Відтворення поверхонь із масштабно-інваріантною морфологією за допомогою атомно-силової мікроскопії

Басараб, Ольга Станіславівна
Please use this identifier to cite or link to this item: https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/7358
Title:	Відтворення поверхонь із масштабно-інваріантною морфологією за допомогою атомно-силової мікроскопії
Authors:	Бондаренко, Максим Олексійович Басараб, Ольга Станіславівна
Keywords:	фрактальна розмірність нанорельєфу;PSD-функція поверхні;артефакти зондового сканування;надгладкі діелектричні підкладинки;моделювання процесу АСМ-вимірювань;нанометрична шорсткість
Issue Date:	15-Dec-2025
Abstract:	Сучасний етап розвитку приладобудування та мікроелектроніки супроводжується постійним зменшенням розмірів елементів механічних і радіоелектронних систем. У цих умовах особливої ваги набувають методи, що дають змогу досліджувати властивості поверхонь на мікро- та нанорівні. До таких методів належить атомно-силова мікроскопія (АСМ), яка, на відміну від електронної мікроскопії, забезпечує не лише проєкційне двовимірне зображення, а й повноцінну тривимірну реконструкцію рельєфу поверхні. Разом з тим, АСМ має суттєве обмеження: реальна геометрія зонда неминуче спотворює одержуваний рельєф. Саме форма вістря визначає межі по боковому (латеральному) розрізненню методу, тому дослідження впливу геометрії зонда на точність АСМ-зображень є принципово важливим для досягнення граничної роздільної здатності під час дослідження нанооб’єктів. Серед типових об’єктів нанотехнологій, для яких критичною є коректна інтерпретація рельєфу, виділяють надгладкі поверхні з середньоквадратичною шорсткістю менш як 1 нм, що застосовуються як базові підкладки для побудови широкого класу наносистем. У магістерській роботі здійснено спробу встановити зв’язок між реальною (кінцевою) формою зонда та характеристиками надгладкої поверхні, описаними через PSD-функцію (функцію спектральної густини потужності нерівностей). Запропонований підхід є новим і, за даними автора, раніше не висвітлювався в науковій літературі. Достовірність результатів забезпечена поєднанням аналізу АСМ-зображень реальних поверхонь із чисельним моделюванням процесу зондування. Наукова концепція роботи ґрунтується на урахуванні артефактів атомно-силової мікроскопії шляхом моделювання поверхонь із масштабно-інваріантною (самоподібною) морфологією, що дає змогу відокремити вплив реальної структури поверхні від спотворень, зумовлених формою зонда. The current stage of development of instrumentation and microelectronics is accompanied by a constant decrease in the size of elements of mechanical and radio-electronic systems. Under these conditions, methods that make it possible to study the properties of surfaces at the micro and nano levels are of particular importance. Such methods include atomic force microscopy (AFM), which, unlike electron microscopy, provides not only a projection two-dimensional image, but also a full-fledged three-dimensional reconstruction of the surface relief. At the same time, AFM has a significant limitation: the real geometry of the probe inevitably distorts the resulting relief. It is the shape of the tip that determines the boundaries according to the lateral (lateral) distinction of the method, therefore, the study of the influence of probe geometry on the accuracy of AFM images is fundamentally important for achieving the maximum resolution during the study of nanoobjects. Among the typical objects of nanotechnology, for which the correct interpretation of the relief is critical, ultra-smooth surfaces with RMS roughness of less than 1 nm are distinguished, which are used as basic substrates for the construction of a wide class of nanosystems. In the master's thesis, an attempt was made to establish a relationship between the real (finite) shape of the probe and the characteristics of the ultra-smooth surface described through the PSD function (spectral density function of the power of irregularities). The proposed approach is new and, according to the author, has not previously been covered in the scientific literature. The reliability of the results is ensured by combining the analysis of AFM images of real surfaces with numerical modeling of the sensing process. The scientific concept of the work is based on taking into account the artifacts of atomic force microscopy by modeling surfaces with scale-invariant (self-similar) morphology, which makes it possible to separate the influence of the real surface structure from the distortions caused by the shape of the probe.
URI:	https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/7358
Appears in Collections:	174 Автоматизація, комп'ютерно-інтегровані технології та робототехніка (Робототехнічні системи та автоматизація)
Files in This Item:
File	Description	Size	Format
Диплом-магистр_Басараб О.pdf Restricted Access	Диплом Басараб Ольги	4.88 MB	Adobe PDF	View/Open Request a copy
Презентація Басараб.pdf Restricted Access	Презентація Ольги Басараб	10.75 MB	Adobe PDF	View/Open Request a copy
Show full item record
Extracted text
YEPKACLKMÄ IEPKABHq TEXHOJIOTIYHMÝY HIBEPCHTET 
OAKYJIbTET EJIEKTPOHHMX TEXHOJIOrIÜ 
ABTOTPAHCIIOPTY TA MAIHHOEYIYBAHHI 
KADEIPA IIPMJIAJOEYIYBAHHA, MEXATPOHIKM TA 
KOMII'OTEPM3OBAHMX TEXHOJIOriH 
AonyueHO 10 3axHCTY 
3asinysay Kahenpu IIMKT 
MakcHM BOHIAPEHKO 
2025 p. 
IIOACHIOBAJIbHA 3AIIHCKA 
10 KBaNipikauiaHoi poÑoTH 
MaricTpa 
Ha TeMy «BinTBOpeHHA NOBepxoH5 03 MacIraQHO-0HBapiauTHOHO MOphonoriexo 3a 
A0nOMOroro aTOMHO-CHIOBOd M0KPOCKonii> 
KBanipikauiaHa po60Ta Marictpa MicTHT6 pesynbTaTH BJIaCHHX 10cI0NKeHb. 
BukopuCTaHHA ineH, pe3yIbTaT0B i TeKCT0B 0HIIHX aBTOp0B MaoT5 IOCHJIaHHA Ha 
BiINOB0NHe IKepeio OJIbra BACAPAE 
BukOHaIa 3no6yBayKa BuLoi ocBiTH 
oCB0THbOro cryneHA «MaricTp» 2 Kypcy, 
rpym MPCA-47 
3a crneyianbH0CTIO 174 «ABTOMaTH3auis, 
KOMIT'OTepHo-0HTerpOBaHÈ TeXHOIoriï Ta 
poooTOTexH0Ka», 3a ocBiTHBOKO IpOrpamOKO 
«Po6oTOTeXH0YHÈ CHCTeMH Ta aBTOMaTH3aIjD) 
OIbra EACAPAE 
KepiBHMK Makcum BOHIAPEHKO 
PeueH3eHT BikTop AHTOHIOK 
Hepkacu - 2025 poKy 
YEPKACLKM0LIEPKABHMM TEXHOJIOTIYHHM YHIBEPCHTET 
(nORHe naRMCHyRAHHA BHIIOrO HaA4ATGHOro saknaV) 
GakybTeT eaCKmpoNMUX MexNON020o, aGmompanCnopmy ma MauunO6y) yganA 
Kapeapa npuiado6y)y8anua, Mexampouiku mna KOMn '1omepu30cauux mexHO102Ío 
OcsiTHi0 piscHb Maicmp 
CneuiaTbHiCTb 174 «AsmoMamusauia, KOMn' omepHo-iumeepocani mexnonoaiï ma po6omomexHiKa» 
OcBiTHA IIporpaMa «PobomomexHiyni cucmeMu ma aGmOMamu3ayig» 
(uuop iH a38a) 
3ATBEPIKYO 
3asiuyBay gadenpu IIMKT 
MakcuM BOHIAPEHKO 
2025 pokKy 
3 A BAA H H I 
HA KBAJIIOIKAIHY POBOTY MATICTPA 
Bacapa6 Onbeu CmaHicnasieHU 
(npisBHue, iM'a, no 6aTBKOBi) 
1. Tema poboTH: BiITBOpeHHA IOBepxOH5 i3 Mac1ITaOHO-0HBapiaHTHOKO MOPoonorieO 3a nonOMOrOKO 
arOMHO-CHIOBOd MikpocKonii 
HayKOBAÝ KepiBHHK PofoTH EoHIapeHKo MakCHM OneKci~OBHY, A-D TexH, HayE, IPodecop, 3aB. ka). IIMKT 
(npi3BHue, iM'a, no 6aTbKOB0, HaykoBuH CTYniHb, BYCHe 3BaHHS) 
3aTBepIKeH0H akasOM BAIoro HaByaNbHOTO 3aknary Bin "15" BepecHa 2025 poky Ne 261/03-03 
2. CrpoK NONAHHA 3BO poQoTH 15 rpyHA 2025 poKy 
3. MeTa nocT0KeHHA: 3a6e3nEHEHHA IOCTOB0DHOro BiITBOpeHHA PeaTEHOrO peTbE)y HarNanKHX 
InOBepxoOHL 03 MacuTaQHO-0HBapiarTHOKO MOpdoNOricxo 3a naHHMH aTOMHO-CHIOBO0 M0KpOCKonii 
IIAXOM IIOEIHaHHA MareMaTHYHOrO MOICTKOBAHHA TAKHX NOBepxOHb, MONEI0 reOMeTDHHOÏ 3TOpTKH 
«3OHI-IOBepXHA) Ta aHanisy PSD-dyHKI0} ACM-306paKeHL, IIO n03BOTHTB TIiIBHLHTH TOYH0cTb 
ouiHIOBAHHA napameTpiB HaHopeTbe)y ~_10CTOB0PHiCTE KOHTPOTKO AKOCT0 OITHYHHX Ta 
HaHOeneKTDOHHHX eIeMeHT0B. 
06 'cKm docniðNCeHHA - HarIanki IOBepXH0 CHTaIy, KBapIy Ta TOHKHX OKCHIHHX 1 MeTaNCBHX 
noKDHTT0B, AKi BHKOPHCTOByIOTBCA AK 0NKJaNKHKH ö eneMEHTH onTHYHHX Ta HaHOeJTeKTPOHHHX 
CHCTeM xapakTepn3yroTbCA HaHOMETDHYHOKO IIOpcTKicTIO Ta MacITaOHO-0HBapiauTHOO 
MOpdonoriexo. 
Ipeàmem òocniðicenNA: 3aKOHOMipHOCT0 BiITBOPeHHA (peKORCTPYKLi*) peanbHOro penbedy 
MacITaQHO-0HBapiaHTHHX IIOBepXOH5 3a 1aHHMH aTOMHO-CHIOBOÏ M0KpOCKOnii, 3 ypaxyBaHHAM BIIJIHBY 
aprecaKT0B CKaHyBaHHA, opMH G K0HUeBHX po3MipiB 30H1a, a TakoK MeTOIH MaTeMaTHYHOro 
MOIeTKOBaHHA TaKHX I1OBepxOHb Ta ix PSD-yHKI. 
Memodu docniðNceHb. y poõoTi 3acTOcOBaHO KOMIJEKC MeTON0B IOcI0IKEHHA HaIrMaIKHX nOBepxOHb, 
IIO BKJIIOYa¬ eKcIiepHMeHTaILH0 MeToIH aTOMHO-CHIIOBY MIKpOCKO0KO (ACM) y KOHTaKTHOMY Ta 
Ta po3paxyHKY 
MamiBKOTOKTIIOMy pCKMMaX UIA peCCTpaiï TpHBMM0pHOro HaHopeTbe(Qy 
Ha OCHOBI 
TOBepxOH5 
CTaTHCTIWIX HapaMctpiB II1opcTKOcT0; YHCeIBHC MONCIIOBaHHg pakTaTBHHX Ta 
napameTpaMH 
TopMTMIB TCHcpaiji pMnaj1KOBX IIOBepXOHB 13 3ataHHMH paKTaNbHHMH 
reOMeTpHYHod 
an1OKOPC1iinnMM dynKInNMH; MOJEIIOBAHHA IpOueCy CKaHyBaHHA B HaQnuKeHH0 
ACM-306paxeHHA; 
31oPTKH IOW-HOBcpxI19>_JUIA aManiy_ BIJIMBy þopMM op aFiyca BicTps 30H1a Ha 
)yHKui. 
aBTOKOpenAui}HHX 
cnCKIpJIBBÜ Ananis (o6yWcHCHIA OJUIO- Ta NBOBHM0pHHx PSD-yHKIÚ}. 
BHKOPHCTaHHAM 
bpakrasoi posmipnoCT0) Ta KoMI'1OTePHO-0picHTOBaHy o6po6xy 1aHHx 3 
CHeLjaninOBanoro IIporpaMuOro 3abc3ncyCHHA Ta BJlacHHX anropTMIB. 
4. CTpyKTypa i o6car po6oTH. KpaibikauiHa poboTa Marictpa cKIanaeTBCA 3i BCTYIY, YOTppon 
poyinis, BHCHOBK0B, CHHCKY BHKOPHCTaHHX JDKepeJI, 101aTK0B. 
5. IIpesenTanii na 20 craaaax. 
6. Koncy.nTaTH poyzinin KBaniikaniaanoi po6oTH Maricrpa 
IlinnHC, maTa 
IIpi3Baue, iHiujaTH Ta rnocana 3aBIaHHA 
Po3nin 3aB1aHHA 
KOHCyIbTaHTa BHIaB mpuHAB, 
TeoperuHn0 
BOHnapeHKO M.O., I-p TeXH. Hayk, 
MerounÄ 
npoecop, 3aBinyBay Kapexpu IIMKT 
locninuHIBKH0 
TyyKOB B.B., K-T TeXH. Hayk, I0I., 
HopMoKoHTpOTb 101, Kaenpu IIMKT 
7. Jlara BHNaYi3 aBjaHHa "15" BepeCHA 2025 poky 
KAJIEHIAPHMM IIJJAH 
No CTpOK BKOHAHHI eTaniB 
Hassa eTaniB KBaniþikauiqHoi poQoTH Maricrpa IpviKa 
3/1 poQoTH 
TeopeTHHHH po3nin 15.09.25 -05.10.25 BHK 
2 TexHonoriHHÝ pO3zin 06.10.25 - 26.10.25 BHK 
IocninHuUBKHÝ PO3nin 27.10.25- 23.11.25 BHK 
4 OopMIEHHA NOACHIOBAJTbHOÈ 3aHCKH 24.11.25-07.12.25 BHK 
OpopMneHHA Cy+pOB0IHOÏ IOKyMeHTaIii 01.12.25- 15.12.25 BHK 
OhopmIeHHA Ipe3EHTauii 08.12.25 - 15.12.25 
6 BHK 
Po6oTa Han nonOB0IIO 08.12.25 - 15.12.25 BHK 
MaricrpawT OMbra BACAPA5 
ninnnc )l (npi3BHIe Ta iHiuianH) 
KepiBHuK po6oTH MakcuM BOHIAPEHKO 
(niaryt ) (npi3BHuue Ta iH0ujanu) 
РЕФЕРАТ 
Басараб О.С. Відтворення поверхонь із масштабно-інваріантною 
морфологією за допомогою атомно-силової мікроскопії. – Кваліфікаційна робота 
магістра. 
Кваліфікована робота магістра на здобуття освітнього ступеня магістра за 
спеціальністю 174 «Автоматизація, комп’ютерно-інтегровані технології та 
робототехніка» за освітньою програмою «Робототехнічні системи та 
автоматизація» – Черкаський державний технологічний університет, Черкаси, 
2025. 
Кваліфікаційна робота магістра присвячена розробленню та обґрунтуванню 
методичного й модельного підходів до відтворення реального рельєфу надгладких 
поверхонь із масштабно-інваріантною морфологією за даними атомно-силової 
мікроскопії з урахуванням впливу форми зонда та артефактів сканування. 
Мета і завдання дослідження. Метою магістерського дослідження є 
забезпечення достовірного відтворення реального рельєфу надгладких поверхонь 
із масштабно-інваріантною морфологією за даними атомно-силової мікроскопії 
шляхом поєднання математичного моделювання таких поверхонь, моделі 
геометричної згортки «зонд–поверхня» та аналізу PSD-функцій АСМ-зображень, 
що дозволить підвищити точність оцінювання параметрів нанорельєфу й 
достовірність контролю якості оптичних та наноелектронних елементів. 
Для вирішення поставленої мети необхідно розв’язати такі задачі: 
1. Провести критичний аналіз вітчизняних та зарубіжних досліджень, присвячених 
атомно-силовій мікроскопії, масштабно-інваріантній морфології поверхонь та 
впливу артефактів сканування на результати АСМ-вимірювань. 
2. Розробити математичні моделі масштабно-інваріантних поверхонь та алгоритми 
їх генерації, які забезпечують задання і контроль фрактальної розмірності, 
параметрів автокореляційної функції та PSD-функцій. 
3. Сформувати модель процесу АСМ-сканування з використанням геометричної 
згортки реального рельєфу з модельними формами зонда (конус, сфера, 
 
комбінована форма) й дослідити вплив кінцевих розмірів та геометрії зонда на 
отримані АСМ-зображення та їх PSD-функції. 
4. Розробити та програмно реалізувати методику відтворення (реконструкції) 
рельєфу поверхні з АСМ-зображень масштабно-інваріантних поверхонь на 
основі інверсії моделі згортки та апроксимації статистичних характеристик 
нанорельєфу. 
5. Провести порівняльний аналіз експериментальних і змодельованих даних, 
оцінити похибки відтворення рельєфу та сформулювати практичні рекомендації 
щодо вибору зондів, режимів та масштабів сканування при дослідженні 
надгладких поверхонь з масштабно-інваріантною структурою. 
Об'єкт дослідження – надгладкі поверхні ситалу, кварцу та тонких оксидних 
і металевих покриттів, які використовуються як підкладинки й елементи оптичних 
та наноелектронних систем і характеризуються нанометричною шорсткістю та 
масштабно-інваріантною морфологією. 
Предмет дослідження – закономірності відтворення (реконструкції) 
реального рельєфу масштабно-інваріантних поверхонь за даними атомно-силової 
мікроскопії, з урахуванням впливу артефактів сканування, форми й кінцевих 
розмірів зонда, а також методи математичного моделювання таких поверхонь і їх 
PSD-функцій. 
Наукова новизна отриманих результатів полягає в такому: 
– Вперше запропоновано узагальнений підхід до відтворення масштабно-
інваріантних поверхонь за даними АСМ, який поєднує моделювання 
нанорельєфу та модель геометричної згортки «зонд–поверхня» – за рахунок чого 
встановлено кількісний зв’язок між формою й розмірами зонда та «завалами» 
PSD-функцій у області високих просторових частот, що дозволило оцінити та 
зменшити систематичні похибки відтворення рельєфу надгладких поверхонь. 
– Удосконалено методику визначення масштабно-інваріантної розмірності та 
кореляційних параметрів поверхонь на основі аналізу PSD-функцій, 
розрахованих із експериментальних та змодельованих АСМ-зображень, шляхом 
використання узгодженої KWW-апроксимації автокореляційних функцій, що 
 
підвищило точність опису масштабної інваріантності нанорельєфу та чутливість 
до змін параметрів поверхні. 
– Розроблено й апробовано програмний модуль чисельного моделювання та 
відтворення рельєфу надгладких поверхонь з урахуванням кінцевих розмірів 
зонда, за рахунок застосування алгоритмів генерації масштабно-інваріантних 
поверхонь та швидких Фур’є-перетворень для обчислення PSD-функцій, що 
забезпечило можливість оперативної оцінки впливу зондів різної геометрії та 
оптимізації параметрів АСМ-сканування. 
Практичне значення отриманих результатів полягає у створенні 
інструментарію для підвищення достовірності АСМ-досліджень надгладких 
поверхонь. Розроблені моделі та програмні засоби дозволяють імітувати 
масштабно-інваріантний нанорельєф та процес його сканування реальними 
зондами, що дає можливість оцінювати вплив форми й радіуса зонда, розміру 
області сканування та режиму роботи АСМ на результати вимірювань і обирати 
оптимальні умови контролю поверхні. 
Запропонована методика відтворення поверхонь із масштабно-інваріантною 
морфологією може бути використана в метрологічному забезпеченні контролю 
якості тонких покриттів, оптичних підкладок та елементів наноелектроніки, де 
критично важливі низька шорсткість і стабільні параметри нанорельєфу. 
У вступі обґрунтовано актуальність задачі відтворення надгладких 
поверхонь із масштабно-інваріантною морфологією за даними атомно-силової 
мікроскопії, сформульовано мету, об’єкт, предмет, задачі дослідження, визначено 
наукову новизну, практичну значущість, а також наведено стислий опис структури 
роботи. 
В першому розділі виконано огляд науково-технічної літератури щодо 
методів дослідження надгладких поверхонь, масштабно-інваріантної моделі 
рельєфу, статистичних характеристик наношорсткості (СКВ, автокореляційна 
функція, PSD-функція) та впливу форми зонда АСМ на результати вимірювань; 
проаналізовано наявні моделі зонда і наближення геометричної згортки, що 
 
дозволило обґрунтувати вибір підходу до відтворення поверхонь за допомогою 
АСМ. 
В другому розділі наведено експериментально-дослідні методики: описано 
конструкцію та можливості атомно-силового мікроскопа NT-206, характеристику 
використовуваних зондів (типу CSC-38), вимоги до умов проведення 
експериментів, процедури підготовки зразків і налаштування системи 
детектування; представлено узагальнену методику вимірювання нанорельєфу 
твердих поверхонь та методику обробки отриманих АСМ-зображень для 
подальшого спектрального й фрактального аналізу. 
В третьому розділі розроблено математичну модель структури поверхні з 
масштабно-інваріантною морфологією на основі теорії фракталів, описано 
алгоритми генерації тааких поверхонь із заданими параметрами (фрактальна 
розмірність, довжина кореляції, параметр Херста), а також побудовано програмне 
забезпечення для розрахунку PSD-функцій і масштабно-інваріантних параметрів; 
проведено чисельні експерименти з моделювання поверхонь і аналізом їх 
спектральних характеристик. 
В четвертому розділі здійснено моделювання процесу АСМ-сканування 
масштабно-інваріантних поверхонь із використанням модельних форм зонда та 
наближення геометричної згортки, досліджено вплив кінцевого розміру й геометрії 
вістря на АСМ-зображення та PSD-функції, проаналізовано появу «завалів» у 
області високих просторових частот; на основі моделі запропоновано й 
протестовано методику відтворення реального рельєфу поверхні, проведено 
порівняння з експериментальними даними та сформульовано рекомендації щодо 
вибору параметрів АСМ-досліджень масштабно-інваріантних поверхонь. 
У загальних висновках підсумовано основні результати роботи, наведено 
узагальнення щодо можливостей і обмежень відтворення поверхонь із масштабно-
інваріантною морфологією за даними АСМ, окреслено напрями подальших 
досліджень, пов’язаних із удосконаленням моделей зонда та розширенням 
застосування розроблених підходів до мультишарових покриттів і складніших 
наноструктур.  
 
Ключові слова: фрактальна розмірність нанорельєфу, PSD-функція поверхні, 
артефакти зондового сканування, надгладкі діелектричні підкладинки, 
моделювання процесу АСМ-вимірювань, нанометрична шорсткість. 
Список основних публікацій магістранта 
1. Basarab, О. & Bondarenko, M. (2025). Reconstruction of Surfaces with Scale-
Invariant Morphology Using Atomic Force Microscopy. In: The Ukrainian Scientific and 
Practical Conference "Scientific Research Methodology – 2025", ChSTU: Cherkasy, 
Ukraine, 59-60.  
  
 
ABSTRACT 
Basarab O.S. Reproduction of surfaces with scale-invariant morphology using 
atomic force microscopy. – Master's qualification thesis. 
Qualified master's thesis for a master's degree in the specialty 174 "Automation, 
Computer-Integrated Technologies and Robotics" under the educational program 
"Robotic Systems and Automation" – Cherkasy State Technological University, 
Cherkasy, 2025. 
The master'  s thesis is devoted to the development and substantiation of 
methodological and model approaches to the reproduction of the real relief of ultra-
smooth surfaces with scale-invariant morphology according to atomic force microscopy, 
taking into account the influence of the probe shape and scanning artifacts. 
Purpose and objectives of the study. The purpose of the master's research is to 
ensure a reliable reproduction of the real relief of ultra-smooth surfaces with scale-
invariant morphology according to atomic force microscopy by combining mathematical 
modeling of such surfaces, a model of geometric convolution "probe-surface" and 
analysis of PSD functions of AFM images, which will increase the accuracy of estimation 
of nanorelief parameters and the reliability of quality control of optical and nanoelectronic 
elements. 
To solve this goal, it is necessary to solve the following tasks: 
1. To conduct a critical analysis of domestic and foreign studies on atomic force 
microscopy, scale-invariant morphology of surfaces and the influence of scanning 
artifacts on the results of AFM measurements. 
2. To develop mathematical models of scale-invariant surfaces and algorithms for their 
generation, which provide the definition and control of fractal dimension, parameters 
of the autocorrelation function and PSD functions. 
3. To form a model of the AFM scanning process using a geometric convolution of real 
relief with model shapes of the probe (cone, sphere, combined shape) and to investigate 
the influence of the final dimensions and geometry of the probe on the obtained AFM 
images and their PSD functions. 
 
4. To develop and programmatically implement a method of reproduction 
(reconstruction) of surface relief from AFM images of scale-invariant surfaces based 
on the inversion of the convolution model and approximation of statistical 
characteristics of the nanorelief. 
5. To conduct a comparative analysis of experimental and simulated data, to estimate the 
errors of relief reproduction and to formulate practical recommendations for the choice 
of probes, modes and scales of scanning in the study of ultra-smooth surfaces with a 
scale-invariant structure. 
The object of research is ultra-smooth surfaces of sital, quartz and thin oxide and 
metallic coatings, which are used as substrates and elements of optical and nanoelectronic 
systems and are characterized by nanometric roughness and scale-invariant morphology. 
The subject of the study is  the regularities of reproduction (reconstruction) of the 
real relief of scale-invariant surfaces according to atomic force microscopy, taking into 
account the influence of scanning artifacts, the shape and final dimensions of the probe, 
as well as methods of mathematical modeling of such surfaces and their PSD functions. 
The scientific novelty of the results obtained is as follows: 
– For the first time, a generalized approach to the reproduction of scale-invariant surfaces 
based on AFM data has been proposed, which combines nanorelief modeling and a 
model of geometric convolution "probe-surface" – due to which a quantitative 
relationship has been established between the shape and dimensions of the probe and 
the "blockages" of PSD functions in the region of high spatial frequencies, which made 
it possible to estimate and reduce systematic errors in the reproduction of the relief of 
ultra-smooth surfaces. 
– The methodology for determining the scale-invariant dimension and correlation 
parameters of surfaces based on the analysis of PSD functions calculated from 
experimental and simulated AFM images has been improved by using a consistent 
KWW-approximation of autocorrelation functions, which has increased the accuracy 
of the description of the scale invariance of the nanorelief and sensitivity to changes in 
surface parameters. 
 
– A software module for numerical modeling and reproduction of the relief of ultra-
smooth surfaces, taking into account the final dimensions of the probe, was developed 
and tested, due to the use of algorithms for generating scale-invariant surfaces and fast 
Fourier transforms for calculating PSD functions, which provided the ability to quickly 
assess the impact of probes of different geometries and optimize the parameters of 
AFM scanning. 
The practical significance of the obtained results lies in the creation of tools to 
increase the reliability of AFM studies of ultra-smooth surfaces. The developed models 
and software tools make it possible to simulate a scale-invariant nanorelief and the 
process of its scanning with real probes, which makes it possible to assess the influence 
of the shape and radius of the probe, the size of the scanning area and the mode of 
operation of the AFM on the measurement results and to choose the optimal conditions 
for surface control. 
The proposed technique for reproducing surfaces with scale-invariant morphology 
can be used in metrological quality control of thin coatings, optical substrates and 
nanoelectronics elements, where low roughness and stable nanorelief parameters are 
critically important. 
In the introduction , the relevance of the problem of reproducing ultra-smooth 
surfaces with scale-invariant morphology according to atomic force microscopy data is 
substantiated, the purpose, object, subject, research tasks are formulated, scientific 
novelty, practical significance are determined, and a brief description of the structure of 
the work is given. 
In the first section , a review of the scientific and technical literature on methods 
for studying ultra-smooth surfaces, scale-invariant relief model, statistical characteristics 
of nanoroughness (SLR, autocorrelation function, PSD-function) and the influence of the 
shape of the AFM probe on the measurement results is performed; the available models 
of the probe and the approximation of geometric convolution are analyzed, which made 
it possible to justify the choice of an approach to the reproduction of surfaces using AFM. 
The second section presents experimental and research methods: the design and 
capabilities of the NT-206 atomic force microscope, the characteristics of the probes used 
 
(CSC-38 type), the requirements for the conditions of experiments, the procedures for 
preparing samples and setting up the detection system are described; a generalized 
method for measuring the nanorelief of solid surfaces and the method of processing the 
obtained AFM images for further spectral and fractal analysis are presented. 
In the third section , a mathematical model of the surface structure with scale-
invariant morphology based on the theory of fractals is developed, algorithms for 
generating such surfaces with specified parameters (fractal dimension, correlation length, 
Hurst parameter) are described, and software for calculating PSD-functions and scale-
invariant parameters is built; numerous experiments on modeling surfaces and analysis 
of their spectral characteristics are conducted. 
In the fourth section, the process  of AFM scanning of scale-invariant surfaces 
using model probe shapes and geometric convolution approximation was carried out, the 
influence of the final size and geometry of the tip on the AFM image and PSD functions 
was investigated, the appearance of "blockages" in the region of high spatial frequencies 
was analyzed; on the basis of the model, the method of reproducing the real surface relief 
was proposed and tested, a comparison with experimental data and recommendations for 
the selection of parameters of AFM studies of scale-invariant surfaces are formulated. 
The general conclusions summarize the main results of the work, generalize the 
possibilities and limitations of reproducing surfaces with scale-invariant morphology 
according to AFM data, outline the directions of further research related to the 
improvement of probe models and expand the application of the developed approaches to 
multilayer coatings and more complex nanostructures.  
Keywords: fractal dimension of nanorelief, PSD surface function, probe scanning 
artifacts, ultrasmooth dielectric substrates, simulation of the AFM measurement process, 
nanometric roughness. 
List of major publications of a master's student 
1. Basarab, O. & Bondarenko, M. (2025). Reconstruction of Surfaces with Scale-
Invariant Morphology Using Atomic Force Microscopy. In: The Ukrainian Scientific and 
Practical Conference "Scientific Research Methodology – 2025", ChSTU: Cherkasy, 
Ukraine, 59-60. 
 
ЗМІСТ 
 
 Список скорочень ………………………………………………….. 4 
 Вступ …………………………………………………….…………. 5 
Розділ 1. Аналіз методів та засобів атомно-силової мікроскопії в  
питаннях дослідження поверхонь із масштабно-  
інваріантною морфологією ….………………………….…….. 9 
1.1. Особливості обрання методу та об‘єктів дослідження …......... 9 
1.2. Формалізований опис структури реальних поверхонь ………. 12 
1.3. Вплив розмірів зонда АСМ на характеристики нанорельєфу. .1 7 
1.4. Моделювання поверхонь зі самоподібною структурою .…… 18 
1.5. Числове моделювання форми зонда в процесі контакту  
кантилевера з поверхнею ……………………………………… 21 
 Висновки до розділу 1 ………………………………………… 26 
Розділ 2. Методики проведення дослідницького експерименту ……… 28 
2.1. Обґрунтування вибору об’єктів дослідження ……….……….…28  
2.2. Універсальна методика вимірювання нанорельєфу твердих  
поверхонь ………………………………………………………. 29 
2.3. Методика вимірювання рельєфу поверхонь методом   
атомно-силової мікроскопії ..........................................................3 5 
 Висновки до розділу 2 ………………………………………… 42 
Розділ 3. Моделювання морфології поверхні на основі теорії  
масштабно-інваріантної геометрії ……………………………. 43 
3.1. Математичне моделювання структури поверхні та  
сформованого на ній покриття ………………………………… 43 
3.2. Аналіз та узагальнення даних, отриманих під час  
математичного моделювання …………………………………. 49 
 Висновки до розділу 3 ………………………………………… 53 
Розділ 4. Дослідження процесу моделювання поверхонь із   
масштабно-інваріантною морфологією з урахуванням   
 2 
впливу артефактів сканування атомно-силовою   
мікроскопією …………………………………………………… 54 
4.1. Обґрунтування підходу до моделювання процесу   
отримання АСМ-зображення ………………………………….. 54 
4.2. Вплив обмеженої геометрії зонда на результати АСМ-  
зображення ……………………………………………………… 63 
4.3. Вплив обмежених розмірів зонда на PSD-характеристики  
поверхні ………………………………………………………… 66 
4.4. Критичний аналіз адекватності обраної моделі ……………….7 0 
 Загальні висновки …………………………………………………. 79 
 Список використаних джерел …………………………………….. 81 
 Додатки ……………………………………………………………… 84 
 3 
СПИСОК СКОРОЧЕНЬ 
 
АСМ – атомно-силова мікроскопія; 
СКО – середньоквадратичне відхилення; 
СТМ – скануюча тунельна мікроскопія; 
РЕМ – растрова електронна мікроскопія; 
KWW – функція Kohlrausch-Wiliams-Watts; 
PSD-функція – функція розподілу спектральної густини енергії (power spectral 
density). 
 
 4 
ВСТУП 
 
Актуальність теми дослідження. Сучасний етап розвитку 
приладобудування та мікроелектроніки супроводжується постійним зменшенням 
розмірів елементів механічних і радіоелектронних систем. У цих умовах 
особливої ваги набувають методи, що дають змогу досліджувати властивості 
поверхонь на мікро- та нанорівні. До таких методів належить атомно-силова 
мікроскопія (АСМ), яка, на відміну від електронної мікроскопії, забезпечує не 
лише проєкційне двовимірне зображення, а й повноцінну тривимірну 
реконструкцію рельєфу поверхні. 
Разом з тим, АСМ має суттєве обмеження: реальна геометрія зонда 
неминуче спотворює одержуваний рельєф. Саме форма вістря визначає межі по 
боковому (латеральному) розрізненню методу, тому дослідження впливу 
геометрії зонда на точність АСМ-зображень є принципово важливим для 
досягнення граничної роздільної здатності під час дослідження нанооб’єктів. 
Серед типових об’єктів нанотехнологій, для яких критичною є коректна 
інтерпретація рельєфу, виділяють надгладкі поверхні з середньоквадратичною 
шорсткістю менш як 1 нм, що застосовуються як базові підкладки для побудови 
широкого класу наносистем. У магістерській роботі здійснено спробу встановити 
зв’язок між реальною (кінцевою) формою зонда та характеристиками надгладкої 
поверхні, описаними через PSD-функцію (функцію спектральної густини 
потужності нерівностей). Запропонований підхід є новим і, за даними автора, 
раніше не висвітлювався в науковій літературі. Достовірність результатів 
забезпечена поєднанням аналізу АСМ-зображень реальних поверхонь із 
чисельним моделюванням процесу зондування. 
Наукова концепція роботи ґрунтується на урахуванні артефактів атомно-
силової мікроскопії шляхом моделювання поверхонь із масштабно-інваріантною 
(самоподібною) морфологією, що дає змогу відокремити вплив реальної 
структури поверхні від спотворень, зумовлених формою зонда. 
 5 
Мета й завдання дослідження. Забезпечення достовірного відтворення 
реального рельєфу надгладких поверхонь із масштабно-інваріантною 
морфологією за даними атомно-силової мікроскопії шляхом поєднання 
математичного моделювання таких поверхонь, моделі геометричної згортки 
«зонд–поверхня» та аналізу PSD-функцій АСМ-зображень, що дозволить 
підвищити точність оцінювання параметрів нанорельєфу й достовірність 
контролю якості оптичних та наноелектронних елементів. 
Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити такі задачі: 
1. Провести критичний аналіз вітчизняних та зарубіжних досліджень, 
присвячених атомно-силовій мікроскопії, масштабно-інваріантній морфології 
поверхонь та впливу артефактів сканування на результати АСМ-вимірювань. 
2. Розробити математичні моделі масштабно-інваріантних поверхонь та 
алгоритми їх генерації, які забезпечують задання і контроль фрактальної 
розмірності, параметрів автокореляційної функції та PSD-функцій. 
3. Сформувати модель процесу АСМ-сканування з використанням 
геометричної згортки реального рельєфу з модельними формами зонда (конус, 
сфера, комбінована форма) й дослідити вплив кінцевих розмірів та геометрії 
зонда на отримані АСМ-зображення та їх PSD-функції. 
4. Розробити та програмно реалізувати методику відтворення 
(реконструкції) рельєфу поверхні з АСМ-зображень масштабно-інваріантних 
поверхонь на основі інверсії моделі згортки та апроксимації статистичних 
характеристик нанорельєфу. 
5. Провести порівняльний аналіз експериментальних і змодельованих даних, 
оцінити похибки відтворення рельєфу та сформулювати практичні рекомендації 
щодо вибору зондів, режимів та масштабів сканування при дослідженні 
надгладких поверхонь з масштабно-інваріантною структурою. 
Об’єкт дослідження – надгладкі поверхні ситалу, кварцу та тонких 
оксидних і металевих покриттів, які використовуються як підкладинки й елементи 
оптичних та наноелектронних систем і характеризуються нанометричною 
шорсткістю та масштабно-інваріантною морфологією. 
 6 
Предмет дослідження – закономірності відтворення (реконструкції) 
реального рельєфу масштабно-інваріантних поверхонь за даними атомно-силової 
мікроскопії, з урахуванням впливу артефактів сканування, форми й кінцевих 
розмірів зонда, а також методи математичного моделювання таких поверхонь і їх 
PSD-функцій. 
Методи дослідження. У роботі застосовано комплекс методів дослідження 
надгладких поверхонь, що включає експериментальні методи – атомно-силову 
мікроскопію (АСМ) у контактному та напівконтактному режимах для реєстрації 
тривимірного нанорельєфу та розрахунку статистичних параметрів шорсткості; 
чисельне моделювання фрактальних поверхонь на основі алгоритмів генерації 
випадкових поверхонь із заданими фрактальними параметрами та 
автокореляційними функціями; моделювання процесу сканування в наближенні 
геометричної згортки «зонд–поверхня» для аналізу впливу форми й радіуса вістря 
зонда на АСМ-зображення; спектральний аналіз (обчислення одно- та 
двовимірних PSD-функцій, автокореляційних функцій, фрактальної розмірності) 
та комп’ютерно-орієнтовану обробку даних з використанням спеціалізованого 
програмного забезпечення та власних алгоритмів. 
Наукова новизна одержаних результатів.  
– Вперше запропоновано узагальнений підхід до відтворення масштабно-
інваріантних поверхонь за даними АСМ, який поєднує моделювання нанорельєфу 
та модель геометричної згортки «зонд–поверхня» – за рахунок чого встановлено 
кількісний зв’язок між формою й розмірами зонда та «завалами» PSD-функцій у 
області високих просторових частот, що дозволило оцінити та зменшити 
систематичні похибки відтворення рельєфу надгладких поверхонь.  
– Удосконалено методику визначення масштабно-інваріантної розмірності 
та кореляційних параметрів поверхонь на основі аналізу PSD-функцій, 
розрахованих із експериментальних та змодельованих АСМ-зображень, шляхом 
використання узгодженої KWW-апроксимації автокореляційних функцій, що 
підвищило точність опису масштабної інваріантності нанорельєфу та чутливість 
до змін параметрів поверхні. 
 7 
– Розроблено й апробовано програмний модуль чисельного моделювання та 
відтворення рельєфу надгладких поверхонь з урахуванням кінцевих розмірів 
зонда, за рахунок застосування алгоритмів генерації масштабно-інваріантних 
поверхонь та швидких Фур’є-перетворень для обчислення PSD-функцій, що 
забезпечило можливість оперативної оцінки впливу зондів різної геометрії та 
оптимізації параметрів АСМ-сканування. 
Практичне значення одержаних результатів.  
Результати дослідження полягають у створенні інструментарію для 
підвищення достовірності АСМ-досліджень надгладких поверхонь. Розроблені 
моделі та програмні засоби дозволяють імітувати масштабно-інваріантний 
нанорельєф та процес його сканування реальними зондами, що дає можливість 
оцінювати вплив форми й радіуса зонда, розміру області сканування та режиму 
роботи АСМ на результати вимірювань і обирати оптимальні умови контролю 
поверхні. 
Апробація результатів дисертації. Результати досліджень були 
представлені на ІІ-й Всеукраїнській науково-практичній конференції 
«Методологія наукових досліджень» (на англ.мові) (Черкаси: ЧДТУ, 2025). 
Публікації. По темі дисертації опублікована 1 теза доповідей. 
 8 
РОЗДІЛ 1 
АНАЛІЗ МЕТОДІВ ТА ЗАСОБІВ АТОМНО-СИЛОВОЇ МІКРОСКОПІЇ В 
ПИТАННЯХ ДОСЛІДЖЕННЯ ПОВЕРХОНЬ ІЗ МАСШТАБНО-
ІНВАРІАНТНОЮ МОРФОЛОГІЄЮ 
 
1.1. Особливості обрання методу та об‘єктів дослідження 
Як об’єкт дослідження розглядаються надгладкі поверхні ситалу та кварцу з 
середньою шорсткістю порядку 1–5 Å. Такі підкладки широко застосовують для 
осадження багатошарових інтерференційних дзеркальних структур. Багатошарові 
інтерференційні покриття працюють як високоефективні оптичні елементи у 
видимому діапазоні довжин хвиль [27–28], а також в ультрафіолетовій та 
рентгенівській області спектра [2, 26–28]. Для всіх цих застосувань критичною є 
надзвичайно мала шорсткість меж поділу шарів у багатошаровому покритті. 
Розсіювання рентгенівського та ультрафіолетового випромінювання визначається 
нерівностями поверхні з розмірами, порівнянними з відповідною довжиною хвилі, 
тому метод дослідження має забезпечувати роботу на дуже малих просторових 
масштабах. Крім того, відомо, що мікрорельєф дзеркального покриття суттєво 
успадковує мікрорельєф підкладки, тож коректний аналіз саме поверхні підкладки 
є важливою та самостійною задачею. 
Методи вивчення надгладких поверхонь умовно поділяють на дві великі 
групи [2]: «прямі» методи, що безпосередньо реєструють топографію поверхні, та 
методи, які ґрунтуються на аналізі розсіювання електромагнітного 
випромінювання на нерівностях рельєфу. До прямого підходу належать 
профілометрія, атомно-силова мікроскопія (АСМ) та сканувальна тунельна 
мікроскопія (СТМ). Основним представником другої групи є метод 
рентгенівського розсіювання (РР). На рис. 1.1 наведено діапазони просторового 
розділення зазначених методів. 
 9 
 
Рисунок 1.1 - Діаграма, що ілюструє діапазони вимірювання різних методів:  
1 – СТМ; 2 – АСМ; 3 – Оптичний профілометр; 4 – Рентгенівське розсіяння 
 
З діаграми на рис. 1.1 видно, що в нанометрому діапазоні доступними є три 
техніки: сканувальна тунельна мікроскопія, рентгенівське розсіювання та атомно-
силова мікроскопія. Кожна з них, однак, має свої обмеження. СТМ забезпечує 
дуже високу роздільну здатність, але придатна переважно для дослідження 
електропровідних поверхонь. Інформативність РР істотно залежить від 
інтенсивності рентгенівського випромінювання, тому повний просторовий 
діапазон, показаний на діаграмі, реалізується фактично лише при використанні 
синхротронних джерел. У лабораторних умовах, як зазначено в [2], просторове 
розділення вдається довести лише до ≈100 нм. Класична профілометрія, хоч і 
дозволяє отримувати профілі поверхні, значно обмежена щодо дослідження 
нанометричних нерівностей. 
У цій роботі як базовий інструмент дослідження вибрано атомно-силову 
мікроскопію. Діапазон можливостей АСМ (див. рис. 1.1) робить її одним із 
найпривабливіших методів для аналізу надгладких поверхонь, оскільки вона дає 
змогу безпосередньо отримувати двовимірну функцію рельєфу. Водночас 
роздільна здатність АСМ у латеральному (XY) напрямку обмежена радіусом 
заокруглення зонда й зазвичай лежить у межах від ≈100 мкм до ≈10 нм, тоді як по 
координаті Z досягаються субнанометричні значення. Це означає, що на межі 
можливостей методу необхідно спеціально оцінювати достовірність отриманих 
 10 
даних, зокрема встановлювати, наскільки форма та радіус вістря впливають на 
відтворюваний рельєф. Саме аналіз точності АСМ-вимірювань для надгладких 
поверхонь є одним із ключових завдань цієї роботи. 
Основними елементами атомно-силового мікроскопа є кантилевер із вістрям 
(зонд), система оптичної реєстрації його прогину (лазерний промінь та 
чотирисекційний фотодіод) і сканер, який переміщує зразок або зонд по 
координатах X–Y–Z (рис. 1.2). 
 
Рисунок 1.2 - Основні елементи АСМ 
 
Під час сканування зонд рухається над поверхнею рядок за рядком; у міру 
проходження нерівностей кантилевер прогинається, а відхилення відбитого 
лазерного променя реєструється детектором. Зонд являє собою тонку пружну 
балку довжиною приблизно 100–400 мкм з голкою на вільному кінці; довжина 
голки становить близько 100 мкм, а радіус заокруглення вістря зазвичай не 
перевищує кількох десятків нанометрів. Саме цими параметрами визначається 
латеральна роздільна здатність. Сучасні технології дозволяють виготовляти зонда 
з радіусом вістря 1–2 нм, але такі надгострі голки мають невелику висоту (~20 нм) 
і найкраще працюють для поверхонь з малорозвиненим мікрорельєфом. 
За способом взаємодії зонда із поверхнею виділяють два основних режими 
роботи АСМ: контактний та напівконтактний (tapping). У контактному режимі 
вістря безперервно торкається поверхні, сила взаємодії визначається прогином і 
жорсткістю кантилевера і може досягати значних величин, що підвищує ризик 
механічної модифікації досліджуваного зразка й зносу самого зонда. У 
 11 
напівконтактному режимі кантилевер примусово коливається; більшу частину 
періоду вістря або зовсім не торкається поверхні, або взаємодіє з нею дуже слабко 
(порядку 10⁻¹⁰–10⁻¹² Н), а різке зростання сили відбувається лише поблизу 
відштовхувальної частини потенціалу. Система зворотного зв’язку підтримує 
амплітуду коливань сталою, і саме її зміни використовуються для відтворення 
рельєфу. 
Для вимірювань в атмосфері напівконтактний режим вважається більш 
придатним, оскільки забезпечує краще просторове розділення, зменшує 
ймовірність пошкодження поверхні та зонда і загалом дає більш стабільні 
результати при дослідженні надгладких зразків. У будь-якому випадку реальна 
роздільна здатність АСМ у нанометрому діапазоні цілком визначається 
параметрами зонда, тому вивчення достовірності АСМ-даних поблизу граничного 
розділення є однією з центральних задач цієї роботи. 
 
1.2. Формалізований опис структури реальних поверхонь 
Як зазначалося вище, поставлену задачу будемо розв’язувати шляхом 
чисельного моделювання процесу взаємодії зонда з досліджуваною поверхнею. 
Щоб штучно відтворена поверхня максимально наближалася до реальної, спершу 
опишемо основні особливості надгладких поверхонь. 
Характеристика надгладких поверхонь. У роботі приймається припущення, 
що значна частина реальних поверхонь у природі має самоподібну, масштабно-
інваріантну структуру [1]. За таких умов стандартні геометричні характеристики 
на кшталт довжини, площі чи об’єму втрачають однозначний зміст, і для опису 
властивостей поверхні доцільно використовувати узагальнені параметри 
розмірності. Багато фізичних характеристик подібних об’єктів зручно виражати 
через узагальнену розмірність (D) та показник самоподібності (параметр Герста, 
h). Для поверхні ці величини пов’язані співвідношенням: D = 3 – h. 
Для статистичного опису надгладких поверхонь застосовують стандартний 
набір параметрів шорсткості: середнє арифметичне відхилення висоти, 
середньоквадратичне відхилення висоти, автокореляційну функцію, функцію 
 12 
спектральної щільності потужності та ефективну шорсткість [2,3]. Нижче 
розглянемо методику їх обчислення за даними АСМ, фізичний зміст кожної 
величини та взаємозв’язок між ними [4]. 
Середньоквадратичне відхилення висоти. Результати вимірювань методом 
АСМ можна подати у вигляді двовимірної дискретної функції висоти поверхні: 
z(ρ), де ρ ≡ (x, y).      (1.1) 
Однією з базових характеристик шорсткості, що розраховується за АСМ-
даними, є середньоквадратичне відхилення (СКВ) висоти: 
,     (1.2) 
де Rmean = 1/S gz(ρ) dρ - середня висота рельєфу в межах відсканованої ділянки, а 
S – площа АСМ-зображення, за яким проводиться обчислення. Фізично це 
означає, що для поверхонь із нормальним (гаусовим) розподілом висот величина 
���� відповідає ширині піка розподілу на напіввисоті.  
Якби функція рельєфу z(ρ) була відомою як безперервна на всій площі 
об’єкта, формула (1.2) давала б «істинне» значення параметра ����. У реальному ж 
АСМ-експерименті вимірювання виконуються дискретно на обмеженій ділянці 
площі S з певним просторовим кроком. У такому випадку Rq, обчислений за (1.2), 
відображає шорсткість у діапазоні масштабів від кроку переміщення зонда до 
розміру області сканування. Таким чином, ���� залежить від масштабу 
спостереження, що не дозволяє розглядати його як універсальний (єдиний) 
параметр шорсткості. Попри це, величина ���� несе важливу інформацію про 
параметри поверхневої структури, хоча сама по собі не розкриває її деталізовану 
просторову організацію. 
Функція спектральної щільності потужності. У багатьох випадках для 
аналізу шорсткості більш інформативним є спектральне подання величини ����. 
Виходячи з відомої функції рельєфу поверхні, спочатку обчислюють 
автокореляційну функцію: 
C(ρ) = (z(ρ + ρ’) z(ρ)), ρ ≡ (x, y),     (1.3) 
 13 
де трикутні дужки означають усереднення. На основі автокореляційної 
функції далі визначають одновимірну та двовимірну функції спектральної 
щільності потужності (PSD, power spectral density), які й задають спектральне 
подання параметра ����. 
За АСМ-даними можна розрахувати як 1D-, так і 2D-PSD-функцію. Для 
більшості задач цієї роботи використання одновимірного та двовимірного 
варіантів еквівалентне. Однак, коли PSD, отриману з АСМ-зображень, 
порівнюють зі спектральними характеристиками, визначеними методами 
розсіювання електромагнітних хвиль (рентгенівське, оптичне диференціальне 
розсіювання), вибір між 1D і 2D формою залежить від геометрії 
експериментальної схеми реєстрації розсіяного випромінювання. 
Розрахунок двовимірної PSD-функції базується на двовимірному 
перетворенні Фур’є автокореляційної функції: 
PSD2D(v) = fexp(2πivρ)C(ρ) dρ, v ≡ (vx, vy),   (1.4) 
де �� – вектор просторової частоти, величина, обернена до радіус-вектора у 
прямому просторі. Діапазон просторових частот, доступний для обчислення PSD 
за АСМ-зображенням, обмежений значеннями від ��min=1/�� до vmax=N/L, де  
L – лінійний розмір області сканування, а N – кількість точок зображення. 
Для поверхонь нерідко виконують усереднення автокореляційної функції за 
кутом, після чого розраховують одномірну PSD. Вводять полярні координати ρ = 
(x2 + y2)1/2, α = arctan(y/x), де ρ та α  - модуль і полярний кут радіус-вектора ρ. Далі 
проводять усереднення за кутом: 
C(ρ) = 1/2πf 2π
0 C(ρ, α) dα, PSD1D(v) = fexp(2πivρ)C(ρ) dρ, v ≡ (vx, vy)   (1.5) 
На практиці алгоритм обчислення 2D PSD-функції зазвичай реалізують 
дещо інакше. Використовуючи теорему про згортку, PSD-функцію можна 
представити як добуток Фур’є-образу рельєфу на його комплексно-спряжений 
образ: 
PSD = G(v)*G(v), де G(v) = fexp(2πivρ)z(ρ) dz.   (1.6) 
Тобто з математичної точки зору PSD-функція є квадратом модуля Фур’є-
перетворення функції рельєфу поверхні. Її фізичний зміст полягає в тому, що саме 
 14 
через PSD описується інтенсивність розсіювання електромагнітних хвиль на 
шорсткій поверхні. В наближеному уявленні процес взаємодії хвилі з рельєфом 
можна трактувати як суму відгуків на набір синусоїдальних компонент, на які 
розкладається профіль поверхні. 
Із (1.5) при ρ=0 видно, що інтеграл від PSD-функції пов’язаний зі значенням 
автокореляційної функції в нулі. З урахуванням визначення (1.3) маємо, що 
��(0)=����2. Тому для зв’язку параметра ���� із PSD-функціями можна записати: 
R 2
q  = f vmax
vmin  PSD1D(v) dv, R 2
q  = 2πf vmax
vmin  PSD2D(v)v dv,  (1.7) 
де vmin = 1/L, vmax = 1/2ΔL, L – лінійний розмір АСМ-зображення, Δ�� – відстань 
між сусідніми точками вимірювання. 
Функція автокореляції. У низці робіт [2, 29] для аналізу статистичних 
властивостей рельєфу поверхні пропонується безпосередньо використовувати 
автокореляційні функції. Зазвичай розглядають два поширені варіанти [2,6]: 
C(ρ) = (z(ρ + ρ’) z(ρ)), ρ ≡ (x, y),    (1.8) 
де трикутні дужки позначають усереднення. І друга - height-difference correlation 
function: 
g(ρ) = <[z(ρ + ρ’) – z(ρ)]2>, ρ ≡ (x, y),   (1.9) 
Ці дві функції зв’язані простим співвідношенням [2]: 
g(ρ) =  2C(0) – 2C(ρ).     (1.10) 
При описі автокореляційної функції для реальних поверхонь достатньо 
добре себе зарекомендувала функція Kohlrausch–Williams–Watts (KWW): 
C(ρ) = σ2e-(ρ/a)2h,     (1.11) 
де σ – характерна висота шорсткості, a – довжина кореляції, а h – показник 
самоподібності. Приклад такої апроксимації наведено в роботі [5]. Із (1.11) 
випливає, що автокореляційна функція спадає до значення 1/�� на відстані, рівній 
довжині кореляції a. 
Для опису PSD-функції надгладких поверхонь часто використовують 
модель із степеневою залежністю: 
PSD2D(v) ≈ k /(v2+2h
2 ),  PSD1D(v) ≈ k1/(v1+2h), 0 < h < 1,  (1.12) 
 15 
де h – той самий характеристичний параметр самоподібності. У подвійному 
логарифмічному масштабі така залежність проявляється як пряма лінія (див. рис. 
3). Подібна поведінка PSD-функції спостерігається, зокрема, в [2,3]. 
З математичної точки зору співвідношення (1.12) означають, що за малих 
значень аргументу автокореляційна функція набуває вигляду 
C(ρ→0) ≈ σ2[1 – (ρ/a)2h].    (1.13) 
Функція KWW задовольняє умові (1.13), але не є єдино можливою формою 
автокореляційної функції. Наприклад, у роботі [6] запропоновано:  
C(x, y) = σ2exp{-2,3[(x/a)2 + (y/a)2]}, 
де σ – висота шорсткості, a – довжина кореляції. Однак у цьому виразі явно не 
фігурує параметр h, що ускладнює його використання для кількісного опису 
масштабно-інваріантних поверхонь. 
Узагальнені висновки щодо опису поверхні. Підсумовуючи викладене, 
зафіксуємо кілька ключових положень, необхідних для подальшого моделювання: 
1. Для реальних надгладких поверхонь спектральні властивості шорсткості добре 
описуються моделлю PSD (v) ≈ k /(v2+2h
2D 2 ), яка в подвійному логарифмічному 
масштабі дає близьку до лінійної залежність. 
2. Наведена апроксимація відображає масштабно-інваріантні (самоподібні) 
властивості поверхні, для опису яких доцільно вводити параметр h як 
узагальнений показник самоподібності. 
3. Із формального погляду пункт 1 означає, що за малих значень аргументу 
автокореляційна функція поводиться як C(ρ→0) ≈ σ2[1 – (ρ/a)2h], що забезпечує 
зв’язок між параметрами кореляції, спектральними характеристиками та 
статистичними показниками шорсткості поверхні. 
 
1.3. Вплив розмірів зонда АСМ на характеристики нанорельєфу 
Надалі розглянемо експериментальні результати аналізу параметрів 
поверхонь, отриманих за даними АСМ-досліджень. 
 16 
Як зазначалося вище, одним із характерних артефактів методу, що впливає 
на значення оцінених параметрів за АСМ-зображеннями, є скінченний радіус 
заокруглення зонда. 
Вплив розміру зонда на оцінку шорсткості поверхні. У наукових 
публікаціях досить детально описано, як радіус заокруглення зонда позначається 
на значеннях шорсткості поверхні [2, 6, 20]. Зокрема, в роботі [6] теоретично 
досліджено залежність показників шорсткості від розміру зонда для поверхонь з 
різними ефективними параметрами нерівностей. Показано, що зі збільшенням 
радіуса зонда середньоквадратичне відхилення висоти (СКО) зменшується, 
причому що більша початкова шорсткість зразка, то виразнішим є спад 
відповідної кривої. Водночас слід підкреслити, що на результати оцінювання 
шорсткості впливає не лише геометрія зонда, а й розмір ділянки, яка сканується. 
У роботах [20, 23] проаналізовано, як змінюється шорсткість поверхні зі 
зростанням площі області сканування; показано, що при збільшенні розміру скану 
розрахована шорсткість, навпаки, зростає. Таким чином, значення параметрів, які 
характеризують шорсткість за даними АСМ, визначаються щонайменше двома 
чинниками: радіусом зонда, що використовується під час вимірювання, та 
лінійним розміром досліджуваної ділянки поверхні. 
Вплив зонда на PSD-функцію поверхні. У роботах [2, 3], де для аналізу 
нерівностей застосовано метод рентгенівського розсіювання на синхротронному 
джерелі, показано, що для надгладкої поверхні зі самоподібною морфологією 
power spectral density (PSD-функція) у широкому діапазоні просторових частот 
поводиться як пряма лінія в подвійному логарифмічному масштабі (рис. 1.1, 
діапазон методу РР). Водночас у роботі [3] наведено графік (рис. 1.3), на якому 
представлено PSD-функцію, обчислену для полірованої кварцової підкладки за 
результатами АСМ-вимірювань. 
 17 
 
Рисунок 1.3 - PSD-функція, розрахована за даними серії АСМ - досліджень 
поверхні полірованого кварцу 
 
Як видно з рис. 1.3, на отриманій PSD-кривій спостерігаються характерні 
ділянки «завалу», тобто відхилення від лінійного ходу в області як низьких, так і 
високих просторових частот. У згаданій роботі ці особливості детально не 
інтерпретуються. У праці [20] лише зазначено, що «завал» у високочастотній 
області пов’язаний із скінченним розміром зонда. При цьому кількісна залежність 
положення точки, де PSD-функція відхиляється від прямолінійної залежності у 
високих частотах, від радіуса заокруглення зонда в наявних публікаціях 
практично не розкрита. 
 
1.4. Моделювання поверхонь зі самоподібною структурою 
У попередніх підрозділах було розглянуто математичний опис і наведено 
експериментальні результати для випадку зондування номінально гладких 
поверхонь. Однак у цій роботі нас цікавлять процеси, що відбуваються на межі 
роздільної здатності методу, тому спиратися виключно на експеримент 
недостатньо. Для коректнішої інтерпретації результатів подальший аналіз 
доповнюється числовим моделюванням. Як базовий крок розглянемо процедуру 
 18 
генерації поверхонь зі статистично самоподібною морфологією та подамо стислий 
огляд основних алгоритмів їх побудови. У більшості робіт у цій галузі як вхідні 
параметри використовують лише два числа: параметр Герста та показник 
шорсткості поверхні [7–9, 13]. У публікаціях [9, 10] для задання профілю та 
поверхні скель (як прикладу поверхні зі самоподібним рельєфом) застосовано 
алгоритм, суть якого полягає в такому. Фіксуються дві крайні точки, після чого 
координати проміжної точки обчислюються за співвідношеннями (14): 
x(n + 1) = ½ (x(n – 1) + x(n)),  y(n + 1) = ½ (y(n) + y(n – 1)) + D(n),  (14) 
де D(n) – випадкова величина з нормальним (гаусовим) розподілом із нульовим 
середнім значенням, а дисперсію цієї величини визначають за заданою формулою  
, h при цьому виступає масштабно-інваріантним параметром, а n – 
номером кроку генерації. Описаний підхід дає змогу отримати профілі з 
потрібною мірою «шорсткості», але не дає можливості задати й контролювати 
автокореляційну функцію поверхні. Остання є принципово важливим параметром 
під час побудови моделі реальних поверхонь, оскільки для них має виконуватися 
умова (13). 
 Інший підхід полягає в тому, що рівняння поверхні z(I, J) задають через 
застосування до випадкової послідовності η(I, J) просторового трансформаційного 
цифрового фільтра. Для такого фільтра розглядають два типи імпульсної 
характеристики: 
фільтр із обмеженою імпульсною характеристикою (FIR):  
фільтр із необмеженою імпульсною характеристикою (IIR): 
 
Автори вказаної методики пропонують використовувати саме фільтр типу 
FIR. Випадкова поверхня з самоподібною морфологією описується послідовністю 
значень z(I, J), яку задають рівнянням (15): 
     (15) 
де η(I + k, J + l) – послідовність випадкових чисел з нормальним (гаусовим) 
розподілом (що є фізично обґрунтованим, оскільки більшість природних 
 19 
поверхонь характеризуються саме таким статистичним законом), а h(k, l) – 
частотна характеристика або функція передавання системи (трансформаційні 
коефіцієнти). Індекси змінюються в межах  
I = 0, 1, …, N-1; J = 0, 1, …, M-1. 
Якщо до обох частин рівняння (1.15) застосувати перетворення Фур’є, 
отримаємо співвідношення (1.16): 
   (1.16) 
Автокореляційна функція поверхні Rz визначається відповідним чином 
, а її перетворення Фур’є дає функцію спектральної 
густини потужності S(ωx, ωy). У роботі показано, що функція передавання 
системи H(ωx, ωy) та спектральна густина Sz(ωx, ωy) пов’язані співвідношенням 
(1.17): 
H(wx, wy) = {Sz(wx, wy)/C}1/2, де C = const.   (1.17) 
Таким чином, задавши функцію автокореляції Rz, можна розрахувати по 
ній Sz(wx, wy) і тоді визначити H(wx, wy), відповідно до формули (1.17). Це 
дозволить розрахувати функцію Z(wx, wy) по формулі (1.15). 
Тобто, задавши бажану автокореляційну функцію Rz, можна обчислити за 
нею Sz(ωx, ωy), а далі – визначити H(ωx, ωy) відповідно до (1.17). Це, у свою 
чергу, дає можливість розрахувати Z(ωx, ωy) за формулою (1.15) і, таким чином, 
синтезувати поверхню з наперед заданими кореляційними властивостями. 
Оскільки АСМ-зображення зазвичай мають матрицю не менш як 256×256 точок, 
чого цілком достатньо, щоб прямий розрахунок за цим алгоритмом для однієї 
поверхні займав надто багато часу, у роботі пропонується застосовувати швидке 
перетворення Фур’є (FFT). Це дозволяє суттєво скоротити тривалість обчислень 
при реалізації алгоритму. 
 
 20 
Таким чином, проаналізовані в літературі алгоритми побудови поверхонь зі 
статистично самоподібним рельєфом можна умовно поділити на два класи, 
описані вище. Перший підхід (метод послідовного уточнення профілю з 
використанням проміжних точок) є відносно простим, але не дає змоги явно 
задати та контролювати автокореляційну функцію поверхні, що є критичним для 
коректного моделювання реальних поверхонь. Другий підхід, заснований на 
використанні цифрового фільтра й роботи в частотній області, дозволяє 
безпосередньо задавати кореляційні характеристики рельєфу. З огляду на 
викладені міркування, у подальшому в цій роботі використовуватимемо саме 
другий алгоритм.          
                                                                                                           
1.5. Числове моделювання форми зонда в процесі контакту кантилевера 
з поверхнею 
Як зазначалося вище, у подальшому нас цікавитиме не лише математичний 
опис поверхні, а й моделювання процесу взаємодії зонда з досліджуваним 
зразком. У попередньому підпункті було розглянуто алгоритми побудови 
модельних поверхонь зі складною масштабно-інваріантною морфологією, тому 
тепер зосередимось на описі самого зонда та особливостях формування АСМ-
зображення. 
Працюючи з АСМ-результатами, слід пам’ятати, що отримане зображення 
не є прямим відбиттям реального рельєфу. Процес сканування неминуче вносить 
спотворення, зумовлені геометрією та розмірами зонда. У роботі [6] показано, що 
кінцевий радіус вістря призводить до істотної відмінності між дійсною поверхнею 
та тією, яка відтворюється в АСМ-зображенні (рис. 1.4). 
На рис. 1.4 пунктирною кривою умовно показано профіль, який «бачить» 
зонд під час сканування, тоді як реальний рельєф лежить нижче. 
 21 
 
Рисунок 1.4 - Побудова АСМ - зображення (пунктирна лінія) при скануванні 
реальної поверхні зондом 
 
Щоб реалізувати поставлену в роботі задачу, необхідно змоделювати сам 
процес формування АСМ-зображення. У літературі описано низку підходів та 
алгоритмів відтворення зображення за відомою поверхнею та геометрією зонда 
[15–17]. Однак усі ці методики передбачають, що форма зонда задана або 
попередньо відома, отже постає окрема проблема – ідентифікація геометрії вістря. 
Визначення форми зонда. У реальному експерименті точні розміри та 
форма зонда зазвичай невідомі наперед. Типові радіуси заокруглення вістря для 
АСМ не перевищують ≈100 нм, тож сам зонд належить до нанооб’єктів. Без 
спеціалізованих методів нанодосліджень безпосередньо побачити й виміряти 
радіус вістря кантілевера практично неможливо. На практиці форму зонда 
намагаються визначити за електронно-мікроскопічними зображеннями або за 
даними АСМ, що породжує низку методичних труднощів.  
При використанні електронної мікроскопії фокусований пучок електронів 
збуджує емісію вторинних електронів, і в результаті формується контраст, який не 
завжди однозначно інтерпретується як реальний профіль поверхні. До того ж 
тривале бомбардування електронами може пошкоджувати вістря зонда, змінюючи 
 22 
його радіус. В іншому підході радіус вістря оцінюють за АСМ-зображеннями 
спеціальних тестових об’єктів із відомою геометрією [18, 19]. 
Як тестові зразки використовують, зокрема, молекули ДНК або 
калібрувальні кремнієві структури (рис. 1.5). Проте в роботі [21] показано, що під 
час сканування ДНК спостерігається систематичне заниження висоти об’єкта та 
штучне розширення в латеральному напрямку, що призводить до спотворення 
реальних розмірів і, відповідно, до некоректної оцінки радіуса заокруглення 
вістря. Це пов’язано з контактними деформаціями при взаємодії зонда з м’якою 
молекулярною структурою та дією бокових (латеральних) сил, які «розтягують» 
об’єкт під час сканування. 
 
  
а.     б. 
Рисунок 1.5 - Тестові структури з кремнію: 
а – масив гострих виступів оксиду кремнію на підкладці Si; 
б – чергування смужок із діоксиду кремнію на кремнії 
 
Іншим підходом до відновлення геометрії вістря є метод сліпої 
реконструкції форми зонда за АСМ-зображенням, без попередньої інформації про 
тестовий об’єкт. Однак, як зазначено в [14, 22], оцінюване таким чином значення 
радіуса суттєво залежить від геометрії калібрувальної решітки: для різних 
тестових структур отримані значення можуть відрізнятися на порядок (у 10 разів). 
Насправді вістря зонда має доволі складний профіль. На рис. 1.6 наведено 
приклади реальних зондових вставок. 
 23 
 
Рисунок 1.6 - Приклади зондів різної форми та розміру (фотографії з сайту 
https://www.spmtips.com/) 
 
На рис. 1.6, а показано вістря з радіусом заокруглення близько 1 нм, на рис. 
1.6, б – «типовий» зонд із радіусом близько 10 нм, а на рис. 1.6, г – фрагмент 
зламаного вістря, де радіус значно більший, ніж у попередніх випадках. 
Незважаючи на таку різноманітність, для аналітичних розрахунків форму вістря 
часто апроксимують простою геометричною моделлю. У сучасних роботах [14] 
найчастіше використовують дві узагальнені моделі. 
Перша модель описує вістря як конус із кутом нахилу твірної α, вершина 
якого згладжена сферою радіуса r (рис. 1.7, а). Цей радіус розглядають як радіус 
заокруглення вістря зонда; подібна форма широко застосовується при аналізі 
результатів АСМ-експериментів. Друга модель є детальнішою й враховує 
складнішу будову вістря, як показано в [22] (рис. 1.7, б). 
 
Рисунок 1.7 - Модельні форми вістря кантільовери АСМ,  
описувані однією сферою (а) комбінацією двох сфер (б) 
 
 24 
У другій моделі вістря також подається як конус із кутом α, але його 
вершина плавно переходить у велику сферу радіуса r, яку інтерпретують як 
ефективний радіус вістря. На відміну від першої схеми (рис. 1.7, а), у варіанті 
(рис. 1.7, б) найвище наближення до поверхні забезпечує додаткова мала сфера 
радіуса ρ, що плавно стикується з конусом і великою сферою. Радіус ρ називають 
радіусом заокруглення власне вістря. Такий геометричний опис краще 
узгоджується з реальною формою зондів і дозволяє пояснити значну кількість 
експериментальних спостережень. 
Геометрична згортка поверхні та зонда. Після вибору моделі поверхні та 
форми вістря можна перейти до опису процесу їхньої взаємодії. У більшості 
робіт, присвячених аналізу АСМ-зображень, використовується так званий підхід 
геометричної згортки, який, за даними авторів [14, 15–17], достатньо добре 
відтворює механізм формування виміряного рельєфу. 
З математичної точки зору припускається, що дійсна поверхня описується 
функцією ��(��,��), а профіль вістря (у спрощеному випадку) задається 
параболічною апроксимацією Т(х,y) = (x2 + y2) / 2R, де R - радіус заокруглення 
вістря зонда.  
У рамках моделі геометричної згортки АСМ-зображення розглядають як 
морфологічну згортку функції поверхні ��(��,��) з функцією форми зонда ��(��, ��). 
Використовуючи алгоритми, описані в [15–17], можна не лише згенерувати 
синтетичне АСМ-зображення для заданих �� і ��, а й розв’язувати обернені задачі – 
відновлювати або реальний рельєф поверхні за відомою формою вістря, або, 
навпаки, оцінювати геометрію вістря за виміряним зображенням тестового 
об’єкта. У випадку спеціальних калібрувальних структур (рис. 1.5) це дає змогу 
визначати ефективні розміри зондів. 
Водночас важливо підкреслити, що модель геометричної згортки має суто 
геометричний характер і не враховує фізичну природу взаємодії зонда з 
поверхнею – адгезію, пружні та пластичні деформації, капілярні сили тощо. В 
оглянутій літературі практично відсутні більш повні моделі, які б одночасно 
описували й реальний контактний механізм, і процес формування АСМ-
 25 
зображення; тому геометрична згортка нині залишається основним, хоч і 
наближеним, інструментом аналізу. 
 
Висновки до розділу 1 
У підсумку виконаного огляду було окреслено загальний напрям подальших 
досліджень і сформульовано ключові положення, важливі для цієї магістерської 
роботи: 
 Просторова роздільна здатність атомно-силової мікроскопії в нанометричному 
діапазоні істотно визначається геометрією та формою зондового вістря. 
 Для надгладких поверхонь спектральна густина потужності (PSD) у подвійному 
логарифмічному масштабі наближається до прямолінійної залежності, що 
відповідає степеневому характеру розподілу спектральних складових рельєфу. 
 PSD-функції, обчислені за експериментальними АСМ-даними, зазвичай 
демонструють зниження рівня на високих просторових частотах («завал»), 
зумовлений кінцевими геометричними розмірами зонда. Кількісні 
закономірності цього ефекту в наукових публікаціях описані неповно, а 
можливості варіювати параметри поверхні й зонда в реальному експерименті є 
обмеженими, тому в даній роботі передбачено широке використання 
чисельного моделювання. 
 У більшості відомих моделей АСМ-вимірювання вістря зонда подають у 
вигляді сфери з радіусом, що дорівнює радіусу заокруглення голки, 
зазначеному виробником. 
 Типовим підходом до опису взаємодії зонда з поверхнею є використання 
наближення геометричної згортки, коли отримане зображення розглядають як 
результат згортки реального рельєфу з формою вістря. 
На підставі проведеного аналізу літературних джерел можна зробити 
висновок, що вплив форми й розмірів зонда на появу «завалу» PSD-функцій 
АСМ-зображень надгладких поверхонь у ділянці високих просторових частот 
досліджено недостатньо. Існуючі роботи переважно зосереджуються на тому, як 
зміна геометрії зонда впливає на середньоквадратичне відхилення висот у АСМ-
 26 
зображеннях, і базуються як на обробці реальних вимірювань, так і на чисельному 
відтворенні поверхонь, зондів та їх взаємодії. У зв’язку з цим у магістерській 
роботі планується провести детальний аналіз впливу кінцевих розмірів вістря на 
форму АСМ-зображень і відповідні PSD-функції, використовуючи як дані 
експериментальних досліджень, так і результати моделювання процесу АСМ-
сканування. 
 
 27 
РОЗДІЛ 2 
МЕТОДИКИ ПРОВЕДЕННЯ ДОСЛІДНИЦЬКОГО ЕКСПЕРИМЕНТУ 
 
2.1. Обґрунтування вибору об’єктів дослідження 
У дослідженні застосовувався атомно-силовий мікроскоп серії NT-206 
виробництва компанії «Мікротестмашини», робота якого була налаштована в 
напівконтактному режимі. 
Як вимірювальний елемент використовували кремнієві конічні зонди типу 
CSC-38 (виробник «Micromash», Німеччина) з радіусом вістря близько 10 нм. Цей 
тип зонда є одним із найбільш уживаних для масового контролю нанорельєфу та 
механічних властивостей твердих поверхонь. Порівняно з іншими зондами він 
забезпечує: погрішність сканування до ≈0,2 нм по координаті Z та орієнтовно до 
10 нм по координатах XY; високу чутливість до малих змін висоти рельєфу; 
мінімальний вплив на досліджувану поверхню (практично без її пошкодження); 
можливість дослідження широкого спектра матеріалів. Окремо варто відзначити 
відносну дешевизну таких зондів: їх середня вартість становить близько 15–30 €. 
Експериментальні вимірювання проводилися за умов стабілізованого 
мікроклімату. В інтервалі температур від 18 до 35 °С відхилення не перевищувало 
0,05°С, а в діапазоні відносної вологості 30–75% нестабільність становила 
близько 1%. Безпосередньо під час серії вимірювань температура в приміщенні 
підтримувалася на рівні t = 23 °С, вологість – близько 50%. 
Об’єктами дослідження були тонкі (товщиною менше 20 нм) оксидні та 
металеві плівки SiO₂, HfO₂ та Au, осаджені на кремнієвих підкладках розмірами 
30×30×0,5 мм із матеріалу Кр0, а також нанорозмірні елементи (плоскі 
відбивальні ґратки, наноконтакти, нанопровідники), сформовані на цих плівках. 
Зазначені матеріали та наноструктури широко застосовуються у виробах 
наноелектроніки (інтегральні схеми та їх компоненти), характеризуються різними 
фізико-механічними параметрами й при переході до наномасштабів виявляють 
ефекти квантового характеру, що, у свою чергу, розширює можливості керування 
їх властивостями та відкриває нові напрями розвитку технологій. Високі вимоги 
 28 
до точності діагностики та контролю якості в цьому випадку обумовлені тим, що 
невідповідність таких елементів нормам чинних міжнародних стандартів [13, 69–
70] може призвести до відмови всього приладу. 
Для обчислення PSD-функцій використовувалося спеціалізоване програмне 
забезпечення, розроблене співробітниками Інституту кристалографії. 
Для моделювання випадкових поверхонь зі самоподібною статистичною 
структурою було використано алгоритм, запропонований у роботі [11]; його 
математичні засади детально розглянуто в підрозділі 1.3 літературного огляду цієї 
роботи (див. відповідні формули та ілюстрації у розділі 1.3). 
 
2.2. Універсальна методика вимірювання нанорельєфу твердих 
поверхонь 
Прилади та матеріали. У дослідженні використовували атомно-силовий 
мікроскоп NT-206V (виробник – «Микротестмашины», м. Гомель, Білорусь) та 
очний пінцет. Для попереднього огляду зразків при збільшенні до 100× 
застосовували оптичну камеру «Logitech» (США) з полем зору 1×0,75 мм². 
Вимірювання нанорельєфу поверхонь методом атомно-силової мікроскопії 
виконують за такою послідовністю (рис. 2.1). 
Підготовка зразків до дослідження. Зразок, призначений для дослідження, 
встановлюють на предметний столик мікроскопа. Граничні габарити: діаметр до 
30 мм, висота до 8 мм. Якщо діаметр менший за 10 мм, зразок закріплюють на 
підкладці, але сумарні розміри «зразок + підкладка» не повинні перевищувати 
допустимі. Для отримання якісного зображення досліджувану поверхню 
вирівнюють так, щоб вона була паралельною до площини підкладки (або до 
нижньої площини самого зразка у разі встановлення без підкладки). 
Безпосередньо перед встановленням поверхню очищують від забруднень і 
сторонніх частинок за допомогою розчинників або в ультразвуковій ванні. 
Область сканування бажано розташовувати ближче до центру зразка, щоб 
мінімізувати спотворення АСМ-зображення, пов’язані з криволінійною 
(сферичною) траєкторією руху сканера. 
 29 
 
Рисунок 2.1 – Алгоритм проведення дослідження нанорельєфу методом АСМ 
 
Підготовка атомно-силового мікроскопа до роботи. Роботу приладу 
виконують за таких параметрів навколишнього середовища: температура (20±3) 
°С, відносна вологість повітря не більше 80%, атмосферний тиск (100±4) кПа, 
напруга живлення 220 В, частота 50 Гц. 
Після з’єднання модулів АСМ між собою, підключення їх до ПК та 
електромережі виконують послідовність дій: 
 увімкнення керуючого комп’ютера (разом із монітором); 
 увімкнення блоку електроніки керування кнопкою «POWER»; 
 30 
 запуск програмного забезпечення „SurfaceScan”; 
 активація панелі „Laser” у програмі, ввімкнення лазера та освітлення 
предметного столика п’єзосканера. 
Після цього система готова до налаштування та вимірювань. Зовнішній 
вигляд комплексу на базі АСМ NT-206V наведено на рис. 2.2. 
 
 
Рисунок 2.2 – Атомно-силовий мікроскоп „NT-206V”  
у складі вимірювального комплексу з системою керування та ПК 
 
Налаштування системи детектування. Налаштування оптичної системи 
детектування виконують після встановлення або заміни зонда, а також у разі 
нестабільної роботи приладу. 
Порядок налаштування: 
1. Увімкнути АСМ: подати живлення на електронний блок, запустити 
„SurfaceScan”, активувати лазер у панелі „Laser”. Налаштування виконують у 
статичному режимі, який обирають у селекторі режимів панелі „MAIN”. 
Важливо, щоб зонд знаходився на відстані 5…10 мм від поверхні зразка. 
2. За допомогою регулятора „Set-point” на панелі „Feedback” встановити таке 
значення, щоб мітка індикатора RSP розташовувалась у центральній зоні 
шкали або трохи нижче (приблизно на 5–7 %). 
3. Ручками „Laser X” та „Laser Y” на вимірювальній головці відрегулювати 
положення лазерного променя так, щоб він потрапляв на вільний кінець 
 31 
консолі. Для візуального контролю позиціонування використовують 
зображення з камери Logitech (збільшення ×150). 
4. Спостерігаючи зображення на екрані монітора ПК, шляхом незначного 
повороту ручок „Laser X” та „Laser Y” досягти максимально яскравої та 
близької до круглої світлової плями (рис. 2.3). 
   
Рисунок 2.3 - Схема позиціонування лазерного променя на вільному кінці 
консолі; праворуч наведено приклад зображення з вбудованої відеокамери при 
правильному налаштуванні лазера 
 
5. Ручками „Detector X” і „Detector Y” відрегулювати положення 
фотодетектора так, щоб відбитий від консолі промінь потрапляв на його активну 
область. Контроль виконують за панеллю „Laser” у програмі: у вікні візуалізації 
відображається положення плями на фотодетекторі. Оптимальними вважаються 
координати: X = 100 %, Y = 75 %, коли вісь X перетинає пляму приблизно 
посередині, а вісь Y є дотичною до її контуру (рис. 2.4). 
Reflected spot position
X=100%
Y=75%   
Рисунок 2.4 - Положення світлової плями у вікні візуалізації панелі „Laser” при 
оптимальному регулюванні фотодетектора 
 32 
Таке положення фотодетектора забезпечує стабільну роботу системи 
детектування при підведенні зонда до поверхні: після контакту й відхилення 
консолі пляма зміщується до центру фотодіода вниз, що збільшує доступний 
діапазон вимірювання відхилення. 
Встановлення зразка в тримач. Тримач із зразком розміщують на 
предметному столику АСМ. Для отримання якісного зображення поверхню 
орієнтують горизонтально, плоскою стороною до зонда. 
Перед установленням забезпечують достатній зазор між столиком та 
зондом, щоб не пошкодити вістря. Предметний столик NT-206 обладнаний 
магнітами, що дає змогу надійно зафіксувати зразок. 
Попередні налаштування режимів роботи. Для більшості досліджень 
використовують контактний (статичний) режим, у якому зонд перебуває у 
безпосередньому контакті з поверхнею. Це зменшує вплив тонкої адсорбованої 
рідинної плівки на результат сканування. Статичний режим обирають селектором 
„Mode” в панелі „Main”. 
Основний параметр, який система підтримує сталим, – відхилення консолі 
від вільного (нейтрального) положення. Його рівень задається регулятором „Set-
point” на панелі „FeedBack”; мітка „Rsp” повинна знаходитися приблизно в центрі 
шкали або на 5–7 % нижче. Регулятор затримки „Delay” встановлюють у межах 
20…40 (орієнтовно 10–20 % від повного діапазону), що задає швидкість 
зворотного зв’язку. 
Підведення зразка до зонда. Підведення виконується в автоматичному 
режимі, при якому система керування фіксує момент контакту зонда з поверхнею 
і зупиняє рух. 
Вертикальне переміщення столика зразка в NT-206 здійснюється з кількома 
швидкостями. Спочатку швидким рухом зразок наближають до зонда до відстані 
~1 мм, далі встановлюють меншу швидкість (збільшують затримку „Drive delay” в 
панелі „Main“) і запускають автопідведення. 
 33 
 Грубе наближення виконують при „Drive delay” = 2,72 мкс, з використанням 
кнопки автопідведення. Оператор візуально контролює процес і при досягненні 
відстані близько 1 мм натискає „Stop” у панелі „Main” або клавішу „Esc”.  
 Для точного підведення встановлюють „Drive delay” = 10,88 мкс і знову 
запускають автопідведення. Після завершення процесу з’являється відповідне 
повідомлення, а кнопка автопідведення блокується; подальше регулювання 
можливе лише вручну. 
 Якщо індикатор Z на панелі „Indicators” не знаходиться в середині діапазону, 
додатково підводять або відводять зразок, керуючи кнопками „ON” і „OFF” у 
зоні ручного керування, доки індикатор Z не займе середнє положення. 
Сканування поверхні. Залежно від типу зразка та мети дослідження 
обирають один із режимів сканування: 
 Контактний режим – для гладких поверхонь (шорсткість до 3 мкм), біологічних 
об’єктів та вимірювань у повітрі. 
 Динамічний режим – для дослідження порошкових матеріалів. 
 Безконтактний режим – для визначення механічних характеристик твердих 
матеріалів із модулем пружності понад 200 ГПа (бажано виконувати 
вимірювання у вакуумі). 
У кожному режимі параметри сканування (розмір області, крок, швидкість 
тощо) добирають відповідно до властивостей зразка й умов експерименту. 
Завершення роботи з атомно-силовим мікроскопом. Після завершення 
вимірювань виконують наступну послідовність дій: 
1. Зупинити сканування (якщо воно не завершилось автоматично). 
2. Встановити максимальну швидкість зворотного зв’язку, задавши мінімальне 
значення „Delay” у панелі „Feedback”. 
3. В панелі „Main” натиснути кнопку автовідведення „OFF” у зоні керування 
вертикальним переміщенням. Після виходу зонда з контакту індикатор Z 
зростає до максимального значення; відведення триває, поки вістря не 
опиниться на безпечній відстані від поверхні (стан контролюють візуально). За 
потреби зразок знімають зі столика. 
 34 
4. Зберегти результати вимірювань на жорсткий диск ПК (кнопка „Save” у меню 
„File” програми „SurfaceScan”). 
5. У панелі „Laser” вимкнути лазер та освітлення. 
6. Вимкнути блок електроніки керування кнопкою „Power”. 
7. Закрити програму „SurfaceScan”. 
8. При необхідності коректно вимкнути керуючий комп’ютер засобами 
операційної системи. 
Обробка та оформлення результатів сканування. Обробку даних 
сканування виконують у програмі Surface Viewer v.6.2. Вона включає аналіз 
профілю поверхні вздовж обраних ліній, побудову розподілу висот, кутових 
гістограм, а також визначення геометричних характеристик досліджуваної 
ділянки з подальшим оформленням результатів у вигляді зображень, таблиць і 
числових параметрів згідно з вимогами до оформлення експериментальних даних. 
 
2.3. Методика вимірювання рельєфу поверхонь методом атомно-силової 
мікроскопії 
Послідовність виконання вимірювань. Відповідно до загальної методики 
досліджень проводиться така послідовність дій: готується зразок і атомно-
силовий мікроскоп, настроюється система детектування, зразок фіксується в 
утримувачі, виконується початкове налаштування приладу й здійснюється 
підведення поверхні до зонда. Подальше сканування в напівконтактному режимі 
виконується у такому порядку: 
1. Перед запуском сканування на панелі «Feedback» встановлюється потрібне 
значення параметра «Set-point». 
2. На тій самій панелі перевіряються й за потреби коригуються параметри 
зворотного зв’язку «Delay» та «Proportional gain». 
3. У панелі «Area» програмного забезпечення задається ділянка поверхні, яка 
підлягає скануванню. 
 35 
4. У панелі «Area» встановлюються параметри дискретизації: кількість точок по 
осях X та Y (Num points X, Num points Y), крок між точками (Step, nm) і час 
витримки в кожній точці (Delay, μs). 
5. У селекторі «Pattern» обирається схема траєкторії руху зонда. 
6. Після натискання кнопки «Start» в нижній частині панелі «Main» запускається 
процес сканування. На екрані з’являється вікно відображення АСМ-зображення 
та додаткове вікно з поточним профілем, що дозволяє в реальному часі 
спостерігати хід вимірювання й оцінювати якість отримуваного зображення 
(рис. 2.5).  
 
Рисунок 2.5 - Зовнішній вигляд інтерфейсу програми сканування поверхні АСМ 
 
Під час «пробного» сканування дозволяється додатково підлаштовувати 
значення «Delay» та «Proportional gain» в панелі «Feedback», орієнтуючись на 
стабільність зображення. У процесі роботи оператору рекомендується постійно 
відстежувати показники по осі Z, щоб не допустити виходу висоти поверхні за 
межі робочого діапазону вертикального переміщення п’єзосканера. Якщо 
 36 
індикатори свідчать про вихід за допустимі межі, сканування слід зупинити та 
вручну наблизити або відвести зразок від зонда. 
7. Після завершення сканування отримане АСМ-зображення автоматично 
передається до секції збережених даних. Рекомендується одразу записати його 
у файл на жорсткий диск для подальшої обробки. 
Якщо потрібно дослідити іншу ділянку поверхні, вимірювальна головка 
переміщується за допомогою автоматизованої платформи грубого 
позиціонування. Спостерігати за взаємним розташуванням зонда й зразка можна 
через вбудовану відеосистему. Перед зміною області сканування поверхню зразка 
слід трохи відвести від зонда: у панелі «Main» в зоні ручного керування (Manual) 
задають близько 50–100 кроків (Number of steps) для двигуна вертикального 
переміщення, після чого натискають кнопку «OFF», щоб відвести зразок у 
ручному режимі. Після цього індикатор Z має показувати максимальне значення, 
а кнопка автопідведення стає активною. 
Горизонтальне переміщення вимірювальної головки виконується кроковими 
двигунами, якими керують із панелі «Drives». Після позиціювання над новою 
ділянкою зразка знову запускається процедура автопідведення й повторюється 
цикл сканування. 
Завершення роботи атомно-силового мікроскопа здійснюється у 
послідовності, описаній у п.2.2 (див. основний текст). 
Обробка та оформлення результатів сканування. Подальша обробка 
результатів вимірювань поверхні полягає в аналізі поперечних профілів за 
обраним напрямком, оцінці розподілу висот, побудові кутових гістограм, а також 
у розрахунку геометричних характеристик досліджуваної ділянки. 
За допомогою програми Surface Viewer v.6.2 формується профіль поверхні в 
потрібному перерізі. Після вибору лінії перетину програма відображає 
профілограму, побудовану за даними відповідної смуги сканування (рис. 2.6). 
Перемикачі «One marker» та «Two markers» на панелі інструментів Surface 
Viewer дозволяють працювати з одним або двома маркерами. У режимі «One 
 37 
marker» на профілі видно один маркер (лінія з круглим позначенням на кінці), 
який можна переміщувати вздовж профілю. 
   
В режимі п‘єзоскану- В режимі лазерного В режимі сканування сил 
вання (topography) відхилення (deflection) тертя (torsion) 
Рисунок 2.6 – Профілограма вздовж осі ОХ відсканованої ділянки поверхні 
кремнію Кр0 
 
При цьому в статусному рядку відображаються координата вздовж осі X та 
висота профілю відносно мінімального значення по Z. У лівій частині статусного 
рядка показано координати лінії перетину у відносних одиницях. 
Функція «Info» викликає вікно з основними параметрами профілю: 
кількістю точок дискретизації, максимальною висотою, довжиною перерізу та 
фізичною довжиною ділянки поверхні, середнім значенням, середньою висотою 
відхилення, середньоквадратичним відхиленням, а також показниками асиметрії 
та ексцесу. 
За необхідності числові дані профілю можна експортувати у текстовий файл 
через пункт меню «Зберегти». У такий файл заносяться значення ординат 
профілю, а також основні статистичні характеристики: максимальна висота, 
довжина перерізу, фізична довжина поверхні, середнє значення, середня висота 
відхилення, середньоквадратичне відхилення, асиметрія, ексцес. 
Робочі режими сканування досліджуваної поверхні. Вибір параметрів 
сканування в контактному/напівконтактному режимі включає налаштування 
зворотного зв’язку та задання режимів роботи крокових двигунів платформи 
позиціонування. 
Налаштування системи зворотного зв’язку. Панель Feedback (рис. 2.7) 
використовується для встановлення параметрів зворотного зв’язку і викликається 
через меню View → Feedback. 
 38 
    
Рисунок 2.7 – Панель налаштування параметрів зворотного зв’язку в 
початковому стані (ліворуч) та після отримання кривої «сила–відстань» 
(праворуч) 
 
Регулятор Delay задає інтервал часу між двома послідовними імпульсами 
керування вимірювальною системою: зі збільшенням цього часу загальна 
швидкість реакції зворотного зв’язку зменшується. 
Регулятор Proportional Gain визначає, наскільки «дрібно» система 
реагуватиме на зміну вихідного сигналу з датчика: фактично він задає кількість 
ітерацій, які використовується для компенсації помилки. При більших значеннях 
Proportional Gain система точніше відслідковує зміну положення зонда, але 
збільшується тривалість реакції й, відповідно, знижується швидкість роботи 
системи в цілому. 
Надто мала затримка (низьке значення Delay) призводить до надто 
швидкого зворотного зв’язку, що може викликати самозбудження системи і 
суттєво погіршити якість АСМ-зображення. Тому налаштування доцільно 
 39 
виконувати поступово, збільшуючи Delay та підбираючи Proportional Gain до 
моменту отримання стійкого сканування без паразитних коливань. 
Параметр Set-point визначає рівень відхилення консолі, який приймається за 
робочий під час вимірювань. Зменшення мітки «Rsp» на шкалі Set-point означає, 
що система підтримуватиме більшу деформацію консолі, а отже, збільшиться 
сила взаємодії вістря зонда з поверхнею. 
Регулятор Tip voltage задає напругу зміщення між провідним зондом і 
провідним зразком при реалізації методик, де вимірюються електростатичні сили 
(двопрохідні режими тощо). Зазвичай рекомендовано змінювати її в межах від 
−10 В до +10 В відносно заземленого зразка. 
Після того, як крива «сила–відстань» виміряна й показана в робочій області 
вікна, під нею стає доступним регулятор для візуального вибору оптимального 
значення Set-point. Як видно з рис.2.7 (праворуч), найчастіше доцільно 
встановлювати курсор регулятора в середній частині похилої ділянки кривої 
«сила–відстань». 
Діапазон руху п’єзосканера задають параметрами Top і Bottom: верхню 
межу доцільно встановити на рівні приблизно 75–100 %, нижню – на рівні 0–15 
%. Кількість точок на кривій (Points) має бути не меншою ніж 100; кількість 
вимірювань у кожній точці (Measurement) – 3–5; кількість кроків дискретизації 
між сусідніми точками (StepMove) – не менше 128. 
Далі в панелі Area (рис. 2.8) задають параметри поля сканування, 
викликаючи її через меню View → Area. 
 40 
           
Рисунок 2.8 - Панель налаштування параметрів поля сканування в режимі Matrix 
(ліворуч) і в режимі Point (праворуч) 
 
Панель може працювати у двох режимах: Point та Matrix. У режимі Matrix 
задаються загальні параметри переміщення п’єзосканера (розмір поля, кількість 
точок тощо). Режим Point призначений для вибору окремих точок, у яких будуть 
вимірюватися криві «сила–відстань». У графічному полі панелі область 
сканування або окремі точки задаються вручну з візуальним контролем, для чого 
заздалегідь завантажується одне з уже отриманих АСМ-зображень. При 
первинному скануванні нового зразка або нової ділянки зазвичай задають 
максимальне поле (наприклад, 13×13 мкм), а потім за потреби його звужують.  
Режим керування кроковими двигунами платформи позиціонування. Панель 
Drives використовується для грубого (макроскопічного) позиціонування 
вимірювальної головки відносно зразка в площині XY, щоб встановити зонд над 
потрібною ділянкою поверхні. Вона викликається через меню View → Drives. 
Стрілки кнопок керування відповідають напрямкам руху предметного 
столика, якщо дивитися на прилад згори. Опція Auto вмикає автоматичний режим, 
 41 
у якому крокові двигуни виконують команди без обмеження шляху переміщення. 
У ручному режимі (Manual, коли Auto вимкнено) система виконує лише задану 
кількість кроків у вибраному напрямку. Один крок двигуна відповідає 
переміщенню платформи приблизно на 2,5 мкм. 
Кількість кроків задається в полі Number of steps і не повинна перевищувати 
100; розрахована при цьому лінійна відстань витримується в полі Length. У полі 
Drive delay встановлюють паузу перед кожним кроком: її значення має бути в 
межах 2,42…10,78 мс. Зміна Drive delay дозволяє регулювати швидкість 
обертання крокових двигунів і, відповідно, швидкість переміщення платформи 
позиціонування. 
 
Висновки до розділу 2 
У розділі, присвяченому вирішенню задачі розроблення методології 
виявлення та кількісного оцінювання артефактів атомно-силової мікроскопії, 
поставлену наукову проблему було структуровано на кілька послідовних етапів, 
для кожного з яких визначено окреме методологічне забезпечення. Детально 
проаналізовано існуючі підходи до вимірювання нанорельєфу твердих поверхонь, 
після чого виконано адаптацію та доопрацювання відомих методів, з урахуванням 
специфіки використання сканувальної зондової техніки та особливостей 
формування артефактів під час сканування. На цій основі розроблено низку 
експериментальних методик, серед яких особливе місце посідає узагальнена 
методика вимірювання нанорельєфу твердих поверхонь, що включає вимоги до 
підготовки зразка, налаштування приладу, вибору режиму сканування, параметрів 
дискретизації та обробки первинних даних. На базі цієї узагальненої схеми 
сформовано детальну методику вимірювання рельєфу поверхні методом атомно-
силової мікроскопії, у якій поетапно регламентовано порядок дій оператора, 
критерії оцінки якості отриманих зображень та рекомендації щодо мінімізації 
впливу артефактів на результати вимірювань.  
 42 
РОЗДІЛ 3 
МОДЕЛЮВАННЯ МОРФОЛОГІЇ ПОВЕРХНІ НА ОСНОВІ ТЕОРІЇ 
МАСШТАБНО-ІНВАРІАНТНОЇ ГЕОМЕТРІЇ 
 
3.1. Математичне моделювання структури поверхні та сформованого на 
ній покриття 
Під час побудови моделі приймемо такі припущення. Нехай фігура F має 
межу складної, багатомасштабної конфігурації. Розглянемо зображення F у деякій 
прямокутній сітковій області, використовуючи метод скінченних різниць 
(сітковий метод) [24], і визначимо, скільки сіткових комірок міститимуть 
принаймні одну точку границі фігури F, якщо розмір комірки дорівнює h. На 
практиці зазвичай послідовно ділять розмір комірки навпіл, тобто беруть ℎ=1/2��, 
де ��∈��. Позначимо через ��(ℎ) кількість комірок, зайнятих межею. Значення ��(ℎ) 
залежить від того, як саме фігура F розміщена відносно сітки, проте гранична 
поведінка f(h) за h→0 для різних положень є подібною. Тому надалі можна 
розглядати будь-яке фіксоване розміщення. 
Введемо таку величину D, що для всіх β>D виконуються умови відповідних 
нерівностей :  
 
а для всіх γ < D справджуються протилежні співвідношення для γ: 
 
Число D будемо називати узагальненою геометричною розмірністю заданої 
фігури. Зазвичай для цієї величини виконується додаткова умова збіжності 
відповідних сум та граничних співвідношень.: 
 
Для ілюстрації розглянемо коло радіуса 1 за умови, що ℎ=1/��, де ��∈��. 
Можна показати, що функція f(h) у цьому випадку дорівнює 8m (з точністю до 
 43 
членів, порядок яких менший за m), якщо центр кола розташований у куті деякої 
сіткової комірки (рис. 3.1). Для доведення цього факту розглянемо одну чверть 
кола й простежимо шлях уздовж дуги від комірки, нижній правий кут якої має 
координати (0;m−1), до комірки з координатами (m−1;0). Окремі випадки, коли 
коло проходить точно через кут комірки, можна вважати винятком, оскільки їх 
кількість є малою порівняно з m. Якщо ж m подається у вигляді добутку простих 
чисел ��, ��2, ��і, де кожне pi має форму ����=4����+3, то перетинів з вузлами сітки 
взагалі не виникає, і єдиними цілими точками на колі будуть (m;0) та (0;m). Отже, 
��(ℎ)=8��+��(��), де r(m) — величина, суттєво менша за m, тобто виконується 
відповідне асимптотичне співвідношення. 
Загальна кількість пройдених комірок становить 
 
 
Рисунок 3.1 - Модель визначення узагальненої розмірності кола при m = 5 
 44 
Таким чином, можна описати підхід до наближеного визначення 
узагальненої розмірності довільної фігури. Розглянемо кілька значень розміру 
комірки ℎ1, ℎ2, …, ℎ��. 
Для кожного з них підрахуємо кількість комірок, у яких фігура займає хоча 
б частину площі: S1 = f (h1),...,Sn = f (hi ) за певного положення фігури на 
площині. Для поліпшення відтворюваності результатів доцільно зберігати 
однакову орієнтацію сітки для різних ℎ��. Для фігур із достатньо однорідною 
будовою виконується залежність виду 
       (3.1) 
де c - деяка константа, а D - фрактальна розмірність фігури. 
Перетворимо (3.1) до логарифмічної форми: 
     (3.2) 
була мінімальною. Для лінійної функції ��(��)=����+��f(x)=ax+b відхилення буде 
мінімальним, якщо коефіцієнти �� і �� обчислено за формулами 
 
була мінімальною. 
Для лінійної функції ��(��)=������ 
f(x)=ax+b відхилення буде мінімальним, якщо коефіцієнти �� і �� обчислено за 
формулами. Для випадку f (x) = ax + b відхилення є найменшим, якщо 
 45 
   (3.3) 
де знаменник задовольняє умову ненульової дисперсії аргументів, тобто 
 
де знаменник задовольняє умову ненульової дисперсії аргументів, тобто 
 
Тоді за формулами (3.3): 
 
Для просторових (тривимірних) об’єктів величину розмірності поверхні 
можна оцінювати за формулою, аналогічною (3.3), але з використанням 
xi=ln(1/hi), тютюновий, h1=lnSi, де ����-  кількість кубів зі стороною hi (розміром 
ℎ��×ℎ��×ℎ��), які перетинаються з фігурою. Нехай D - розмірність окремого профілю. 
Тоді кожен профіль приблизно займає c=h−D комірок (де �� – константа). Якщо 
розглядати профілі з кроком h, то загальна кількість зайнятих кубів становитиме 
приблизнос.h-D L/h, де L — довжина зразка (L/h - кількість профілів). 
 46 
 
Рисунок 3.2 - Модель визначення фрактальної розмірності поверхні (а), 
моделювання поверхні (б) та покриття (в) в тривимірному просторі 
 
Перетворимо формулу: 
 
отже, для всього паперового аркуша функція f (h) = L.c.h- (1 +D) (рис. 3.3), а 
фрактальна розмірність поверхні дорівнює (1 + D) . Так само можна розрахувати 
фрактальну розмірність поверхні з покриттям. 
Амплітудний коефіцієнт поверхні. Для моделювання поверхні було введено 
амплітудний коефіцієнт ��, який обчислюється на основі профілю, належить до 
амплітудно-частотних характеристик і не залежить від вибраного масштабу 
аналізу. Було встановлено, що значення C монотонно зростає зі збільшенням 
дисперсії висот рельєфу. 
 47 
 
Рисунок 3.3 - Графічне зображення розробленої моделі з урахуванням 
фрактальної розмірності поверхні  
 
Структурна функція була використана при визначенні шорсткості поверхні 
як альтернатива кореляційній функції. Для функцій, що імітують фрактальний 
броунівський рух, структурна функція має лінійну залежність від довжини. 
Амплітудний коефіцієнт поверхні розраховується за формулою: 
 
де τ - приріст довжини, а η - просторове розділення профілювального приладу. 
Під час обчислення структурної функції τ змінюється від мінімальної відстані між 
точками до довжини досліджуваної ділянки. Структурна функція є середнім 
значенням квадрата різниці висот точок, розташованих на відстані τ: 
 
Для реальних профілів поверхні структурну функцію обчислювали за 
експериментально отриманими профілограмами. Якщо профілограма містить �� 
точок, то оцінка структурної функції для зсуву τ задається співвідношенням 
    (3.4) 
 48 
Після обчислення структурної функції будують залежність log��j від log SJ і 
виконують апроксимацію прямою за методом найменших квадратів. З 
використанням (3.4) амплітудний коефіцієнт поверхні можна подати у вигляді  
 
де m – нахил апроксимувальної прямої на графіку log ����  (log ��). 
На рис.3.4 зображено приклад графічного подання змодельованої поверхні в 
тривимірному просторі з урахуванням амплітудного коефіцієнта.. 
 
Рисунок 3.4 - Графічне зображення розробленої моделі з урахуванням 
амплітудного коефіцієнта поверхні 
 
3.2. Аналіз та узагальнення даних, отриманих під час математичного 
моделювання 
Методика експериментальних досліджень. З метою перевірки адекватності 
запропонованої математичної моделі було виконано серію експериментів на 
реальних зразках. Для отримання кількісних параметрів поверхні за стандартними 
методиками [24–26] експериментально визначали фізико-технічні характеристики 
досліджуваних зразків. Мікрорельєф аналізували двома шляхами, один з яких 
передбачав використання атомно-силового мікроскопа «NT-206» з подальшим 
формуванням двовимірного профілю поверхні. 
 49 
Вимірювання проводили на АСМ, оснащеному автоматизованою 
вимірювальною системою модульної побудови, у якій апаратні та програмні 
блоки можуть гнучко комбінуватися. Така система дає змогу здійснювати 
контактне зондування локальних ділянок поверхні тонкою голкою та отримувати 
збільшене зображення її профілю. У подібних приладах аналіз здійснюється 
алмазним зондом із радіусом заокруглення 10–12,5 мкм, причому швидкість 
сканування датчика під час вимірювань становила 0,15 мм/с. 
Застосований метод АСМ дозволяє отримувати кількісні показники 
шорсткості поверхні, визначати висотні параметри рельєфу (максимальні виступи 
та западини), будувати розподіли виступів за площею, а також аналізувати інші 
топографічні особливості. На основі вимірювань формуються дво- та тривимірні 
зображення поверхні, можливе спостереження інтерференційних картин у білому 
та монохроматичному світлі. Важливою перевагою методу є відсутність 
необхідності у спеціальній підготовці зразків, відносна швидкість вимірювань і 
обробки даних, а також можливість відтворення мікротопографії як необробленої 
поверхні, так і поверхні з покриттям шляхом аналізу послідовності 
інтерференційних кадрів. 
Результати експериментальних досліджень. Оскільки досліджувані зразки 
істотно відрізняються за структурою та експлуатаційними властивостями 
поверхневого шару, постала задача виділити узагальнений параметр, який би 
коректно описував ступінь відмінності шорсткості на різних ділянках і дозволяв її 
кількісно оцінити. 
Для визначення узагальненої розмірності профілю поверхні та амплітудного 
коефіцієнта структури було створено спеціальне програмне забезпечення на базі 
пакета Python (Додаток А). Вхідною інформацією для розрахунків слугували 
профілограми поверхні, отримані на різних ділянках зразків. 
Алгоритм обробки реалізовано у такій послідовності. Спершу до програми 
вводяться координати точок профілограми поверхні (рис. 3.5). На другому етапі 
задається номер ітерації k = 1. 
 50 
 
Рисунок 3.5 - Профілограми поверхні зразка № 1, отримані методом АСМ з 
лицьового (а) та заднього (б) боків 
 
Далі для кожного значення k здійснюється вибір розміру елементарної 
клітинки h. Обчислюється кількість s(k) клітинок зі стороною h, що 
перетинаються профілограмою, після чого визначаються x(h)= ln(k), y(h) = ln(s(k))  
Описана процедура повторюється для кількох значень k у діапазоні від 0 до 
12. На завершальному етапі розраховується показник розмірності поверхні як 
старший коефіцієнт прямої, отриманої в результаті лінійної регресії між x і y за 
методом найменших квадратів: 
 
після чого обчислене значення виводиться на екран. 
Числові значення показника розмірності та амплітудного коефіцієнта були 
отримані на основі профілограм, знятих двома методами: механічним контактним 
(Dmex = 2,067–2,130, Cmex = 0,065–0,109) та оптичним безконтактним (Dopt = 2,103–
2,183, Copt = 0,072–0,116) варіантом реалізації АСМ. Показано, що для всіх 
досліджуваних зразків виконується співвідношення Dopt > Dmex та Copt > Cmex, що 
пояснюється вищою роздільною здатністю оптичної профілометрії. Найбільші 
значення зазначених параметрів отримано для зразка №3 з лицьового боку, а 
найменші – для зразка №3 з тильного боку (рис. 3.6). 
 51 
 
Рисунок 3.6 - Діаграми розмірності поверхні досліджуваних зразків, отримані:  
а – контактним способом; б – безконтактним способом 
 
Адекватність побудованих моделей було перевірено за допомогою 
статистичних критеріїв. За критерієм Стьюдента моделі визнано коректними, 
оскільки виконується умова texp > tkr: перебуває в межах 5,09–23,19 для моделі з 
урахуванням D; texp перебуває в межах 4,54–21,74 для моделі з урахуванням 
параметра C; за рівня значущості p=0,05 та критичного значення tkr=2,10. 
За критерієм Фішера також підтверджено відповідність моделей, оскільки  
Fexp < Fkr: лежить у діапазоні 2,14–3,18 для моделі з урахуванням D; Fexp лежить у 
діапазоні 2,88–3,25 для моделі з урахуванням C; за умови Fkr = 4,16 (рис. 3.7). 
 
Рисунок 3.7 – Відповідність реального (а) профілю змодельованим 
профілям, отриманим із використанням параметра розмірності (б) та 
амплітудного коефіцієнта (в) поверхні 
 52 
Отже, порівняння експериментальних профілограм із змодельованими 
профілями, побудованими на основі узагальненого показника розмірності та 
амплітудного коефіцієнта, засвідчує, що запропонований підхід коректно 
відтворює реальну мікротопографію поверхні та може застосовуватися для 
кількісної оцінки відмінностей між різними зразками й ділянками шару. 
 
Висновки до розділу 3 
Побудова моделей мікрорельєфу поверхні деталей з покриттям і без нього 
розглядається як ефективний підхід для кількісного опису стану поверхні та 
подальшого керованого поліпшення якості готових виробів. 
Для реалізації цілеспрямованого впливу на показники якості було створено 
математичну модель структури поверхневого шару з покриттям і без нього, яка 
дає змогу характеризувати мікрорельєф за допомогою узагальненого показника 
розмірності та амплітудного коефіцієнта як у критичній зоні навантаження, так і 
поза її межами. 
Розроблено алгоритм і програмний модуль для визначення зазначених 
параметрів мікроструктури поверхні (з покриттям та без покриття), що 
забезпечують можливість прогнозування оптичних характеристик відбитків як на 
етапі вхідного контролю, так і при оперативному контролі під час експлуатації 
виробів. На основі профілограм, отриманих контактним методом (Dmex = 2,067—
2,130, Cmex = 0,065—0,109) та безконтактним методом АСМ (Dopt = 2,103—2,183, 
Copt = 0,072—0,016), визначено діапазони відповідних параметрів поверхні. 
Встановлено, що для всіх досліджуваних зразків виконується співвідношення Dopt 
> Dmex та Copt > Cmex, що пов’язано з вищою просторовою роздільною здатністю 
безконтактного варіанту АСМ-вимірювань. 
Як подальший напрям досліджень передбачається встановити кореляційні 
зв’язки між таким параметризованим описом поверхні, її колірними 
характеристиками та параметрами технологічного процесу виготовлення й 
умовами експлуатації досліджуваних зразків. 
 53 
РОЗДІЛ 4 
ДОСЛІДЖЕННЯ ПРОЦЕСУ МОДЕЛЮВАННЯ ПОВЕРХОНЬ ІЗ 
МАСШТАБНО-ІНВАРІАНТНОЮ МОРФОЛОГІЄЮ З УРАХУВАННЯМ 
ВПЛИВУ АРТЕФАКТІВ СКАНУВАННЯ АТОМНО-СИЛОВОЮ 
МІКРОСКОПІЄЮ 
 
4.1. Обґрунтування підходу до моделювання процесу отримання АСМ-
зображення  
У цій роботі розглянуто, як обмежена геометрія зонда впливає на АСМ-
зображення та на числові параметри, що обчислюються за цими даними. Як 
реальні зразки досліджувалися поліровані поверхні ситалу. За результатами 
рентгенівського розсіювання на синхротронному джерелі показано, що PSD-
функції таких поверхонь у широкому діапазоні просторових частот поводяться як 
наближено пряма лінія в подвійному логарифмічному масштабі. У той же час у 
літературі зазначається, що для надгладких поверхонь, досліджених методом 
АСМ, у високочастотній області крива PSD відхиляється від лінійного ходу (так 
званий «завал» PSD-функції). У ході наших досліджень цей характерний «завал» 
також було зафіксовано (рис.4.1). 
 
Рисунок 1.4 - PSD-функція підкладинки та її апроксимація (червона лінія). 
 54 
Було висунуто припущення, що положення області «завалу» пов’язане з 
радіусом заокруглення вістря зонда. У публікаціях дійсно згадується кореляція 
між цією особливістю PSD-функції та кінцевими розмірами зонда, однак 
детальний кількісний аналіз зазвичай відсутній. У даній роботі поставлено 
завдання з’ясувати, чи можна за положенням «завалу» однозначно оцінити 
ефективний радіус вістря використовуваної голки. 
Залежність положення «завалу» на PSD-функції від радіуса зонда вивчалася 
не лише експериментально, а й шляхом чисельного моделювання. Обчислювальні 
експерименти дають змогу в широкому діапазоні змінювати параметри як 
поверхні, так і зонда та простежити, як це відбивається на вигляді PSD-функції. 
Для моделювання процесу формування АСМ-зображення необхідно задати 
модель поверхні, модель форми зонда та модель їх взаємодії. Почнемо з вибору 
опису поверхні. 
Модель поверхні. Для розв’язання поставленого завдання потрібно 
генерувати штучні рельєфи, що відтворюють властивості реальних надгладких 
поверхонь. Відомо, що такі поверхні характеризуються самоподібною, 
масштабно-інваріантною морфологією на широкому діапазоні масштабів. Тому в 
моделюванні використовували генератор поверхонь із масштабно-інваріантною 
структурою. За основу взято алгоритм, який дозволяє явно задавати ключові 
параметри рельєфу. В якості вхідних даних задаються розміри області та 
автокореляційна функція висот. 
Як показано в огляді літератури, для опису поверхонь із масштабно-
інваріантною морфологією можуть застосовуватися кілька типів 
автокореляційних функцій, за умови, що вони задовольняють певним вимогам до 
асимптотичної поведінки. У цій роботі як базову автокореляційну функцію 
обрано функцію Kohlrausch–Watts–Williams (KWW), яка в заданому вигляді 
містить показниковий параметр, що характеризує степінь самоподібності рельєфу. 
Таким чином, для поверхні можна незалежно варіювати показник самоподібності, 
середньоквадратичну шорсткість та довжину кореляції. 
 55 
Щоб модельні рельєфи відповідали реальним надгладким поверхням, 
необхідно знати значення показника самоподібності, шорсткість і кореляційну 
довжину саме для реальних зразків. 
Визначення параметрів реальних поверхонь. Необхідні параметри поверхонь 
з масштабно-інваріантною структурою визначали за експериментальними АСМ-
зображеннями. На основі цих даних було розраховано PSD-функції для різних 
розмірів сканування (рис.4.2). 
  
а.       б. 
Рисунок 4.2 - Залежність PSD- функції від просторової частоти (а) (чорна крива 
100 мкм, червона - 10 мкм і зелена - 1 мкм); б - Залежність шорсткості поверхні 
від розміру скана 
 
На рисунку 4.2а подано PSD-функції для областей 1, 10 і 100 мкм, а на 
рисунку 4.2б показано, як середньоквадратична шорсткість залежить від розміру 
області сканування. На графіку 4.2а площа під кривою PSD пов’язана з 
величиною шорсткості, а кут нахилу прямолінійної ділянки до осі X визначається 
показником самоподібності. Як зазначалося, шорсткість змінюється зі 
збільшенням розміру зображення, що сканується; з рисунка 4.2б видно, що за 
зростання розміру області сканування Rq збільшується. Для нашого досліду 
надалі обмежимося сканом 100 мкм, оскільки це максимальна область, яку 
дозволяє досліджувати наявний АСМ. Припускаємо, що подальше збільшення 
області дає вже незначну зміну шорсткості. 
 56 
Показник самоподібності визначали з залежності шорсткості від розміру 
області сканування. На рисунку 4.3 наведено апроксимацію експериментальних 
точок теоретичною залежністю, отриманою з відповідної формули. Видно, що 
експериментальні дані добре узгоджуються з теорією. 
 
Рисунок 4.3 - Залежність Rq від розміру області сканування. Точками позначено 
експеримент, червона крива – апроксимація  
 
У літературному огляді було показано, що для реальних надгладких 
поверхонь параметр Херста зазвичай має значення порядку 0,1. За 
запропонованою методикою, на основі експериментальних даних ми отримали h = 
0,044, що узгоджується з наведеними в літературі оцінками. 
Оцінювання довжини кореляції. Визначення довжини кореляції для 
реальних поверхонь є нетривіальним завданням. Зазвичай її пов’язують зі спадом 
автокореляційної функції до рівня 1/e. Однак, виходячи лише з АСМ-даних, 
однозначно відновити автокореляційну функцію поверхні досить складно 
(рис.4.4). 
 57 
 
Рисунок 4.4 - Залежність автокореляційної функції від розміру області 
сканування. Різними кольорами позначено результати для сканів від 1 до 100 мкм 
 
На рисунку 4.4 наведено автокореляційні функції для трьох розмірів області 
сканування: 1, 10 і 100 мкм. На відміну від PSD-функції, ці криві не накладаються 
одна на одну, а істотно відрізняються між собою. Оскільки довжина кореляції 
визначається швидкістю спаду автокореляційної функції, то вона також виходить 
різною для різних розмірів зони сканування. Отже, за такими даними неможливо 
однозначно вказати єдину кореляційну довжину для всієї поверхні. 
Разом з тим нами показано, що для поверхонь із параметром Херста 
порядку 0,1 (що відповідає реальним надгладким рельєфам) при зміні довжини 
кореляції від 1 до 100 мкм форма PSD-функції в подвійному логарифмічному 
масштабі залишається майже незмінною (рис.4.5). 
На графіку показано PSD для згенерованих областей розміром від 1 мкм до 
1 м. Видно, що для кореляційних довжин 1 і 100 мкм відхилення від 
прямолінійної залежності проявляється лише в області низьких просторових 
частот, тобто для дуже великих областей (порядку сантиметрів). Такі розміри 
недоступні для АСМ-сканування. Тому можна зробити висновок, що для цілей 
даної роботи точність визначення довжини кореляції не є критичною: у тій 
частині спектра, яка нас цікавить (високі просторові частоти, де спостерігається 
«завал» PSD-функції), її зміна практично не впливає на результат. У подальшому 
моделюванні було прийнято значення l = 100 мкм. 
 58 
 
Рисунок 4.5 - PSD-функції для різних довжин кореляції та розмірів згенерованої 
області.. Чорна крива – довжина кореляції 1 мкм, червона – 100 мкм. 
 
Відповідність модельних поверхонь реальним. У попередньому пункті були 
визначені параметри реальних зразків. Далі було згенеровано модельні поверхні з 
такими самими значеннями шорсткості, показника самоподібності та довжини 
кореляції, після чого порівняно морфологію та спектральні характеристики 
реальних і модельних рельєфів. 
 
Рисунок 4.6. а – Згенерована поверхня з масштабно-інваріантною структурою; 
б – АСМ-зображення реальної надгладкої поверхні. 
 
На рисунку 4.6 наведено приклад зображення згенерованої та реальної 
 59 
поверхонь розміром 1×1 мкм з однаковою шорсткістю. Візуальний аналіз показує 
якісну подібність рельєфів. Далі порівнювали PSD-функції модельної та реальної 
поверхонь (рис.4.7).  
 
Рисунок 4.7. PSD-функції для згенерованого та реального зразків з 
однаковими параметрами. Червона крива – модельні дані, чорна – експеримент. 
 
З рисунка 4.7 видно, що в широкому діапазоні просторових частот 
експериментальна та модельна PSD-функції добре збігаються. Розбіжності 
проявляються лише в області високих частот, де крива, побудована за АСМ-
даними, відхиляється вниз від теоретичної прямої. Це ще раз підтверджує, що у 
високочастотній області експериментальна PSD-функція спотворюється через 
обмежений радіус вістря зонда. У таблиці 4.1 наведено порівняння основних 
параметрів модельної та реальної поверхонь. 
 
Таблиця 4.1 - Порівняння параметрів модельної і реальної поверхонь. 
 Модельний зразок Експериментальний зразок 
Шорсткість 3 A 3 A 
Показник самоподібності 0,028 0,03 
 
 60 
Як видно, числові параметри, отримані для модельної та реальної 
поверхонь, практично збігаються. Порівняння зображень та розрахункових 
характеристик підтверджує адекватність обраної моделі поверхні. 
Модель форми зонда для АСМ. У роботі використовувалися зонди з різними 
радіусами заокруглення. Один із них мав радіус близько 10 нм – це типовий 
розмір для стандартних кремнієвих кантилеверів промислового виробництва. 
Додатково застосовувалися високороздільні зонди з радіусом порядку 1 нм. Тому 
при моделюванні процесу формування АСМ-зображення постає завдання вибору 
адекватного геометричного опису вістря. 
У літературі запропоновано кілька варіантів моделювання форми зонда; у 
більшості випадків кінчик голки описують у вигляді сфери. Існують також більш 
складні моделі, наприклад, із двома сферами (рис.4.8б), які краще відтворюють 
роботу зонда на ступінчастих структурах. У наведеній роботі автори 
досліджували структуру з періодом 1,1 мкм і висотою виступів 0,25 мкм, тобто 
перепад висот значно перевищує радіус заокруглення вістря. 
 
Рисунок 4.8 - Модельні форми вістря кантилеверів АСМ,  
а – описане однією сферою; б – описане двома сферами 
 
Для досліджуваних надгладких поверхонь характерні висотні перепади 
значно менші за типовий радіус вістря стандартного зонда. У такій ситуації опис у 
вигляді однієї сфери на кінчику є цілком достатнім. Саме цю модель і було 
прийнято для зонда з радіусом близько 10 нм. 
 61 
Для високороздільних зондів із радіусом ≈1 нм ситуація інша: характерні 
перепади рельєфу вже можуть перевищувати радіус заокруглення вістря. Відомо, 
що такі зонди являють собою наноструктури невеликої висоти (~20 нм), вирощені 
на кінчику базового зонда у вигляді тонких «вусів» або нанотрубок. Їх доцільно 
описувати у вигляді циліндра з півсферою на кінці (рис.4.9). 
 
Рисунок 4.9 -. Модель високороздільного зонда 
 
Отже, для стандартних зондів як геометричну модель вістря можна 
використовувати сферу, а для високороздільних – циліндр із півсферою на 
вершині, що адекватно відтворює форму робочої частини зонда на висотах, 
більших за радіус заокруглення. 
Модель взаємодії зонда з поверхнею. Для опису взаємодії зонда з 
поверхнею в цій роботі застосовано наближення геометричної згортки. У цій 
моделі кантилевер і поверхня розглядаються як абсолютно тверді тіла, а 
виміряний профіль є результатом морфологічної операції «огортання» рельєфу 
формою вістря. За даними літератури, таке наближення добре відтворює процес 
формування АСМ-зображень у режимах, що нас цікавлять. 
Таким чином, у роботі обґрунтовано вибір моделі поверхні з масштабно-
інваріантною морфологією, показано відповідність згенерованих рельєфів 
реальним надгладким зразкам, а також наведено аргументацію щодо вибору 
геометричної моделі зонда та моделі їхньої взаємодії, що в комплексі дає 
можливість коректно аналізувати вплив кінцевої форми зонда на PSD-функції та 
інші параметри, отримані з АСМ-зображень. 
 62 
4.2. Вплив обмеженої геометрії зонда на результати АСМ-зображення 
У попередньому підпункті було обґрунтовано вибір моделей зонда, 
поверхні та їх взаємодії. Тепер, спираючись на ці моделі, розглянемо формування 
зображень, що відповідають згортці зонда з поверхнею. 
У процесі побудови моделей згортки поверхні та зонда було виявлено, що 
отримане зображення може містити деталі, яких не було в початкових даних. На 
рисунку 4.10 наведено результати згортки модельної поверхні розміром 1 мкм × 1 
мкм із зондами, радіус заокруглення яких становив 100 нм, 10 нм та 1 нм. Такі 
значення радіуса відповідають реальним зондуючим голкам, які застосовуються 
під час АСМ-вимірювань. 
 
Рисунок 4.10 - Зображення: а – згенерована поверхня; б – поверхня після згортки 
із зондом радіуса 1 нм; в – поверхня після згортки із зондом радіуса 10 нм;  
г – поверхня після згортки із зондом радіуса 100 нм. 
 
 63 
Із фрагментів, показаних на рисунку 4.10 (а–в), видно, що за умови, коли 
радіус заокруглення модельного зонда не перевищує 10 нм, отриманий рельєф 
згортки лише незначно відрізняється від вихідного зображення. Натомість на 
рисунку 4.10 г добре помітно появу дрібноструктурного мікрорельєфу у вигляді 
майже сферичних утворень діаметром близько 10 нм. Для отримання цього 
результату використовували модель зонда з радіусом 100 нм. Порівняння вихідної 
поверхні та результату згортки (рисунок 4.10 а, г) показує, що таких утворень на 
початковій модельній поверхні не було. Отже, можна зробити висновок, що 
«зерна» виникають саме як наслідок математичної операції згортки поверхні із 
зондом. 
На рисунку 4.11 подано приклади зображень реальної поверхні та 
результату згортки модельної поверхні із зондом кінцевого радіуса.  
 
Рисунок 4.11. а, в – модельні зображення згортки поверхні із зондом радіуса  
100 нм; б – АСМ-зображення плівки; г – АСМ-зображення ситалової підкладки 
 64 
На цьому рисунку показано дві пари зображень: синтетичні (4.11 а, в), 
отримані для різних параметрів поверхні та зонда, і реальні АСМ-знімки (рисунок 
4.11 б – поверхня плівки, рисунок 4.11 г – поверхня ситалу). Із порівняння видно, 
що в експериментальних АСМ-зображеннях також спостерігаються подібні 
зернисті структури. Це ставить важливе запитання: чи відповідають «зерна» на 
АСМ-зображенні реальному мікрорельєфу зразка, чи вони можуть бути 
артефактом вимірювань, зумовленим скінченними розмірами зонда. 
Для подальшого аналізу реальної зернистої поверхні та модельного 
зображення було побудовано відповідні PSD-функції. На рисунку 4.12 а, б 
наведено модель згортки поверхні із зондом радіуса 100 нм та АСМ-зображення 
ситалової підкладки відповідно, а на рисунку 4.12 в показано їхні PSD-функції. 
 
Рисунок 4.12 -  а - модель згортки поверхні із зондом радіуса 100 нм; б – АСМ-
зображення ситалової підкладки; в – PSD-функції для модельної та реальної 
поверхонь (чорна крива відповідає реальній поверхні, червона – моделі) 
 65 
Як видно з рисунка 4.12 в, для зразка з реальними зернами на PSD-функції 
спостерігається виражений максимум (пік). Натомість для випадку, коли 
утворення на зображенні зумовлені не справжнім мікрорельєфом, а наслідками 
взаємодії поверхні із зондом, пік відсутній, а на високих просторових частотах 
спостерігається характерне спадання («завал»). 
Таким чином, наведені міркування дозволяють запропонувати критерій: за 
формою PSD-функції можна відрізнити випадки, коли зерниста структура на 
АСМ-зображенні дійсно відображає реальний рельєф поверхні, від ситуацій, у 
яких такі «зерна» є артефактами вимірювання, пов’язаними зі скінченним 
радіусом зонда. 
 
4.3. Вплив обмежених розмірів зонда на PSD-характеристики поверхні 
У цій частині роботи розглянуто, як пов’язана поява ділянки «завалу» на 
PSD-функції з радіусом зонда. Для цього проаналізовано як експериментальні 
результати АСМ-вимірювань, так і дані чисельного моделювання. Спочатку було 
виконано серію сканувань одного й того самого зразка атомно-силовим 
мікроскопом із використанням зондів різного радіуса заокруглення (рисунок  
4.13). Застосовувалися два типи зондів: зі стандартним радіусом вершини близько 
10 нм та зонд підвищеної роздільної здатності з радіусом приблизно 1 нм. Для 
обох варіантів зондів отримували зображення розміром до 1 мкм, тоді як усі 
більші скани виконувалися стандартним зондом. 
 
Рисунок 4.13 - PSD-функції, розраховані за експериментальними даними (чорна 
крива отримана зондом в 1 нм, червона -10 нм.) 
 66 
На рисунку 4.13 чорна крива відповідає серії експериментів, виконаних 
зондом із радіусом 10 нм, а червона – даним, отриманим зондом із радіусом 
близько 1 нм. Із аналізу рисунка 4.13 видно, що в області високих просторових 
частот усі отримані PSD-функції демонструють характерне «провалювання» 
(зниження відносно прямолінійного тренду). При цьому частота, починаючи з 
якої спостерігається цей «завал», різна для різних зондів. Разом з тим, згідно з 
результатами, наведеними в огляді літератури, для поверхонь із масштабно-
інваріантною структурою PSD-функція в подвійному логарифмічному масштабі 
має вигляд близький до прямої лінії; це, зокрема, підтверджується даними 
рентгенівського розсіювання на синхротронних джерелах. Отже, в АСМ-
експериментах дійсно фіксуються відхилення PSD-функцій від прямолінійного 
ходу, і положення цих «завалів» суттєво залежить від радіуса зонда: зі 
збільшенням радіуса просторові частоти, на яких починається відхилення, 
зміщуються в бік менших значень. 
В реальних вимірюваннях можливість довільно змінювати як параметри 
зонда, так і характеристики поверхні є обмеженою. Тому залежність положення 
«завалу» на PSD-функції від радіуса зонда доцільно вивчати не лише за 
експериментальними, а й за модельними даними. Для цього було синтезовано 
модель рельєфу поверхні з параметром шорсткості 1 Å та масштабним 
(структурним) параметром 0.05, що відповідає характеристикам реальних зразків. 
Далі цю поверхню згортали з модельними зондами різного радіуса, після чого за 
отриманими зображеннями будували PSD-функції. На рисунку 4.14 показано 
PSD-функції, отримані в результаті згортки зонда з радіусами 10 нм і 100 нм. 
 67 
 
Рисунок 4.14 - PSD-функції для модельних зразків, згортка зонда різного радіуса. 
Чорна крива відповідає вихідній поверхні без згортки; червона – результату 
згортки з зондом радіуса 10 нм; синя – згортці з зондом радіуса 100 нм. 
 
Як видно з рисунка 4.14, PSD-функція, розрахована за даними вихідної 
(ідеалізованої) поверхні, має близько лінійний характер у подвійному 
логарифмічному масштабі. Після згортки цієї поверхні зондами різного радіуса 
PSD-функції, побудовані за результатами таких зображень, у зоні високих 
просторових частот відхиляються від прямої лінії, що узгоджується з 
експериментальними даними. При цьому криві для зразків, змодельованих 
зондами різного радіуса, починають відхилятися від лінійного тренду на різних 
просторових частотах. Зокрема, для згортки поверхні із зондом радіуса 100 нм 
відхилення від прямої спостерігається приблизно на частоті �� = 10 мкм−1, що у 
просторі розмірів відповідає масштабові �� = 1/�� = 0,1 мкм = 100 нм. 
Аналогічно, для зонда з радіусом 10 нм PSD-функція починає відхилятися 
від лінії на частоті близько �� = 100 мкм−1, що відповідає �� = 10 нм. Таким чином, 
модельні розрахунки також свідчать про те, що положення «завалу» на PSD-
функції корелює з розмірами зонда. 
Вплив параметрів структури поверхні на «завал» PSD-функції. З 
попереднього аналізу можна було б зробити висновок, що зона «завалу» PSD-
функції однозначно визначається лише радіусом зонда. Однак при зміні 
параметрів моделі поверхні положення цієї області також змінюється. На рисунку 
 68 
4.15 наведено PSD-функції, отримані для згортки одного й того самого зонда з 
модельними поверхнями, що відрізняються структурними параметрами. На 
рисунку 4.15, а показано PSD-функції для зразків із шорсткістю 1 Å і 5 Å (для 
обох випадків параметр Херста дорівнює 0.1), тоді як на рисунку 4.15, б – для 
поверхонь із різними значеннями параметра Херста (0.1 і 0.5) за сталої шорсткості 
1 Å. 
Із рисунка 4.15, а видно, що для зразка з більшою шорсткістю «завал» PSD-
функції виникає на нижчих просторових частотах, ніж для поверхні з меншою 
шорсткістю. Якщо проаналізувати графік детальніше, то для зразка з більш 
вираженим рельєфом (шорсткість 5 Å) PSD-функція згортки з модельним зондом 
радіуса 100 нм відхиляється від лінійної ділянки на частоті близько �� = 15 мкм−1, 
що в прямому просторі відповідає приблизно 65 нм. Для тієї ж поверхні, але при 
згортці з зондом радіуса 10 нм, зміщення від прямої спостерігається на частоті 
приблизно �� = 50 мкм−1, тобто при масштабі порядку 20 нм. Для зразків із 
шорсткістю 1 Å відповідні значення вже не узгоджуються з заданими розмірами 
зонда, тобто проста інтерпретація за схемою «позиція завалу = радіус зонда» тут 
не працює. 
 
а.       б. 
Рисунок 4.15 - PSD-функції для модельних зразків: а – для поверхонь із різною 
шорсткістю (чорна крива – шорсткість 1 Å; червона – 5 Å, для обох зразків 
параметр Херста h=0,1); б – для поверхонь із різним значенням параметра Херста 
(чорна крива – h=0,1; червона – h=0,5, шорсткість обох зразків 5 Å). 
 
 69 
Розглянемо тепер дані рисунка 4.15, б. Тут проаналізовано PSD-функції, 
розраховані для згортки зонда з поверхнями, які мають різні значення параметра 
Херста за однакової шорсткості. Із графіка видно, що для зразків із меншим 
значенням цього параметра відхилення PSD-функції від лінійної ділянки виникає 
раніше (на вищих просторових частотах), ніж для поверхонь із більшим 
параметром Херста. Була зроблена спроба відновити розмір радіуса зонда за 
положенням «завалу» PSD-функції. Для зразка з більшим значенням параметра 
Херста згортка поверхні з модельним зондом радіуса 100 нм дає відхилення від 
прямої лінії на частоті �� ≈ 15 мкм−1, що відповідає масштабові ~65 нм у прямому 
просторі. Для тієї ж поверхні, але зондом радіуса 10 нм, «завал» спостерігається 
на частоті близько �� = 102 мкм−1, тобто приблизно 10 нм. Для поверхні з меншим 
значенням параметра Херста (0.1) ці значення вже не збігаються із заданими 
радіусами зондів. 
Отже, встановити однозначну відповідність між просторовою частотою, 
після якої на PSD-функції проявляється «завал», і розміром модельного зонда не 
вдалося. Для одного й того самого зонда, але при взаємодії з поверхнями, що 
мають різні параметри шорсткості й різні значення параметра Херста, PSD-
функції відхиляються від лінійного ходу в різних діапазонах частот. 
Наведені міркування свідчать про те, що положення «завалу» PSD-функції 
визначається не лише радіусом зонда, а й структурними характеристиками 
поверхні – її шорсткістю та масштабними параметрами (зокрема параметром 
Херста). Таким чином, всупереч початковому припущенню, за однією лише 
позицією області «завалу» PSD-функції не можна однозначно відновити радіус 
зонда, яким було отримано зображення поверхні. 
 
4.4. Критичний аналіз адекватності обраної моделі 
 Основним завданням нашого дослідження було визначити реальний радіус 
зонда за положенням “завалу” на PSD-функції. У попередньому підпункті було 
показано, що координата цього “завалу” не задається однозначно лише радіусом 
зонда, а істотно залежить від параметрів рельєфу досліджуваної поверхні. Тому 
 70 
було висунуто припущення, що радіус зонда доцільно оцінювати не 
безпосередньо з експериментальної PSD-функції, а через порівняння PSD-функцій 
АСМ-зображень з результатами згортки модельної поверхні із зондами різного 
радіуса. При цьому параметри шорсткості штучно згенерованої поверхні 
підбиралися так, щоб вони узгоджувалися з характеристиками реальних АСМ-
зображень, які порівнювалися. 
Розбіжність між експериментом та моделюванням. Щоб перевірити 
можливість визначення радіуса зонда в реальному АСМ-експерименті, було 
виконано зіставлення експериментальних і чисельно отриманих даних. Для цього 
зразок сканували двома зондами з радіусами заокруглення вістря близько 1 нм та 
10 нм (рисунок 4.16). 
 
Рисунок 4.16 - АСМ-зображення поверхні, отримані (а) - зондом з радіусом 
вістря 1нм і (б) - зондом з радіусом 10 нм. 
 
На рисунку 4.16, а наведено зображення, виміряне зондом з радіусом ≈1 нм, 
а на рисунку 4.16, б – зображення того самого зразка, отримане зондом з радіусом 
≈10 нм. Для обох зображень було розраховано та побудовано відповідні PSD-
функції (рисунок 4.17). 
На основі АСМ-зображення, отриманого “гострим” зондом (радіус близько 
1 нм), визначили набір параметрів, необхідних для математичного опису 
поверхні. Далі згенерували модельну поверхню з цими параметрами і виконали її 
згортку із зондами трьох радіусів: 1, 10 та 100 нм. Для кожної з отриманих 
 71 
модельних поверхонь обчислили PSD-функції. Після цього порівняли PSD-
функції, побудовані за реальними АСМ-даними, з PSD-функціями для модельних 
поверхонь; результати наведено в Додатку Б. 
 
 
Рисунок 4.17 - PSD-функції, отримані з експериментальних АСМ-даних 
(чорна крива – зонд 1 нм, червона – зонд 10 нм). 
 
Як видно з графіків Додатку Б, у діапазоні малих просторових частот PSD-
функції для модельних і реальних поверхонь добре збігаються. Натомість у зоні 
високих просторових частот криві, розраховані для різних радіусів зонда, 
починають істотно розходитися (на рисунках Додатку Б, а–б відмінність між 
чорною та червоною кривими). Це підштовхнуло нас до ідеї підібрати такий 
радіус модельного зонда, за якого PSD-функції для експериментальної та 
змодельованої поверхонь збігалися б в усій області просторових частот.  
З аналізу рисунка Додатку Б, а випливає, що модельна PSD-крива для зонда 
з радіусом 10 нм практично накладається на PSD-функцію, розраховану за 
експериментальним АСМ-зображенням, отриманим зондом із заявленим радіусом 
≈1 нм. Аналогічно, для модельного зонда з радіусом 100 нм отримана PSD-
функція добре узгоджується з PSD-функцією, обчисленою за АСМ-зображенням, 
зареєстрованим зондом з радіусом 10 нм (рисунок Додатку Б, б). Отже, щоб 
досягти відповідності між модельними та експериментальними PSD-функціями, у 
 72 
розрахунках доводиться використовувати ефективний радіус зонда, приблизно в 
10 разів більший за той, що вказаний виробником. 
Після цього етапу, коли стало ясно, що за результатами “спектрального” 
аналізу реальний ефективний радіус кантилевера приблизно у десять разів 
перевищує паспортний, було вирішено перевірити цей висновок незалежним 
способом – за допомогою методу так званого “сліпого” відновлення форми зонда. 
Ідея методу полягає в такому: 
Побудувати згортки вихідного АСМ-зображення з модельними зондами 
різного радіуса. 
Якщо радіус модельного зонда менший за дійсний, то зображення згортки 
практично не відрізняється від вихідного АСМ-зображення; різниця визначається 
переважно шумами приладу і є малою. 
При поступовому збільшенні радіуса модельного зонда, щойно він 
перевищить реальний радіус, зображення згортки почне помітно відрізнятися від 
початкового АСМ-зображення; різниця між ними зростатиме зі збільшенням 
радіуса. 
Застосуємо цей підхід. На рисунку 4.18 наведено АСМ-зображення, 
отримане зондом із радіусом вістря, заявленим як 1 нм.. 
 
Рисунок 4.18 - АСМ-зображення, отримане зондом із радіусом 1 нм. 
 
Використовуючи спеціально розроблене програмне забезпечення, 
побудували серію зображень-згорток, отриманих шляхом згортки вихідного 
АСМ-зображення з модельними зондами радіусом від 1 до 100 нм. Для кожного 
 73 
модельного радіуса із зображення згортки віднімали вихідне АСМ-зображення та 
обчислювали середньоквадратичне відхилення (СКО) різницевого зображення. 
Таким чином, СКО слугувало кількісною мірою відмінності між “згорткою” та 
реальною поверхнею для кожного радіуса модельного зонда. Залежність СКО від 
радіуса подано на рисунку 4.19, а. 
 
Рисунок 4.19 - Визначення радіуса зонда: а – залежність СКО різницевого 
зображення від радіуса модельного зонда; б – похідна цієї залежності, що 
використовується для пошуку точки перегину. 
 
Як видно з рисунка 4.19,а, при малих радіусах модельного зонда СКО 
залишається близьким до нуля, що відповідає очікуванню: поки модельний зонд 
“менший” за реальний, згортка майже не спотворює вихідне зображення. 
Починаючи з певного радіуса, крива СКО починає монотонно зростати й згодом 
виходить на плато. Щоб формально зафіксувати момент переходу від 
“незмінності” до зростання СКО, було проаналізовано похідну залежності СКО 
від радіуса зонда; максимум цієї похідної відповідає точці перегину на вихідній 
кривій. З рисунка 4.19, б видно, що максимум досягається при радіусі близько 10 
нм. Таким чином, незалежно від аналізу PSD-функцій, метод сліпого відновлення 
також дає значення ефективного радіуса близько 10 нм, тобто вдесятеро більше за 
номінальний 1 нм. 
Аналогічну процедуру було виконано для АСМ-зображення, виміряного 
зондом із заявленим радіусом 10 нм (рисунок 4.20). 
 74 
 
Рисунок 4.20 - АСМ-зображення, отримане зондом із радіусом 10 нм. 
 
Для цього випадку знову побудували залежність СКО різницевого 
зображення від радіуса модельного зонда (рисунок 4.21, а) і проаналізували її 
похідну (рисунок 4.21, б). 
 
Рисунок 4.21. Визначення радіуса зонда. а - залежність СКО різницевого 
зображення від радіуса модельного зонда; б – похідна для визначення точки 
перегину. 
 
Як видно з рисунка 4.21, у другому випадку “пологий” (майже 
горизонтальний) відрізок кривої СКО спостерігається на більшому діапазоні 
радіусів, ніж у попередньому прикладі. Точка перегину відповідає радіусу 
близько 50 нм, тобто приблизно у п’ять разів більшому, ніж вказаний виробником 
радіус 10 нм. 
Отже, обидва незалежні підходи – порівняння PSD-функцій модельних та 
реальних поверхонь і метод сліпого відновлення зонда – дають узгоджені оцінки, 
 75 
згідно з якими в рамках моделі геометричної згортки зонд поводиться так, ніби 
його ефективний радіус у 5–10 разів перевищує номінальне значення, 
задеклароване виробником. 
Обговорення результатів. У попередній частині було показано, що за 
результатами моделювання реальний ефективний радіус зонда виходить 
приблизно в десять разів більшим за паспортний. Така суттєва розбіжність між 
моделлю та експериментом може бути зумовлена некоректністю однієї з трьох 
складових: обрана модель поверхні є неадекватною; модель форми зонда не 
відповідає реальному профілю; модель взаємодії зонда з поверхнею надмірно 
спрощена. 
Розглянемо послідовно ці можливості. Щодо першого пункту: у роботі 
виконано детальне порівняння змодельованих поверхонь із реальними АСМ-
зображеннями за набором параметрів шорсткості. Показано, що основні 
статистичні характеристики добре узгоджуються. Крім того, у діапазоні високих 
просторових частот PSD-функції для модельних поверхонь демонструють лінійну 
поведінку в логарифмічних координатах, що відповідає незалежним даним 
рентгенівського розсіювання на синхротронному джерелі. Це дозволяє зробити 
висновок, що модель поверхні є достатньо адекватною, і джерело розбіжності слід 
шукати не в ній. 
Далі проаналізуємо модель форми зонда. З літературних даних відомо, що 
перед введенням у експлуатацію зонди проходять сертифікацію за допомогою 
електронної мікроскопії (РЕМ, ПЕМ), тобто їх геометрію перевіряють 
щонайменше двома незалежними методами. Водночас у ряді робіт описано 
ситуації, коли радіус зонда, оцінений за допомогою різних тестових структур, 
виявляється приблизно в десять разів більшим за радіус, визначений 
мікроскопічними методами. Для пояснення цього протиріччя було запропоновано 
модифіковану модель зонда, у якій він розглядається як поєднання двох сфер 
(рисунок 4.22): мала сфера задає реальний радіус вістря кантилевера, а велика – 
деякий ефективний радіус взаємодії. 
 76 
 
Рисунок 4.22 - Схематичне пояснення появи ефективного радіуса зонда. 
 
Така модель добре описує ситуацію, коли на поверхні є виступи чи 
нерівності з висотою, що перевищує радіус вістря. У цьому разі горизонтальні 
ділянки рельєфу “бачить” мала сфера, а бічні стінки мікровиступів – переважно 
велика сфера, внаслідок чого й виникає ефект великого ефективного радіуса 
(рисунок 4.22). 
У нашому ж дослідженні розглядалися надгладкі поверхні з перепадами 
висот порядку кількох ангстрем. Сучасні зонди зазвичай мають радіус 
заокруглення близько 10 нм, що суттєво перевищує характерну висоту 
нерівностей досліджуваного рельєфу. Як ілюстрацію наведено АСМ-зображення 
ситалової підкладки (рисунок 4.23). 
 
Рисунок 4.23 - АСМ - зображення сіталловимі підкладки розміром 1 мкм2 
 
З рисунка 4.23 видно, що різниця висот на скані не перевищує приблизно 5 
нм, тобто є меншою за радіус вістря зонда. У межах моделі “двох сфер” у такій 
 77 
ситуації поверхня взаємодіє фактично лише з малою сферою, тоді як внесок 
великої сфери в контакт практично відсутній. Це означає, що для надгладких 
поверхонь запропонована в згаданих статтях модель не дає механізму появи 
значно більшого ефективного радіуса. Отже, у нашому випадку немає підстав 
вважати модель форми зонда некоректною, і причину розбіжності між моделлю та 
експериментом слід шукати далі. 
Таким чином, залишається третя складова – модель взаємодії зонда з 
поверхнею. У даній роботі використовувалося найпоширеніше наближення – 
геометрична згортка, еквівалентна моделі контакту “двох абсолютно пружних 
тіл”, яка широко застосовується для опису процесу формування АСМ-
зображення. Однак отримані результати показують, що таке спрощене 
наближення неадекватно описує реальний процес вимірювань: ефективний радіус, 
який випливає зі згортки, систематично та суттєво перевищує паспортні значення. 
З цього можна зробити висновок, що для коректного опису АСМ-
вимірювань необхідно переходити до більш фізично обґрунтованих моделей 
взаємодії, які враховуватимуть специфіку контакту зонда з поверхнею: можливі 
пластичні деформації, адгезійні сили, вплив тонких плівок, багатокомпонентність 
шару на поверхні тощо. Лише з урахуванням цих чинників можна очікувати 
узгодження між чисельним моделюванням АСМ-зображень та 
експериментальними даними без введення значно завищеного “ефективного” 
радіуса зонда. 
 78 
ЗАГАЛЬНІ ВИСНОВКИ 
 
У результаті виконання магістерської роботи, присвяченої аналізу впливу 
артефактів атомно-силової мікроскопії шляхом чисельного моделювання 
масштабно-інваріантних поверхонь, було одержано такі узагальнені висновки. 
1. На основі порівняння статистичних і спектральних характеристик 
змодельованих рельєфів із даними АСМ-вимірювань реальних надгладких 
поверхонь показано, що обрана модель адекватно відтворює їх масштабно-
інваріантну морфологію, зокрема характерний вигляд PSD-функцій та 
поведінку кореляційних параметрів при зміні масштабу спостереження. 
2. Показано, що для реальних поверхонь відхилення експериментальної PSD-
функції від лінійної залежності в подвійному логарифмічному масштабі на 
високих просторових частотах безпосередньо зумовлене кінцевим радіусом 
вістря зонда. При цьому гранична просторова частота, після якої крива 
відхиляється від прямої, визначається параметрами рельєфу – зокрема 
характерною довжиною кореляції та фрактальною розмірністю – і може 
використовуватись як інформативний критерій оцінки впливу артефактів 
сканування. 
3. Виявлено специфічний ефект «зернистості» при згортці масштабно-
інваріантної поверхні із зондом кінцевого радіуса. Чисельні експерименти 
показали, що моделювання процесу сканування у вигляді геометричної згортки 
модельної такої поверхні з зондом кінцевих розмірів призводить до 
формування на АСМ-зображеннях штучної, «уявної» зернистої структури, яка 
не відповідає реальному рельєфу. Запропоновано критерій, який дає змогу за 
формою та поведінкою PSD-функції «зернистих» поверхонь розрізняти 
справжні морфологічні неоднорідності (реальні зерна) і псевдозернистість, 
обумовлену артефактами згортки. 
4. Показано, що зонд працює з ефективним радіусом, значно більшим від 
номінального. На основі аналізу змодельованих і експериментальних даних 
встановлено, що в процесі АСМ-взаємодії з поверхнею зонд фактично «бачить» 
 79 
рельєф з ефективним радіусом, який приблизно у 5–10 разів перевищує радіус 
заокруглення, вказаний виробником. Це означає, що реальна роздільна 
здатність АСМ за висотою та по площі може бути суттєво нижчою від 
паспортних значень, що необхідно враховувати при інтерпретації результатів та 
виборі зондів для дослідження нанорельєфу. 
5. Показано обмеженість класичної моделі взаємодії двох абсолютно пружних тіл. 
Порівняння результатів, отриманих на основі класичної моделі контакту двох 
ідеально пружних тіл, з експериментальними АСМ-даними продемонструвало, 
що така модель не здатна адекватно описати реальну взаємодію зонда з 
поверхнею зразка. Це пов’язано з тим, що в реальних умовах додатково 
проявляються пластичні деформації, адгезійні сили, локальні в’язкопружні 
ефекти та складна форма вістря, які не враховуються спрощеною моделлю та 
призводять до помітних розбіжностей між теорією і результатами вимірювань. 
У сукупності, проведені дослідження сформували цілісне уявлення про 
вплив геометрії зонда, артефактів згортки та обмежень контактних моделей на 
результати атомно-силової мікроскопії масштабно-інваріантних поверхонь і 
можуть бути покладені в основу подальшого удосконалення методологічних 
підходів, математичного апарату та інструментального забезпечення АСМ-
контролю нанорельєфу в оптиці, мікро- та наноелектроніці. 
 80 
СПИСОК ВИКОРИСТАННИХ ДЖЕРЕЛ 
 
1. Asadchikov, V. E., Duparré, A., Jakobs, S., Karabekov, A. Yu., Kozhevnikov, I. V., 
& Krivonosov, Yu. S. (1999). Comparative study of the roughness of optical surfaces 
and multilayer X-ray mirrors by light scattering and atomic force microscopy. 
Applied Optics, 38(4), 684–691.  
2. Asadchikov, V. E., Kozhevnikov, I. V., Krivonosov, Yu. S., Mercier, R., Metzger, T. 
H., Morawe, C., & Ziegler, E. (2004). Application of X-ray scattering technique to 
the study of supersmooth surfaces. Nuclear Instruments and Methods in Physics 
Research Section A, 530(3), 575–595.  
3. Bennett, J. M., & Mattsson, L. (1989). Introduction to surface roughness and 
scattering. Optical Society of America.  
4. Bykov, V. A., Novikov, Y. A., Rakov, A. V., & Shikin, S. M. (2003). Defining the 
parameters of a cantilever tip AFM by reference structure. Ultramicroscopy, 96(2), 
175–180.  
5. Chen, Y., & Huang, W. (2004). Numerical simulation of the geometrical factors 
affecting surface roughness measurements by AFM. Measurement Science and 
Technology, 15(10), 2005–2010.*  
6. Cormen, T. H., Leiserson, C. E., Rivest, R. L., & Stein, C. (2001). Introduction to 
algorithms (2nd ed.). MIT Press.  
7. Feder, J. (1988). Fractals. Plenum Press.  
8. Haykin, S. (1999). Neural networks: A comprehensive foundation (2nd ed.). Prentice 
Hall.  
9. Hu, Y. Z., & Tonder, K. (1992). Simulation of 2-D random rough surfaces by 2-D 
digital filter and Fourier analysis. International Journal of Machine Tools and 
Manufacture, 32(1–2), 83–90.  
10. Hussain, D., Ahmad, K., Song, J., & Xie, H. (2016). Advances in the atomic force 
microscopy for critical dimension metrology. Measurement Science and 
Technology, 28(1), 012001.  
 81 
11. Kulatilake, P. H. S. W., Um, J., & Pan, G. (1998). Requirements for accurate 
quantification of self-affine roughness using the variogram method. International 
Journal of Solids and Structures, 35(31–32), 4167–4189.  
12. Meyer, E., Hug, H. J., & Bennewitz, R. (2004). Scanning probe microscopy: The lab 
on a tip. Springer.  
13. Novikov, Y. A., Rakov, A. V., & Todua, P. A. (2006). Metrology in linear 
measurements of nanoobject elements. In Proceedings of SPIE: Metrology, 
Inspection, and Process Control for Microlithography XX (Vol. 6260, 626013).  
14. Pingali, G. S., & Jain, R. (1992). Restoration of scanning probe microscope images. 
In Proceedings of the 11th IAPR International Conference on Pattern Recognition 
(Vol. 3, pp. 282–286). IEEE.  
15. Qian-Ting, W., Jian, G., & Yi-Zhi, C. (2006). Fractal modeling of off-road terrain 
oriented to vehicle virtual test. Journal of Zhejiang University Science A, 7(2), 287–
292.  
16. Rasigni, G., Varnier, F., Rasigni, M., Palmari, J. P., & Llebaria, A. (1983). 
Roughness spectrum and surface plasmons for surfaces of silver, copper, gold, and 
magnesium deposits. Physical Review B, 27(2), 819–830.  
17. Ruppe, C., & Duparré, A. (1996). Roughness analysis of optical films and substrates 
by atomic force microscopy. Thin Solid Films, 288(1–2), 8–13.  
18. Sedin, D. L., & Rowlen, K. L. (2001). Influence of tip size on AFM roughness 
measurements. Applied Surface Science, 182(1–2), 40–48.  
19. Saupe, D. (1988). Algorithms for random fractals. In H.-O. Peitgen & D. Saupe 
(Eds.), The science of fractal images (pp. 71–136). Springer.  
20. Villarrubia, J. S. (1997). Algorithms for scanned probe microscope image 
simulation, surface reconstruction, and tip estimation. Journal of Research of the 
National Institute of Standards and Technology, 102(4), 425–454.  
21. Vick, D., Brett, M. J., & Westra, K. (2002). Porous thin films for the 
characterization of atomic force microscope tip morphology. Thin Solid Films, 
408(1–2), 79–86.  
 82 
22. Watson, W., & Spedding, T. A. (1982). The time series modelling of non-Gaussian 
engineering processes. Wear, 83(2), 215–231.  
23. Westra, K. L., Mitchell, A. W., & Thomson, D. J. (1993). Tip artifacts in atomic 
force microscope imaging of thin film surfaces. Journal of Applied Physics, 74(5), 
3608–3610.  
24. Xie, H., Sun, H., Ju, Y., & Feng, Z. (2001). Study on generation of rock rough 
surfaces by using interpolation methods. International Journal of Solids and 
Structures, 38(33–34), 5765–5787.  
25. Yhnatovych, S. R., Melnichuk, V. O., & Kuznetsov, V. P. (2009). Instrumental 
complex for micro- and nano-surface testing of materials and coatings. Tekhnichni 
Systemy, 5(49), 72–78. (in Ukrainian). 
26. Maydanyuk, S. V., Shvayko, O. M., & Petrushenko, V. I. (2007). Module for 
measuring shapes. Visnyk Zhytomyr State Technological University, 2(41), 15–18. 
(in Ukrainian). 
 83 
Додаток А 
ТЕКСТ ПРОГРАМНОГО ДОДАТКУ НА МОВІ Python  
ДЛЯ РОЗРАХУНКУ І МОДЕЛЮВАННЮ ІНВАРІАНТНОЇ ПОВЕРХНІ  
 
import math 
import random 
import pygame 
 
# --- ініціалізація графіки --- 
pygame.init() 
WIDTH, HEIGHT = 650, 500 
screen = pygame.display.set_mode((WIDTH, HEIGHT)) 
pygame.display.set_caption("Iterative plot") 
screen.fill((255, 255, 255))  # білий фон 
pygame.display.flip() 
 
# --- початкові значення змінних (як у Pascal) --- 
x, y = 0.2, 0.3 
a = 0.0 
b = 0.0 
r = math.sqrt(3.0) 
 
# постійні коефіцієнти (вони в Pascal перераховуються в циклі, 
# але по суті не змінюються) 
a1, b1 = -0.5, r / 2.0 
a2, b2 = -0.5, -r / 2.0 
 
clock = pygame.time.Clock() 
running = True 
 
def sqr(z): 
    return z * z 
 
while running: 
    # обробка подій: натискання клавіші або закриття вікна  
    for event in pygame.event.get(): 
        if event.type == pygame.QUIT: 
            running = False 
        if event.type == pygame.KEYDOWN: 
            running = False 
 
    # --- повний аналог тіла циклу Pascal while not KeyPressed do --- 
    a = random.random() 
    a0 = 3 * (1 + r - x) / (sqr(1 + r - x) + sqr(y)) - (1 + r) / (2 + r) 
    b0 = 3 * y / (sqr(1 + r - x) + sqr(y)) 
 
    # гілка 1 
    if 0 <= a <= 1/3: 
        x1 = a0 
        y1 = b0 
    else: 
 84 
        # обчислюємо f1x, f1y – вони потрібні в інших гілках 
        f1x = a0 / (sqr(a0) + sqr(b0)) 
        f1y = -b0 / (sqr(a0) + sqr(b0)) 
 
        # гілка 2 
        if 1/3 < a <= 2/3: 
            x1 = f1x * a1 - f1y * b1 
            y1 = f1x * b1 + f1y * a1 
        # гілка 3 
        elif 2/3 < a <= 1: 
            x1 = f1x * a2 - f1y * b2 
            y1 = f1x * b2 + f1y * a2 
        else: 
            # на всякий випадок (теоретично не повинно спрацьовувати) 
            x1, y1 = x, y 
 
    x, y = x1, y1 
 
    # відповідник PutPixel(320 + Round(x*50), 240 + Round(y*50), clRed);  
    px = 320 + round(x * 50) 
    py = 240 + round(y * 50) 
    if 0 <= px < WIDTH and 0 <= py < HEIGHT: 
        screen.set_at((px, py), (255, 0, 0)) 
 
    pygame.display.update() 
    clock.tick(2000)  # ліміт FPS, щоб не вантажити ЦПУ 
 
pygame.quit() 
 85 
Додаток Б 
Порівняння експериментальних і розрахункових даних.  
А -для зонда 1 нм (чорна крива експериментальні дані, червона - модель згортки 
поверхні з зондом 1 нм., Синя - модель згортки поверхні з зондом в 10 нм);  
Б -для зонда 10 нм (чорна крива експериментальні дані, червона - модель згортки 
поверхні з зондом 10 нм., Синя - модель згортки поверхні з зондом в 100 нм) 
 
 86
ChSTU repository

ChSTU repository preserves and enables easy and open access to all types of digital content including text, images, moving images, mpegs and data sets
