ChSTU repository
ChSTU repository preserves and enables easy and open access to all types of digital content including text, images, moving images, mpegs and data sets
Learn More
Please use this identifier to cite or link to this item:
https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/8072| Title: | Розробка адаптивного виявляча гауссівського сигналу, що приймається на тлі негауссівських завад |
| Authors: | Мартиненко, Сергій Станіславович Горба, Олексій Сергійович |
| Keywords: | гауссівський корисний сигнал;негауссівська завада;поліноміальні вирішувальні правила;адаптивна обробка сигналів;метод моментів;кумулянти |
| Issue Date: | 2022 |
| Abstract: | Метою роботи є розробка адаптивних алгоритмів виявлення гауссівських шумових сигналів при адитивній суміші із негауссівською завадою. В роботі синтезовано нелінійні алгоритми адаптивного виявлення гауссівських сигналів, що приймаються в адитивній суміші з негауссівською завадою. В якості апріорною інформацією, що використовується для опису корисного сигналу та завади використовується послідовність моментів та кумулянтів. Процес виявлення корисних шумових сигналів здійснюється за допомогою поліноміальних вирішувальних правил. |
| URI: | https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/8072 |
| Appears in Collections: | 172 Електронні комунікації та радіотехніка (Радіотехніка та робототехнічні системи) |
Files in This Item:
| File | Description | Size | Format | |
|---|---|---|---|---|
| М_172_Горба_Мартиненко.pdf Restricted Access | 930.17 kB | Adobe PDF | View/Open Request a copy |
Items in DSpace are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.
Extracted text
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ФАКУЛЬТЕТ ЕЛЕКТРОННИХ ТЕХНОЛОГІЙ, АВТОТРАНСПОРТУ ТА
МАШИНОБУДУВАННЯ
КАФЕДРА РОБОТОТЕХНІЧНИХ І ТЕЛЕКОМУНІКАЦІЙНИХ І СИСТЕМ
ТА КІБЕРБЕЗПЕКИ
Допущений до захисту
“____” грудня 2022 р.
Завідувач кафедри РТСК
д.т.н., професор
_________ Палагін В.В.
Пояснювальна записка
до випускної роботи
освітньо-кваліфікаційного рівня «магістр»
на тему: «Розробка адаптивного виявляча гауссівського сигналу, що
приймається на тлі негауссівських завад»
Виконав студент 2 курсу, групи РТ-015
Спеціальності 172 – Телекомунікації та
радіотехніка
Освітня програма «Радіотехніка та робото-
технічні системи»
Горба Олексій Сергійович
Керівник роботи Мартиненко С.С.
Рецензент Ключка К.М..
Черкаси 2022
Форма № Н-9.01
Черкаський державний технологічний університет
(назва вузу)
Факультет електронних технологій, автотранспорту та машинобудування
Кафедра Робототехнічнихі телекомунікаційних і систем та кібербезпеки
Освітньо-кваліфікаційний рівень магістр
Спеціальність 172 – Телекомунікації та радіотехніка
Освітня програма Радіотехніка та робототехнічні системи
ЗАТВЕРДЖУЮ
Завідувач кафедри РІТС
д.т.н., професор Палагін В.В.
« » 2022 р.
ЗАВДАННЯ
на дипломний проект (роботу) студенту
Горбі Олексію Сергійовичу
(прізвище, ім'я, по батькові)
1. Тема проекту (роботи) Розробка адаптивного виявляча гауссівського сигналу, що
приймається на тлі негауссівських завад
керівник проекту (роботи) Мартиненко Сергій Станіславович, к.ф.-м.н., доцент
(прізвище, ім’я, по батькові, науковий ступінь, вчене звання)
затверджена наказом по університету від « 13 » вересня 2022 р. № 234/04
2. Строк подання студентом проекту (роботи) 14 грудня 2022 р.
3. Вихідні дані до проекту (роботи) тип завади – негаусівська ексцесна; тип сигналу -
Гауссівський сигнал із ненульовим та нульовим математичним сподіванням, ступінь
поліноміальних вирішальних правил s=1,2,3
4. Зміст розрахунково-пояснювальної записки (перелік питань, які потрібно розробити)______
Вступ. 1. Методи виявлення та опрацювання сигналів за допомогою адаптивних алгоритмів
2. Виявлення гауссівського сигналу з ненульовим математичним сподіванням на тлі
негауссівських завад 3. Розробка виявляча гауссівського сигналу з нульовим матема тичним
сподіванням на тлі адитивних негауссівських завад 4. Розробка структурних схем
виявлячів гаусівських сигналів при адитивному прийомі за умови дії негаусівських завад
Висновки. Список використаних джерел.
5. Перелік графічного матеріалу (з точним зазначенням обов’язкових креслень)
6. Консультанти з проекту (роботи) із зазначенням розділів проекту, що їх стосуються
Підпис, дата
Розділ Прізвище, ініціали та посада завдання завдання
консультанта видав прийняв
7. Дата видачі завдання 5 вересня 2022 р.
КАЛЕНДАРНИЙ ПЛАН
№ Назва етапів дипломного С т р о к виконання етапів П р имітка
з/п проекту (роботи) проекту (роботи)
1. Аналіз технічного завдання та огляд літератури 06.09.2022
2. Ознайомлення з моделями сигналів та завад 14.09.2022
3. Огляд критеріїв якості та методів побудови
вирішальних правил 20.09.2022
4. Огляд адаптивних алгоритмів виявлення сигналів 25.09.2022
5. Огляд методів оцінювання параметрів випадкових
сигналів 28.09.2022
6. Синтез алгоритмів виявлення гауссівських сигналів
з нульовим та ненульовим математичним
сподіванням, що приймаються на тлі негауусівської
адитивної завади 04.10.22
7. Дослідження характеристик синтезованих
поліноміальних алгоритмів 04.11.22
8. Розробка структурних схем адаптивних виявлячів
гауссівських сигналів 26.11.22
9. Оформлення пояснювальної записки 01.12.22
10. Оформлення матеріалів для презентації 12.12.22
Студент Горба О.С.
(підпис) (прізвище та ініціали)
Керівник проекту (роботи) Мартиненко С.С.
(підпис) (прізвище та ініціали)
Зміст
Стор
Вступ 5
Розділ 1. Методи виявлення та опрацювання сигналів за 7
допомогою адаптивних алгоритмів
1.1 Постановка завдання виявлення сигналів на тлі завад 7
1.2 Оптимальні вирішувальні правила за імовірнісними 10
та моментнм критеріями прийняття рішень
1.3 Застосування алгоритмів адаптації для виявлення сигналів 18
1.4 Використання адаптивних фільтрів при виявленні сигналів, 22
що приймаються на тлі завад
Розділ 2. Виявлення гауссівського сигналу з ненульовим 29
математичним сподіванням на тлі негауссівських завад
2.1. Постановка задачі виявлення гауссівського сигналу в 29
адитивній суміші із негаусівською завадою
2.2. Розробка лінійного виявляча гауссівського сигналу з 30
нульовим математичним сподіванням за допомогою
лінійного вирішувального правила
2.3 Виявлення гауссівського сигналу з нульовим математичним 33
сподіванням за допомогою степеневого вирішального правила
ступеню S=2
2.4. Аналіз поліноміального вирішувального правила ступеню S=2 38
Розділ 3. Розробка виявляча гауссівського сигналу з нульовим 42
математичним сподіванням на тлі адитивних негауссівських
завад
РТ-015.022120.248 ПЗ
Зм н. Арк. № докум. Підпис Дата
Розроб. Горба О.С. Розробка адаптивного виявляча Літ. Арк. Аркушів
Перевір. ГМоаррбта.иОн.Сен. ко гауссівського сигналу, що 3 7 2
Рецензент приймається на тлі
Н. Контр. Мартиненко. негауссівських завад ЧДТУ
Затверд. Палагін В.В.
3.1. Постановка задачі виявлення з нульовим математичним 42
сподіванням гауссівського сигналу на тлі завад
3.2. Розробка лінійного виявляча гауссівського сигналу з 44
нульовим математичним сподіванням за допомогою
степеневого вирішального правила ступеню S=2
3.3 Виявлення гауссівського сигналу з нульовим математичним 53
сподіванням за допомогою степеневого вирішального
правила ступеню S=3
Розділ 4. Розробка структурних схем виявлячів гаусівських 59
сигналів при адитивному прийомі за умови дії
негаусівських завад
4.1. Використання метода моментів для вимірювання параметрів 59
завади
4.2 Структурна схема адаптивного виявляча гауссівського сигналу з 63
ненульовим математичним сподіванням
4.3 Структурна схема адаптивного виявляча гауссівського сигналу 65
з нульовим математичним сподіванням
Висновки 68
Список використаних джерел 70
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
4
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Вступ
Як відомо, процес обробки сигналів на тлі адитивних завад, буде
вміщувати як задачу виявлення сигналів та оцінювання як їх параметрів так і
невідомих параметрів завади. Дана задача відноситься як до класичних
напрямів статистичної радіофізики, так і до радіолокації, так в
телекомунікації. . В даний час розвивається також дослідження обробки
сигналів в умовах комплексної апріорної невизначеності: спільне розрізнення
сигналів та оцінка їх параметрів на тлі завад, фільтрація сигналів та ін..
Потрібно відмітити, що задача виявлення сигналів стоїть першою
серед задач опрацювання сигналів. Досвід, що накопичений у цій області,
показує, що дослідження цьому напрямку робилися за умови гаусової моделі
завад, що адитивно впливають на корисний сигнал в процесі
розповсюдження по каналах зв’язку. Дана модель досить близько описує
реальні процеси. Також для даної моделі сигналів знайдено як функціонал
відношення правдоподібності так і побудовані вирішувальні правила, що
будуть оптимальними за імовірнісними критеріями якості прийняття рішень
та оцінки параметрів як сигналу так і завади.
У роботах Б.Р. Левіна, І.Н. Аміантова, Г.П. Тартаковського, В.Н.
Манжоса В.І. Тихонова, та ряду інших показана можливість побудови
виявлячів сигналів та оцінювачів параметрів за умови дії адаптивної
гауссівської завади [1-5, 7-14].
Але за умови використання гауссівської моделі можливе не тільки
погіршення ефективності алгоритмів виявлення сигналів, а також виникає
неможливість дослідження стійкості запропонованих алгоритмів.
Так як багатьох випадках завади все-таки мають негауссівський
розподіл, тому потрібно врахувати більш тонку структуру такої завади.
Негауссовські завади виникають при проходжені корисних сигналів
через нелінійні чи випадково-неоднорідні і середовища. Також важливим
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
5
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
прикладом є на даний час космічний радіозв'язок, де сигнали проходять як
через міжпланетну плазму так і через іоносферу. Потрібно відмітити теж
процеси при супутниковому зв'язку та ін.
Підхід, що базується на використанні усереднених числових
характеристик для опису негауссівських послідовностей і процесів, набуває
все більшого поширення в зв’язку з відносною простотою застосування й
ефективністю одержуваних при цьому результатів
Доцільно в теперішній час алгоритми виявлення сигналів синтезувати в
дискретній формі. Це приводить до спрощення пристрою при цифровій
обробки кінцевої дискретної незалежної вибірки, що отримується із
безперервного процесу, що спостерігається.
Тому потрібно відмітити актуалність є розробка адаптивних алгоритмів
виявлення гауссівськиз сигналів, що приймаються в адитивній суміші з
негауссівськими завадами. В цьому випадку в якості апріорного опису
процесу, що спостерігається, використовується послідовність моментів чи
кумулянтів при гіпотезі і альтернативі.
В даній роботі будуть роботі синтезовані поліноміальні вирішувальні
правила для виявлення гауссівських сигналів з нульовим і ненульовим
математичним сподіванням, розроблені узагальнені структурні схеми та
запроновані структурні схеми адаптивних виявлячів вказаних типів сигналів.
Стохастичні вирішувальні правила будуть оптимальніза мрментним
критерієм. Метод моментів пропонується використовувати лля вимірювання
параметрів завади, а саме кумулянтні коефіцієнтів вищих порядків.
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
6
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
РОЗДІЛ 1. МЕТОДИ ВИЯВЛЕННЯ ТА ОПРАЦЮВАННЯ СИГНАЛІВ
ЗА ДОПОМОГОЮ АДАПТИВНИХ АЛГОРИТМІВ
Однієї з найважливіших завдань в радіотехніці, радіолокації,
статистичній радіофізики є завдання виявлення корисного сигналу,
прийнятого на тлі завад. У цей час це завдання вирішується в припущенні
гауссовості завад. Однак використання гауссовской моделі, у багатьох
випадках, суттєво обмежують область дослідження, оскільки дана модель не
завжди повно відбиває суть спостережуваних фізичних процесів. Більш
повно описують завади в реальних каналах зв'язку негауссівскі завади, тому
проведення досліджень у даному напрямку є важливим технічним завданням.
У даному розділі пропонуються моделі сигналів і способи опису завад,
здійснюється постановка завдання виявлення сигналів, як завдання перевірки
статистичних гіпотез, а також приводиться порівняльний аналіз імовірнісних
критеріїв якості, що застосовуються для побудови вирішальних правил та
наведений новий метод перевірки статистичних гіпотез, запропонований
професором, д.ф.м.-н. Кунченком Ю.П. Даний метод базується на
використанні стохастических поліномів. Оптимальні коефіцієнти в даних
поліномах знаходяться із рішення систем лінійних алгебраічних рівнянь, а
ополіноміальні вирішувальні правила будуть оптимальними за критерієм
мінімуму верхньої границі ймовірностей помилок [28-30].
1.1 Постановка завдання виявлення сигналів на тлі завад
Як відомо із технічної літератури, процес виявлення сигналу буде
окремим випадком розпізнавання двох сигналів, один з яких дорівнює
Крім того, корисний сигнал завжди приймається в адитивній суміші із
випадковою завадою. До таких завал можна віднести шуми приймальної
антениЮ шуми, що також утворюються в приймачах сигналів і ін.
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
7
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
У силу наявності випадкових завад, цих причин коливання (t), що
приймається, буде мати стохастичний характер. Тому для опрацювання таких
процесів використовуються методи перевірки статистичних гіпотез. Як
відомо, в основі таких яких лежить теорія випадкових процесів та і
математична статистика. Тому задача виявлення у тому числі буде
розглядатися як деяка статистична задача.
Постановку задачі виявлення зробимо таким чином: Нехай на вхід
пристрою виявлення надходить процес (t), який може бути лише шумом,
або сумішшю шуму й корисного сигналу. В результаті спостереження цього
випадкового процесу потрібно протягом деякого часу з'ясувати, яка з
гіпотез здійснилася.
Теорія прийняття статистичних рішень лежить в основі методів
виявлення сигналів [1-5]. Згідно даної теорії необхідно розробити деякі
вирішальних функцій, які будуть оптимальних по тому або іншому
імовірнісному чи моментному критерію.
До імовірнісним критеріїв відноситься найбільш загальний критерій,
яким є байесовский критерій. А самим простим вважається критерій
мінімуму суми ймовірностей помилок. Потім йде по складності критерій
ідеального спостерігача( який ще називають критерій Котельникова).
Вирішувальне правило, що буде оптимальним за перерахованими
імовірнісними критеріями, можна представити в вигляді порівняння
відношення правдоподібності з певним порогом, що відповідає вибраному
критерію якості. Дані вирішувальні правила будуються за умови, що завада
має гаусівський закон розподілу імовірностей.
Коли завади має негауссівський розподіл імовірностей розробляються
дещо інші методи виявлення сигналів,. Відмінність між цими методами у
виборі способу опису випадкових процесів (величин).
Рішення, яке приймає виявляч, внаслідок випадкового характеру
завади, може бути як правильним, так і помилковим.
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
8
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Можливі в даному випадку наступні помилки:
а) здійснилася гіпотеза Н1 (сигнал є), відповідно вибірка випадкових
величини має розподіл р1(х), але вирішувальна функція f(x) цієї вибірки буде
менше нуля:
f(x)<0.
б) здійснилася гіпотеза Н0 (сигналу немає) вибірка має розподіл р0(х),
але функція f(x) буде така, що для цієї вибірки буде позитивною:
f(x)>0;
Отримані помилки виду а) позначимо через імовірність помилки
другого роду, або помилками пропуску сигналу.
На відміну помилок виду а) помилки виду б) в статистичній
радіотехніці називають помилками хибної тривоги. Позначимо її через -
імовірність помилки першого [10-14].
Для оцінки якості виявляча потрібно визначити суму імовірностей
помилок та . На практиці пропонується декілька критеріїв, які базуються
на сумі ймовірностей помилок.
Розглянемо найпростішим критерієм оцінки якості прийняття рішення.
Таким критерієм є критерій мінімуму суми ймовірностей помилок, тобто
F1( , ) . (1.1)
Критерій ідеального спостерігача (або критерій Котельникова) є більш
складним критерієм, тому що вимагає знання імовірностей здійснення
гіпотези або альтернативи( q та p 1- q ):
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
9
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
F2(,)=q+p. (1.2)
Критерій середнього риску є узагальним показником якості виявляча є:
R( ) qП 00 pП11 q(П01 - П00 ) p(П10 - П11 ) (1.3)
Де Пij – це втрати, обумовлених відповідно пропуском і неправильним
виявленням сигналу за умови здійснення гіпотези чи альтернативи.
В загальному випадку для оптимізації виявляча необхідно мінімізувати
середній ризик(1.3).
1.2 Оптимальні вирішувальні правила за імовірнісними та моментнм
критеріями прийняття рішень
Запропоновані в джерелах літератури критерії[10-14], що базуються на
імовірностях помилок вирішальних правил називають імовірнісними
критеріями, а критерії, що базуються на числових характеристиках
вирішувальних функцій f(х) мають назву моментних критеріїв. Моментні
критерії запропонував в свій час професор Кунченко Юрій Петрович.
Для узагальненого критерію оптимального виявлення сигналу, а саме
критерію мінімуму середнього ризику ( Rc min ) оптимальним вирішальним
правилом буде порівняння відношення правдоподібності з порогом і має це
правило наступний вигляд:
r H1
P(x / H ) q(П П )
1 01 00
r , (1.4)
P(x / H0 ) H p(П
0 10 П11 )
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
10
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
r
де P(x / H i ) , i 0,1 - це сумісна щільність розподілу вибіркових випадкових
величин rx відповідно при гіпотезах Н1 або Н0,
П ik , i 0,1, k 0,1 - величина, яка більша чи дорівнює нулю, що
характеризує втрати(ризик) від неправильного виявлення чи пропуску
сигналу.
Еквівалентним вказаному вище вирішальному правилу буде правило
такого вигляду:
r
P(x / H ) H1 q(П П )
Ln 1 01 00
r Ln (1.5)
P(x / H 0 ) H0 p(П10 П11 )
r H 1
P(x / H ) q(П П )
або Ln 1
r - Ln 01 00 0.
P(x / H H
0) p(П10 П11 ) 0
Якщо прийняти втрати що дорівними нулю, а саме ті які
характеризують правильне виявлення чи правильним не виявлення (П11=
П00= 0) , то для середнього ризику можна записати наступне еквівалентне
вирішувальне правило:
r
P(x / H ) H1 qП
Ln 1
r Ln 01 (1.6)
P(x / H0 ) H0 pП10
r H1
P(x / H
або Ln 1) qП
- Ln 01
r 0 .
P(x / H0 ) pП H
10 0
Для критерію ідеального спостерігача приймають що втрати Пij = П, i
j, де П - довільна позитивна константа.
Оптимальним за даним критерієм (який ще має назву критерій
Котельникова) буде наступне вирішальне правило:
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
11
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
r
P(x / H ) H1 q
1
r , (1.7)
P(x / H0 ) H p
0
або еквівалентне йому вирішальне правило виду :
r
P(x / H ) H1 q
Ln 1
r
P(x / H ) Ln (1.8)
0 H p
0
або
r H1
P(x / H ) q
Ln 1
r - Ln 0.
P(x / H0 ) p H0
Якщо неможливо задати матрицю ризиків і апріорні імовірності,
використовують критерій мінімуму суми ймовірностей помилок першого й
другого роду:
F(,)= 0,5() (1.9)
За даним критерієм оптимальне вирішальне правило буде таким:
r
P(x / H1) H1
r 1 (1.10)
P(x / H0 ) H0
або відповідно еквівалентне йому вирішальне правило:
r
P(x / H ) H1
Ln 1
r 0.
P(x / H
0 ) H0
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
12
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Як було показано, всі запропоновані імовірнісні критерії дозволяють
будувати вирішувальні правила в вигляді відношення правдоподібності яке
порівнюється з відповідним порогом.
Тобто всі імовірнісні критерії підпорядковуються одному критерії
оптимальності, а саме критерії відношення правдоподібності. Відповідно до
цих імовірнісних критеріїв оптимальна процедура виявлення буде мати
вигляд:
H1
r
(x) = P(x / H1 )
r C, (1.11)
P(x / H 0 ) H 0
Виявляч, що буде оптимальний (рис.1.1) за такими критеріями,
формує відношення правдоподібності (x) (блок ВП), подає потім його на
порогів пристрій ПП, який порівнює відношення (x) з порогом С, і в
результаті приймає дне із двох рішень:
- немає сигналу, злійснилася гіпотеза H0;
- є корисний сигнал, здійснилася гіпотеза Н1.
Структурна схема (рис.1.1) є оптимальним виявлячем за імовірнісним
критерієм.
Рисунок 1.1 - Структурна схема оптимального виявляча.
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
13
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Якщо завада має негауссівський розподіл імовірностей, побудувати
вирішальне правило у вигляді відношення правдоподібності є достатньо
важка задача, так як даний розподіл імовірностей в більшості випадків є
невідомим..
Тому в роботі пропонується використовувати вирішувальні правила
будувати в вигляді степеневих стохастичних поліномів, які бутуть
оптимальними за моментним критерієм, а саме критерієм мініму верхньої
межі суми імовірностей похибок. В якості апріорного опису будуть
використовуватися моменти й кумулянти сигналу й завади.
Моментний є більш простими критерієм в порівнянні з імовірнісними
критеріями. Заснований даний не на ймовірностях помилок, а залежить від
числових характеристик вирішальної функції, а саме, від математичного
очікування й дисперсії вирішальної функції при гіпотезі й альтернативі.
Критерій верхніх границь імовірностей помилок або критерій Кu
запропонований професором Кунченком Юрієм Петровичем.
Для вирішального правила наступного вида:
H1
r r
f( x ) = (x ) - K
0 0, (1.12)
H 0
можна записати для критерію F1(,) наступну нерівність:
G G
F1(,)=+ 0+0 = 0 + 1 = Ф1(G,M), (1.13)
M 2
0 M 2
1
де права частина виразу (1.13) залежить від математичного сподівання
та дисперсії вирішувального правила (1.12) при гіпотезах H0 і H1, а
відповідно 0 та 0 це є верхні межі імовірностей помилок.
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
14
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Константа K0 в (1.12), що залежить від математичних сподівань (1.12)
матиме наступний вигляд:
1
K0 = - (E0 + E1), (1.14/)
2
В результаті вираз для критерію оптимальності Ku можна представити
таим чином:
G0 [] G
Кu(G,E)= 1[]
. (1.15)
{E1[] E []}2
0
r
Вирішувальна функція ( x ), буде оптимальна за моментним критерієм
Ku, який є верхньою границею суми ймовірностей помилок першого й
другого роду.
r
Якщо функція ( x) оптимальна за критерієм мінімуму функціонала
Ku1, то відповідно вирішуваальне правило для розрізнення гіпотез H0 і H1
має вигляд:
H1
r 1
( x ) - (E0 + E
1) 0, (1.16)
2
H 0
Вирішувальне правило, що оптимальне за критерієм Ku, в загальному
випадку може бути представлено в вигляді стохастичного поліному ступеню
S, яке порівнюють також з нульовим порогом.
H
s n 1
h0 + hi i(x )
v 0, (1.17)
i1 v1 H 0
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
15
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
де коефіцієнт h0 відповідно буде мати вигляд:
s
h n
0 = hi(mi - ui),
2
i1
а коефіцієнти hi будемо знаходити із рішення системи лінійних
алгебраїчних рівнянь:
s
hjF(i,j) = (mi -ui), i=1,, (1.18)
j1
Для коефіцієнтів, що знайдены із системи (1.18) можна показати, що ,
критерій якості Ku має вигляд (1.19),
G G
Ku1[G,E]= 1(sn) 0(sn) (1.19)
E 2
1(sn) E0(sn)
s s
а Jn = n h i h j F(i, j) = n h i (mi - u i ) . (1.20)
i1i1 i1
Величинf Jn ‘узагальненою кількістю інформації про розрізнення
гіпотез H0 і H1, що вміщується у вибірці розміром n однаково розподілених
випадкових величин.
Таким чино отримуємо наступний вигляд вирішального правила, що
буде задане в класі узагальнених поліномів IІ-го типу ступеня S:
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
16
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
s n H1
hi[i(x
v) - K0] 0, (1.21)
i1 v1 H 0
Коли виникає необхідність порівнювати самі верхні границі
ймовірностей помилок першого й другого роду, необхідно записати для
вирішальних правил II-го типу верхні границі записати в наступному
вигляді:
G G
0s 1s
0s = , 0s = (1.22)
J2
s J2
s
де Gis, Eis – дисперсія та та математичне очікування вирішувального
правила (1.21) при гіпотезі Н0та альтернативі Н1:
s s
G1s = n hihjF(i,j)(H1). (1.23)
i1j1
s s
G0s = n hihjF(i,j)(H0), (1.24)
i1j1
s s
E1s = n hi mi. (1.25)
i1j1
s s
E0s = n hi ui (1.26)
i1j1
Кількість вилученої інформації про розрізнення гіпотез із вибіркових
значень буде зворотня критерію якості і відповідно дорівнює:
1 s
J sn nhi (mi ui ) (1.28)
Ku1sn i1
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
17
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
1.3 Застосування алгоритмів адаптації для виявлення сигналів
Ефективним засобом для подолання апріорної невизначенності при
вирішенні задач прийому та опрацювання інформації є використання
адаптивних систем. При цьому під адаптацією мже бути як процес
оптимального переналагодження в відповідності із критерієм якості
структури приймального пристрою так і зміна коефіцієнтів приймального
пристрою при зміні параметрів вхідного процесу, Призначення системи
опрацювання впливає на вибір критерія оптимальності.
В роботах Я.П.Ципкіна, В.В. Шахильдяна, Р.Л.Стратоновича, М.С.
Лохвицького, Аокі та ін.. показані розробки таких оптимальних алгоритмів.
Подолання апріорної невизначенності показано роботі американських вчених
Б.Уідроу та С.Старіза[33].
Основною властивістю адаптивної системи є змінне з часом
функціювання із саморегулюванням. Адаптивні системи повинні бути як
змінними в часі так і нелінійними змінне та здійснювати в часі
функціювання із саморегулюванням. Як відомо, властивості адаптивної
системи залежать від вхідних сигналів. Тобто при подачі на вхід адаптивної
системи сигналу система повинна змінити свої властивості. Це говорить про
адаптацію система до цього визначеного вхідного сигналу і тим самим
повинна або змінює власну структуру або змінити параметри в попередній
структурі(наприклад збільшити чи зменшити коефіцієнт передачі).
Для адаптивних систем характерні дві особливості:
- урегульованість адаптивних систем, тобто процеси їх
регулювання залежать від характеристик сигналу, що усереднені
в деякому інтервалі часу, а не від миттєвого значення сигналів;
- процеси регулювання адаптивних систем змінюються ціле-
направлено, щоб провести оптимізацію заданих параметрів
функціювання [33,34].
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
18
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
В адаптивних системах можливе застовуння процесів адаптації із
зворотнім зв’язком і без зворотнього зв’язку.
Для процесу адаптації без зворотнього зв’язку характерно
вимірювання характеристик вхідного сигналу і в подальшому введення цієї
інформації або в формулу або в обчислювальний процес, що забезпечить
використання отриманих результатів для здійснення регулювання адаптивної
системи. На відміну від вказаного, адаптація із зворотнім зв’язком додатково
вносить автоматичну корекцію і крім того, для оптимізації параметрів
фунціювання системи, визначаєя їх вплив на вихідний сигнал.
Принципи адаптації без зворотнього зв’язку та із зворотнім зв’язком
представлені на рис. 1.2 та рис. 1.3. В обох випадках адаптивний процес
розглядається так, ніби його вручну проводить оператор чи «спостерігач».
На рис. 1.2,а та рис. 1.3,а показано , як спостерігач корегує на пристрої
опрацювання органи керування, за результатами спостереження на дисплеї,
що дозволяє реєструвати параметри, що були введені по заданому раніше
критерію функціювання. На відміну в системі без зворотнього зв’язку деякі
характеристики вхідного сигналу та можливо інші дані будуть таким
критерієм. Корекція в системі на рис. 1.3 2.2 Оператор не опрацьовує вхідний
сигнал, так як він лише здійснює корегування пристрою опрацювання, для
того щоб підтримувати оптимізованим функціювання системи в
відповідності із раніше вибраним критерієм. Функція оператора обмежується
лише спостереженням. Якщо використовувати реальні автоматичні адаптивні
системи, то в них роль оператора виконують обчислювальні або «адаптивні»
алгоритми, які і показано на еквівалентних схемах рис. 1.2,б та 1.3,бю До
інших даних, що використовують адаптивні системи можуть належати,
наприклад, про навколишнє середовище або, як для систем із зворотнім
зв’язком, потрібний вид вихідного сигналу.
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
19
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
а) загальне представлення;
б) еквівалентна схема
Рисунок 1.2 - Адаптація без зворотнього зв’язку
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
20
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
а) загальне представлення
б) еквівалентна схема
Рисунок 1.3 - Адаптація із зворотнім зв’язком
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
21
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Вибір адаптації без зворотнього зв’язку чи із зворотнім зв’язком в
процесі розробки адаптивного алгоритму буде визначатися багатьма
факторами. Потрібно враховувати вид вхідних сигналів та сигналів, що
відображають параметри функціювання, а також кількість розрахунків та
необхідний для цього тип ЕОМ, які будуть різні для реалізації алгоритмів
адаптації із зворотнім зв’язком та без зворотнього зв’язку.
Потрібно відмітити, що перевагою алгоритмів адаптації із зворотнім
зв’язком є можливість їх працездатності в тих випадках, коли не існують
аналітичні методи синтезу або вони невідомі. До таких застосувань
відносяться критерії, що використовують критерії похибки, для яких
системи будуть або нелінійними або змінюються з часом, де сигнали є
нестаціонарними і т.п. Ще одним прикладом використання адаптації із
зворотнім зв’язком є в тих випадках, коли фізичні величини системи будуть
змінними або не точно відомими. В результаті використання
функціонального зворотнього зв’язку вдається підвищити надійність системи
вцілому.
До недоліків процесу адаптації із зворотнім зв’язком можна віднести: в
деяких випадках не буде одного оптимума, і відповідно тоді автоматична
оптимізація стає невизначеним процессом: в деяких інших випадках процесс
адаптації може бути нестійким.
Але незважаючи на вказані недоліки, в адаптивних системах
функціональний зворотній зв’язок застосовується найбільш широко.
1.4 Використання адаптивних фільтрів при виявленні сигналів, що
приймаються на тлі завад
Адаптивні пристрої в своїй більшості є так названими адаптивними
фільтрами. В свою чергу фільтрація є процесом опрацювання сигналів, в
результаті якого здійснюється вилучення інформаціїї, що цікавить
користувача, наприклад, корисних сигналів із адитивною сумішшю із
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
22
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
завадою, тобто сигнлів, що володіють певними характеристиками.
Виконуватися фільтрація сигналів, включаючи також адаптивну
фільтрацію, може як аналоговим, так і цифровим способом.
На данний час в різноманітих пристроях найбільш широко
використовуються цифрові адаптивні фільтри. Як відомо, властивості
аналогового або цифрового фільтра з фіксованими параметрами
визначаються передаточною функцією, що в свою чергу визначає структуру
фільтра таі його обчислювальну складність. Якщо специфікація структури
може змінюватися в процессе роботи фільтра, то замість фильтрів з
фіксованими параметрами доцільно використовувати фільтри с
зпараметрами, змінними в часі. Такими пристроями є адаптивні фільтри.
Адаптивні фільтри віднесять до нелінійних пристроїв, так як їхні
параметри змінюються в процесі його роботи. Але при кожнім фіксованім
значенні параметрів адаптивний фільтр залишається лінійний пристрій, так
як між його вхідними й вихідними сигналами існує лінійна залежність. Ця
залежність зумовлена поточним набором вагових коефіцієнтів (ВК), що
подібно до лінійних фільтрів з фіксованими ВК.
Для зміни параметрів фільтра потрібно сформулювати критерій роботи
адаптивного фільтра. До таких критеріїв відноситься критерій мінімум деякої
цільової функції, а саме функції похибок між необхідним і вихідним
сигналами адаптивного фільтра. В випадку досягнення мінімуму у цільової
функції, це буде означати, що вихідний сигнал адаптивного фільтра буде з
деякою мірою наближений до необхідного сигналу.
За рахунок варіації особистих алгоритмів опрацювання вхідного
(вхідних) та потрібного сигналів змінюється вихідний сигнал адаптивного
фільтра. Такий процес і є алгоритмом фільтрації, що вміщує алгоритми
обчислення вихідного сигналу адаптивного фільтра та алгоритми обчислення
його ВК.
Якщо адаптивний фільтр розглядати як нелінійну систему, то його
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
23
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
аналіз буде більш складним, ніж для фільтрів із фіксованими параметрами. А
так як орони, адаптивні фільтри є самоналагоджувальними пристрої, тому
вони є більш простіші, тому що не вимагають складних методів розрахунків
ВК, на відміну від розрахунків, що використовуються при синтезі фільтрів з
фіксованими ВК. Адаптивний фільтр може відслідковувати зміни умов
функціонування. Якщо зміни в системі досить повільні, тобто відбуваються
за час, що значно перевищує тривалість перехідного процесу адаптивного
фільтра, те цей фільтр такі зміни буде відслідковувати, в іншому випадку не
буде.
Адаптивний фільтр в загальному випадку преставляє собою пристрій,
структурна схема якого представлена на рис.1.4.
В даному пристрої x(k) – вхідний сигнал, y(k) – вихідний сигнал, d(k) -
потрібний сигнал, (k)= d(k) - y(k) – сигнал похибки, який використовується
для формування цільової функції адаптивного фільтра, k- номер відліку
сигналів або індекс дискретного часу, що опрацьовуються. Ці відліки
розподілені на вісі часу рівномірно, згідно виразу:
t(k) kTs k/Fs
де Ts – період дискретизації;
Fs – частота дискретизації.
Так як інформації, що отримується із вхідного сигналу, недостатньо для
роботи адаптивного фільтра, тому таким джерелом недостатньої інформації
буде служити потрібний сигнал.
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
24
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Рисунок 1.4 – Структурна схема адаптивного фільтру
На практиці використовують дві основні структури адаптивних
фільтрів:
- фільтри із кінцевою імпульсною характеристикою (КІХ), або їх
ще називають трансверсальні,
- фільтри із нескінченою імпульсною характеристикою (БІХ), або
рекурсивні.
В теперішній час адаптивні БІХ-фільтри не знайшли широкого
використання, так як існує проблема багатоекстремальності цільової функції
та також вони мають проблеми зі стійкістю, що не дозволяє забезпечити
процес сходи місті у розрахунку ВК.
Під адаптивним алгоритмом розуміють процес розрахунку ВК, що
забезпечують мінімізацію цільової функції адаптивного фільтра, тобто
виконання критерія роботи цього фільтра. В адаптивних алгоритмах
використовуються арифметичні операції як над апріорними, так і над
апостеріорними похибками.
Адаптивний алгоритм - це, як правило, ітераційна процедура. Його
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
25
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
операції зазвичай співпадають за тривалістю із періодом дискретизації
сигналів, що опрацьовуються. При цьому змінні, що вичисляються,
обновлюються на кожній ітерації шляхом добавлення деяких добавокдо
попередніх значень або відніманням цих добавок із попередніх значень.
Адаптивні фільтри можуть використовуватися для виявлення та
розрізнення сигналів, що приймаються в суміші із завадою.
Адаптивний фільтр складається з двох різних частин: цифрового
фільтру, що має регульовані коефіцієнтами та адаптивного алгоритму, який
використовується для зміни або налаштування або коефіцієнтів фільтра (рис.
1.5). На адаптивний фільтр одночасно подається два вхідних сигнали: yk та
xk. Сигнал yk є зашумлений та вміщує як корисний сигнал sk так ф шум nk.
Вказані сигнали не повинні бути корельованими, а шум може бути як
адитивним чи мультиплікадитивним.
Рисунок 1.5 - Структурно-функціональна схема адаптивного
фільтра-шумоподавлювача
Структурна конфігурація адаптивного фільтра змінюється в залежності
від виду шумової завади, поставленої задачі, адаптивного алгоритму (рис.
1.6).
Основна мета шумоподавлення полягає в отриманні в зашумлених
сигналах оптимальної оцінки шуму, а відповідно, в отриманні оптимальної
оцінки корисного сигналу.
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
26
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
а)
б)
в)
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
27
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
г)
Рис. 1.6 - Реалізації адаптивного фільтра (АФ):
а) - адаптивний самоналаштовуючий фільтр; б - подавлення
періодичної завади; в - адаптивний вибірковий фільтр;
г - адаптивний модулюючий фільтр
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
28
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
РОЗДІЛ 2. ВИЯВЛЕННЯ ГАУССІВЬКОГО СИГНАЛУ З
НЕНУЛЬОВИМ МАТЕМАТИЧНИМ СПОДІВАННЯМ
НА ТЛІ НЕГАУССІВСЬКИХ ЗАВАД
2.1. Постановка задачі виявлення гауссівського сигналу в адитивній
суміші із негаусівською завадою
Розглянемо задачу виявлення гауссовского шумового сигналу з
ненульовим математичним сподіванням у негауссовском шумі, тобто коли
при гіпотезі H1 приймаються n незалежних вибіркових значень, що мають
вид
i i n i , i 1, n (2.1)
де i - гаусівська випадкова величина, що має наступний аналітичний
2
x a
1
2
вираз щільності розподілу імовірностей: W 2
1x e , параметри
2
якого та 2
a - це відповідно математичне сподівання, що відмінне від нуля,
та дисперсія, заданої гаусівської величини. Як відомо із [6], для гаусівської
випадкової величини, кумулянти 1 a, 2
2 , а кумулянти вищих порядків
дорівнюють нулю ( j 0, j 3 ).
При гіпотезі H 0 у вибіркових значеннях буде присутній лише завада
і вони матимуть такий вигляд:
i n i i 1, n , (2.2)
де n i - негауссівська випадкова величина з нульовим математичним
сподіванням та кумулянтами 2 , 3 , 4 .
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
29
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Визначимо моменти випадкової величини i при гіпотезі H1 до 4-го
включно, які будуть дорівнювати:
m1= M(i ni ) = a ,
m2=M(i n 2
i ) = a 2 2 2 , (2.3)
m3= M( 3 2
i ni ) = 3 a a 3 3a 2 3
m4=M( n )4
i i = =3 4 6a 2 2 a 4 6( 2 a 2 ) 2 4a 3 3 2
4 2
а при гіпотезі H 0 :
u1= M(ni)=0,
u =M(n )2
2 i = 2 (2.4)
u3= M(n 3
i) =3 ,
u4= M(n 4
i) = 2
4 32 .
Розподіл кожного вибіркового значення як при гіпотезі H0 і при
гіпотезі H1 будуть однакові, вілповілно в якості вирішального правила , щл
задається в класі статистичних поліномів будемо використовувати поліноми
I-го типу( 1.21).
2.2 Розробка лінійного виявляча гауссівського сигналу з ненульовим
математичним сподіванням за допомогою лінійного вирішувального правила
Спочатку в якості вирішального правила розглянемо лінійне
вирішальне правило, тобто правило, що отримуємо при ступені поліному
S=1:
1 n H
a 1
h
1 v 0 , (2.5)
n v1 2
H0
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
30
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Для визначення коефіцієнта h1 необхідно розв'язати лінійне рівняння:
h1 F1,1 = m1 - u1. (2.6)
Кореляційні моменти при різних гіпотезах будуть мати відповідно
вигляд:
F1,1 (H0) = u2 - u1u1 = 2
F1,2 (H0) = F2,1 (H0) = u2 - u1u1 = 3
F2,2 (H0) = u4 - u2u2 = 4 + 2 2
2
F1,1 (H1) = m2 - m1 m1= 2 + 2, (2.7)
F 2
1,2 (H1) = F2,1 (H1) = m2 - m1m1 = 2 a + 2a2 + 3,
F2,2(H1) = m4 - m
4 2 2 2 2 2
2 m2 = 2 + 4a +4 2+4 + 22 + 4a 2 + 4a3,
а спільні моменти:
F 2
1,1 = F11 (H0) + F11 (H1) = + 22,
F1,2 = F2,1 = F 2
1,2 (H0) + F1,2 (H1)= 2 a + 2a2 + 23, (2.8)
F 4 2 2 2
2,2 = F2,2 (H0) + F2,2 (H1) = 2 +4a +4 2+ 4 + 2
22 + 4a22 + 4a3.
Тоді розв'язком рівняння (2.6) буде наступний вираз:
m1 u
h1 = 1 = a . (2.9)
F 2 2
1,1 2
Так як коефіцієнт h1 в отриманому виразі не дорівнює 0, то на нього
можна скоротити і в результаті лінійне вирішальне правило прийме такий
вигляд:
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
31
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
1 n a H 1
v 0. (2.10)
n
v1 2 H 0
Отримане вирішальне правило (2.10) збігається з оптимальним
вирішальним правилом, за умови, що завада є гауссівською випадковою
величиною. В цьому випадку легко показати, що у цьому кількість вилученої
інформації про розрізнення гіпотез випадку дорівнює:
nq
J1 , (2.11)
2 p
де q - відношення сигнал/шум за потужністю й дорівнює:
a2
q ,
2
p - відношення потужності флюктуацій до потужності шуму й дорівнює:
2
p
2
де 2 - дорівнює кумулянту другого порядку і є дисперсія гаусівської
випадкової величини i .
Значення критерію якості є величина зворотня до кількості вилученої
інформації і відповідно буде мати вигляд в цьому випадку:
Q J 1 2 p
1 1
nq
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
32
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
В свою чергу знайдемо асимптотичні іймовірності помилок першого й
другого роду, які визначаються виразами:
2
1 C x
1
e 2
1 dx
2
2
1 x
1 e 2 dx (2.12)
2 C2
J
де C 1
1 ,
2 G1
J
C 1
2 .
2 G 0
Отримані вирази будуть використовуватися надалі при дослідженні
поліноміального виявляча 2-го ступеню.
2.3 Виявлення гауссівського сигналу з нульовим математичним
сподіванням за допомогою степеневого вирішального правила ступеню S=2
Для виявлення гауссівського сигналу використовується наступне
вирішальне правило:
n n
n n H 1
h1 i (m1 u1) h 2
2 i (m2 u2 ) 0 , (2.13)
i1 2
i1 2 H 0
яке з врахуванням моментів прийме такий вигляд:
n 1
n 1 H1
h1 (i a) h { 2 ( 2 a2
2 i 22 )}
0 ,
i1 2 i1 2 H0
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
33
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
В даному виразі оптимальні коефіцієнти h1 і h2 визначаються із
рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь:
h1F1,1 h2F1,2 m1 u1
(2.14)
h1F2,1 h2F2,2 m2 u2
З врахуванням виразів (2.3), (2.4) та (2.8) головний визначник системи
(2.14) та і відповідно коефіцієнти h1 і h2 иатимуть наступний вигляд:
3
2 4(q 4 2 2 ) 8p 2
3 p(4q 12
1
4q 2 3 2 4 ) 2 p3
,
5 1 3 1 3
h 2
1 (4q 2 2 pq 2 2 pq 2 2q 2
1
2 3 p 2 3q 2 4q 2 ) / ,
1
2 2
h2 2 (2 p p pq 2 3q
2 ) / .
Кількість вилученої інформації про розрізнення гіпотез H0 і H1 при
ступеню полуному S=2 буде дорівнювати:
n 3 1
J 2
2 2q(q 4 2) p 3 2 p 2 p(q 2 4q 4 2
3q )
(2.15)
Порівнюючи (2.11) з отриманим виразом для J2, видно, що кількість
вилученої інформации про розрізнення гіпотез, при використанні
статистичного виявляча ступеню S=2 залежить від кумулянтних
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
34
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
коефіцієнтів більш високого порядку 3 , 4 . При цьому значення критерію
якості для ступеню полінома S=2 буде мати вигляд:
1
n 3 1
Q2 J 1 2
2 2q(q 4 2) p 3 2 p 2 p(q 2 4q 4 q 2 ) .
3
Для аналізу якісних характеристик виявляча гаусівського сигналу
скористаємося порівнянням критерію якості Q1 для виявляча ступеню S=1 та
Q2 для виявляча ступеню S=2. Для цього розглянемо відношення Q, шо
дорівнює наступному виразу:
Q
Q 10log 2 .
Q1
Проведемо аналіз отриманого виразу. На рисунку 2.1 наведені графіки
залежності відношення Q від 3 та значеннях 4 1.8;0;2 для малих
значень p і q (q=0.25, p=0.05). Для цих значень p і q кількість вилученої
інформації, буде найбільшою і значення коефіцієнта ефективності досягає -7
дб.
Як з ростом q, при однакових р, так і з ростом p при однакових q
відбувається погіршення коефіцієнта ефективності Q. Для цих значень p і q
графіки приводити не будемо.
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
35
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Рисунок 2.1 - Графіки залежності відношення критеріїв якості при
ступені полінома S=1 і S=2 від 3
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
36
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Можна відмітити, що чим більше коефіцієнт асиметрії 3 , тобто чим
більше негауссовість завади, тим більшим буде коефіцієнт ефективності Q.
Q
Графіки залежності Q 10log 2 за умови гауссовості завади
Q1
( 3 4 0 ) не приводимо, так як ефективність роботи нелінійного виявляча
в порівнянні з лінійним виявлячем залишається незмінною.
Структурна схема поліноміального виявляча гаусівського сигналу з
ненульовим математичним сподіванням при ступені поліному S=2
представлена на рис. 2.3.
Рисунок 2.3 - Структурна схема поліноміального виявляча шумового
сигналу при ступеню S=2
Запропонована структурна схема вміщує два канали обробки вхідного
сигналу. Так у першому каналі з вибіркових значень здійснюється
віднімання половини рівня сигналу, а потім після накопичення відбувається
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
37
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
множення на коефіцієнт h1, який повинен бути сформований відповідним
чином. Накопичений сигнал подається потім на суматор сигналів із 2=х
каналів. Відповідно у другому каналі вибіркові значення підлягають
спочатку зведенню у квадрат, а потім віднімається величина 1
( 2 a 2 2 2 ) .
2
Отримана величина накопмчується згідно об’єму вибірки, а потім підлягає
перемноженню на коефіцієнт h2 і вподальшому підсумовуванню із сигналом
з першого каналу. З виходу суматора сигнал подається на вирішальний
пристрій (ВП), який і приймає рішення про те яка гіпотеза відбулася.
2.4 Аналіз поліноміального вирішувального правила ступеню S=2
Як відзначалося раніше, можна знайти не тільки верхні границі
ймовірностей помилок, але й асимптотичні значення самих імовірностей
помилок першого й другого роду.
Легко показати, що асимптотично при n імовірність помилки
другого роду 2 буде дорівнювати:
2
1 C x
3
2 e 2 dx
2
J
Де C 2
3 ,
2 G1(s2)
а імовірність помилки першого роду 2 визначатися таким виразом:
x2
1
e 2
2 dx ,
2
C4
де
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
38
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
J
C 2
4 ,
2 G 0(s2)
а G0 і G1 – дисперсії вирішального правила (2.13) відповідно при
гіпотезах Н0 і Н1.
У свою чергу G1 і G0 визначаються по формулах:
2 2
G1 nh 2 2
ih jFi, j (H1 ) nh1 F1,1(H1 ) h1h 2F1,2 (H1 ) h 2F2,2 (H1),
i1 j1
2 2
G 0 nh 2 2
ih jFi, j (H0 ) nh1 F1,1 (H0 ) h1h 2F1,2 (H0 ) h 2F2,2 (H0 ).
i1 j1
Тоді сума іймовірностей помилок при ступені полінома S=2 буде
дорівнювати:
x2 2
1 1 C4 x
2 2
2 2 e dx e dx .
2
C 2
3
На рисунку 2.4 наведені графіки залежності відношення
10log 2 2
1
1
від 3 для різних значень 4 ( 4 1.8; 0; 2 ). При цьому розглядаємо
випадки, що значення p і q малі й відповідно дорівнюють q=0.25, p=0.1.
Графіки наведені для різних обсягів вибірки n(n=10; 36; 100).
Із графіків видно, що зі збільшенням обсягу вибірки n з 10 до 100
значення суми іймовірностей помилок першого й другого роду зменшується
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
39
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Рисунок 2.4 - Графіки залежності відношення сум імовірностей помилок
при ступені полінома S=2 і S=1 від коефіцієнта ассиметрії 3 .
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
40
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
для нелінійного виявляча в порівнянні з лінійним виявлячем. При цьому
відношення змінюється відповідно від –5 дБ до –30 дБ.
Можна також відзначити, що як з ростом q, при однакових значеннях
p, так і з ростом p при однакових q відбувається деяке погіршення роботи
нелінійного виявляча.
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
41
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
РОЗДІЛ 3. РОЗРОБКА ВИЯВЛЯЧА ГАУССІВСЬКОГО
СИГНАЛУ З НУЛЬОВИМ МАТЕМАТИЧНИМ СПОДІВАННЯМ НА
ТЛІ АДИТИВНИХ НЕГАУССІВСЬКИХ ЗАВАД
3.1. Постановка задачі виявлення з нульовим математичним
сподіванням гауссівського сигналу на тлі завад
Розглянемо задачу виявлення гаусівського корисного сигналу з
нульовим математичним сподіванням в негауссовому шумі, тобто коли при
гіпотезі Н1 приймається n незалежних вибіркових значень, що мають вигляд:
i i ni , i 1, n (3.1)
де i - корисний гаусівський сигнал, з нульовим математичним
сподіванням, дисперсією 2 . Кумулянти вищих порядків
3 4 5 6 0 , а щільність розподілу імовірностей має вигляд:
х2
W1x 1
e 2 2
;
2
ni - випадкова величина(негаусівський шум) з нульовим математичним
сподіванням та кумулянтами 2 , 3 , 4 , 5 , 6 .
При гіпотезі H 0 в вибіркових значеннях буде присутній лише шум,
тому вони мають такий вигляд:
i ni i 1, n , (3.2)
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
42
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Моменти випадкової величини i при гипотезі H1 до 6-го включно
будут дорівнювати:
m1= M( i ni ) =0 ,
m2=M( i n )2
i = 2 2 ,
m3= M( i ni )
3= 3 (3.3)
m4=M( i n )4
i =3 4 6 2 2 4 3 2
2
m = M( n )5=10 2
5 i i 3 5 10 2 3
m6=M(i n )6
i =15 6 6 15 2 4 10 2
3 15 3
2
а при гипотезі H 0 :
u1= M(ni)=0 ,
u 2
2=M(ni) = 2
u3= M(ni)
3= 3 , (3.4)
u4= M(n 4
i) = 4 3 2
2
u5= M( )5
n =
i 5 10 2 3
u6 =M( )6
n = 6 15 2 4 10 2
3 15 3
i 2
Згідно (3.3) та (3.4) математичні сподівання як корисного гауссівського
сигналу так і негауссівської завади дорівнюють нулю. Тому при при ступені
поліному S=1 гіпотези Н0 та Н1 розрізнити неможливо, так як оптимальний
коефіцієнт h1=0.
Тому розглянемо випадок, коли використовується нелінійне
вирішальне правило при ступені поліному S=2.
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
43
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
3.2 Виявлення гауссівського сигналу за допомогою
вирішального правила, заданого в класі статистичних поліномів
ступеню S=2.
Поліноміальне вирішальне правило при ступеню поліному S=2 згідно
(1.21) буде мати такий вигляд:
n 1 n H
h { (m u )} 2 1 1
1 i 2 1 1 h2 { i (m
2 2 u2 )} 0 (3.5)
i1 i1 H 0
Або із врахуванням початкових моментів для сигналу і завади:
n
n
2 1 H 1
h1 i h2 { i ( 2 2 2 )}
0 ,
i1 i1 2 H 0
де оптимальні коефіцієнти h1 та h2 знаходимо із рішення системи
лінійних алгебраїчних рівнянь:
h1F1,1 h2F1,2 m1 u1 ,
(3.6)
h1F2,1 h2F2,2 m2 u2 .
В данній системі рівнянь сумісні моменти Fi, j дорівнюють сумі
кореляційних моментів Fi, j(H0 ) и Fi, j (H1) при гипотезах H0 та H1, які
відповідно будуть мати вигляд:
F1,1 (H0) = u2 - u1u1 = 2
F1,2 (H0) = F2,1 (H0) = u2 - u1u1 = 3
F 2
2,2 (H0) = u4 - u2u2 = 4 + 22
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
44
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
F 2
1,1 (H1) = m2 - m1 m1= 2 (3.7)
F1,2 (H1) = F2,1 (H1) = m2 - m1m1 =3,
F 4 2 2
2,2(H1) = m4 - m2 m2 = 2 4 2 4 2 2 .
А в свою чергу сумісні моменти приймуть наступний вигляд:
F1,1 = F11 (H0) + F11 (H1) = 2 2 2 ,
F1,2 = F2,1 = F1,2 (H0) + F1,2 (H1) = 23, (3.8)
F2,2 = F2,2 (H0) + F2,2 (H1) = 2 4 4 2 2 2( 4 2 2
2 ) .
Знайдемо рішення системи (3.6) методом Крамера:
F F
1,1 1,2 F11F2,2 F1,2 F2,2
F2,1 F2,2
m u F
1 1 1,2
1 m1 u1 F2,2 m2 u2 F1,2 (3.9)
m2 u2 F2,2
F1,1 m1 u
2 1 F
1,1m2 u2 F2,1m1 u1
F2,1 m2 u2
Підставимо вирази дя початкових та сумісних моментів із врахуванням
n
того, що n 2
2 n , в отримані визначники:
3 3 2 2
2 2 p 8 p 2 p ( 4 6) 4( 4 2) (2 3 )
3
1 2 (2 3 ) (3.10)
2 2
2 p(2 p) .
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
45
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Оптимальні коефіцієти h1 та h2 , які дорівнюють відношеню
відповідних визначників: h 1
1 , h 2
2 , приймуть вигляд:
1
3
2 р (2 2
3 )
h1 ,
2 p 3 8 p 2 2 p ( 4 6) 4( 4 2) (2 2
3 )
1
2 p(2 p)
h2 2 3 ,
p 8 2
p 2 p ( 4 6) 4( 4 2) (2 )2
3
де p – відношення потужності корисного гауссівського сигналу до
2
потужності шуму і дорівнює виразу:
p ;
2
3
; 4
3 4 - кумулянтні коефіцієнти негаусівської завади.
3 2
2 2
Можна показати, що кількість вилученої інформації про розрізнення
гіпотез для одного вибіркового значення в цьому випадку буде дорівнювати:
J 2 [h1 (m1 u1) h2 (m2 u2 )]
Якщо врахувати знайдені оптимальні коефіцієнти, то кількість
вилученої інформації про розрізнення гіпотез при ступені поліному S=2 має
вигляд:
p 2 p 2]
J 2 (3.11)
2 3 2
p 8p 2 p ( 4 6) 4( 2) (2 )2
4 3
Значення критерію якості буде величиною зворотно-пропропорційною
кількості вилученої інформації про розрізнення гіпотез і матиме вигляд:
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
46
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
2 1
Q J 1 p p 2]
2 2 (3.12)
2 p3 8p 2 2 p ( 4 6) 4( 2
4 2) (2 3 )
Структурна схема нелінійного виявляча, що синтезована згідно
вирішувального правила (3.5), представлена на рис. 3.1.
Вибіркові значення вхідного сигналу v підлягають лінійному і
нелінійному перетворенню, перемноженню на відповідний оптимальний
коефіцієнт h1 чи h2, додаванню накопичених значенень та подальшому
порівнянню в пороговому пристрої (ПП) для прийняття рішення про те
присутній чи відсутній корисний сигнал у вибіркових значеннях.
Рисунок 3.1 - Структурна схема нелінійного виявляча гауссівського
сигналу з нульовим математичним сподіванням,
що приймається на тлі негауссівських завад.
Проведемо дослідження синтезованого виявляча гауссівського
сигналу, що приймається на тлі негаусівських завад, по відношенню до
виявляча сигналів, що приймаються в адитивній суміші із завадою, що також
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
47
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
розподілена по закону Гауса (нормальному закону розподілу імовірностей). З
врахуванням того, що для гаусівського розподілу завади кумулянтні
коефіцієнти 3-го та 4-го порядків дорівнюють нулю, відповідно отримаємо
вираз для значення критерію якості Q, який матиме вигляд:
2 p3 8p 2 12 p 8
Q2Г (3.13)
2
p p 2
Для визначення властивостей відношення Q2 Q2 Г використаємо
Q
логарифм відношення Q 10lg 2 . Проведемо дослідження функції Q в
Q2гаус
залежності від коефіцієнтів 3 , 4 .
Згідно (6) між коефіцієнтами асиметрії 3 та ексцесу 4 повинна
виконуватися нерівність 4 2 2
3 . На рис. 3.2 приведені графіки
залежності фунції Q від 3 при різних відношеннях сигнал/завада за
потужністю р (p=0.25; 1; 5) для таких значень коефіцієнта ексцессу 4 ( 4
-1,8; 0; 2).
Аналіз з графиків показав, що найбільший виграш при застосуванні
поліноміального вирішального правила ступеню S=2 буде при максимальних
значеннях коефіцієнту асиметрії 3 та відємних значеннях коефіцієнта
ексцесу 4 , тому що при позитивних значеннях 4 отримується область
значень 3 , при яких Q>0, тобто буде програш в зрівнянні з гаусівськими
завадами. Крім того, чим менше відношення сигнал/завада за потужністю р,
тим виграш більший і досягає -9дБ.
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
48
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Рисунок 3.2 - Графіки залежності відношення критеріїв якості Q2 при
ступеню поліному S=2 от 3
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
49
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Як відзначалося раніше, можна знайти не тільки верхні границі
ймовірностей помилок, але й асимптотичні значення самих імовірностей
помилок першого й другого роду.
Легко показати, що асимптотично при n ймовірність помилки
другого роду 2 буде дорівнювати:
x2
1 C3
2 e 2 dx
2
J
Де C 2
3 ,
2 G1(s2)
а ймовірність помилки першого роду 2 визначатися виразом:
x2
1
2 e 2 dx ,
2 C4
де
J
C4 2 ,
2 G 0(s2)
а G0 і G1 – дисперсії вирішального правила (3.5) відповідно при гіпотезах
Н0 і Н1.
У свою чергу G1 і G0 визначаються по формулах:
2 2
G nh h F 2 2
1 i j i, j (H1) nh1 F1,1(H1) h1h 2F1,2 (H1) h 2F2,2 (H1),
i1 j1
2 2
G nh h F (H ) nh 2
0 i j i, j 0 1 F1,1(H0 ) h1h 2F1,2 (H0 ) h 2
2F2,2 (H0 ).
i1 j1
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
50
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Тоді сума іймовірностей помилок при ступені полінома S=2 буде
дорівнювати:
x2 C 2
1 1 4 x
2 2 e 2 dx e 2 dx .
2 C 2
3
На рисунку 3.3 наведені графіки залежності відношення
2 2
10log
2Г
2Г
від 3 для різних значень 4 ( 4 1.8; 0; 2 ), де 2Г 2 Г - це сумма
імовірностей помилок за умови, що як сигнал так і завада мають гаусівський
розподіл.
Дослідження проводимо за умови, що досліджувальний сигнал є
гауссівський затематичним сподіванням, а завада є негаусівька випадкова
величина, а також при малих значеннях p(p=0.1). Графіки наведені для
різних об’ємів вибірки n(n=10; 36; 100).
Із графіків видно, що зі збільшенням обсягу вибірки n з 10 до 100
значення суми іймовірностей помилок першого й другого роду зменшується.
для нелінійного виявляча в порівнянні з гаусівським виявлячем. При цьому
відношення змінюється відповідно від –5 дБ до –30 дБ.
Можна відзначити, що ростом p не відбувається покращення роботи
нелінійного виявляча в порівнянні з гаусівським виявлячем..
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
51
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Рисунок 3.3 - Графіки залежності відношення сум імовірностей помилок
при ступені полінома S=2 від коефіцієнта ассиметрії 3 .
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
52
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
3.3 Виявлення гауссівського сигналу з нульовим математичним
сподіванням за допомогою степеневого вирішального правила ступеню
S=3
За умови, якщо негауссівська завада матиме симетричний розподіл, за
зодпомогою синтезованого вирішувального правила при S=2 виграшу теж не
отримуємо. Тому розглянемо синтез виявляча гаусівського сигналу з
нульовим математичним сподіванням за умови, що завада носить ексцесний
характер. Степеневе вирішувальне правило при S=3 в цьому випадку матиме
вигляд:
n 1 n 1 n 1 H1
h1 {x (m u )} h {x 2 (m 3
v 1 1 2 v 2 u2 )} h3{xv (m3 u3 )} 0 (3.14)
v1 2 v1 2 v1 2 H0
Як видно із виразу, дане правило теж буде нелінійним. Вибіркові
значення в цьому випадкупідлягають не тільки квадратичному
перетворенню, але й також кубічному перетворенню та перемноженню на
відповідний коефіцієнт.
Із рішення приведеної в (3.15) системи лінійних алгебраїчних рівнянь
знайдемо оптимальні коефіциєнти h1v, h2v та h3v:
h1F(1,1) h2v F(1,2) h3v F(1,3) m1 u1
h1F(2,1) h2v F(2,2) h3v F(2,3) m2 u2 (3.15)
h1F(3,1) h2v F(3,2) h3v F(3,3) m3 u3
де сумісні моменти F(i,j) та початкові моменти за умови ексцесної завади
( ( 3 5 0) приведені в виразах (3.16) та (3.17) відповідно.
Моменти випадкової величини i при гипотезі H1 до 6-го включно
будут дорівнювати:
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
53
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
m1= M( i ni ) =0 ,
m2=M( i n )2= 2
i 2 ,
m3= M( i n 3
i ) = 0 (3.16)
m =M( n )4
4 i i =3 4 6 2 2
2 4 3 2
m5= M(i ni )
5=0
m6=M(i n )6
i =15 6 6 15 2 4
а при гипотезі H 0 :
u1= M(ni)=0 ,
u2=M(ni)
2= 2
u 3
3= M(ni) = 0 , (3.17)
u4= M(n )4
i = 4 3 2
2
u5= M( 5
ni ) = 0
u6 =M( )6
n = 6 15 2 4 15 3
i 2
Сумісні моменти відповідно матимуть такий вигляд:
F 2
1,1 = 2 2 ,
F1,2 = F2,1 =0, (3.18)
F2,2 = 2 4 4 2 2 2( 4 2 2
2 ) .
F1,3 = F3,1 =3 4 6 2 2 2( 4 3 2
2 )
F2,3 = F3,2 =0
F3,3 = 15 6 2( 15 3
6 2 4 15 2 )
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
54
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Таким чином рішення системи (3.15) можемо отримати після
знаходження визначників за методом Крамера:
h 1 2
1 , h2v , h 3
3
где головний визначник системи (3.15), буде визначатися наступним
виразом:
F(1,1) F(1,2) F(1,3)
F(2,1) F(2,2) F(2,3) ,
F(3,1) F(3,2) F(3,3)
а визначники 1 , 2 , 3 отримуються із головного визначника заміною на
стовпчик із вільних членів в приведеній системі відповідно першого, другого
та третього стовпчика. Аналітичні вирази для , , 2v та 3v представлені
виразах (3.19):
Ap6 Bp5 Cp4 Dp3 Ep 2 Fp G
A 12
B 12
C (144 12 4 )
D (396 48 4 4 6
E (408 96 2
4 32 4 )
F (72 84 4 24 2
6 4 4 4 6 4 ) (3.19)
G 96 192 4 16 6 56 2
4 8 8 3
6 4 4
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
55
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
1 0
2 A2 p5 B2 p 4 C2 p3 D2 p 2 E2 p
A2 12
B2 12
C2 (144 24 4 )
D2 (84 12 4 4 6
E2 (48 72 4 8 6 8 2
4 )
3 0
В цьому випадку rількість вилученої інформації про розрізнення
гіпотез в загальному випадку має вигляд:
n
J 3 h1v (m1v u1) h2v (m2v u2 ) h3v (m2v u3 ) (3.20)
v1
В приведеному виразі (3.20), так як і в попередньому розділі, замінимо
кумулянти на кумулянтні коефіцієнти, та введемо відношення q та p та
підставимо в даний вираз значення коефіцієнтів, різниці моментів та
отримаємо вираз для кількість вилученої інформации про розрізнення
гіпотез:
n
(A2 5
p 2 4 2 3 2 2
B p C p D p E2 p) p
J 3 6 5 4 3 2
v1 Ap Bp Cp Dp Ep Fp G
З цього виразу бачимо, що при S=3 в загальному випадку кількість
вилученої інформації про розрізнення гіпотез збільшується в зрівнянню з
випадком S=2. Ця зміна буде залежати від от коефіцієнтів эксцесу 4 та 6 .
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
56
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Визначимо значення критерію ефективності для нашого випадку таким
чином:
1
n
1 (A2 5
p 2 4
B p C2 3 2
p D2 p E2 p) p
Q3 J 3
Ap6 Bp5 Cp 4
v1 Dp 3 Ep 2 Fp G
Для кількісної оцінки ефективності вирішувального правила при
ступеню S=3 для екцесної завади( 3 5 0 ) в зрівнянні з випадком S=2
коли завада носить гауссівський характер, розглянемо логарифм відношення
Q3/Q2Г. Q3 та Q2Г є критерії якості відповідно при S=3 та при S=2, та є
величинами, що дорівнюють зворотнім величинам кількості вилученої
інформації при відповідних ступенях.
Аналіз здійснювався відношення для випадків виявлення гаусівських
сигналів з нульовим математичним сподіванням при S=2 та S=3, за умови, що
завада має ексцесний харатер.
На рис.3. приведені графіки вказаних залежностей Q( 4 , 6 ) 10lg[Q3 /Q2 ]
від коефіцієнту ексцесу 4 для значень потужностей гауссівського сигналу
( p 0,1; 0,5; 1) при різних значениях 6 .
Із приведених графиків бачимо, що із збільшенням коефіціенту ексцесу
4 якість степеневого виявляча при S=3 збільшується для значень 6 6; 0
в зрівнянню з виявлячем ступеню S=2 та зменшується для 6 6 .
Із збільшенням відношения p - сигнал/завада еффективність роботи
виявляча при S=3, так як і при S=2, дещо збільшується.
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
57
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Рисунок 3.4 - Графіки залежності відношенн критеріїв якості при
ступеню поліному S=2 та S=3 від 4
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
58
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
РОЗДІЛ 4. РОЗРОБКА СТРУКТУРНИХ СХЕМ ВИЯВЛЯЧІВ
ГАУСІВСЬКИХ СИГНАЛІВ ПРИ АДИТИВНОМУ ПРИЙОМІ
ЗА УМОВИ ДІЇ НЕГАУСІВСЬКИХ ЗАВАД
Адитивний прийом сигналів характерний тим, що під час роботи
виявляча може змінюватися як апріорна інформація про самі сигнали, так і
змінюватися параметри завади. В запропонованих в попередніх розділах
схемах стохастичних виявлячів оптимальні параметри якраз і будуть
залежати від параметрів завади. Тому, щоб вирішувальне правило було
оптимальним, необхідно спочатки провести оцінку параметри завади, що
змінюється в процесі спостереження, сформувати кумулянтні коефіцієнти і
лише потім формувати оптимальні коефіцієнти стохастичних вирішувальних
правил різного ступеню. які змінюються в процесі опрацювання вхідного
сигналу. Як відомо, для оцінки використовуються: метод максимальної
правдоподібності, метод найменьших квадратів метод моментів. Так відсутня
апріорної інформації про закон розподілу імовірностей для негауссівської
завади, тому пропонується для оцінки параметрів завади використовувати
ряд метод моментів, який достатньо близько корелює з моментно-
кумулянтним описом корисного сигналу та негауссівської завади.
4.1. Вимірювання параметрів завади методом моментів
Так як при дослідженні так і при моделюванні роботи будемо вважати,
що опрацювується незалежна вибірка дискретних значень випадкових
величин обємом n.
1 n
В цьому випадку середнє значення x ñåð v . Середнє
n v
значення в свою чергу це є перший початковий момент m1 xñåð .
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
59
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Центральний момент розподілу порядку другого характеризує розкид
випадкових внчин відносно середнього значення і є дисперсією дискретної
випадкової величини. Для її визначення використовується наступний вираз:
n
M 2 1
v 2
m1 .
n v1
Центральні моменти 3-го та 4-го порядку дозволяють визначити
коефіцієнти ексцесу та асиметрії. Вирази для цих моментів будуть наступні:
- для центрального моменту 3-го порядку:
n
1
3
M 3 v m1 .
n v1
- для центрального моменту 4-го порядку:
n
M 4 1
4
v m1 .
n v1
За умови, якщо дорівнює нулю середнє значення, то початкові і
центральні моменти мпівпадають: m2 M 2 , m3 M 3 , m4 M 4 і т.д.
Асиметрію кривої розподілу імовірностей характеризують наступним
безрозмірним відношенням:
M
3 3 ,
M 3
2
яке має назву коефіцієнт асиметрії.
Іншу безрозмірну велину, що характеризує згладженість кривої
розподілу біля її моди називають коефіцієнтом ексцесу:
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
60
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
M
4 4 3 .
2
M 2
Згідно [6] використовують кумулянти також для опису випадкових
величин. В свою чергу є коефіцієнтами розкладу в ряд Маклорена
кумулянтної функції. Кумулянти з моментами зв’язані з моментами
наступним чином(за умови, що середнє значення m1=0):
1 m1 ,
2 M 2 ,
3 M 3 ,
M 3M 2
4 4 2 ,
5 M 5 10M 3M 2 ,
6 3 2
M 6 15M 2 M 4 30M 2 10M 3 ,
Покажемо зв'язок коефіцієнтів ексцесу та асиметрії з кумулянтами:
3 3 ; .
3
2
4
4 .
2
2
5 5 ; .
5
2
6
6
3
2
Вимірювання представлених в попередніх виразах пергого начального
моментів та центральних моментів 2-го, 3-го та 4-го порядків пропонується в
структурній схемі, що представлена на рис. 4.1. А за допомогою структурної
схеми на рис.4.2 визначимо кумулянтні коефіцієнти 3-го та 4-го порядку, що
характеризують нагауссівську заваду.
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
61
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Рисунок 4.1 – Структурна схема вимірювач моментів негауссівської
завади
Рисунок 4.2 – Структурна схема блоку розрахунку кумулянтних
коефіцієнтів 3 та 4 .
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
62
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
4.2. Структурна схема адаптивного виявляча гауссівського сигналу з
ненульовим математичним сподіванням
В розділі 3 даної роботи були синтезовані алгоритми виявлення
гауссівського сигналу, що приймається на тлі негаусівської завади за
допомогою вирішальних правил в вигляді стохастичних поліномів.
Узагальнена структурна схема поліноміального виявляча ступеню S=2
представлена на ри.4.1.
В якості апріорної інформації повинні бути відомі:
- щільність розподілу імовірностей корисного випадкового сигналу, для
нашого випадку закон розподілу гауссівський;
- математичне сподівання випадкового сигналу;
- дисперсія сигналу;
- середнє значення негауссівської завади, яке вважаємо, що дорівнює
нулю;
- дисперсія завади;
Рисунок 4.3. – Узагальнена структурна схема виявляча гауссівського
сигналу при ступеню поліному S=2, що приймається на тлі негаусових завад
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
63
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Вибіркові значення опрацьовуються в 2-х каналах: лінійному і
нелінійному. Ці значення підлягають перемноженню на оптимальні
коефіцієнти h1 та h2, які залежать від параметрів завади. Дані коефіцієнти
формуємо з використанням структурної схеми рис.4.2.
Розглянемо алгоритм побудови адаптивного виявляча гауссівського
сигналу, що приймається на тлі негауссівських завад. Для вимірювання
параметрів завади необхідно в узагальнену структурну схему додати схему
затримки на час вимірювання , блок вимірювання параметрів завади
(рис.4.1) та блок формування оптимальних коефіцієнтів (рис.4.2). Параметри
корисного гауссівського сигналу задаємо в вигляді постійних величин, які
можна буде корегувати в процесі виявлення.
Структурна схема адаптивного виявляча гауссівського сигналу з
ненульовим математичним сподіванням представлена на рис.4.4.
Рисунок 4.4 - Адаптивний виявляч гауссівських з ненульовим математичним
сподіванням сигналів на тлі негауссівських завад
при S=2.
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
64
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Адаптивний виявляч містить два канали опрацювання вхідної
інформації: лінійний і нелінійний, у якому вибіркові значення підлягають
квадратуванню (КВ). Після перемноження на відповідний коефіцієнт та
накопичення, отримані значення підсумуються й вирішальний пристрій (ВП)
приймає рішення щодо наявності (гіпотеза Н1 ) або відсутності (гіпотеза Н0 )
корисного сигналу у вибіркових значеннях.
4.3 Структурна схема адаптивного виявляча гауссівського сигналу з
нульовим математичним сподіванням
Згідно виразу (3.5) в роботі синтезована структурна схема виявляча
гауссівського сигналу з нульовим математичним сподіванням при ступеню
полінома S=2(рис. 4.5)
Рисунок 4.5 – Структурна схема виявляча гауссівського сигналу з нульовим
математичним сподіванням при ступеню поліному S=2
Як було показано в підрозділі 3.2, за умови, коли завада має
симетричний розподіл (коефіцієнт асиметрії 3 0 ), відповідно виграшу
синтезований виявляч не дає. Тому розробимо структурну схему
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
65
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
адаптивного виявляча гауссівського сигналу при S=3. Для даного виявляча
оптимальні коефіцієнти h1 та h3 дорівнюють нулю, відмінний від нуля лише
коефіцієнт h2( 4 , 6 ), який буде залежати від кумулянтних коефіцієнтів 4 , 6 .
Формування данних коефіцієнтів здійснює струтруктурна схема, що
представлена на рисунку 4.6.
Рисунок 4.6 – Структрна схема блоку розрахунку кумулянтних коефіцієнтів
3 , 4 та 6 .
Структурна схема адаптивного виявляча гаусівського сигналу при S=3 за
умови дії негауссівської завади представлено на рис. 4.7.
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
66
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Рисунок 4.7 – Адаптивний виявляч гауссівського сигналу
Адаптивний виявляч містить лише один канали опрацювання вхідної
інформаці, у якому вибіркові значення підлягають квадратуванню (КВ).
Після перемноження на відповідний коефіцієнт та накопичення, отримані
значення й подаються на вирішальний пристрій (ВП), який приймає рішення
щодо відсутності (гіпотеза Н0 ) чи наявності (гіпотеза Н1 ) корисного сигналу
у вибіркових значеннях.
Висновки
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
67
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
В даній роботі проведена розробка адаптивних алгоритмів виявлення
гауссівських сигналів з ненульовим та нульовим математичним сподіванням,
що приймаються тлі адитивних негаусівських завад. Синтезовані
поліноміальні вирішувальні правила будуть оптимальними по моментному
критерію якості. Таким критерієм є критерій мінімуму верхніх границь
імовірностей помилок. Даний критерій базується математичнім очікуванні й
дисперсії вирішувального правила як при гіпотезі так і при альтернативі.
Моментний й кумулянтний опис сигналу та завади є апріорною
інформацією. Корисний сигнал має гауссівський розподіл, для якого
кумулянти, що вище 2-го порядку, дорівнюють нулю.
В роботі синтезовані вирішувальні правила при ступеню поліному
S=1,2 для виявлення гауссівського сигналу з ненульовим математичним
сподіванням, та ступеневі вирішувального правила ступеню S=2,3 для
гауссівського сигналу з нульовим математичним сподіванням. В приведених
виразах для вирішувальних правил оптимальні коефіцієнти були знайдені із
розв'язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь для відповідного ступеня
поліному.
Для кожного із розглянутих випадків була визначена кількість
вилученої информації про розрізнення гіпотез та проведено дослідження
ефективності, що дозволило оцінити необхідність застосування ненілійних
вирішувальних правил, за умови що вибіркові значення досліджувального
процесу мають однакові значення.
Розроблені алгоритми виявлення гауссівских сигналів мають більшу
ефективність( порядка -8дБ ) по зрівнянню з алгоритмами, побудованими за
умови, що завада матиме гауссівський характер. Дана ефективність зв’язана
з тим, що здійснюється врахування параметрів негауссівської завади, а саме
кумулянтних коефіцієнтів вищих порядків.
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
68
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
В роботі розроблені адаптивні алгоритми гауссіських сигналів, за
умови, що негауссівські завади можуть змінювати свої параметри, які в свою
впливатимуть на ефективність роботи виявлячів сигналів.
Були розроблені структурні схеми вимірювачів початкових та
центральних моментів параметрів завади, за допомогою яких формуються
кумулянтні коефіцієнти 3 , 4 , 6 . Для проведення вимірювання необхідно
затратити деякий час, тому в структурну схему введений блок затримки, який
на величину затримує подачу вхідного процесу на пристрій прийняття
рішення про наявність чи відсутність корисного сигналу в досліджувальному
сигналі.
Отримані в даній роботі результати, можуть бути застосовані в
радіотехніці, радіофізиці, системах зв’язку, радіолокації, системах виявлення
та оповіщення та в інших областях, де здійснюється обробка даних.
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
69
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
Список використаних джерел
1. Вопросы статистической теории радиолокации // Под общей редакцией
проф. Т.П.Тартаковского. Монография. Т.1,2 М.: Сов. радио, 1963, 424 с.
2. Г. Ван Трис. Теория обнаружения, оценок и модуляции, т.1,2, пер. с
англ. проф. В.И.Тихонова, М.: Сов. радио, 1972.
3. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. кн.2, М.:
Сов. радио, 1968, 504 с, в 3-х кн.
4. Стратонович Р.Л. Обнаружение и оценивание сигналов в шумах, когда
оба или один из них негауссовские//Труды ИИЭР, Том 58, №5, 1970,
c.73-82.
5. Стратонович Р.Л., Сосулин Ю.Г. Оптимальный прием сигналов на фоне
негауссовской помехи. Радиотехника и электроника, №46 1966, c.579-591.
6. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ негауссовых случайных процессов и
преобразований. М.: Сов. радио. 1979, 376 с.
7. Прикладна теорiя випадкових процесiв i полiв // Колективна монографiя
пiд ред. Я.П.Драгана, В.О.Омельченка, Харкiв-Львiв-Тернопiль, ТПI,
1993, 248 с.
8. Прикладная теория случайных процессов и полей //Под ред.
К.К.Васильева и В.А.Омельченко, Ульяновск, УлГТУ, 1995, 256 с.
9. Основы загоризонтной радиолокации. / Под ред. проф. А.А.Колосова,
М.: Радио и связь, 1984, 256 с.
10. Теория обнаружения сигналов./Под ред. проф. П.А. Бакута. М.: Радио и
связь, 1984, 440 с.
11. Обнаружение радиосигналов./ П.С.Акимов, Ф.Ф.Евстратов, С.И.Захаров
и др. Под ред. А.А.Колосова, М.: Радио и связь, 1989, 288 с.
12. Вальд А. Статистические решающие функции. Сб. Позиционные игры,
М.: Наука, 1967, с.300-522.
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
70
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
14 Лемaн Э. Проверка статистических гипотез. М.: Наука, пер. с англ.,
1979,408 с.
15. Ю.Нейман. Вводный курс теории вероятностей и математической
статистики, М.: Наука, 1968.
16. Прием сигналов при наличии шума. Сб. статтей под ред. Л.С.Гуткина,
Москва, ИЛ, 1960.
17. Радиотехнические системы //Под ред. проф. Ю.М.Козакевича, М.:
Высшая школа, 1990, 496 с.
18. Ю.Г.Сосулин. Теоретические основы радиолокации и радионавигации.
Учебное пособие для вузов. М.: Радио и связь, 1978, 608 с.
19 Теоретические основы радиолокации. Учебное пособие для вузов. Под
ред. В.Е.Дулевича. 2-е издание, переработанное и дополненное. М.: Сов.
радио, 1978, 608 с.
20. В.И. Тихонов, Статистическая радиотехника, М.: Сов. Радио, 1976, 678 с.
21. Левин Б.Р., Шинаков Ю.С. Совместнооптимальные алгоритмы
обнаружения сигналов и оценивание их параметров // Радиотехника и
электроника, 1977, т.22, N11, с.2239-2256.
22. Варакин Л.Е. Обнаружение сложных сигналов и измерение их
параметров. Радиотехника и электроника, 1973, т.18, N8.
23. Ширман Я.Д., Манжос В.Н. Теория и техника обработки ра-
диолокационной информации на фоне помех. М.: Радио и связь, 1981,
416 с.
24. Сосулин Ю.Г. Теория обнаружения и оценивания стохастических
сигналов. М.: Сов. радио, 1978, 320 с.
25 Кунченко Ю.П., Мартыненко С.С. Обнаружение импульсного сигнала на
фоне негауссовых помех // Статистический синтез и анализ информа-
ционных систем: Сборник докладов 12 научного семинара. Москва-
Черкассы, 1992, с.167-169.
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
71
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата
26. Мартыненко С.С. Обнаружение импульсного сигнала на фоне
негауссовских помех //Радиотехника. Всеукр. межвед. науч.-техн. сб.
2000. Вып. 114. С.151-154.
27. Мартыненко С.С. Обнаружение импульсного радиосигнала на фоне
негауссовских помех при некогерентном приеме // Радиотехника.
Всеукр. межвед. науч.-техн. сб. 2001. Вып. 117. С.13-16.
28. Ю.П. Кунченко. Критерий минимума верхней границы среднего риска
для проверки статистических гипотез. // Тезисы доклада Всесоюзной
научно-технической конференции «Статистические методы в теории
передачи и преобразования информационных сигналов», 1988.
29. Кунченко Ю.П., Мельяновский П.А., Слюсаренко В.М. Применение
функциональных полиномов для обнаружения радиосигналов на фоне
негауссовских шумов. Харьков, 1988, 48 с, (Препринт N363, АН УССР,
Институт радиофизики и электроники).
30. Кунченко Ю.П. Моментные критерии качества принятия решений при
проверке простых статистических гипотез.// Тезисы докладов LI
научной сессии, посвященной Дню радио. - Москва, 1996, Ч. II.
31. Максимей И.В, Имитационное моделирование на ЭВМ. – М.: Радио и
связь, 1988, - 232с.
32. Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике. –
М.: Сов. радио, 1971. –296с.
33. Б.Уидроу, С.Стирнз. Адаптивная обработка сигналов. Перевод с англ.
Ю.К. Сальникова. –М: Радио и связь, 1989. -440с.
34. Адаптивные фильтры и их приложение в радиотехнике и связи/ В.
Джиган, Сборник статей «Современная электроника», №9, 2009
35. Городецкий А.Я. Информационные системы. Вероятностные модели и
статистические решения. Учеб.пособие. СПб: Изд-во СПбГПУ, 2003. 326 c.
36. Гуткин Л.С. Теория оптимальных методов радиоприема при
флуктуационных помехах. М.: Госэнергоиздат, 1961. – 485 с.
Арк.
РТ-015.022120.248 ПЗ
72
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата