Please use this identifier to cite or link to this item: https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/8075
Title: Поліноміальні алгоритми вимірювання допплерівського зсуву частоти гармонічного сигналу при асиметричній заваді 1-го типу
Authors: Гавриш, Олександр Степанович
Буйда, Ігор Володимирович
Keywords: доплерівський зсув частоти;оцінка параметру випадкової величини;метод максимізації поліному;негауссівська завада;коефіцієнт асиметрії
Issue Date: 2022
Abstract: В роботі синтезовано поліноміальні обчислювальні алгоритми оцінювання доплерівського зсуву частоти гармонічного сигналу при відомих параметрах асиметричної завади (дисперсії та коефіцієнту асиметрії). Для знаходження оцінок використовується метод максимізації поліному. Побудовані алгоритми оцінки доплерівського зсуву частоти гармонічного сигналу при степенях поліному від 1 до 5.
URI: https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/8075
Appears in Collections:172 Електронні комунікації та радіотехніка (Радіотехніка та робототехнічні системи)

Files in This Item:
File Description SizeFormat 
М_172_Буйда_Гавриш_2022.pdf
  Restricted Access
1.2 MBAdobe PDFView/Open Request a copy


Items in DSpace are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.

Extracted text
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ 
ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ 
ФАКУЛЬТЕТ ЕЛЕКТРОННИХ ТЕХНОЛОГІЙ, АВТОТРАНСПОРТУ ТА 
МАШИНОБУДУВАННЯ 
КАФЕДРА РОБОТОТЕХНІЧНИХ І ТЕЛЕКОМУНІКАЦІЙНИХ  
СИСТЕМ ТА КІБЕРБЕЗПЕКИ 
 
До захисту допущено  
завідувач кафедри РТСК 
д.т.н., професор __________ В.В. Палагін  
"_____" грудня 2022 року 
 
Пояснювальна записка 
до випускної роботи 
освітнього ступеня «магістр» 
на тему: «Поліномінальні алгоритми вимірювання доплерівського зсуву частоти 
гармонічного сигналу при асиметричній заваді 1-го типу» 
 
Виконав студента 2 курсу групи РТ-015 
Спеціальність – 172 «Телекомунікації та радіотехніка» 
Освітня програма – «Радіотехніка та робототехнічні системи» 
Буйда Ігор Володимирович 
Керівник роботи Гавриш О.С. 
Рецензент  Гальченко В.Я. 
 
 
 
 
м. Черкаси – 2022 рік
 
ЗМІСТ 
Вступ 5 
1. ВИКОРИСТАННЯ ЕФЕКТУ ДОПЛЕРА В ТЕХНІЧНИХ ДОДАТКАХ 7 
1.1 Фізична сутність ефекта Доплера 7 
1.2 Класичний опис ефекту Доплера 9 
1.3 Релятивістський опис ефекту Доплера 11 
1.4 Експериментальна перевірка ефекту Доплера 13 
1.5 Прояв та використання ефекту Доплера 15 
2. ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ СИГНАЛІВ 17 
2.1 Критерій оптимальності розв'язання задачі оцінювання параметра  
сигналу 17 
2.2 Потенційна точність оцінювання параметра сигналу. Нерівність  
Крамера-Рао 18 
2.3 Оцінка максимальної правдоподібності 24 
2.4 Структура оптимального оцінювача 27 
2.5 Оцінювання параметрів детермінованого сигналу 29 
2.6 Оцінювання неенергетичного параметра детермінованого сигналу 32 
3. СИНТЕЗ ПОЛІНОМІАЛЬНИХ АЛГОРИТМІВ ВИМІРЮВАННЯ  
ДОПЛЕРІВСЬКОГО ЗСУВУ ЧАСТОТИ ПРИ АСИМЕТРИЧНІЙ ЗАВАДІ  36 
3.1 Постановка задачі 36 
3.2 Знаходження оцінки параметра сигналу f в умовах впливу  
негаусівських завад методом максимізації полінома при S=1 41 
3.3 Знаходження оцінки параметра сигналу f в умовах впливу  
негаусівських завад методом максимізації полінома при S=2 43 
3.4 Знаходження оцінки параметра сигналу f в умовах впливу  
негаусівських завад методом максимізації полінома при S=3 45 
 
 
РТ15.022119.248 ПЗ 
Змн . Арк. № докум. Підпис  Дата 
 Розроб. Буйда І. В. Літ. Арк. Акрушів 
 Перевір. Гавриш О.С. Поліномінальні алгоритми 3           69 
вимірювання доплерівського зсуву 
 Реценз.  
частоти гармонічного сигналу при 
 Н. Контр. Гавриш О.С. ЧДТУ 
асиметричній заваді 1-го типу 
 Затверд. Палагін В.В. 
 
3.5 Знаходження оцінки параметра сигналу f в умовах впливу  
негаусівських завад методом максимізації полінома при S=4 48 
3.6 Знаходження оцінки параметра сигналу f в умовах впливу  
негаусівських завад методом максимізації полінома при S=5 52 
3.7 Дослідження статистичних характеристик знайдених оцінок 60 
ВИСНОВКИ 67 
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ 69 
  
 
  
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
4 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
ВСТУП 
 
Актуальність роботи. Ми часто стикаємося з ефектом Доплера, вловлюючи 
зміну висоти тону звуку внаслідок руху джерела звуку щодо нерухомого 
спостерігача чи, навпаки, під час руху приймача щодо нерухомого випромінювача. 
Ефект Доплера проявляється (і використовується) у найрізноманітніших 
додатках. Одним з поширених прикладів є доплерівський радар, хвильовий пучок 
якого прямує на об'єкт, що рухається. Знаючи час, протягом якого хвильовий пакет 
сягає мети, відбивається і повертається назад до передавача, можна розрахувати 
швидкість мети. Доплерівський радар використовується поліцейськими для 
виявлення машин, які рухаються швидше, ніж встановлене швидкісне обмеження. 
Ефект Доплера також використовується в астрономії для визначення 
напрямку та швидкості, з якою зірки, планети та галактики рухаються щодо Землі. 
Вимірюючи зміну «кольору» електромагнітних хвиль, астроном може визначити 
радіальну швидкість небесного тіла. Якщо ви помітите червону зірку, це означає, 
що вона досить далеко від Землі. Крім того, це очевидний індикатор того, що 
Всесвіт розширюється. 
Ефект Доплера також використовується у метеорологічних прогнозах, 
гідролокаторах, медичній інтроскопії, вимірі кровотоку та супутниковому зв'язку. 
Таким чином, важливою задачею, особливо при розробці апаратури, є 
задача оцінки доплерівського зсуву частоти. Традиційно в постановці такої 
задачі припускається гауссівський закон розподілу адитивної завади, однак 
практичні дослідження вказують на необхідність врахування негауссівського 
характеру завади. 
Мета і завдання дослідження. Метою даної роботи є розробка 
поліноміальних алгоритмів вимірювання доплерівського зсуву частоти 
гармонічного сигналу, оптимізованих під асиметричну заваду 1-го типу. 
Поставлена мета досягається шляхом вирішення наступних завдань: 
• аналіз класичних методів оцінки параметрів гармонічного сигналу і завад; 
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
5 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
• вибір та обґрунтування адекватних математичних моделей, які враховують 
більш тонку структуру перешкод порівняно з гаусовими моделями; 
• синтез оптимальних поліноміальних алгоритмів оцінки доплерівського 
зсуву частоти гармонійного сигналу; 
• аналіз точнісних характеристик синтезованих алгоритмів і порівняння їх з 
існуючими аналогами. 
Практичне значення одержаних результатів полягає в тому, що 
поліномінальні алгоритм вимірювання доплерівського зсуву частоти гармонічного 
сигналу при асиметричній заваді 1-го типу можуть бути використанні для 
створення в радіолокації та медицині вимірювальних систем з більш точними 
характеристиками.  
  
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
6 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
1. ВИКОРИСТАННЯ ЕФЕКТУ ДОПЛЕРА В ТЕХНІЧНИХ ДОДАТКАХ 
 
1.1 Фізична сутність ефекта Доплера 
 
Ефектом Доплера називають зміну частоти і, відповідно, довжини хвилі 
коливань, що сприймаються спостерігачем (приймачем), при русі джерела 
коливань та спостерігача щодо друг від друга. 
На явище ефекту Доплера фізики звернули увагу в XIX столітті. Ефект 
знайшов перше підтвердження для звукових коливань в 1845 р. Голландець Бойс-
Баллот провів досвід з горністами, які перебували на платформі, що рухалася зі 
швидкістю 70 км/год. Звук, що сприймався, був на півтона вище, якщо платформа 
з граючими горністами наближалася до слухача, і на півтона нижче, якщо 
віддалялася. Сам Крістіан Доплер, спостерігаючи за поширенням хвиль по водній 
гладі, зауважив, що відстані між гребенями залежать від руху джерела щодо водної 
поверхні. Наслідуючи хвильову теорію, він поширив дію ефекту і на світло. В 1842 
вийшла його робота “Uber das farbige Licht der Doppelsterne und einiger anderer 
Gestirne des Himmels” («Про кольорове світло подвійних зірок та деяких інших 
зірок на небесах»), де дослідник вказав, що наближення та видалення небесних тіл 
від спостерігача на Землі має призводити до змін частоти світла, що випускається. 
Пояснити це явище можна в такий спосіб. Нехай джерело коливань рухається 
у напрямку приймача. Вимірювана приймачем частота ν реєстрованих хвиль буде 
більше, ніж якби джерело спочивало, оскільки за період коливань T0 = 1/ν0 (у 
системі, де осцилятор нерухомий) джерело проходить деяку відстань і більша 
кількість гребенів хвиль встигають досягати приймача. Для хвиль оптичного 
спектру в такому випадку спостерігатиметься фіолетове зміщення в область 
коротких хвиль, акустичних — підвищення висоти звуку. 
На рис.1.1 демонструється скорочення довжини хвилі, що спостерігається 
при наближення джерела (при розміщенні детектора ліворуч від джерела). При 
видаленні джерела частота, що реєструється менше ν0. 
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
7 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
 
Рисунок 1.1 – Зміна довжини хвиль, що реєструються, в ефекті Доплера 
 
Деякі літературні джерела пропонують змінити визначення ефект Доплера, 
виходячи з наступної ідеї: розбіжність «власної частоти» джерела і частоти, що 
реєструється приймачем може відбуватися не тільки через взаємний рух джерела 
та приймача. Якщо використати поняття «оптичної довжини шляху» для фотона, 
то ефект Доплера можна визначити як «нерівність частот випромінюваної і 
прийнятої гармонійних хвиль, якщо в процесі прийому змінюється оптична 
довжина шляху». Оптична довжина шляху залежить від положення джерела в 
момент випромінювання кванта світла щодо напрямку поширення світла, 
положення приймача в момент реєстрації та стану середовища (наприклад, на 
шляху променя може бути рухоме дзеркало чи на шляху променя зустрічається 
рухома межа розділу середовищ). 
  
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
8 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
1.2 Класичний опис ефекту Доплера 
 
Розглянемо спочатку випадок поширення акустичної хвилі або світлової 
хвилі в концепції ефіру, коли джерело рухається по напрамку до приймача 
(рис.1.2). 
 
Рисунок 1.2 – Найпростіший випадок: рух джерела 
 
Реєстрована довжина хвилі: 
 
�� − ��
��1 = ����0 − ����0 =  
��0
 
де ��0 – період власних коливань джерела, c та u – швидкості світла та джерела в 
системі, пов'язаної із середовищем (рис.1.2). Частота, що фіксується детектором: 
 
�� ��
��1 = = ��
�� 0  
1 �� − ��
 
Якщо ж і приймач рухається по відношенню до середовища назустріч 
приймачеві зі швидкістю ��, то додаткова кількість зареєстрованих за 1 секунду 
коливань: 
 
�� ��
�� = ��1 + ∆�� = ��1 + = ��1(1 + ) 
��1 ��
 
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
9 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
Отже, частоти хвилі ��1 і ��, що реєструється і випромінюється, пов'язані 
співвідношенням: 
 
�� �� +��
�� = ��1 (1 + ) = ��  
�� 0 �� − ��
 
Можна показати, що у разі рівномірного руху з довільними у напрямку 
швидкостей з кутами ���� і ����, які утворюють вектори швидкостей з вектором R, що 
з'єднує приймач і джерело, співвідношення частот виглядає як: 
 
��
1+ + ����������
�� = �� ��
0 ��  
1 + − ��������
�� ��
 
Оскільки, за сучасними уявленнями, світло не потребує середовища, то зміна 
частот має виражатися через відносну швидкість V = u − w. Якщо �� - кут між 
векторами V і R, то при �� ≪ �� отримуємо класичну формулу для ефекту Доплера 
поза ефірними уявленнями: 
 
�� �� ��
�� ≈ ��0 (1 + ����������) (1 + ����������) = ��0 (1 + ��������), 
�� �� ��
 
з урахуванням 
 
�� = ������������ −������������ 
 
Варто зазначити, що у загальному випадку відношення частот ��0= �� є 
функція часу: воно залежить від проекції ��(��1)����������(��1) у момент 
випромінювання хвилі та проекції ��(��2)����������(��2) момент прийому сигналу. 
  
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
10 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
 
 
Як було зазначено, зміна частот має залежати від швидкості приймача щодо 
джерела. Зв'яжемо з приймачем систему відліку R (receiver), а з джерелом - систему 
S (source), що рухається щодо R зі швидкістю V. Із загальних правил перетворень 
4-векторів запишемо хвильовий вектор k в системі S через координати в системі R: 
 
�� �� �� �� ��
�� − �� − ��
0 1 �� 2 ��������
���� �� 0 ��
0 = ⟺ = ��
 
��2 �� ��2√1 − √
2 1 −
�� ��2
 
де �� = ��⁄ 2����
0 �� = ⁄��, ��1 = ���������� =
��⁄�� ��������, де �� - кут між напрямом 
випромінювання фотона та напрямком руху джерела у системі R. Звідси отримуємо 
загальну формулу: 
√ ��2
1 −
��2
�� = ��0  
��
1 − ��������
��
 
З цієї формули при V≪c, якщо θ не надто близький до ��⁄2, отримаємо в 1-
му порядку формулу для поздовжнього ефекту Доплера: 
 
��2 �� ��
�� ≈ ��0 (1 − ) (1 − ��������) = ��0 (1 − ��������) 
��2 �� ��
 
Якщо ж �� = ��⁄2, то для частоти при невеликих V маємо: 
 
��2 ��2
�� ≈ ��0√1 − = ��0 (1 − ) 
��2 ��2
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
11 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
Остання формула є відображенням поперечного ефекту Доплера, що 
класична теорія не передбачає. Зазначимо, поперечний ефект проявляється значно 
менше, так як відносна зміна частот ����0⁄��0 = |��0 − ��|⁄��0 пропорційно 
відношенню ��2⁄��2. 
  
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
12 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
1.4 Експериментальна перевірка ефекту Доплера 
 
Експеримент із перевірки ефекту Доплера в оптиці довго поставити не 
вдавалося через труднощі досягнення таких швидкостей, щоб зміну частоти можна 
було виміряти. Перший експеримент поставив А. А. Білопольський у 1905 році, 
використовуючи 2 дзеркала, що рухаються назустріч один одному. 
Монохроматичне світло потрапляло в зазор між дзеркалами (див. рис. 1.3); за 
рахунок великої кількості відображень уявне джерело, світло від якого потрапляло 
в спектрограф, рухалося зі швидкістю близько 1 км/c, що дозволило вперше 
спостерігати ефект Доплера. 
 
Рисунок 1.3 – Схема досліду Білопільського 
 
Досоід з перевірки поперечного ефекту Доплера був поставлений в 1938 р. 
Г.Айвсом та Д. Стіллуеллом. Реєструвалося випромінювання рухомих зі 
швидкістю 106 м/c атомів водню за напрямком і проти їхнього руху. Середнє від 
двох отриманих частот відхилялося від власної частоти випромінювання атомів на 
половину квадрата відношення V/c. Група вчених у складі Д. Чемпні, Г. Айзека, 
А.Хана та Д. Муна провела у 1961–63 роках серію дослідів з месбауерівської 
спектроскопії з джерелом і приймачем, встановленими на диску, що обертається. 
Як показав експеримент, при розміщенні приймача в центр диска та детектора на 
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
13 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
периферію диска спостерігається поперечний ефект Доплера (рис.1.4,а): спектр 
зміщується в синю область. Якщо поміняти місцями приймач і детектор, 
спостережуваний спектр зміститься в червону область (рис.1.4,б). У разі 
розташування випромінювача та спостерігача у протилежних точках одного 
діаметра зміна частоти не відбувається: це пояснюється в деякому сенсі 
накладанням червоного та синього зсуву спектру, що призводить до відсутності 
ефекту (рис. 1.4,в). 
 
а)                            б)                                в) 
Рисунок 1.4 – Схеми дослідів Чемпні 
  
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
14 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
1.5 Прояв та використання ефекту Доплера 
 
Доплер мав рацію, коли припустив, що частота реєстрованого 
випромінювання залежить від радіальної швидкості, тобто від швидкості у 
напрямку до спостерігача. Використовуючи ефект Доплера, можна оцінити 
відстань до зірок та швидкість їх віддалення від Землі. Серед безлічі зірок 
вибирається група з однаковим періодом зміни світності, розраховується їхня 
середня променева швидкість за ефектом Доплера щодо зірок, які вважаються 
нерухомими за проміжок часу, що розглядається (наприклад, порівнюють 
спектральні лінії водню, рис. 1.5). Припускаючи, що в середньому тангенціальні та 
променеві швидкості приблизно однакові, обчислюють відстань R за формулою: 
 
?̅?��
�� =  
��
 
де ?̅? — середня швидкість, �� — дугове переміщення зірки (перпендикулярно до 
променя). За постійним зміщенням спектра (тобто не за періодичними змінами 
частоти) можна визначити швидкість видалення зірки. Крім того, спектри можуть 
бути розширені. Це може бути пов'язано з обертанням зірки: різні точки зіркової 
поверхні рухаються із різними швидкостями від мінімальної до максимальної на 
краях видимого диска. Іноді аналіз спектру дозволяє зробити висновок про 
пристрій зіркової системи, наприклад, про наявність подвійних зірок у її складі. З 
ефектом Доплера пов'язують також анізотропію реліктового випромінювання. 
Дипольну анізотропію - підвищення температури випромінювання на 0,1% 
порівняно із середньою у виділеному напрямку та зменшення на 0,1% у 
протилежному напрямку – пов'язують із рухом Сонячної системи щодо реліктового 
фону у бік сузір'я Гідри. За величиною зміни температури вимірюється швидкість 
руху Сонця, і навіть Місцевого скупчення галактик. 
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
15 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
 
Рисунок 1.5 – Червоне зсунення спектрів зірок 
 
При спостереженні за полум'ям або свіченням газорозрядної трубки ми також 
можемо помітити розширення ліній, спричинене тепловим рухом молекул та 
атомів. Спектральні лінії від частинок, що віддаляються від детектора буде зміщено 
в червону область, від тих, що наближаються - в фіолетову. Зрозуміло, що 
розширення залежить від середньої енергії руху випромінювачів. Тож іноді стає 
можливим визначити температуру джерела випромінювання щодо розширення 
його спектральних ліній, приклад — фотосфера (зовнішня оболонка) зірок. У 
техніці ефект призвів до створення радарів: при русі об'єкта зі зміни частоти 
радіохвилі при відображенні можна будувати висновки про швидкості руху. Ефект 
Доплера використовується у навігації та системах позиціонування. Доплерівські 
витратоміри дозволяють визначати поле швидкостей потоків рідини чи газу. 
  
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
16 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
2. ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ СИГНАЛІВ 
 
2.1 Критерій оптимальності розв'язання задачі оцінювання параметра 
сигналу 
 
При повторенні дослідів щодо оцінювання параметра сигналу, через вплив 
шуму, приймач буде приймати різні значення, тобто результат оцінювання (оцінка) 
є випадковою величиною, яка при дискретній обробці процесу ξ(t) залежить від 
його відліків: 
 
?̂? = ��(ξ0, ξ1, … , ξ��−1) 
 
де ��(��0, ��1, … , ����−1)- детермінована функція N змінних, що відповідає правилу 
(алгоритму, способу) оцінювання. 
Оптимальною є така оцінка, значення якої, одержувані в різних дослідах, 
виявляються локалізованими у справжнього значення параметра сигналу. Така 
оцінка має властивості: 
1. Незміщеність. Тобто математичне очікування оцінки збігається з дійсним 
значенням параметра сигналу: 
 
��?̂? = ��{?̂?|��} = �� 
 
2. Ефективність. Тобто серед усіх можливих оцінок вона забезпечує мінімальну 
дисперсію: 
 
��2 |
?̂? = ��{?̂? ��} → ������ 
  
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
17 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
2.2 Потенційна точність оцінювання параметра сигналу. Нерівність 
Крамера-Рао 
 
Точність оцінювання параметра сигналу характеризується дисперсією 
оцінки ��2?̂? . Покажемо, що незалежно від способу оцінювання існує нижня межа 
досяжних значень дисперсії оцінок. Наступні міркування проведемо в припущенні, 
що умовна шільність розподілу ймовірностей (ЩРЙ) оброблюваного процесу 
��ξ(��0, ��1, … , ����−1|��), що розглядається як функція �� і звана функцією 
правдоподібності, двічі диференційована по �� , а її перша та друга похідні 
абсолютно інтегровані. 
З урахуванням якості математичного очікування, запишемо: 
 
+∞ +∞
��?̂? = ∫ … ∫ ��(��0, … , ����−1)��ξ(��0, … , ����−1|��)����0…������−1
−∞ −∞
+∞
= ∫ ��(→)��ξ(→ |��) →  
�� �� ����
−∞
 
В останньому виразі використано символічний запис багатовимірних 
інтегралів, що використовується для зменшення громіздкості математичних 
виразів, зокрема зазначено: 
→{��0, ��1, … , ����−1} - вектор змінних; 
��
→ = ����0, ����1, … , ������−1 
����
Математичне очікування оцінки можна також представити у вигляді: 
 
��?̂? = �� + ∆(��), 
 
де ∆(��) зсув, у випадку залежить і від параметра сигналу. 
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
18 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
З урахуванням умови нормування для ЩРЙ, прирівнюючи, отримаємо: 
 
 
Продиференціюємо обидві частини записаної рівності щодо ��: 
 
, 
 
звідки 
 
. 
 
Зауважимо, що рівність 
 
 
 
дозволяє переписати у вигляді: 
 
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
19 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
. 
 
Скориставшись нерівністю Буняковського – Шварца 
 
 
 
з останнього виразу отримаємо: 
 
 
 
Оскільки 
 
 
 
 
Дисперсія оцінки за умови, що дійсне значення параметра детерміноване, то 
останню нерівність можемо переписати у вигляді: 
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
20 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
 
 
Нерівність називається нерівністю Крамера-Рао. Вона визначає нижню межу 
дисперсії будь-яких оцінок. Незалежно від структури оцінювача та способу 
оцінювання неможливо отримати дисперсію менше, ніж 
 
 
 
Нижня межа дисперсії визначається обсягом вибірки та ЩРЙ процесу, що 
обробляється, а також може залежати від значення параметра ��. 
Розглянемо інші форми запису, які у ряді випадків виявляються зручнішими. 
Оскільки функція правдоподібності ��ξ(→| ��) задовольняє умову нормування 
��
 
 
 
після диференціювання лівої та правої частин, маємо: 
 
 
 
що можна переписати у вигляді: 
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
21 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
. 
 
Диференціювання останнього виразу по �� дає: 
 
. 
 
Перший інтеграл в отриманому вираженні з урахуванням: 
 
 
 
Другий інтеграл: 
 
 
 
Таким чином: 
 
 
 
можна також записати у вигляді: 
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
22 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
. 
Введемо до розгляду відношення правдоподібності, як відношення ЩРЙ 
оброблюваного процесу, за умови, що параметр сигналу прийняв значення �� до 
ЩРЙ оброблюваного процесу, за умови, що сигнал не передавався, тобто на вході 
оцінювача був тільки шум: 
 
Розглянемо також логарифм відносини правдоподібності та її похідні (у 
припущенні їх існування): 
 
З урахуванням нижня межа дисперсії оцінок може бути представлена у 
вигляді: 
 
 
У разі безперервної обробки прийнятого коливання використовується 
функціонал правдоподібності: 
  
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
23 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
2.3 Оцінка максимальної правдоподібності 
 
Згідно з оптимальною оцінкою ?̂?опт = ��опт(ξ0, ξ1, … , ξ��−1) є незміщена 
оцінка з мінімальною дисперсією. (Тут ��опт(ξ0, ξ1, … , ξ��−1)) позначено оптимальну 
функцію оцінювання.) Для такої оцінки зміщення ∆(��) = 0, а нерівність Крамера-
Рао звертається до рівності: 
 
 
 
З іншого боку нерівність Крамера-Рао звертається до рівність, коли 
звертається до рівності нерівність Буняковського-Шварца. Це має місце, якщо 
�� (→) = ���� (→), де ��(��) - довільна функція, яка залежить від → і, відповідно до 
�� �� ��
 
 
 
тобто 
 
 
Оскільки ��?̂? = ��, то 
 
 
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
24 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
Отримана рівність виконується для всіх наборів →, у тому числа і для набору 
��
відліків реалізації процесу, що обробляється  →= →= {ξ0, ξ1, … , ξ��−1}, а також для 
�� ξ
всіх значень параметра �� , у тому числі і для �� = ��опт(ξ0, ξ1, … , ξ��−1). У зазначеному 
окремому випадку отримаємо, що значення оптимальної оцінки є коренем 
рівняння: 
 
 
 
Отримане рівняння називається рівнянням максимальної правдоподібності, 
а отримана оцінка – оцінкою максимальної правдоподібності. 
З урахуванням рівняння максимальної правдоподібності можемо також 
записати у вигляді: 
 
 
 
Рівняння показують, що оптимальне оцінювання відповідає пошуку 
локального екстремуму функцій ln��ξ(ξ0, ξ1, … , ξ��−1|��)-, та ln Λ(ξ0, ξ1, … , ξ��−1|��): 
оптимальний алгоритм оцінювання при кожному фіксованому наборі відліків 
оброблюваної реалізації формує таке значення оцінки ?̂?опт = ��опт(ξ0, ξ1, … , ξ��−1), 
що відповідає значенню параметра сигналу в точці локального екстремуму. 
Надалі ми обмежуємося припущенням, що екстремальна точка ���� існує, 
єдина та відповідає глобальному максимуму. Тоді замість рівнянь максимальної 
правдоподібності, маючи на увазі також монотонність логарифму, можемо 
розглядати такі правила ухвалення рішення 
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
25 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
 
 
Повертаючись до визначення ЩРЙ, вираз перепишемо у вигляді: 
 
 
Як показує, як оціночний приймається таке значення параметра сигналу, для 
якого спостережувана сукупність відліків оброблюваної реалізації {ξ0, ξ1, … , ξ��−1} 
є найімовірнішою. 
При безперервній обробці коливання алгоритм оптимального оцінювання 
визначається функціоналом ?̂?опт = ��опт[ξ(t)] і перетворюються на вигляд: 
 
 
  
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
26 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
2.4 Структура оптимального оцінювача 
 
Розглянемо випадок, коли параметр сигналу є квантованою величиною �� ∈
{��0, ��1, … , ����−1}. Оптимальний оцінювач, що реалізує правило, повинен визначити 
ставлення правдоподібності для всіх можливих значень параметра сигналу, і те 
значення, для якого відношення правдоподібності максимально запропонувати як 
оцінку, чому відповідає наступне правило прийняття рішення: 
 
 
 
Отриманому правилу відповідає схема, показана на рис.2.1. Оцінювач є 
багатоканальним пристроєм. 
 
Рисунок 2.1 – Структурна схема оптимального оцінювача 
 
Кожен канал містить блок, в якому визначається функціонал відношення 
правдоподібності від прийнятої реалізації при відповідне значення параметра 
сигналу. Схема вибору максимуму (СВМ) визначає канал з максимальним 
відгуком, відповідно до якого і формується значення оцінки. 
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
27 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
Схема, аналогічна, що показана на рис.2.1, з тією різницею, що у кожному 
каналі оцінювача формується значення логарифму функціоналу відношення 
правдоподібності. 
При зменшенні кроку квантування параметра отримані результати 
наближаються до випадку безперервної зміни параметра. 
При використанні багатоканальних оцінювачів для оцінки безперервного 
параметра, крок квантування для формування значень параметра, що відповідають 
різним каналам, можна вибирати, керуючись середнім квадратичним відхиленням 
оцінки ∆�� ≤ ��?̂?. Надмірне зменшення кроку квантування призведе лише до більш 
точного подання помилок оцінювання. 
  
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
28 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
2.5 Оцінювання параметрів детермінованого сигналу 
 
Параметром сигналу, що оцінюється, є амплітуда �� = ��. Вираз для сигналу 
запишемо у вигляді: 
 
S(��, ��) = ����0(��), 
 
де ��0(��) – детермінований сигнал з енергією ��0. Відношення правдоподібності в 
даному випадку дорівнює: 
 
 
де                                . 
 
 
Логарифм відношення правдоподібності: 
 
 
 
Розглядаючи як функцію A неважко встановити, що ми маємо справу з 
багаточленом другого ступеня. Графік зазначеної функції є параболу, гілки якої 
спрямовані у бік негативних ординат. Ця функція має єдиний локальний максимум, 
який є глобальним. 
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
29 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
Функціонал оптимального оцінювання визначимо, використовуючи 
рівняння максимальної правдоподібності. Для цього знайдемо похідну: 
 
 
 
запишемо рівняння максимальної правдоподібності: 
 
 
 
знайдемо його рішення: 
 
 
 
Структурні схеми, що відповідають співвідношенню вище, показані на 
рис.2.2. 
 
Рисунок 2.2 – Структурні схеми оцінювачів амплітуди детермінованих сигналів 
 
Для визначення потенційної точності оцінювання амплітуди 
детермінованого сигналу знайдемо другу похідну: 
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
30 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
 
 
2��
де �� 0
сф0 = √  відношення сигнал/шум на виході фільтра узгодженого з сигналом 
��0
��0(��), і скористаємося: 
 
 
  
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
31 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
2.6 Оцінювання неенергетичного параметра детермінованого сигналу 
 
Відношення правдоподібності в даному випадку має вигляд: 
 
 
 
����
де �� = ∫ ��2(��, ��) ���� - енергія сигналу, незалежна від ��; 
0
��
������ =
��
∫ ��(��)��(��, ��) ���� = �������� - коефіцієнт кореляції. 
0
Логарифм відносини правдоподібності: 
 
 
 
Правило конкретизується у вигляді: 
 
 
 
Структурні схеми багатоканальних оцінювачів, що відповідають рівнянню 
вище, показані на рис.2.3. 
Для визначення потенційної точності оцінювання знайдемо похідні: 
 
 
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
32 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
 
Рисунок 2.3 – Структурні схеми багатоканальних оцінювачів неенергетичного 
параметра детермінованого сигналу 
К – корелятор, УФ – узгоджений фільтр, СВМ - схема вибору максимуму. 
 
і математичне очікування: 
 
 
2��
де ��сф = √  - максимальне відношення сигнал/шум на виході фільтра, 
��0
узгодженого з сигналом ��(��, ��), 
1 ��
��(��, ��0) =
��
∫ ��(��, ��0)��(��, ��)���� - нормована АКФ за параметром. 
�� 0
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
33 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
Дисперсія оцінки: 
 
 
 
Дисперсія оцінки, що відповідає істинному значенню параметра ��0: 
 
 
 
АКФ є функцією лише різниці своїх аргументів, тоді ��(��, ��0) =  ��(�� − ��0) =
��(∆��) і останній вираз перепишеться в вигляді: 
 
 
 
Зокрема, при оцінюванні початкової фази отримаємо: 
 
 
 
Дисперсія оцінки, як видно, визначається відношенням сигнал/шум на виході 
узгодженого фільтра та другої похідної АКФ сигналу за параметром в околиці 
нуля, що характеризує «гостроту» графіка АКФ. Для пояснення сказаного 
апроксимуємо АКФ на околиці нуля виразом: 
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
34 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
��(∆��) ≈ 1 − ��∆��2 
 
Тоді для другої похідної маємо: 
 
��(∆��) ≈ −2�� 
 
 
Рисунок 2.4 – Графіки АКФ в околиці нуля 
 
Фрагменти графіків апроксимуючої функції на околиці нуля показано на 
рис.2.4 при різних значеннях параметра ��. З малюнка видно, що чим більше 
значення �� тим «гостріше» пік АКФ на околиці нуля. При цьому виявляється і 
більшою за абсолютним значенням похідна АКФ і, відповідно, меншою дисперсія 
оцінки. 
  
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
35 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
3. СИНТЕЗ ПОЛІНОМІАЛЬНИХ АЛГОРИТМІВ ВИМІРЮВАННЯ 
ДОПЛЕРІВСЬКОГО ЗСУВУ ЧАСТОТИ ПРИ АСИМЕТРИЧНІЙ ЗАВАДІ  
 
3.1 Постановка задачі 
 
Нехай спостерігається адитивна суміш корисного сигналу та завади 
 = S+, де S – корисний сигнал,  – завада, яка описується за допомогою 
початкових моментів, що знаходяться зі співвідношення: 
 
�� = ��(���� ), �� = 1̅̅̅̅, ��̅ 
 
Оскільки оцінювання проводиться до степеня стохастичного полінома s = 5, 
то для розрахунків використовуються моменти завади до 10 порядку, де ���� – 
кумулянти i-го порядку, які можна виразити через кумулянтні коефіцієнти ����: 
��/2
���� = �� �� , �� = ̅̅2 �� 3̅̅, ��̅ 
��1 = ��() = 0 
��2 = ��(
2) = ��2 
��3 = ��(
3) = �� = ��1,5 3 2 ∙ ��3 
��4 = ��(
4) = ��4 + 3��
2
2 = ��
2
2 ∙ (3 + ��4) 
�� = ��( 5) = 10��2,55  2  
�� = ��(6) = ��3(10��26 2 3 + 15��4 + 15)… 
 
Оскільки досліджується адитивна суміш корисного сигналу та завади, то для 
розрахунків необхідно знати початкові моменти не тільки завади, а також 
випадкової величини . 
Отже моменти досліджуваної випадкової величини в загальному випадку 
знаходяться з виразу 
�� = ��( ��
��  ), �� = 1̅̅̅̅, ��̅ 
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
36 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
��1�� = ����, 
��2�� = ��
2
�� + ��2, 
�� 3 1,5
3�� = ���� + 3������2 + ��2 ��3, 
��4�� = ��
4
�� + 6��
2 1,5 2
����2 + 4������2 ��3 + 3��2 , 
�� 5
5�� = ���� + 10��
3 2
����2 + 10������
1,5
2 ��3 + 15������
2 + ��2,52 2 ��3, 
�� = ��6 + 15��4�� + 20��3��1,5�� + 45��2��26�� �� �� 2 �� 2 3 �� 2 + 
+60�� ��2,5 3
�� 2 ��3 + ��2(10��
2
3 + 15). 
��7�� = ��
7
�� + 21��
5
����2 + 35��
4 1,5
����2 ��3 + 105��
3 2
����2 + 210��
2 2,5 3 2
����2 ��3 + 7������2(10��3 + 15)
+ 105��3,52 ��3, 
�� = ��8 + 28��6�� + 56��5��1,58�� �� �� 2 �� 2 ��3 + 210��
4 2
����2 + 560��
3��2,5�� + 28��2��3(10��2�� 2 3 �� 2 3 + 15)
+ 840������
3,5 4 2
2 ��3 + ��2(280��3 + 105) 
�� = ��9 + 36��7�� + 84��6��1,5�� + 378��5��2 + 1260��49�� �� �� 2 �� 2 3 �� 2 ����
2,5
2 ��3 + 
+84��3��3(10��2�� 2 3 + 15) + 3780��
2 3,5
����2 ��3 + 9�� ��
4
�� 2(280��
2
3 + 105) + 
+��4,52 ��3(280��
2
3 + 1260) 
��10�� = ��
10
�� + 45��8����2 + 120��
7 1,5 6 2 5 2,5
����2 ��3 + 630������2 + 2520������2 ��3 + 
+210��4����
3
2(10��
2
3 + 15) + 12600��
3
����
3,5
2 ��3 + 45��
2��4�� 2(280��
2
3 + 105) + 
+10�� ��4,5�� 2 ��3(280��
2
3 + 1260) + ��
5
2(6300��
2
3 + 945) 
Для проведення подальших розрахунків необхідно також знати центровані 
корелянти ����,�� для адитивної суміші корисного сигналу та завади, які знаходяться з 
формули: 
 
����,�� = ����,�� − ���� ∙ ���� 
����,�� = ����+�� −���� ∙ ���� 
�� = �� −��21,1 2 1 = ��2, 
�� 1,5
1,2 = ��3 −��1 ∙ ��2 = 2������2 + ��2 ��3, 
��1,3 = ��4 −�� ∙ �� = 3��2�� + 3�� ��1,51 3 �� 2 �� 2 ��3 + 3������2, 
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
37 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
⁄ ⁄
��1,4 = ��5 −��1 ∙ �� =4��34 ����2 + 6��
2
���� ��
3 2
3 2 + 12������
2
2 + 10��
5 2
3��2 , 
⁄ ⁄
��1,5 = ��6 −��1 ∙ ��5 = 5��
4�� + 10��3�� ��3 2�� 2 �� 3 2 + 30��2����
2
2 + 50������3��
5 2 + 15��32 2 +
10��2��33 2 , 
��2,1 = ��1,2 = 2�� �� + ��1,5�� 2 2 ��3, 
�� = �� −��2 2 1,5 2
2,2 4 2 = 4������2 + 4������2 ��3 + 2��2 , 
��2,3 = ��5 −��2 ∙ ��3 = 6��
3�� + 9��2�� ��1,52 3 2 + 12���� 2
2 + 9�� ��2,53 2 , 
��2,4 = ��6 −��2 ∙ ��4 
⁄ ⁄
=8��4����2 + 16��
3
���� ��
3 2
3 2 + 36��2 2
����2 + 56�� �� ��
5 2 + 12��3 + 10��2�� 3 2 2 3��
3
2 , 
��2,5 = ��7 −��2 ∙ ��5
⁄ ⁄
= 10��5����2 + 25��
4�� 3 2 3 2 2 5 2 3
�� 3��2 + 80������2 + 190������3��2 + 90������2
⁄
+ 70�� ��2�� 3��
3
2 + 95��3��
7 2
2 , 
�� 2 1,5
3,1 = ��1,3 = 3������2 + 3������2 ��3 + 3������2, 
��3,2 = ��2,3 = 6��
3�� + 9��2�� ��1,5 + 12���� 2 2,5
2 3 2 2 + 9��3��2 , 
��3,3 = ��6 −��
2
3 
9��4�� + 18��3�� ��1,5= 2 3 2 + 36��2�� 2 2,5 3 2 3
2 + 54����3��2 + 15��2 + 9��3 ��2  
��3,4 = ��7 −��3 ∙ ��4 
⁄ ⁄
= 12��5����2 + 30��
4
����
3 2 3 2 2 5 2 3
3��2 + 84������2 + 192������3��2 + 96������2 + 66�� ��
2
�� 3��
3
2
⁄
+ 102�� ��7 23 2 , 
��3,5 = ��8 −��3 ∙ ��5
6 5 3⁄ ⁄
= 15�� 2 4 2 3 5 2 2 3
����2 + 45������3��2 + 165������2 + 510������3��2 + 375������2
+ 270��2��2 3 7⁄
�� 3��2 + 795��
2
����3��2 + 105��42 + 270��
2
3��
4
2 , 
⁄ ⁄
��4,1 = ��
3 2
1,4 = 4������2 + 6������3��
3 2
2 + 12�� ��2 5 2
�� 2 + 10��3��2 , 
�� = �� 4 3 3⁄2 2 2 5⁄2 3 2 3
4,2 2,4 = 8������2 + 16������3��2 + 36������2 + 56������3��2 + 12��2 + 10��3��2 , 
⁄ ⁄
��4,3 = ��3,4 = 12��
5
����2 + 30��
4
����3��
3 2 3 2 2 5 2 3
2 + 84������2 + 192������3��2 + 96������2
⁄
+ 66�� ��2��3�� 3 2 + 102��3��
7 2
2 , 
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
38 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
��4,4 = ��8 −��
2
4 
3⁄2 5⁄2
=16��6�� + 48��5�� �� + 168��4��2 + 512��3�� �� + 384��2��3 2 2 3
�� 2 �� 3 2 �� 2 �� 3 2 �� 2 + 264������3��2 +
⁄
816�� �� ��7 2 4
�� 3 2 + 96��2 + 280��
2 4
3��2 , 
��4,5 = ��9 −��4 ∙ ��5
⁄ ⁄
= 20��7����2 + 70��
6�� ��3 2�� 3 2 + 300��5����
2 + 1150��42 ����3��
5 2
2 + 1140��3��3�� 2
+ 800��3��2��3
⁄
�� 3 2 + 3630��
2 7 2 4 2 4
����3��2 + 900������2 + 2480������3��2
⁄ ⁄
+ 1230�� 9 2 3 9 2
3��2 + 280��3��2 , 
⁄ ⁄
��5,1 = ��
4 3 3 2 2 2 5 2 3 2 3
1,5 = 5������2 + 10������3��2 + 30������2 + 50������3��2 + 15��2 + 10��3��2 , 
⁄
�� = �� = 10��5�� + 25��4�� ��3 2 + 80��3 2 2 5⁄2 3
5,2 2,5 �� 2 �� 3 2 ����2 + 190������3��2 + 90������2
⁄
+ 70�� ��2�� 3��
3
2 + 95��
7 2
3��2 , 
⁄ ⁄
�� = �� 6 5 3 2 4 2 3 5 2 2 3
5,3 3,5 = 15������2 + 45������3��2 + 165������2 + 510������3��2 + 375������2
+ 270��2��2��3 + 795�� �� ��7
⁄2
�� 3 2 �� 3 2 + 105��42 + 270��
2
3��
4
2 , 
⁄
�� = �� = 20��7�� + 70��6�� ��3 2 + 300��5��2 + 1150��4�� ��5
⁄2 + 1140��3��35,4 4,5 �� 2 �� 3 2 �� 2 �� 3 2 �� 2
+ 800��3��2��3 2 7⁄2
�� 3 2 + 3630������3��2 + 900������
4
2 + 2480��
2 4
����3��2
⁄ ⁄
+ 1230�� 9 2
3��2 + 280��3��9 23 2 , 
�� = �� −��25,5 10 5
8 7 3⁄= 25�� �� + 100�� �� 2 6 2 5 5⁄2
�� 2 �� 3��2 + 500������2 + 2300������3��2 + 2850��4��3�� 2
⁄
+ 2000��4��2��3�� 3 2 + 12100��
3�� ��7 2�� 3 2 + 4500��2 4
����2 + 12400��
2
����
2 4
3��2
⁄ ⁄
+ 12300�� 9 2
����3��2 + 2800�� 3 9 2 5 2 5
����3��2 + 945��2 + 6200��3��2 . 
  
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
39 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
3.2 Знаходження оцінки параметра сигналу f в умовах впливу 
негаусівських завад методом максимізації полінома при S=1 
 
Знайдемо оцінку параметра f досліджуваного сигналу для степеня полінома 
s =1. Відповідно до методу максимізації полінома, оцінка параметра знаходиться з 
рівняння, яке при s =1 запишеться у вигляді: 
 
�� ��
∑∑�� ��
��������[���� −������]| = 0 
��=?̂?
��=1 ��=1
��
∑��1��[���� −��1��]|��=?̂? = 0 
��=1
 
Враховуючи те, що ��1�� = ���� останній вираз можна записати в такому виді: 
 
��
∑��1��[���� − ����]|��=?̂? = 0 
��=1
 
де коефіцієнт ��1�� знаходиться з розв’язку рівняння 
 
��
��
∑������ ∙ ������ = ������(��) ����
��=1
 
де �� = 1̅̅̅̅, ��̅, �� = 1̅̅ ̅̅, ��̅. 
Підставивши в останній вираз значення центрованого корелянта ��1,1 та вираз 
для похідної від моменту першого порядку по оцінюваному параметру, отримаємо: 
 
�� 1 �� ����
��1�� ∙ ��1,1 = �� (��) ⟹ �� ∙ ∙ �� (��) =  
���� 1�� 1�� �� ����
1,1 ���� ��2
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
40 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
��
де ���� = ����(��) ����
Знайдемо кількість добутої інформації про оцінюваний параметр: 
 
�� ��
�� ��2��
��1��(��) = ∑��1�� �� =∑  
���� 1�� ��2
��=1 ��=1
 
Дисперсію оцінки параметра �� знайдемо, як величину, обернено пропорційну 
кількості добутої інформації: 
 
2 1 ��2
��(��)1 = =  
��1��(��) ∑�� 2
��=1����
  
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
41 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
3.3 Знаходження оцінки параметра сигналу f в умовах впливу 
негаусівських завад методом максимізації полінома при S=2 
 
Тепер знайдемо оцінку параметра �� для степеня полінома s = 2. Аналогічно, 
як і при степені полінома s =1, оцінка параметра знаходиться з рівняння: 
 
�� ��
∑∑������[���� −������]|��=?̂? = 0 
��=1 ��=1
 
яке для степеня полінома s = 2 можна записати у вигляді: 
 
�� ��
∑��1��[���� −��1��] +∑��2��[��
2
�� −��2��]| = 0 
��=1 ��=1 ��=?̂?
 
Невідомі коефіцієнти ℎ1�� та ℎ2�� знаходимо з розв’язку системи лінійних 
алгебраїчних рівнянь виду, яку можна записати так: 
 
 ��
 ��1(2)�� ∙ ��1,1 + ��2(2)�� ∙ ��1,2 = ��
���� 1��
 
 ��
 ��1(2)�� ∙ ��2,1 + ��2(2)�� ∙ ��2,2 = ��
{ ���� 2��
 
Для розв’язання даної системи застосуємо метод Крамера. Побудуємо 
матрицю з центрованих корелянтів, яка називається тілом стохастичного полінома 
розміром 2, і знайдемо її визначник: 
 
��1,1 ��1,2
∆= | | = 
��2,1 ��2,2
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
42 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
⁄
��2 2������
3 2
2 + ��3��
| 2
⁄ | 
2������2 + ��
3 2 2
3��2 2��2(2���� + 2������3√��2 + ��2)
∆= 2��3 − ��2 3
2 3��2  
 
Отже, розрахуємо оптимальні коефіцієнти ��1�� та ��2��: 
 
��
��1 ��1,2
∆1= |
���� | 
��
��2 ��
���� 2,2
 
⁄
���� 2�� 3 2
����2 + ��3��
| 2 | 
2��2�� 2��2(2��
2
�� + 2������3√��2 + ��2)
 
⁄
∆1= 2��
2
����3��
3 2
2 + 2������
2
2  
 
∆1 2����(������3 + √��2)
��1(2)�� = = −  
∆ ⁄
(−2 + ��2)��3 23 2
 
��
��1,1 ��1
∆2= |
���� | 
��
��2,1 ��
���� 2
 
��2 ����
| ⁄ | 
2������
3 2 2
2 + ��3��2 2����
⁄
∆2= −������3��
3 2
2  
 
∆2 ������3
��2(2)�� = =  
∆ ⁄
(−2 + ��2 3 2
3 )��2
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
43 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
Для знаходження дисперсії оцінки параметра ��, необхідно знайти кількість 
добутої інформації про оцінюваний параметр:  
 
�� ��
�� �� 2∑�� ��2��
��2��( )
��=1
�� =∑��1�� ��1�� +∑��2�� ��2�� = −  
���� ���� (−2 + ��2)��2
��=1 ��=1 3
 
Отже дисперсія оцінки параметра �� буде мати вид:  
 
2 1 (−2 + ��23 )��2
��( )2 = = −  
�� ��2��(��) 2∑�� 2
��=1����
  
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
44 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
3.4 Знаходження оцінки параметра сигналу f в умовах впливу 
негаусівських завад методом максимізації полінома при S=3 
 
Тепер знайдемо оцінку параметра �� для степеня полінома s = 3. Аналогічно, 
як і при степені полінома s =1, оцінка параметра знаходиться з рівняння: 
 
�� ��
∑∑ℎ����[���� −������]|��=?̂? = 0 
��=1 ��=1
 
яке для степеня полінома s = 3 можна записати у вигляді: 
 
�� �� ��
∑��1��[���� −��1��] +∑��2��[��
2
�� −��2��] +∑��3��[��
3
�� −��3��]| = 0 
��=1 ��=1 ��=1 ��=?̂?
 
Невідомі коефіцієнти ��1��, ��2�� та ��3�� знаходимо з розв’язку системи лінійних 
алгебраїчних рівнянь виду, яку можна записати так: 
 
��
 ��1(3)�� ∙ ��1,1 + ��2(3)�� ∙ ��1,2 + ��3(3)�� ∙ ��1,3 = ��
 ���� 1��
��
��1(3)�� ∙ ��2,1 + ��2(3)�� ∙ ��2,2 + ��3(3)�� ∙ ��2,3 = ��2�� 
 ����
 ��
{��1(3)�� ∙ ��3,1 + ��2(3)�� ∙ ��3,2 + ��3(3)�� ∙ ��3,3 = ��
���� 3��
 
Для розв’язання даної системи застосуємо метод Крамера. Побудуємо 
матрицю з центрованих корелянтів, яка називається тілом стохастичного полінома 
розміром 3, і знайдемо її визначник: 
��1,1 ��1,2      ��1,3
∆= |��2,1 ��2,2     ��2,3 | 
��3,1     ��3,2     ��3,3
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
45 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
∆= 12��62 − 24��
2
3��
6
2 − 9��
4��63 2  
 
Отже, розрахуємо оптимальні коефіцієнти ��1�� ��2�� та ��3��: 
 
��
��1 ��1,2      ������ 1,3
| |
��
∆1= ��2 ��
���� 2,2     ��2,3  
| |
��
��3     ������ 3,2     ��3,3
 
⁄ ⁄
∆ = 18��3��2��4 + 12��2�� ��9 2 + 18��2��3��9 2 + 12�� ��5 − 36�� ��2��51 �� 3 2 �� 3 2 �� 3 2 �� 2 �� 3 2  
 
∆1 2�� 2 2 2 2
��(3������3 + ������3(2 + 3��3 )√��2 + 2(1 − 3��3 )��2)
��1(3)�� = = − 2 4 2  
∆ (−4 + 8��3 + 3��3 )��2
 
��
��1,1 ��1     ������ 1,3
| |
��
∆2= ��2,1 ��2     ������ 2,3  
| |
��
��3,1 ��3     ������ 3,3
∆ = −18��2��2
⁄ ⁄
2 �� 3��
4
2 − 6������3��
9 2
2 − 9�� 3
����3��
9 2
2  
 
∆ 2
2 ������3(6������3 + (2 + 3��3 )√��2)
��2(3)�� = =  
∆ (−4 + 8��2 4 2
3 + 3��3 )��2
 
��
��1,1 ��1,2  ��
���� 1
| |
��
∆3= ��2,1 ��2,2 ��1  
| ���� |
��
��3,1     ��3,2 ��
���� 1
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
46 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
∆3= 6��
2 4
����3��2  
 
∆ 2
3 2������3
��3(3)�� = = −  
∆ (−4 + 8��23 + 3��
4
3 )��
2
2
 
Для знаходження дисперсії оцінки параметра ��, необхідно знайти кількість 
добутої інформації про оцінюваний параметр:  
 
�� �� ��
�� �� ��
��2��(��) = ∑��1�� ��1�� +∑��2�� �� +∑�� �� =
���� ���� 2�� 3�� ���� 3��
��=1 ��=1 ��=1
��
4 6��23
= [− + 2
(−4 + 8��2 + 3��4)�� (−4 + 8��2 4 ]∑��
+ 3�� )�� ��
3 3 2 3 3 2
��=1
2∑����=1��
2
�� ��
2
3
=  
(−4 + 8��23 + 3��
4
3 )��2
 
Отже дисперсія оцінки параметра �� буде мати вид:  
 
1 (−4 + 8��23 + 3��
4
3 )
��2
��2
( )3 = =
�� �� (��) 2∑�� 2 2  
3�� ��=1���� ��3
  
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
47 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
3.5 Знаходження оцінки параметра сигналу f в умовах впливу 
негаусівських завад методом максимізації полінома при S=4 
 
Тепер знайдемо оцінку параметра �� для степеня полінома s = 4. Аналогічно, 
як і при степені полінома s =1, оцінка параметра знаходиться з рівняння: 
 
�� ��
∑∑ℎ����[���� −������]|��=?̂? = 0 
��=1 ��=1
 
яке для степеня полінома s = 3 можна записати у вигляді: 
 
�� �� ��
∑��1��[���� −��
2 3
1��] +∑��2��[���� −��2��] +∑��3��[���� −��3��]
��=1 ��=1 ��=1
��
+∑�� 4
4��[���� −��4��]| = 0 
��=1 ��=?̂?
 
Невідомі коефіцієнти ��1��, ��2�� ��3�� та ��4�� знаходимо з розв’язку системи 
лінійних алгебраїчних рівнянь виду, яку можна записати так: 
 
��
 ��1(4)�� ∙ ��1,1 + ��2(4)�� ∙ ��1,2 + ��3(4)�� ∙ ��1,3 + ��4(4)�� ∙ ��1,4 = ��
 ���� 1��
��
 ��1(4)�� ∙ ��2,1 + ��2(4)�� ∙ ��2,2 + ��3(4)�� ∙ ��2,3 + ��4(4)�� ∙ ��2,4 = ��
���� 2��
 
 ��
��
 1(4)�� ∙ ��3,1 + ��2(4)�� ∙ ��3,2 + ��3(4)�� ∙ ��3,3 + ��4(4)�� ∙ ��3,4 = ��
���� 3��
 ��
{��1(4)�� ∙ ��4,1 + ��2(4)�� ∙ ��4,2 + ��3(4)�� ∙ ��4,3 + ��4(4)�� ∙ ��4,4 = ��
���� 4��
 
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
48 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
Для розв’язання даної системи застосуємо метод Крамера. Побудуємо 
матрицю з центрованих корелянтів, яка називається тілом стохастичного полінома 
розміром 3, і знайдемо її визначник: 
 
��1,1 ��1,2 ��1,3 ��1,4
|��∆= 2,1 ��2,2 ��2,3 ��2,4
| | 
��3,1 ��3,2 ��3,3 �� |
3,4
��4,1 ��4,2 ��4,3 ��4,4
 
∆= 288��10 − 1440��2��10 − 1620��6��102 3 2 3 2  
 
Отже, розрахуємо оптимальні коефіцієнти ��1�� ��2��  ��3�� та ��4��: 
 
��
��
���� 1�� ��1,2 ��1,3 ��1,4
| |
��
��2�� ��2,2 ��2,3 ��2,4
∆ = |����1 | 
��
��
���� 3�� ��
| 3,2 ��3,3 ��3,4|
�� ��4,2 ��4,3 ��4,4
��
���� 4��
 
⁄
∆ = 720��4��3��15 2 − 216��4��5
⁄ ⁄
1 �� 3 2 �� 3��
15 2
2 + 432��3����
2��83 2 + 1944��
3
����
4
3��
8 2 17 2
2 + 288������3��2
⁄ ⁄
− 2592��2 3 17 2 2 5 17 2 9 2 9
����3��2 + 3240������3��2 + 288������2 − 1728������3��2
− 1440�� ��4��9�� 3 2 − 540������
6
3��
9
2  
 
∆1
��1(4)�� =  
∆
 
�� 3
��(���� (−20��
3
3 + 6��
5
3 ) − 6��
2��2�� 3 (2 + 9��
2
3 )√��2 − 2������3(4 − 36��
2 4
3 + 45��3 )��2
⁄
+(−8 + 48��2 + 40��43 3 + 15��
6)��3 23 2 )
=  
⁄
(−8 + 40��23 + 45��
6
3 )��
5 2
2
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
49 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
��
��1,1 ��1�� ��1,3 ��1,4
����
| |
��
��2,1 ��2�� ��2,3 ��2,4
∆ = | ����
2 | 
��
�� ��
| 3,1 ���� 3�� ��3,3 ��3,4|
��4,1 �� ��4,3 ��4,4
��
���� 4��
 
⁄ ⁄
∆ 3 3
2= −1080������3��
15 2 + 324��3 5 15 2 2 2 8 2 4 8
2 ����3��2 − 432������3��2 − 1944������3��2
⁄ ⁄ ⁄
− 144�� 17 2 3 17 2 5 17 2
����3��2 + 1296������3��2 − 1620������3��2  
 
∆2 ������3(��
2
�� (30��
2
3 − 9��
4
3 ) + 6������3(2 + 9��
2
3 )√��2 + (4 − 36��
2
3 + 45��
4
3 )��2)
��2(4)�� = =  
∆ ⁄
(−8 + 40��2 6 5 2
3 + 45��3 )��2
 
��
��1,1 ��1,2 ��
���� 1�� ��1,4
| |
��
��2,1 ��2,2 ��
���� 2�� ��2,4
∆3= | | 
��
�� �� ��3�� ��3,4
| 3,1 3,2 ���� |
��4,1 ��4,2 ��
��
���� 4�� ��4,4
 
∆ = 720��2��3��15
⁄2 ⁄
3 �� 3 2 − 216��2����
5
3��
15 2
2 + 144������
2 8 4 8
3��2 + 648������3��2  
 
∆3 2������
2
3 (������3(−10 + 3��
2
3 ) − (2 + 9��
2
3 )√��2)
��3(4)�� = =  
∆ ⁄
(−8 + 40��23 + 45��
6
3 )��
5 2
2
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
50 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
��
��1,1 ��1,2 ��1,3 ��
���� 1��
| |
��
��2,1 ��2,2 ��2,3 ��
∆ = | ���� 2��
4 | 
��
�� �� ��3,3 ��
| 3,1 3,2 ���� 3��
|
��4,1 ��4,2 ��
��4,3 ��
���� 4��
 
3 15⁄2 5 15⁄∆ = −180�� �� �� + 54�� �� �� 2
4 �� 3 2 �� 3 2  
∆ �� ��34 �� 3 (10 − 3��
2
3 )
��4(4)�� = =  
∆ ⁄
2(−8 + 40��2 6 5 2
3 + 45��3 )��2
 
Для знаходження дисперсії оцінки параметра ��, необхідно знайти кількість 
добутої інформації про оцінюваний параметр:  
 
��
��
��4��(��) = ∑��1�� ��
���� 1��
��=1
�� �� ��
�� �� ��
+∑��2�� ��2�� +∑��3�� ��3�� +∑��4�� ��
���� ���� ���� 4�� =
��=1 ��=1 ��=1
8∑�� 2
��=1���� 36∑�� ��2 2
��=1 �� ��3
= − +
(−8 + 40��2 6
3 + 45��3 )��2 (−8 + 40��23 + 45��
6
3 )��2
6∑�� 2 4
��=1���� ��3 9∑�� 2 6
��=1���� ��3
+
(−8 + 40��2
+
+ 45��6 2 6
3 3 )��2 (−8 + 40��3 + 45��3 )��2
45∑�� ��2 12
��=1 �� ��3
=  
(−8 + 40��2 6
3 + 45��3 )��2
Отже дисперсія оцінки параметра �� буде мати вид:  
 
2 1 (−8 + 40��23 + 45��
6
3 )��2
��( )4 = = �� 12  
�� �� 2
4��(��) 45∑��=1���� ��3
  
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
51 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
3.6 Знаходження оцінки параметра сигналу f в умовах впливу 
негаусівських завад методом максимізації полінома при S=5 
 
Тепер знайдемо оцінку параметра �� для степеня полінома s = 5. Аналогічно, 
як і при степені полінома s =1, оцінка параметра знаходиться з рівняння: 
 
�� ��
∑∑ℎ����[���� −������]|��=?̂? = 0 
��=1 ��=1
 
яке для степеня полінома s = 3 можна записати у вигляді: 
 
�� �� ��
∑��1��[���� −��
2 3
1��] +∑��2��[���� −��2��] +∑��3��[���� −��3��]
��=1 ��=1 ��=1
�� ��
+∑�� [�� 4 −�� ] +∑�� [�� 5
4�� �� 4�� 5�� �� −��5��]| = 0 
��=1 ��=1 ��=?̂?
 
Невідомі коефіцієнти ��1��, ��2�� ��3�� та ��4�� знаходимо з розв’язку системи 
лінійних алгебраїчних рівнянь виду, яку можна записати так: 
 
��
 ��1(5)�� ∙ ��1,1 + ��2(5)�� ∙ ��1,2 + ��3(5)�� ∙ ��1,3 + ��4(5)�� ∙ ��1,4 + ��5(5)�� ∙ ��1,5 = ��
 ���� 1��
 ��
 ��1(5)�� ∙ ��2,1 + ��2(5)�� ∙ ��2,2 + ��3(5)�� ∙ ��2,3 + ��4(5)�� ∙ ��2,4 + ��5(5)�� ∙ ��2,5 = ��
���� 2��
 
��
��1(5)�� ∙ ��3,1 + ��2(5)�� ∙ ��3,2 + ��3(5)�� ∙ ��3,3 + ��4(5)�� ∙ ��3,4 + ��5(5)�� ∙ ��3,5 = ��  
 ���� 3��
 ��
 ��1(5)�� ∙ ��4,1 + ��2(5)�� ∙ ��4,2 + ��3(5)�� ∙ ��4,3 + ��4(5)�� ∙ ��4,4 + ��5(5)�� ∙ ��4,5 = ��
���� 4��
 
 ��
{��1(5)�� ∙ ��5,1 + ��2(5)�� ∙ ��5,2 + ��3(5)�� ∙ ��5,3 + ��4(5)�� ∙ ��5,4 + ��5(5)�� ∙ ��5,5 = ��
���� 5��
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
52 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
Для розв’язання даної системи застосуємо метод Крамера. Побудуємо 
матрицю з центрованих корелянтів, яка називається тілом стохастичного полінома 
розміром 3, і знайдемо її визначник: 
 
�� �� ��
1,1 ��1,2 ��1,3 1,4 1,5
|��2,1 ��2,2 ��2,3 ��2,4 ��2,5|
∆= ��3,1 ��3,2 ��3,3 ��3,4 ��3,5  
|��4,1 ��4,2 �� |
4,3 ��4,4 ��4,5
��5,1 ��5,2 ��5,3 ��5,4 ��5,5
 
∆= 30��52(1152��
10
2 − 11520��2��103 2 + 15840��43��
10
2 − 30240��63��
10
2 − 74520��8��103 2
+ 9720��10 10
3 ��2 ) 
 
Отже, розрахуємо оптимальні коефіцієнти ��1�� ��2�� ��3�� ��4�� та ��5��: 
 
��
�� �� �� ��
���� 1�� 1,2 ��1,3 1,4 1,5
| |
��
��2�� ��2,2 ��2,3 ��2,4 ��2,5
����
��
∆1= | ��
���� 3�� | 
��3,2 ��3,3 ��3,4 ��3,5
��
�� ��4,2 ��4,3 ��4,4 ��4,5
|����
4��
��
�� 5,2 ��5,3 ��5,4 ��5,5|
��
���� 5��
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
53 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
⁄ ⁄
∆1= 30((5��
8
����2 + 20��
7
����3��
3 2
2 + 100��6��2�� 2 + 460��
5
����3��
5 2
2 + 570��4��3 4 2 3
�� 2 + 400������3��2
⁄ ⁄
+ 2420��3�� ��7 2 + 900��2��4 + 2480��2��2��4�� 3 2 �� 2 �� 3 2 + 2460�� �� ��
9 2
�� 3 2
⁄ ⁄ ⁄
+ 560�� ��3��9 2�� 3 2 + 189��52 + 1240��
2��5)(120��4��3��15 23 2 �� 3 2 − 36��4��5 15 2
�� 3��2
+ 72��3��2��8 + 324��3��4��8 + 48��2�� ��17
⁄2 − 432��2��3��17
⁄2
�� 3 2 �� 3 2 �� 3 2 �� 3 2
⁄
+ 540��2��5��17 2�� 3 2 + 48������
9
2 − 288�� ��
2��9�� 3 2 − 240������
4
3��
9
2 − 90�� ��
6 9
�� 3��2)
⁄ ⁄
− 2(2��7����2 + 7��
6�� ��3 2 + 30��5��2 4 5 2 3 3
�� 3 2 �� 2 + 115������3��2 + 114������2
⁄
+ 80��3��2��3 + 363��2�� ��7 2 + 90�� ��4 2 4 ⁄
�� 3 2 �� 3 2 �� 2 + 248������3��2 + 123�� ��
9 2
3 2
+ 28��3��9
⁄2)(450��5��3��15
⁄2 5 5 15⁄
3 2 �� 3 2 − 135�� �� 2
�� 3��2 + 360��4����
2
3��
8
2
⁄ ⁄ ⁄
+ 1620��4��4��8 + 240��3�� ��17 2 − 540��3��3 17 2
�� 3 2 �� 3 2 �� 3��2 + 2700��3��5��17 2�� 3 2
⁄
+ 240��2 9 2 2 9 2 4 9 2 6 9 19 2
����2 − 960������3��2 − 1800������3��2 + 270������3��2 + 480������3��2
3 19⁄ ⁄ ⁄
− 2610�� 2
����3��2 − 135�� 5
����3��
19 2
2 ) + 3(��6�� + 3��5�� 3 2 4 2
�� 2 �� 3��2 + 11������2
⁄ ⁄
+ 34��3�� 5 2
�� 3��2 + 25��2 3 2 2 3 7 2 4
����2 + 18������3��2 + 53������3��2 + 7��2
⁄ ⁄
+ 18��2��43 2)(600��
6 3
����3��
15 2
2 − 180��6��5��15 2�� 3 2 + 600��5����
2��83 2
+ 2700��5��4
⁄
��8 + 480��4�� ��17 2 + 5400��4��5��17
⁄2
�� 3 2 �� 3 2 �� 3 2 + 480��3��9�� 2
⁄
− 960��3����
2��9 − 4800��3 4 9 3 6 9 2 19 2
3 2 ����3��2 + 1980������3��2 + 1440������3��2
2 3 19⁄ ⁄
− 1560�� �� �� 2 − 9180��2��5��19 2 − 480�� ��10�� 3 2 �� 3 2 �� 2 + 4680�� 2 10
����3��2
⁄ ⁄
− 3780�� ��4��10) − (2��5�� + 5��4�� ��3 2 + 16��3��2 + 38��2�� ��5 2�� 3 2 �� 2 �� 3 2 �� 2 �� 3 2
⁄ ⁄ ⁄
+ 18�� ��3�� 2 + 14�� ��
2
�� 3��
3
2 + 19��3��
7 2 7 3 15 2 7 5 15 2
2 )(300������3��2 − 90������3��2
⁄ ⁄
+ 360��6����
2��83 2 + 1620��
6��4��8�� 3 2 + 360��
5�� ��17 2�� 3 2 + 4050��5��5��17 2�� 3 2
+ 480��4��9�� 2 − 960��
4
����
2
3��
9
2 − 4800��
4��4��9�� 3 2 + 1980��
4��6 9
�� 3��2
⁄
+ 2160��3�� ��19 2 − 2340��3��3��19
⁄2 3 5 19⁄2
�� 3 2 �� 3 2 − 13770������3��2 − 1440��2��10�� 2
⁄
+ 14040��2����
2��10 − 11340��2��4��10 21 2
3 2 �� 3 2 − 2760������3��2
⁄ ⁄ ⁄
+ 20640�� ��3�� 3��
21 2
2 − 14550�� 5
����3��
21 2
2 − 3600������
7
3��
21 2) + �� (��42 �� ��
⁄
+ 6��2�� + 4�� �� ��3 2 + 3��2)(240��4��10 − 1200��4 2 10
�� 2 �� 3 2 2 �� 2 ����3��2
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
54 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
⁄ ⁄ ⁄
− 1350��4����
6 10
3��2 + 1920��3�� ��21 2�� 3 2 − 6720��3��3��21 2�� 3 2 − 1080��3��7��21 2�� 3 2
− 1440��2��11�� 2 + 13680��2��2 11 2 4
�� 3��2 − 14040������3��
11 + 9720��2��6��112 �� 3 2
− 4800�� 23⁄2 3 23⁄2 5 23⁄2
����3��2 + 25440������3��2 − 12960������3��2
− 5400�� 7 23⁄2 12 2 12
����3��2 + 720��2 − 8160��3��2 + 12360��4 12
3��2
− 12150��6��12 8 12
3 2 − 2700��3��2 )) 
 
∆1
��1(5)�� =  
∆
−5��4 4 2 2
����3(−28 + 9��3 (4 + ��3 )) +
4��3��3(20 + 174��2 − 135��4) �� + 24��2��2(2 − 36��2 4
 �� 3 3 3 √ 2 �� 3 3 + 135��3 )��2 
���� 3
2 ⁄  
−4������3(−2 + 3��3 )(4 − 50��
2 4 6 2
3 − 245��3 + 60��3 )��2
( +(32 − 352��2 4 6 8 2
= 3 + 860��3 − 2760��3 − 1215��3 )��2 )
 
2 (16 + 5��23 (−32 + ��
2
3 (2 + 3��
2
3 )(22 − 75��
2
3 + 9��
4
3 ))) ��
3
2
 
��
�� �� �� ��
1,1 1�� ��1,3 1,4 1,5
����
| |
��
��2,1 ��2�� ��2,3 ��2,4 ��2,5
����
��
∆2= | ��3�� | 
�� ����
3,1 ��3,3 ��3,4 ��3,5
��
��4,1 �� �� ��
4�� 4,3 4,4 ��4,5
|�� ����
5,1 ��
�� 5,3 ��5,4 ��5,5|
��
���� 5��
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
55 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
∆ = 30((5��8
⁄
�� + 20��7�� ��3 2 + 100��6 2 5 5⁄2 4 3
2 �� 2 �� 3 2 ����2 + 460������3��2 + 570������2
⁄
+ 400��4��2 3 3 7 2 2 4 2 2 4
�� 3��2 + 2420������3��2 + 900������2 + 2480������3��2
9⁄2 3 9⁄+ 2460������3��2 + 560�� 2
����3��2 + 189��52
2 5 3 3 15⁄2 3 5 15⁄+ 1240��3��2)(−180������3��2 + 54������3��
2 2 2 8
2 − 72������3��2
− 324��2��4��8 − 24�� �� ��17
⁄2 ⁄
+ 216�� ��3��17 2
⁄
− 270�� ��5��17 2�� 3 2 �� 3 2 �� 3 2 �� 3 2 )
⁄ ⁄
− 2(2��7����2 + 7��
6
����3��
3 2
2 + 30��5��2�� 2 + 115��
4
����3��
5 2
2 + 114��3 3
����2
⁄ ⁄
+ 80��3��2��3 + 363��2�� ��7 2 + 90�� ��4 + 248�� ��2��4 + 123�� ��9 2�� 3 2 �� 3 2 �� 2 �� 3 2 3 2
3 9⁄+ 28�� �� 2)(−600��4��3��15
⁄2 ⁄
3 2 �� 3 2 + 180��4����
5
3��
15 2
2 − 360��3����
2 8
3��2
⁄ ⁄ ⁄
− 1620��3��4�� 3��
8
2 − 120��
2�� ��17 2 − 540��2��3��17 2 − 1350��2��5 17 2
�� 3 2 �� 3 2 �� 3��2
⁄
− 240�� ��2�� 3��
9
2 + 300�� ��
4��9 6 9 6 5 3 2
�� 3 2 − 360������3��2) + 3(������2 + 3������3��2
⁄
+ 11��4��2 + 34��3�� ��5 2 + 25��2��3 + 18��2��2 3 ⁄
�� 2 �� 3 2 �� 2 �� 3��2 + 53�� �� ��
7 2
�� 3 2 + 7��42
+ 18��2 4 5 3 15⁄2 ⁄
3��2)(−600������3��2 + 180��5��5��15 2 4 2 8
�� 3 2 − 480������3��2
4 4 8 3 17⁄− 2160�� �� �� − 240�� 2 3 3 17⁄2 3 5 17⁄2
�� 3 2 ����3��2 − 1080������3��2 − 2700������3��2
⁄
− 960��2����
2
3��
9
2 + 1200��
2
����
4 9 2 6 9
3��2 − 1440������3��2 + 240������3��
19 2
2
⁄ ⁄ ⁄
− 4440������
3��19 23 2 + 4320�� ��5��19 2�� 3 2 ) + (��4����
3 3 2 2 2
2 + 2������3��2 + 6������2
⁄ ⁄ ⁄
+ 10������
5 2 3 2 3 7 3 15 2 7 5
3��2 + 3��2 + 2��3��2)(300������3��2 − 90������3��
15 2
2
+ 360��6��2��8
⁄
+ 1620��6��4��8 + 360��5�� ��17 2 + 4050��5��5��17
⁄2
�� 3 2 �� 3 2 �� 3 2 �� 3 2
+ 480��4����
9 − 960��4��2 9 4 4 9 4 6 9
2 �� 3��2 − 4800������3��2 + 1980������3��2
⁄ ⁄ ⁄
+ 2160��3�� 19 2 3 3 19 2 3 5 19 2 2
�� 3��2 − 2340������3��2 − 13770������3��2 − 1440������
10
2
⁄
+ 14040��2 2
����3��
10 − 11340��2��4��102 �� 3 2 − 2760�� �� ��21 2�� 3 2
+ 20640�� ��3��21
⁄2 5 21⁄2 ⁄
�� 3 2 − 14550������3��2 − 3600�� ��7��21 2�� 3 2 ) − �� (��4�� ��
2 3⁄+ 6�� 2 2 3 10 3 2 10
����2 + 4������3��2 + 3��2)(480������2 − 2400������3��2
⁄ ⁄
− 2700��3 6
����3��
10
2 + 2880��2����3��
21 2 2 3
2 − 10080������3��
21 2
2
⁄
− 1620��2 7
����3��
21 2 − 1440�� ��11 + 13680�� ��22 �� 2 �� 3��
11
2 − 14040�� ��4 11
�� 3��2
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
56 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
6 11 23⁄2 3 23⁄ ⁄
+ 9720������3��2 − 2400��3��2 + 12720��3��
2
2 − 6480��5��23 23 2
− 2700��7��23
⁄2
3 2 )) 
 
∆2
��2(5)�� =  
∆
5��3��3(−28 + 9��2(4 + ��2)) + 3��2��2(−20 − 174��2�� 3 3 3 �� 3 3 + 135��
4
3 )√��2
2
�� �� ( −12������3(2 − 36��3 + 135��
4
3 )���� 3 2 )
3
+(−2 + 3��2
⁄
3 )(4 − 50��
2
3 − 245��
4
3 + 60��
6
3 )��
2
= 2  
(16 + 5��2(−32 + ��2(2 + 3��2 2 4 3
3 3 3 )(22 − 75��3 + 9��3 ))) ��2
 
��
��1,1 ��1,2 ��1�� ��1,4 ��1,5
����
| |
��
��2,1 ��2,2 ��2�� ��2,4 ��2,5
����
��
∆3= | ��3�� ��3,4 ��3,5| 
�� �� ����
3,1 3,2
��
��4,1 ��4,2 ��4�� �� ��
|��5,1 �� ���� 4,4 4,5
5,2 |
�� ��5,4 ��5,5
��
���� 5��
 
⁄
∆3= 30(10080��
3��4��12 3 6 12
�� 3 2 − 12960������3��2 − 3240��3����
8��123 2 + 2880��2 3 25 2
����3��2
⁄ ⁄
+ 25056��2��5��25 2 − 19440��2��7��25 2 + 576�� ��2 13
�� 3 2 �� 3 2 �� 3��2 − 10368�� 4 13
����3��2
+ 38880�� ��6 13
�� 3��2 ) 
∆3
��3(5)�� =  
∆
�� ��2(−5��2 2
�� 3 ����3 (−28 + 9��
2 2 2 4
3 (4 + ��3 )) + 2������3(20 + 174��3 − 135��3 )√��2 +
4(2 − 36��23 + 135��
4
3 )�� )= 2
 
(16 + 5��23 (−32 + ��
2
3 (2 + 3��
2
3 )(22 − 75��
2 4 3
3 + 9��3 )))��2
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
57 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
��
��1,1 ��1,2 ��1,3 ��1�� ��
���� 1,5
| |
��
��2,1 ��2,2 ��2,3 ��
���� 1�� ��2,5
��
∆4= | ��3,3 ��1�� ��3,5| 
�� ����
3,1 ��3,2
��
��4,1 ��4,2 �� ��
���� 1��
4,3 ��
|�� �� 4,5
5,1 5,2 |
��5,3 �� ��5,5
��
���� 1��
 
⁄
∆4= 30(−5040��
2
����
4��123 2 + 6480��2����
6
3��
12
2 + 1620��2��8��12�� 3 2 − 720�� ��3��25 2�� 3 2
⁄ ⁄
− 6264������
5 25 2 7 25 2
3��2 + 4860������3��2 ) 
 
∆ 3 2
4 ������3(5������3(−28 + 9��3 (4 + ��
2
3 )) + (−20 − 174��
2
3 + 135��
4
3 )√��2)
��4(5)�� = =  
∆ 2 (16 + 5��2(−32 + ��2(2 + 3��23 3 3 )(22 − 75��
2
3 + 9��
4 3
3 ))) ��2
 
��
��1,1 ��1,2 ��1,3 ��1,4 ��
���� 1��
| |
��
��2,1 ��2,2 ��2,3 ��2,4 ��
���� 2��
��
∆5= | ��3,3 ��3,4 ��
���� 3��| 
��3,1 ��3,2
��
��4,1 ��4,2 �� �� ��4��
|�� �� 4,3 4,4 ����
5,1 5,2 |
��5,3 ��5,4 ��
��
���� 5��
 
∆5= 30(1008�� ��
4��12�� 3 2 − 1296�� ��6�� 3��
12
2 − 324�� 8 12
����3��2 ) 
 
∆5 �� 4 2 2
����3 (28 − 9��3 (4 + ��3 ))
��5(5)�� = =
∆ 2(16 + 5��2(−32 + ��2(2 + 3��2)(22 − 75��2 + 9��4)))��3
 
3 3 3 3 3 2
 
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
58 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
Для знаходження дисперсії оцінки параметра ��, необхідно знайти кількість 
добутої інформації про оцінюваний параметр:  
 
��
��
��5��(��) = ∑��1�� ��
���� 1��
��=1
�� �� �� ��
�� �� �� ��
+∑��2�� ��2�� +∑��
���� 3�� �� +∑�� �� +∑�� ��
���� 3�� 4�� ���� 4�� 5�� ���� 5��
��=1 ��=1 ��=1 ��=1
=
16∑�� 2
��=1����
=
(16 + 5��23 (−32 + ��
2
3 (2 + 3��
2
3 )(22 − 75��
2
3 + 9��
4
3 )))��2
152∑�� ��2 2
��=1 �� ��3
−
(16 + 5��2(−32 + ��2(2 + 3��2)(22 − 75��2 + 9��43 3 3 3 3 )))��2
168∑�� 2 4
��=1���� ��3
+
(16 + 5��2 2 2 2 4
3 (−32 + ��3 (2 + 3��3 )(22 − 75��3 + 9��3 )))��2
378∑�� ��2 6
��=1 �� ��3
−
(16 + 5��2(−32 + ��2(2 + 3��2)(22 − 75��23 3 3 3 + 9��
4
3 )))��2
405∑�� 2 8
��=1���� ��3
−
(16 + 5��2(−32 + ��23 3 (2 + 3��
2 2
3 )(22 − 75��3 + 9��
4
3 )))��2
−751∑�� 2 12
��=1���� ��3
=  
(16 + 5��2 2 2 2
3 (−32 + ��3 (2 + 3��3 )(22 − 75��3 + 9��
4
3 )))��2
 
Отже дисперсія оцінки параметра �� буде мати вид:  
 
2 1 (16 + 5��23 (−32 + ��
2
3 (2 + 3��
2
3 )(22 − 75��
2
3 + 9��
4
3 )))��2
��( )5 = = �� 12  
�� �� 2
5��(��) −751∑��=1���� ��3
  
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
59 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
3.7 Дослідження статистичних характеристик знайдених оцінок 
 
Легко показати, що дисперсія оцінки доплерівської частоти гармонічного 
сигналу, знайденої методом максимізації поліному при s = 2 , прийме вид  
 
2 2
3 
 2
(f )2 = (1− ) . 
ä 2 n
B2
v
v=1
 
Для кількісного визначення зменшення дисперсії оцінки параметру fä  
введемо коефіцієнт ефективності g(f )sp . Індекс в дужках вказує на те, ефективність 
ä
оцінки якого параметру досліджується. В даній роботі ми цей індекс записувати не 
будемо, оскільки в даній роботі оцінюється лише один параметр fä . Подвійний 
індекс за дужками вказує на ступені поліномів, за допомогою яких знаходились 
оцінки, дисперсії яких порівнюються. 
 
2
g21 =1− 3 . 
2
 
Очевидно, що якщо завада має симетричний розподіл, або мовою кумулянтів 
3 =0, то коефіцієнт ефективності g21  дорівнює одиниці, що свідчить про сталість 
точнісних характеристик квадратичного алгоритму порівняно з лінійним 
алгоритмом.  
На рисунку 3.1 наведено графік залежності коефіцієнта ефективності g21  від 
коефіцієнта асиметрії 3 . З графіку видно, що при ступені поліному s = 2  
ефективність оцінки може бути дуже висока і при  g
3 →  2  величина 21  прагне 
до нуля.  
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
60 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
Відзначимо, що функції g21  є парною, тому достатньо розглянути її 
поведінку для позитивних значень коефіцієнта асиметрії 3 . 
 
Рисунок 3.1 – Графік залежності коефіцієнта ефективності gs1  від коефіцієнта 
асиметрії 3  
 
Легко показати, що дисперсія оцінки амплітуди гармонічного сигналу, 
знайденої методом максимізації поліному при s = 3 , прийме вид  
 
2
2 2 3 (1+1,52
3 )
(f )3 = [1− ] . 
ä n 2 − 32
B2 3
v
v=1
 
Порівнюючи дисперсії оцінок знайдених відповідно при ступенях поліному 
s = 3  і s = 1 , бачимо, що коефіцієнт ефективності оцінки g31  описується виразом 
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
61 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
2 (1+1,52 )
g31 =1− 3 3
2 . 
2 − 33
 
Як видно з останнього виразу, коефіцієнт ефективності g31 , як і величина g21  
залежить лише від коефіцієнта асиметрії завади 3 . Зберігається та властивість, що 
для симетричного розподілу ( 3 =0), навіть і негауссівського, ніякого зменшення 
дисперсії не відбувається. Функція представлена на рисунку 3.1. Слід відзначити, 
що з ростом ступеня поліному інтервал допустимих значень коефіцієнта асиметрії 
звужується, а крутизна графіка біля кінців інтервалу 3  збільшується. 
Виграш в точності оцінювання амплітуди гармонічного сигналу при 
застосуванні поліному третього ступеня порівняно з s = 2  легко оцінити, якщо 
знайти співвідношення виразів. Маємо 
 
4 − 82
3 − 34
g = 3
32 . 
(2 − 32
3 )(2 − 2
3 )
 
На рисунку 3.2 наведено графік залежності коефіцієнта ефективності g32  в 
залежності від коефіцієнта асиметрії завади 3 . З графіка видно, що існують певні 
значення коефіцієнта асиметрії при яких зменшення дисперсії може бути істотним. 
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
62 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
 
Рисунок 3.2 – Графік залежності коефіцієнта ефективності gs2  в залежності від 
коефіцієнта асиметрії завади 3  
 
Легко найти асимптотичну дисперсію оцінки доплерівської частоти 
гармонічного сигналу для S=4 
 
2 2 8 − 402 6
 = [ 3 − 453
(f )4 ] . 
ä n
2 8 − 362 4
3 − 63 − 96
B 3
v
v=1
 
Тоді, порівнюючи вирази дисперсій при s=4 і s=1, видно, що коефіцієнт 
ефективності g41  описується виразом 
 
8 − 402
3 − 456
g 3
41 =
8 − 362 − 64 . 
3 3 − 96
3
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
63 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
Аналіз виразу коефіцієнта ефективності виду достатньо складний, тому 
скористаємося графічною інтерпретацією отриманих результатів, яка представлена 
на рисунку 3.1. Якісний характер функції виду принципово не відрізняється від 
поведінки функції g21(3 )  і g31(3 ) . А саме з ростом значення модуля коефіцієнта 
асиметрії значення функції зменшується, що означає підвищення ефективності 
оцінки.  
Вирази для коефіцієнтів ефективності g42  і g43  легко отримати як 
відношення функції. Графіки коефіцієнтів ефективності g42  і g43  від коефіцієнта 
асиметрії 3  наведені відповідно на рисунках 3.2 і 3.3. 
 
Рисунок 3.3 – Графік залежності коефіцієнта ефективності g42  і g43  в залежності 
від коефіцієнта асиметрії завади 3  
 
Легко показати, що дисперсія оцінки доплерівського зсуву частоти 
гармонічного сигналу, знайденої при ступені поліному s = 5 , дорівнює 
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
64 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
2 2 16 −1602 4 6
3 + 2203 − 4203 −10358 +13510
 3 3
(f )5 = [ ] . 
ä n
2 16 −1522
3 +1684
3 − 3786
3 − 4058
B 3
v
v=1
 
Порівнюючи вираз виду, що описує дисперсію оцінки доплерівського зсуву 
частоти , отриманої методом максимізації поліному при ступені  s = 5 , з виразом 
дисперсії оцінки, знайденої при s = 1 , бачимо, що як і при використанні менших 
ступенів поліному дисперсія оцінки доплерівського зсуву частоти при s = 5  
записується як добуток дисперсії оцінки при s = 1  і коефіцієнта ефективності, в 
даному випадку g51 . Останній набуває вигляду 
 
16 −1602 4 6 8 10
g = 3 + 2203 − 4203 −10353 +1353
51 . 
16 −1522
3 +1684 − 3786
3 3 − 4058
3
 
Графік функції g51(3 )  наведено на рисунку 3.1. З графіка видно, що істотне 
зменшення дисперсії оцінки амплітуди гармонічного сигналу можливе лише для 
значень коефіцієнта асиметрії, що лежать на границі інтервалу допустимих 
значень.  
Якщо розглянути три дроби, в чисельниках яких запишеться вираз, а в 
знаменниках відповідно вирази виду отримаємо коефіцієнти ефективності g52 , g53
, g54 , графіки яких наведені на рисунках 3.2-3.4 відповідно.  
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
65 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
 
Рисунок 3.4 – Графік залежності коефіцієнта ефективності g54  в залежності від 
коефіцієнта асиметрії завади 3   
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
66 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
ВИСНОВКИ 
 
Дана магістерська робота присвячення розробці нелінійних вимірювачів 
доплерівського зсуву частоти гармонічного сигналу, що приймається на фоні 
асиметричної завади 1-го типу, параметри якої апріорно відомі. Така задача 
виникає у випадку, коли рухомий об’єкт опромінюється гармонічним сигналом і 
внаслідок ефекту Доплера, частота відбитого сигналу буде відрізнятися на 
величину, що отримала назву доплерівської частоти або доплерівського зсуву 
частоти. Вимірюючи значення доплерівської частоти можна судити про швидкість 
об’єкту. Крім корисного сигналу на вході приймача неодмінно буде присутня 
завада, яка як правило додається до сигналу. Можна розглядати різні математичні 
моделі завади, які більш або менш адекватно описують реальні збурення в каналі 
зв’язку. Чим повніша модель тим більш точні результати вимірювання 
доплерівського зсуву частоти вдається досягти, проте значно ускладнюється сама 
процедура (алгоритм) опрацювання вхідної послідовності. В даній роботі 
пропонується „триматися золотої середини” і в якості моделі завади розглядати так 
звані близькі до гауссівських випадкові величини, а саме асиметричну заваду 1-го 
типу. Така модель завади є більш адекватною порівняно з гауссівською моделлю, 
яка характеризується меншим числом параметрів, і більш повно описує реальні 
фізичні процеси, які відбуваються в каналі зв’язку. Вибрана модель описується 
трьома параметрами: нульовим математичним сподіванням, дисперсією і 
коефіцієнтом асиметрії.  
В роботі синтезовано алгоритми вимірювання доплерівського зсуву частоти 
гармонічного сигналу при асиметричній заваді 1-го типу, оптимальні при ступенях 
поліномів s =1,5 .  
Проведено аналіз асимптотичних властивостей кожного степеневого 
алгоритму, для чого було знайдено і проаналізовано аналітичні вирази дисперсій 
оцінок, які описують їх точністні характеристики. В результаті аналізу алгоритмів 
встановлено, що з ростом ступеня поліному точністні характеристики можуть або 
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
67 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
підвищуються або зоставатися сталими. Ефективність опрацювання сигналу 
залежить від того, наскільки статистичний характер завади відрізняється від 
гауссівської моделі. А саме чим більше коефіцієнт асиметрії  3  відрізняється від 
нуля, тим більший виграш можна отримати в опрацюванні сигналу при 
використанні поліному більш високого ступеня.  
Отримані результати можуть бути використані для вдосконалення існуючих 
доплерівських радіолокаційних систем, що працюють в умовах дії на корисний 
сигнал негауссівських завад. 
 
  
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
68 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата 
 
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ 
 
1. Кунченко Ю.П. Стохастические полиномы. – К.: Наукова думка, 2006. – 275 с. 
2. Kunchenko Y.P. Polynomial parameter estimation of close to Gaussian random 
variables. – Aachen: Shaker, 2002. – 396 p. 
3. Кунченко Ю. П. Полиномиальные оценки параметров близких к гаусовским 
случайных величин. Часть 1. Стохастические полиномы, их свойства и применение 
для нахождения оценок параметров. – Черкассы: ЧИТИ, 2001. – 133 с. 
4. Кунченко Ю.П., Заболотний С.В. Полиномиальные оценки параметров близких 
к гаусовским случайных величин. Часть 2. Оценка параметров близких к 
гаусовским случайных величин. – Черкассы: ЧИТИ, 2001. – 251 с. 
5. Кунченко Ю.П., Лега Ю.Г. Оценка параметров случайных величин методом 
максимизации полинома. К.: Наукова думка, 1992. – 192 с. 
6. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ негаусовских случайных процессов и их 
преобразований. – М.: Сов. радио, 1978. – 376 с. 
7. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и 
математической статистике: Учеб. пособие для студентов втузов. – 3-е издание, 
перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1979. – 400 с. 
8. Звездный А.М. Основы расчетов по статистической радиотехнике. – М.: Связь, 
1969. – 448 с. 
9. Гихман И.И., Скороходов А.В., Ядренко М.И. Теория вероятностей и 
математическая статистика. – К.: Вища школа, 1979. – 408 с. 
10. Теория вероятностей и математическая статистика. Под редакцией Колемаева 
В.А. – М.: Высшая школа, 1991. – 400 с. 
 
Арк.  
 РТ15.022119.248 ПЗ  
69 
Змн. Арк. № докум. Підпис Дата