Будь ласка, використовуйте цей ідентифікатор, щоб цитувати або посилатися на цей матеріал: https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/8073
Назва: Аналіз ефективності нелінійного виявлення сигналів при моментно-кумулянтному описі випадкових процесів
Автори: Палагін, Володимир Васильович
Мишко, Артур Володимирович
Ключові слова: виявлення сигналів;моментно-кумулянтний опис;моментний критерій якості;негаусові завади
Дата публікації: 2022
Короткий огляд (реферат): Робота присвячена синтезу та аналізу ефективності поліноміальних алгоритмів виявлення сигналів на фоні негаусових завад із використанням моментно-кумулянтного опису випадкових процесів. У роботі обґрунтовано та побудовано моментний критерій якості, що встановлює верхню границю ймовірностей помилок, на основі якого синтезовано нелінійні поліноміальні розв’язувальні правила (РП) зі степенем полінома S=1–3. Теоретичні дослідження та комп'ютерне моделювання в середовищі Simulink (MATLAB) підтвердили, що врахування моментів вищих порядків дозволяє знизити ймовірність помилкового виявлення та підвищити кількість добутої інформації про розрізнення гіпотех, особливо при низьких значеннях відношення сигнал/шум.
URI (Уніфікований ідентифікатор ресурсу): https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/8073
Розташовується у зібраннях:172 Електронні комунікації та радіотехніка (Радіотехніка та робототехнічні системи)

Файли цього матеріалу:
Файл Опис РозмірФормат 
М_172_Мишко_Палагін.pdf
  Restricted Access
1.34 MBAdobe PDFПереглянути/Відкрити    Запит копії


Усі матеріали в архіві електронних ресурсів захищено авторським правом, усі права збережено.

Extracted text
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ 
ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ 
ФАКУЛЬТЕТ ЕЛЕКТРОННИХ ТЕХНОЛОГІЙ, АВТОТРАНСПОРТУ ТА 
МАШИНОБУДУВАННЯ 
КАФЕДРА РОБОТОТЕХНІЧНИХ І ТЕЛЕКОМУНІКАЦІЙНИХ СИСТЕМ 
ТА КІБЕРБЕЗПЕКИ 
 
 
До захисту допущено  
завідувач кафедри РТСК 
д.т.н., професор  
_______________ В.В. Палагін  
"_____" _____________ 2022 р 
 
 
Пояснювальна записка 
до дипломного проекту (роботи) 
  магістра   
 
(освітньо-кваліфікаційний рівень) 
на тему Аналіз ефективності нелінійного виявлення  сигналів при 
моментно- кумулянтному описі випадкових процесів 
 
Виконав: студент  2  курсу, групи    РТ-015    
напряму підготовки (спеціальності)  
172 – «Телекомунікації та радіотехніка»,  
                       (шифр і назва напряму підготовки, спеціальності) 
освітня програма – «Радіотехніка та 
робототехнічні системи» 
 
  Мишко А.В.   
(прізвище та ініціали) 
Керівник  Палагін В.В.  
(прізвище та ініціали) 
Рецензент  Гальченко В.Я.  
(прізвище та ініціали) 
 
Черкаси – 2022  
Форма № Н-9.01 
Черкаський державний технологічний університет 
(назва вузу) 
Факультет електронних технологій і робототехніки 
Кафедра робототехнічних і телекомунікаційних систем та кібербезпеки 
Освітній ступінь магістр 
Напрям підготовки 
Спеціальність 172 – Телекомунікації та радіотехніка, освітня програма «Радіотехніка 
та робототехнічні системи» 
ЗАТВЕРДЖУЮ 
Завідувач кафедри РТСК     В.В.Палагін 
“_____” ___________________ 2022 року 
З  А  В  Д  А  Н  Н  Я 
НА ДИПЛОМНИЙ ПРОЕКТ (РОБОТУ) СТУДЕНТУ 
Мишко Артур Володимирович     
(прізвище, ім’я, по батькові) 
1. Тема проекту (роботи) Аналіз ефективності нелінійного виявлення сигналів
при моментно-кумулянтному описі випадкових процесів
Керівник проекту (роботи) Палагін Володимир Васильович, д.т.н., професор 
(прізвище, ім’я, по батькові, науковий ступінь, вчене звання) 
затверджені наказом вищого навчального закладу від 
2. Строк подання студентом проекту (роботи) “ 01 ” грудня 2022 року _________ 
3. Вихідні дані до роботи:  моментно-кумулнтний опис випадкових величин, вид 
досліджуваного сигналу – постійний; моментний критерій якості верхньогї границі 
ймовірностей помилок; показник ефективності – кількість добутої інформації про 
розрізнення гіпотез; асиметричні негаусові випадкові процеси; дослідження ефективності 
РП при степені полінома s=1-3.
4. Зміст розрахунково-пояснювальної записки (перелік питань, що їх належить 
розробити) Аналіз задач виявлення сигналів на фоні завад та методи їх реалізації; 
Побудова та обгрунтування моментного критерію  якості  верхньої  границі 
ймовірностей помилок; Синтез алгоритмів виявлення постійних сигналів на фоні 
негаусових завад за моментним критерієм якості; Моделювання процесів виявлення 
постійного сигналу на фоні негаусових завад.
5. Перелік графічного матеріалу (з точним зазначенням обов’язкових креслень, плакатів) 
Схема структурна реалізації виявляча сигналів, Графічне представлення результатів 
дослідження; Результати моделювання.
.
 
6. Консультанти з проекту (роботи) із зазначенням розділів проекту, що їх стосуються 
  Підпис, дата 
Розділ Прізвище, ініціали та посада  завдання         завдання 
консультанта видав прийняв 
    
    
 
7. Дата видачі завдання 01 вересня 2022 року 
 
 
КАЛЕНДАРНИЙ ПЛАН 
 
№ Назва етапів дипломного проекту  Термін  
з/п (роботи)  виконання етапів Примітка  
проекту (роботи) 
1. Аналіз технічних систем виявлення  
сигналів на фоні завад  21.09.22 – 15.10.22 
    
2. Синтез моментного критерію якості 
верхньої границі ймовірності помилок 16.10.22 – 20.10.22  
    
3. Моментно-кумулянтий опис випадкових 
процесів 21.10.22 – 01.11.22  
    
4. Синтез алгоритмів виявлення постійних 
сигналів на фоні негаусових завад за 02.11.22 – 15.11.22  
моментним критерієм якості 
    
5. Проведення дослідження та аналіз 
отриманих рішень 16.11.22– 25.11.22  
    
6. Оформлення пояснювальної записки 26.11.22 – 01.12.22  
    
7. Оформлення презентації 02.12.22 – 14.12.22  
 
 
Студент        Мишко А.В.  
 ( підпис ) (прізвище та ініціали) 
 
Керівник проекту (роботи)  Палагін В.В.  
 ( підпис ) (прізвище та ініціали) 
 
 
ЗМІСТ 
ВСТУП ................................................................................................................. 5 
РОЗДІЛ 1. АНАЛІЗ ЗАДАЧ ВИЯВЛЕННЯ СИГНАЛІВ НА ФОНІ ЗАВАД 
ТА МЕТОДИ ЇХ РЕАЛІЗАЦІЇ ........................................................................... 7 
1.1. Аналіз технічних систем виявлення сигналів на фоні завад .................. 7 
1.2. Моделі опису випадкових величин ......................................................... 12 
1.3. Методи статистичного виявлення ........................................................... 18 
1.4. Актуальність статистичного виявлення сигналів на фоні негаусових 
завад ............................................................................................................ 20 
1.5. Постановка задачі ..................................................................................... 21 
 
РОЗДІЛ 2. ПОБУДОВА ТА ОБГРУНТУВАННЯ МОМЕНТНОГО 
КРИТЕРІЮ  ЯКОСТІ  ВЕРХНЬОЇ  ГРАНИЦІ ЙМОВІРНОСТЕЙ 
ПОМИЛОК ........................................................................................................ 22 
2.1. Синтез моментного критерію якості верхньої границі ймовірності 
помилок ............................................................................................................ 22 
2.2. Поняття кількості добутої інформації з вибіркових значень .............. 25 
2.3. Висновки по розділу 2 ............................................................................. 26 
 
РОЗДІЛ 3. СИНТЕЗ АЛГОРИТМІВ ВИЯВЛЕННЯ ПОСТІЙНИХ 
СИГНАЛІВ НА ФОНІ НЕГАУСОВИХ ЗАВАД ЗА МОМЕНТНИМ 
КРИТЕРІЄМ ЯКОСТІ ....................................................................................... 27 
3.1. Моментно-кумулянтий опис випадкових процесів .............................. 27 
3.2. Синтез поліноміальних РП при  степені полінома S=1 на фоні 
негаусових асиметричних завад .................................................................... 30 
3.3. Синтез поліноміальних РП при  степені полінома S=2 на фоні 
негаусових асиметричних завад .................................................................... 32 
3.4. Синтез поліноміальних РП при  степені полінома S=3 на фоні 
негаусових асиметричних завад .................................................................... 34 
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 2 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
3.5. Аналіз поліноміальних РП на фоні негаусової асиметричної завади при 
різних степенях поліному ............................................................................... 38 
3.6. Синтез поліноміальних РП при  степені полінома S=1 на фоні 
негаусової асиметрично-ексцесної завади.................................................... 43 
3.7. Синтез поліноміальних РП при  степені полінома S=2 на фоні 
негаусової асиметрично-ексцесної завади.................................................... 44 
3.8. Синтез поліноміальних РП при  степені полінома S=3 на фоні 
негаусової асиметрично-ексцесної завади.................................................... 47 
3.9. Аналіз поліноміальних РП на фоні негаусової асиметрично-ексцесної 
завади при різних степенях поліному ........................................................... 51 
3.10. Висновки по розділу 3 ........................................................................... 57 
 
РОЗДІЛ 4. МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСІВ ВИЯВЛЕННЯ ПОСТІЙНОГО 
СИГНАЛУ НА ФОНІ НЕГАУСОВИХ ЗАВАД ............................................. 58 
4.1. Побудова схеми в середовищі Simulink ................................................. 58 
4.2. Отримані результати експерименту з виявлення сигналу при впливі 
негаусової асиметричної завади .................................................................... 61 
4.3. Висновки по розділу 4 ............................................................................. 62 
ВИСНОВКИ ....................................................................................................... 63 
ВИКОРИСТАНА ЛІТЕРАТУРА ..................................................................... 65 
 
  
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 3 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
ВСТУП 
 Сучасні технічні систем виявлення та розрізнення сигналів такі як 
діагностика, радіолокація, управління, характеризуються підвищеними 
вимогами до якості обробки інформації. Основною проблемою 
вдосконалення таких систем є недосконалі математичні моделі процесів, що 
приймаються.  
Класичні методи виявлення сигналів на яких базується більшість 
згаданих систем загалом не передбачають обмежень на використання виду 
щільності розподілу випадкових величин. Однак найбільш поширеним 
серед них є нормальний закон розподілу випадкових величин, що в багатьох 
випадках не відображає реальних процесів. На практиці на прийнятий 
сигнал випливають багато дестабілізуючих факторів такі як, проходження 
через неоднорідні середовища, багаторазове відбиття сигналу, 
неоднорідність параметрів в каналі зв’язку, що приводить до ситуації 
негаусових випадкових процесів. Таке представлення випадкових процесів 
ускладнює застосування класичних гаусових моделей при розробці 
алгоритмів для виявлення і обробки сигналів, та не забеспечує необхідну 
точність при заданих обмеженнях їх складності. 
Традиційних підхід до розробки систем виявлення та обробки 
сигналів, при впливі негаусових завад, характеризується труднощами при 
створенні якісних алгоритмічних та апаратних засобів, що приводить до 
зростання обчислювальних ресурсів. До того ж, випадкові процеси можуть 
носити корельований негаусовий характер. Такі особливості ускладнюють 
застосування традиційних алгоритмів, що використовують ймовірнісні 
критерію якості, в яких випадкові величини описують за допомогою 
щільності розподілу. 
Іншим перспективним підходом до задачі опису негаусових процесів 
є використання моментів та кумулянтів. Такий підхід дозволяє підвищити 
точність обробки негаусових сигналів в порівнянні з традиційним підходом, 
зменшити складність алгоритмів виявлення та розрізнення сигналів. 
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 4 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
Таким чином постає актуальна задача розробки методів та алгоритмів які б 
враховували особливості опису негаусових процесів, розробки моментних 
критеріїв якості та розв’язувальних правил на їх основі. Використання 
комп’ютерного моделювання для аналізу ефективності отриманих 
результатів.  
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 5 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
РОЗДІЛ 1. АНАЛІЗ ЗАДАЧ ВИЯВЛЕННЯ СИГНАЛІВ НА ФОНІ 
ЗАВАД ТА МЕТОДИ ЇХ РЕАЛІЗАЦІЇ 
  
1.1. Аналіз технічних систем виявлення сигналів на фоні завад 
Розглянемо деякі технічні рішення в яких присутнє виявлення сигналу 
на фоні завад. 
Радіолокаційні системи  
 Радіолокація – використовується для виявлення об’єктів та  
визначення їх просторових координат та параметрів руху за допомогою 
радіотехнічних засобів і методів. Пристрої, що використовують цей 
принцип називаються радіолокаційними станціями (РЛС). 
 Дуже часто РЛС працюють в умовах завадової обстановки, що 
заважає нормальному прийому та обробці сигналу. Це як правило активні 
завади, що генерують ворожі радіоелектронні системи в інтересах 
радіоелектронної боротьби.  
 Первинна обробка радіолокаційної інформації (РЛІ) полягає в 
виявленні цілей, визначенні їхніх характеристик та вимірюванні координат. 
Задачі: 
• виявлення на тлі перешкод і шумів сигналів, відбитих від об’єктів; 
• оцінка параметрів, виявлених сигналів. 
 На первинну обробку надходять радіолокаційні (РЛ) сигнали від РЛС. 
Показниками якості такої обробки є умовні імовірності правильного 
виявлення цілей і помилкової тривоги (помилкового виявлення) і 
середньоквадратичні помилки оцінок координат цілей. У ході первинної 
обробки РЛІ можуть також оцінюватися швидкість цілі, рівень і модуляція 
і інші параметри. Структурна схема блоку обробки радіолокаційної 
інформації представлена на рисунку 1.1. 
Сукупність оцінок параметрів цілі, представлена у вигляді набору 
чисел, складає радіолокаційну позначку. Позначки можуть бути дійсними, 
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 6 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
тобто отриманими від дійсних, реальних повітряних об'єктів, і 
помилковими, отриманими унаслідок впливу перешкод і шумів. 
 
Рисунок 1.1 − Структурна схема цифрової обробки РЛІ. 
 
 Процедури первинної й вторинної обробки полягають у прийнятті 
рішень типу «так − ні» про наявність цілі або траси при виявленні й 
визначення оцінок вимірюваних координат і параметрів трас виявлених 
об’єктів. 
 Рішення й оцінки є випадковими внаслідок впливу випадкових завад і 
випадкової модуляції радіолокаційних ехосигналів цілей. Відомі принципи, 
що випливають з теорії оптимізації процедур прийняття рішень і 
оцінювання, в основі яких лежить мінімізація середнього ризику втрат від 
прийняття хибних рішень і від наявності помилок вимірювань. 
 При виявленні ехосигналів на фоні стаціонарних, наприклад, 
теплових, гаусових шумів оптимальною є процедура погодженої фільтрації-
накопичення сигналів для кожного елемента розділення РЛС. 
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 7 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
 В даній схемі (рис. 1.1) фігурує виявляч некогерентних сигналів, який 
використовує класичні підходи до їх виявлення, для покращення його 
роботи при прийомі сигналу на фоні негаусових завад потрібно використати 
методи, в яких опис випадкових величин враховує негаусові складові 
прийнятого сигналу. 
Акустико-емісійна діагностика 
Метод акустичної емісії − це один з пасивних акустичних методів 
неруйнівного контролю, який заснований на вимірі і аналізі характеристик 
акустико-емісійних сигналів. Сигнали емісії являються електричними, що 
після отримання перетворення хвиль напружень, підсилюються, 
реєструються апаратурою та піддаються наступній обробці і інтерпретації. 
Діапазон частот випромінювання акустичної емісії коливається від 100кГц 
до 2.5МГц. 
За допомогою методу акустичної емісії можна виявляти дефекти, 
визначати їхні координати, вимірювати рівень напружень і деформацій 
матеріалу, оцінювати ступінь небезпеки під час оцінювання технічного 
стану конструкцій і споруд. 
Існує два основних фактори, що призводять до високої емісійності - 
це крихкість і гетерогенність матеріалу. В'язкі механізми руйнування, 
наприклад, злиття пор в м'яких сталях, навпаки, призводять до низької 
емісійності (за енергією і числом сигналів). 
Основні параметри сигналів акустичної емісії, що вимірюються 
наведено в таблиці 1.1. Ці параметри являються випадковими величинами 
та характеризуються своїми законами розподілу. 
Таблиця 1.1. Основні вимірювані параметри сигналу АЕ 
Назва Познач. Визначення 
параметра 
Кількість ����Σ Кількість зареєстрованих імпульсів дискретної 
імпульсів АЕ АЕ за інтервал часу спостереження 
Сумарний N Кількість зареєстрованих перевищень 
рахунок АЕ імпульсами акустичної емісії встановленого 
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 8 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
рівня дискримінації за інтервал часу 
спостереження 
Активність Σ Кількість зареєстрованих імпульсів АЕ за 
АЕ одиницю часу 
Швидкість Ṅ Відношення сумарного рахунку АЕ до 
рахунку АЕ інтервалу часу спостереження 
Енергія АЕ ���� Енергія, яку виділяє джерело АЕ і яка 
переноситься хвилями, виникаючими в 
матеріалі 
Параметр n Показник степені у виразі, який описує 
класифікації залежність сумарного рахунку АЕ ���� від 
коефіцієнта інтенсивності напруг K , ���� = ������������ , 
де a – константа, яка відображає умови 
випробування 
 
Принцип дії реєстрації сигналів акустико-емісійної діагностики 
проілюстровано на рисунку 1.2. 
 
Рисунок 1.2 − Принцип реєстрації сигналів акустичної емісії. 
 
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 9 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
Принцип дії систем акустико-емісійної діагностики будується на 
порівнянні прийнятого сигналу з певним порогом, після чого він 
підсилюється та фільтрується. Наступним етапом відбувається виділення 
сигналу. По закінченню цих етапів, якщо сигнал перевищив встановлений 
поріг у компараторному ланцюзі, тоді формується вихідний імпульс. 
Розглянемо блок схему розпізнавання корисного сигналу акустико 
емісійної діагностики на фоні перешкод та шумів (рис.1.3). 
 
Рисунок 1.3 − Блок-схема виділення корисного сигналу на фоні завад. 
 
Де: 
1) приймач акустико-емсійних (АЕ) сигналів; 
2) пристрій перетворення АЕ-сигналу на електричні імпульси; 
3) пристрій порівняння; 
4) реєструвальний пристрій; 
5) блок збереження інформації  еталонних кривих; 
6) блок масштабу й амплітудної дискримінації; 
7) блок статистичної обробки інформації. 
Основними проблемами є те, що сигнал акустичної емісії носить 
нестаціонарний стохастичний характер, тому такі параметри як сумарна 
кількість імпульсів і активність акустичної емісії є випадковими 
величинами. Також і відсутня єдина математична модель сигналів 
акустичної емісії і недостатньо досліджені їх статистичні характеристики. 
Блок 7 на рисунку 1.3 відповідає за виявлення сигналу, щоб зменшити 
кількість помилок при прийомі негаусового сигналу потрібно використати 
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 10 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
такі, методи та алгоритми, які б враховували негаусову складову 
прийнятного сигналу. 
 
1.2. Моделі опису випадкових величин 
Випадкова величина – це величина значеннями якої є результати 
отримані в наслідок спостереження явищ чи процесів, які носять 
випадковий характер.  
Випадкові величини поділяються на дискретні та неперервні. 
Дискретною випадковою величиною – називається величина в якої множина 
значень скінчена або зліченна.  
Неперервною називають випадкову величину, яка приймає всі 
значення з скінченого або нескінченного проміжку.  
Перелік всіх можливих значень дискретної випадкової величини 
���� ����1, ����2, … , �������� і їх ймовірностей ����1 = ����(���� = ����1),����2 = ����(���� = ����2), … , �������� =
����(���� = ��������), тобто ймовірностей подій {���� = ��������}, ���� = 1���,������, називають законом 
розподілу випадкової величини. 
Описати випадкову величину можна за допомогою щільності 
ймовірності (щільності розподілу). Функція яка позначається ����(����) і 
визначається рівністю ����(����) = ����`(����). 
 Ймовірність того, що неперервна випадкова величина ���� функції ����(����) 
прийме будь-яке значення з інтервалу (a,b), обчислюється за формулою: 
����
����(���� < ���� < ����) = � ����(����) dx. 
����
Якщо щільність розподілу ����(����) відома, то функцію розподілу ����(����)  
можна знайти за такою формулою: 
����
 ����(����) = � ����(����)��������. 
−∞
Розглянемо деякі із законів розподілу випадкових величин, які часто 
зустрічаються в реальних задачах. 
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 11 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
Рівномірним законом розподілу випадкової величини називається 
розподіл в якого щільність ��������(����) має вигляд: 
1
��������(����) = � , ���� ∈ [����, ����]
���� − ���� . 
0, ���� ∉ [����, ����]
Інтегральна функція розподілу  ����(����) для рівномірного закону на 
проміжку 
����
1 ���� − ����
����(����) = � �������� = . 
���� − ���� ���� − ����
����
Графік цієї функції зображено на рисунку 1.4. 
 
Рисунок 1.4 − Рівномірний розподіл випадкової величини. 
 
Експоненційний закон розподілу 
Випадкова величина X, що набуває невід’ємних значень, має 
експоненційних характер розподілу випадкової величини з параметром λ, і 
її щільність розподілу має вигляд: 
( ) 0, ���� < 0,
���� ���� = ���������−��������, ���� ≥ 0. 
Експоненційний закон має перевагу над іншими так, як має лише один 
параметр λ, а в практичних задачах часто закон розподілу невідомий. А 
знайти лише один параметр набагато простіше. 
 Графік розподілу експоненційного закону продемонстровано на 
рисунку 1.5. 
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 12 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
 
Рисунок 1.5 − Експоненційний закон розподілу. 
 
 Нормальний закон розподілу 
Якщо випадкова неперервна величина X розподілена нормально, то її 
щільність розподілу матиме вид: 
1 −(����−����)2
����(����) = ���� 2����2 . 
����√2����
для будь-якого ���� ∈ (−∞,∞) і довільних  чисел ���� і ���� > 0. 
 Графік функції ����(����) називається кривою Гауса(рис.1.6). Ця крива 
симетрична відносно прямої ���� = ���� і має одну точку максимуму при ���� = ����. 
 
Рисунок 1.6 − Нормальний закон розподілу(крива Гауса). 
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 13 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
 Описати випадкову величину можна також і за допомогою 
характеристичної функції. 
Характеристичною функцією випадкової величини ξ називається 
функція виду 
����(����) = �������������������� , ���� ∈ ����. 
 Якщо випадкова величина неперервна та має щільність розподілу 
����(����), тоді 
∞
����(����) = � ���������������� ����(����)��������. 
−∞
 У загальному випадку функція має вигляд: 
∞
����(����) = � ���������������� ��������(����). 
−∞
Для нормального закону характеристична функція буде мати вигляд: 
∞ ∞
1 ����2
����(����) = � exp(������������) ����(����)�������� = � ������������ ������������� − ���������. 
√2���� 2
−∞ −∞
Для рівномірного розподілу характеристична функція матиме вигляд: 
���������������� − ����−������������ sin��������
����(����) = = . 
2������������ ��������
Для опису негаусових випадкових величин застосовують моментно-
кумулянтний опис. 
Розглянемо  детальніше основні положення такого підходу до опису. 
Нехай протягом деякого періоду спостерігається негаусова завада ξ , з 
якої отримано вибірку ���� , яка  записується так: 
?⃗?�� = {����1, ����2, … ��������}. 
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 14 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
Послідовність початкових моментів ����(����)����, які використовуються для 
моментно-кумулянтного опису, отримуються як матиматичне сподівання з 
вибіркових значень ��������  
���� ����
���� = ��������������. 
Для початкових моментів буде справедливою наступна рівність 
∞
����
����(����) = 1 + � ���� (��������)���� . 
����!
����=1
Тобто, визначеним та повним описом випадкової величини буде 
нескінченна послідовність моментів. Також на ряду з моментами для опису 
випадкових величин використовують і кумулянти �������� порядку ���� , які являють 
собою коефіцієнти розкладу логарифма характеристичної функції в 
степеневий ряд. Для них справедливим співвідношенням буде  
∞
����
ln ����(����) = � ���� (��������)���� . 
����!
����=1
Між кумулянтами та моментами існує взаємно однозначна 
відповідність. 
Кумулянту першого порядку ����1 відповідає математичне сподівання 
випадкової величини, а кумулянт другого порядку ����2 це її дисперсія. 
Кумулянтом третього порядку ����3 називається асиметрія розподілу, а 
кумулянт четвертого порядку ����4 – єксцесом розподілу. 
Для зручності частіше замість кумулянтів використовують 
кумулянтні коефіцієнти ��������, які визначаються залежністю  
����
�������� = �������� ∙ ����
−
2 2. 
В цьому випадку ����3 та ����4 будемо називати коефіцієнтом асиметрії та 
відповідно коефіцієнтом ексцесу. 
Однією з особливостей опису випадкових величин є те, що при 
використанні моментів та кумулянтів з кінцевою послідовністю опис 
випадкової величини буде частковим, тобто описується не одна випадкова 
величина, а їх множина. Для гаусової випадкової величини опис буде лише 
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 15 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
за допомогою двох перших моментів це математичне сподівання та 
дисперсія. Точніше описати негаусову модель завади можна збільшуючи 
порядок моментів та кумулянтів, що використовуються для опису. В 
загальному виді структура опису негаусової завади записується так 
������������ = {������1�,�����2�,�����3�, …�� �����∞�}. 
∞
Однак для зручності класифікації представлення негаусових завад, 
професором Кунченко Ю. П. було введено таке поняття як перфоровані 
випадкові величини і виділено три класи випадкових величин, які за своїми 
властивостями є близькими до гаусових, а саме асиметричні, ексцесні та 
асиметрично-ексцесні. Вони є більш простішими в математичних 
обчисленнях та більш точніше описують реальні завади. 
Загальний запис кумулянтного опису близьких до гаусових величин, 
буде такий 
������������ = �{�����1�,������2,  �����3�, …� �����������0,�0�, …��0, ����������+������+�1,�…������∞� } . 
���� �������� ���� кумул вищих порядків
Структура асиметричних, ексцесних та асиметрично-ексцесних завад 
записується так 
������������ = �����1,����2,�����3�,�0�,�����5�,�0, 0�,�…�0, ����11,����12, …����∞�. 
4
4
������������ = �����1,����2, 0�,�����4�, 0������6,  0�,�…�0, ����11,����12, …����∞�. 
4
4
������������ = �����1,����2,�����3�,������4,�0�,�0, 0�,�…�0, ����11,����12, …����∞�. 
4
4
Після наведення моделей опису випадкових величин перейдемо до 
розгляду алгоритмів, які використовуються для статистичного виявлення. 
 
 
 
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 16 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
1.3. Методи статистичного виявлення 
В залежності від апріорних даних, які відомі, використовують ті чи 
інші оптимальні методи виявлення. Розглянемо деякі з них. 
Баєсівський алгоритм. 
Оптимальний алгоритм прийняття рішення ����0 називається 
баєсівським, якщо при його використанні досягається мінімальне значення 
середнього ризику. 
������������ = min���� , 
����є���� ����
або 
�������� = ������������min�������� . 
����є����
Тому баєсівський алгоритм називають оптимальним за критерієм 
мінімуму середнього ризику. 
Завдання статистичного синтезу баєсівського алгоритму перевірки 
гіпотез полягає у визначенні такого поділу вибіркового простору Х���� на 
непересічній області Х���� , ���� = �0�,��������,  яке задовольняє умові. 
Мінімаксні алгоритми 
Припустимо, що в завданні перевірки гіпотез апріорний розподіл 
����0,����1, …  �������� невідомий. У цьому випадку визначають ���� + 1 умовних 
ризиків. 
����
�������� = ��������� � ����(�������������)��������,   ���� = �0��,�������. 
����=0 ��������
У цих умовах апріорної невизначеності можна використовувати 
критерій мінімакса, згідно з яким алгоритм прийняття рішення є 
оптимальним, якщо при його використанні мінімізується максимальний з 
умовних ризиків. 
Мінімаксний алгоритм може збігатись з баєсівським, якщо апріорний 
розподіл гіпотез найменш сприятливий. 
min max �������� = max min����. 
���� є ���� 0≤����≤���� 0≤����≤���� ���� є ����
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 17 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
 Алгоритм максимальної правдоподібності 
 Якщо в задачі перевірки гіпотез невідомі апріорний розподіл гіпотез 
та матриця втрат, тоді синтез оптимального алгоритму ґрунтується лише на 
функції правдоподібності. Такий алгоритм перевірки гіпотез називають 
алгоритмом максимальної правдоподібності,  якщо при його використанні 
����(����|��������) = max ����(���������
0≤����≤���� ����) , ���� є �������� . 
 
Алгоритм оптимальний за критерієм Неймана-Пірсона 
 В цьому випадку розглядають задачу перевірки гіпотези ����0 проти 
альтернативи ����1, в ситуації апріорної невизначеності, коли апріорні 
ймовірності гіпотез, а також матриця втрат невідомі. Для зазначеної 
одноальтернативної задачі перевірки гіпотез при використані будь-якого  
правила вибору рішення можливі два помилкових рішення ����1|����0, ����0|����1 і 
два правильні ����1|����1, ����0|����0. 
 Умовні ймовірності 
���� = ����{����1|����0} = � ����(����|����0)��������, 
����1
���� = ����{����0|����1} = � ����(����|����1)��������. 
����0
Називають імовірностями помилок першого і другого роду відповідно, які 
представлено на рисунку 1.7.  
Ймовірність похибки першого роду при перевірці статистичних 
гіпотез називають рівнем значущості і зазвичай позначають грецькою 
буквою α.  
Ймовірність похибки другого роду не має якоїсь особливої 
загальноприйнятої назви, на папері позначається грецькою буквою β. Проте 
з цією величиною тісно зв'язана інша, що має велике статистичне значення 
це потужність критерію. Вона обчислюється за формулою (1 − ����). Таким 
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 18 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
чином, чим вище потужність, тим менше вірогідність зробити похибку 
другого роду. 
– помилкою першого роду є відхилення істинної гіпотези; 
– помилкою другого роду є прийняття хибної гіпотези. 
 
Рисунок 1.7 − Представлення помилок першого і другого роду. 
 
 Алгоритм буде оптимальним за критерієм Неймана-Пірсона, якщо 
при його використання досягається мінімальне значення помилки другого 
роду 
����н−���� = min���� , 
���� є ���� ����
 при фіксованому обмеженні ймовірності помилки першого роду ���� ≤
����0. 
 
1.4. Актуальність статистичного виявлення сигналів на фоні 
негаусових завад 
Проаналізувавши попередні пункти можна прийти до висновку, що в 
більшості задачах по виявленню сигналів керуються класичними методами 
виявлення сигналів, які базуються на ймовірнісних критеріях перевірки 
статистичних гіпотез. Ці методи не накладають обмеження на використання 
функції, що описує тип розподілу випадкових процесів, але найбільш 
розповсюджений розподіл, що застосовують для рішення задач по 
виявленню є гаусівський розподіл випадкових величин. Однак такий підхід 
не відображає реальних фізичних явищ та не дає змогу побудувати адекватні 
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 19 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
математичні моделі процесів. Наприклад, “тепловий” шум, який 
обумовлений рухом носіїв заряду, що викликає флуктуації в каналі зв’язку, 
повністю усунути які можна лише при абсолютному нулі, проходження 
сигналу через неоднорідні середовища, багатопроменеве розповсюдження 
сигналів, індустріальні завади, що виникають в наслідок роботи потужних 
електроустановок, космічні явища породжені процесами, що відбуваються 
на Сонці та інших космічних об’єктах, та багато інших факторів. 
Асиметрично-ексцесні завади виникають в тропосферних лініях, що 
характеризуються флуктуацією амплітуди сигналу, яка викликана 
проходженням через неоднорідні середовища та багатопроменевістю, яка 
спотворює форму сигналу. Такі завади описуються законом розподілу 
Релея-Райса, або в деяких випадках гама-розподілом. 
Суто ексцесні завади описуються закон розподілу Лапласа , який ще 
називають подвійний експоненційний закон розподілу.  
Тому, для виявлення сигналів на фоні негаусових завад 
використовують інший перспективний підхід, який пропонує застосування 
моментів і кумулянтів, як статистичних характеристик випадкових величин. 
При такому описі випадкових процесів досягається необхідне наближення 
до характеристики негаусових випадкових процесів. Критерії перевірки 
статистичних гіпотез, що базуються на такому підході називають 
моментними критеріями якості. 
 
1.5. Постановка задачі 
При підведенні підсумків першого розділу можна прийти до висновку, 
що для реалізації задачі по виявленню сигналу на фоні негаусових завад 
потрібно, з урахуванням моментно-кумулянтного опису випадкових 
величин сформулювати моментний критерій якості, обрати алгоритм 
оптимальний за сформованим критерієм та на його основі синтезувати 
розв’язувальне правило.  
 Перейдемо до побудови і обґрунтування критерію якості.  
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 20 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
РОЗДІЛ 2. ПОБУДОВА ТА ОБГРУНТУВАННЯ МОМЕНТНОГО 
КРИТЕРІЮ ЯКОСТІ ВЕРХНЬОЇ ГРАНИЦІ ЙМОВІРНОСТЕЙ 
ПОМИЛОК 
 
2.1. Синтез моментного критерію якості верхньої границі 
ймовірності помилок 
Нехай на вході системи спостерігається випадковий сигнал у вигляді 
адитивної суміші корисного постійного сигналу ���� і завадиn ���� з нульовим 
математичним сподіванням, що розподілена по негаусовому закону:���� = ���� +
����. 
Припустимо, що з випадкового сигналу ���� зроблена вибірка ?⃗?�� =
{����1, ����2 … ��������} об'ємом n. За результатами обробки необхідно винести 
рішення про прийняття гіпотези ����1, коли спостерігається корисний сигнал 
виду ���� = ���� + ����, або гіпотези ����0, коли приймається тільки завада ���� = ���� .  
Для побудови розв’язувального правила (РП) скористаємося 
моментним критерієм верхньої границі ймовірностей помилок. Приведемо 
коротке його обґрунтування.  
Нехай РП про відмінність гіпотези ����1 і альтернативи ����0 має вигляд 
����1
����(?⃗?��) = ����(?⃗?��) − ���� >
0 < 0,                                            (2.1) 
����0
де ����(?⃗?��)- функція від вибіркових значень  ?⃗?��, ����0 - константа, обрана з 
умови  
∞
����0 = ����[����(?⃗?��)/����0] = � ����(?⃗?��)����(?⃗?��/����0)�������� < 0, 
−∞
∞
����1 = ����[����(?⃗?��)/����1] = � ����(?⃗?��)����(?⃗?��/����1)�������� ≥ 0,                    (2.2) 
−∞
 
де  ����0 й ����1 - математичне сподівання розв’язувальної функції при 
гіпотезах ����0 і ����1 відповідно.  
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 21 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
Верхні границі ймовірностей помилок першого роду α (фіктивна 
тривога) РП (2.1), відповідно до нерівності Чебишева, мають вигляд  
����
���� = ����[����(?⃗?��) ≥ 0/����0] = ����[����(?⃗?��) −/����0|≥ −����0/���� 0
0] ≤ = ���� ,      (2.3) 
����2 0
0
2
де �������� = ∫∞−∞[����(?⃗?��) −��������] ����(?⃗?��/��������)��������,  i=0.1 - дисперсія розв’язувальної 
функції при гіпотезі �������� , ���� = 1,0.  
Аналогічно, верхні границі ймовірностей помилок другого роду β РП 
мають вигляд  
����
β = ����[����(?⃗?��) < 0/����1] = ����[����(?⃗?��) −/����1|> ����1/���� 1
1] ≤ 2 = β0.      (2.4) 
����1
У свою чергу математичне сподівання РП при гіпотезі ����0  й ����1 мають 
вигляд відповідно 
����0 = ����0 − ����0,  ����1 = ����1 − ����0, 
де ����0 ,����1 - математичне сподівання функції ����(?⃗?��) РП при гіпотезі й 
альтернативі.  
Таким чином, за допомогою нерівностей встановлюється верхня 
границя помилок першого й другого роду. Тоді моментний критерій верхніх 
границь ймовірностей помилок має вигляд  
���� ����
Φ = 0 + 1 .                                 (2.5) 
(����0 − ���� )20 (����1 − ���� )20
Якщо припустити, що константа ����0 , що відіграє роль порога, 
вибирається як середнє значення між математичними сподіванням 
розв’язувальної функції, а саме 
1
����0 =  − (����1 + ����
2 0), 
то вираз(2.5) прийме остаточний вид  
����
Φ = 1 + ����0 . 
(����1 − ����0)2
Оскільки РП представлено у вигляді функції,  то таку функцію також 
можна представити у вигляді стохастичного ряду, а при обмеженій кількості 
членів у вигляді стохастичного полінома кінцевого степені s.  
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 22 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
Тоді РП для незалежних й однаково розподілених вибіркових значень 
матиме вигляд   
���� ���� ����1
⋀��������(?⃗?��) = ���������������������� + ���� >
0 < 0,                                   (2.6) 
����=0 ����=1 ����0
де невідомі коефіцієнти ����0 задаються у вигляді  
1
����0 = − �����1(��������) + ����0(��������)�,                                     (2.7) 
2
а коефіцієнти �������� знаходяться з умови мінімуму обраного критерію якості, а 
саме критерію верхньої границі ймовірностей помилок, що залежить від 
кількості вибіркових значень і степенів полінома РП.  
Тоді критерій верхніх границь ймовірностей помилок, або коротко 
критерій ���������������� , має вигляд  
���� + ����
����������������[����,����] = 1(��������) 0(��������) ,                             (2.8) 
����� 2
1(��������) − ����0(��������)�
де  ��������(��������) ��������(��������) - математичне сподівання і дисперсія РП, i=0.1 , які залежать 
від кількості вибіркових значень n, степені полінома s і для РП виду (2.6) 
мають вигляд  
����
����0(��������) = ���������������������  ,                                             (2.9) 
����=1
����
����1(��������) = ���������������������  ,                                         (2.10) 
����=1
���� ����
����0(��������) = ������������������������������,����(����0),                               (2.11) 
����=1 ����=1
���� ����
����1(��������) = ������������������������������,����(����1),                                (2.12) 
����=1 ����=1
де ��������,����(����0), ��������,����(����1) – корелянти розмірністю (����, ����) при гіпотезі ����0 й ����1 
відповідно, �������� ,��������, – початкові моменти при гіпотезі ����0 й ����1 відповідно.  
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 23 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
Система рівнянь для визначення невідомих коефіцієнтів �������� РП (2.6) 
знаходиться з мінімуму функціонала (2.8), що відповідає мінімуму верхніх 
границь ймовірностей помилок РП і має вигляд  
����
��������� ���������,����(����0) + ��������,����(����1)� = �������� − �������� , ���� = 1, ����.            (2.13) 
����=1
Можна показати, що для коефіцієнтів, знайдених з наведеної системи 
алгебраїчних рівнянь має місце наступна рівність  
������������ = ����1(��������) + ����0(��������) = ����1(��������) − ����0(��������), 
де ������������ - кількість видобутої інформації про розрізнення гіпотез. 
Показано, що величина, зворотна критерію, є величиною ������������  , яку 
також можна записати у вигляді 
����
1
������������ = = �������������(�������� − ��������).                                    (2.14) 
���������������� ����=1
  
Приймемо функціонал ����������������[����,����] за критерій якості вибору РП і 
будемо вважати найкращим те правило, яке при , рівному, мінімізує по всім 
можливим ����(?⃗?��) функціонала ����������������[����,����]. Цей критерій будемо називати 
критерієм якості верхньої границі суми ймовірностей помилок першого та 
другого роду.  
 
2.2. Поняття кількості добутої інформації з вибіркових значень 
Кількість добутої інформації або інформація за Фішером називається 
міра кількості інформації, що спостережувана випадкова змінна X несе про 
невідомий параметр θ, від якого залежить ймовірність X. Формально це 
дисперсія функції внеску вибірки.  
Очевидно, що мінімуму помилок РП відповідає мінімум критерію або 
максимум кількості видобутої інформації про розрізнення гіпотез ������������. Для 
оцінки ефективності синтезованих РП можна використати цю величину. 
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 24 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
Чим більше її значення, тим менші ймовірності верхніх границь помилок 
першого й другого роду РП і відповідно, краще алгоритм обробки 
вибіркових значень 
Показано, що величина, зворотна критерію, є величиною ������������  , яку 
також можна записати у вигляді 
����
1
������������ = = ��������� (���� − ���� ). 
�������� ���� ���� ����
�������� ����=1
 
2.3. Висновки по розділу 
Використовуючи даний підхід, проведемо побудову нелінійних 
алгоритмів виявлення сигналів на фоні завад і аналіз їх ефективності в 
припущенні, що прийнята завада має негаусовий закон розподілу.  
Для цього потрібно визначити початкові моменти при гіпотезі ����0 та 
альтернативі ����1, при впливі негаусових завад, а саме асиметричної та 
асиметрично-ексцесної. Далі з їх допомогою, знайти значення корелянтів 
розмірністю (3,3), які знадобляться для синтезу розрахункового правила.  
Результати отримані за допомогою розрахункового правила з 
застосуванням даного критерію якості, можна порівняти графічним 
представленням відношенням кількості добутої при різних степенях 
поліному. 
  
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 25 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
РОЗДІЛ 3. СИНТЕЗ АЛГОРИТМІВ ВИЯВЛЕННЯ ПОСТІЙНИХ 
СИГНАЛІВ НА ФОНІ НЕГАУСОВИХ ЗАВАД ЗА МОМЕНТНИМ 
КРИТЕРІЄМ ЯКОСТІ 
 
3.1. Моментно-кумулянтий опис випадкових процесів 
Розглянемо дві задачі по виявленню сигналу на фоні негаусових завад, 
одною з яких буде асиметрична завада I-го типу I-го виду, а інша 
асиметрично-ексцесна I-го типу I-го виду. 
Нехай на вході системи спостерігається випадковий сигнал ����(����). 
Обробці підлягає вибірка ?⃗?�� = {����1, ����2 … ��������} об’єму n із послідовності 
незалежних і однаково розподілених випадкових величин, по результатам 
якої необхідно зробити рішення про виконання однієї з двох гіпотез:  
����1 − прийнято сигнал:      ����(����) = ���� + ����,  
����0 − прийнято заваду:               ����(����) = ����, 
де a – корисний постійний сигнал, адитивно зв’язаний з негаусовою 
асиметричною  I-го типу I-го виду завадою ���� , що характеризується 
дисперсією ����2, коефіцієнтом асиметрії  ����3 та має нульове математичне 
сподівання. 
Зауважимо, що постійний сигнал являється детермінованим, а також 
апріорно відомий моментно-кумулянтний опис асиметричної I-го типу I-го 
виду завади η . 
Початкові моменти до 6-го порядку асиметричної І-го типу І-го виду 
негаусових випадкових величин ξ при гіпотезі ����0 мають вид: 
����1 = 0,  
����2 = ����2, 
3
 ���� �2
3 = ����3����2 , 
  ����4 = 3����22 , 
5
 ����5 = 10���� ���� �2
3 2 , 
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 26 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
 ����6 = (15 + 10����2 3
3 )����2 , 
а при гіпотезі ����1: 
����1 = ����, 
���� = ����22 + ����2, 
3
����3 = ����3 + 3��������2 + ���� ���� �2
3 2 , 
3
���� = ����44 + 6����2����2 + 4�������� ���� �2
3 2 + 3����22 , 
3 5
���� = ����55 + 10����3����2 + 10����2���� ���� �2
3 2 + 15��������22 + (10����3 + ���� )���� �2
5 2 , 
3 5
����6 = ����6 + 15����4����2 + 20����3���� ���� �2
3 2 + 45����2����22 + 6����(10����3 + ���� )���� �2
5 2
+ 5(3 + 2����23 )����32 . 
 
Для синтезу РП нам знадобляться значення корелянтів розмірністю 
(3,3) при гіпотезі ����0 визначаються з виразу ��������,����(����0) = ��������+���� − ���������������� і мають 
вид:  
����(1,1)(����0) = ����2, 
3
����(1,2) = ����(2,1)(����0) = ����3����
�2
2 , 
����(1,3)(����0) = ���� 2
(3,1)(����0) = 3����2 , 
���� (���� ) = 2����2(2,2) 0 2 , 
5
����(2,3)(����0) = ����(3,2)(����0) = 9���� ���� �2
3 2 , 
����(3,3)(���� ) = 15���� 3 + 9���� 2 3
0 2 3 ����2 . 
Значення корелянтів розмірністю (3,3) при гіпотезі ����1 визначаються з 
виразу ��������,����(����1) = ��������+���� − ���������������� і мають вид:  
����(1,1)(����1) = ����2, 
3
���� �2
(1,2)(����1) = ����(2,1)(����1) = 2��������2 + ����3����2 , 
3
����(1,3)(����1) = ���� 2 �2 2
(3,1)(����1) = 3���� ����2 + 3��������3����2 + 3����2 , 
3
���� 2 �2 2
(2,2)(����1) = 4���� ����2 + 4��������3����2 + 2����2 , 
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 27 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
3� 5
���� 3 2 2 2 �2
(2,3)(����1) = ����(3,2)(����1) = 6���� ����2 + 9���� ����3����2 + 12��������2 + 9����3����2 , 
3� 5
����(3,3)(����1) = 9����4����2 + 18����3����3���� 2 2 2 �2 3
2 + 36���� ����2 + 54��������3����2 + 15����2
+ 9���� 2
3 ����32 . 
Початкові моменти до 6-го порядку асиметрично-ексцесної 1-го типу 
1-го виду негаусових випадкових величин ξ при гіпотезі ����0 мають вид: 
����1 = 0,  
����2 = ����2, 
3
����3 = ����3����
�2
2 , 
 ����4 = (3 + ����4)����22 , 
 ����5 = 10���� ����5/2
3 2 , 
 ���� 2 3
6 = 5(3 + 2����3 + 3����4)����2 , 
а при гіпотезі ����1: 
����1 = ����, 
����2 = ����2 + ����2, 
3
���� = ����3 + 3�������� + ���� ���� �2
3 2 3 2 , 
3
���� = ����44 + 6����2����2 + 4�������� ���� �2
3 2 + (3 + ����4)����22 , 
���� 5
5 = ���� + 10����3���� 2 3⁄2 2 2 5⁄2
2 + 10���� ����3����2 + 15��������2 + 5��������4����2 + 10����3����2 , 
���� = ����6 + 15����4���� + 20����3���� ����3⁄2 + 45����26 2 3 2 ����22 + 15����2���� 2
4����2 + 60��������3����
5⁄2
2
+ 15����32 + 10����23����32 + 15���� ����34 2 . 
Для синтезу РП нам знадобляться значення корелянтів розмірністю 
(3,3) при гіпотезі ����0 визначаються з виразу ��������,����(����0) = ��������+���� − ���������������� і мають 
вид:  
����(1,1)(����0) = ����2, 
3
����(1,2)(����0) = ����(2,1)(����0) = ����3����
�2
2 , 
����(1,3)(����0) = ����(3,1)(����0) = 3����2 + ���� ����22 4 2 , 
����(2,2)(����0) = 2����22 + ����4����22 , 
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 28 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
����(2,3)(����0) = ���� 5⁄2
(3,2)(����0) = 9����3����2 , 
���� 3 2 3 3
(3,3)(����0) = 15����2 + 9����3����2 + 15����4����2 . 
Значення корелянтів розмірністю (3,3) при гіпотезі ����1 визначаються з 
виразу ��������,����(����1) = ��������+���� − ���������������� і мають вид:  
����(1,1)(����1) = ����2, 
3
���� �2
(1,2)(����1) = ����(2,1)(����1) = 2��������2 + ����3����2 , 
���� 2 3⁄2 2 2
(1,3)(����1) = ����(3,1)(����1) = 3���� ����2 + 3��������3����2 + 3����2 + ����4����2 , 
����(2,2)(����1) = 2����2�2����2 + 2��������3�����2 + ����2�, 
����(2,3)(����1) = ����(3,2)(����1) = 6����3����2 + 9����2���� ����3⁄2 + 12��������2 + 5�������� ����2 + 9���� ����5⁄23 2 2 4 2 3 2 , 
���� (���� ) = 9����4���� 3 3⁄2
(3,3) 1 2 + 18���� ����3����2 + 36����2����22 + 15����2���� ����24 2 + 54�������� ����5⁄23 2
+ 15����32 + 9����23����32 + 15����4����32 . 
 
3.2. Синтез поліноміальних РП при  степені полінома S=1, на фоні 
негаусових асиметричних завад  
Для початку синтезуємо розв’язувальні функції при степені s=1. В 
цьому випадку коефіцієнт ����1 визначаються з (2.13), що має вид 
����1�����(1,1)(����1) + ����(1,1)(����0)� = ����1 − ����1, 
і має значення 
���� �����
����1 = = , 
2����2 2√����2
 де ���� це відношення сигнал/шум, та знаходиться за такою формулою: 
����2
���� = . 
����2
Математичне сподівання розв’язувального правила (3.1)  при гіпотезі 
����0, 
����0(��������) = �������������������� = 0. 
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 29 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
 Математичне сподівання при гіпотезі розв’язувального правила (3.1)  
����1, 
����
����1(��������) = �������������������� = . 
2
 Коефіцієнт ����0 
1 �������� ����
����0 = − ����� 1
2 1(��������) + ����0(��������)� = . 
2
 
 Тоді РП (2.6) при степені s=1 матиме наступний вигляд 
���� ����1
1 ���������
⋀ 2 >
1����(?⃗?��) = ��������� − < 0,                                  (3.1) 
���� 2
����=1 ����0
або 
���� ����1
1 ����
⋀1����(?⃗?��) = ��������� −
>
< 0. 
���� 2
����=1 ����0
 
 Дисперсія розв’язувального правила (3.1) при гіпотезі ����0, 
���� ����
����0(��������) = ���������� ���� 2
���� ������������,����(����0) = ���� ∙ ����1 ∙ ����11(����0) = ��������21����2. 
����=1 ����=1
 Дисперсія розв’язувального правила (3.1) при гіпотезі ����1, 
���� ����
����1(��������) = ������������������������������,����(����1) = ���� ∙ ����2 2
1 ∙ ����11(����1) = ��������1����2. 
����=1 ����=1
 
 Тоді критерій ��������1���� буде дорівнювати 
����1(��������) + ���� 2���� 2
��������1����[����,����] = 0(��������) = 2 = . 
(����1(��������) − ���� )2 ��������20(��������) ��������
 Кількість добутої інформації, яка зворотна критерію дорівнює 
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 30 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
����
1 ��������
����1���� = �������������(�������� − ��������) = . 
��������1���� 2
����=1
Це лінійне правило в якому не враховується складова ����3, воно 
повністю відповідає класичному випадку, коли розглядається адитивна 
модель сигналу з гаусовою завадою. Тому, для врахування складової ����3 
потрібно збільшувати степінь полінома. 
3.3. Синтез поліноміальних РП при  степені полінома S=2, на фоні 
негаусових асиметричних завад  
 Збільшимо степінь поліному. При степені стохастичного поліному 
���� = 2 отримаємо РП виявлення, яке в загальному випадку має вид: 
���� ���� ����1
⋀2����(?⃗?��) = ����1����� 2 >
���� + ����2��������� + ����0 < 0.                            (3.2) 
����=1 ����=1 ����0
 Коефіцієнти �������� знаходяться з рішення системи рівнянь (2.13), що для 
полінома ���� = 2 степені матиме вид:  
����1 �����(1,1)(����0)+����(1,1)(����1)� + ����2 �����(1,2)(����0)+����(1,2)(����1)� = ����1−����1
�  
����1 �����(2,1)(����0)+����(2,1)(����1)� + ����2 �����(2,2)(����1)+����(2,2)(����1)� = ����2−����2
Для знаходження коефіцієнів скористаємось методом Крамера  
���� (���� )+���� (���� )    ���� (���� )+���� (���� )
∆= � (1,1) 0 (1,1) 1 (1,2) 0 (1,2) 1
����(2,1)(����0)+����(2,1)(����1)   ����(2,2)(����1)+����(2,2)(���� ) � 1
3 3
2����2         2 �������� �
� 2
2 + 2����3����
�2
2  
∆= � 3 3 � = 
2 �
��������� 2
2 + 2���� �2
3����2        4����2 + 4��������22 + 4���������3����22  
= 2����2 ∙ 4����2 + 4��������22 + 4���������3����22 −  
3 3
− 2���������
�2
2 + 2����3����2 ∙ 2���������2 + 2���� ���� �2
3 2 = 
= 4(2 + ���� − ����2 3
3 )����2 , 
3� 3
2 �2
∆1= ������ �����2        2���������2 + 2����3����2  � = 
��������2       4���� 2
2 + 4��������2 + 4��������� ����23 2  
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 31 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
= ����� ����� 2 2
2  ∙ 4����2 + 4��������2 + 4���������3����2 −  
3 3
−�������� ∙ 2���������
�2
2 2 + 2����3����
�2
2 = 
5
= 2������2 + ���� + ��������� ����� �2
3 2 , 
 
2����2             ����� �����2
∆2= � 3� 3� � = 
2��������� 2
2 + 2���� 2
3����2    ��������2    
3 3
= 2����2 ∙ ��������2 − ����� �����2 ∙ 2���������
�2
2 + 2����3����
�2
2 = 
= −2���������3����22 . 
Звідси отримаємо коефіцієнти ����1 та ����2 для ⋀2����(?⃗?��) 
5
∆1 2�����(2 + ���� + ��������� )���� �2
3 2 �����(2 + ����) + ��������
���� 3
1 = = =  .  
∆ 4(2 + ���� − ����2)����33 2 2(2 + ���� − ����23 )√����2
∆2 −2��������� 2
���� = = 3����2 ���������3
2 = . 
∆ 4(2 + ���� − ����2)����3 2(2 + ���� − ����23 2 3 )����2
Математичне сподівання розв’язувального правила (3.2)  при гіпотезі 
����0, 
�������������
���� 3
0(2����) = ����(����1����1 + ����2����2) = . 
2(2 + ���� − ����23 )
Математичне сподівання розв’язувального правила (3.2)  при гіпотезі 
����1, 
��������(2 + ����) − �������������
����1(2����) = ����(����1����1 + ����2����2) = 3. 
2(2 + ���� − ����23 )
Коефіцієнт ����0 дорівнює, 
1 ��������(2 + ����) − 2�������������
���� = (���� + ���� ) = 3
0 ���� 1 0 . 
4(2 + ���� − ����23 )
Дисперсія розв’язувального правила (3.2)  при гіпотезі ����0, 
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 32 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
���� ����
���� = ���������� ���� ���� 2 2
0(2����) ���� ���� ����,����(����0) = ����[����1 ∙ ����11(����0) + ����2 ∙ ����22(����0)] = 
����=1 ����=1
��������(2 + ���� + 2���������3)
= . 
4(2 + ���� − ����23 )
Дисперсія розв’язувального правила (3.2)  при гіпотезі ����1, 
���� ����
����1(2����) = ���������� ���� 2 2
���� ������������,����(����1) = ����[����1 ∙ ����11(����1) + ����2 ∙ ����22(����1)] = 
����=1 ����=1
��������(2 + ���� − 2���������
= 3)
. 
4(2 + ���� − ����23 )
Значення критерію ��������2���� при степені ���� = 2 дорівнює: 
���� + ���� 2
�������� [����,����] = 1(2����) 0(2����) 4 + 2���� − 2����3
2���� = . 
(����1(2����) − ����0(2����))2 2�������� + ��������2
Кількість добутої інформації, яка зворотна критерію, дорівнює 
����
1 ��������(2 + ����)
����2���� = ���������
�������� ����(�������� − ��������) = . 
2���� 2(2 + ���� − ����23 )
����=1
Аналізуючи значення отриманого критерію для степеню поліному 
S=2 можна сказати, що воно залежить не лише від значення сигнал/шум, а і 
від значення коефіцієнта асиметрії. Далі по аналогії синтезуємо нелінійне 
РП зі степенем полінома S=3, де використовуються моменти до шостого 
порядку. 
 
3.4. Синтез поліноміальних РП при  степені полінома S=3, на фоні 
негаусових асиметричних завад  
При степені стохастичного поліному ���� = 3 отримаємо РП виявлення, 
яке в загальному випадку має вид: 
���� ���� ���� ����1
⋀ 2 3 >
3����(?⃗?��) = ����1��������� + ����2��������� + ����3��������� + ����0 < .             (3.3) 
����=1 ����=1 ����=1 ����0
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 33 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
Коефіцієнти �������� знаходяться з рішення системи рівнянь(2.13), що для 
полінома ���� = 3 степені матиме вид:  
⎧����1 �����(1,1)(����0)+����(1,1)(����1)� + ����2 �����(1,2)(����0)+����(1,2)(����1)� + ����3 �����(1,3)(����0)+����(1,3)(����1)� = ����1−����1
⎪
����1 �����(2,1)(����0)+����(2,1)(����1)� + ����2 �����(2,2)(����1)+����(2,2)(����1)� + ����3 �����(2,3)(����
⎨ 1)+����(2,3)(����1)� = ����2−����2 
⎪
⎩����1 �����(3,1)(����0)+����(3,1)(����1)� + ����2 �����(3,2)(����1)+����(3,2)(����1)� + ����3 �����(3,3)(����1)+����(3,3)(����1)� = ����3−����3
Для знаходження коефіцієнів скористаємось методом Крамера  
∆
2����2 2������ + ���� �����3⁄23 2 3�2 + ���� + ���������3�����22
= �� 2������ + ���� �����3⁄23 2 4�1 + ���� + ���������3�����22 3(2 + ����)�2����� + 3���� �����5⁄23 2 ⁠�� 
3�2 + ���� + ��������� 2 5⁄2 3
3�����2 3(2 + ����)�2����� + 3����3�����2 3 �10 + 3����(4 + ����) + 6����3������(3 + ����) + ����3�� ����2
= −6(−16 − 20���� − 6����2 + 32����2 + 18��������23 3 + 3����2����23 + 12����43 )����62 . 
∆1
����������2 2(����� + ����3)����3⁄22 3(2 + ���� + ���������3)����22
= �� ��������2 4(1 + ���� + ��������� )����23 2 3(2 + ����)(2����� + 3���� )����5⁄23 2 �� 
�����(3 + ����)����3⁄22 3(2 + ����)(2����� + 3���� 5⁄2
3)����2 3(10 + 3����(4 + ����) + 6����3(�����(3 + ����) + ����3))����32
= −3������−16 − 24���� − 8����2 − 8��������� − 2����3⁄23 ����3 + ����5⁄2����3 + 48����2 2
3 + 24��������3
+ +4����2����23 − 12���������3 11⁄2
3 �����2 . 
∆2
2����2 ����������2 3(2 + ���� + ��������� 2
3)����2
= �� 2(����� + ����3)����3⁄22 ��������2 3(2 + ����)(2����� + 3����3)����5⁄22 �� 
3(2 + ���� + ��������� 2
3)����2 �����(3 + ����)����3⁄22 3(10 + 3����(4 + ����) + 6���� 3
3(�����(3 + ����) + ����3))����2
= 3������2����3⁄2 + ����5⁄2 − 8����3 − 2�������� 2 2 3⁄2 2 3 5
3 + ���� ����3 − 12���������3 − 4���� ����3 − 12����3�����2 . 
2����2 2(����� + ����3)����3⁄22 ����������2
∆3= �� 2(����� + ���� )����3⁄23 2 4(1 + ���� + ��������� )����23 2 ��������2 �� 
3(2 + ���� + ���������3)����22 3(2 + ����)(2����� + 3���� )����5⁄2 �����(3 + ����)����3⁄23 2 2
= −2�����(2���� + ����2 − 12����23 − 4��������2)����9⁄23 2 . 
Звідси отримаємо коефіцієнти ����1, ����2 та ����3 для ⋀3����(?⃗?��) 
∆
���� = 1
1 ∆
−8�����(1 + ����)(2 + ����) + (−4 + ����)����(2 + ����)����3 + 4�����(12 + ����(6 + ����))����23 − 12��������3
= 3 .   
2(−2(2 + ����)(4 + 3����) + (32 + 3����(6 + ����))����23 + 12����43 )√����2
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 34 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
∆
����2 = 2
∆
−����2(2 + ����) + ��������� (−(−4 + ����)(2 + ����) + 4���� (�����(3 + ����) + 3���� ))
= 3 3 3
2 4 . 
2(−2(2 + ����)(4 + 3����) + (32 + 3����(6 + ����))����3 + 12����3 )����2
 
∆ �����(����(2 + ����) − 4(3 + ����)����2)
����3 = 3 = 3 . 
∆ 3(−2(2 + ����)(4 + 3����) + (32 + 3����(6 + ����))����23 + 12����4)����3⁄23 2
Математичне сподівання розв’язувального правила (3.3)  при гіпотезі 
����0, 
����0(3����) = ����(����1����1 + ����2����2 + ����3����3) = 
���������(−3����3⁄2(2 + ����) + ����3(−(−12 + ����)(2 + ����) + 4����3(3�����(3 + ����) + (3 − 2����)����3))
= . 
−12(2 + ����)(4 + 3����) + 6(32 + 3����(6 + ����))����23 + 72����43
Математичне сподівання розв’язувального правила (3.3)   при гіпотезі 
����1, 
����1(3����) = ����(����1����1 + ����2����2 + ����3����3) = 
��������(2 + ����)(24 + ����(21 + ����)) + �������������3(−(−12 + ����)(2 + ����) + 
+4����3(�����(27 + 2����(9 + 2����)) + (3 − 2����)����3))/ 
/−12(2 + ����)(4 + 3����) + 6(32 + 3����(6 + ����))����23 + 72����43 . 
Коефіцієнт ����0 дорівнює, 
1
����0 = (����1 + ����0) = 
����
−��������(2 + ����)(24 + ����(24 + ����)) + 2�������������3(−(−12 + ����)(2 + ����) + 
+2����3(�����(36 + ����(21 + 4����)) + (6 − 4����)����3))/ 
/12(−2(2 + ����)(4 + 3����) + (32 + 3����(6 + ����))����23 + 12����43 ). 
Дисперсія розв’язувального правила (3.3)   при гіпотезі ����0, 
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 35 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
���� ����
����0(3����) = ������������������������������,����(����0)
����=1 ����=1
= ����[����2 2 2
1 ∙ ����11(����0) + ����2 ∙ ����22(����0) + ����3 ∙ ����33(����0)] = 
= (��������(2(2 + ����)2(4 + 3����)(24 + ����(18 + ����)) − 12�����(2 + ����)2(−16 + 
+(−8 + ����)����)����3 − (2 + ����)(1344 + ����(1920 + ����(916 + 3����(56 + ����))))����23 − 
−6�����(2 + ����)(32 + ����(2 + ����)(8 + ����))����33 + 8(216 + ����(312 + ����(196 + 
+57���� + 6����2)))����43 + 48�����(−60 + ����(−30 + ����(3 + 2����)))����53 + 48(18 + 
+����(15 + 4����))����63 − 864���������73 ))/ 
/(12(−2(2 + ����)(4 + 3����) + (32 + 3����(6 + ����))����2 + 12����4 2
3 3 ) ). 
Дисперсія розв’язувального правила (3.3) при гіпотезі ����1, 
���� ����
����1(3����) = ������������������������������,����(����1)
����=1 ����=1
= ����[����21 ∙ ����11(����1) + ����2 2
2 ∙ ����22(����1) + ����3 ∙ ����33(����1)] = 
= (��������(2(2 + ����)2(4 + 3����)�24 + ����(18 + ����)� + 12�����(2 + ����)2 
(−16 + (−8 + ����)����)����3 − (2 + ����)(1344 + ����(1920 + ����(916 + 3���� 
(56 + ����))))����23 + 6�����(2 + ����)(32 + ����(2 + ����)(8 + ����))����33 + 8(216 + 
+����(312 + ����(196 + 57���� + 6����2)))����43 − 48�����(−60 + ����(−30 + ����(3 + 2����)))����53  
+48(18 + ����(15 + 4����))����63 + 864���������73 ))/ 
/(12(−2(2 + ����)(4 + 3����) + (32 + 3����(6 + ����))����2 + 12����4)23 3 ). 
Значення критерію ��������3���� при степені ���� = 3 дорівнює: 
���� + ����
��������3����[����,����] = 1(3����) 0(3����)
2 = 
�����1(3����) − ����0(3����)�
12(2 + ����)(4 + 3����) − 6����2 2
= 3 (32 + 3����(6 + ����) + 12����3 )
. 
��������((2 + ����)(24 + ����(18 + ����)) − 4(18 + ����(15 + 4����))����23 )
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 36 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
Кількість добутої інформації, яка зворотна критерію, дорівнює 
����
1
����3���� = �������������(�������� − ��������) = 
��������3���� ����=1
��������(−(2 + ����)(24 + ����(18 + ����)) + 4(18 + ����(15 + 4����))����2)
= 3 . 
−12(2 + ����)(4 + 3����) + 6(32 + 3����(6 + ����))����23 + 72����43
 
3.5. Аналіз поліноміальних РП на фоні негаусової асиметричної 
завади при різних степенях поліному 
Для порівняння отриманих результатів побудуємо графіки, які 
порівнюють кількість добутої інформації, при різних степенях полінома. На 
результат буде впливати значення коефіцієнту асиметрії та відношення 
сигнал шум. 
Порівняємо залежність кількість отриманої інформації при степені 
поліному S=1 та S=2, та різних значеннях відношення сигнал/шум q. 
 
Рисунок 3.1 − Порівняння відношення кількості добутої інформації про 
розрізнення гіпотез для РП при степені поліному S=1 та S=2 від 
коефіцієнта асиметрії при відношенні сигнал/шум q=0.1. 
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 37 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
 
Рисунок 3.2 − Порівняння відношення кількості добутої інформації про 
розрізнення гіпотез для РП при степені поліному S=1 та S=2 від 
коефіцієнта асиметрії при відношенні сигнал/шум q=1. 
 
Рисунок 3.3 − Порівняння відношення кількості добутої інформації про 
розрізнення гіпотез для РП при степені поліному S=1 та S=2 від 
коефіцієнта асиметрії при відношенні сигнал/шум q=5. 
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 38 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
 
Рисунок 3.4 − Скомпоноване зображення попередніх графіків при S=2, від 
коефіцієнта асиметрії та різного відношення сигнал/шум. 
Проведемо порівняння при степені поліному S=3.  
 
Рисунок 3.5 − Порівняння відношення кількості добутої інформації про 
розрізнення гіпотез для РП при степені поліному S=1 та S=3 від 
коефіцієнта асиметрії при відношенні сигнал/шум q=0.1. 
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 39 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
 
Рисунок 3.6 − Порівняння відношення кількості добутої інформації про 
розрізнення гіпотез для РП при степені поліному S=1 та S=3 від 
коефіцієнта асиметрії при відношенні сигнал/шум q=1. 
 
Рисунок 3.7 − Порівняння відношення кількості добутої інформації 
про розрізнення гіпотез для РП при степені поліному S=1 та S=3 від 
коефіцієнта асиметрії при відношенні сигнал/шум q=5. 
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 40 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
 
Рисунок 3.8 − Скомпоноване зображення попередніх графіків при 
S=3, від коефіцієнта асиметрії та різного відношення сигнал/шум. 
 
Як видно з приведених графіків вплив РП при різних степенях 
полінома сильно відрізняється, при степені S=1 не враховується 
негаусовість процесу, так як при S=2 та S=3. Більший вклад РП на результат 
буде спостерігатись в більш зашумленому середовищі. Це можна 
спостерігати на (рис. 3.1) для S=2 та на (рис.3.5) для S=3. 
При збільшенні відношення сигнал/шум РП вносить все менший 
вклад в результат, це спостерігається при порівнянні трьох графіків з різним 
відношенням сигнал/шум для S=2 (рис.3.4) та для S=3 (рис.3.8). 
Також можна відмітити, що при збільшені степеню полінома з S=2 до 
S=3 відбувається помітне збільшення впливу РП на результат при низьких 
значеннях коефіцієнта асиметрії. 
 
 
 
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 41 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
3.6. Синтез поліноміальних РП при  степені полінома S=1, на фоні 
негаусової асиметрично-ексцесної завади  
Для початку синтезуємо розв’язувальні функції при степені s=1. В 
цьому випадку коефіцієнт ����1 визначаються за формулою, що має вид 
����1�����(1,1)(����1) + ����(1,1)(����0)� = ����1 − ����1. 
���� �����
����1 = = . 
2����2 2√����2
Математичне сподівання розв’язувального правила (3.4)  при гіпотезі 
����0, 
����0(1����) = �������������������� = 0. 
Математичне сподівання розв’язувального правила (3.4)  при гіпотезі 
����1, 
����
����1(1����) = �������������������� = . 
2
Коефіцієнт ����0 
1 ��������
����0 = − �����1(1����) + ����
2 0(1����)� = . 
4
 
Тоді РП при степені s=1 матиме наступний вигляд 
���� ����
1 �����
1
����
⋀1����(?⃗?��) = ����� − 2 >
���� < 0,                                       (3.4) 
���� 2
����=1 ����0
або 
���� ����1
1 ����
⋀1����(?⃗?��) = ����� >
���� ���� − 2 < 0. 
����=1 ����0
 
Дисперсія розв’язувального правила (3.4) при гіпотезі ����0, 
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 42 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
���� ����
��������
����0(1����) = ���������� ���� ���� (���� 2
���� ���� ����,���� 0) = ���� ∙ ����1 ∙ ����11(����0) = . 
4
����=1 ����=1
Дисперсія розв’язувального правила (3.4)  при гіпотезі ����1, 
���� ����
���� = ���������� ���� ���� (���� ) = ���� ∙ ����2
��������
1(1����) ���� ���� ����,���� 1 1 ∙ ����11(����1) = . 
4
����=1 ����=1
Тоді критерій ��������1���� буде дорівнювати 
����
�������� [����,����] = 1(1����) + ����0(1����) 2
1���� = . 
(����1( 2
1����) − ����0(1����)) ��������
Величина, зворотна критерію, кількість добутої інформації дорівнює 
����
1 ��������
����1���� = �������������(�������� − ����
�������� ����) = . 
1���� 2
����=1
В результаті отримано лінійне правило в якому не враховується 
негаусові складові ����3 та ����4, таке правило повністю відповідає класичному 
випадку, коли розглядається адитивна модель сигналу з гаусовою завадою. 
Тому, збільшимо степінь полінома для отримання інших результатів. 
3.7.Синтез поліноміальних РП при  степені полінома S=2, на фоні 
негаусової асиметрично-ексцесної завади  
При степені стохастичного поліному ���� = 2 отримаємо РП виявлення, 
яке в загальному випадку матиме вигляд: 
���� ���� ����1
⋀2����(?⃗?��) = ����1��������� + ����2�����2���� + ���� >
0 < 0.                                 (3.5) 
����=1 ����=1 ����0
Коефіцієнти �������� знаходяться з рішення системи рівнянь, що для 
полінома ���� = 2 степені матиме вид:  
����1 �����(1,1)(����0)+����(1,1)(����1)� + ����2 �����(1,2)(����0)+����(1,2)(����1)� = ����1−����1
�  
����1 �����(2,1)(����0)+����(2,1)(����1)� + ����2 �����(2,2)(����1)+����(2,2)(����1)� = ����2−����2
Для знаходження коефіцієнів скористаємось методом Крамера.  
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 43 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
����
∆= � (1,1)(����0)+����(1,1)(����1)    ����(1,2)(����0)+����(1,2)(����1)
����(2,1)(����0)+���� � 
(2,1)(����1)   ����(2,2)(����1)+����(2,2)(����1)
2����          2���������3⁄2 3⁄2
∆= � 2 2 + 2����3����2  
2���������3⁄2 + 2���� ����3⁄2
� = 
2 3 2        4����2 2
2 + 4��������2 + 4���������3����22 + 2���� 2
4����2  
 
= 2����2 ∙  4����22 + 4��������22 + 4��������� ����23 2 + 2����4����22 −   2���������3⁄22 + 2���� 3⁄2
3����2 ∙ 2���������3⁄22
+ 2���� ����3⁄23 2 =   
= 4(2 + ���� − ����23 + ���� 3
4)����2 . 
����������2         2���������3⁄2 + 2���� ����3⁄22 3 2  
∆1= � � = 
��������       4����2 + 4��������22 2 2 + 4��������� 2
3����2 + 2���� 2
4����2  
= ����������2  ∙ 4����22 + 4��������22 + 4��������� ����2 2
3 2 + 2����4����2 −  2���������3⁄22 + 2����3����
3⁄2
2 ∙ ��������2 = 
= 2������2 + ���� + ���������3 + ����4�����
5⁄2
2 . 
 
2����2             ����������
∆ = � 2
2 � = 
2���������3⁄22 + 2���� ����3⁄23 2    ��������2    
= 2���� ∙ 2���������3⁄2 + 2���� 3⁄2
2 2 3����2 − ���������� 3⁄2
2 ∙ 2���������2 = 
= −2��������� ����23 2 . 
Звідси отримаємо коефіцієнти ����1 та ����2 для ⋀2����(?⃗?��) 
∆1 2�����(2 + ���� + ��������� + ���� )����5⁄23 4 2 �����(2 + ���� + ���������3 + ���� )
���� 4
1 = =
∆ 4(2 + ���� − ����2
= .   
3 + ����4)����3 2
2 2(2 + ���� − ����3 + ����4)√����2
∆2 −2��������� 2
���� = = 3����2 ���������
2 2 3 = − 3 . 
∆ 4(2 + ���� − ���� 2
3 + ����4)����2 2(2 + ���� − ����3 + ����4)����2
 
Математичне сподівання розв’язувального правила (3.5) при гіпотезі 
����0, 
�������������
����0(2����) = ����(����1����
3
1 + ����2����2) = −
2( . 
2 + ���� − ����23 + ����4)
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 44 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
Математичне сподівання розв’язувального правила (3.5) при гіпотезі 
����1, 
����(−���������3 + ����(2 + ���� + ����4))
����1(2����) = ����(����1����1 + ����2����2) = 2 . 
2(2 + ���� − ����3 + ����4)
 
Коефіцієнт ����0 дорівнює, 
1 ���� �−2���������3 + ����(2 + ���� + ����4)�
����0 = (����1 + ����0) =
���� 4(2 + ���� − ����23 + ����4) . 
 
Дисперсія розв’язувального правила (3.5) при гіпотезі ����0, 
���� ����
����0(2����) = ������������������������������,����(���� ) = ����[����20 1 ∙ ����11(���� 2
0) + ����2 ∙ ����22(����0)] = 
����=1 ����=1
��������(2 + ���� + 2��������� + ���� )
= 3 4 . 
4(2 + ���� − ����23 + ����4)
Дисперсія розв’язувального правила (3.5) при гіпотезі ����1, 
���� ����
���� 2
1(2����) = ������������������������������,����(����1) = ����[����1 ∙ ����11(����1) + ����22 ∙ ����22(����1)] = 
����=1 ����=1
��������(2 + ���� − 2���������
= 3 + ����4)
. 
4(2 + ���� − ����23 + ����4)
Значення критерію ��������2���� при степені ���� = 2 дорівнює: 
���� 2
�������� [����,����] = 1(2����) + ����0(2����) 2(2 + ���� − ����
= 3 + ����4)
2���� 2  
(����1(2����) − ����0(2����)) ��������(2 + ���� + ����4)
Величина, зворотна критерію, кількість добутої інформації дорівнює 
����
1 ��������(2 + ���� + ���� )
����2���� = �������������(�������� − ���� ) = 4  
�������� ����
2���� 2(2 + ���� − ����23 + ����4)
����=1
Аналізуючи значення отриманого критерію для степеню поліному 
S=2 можна сказати, що воно залежить не лише від значення сигнал/шум, а і 
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 45 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
від значення коефіцієнтів асиметрії та ексцесу. По аналогії синтезуємо 
нелінійне РП зі степенем полінома S=3, де використовуються моменти до 
шостого порядку. 
 
 3.8.Синтез поліноміальних РП при  степені полінома S=3, на 
фоні негаусової асиметрично-ексцесної завади  
При степені стохастичного поліному ���� = 3 отримаємо РП виявлення, 
яке в загальному випадку має вид: 
���� ���� ���� ����1
⋀3����(?⃗?��) = ����1��������� + ����2�����2���� + ����3�����3���� + ���� >
0 < 0.              (3.6) 
����=1 ����=1 ����=1 ����0
Коефіцієнти �������� знаходяться з рішення системи рівнянь, що для 
полінома ���� = 3 степені матиме вид:  
⎧����1 �����(1,1)(����0)+����(1,1)(����1)� + ����2 �����(1,2)(����0)+����(1,2)(����1)� + ����3 �����(1,3)(����0)+����(1,3)(����1)� = ����1−����1
⎪
����1 �����(
⎨ 2,1)(����0)+����(2,1)(����1)� + ����2 �����(2,2)(����1)+����(2,2)(����1)� + ����3 �����(2,3)(����1)+����(2,3)(����1)� = ����2−����2 
⎪
⎩����1 �����(3,1)(����0)+����(3,1)(����1)� + ����2 �����(3,2)(����1)+����(3,2)(����1)� + ����3 �����(3,3)(����1)+����(3,3)(����1)� = ����3−����3
Для знаходження коефіцієнів скористаємось методом Крамера.  
∆= 
2����2 2(����� + ���� )����3⁄23 2 (6 + 3���� + 3���������3 + 2����4)����22
=�� 2(����� + ���� )����3⁄23 2 2(2 + 2���� + 2��������� 2
3 + ����4)����2 (9(2 + ����)���� 5⁄2
3 + �����(6(2 + ����) + 5����4))����2 ��⁠  
(6 + 3���� + 3��������� 2
3 + 2����4)����2 (9(2 + ����)����3 + �����(6(2 + ����) + 5���� 5⁄2
4))����2 3(10 + 3����(4 + ����) + 6�����(3 + ����)���� 2
3 + 6����3 + 5(2 + ����)���� )����34 2
= −2(−48 − 60���� − 18����2 + 96����23 + 54��������23 + 9����2����23 + 36����43 − 96����4 − 72��������4
− 9����2���� 2 2 2 2 3 6
4 − 48����3����4 − 3��������3����4 − 28����4 − 5��������4 + 4����4 )����2 . 
∆1
����������2 2(����� + ���� 3⁄2
3)����2 (6 + 3���� + 3���������3 + 2���� 2
4)����2
= �� �������� 2(2 + 2���� + 2��������� + ���� )����22 3 4 2 (9(2 + ����)����3 + �����(6(2 + ����) + 5����4))����5⁄22 �� 
�����(3 + ����)����3⁄22 (9(2 + ����)����3 + �����(6(2 + ����) + 5����4))����5⁄22 3(10 + 3����(4 + ����) + 6�����(3 + ����)����3 + 6����23 + 5(2 + ����)���� 3
4)����2
= −������−48 − 72���� − 24����2 − 24��������� − 6����3⁄23 ����3 + 3����5⁄2����3 + 144����23
+ 72��������23 + 12����2����2 − 36���������33 3 − 120����4 − 94��������4 − 11����2����4
− 12��������� 3⁄2 2 2 2
3����4 − 5���� ����3����4 − 36����3����4 − 48����4 − 11��������4 �����
11⁄2
2 . 
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 46 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
∆2
2����2 ����������2 (6 + 3���� + 3���������3 + 2���� 2
4)����2
= � 2(����� + ����3)����3⁄22 ��������2 (9(2 + ����)����3 + �����(6(2 + ����) + 5����4))����5⁄22 � 
(6 + 3���� + 3���������3 + 2���� )����24 2 �����(3 + ����)����3⁄22 3(10 + 3����(4 + ����) + 6�����(3 + ����)���� + 6����2 + 5(2 + ����)���� 3
3 3 4)����2
= ������6����3⁄2 + 3����5⁄2 − 24���� − 6�������� 2 2 3⁄2 2 3
3 3 + 3���� ����3 − 36���������3 − 12���� ����3 − 36����3
+ 12��������� + 9����3⁄24 ����4 − 12����3����4 − 5�������� ���� 2
3 4 + 6���������4 �����52 . 
∆3
2���� 2(����� + ���� )����3⁄22 3 2 ����������2
= �� 2(����� + ���� )����3⁄23 2 2(2 + 2���� + 2���������3 + ����4)����22 ��������2 �� 
(6 + 3���� + 3���������3 + 2����4)����22 (9(2 + ����)����3 + �����(6(2 + ����) + 5����4))����5⁄2 3⁄2
2 �����(3 + ����)����2
= −2�����(2���� + ����2 − 12����2 − 4��������2 + 4���� + 3�������� 2 9⁄2
3 3 4 4 + 2����4 )����2 . 
Звідси отримаємо коефіцієнти ����1, ����2 та ����3 для ⋀3����(?⃗?��) 
∆
���� = 1
1 =   
∆
= ((−36��������33 + 12���������23 (12 + ����(6 + ����) − 3����4) + ��������3(3(−4 + ����)(2 + ����) − 
−(12 + 5����)����4) − �����(2 + ���� + ����4)(24(1 + ����) + (48 + 11����)����4))/ 
/(2(36����4 2
3 + ����3 (96 + 9����(6 + ����) − 3(16 + ����)����4) − (2 + ���� + ����4) 
(6(4 + 3����) + 9(4 + ����)���� − 4����24 4 ))�����2)). 
∆
���� = 2
2 = 
∆
= ((12����(3 + ����)����23 + 36���������33 − 3����(2 + ���� + ����4)(���� + 2����4) + ���������3 
(−3(−4 + ����)(2 + ����) + (12 + 5����)����4))/(2(36����4 + ����23 3 (96 + 9����(6 + ����) − 
−3(16 + ����)����4) − (2 + ���� + ����4)(6(4 + 3����) + 9(4 + ����)���� 2
4 − 4����4 ))����2)). 
∆
����3 = 3 = 
∆
((�����(−4(3 + ����)����23 + (2 + ���� + ����4)(���� + 2����4)))/((36����4 + ����23 3 (96 + 9����(6 + ����) 
−3(16 + ����)����4) − (2 + ���� + ����4)(6(4 + 3����) + 9(4 + ����)����4 − 4����24 ))����3⁄22 )). 
 
Математичне сподівання розв’язувального правила (3.6) при гіпотезі 
����0, 
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 47 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
����0(3����) = ����(����1����1 + ����2����2 + ����3����3) = 
= ((12��������(3 + ����)����23 + 4����(3 − 2����)���������33 − 3��������(2 + ���� + ����4)(���� + 2����4) + 
+�������������3(−(−12 + ����)(2 + ����) + ����4(20 + 11���� + 4����4)))/ 
/(72����43 + 6����23 (32 + 3����(6 + ����) − (16 + ����)����4) − 2(2 + ���� + ����4) 
(6(4 + 3����) + 9(4 + ����)���� − 4����24 4 ))). 
Математичне сподівання розв’язувального правила (3.6)  при гіпотезі 
����1, 
����1(3����) = ����(����1����1 + ����2����2 + ����3����3) = 
−((����(4�����(−3 + 2����)����33 − 4��������23 (27 + 2����(9 + 2����) − 9����4) + ����(2 + ���� + ����4) 
(24 + ����(21 + ����) + (42 + 13����)����4) + ���������3((−12 + ����)(2 + ����) − 
−����4(20 + 11���� + 4����4))))/ 
/(72����4 2
3 + 6����3 (32 + 3����(6 + ����) − (16 + ����)����4) −  2(2 + ���� + ����4) 
(6(4 + 3����) + 9(4 + ����)����4 − 4����24 ))). 
Коефіцієнт ����0 дорівнює, 
1
����0 = (����
���� 1 + ����0) = 
= ((����(8�����(−3 + 2����)����33 − 4��������23 (36 + ����(21 + 4����) − 9����4) + ����(2 + ���� + ����4) 
(24 + ����(24 + ����) + (48 + 13����)����4) + 2���������3((−12 + ����)(2 + ����) − ����4(20
+ 11���� + 4����4))))/(4(36����4 2
3 + ����3 (96 + 9����(6 + ����) − 3(16 + ����)����4)
− (2 + ���� + ����4)(6(4 + 3����) + 9(4 + ����)����4 − 4����24 )))). 
 
Дисперсія розв’язувального правила (3.6) при гіпотезі ����0, 
���� ����
����0(3����) = ������������������������������,����(����0)
����=1 ����=1
= ����[����21 ∙ ����11(����0) + ����22 ∙ ����22(����0) + ����23 ∙ ����33(����0)] = 
((��������(2592���������73 − 144����63 (18 + ����(15 + 4����) − 9����4) − 144���������53  
�−60 + �����−30 + ����(3 + 2����)� − (−18 + ����)����4� − (2 + ���� + ���� 2
4)  
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 48 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
(24 + ����(18 + ����) + (36 + 13����)����4)(6(4 + 3����) + 9(4 + ����)���� − 4����24 4 ) + 
+24����43 (−216 − ����(312 + ����(196 + 57���� + 6����2)) + ����4(432 + 2����(165 + 
+����(37 + ����)) + 3(−6 + 5����)����4)) + 6���������33 (3(2 + ����)(32 + ����(2 + ����) 
(8 + ����)) + ����4(2(−576 + ����(−160 + ����(186 + 55����))) + ����4(−528 + ���� 
(−80 + 43����) + 48����4))) + ����23 (2 + ���� + ����4)(4032 + 3����(1920 + 
+����(916 + 3����(56 + ����))) + ����4(6 �672 + �����736 + ����(340 + 43����)�� + 
+����4(−3312 − ����(1296 + 103����) + 144����4))) − 2���������3(2 + ���� + ����4) 
(−18(2 + ����)(−16 + (−8 + ����)����) + ����4(3 �384 + �����304 + 5����(12 + ����)�� + 
����4(336 + 3����(136 + 53����) + 16(−3 + ����)����4)))))/ 
/(4(−36����4 2
3 + ����3 (−96 − 9����(6 + ����) + 3(16 + ����)����4) + (2 + ���� + ����4)(6(4
+ 3����) + 9(4 + ����)����4 − 4����24 ))2)). 
Дисперсія розв’язувального правила (3.6) при гіпотезі ����1, 
���� ����
����1(3����) = ������������������������������,����(����1)
����=1 ����=1
= ����[����21 ∙ ����11(����1) + ����22 ∙ ����22(����1) + ����23 ∙ ����33(����1)] = 
((��������(−2592���������7 6
3 − 144����3 (18 + ����(15 + 4����) − 9����4) + 144���������53 (−60 + ���� 
(−30 + ����(3 + 2����)) − (−18 + ����)����4) − (2 + ���� + ����4)2(24 + ����(18 + ����) + 
+(36 + 13����)����4)(6(4 + 3����) + 9(4 + ����)����4 − 4����24 ) + 24����43 (−216 − ����(312 + 
+����(196 + 57���� + 6����2)) + ����4(432 + 2����(165 + ����(37 + ����)) + 3(−6 + 5����)����4))
− 6���������33 (3(2 + ����)(32 + ����(2 + ����)(8 + ����)) + ����4(2(−576 + 
+����(−160 + ����(186 + 55����))) + ����4(−528 + ����(−80 + 43����) + 48����4))) + 
+����23 (2 + ���� + ����4)(4032 + 3����(1920 + ����(916 + 3����(56 + ����))) + ����4(6(672 + 
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 49 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
+����(736 + ����(340 + 43����))) + ����4(−3312 − ����(1296 + 103����) + 144����4)))
+ 2���������3(2 + ���� + ����4)(−18(2 + ����)(−16 + (−8 + ����)����) + ����4 
(3(384 + ����(304 + 5����(12 + ����))) + ����4(336 + 3����(136 + 53����) + 
+16(−3 + ����)����4)))))/ 
/(4(−36����43 + ����23 (−96 − 9����(6 + ����) + 3(16 + ����)����4) + (2 + ���� + ����4)(6(4
+ 3����) + 9(4 + ����)���� − 4����24 4 ))2)). 
Значення критерію ��������3���� при степені ���� = 3 дорівнює: 
���� + ����
��������3����[����,����] = 1(3����) 0(3����) = 
����� 2
1(3����) − ����0(3����)�
= ((−72����43 − 6����23 (32 + 3����(6 + ����) − (16 + ����)����4) + 2(2 + ���� + ����4) 
(6(4 + 3����) + 9(4 + ����)���� − 4����24 4 ))/(��������(−4����23 (18 + ����(15 + 4����) − 
−9����4) + (2 + ���� + ����4)(24 + ����(18 + ����) + (36 + 13����)����4)))). 
Кількість добутої інформації, яка зворотна критерію, дорівнює 
����
1
����3���� = �������������(�������� − ��������) = 
��������3���� ����=1
= ((��������(4����23 (18 + ����(15 + 4����) − 9����4) − (2 + ���� + ����4)(24 + ����(18 + ����) + 
+(36 + 13����)����4)))/(72����43 + 6����23 (32 + 3����(6 + ����) − (16 + ����)����4) − 
−2(2 + ���� + ����4)(6(4 + 3����) + 9(4 + ����)����4 − 4����24 ))). 
Проведемо аналіз отриманих лінійних і нелінійних РП, які враховують 
різну апріорну інформацію про параметри розподілу негаусової завади. 
 
3.9.Аналіз поліноміальних РП на фоні негаусової асиметрично-
ексцесної завади при різних степенях поліному  
Для порівняння отриманих результатів побудуємо графіки, які 
порівнюють кількість добутої інформації, при різних степенях полінома. 
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 50 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
Також на результат буде впливати значення коефіцієнів асиметрії та ексцесу 
і відношення сигнал шум. 
Щоб побудувати графіки потрібно задати коефіцієнт ексцесу ����4 та 
коефіцієнт асиметрії ����3, який знаходиться з даної рівності,  
����3 ≤ �����4 + 2 
Задамо ����4 = 5.5, тоді ����3 буде не більше 2.74. 
 
 
Рисунок 3.9 − Порівняння відношення кількості добутої інформації про 
розрізнення гіпотез для РП при степені поліному S=1 та S=2 від 
коефіцієнтів асиметрії та ексцесу при відношенні сигнал/шум q=0.1. 
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 51 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
 
Рисунок 3.10 − Порівняння відношення кількості добутої інформації про 
розрізнення гіпотез для РП при степені поліному S=1 та S=2 від 
коефіцієнтів асиметрії та ексцесу при відношенні сигнал/шум q=1. 
 
Рисунок 3.11 − Порівняння відношення кількості добутої інформації про 
розрізнення гіпотез для РП при степені поліному S=1 та S=2 від 
коефіцієнтів асиметрії та ексцесу при відношенні сигнал/шум q=5. 
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 52 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
 
Рисунок 3.12 − Скомпоноване зображення попередніх графіків при S=2, 
від коефіцієнтів асиметрії та ексцесу з різним відношенням сигнал/шум. 
 
Рисунок 3.13 − Порівняння відношення кількості добутої інформації про 
розрізнення гіпотез для РП при степені поліному S=1 та S=3 від 
коефіцієнтів асиметрії та ексцесу при відношенні сигнал/шум q=0.1. 
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 53 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
 
Рисунок 3.14 − Порівняння відношення кількості добутої інформації про 
розрізнення гіпотез для РП при степені поліному S=1 та S=3 від 
коефіцієнтів асиметрії та ексцесу при відношенні сигнал/шум q=1. 
 
Рисунок 3.15 − Порівняння відношення кількості добутої інформації про 
розрізнення гіпотез для РП при степені поліному S=1 та S=3 від 
коефіцієнтів асиметрії та ексцесу при відношенні сигнал/шум q=5. 
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 54 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
 
Рисунок 3.16 − Скомпоноване зображення попередніх графіків при 
S=3, від коефіцієнтів асиметрії та ексцесу з різним відношенням 
сигнал/шум. 
Як можна побачити з приведених графіків, результати впливу РП для 
різних степенів полінома при негаусовій асиметрично-ексцесні заваді 
помітно відрізняються, так при S=1 розрахункове правило є лінійним і не 
враховує коефіцієнти асиметрії та ексцесу. При порівнянні кількості добутої 
інформації добре проглядається, що з врахуванням коефіцієнтів асиметрії та 
ексцесу РП зі степенем полінома S=2 має набагато кращі результати і 
найбільший внесок його буде при малому відношенні сигнал/шум (рис.3.9). 
Хоча при малих значеннях ����3 видно, що РП вироджується в лінійне, що 
можна помітити на рисунку 3.12. 
Зі збільшенням степеню до S=3 результати помітно кращі, також при 
малих значеннях ����3 РП не вироджується в лінійне, що можна помітити на 
рисунку 3.16.  Зберігається також і  вплив РП при малому відношенні 
сигнал/шум, що можна спостерігати на рисунку 3.13. 
 
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 55 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
3.10. Висновки по розділу 3 
В цьому розділі синтезовано оптимальні розв’язувальні правила за 
моментним критерієм якості верхньої границі ймовірності помилок  для 
степенів поліному до S=3. Отримано значення критерію при впливі 
негаусової асиметричної та асиметрично-ексцесної завади. Щоб оцінити 
вплив РП на результат було побудовано графіки залежності кількості 
добутої інформації, для асиметричної негаусової завади при S=2 (рис. 3.4) 
та S=3 (рис. 3.8), також і для асиметрично-ексцесної при S=2 (рис. 3.12) та 
S=3 (рис. 3.16). 
Використовуючи дані отримані при розрахунках, можна перейти до 
імітаційного моделювання по виявленню сигналу на фоні негаусових завад. 
  
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 56 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
РОЗДІЛ 4. МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСІВ ВИЯВЛЕННЯ 
ПОСТІЙНОГО СИГНАЛУ НА ФОНІ НЕГАУСОВИХ ЗАВАД 
  
4.1. Побудова схеми в середовищі Simulink 
 Для дослідження використано програмний засіб MatLAB, а саме його 
пакет розширення Simulink, в якому побудовано схематичне рішення 
(рис.4.1), для моделювання процесів виявлення сигналів при впливі 
негаусових завад.  
 
 
Рисунок 4.1 − Схема моделювання виявлення постійного сигналу при 
впливі негаусових асиметричних завад. 
 
 Схема складається з генератора негаусового шуму, генератора 
імпульсного сигналу та двох поліноміальних РП. 
 Для генерації негаусового шуму використано, метод формування 
псевдовипадкових величин, який базується на застосуванні полігаусівської 
випадкової величини. Густина ймовірності такої величини описується 
законом 
����
���� (���� − ���� )2
����(����/����) = � ���� ������������ �− ����
2 �, 
2����
����=1 �2��������2 ����
����
де  �������� ,����2���� − параметри окремих гаусових компонент; 
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 57 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
�������� − деякі позитивні коефіцієнти, що вказують на пропорційність внеску 
вибіркових значень кожної гаусової складової. 
Такий метод  полягає в пропорційному змішуванні вибіркових 
значень, що генерують декілька стандартних генератори з розрахованими 
параметрами гаусового розподілу. 
В цьому випадку(рис.4.2) використано варіант, коли результуюча 
випадкова величина формується з двох гаусових компонент. Вираз для 
такого випадку виглядає так 
���� (���� − ���� 2 2
����(����/����) = ������������ �− 1) 1 − ���� (���� − ���� )
2 � + ������������ �− 2
�2��������2 2���� �2��������2 2����2
�. 
1 1 2 2
Такий закон розподілу ймовірностей називають бі-гаусовим законом, 
а випадкову величину бі-гаусовою випадковою величиною. 
 
Рисунок 4.2 − Схема побудови бі-гаусового генератора. 
 
Щоб надати генерованим вибіркам вигляду, який більше відповідає 
реальному випадковому процесу, використано допоміжний генератор з 
рівномірним законом розподілу, що випадковим чином перемішує вибіркові 
значення. 
Схема лінійного поліноміального РП при степені S=1 представлена на 
рисунку 4.3. Вона працює наступним чином, на вхід подається суміш 
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 58 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
сигналу та бі-гаусового шуму, який проходить через дискретний фільтр, 
множиться на коефіцієнт k1_1 та порівнюється з порогом. 
 
Рисунок 4.3 − Схема лінійного поліноміального РП при степені S=2. 
 
Для нелінійного поліноміального розв’язувального правила при 
степені S=2, схема матиме вигляд представлений на рисунку 4.4. 
 
Рисунок 4.4 − Схема нелінійного поліноміального РП при степені S=2. 
 
 Відмінність схеми нелінійного РП від лінійного в тому, що суміш 
сигналу та шуму проходить додатковий етап, в якому кожне значення 
вибірки підноситься до квадрату, по аналогії з лінійним проходить 
дискретний фільтр, множиться на коефіцієнт k1_2 в одному випадку та k2_2 
в іншому, отримані результати складаються і порівнюються з порогом. 
Перейдемо до результатів отриманих в наслідок імітаційного 
моделювання. 
 
 
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 59 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
4.2. Отримані результати експерименту з виявлення сигналу при 
впливі негаусової асиметричної завади 
 При проведенні експерименту з виявлення постійного сигналу на фоні 
негаусової асиметричної завади, отримано результати для різного значення 
коефіцієнта асиметрії, при заданих параметрах моделі: 
− Відношення сигнал/шум q=0.1; 
− Дисперсія завади ����2 = 1;  
− Амплітуда сигналу а = ���������2; 
− Скважність імпульсу = 20%. 
Щоб аналізувати результат приведемо чотири осцилограми, сигнал, 
сигнал+негаусовий шум, сигнал після проходження блоку виявлення при 
S=1 та сигнал після проходження блоку виявлення при степені S=2. 
Присутність виявлення сигналу буде спостерігатись на осцилограмі при 
перетині сигналом нуля. 
На рисунку 4.5 можна побачити результат, де при S=1 явно видно 
помилкове виявлення сигналу виділено на осцилограмі , а при S=2 цього не 
спостерігається, в цьому випадку коефіцієнт асиметрії ����3 = 0.8.  
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 60 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
 
Рисунок 4.5 − Результат виявлення сигналу на фоні негаусової 
асиметричної завади для степенів поліному S=1 та S=2. 
 
4.3 Висновки по розділу 4 
Для імітаційного моделювання процесів нелінійного виявлення було 
побудовано схему (рис. 4.1) та описано її принцип дії. З результатів 
отриманих в наслідок моделювання (рис. 4.5) видно, що нелінійна обробка 
вибіркових значень та врахування негаусівського розподілу адитивної 
завади дозволяє зменшити кількість помилкових результатів, як наслідок, 
збільшити ефективність виявлення у порівнянні з лінійними результатами. 
 
  
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 61 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
ВИСНОВКИ 
Перспективним підходом вирішення актуальної задачі виявлення 
сигналів на фоні негаусових завад, є опис випадкових величин  за 
допомогою моментів і кумулянтів. Такий опис дозволяє враховувати 
характеристики негаусових процесів, що при використанні класичних 
підходів досить ускладнює математичні моделі та алгоритми виявлення. 
З врахуванням моментно-кумулянтного опису було сформульовано 
моментний критерій якості, за яким встановлюється верхня границя 
ймовірності помилок першого та другого роду. Використовуючи даний 
критерій побудовано оптимальний алгоритм. 
 На основі оптимального алгоритму синтезовані поліноміальні 
розв’язувальні правила при степенях поліному S=1-3, при впливі 
асиметричної та асиметрично-ексцесної негаусових завад. Для аналізу їх 
ефективності отримано величину кількість добутої інформації, яка є 
оберненою до значення критерію якості. 
 Приведено графіки для аналізу виявлення сигналів на фоні негаусових 
асиметричних та асиметрично-ексцесних завад. На яких представлено 
порівняння кількості добутої інформації при різних степенях поліному, 
аналізуючи, які зроблено висновок, що найбільший внесок поліноміального 
розв’язувального правила буде при малих значеннях відношення 
сигнал/шум. Так як це можна побачити на рисунках 3.4 та 3.8 для 
асиметричної негаусової завади та рисунках 3.12. і 3.16 для асиметрично-
ексцесної негаусової завади. 
 З використанням отриманих розв’язувальних правил було проведено 
комп’ютерне моделювання з виявлення сигналу на фоні негаусової 
асиметичної завади. Використовуючи пакет розширення Simulink для 
програмного забеспечення MATLab, побудовано схему виявлення сигналу. 
Результати отримані в ході моделювання підтверджують, що при впливі 
негаусових завад використаний метод виявлення сигналу, має меншу 
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 62 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
кількість помилкового виявлення при врахуванні негаусових складових з 
степенем поліному S=2, ніж лінійне РП при степені S=1.  
 В результаті можна прийти до висновку, що побудовані РП 
оптимальні за моментним критерієм якості верхньої границі ймовірності 
помилок, з використанням моментно-кумулянтного опису випадкових 
величин, значною мірою зменшують кількість помилкового виявлення 
сигналу при впливі негаусових завад. Такий підхід вирішення задачі про 
розрізнення гіпотез, не потребує громіздких математичних моделей та 
складних алгоритмів для його реалізації. 
  
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 63 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
ВИКОРИСАНА ЛІТЕРАТУРА 
1. Багдасарян С. Т. Радіолокаційна системотехніка / С. Т. Багдасарян, 
Ю. В. Кулявець, С. І. Шипіцин. − Х. : ХВУ, 2002. 
2. Основы построения РЛС РТВ / под ред. Б. Ф. Бондаренко. – К. : 
КВИРТУ ПВО, 1987. 
3. Скальський В. Р., Коваль П. М. Акустична емісія під час руйнування 
матеріалів, виробів і конструкцій. Методо- логічні аспекти відбору та 
обробки інформації. — Львів: Сполом, 2005. — 396 с. 
4. Скальський В.Р., Ковчик С.Є. Пристрій длядослідження тріщино-
тривкості матеріалів за сигналами акустичної емісії // Зб.наук. праць ФМІ 
НАН України «Фізичні методи та засоби контролю середовищ,матеріалів та 
виробів», Київ — Львів, 2000. 
5. Барковський В. В., Н. В. Барковська, О. К. Лопатін. Теорія 
ймовірностей та математична статистика: навчальний посібник. К.: ЦНЛ, 
2006. 424 с 
6. Донченко В. С., Сидоров М. В., Шарапов М. М. Теорія ймовірності 
та математична статистика: навчальний посібник. К.: Академія, 2009. 288 с. 
7. Кунченко Ю.П. Стохастические полиномы.-К.: Наук. Думка, 2006.- 
275с. 
8. Палагин В.В. Нелинейные методы различения шумовых сигналов 
на фоне асимметрично–эксцессных негауссовских помех // Вісник 
Інженерної Академії України, № 2, - 2015, С120-214.  
9. Палагин В.В. Программные средства компьютерного 
моделирования процессов обнаружения и различения сигналов на фоне 
негауссовских помех. / Палагин В.В. // Информатика и математические 
методы в моделировании. Том. 5 (2015), № 5, С.103-114. 
10. Д.О.Смірнов, О.А.Палагіна, В.В.Палагін. Математичне 
моделювання задач виявлення  сигналів на фоні негаусових корельованих 
завад // Інтегровані інтелектуальні робототехнічні комплекси (ІІРТК-2022), 
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 64 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
п’ятнадцята міжнародна науково-практична конференція, 17-18 травня 2022 
р., Київ, Україна, - с.224-225. 
 11. Д.О.Смірнов, Д.А.Ведерников, О.А.Палагіна, В.В.Палагін. 
Методи статистичного оцінювання параметрів сигналу на фоні негаусових 
корельованих завад. // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: 
Технічні науки: зб. наук. праць – Кам.-Подільський: Кам.-Подільський нац. 
ун-т ім. Івана Огієнка, 2021. – Вип. 22. – С. 106-118. 
 12. Palahina E., Kunchenko-Kharchenko V., Tonkopriad S., Push I., 
Smirnov D., Palahin V. Signal detection in additive-multiplicative non-Gaussian 
noise Праці VIІ Міжнародної науково-практичної конференції «Обробка 
сигналів і негауссівських процесів», присвяченої пам’яті  професора 
Ю.П.Кунченка: Тези доповідей. – Черкаси: ЧДТУ, 2021. – c.123-124. 
 13. E.Palahina, M.Gamcová , I.Gladisova, J.Gamec, V.Palahin. Signals 
Detection in Correlated non-Gaussian Noise Using Higher-Order Statistics. – 
Circuits, Systems, and Signal Processing, 2018, 37(4), 1704-1723. 
 14. Volodymyr Palahin, Jozef Juhár, Serhiy Leleko, Serhiy Polozhaenko, 
Elena Palahina. Computer Simulation of Signal Detection in non-gaussian Noise 
with the Neyman-Pearson Moment Quality Criterion. //  9th International IEEE 
Conference Dependable Systems, Services and Technologies DESSERT’2018 
UKRAINE, KIEV, MAY 24-27, 2018, pp.639-644. 
 
 Арк. 
РТ15.022123.248 ПЗ 65 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата