. Застосовуються у випадках невизначеності параметрів 
сигналу або завади. Мінімаксне РП мінімізує максимальну можливу втрату, 
забезпечуючи робастність, але часто призводить до консервативних рішень. 
Розглянемо методи розрізнення сигналів у випадку наявності негаусової 
завади. У реальних телекомунікаційних та інформаційно-вимірювальних системах 
завади нерідко мають негаусові властивості, зокрема підвищений ексцес або 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
17 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
асиметрію. У таких випадках класичні критерії втрачають оптимальність, і виникає 
потреба в методах, що враховують вищі моменти розподілу. 
Моментно-кумулянтний опис. Негаусові завади зручно описувати за 
допомогою кумулянтів другого, третього та четвертого порядку. 
Зокрема, четвертий кумулянт (ексцес). 
Це відкриває можливість побудови моментних критеріїв, які ґрунтуються на 
статистиках вищих порядків, що чутливі до тонких відмінностей між розподілами 
при ��0та ��1. 
Моментний критерій типу Неймана-Пірсона. У випадку відсутності точних 
щільностей розподілу ��(�� ∣ ��0) та ��(�� ∣ ��1)можливе наближення відношення 
правдоподібності через моментно-кумулянтний опис. 
Критерій у цьому випадку базується на порівнянні оцінок моментів вибірки із 
теоретичними моделями, що відповідають сигналу та заваді. Такий підхід 
показують високу ефективність при розрізнені сигналів на фоні негаусових завад, 
що є важливим у роботі. 
Поліноміальні РП. Для систем з обмеженнями на складність обчислень та 
відсутність точних моделей завади використовуються поліноміальні РП, що 
апроксимують оптимальний критерій через поліном: 
��(��) = ��0 + ��1�� + �� ��22 +⋯+ �� ��
���� . 
 
Коефіцієнти ����обираються таким чином, щоб максимізувати ефективність 
РП при негауcових розподілах. Особливо корисним є використання поліномів 
третього та четвертого порядку, які природно узгоджуються з моментно-
кумулянтним описом завад. 
Адаптивні методи розрізнення. У випадку, коли параметри сигналу чи 
статистика завади змінюються в часі, застосовують адаптивні процедури, які 
оновлюють РП у міру надходження нових даних. 
Основні групи адаптивних методів: 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
18 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
• Адаптивні порогові процедури 
• Поріг прийняття рішення залежить від оцінених в реальному часі 
статистичних характеристик завади, зокрема дисперсії або ексцесу. 
• Ітеративні методи оновлення параметрів 
Використовують алгоритми типу: 
• рекурсивних найменших квадратів (RLS), 
• стохастичного градієнта, 
• адаптивного оцінювання кумулянтів. 
Такі методи дозволяють автоматично перебудовувати РП при дрейфі рівня 
шуму або переході до інших умов сигналу. 
 
1.5 Обмеження застосування класичних методів розрізнення 
дискретних сигналів при наявності негаусових завад. 
Класичні методи розрізнення дискретних сигналів сформовані а основі 
гаусової  моделі завад, у якій випадковий процес характеризується лише першим 
та другим моментами: математичним сподіванням і дисперсією. Оптимальність 
таких РП, зокрема критерію Неймана–Пірсона, Баєса, гарантована лише за умови 
точного знання щільності розподілу завади та її параметрів. У реальних системах 
ці припущення порушуються досить часто, особливо у випадках використання 
дискретних сигналів типу RZ або NRZ, тощо, що передаються на фоні імпульсних, 
ексцесних або асиметричних завад. Це зумовлює низку обмежень та втрат 
ефективності класичних методів. 
Негаусові завади характеризуються підвищеним ексцесом (четвертим 
кумулянтом), асиметрією (третім кумулянтом) та нерідко важкохвостими 
розподілами. За таких умов класичне РП, що ґрунтується на ймовірнісних моделях 
вигляду: 
1 (��−����)
2
��(�� ∣ ����) = exp⁡(− 2 ), 
2��
√2����2 ��
��
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
19 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
не описує реальної динаміки спостережуваного процесу. Відповідно, відношення 
правдоподібності перестає бути оптимальним критерієм, а обчислені пороги не 
забезпечують заданого рівня хибної тривоги. 
Гаусова модель є унікальна тим, що повністю описується двома моментами. 
У випадку негаусового розподілів цього недостатньо: 
РП залежить не лише від дисперсії, а й від третіх та четвертих моментів. 
Фактично маємо залежність: 
��(�� ∣ ����) = ��(��1, ��
2
2 , ��3�� , ��4�� , … ), 
тому класичні оцінки параметрів (середнє, дисперсія) не дають достатньої 
інформації для коректного прийняття рішення [12]. 
Це веде до втрати ефективності такого РП, особливо при наявності 
імпульсних шумових викидів, які різко змінюють оцінку дисперсії. 
Класичні методи використовують оцінки параметрів: 
?̂?, ?̂?2 
як основні статистики. Для негаусових процесів їх точність різко знижується, 
оскільки випадкові викиди або важкохвості розподіли призводять до: 
• переоцінки дисперсії, 
• нестабільності оцінок, 
• збільшення похибок порогових методів. 
У результаті ймовірності ��(�� ∣ ����) відхиляються від розрахункових значень, 
що робить класичний критерій ненадійним. 
У багатьох каналах зв’язку та сенсорних системах зустрічається завада типу 
α-стабільних або сумішевих моделей, де частина шуму представлена 
короткотривалими імпульсами великої амплітуди. Для таких процесів: 
• середнє значення може не існувати, 
• дисперсія може бути нескінченною, 
• класичні оцінки моментів не мають змісту. 
Таким чином, критерії, побудовані за припущенням скінченності дисперсії, 
стають непридатними. 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
20 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
Асиметричні завади (з ненульовим ��3) викликають систематичне зміщення 
статистик сигналу. 
Для дискретних сигналів, це може проявлятися у виникненні відхилень середнього 
рівня або викривлень амплітуд. 
Оскільки класичні критерії не враховують асиметрію розподілу, вони приймають 
помилкові рішення у випадках, коли третій кумулянт суттєво відрізняється від 
нуля. 
Класичні РП передбачають сталі параметри середовища зв’зку. У реальних 
системах параметри завади та параметри сигналу можуть змінюватися у часі. 
У такому випадку пороги РП, налаштовані під одні умови, і  є не оптимальними.  
Тому необхідна адаптація, яка за класичною теорією є не передбачена. 
Класичні методи розрізнення дискретних сигналів демонструють високу 
ефективність лише при умові гаусової завади з відомими параметрами. При 
наявності негаусової завади, особливо з підвищеним ексцесом, асиметрією або 
імпульсною структурою, їх ефективність істотно знижується.  
 
1.6 Висновки 
У розділі було проведено комплексний аналіз сучасних підходів до обробки 
та розрізнення дискретних сигналів у телекомунікаційних та інформаційно-
вимірювальних системах, а також вивчено вплив негаусових завад на ефективність 
роботи алгоритмів. Показано, що класичні моделі сигналів і завад, засновані на 
припущенні про нормальний розподіл завади, які не відображають реальних умов 
функціонування каналів зв’язку, які характеризуються значною кількістю 
імпульсних, ексцесних і асиметричних завадових компонентів. 
Встановлено, що властивості дискретних сигналів, зокрема їх часові 
параметри, форма та структура (наприклад, RZ- і NRZ-представлення), істотно 
впливають на стійкість до завад та визначають специфіку побудови РП. Аналіз 
моделей негаусових завад показав, що такі процеси не можуть бути адекватно 
описані лише першим і другим моментами, як у випадку гаусової завади.  
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
21 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
Проаналізувавши методи розрізнення дискретних сигналів, було 
встановлено, що класичні підходи - такі як критерій Неймана–Пірсона, Баєсівські 
методи чи мінімаксні рішення - забезпечують оптимальність лише за умов точної 
відомості розподілу завади та її параметрів.  
Проведений аналіз підтверджує необхідність розроблення нових підходів до 
розрізнення дискретних сигналів, які враховують властивості негаусових завад та 
забезпечують стійкість РП до зміни статистичної структури завади. 
  
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
22 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
РОЗДІЛ 2. ОБҐРУНТУВАННЯ ВИБОРУ СТАТИСТИЧНИХ КРИТЕРІЇВ РП 
ДЛЯ АДАПТИВНОГО РОЗРІЗНЕННЯ СИГНАЛІВ 
 
Задача виявлення та розрізнення сигналів посідає ключове місце в теорії 
статистичної радіотехніки, оскільки забезпечує розв’язання широкого спектра 
прикладних проблем радіолокації, телекомунікацій і систем зв’язку, що пов’язані з 
оптимальною обробкою сигналів на фоні завад. 
Сигнали, що формуються передавальними пристроями радіотехнічних 
систем, у початковому вигляді є детермінованими, тобто невипадковими. Проте під 
час поширення радіоканалом вони зазнають впливу низки випадкових факторів, у 
результаті в точці прийому сигнали характеризуються випадковими змінами 
амплітуди та фази, що дає підстави відносити їх до класу квазідетермінованих 
величин. Найбільш узагальненим різновидом сигналів виступають випадкові 
сигнали. 
У сучасній радіотехніці дедалі ширше застосовуються статистичні методи 
обробки інформації, які, порівняно з аналоговими підходами, характеризуються 
вищою ефективністю. Для математичного опису сигналів та завад 
використовується математичний апарат теорії випадкових величин і випадкових 
процесів. У зв’язку з цим нижче розглянемо стислий виклад теоретичних положень, 
що становлять основу обробки випадкових сигналів на фоні завад. 
 
2.1 Імовірнісні критерії якості перевірки статистичних гіпотез та їх 
застосування 
Імовірнісні критерії якості вибору РП визначаються як певні функції від 
імовірностей помилок першого та другого роду. Вони мають чітке математичне 
обґрунтування та фізично інтуїтивно зрозумілі. У формальному вигляді 
ймовірнісні критерії якості розглядаються як функціонали від розв’язувальних 
функцій. Для різних розв’язувальних функцій f(?⃗?) ці функціонали набувають 
різних значень, серед яких для деяких функцій вони мінімізуються. Такі функції, 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
23 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
що забезпечують екстремальні значення функціоналу, приймаються як оптимальні 
розв’язувальні функції для обраного критерію якості. 
Застосування ймовірнісних критеріїв якості оптимальних РП зводиться до 
реалізації процедур, у яких здійснюється порівняння відношення правдоподібності 
з певним порогом. Тобто екстремум у цьому випадку відповідає сумі відношення 
правдоподібності та заданого порогового значення. Водночас ймовірнісні критерії 
не дають змоги знаходити розв’язувальні функції у вигляді рядів, оскільки 
імовірності помилок неможливо виразити через невизначені коефіцієнти цих рядів. 
У радіолокаційних системах, системах зв’язку та в багатьох інших галузях 
часто виникає ситуація апріорної невизначеності. Дослідник спостерігає (або 
фіксує за допомогою автоматизованого пристрою) реалізацію випадкового 
процесу, яка може являти собою або суміш сигналу, що несе корисну інформацію, 
із завадою, або лише заваду. Завдання дослідника полягає у тому, щоб, спираючись 
на заздалегідь сформульоване правило, ухвалити рішення щодо наявності чи 
відсутності корисного сигналу у спостережуваній реалізації. Ця задача виявлення 
сигналу на тлі завад належить до класу задач перевірки статистичних гіпотез. 
Основні типи задач математичної статистики формуються таким чином. 
Розглядається фізичне явище або технічний об’єкт, математична модель якого 
описується випадковим процесом X(t) із частково невідомими характеристиками. 
Відносно цих невідомих характеристик висувається система взаємовиключних 
гіпотез H0, H1,…, Hm. Завдання перевірки статистичних гіпотез полягає у виборі 
однієї з них на основі обробки вибіркових значень x(t), з випадкового процесу ξ(t). 
Другим різновидом задач математичної статистики є оцінювання невідомих 
параметрів випадкового процесу ξ(t),⁡у межах скінченного інтервалу часу (0,T). 
На практиці ці дві основні типи задач математичної статистики - перевірка 
гіпотез та оцінювання параметрів - зазвичай розглядаються окремо. Водночас у 
загальній теорії статистичних рішень така диференціація не є необхідною. Проте в 
реальних умовах часто виникає потреба враховувати взаємозв’язок між цими 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
24 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
задачами та формулювати його як спільну проблему перевірки гіпотез і оцінювання 
параметрів. 
Процесу статистичного синтезу алгоритму прийняття рішень завжди 
передбачає вибір критерію якості цього алгоритму. Без чітко визначеного критерію 
задача синтезу втрачає зміст. Синтез оптимального алгоритму пов’язаний із 
пошуком екстремуму заданого критерію якості. Алгоритм, оптимальний за одним 
критерієм, може виявитися неоптимальним за іншим. Критерії якості 
застосовуються також для порівняння різних алгоритмів: двох неоптимальних, 
оптимального та квазіоптимального (останній зазвичай отримується евристичними 
методами або шляхом спрощення структури оптимального алгоритму). 
Вибір того чи іншого критерію якості визначається повнотою наявних 
апріорних даних. Критерій якості може мати векторну форму, коли до алгоритму 
висувається декілька одночасних вимог. 
Розглянемо задачу перевірки гіпотези H0 проти альтернативи H1 у ситуації 
апріорної невизначеності, коли апріорні ймовірності гіпотез, а також матриці втрат 
є невідомими. Для цієї бінарної (одноальтернативної) задачі перевірки гіпотез при 
застосуванні будь-якого правила прийняття рішення можливі два помилкові 
результати γ1| H0, γ 0| H1 і два правильні γ 1| H1, γ 0| H0 .    
Умовні ймовірності: 
�� = ��{��1|��0} = ∫ ��(��|��0) ����, 
��1
                                              �� = ��{��0|��1} = ∫ ��(��|��1) ����.                                 (2.1) 
��0
називаються ймовірностями помилок першого та другого роду. 
 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
25 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
Рис. 2.1 Ймовірність помилок першого й другого роду. 
Ймовірнісний критерій вибору РП відомий як критерій Баєса. 
У ситуації, коли, крім ймовірностей помилок α та β, відсутня будь-яка додаткова 
інформація щодо появи гіпотез H0 та H1, у якості критерію якості для вибору РП  
може бути застосована відповідна функціональна залежність: 
 F1(α,β)=α + β. (2.1) 
Тобто F1(α,β) визначається як сума ймовірностей помилок першого та 
другого роду. Відповідно, як розв’язальнуну функцію f(��)⁡необхідно обрати таку, 
яка мінімізує F1(α,β) тобто забезпечує мінімізацію сумарної ймовірності помилок. 
Доведено, що оптимальним вирішальним правилом за критерієм (2.1) є наступне 
правило: 
H1

p(x H1) >
 1                                               (2.2) 
p(x H ) <0
H0
де p (x H і )  — спільна щільність розподілу вибіркових випадкових величин x  при 
гіпотезах Hi=0,1. Ліва частина рівняння (2.2) називається відношенням 
правдоподібності, а права частина — порогом. Таким чином, оптимальне РП 
полягає у порівнянні відношення правдоподібності з пороговим значенням. 
На практиці часто застосовують не правило (2.2) у його початковій формі, а 
еквівалентне йому правило у вигляді: 
 
H1

p(x H >
1)
log  0 .        (2.3) 
p(x H <
0 )
H0
Надалі часто застосовуватимуться різні еквівалентні РП, тому доцільно чітко 
визначити, що розуміється під поняттям еквівалентних РП. 
>
ϕi(x⃗) 0,  i = 1, r                                       (2.4) 
<
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
26 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
РП називатимемо еквівалентними, якщо ймовірності помилок кожного з них 
збігаються, тобто α1=α2=⋯=αr, β1=β2=⋯=βr. Відповідні розв’язувальні функції 
ϕi(x⃗) також вважаються еквівалентними. Наприклад, РП (2.2) та (2.3) є 
еквівалентними. 
Окрім строго еквівалентних РП, застосовується поняття асимптотично 
еквівалентних РП. РП (2.4) вважається асимптотично еквівалентним правилу (2.3), 
якщо ймовірності помилок α1, β1 для правила (2.4)  при n→∞ прямують до 
ймовірностей помилок α, β\ правила (2.4)  тобто якщо: 
limα =α , limβ = β . 
1 1
n→∞ n→∞
Поява гіпотез H0 та H1 має випадковий характер, і часто можна задати 
ймовірності їхньої появи q та p. У такому випадку доцільно використовувати 
середнє значення помилок як критерій якості, яке визначається наступним чином: 
   F2(α,β)=qα+pβ.             (2.5) 
 
Критерій (2.5) відомий як критерій ідеального спостерігача. Доведено, що 
оптимальним РП за цим критерієм є наступне: 
H1

p(x H >
1) q
 ,     (2.6) 
p(x H 0 ) < p
H0
Таким чином, і в цьому випадку оптимальне РП полягає у порівнянні 
відношення правдоподібності з пороговим значенням, хоча сам поріг відрізняється 
від порога, отриманого в першому випадку. На практиці часто застосовують не 
правило виду (2.6), а його еквівалентну форму: 
H1

p(x H >
1 ) q
log  log ,     (2.7) 
p(x H 0 ) < p
H0
або 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
27 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
H1

p(x H >
1) q
log  − log 0 .    (2.8) 
p(x H 0 ) p <
H0
При практичних застосуваннях теорії статистичних гіпотез помилки першого 
та другого роду можуть відрізнятися. Щоб врахувати ці наслідки, вводять матрицю 
втрат Pi,j, які можуть виникати при правильному або неправильному визначенні 
істинної гіпотези. Очевидно, що в якості критерію якості доцільно 
використовувати середні втрати для обраної розв’язувальної функції f(x). Ці 
середні втрати визначаються як: 
R(α,β)=qП00+pП11+q(П01-П00)α+p(П10-П11)β. 
Функція R(α,β) називається середнім ризиком, а відповідний критерій - 
критерієм Баєса. Доведено, що оптимальним РП за цим критерієм також є 
порівняння відношення правдоподібності з пороговим значенням, проте поріг 
відрізняється від того, що використовується за критерієм ідеального спостерігача. 
В цьому випадку оптимальне РП має вигляд: 
 
H1

p(x H ) >
1 q(Π 01 − Π 00 )
 .    (2.9) 
p(x H <
0 ) p(Π 10 − Π 11)
H0
Найбільш поширення має еквівалентне РП виду: 
H1

p(x H 1) > q(Π 01 − Π 00 )
log  log  
p(x H <
0 ) p(Π 10 − Π 11)
H0
або 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
28 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
H1

p(x H 1) q(Π 01 − Π >
00 )
log  − log 0 . 
p(x H <
0 ) p(Π 10 − Π 11)
H0
Зауважимо, що зазвичай приймається, що П00=П11=0, унаслідок чого середній 
ризик набуває вигляду: 
R(α,β)=qП01α+pП10β. 
Відповідно змінюється і РП. 
З аналізу наведених критеріїв видно, що, по-перше, оптимальне РП зводиться 
до порівняння відношення правдоподібності з певним порогом, який залежить від 
наявної апріорної інформації про ймовірності появи гіпотез та матриці втрат. Тобто 
для будь-якого критерію ключову роль відіграє саме відношення правдоподібності. 
По-друге, оптимальне РП в загальному випадку може бути представлено у 
вигляді: 
 
��0
>
��(?⃗?) − ��0 0, 
<
��0
 
де γ(?⃗?) — певна функція, що залежить від вибіркових значень, а K0 величина, 
яка також визначається вибіркою. 
Імовірнісний критерій Неймана–Пірсона базується на ймовірностях 
помилок α та β і не використовує апріорної інформації щодо ймовірностей появи 
гіпотез H0,H1 та матриці втрат. Проте для врахування помилок першого та другого 
роду РП будується так, щоб одна ймовірність помилки дорівнювала заданому 
значенню ρ, а інша була мінімальною. 
Згідно з критерієм Неймана–Пірсона обирається таке РП, яке забезпечує 
мінімально можливе значення ймовірності помилки другого роду за умови, що 
ймовірність помилки першого роду дорівнює заданому значенню ρ, тобто: 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
29 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
�� = ��,   �� = ������ ��. 
��(?⃗?)
Оптимальне РП і в цьому випадку зводиться до порівняння відношення 
правдоподібності з певним пороговим значенням, тобто: 
H1

 p(x H ) >
f ( ) 1
x =  C ,     (2.10) 
p(x H <
0 )
H0
 
де поріг C обирається з умови, що ймовірність помилки першого роду дорівнює ρ, 
тобто: 
∞
��[��(?⃗?) ≥ ��⁄��0] = ∫ ��0(��)���� = ��, 
��
де W0 - функція щільності розподілу відношення правдоподібності за умови 
виконання гіпотези H0. 
При застосуванні критерію Неймана–Пірсона для визначення РП постає 
досить складне завдання вибору оптимального порога C. Це пов’язано з тим, що 
для визначення порога необхідно знати щільність розподілу відношення 
правдоподібності за умови виконання гіпотези H0, тобто W0(y). У випадку вибірки 
з негаусової випадкової величини визначення цієї щільності є досить складним, а 
отже, важко знайти і сам поріг C, який задовольняє умові (2.1). 
 
2.2 Моментні критерій якості перевірки статистичних гіпотез  
Моментні критерії за своєю суттю є більш простими порівняно з 
імовірнісними критеріями. Вони не базуються на ймовірностях помилок, а 
визначаються як певні функції від числових ймовірнісних характеристик 
вирішальної функції, зокрема від її математичного сподівання та дисперсії за умови 
справедливості гіпотези та альтернативи. Ці числові характеристики є 
функціоналами від вирішальної функції, оскільки для різних вирішальних функцій 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
30 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
вони набувають різних значень. Відповідно, моментні критерії як функції числових 
характеристик також розглядаються як функціонали від вирішальної функції. 
Завдання полягає в побудові таких функціоналів, екстремалі яких збігалися б 
(або асимптотично збігалися) з екстремалями імовірнісних критеріїв, тобто, 
іншими словами, щоб оптимальні вирішальні правила, отримані з умови мінімуму 
моментних критеріїв, зводилися до порівняння відношення правдоподібності з 
тими ж порогами, що визначаються мінімумом імовірнісних критеріїв. 
Критерії верхніх меж ймовірностей помилок 
Нехай розглядається деяке вирішальне правило: 
��1
>
��(?⃗?) = ��(?⃗?) − ��0 0,     (2.11) 
<
��0
де константа К0 вибрана так, що 
∞
��0 = ��[��(?⃗?)/��0] = ∫ ��(?⃗?)��(?⃗?⁄��
−∞ 0)�� ���� < 0,  (2.12) 
∞
��1 = ��[��(?⃗?)/��1] = ∫ ��(?⃗?)��(?⃗?⁄��1)�� ���� ≥ 0, 
−∞
де M0 та M1  математичні сподівання вирішальної функції f(x) при виконанні 
гіпотез H0 та H1. 
Ймовірності помилок першого роду мають такі нерівності: 
�� = ��[��(?⃗?) ≥ 0/��0] = ��[��(?⃗?) − ��0 ≥ −��0⁄��0] ≤   (2.13) 
��
≤ ��[|��(?⃗?) − �� 0
0| ≥ −��0⁄��0] ≤ ��2 = ��0, 
0
де 
∞
���� = ∫ [��(?⃗?) − �� ]2�� ��(?⃗?⁄����)�� ����,  �� = 0,1, 
−∞
 
де ���� - дисперсії вирішальної функції f(x) при виконанні гіпотез H0 та H1. 
Остання нерівність у (2.13) отримана на основі нерівності Чебишева [7]. 
Для ймовірності помилки другого роду можна записати аналогічну 
нерівність: 
 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
31 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
�� = ��[��(?⃗?) < 0/��1] = ��[−��(?⃗?) > 0/��1] = ��[−��(?⃗?) + ��1 < ��1/��1] ≤ 
 G
P[ f (x) − M > M H ] ≤ 1 = β .                         (2.14) 
1 1 1 2 0
M1
 
Використовуючи ці співвідношення, для критерію F1(α,β) (див. п. 2.1) можна 
записати наступну нерівність: 
��
�� (��, ��) = �� + �� ≤ �� 0 ��1
1 0 + ��0 = 2 + 2 = ��1(��,��)   (2.15) 
��0 ��1
 
Щоб забезпечити виконання нерівностей (2.12), константу K0 у (2.11) можна 
обирати різними способами. У даному випадку візьмемо: 
 
1
��0 = (��0 + ��1),     (2.16) 
2
де Ei - математичне сподівання ��(?⃗?)при гіпотезі Hi. 
В даному випадку 
1 1
��0 = − (��1 + ��0) ,��1 = (�� + �� ), 
2 2 1 0
Якщо (E1−E0)>0, то умова (2.22) виконується автоматично, а якщо 
(E1−E0)<0, необхідно змінити знак γ(x⃗) на протилежний. 
Для константи K0 виду (2.6) функція Φ1(G,M)  визначається як: 
 
��1(��,��)=KУ1(G,E), 
G0[γ ]+ G1[γ ]
KУ1(G,M)= .   (2.18) 
2
(E1[γ ]− E0[γ ])
Очевидно, що KУ1(G,E), визначає верхню межу суми ймовірностей помилок 
першого та другого роду, тобто: 
 
�� + �� ≤КУ1[γ]. 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
32 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
Функціонал (2.18) є критерієм якості для вибору РП виду (2.11) при K0 

рівному (2.16), мінімізує функціонал KУ1[γ] по всіх можливих γ (x) . Цей критерій 
називається мінімуму функціонала КУ1[γ] або коротко критерій КУ1. 
Критерій КУ1 має чіткий фізичний зміст: в якості оптимальної вирішальної 
функції обирається та, для якої відстань між математичними сподіваннями 
вирішальної функції при гіпотезах H0 та H1 є максимальною, а сума їхніх дисперсій 
при цьому мінімальна. 
Для критерію ідеального спостереження F2(α,β) наведеного в п. 2.2, можна 
записати наступну нерівність: 
 
�� ��
��2(��, ��) = ���� + ���� ≤ �� 0
2 + �� 1
2 = ��
�� �� 2(��,��). 
0 1
Якщо K0 має вид (2.16), то 
Φ 2 (G, M ) = 4KУ2(G,E), 
qG0[γ ]+ pG1[γ ]
KУ2(G,E)=     (2.19) 
2
(E1[γ ]− E0[γ ])
 

У цьому випадку KУ2(G,E) також є функціоналом від γ (x) , тобто 
KУ2(G,E)=KУ2[γ]. 
Цей критерій називається критерієм мінімуму функціонала KУ2[γ] або 
коротко — критерієм КУ2. 
Аналогічно, для середнього ризику R(α,β) (див. п. 2.2) можна записати 
наступну нерівність: 
�� ��
��(��, ��) ≤ ����00 + ����11 + ��(�� − �� ) 0
01 00 + ��(�� 1
�� 10 −��11) = ���� ��(��,��). 
0 ��1
якщо K0 має вид (2.16), то 
������(��, ��) = ����00 + ����11 + 4КУ3(��, ��),    (2.20) 
де 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
33 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
q(Π01 −Π00 )G0[γ ]+ q(Π10 −Π11)G1[γ ]КУ3(G, E) = = КУ3[γ ]  (2.21) 
( 2
E1[γ ]− E0[γ ])
Перші два доданки в правій частині (2.20) не залежать від вирішальної 

функції γ(x) , тому верхня межа середнього ризику визначається лише 
функціоналом KУ3[γ], що має вигляд (2.21). 
За умови відомих ймовірностей появи гіпотез та заданих втрат приймається 
верхня межа середнього ризику RВГ[γ] як критерій якості РП. Найкращим 

вважатимемо таке правило, яке мінімізує по всіх можливих γ(x)  величину KУ3[γ]. 
Цей критерій називається критерієм верхньої межі середнього ризику, або 
критерієм мінімуму функціонала KУ3[γ], або коротко — критерієм КУ3. 
 
2.3 Адаптація критерію верхньої границі помилок для 
багатоальтернативної перевірки статистичних гіпотез 
У даному розділі розглядається питання подальшого розвитку елементів 
теорії перевірки статистичних гіпотез на основі використання моментно-
кумулянтного опису випадкових величин. Такий підхід дозволяє врахувати 
негаусові властивості завади і створити передумови для побудови ефективних РП 
у задачах адаптивного розрізнення дискретних сигналів. Для цього 
використовуються стохастичні поліноми, що забезпечують гнучке моделювання 
статистичних залежностей вищих порядків і підвищують стійкість алгоритмів до 
відхилень від нормального розподілу. 
Проведемо модифікацію моментного критерію якості верхніх меж 
імовірностей помилок, який у загальному випадку мінімізує суму верхніх меж 
імовірностей помилок першого і другого роду для поліноміальних РП. Така 
модифікація дозволяє адаптувати критерій до умов багатоальтернативної перевірки 
статистичних гіпотез, коли кількість можливих станів системи або сигналів 
перевищує дві. У цьому випадку кожна гіпотеза ����(�� = 1,2,… ,��) описує певний 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
34 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
клас сигналів, а задача полягає у виборі тієї гіпотези, яка з найбільшою вірогідністю 
відповідає спостережуваній реалізації випадкового процесу. 
На відміну від двоальтернативних критеріїв, де аналізується лише пара 
ймовірностей помилок першого та другого роду, у багатоальтернативному випадку 
необхідно враховувати матрицю ймовірностей помилкових рішень, елементи якої 
характеризують переходи між гіпотезами. Пряме обчислення цих ймовірностей, як 
правило, є складним, тому використання критерію верхньої границі помилок 
дозволяє отримати аналітичну оцінку ефективності алгоритму розрізнення без 
необхідності визначення всіх складових матриці. 
Суть адаптації полягає у розширенні моментного критерію якості на випадок 
множини гіпотез за рахунок введення узагальненого функціоналу якості, що 
мінімізує сумарну верхню межу ймовірності помилки для всіх альтернатив. При 
цьому доцільно враховувати апріорні ймовірності гіпотез, а також статистичні 
зв’язки між їх парними комбінаціями. Такий підхід дозволяє сформувати 
уніфікований критерій якості, який може бути використаний для синтезу 
адаптивних поліноміальних РП на фоні негаусових завадах. 
Розглянемо загальний випадок N гіпотез, які враховуються при аналізі 
спостережуваних сигналів. Замінюючи безперервний час спостереження t на 
дискретні відліки v, зі спостережуваних сигналів ξi(t) одержимо їх дискретні 
значення для відповідних гіпотез: 
Hi : ξiv = s iv (αk )+ ηiv (γ k ), 
H0 : ξ0v = ηiv (γ k ),  i =1, N −1 , k = 0,n , 
де - s iv (αk ) - і-тий сигнал з параметрами αk ; ηiv (γ k )- негаусова завада з 
параметрами, у вигляді кумулянтів γk .  
Необхідно модифікувати моментний критерій якості верхніх меж 
ймовірностей помилок (п. 2.2) так, щоб його можна було застосовувати для 
розв’язання поставленого завдання. 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
35 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
Проблемі розрізнення сигналів на фоні завад приділено значну увагу, що 
підтверджується як добре розробленою теорією, так і великою кількістю 
публікацій [1-6]. Згідно з класичним імовірнісним підходом (п. 2.1), оптимальний 
баєсовий алгоритм розрізнення сигналів визначається з умови мінімізації 
середнього ризику. 
 
N N
R = ∑ ∑Π ijp jP(γ i | H j ), 
j=0i=0
де Π  — елементи матриці втрат, p = P(H ) — імовірності появи гіпотез H
ij j j j
, P(γ | H )  — імовірності помилок прийняття рішень про подію γ i  при реалізації 
i j
гіпотези H . Тоді оптимальний алгоритм розрізнення сигналів представляється у 
j
вигляді: 
 
piP(X | H i )= max{p jP(X | H j )}, i = 0, N ,  (2.22) 
j=0, N
або 
ln P(X | H i )+ ln pi = max{ln Pj (X | H j )+ ln p j}, i = 0, N . 
j=0, N
Розв’язання подібних задач, як правило, розглядається для випадків, коли 
випадкові величини мають нормальний закон розподілу. В інших випадках 
визначити щільності розподілу складно, а отже, важко одержати рішення виду 
(2.22). У таких ситуаціях можна застосувати підхід, що полягає у розкладанні 
відношення правдоподібності для перевірки статистичних гіпотез у стохастичний 
поліном кінцевого степеня, який для рівно ймовірної появи гіпотез набуває 
вигляду: 
H
s n m
( (mr) (mr) (mr)
Λ X) = ∑ k i
∑ x v + k >
0 < 0 , r, m = 0, N −1
i , r ≠ m , (2.23) 
sn
i=1 v=1 Hr
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
36 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
(mr ) (mr )
Коефіцієнти ki  і k0  ( i =1, s)  визначаються відповідно до заданого 
критерію якості. Слід зазначити, що при використанні стохастичного полінома 
(2.23) для багато альтернативної перевірки статистичних гіпотез ці коефіцієнти 
необхідно обирати таким чином, щоб, з одного боку, мінімізувати ймовірності 
помилок РП, а з іншого - враховувати взаємозв’язок між перевіюваними гіпотезами 
Hm  і H r . 
Розглянемо загальний випадок обробки статистично незалежних однаково 
(mr )
розподілених вибіркових значень xv, для яких коефіцієнт k i  не залежить від 
номера вибірки v.  
Імовірність помилок реалізації відповідних гіпотез визначається: 
N N N N
P(H0 )= ∑ p0i , P(H1 ) = ∑ p1i , P(H 2 ) = ∑ p2i , …., P(HN ) = ∑ pNi . 
i=1 i=0, i≠1 i=0, i≠2 i=0, i≠N
Для побудови РП та критерію якості у випадку розгляду N гіпотез розглянемо 
окремий приклад перевірки кількох статистичних гіпотез. 
Постановка задачі: Нехай на інтервалі спостереження (0,Т) спостерігаються 
випадкові сигнали ����(��), �� = 0, 1, 2, 3 які являють собою адитивну суміш постійного 
корисного сигналу ��0 = 0, ��1, ��2, ��3 та ��(��) – асиметричної негаусової завади з 
нульовим математичним сподіванням та дисперсією ��2,  
��0(��) = ��0 + ��(��), ��1(��) = ��1 + ��(��), ��2(��) = ��2 + ��(��), ��3(��) = ��3 + ��(��). 
З випадкових сигналів ����(��), �� = 0,1,2,3⁡отримуємо вектор вибіркових 
значень⁡�� = {��1, ��2, … ����}.⁡На основі результатів обробки цих значень необхідно 
прийняти рішення про реалізацію гіпотези ��1, ��2⁡або⁡��3 що відповідає прийому 
постійних корисних сигналів ��1, ��2, ��3 або рішення про реалізацію гіпотези ��0, що 
характеризує про прийом негаусової завади ��0(��). Кожному сигналу, який 
приймається, відповідає моментно-кумулянтний опис, представлений у вигляді 
кінцевої послідовності моментів та кумулянтів ����[{0, ����2, ����3, . . . , ������}], де ����3, . . . , ������ 
– кумулянтні коефіцієнти, які описують негаусової завади ��(��). 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
37 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
Тоді для розв’язання поставленого завдання про виконання однієї з гіпотез 
можна навести такі системи рівнянь: 
Виконується Виконується Виконується Виконується 
гіпотеза H1  гіпотеза H2  гіпотеза H  гіпотеза H0  
3
( )(10) ( )(20) (30) (10)
�� �� ���� > 0 �� �� ���� > 0 ��(��)���� > 0 ��(��)���� < 0
{ ( )(21)�� �� ���� < 0 {��( )(21)  { ( (31) (20)
�� ���� > 0 �� ��)���� > 0 {��(��)���� < 0 
( )(31) ( )(32) ( )(32) ( )( 30)
�� �� ���� < 0 �� �� ���� < 0 �� �� ���� > 0 �� �� ���� < 0
 
(10) (20) ( )(30)де Λ(X) , Λ(X) , �� �� ���� – РП перевірки гіпотез H1 ,H2 і Н3 проти H0 , 
( )(21) ( )(31) ( )(32)�� �� ���� , �� �� ���� , �� �� ���� – РП перевірки однієї з трьох гіпотез H2 ,H1 , Н3. 
При дискретизації сигналу ξ(t) по часових відліках v, за умови незалежності 
вибіркових значень та стаціонарності завади, із (2.23) отримуємо шість РП, які 
реалізують дані системи рівнянь і в загальному випадку мають вигляд: 
H
s n m
Λ(X)(mr) (mr)
= k x i (mr)
+ k >
∑ 0 m, r = 0,2, m ≠ r
i ∑ v 0 < , , (2.24) 
sn
i=1 v=1 Hr
(mr ) (mr)
поріг k0  вибирається як середнє значення математичних сподівань РП Em  и 
E(mr)
r  при реалізації гіпотез H (m)  и H (r) : 
(mr) 1 s
( (mr) (mr) ) 1 ( n
mr) ( (m) (r)
k0 = − Em + E r = − ∑k ∑ m + m ) , m, r = 0,2, m ≠ r
i i i  (2.25)  
2 2 i=1 v=1
(mr )
оптимальні коефіцієнти РП (2.24) k i  знаходяться з мінімуму критерію 
якості: 
(mr) (
G + G mr)
Ku(E,G) (mr) = m r
,   m, r = 0, N −1, m ≠ r , N = 3 , (2.26) 
[ (
E mr) (
− E mr) 2
m r ]
Який представляє собою суму верхніх меж ймовірностей помилок першого 
та другого роду РП. 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
38 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
(mr) (mr) (mr) (mr)
У виразі (2.26) Gm , Gr  – дисперсії РП, Em , Er  – математичні 
(mr)
сподіваня РП Λ (X)  при гіпотезах (m)
H  і (r)H  мають вигляд: 
( s
mr) (mr) (m) (mr) s (
E = n k mr) (r)
m ∑ i mi , Er = n∑ki mi , (2.27) 
i=1 i=1
( s s s s
mr) (mr) (mr) (m) (mr) (mr) (mr) (r )
G m = n∑ ∑ k k F G = n
i j (i, j) , r ∑ ∑ k k F
i j (i, j) ,  (2.28)  
i=s j=1 i=s j=1
(r ) (m)
де m , m  - початкові моменти і-го порядку випадкової величини ξ  при 
i i
(m) (r) (r ) (m )
гіпотезах H  і H  , F F
(i, j) , (i, j)  - центровані корелянти випадкової величини ξ  
(i, j) -го порядку при гіпотезах H (m)  і H (r)  і знаходяться з виразів: 
(m) (m) (m) (m) (r) (r) (r) (r)
F = m + m m F = m + m m
(i, j) (i+ j) i j ,     (i, j) (i+ j) i j . 
(mr)
Коефіцієнти k i , які мінімізують функціонал (2.26), знаходяться з рішення 
системи рівнянь: 
s (mr) [ (r ) (m) ] (m) (r )
∑ k F + F i =1, s
j (i, j) (i, j) = m i − m i , .    (2.29) 
 j=1
Для якісної оцінки отриманих РП розрізнення сигналів на фоні завад введемо 
величину, яка характеризує загальні верхні межі ймовірностей помилок 
розпізнавання гіпотези Hі при обробці N РП. 
(����) (����)
��−1 �� +��
����(��, ��) = ∑ �� ��
��=0 2 , ��, �� = 0,�� − 1,   �� ≠ ��  
(����) (����)
[���� −���� ]
.
Розглядаючи чотири наведених вище систем рівнянь для визначення 
відповідної гіпотези, запишемо загальну ймовірність верхніх меж ймовірностей 
помилок першого та другого роду для шести розв’язувальних правил перевірки 
Λ(X) (10) Λ(X) (20)
гіпотез , , ��(��)
(30) ( )(21)����  , �� �� ���� , ��( )(31)�� ���� , ��( )(32)�� ���� : 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
39 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
(10) (10) (20) (20) (30) (30) (21) (21)
�� + ��
����(��, ��) = 1 0 ��2 + ��0 ��3 + �� ��
+ + 0 + 2 + ��1
( 2 2 2 2
10) (10) (20) (20) (30) (30) (21) (21)
[��1 − ��0 ] [��2 − ��0 ] [��3 − ��0 ] [��2 − ��1 ]
(31) (31) (32) (32)
��3 + ��
+ 1 ��3 + ��2
( ) ( ) 2 + 2. 
31 31 (32) (32)
[��3 − ��1 ] [��3 − ��2 ]
 
Для визначення кожної зі складових даного виразу необхідно визначати і свої 
(mr)
оптимальні коефіцієнти k , які знаходяться з (2.29). 
i
За таким поліноміальним підходом до оптимального вибору РП для 
розрізнення сигналів на фоні завад можна визначити загальну структуру вибору 
гіпотези: 
 s ( ) n
H m0 i (m0) 
m :  max ∑ k i ∑ x v + k 0  > 0;  
m=1, N−1i=1 v=1 
 s
H (m0) n
i (m0) 
0 : max ∑ k i ∑ x v + k 0  < 0.   (2.30) 
m=1, N−1i=1 v=1 
s (m0) n ( s
i m0) (r0) n (r0)
∑k i ∑x v +k0 > ∑k i
i ∑x v +k0 , r,m =1, N −1, r ≠ m . 
i=1 v=1 i=1 v=1
Для якісної оцінки ефективності синтезованих алгоритмів використаємо 
вираз, який характеризує кількість здобутої інформації про розрізнення гіпотез РП: 
�� (����) 1 (����) (����)
(��,��)  = = ���� − ���� , ��, �� = 0,�� − 1,   �� ≠ ��. 
���� ����(��, ��)(����)
 
2.4 Оцінка параметрів негаусових завад: огляд підходів та метод моментів 
Для ефективного функціонування алгоритмів виявлення та розрізнення 
сигналів на фоні негаусових завад необхідно попередньо оцінити параметри завад. 
Відомо, що для роботи більшості методів, зокрема моментних критеріїв та РП, 
потрібно знати параметри завади (середнє значення, дисперсію, асиметрію та 
ексцес завади). Відсутність цих оцінок може призвести до значного зниження 
точності обробки сигналів. 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
40 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
Існує декілька підходів до оцінки параметрів негаусових процесів. 
Найчастіше застосовують метод максимальної правдоподібності, метод 
апроксимації розподілу, метод моментів та метод кумулянтів. Метод максимальної 
правдоподібності забезпечує статистичну ефективність, але вимагає точного 
знання щільності розподілу завади та значних обчислювальних ресурсів. Метод 
апроксимації розподілу дозволяє отримати параметри за допомогою відомих 
функцій, проте його точність залежить від вибірки та коректності апроксимації. 
Метод моментів є найбільш практичним для задач оцінювання параметрів 
негаусових завад, оскільки він дозволяє отримати стійкі статистичні оцінки без 
знання точного розподілу. 
Нехай маємо вибірку випадкових величин {x₁, x₂, …, xn}. Моменти першого–
четвертого порядку визначаються як: 
1 �� 1
?̑? �� 2 1 1
1 = ∑��=1 ����, ?̑?2 = ∑�� ���� , ?̑?3 = ∑�� ��3�� �� , ?̑? ��
4 = ∑�� ��
4
�� . 
�� �� �� ��
Метод моментів дозволяє перейти від вибіркових моментів до кумулянтних 
коефіцієнтів, які мають важливу властивість адитивності для незалежних 
випадкових величин і більш інформативні для опису негаусових процесів. 
Кумулянти першого до четвертого порядку визначаються як: 
��1 = ��1 
��2 = ��2 −��2
1  
��3 = ��3 − 3��2��1 + 2��2
1  
�� = �� 2 2
4 4 − 4��3��1 − 3��2 + 12��2��1 − 6��4
1 . 
За допомогою наведених алгоритмів для кумулянтів та відповідних 
кумулянтних коефіцієнтів здійснюється оцінка параметрів розподілу. Підставивши 
вибіркові моменти у співвідношення, що зв’язують кумулянти з початковими 
моментами, отримуємо такі вирази: 
1
?̂? ��
1 = ∑��=1 х��, 
��
2
1 n  1 n 
χˆ 2
2 = ∑xv − ∑xv  ,
n v=1  n v=1   
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
41 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
1 1 3
?̂? = ∑�� ��3 − 3 ∑�� ��2
1
( ∑�� 1
3 �� �� �� �� ��=1 х��) + 2 ( ∑��
�� х��) , 
�� �� �� ��
1
?̂? = ∑�� ��4
1
− 4 ∑�� ��3
1 1 1 1
4 �� �� �� �� ( ∑��
�� х��) − 3( ∑�� 2 2
�� ����) + 12( ∑�� ��2)( ∑�� х )2 −
�� �� �� �� �� �� �� �� �� ��
1
6( ∑�� 4
�� �� х��) . 
Нормуючи отримані вирази відносно кумулянта другого порядку, одержуємо 
формули для знаходженн кумулянтних коефіцієнтів: 
1 1 3
∑�� 3 �� 2 1 �� 1 ��
�� �� ���� − 3 ∑ �� ∑ х + 2 ∑ х
?̂? = �� �� �� (�� ��=1 ��) (�� �� ��)
3 , 
3⁄
1 1 2 2
(( ∑�� 2 ��
�� ��=1 ���� −( ∑
�� ��=1 ����) ) )
?̂?4
1 �� 4 1 �� 3 1 �� 1 �� 2 2 1 �� 2 1 �� 2 1
∑�� ���� − 4 ∑�� ���� ∑�� х�� − 3( ∑�� ����) + 12 ∑�� ���� ( ∑�� х��) − 6( ∑�� х )4
= �� �� �� �� �� �� �� �� ��
2 . 
1 1 2
(( ∑�� 2 ��
�� ��=1 ���� −( ∑
�� ��=1 ����) ) )
Важливим моментом є те, що для роботи будь-якого алгоритму виявлення 
або розрізнення сигналів необхідно мати попередню оцінку параметрів завади. Без 
цього оцінки моментів та кумулянтів можуть бути некоректними, що призводить 
до зниження ефективності алгоритмів обробки. Метод моментів надає достатньо 
простий та практично застосовний підхід, дозволяючи отримати надійні оцінки 
параметрів навіть при малих обсягах вибірки та відсутності точного аналітичного 
опису розподілу завади. 
Таким чином, метод моментів є базовим і ефективним інструментом оцінки 
параметрів негаусових завад. Він дозволяє не лише оцінити основні 
характеристики процесу завади, але й перейти до кумулянтних описів, що 
використовуються у розробці моментних критеріїв та РП для виявлення сигналів. 
Інші методи, такі як максимальної правдободібності або апроксимації розподілу, 
можуть доповнювати оцінку параметрів, але метод моментів забезпечує 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
42 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
найзручнішу та найстійкішу основу для практичного застосування у системах 
обробки сигналів на фоні негаусових завад. 
 
2.5 Висновки 
У даному розділі здійснено систематизований аналіз статистичних методів 
оцінки параметрів негаусових завад та обробки сигналів на фоні завад, який 
охоплює ключові положення теорії випадкових процесів, імовірнісні критерії 
якості та принципи побудови РП для задач виявлення й розрізнення сигналів. 
Показано, що основою статистичного синтезу РП є вибір критерію якості, який 
визначає вимоги до точності прийняття рішень і враховує наявність або відсутність 
апріорної інформації. Розглянуто критерії Баєса, ідеального спостерігача та 
Неймана–Пірсона, для яких доведено, що оптимальні РП у загальному випадку 
зводяться до порівняння відношення правдоподібності з відповідним пороговим 
значенням. 
Здійснений огляд демонструє, що класичні імовірнісні критерії забезпечують 
строгий математичний апарат для розв’язання задач перевірки статистичних 
гіпотез, проте вони передбачають точне знання статистичних характеристик завад. 
Це обмежує їх застосування в умовах апріорної невизначеності або за наявності 
негаусових завад, статистичні властивості яких можуть змінюватися в часі. У 
зв’язку з цим виникає потреба у побудові адаптивних РП, що враховують реальні 
статистичні характеристики сигналів та завад і дозволяють підвищити 
ефективність прийняття рішень. 
Таким чином, проведений аналіз формує теоретичне підґрунтя для подальшої 
розробки адаптивних алгоритмів розрізнення на основі моментно-кумулянтного 
опису та моментного методу оцінки сигналів, які будуть розглянуті у наступних 
розділах.  
 
 
  
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
43 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
РОЗДІЛ 3. СИНТЕЗ АЛГОРИТМІВ РОЗРІЗНЕННЯ ДИСКРЕТНИХ 
СИГНАЛІВ НА ФОНІ НЕГАУСОВИХ ЗАВАД  
 
У попередніх розділах було встановлено, що ефективність розрізнення 
дискретних сигналів значною мірою залежить від адекватності опису моделі завади 
та обраного критерію якості прийняття рішення. Проведений аналіз моделей 
негаусових завад та існуючих методів статистичної обробки показав, що класичні 
підходи, оптимальні за умови нормального  розподілу завади, істотно втрачають 
ефективність у ситуаціях, коли завада має імпульсну, ексцесну або асиметричну 
природу. У таких умовах класичні РП не забезпечують необхідної достовірності 
прийняття рішень. 
Метою цього розділу є синтез алгоритмів розрізнення дискретних сигналів, 
які зберігають високу ефективність прийняття рішення за умови присутності 
негаусових завад в каналі зв’язку та не потребують точного знання їхньої щільності 
розподілу.  
 
3.1 Моментно – кумулянтний опис прийнятих дискретних сигналів на фоні 
асиметричних негаусових завад 
 
Розглянемо задачу яка наведена в П.2.3.. Кожному сигналу, який 
обробляється, відповідає свій моментно-кумулянтний опис, представлений у 
вигляді кінцевої послідовності моментів.  
Початкові моменти до 4-го порядку для ексцесної завади або при прийомі 
сигналу ��0 : Н0 приймуть вигляд: 
(0)
��1 = 0, 
(0)
 ��2 = ��2,  
(0) 3/2
��3 = ��3��2 , 
(0)
 ��4 = 3��22 , 
де ��3- коефіцієнт асиметрії негаусової завади. 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
44 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
Центровані корелянти визначаються з виразу: 
(0) (0) (0) (0)
��(��,��) = ��(��+��) −���� ����  
.
Після відповідної підстановки приймуть вигляд: 
(0) (0) (0) (0)
��(1,1) = ��2,  ��(1,2) = �� 1,5
(2,1) = ��2 ��3, ��
2
(2,2) = 2��2 . 
Початкові моменти до 4-го порядку для ���� при реалізації гіпотези Н�� (�� = 1,3) 
приймуть вигляд: 
(��) (��) 2 (��) 3/2
��1 = ���� , ��2 = ���� + ��2, ��3 = ��3�� + 3������2 + ��3��2 , 
(��)
�� 4 2 3/2
4 = ���� + 6���� �� + 4�� �� �� + 3��22 �� 3 2 2 , (�� = 1,2,3) 
 
де ��3 - коефіцієнт асиметрії завади, ���� – амплітуда і-го корисного сигналу. 
��2
�� = ��
��  - відношення сигнал/завада  ��2, �� = 1, 2, 3. 
��2
 Центровані корелянти при реалізації гіпотези ���� визначаються з виразу: 
(��) (��) (��) (��)
��(��,��) = ��(��+��) −���� ���� , �� = 1, 2, 3 
Після підстановки приймуть вигляд:  
(��) (��) (��) 3/2 3/2
��(1,1) = ��2, ��(1,2) = ��(2,1) = 2√������2 + ��3��2 ,  
(��)
��(2,2) = 2��22 + 4�� ��2�� 2 + 4√������ ��23 2 . 
3.2 Синтез РП розрізнення дискретних сигналів при степені полінома S=1 
 
Поліноміальні РП розглядаються як важливий інструмент підвищення 
ефективності розрізнення дискретних сигналів при наявності в каналі зв’язку 
негаусових завад. У загальному випадку структура РП визначається степенем 
полінома, який задає кількість статистичних характеристик спостережуваного 
процесу, що беруть участь у прийнятті рішення. У випадку, коли степінь полінома 
дорівнює S = 1, РП набуває найпростішої лінійної форми, що робить його базовою 
моделлю для подальшого удосконалення. 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
45 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
Лінійний критерій ґрунтується на використанні перших двох статистичних 
характеристик спостережуваного сигналу, що відображають середню зміну 
амплітуди та енергію сигналу. При наявності в каналі зв’язку негаусових завад саме 
такі характеристичні зміни часто є найбільш інформативними, оскільки ексцесні, 
асиметричні або імпульсні компоненти завади здатні суттєво зміщувати середній 
рівень спостережень. У таких умовах лінійне РП виконує роль найпростішого 
робастного критерію, який зменшує чутливість прийняття рішення до 
важкохвостих та нерегулярних флуктуацій. 
Синтез РП при степені полінома S = 1 полягає у визначенні оптимальних 
коефіцієнтів лінійної залежності між спостережуваними величинами та рішенням 
щодо прийняття тієї чи іншої гіпотези. Оскільки точна форма розподілу негаусової 
завади зазвичай невідома або може змінюватися, така процедура ґрунтується на 
узагальнених статистичних характеристиках - зокрема, моментах та кумулянтах 
першого та другого порядків. Це дозволяє синтезувати РП, менш залежне від 
конкретної моделі завади, та отримати рішення, що зберігає стабільність за умов 
варіації параметрів завади. 
У практичних системах лінійні РП має низку важливих переваг: 
• високі швидкодійні властивості; 
• простота реалізації в апаратному та програмному забезпеченні; 
• стійкість до зміни статистичних характеристик; 
• можливість адаптації на основі коротких вибірок даних. 
Такі властивості роблять РП першого порядку ефективним для систем, що 
працюють у складних завадових умовах, де класичні ймовірнісні методи втрачають 
оптимальність. Крім того, лінійне РП є основою для побудови узагальнених 
поліноміальних критеріїв при степенях S > 1, що дозволяють враховувати моменти 
та кумулянти вищих порядків, підвищуючи ефективність розрізнення сигналів у 
важких завадових умовах. 
Таким чином, синтез РП при степені полінома S = 1 є базовим етапом 
побудови адаптивних алгоритмів розрізнення дискретних сигналів при наявності в 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
46 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
каналі зв’язку негаусових завад та створює передумови для подальшого 
розширення у напрямку алгоритмів вищих степенів. 
Відповідно до (2.24), при постановленій задачі РП розділяються на шість 
окремих РП, кожне з яких відповідає певній комбінації гіпотез та можливих 
значень статистичного показника. Така класифікація дозволяє побудувати систему 
прийняття рішення, у якій кожне РП оптимізоване для свого діапазону реалізацій 
спостережуваного процесу. Розділення РП на шість підкласів забезпечує 
можливість врахування різних статистичних властивостей сигналу та завади, а 
також дозволяє адаптувати критерій до специфіки негаусових завад, що впливають 
на форму розподілу відповідної вирішальної статистики. 
У загальному вигляді РП при степені полінома S=1 мають вигляд: 
����
(��0) (��0) (��0) >
��(��)1�� = �� ��
1 ∑��=1 ���� + ��0 0, �� = 1, 2, 3,   (3.1) 
<
��0
�� ��2
(21) (21) (21) >
��(��)1�� = ��1 ∑���� + ��0 0, 
<
��=1 ��1
�� ��3
( )(31) (31) (21) >
�� �� 1�� = ��1 ∑���� + ��0 0. 
<
��=1 ��1
�� ��3
(32) (32) (32) >
��(��)1�� = ��1 ∑���� + ��0 0. 
<
��=1 ��2
Відповідно до (2.29) для знаходження невідомих коефіцієнтів РП k1, 
запишемо системи рівнянь для степеня �� = 1,  які приймуть вигляд для гіпотез 
( )(��0) ( )(21) ( )(31) ( )(32)�� �� 1�� , �� �� 1�� , �� �� 1�� , �� �� 1�� : 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
47 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
(��0) (0) (��) (��) (0) (21) (1) (2) (2) (1)
��1 [��(1,1) + ��(1,1)] =��1 −��1 , ��1 [��(1,1) + ��(1,1)] =��1 −��1 ,⁡ 
(31) (1) (3) (3) (1) (32) (2) (3) (3) (2)
��1 [��(1,1) + ��(1,1)] =��1 −��1 , ��1 [��(1,1) + ��(1,1)] =��1 −��1  
Наведені рівняння розв’язуються за допомогою метода Крамера 
комп’ютерними засобами, із-за громіздкості розрахунків наводимо лише кінцевий 
( )(��0)�� �� 1�� , ��(��)
(21)
1�� , 
результат знайдених коефіцієнтів які мають вигляд для гіпотез  
( (31) (32)
�� ��)1�� , ��(��)1�� : 
(i0) √��i
��1 = , �� = 1,2,3; 
2√��2
(21) √��1 + √��2
��1 = − ; 
2√��2
(31) √��1 + √��3
��1 = − ; 
2√��2
(32) √��3 +√��2
��1 = − . 
2√��2
(��0) (21)
Математичне сподівання і дисперсія РП   при гіпотезах  ��(��)1�� , ��(��)1�� , 
( (31) (32)
�� ��)1�� , ��(��)1�� , згідно (2.27), (2.28), приймуть вигляд: 
(��0) (��0) �� (21) 1
��0 = 0; �� = ��
1 ⁡�� = 1, 2, 3;  ��1 = −�� (��1 +√��1√��2); 2 2
(21) 1 (31) 1
��2 = �� (−√��1√��1 + ��2);⁡��1 = −�� (��1 +√��
2 2 1√��3); 
(31) 1
��2 = �� (−√�� √�� + �� );  
2 1 3 3
(32) 1 (32) 1
��1 = �� (−√��3√��2 + ��2);  ��2 = �� (−√�� √��
2 2 3 2 + ��3); 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
48 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
(��0) (��0) (��0) ����
��0 = ��1 = �� = ��
2 , �� = 1,2, 
4
(21) (21) 1 2
��1 = ��2 = �� (√��1 − √��2) ,  
4
(31) (31) 1 2 (32) (32) 1 2
��1 = ��2 = �� (√��
4 1 − √��3) , ��1 = ��2 = �� (√�� − √�� ) .  
4 2 3
(��0) (21) (31)
Знайдемо поріг, при гіпотезах  гіпотезах  ��(��)1�� , ��(��)1�� , ��(��)1�� , 
( )(32)�� �� 1�� ,згідно (2.25), прийме вигляд: 
(��0) ����
��0 = − , �� = 1,2,3; 
4
(21) 1
��0 = (��1 − ��2); 4
(31) 1
��0 = (��1 − ��
4 3); 
(32) 1
��0 = (��3 − ��2); 4
На основі синтезованих коефіцієнтів отримуємо наступні РП: 
����
(��0) (i0) ��
��(��) = �� = √ i ∑�� ���� >
1�� 1 ��=1 ���� − 0, �� = 1, 2, 3,  (3.2)  
2√��2 4 <
��0
�� ��2
(21) √��1 +√��2 1 >
��(��)1�� = − ∑���� + (��1 − ��2) 0, 
2√�� <
2 4
��=1 ��1
�� ��3
( )(31)
√��1 +√��3 1 >
�� �� 1�� = − ∑��
2 �� �� + (��3 − ��
4 1) 0, 
√ <
2
��=1 ��1
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
49 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
�� ��3
(32) √��3 +√��2 1 >
��(��)1�� = − ∑���� + (��3 − �� ) 0. 
2 2
√�� <
2 4
��=1 ��2
Слід зауважити, що РП (3.2) у при  S=1 не враховує негаусових властивостей 
вибіркових значень. Це пояснюється тим, що під час його синтезу було враховано 
лише моменти першого та другого порядку - математичне сподівання та дисперсію, 
- які не здатні охопити особливості негаусового розподілу. Тому доцільно 
збільшити степінь РП до �� = 2, що дозволить включити до процедури розрізнення 
дискретних сигналів статистики вищих порядків, зокрема показники асиметрії 
завади, і тим самим урахувати характерні риси негаусових завад. 
 
3.3 Синтез РП розрізнення дискретних сигналів при степені полінома S=2 
Загальний вигляд РП при степені полінома S=2 мають вигляд: 
����
( )(��0) (��0) (��0) (��0) >
�� �� 1�� = �� ∑�� �� 2
1 ��=1 ���� + ��2 ∑��=1 ���� +⁡��0 0, �� = 1, 2, 3,   (3.3) 
<
��0
�� �� ��2
( )(21) (21) (21) (21) >
�� �� 1�� = ��1 ∑���� + �� ∑��22 �� +⁡��0 0, 
<
��=1 ��=1 ��1
�� �� ��3
( )(31) (31) (31) (31) >
�� �� 1�� = ��1 ∑���� + ��2 ∑��2�� +⁡��0 0, 
<
��=1 ��=1 ��1
�� �� ��3
( )(32) (32) (32) 2 (32) >
�� �� 1�� = ��1 ∑���� + ��2 ∑���� +⁡��0 0. 
<
��=1 ��=1 ��2
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
50 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
Відповідно до (2.29) для знаходження невідомих коефіцієнтів РП ki, 
запишемо системи рівнянь для степеня �� = 2,  які приймуть вигляд для гіпотез 
(��0)
��(��)2�� , ��( )(21)�� 2�� , ��( )(11) ( (32)
�� 2�� , �� ��)2�� : 
(��0) (��) (0) (��0) (��) (0) (��) (0)
��1 [��(1,1) + ��(1.1)] + ��2 [��(1,2) + ��(1,2)] = ��1 −��1
{ , 
(��0) (��) (0) (��0) (��) (0) (��) (0)
��1 [��(2,1) + ��(2,1)] + ��2 [��(2,2) + ��(2,2)] = ��2 −��2
(21) (2) (1) (21) (2) (1) (2) (1)
��1 [��(1,1) + ��(1.1)] + ��2 [��(1,2) + ��(1,2)] = ��1 −��1
{
(21) (2) (1) (21) (2) (1) (2) (1)
��1 [��(2,1) + ��(2,1)] + ��2 [��(2,2) + ��(2,2)] = ��2 −��2 , 
(31) (3) (1) (31) (3) (1) (3) (1)
��1 [��(1,1) + ��(1.1)] + ��2 [��(1,2) + ��(1,2)] = ��1 −��1
{ , 
(31) (3) (1) (31) (3) (1) (3) (1)
��1 [��(2,1) + ��(2,1)] + ��2 [��(2,2) + ��(2,2)] = ��2 −��2
(32) (3) (2) (32) (3) (2) (3) (2)
��1 [��(1,1) + ��(1.1)] + ��2 [��(1,2) + ��(1,2)] = ��1 −��1
{ .
(32) (3) (2) (32) (3) (2) (3) (2)
��1 [��(2,1) + ��(2,1)] + ��2 [��(2,2) + ��(2,2)] = ��2 −��2  
наведені системи рівнянь розв’язуються за допомогою метода Крамера 
комп’ютерними засобами, із-за громіздкості розрахунків наводяться лише кінцевий 
результат знайдених коефіцієнтів які мають вигляд для гіпотез 
( )(��0) ( )(21) (31) (32)
�� �� 2�� , �� �� 2�� , ��(��)2�� , ��(��)2�� :
 
(��0) √����(2 + ����) + ������3
��1 = ; 
2√��2(2 + ���� − ��23 )
(��0) √������3
��2 = − ; 
2(2 + ���� − ��23 )��2
(21) (√��1−√��2)(2 + ��1 − 2√��1√��2 + ��2 + (√��1+√��2)��3)
��1 = −  
2(2 + ��1 − 2√��1√��2 + ��2 − ��23 )√��2
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
51 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
(21) (√��1 −√��2)��3
��2 = ; 
2(2 + �� 2
1 − 2√��1√��2 + ��2 − ��3 + ��4)��2
(31) (√��1−√��3)(2 + ��1 − 2√��1√��3 + ��3 + (√��1+√��3)��3)
��1 = − ; 
2(2 + �� − 2√�� √�� 2
1 1 3 + ��3 − ��3 )√��2
(31) (√��1 −√��3)��3
��2 =  
2(2 + �� 2
1 − 2√��1√��2 + ��2 − ��3 + ��4)��2
(32) (√��2−√��3)(2 + ��2 − 2√��2√��3 + ��3 + (√��2+√��3)��3)
��1 = −  
2(2 + �� − 2√�� √�� + �� − ��22 2 3 3 3 )√��2
(32) (√��3 −√��2)��3
��2 = . 
2(2 + ��1 − 2√��1√��2 + ��2 − ��23 + ��4)��2
(��0) (21) (31)
Математичні сподівання і дисперсія РП   при гіпотезах  ��(��)2�� , ��(��)2�� , ��(��)2�� , 
( (32)
�� ��)2�� , відповідно: 
(��0) (��0) (��) (��0) (��) (��0) (��0) (0) (��0) (0)
��1 = �� (��1 ��1 + ��2 ��2 ), ��0 = �� (��1 ��1 + ��2 ��2 )  
,
(��0) (��0) 2 (��) (��0) (��0) (��) (��0) 2 (��)
��1 = ��{(��1 ) ��(1,1) + 2��1 ��2 ��(1,2) + (��2 ) ��(2,2)}, 
(��0) (��0) 2 (0) (��0) (��0) (0) (��0) 2 (0)
��0 = ��{(��1 ) ��(1,1) + 2��1 ��2 ��(1,2) + (��2 ) ��(2,2), 
(21) (21) (2) (21) (1) (21) (21) (2) (21) (1)
��2 = �� (��1 ��1 + ��2 ��2 ), ��1 = �� (��1 ��1 + ��2 ��2 ), 
(21) (21) (21) (2) (21) (21) (2) (21) (21) (2)
��2 = �� (��1 ��1 ��(1,1) + 2��1 ��2 ��(1,2) + ��2 ��2 ��(2,2)), 
(21) (21) (21) (1) (21) (21) (1) (21) (21) (1)
��1 = �� (��1 ��1 ��(1,1) + 2��1 ��2 ��(1,2) + ��2 ��2 ��(2,2)),  
(31) (31) (3) (31) (1) (31) (31) (3) (31) (1)
��3 = �� (��1 ��1 + ��2 ��2 ), ��1 = �� (��1 ��1 + ��2 ��2 ), 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
52 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
(31) (31) (31) (3) (31) (31) (3) (31) (31) (3)
��3 = �� (��1 ��1 ��(1,1) + 2��1 ��2 ��(1,2) + ��2 ��2 ��(2,2)), 
(31) (31) (31) (1) (31) (31) (1) (31) (31) (1)
��1 = �� (��1 ��1 ��(1,1) + 2��1 ��2 ��(1,2) + ��2 ��2 ��(2,2)), 
(32) (32) (3) (32) (3) (32) (32) (2) (32) (2)
��3 = �� (��1 ��1 + ��2 ��2 ), ��2 = �� (��1 ��1 + ��2 ��2 ), 
(32) (32) (32) (2) (32) (32) (2) (32) (32) (2)
��2 = �� (��1 ��1 ��(1,1) + 2��1 ��2 ��(1,2) + ��2 ��2 ��(2,2)), 
(32) (32) (32) (3) (32) (32) (32) (32) (32) (3)
��3 = �� (��1 ��1 ��(1,1) + 2��1 ��2 ��(1,2) + ��2 ��2 ��(2,2)). 
Із-за громіздкості виразів остаточний їх вигляд не наводиться, а обчислення 
проводяться комп'ютерними засобами. 
( )(��0) ( )(21) ( )(31) (32)
Знайдемо поріг, при гіпотезах �� �� 2�� , �� �� 2�� , �� �� 2�� , ��(��)2�� , згідно 
(2.25), який прийме вигляд: 
(��0) ����(2 + ����) + 2√������3
��0 = − 2 , �� = 1,2,3 
4(2 + ���� + ��3 )
(21) (√��1−√��2)[2(−1 + √��1√��2)��3+(√��1+√��2)(2 + ��1 − 2√��1√��2 + ��2)]
��0 = ; 
4(2 + �� 2
1 − 2√��1√��2 + ��2 − ��3 )
(31) ��(√��1−√��3)[2(−1 + √��3√��1)��3+(√��3+√��1)(2 + ��3 − 2√��3√��1 + ��1)]
��0 = ; 
4(2 + ��3 − 2√��3√��1 + ��1 − ��23 )
(32) ��(√��3−√��2)[2(−1 + √��3√��2)��3+(√��3+√��2)(2 + ��3 − 2√��3√��2 + ��2)]
��0 = . 
4(2 + ��3 − 2√�� √�� 2
3 2 + ��2 − ��3 )
Після визначення невідомих коефіцієнтів РП можна зробити висновок, що 
для забезпечення адаптивної роботи синтезованих алгоритмів необхідно 
здійснювати оцінювання параметрів завади. Для оцінювання зазначених 
параметрів доцільно застосувати метод моментів, описаний у підпункті 2.4. 
 
  
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
53 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
3.4 Аналіз ефективності синтезованих алгоритмів 
 
Для коректного аналізу ефективності синтезованих алгоритмів використаємо 
Рис.3.1. Залежність кількості добутої інформації про розрізнення 
гіпотез від коефіцієнта асиметрії ��3 при наступних параметрах: 1) ��1 =
��2 = ��3 = 1; 2) ��1 = ��2 = ��3 = 0,5; 3) ��1 = ��2 = ��3 = 0,1. 
вираз, що відображає кількості отриманої інформації, РП під час розрізнення 
статистичних гіпотез. 
(����) 1 (����) (����)
��(��,��)  = ( ) = ���� − ���� ,��, �� = 0,�� − 1,   �� ≠ ��. (3.4) 
���� ����(��,��) ����
Проведемо порівняльний аналіз отриманих результатів. У ході дослідження 
були отримані аналітичні вирази, що містять коефіцієнти асиметрії, які 
характеризують негаусову заваду, а також відношення потужності сигнал/шум 
(���� , �� = 1,2,3). Зазначені параметри дають змогу дослідити їхній вплив на 
ефективність розрізнення сигналів на фоні негаусових завад. 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
54 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
Порівняльний аналіз нелінійних РП проведено шляхом зіставлення кількості 
здобутої інформації ��1�� за виразом (3.4) при розрізнені гіпотез для гаусового каналу 
зв’язку (�� = 1, ��3 = 0, ��3 = 0) з кількістю здобутої інформації ��2�� при розрізнені 
гіпотез для негаусового каналу зв’язку (�� = 2, ��3 ≠ 0) залежно від значення 
коефіцієнта асиметрії ��3. 
З графіків видно що при врахуванні коефіцієнта асиметрії ��3 кількість здобутої 
інформації збільшується, що свідчить про зростання ефективності РП. Урахування 
негаусових властивостей досліджуваних процесів шляхом врахування коефіцієнта 
асиметрії (��3) дає змогу підвищити кількість здобутої інформації при нелінійній 
обробці вибіркових значень порівняно з класичними результатами, отриманими 
для гаусових моделей. Зокрема, для кривої (3) ефективність зменшення ймовірності 
помилок прийняття рішень при нелінійній обробці сигналів, надає змогу підвищити 
ефекиввність у два рази порівняно з відомими результатами для гаусових моделей 
досліджуваних випадкових процесів. 
3.5 Висновки 
 
У третьому розділі виконано синтез нелінійних РП для задачі розрізнення 
дискретних сигналів при функціонуванні системи на фоні негаусових завад. 
Отримано аналітичні вирази для РП, які враховують кумулянтні характеристики 
завади, зокрема коефіцієнт асиметрії. Показано, що врахування негаусових 
властивостей адитивної суміші корисного сигналу та завади дає змогу збільшити 
кількість здобутої інформації про розрізнення гіпотез та підвищити ефективність 
розрізнення сигналів порівняно з випадком гаусового каналу зв’язку. Проведений 
порівняльний аналіз свідчить про доцільність застосування синтезованих 
нелінійних РП у задачах виявлення дискретних сигналів при наявності ексцесних 
завад в каналі зв’язку. 
У наступному розділі проведемо перевірку ефективності синтезованих 
алгоритмів шляхом комп’ютерного моделювання в середовищі MATLAB/Simulink, 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
55 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
що дозволить кількісно оцінити їхні характеристики та підтвердити отримані 
теоретичні результати. 
 
  
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
56 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
РОЗДІЛ 4. МОДЕЛЮВАННЯ ТА ОЦІНКА ЕФЕКТИВНОСТІ 
СИНТЕЗОВАНИХ АЛГОРИТМІВ У MATLAB/SIMULINK 
 
У цьому розділі проведемо перевірку ефективності синтезованих у 
попередньому розділі нелінійних РП, за допомогою комп’ютерного моделювання 
в середовищі MATLAB/Simulink. Метою дослідження є кількісна оцінка здобутої 
інформації та ймовірності помилкових рішень при розрізнення дискретних 
сигналів на фоні негаусових завад, що дозволить підтвердити теоретичні 
результати та визначити практичну ефективність запропонованих алгоритмів. 
 
4.1 Побудова системи оцінювання параметрів негаусових завад. 
Для адаптивної роботи синтезованих алгоритмів необхідно здійснювати 
оцінювання параметрів завади, для оцінювання цих параметрів доцільно 
застосувати метод моментів, описаний у підпункті 2.4. 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
57 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
 
На рис.4.1. представлено структурну схему оцінювання 
параметрів сигналів на фоні негаусових завад методом моментів. 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
58 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
Рис. 4.1. – Структурна схема оцінювання параметрів сигналів на фоні негаусових завад методом 
моментів 
 
Схема реалізована в середовищі MATLAB/Simulink і забезпечує обчислення оцінок 
параметрів випадкових процесів з урахуванням їхньої негаусової складової. 
Вхідний сигнал ����1 подається на декілька обчислювальних каналів, які 
виконують вибірку даних для моментного аналізу. Основні блоки схеми 
включають: дискретні фільтри ����������������������������1–����������������������������4, які формують 
вибірку сигналу та забезпечують його структуризацію для подальшого моментного 
оцінювання; блоки математичних функцій ������ℎ����������������1–������ℎ����������������4, які 
обчислюють степені сигналу, необхідні для оцінки перших чотирьох моментів; та 
блоки множення �������������� і констант ����������������, що реалізують відповідні 
комбінації моментів і корегуючих коефіцієнтів. 
Система формує чотири вихідні сигнали: ��1, ��2, ��3та ��4, які відповідають 
оцінкам основних параметрів сигналу та його статистичних характеристик. 
Зокрема, вихід ��1 відображає перший момент (Середнє значення), ��2— другий 
центральний момент (дисперсію), а ��3 та ��4 відображають асиметрію та ексцес, 
що дозволяє враховувати негаусовіхарактеристики завади при функціонуванні РП. 
Застосування методу моментів забезпечує ефективне оцінювання параметрів 
сигналів на фоні негаусових завад без необхідності точного знання функції 
щільності ймовірності завад. Це дозволяє підвищити точність систем розпізнавання 
сигналів у складних завадових умовах. 
 
4.2 Побудова структурної схеми адаптиного розрізнення дискретних сигналів 
в середовищі Simulink. 
Для дослідження ефективності синтезованих адаптивних алгоритмів 
розрізнення дискретних сигналів на фоні негаусових завад у середовищі Simulink 
була побудована структурна схема рис.4.2., що реалізує процес оцінки параметрів 
завад та застосування моментного критерію для синтезу РП. Структурна схема 
складається з декількох основних блоків: генератора корисного сигналу, 
генератора негаусових завад, блока оцінки параметрів завад та блоку адаптивного 
розрізнення сигналів. 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
59 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
Блок Random Integer формує дискретний корисний сигнал, який надходить як 
на суматор, так і безпосередньо до осцилографа. Генератор негаусових завад 
створює шумовий процес з необхідними статистичними характеристиками 
(середнє, дисперсія, асиметрія, ексцес), що імітує реальні умови функціонування 
системи на фоні завад. Суматор поєднує корисний сигнал із шумовим процесом, 
формуючи сумарний вхідний сигнал, який подається на блок оцінки параметрів 
завад. 
Блок Оцінка параметрів негаусових завад здійснює обчислення моментів та 
кумулянтів шумового сигналу, необхідних для формування адаптивних 
коефіцієнтів РП. Обчислені параметри (m1, X2, Y3) використовуються для 
налаштування блоків РП S1 та S2, що відповідають за розрізнення вхідного 
сигналу. 
Блоки S1 та S2 реалізують поліноміальні РП різної степені. Вони приймають 
на вхід сигнали корисного сигналу з завадою та та обраховані коефіцієнти 
(сигнал/шум) q1–q3, після чого формують вихідні сигнали, що надходять на 
осцилограф (Scope1) для візуального аналізу процесу розрізнення. 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
60 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
61 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
Рис. 4.2. – Структурна схема адаптиного розрізнення дискретних сигналів в середовищі Simulink 
 
 
 
Рис. 4.3. – Структурна схема для адаптивного розрізнення гіпотез Н1 і Н0 при S=1. 
 
Рис. 4.4. – Структурна схема для адаптивного розрізнення гіпотез Н1 і Н0 при S=2. 
 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
62 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
 
Рис. 4.5. – Структурна схема для адаптивного розрахунку коефіфієнту k1 РП при 
розрізнення гіпотез Н1 і Н0 при S=2. 
Принцип роботи структурної схеми для адаптивного розрізнення гіпотез Н1 і 
Н0  рис. 4.3, 4.4, наступний: дискретний сигнал з сумішшю негаусової завади 
надходить на вхід системи, в якій блоки discrete Filter , виконують функцію вибірки 
певної кількості значень що в свою чергу утворює вікно, потім після цих блоків 
(10) (10)
сигнал помножується на коефіцієнти ��1 , ��2 , які адаптивно розраховуються в 
режимі реального часу, потім отримуємо суму сигналів до яких потім додаємо 
(10)
коефіцієнт ��0  який також адаптується під негаусову заваду, (блоки «constant», 
«Мath Function» призначені для піднесення вхідного сигналу до квадрату), потім 
на виході даної системи отримуємо сигнал Рис. 4.6 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
63 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
 
Рис. 4.6. Вхідний та вихідний сигнал після обробки РП Н1 і Н0. 
На рис. 4.6 , зображено моделювання системи для розрізнення двох гіпотез Н1 і Н0, 
у верхній частині зображено вхідний сигнал в нижній частині сигнал після обробки 
РП, на даній осцилограмі сигнал що вище рівня «0» відповідає виконанню гіпотези 
Н1, а сигнал що нижче рівня «0» відповідає виконанню гіпотези Н0. 
Структурні схеми для розрізнення гіпотез Н2 і Н0, Н2 і Н1, Н3 і Н0,  аналогічні рис. 
(��0)
4.4 і відрізняються лише тим що мають свої коефіцієнти ���� , а також принцип 
роботи не відрізняється від наведеної структури. 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
64 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
 
Рис. 4.7. Вхідний та вихідний сигнал після обробки при гіпотезах Н2 і Н0. 
На рис. 4.7. , зображено моделювання системи для розрізнення двох гіпотез 
Н2 і Н0, у верхній частині зображено вхідний сигнал в нижній частині сигнал після 
обробки, на даній осцилограмі сигнал що вище рівня «0» відповідає виконанню 
гіпотези Н2, а сигнал що нижче рівня «0» відповідає виконанню гіпотези Н0. 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
65 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
 
Рис. 4.8. Вхідний та вихідний сигнал після обробки при гіпотезах Н2 і Н1. 
На рис.4.8 , зображено моделювання адаптивної системи розрізнення двох 
гіпотез Н2 і Н1, у верхній частині зображено вхідний сигнал в нижній частині сигнал 
після обробки, на даній осцилограмі сигнал що вище рівня «0» відповідає 
виконанню гіпотези Н2, а сигнал що нижче рівня «0» відповідає виконанню 
гіпотези Н1. Повна структурна схема адаптивного розрізнення сигналів для 
прийому та розрізнення дискретних сигналів наведена приведена на рис. 4.9. де 
блок «Subsystem», використаний в якості порогового пристрою. 
    Нижче на рис. 3.4.7-3.4.14 приведене моделювання системи де: 
 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
66 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
67 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
Рис. 4.9  Структурна схема адаптивного алгоритму  розрізнення дискретних сигналів на фоні негаусових 
завад. 
 
 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
68 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
Рис. 4.10. –  Моделювання адаптивної системи розрізнення дискретнх сигналів, при наступних параметрах: 
γ3=-1.1., q1=1, q2=2, q2=3. 
 
 
  
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
69 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
Рис. 4.11. –  Моделювання адаптивної системи розрізнення дискретнх сигналів, при наступних параметрах: 
γ3=-1.1., q1=0.25, q2=1, q2=1.33. 
 
 
 
4.3. Висновки 
 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
70 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
Рис. 4.12. –  Моделювання адаптивної системи розрізнення дискретнх сигналів, при наступних параметрах: 
γ3=-1.1., q1=0.1, q2=0.44, q2=1. 
 
 
Після проведення серії чисельних імітаційних досліджень можна зробити висновок, що 
застосування запропонованих алгоритмів адаптивного розрізнення дискретних сигналів 
забезпечує істотне підвищення ефективності функціонування системи. Зокрема, встановлено, що 
ефективність роботи системи розрізнення сигналів з використанням синтезованих методів 
зростає щонайменше у 2,5 рази порівняно з алгоритмами які припускають гаусову модель завади. 
Отримане зростання ефективності наочно підтверджується результатами моделювання, 
представленими на рис. 4.10–4.12, де показано зменшення ймовірності помилки розрізнення та 
підвищення стабільності роботи алгоритмів при функціонуванні системи на фоні негаусових 
завад. Особливо суттєвий виграш спостерігається за наявності завад із вираженою асиметрією, 
що свідчить про доцільність урахування моментних характеристик вищих порядків під час 
формування РП. 
Таким чином, результати проведених досліджень підтверджують, що запропонований 
підхід дозволяє не лише підвищити точність розрізнення дискретних сигналів, але й забезпечити 
адаптивність системи до зміни статистичних характеристик завад, що є важливим для 
практичного застосування в телекомунікаційних системах. 
 
  
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
71 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
ВИСНОВОК 
 
У дипломній роботі розв’язано актуальну науково-прикладну задачу 
підвищення ефективності розрізнення дискретних сигналів при функціонуванні 
системи на фоні негаусових завад. Проведений аналіз сучасних методів обробки 
сигналів показав обмеженість класичних алгоритмів, що базуються на припущенні 
про гаусову модель завад, та обґрунтовано доцільність використання моментних і 
поліноміальних підходів для синтезу РП. 
У роботі розроблено математичну модель адаптивного агоритму розрізнення 
дискретних сигналів із урахуванням негаусових властивостей завад. 
Запропоновано метод адаптивного оцінювання параметрів, який базується на 
використанні моментів вищих порядків і дозволяє враховувати асиметрію 
випадкових процесів. На основі моментно-кумулянтного опису синтезовано 
поліноміальні РП. 
У середовищі Simulink побудовано структурну схему адаптивної системи 
розрізнення дискретних сигналів, що реалізує всі етапи обробки - від формування 
сигналів і завад до прийняття рішення. Проведені чисельні імітаційні дослідження 
дозволили оцінити ефективність запропонованих алгоритмів при різних умовах 
функціонування системи. 
Результати моделювання показали, що використання адаптивних алгоритмів 
розрізнення з урахуванням негаусових характеристик завад забезпечує істотне 
підвищення ефективності системи. Зокрема, встановлено, що ефективність роботи 
системи розрізнення сигналів зростає щонайменше у 2,5 рази порівняно з 
алгоритмами, які базуються на гаусовій моделі завад. Отримані результати 
підтверджують доцільність застосування моментно-поліноміальних підходів для 
обробки сигналів у складних завадових умовах. 
Практична значущість роботи полягає у можливості використання 
розроблених алгоритмів та структурних рішень під час проєктування 
інформаційно-вимірювальних і телекомунікаційних систем, що функціонують на 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
72 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
фоні негаусових завад. Отримані результати можуть бути використані як основа 
для подальших досліджень у напрямі синтезу адаптивних методів виявлення та 
розрізнення сигналів. 
  
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
73 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ 
 
1. Kunchenko, Y.: Polynomial Parameter Estimations of Close to Gaussian 
Random Variables. Shaker Verlag, Aachen (2002) 
2. Kunchenko, Y.: Stochastic Polynomials. Naukova Dumka, Kyiv (2006) 
3. Krasilnikov, A., Beregun, V.: Characteristics of cumulant detector of noise 
signals. In: 42nd Int. Conf. Electron. Nanotechnol. (ELNANO), Kyiv, Ukraine, pp. 596–
601 (2024). doi:10.1109/ELNANO63394.2024.10756825 
4. Krasilnikov, A., Beregun, V.: Cumulant detector of non-Gaussian signals 
against background of non-Gaussian interferences. Radioelectron. Commun. Syst. 67, 
317–330 (2024). doi:10.3103/S0735272724060037 
5. Palahin, V., Juhár, J., Zorin, O., Viediernikov, D., Palahina, E.: Computer 
modeling of noise signals processing system in non-Gaussian noise. In: 38th Int. Conf. 
Electron. Nanotechnol. (ELNANO), Kyiv, Ukraine, pp. 658–662 (2018). 
doi:10.1109/ELNANO.2018.8477442 
6. Vokorokos, L., Marchevský, S., Ivchenko, A., Palahina, E., Palahin, V.: 
Parameters estimation of correlated non-Gaussian processes by the method of polynomial 
maximization. IET Signal Process. 11(3), 313–319 (2017). doi:10.1049/iet-
spr.2016.0142 
7. Palahin, V., Juhár, J., Leleko, S., Polozhaenko, S., Palahina, E.: Computer 
simulation of signal detection in non-Gaussian noise with the Neyman–Pearson moment 
quality criterion. In: 9th Int. Conf. Dependable Syst., Serv. Technol. (DESSERT), Kyiv, 
Ukraine, pp. 603–608 (2018). doi:10.1109/DESSERT.2018.8409203 
8. Signal detection theory [Електронний ресурс] – Режим доступу до 
ресурсу: https://www.sciencedirect.com/topics/engineering/signal-detection-theory 
(дата звернення: 1.12.2025). 
9. Non-Gaussian noise in communication systems [Електронний ресурс] – 
Режим доступу до ресурсу: https://ieeexplore.ieee.org/document/4118472 (дата 
звернення: 1.12.2025). 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
74 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ 
 
10. MATLAB Simulink Documentation [Електронний ресурс] – Режим 
доступу до ресурсу: https://www.mathworks.com/help/simulink/ (дата звернення: 
1.12.2025). 
11. Теорія сигналів і процесів : Підручник [для вищих навчальних закладів] 
/ В.П. Кожем’яко, О.А. Кравченко, О.О. Білоконь. – К.: Видавництво КПІ, 2011. – 
412 с. 
12. Статистична радіотехніка : Підручник / В.А. Котельников, О.В. 
Фінкельштейн. – М.: Радіо і зв’язок, 1982. – 376 с. 
13. Middleton, D.: Statistical Communication Theory. – New York: McGraw-
Hill, 1960. – 1140 p. 
14. Kay, S.M.: Fundamentals of Statistical Signal Processing. Vol. II: Detection 
Theory. – Upper Saddle River: Prentice Hall, 1998. – 685 p. 
15. Nikias, C.L., Shao, M.: Signal Processing with Alpha-Stable Distributions 
and Applications. – New York: Wiley, 1995. – 542 p. 
16. Mendel, J.M.: Tutorial on higher-order statistics in signal processing 
[Електронний ресурс] – Режим доступу до ресурсу: 
https://ieeexplore.ieee.org/document/134397 (дата звернення: 1.12.2025). 
17. Haykin, S.: Adaptive Filter Theory. – Upper Saddle River: Prentice Hall, 
2002. – 936 p. 
18. Proakis, J.G., Salehi, M.: Digital Communications. – New York: McGraw-
Hill, 2008. – 1150 p. 
19. Papoulis, A., Pillai, S.U.: Probability, Random Variables, and Stochastic 
Processes. – New York: McGraw-Hill, 2002. – 852 p. 
20. Chen, C., Chen, Z.: Polynomial decision rules for signal detection in non-
Gaussian noise. – Signal Processing, 2008. – Vol. 88. – P. 2296–2307. 
21. Robust signal detection methods [Електронний ресурс] – Режим доступу 
до ресурсу: https://www.cambridge.org/core/books/robust-statistics-for-signal-
processing (дата звернення: 1.12.2025). 
Арк. 
мРТ46.025235.248 ПЗ 
75 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата ПЗ
ChSTU repository

ChSTU repository preserves and enables easy and open access to all types of digital content including text, images, moving images, mpegs and data sets
