Аналіз та дослідження методів визначення коефіцієнтів поліноміальних моделей статичних характеристик електричних навантажень

Василевський, Ігор Олегович

Please use this identifier to cite or link to this item: https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/7103

Title:	Аналіз та дослідження методів визначення коефіцієнтів поліноміальних моделей статичних характеристик електричних навантажень
Authors:	Протасов, Сергій Юрійович Василевський, Ігор Олегович
Keywords:	статичні характеристики навантаження;метод найменших квадратів;метод головних компонент;коефіцієнти поліномів;регулюючий ефект навантаження;активний експеримент
Issue Date:	Dec-2025
Abstract:	У роботі обґрунтовано застосування розрахункових і чисельних методів для визначення характеристик активної та реактивної потужності різних типів електричних навантажень з урахуванням нелінійностей і температурних чинників. У середовищі MATLAB/Simulink розроблено моделі навантажень та досліджено залежності P(U), Q(U) і S(U), встановлено особливості зміни коефіцієнта потужності та поведінки синхронних і асинхронних двигунів у компенсованих режимах. Результати моделювання оброблено методами найменших квадратів і головних компонент, що забезпечило високу точність апроксимації та можливість скорочення розмірності даних. Отримані моделі можуть бути використані для аналізу режимів електричних мереж і вдосконалення систем автоматичного регулювання напруги.
URI:	https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/7103
Appears in Collections:	141 Електрична інженерія (Електротехнічні системи електроспоживання)

Files in This Item:

File	Description	Size	Format
ВКРМ_Василевський.pdf Restricted Access		4.88 MB	Adobe PDF	View/Open Request a copy

Show full item record

Extracted text

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Факультет електронних технологій, автотранспорту та машинобудування
(назва факультету)
Кафедра електротехнічних систем
(повна назва кафедри)

«До захисту допущено»
Завідувач кафедри ЕТС
Валентин ТКАЧЕНКО
______________________
“_____” __________2025 р

Кваліфікаційна робота
на здобуття ступеня вищої освіти магістра

на тему:
«Аналіз та дослідження методів визначення коефіцієнтів поліноміальних
моделей статичних характеристик електричних навантажень»

Виконав: здобувач вищої освіти 2 курсу, групи мЕСЕ–44
Спеціальності: 141 «Електроенергетика, електротехніка та електромеханіка»
(шифр і назва напряму підготовки, спеціальності)

Василевський Ігор Олегович ____________
(прізвище, ім’я, по-батькові здобувача вищої освіти ) (підпис)

Науковий керівник к.т.н., доцент Сергій ПРОТАСОВ ____________
(наук. ступінь, вчене звання Власне ім’я ПРІЗВИЩЕ) (підпис)

Нормоконтроль к.т.н., доцент Костянтин КЛЮЧКА ____________
(наук. ступінь, вчене звання Власне ім’я ПРІЗВИЩЕ) (підпис)

Засвідчую, що у цій кваліфікаційній роботі немає запозичень з праць інших
авторів без відповідних посилань.
Здобувач вищої освіти ______________
(підпис)

Черкаси 2025 р.
3
РЕФЕРАТ

По структурі робота складається зі вступу, трьох розділів основної
частини та висновків основних результатів дослідження. Загальна кількість
сторінок – 97, рисунків – 39, таблиць – 10, використаних літературних
джерел – 26.
Метою кваліфікаційної магістерської роботи є аналіз використання
математичних методів у задачі визначення коефіцієнтів поліномів статичних
характеристик навантаження за напругою та регулювальних ефектів
навантаження.
На основі мети дослідження, сформульовані такі завдання:
1. Провести теоретичний аналіз статичних характеристик
навантаження, розглянути їх фізичну природу, роль у визначенні сталих
режимів електроенергетичних систем та обґрунтувати доцільність
застосування розрахункових методів для визначення активної і реактивної
потужності.
2. Виконати моделювання електричних навантажень у середовищі
MATLAB/Simulink з метою отримання статичних характеристик P(U), Q(U) і
cosφ(U), провести аналіз результатів для різних типів навантажень та оцінити
вплив їх параметрів на енергетичні показники системи.
3. Здійснити математичну обробку результатів моделювання із
застосуванням методу найменших квадратів (МНК) та методу головних
компонент (МГК), визначити коефіцієнти поліноміальних моделей СХН,
перевірити їх адекватність за критерієм Фішера, виконати порівняльний
аналіз методів.
У першому розділі проведено теоретичне обґрунтування доцільності
застосування розрахункових методів для визначення характеристик активної
та реактивної потужності. Проаналізовано математичні моделі різних типів
навантажень – активних, індуктивних, ємнісних та комбінованих, а також
враховано вплив нелінійностей та температурних факторів. Показано, що
4
розрахунковий підхід у поєднанні з чисельними методами забезпечує
універсальність і високу точність опису енергетичних процесів.
У другому розділі за допомогою середовища MATLAB/Simulink
розроблено моделі електричних навантажень, які дозволили визначити
залежності активної, реактивної та повної потужностей від напруги.
Отримані результати підтвердили, що характер статичних характеристик
суттєво відрізняється залежно від типу навантаження. Виявлено
закономірності зміни коефіцієнта потужності, визначено особливості
поведінки синхронних та асинхронних двигунів у компенсованих режимах, а
також показано ефективність використання моделювання для аналізу
складних електротехнічних систем без проведення реальних експериментів.
У третьому розділі здійснено математичну обробку результатів
моделювання з використанням методу найменших квадратів (МНК) та
методу головних компонент (МГК). Обидва методи забезпечили високу
точність апроксимації залежностей P(U) і Q(U), що підтверджено
статистичними критеріями. Метод найменших квадратів відзначається
універсальністю та точністю, тоді як метод головних компонент є більш
ефективним для скорочення розмірності даних і виявлення головних
факторів впливу. Отримані коефіцієнти поліноміальних моделей можуть
бути використані для подальшого аналізу режимів електричних мереж і
вдосконалення систем автоматичного регулювання напруги.
Ключові слова: статичні характеристики навантаження, метод
найменших квадратів, метод головних компонент, коефіцієнти поліномів,
регулюючий ефект навантаження, активний експеримент.

5
ЗМІСТ

ПЕРЕЛІК УМОВНИХ ПОЗНАЧЕНЬ, СИМВОЛІВ, СКОРОЧЕНЬ І
ТЕРМІНІВ ................................................................................................................ 7
ВСТУП ..................................................................................................................... 8
РОЗДІЛ 1. СТАТИЧНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ НАВАНТАЖЕННЯ ТА
МЕТОДИ ЇХ ОТРИМАННЯ ................................................................................ 11
1.1. Моделювання навантаження при розрахунках режимів енергосистем.... 11
1.2. Узагальнені характеристики навантаження ............................................ 15
1.3. Можливості уточнення узагальнених характеристик навантаження ... 21
1.4. Методи отримання статичних навантажень ............................................ 25
1.4.1. Метод активного експерименту ...................................................... 25
1.4.2. Метод пасивного експерименту ...................................................... 31
1.4.3. Розрахунковий метод отримання статичних характеристик
навантаження ................................................................................................... 33
1.5. Висновки до розділу 1 ............................................................................... 37
РОЗДІЛ 2. ПРОВЕДЕННЯ МОДЕЛЬНИХ ЕКСПЕРИМЕНТІВ ...................... 39
2.1. Розробка Simulink-моделей для отримання статичних характеристик
навантажень ........................................................................................................... 40
2.2. Проведення модельних експериментів отримання статичних
характеристик навантажень ................................................................................. 47
3.3. Висновки до розділу 2 ............................................................................... 59
РОЗДІЛ 3. МАТЕМАТИЧНІ ОСНОВИ ОТРИМАННЯ КОЕФІЦІЄНТІВ
ПОЛІНОМІВ СТАТИЧНИХ ХАРАКТЕРИСТИК НАВАНТАЖЕННЯ ......... 61
3.1 Визначення коефіцієнтів поліномів СХН математичними методами ... 61
3.1.1 Метод найменших квадратів ............................................................. 61
3.1.2 Метод головних компонент .............................................................. 67
6
3.2 Приклади отримання коефіцієнтів поліномів статичних характеристик
навантаження ......................................................................................................... 73
3.2.1 Приклад отримання коефіцієнтів поліномів методом найменших
квадратів .......................................................................................................... 73
3.2.2. Приклад отримання коефіцієнтів поліномів методом головних
компонент ........................................................................................................ 81
3.3. Висновки до розділу 3 ............................................................................... 92
ВИСНОВКИ ........................................................................................................... 94
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ ............................................................. 96

7
ПЕРЕЛІК УМОВНИХ ПОЗНАЧЕНЬ, СИМВОЛІВ, СКОРОЧЕНЬ І
ТЕРМІНІВ

АРНТ – автоматика регулювання напруги трансформатора
ПЛ – повітряна лінія
ЛЕП – лінія електропередач
МГК – метод головних компонент
МНК – метод найменших квадратів
ПУЕ – правила улаштування електроустановок
СЕЕ – споживачі електроенергії
РПН – регулювання під напругою
СХН – статичні характеристики навантаження
ЕП – електричне поле
ЕЕС – електроенергетична система

8
ВСТУП

Ефективність функціонування як енергосистеми в цілому, так і
окремих промислових підприємств значною мірою визначається їх режимами
роботи. Важливу роль у цьому відіграє процес моделювання електричних
навантажень, який забезпечує можливість точного аналізу, прогнозування та
оптимізації енергоспоживання. Останнім часом активно проводяться
дослідження, спрямовані на оновлення альбомів статичних характеристик
навантажень (СХН) за напругою, оскільки саме ці характеристики
використовуються у програмних комплексах для розрахунку режимів роботи
енергосистем у вигляді коефіцієнтів поліномів [1, 5].
Одним із найбільш ефективних способів отримання даних для
визначення коефіцієнтів поліноміальних моделей є натурний (активний)
експеримент [3]. У результаті його проведення формується масив
експериментальних даних – напруги, активної та реактивної потужності, які
потребують подальшої математичної обробки. Для цього застосовуються
сучасні статистичні та чисельні методи, такі як метод найменших квадратів,
метод головних компонент, а також їхні модифікації з регуляризацією або
ваговими коефіцієнтами, що забезпечують високу точність апроксимації та
стійкість результатів до похибок вимірювання [14, 15].
Актуальність дослідження також зумовлена необхідністю підвищення
точності математичних моделей статичних характеристик, які
використовуються для аналізу та керування електроенергетичними
системами. В умовах розвитку інтелектуальних мереж (smart grids),
широкого застосування електронних перетворювачів і зростання частки
нелінійних навантажень, традиційні підходи до моделювання потребують
удосконалення. Від правильності вибору методу визначення коефіцієнтів
поліноміальних моделей залежить не лише якість розрахунків режимів, але й
ефективність роботи систем керування, прогнозування навантажень та
забезпечення енергетичної безпеки.
9
Таким чином, дослідження та аналіз методів визначення коефіцієнтів
поліноміальних моделей статичних характеристик електричних навантажень
є актуальним завданням. Результати таких робіт сприятимуть підвищенню
точності розрахунків режимів енергосистем, удосконаленню алгоритмів
керування електроспоживанням та підвищенню загальної
енергоефективності промислових підприємств та енергетичного комплексу в
цілому.
Метою кваліфікаційної магістерської роботи є аналіз використання
математичних методів у задачі визначення коефіцієнтів поліномів статичних
характеристик навантаження за напругою та регулювальних ефектів
навантаження.
На основі мети дослідження, сформульовані такі завдання:
1. Провести теоретичний аналіз статичних характеристик
навантаження, розглянути їх фізичну природу, роль у визначенні сталих
режимів електроенергетичних систем та обґрунтувати доцільність
застосування розрахункових методів для визначення активної і реактивної
потужності.
2. Виконати моделювання електричних навантажень у середовищі
MATLAB/Simulink з метою отримання статичних характеристик P(U), Q(U) і
cosφ(U), провести аналіз результатів для різних типів навантажень та оцінити
вплив їх параметрів на енергетичні показники системи.
3. Здійснити математичну обробку результатів моделювання із
застосуванням методу найменших квадратів (МНК) та методу головних
компонент (МГК), визначити коефіцієнти поліноміальних моделей СХН,
перевірити їх адекватність за критерієм Фішера, виконати порівняльний
аналіз методів.
Об'єкт дослідження – електричні навантаження систем
електропостачання.
Предмет дослідження – статичні характеристики навантаження за
напругою.
10
Методи досліджень. математичні методи для визначення коефіцієнтів
поліномів статичних характеристик.
Наукова новизна роботи полягає у розробці та практичній реалізації
комплексного методу визначення статичних характеристик навантажень
електроенергетичних систем, який поєднує чисельне моделювання в
середовищі MATLAB/Simulink із математико-статистичною обробкою
результатів за допомогою методів МНК і МГК. Отримані поліноміальні
моделі є статистично достовірними та можуть бути використані для аналізу,
оптимізації та підвищення енергоефективності систем електропостачання.
Апробація роботи. Основні аспекти наукового дослідження
магістерської роботи були обговорені на студентській науково-практичній
конференції ЧДТУ, яка відбувалася 22-24 квітня 2025 р.

11
РОЗДІЛ 1
СТАТИЧНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ НАВАНТАЖЕННЯ ТА МЕТОДИ ЇХ
ОТРИМАННЯ

1.1. Моделювання навантаження при розрахунках режимів
енергосистем

Правильність математичного опису навантаження може суттєво
впливати на результати розрахунків як статичної, так і динамічної стійкості
енергосистеми. При вирішенні питання про те, наскільки детально слід
враховувати навантаження під час виконання розрахунків, необхідно, з
одного боку, забезпечити достатню точність кінцевого результату, а з іншого
– прагнути до зменшення обсягу вихідної інформації. Це потребує певного
підходу, який включає наступні основні моменти [15]:
1. Потрібні критерії, відповідно до яких вибір необхідних
розрахункових моделей навантаження може здійснюватися до проведення
основної серії розрахунків.
2. Можливості експериментального або розрахункового визначення
параметрів великих вузлів навантаження досить обмежені через відсутність
засобів вимірювання на шинах високої напруги, дискретизацію вимірюваних
величин, а також відсутність необхідних вихідних даних. Крім того, значна
частина розрахунків проводиться на перспективу; у цьому випадку труднощі
отримання конкретних параметрів навантаження особливо великі. З цих
причин потрібна інформація про статистично обґрунтовані параметри, якими
можна користуватися, якщо конкретних даних недостатньо.
3. Необхідна розробка простих способів, які дозволяють оцінювати
вплив неточностей задання параметрів навантаження на результати
розрахунків.
12
У розрахунках стійкості складних енергосистем, залежно від
особливостей поставленого завдання, навантаження може бути представлене
різними розрахунковими моделями.
Комплексна розрахункова модель навантаження описує просту
одновузлову схему навантаження, наприклад, як показано на рис. 1.1, яка
дозволяє відтворити в розрахунку основні особливості перехідних процесів у
двигунах. Комплексна розрахункова модель навантаження містить рівняння
еквівалентного асинхронного двигуна, статичного навантаження та
еквівалентного синхронного двигуна [20].
До поняття статичної складової навантаження включаються всі
споживачі електроенергії, окрім двигунів: електропечі, освітлення, значна
частина комунально-побутового навантаження. До статичного навантаження
відносять також конденсаторні батареї та ємності повітряних і кабельних
ліній. У загальному випадку величина Zcт залежить від напруги [2, 7].

Рис. 1.1. Типова комплексна модель навантаження

В деяких випадках використовуються багатоелементні комплексні
моделі. Вони забезпечують більш детальний облік усіх основних
особливостей споживачів та розподільної мережі. Залежно від поставленого
завдання та структури навантаження розрахункова схема може містити різну
кількість вузлів, синхронних та асинхронних двигунів та інших споживачів.
13
Чим менша протяжність розподільної мережі та чим більш однорідне
навантаження, тим простішою може бути розрахункова модель [12].
Багатоелементні розрахункові моделі у розрахунках динамічної
стійкості енергосистем іноді застосовуються для великих підприємств, які
споживають потужність, співмірну з потужністю електростанцій.
У статичній розрахунковій моделі навантаження задається своїми
статичними характеристиками за напругою та частотою [7]:

Pн = F1(U , f );
 (1.1)
Qн = F2 (U , f ).

де Pн – активна потужність;
Qн – реактивна потужність;
U – напруга;
f – частота.
Основна область застосування такої моделі – розрахунки статичної
стійкості, оскільки статичні характеристики відображають залежності
навантаження від напруги та частоти при повільних змінах останніх.
У розрахунках динамічної стійкості навантаження також часто
описують статичними характеристиками. Це спрощує підготовку вихідних
даних, а самі статичні характеристики відомі краще, ніж будь-які інші
параметри навантаження.
Застосування виразів (1.1) у розрахунках перехідних процесів при
різких збуреннях призводить до помітних похибок, оскільки залежності
потужності від напруги в перехідному процесі відрізняються від
встановленого режиму. Так, при виникненні короткого замикання напруга
знижується практично миттєво; при цьому ковзання двигунів не встигає
змінитися. Якщо не враховувати електромагнітні перехідні процеси та вплив
насичення, то активну та реактивну потужності асинхронних двигунів при
ковзанні s = const можна вважати пропорційними квадрату напруги.
14
Протягом короткого замикання потужності змінюються внаслідок
зміни ковзання та напруги живлення, а відключенню короткого замикання
відповідає новий стрибок активної та реактивної потужності. Далі
відбувається процес самостійного запуску.
Описаний процес можна представити в координатах U, P та U, Q, де
кожній точці відповідають певні значення часу t та, у загальному випадку,
кутової частоти ω∗

Pн = F1(U ,ω*,t);
 (1.2)
Qн = F2 (U ,ω*,t).

де Pн – активна потужність;
Qн – реактивна потужність;
U – напруга;
ω* – кутова частота.
t – час.
Такі характеристики прийнято називати динамічними (термін
«динамічні характеристики навантаження» іноді поширюють і на
диференціальні рівняння двигунів). На відміну від статичних характеристик,
вони визначаються не лише параметрами навантаження, але й параметрами
схеми та режиму всієї енергосистеми [11].
Різниця між залежностями (1.1) та (1.2) характеризує похибку, що
виникає при використанні статичних характеристик (1.1) у розрахунках
динамічної стійкості.
Постійний опір (або провідність) можна розглядати як найпростіший
випадок статичних характеристик навантаження, коли активна та реактивна
потужності пропорційні квадрату напруги. Заміну навантажень постійними
опорами r+jx дозволяє значно спростити розрахунки, але пов’язана з
найбільшими похибками.

15
Наприклад, якщо в розрахунку, виконаному при постійних опорах,
асинхронного двигуна xk = xk 0 , rk′ = r2′0 , самозапуск виявляється неможливим,
тоді потрібно повторити розрахунок, підібравши такі значення xk та r2′ , щоб
отримати найкраще наближення характеристики асинхронного двигуна в
потрібному діапазоні s.
Способи спрощеного вибору вигляду розрахункових моделей для
вузлів навантаження застосовуються у тих випадках, коли навантаження не
має яскраво вираженої специфіки.
Спершу здійснюється вибір між комплексною розрахунковою
моделлю, яка враховує перехідні процеси в двигунах та статичною моделлю,
нелінійною (тобто статичними характеристиками навантаження) або
лінійною Zн = const, а потім визначається, чи потрібно враховувати
нелінійність статичної моделі [12].

1.2. Узагальнені характеристики навантаження

Розрахунки стійкості виконуються для складних енергосистем, що
містять десятки та сотні вузлів навантаження. Використовувати для таких
розрахунків конкретні характеристики кожного вузла, що входить до
розрахункової схеми, практично неможливо.
Складність визначення статичних характеристик навантаження для всіх
вузлів енергосистем зумовлює прагнення застосовувати для більшості вузлів
«типові» статичні характеристики або «узагальнені» характеристики. Такі
характеристики особливо необхідні при виконанні перспективних проєктних
розрахунків [14].
Вперше типові статичні характеристики навантаження були
запропоновані Д. І. Азарьовим у 1940-х роках. Учений систематизував
залежності моменту навантаження від частоти обертання виконавчих
механізмів та виділив характерні типи навантажень (вентиляторного,
16
kP,U , kQ,U для вузлів
електричної мережі з номінальною напругою 110 кВ. Однак у міру
накопичення експериментальних даних про статичні характеристики
навантаження виявилися значні відмінності реальних характеристик від
«типових», розрахованих для комплексної моделі навантаження, яка
виявилася адекватною, але не враховувала ряд факторів, які дійсні та суттєво
впливають на вигляд статичних характеристик, наприклад, при зміні
характеру навантаження [4, 11].
Результати експериментального визначення статичних характеристик
навантаження за напругою або лише її регулюючих ефектів, у разі якщо
діапазон зміни напруги ΔU у дослідах не перевищував 5–15 %, що описано в
багатьох наукових працях [4, 9, 11]. Проте використовувати всі ці дані без
спеціального аналізу для отримання «типових» характеристик неможливо.
Причини зазначених розбіжностей полягають у наступному:
1. Значна кількість експериментів була проведена для відносно малих
навантажень (потужністю в межах кількох мегават) або для обмежених
груп однотипних споживачів, переважно асинхронних двигунів.
Використання таких результатів для побудови узагальнених
характеристик є методологічно некоректним через обмежену
репрезентативність вибірки.
2. Склад навантаження та величина втрат у розподільній мережі істотно
залежать від режиму, у якому проводиться експеримент –
максимального або часткового навантаження. Тому під час
статистичної обробки експериментальних даних необхідно враховувати
17
режимні відмінності та не об’єднувати у спільну вибірку результати,
що належать до різних умов експлуатації.
3. Для коректного узагальнення характеристик Qн(U) необхідно знати
коефіцієнт потужності навантаження у нормальному режимі cosφн.
Відсутність цих даних унеможливлює використання результатів
відповідних експериментів, що зменшує загальний обсяг достовірної
інформації, придатної для подальшої аналітичної обробки [9].
Узагальнені статичні характеристики навантаження, отримані як
експериментальним, так і розрахунковим шляхом, демонструють помітні
відмінності, зумовлені різним складом електротехнічного обладнання у
споживачів. Зокрема, статичні характеристики хімічних виробництв суттєво
відрізняються від аналогічних характеристик металургійних підприємств.
Разом з тим, статичні характеристики великих комплексів споживачів
електроенергії мають спільні закономірності. Це пояснюється тим, що
переважну частку навантаження більшості промислових і комунальних
споживачів складають асинхронні електродвигуни та освітлення. Відповідно,
електромеханічні властивості зазначених споживачів визначають загальний
вигляд та характер узагальнених статичних характеристик навантаження
електричних мереж.
На рис. 1.2 наведено якісно узагальнені статичні характеристики вузла
навантаження електричної мережі відповідно за напругою та частотою біля
точки вихідного усталеного режиму, яким у більшості випадків вважається
режим при номінальних значеннях напруги та частоти. У загальному вигляді
ці характеристики можуть бути апроксимовані такими виразами [10]

P 2
*H = (apU*H + bpU*H + cp ) 1+ d p ( f* −1) , (1.3)
Q 2
*H = (aqU*H + bqU*H + cq ) 1+ dq ( f* −1) , (1.4)

18
де P PH
*H = , Q Q
= H , U U
= H
*H *H , f f
* = . Індекс «0» позначає параметри
PH 0 QH 0 UH 0 f0
вихідного усталеного режиму.

Рис. 1.2. Узагальнені статичні характеристики комплексного
навантаження

Значення коефіцієнтів a, b, c і d у виразах (1.3) та (1.4) залежать від
ступеня пологості статичних характеристик навантаження (СХН).
Розрізняють пологі, середні та круті характеристики. У випадку залежностей
активної потужності від напруги та частоти зазвичай приймають aₚ = 0, а
коефіцієнти bₚ, cₚ і dₚ для кожного ступеня пологості змінюються залежно від
наявності або відсутності у складі вузла навантаження великих промислових
підприємств. Для реактивної потужності коефіцієнти aq, bq, cq і dq
визначаються як ступенем пологості, так і значенням коефіцієнта потужності
вузла навантаження у період проходження його максимального
навантаження [4].
Діапазони зміни всіх цих коефіцієнтів є досить значними, тому як
приклад наведено їхні значення для характеристик середньої крутизни, що
відповідають наступному складу навантаження вузла (у відсотках від
сумарної активної потужності):
– великі асинхронні двигуни – 15 %;
– малі асинхронні двигуни – 35 %;
– великі синхронні двигуни – 9 %;
19
– перетворювачі та електропечі – 11 %;
– освітлення та побутова нагрузка – 22 %;
– втрати в мережах – 8 %.
Для такого складу навантаження середні значення коефіцієнтів для
активної потужності навантаження становлять:

bpcp = 0,9; cpcp = 0,1; d pcp =1.

У цьому випадку залежність (1.3) набуває вигляду:

Р*H = (0,9U*H + 0,1) f*, (1.5)

Залежність реактивної потужності навантаження на шинах 6–20 кВ
понижувальних підстанцій визначається головним чином співвідношенням
між активною та реактивною складовими повної потужності споживачів.
Характер зміни реактивної потужності значною мірою залежить від типу
приєднаних навантажень (асинхронні двигуни, печі, освітлювальні установки
тощо), а також від коефіцієнта потужності cosφн у нормальному режимі
роботи.
У загальному вигляді залежність реактивної потужності від напруги
може бути виражена [11]

 2
Q Q a b U   
= 0 q + q + c U d f − f
+ 0 ,

 U q U  q
0  0  f0 


де Q0 – реактивна потужність у вихідному усталеному режимі;
U – поточне значення напруги;
U0 – номінальне значення напруги;
f, f0 – поточна та номінальна частоти відповідно;
20
aq, bq, cq, dq – коефіцієнти, що залежать від складу та характеру
навантаження.
Для більшості промислових споживачів, під’єднаних до шин середньої
напруги (6–20 кВ), характер залежності Q(U) має «пологий» або «середній»
тип. Це пояснюється тим, що основну частину навантаження становлять
асинхронні електродвигуни, для яких реактивна потужність змінюється
незначно при коливаннях напруги в межах ±10 % від номінального значення.
Із (1.5) випливає, що узагальнені статичні характеристики активного
навантаження знаходяться в точці, яка відповідає номінальним значенням
напруги та частоти (Uном = Uн0, fном = f0), що є лінійними функціями
відповідних режимних параметрів і характеризуються середніми
регулюючими ефектами [11]

a ∂Pн
U = = b = 0.9, a ∂P
= H = d
ср ∂U рср fср ∂f рср =1.
н

Регулюючі ефекти узагальнених статичних характеристик реактивного
навантаження відповідно до (1.4) дорівнюють

b ∂Q
= н = 2a ∂Qн
U ∂U q + bq , bf = = dq.
н ∂f

Значення Ub, обчислене за середніми значеннями коефіцієнтів qa та qb
для навантажень, приведених до шин різних номінальних напруг, становить

bU = 2·13,5− 22,5 = 4,8;
cp (6--20)
bU = 2·11,4 −18,5 = 4,3;
cp (110)
bU = 2·9,6 −15,3 = 3,9.
cp ( 220)

21
Цим значенням відповідають кути нахилу дотичної до статичної
характеристики Q*н = f (U*н ) в точці з абсцисою Uном = Uн0 дорівнюють 78,2;
76,9 та 75,6 [2].

1.3. Можливості уточнення узагальнених характеристик
навантаження

Приведені в п. 1.2 узагальнені статичні характеристики навантаження
застосовуються для тих вузлів, де вимоги до точності їх врахування помірні.
Якщо розрахунки показують, що для деяких вузлів необхідно підвищити
точність розрахунків, можливі два підходи: проведення активних
експериментів або отримання характеристик розрахунковим методом.
Розрахунковий метод отримання статичних характеристик
навантаження за напругою та частотою не може повністю замінити натурний
експеримент. Особливо це стосується характеристик реактивного
навантаження через труднощі врахування насичення трансформаторів та
асинхронних двигунів, а також регулювання збудження синхронних
двигунів. Основна складність розрахункового визначення характеристик
навантаження полягає у отриманні вихідних даних, що для великих вузлів
навантаження, як правило, неможливо [1, 5].
Реальний шлях отримання конкретних характеристик за допомогою
розрахункового методу полягає в наступному: за основу приймається вихідна
схема та її параметри, які були використані для визначення узагальнених
характеристик; у ці дані вносяться уточнення, що відповідають конкретному
вузлу навантаження та його режиму, після чого виконується розрахунок
необхідних характеристик [1, 5].
Таким чином, для тих параметрів, які можуть бути визначені для
досліджуваного навантаження, застосовуються фактичні значення, а для
решти, отримати які неможливо, використовуються середні значення. У
22
підсумку отримані характеристики будуть тим точнішими, чим більша
кількість фактичних параметрів врахована в розрахунках.
Практика показує, що навіть для найбільших вузлів навантаження
реально отримати таку інформацію [17]:
1. Параметри нормального режиму – Pнорм, Qнорм.
2. Середні рівні напруги для споживачів напругою 6–10 кВ і 380 В,
а також номінальну напругу у вузлі навантаження Uнорм.
3. Кількість ступенів трансформації, наприклад, 110/10/0,4 або
110/35/0,4 кВ. Для вузлів навантаження, які живляться через триобмоткові
трансформатори (наприклад, 115/38,5/6,3 кВ), – відношення навантаження,
що живиться від шин 35 кВ, до повного навантаження вузла; коефіцієнти
завантаження за струмом основних трансформаторів, принаймні тих, що
встановлені безпосередньо у вузлі навантаження.
4. Середню протяжність живлячих ліній у розподільній мережі
навантаження.
5. Перелік найбільших промислових підприємств і споживану ними
потужність; сумарну номінальну потужність синхронних двигунів, які
працюють у нормальному режимі, наявність у них автоматичного
регулювання збудження; наявність споживачів, через яких склад
навантаження може суттєво відрізнятися від середнього, наприклад,
енергоємні електропечі або споживачі, що живляться випрямленою
напругою.
Цю інформацію можна використати для розрахунку схеми таким чином
[17]:
1. Значення Pнорм і Qнорм визначають базові величини для характеристик
навантаження. Крім того, за значенням Qнорм уточняється розрахункова
модель відповідно до двокомпонентного представлення навантаження.
Це необхідно через те, що розрахункове значення реактивної
потужності у вузлі навантаження Q′норм, як правило, не збігається з його
фактичним значенням Qнорм. Таку розрахункову модель слід доповнити
23
шунтом сталої провідності, який дає змогу врахувати розбіжність між
розрахунковим і фактичним значеннями реактивної потужності та,
відповідно, підвищити точність моделювання навантаження ±jxш на
шинах балансуючого вузла, щоб виконувалася рівність Q′норм ± Qш =
Qнорм.
2. Фактичні (середні) напруги в нормальному режимі у вузлах
розглядаємої схеми дають змогу розрахувати та коректно врахувати
коефіцієнти трансформації трансформаторів.
3. Якщо кількість основних ступенів трансформації в реальній схемі
збігається з кількістю в розрахунковій, то дані про трансформатори
потрібні лише для уточнення номінальних потужностей еквівалентних
трансформаторів. Якщо вихідна схема містить n послідовних
двообмоткових трансформаторів, наприклад 330/220, 220/110 кВ, через
які проходить практично вся потужність, їх можна привести до одного
еквівалентного трансформатора.
4. Оцінки середніх протяжностей живлячих ліній дозволяють задавати
опори ліній у розрахунковій схемі Z1 і Z2. Використання середніх
оцінок допустиме, якщо втрати напруги в радіальних лініях
розподільчої мережі близькі між собою. В іншому випадку необхідно
розраховувати більш детальну схему.
5. Відомості про основні промислові підприємства необхідні для
уточнення характеру навантаження. Особливо важливо правильно
врахувати сумарну потужність працюючих синхронних двигунів. У
навантаженні великих підприємств слід враховувати синхронні
двигуни, асинхронні двигуни напругою 6…10 кВ, асинхронні двигуни
низької напруги, а також усіх інших споживачів, якщо їхня потужність
є великою. Статичні характеристики останніх можуть бути взяті або з
відкритих джерел інформації або за результатами спеціальних
експериментів, які зазвичай нескладно виконати для невеликих груп
споживачів, якщо в цьому є необхідність.
24
Робота деяких статичних споживачів суттєво залежить від темпу зміни
напруги, оскільки досить часто застосовуються повільнодіючі системи
регулювання їхнього режиму. Тому, задаючи характеристики таких
споживачів, необхідно враховувати мету проведених розрахунків.
Наприклад, робота термічних печей може регулюватися зміною глибини
занурення електрода в розплавленням із підтриманням постійності струму.
Для такого споживача залежність споживаної потужності від напруги
визначається не миттєвими змінами напруги в мережі, а динамікою роботи
системи регулювання. Тому при короткочасних коливаннях напруги
споживана потужність залишається майже незмінною, тоді як при повільних
змінах напруги вона змінюється відповідно до статичної характеристики
споживача kPU= kQU = 2, якщо розглядається процес, що триває кілька хвилин
або відбувається з ще більшою швидкістю, регулювання режиму такого
споживача можна не враховувати. Проте за повільної зміни умов живлення
kPU= kQU = 1, необхідно враховувати роботу систем автоматичного
регулювання, які забезпечують підтримку необхідних параметрів
технологічного процесу та відповідно змінюють форму статичних
характеристик навантаження [21].
Точність розподілу двигунів між шинами не має істотного впливу на
форму статичних характеристик, але помітно впливає на величину напруги.
Побутове навантаження доцільно розглядати як таке, що містить переважно
статичних споживачів Zст= const, а також асинхронні двигуни низької
напруги (переважно системи водопостачання та каналізації). Якщо до складу
комунально-побутового навантаження входять також невеликі підприємства,
для яких відсутні точні дані щодо структури споживачів, частку двигунів у
такому навантаженні доцільно збільшити на 10…15%.
На практиці, залежно від конкретних умов, може бути можливим
уточнення й інших параметрів розрахункової схеми [17].
Науковці багатьох наукових установ, а також інженери-
електроенергетики, визнають важливість точного моделювання
25
навантаження для дослідження енергосистем. Проте досі широко
застосовується типовий підхід для представлення статичних навантажень за
допомогою повних опорів, струмів або незмінних потужностей. Останнє
систематичне оновлення моделей навантаження відбулося в середині 1990-х
років, коли відбулися суттєві зміни у структурі, типу та складі навантажень в
електричних мережах [15].
Протягом останніх років спостерігається зростання інтересу до
моделювання навантаження, що пов’язано з появою нових типів споживачів,
які характеризуються підвищеною енергоефективністю та керованістю. Різні
типи сучасних нелінійних силових електронних навантажень на
сьогоднішній день становлять значну частку загального споживання
електроенергії практично в усіх секторах промисловості [14].

1.4. Методи отримання статичних навантажень

1.4.1. Метод активного експерименту

Метод активного експерименту базується на безпосередньому впливі
на об’єкт дослідження з метою отримання його реакцій на керовані зміни
вхідних параметрів. У застосуванні до задач моделювання навантажень
енергосистем цей метод полягає в цілеспрямованій зміні напруги та частоти в
вузлах навантаження та подальшому вимірюванні змін активної та
реактивної потужності [1, 5].
При знятті статичних характеристик навантаження за напругою вузол
навантаження повинен мати одностороннє живлення. Якщо живлення
здійснюється через декілька ліній електропередач або через декілька
трансформаторів, що працюють паралельно, то для визначення величин Pн та
Qн береться сума відповідних струмів [1, 5].
26
Зміна напруги в досить вузькому діапазоні (до ±10%) практично
безпечна для споживачів і може бути допущена (за технічної можливості) для
будь-якого вузла навантаження. Зниження напруги у більш широких межах
[0,7÷0,8]Uном може призвести до порушення електропостачання, тому
необхідно передбачити заходи для відновлення нормальної роботи
споживачів:
• швидке підвищення напруги у вузлі,
• включення паралельних ліній,
• несинхронне підключення виділеної для випробування частини
енергосистеми до основної її частини.
Для зняття статичних характеристик за напругою зміну напруги у вузлі
навантаження можна здійснювати двома способами [4]:
1. У нормальній схемі енергосистеми – перемиканням під навантаженням
відгалужень обмоток понижуючих трансформаторів (РПН). Напруга на
стороні низької напруги (6…10 кВ) трансформаторів змінюється в
межах 15…20%.
2. У виділеному від решти енергосистеми випробуваному вузлі
навантаження з кількома генераторами (або електростанцією в цілому)
– регулюванням збудження виділених генераторів. У цьому випадку
напруга при вузлі змінюється за керованим законом для отримання
необхідних значень Pн та Qн.
У обох способах зміна напруги відбувається ступенями по 1…2%; на
кожній ступені проводяться вимірювання напруг, потужностей та струмів,
що фіксуються через 1…2 хвилини після зміни режиму. Дослід починається
при нормальній робочій напрузі U0, потім напруга піднімається ступенями до
максимально можливого (або допустимого) значення, після чого знижується:
• у першому способі - до мінімального у межах наявного діапазону
регулювання;
• у другому – до (0,6÷0,8)Uном – до появи напруги при якій починається
саморозвантаження споживачів.
27
У навантажень, що живляться через трансформатори, оснащені
пристроями автоматичного регулювання напруги (АРНТ), напруга на шинах
споживачів підтримується майже незмінною, поки не вичерпається діапазон
регулювання АРНТ. У разі наявності АРНТ заміри доцільно проводити двічі
після кожної зміни живлячої напруги [17]:
1. Негайно після зміни напруги, до того як відбулося перемикання
відгалужень автоматично регульованих трансформаторів; при цьому
визначаються статичні характеристики навантаження та його
регулюючі ефекти за напругою без урахування дії АРНТ.
2. Через 2…2,5 хвилини, тобто після проміжку часу, більшого за
витримку АРНТ; при цьому виявляються характеристики та регулюючі
ефекти навантаження з урахуванням дії АРНТ.
Вимірювання зазвичай проводять таким чином, щоб при впливі на одну
систему управління режимом живлення навантаження (виділені генератори,
РПН трансформаторів) отримати максимально можливу кількість
характеристик як для навантаження в цілому, так і для його основних частин.
Оскільки в даній роботі статичні характеристики навантаження були
отримані під час зміни відпайок РПН трансформатора, розглянемо приклад,
представлений на рисунку 1.3. На цій схемі показано енергосистему з двома
джерелами – ТЕС (330 кВ) і ГЕС, а також двома вузлами споживання –
підстанціями А і Б. На підстанції А встановлені автотрансформатори з РПН,
які здійснюють регулювання напруги в межах ±16% (типове значення)
шляхом зміни відпайок обмоток. Саме ці трансформатори впливають на
навантаження 110 кВ шин, а отже і на статичні характеристики системи [1].
Зміна відпайки РПН змінює коефіцієнт трансформації, тобто фактично
– напругу на шині навантаження.
При зміні відпайки РПН на трансформаторі між 330 кВ і 110 кВ:
• збільшується або зменшується вихідна напруга 110 кВ шин;
• змінюється струм і потужність, що споживається навантаженням;
• змінюється розподіл навантаження між ТЕС і ГЕС.
28
На ділянці шин 110 кВ (права частина схеми) [5]:
• спостерігається зміна векторів напруги й струму;
• це дозволяє експериментально побудувати статичну характеристику
навантаження.
На підстанції Б можна також фіксувати реакцію локальних
навантажень на зміну напруги.

Рис. 1.3. Схема вимірювань в одному з активних експериментів для
великого вузла навантаження
29
Процедура проведення експерименту [5]:
1. Фіксується початковий режим (U₀, P₀, Q₀).
2. Покроково змінюються відпайки РПН (наприклад, ±2%, ±4%, …).
3. Для кожного положення вимірюють U, P, Q.
4. Будують графіки:
o P(U) – активна характеристика навантаження (рис. 1.4, в і г);
o Q(U) – реактивна характеристика (рис. 1.4, а і б).
5. За експериментальними точками визначають коефіцієнти αp і αq.
Важливу роль відіграє незмінність складу навантаження та режиму
роботи споживачів під час проведення експерименту. Якщо «власні»
коливання навантаження (вмикання чи вимикання окремих споживачів)
співмірні зі змінами, викликаними примусовою зміною напруги, то похибки
експерименту різко зростають.
На рис. 1.4, а представлені дані вимірювань для порівняно стабільного
навантаження. У цьому випадку отримати характеристику нескладно –
розкидання точок невелике, яке спричинене незначними флуктуаціями
навантаження та похибками вимірювань.
Якщо під час експерименту навантаження через деякі причини
збільшувалося або зменшувалося (так званий «дрейф» навантаження, рис.
1.4, б), то визначити істинну характеристику складніше, але в більшості
випадків можливо. Для цього потрібно уважно проаналізувати отримані
точки з урахуванням їх послідовності та інтервалів часу між вимірюваннями:
чим більший інтервал, тим більш імовірна поява дрейфу. У таких випадках
формальне застосування методу найменших квадратів є недопустимим.
Інший тип змін навантаження спостерігається у випадках, коли в
системі присутня тягова підстанція – тоді результати мають лише
наближений характер (рис. 1.4, в), а іноді, при малому діапазоні зміни
напруги, експеримент узагалі може бути невдалим (рис. 1.4, г).
З наведених прикладів (рис. 1.4) видно, що необхідний діапазон зміни
напруги (ΔU) для достовірного визначення ділянки статичної характеристики
30
може суттєво відрізнятися в різних умовах. Зазвичай при ΔU < 10 % можна
визначити лише регулювальні ефекти [5].

Рис. 1.4. Результати активних експериментів: а – дрейф навантаження
відсутній; б – значний дрейф на початку експерименту; в – навантаження
містить суттєву різкозмінну складову; г – розкидання даних вимірювань для
навантаження, що містить тягову підстанцію [5]

31
1.4.2. Метод пасивного експерименту

Метод пасивного експерименту є одним із найпоширеніших способів
визначення статичних характеристик електричних навантажень у реальних
умовах експлуатації енергосистеми. Його суть полягає у спостереженні за
природними змінами режимних параметрів (напруги, частоти, активної та
реактивної потужностей) без штучного впливу на об’єкт дослідження [13].
На відміну від активного експерименту, при якому зміни напруги або
частоти виникають під час регулювання трансформаторів, збудження
генераторів тощо, пасивний експеримент базується на аналізі природних
коливань цих величин, що виникають у нормальних умовах роботи
енергосистеми.
Такі зміни відбуваються постійно внаслідок [13]:
- добових і сезонних коливань навантаження;
- зміни температури навколишнього середовища;
- нерівномірності споживання електроенергії побутовими,
комунальними та промисловими споживачами;
- роботи систем автоматичного регулювання напруги (АРНТ);
- короткочасних змін режимів або незначних аварійних відхилень у
мережі.
Спостереження за режимами дозволяють отримати велику кількість
точок вимірювань (Uᵢ, Pᵢ, Qᵢ), які далі обробляються статистичними методами
з метою побудови узагальнених залежностей [3]

P = f(U, f), Q = g(U, f)

де P – активна потужність,
Q – реактивна потужність,
U – напруга,
f – частота.
32
Організація пасивного експерименту [11]
Для проведення пасивного експерименту виконується тривалий
моніторинг параметрів електричних мереж у досліджуваному вузлі.
Рекомендується [11]:
- вести безперервні вимірювання напруги, струму, активної та
реактивної потужностей протягом декількох діб або тижнів із дискретністю
не менше ніж 1 хвилина;
- виконувати вимірювання у різні пори доби (нічні мінімуми, денні піки
навантаження, перехідні періоди);
- фіксувати параметри температури, вологості та інших зовнішніх умов,
якщо вони можуть впливати на характер споживання.
Для достовірності результатів необхідно забезпечити:
1. стабільність вимірювальних приладів та їх калібрування;
2. синхронність вимірювань у різних точках схеми;
3. мінімізацію впливу сторонніх подій (ремонтів, аварій, перемикань).
Обробка та аналіз результатів
Після збору достатнього масиву експериментальних даних виконується
їх статистична обробка.
Основні етапи:
1. Попереднє очищення даних – видалення аномальних значень,
спричинених короткочасними порушеннями режиму.
2. Групування даних за інтервалами напруги (наприклад, через 1% від
номінального значення).
3. Розрахунок середніх значень активної та реактивної потужностей для
кожного інтервалу.
4. Побудова залежностей P(U) і Q(U) та визначення коефіцієнтів
апроксимації (метод найменших квадратів).
5. Оцінка достовірності результатів – визначення похибок, дисперсій і
коефіцієнтів кореляції.

33
Отримані залежності дозволяють визначити регулюючі ефекти
навантаження, тобто ступінь його реакції на зміни напруги або частоти.
Переваги методу пасивного експерименту:
1. Безпека – не потребує втручання в роботу енергосистеми.
2. Реалістичність – результати відображають фактичну поведінку
навантаження.
3. Масовість – можливість одночасного збору даних із багатьох вузлів.
4. Відносна дешевизна – не потребує спеціальних випробувань.
Недоліки методу:
1. Знижена точність через вплив численних факторів.
2. Складність виділення окремих впливів.
3. Потреба у великих масивах даних.
4. Обмежена застосовність для швидкоплинних процесів.
Таким чином, метод пасивного експерименту є ефективним
інструментом для отримання узагальнених статичних характеристик
навантаження в енергосистемах, особливо коли проведення активних
експериментів неможливе з технічних чи економічних причин.

1.4.3. Розрахунковий метод отримання статичних характеристик
навантаження

Розрахунковий метод отримання статичних характеристик
навантаження ґрунтується на використанні математичних моделей окремих
елементів вузла навантаження, що дає змогу визначати залежності активної
та реактивної потужності від параметрів живлення (напруги та частоти) без
проведення фізичних експериментів [4, 14]. Такий підхід забезпечує
можливість аналітичного або чисельного дослідження поведінки
електричних систем у сталих режимах роботи.

34
Суть методу. Основна ідея розрахункового методу полягає в
заміщенні реального навантаження його еквівалентною математичною
моделлю, яка описує електричні, магнітні та теплові процеси у відповідних
елементах. У цій моделі кожен елемент (резистивний, індуктивний, ємнісний,
електромеханічний тощо) представлений системою рівнянь, що
встановлюють функціональні залежності між напругою, струмом,
потужністю та частотою [14]

I=f(U, f, параметри елемента),
P=U⋅I⋅cosφ, Q=U⋅I⋅sinφ.

Таким чином, статична характеристика навантаження описує зміну
активної P та реактивної Q потужності в залежності від напруги живлення U
і частоти f

P=fP(U, f),Q=fQ(U,f).

Етапи розрахунку статичних характеристик [14]
1. Побудова математичної моделі. На першому етапі формується
структурна схема навантаження та вибираються типи елементів, які його
утворюють. Для кожного елемента задаються номінальні параметри:
• активний опір R;
• індуктивність L;
• ємність C;
• електромеханічні або нелінійні коефіцієнти, якщо такі наявні.
На основі цих параметрів записуються рівняння електричних процесів:
• для резистивного елемента;
• для індуктивного;
• для ємнісного;
35
• для комбінованих кіл – система рівнянь за законами Кірхгофа або
еквівалентна схема заміщення.
2. Визначення струмів та потужностей. Далі розраховується струм для
кожного елемента та його потужності:

Pi=Ui∙Ii∙cosφi, Qi=Ui∙Ii∙sinφi.

Сумарні активна та реактивна потужності навантаження визначаються
як:

P=∑Pi, Q=∑Qi.

Ці величини обчислюються для кожного значення напруги та частоти в
заданому діапазоні.
3. Побудова характеристик. Отримані розрахункові дані дозволяють
побудувати статичні характеристики навантаження:
• P=f(U) – залежність активної потужності від напруги;
• Q=f(U) – залежність реактивної потужності від напруги;
• P=f(f), Q =f(f) – залежності від частоти.
Як правило, ці залежності мають нелінійний характер, особливо у
випадках, коли елементи навантаження мають магнітне насичення,
температурну залежність параметрів або містять електронні компоненти.
Аналіз результатів. На завершальному етапі проводиться аналіз
отриманих характеристик:
• визначаються діапазони стабільної роботи навантаження;
• оцінюється коефіцієнт потужності;
• виконується порівняння з експериментальними або довідковими
даними;
• при необхідності уточнюються параметри моделі для підвищення
точності.
36
Переваги розрахункового методу
• Безконтактність – не потребує фізичного експерименту, тому може
застосовуватись на етапі проєктування.
• Гнучкість – дозволяє моделювати роботу системи при будь-яких
умовах (зміна напруги, частоти, параметрів елементів).
• Точність – при правильному виборі моделей дає високу відповідність
експериментальним даним.
• Економічність – значно зменшує витрати часу і ресурсів на
дослідження.
Сфера застосування. Розрахунковий метод використовується для:
• аналізу електричних мереж і систем живлення;
• дослідження характеристик електродвигунів, трансформаторів,
реакторів;
• моделювання нелінійних або комбінованих навантажень у системах
автоматичного керування;
• прогнозування енергетичних показників при зміні режимів роботи.

Рис. 1.5. Залежності Р та Q від напруги від частоти на основі
розрахункового методу для типового R–L навантаження
37
Приклад отриманих графіків залежностей Р та Q як від напруги, так і
від частоти на основі розрахункового методу для типового R–L навантаження
представлено на рис. 1.5.
Параметри прикладу:
• R=10 Ом;
• L= 50 мГн;
• Діапазони: U ∈ [100,240] В, f ∈ [20,400] Гц.
Інтерпретація результатів.
При фіксованій частоті P і Q зростають квадратично з напругою (через
залежність U2 в чисельнику), тобто криві P(U) і Q(U) мають вигляд, близький
до параболічного (на графіку видно майже лінійне зростання у вибраному
інтервалі через масштаб).
При фіксованій напрузі збільшення частоти збільшує реактивний опір,
тому повний опір зростає. Як результат, струм падає, і отже P (яка
пропорційна I2R) зменшується з ростом f. Реактивна потужність Q теж спадає
при дуже високих частотах (через зростання знаменника R2+(ωL)2, але на
невеликих частотах Q може бути більшим – це видно на кривих (рис 1.5).

1.5. Висновки до розділу 1

У першому розділі проведено детальний аналіз статичних
характеристик навантаження та методів їх визначення, що є ключовим
етапом при дослідженні електроенергетичних систем та їх сталих режимів.
1. Обґрунтовано доцільність застосування розрахункового методу
для визначення характеристик активної та реактивної потужності, що
дозволяє уникнути трудомістких експериментальних досліджень та
забезпечує можливість моделювання різних режимів роботи.
2. Проаналізовано математичні моделі елементів навантаження
(резистивних, індуктивних, ємнісних, комбінованих), які забезпечують опис
залежностей P=f(U, f) та Q=f(U, f). Ці моделі можуть бути використані як
38
основа для чисельного розрахунку та автоматизованого аналізу енергетичних
процесів.
3. Проаналізовано особливості нелінійних навантажень, включно з
матеріальними та магнітними нелінійностями, впливом температури,
насичення споживачів. Показано, що у таких випадках звичайні лінійні
моделі не забезпечують достатньої точності, тому необхідне застосування
ітераційних та адаптивних алгоритмів.
4. Зроблено висновок, що розрахунковий підхід у поєднанні з
сучасними чисельними методами забезпечує високу точність,
універсальність і можливість застосування для широкого спектра
електротехнічних систем, включно з нелінійними та комбінованими
навантаженнями.

39
РОЗДІЛ 2
ПРОВЕДЕННЯ МОДЕЛЬНИХ ЕКСПЕРИМЕНТІВ

У сучасній науці комп’ютерне моделювання є одним із найважливіших
та найефективніших методів дослідження складних процесів і систем. Воно
дозволяє вивчати об’єкти, які важко або неможливо дослідити
експериментальним шляхом через їхню складність, високу вартість чи
небезпеку проведення реальних експериментів.
Сутність комп’ютерного моделювання полягає у створенні
математичної або логічної моделі об’єкта, яку реалізують за допомогою
програмних засобів. Отримана модель дозволяє досліджувати поведінку
системи в різних умовах, прогнозувати результати змін параметрів та
оптимізувати процеси.
Завдяки сучасним обчислювальним технологіям комп’ютерне
моделювання забезпечує високу точність, швидкість обробки даних та
можливість багаторазового повторення експериментів без значних
матеріальних витрат. Це робить його незамінним інструментом у таких
галузях, як машинобудування, енергетика, біологія, екологія, економіка та
інші сфери науки і техніки.
Використання комп’ютерного моделювання сприяє глибшому
розумінню фізичних, хімічних, біологічних і технічних процесів, що, у свою
чергу, підвищує ефективність наукових досліджень. Воно дозволяє
поєднувати теоретичні знання з практичними експериментами, мінімізуючи
ризики та витрати.
Отже, комп’ютерне моделювання є важливим і перспективним методом
наукового пізнання, який відкриває нові можливості для аналізу,
прогнозування та оптимізації складних систем і процесів [5, 12].
Етапи проведення модельного експерименту [5, 12].
1. Постановка проблеми та формулювання мети. На початковому
етапі визначаються об’єкт і предмет дослідження, а також конкретні
40
завдання, які планується вирішити за допомогою моделювання.
Формулюється мета експерименту та критерії оцінки результатів.
2. Розробка моделі. Створюється математична, логічна або
комп’ютерна модель об’єкта чи процесу. На цьому етапі визначаються
основні параметри та взаємозв’язки, що описують систему, і формується
структура моделі.
3. Верифікація та валідація моделі. Перевіряється правильність
побудованої моделі. Верифікація полягає у перевірці того, що модель
реалізована коректно, а валідація – у перевірці відповідності моделі
реальному об’єкту чи процесу.
4. Планування експерименту. Визначаються сценарії моделювання,
змінні, які підлягають дослідженню, та порядок проведення експериментів.
Також встановлюються критерії оцінки результатів та параметри контролю.
5. Проведення модельного експерименту. Виконується серія
експериментів на моделі за різними сценаріями та умовами. Результати
фіксуються для подальшого аналізу.
6. Аналіз результатів. Отримані дані обробляються та аналізуються.
Порівнюються результати експерименту з очікуваними показниками,
визначаються закономірності, тенденції та взаємозв’язки між параметрами.
7. Інтерпретація та висновки. На основі аналізу результатів
формулюються висновки щодо поведінки системи, ефективності
запропонованих рішень та рекомендації для практичного застосування. При
необхідності модель уточнюється та експеримент повторюється.

2.1. Розробка Simulink-моделей для отримання статичних
характеристик навантажень

Комп’ютерні моделі, які розроблені у цьому підрозділі являють собою
цифрову репрезентацію системи електропостачання [12], що дозволяє
аналізувати її роботу, прогнозувати поведінку під різними навантаженнями
41
та оптимізувати параметри без проведення реальних експериментів.
Використання розроблених комп’ютерних моделей забезпечить можливість
дослідження різних режимів роботи системи, оцінити ефективність її роботи
при зміні навантажень.
У цьому підрозділі для розробки комп’ютерних моделей використовую
MATLAB Simulink, що є потужним програмним середовищем для
моделювання, імітаційного експерименту та аналізу динамічних систем.
Воно являє собою графічний інтерфейс до MATLAB, що дозволяє будувати
моделі систем за допомогою блок-схем, де кожен блок відповідає певному
елементу або процесу системи [8, 26].
Simulink широко застосовується для моделювання систем управління,
електроспоживання, механічних, гідравлічних та інших динамічних процесів.
Його перевага полягає у можливості швидко створювати моделі, інтегрувати
їх з MATLAB для обробки даних, а також проводити чисельне моделювання
та аналіз у реальному часі.
На рис. 2.1 представлена розроблена Simulink-модель, яка
використовуються для проведення експериментів зі зняття статичних
характеристик різних типів навантажень по напрузі. Ця схема дозволяє
досліджувати залежність параметрів системи від зміни та характеру
навантаження та отримати необхідні дані для аналізу.

Рис. 2.1. Simulink-модель для зняття статичних характеристик
навантажень
42
Опис елементів моделі [6]
1. Three-Phase Source
Призначення: генерує трифазну напругу (L1, L2, L3, N).
Параметри:
− Line-to-line voltage: 380 В,
− Frequency: 50 Гц,
− Phase sequence: ABC.
Бібліотека: Simscape → Electrical → Specialized Power Systems →
Sources
2. Three-Phase Breaker (A2).
Призначення: моделює ввімкнення/вимкнення трифазного кола.
Керується: сигналом від блоку Step (логічний сигнал 0/1).
Початково: розімкнений, замикається в момент t = 0.1 с.
Бібліотека: Elements.
3. Power Measurement (P1).
Призначення: вимірює активну (W) і реактивну (var) потужність у
трифазному колі.
Виходи:
− Active power (W),
− Reactive power (var).
Бібліотека: Measurements.
4. Voltage & Current Measurement (P2).
Призначення: одночасно вимірює фазні напруги й струми.
Використовується для: підключення осцилографа (Scope).
Бібліотека: Measurements → Three-Phase V-I Measurement
5. Three-Phase Series RLC Load (A1)
Призначення: основне навантаження лінії (активно-індуктивне).
Параметри:
− R = 10 Ω,
− L = 0.1 H,
43
− З’єднання: Y (star).
Бібліотека: Elements
6. Lamps (A3).
Призначення: імітація ламп-індикаторів, підключених паралельно до
навантаження.
Модель: Three-Phase Parallel RLC Load з великим опором (≈ 1000 Ω).
Бібліотека: Elements.
7. Step.
Призначення: генерує сигнал керування для вимикача.
Параметри:
− Step time = 0.1 с,
− Initial value = 0,
− Final value = 1.
Бібліотека: Simulink → Sources.
8. Scope
Призначення: відображає часові залежності напруги, струму та
потужності.
Підключення: до виходів блоків Power Measurement та Voltage
Measurement.
Бібліотека: Simulink → Sinks.
На рис. 2.2 представлена Simulink-модель для зняття статичних
характеристик асинхронного навантаження.
1. Блок Three-Phase Source з бібліотеки Simscape > Electrical >
Specialized Power Systems > Sources. Формує симетричну трифазну напругу
(наприклад, 380 В, 50 Гц). Є джерелом живлення для асинхронної машини.
2. Power Measurement (W / var) – блок ватметра і варметра. Вимірює
активну та реактивну потужність у трифазному колі. У Simulink – це блок
Three-Phase Power Measurement, який дозволяє під’єднати вимірювачі
напруги та струму.
44

Рис. 2.2. Simulink-модель для зняття статичних характеристик
асинхронного навантаження

3. Asynchronous Machine – це асинхронний двигун. Блок Asynchronous
Machine SI Units із бібліотеки Simscape > Electrical > Machines.
Підключається до трифазного джерела живлення та має механічний вал, який
з’єднується з валом машини постійного струму (G/M). У режимі генератора
може виробляти електроенергію, у режимі двигуна – споживати її.
Технічні характеристики [24]:
− потужність: 120 Вт,
− напруга живлення: 220/380 В,
− коефіцієнт потужності: cosφ = 0,7,
− частота обертання: 1360 об/хв.
4. Scope (осцилограф). Використовується для візуалізації напруги,
струму або потужності. У Simulink – це стандартний блок Scope. Показує,
наприклад, форму струму або зміну крутного моменту з часом.
5. DC Motor / Generator (G/M). Може працювати як генератор
збудження або як керований двигун, який задає швидкість асинхронній
машині. Реалізується блоком DC Machine або DC Motor у Simulink.
• Має два кола:
o A – коло якоря,
45
o E – коло збудження.
Технічні характеристики:
− потужність: 90 Вт,
− напруга живлення: 220 В,
− струм якоря: 0,56 А,
− обмотка збудження: 2 × 110 В, 0,25 А.
6. Блок Step (із бібліотеки Sources).Створює зміну напруги або струму в
певний момент часу (наприклад, для запуску DC-машини після 0.1 с).
Відповідає процесу увімкнення стенду або зміни режиму роботи.
7. Механічне з’єднання. Вал асинхронної машини і DC-машини
з’єднані між собою. Це механічне з’єднання передає момент і швидкість. У
Simulink з’єднується через порти m (mechanical rotational) обох машин.
8. Другий ватметр (W / var) – вимірює потужність у колі збудження або
навантаження DC-машини. Дозволяє аналізувати енергетичні процеси між
обома машинами.
За схемами, наведеними на рис. 2.1–2.2, були проведені модельні
експерименти.
Під час планування експерименту враховувався регулювальний
діапазон та величина зміни напруги при переході з однієї ступені
регулювання трансформатора на іншу.
Експеримент поділяється на чотири етапи:
1. Перший етап – за допомогою блоку Three-Phase Source (перемикання
РПН регулювального трансформатора) встановлювалася напруга, що
дорівнює номінальному значенню Uном.
2. Другий етап – напруга послідовно підвищується від Uном до
максимального значення Umax із кроком 2,3 % від номінальної напруги
Uном.
3. Третій етап – за допомогою блоку Three-Phase Source напруга
послідовно знижується від Umax до мінімального значення Umin також із
кроком 2,3 % від Uном.
46
4. Четвертий етап – напруга знову послідовно підвищується від Umin до
Uном із тим самим кроком 2,3 %.
Процес зміни напруги умовно проілюстрований на рис. 2.3.

Рис. 2.3. Процес зміни напруги

На кожному етапі фіксуються значення напруги, трифазної активної (P)
та реактивної (Q) потужностей для одних і тих самих ступенів при зміні
напруги за схемою: Uном → Umax → Umin → Uном.
Тривалість роботи на кожній ступені з постійною напругою повинна
становити не менше 2 хвилин.
Схему вимірювань необхідно складати таким чином, щоб забезпечити
реєстрацію напруги в точці живлення, а також результуючих значень
трифазних активної (P) та реактивної (Q) потужностей.

47
2.2. Проведення модельних експериментів отримання статичних
характеристик навантажень

На рис. 2.4. представлені отримані за допомогою розробленої Simulink-
моделі (рис. 2.1) статичні характеристики для активно-індуктивне
навантаження.

Рис. 2.4. Результати отримання статичних характеристик для активно-
індуктивне навантаження

48
На рис. 2.5. представлені отримані за допомогою розробленої Simulink-
моделі (рис. 2.1) статичні характеристики для суто індуктивного
навантаження.

Рис. 2.5. Результати отримання статичних характеристик для суто
індуктивного навантаження

49
На рис. 2.6. представлені отримані за допомогою розробленої Simulink-
моделі (рис. 2.1) статичні характеристики для ємнісного навантаження.

Рис. 2.6. Результати отримання статичних характеристик для ємнісного
навантаження

На рис. 2.7. представлені отримані за допомогою розробленої Simulink-
моделі (рис. 2.1) статичні характеристики для освітлювального
навантаження.

50

Рис. 2.7. Результати отримання статичних характеристик для
освітлювального навантаження

Отримані дані описують суто активне навантаження, оскільки
реактивна потужність Q=0 у всіх точках. Це означає, що вся споживана
енергія перетворюється на корисну роботу (тепло, механічну енергію тощо),
без реактивних обмінів з мережею.
Графік показує, що активна потужність зростає пропорційно напрузі,
що характерно для активних резистивних споживачів (нагрівальні елементи,
лампи розжарювання тощо).

51
На рис. 2.8. представлені отримані за допомогою розробленої Simulink-
моделі (рис. 2.1) статичні характеристики для активно-індуктивного
навантаження.

Рис. 2.8. Результати отримання статичних характеристик для активно-
індуктивного навантаження

Цей набір даних відповідає переважно активному навантаженню з
невеликою індуктивною складовою, оскільки реактивна потужність
Q=375 вар позитивна та значно менша за активну P.
Такі характеристики типові, наприклад, для електродвигунів або
побутових приладів, де є обмотки індуктивного типу.
Q>0⇒ навантаження має індуктивний характер.
52
Q≪P ⇒ індуктивна складова незначна, коефіцієнт потужності близький
до 1 (≈0.997). Графіки (рис. 2.8) покажуть лінійну залежність потужності від
напруги, характерну для стабільного активного навантаження з постійною
фазовою складовою.
На рис. 2.9. представлені отримані за допомогою розробленої Simulink-
моделі (рис. 2.1) статичні характеристики для дросельного навантаження
випрямлячів.

Рис. 2.9. Результати отримання статичних характеристик для
випрямного дросельного навантаження

Отримані дані відповідають індуктивному навантаженню з помітною
реактивною складовою, що є характерним саме для випрямлячів із
дросельним фільтром або трансформаторним входом.
53
При дослідженні навантаження випрямлячів спостерігається зростання
як активної, так і реактивної потужності зі збільшенням напруги живлення.
При цьому реактивна складова є суттєвою (Q ≈ Р), що вказує на індуктивний
характер споживання струму. Коефіцієнт потужності знаходиться в межах
0,70–0,85, що відповідає випрямлячам із згладжувальними дроселями або
індуктивними елементами. Таке навантаження викликає зсув фаз між
струмом і напругою, збільшує втрати в системі електропостачання і потребує
компенсації реактивної потужності для покращення енергетичних
показників.
На рис. 2.10. представлені отримані за допомогою розробленої
Simulink-моделі (рис. 2.1) статичні характеристики для ємнісного
навантаження випрямлячів.

Рис. 2.10. Результати отримання статичних характеристик для ємнісного
навантаження випрямлячів
54
Реактивна потужність від’ємна (Q<0) → навантаження ємнісне,
характерне для випрямлячів з конденсаторними фільтрами. Активна
потужність P поступово зростає зі збільшенням напруги.
Повна потужність S визначається через S2=P2+Q2 і трохи більша за
активну. Коефіцієнт потужності нижче 1 (0.7…0.85), що відповідає фазовому
зсуву між напругою та струмом через ємнісну складову. Таке навантаження
формує імпульсні струми, високі гармоніки та потребує уваги при
проєктуванні системи живлення та компенсації реактивної потужності.
На рис. 2.11. представлені отримані за допомогою розробленої
Simulink-моделі (рис. 2.1) статичні характеристики для індуктивного
навантаження з дуже великою реактивною складовою.

Рис. 2.11. Результати отримання статичних характеристик для
індуктивного навантаження з дуже великою реактивною складовою
55
На рис. 2.11 отримані статичні характеристики типові для випрямлячів
із потужним дроселем у ланцюзі навантаження або на вході (згладжувальний
реактор). Реактивна потужність у 6…8 разів перевищує активну, що
зумовлює низький коефіцієнт потужності (cosφ ≈ 0.15). Таке навантаження
створює значне навантаження на джерело живлення, потребує компенсації
реактивної потужності та ретельного проєктування елементів живлячої
мережі. Зі збільшенням напруги активна і реактивна потужності зростають
майже лінійно, що відповідає поведінці індуктивних елементів у
випрямлячах з фільтром згладжування струму.
На рис. 2.12 представлені отримані за допомогою розробленої
Simulink-моделі (рис. 2.2) статичні характеристики для синхронного двигуна.

Рис. 2.12. Результати отримання статичних характеристик для
синхронного двигуна
56
Отримані дані (рис. 2.12) , що реактивна потужність Q≈0 при значній
активній потужності P, відповідає режиму роботи синхронного двигуна,
зумовленому такою експлуатацією або регулюванням збудження, що
забезпечує близький до одиниці коефіцієнт потужності. Синхронні машини
мають важливу властивість – за допомогою регулювання струму збудження
вони можуть поглинати або генерувати реактивну потужність, тому:
• Q≈0 свідчить про роботу при компенсованому збудженні (режим
близький до одиничного cosφ), коли двигун не створює додаткового
реактивного навантаження на мережу;
• при зниженому збудженні машина поглинає реактивну потужність
(індуктивна поведінка), а при підвищеному – живить мережу
реактивною потужністю (ємнісна/провідна поведінка).
На рис. 2.13 представлені отримані за допомогою розробленої
Simulink-моделі (рис. 2.2) статичні характеристики для асинхронного
двигуна.
Експериментальні дані (рис. 2.13) відповідають навантаженню
асинхронного двигуна. Активна потужність P≈1300–1380 Вт, реактивна
потужність Q=0, коефіцієнт потужності близький до одиниці. Такий режим
відповідає роботі двигуна під невеликим або компенсованим навантаженням.
Мережа не відчуває додаткового реактивного струму, що зменшує втрати та
потребу в компенсації реактивної потужності.
− P(U) – показує активну потужність у залежності від напруги живлення.
− Q(U) – показує реактивну потужність (в даному випадку нульову,
оскільки двигун працює з компенсацією або на холостому ходу).
− S(U) – повна потужність, дорівнює активній, оскільки Q=0.
− cosφ(U) – коефіцієнт потужності близький до одиниці, що свідчить про
відсутність фазового зсуву між струмом і напругою.
57

Рис. 2.13. Результати отримання статичних характеристик для
асинхронного двигуна

Загальні висновки:
• Різні типи навантажень демонструють значні відмінності у реактивній
потужності та коефіцієнті потужності, що впливає на стабільність і
втрати у мережі.
• Індуктивне та ємнісне навантаження потребують спеціальної
компенсації реактивної потужності, тоді як активне та двигуни
працюють майже без фазового зсуву.
• Порівняльні графіки P(U), Q(U) та cosφ(U), які представлені на рис. 2.
14, наочно ілюструють відмінності у поведінці різних типів
навантажень, що важливо для проектування енергетичних систем і
контролю якості електропостачання.
58

Рис. 2.14. Порівняльні графіки P(U), Q(U) та cosφ(U)
59
3.3. Висновки до розділу 2

У другому розділі було проведено моделювання електричних
навантажень різного типу за допомогою програмного середовища
MATLAB/Simulink з метою отримання їх статичних характеристик. На основі
результатів модельних експериментів сформульовано такі висновки:
1. Розроблені Simulink-моделі, які коректно відтворюють роботу
елементів систем електропостачання, забезпечуючи достовірні результати
без необхідності проведення реальних експериментів. Це дозволяє
досліджувати поведінку системи за різних режимів навантаження,
мінімізуючи часові та матеріальні витрати.
2. Отримані статичні характеристики для активних, індуктивних,
ємнісних та комбінованих навантажень показали істотні відмінності у
значеннях активної (P), реактивної (Q) та повної (S) потужностей, а також у
коефіцієнті потужності (cosφ).
3. Для активного навантаження реактивна потужність відсутня (Q =
0), а активна потужність зростає пропорційно напрузі, що характерно для
резистивних споживачів (нагрівальні елементи, лампи розжарювання).
4. Активно-індуктивні навантаження характеризуються невеликою
позитивною реактивною складовою (Q > 0, Q ≪ P), що спостерігається в
електродвигунах і побутових приладах з обмотками. Коефіцієнт потужності
при цьому залишається близьким до одиниці.
5. Для індуктивних навантажень випрямлячів реактивна потужність
зростає разом із напругою і може бути співмірною або більшою за активну
(Q ≈ P або Q > P), що знижує коефіцієнт потужності (cosφ = 0,15…0,85) і
збільшує втрати в мережі.
6. Ємнісні навантаження (Q < 0) демонструють протилежний
фазовий зсув між струмом і напругою. Такі споживачі формують імпульсні
струми та гармоніки, що потребує врахування при проєктуванні систем
компенсації реактивної потужності.
60
7. Синхронні двигуни при компенсованому збудженні працюють із
нульовою реактивною складовою (Q ≈ 0) і забезпечують коефіцієнт
потужності, близький до одиниці. За допомогою регулювання струму
збудження вони можуть виконувати функцію компенсації реактивної
потужності в мережі.
8. Асинхронні двигуни у номінальному або компенсованому режимі
також працюють із майже нульовою реактивною складовою, забезпечуючи
стабільну роботу без додаткових втрат.
9. Порівняльний аналіз графіків P(U), Q(U) та cosφ(U) показав, що
характер залежностей суттєво відрізняється для різних типів навантажень. Це
підтверджує доцільність класифікації навантажень за енергетичними
показниками для підвищення ефективності систем електропостачання.
10. Проведене комп’ютерне моделювання підтвердило ефективність
використання Simulink як інструменту для дослідження статичних
характеристик і аналізу енергетичних процесів у складних електротехнічних
системах.

61
РОЗДІЛ 3
МАТЕМАТИЧНІ ОСНОВИ ОТРИМАННЯ КОЕФІЦІЄНТІВ
ПОЛІНОМІВ СТАТИЧНИХ ХАРАКТЕРИСТИК НАВАНТАЖЕННЯ

3.1 Визначення коефіцієнтів поліномів СХН математичними
методами

3.1.1 Метод найменших квадратів

Для обробки експериментальних даних часто використовують різні
види апроксимації [9]. Метод побудови апроксимуючої функції φ(x)
ґрунтується на умові мінімуму суми квадратів відхилень від
п п
експериментальних точок f (x 2 2
i ),Q =∑ε і =∑[ f (xi ) −ϕ(xi )] → min
i=0 i=0
називають методом найменших квадратів. Найпоширенішим є вибір функції
φ(x) у вигляді комбінації ϕ(x) = k0·ϕ0 (x) + k1·ϕ1(x) +…+ km·ϕm (x), де φт(x) –
базисні функції; km – коефіцієнти апроксимації.
На рис. 3.1 представлено деякі види апроксимуючих функцій [9, 16].

Рис. 3.1. Види апроксимуючої функції: (а) лінійна апроксимація; (б)
поліноміальна апроксимація
62
Зазвичай під час обробки експериментальних даних починають з
основної базисної функції, наприклад лінійної. Вибір базисної функції
визначається властивостями апроксимованої залежності.
На практиці під час обробки експериментальних даних зазвичай можна
обмежитися побудовою лінійної апроксимації [1, 5]

ϕ(x) = а0 + а1·x, (3.1)

коефіцієнти якої визначають за виразами

n−1 n−1 n−1
∑ xi·∑ yi − n·∑ yi xi n−1 n−1
a = i=0 i=0 i=0 , a 1 
1 2 = y − a · x . (3.2)
 n−1  n−1 0 n ∑ i 1∑ i
∑ x n·∑ x2  
i=0 i=0 
 i  − i
 i=0  i=0

Під час застосування СХН необхідно знайти коефіцієнти
квадратичного полінома, тому окрім лінійної апроксимації, можна
апроксимувати функцію поліноміальною регресією.
У цьому випадку функція має вигляд [1, 5]

ϕ(x) = а0 + а1·x + а1·x
2 + ...+ ат·xт. (3.3)

Коефіцієнти полінома (3.3) визначаються шляхом розв’язання СЛАР
(системи лінійних алгебраїчних рівнянь)

c0a0 + c1a1 + c2a2 +…+ cmam = b0;
c1a0 + c2a1 + c3a2 +…+ cm+1am = b1; (3.4)

cma0 + cm+1a1 + cm+2a2 +…+ c2mam = bm.

63
n−1 n−1
де ci =∑ x j
i , j = 0,1,2,…,2·m; bi =∑ xk
i ·yi , k = 0,1,2,…,m [10].
i=0 i=0
Вихідними даними для визначення коефіцієнтів квадратичного
полінома статичних характеристик навантаження за активною та реактивною
потужностями є табличні значення P, Q, U. Кількість відповідних точок
(тріад) повинна бути не меншою шести [10].
Визначення коефіцієнтів поліномів СХН методом найменших квадратів
виконується за наступним алгоритмом:
1. Формується система рівнянь вигляду

a0′ + a 2
1′U1 + a2′U1 = P1;
a0′ + a1′U2 + a2′U
2
2 = P2;
(3.5)

a0′ + a 2
1′Un + a2′Un = Pn.

У матричній формі систему рівнянь (3.5) можна записати

1 U 2
1 U1   P 
 2  a 1
1 U U 0′  
 2 2    P 
· a1′  =
 2 , (3.6)
   

  
   
1 U U 2  a2′   
 n n  Pn 

де U1, U2,…,Un – значення напруги у вузлі, для якого визначається
статична характеристика;
P1, P2,…, Pn – значення потужності, що відповідають зазначеним
значенням напруги у вузлі;
a0′, a1′, a2′ – коефіцієнти полінома у іменованих одиницях.
Система рівнянь (3.6) є перевизначеною (кількість рівнянь більша за
кількість невідомих).
64
2. Для визначення коефіцієнтів a0′, a1′, a2′ здійснюється розв’язання
перевизначеної системи рівнянь (3.6) таким чином

X = (AT·A)(−1)·AT·B, (3.7)

де

a ′  1 U 2
1 U1   P1 
 0  1 U U 2  P 
X =  a ′   2 2 
1 , A = , B =  2 . (3.8)
     

  
a ′   
 2  1 U U 2  
 n n  P 
n 

Отримані коефіцієнти мають такі розмірності:

a0′ – у ватах (Вт);
a1′ – у ватах на вольт (Вт/В);
a2′ – у ватах на квадрат вольта (Вт/В²).

3. Далі здійснюється перехід до коефіцієнтів у відносних одиницях.
Для цього необхідно задати базисні значення напруги та потужності. Як
базисну напругу можна прийняти номінальну напругу електроприймача
(вузла мережі, для якого визначається статична характеристика). Базисна
потужність приймається рівною потужності, що відповідає базисній напрузі.
Після задання базисних значень потужності та напруги коефіцієнти полінома
у відносних одиницях визначаються за виразом

′ ′ 2
a a
= 0 , a a1·U= баз ′
, a a ·U
= 2 баз
0 1 2 . (3.9)
Pбаз Pбаз Pбаз

65
Після отримання коефіцієнтів необхідно виконати їх перевірку, яка
ґрунтується на перевірці нульової гіпотези [10]. Нульова гіпотеза відхиляє
припущення, покладене в основу моделювання, тобто передбачає, що модель
не відображає закономірностей процесу.
Одним із параметрів для оцінки правильності отриманої моделі є
оцінка дисперсії. Дисперсія випадкової величини характеризує міру
розсіювання її значень навколо математичного сподівання. Математичне
сподівання – це число, навколо якого зосереджені значення випадкової
величини [12].
Наприклад, оцінка дисперсії значень потужності з числом ступенів
вільності λ=N−1 визначається за виразом

N
∑[P 2
i − M (P)]
S 2 i=1
P = , (3.10)
N −1

де Pi – значення потужності з ряду вихідних даних;
N – кількість точок вимірювань;
N
∑Pi
M (P) = i=1 – математичне сподівання потужності за рядом даних.
N
Другим параметром для оцінки правильності визначення коефіцієнтів
СХН є дисперсія похибки S 2
похибки з числом ступенів вільності λ2 = N−n.

N
∑ε 2
і
S 2 i=1
похибки = , (3.11)
N − п

де ε і = Рі − Рті ,
Рті – значення потужності за поліномом, що відповідає i-тій напрузі;
п – кількість коефіцієнтів моделі (полінома).
66
2
Відношення дисперсій F S
= P
2 підпорядковується розподілу
Sпохибки
Фішера, як це показано на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Розподіл Фішера

Задавши близький до одиниці рівень довіри β=0,95, можна за
стандартним F-розподілом визначити максимальне значення Fmax, при якому
ще підтверджується нульова гіпотеза, тобто S 2 і S 2
P похибки є близькими за
значенням та статистично не відрізняються один від одного [10].
Якщо F > Fmax(β, λ1, λ2), це означає, що дисперсія похибки є малою
порівняно з дисперсією показника y, і нульова гіпотеза відхиляється, а отже,
підтверджується гіпотеза щодо виду моделі.
У випадку, коли перевірка за F-розподілом є задовільною, модель
приймається для подальшого дослідження; якщо ж ні – необхідно змінити
або вид моделі або склад показників, щоб підвищити її адекватність. Після
отримання коефіцієнтів квадратного полінома необхідно виконати оцінку
регулювального ефекту навантаження за напругою [10].
Регулювальний ефект навантаження – це ступінь зміни активної та
реактивної потужності навантаження при зміні напруги або частоти.
67
Регулювальний ефект навантаження визначається за виразом

K dP
PU = . (3.12)
dU

3.1.2 Метод головних компонент

Метод головних компонент – один із основних способів зменшення
розмірності даних із мінімальними втратами інформації (англ. Principal
Components Analysis, PCA) [6], який пояснює взаємозв’язки між вихідними
даними. Метод був розроблений К. Пірсоном у 1901 році та застосовується в
таких галузях, як розпізнавання образів, комп’ютерний зір, стиснення даних
тощо.
Варто зазначити, що метод головних компонент підходить для
розв’язання завдань аналізу даних, зокрема як допоміжне перетворення, що
дозволяє визначити ефективну розмірність вихідних даних, а також для
класифікації та апроксимації.
Теорія методу головних компонент полягає в наступному: перша
головна компонента вибирається так, щоб уздовж неї відбувалася
максимальна зміна даних. Вихідні точки проектуються на головну
компоненту. Припустимо, що насправді всі наші експериментальні точки
повинні були лежати на цій компоненті, але через похибки вимірювальних
приладів або зміни потужності у зовнішній електричній мережі вони
відхилилися від ідеального положення. Тоді всі точки, відхилені від нової
осі, можна вважати шумом [6].
Перевірити, чи дійсно це шум, можна, знайшовши вісь максимальних
змін серед відхилень. Вона й називається другою головною компонентою.
Процес повторюється доти, доки залишкові зміни не стають випадковими –
тобто справжнім шумом. У енергетиці, як правило, шукають лише дві
головні компоненти.
68
Алгоритм методу головних компонент можна поділити на кілька етапів
і продемонструвати на прикладі результатів вимірювань напруги та
потужностей для освітлювального навантаження (рис. 3.3) [6]:
1. Виділити головну компоненту. Виділення головної компоненти у
розглянутому алгоритмі є розв’язанням задачі оцінювання коефіцієнтів
лінійної моделі методом найменших квадратів.
2. Знайти проєкцію кожної точки даних на виділену головну
компоненту. Для визначення координат, що відповідають перпендикулярній
проєкції i-тої точки даних на виділену головну компоненту, користуються
рис. 3.3.

Рис. 3.3. Проєціювання точки B на пряму (синій колір); промінь проєкції
(червоний колір) є перпендикулярним до прямої; точка A – проєкція
точки B на пряму

Для зручності програмної реалізації необхідно отримати рівняння
перпендикулярної проєкції i- ї точки даних на виділену головну компоненту
в матричній формі.
69
Вихідними даними для розв’язання є координати точок A і B, а також
коефіцієнти прямої P=f(U). Тоді рівняння зв’язку координат точки A можна
представити у вигляді [6]

PA = k·U A + b. (3.13)

Рівняння зв’язку координат точки B буде аналогічним. Необхідно
зазначити, що прямі P(U) і P2(U) є перпендикулярними, отже, тангенс кута
нахилу рівняння P2=f(U) буде дорівнювати –k.

PВ = −k·UВ + b⊥. (3.14)

Коефіцієнт b⊥ можна представити у вигляді

b⊥ = k·UВ + PВ (3.15)

З урахуванням того, що пряма P2=f(U)) проходить через точку A,
рівняння зв’язку координат точки A можна представити у вигляді

PА = −k·U А + k·UВ + PВ. (3.16)

Прирівнявши вирази (3.13) і (3.16), отримаємо:

−k·U А + k·UВ + PВ = k·U A + b. (3.17)

Виразимо з рівняння (3.17) координату UA

2k·U А = k·UВ +UВ − b. (3.18)

70
U k·UВ +UВ − b
А = . (3.19)
2k
U 1U 1 b
А = В + РВ + . (3.20)
2 2k 2k

Підставивши (3.20) у рівняння (3.16), отримаємо рівняння зв’язку
координати PA з координатами PB та UB.

P k  1U 1 P b
A = −

 B + − + k·U + P . (3.21)
 2 2k B 2k  B B


Для спрощення виразу необхідно розкрити дужки та звести спільні
доданки

P 1 1 b
A = −k  UB + PB −

 + k·UB + PB. (3.22)
 2 2k 2k 
P k 1
A = U 1
B + P b
B + . (3.23)
2 2 2

З урахуванням виразів (3.20) і (3.23) можна подати в матричній формі
рівняння перпендикулярної проєкції точки на пряму

 1 1 k   b
  − 
2 2 UB    U 
 ·  + 
2k  = A
k 1 P b  . (3.24)
   B     PA 
 2 2   2 

Для перевірки коректності отриманих виразів необхідно знайти числові
значення координат проєкції точки B з координатами U=218 В, P=2460 Вт на
пряму P=19,943⋅U−1,805×103 відповідно до рис. 3.3.

71
U A   0.5 1
2·19,943 218  − (−1.805·103 )
2 ·19,943  216 
  =  19,943   +   =  . (3.25)
 PA   2 0.5 2460  − 1.805·103
2  2501

Отримані числові значення координат точки перпендикулярної
проєкції збігаються з координатами точки A. Отже, можна висунути гіпотезу
про коректність отриманого рівняння перпендикулярної проєкції на пряму.
3. Для отримання другої головної компоненти необхідно відняти з
вихідних даних проєкцію на першу головну компоненту

U residual  Ustart  U A 
  =   −  , (3.26)
 Presidual   Pstart   PA 

де U residual і Рresidual – залишок після виключення першої головної
компоненти;
Ustart і Рstart – вихідні значення величин;
U А і РА – координати проєкції вихідної точки даних на головну
компоненту.
4. Повторити етапи з 1 по 3 для залишкової дисперсії. Значення
залишкової дисперсії отримують після виключення UA із початкових значень
Ustart і Pstart.
5. Оцінити коректність отриманих головних компонент для вихідного
масиву ідеальних даних. У пункті 2 було зроблено припущення про
перпендикулярність прямих P(U) і P2(U), отже, коефіцієнти першої та другої
головної компоненти повинні задовольняти умову k1⊥k2.
6. Після оцінювання головних компонент для кожної групи даних
необхідно виконати оцінку регулювальних ефектів навантаження. Оцінка
регулювального ефекту навантаження проводиться за виразом:

kload = k + tanα p , (3.27)
72
де kload – регулювальний ефект навантаження;
k – головна компонента з кутом нахилу менше 90° відносно осі абсцис;
tanα p – тангенс кута нахилу, який визначається за виразом

tanα (S 2
P − S 2
U ) tanψ P + KPU (1− tan2ψ
= P )
P S 2 + 2K tanψ + S 2 2 (3.28)
U PU P P tan ψ P

де S 2
U – дисперсія напруги;
S 2
P – дисперсія активної потужності;
tanψ P – тангенс кута нахилу виділеної головної компоненти;
KPU – кореляційний момент між напругою та активною потужністю.
Кореляційний момент визначається за виразом

N
∑((Pi − Pmean )(Ui −Umean ))
KPU = i=1 (3.29)
 N N
∑(Pi − Pmean )2 
∑(Ui −Umean )2 

 i=1  i=1 

де Pmean – математичне сподівання активної потужності;
Umean – математичне сподівання напруги [6].

73
3.2 Приклади отримання коефіцієнтів поліномів статичних
характеристик навантаження

3.2.1 Приклад отримання коефіцієнтів поліномів методом
найменших квадратів

Розглянемо отримання коефіцієнтів поліномів СХН для
освітлювального навантаження. Напруга та потужності, отримані в
результаті експерименту, наведені в табл. 3.1.
Таблиця 3.1
Освітлювальне навантаження
U, В 218 222 227 231 236 213 209 204 200 196 191
P, Вт 2460 2610 2700 2820 2940 2460 2370 2280 2190 2100 2010
Q, вар 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
U, В 218 222 227 231 236 213 208 204 200 196 191
P, Вт 2460 2610 2700 2820 2940 2460 2370 2280 2190 2100 2010
Q, вар 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Рис.4.4. Результат апроксимації

74
Записуємо систему рівнянь відповідно до (3.6), наприклад, для активної
потужності

1 218 47524 2460

1 222 49284 
 2610
1 227 51529 2700
1 231 53361 
  2820
1 236 55696 a′  2940
  0  
1 213 45369·
 
 a1′  = 2460 (3.30)
1 209 43681 a′  
2 2370
   
1 204 41616 2280
1 200 40000 
  2190
1 196 38416 2100
   
1 191 36481 2010

Розв’язуючи систему рівнянь відповідно до (3.7), отримуємо значення
коефіцієнтів полінома в іменованих одиницях

α0′ =1335Bm;
α1′ = −9,596Bm / B;
α2′ = 0,069Bm / B2.

Далі переходимо до коефіцієнтів полінома у відносних одиницях
відповідно до (3.9):

′
a α0 1335
0 = = = 0,0647;
Pбаз 2571
a α1′·Uбаз −9,596·220
1 = = = −7,6975;
Pбаз 2571
α 2
a 2′·Uбаз 0,069·2202
2 = = =1136,7157.
Pбаз 2571

75
Поліном для статичної характеристики, поданої на рис. 3.4, записується
у вигляді

P(U ) =1136,7157 − 7,6975·U + 0,0647·U 2.

Підставляючи базисне значення напруги, отримуємо потужність 2571
Вт, яку приймаємо за базисну.
Оцінимо адекватність обраної моделі (поліном другого ступеня). Для
цього спочатку визначимо розрахункові значення потужності та значення
похибки, наведені в таблиці 3.2.

Таблиця 3.2
Розрахункові значення потужності та значення похибки
освітлювального навантаження
U, В 218 222 227 231 236 213 209 204 200 196 191
P, Вт 2460 2610 2700 2820 2940 2460 2370 2280 2190 2100 2010
Pm, Вт 2530 2613 2721 2809 2923 2429 2351 2256 2182 2111 2025
ε, Вт -70 -13 -21 11 17 31 19 24 8 -11 -15
ε2, Вт2 4900 169 441 121 289 961 361 576 64 121 225
U, В 218 222 227 231 236 213 208 204 200 196 191
P, Вт 2460 2610 2700 2820 2940 2460 2370 2280 2190 2100 2010
Pm, Вт 2530 2613 2721 2809 2923 2429 2331 2256 2182 2111 2025
ε, Вт -70 -3 -21 11 17 31 39 24 8 -11 -15
ε2, Вт2 4900 9 441 121 289 961 1521 576 64 121 225

* Pm – потужність, отримана в результаті апроксимації, Вт
ε – помилка значення потужності, Вт

Показник Значення Інтерпретація
Середня абсолютна ~25–30 Вт Дуже мала при P≈2000–
похибка 3000 Вт
Відносна похибка ≈1.1 % Висока точність
Залишки Без систематичного Випадкові, модель
тренду адекватна
( R^2 ) ≈ 0.998 Підтверджує хорошу
апроксимацію
76

Рис.4.5. Графік похибок апроксимації

Рис.4.6. Графік середньоквадратичної похибки апроксимації

Далі визначимо середнє значення потужності за вибіркою, дисперсію
потужності, дисперсію похибки та числове значення критерію розподілу
77
N
∑Pi
M (P) i=1 53880
= = = 2449 Вт; S = S 2 ≈ 290,2;
N 22 P P
N
∑ε 2
i 2
S 2 i=1 17460 S 290,9
помилки = = = 919; F = P
2 = = 0,32.
N − n 19 Sпомилки 919
Далі, за таблицею розподілу Фішера [24] для ступенів свободи λ₁ = 21,
λ₂ = 19 та довірчого інтервалу β = 0,95 знаходимо Fₘₐₓ:

F (0.95,21.19) = 2,144.

F = 0,32 менше, ніж Fₘₐₓ = 2,144, отже, гіпотеза щодо виду моделі
приймається.
Регулювальний ефект освітлювального навантаження дорівнює:
KPU=20,383.
Для інших видів навантаження визначення коефіцієнтів поліномів,
регулювального ефекту навантаження за напругою та перевірка адекватності
моделі виконуються аналогічно.
Значення отриманих коефіцієнтів поліноміальних моделей статичних
характеристик електричних навантажень і регулювального ефекту
навантаження за напругою представлені у табл. 3.3.

Таблиця 3.3
Результати визначення коефіцієнтів поліноміальних моделей статичних
характеристик електричних навантажень і регулювального ефекту
Коефіцієнти поліномів СХН Регулювальний
Види за активною за реактивною ефект
навантаження потужністю потужністю навантаження
a₀ a₁ a₂ b₀ b₁ b₂ Kₚᵤ Kᵩᵤ
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Активне -0,51 0,99 0,55 – – – 81,68 –
Індуктивне – – – 0,53 -0,97 1,55 – 83,17
78
Продовж. табл. 3.3
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Ємнісне -3,43 6,40 -3,07 -0,73 1,52 0,30 41,26 64,872
Освітлюваль
не 0,53 -0,83 1,40 – – – 21,384 –
Випрямне -1,52 3,09 -0,58 – – – 97,28 –
Активно-
індуктивне -0,42 0,75 0,77 0,68 -1,12 1,54 67,053 67,41
Активно-
ємнісне -3,34 5,5 -2,5 -1,06 1,74 0,31 41,282 33,21
Індуктивно-
ємнісне -2,3 3,40 -0,15 -1,65 3,64 -0,95 16,85 66,52
Асинхронне -5,50 13,53 -6,83 – – – 1,7 –
Синхронне 1,5 -1,74 1,2 – – – 60,5 –

Значення F-розподілу для квадратичної моделі представлені у табл. 3.4.

Таблиця 3.4
Значення F-розподілу
Види Значення F при Значення F при
навантаження P(U) Q(U) Висновок
1 2 3 4
Модель
Активне 69,67 - адекватна, бо
F≫Fкр (~4)
Дуже висока
Індуктивне - 432,8 точність
апроксимації
Q(U)
Ємнісне 153 212,2 Обидві моделі
високої якості
Висока
Освітлювальне 92,6 - адекватність
(типово P∝U²)
Надійна модель
Випрямне 185,6 - (хороше
узгодження)

79
Продовж. табл. 3.4
1 2 3 4
Активно-
індуктивне 63,1 52,6 Обидві адекватні
Активно-ємнісне 123,9 122,6 Обидві адекватні
Дуже висока
Індуктивно- 1286,6 180,5 адекватність (F
ємнісне надзвичайно
велике)
Асинхронне 12,9 - Модель
задовільна
Синхронне 15,1 - Модель
задовільна

Таким чином, отримані коефіцієнти поліноміальних моделей статичних
характеристик навантажень за потужністю P(U) та Q(U) є адекватними, тому
що розрахункові значення F у десятки–сотні разів перевищують критичне. За
результатами табл. 3.4 можна зробити висновок, що коефіцієнти полінома
другого ступеня для всіх видів навантажень визначено правильно.
Найбільш точні моделі спостерігаються для індуктивно-ємнісного,
ємнісного та випрямного навантажень.
Для асинхронного та синхронного навантажень адекватність нижча, але
задовільна (F > Fкр).
На рис. 3.7–3.11 наведено результати апроксимації статичних
характеристик навантаження для типів, поданих у табл. 3.4.

Рис.3.7. Результати апроксимації полінома ємнісного навантаження

80

а) б)
Рис.3.8. Результати апроксимації полінома активного (а) та індуктивного
(б) навантаження

Рис.3.8. Результати апроксимації полінома випрямного навантаження

Рис.3.9. Результати апроксимації полінома RC- навантаження
81

Рис.3.10. Результати апроксимації полінома RL- навантаження

а) б)
Рис. 3.11. Результати апроксимації полінома синхронного (а) та
асинхронного (б) двигуна

3.2.2. Приклад отримання коефіцієнтів поліномів методом головних
компонент

Розглянемо отримання коефіцієнтів поліномів СХН також для
освітлювального навантаження, скориставшись даними табл. 3.2. Розрахунок
коефіцієнтів виконується за виразами
82
n−1 n−1 n−1
∑Ui·∑Pi − n·∑Pi·Ui 1  n−1 n−1
k = i=0 i=0 i=0
2 ; b 
= · P − k· U
n−1 n−1 n ∑ i ∑ i
 . (3.31)
  2 i=0 i=0 
∑Ui  − n·∑Ui
 i=0  i=0

де n – кількість точок.
Звідки коефіцієнти першої головної компоненти для P=k1⋅U+b1,
k1=19,943; b1 = −1,805∙10³.
Результат виділення першої головної компоненти представлено на рис.
3.12.

Рис. 3.12. Виділення першої головної компоненти

Значення U та P на першій головній компоненті визначається за
матричним рівнянням

 1/ 2 1 / 2·19,943 Uпоч   (−1,805·103) / 2·19,943 Uгол.ком 
 ·  + = .
19,943 / 2 1 / 2 P  3   
  поч   −1,805·10 / 2   Pгол.ком 

83
Залишок після виключення першої головної компоненти визначаємо за
формулою:

U зал  U  U
= поч − гол.ком 
 P   P   .
 зал   поч   Pгол.ком 
Таблиця 3.5
Залишкові значення напруги та потужності
U, В 2.067 0.307 0.55 -0.458 -0.967 -0.433 -0.176 -0.42 -0.163 0.093 -0.151
Pₒₛₜ, Вт -41.231 -6.118 -10.976 9.137 19.279 8.627 3.514 8.372 3.259 -1.854 3.004
U, В 2.067 0.307 0.55 -0.458 -0.967 -0.433 -0.676 -0.42 -0.163 0.093 -0.151
Pₒₛₜ, Вт -41.231 -6.118 -10.976 9.137 19.279 8.627 13.486 8.372 3.259 -1.854 3.004

Розрахунок значень коефіцієнтів другої головної компоненти
виконується за рівняннями (3.31). Результат виділення другої головної
компоненти представлено на рис. 3.13. Коефіцієнти рівняння другої головної
компоненти P=k2⋅U+b1, k2=19,9; b1 = −1,905∙10³.

Рис. 3.13. Залишкові значення потужності та напруги, синім виділено
другу головну компоненту
84
Регулювальний ефект для освітлювального навантаження дорівнює
K=19,9. Виділення головних компонент, визначення значень коефіцієнтів та
оцінка регулювального ефекту навантаження для інших видів навантажень
здійснюються аналогічно. У таблицях 3.6 і 3.7 представлено результати
розрахунків для інших експериментів. Регулювальні ефекти навантаження
представлено в табл. 3.8. Значення F-розподілу для лінійної моделі наведено
в табл. 3.9.

Таблиця 3.6
Коефіцієнти першої головної компоненти
Коефіцієнт першої компоненти полінома СХН
Види навантаження
k P
1 bP
1 kQ
1 bQ
1
Активне 79,9 −8,8·10³ - -
Індуктивне - - 81,3 −8,3·10³
Ємнісне 39,4 −4,8·10³ −62,6 6,9·10³
Освітлювальне 19,9 −1,8·10³ - -
Випрямне 96,1 −1,1·10⁴ - -
Активно-індуктивне 64,6 −6,9·10³ 64,9 −6,7·10³
Активно-ємнісне 39,3 −4,2·10³ −33,5 4,3·10³
Індуктивно-ємнісне 16,5 −2,5·10³ 65,044 −6,5·10³
Асинхронне 1,9 929,9 - -
Синхронне 59,2 6,1·10³ - -

Таблиця 3.7
Коефіцієнти другої головної компоненти
Коефіцієнт другої компоненти полінома СХН
Види навантаження
k P bP kQ bQ
2 2 2 2
Активне −79,9 4,6·10⁻³ - -
Індуктивне - - −81,4 0,012
Ємнісне −39,4 3,5·10⁻³ 62,3 0,15
Освітлювальне −19,9 −1,8·10⁻³ - -
Випрямне −96,2 0,04 - -
Активно-індуктивне −64,6 −5,8·10⁻³ −64,9 −5,9·10⁻³
Активно-ємнісне −39,4 −6,5·10⁻³ 33,5 0,05
Індуктивно-ємнісне −16,5 0 −65,1 −1,6·10⁻³
Асинхронне −1,9 −1,3·10⁻⁴ - -
Синхронне −59,2 −4,5·10⁻⁵ - -
85
Таблиця 3.8
Регулювальні ефекти навантаження
Регулювальний ефект навантаження
Види навантаження
KPU KQU
Активне 79,9 –
Індуктивне – 81,4
Ємнісне 39,4 –62,5
Освітлювальне 19,9 –
Випрямне 96,1 –
Активно-індуктивне 64,6 64,9
Активно-ємнісне 39,4 –33,5
Індуктивно-ємнісне 16,6 65,1
Асинхронне 2,4 –
Синхронне 59,2 –

Значення F-розподілу для квадратичної моделі представлені у табл. 3.9.

Таблиця 3.9
Значення F-розподілу
Види Значення F при Значення F при
навантаження P(U) Q(U) Висновок
Активне 72,2 - Модель
адекватна
Індуктивне - 238,9 Модель
адекватна
Ємнісне 105,2 220,2 Модель
адекватна
Освітлювальне 81,7 - Модель
адекватна
Випрямне 184,2 - Модель
адекватна
Активно-
індуктивне 124,5 100,9 Обидві адекватні
Активно-ємнісне 46,4 55,3 Обидві адекватні
Індуктивно-
ємнісне 1376 162,3 Модель
адекватні
86
Продовж. табл. 3.9
1 2 3 4
Асинхронне 1,5 - Модель
неадекватна
Синхронне 13,6 - Модель на межі
адекватності

На основі отриманих значень коефіцієнтів поліноміальних моделей за
критерієм Фішера для різних типів електричних навантажень встановлено,
що більшість апроксимаційних (поліноміальних) моделей P(U) та Q(U),
побудованих методом головних компонент є адекватними щодо
експериментальним даним (рис. 3.14).

Рис. 3.14. Графік значень F-розподілу

Значення Fрозр. для активних, ємнісних, індуктивних, освітлювальних,
випрямних та комбінованих типів навантажень суттєво перевищують
табличне Fтабл. (приблизно 3–4 при рівні значущості 0.05), що підтверджує
достовірність і статистичну значущість моделей.
Найвищі значення F отримано для:
• індуктивно-ємнісного навантаження – FP=1376, FQ=162,3;
87
• ємнісного навантаження – FP =105,2; FQ =220,2, що свідчить про
надзвичайно добру відповідність моделей реальним характеристикам.
Найменші значення F спостерігаються для асинхронного (F=1,5) та
синхронного (F=13,6) навантажень. Для асинхронного типу модель
вважається неадекватною, що може бути зумовлено нелінійними ефектами
насичення, ковзанням або зміною активної складової струму, які не
описуються простою поліноміальною залежністю. Синхронне навантаження
має граничну адекватність, отже, потребує уточнення моделі.
Загалом, апроксимація методом головних компонент забезпечує:
• високий ступінь кореляції між експериментальними та розрахунковими
даними;
• стабільність моделі при аналізі активної та реактивної потужності;
• можливість подальшого використання моделей для аналітичного або
імітаційного моделювання електричних систем.
На рис. 3.15–3.20 представлені результати апроксимації статичних
характеристик навантаження для типів, поданих у табл. 3.9.

а) б)
Рис.3.15. Результати апроксимації полінома ємнісного навантаження
МГК
88

а) б)
Рис.3.16. Результати апроксимації індуктивного навантаження МГК

Рис.3.17. Результати апроксимації полінома випрямного навантаження
МГК

Рис.3.18. Результати апроксимації полінома RC- навантаження МГК

89

Рис.3.19. Результати апроксимації полінома RL- навантаження МГК

а) б)
Рис. 3.20. Результати апроксимації полінома синхронного (а) та
асинхронного (б) двигуна МГК

Отримані графіки апроксимації (рис. 3.15–3.20) підтверджують, що
поліноміальні моделі з визначеними коефіцієнтами достатньо точно
описують реальний характер зміни потужності при зміні напруги для
більшості типів навантажень.
• Для ємнісних та індуктивних навантажень коефіцієнти старших
ступенів полінома мають значний вплив, що зумовлює нелінійність
характеристик.
• Для активно-ємнісних (RC) і синхронних навантажень переважають
коефіцієнти при нижчих степенях, що свідчить про переважно лінійну
поведінку потужності.
90
• У випрямних та індуктивно-ємнісних навантажень спостерігаються
великі значення коефіцієнтів при вищих степенях, що характеризує
різку зміну потужності при відхиленні напруги від номінальної.
Отримані коефіцієнти поліномів дозволили кількісно оцінити ступінь
нелінійності кожного виду навантаження через коефіцієнт F, який
відображає чутливість потужності до зміни напруги:
• Найменші значення F (1.5–13.6) мають асинхронні та синхронні
двигуни, що підтверджує стабільність їхніх поліномних моделей і малу
залежність потужності від напруги.
• Помірні значення F характерні для активних та освітлювальних
навантажень – їх моделі мають незначну нелінійність.
• Великі значення F (понад 200) у ємнісних, індуктивних і випрямних
навантажень свідчать про домінування нелінійних складових у їхніх
поліномах, тобто про сильну зміну потужності при коливаннях
напруги.
Таким чином, визначення коефіцієнтів поліномів за допомогою методу
головних компонент для кожного типу навантаження дало змогу:
• побудувати математичні моделі, які адекватно описують їх статичні
характеристики;
• провести порівняльний аналіз стабільності навантажень за допомогою
коефіцієнта F;
• зробити висновок, що найбільш придатними для моделювання сталих
режимів є навантаження з малими значеннями старших коефіцієнтів
поліномів (асинхронні, синхронні, активно-ємнісні), тоді як
навантаження з великими нелінійними складовими (індуктивно-
ємнісні, випрямні) потребують додаткових заходів стабілізації напруги.
Таким чином, на основі проведених досліджень методів (найменших
квадратів і головних компонент) визначення коефіцієнтів поліноміальних
моделей статичних характеристик електричних навантажень можна зробити
висновок.
91
Метод найменших квадратів передбачає знаходження функціональних
залежностей або моделей, що апроксимують експериментальні дані з
найкращим наближенням. У МНК експериментальні дані було
апроксимовано квадратичними поліномами. Похідна квадратичного полінома
за напругою дала змогу оцінити регулювальний ефект навантаження за
напругою.
Метод головних компонент дає змогу визначити лише два коефіцієнти,
а також оцінити регулювальний ефект навантаження. Отримані за методом
головних компонент коефіцієнти першої та другої головних компонент
наведено відповідно в табл. 3.6 і табл. 3.7, а регулювальні ефекти
навантаження – у табл. 3.8.
Різницю між регулювальними ефектами навантаження, визначеними за
допомогою МНК та МГК, представлено в табл. 3.10.
На відміну від методу найменших квадратів, метод головних
компонент розв’язує задачу оцінювання коефіцієнтів не поліноміальної, а
лінійної моделі. Обробка масивів даних вимірювальної інформації методом
головних компонент.

Таблиця 3.10
Різниця між регулювальними ефектами навантаження
Різниця між регулювальними ефектами МНК та МГК
Види навантаження
KPU KQU
Активне 1,7 –
Індуктивне – 1,77
Ємнісне 0,9 –1,34
Освітлювальне 0,39 –
Випрямне 2,16 –
Активно-індуктивне 1,5 1,5
Активно-ємнісне 0,9 –0,7
Індуктивно-ємнісне 0,3 1,5
Асинхронне –0,5 –
Синхронне 1,28 –

92
3.3. Висновки до розділу 3

У третьому розділі проведено аналіз та дослідження математичних
методів визначення коефіцієнтів поліноміальних моделей статичних
характеристик навантаження (СХН), які описують залежності активної та
реактивної потужності від напруги. Для розрахунків застосовано два підходи
– метод найменших квадратів (МНК) та метод головних компонент (МГК).
1. Метод найменших квадратів забезпечує побудову апроксимаційної
функції, яка мінімізує суму квадратів відхилень експериментальних даних від
розрахункових значень. У роботі застосовано поліноми другого ступеня, що
дозволило з високою точністю описати залежності P(U) і Q(U). Статистична
перевірка адекватності моделей за критерієм Фішера підтвердила, що всі
отримані залежності відповідають експериментальним даним (F>Fкр).
Середня відносна похибка апроксимації не перевищує 1–1,5 %, що свідчить
про високу достовірність моделювання. Для освітлювального навантаження
регулювальний ефект за напругою становить KPU=20,38, що підтверджує
правильність визначення коефіцієнтів полінома.
2. Метод головних компонент (МГК) дозволяє спростити аналіз
експериментальних даних шляхом виділення головних напрямів зміни
параметрів та усунення кореляцій між ними. У результаті було отримано
коефіцієнти першої та другої головних компонент, що забезпечують
ефективне відображення зв’язку між напругою та потужністю. За критерієм
Фішера більшість моделей P(U) та Q(U), побудованих методом головних
компонент, визнано адекватними, оскільки розрахункові значення F значно
перевищують критичні (приблизно 3–4 при рівні точності 0,05). Найвищу
точність моделювання отримано для ємнісних, індуктивно-ємнісних та
випрямних навантажень, де значення F сягає 200 і більше. Для асинхронних
та синхронних навантажень адекватність нижча через наявність нелінійних
ефектів (ковзання, насичення магнітного кола тощо).
3. Порівняльний аналіз методів показав, що:
93
• метод найменших квадратів забезпечує універсальність і високу
точність апроксимації, але потребує значного обсягу
експериментальних даних;
• метод головних компонент є більш зручним для статистичного аналізу
великих масивів даних і дозволяє скоротити розмірність без втрати
інформативності;
• різниця між регулювальними ефектами, визначеними обома методами,
не перевищує 2 %, що свідчить про їх взаємну узгодженість.
4. Отримані коефіцієнти поліноміальних моделей СХН для різних типів
навантажень (активних, індуктивних, ємнісних, активно-ємнісних, активно-
індуктивних, індуктивно-ємнісних, освітлювальних, випрямних, синхронних
та асинхронних) можуть бути використані для:
• аналізу режимів електричних мереж;
• побудови імітаційних моделей споживачів;
• удосконалення систем автоматичного регулювання напруги.
Таким чином, можна зробити висновок, що обидва методи – МНК і
МГК забезпечують отримання статистично достовірних математичних
моделей статичних характеристик електричних навантажень. Застосування
цих методів дозволяє кількісно оцінювати регулювальні властивості
навантажень та забезпечує основу для подальших досліджень стабільності та
енергоефективності електричних систем.

94
ВИСНОВКИ

У роботі проведено аналіз та комплексне дослідження методів
визначення коефіцієнтів поліноміальних моделей статичних характеристик
навантажень електроенергетичних систем із застосуванням аналітичних,
модельних та математико-статистичних методів. Отримані результати мають
теоретичне і практичне значення для аналізу сталих режимів, моделювання
та підвищення ефективності систем електропостачання.
1. Теоретично обґрунтовано доцільність використання
розрахункового підходу для визначення характеристик активної та
реактивної потужності навантажень. Це дозволяє уникнути трудомістких
експериментальних вимірювань, забезпечити гнучкість аналізу та можливість
моделювання різних режимів роботи електроенергетичних систем.
2. Розроблено та проаналізовано математичні моделі навантажень
різних типів (активних, індуктивних, ємнісних, комбінованих), які описують
залежності потужностей від напруги й частоти. Визначено, що для
нелінійних споживачів (з магнітним насиченням, температурними ефектами,
випрямними елементами) необхідно застосовувати ітераційні та адаптивні
методи розрахунку.
3. Проведено моделювання електричних навантажень у середовищі
MATLAB/Simulink, що дало змогу отримати достовірні статичні
характеристики без проведення натурних експериментів. Встановлено
характерні залежності P(U), Q(U) і cosφ(U) для різних типів споживачів,
зокрема активних, активно-індуктивних, ємнісних, індуктивно-ємнісних,
випрямних, синхронних та асинхронних двигунів.
4. Визначено особливості енергетичних показників для кожного
типу навантажень:
– активні споживачі характеризуються відсутністю реактивної
складової;
95
– індуктивні – додатною реактивною потужністю, що зменшує
коефіцієнт потужності;
– ємнісні – від’ємною реактивною складовою, яка може
використовуватися для компенсації;
– синхронні двигуни здатні регулювати реактивну потужність і
підтримувати коефіцієнт потужності, близький до одиниці.
5. Застосовано метод найменших квадратів (МНК) та метод
головних компонент (МГК) для коефіцієнтів поліноміальних моделей
статичних характеристик навантажень. Обидва методи забезпечили високу
точність апроксимації залежностей P(U) і Q(U), що підтверджено
статистичними критеріями (значення F>Fкр, середня похибка не перевищує
1–1,5 %).
6. Порівняльний аналіз методів показав, що МНК є більш
універсальним і точним, тоді як МГК є ефективним для роботи з великими
масивами даних та усунення кореляцій між параметрами. Різниця між
результатами двох методів не перевищує 2 %, що підтверджує їх взаємну
узгодженість.
7. Отримані коефіцієнти поліноміальних моделей можуть бути
використані для аналізу режимів електричних мереж при побудові
імітаційних моделей споживачів, а також удосконалення систем
автоматичного регулювання напруги та компенсації реактивної потужності.
8. Практичне значення результатів полягає у створенні методичної
бази для розрахунку, моделювання та оцінювання статичних характеристик
навантажень, що сприяє підвищенню точності розрахунків сталих режимів і
загальної енергоефективності електроенергетичних систем.

96
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Бугаєв В. І. Математичні моделі електричних навантажень
промислових підприємств. – К.: Техніка, 2002. – 212 с.
2. Василевський І.О., Протасов С.Ю. Модель електричного
навантаження енергосистеми // Збірник тез доповідей студентської науково-
практичної конференції ЧДТУ (22–24 квітня 2025 р.) [Електронний ресурс] /
упоряд.: Єгорова О. В., Захарова О. В., Тичков В. В. та ін.; М-во освіти і
науки України, Черкас. держ. технол. ун-т. Черкаси: ЧДТУ, 2025. С. 124.
3. Герасименко Г. П. Моделювання електроенергетичних систем. –
К.: НТУУ «КПІ», 2011. – 248 с.
4. Гутник В. П., Шабатура Ю. А. Режими роботи електричних
мереж. – Львів: Видавництво ЛП, 2010. – 336 с.
5. Давиденко М. О. Моделювання навантажень у системах
електропостачання. – Харків: ХНУРЕ, 2015. – 180 с.
6. Іванов І. М. Метод головних компонент у технічних
дослідженнях. – К.: КНУ, 2017. – 124 с.
7. Касьянов А. І. Електричні навантаження в енергосистемах. – К.:
Вища школа, 1995. – 230 с.
8. Ковальчук С. М. Аналіз режимів електричних мереж із
використанням MATLAB. – К.: НУЕЕ, 2018. – 198 с.
9. Костін В. А. Теорія подібності та моделювання електричних
систем. – Харків: УІПА, 2016. – 167 с.
10. Лебедєв О. В. Ідентифікація моделей енергетичних об’єктів. –
Дніпро: ДНУ, 2019. – 145 с.
11. Михайлов І. П. Електроенергетичні системи: підручник. – К.:
НТУУ «КПІ», 2008. – 360 с.
12. Петров Ю. А. Математичне моделювання енергетичних процесів.
– Одеса: ОНАХТ, 2013. – 192 с.
97
13. ПУЕ. Правила улаштування електроустановок. 7-ме вид. – К.:
Мінпаливенерго, 2008. – 740 с.
14. Трофимов А. М. Інженерні методи аналізу електричних мереж. –
Львів: Видавництво ЛП, 2014. – 256 с.
15. Шахнович І. С. Основи побудови моделей електричних
навантажень. – Харків: ХНУРЕ, 2012. – 176 с.
16. Яковлєв М. І. Теорія електричних кіл. – К.: Вища школа, 2010. –
328 с.
17. Anderson P. M., Fouad A. A. Power System Control and Stability. –
IEEE Press, 2003. – 494 p.
18. CIGRE Report No. 321. Static and Dynamic Load Models for Power
System Studies. – Paris, 2007.
19. CIGRE Working Group C4.605. Modelling and Aggregation of Loads
in Power Systems. – Paris: CIGRE, 2018.
20. Glover J. D., Sarma M. S., Overbye T. Power System Analysis and
Design. – Boston: Cengage Learning, 2012. – 864 p.
21. IEC 60050. International Electrotechnical Vocabulary. – Geneva: IEC,
2015.
22. IEEE Standard 399–1997. IEEE Recommended Practice for Industrial
and Commercial Power Systems Analysis. – New York, 1997.
23. IEEE Standard Std 1459–2010. Definitions for the Measurement of
Electric Power Quantities. – IEEE, 2010.
24. IEEE Task Force on Load Representation. Load Modeling in Power
Systems. – IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 8, No. 2, 1993.
25. Kundur P. Power System Stability and Control. – New York:
McGraw-Hill, 1994. – 1176 p.
26. MathWorks Inc. Simulink User’s Guide. – Natick, MA: MathWorks,
2022.

ChSTU repository

ChSTU repository preserves and enables easy and open access to all types of digital content including text, images, moving images, mpegs and data sets