ChSTU repository
ChSTU repository preserves and enables easy and open access to all types of digital content including text, images, moving images, mpegs and data sets
Learn More
Please use this identifier to cite or link to this item:
https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/8076| Title: | Нелінійні алгоритми вимірювання допплерівського зсуву частоти гармонічного сигналу при ексцесній заваді 1-го типу |
| Authors: | Гавриш, Олександр Степанович Кравченко, Богдан Юрійович |
| Keywords: | доплерівський зсув частоти;оцінка параметру випадкової величини;метод максимізації поліному;негауссівська завада;коефіцієнт ексцесу |
| Issue Date: | 2022 |
| Abstract: | В роботі синтезовано поліноміальні обчислювальні алгоритми оцінювання доплерівського зсуву частоти гармонічного сигналу при відомих параметрах ексцесної завади (дисперсії та коефіцієнту ексцесу). Для знаходження оцінок використовується метод максимізації поліному. Побудовані алгоритми оцінки неенергетичного параметру гармонічного сигналу при степенях поліному від s=1 до 6. |
| URI: | https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/8076 |
| Appears in Collections: | 172 Електронні комунікації та радіотехніка (Радіотехніка та робототехнічні системи) |
Files in This Item:
| File | Description | Size | Format | |
|---|---|---|---|---|
| М_172_Кравченко_Гавриш_2022.pdf Restricted Access | 931.45 kB | Adobe PDF | View/Open Request a copy |
Items in DSpace are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.
Extracted text
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ФАКУЛЬТЕТ ЕЛЕКТРОННИХ ТЕХНОЛОГІЙ, АВТОТРАНСПОРТУ ТА
МАШИНОБУДУВАННЯ
КАФЕДРА РОБОТОТЕХНІЧНИХ І ТЕЛЕКОМУНІКАЦІЙНИХ СИСТЕМ ТА
КІБЕРБЕЗПЕКИ
До захисту допущено
завідувач кафедри РТСК
д.т.н., професор __________ В.В. Палагін
"_____" грудня 2022 року
Пояснювальна записка
до кваліфікаційної роботи
освітнього ступеня «магістр»
на тему: «Нелінійні алгоритми вимірювання допплерівського зсуву частоти
гармонічного сигналу при ексцесній заваді 1-го типу»
Виконав студент 2 курсу, групи РТ-015
Спеціальність – 172 «Телекомунікації та
радіотехніка»
Освітня програма – «Радіотехніка та
робототехнічні системи»
Кравченко Богдан Юрійович
Керівник роботи Гавриш О.С.
Рецензент Гальченко В.Я.
Черкаси 2022
Форма № Н-9.01
Черкаський державний технологічний університет
(назва вузу)
Факультет електронних технологій, автотранспорту та машинобудування
Кафедра Робототехнічних і телекомунікаційних систем та кібербезпеки
Освітній ступінь магістр
Спеціальність 172 - Телекомунікації та радіотехніка
Освітня програма Радіотехніка та робототехнічні системи
ЗАТВЕРДЖУЮ
Завідувач кафедри РТСК
д.т.н., професор Палагін В.В.
« » вересня 2022 р.
ЗАВДАННЯ
на дипломний проект (роботу) студенту
Кравченку Богдану Юрійовичу
(прізвище, ім'я, по батькові)
1. Тема проекту (роботи) Нелінійні алгоритми вимірювання допплерівського зсуву частоти
гармонічного сигналу при ексцесній заваді 1-го типу
керівник проекту (роботи) Гавриш Олександр Степанович, к.ф.-м.н., доцент
(прізвище, ім’я, по батькові, науковий ступінь, вчене звання)
затверджена наказом по університету від « 13 » вересня 2022 р. № 234/04
2. Строк подання студентом проекту (роботи) 1 грудня 2022 р.
3. Вихідні дані до проекту (роботи) вибірка значень спостережуваного сигналу обсягом n;
гармонічний сигнал з невідомим зсувом доплерівської частоти; вид завади – ексцесна
1-го типу (з відомими параметрами).
4. Зміст розрахунково-пояснювальної записки (перелік питань, які потрібно розробити)______
Вступ. 1. Фізичні основи радіовиявлення і визначення місцеположення об'єктів. 2. Оцінка
параметрів випадкової величини методом максимізації полінома. 3. Скалярна оцінка
доплерівського зсуву частоти гармонічного сигналу на фоні ексцесної завади. Висновки.
Список використаної літератури
5. Перелік графічного матеріалу (з точним зазначенням обов’язкових креслень)
Презентація в Power Point обсягом 9 плакатів
6. Консультанти з проекту (роботи) із зазначенням розділів проекту, що їх стосуються
Підпис, дата
Розділ Прізвище, ініціали та посада завдання завдання
консультанта видав прийняв
7. Дата видачі завдання 05 вересня 2022 р.
КАЛЕНДАРНИЙ ПЛАН
№ Назва етапів дипломного С т р о к виконання етапів П р имітка
з/п проекту (роботи) проекту (роботи)
1. Аналіз технічного завдання та огляд літератури 05.09.2022
2 Розробка методики проведення дослідження 18.09.2022
3 Розрахунок початкових моментів і центрованих
корелянтів ексцесної випадкової величини 04.10.2022
4 Синтез обчислювальних алгоритмів оцінювання
доплерівського зсуву частоти сигналу при s=1-6 22.10.2022
5. Дослідження точності синтезованих алгоритмів
оцінювання доплерівського зсуву частоти 01.11.2022
6. Оформлення пояснювальної записки 16.11.2022
7. Оформлення плакатів 29.11.2022
Студент КРАВЧЕНКО Богдан
(підпис) (прізвище та ініціали)
Керівник проекту (роботи) ГАВРИШ Олександр
(підпис) (прізвище та ініціали)
ЗМІСТ
Стор.
Вступ 5
1. ФІЗИЧНІ ОСНОВИ РАДІОВИЯВЛЕННЯ І ВИЗНАЧЕННЯ 7
МІСЦЕПОЛОЖЕННЯ ОБ'ЄКТІВ
1.1 Загальні питання оцінювання параметрів 7
1.2 Основні відомості про радіовиявлення і визначення місцеположення
об'єктів 11
1.3 Моделі завад при їх кумулянтному описі 15
1.4 Огляд класичних методів знаходження оцінки параметрів випадкової
величини 20
2. ОЦІНКА ПАРАМЕТРІВ ВИПАДКОВОЇ ВЕЛИЧИНИ МЕТОДОМ
МАКСИМІЗАЦІЇ ПОЛІНОМА 26
2.1 Оцінка скалярного параметра методом максимізації полінома 26
2.2 Властивості оцінок параметра, знайденого методом максимізації
полінома 29
3. СКАЛЯРНА ОЦІНКА ДОПЛЕРІВСЬКОГО ЗСУВУ ЧАСТОТИ
ГАРМОНІЧНОГО СИГНАЛУ НА ФОНІ ЕКСЦЕСНОЇ ЗАВАДИ 34
3.1 Постановка задачі 34
3.2 Розрахунок характеристик вимірювача доплерівського зсуву частоти
гармонічного сигналу за допомогою методу максимальної
правдоподібності 42
3.3 Лінійна оцінка доплерівського зсуву частоти гармонічного сигналу, що
приймається на фоні ексцесної завади 1-го типу 45
3.4 Оцінка доплерівського зсуву частоти гармонічного сигналу на фоні
ексцесної завади 1-го типу при ступені поліному s = 2 48
3.5 Оцінка доплерівського зсуву частоти гармонічного сигналу при
відомих параметрах ексцесної завади 1-го типу, оптимальна при ступені
поліному s = 3 50
3.6 Синтез і аналіз алгоритму оцінювання доплерівського зсуву частоти
гармонічного сигналу при ступені поліному s = 4 на фоні ексцесної
завади 1-го типу 56
3.7 Оцінка доплерівського зсуву частоти гармонічного сигналу при
ексцесній заваді 1-го типу при використанні поліному п’ятого ступеня 59
3.8 Алгоритм оцінки доплерівського зсуву частоти гармонічного сигналу
при ексцесній заваді 1-го типу при ступені поліному s = 6 63
Висновки 66
Список використаної літератури 68
ВСТУП
Актуальність роботи. У деяких радіолокаційних або радіонавігаційних
станціях для визначення місцеположення об'єкту використовується ефект
Доплера — зміна частоти електромагнітних коливань, що приймаються, при зміні
відстані між приймачем і випромінювачем радіохвиль.
Вимірювання радіальної швидкості руху об'єкту зводиться до вимірювання
доплерівського зсуву частоти сигналу, що приймається. У однопозиційних РЛС
передавач і приймач розташовані в одному місці, причому як опорне коливання,
відносно частоти якого вимірюється зсув частоти сигналу, що приймається,
використовується сам випромінюваний сигнал. Доплерівський зсув частоти
подвоюється із-за подвоєння шляху, що проходять радіохвилі.
Один з варіантів доплерівської РЛС з безперервним немодульованим
випромінюванням має таку структуру: генератор високої частоти формує
безперервне немодульоване коливання частоти; на змішувач приймача
поступають прямий сигнал і сигнал частоти, відбитий від цілі; у змішувачі
утворюється сигнал биття частоти, який через підсилювач доплерівської частоти
поступить на частотомір, проградуйований в значеннях радіальної швидкості.
До достоїнств таких РЛС відносяться їх простота і відсутність ближньої
«мертвої» зони, дякуючи чому їх застосовують, зокрема, в радіолокаційних
головках наведення снарядів, в радіопідривниках. Важливою перевагаю
доплерівських РЛС є їх здатність селектувати об'єкти за швидкістю шляхом
настройки підсилювача доплерівської частоти на задану частоту Доплера і,
зокрема, селектувати сигнали рухомих цілей на тлі віддзеркалень від нерухомих
об'єктів.
Корисні сигнали, що приймаються приймачем, завжди супроводжуються
завадами. Тому для забезпечення найвищої точності вимірювання координат
необхідно оцінювати параметри радіосигналів, що приймаються, оптимальним
чином. Завдання вимірювання їх параметрів є статистичним, і її оптимальне
рішення можна одержати, використавши розділ теорії статистичних рішень –
теорію оцінювання параметрів.
Для спрощення «класичних» алгоритмів опрацювання сигналів завада
розглядається як гауссівська випадкова величина. У випадку, якщо закон
розподілу завади відрізнятиметься від гауссівського, а в природних умовах
розповсюдження найчастіше так і відбувається, ефективність класичних
алгоритмів може бути достатньо низкою. У зв'язку з цим, оцінка доплерівської
частоти гармонічного сигналу на фоні негауссівських завад є актуальною
задачею.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами темами.
Магістерська робота виконана в рамках наукових досліджень по
опрацюванню сигналів на фоні негауссівських завад, що проводяться на кафедрі
РТСК Черкаського державного технологічного університету.
Мета і завдання дослідження.
Мета і завдання дослідження. Метою даної роботи є розробка степеневих
алгоритмів визначення доплерівського зсуву частоти гармонічного сигналу,
оптимальних при ексцесній заваді 1-го типу, і дослідження їх точнісних
характеристик.
Поставлена мета досягається розв’язком таких завдань:
• вибір і обґрунтування математичних моделей, які більш повно описують
реальні завади, порівняно з гауссівськими моделями;
• синтез алгоритмів визначення доплерівського зсуву частоти гармонічного
сигналу, що приймається на фоні ексцесної завади 1-го типу, оптимальних при
ступенях поліному від 1 до 6, методом максимізації поліному;
• дослідження дисперсій оцінок доплерівського зсуву частоти гармонічного
сигналу, знайдених при різних ступенях поліному.
Наукова новизна і практичне значення одержаних результатів. Вперше
синтезовано поліноміальні алгоритми вимірювання доплерівського зсуву частоти
гармонічного сигналу при відомих параметрах ексцесної завади 1-го типу для
ступенів поліному s = 2,6 . Отримано аналітичні вирази для асимтотичних
дисперсій оцінок доплерівського зсуву частоти гармонічного сигналу і
досліджено їх поведінку з ростом ступеня поліному.
1. ФІЗИЧНІ ОСНОВИ РАДІОВИЯВЛЕННЯ І ВИЗНАЧЕННЯ
МІСЦЕПОЛОЖЕННЯ ОБ'ЄКТІВ
1.1 Загальні питання оцінювання параметрів
Вимірювання координат і параметрів руху об'єктів в радіолокації і
радіонавігації зводиться до вимірювання параметрів сигналів, що приймаються,
відбитих або випромінюючих об'єктом. Метод вимірювання координат визначає,
який параметр підлягає вимірюванню: час запізнювання, амплітуда, частота, фаза.
Оцінивши параметри сигналу, можна знайти дальність, різницю дальностей,
кутові координати, радіальну і кутову швидкості об'єктів.
Для забезпечення найвищої точності вимірювання координат необхідно
оцінювати параметри радіосигналів, що приймаються, оптимальним чином. Як і
завдання виявлення сигналів, завдання вимірювання їх параметрів є
статистичним, і її оптимальне рішення можна одержати, використавши розділ
теорії статистичних рішень — теорію оцінювання параметрів.
Статистичне завдання оцінювання параметрів сигналу ставиться таким
чином. Хай протягом деякого часу спостерігається випадковий процес x(t) -
суміш корисного сигналу і шуму. Корисний сигнал залежить від невідомих
параметрів, значення яких не змінюються на інтервалі спостереження. Параметри
сигналу можна розділити на інформативні і неінформативні. Інформативні
параметри = (1,2 ,...,r , ) несуть корисну інформацію про координати і
параметри руху об'єкту і підлягають оцінюванню. Прикладом інформативного
параметра є час запізнювання відбитого від об'єкту радіосигналу, по якому в
активній радіолокації визначають дальність. Неінформативні параметри
= (1,2 ,..., r , ) заважають і оцінюванню не підлягають. Прикладом
неінформативного параметра може служити початкова фаза високочастотного
заповнення радіоімпульсів.
Оптимальне правило оцінювання, як і оптимальне правило виявлення,
визначається якнайкращою в тому або іншому сенсі вирішальною функцією, яка
відшукується методами теорії статистичних рішень. Оцінюваний параметр
може приймати безперервну чи ж дискретну безліч значень . В результаті
спостереження на відрізку часу [0,T] реалізації випадкового процесу x(t)
виноситься ухвала ˆ = (x) , яка і використовується як невідоме значення
параметра . При цьому рішення ̂ називається точковою оцінкою або просто
оцінкою параметра .
В загальному випадку існує можливість побудувати безліч оцінок ̂ . Серед
різноманіття оцінок вибираються ті, що дають найкраще наближення
оцінюваного параметра, а саме задовольняють наступним основним властивостям
оцінок: незсунутості, слушності, достатності й ефективності [1, 2]. Обговоримо
докладніше ці властивості.
По-перше, оцінка повинна бути незміщена, тобто незалежно від обсягу
вибірки середнє значення оцінки дорівнює оцінюваному параметру
Eˆ = ˆ . (1.1)
Якщо для оцінки ̂ існує різниця
= Eˆn − , (1.2)
яка називається зсувом оцінки, то цю різницю можна легко усунути за допомогою
простих виправлень.
Часто на практиці розглядають оцінки, для яких умова незсунутості
виконується тільки при необмеженому збільшенні обсягу вибірки ( n→), тобто
lim Eˆ = . (1.3)
n→
Такі оцінки називаються асимптотично незсунутими.
По-друге, оцінка повинна бути слушною, тобто при n → послідовність
оцінок ˆ (x) прагне по імовірності до оцінюваного значення
lim P{ˆ − }= 0 , 0 . (1.4)
n→
Оцінка повинна бути достатньою, тобто вона повинна нести в собі всю
інформацію про параметр , що міститься у вибірці x .
Вирішальною властивістю, що визначає якість оцінки, є ефективність.
Ефективність оцінки визначається концентрацією оцінок біля істинного значення
оцінюваного параметра. Оцінка параметра називається ефективною, якщо вона
серед всіх інших оцінок відповідного параметра має найменшу міру відхилення
від істинного значення оцінюваного параметра.
У залежності від розмірності оцінки (скалярна чи векторна) ступінь
випадкового розкиду значень оцінки щодо істинної величини оцінюваного
параметра визначається різними мірами.
Для скалярного параметра мірою відхилення від істинного значення
служить середнє значення квадрата відхилення, тобто величина:
2 (ˆ ) = E(ˆ −)2 . (1.5)
Для незміщеної оцінки, тобто для оцінки, що задовольняє умові (1.4),
розсіювання оцінки збігається з її дисперсією, тому що в цьому випадку:
D(ˆ ) = E(ˆ − Eˆ )2 = E(ˆ −)2 . (1.6)
Величина розсіювання дисперсії оцінки не може бути як завгодно мала.
Нерівність Крамера-Рао (нерівність інформації) встановлює нижню границю
величини дисперсії оцінки:
D(ˆ ) I−1() (1.7)
де
d d2
I() = E{ ln p(x /)}2 = −E{ ln p(x /)}, . (1.8)
d d2
Величина I() називається кількістю інформації за Фішером про параметр
, що міститься у вибірці.
Якщо в (1.7) досягається рівність, то розглянута оцінка називається
ефективною. Отже серед незміщених регулярних оцінок ефективні оцінки мають
мінімальну дисперсію.
Нерівність інформації дає можливість визначити мінімально можливе
значення величини дисперсії і тим самим ввести кількісну міру ефективності
оцінок у виді співвідношення:
e = [I()D(ˆ )]−1 . (1.9)
де D(ˆ ) - дисперсія даної конкретної оцінки ̂ .
Очевидно, що ефективність оцінки лежить у межах (0;1).
1.2 Основні відомості про радіовиявлення і визначення місцеположення
об'єктів
Проблема радіовиявлення об'єкту зводиться до виявлення сигналу, що
випромінюється або перевипромінюється цим об'єктом на тлі різного роду завад.
Активне радіовиявлення засноване на явищі віддзеркалення або розсіювання
радіохвиль, якщо на шляху їх розповсюдження зустрічається об'єкт з
електричними параметрами, відмінними від параметрів середовища. Такий об'єкт,
опромінений електромагнітним коливанням, стає джерелом відбитого, тобто
вторинного, електромагнітного поля. Потужність вторинного випромінювання
залежить від інтенсивності первинного поля біля об'єкту, параметрів об'єкту
(габаритів, форми, електричних властивостей), положення об'єкту щодо джерела
зондуючого сигналу, поляризації первинного поля, довжини хвилі .
Залежність потужності вторинного випромінювання від особливо
важлива, оскільки її характер визначає діапазон радіохвиль, придатний для
радіовиявлення. Якщо лінійні розміри об'єкту l такі, що
l , (1.10)
то потужність вторинного випромінювання від практично не залежить. Якщо
l 4
, то потужність вторинного випромінювання обернено пропорційна . При
цьому із збільшенням довжини хвилі потужність вторинного випромінювання
різко падає, що приводить до відповідного зменшення дальності виявлення. Тому
в радіолокації, для якої завдання виявлення об'єктів є найважливішим,
використовують в основному такі радіохвилі, довжина яких задовольняє
співвідношенню (1.10). Отже, для спостереження, радіолокації цілей, типу літаків,
автомашин і т.п. потрібно використовувати діапазон метрових і коротших хвиль
(10...10-3 м).
Необхідність укорочення довжини хвилі обумовлена також прагненням
створити вужчий радіопромінь, щоб забезпечити розрізнення (розділення) цілей
по кутових координатах, вищу точність їх вимірювання і економніше витрачання
енергії передавача. Річ у тому, що кутова ширина променя або ширина діаграми
спрямованості (ДС) антени
a = k / da , (1.11)
де da - лінійний розмір апертури антени; k — коефіцієнт пропорційності,
залежний від розподілу електромагнітного поля по апертурі. Отже, при заданому
розмірі антени звуження променя досягається шляхом зменшення довжини хвилі
.
Необхідно, проте, враховувати і чинник, що обмежує укорочення хвилі -
загасання радіохвиль в атмосфері, яке в сантиметровому і міліметровому
діапазонах може виявитися значним.
Для виявлення цілей, що лежать далеко за лінією горизонту, тобто для
загоризонтної радіолокації, діапазон 10...10-3 м не придатний, оскільки хвилі
цього діапазону розповсюджуються по законах, близьких до оптичних, тобто в
межах прямої видимості. Здатністю проникати далеко за лінію горизонту
володіють радіохвилі з більшою довжиною хвилі. У загоризонтній радіолокації
використовується перш за все діапазон декаметровых хвиль 10...100 м. Ці хвилі
здатні відбиватися від верхніх шарів атмосфери і дозволяють виявляти різні
об'єкти приховані за лінією горизонту (літаки, стартуючі балістичні ракети і ін.).
Виявлення об'єктів можливе при імпульсному і безперервному зондуючих
сигналах. У першому випадку об'єкт опромінюється короткими імпульсами,
тривалість яких звичайно значно менше паузи між ними. При цьому
використовується часова розв'язка приймального і передавального каналів, що
реалізовується антенним перемикачем. При безперервному сигналі вплив
передавального каналу на приймальний ослабляється за допомогою частотної,
просторової або поляризаційної розв'язки.
Пасивне виявлення засноване на використанні власного, зокрема, теплового
випромінювання об'єкту. Оскільки будь-яке фізичне тіло, температура якого вище
абсолютного нуля випромінює електромагнітні коливання, то є принципова
можливість виявляти будь-які об'єкти без попереднього опромінювання.
Максимум теплового випромінювання земної поверхні і багатьох інших об'єктів
лежить у області інфрачервоного діапазону хвиль. Для виявлення може
використовуватися також радіовипромінювання, викликане роботою різних
радіопристроїв, що є на об'єкті, запуском ракет і т.п.
Фізичною основою визначення місцеположення об'єктів є те, що в
однорідному середовищі радіохвилі розповсюджуються прямолінійно і з
постійною швидкістю С=3.108 м/с. Це дозволяє визначити напрям на
випромінювач радіохвиль і пройдений ними шлях (дальність) R = C , змірявши
час розповсюдження між випромінювачем і приймачем. Проте реальне
середовище в загальному випадку не є однорідним. Тому траєкторія
розповсюдження радіохвиль, взагалі кажучи, відрізняється від прямої лінії, а
швидкість їх розповсюдження міняється на шляху розповсюдження. Це
приводить до відповідних помилок у визначенні місцеположення об'єкту.
У деяких РЛС і РНС для визначення місцеположення об'єкту разом з
перерахованими властивостями радіохвиль використовується ефект Доплера —
зміна частоти електромагнітних коливань, що приймаються, при зміні відстані R
між приймачем і випромінювачем радіохвиль. Знайдемо цю зміну, вважаючи, що
випромінюється гармонійне коливання частоти f0 з початковою фазою 0 . Тоді
поточне значення фази коливання на вході приймача
(t) = 2f0 (t − (R / C)) + 0 . (1.12)
При зміні відстані R , наприклад із-за руху випромінювача з радіальною
швидкістю
VR=dR/dt, (1.13)
частота коливання, що приймається,
f = (d / dt) / 2 = f0 − (f0VR / C) (1.14)
відрізняється від частоти випромінюваного на значення
fд = − f0VR / C = −VR / , (1.15)
де = C / f0 — довжина хвилі. Величина (1.15) називається частотою Доплера або
доплеровским зсувом частоти.
Діапазон радіохвиль, використовуваний в радіонавігації, значно ширше, ніж
в радіолокації. Річ у тому, що в неавтономних РНС відбивні властивості об'єкту
не використовуються і тому умова (1.10) не обмежує вибору діапазону
радіохвиль. У радіонавігації він обумовлений особливостями розповсюдження
радіохвиль в реальному середовищі, які істотно залежать від довжини хвилі. Крім
того, враховується регламент радіозв'язку, тобто зведення правил, які регулюють
порядок використання діапазонів радіохвиль різними країнами в різних
радіосистемах.
У неавтономних РНС, що забезпечують визначення місцеположення об'єкту
на великих відстанях (близько 8...10 тис. км), використовуються міріаметрові
хвилі (=10...100 км); при менших відстанях (3...1 тис. км) — кілометрові
(=1...10 км) і гектометрові (=0,1...1 км) хвилі. У автономних РHC, наприклад в
радіовисотомірах, доплеровских вимірювачах швидкості і кута зносу (ДВШЗ)
потрібно враховувати співвідношення (1.11); тому такі системи працюють на
метрових і коротших хвилях.
1.3 Моделі завад при їх кумулянтному описі
Внаслідок стрімкого росту об’ємів інформації, що продукує людина в
процесі своєї життєдіяльності, вирішення більшості задач радіотехніки,
радіофізики, теорії зв'язку, автоматичного управління стає неможливим без
застосування статистичного підходу.
Процеси передачі та прийому завжди супроводжуються перешкодами
(завадами). Завади можуть бути регулярними (детермінованими) та випадковими
(флуктуаційними). Найбільш шкідливими є випадкові завади, тому боротьбі з
ними приділяється максимум уваги.
За походженням завади бувають внутрішні (шуми апаратури, яка є
частиною каналу зв'язку) та зовнішні. Зовнішніми завадами є
• атмосферні завади (грозові розряди), обумовлені електричними процесами в
атмосфері;
• індустріальні завади, які виникають в електричних ланцюгах
електроустановок (електротранспорт, електричні двигуни, медичні
установки);
• завади від сторонніх станцій та каналів, які виникають внаслідок порушення
режиму їх роботи та властивостей каналу;
• космічні завади, пов’язані з електромагнітними процесами, які відбуваються
на Сонці, зірках, галактиках тощо.
Флуктуаційними називають завади, обумовлені флуктуаціями тих чи інших
фізичних величин. Назва походить від фізичного поняття флуктуації – випадкових
відхилень значень фізичної величини від середнього. Флуктуаційна завада є
неперервним коливанням, яке випадково змінюється. Для такої завади характерна
мала кількість викидів, більших середнього рівня в 3-4 рази. Спектр завади досить
широкий. Флуктуаційні завади можуть бути не лише зовнішніми (завади
космічного походження), а й внутрішніми (тепловий шум в провідниках і
дробовий ефект в електронних приладах).
За типом взаємодії з сигналом розрізняють завади:
• адитивні
u(t) = n(t) + v(t) ;
• мультиплікативні
u(t) = n(t)v(t) ,
де u(t) - коливання суміші сигналу v(t) та завади n(t)
Адитивні маскуючі завади створюють фон, який ускладнює виявлення та
виділення сигналу. Крім того, вони перенавантажують вихідні каскади лінійного
тракту приймального пристрою і переводять їх у нелінійний режим роботи, при
якому відбувається пригнічення сигналу. Адитивні завади впливають на
приймальний пристрій незалежно від сигналу і присутні навіть тоді, коли на вході
приймача відсутній сигнал.
Мультиплікативні завади змінюють параметри сигналу, в основному,
амплітуду. Вони безпосередньо пов’язані з процесом проходження сигналу в
середовищі поширення і тому відчуваються лише при наявності сигналу в системі
зв’язку. На практиці діє не одна, а сукупність завад, але основними можна
вважати флуктуаційні завади, які впливають на сигнал як адитивні.
Дуже важливим є забезпечення завадостійкості радіотехнічних систем.
Система зв’язку повинна бути спроектована та використовуватися так, щоб вона
при наявності завад забезпечувала задану кількість передачі сигналів та
повідомлень. Розрахунок впливу завад на передачу сигналів та розробка способів
зменшення цього впливу є основними питаннями, які вирішуються в теорії
завадостійкості. Під завадостійкістю системи зв’язку мають на увазі здатність
системи розрізняти (відновлювати) із заданою достовірністю на фоні завад. В
загальному випадку завадостійкість системи зв’язку залежить від виду
повідомлень, що передаються, рівня та характеристик завад, параметрів
складових частин системи. Вплив завад неможливо точно передбачити, тому
якісний радіоприйом вимагає розв’язку низки статистичних задач.
Для математичного опису реальних випадкових сигналів та завад, тобто для
вибору математичної моделі сигналу, необхідно визначити, до якого типу
випадкових явищ можна віднести випадковий сигнал (заваду) в конкретній
ситуації, визначити необхідні статистичні характеристики.
При розв’язку практичних задач іноді зручніше використовувати
кумулянтний опис випадкової величини. Оскільки в даній роботі буде
використовуватися саме кумулянтний опис випадкових величин, то має сенс
докладніше зупинитися на його особливостях.
Розглянемо безрозмірні кумулянти – кумулянтні коефіцієнти
n () = n ()−0,5n
2 () .
У наборі кумулянтів перші два мають чіткий сенс, а саме, середнє значення
і дисперсія розподілу відповідно. Кумулянтні коефіцієнти 3 і 4 називаються
відповідно коефіцієнтами асиметрії й ексцесу. Коефіцієнт асиметрії характеризує
асиметричність кривої імовірності розподілу щодо математичного сподівання, а
коефіцієнт ексцесу служить для оцінки «крутизни», тобто більшого чи меншого
підйому кривої розподілу в порівнянні з нормальною кривою.
Основну цінність кумулянтний опис має для негауссівських випадкових
величин, оскільки кумулянтні коефіцієнти вище третього порядку описують
ступінь відхилення імовірнісного розподілу від гауссового. У багатьох практично
важливих випадках, вищими кумулянтами, у відмінності від моментів, можна
знехтувати, що дозволяє приблизно представляти імовірнісні розподілу тих
випадкових величин, для яких відома кінцева послідовність кумулянтів.
В роботі [5] розглядається застосування модельних розподілів n -го
порядку, для яких усі кумулянти s випадкової величини рівні нулю для всіх
s n [5]. Недоліком використання негауссівських модельних розподілів є те, що
вони не є ймовірнісними, тобто не існує таких щільностей імовірності випадкових
величин, для яких перші s кумулянтів були б відмінні від нуля, а всі інші
кумулянти рівнялися б нулю.
В роботі [3] були введені й обгрунтовані випадкові величини позбавлені
зазначеного недоліку, які отримали назву множина випадкових величин, що є
близькими до гауссівських. Інтуїтивно зрозуміло, що оскільки гауссівські
випадкові величини на мові кумулянтів описуються тільки кумулянтами 1-го і 2-
го порядків, то негауссівські випадкові величини, що описуються тільки
кумулянтами нижчих порядків, будуть близькими до гауссівських.
Для обмеження числа використовуваних кумулянтів були введені так звані
перфоровані випадкові величини. Будемо говорити, що випадкова величина є
перфорованою (від лат. perforatio - пробивання), коли не всі кумулянти
випадкової величини, що залишилися, дорівнювали б нулю, а тільки визначена
їхня частина, а частина кумулянтів, що залишилася, вищих порядків може
приймати довільні значення. Такі випадкові величини існують, крім того, ними
можна апроксимувати реальні завади, що досить повно описуються нижчими
кумулянтами, а врахування (або неврахування) вищих кумулянтів практично не
впливає на кінцевий результат.
В роботі [3] введено три класи множин близьких до гауссівських
випадкових величин. Перший клас називається класом асиметричних випадкових
величин, другий - класом ексцесних випадкових величин і третій клас - класом
асиметрично-ексцесних випадкових величин. Класи асиметричних і ексцесних
випадкових величин розділяються кожний на два типи.
В данній роботі буде досліджуватися один з класів завад близьких до
гауссівських, тому розглянемо її визначення. Ексцесними випадковими
величинами 1-го типу, близькими до гауссівських випадкових величин, будемо
називати множину випадкових величин, в описі яких присутні тільки 2 і
коефіцієнт ексцесу 4 . Також визначення близьких до гауссівських випадкові
величин можна здійснити, використовуючи поняття об'ємів тіл розміром s [3].
Перфоровані випадкові величини близькі до гауссівских володіють рядом
властивостей. В даному випадку, умова невід’ємності об'єму перфорованого тіла
стохастичного поліному накладає обмеження на область допустимих значень
коефіцієнту ексцесу. З ростом степеня поліному звужується інтервал допустимих
значень коефіцієнту ексцесу. В таблиці 1.1 наведено інтервали допустимих
значень коефіцієнта ексцесу 4 ексцесних випадкових величин 1-го типу для
ступенів поліномів від 1 до 6.
Таблиця 1.1
Інтервали допустимих значень коефіцієнту ексцесу
Ступінь поліному, s Інтервали допустимих значень 4
1 не враховується
2 (-2; )
3 (-0,623; 9,623)
4 (-0,327; 9,623)
5 (-0,21; 3,368)
6 (-0,151; 3,368)
1.4 Огляд класичних методів знаходження оцінки параметрів
випадкової величини
Основним описом випадкової величини є опис за допомогою функції
щільності розподілу ймовірностей p(x ), який найповніше відображає
статистичні характеристики цієї випадкової величини. Тому і метод, заснований
на використанні такого опису, займає дуже важливе місце в теорії оцінок
параметрів.
Нехай задана незалежна вибірка x = x , x ,..., x з генеральної сукупності
1 2 n
випадкової величини і щільність розподілу цієї вибірки залежить від деякого
векторного параметра, тобто
n
p(x )= p(x ).
v
v=1
Функція
L( )= p(x ), (1.16)
що розглядається як функція аргументу при заданій вибірці, називається
функцією правдоподібності. В якості оцінки невідомого параметра вибирається
таке значення аргументу, при якому функція правдоподібності досягає свого
максимального значення:
L(ˆ )= max L( ) (1.17)
Метод, що реалізовує подібний алгоритм, називається методом
максимальної правдоподібності, він був запропонований Р. Фішером ще у 1912
році.
Часто замість функції L( ) використовують функцію ln L( ), яка досягає
максимуму в тих же точках, що і L( ). Якщо функція p(x ) диференційована по
, то для знаходження оцінок максимальної правдоподібності необхідно
розв’язати так звану систему рівнянь максимальної правдоподібності:
lnL( ) = 0 , i = 1, q (1.18)
=ˆ
i
У загальному випадку оцінки максимальної правдоподібності є
спроможними і асимптотично ефективними.
Недоліком методу є складність обчислення максимуму при рішенні
багатьох практичних задач.
Завдяки своїй простоті дуже часто використовується на практиці метод
знаходження точкових оцінок параметра , заснований на використанні
емпіричної функції розподілу.
Якщо задана вибірка x = x , x ,..., x об'ємом n незалежних і однаково
1 2 n
розподілених величин з випадкової величини з безперервною функцією
розподілу, то емпіричною функцією розподілу називають функцію виду
(x)
F (x)= n ,
n n
де - число тих v вибіркових значень, для яких v =1,n . Показано, що при n →
n
функція F (x) сходиться до F (x ) з ймовірністю 1 для x (− ;).
n
Якщо множина параметрів ( , ,..., ) може бути однозначно визначена
1 2 q
деякими q функціоналами
= F (x ), i =1,q ,
i i
які в свою чергу визначені на множині всіх функцій розподілу, то в якості
визначних функцій векторного параметра можна використовувати значення
ˆ = F (x), i =1,q .
i i n
Показано, що коли n→ , значення функціоналів F ( ) сходяться по
i n
ймовірності до істинних значень векторного параметра ( , ,..., ), тобто
10 20 q0
p
lim F ( )→ , i =1,q .
n→ i n i0
Проте, як наголошувалося раніше, дуже часто параметр може бути
заданий тільки в неявному вигляді
( )= E ( )= (x)dF (x ) i =1,q (1.19)
i i i
−
де ( ) - деякі функції від випадкової величини .
i
Підставляючи емпіричну функцію розподілу F (x) в праву частину (1.19) і
n
переносячи праву частину в ліву, одержуємо, що оцінка векторного параметра
знаходиться з рішення системи рівнянь
n
1
( )− (x ) = 0 i =1,q . (1.20)
i n i v
v=1 =ˆ
Отже, в загальному випадку метод знаходження оцінок параметрів,
заснований на використанні емпіричної функції розподілу, полягає в
прирівнюванні теоретичних математичних очікувань ( ) до вибіркових
i
середніх арифметичних v від функцій (x ).
i v
Окремим випадком методу знаходження оцінок параметрів за допомогою
емпіричного розподілу є метод моментів, в якому функція ( ) має вигляд
i
i
( )= . При цьому ( )= ( ), i =1,q і значення оцінок складових вектора
i i i
знаходиться з рішення системи
n
1 i
( ) = x i =1,q . (1.21)
i n v
v=1
Отже, метод моментів полягає в прирівнюванні вибіркових моментів до
теоретичних.
Переносячи в системі (1.21) праву частину в ліву, одержуємо, що оцінка
деякого параметра може бути знайдена з рішення системи рівнянь
n
( 1 i
)− x = 0 , i =1,q .
i n v =ˆ
v=1
Показано, що для будь-якого i =1,q оцінка, знайдена з цієї системи рівнянь,
буде спроможною і асимптотично нормальною.
Перевагою методу знаходження оцінок за допомогою емпіричної функції
розподілу є те, що в ньому використовується часткова апріорна інформація і
оцінки виходять простими для реалізації. Проте великий його недолік в тому, що
оцінки часто володіють низькою ефективністю.
Метод моментів звичайно застосовується для випадкових величин, у яких
існують моменти. Для випадкових величин, у яких моменти не існують, оцінки
знаходяться за допомогою емпіричної функції розподілу при відповідному виборі
функцій ( ).
i
Ще одним параметричним методом знаходження оцінок є метод найменших
квадратів. Це найперший статистичний метод знаходження оцінок параметрів.
Нехай задана вибірка x = x , x ,..., x незалежних випадкових величин з
1 2 n
різними моментами першого порядку ( ), v =1,n і дисперсіями
1v
2
( ) ( 2
= )− ( ), , q =1,n .
v 2v 1v
Згідно методу найменших квадратів як оцінка невідомого параметра
вибирається значення, при якому досягається мінімум суми квадратів.
n
(
l x, ) 2
=x − ( ) .
v 1v
v=1
Якщо функції ( ) диференційовані за кожною складовою векторного
1v
параметра
( )
1v , , m =1,q , v =1,n ,
m
то для знаходження оцінок методу найменших квадратів необхідно вирішити
систему рівнянь
n
l(x, )=
x − ( ) ( ) = 0 , m =1,q .
v 1v 1v =ˆ
m v=1 m
Якщо вибіркові значення однаково розподілені (мають однакові моменти),
то можна знайти оцінку тільки одного параметра, розв’язуючи рівняння, яке в
загальному вигляді співпадатиме з рівнянням, отриманим для знаходження оцінки
методом моментів.
n 2
l(x, )=x − ( ) = 0
v 1
v=1
Дисперсія оцінки в загальному випадку асимптотично буде дорівнювати
−1
2
n
2 2
()
1v (0 ) .
v=1 0
Метод найменших квадратів знайшов широке застосування в прикладних
завданнях статистики, особливо при знаходженні оцінок параметрів лінійної
регресії при адитивних гауссівських перешкодах з нульовим середнім значенням
і однаковою дисперсією, оскільки він навіть при малих вибірках володіє
властивістю оптимальності, що полягає в тому, що він дає незміщені оцінки, які є
лінійними функціями від спостережень і мають мінімальну дисперсію.
2. ОЦІНКА ПАРАМЕТРІВ ВИПАДКОВОЇ ВЕЛИЧИНИ МЕТОДОМ
МАКСИМІЗАЦІЇ ПОЛІНОМА
2.1 Оцінка скалярного параметра методом максимізації полінома
Нехай є вибірка незалежних однаково розподілених випадкових значень з
генеральної сукупності випадкової величини з функцією розподілу, де
параметр має дійсне значення .
0
Візьмемо узагальнений стохастичний поліном 1-го типу степені s і розміром
n виду [3]
s n
l (x )= nk ( )+ k ( ) (x ). (2.1)
sn 0 i i v
i=1 v=1
Вибірковий стохастичний поліном виду (2.1) називатимемо узагальненим
стохастичним поліномом 1-го типу з коефіцієнтами, залежними від скалярного
параметра .
Нехай функції параметра ( ) двічі диференційовані за параметром ,
i
тобто
2
d d
() , ( )
d i 2 i
d
Якщо в узагальненому стохастичному поліномі вигляду (2.1) коефіцієнти
k ( ) і k ( ) рівні відповідно
0 i
s
k ( ) = h ( ) ( )d , (2.2)
0 i i
a i=1
k ( ) = h ( )d , (2.3)
i i
a
а функції h ( ) знаходяться з рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь
i
s
d
h ( )F ( ) = ( ),i =1, s для (a,b), (2.4)
j i, j
j=1 d i
то при будь-якому кінцевому s поліном (2.1) асимптотично при n→ як функція
параметра має максимум в точці ̂ , околиці істинного значення . Причому
n 0
при n→ величина ̂ сходиться за ймовірністю до .
n 0
У методі максимізації полінома використовується друга властивість
узагальнених стохастичних поліномів мати максимум в околиці істинного
значення .
0
Нехай у вибірковому узагальненому стохастичному поліномі l (x )
sn
вигляду (2.1) коефіцієнти k ( ) і k ( ) рівні відповідно (2.2) і (2.3), а функції
0 i
h ( ) знаходяться з рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь (2.4).
i
Метод знаходження оцінок невідомих параметрів випадкових величин,
заснований на тому, що при заданій степені полінома s і вибірці x як оцінка
параметра вибирається значення, при якому поліном як функція приймає
максимальне значення, називатимемо методом максимізації полінома.
Як видно з виразів (2.1) і (2.2), (2.3), стохастичний поліном l (x )
sn
диференціюємо по . Тому оцінку можна знаходити з рішення рівняння
d
l (x ) = 0 , (2.5)
d sn
=ˆ
яке в розгорненому вигляді буде мати вигляд
s n
h ( ) ( )− ( ) = 0 . (2.6)
i i i
i=1 v=1 =ˆ
Рішенням рівняння (2.6) вибирається дійсний корінь, залежний від
вибіркових значень, при якому l (x ) має максимальне значення.
sn
Рівняння (2.1) і (2.6) називатимемо рівнянням максимізації полінома.
Для знаходження оцінки необхідно, перш за все, знаходити коефіцієнти
h ( ),i =1, s . Коефіцієнти функції k ( ) і k ( ) , i =1, s можуть знадобитися тоді,
i 0 i
коли існує кілька коренів рівняння максимізації полінома, коли за оцінку
необхідно взяти ̂ глобального максимуму.
n
Таким чином, в методі максимізації полінома оцінка параметра задається в
неявному вигляді.
2.2 Властивості оцінок параметра, знайденого методом максимізації
полінома
Оцінка параметра , знайдена з рішення рівняння (2.5), буде спроможною.
В методі максимізації полінома як оцінка параметра береться саме значення ̂ .
n
Використовуючи спроможність оцінок, доведемо те, що оцінка, знайдена з
рішення рівнянь (2.1), буде асимптотично незміщеною.
Оскільки оцінка, знайдена з рішення рівнянь (2.5) спроможна, то при n>>1
оцінка ̂ буде не дуже відрізнятися від дійсного значення . Тому ліву частину
n 0
рівнянь (2.5) можна розкласти в ряд Тейлора, обмежившись двома членами
розкладання, тобто
2
d d d
l (x; )
l (x; ) ˆ
+ ( − ) l (x; ) .
d sn sn 0 n 0 2 sn 0
=ˆ d d
Оскільки, згідно (2.5)
2
d
(
d
l x; ) + (ˆ − ) l (x; ) 0 ,
d sn 0 n 0 2 sn
d 0
то з цього рівняння можна знайти, що
d
l (x; )
sn
( 0
ˆ − ) d . (2.7)
n 0 2
d
− l (x; )
2 sn
d 0
Використовуючи (2.6), можна записати, що
2 s n s
d d d
− l (x; ) = − h ( ) (x )− (x ) + n h ( ) (x) .
2 sn 0 d i i v i v i 0 i
d 0
i=1 v=1 d
i=1
0
Але перший доданок при n→ прагне до свого математичного очікування,
яке рівне нулю. Отже, асимптотично при n→ маємо
2 s 2
d
− l (x; ) nh ( d d
) (x) = −E l (x; ) . (2.8)
2 sn i 0 i 2 sn
d 0 0
i=1 d d
Тому, використовуючи (2.8), можна записати, що асимптотично
d
l (x; )
sn
( 0
ˆ − ) d .
n 0 2
d
(− E l x; )
2 sn
d 0
Оскільки
s n
d d
E l (x; ) = − h ( )E (x )− (x )= 0 ,
d sn 0 d i i v i v
i=1 v=1
то асимптотично
E(ˆ − )= 0 (2.9)
n 0
і отже, оцінка ̂ , знайдена методом максимізації полінома, є асимптотично
n
незміщеною.
Коефіцієнти h ( ), знайдені з рішення системи лінійних алгебраїчних
i
рівнянь (2.4), є стаціонарною точкою для дисперсії оцінки, знайденої методом
максимізації полінома.
Підставивши (2.8) в (2.7) з урахуванням (2.9), матимемо, що дисперсія
оцінки знайденої з рішення рівняння (2.1) буде асимптотично рівна
2
d
E l (x; )
sn 0 2
E( 2
ˆ − ) d =
n 0 2
2
d
− E l (x; )
2 sn
d 0
(2.10)
n n
nh ( )h ( )F ( )
i 0 j 0 i,i 0
i=1 j=1
=
2
n
d
nh ( ) ( )
i 0 i 0
i=1 d
Як видно з (2.10), дисперсія оцінки ̂ є функцією коефіцієнтів h ( ), i =1, s ,
n i
тобто є функцією багатьох змінних h ( ). Як відомо з теорії функцій багатьох
i
змінних, функція багатьох змінних може мати екстремум в стаціонарній точці,
тобто в тій точці, для якої система перших часткових похідних по змінних h
i
рівна нулю.
Перша часткова похідна по h , i =1, s від правої частини (2.10) дорівнює
i
n
( ) ( ) d
2 h F − ( )
d j 0 i,i 0 i 0
j=1 d
= 2 . (2.11)
dh 2
n
i d
nh ( ) ( )
i 0 i
0
i=1 d
де
n n
h ( )h ( )F ( )
i 0 j 0 i,i 0
i=1 j=1
= .
n
d
h ( ) ( )
i 0 i 0
i=1 d
Оскільки для коефіцієнтів h ( ), знайдених з рішення системи (2.4) має
i
місце рівність
s s s
d
h ( )h ( )F ( ) =h ( ) ( )
i j i, j i
i=1 j=1 i=1 d s
0 0
для будь-яких (a,b) , то =1 . Але тоді через рівність (2.4) права частина (2.11)
тотожно рівна нулю для i =1, s . Отже, коефіцієнти h ( ), знайдені з рішення
i
системи лінійних алгебраїчних рівнянь (2.4), є стаціонарною точкою для дисперсії
оцінки ̂ , знайденої методом максимізації полінома. Іншими словами,
n
коефіцієнти h ( ),знайдені із розв’язку системи (2.4), забезпечують екстремум
i
(мінімум або максимум) дисперсії оцінки, знайденої з рівняння системи (2.5), або
забезпечують екстремум правої частини (2.11).
Коефіцієнти h ( ), знайдені з рішення системи (2.4), забезпечують мінімум
i
дисперсії оцінки, знайденої методом максимізації полінома.
Для полінома l (x ) з коефіцієнтами h ( ), знайденими з рішення системи
sn i
лінійних алгебраїчних рівнянь (2.4), справедлива наступна рівність
2 2
d d
J ( ) = E l (x; ) = −E l (x; ) (2.12)
sn
d sn 2 sn
d 0
0
Для функцій h ( ), знайдених з рішення системи (2.4), виконується
i
наступна нерівність
2 n
d d
J ( ) = −E l (x; ) = nh ( ) ( ) 0 .
sn 2 sn 0 i 0 i 0
d i=1 d
Для функцій h ( ), знайдених з рішення системи (2.4), дисперсія оцінки,
i
знайдена методом максимізації полінома, буде асимптотично дорівнювати
2 −1
J () (2.13)
min sn
Для вибіркових стохастичних поліномів з коефіцієнтами, залежними від
параметра, для яких виконується друга властивість стохастичних поліномів,
також виконується і основна властивість стохастичних поліномів. Проте основна
властивість виконується в одній точці, а саме в точці максимального значення
математичного очікування полінома J ( ; ) , тобто в
sn 0
Функція J ( ) аналогічна кількості інформації Фішера, тому функцію
sn
J ( ) називатимемо кількістю добутої інформації про параметр, яку можна про
sn
нього здобути з незалежної вибірки об'ємом n методом максимізації полінома,
коли вибірковий стохастичний поліном ступеня s заданий в класі узагальнених
функцій ( ) (або описується за допомогою функцій ( )). Більш стисло
i i
функцію J ( ) називатимемо кількістю добутої інформації за допомогою
sn
вибіркового стохастичного полінома, заданого в класі узагальнених функцій (.).
i
J ()= nj () ,
sn sn
тобто кількість добутої інформації прямо пропорційна об'єму вибірки n.
3. СКАЛЯРНА ОЦІНКА ДОПЛЕРІВСЬКОГО ЗСУВУ ЧАСТОТИ
ГАРМОНІЧНОГО СИГНАЛУ НА ФОНІ ЕКСЦЕСНОЇ ЗАВАДИ
3.1 Постановка задачі
Задача вимірювання параметрів є статистичною і може бути сформульована
наступним чином. Будемо вважати, що спостережуваний неперервний
випадковий процес представляє адитивну суміш корисного сигналу і завади
x(t) = S(t) + n(t) . (3.1)
Для спрощення процедури оцінки інформативного параметру корисного
сигналу, неперервний випадковий процес представляють в дискретному вигляді,
тобто в моменти часу tv = v , де величина - крок дискретизації, що вибирається
згідно з теоремою Котельнікова, а v - номер вибіркового значення, причому
v = 1, n . Таким чином, будемо вважати, що у розпорядженні спостерігача є
вибірка X ={x1, x2 ,xn} обсягом n незалежних неоднаково розподілених
значень із генеральної сукупності значень випадкової величини xv виду
xv = Sv + nv , v =1, n , (3.2)
де корисний сигнал представлений у вигляді
Sv = A cos[2(f0 + F)v + ]. (3.3)
У виразі (3.2) перший доданок Sv представляє собою гармонічний сигнал з
доплерівським зсувом частоти F , а другий доданок n v - адитивна завада, яка
описується моделлю центрованої ексцесної випадкової величини 1-го типу [3,
109]. При цьому вважаємо, що амплітуда A , частота випромінення сигналу f0 і
початкова фаза є відомими параметрами, а оцінюванню підлягає параметр F .
Для компактності запису математичних співвідношень будемо
користуватися такою формою запису для гармонічного сигналу
Sv = A Bv (3.4)
тобто
Bv = cos[2(f0 + F)v + ] . (3.5)
Розглядувана адитивна завада описується двома ненульовими параметрами:
кумулянтом другого порядку 2 , який ще називається дисперсією завади, і
характеризує її потужність, а також коефіцієнтом ексцесу 4 . Крім цих параметрів
в описі ексцесної випадкової величини присутні ще певне число нульових
кумулянтів, причому їх кількість залежить від ступеня використовуваного
поліному для опрацювання випадкової послідовності. Так, при використані
стохастичного поліному s -го ступеня, будемо вважати, що кумулянтні
коефіцієнти { 3 , i } i = 5,2s дорівнюють нулю, а кумулянтні коефіцієнти порядку
2s +1 і вище, приймають довільних значень, але й не використовуються.
Крім того, будемо вважати, що завадова обстановка каналу зв’язку незмінна
за час спостереження сигналу, тобто значення параметрів завади 2 , 4 є сталими
і апріорно відомими.
Метою даної роботи є розробка поліноміальних алгоритмів визначення
доплерівського зсуву частоти гармонічного сигналу при впливі адитивної
ексцесної завади 1-го типу.
Розглянемо ряд обмежень на крок дискретизації випадкового процесу, які
дозволять спростити подальші розрахунки.
Припустимо, що за час спостереження n число періодів гармонічного
сигналу є цілим числом. В цьому випадку для будь-якого непарного ступеня k
виконується рівність
n n
sin k ([0 +]v + ) =cosk ([0 +]v + ) = 0, (3.6)
v=1 v=1
коли ступінь парна, то справедливі рівності
n n
n
sin 2 ([0 +]v + ) =cos2 ([0 +]v + ) = ,
2
v=1 v=1
n n
3
sin 4 ([0 +]v + ) =cos4 ([0 +]v + ) = n. (3.7)
8
v=1 v=1
Для обраного кроку дискретизації крім рівностей (3.6) і (3.7) для будь-яких
p, k = 2,3, виконуються такі рівності
n
sin(p[0 +]v + )cos(k[0 +]v + ) = 0,
v=1
n
sin(p[0 +]v + ) sin(k[0 +]v + ) = 0, p k, (3.8)
v=1
n
cos(p[0 +]v + )cos(k[0 +]v + ) = 0, p k.
v=1
Вирази для початкових моментів до 12-го порядку i (2 , 4 ) і центровані
корелянти Fi, j() ексцесної випадкової величини 1-го типу розглянуто в роботі [3,
113].
Розрахунок початкових моментів здійснюється за формулою
m (F) = Ex i i
iv v = E{Sv + nv} ,
де m iv (F) - початкові моменти досліджуванної випадкової величини xv , що
залежать від невідомого параметра – доплерівського зсуву частоти F ; символом
E у останньому виразі позначена операція математичного сподівання.
Тоді вирази для початкових моментів досліджуваної випадкової величини виду
(3.2) запишуться у вигляді
m1v (F) = Sv , m2v (F) = S2
v + 2 ,
m3v (F) = S3
v + 3Sv2 , m (F) = S4 + 6S2 + 2
4v v v 2 2(4 + 3),
m 5
5v (F) = Sv +10S3
v2 + 5S 2
v2(4 + 3),
m 6 4
6v (F) = Sv +15Sv2 +15S2 2
v2(4 + 3) +153
2(4 +1),
m7v (F) = S7
v + 21S5
v2 + 35S3 2
v2(4 + 3) +105S 3
v2(4 +1),
m8v (F) = S8
v + 28S6
v2 + 70S4 2 2 3
v2 (4 + 3) + 420Sv2 (4 +1) +
+ 354 (2
2 4 + 64 + 3),
m9v (F) = S9
v + 36S7
v2 +126S5
v
2
2 (4 + 3) +1260S3
v
3
2 (4 +1) +
(3.9)
+ 315S 4 2
v 2 (4 + 64 + 3),
m 10 8 6 2 4 3
10v (F) = Sv + 45Sv2 + 210Sv2 (4 + 3) + 3150Sv2 (4 +1) +
1575S2
v
4 2 5
2 (4 + 64 + 3) + 3152 (52
4 +104 + 3),
m (F) = S11 9
11v v + 55Sv2 + 330S72 ( 5 3
v 2 4 + 3) + 6930Sv2 (4 +1) +
+ 5775S3
v
4
2 (2
4 + 64 + 3) + 3465S 5 2
v2 (54 +104 + 3),
m (F) = S12 + 66S10 + 495S82 ( + 3) +13860S63
12v v v 2 v 2 4 v 2 (4 +1) +
+17325S44
v 2 (2
4 + 64 + 3) + 20790S25
v 2 (52
4 +104 + 3) +
+1056 (553 + 4952
2 4 4 + 4954 + 99).
Обчислимо вирази для центрованих корелянтів вхідної випадкової
величини, використовуючи початкові моменти виду (3.9). Маємо:
▪ при ступені поліному s = 1
F(1,1)v (F) = 2 . (3.10)
▪ При ступені поліному s = 2 поряд з виразом (3.10) додатково
використовуються співвідношення
F(1,2)v (F) = 2Sv2 ,
F(2,2)v (F) = 2(4S2
v + 24 + 22 ) . (3.11)
▪ При третьому ступені поліному s = 3 додатково враховуються вирази виду
F(1,3)v (F) = 2(3S2
v + 24 + 32 ) ,
F(2,3)v (F) = S (6S2
v 2 v + 524 +122 ) , (3.12)
F(3,3)v (F) = 3 (3S4 + 5S2 2
2 v v24 +12Sv2 + 52
2(4 +1)) .
▪ При ступені поліному s = 4 додатково розглядаються вирази
F(1,4)v (F) = 4Sv2(S2
v + 2(4 + 3)) ,
F (F) = 2 (4S4 + 7S2 +18S2 2
(2,4)v 2 v v 2 4 v2 + 724 + 62
2 ) ,
F 4
(3,4)v (F) = 2Sv2(6Sv +17S2
v24 + 42S2
v2 + 512
24 + 482
2 ) , (3.13)
F 6 4 4 2 2
(4,4)v (F) = 22 (8Sv + 34Sv24 + 84Sv2 + 204Sv24 +
+192S2
v
2
2 +
3
2 (172
4 +1024 + 48)).
▪ При ступені поліному s = 5 кількість використовуваних виразів збільшиться
ще на п’ять
F(1,5)v (F) = 5 (S4 + 2S2
2 v v2(4 + 3) + 32
2(4 +1)) ,
F(2,5)v (F) =10Sv
4 2
2(Sv + 3Sv24 +8S2 2
v2 + 2(104 + 9)) ,
F 6 4 4 2 2
(3,5)v (F) = 52 (3Sv +13Sv24 + 33Sv2 + 81Sv24 +
(3.14)
+ 75S22 3 2
v 2 + 72 (4 + 64 + 3)),
F (F) =10S (2S6 +12S4
(4,5)v v 2 v v24 + 30S4
v +122S22
2 v 24 +
+114S22
v 2 +
3
2 (312
4 +1864 + 90)),
F (F) = 5 (5S8 6 6 4 2
(5,5)v 2 v + 40Sv24 +100Sv2 +10Sv2 (614 + 57) +
+10S2
v
3
2 (312
4 +1864 + 90) + 634
2 (52
4 +104 + 3)),
▪ при ступені поліному s = 6 разом з виразами виду (3.10)-(3.14)
використовуються такі
F(1,6)v (F) = 2Sv (3S4 2
2 v +10Sv2(4 + 3) + 452
2(4 +1)) ,
F 6 4
(2,6)v (F) = 2 (12Sv + 55Sv24 +150S4 2 2
v2 + 390Sv24 +
+ 360S22 + 53
v 2 2 (72
4 + 394 +18)),
F 6 4 4 2 2
(3,6)v (F) = 3Sv2 (6Sv + 37Sv24 + 96Sv2 + 400Sv24 +
(3.15)
+ 370S2
v
2
2 +153 2
2 (74 + 414 + 20)),
F(4,6)v (F) = 22 (12S8
v + 97S6
v24 + 246S6
v
4 2
2 +Sv2 (15154 +1410) +
+S23
v 2 (7802
4 + 46354 + 2250) + 4 2
2 (7804 +15454 + 450)),
F (F) =10S (3S8
(5,6)v v 2 v + 31S6
v24 + 78S6
v2 + 669S4
v
2
24 + 624S4
v
2
2 +
+S2 3 2
v2 (5704 + 3405 4 2
4 +1650) + +2 (17254 + 34354 +1017)),
F (F) = 3 (12S10 + 5S8
(6,6)v 2 v v2 (314 + 78) + 20S62
v 2 (2234 + 208) +
+150S43 (382 + 227 +110) + 60S2 4 2
v 2 4 4 v2 (5754 +11454 + 339) +
+ 5
2 (19253
4 +172502
4 +171754 + 3390)).
Для побудови математичних алгоритмів оцінки доплерівського зсуву
частоти знадобляться вирази для похідних від початкових моментів по параметру
F
d
m1v (F) = −2vA sin(2[f0 + F]+) = Cv = ADv ,
dF
d d
m2v (F) = 2SvCv , m3v (F) = C 2
v (3Sv + 32 ) ,
dF dF
d
m 3
4v (F) = Cv (4Sv +12Sv2 ) , (3.16)
dF
d
m5v (F) = Cv (5S4
v + 30S2
v2 + 52
2(4 + 3)) ,
dF
d
m 5
6v (F) = Cv (6Sv + 60S3
v2 + 30Sv
2
2(4 + 3)) .
dF
Зауважимо, що
Cv = −2vA sin(2[f0 + F]+ )
Dv = −2v sin(2[f0 + F]+ )
3.2 Розрахунок характеристик вимірювача доплерівського зсуву
частоти гармонічного сигналу за допомогою методу максимальної
правдоподібності
В класичній теорії оцінювання при побудові алгоритмів вимірювання
параметрів корисних сигналів прийнято вважати, що завади, зазвичай, мають
гауссівський розподіл. За такої постановки задачі оптимальних результатів
вдається досягти, використовуючи метод максимальної правдоподібності.
Розглянемо цей алгоритм більш детально і будемо використовувати його в
подальших дослідженнях для порівняння з новими алгоритмами.
Як зазначалося, у розпорядженні спостерігача є незалежні неоднаково
розподілені вибіркові значення X = {x1,x2 ,xn} із генеральної сукупності
значень випадкової величини xv , що має вигляд, аналогічний виразу (3.2).
Відмінність розглядуваної випадкової величини полягає в тому, що завадова
складова nv - центрована випадкова величина, розподілена за гауссівським
законом, з відомою дисперсією 2 . Зазначимо, що лише для гауссівської
випадкової величини перші два кумулянти можуть бути відмінними від нуля, а
решта порядку i 2 завжди строго дорівнюють нулю.
Спільна щільність розподілу незалежних випадкових величин xv , v = 1,n
має вигляд
n
1 − (x −S )2
p(x / F) = exp[ v v ] . (3.17)
2 2
v=1 2 2
Тоді логарифм спільної щільності розподілу запишеться у вигляді
n
1 − (xv −Sv )2
ln p(x / F) = ln exp[ ] =
2 2
v=1 2 2
. (3.18)
n
n 1
= − ln(2 2
2 ) − (xv −Sv ) .
2 22 v=1
Далі, використовуючи метод максимальної правдоподібності, знайдемо
оцінку скалярного параметра F . Рівнянь максимальної правдоподібності має
вигляд
d
lnp(x / F) = 0 . (3.19)
dF F=F̂
Після нескладних математичних перетворень рівняння виду (3.19) можна
переписати у вигляді
n
1 dS
[xv − Sv (F)] v = 0 . (3.20)
2 dF F= F̂
v=1
Виконуючи ряд нескладних перетворень над останнім виразом, отримаємо
рівняння, з розв’язку якого знаходиться оцінка параметра F
n n
A
v xv sin[2(f0 + F)v + ] − v sin(2[2(f0 + F)v + ]) = 0 . (3.21)
2
v=1 v=1 F=F̂
Для знаходження дисперсії оцінки скалярного параметра F скористаємося
кількістю інформації Фішера I(F) виду
d2
I(F0 ) = −E{ ln p(x / F)} (3.22)
dF2 F=F0
де F0 - істинне значення доплерівського зсуву частоти.
Опускаючи проміжні обчислення легко показати, що кількість інформації
Фішера I(F) дорівнює
n
1 2
I(F0 ) = (− 2vA sin[2(f0 + F)v + ]) , (3.23)
2 v=1
або в термінах позначень, прийнятих у виразі (3.16)
n n n
1 A2
I(F0 ) = C2
v = D2
v = qD2
v (3.24)
2
v=1 2 v=1 v=1
де q = A2 2 - відношення сигнал-завада за потужністю.
Дисперсія оцінки параметра знаходиться як обернена величина кількості
інформації Фішера
2(F) = I−1(F) .
Очевидно, що дисперсія оцінки F̂ дорівнює
1
2 = . (3.25)
(F̂)0 n
qD2
v
v=1
З виразу (3.25) випливає, що дисперсія оцінки зворотньо пропорційно
залежить від співвідношення сигнал-завада, тобто чим більше це співвідношення,
тим кращі показники якості оцінювання можна досягти.
Оскільки далі будуть синтезовані степеневі алгоритми, то для позначення
класичних результатів, зокрема отриманих методом максимальної
правдоподібності, в індексі умовно будемо писати нуль.
Отримане рівняння для знаходження оцінки доплерівського зсуву частоти
виду (3.21) і її дисперсія виду (3.25) надалі будуть використані для порівняння з
новими алгоритмами вимірювання доплерівського зсуву частоти гармонічного
сигналу при ексцесній заваді 1-го типу.
3.3 Лінійна оцінка доплерівського зсуву частоти гармонічного сигналу,
що приймається на фоні ексцесної завади 1-го типу
Для знаходження оцінки доплерівського зсуву частоти гармонічного
сигналу, що враховує негауссівський характер розподілу завади, будеме
використовувати метод максимізації поліному. Розглянемо поліноміальні
алгоритми оцінювання параметра F для різних ступенів поліному s = 1,6 і
проаналізуємо їх точнісні властивості.
Згідно методу максимізації полінома оцінка шуканого параметра F при
ступені полінома s = 1 знаходитиметься з розв’язку рівняння виду
n
k1v (F)(xv −Sv (F)) = 0 , (3.26)
v=1 F= F̂
де ваговий коефіцієнт k1v (F) є оптимальним з точки зору забезпечення
мінімальної дисперсії оцінки шуканого параметру і знаходиться з розв’язку
лінійного алгебраїчного рівняння виду
d
k1v (F)F(1,1)v (F) = miv(F) (3.27)
dF
Тоді, використовуючи вирази (3.10) і (3.16) легко показати, що
оптимальний коефіцієнт k1v (F) дорівнює
C
k1v (F) = v . (3.28)
2
Підставляючи вираз (3.28) в рівняння виду (3.26) одержуємо рівняння
максимізації полінома для знаходження оцінки доплерівського зсуву частоти
гармонічного сигналу виду
n
C
v (xv −Sv (F)) = 0 . (3.29)
v=1 2 F=F̂
Знаменник оптимального коефіцієнта k1v (F) не дорівнює нулю (за
визначенням дисперсії завади), а права частина рівняння дорівнює нулю,
відповідно на нього можна скоротити.
Після нескладних математичних перетворень, отримаємо рівняння, з
розв’язку якого знаходиться оцінка параметра F при використанні поліному при
ступені s = 1 . Це рівняння повністю співпадає з рівнянням виду (3.21), отриманим
методом максимальної правдоподібності за умови гауссівського характеру завади.
Отже, можна зробити висновок, що використовуючи стохастичний поліном 1-го
ступеня, не вдається врахувати можливе відхилення випадкової послідовності від
гауссівської моделі.
Дослідимо точнісні властивості оцінки шуканого параметру, отриманої
методом максимізації поліному при ступені s = 1 . Згідно методу максимізації
поліному, дисперсія оцінки параметру дорівнює величині, зворотній кількості
добутої інформації про скалярний параметр
2 −1
(F)s = Jsn
де
s n
dm (F)
Jsn =k iv
iv(F) . (3.30)
dF
i=1 v=1
Використовуючи оптимальний ваговий коефіцієнт k1v (F) виду (3.28), а
також вираз для похідної від початкового моменту 1-го порядку за параметром F ,
легко знайти вираз для кількості добутої інформації про шуканий параметр F .
Легко показати, що кількість добутої інформації, а отже, і дисперсія оцінки
шуканого параметру співпадає з відповідними виразами, отриманими методом
максимальної правдоподібності, що відповідно описуються співвідношеннями
виду (3.24) і (3.25).
Отже, можна записати, що
2 = 2
(F)1 (F)0 . (3.31)
Таким чином, точність лінійного алгоритму не реагує на відхилення
статистичних характеристик завади від гауссівської моделі.
3.4 Оцінка доплерівського зсуву частоти гармонічного сигналу на фоні
ексцесної завади 1-го типу при ступені поліному s = 2
Розглянемо випадок знаходження оцінки параметру F при ступені полінома
s = 2 . Рівняння максимізації полінома при s = 2 запишеться у вигляді
n n
k1v (F)(xv −Sv (F)) +k2v (F)(x2 2
v −Sv (F) − 2 ) = 0 , (3.32)
v=1 v=1 F=F̂
де коефіцієнти k1v (F) і k2v (F) рівняння (3.32) знаходяться з сумісного розв’язку
двох лінійних алгебраїчних рівнянь виду
d
k1v (F)F(1,1)v(F) + k2v (F)F(1,2)v (F) = m1v (F)
dF
(3.33)
d
k1v (F)F(1,2)v (F) + k2v (F)F(2,2)v (F) = m2v (F)
dF
Використовуючи вирази для відповідних похідних виду (3.16), а також
центровані корелянти F(i, j)v (F) виду (3.10) і (3.11), знаходимо вирази для шуканих
вагових коефіцієнтів. Доцільно скористатися методом (правилом) Крамера
1 Cv 2SvCv C
k1v (F) = = v ,
2 2SvCv 4S2
v
2 2
2 + 24 + 22 2
(3.34)
1 2 Cv
k2v (F) = = 0 .
2 2Sv2 2SvCv
3
У виразах (3.34) 2 = 2(4 + 2) - об'єм часткового тіла розмірністю 2
ексцесної випадкової величини 1-го типа [3, 123].
Підставляючи оптимальні вагові коефіцієнти (3.34) в початкове рівняння
(3.32) і, розв’язуючи його відносно параметра F , можна знайти остаточний вираз
для оцінки, оптимальної в класі поліноміальних перетворень другого ступеня.
Легко показати, що внаслідок того, що другий коефіцієнт рівняння
максимізації поліному k2v (F) = 0 , а перший коефіцієнт k1v (F) співпадає з
відповідним коефіцієнтом, оптимальним при ступені s = 1 , алгоритм оцінки
доплерівського зсуву частоти гармонічного сигналу при ступені полінома s = 2
повністю співпадає з лінійним алгоритмом оцінки шуканого параметру вигляду
(3.21).
Очевидно, що з цих же причин, кількість добутої інформації про скалярний
параметр F при ступені поліному s = 2 порівняно з s = 1 також не зміниться, отже
не зміниться і величина дисперсії, яка як і раніше описуватиметься виразом (3.25).
Отже, аналогічно до виразу (3.31) можна записати, що
2 2 2
(F)2 = (F)1 = (F)0 . (3.35)
Таким чином, використання поліному при ступені два для оцінки
доплерівського зсуву частоти гармонічного сигналу при ексцесній заваді 1-го
типу є марним, оскільки не відбувається виграш у точності опрацювання
випадкової послідовності порівняно з лінійним алгоритмом.
3.5 Оцінка доплерівського зсуву частоти гармонічного сигналу при
відомих параметрах ексцесної завади 1-го типу, оптимальна при
ступені поліному s = 3
При ступені полінома s = 3 рівняння максимізації поліному для
знаходження оцінки інформативного параметра гармонічного сигналу F
запишеться у вигляді
n n
k (F)(x −S (F)) +k (F)(x2 −S2
1v v v 2v v v (F) − 2 ) +
v=1 v=1
(3.36)
n
+k3v (F)(x3
v −S3
v (F) − 3Sv (F)2 ) = 0,
v=1 F=F̂
де вагові коефіцієнти k1v (F) - k3v (F) знаходяться з сумісного розв’язку трьох
лінійних алгебраїчних рівнянь виду
d
k1v (F)F(1,1)v (F) + k2v (F)F(1,2)v (F) + k3v (F)F(1,3)v (F) = m1v (F),
dF
d
k1v (F)F(1,2)v (F) + k2v (F)F(2,2)v (F) + k3v (F)F(2,3)v (F) = m2v (F), (3.37)
dF
d
k1v (F)F(1,3)v (F) + k2v (F)F(2,3)v (F) + k3v (F)F(3,3)v (F) = m3v (F).
dF
Користуючись співвідношеннями для центрованих корелянтів (3.10)-(3.12)
та похідних від початкових моментів виду (3.16), можна знайти шукані вагові
коефіцієнти методом Крамера. Опускаючи рутинні проміжні обчислення
наведемо кінцеві вирази для оптимальних коефіцієнтів рівняння виду (3.36).
1
k1v(F) = 34
2Cv (2 + )(2 + 4 −S2
4 2 2 4 v4 ),
3
1
k2v(F) = 34C 4
vSv2(2 + 4 ), (3.38)
3
1
k 4
3v (F) = − Bv42(2 + 4 ),
3
де = 6
3 2 (2 + 4 )(6 + 9 − 2
4 4 ) - об'єм тіла розміром 3 ексцесної випадкової
величини 1- го типу [3, 123].
Підставляючи коефіцієнти (3.38) в рівняння (3.36) отримаємо
тригонометричне рівняння для знаходження оцінки доплерівського зсуву частоти
F гармонічного сигналу. Отримане рівняння не може бути розв’язане в
аналітичному вигляді, а лише за допомогою чисельних методів.
Для практичної реалізації рівняння (3.36) з коефіцієнтами (3.38), доцільно
використовувати сигнальний процесор, метою якого є розв'язок системи рівнянь.
На рисунку 3.1 представлена блок-схема алгоритму вимірювання
доплерівського зсуву частоти гармонічного сигналу при відомих параметрах
ексцесної завади 1-го типу при ступені стохастичного поліному s = 3 .
Вхідний неперервний сигнал x(t) потрапляє на аналого-цифровий
перетворювач (АЦП), в якому відбувається дискретизація неперервного
випадкового процесу. Частота дискретизації вибирається з міркувань, щоб період
дискретизації перевищував максимальний інтервал кореляції досліджуваного
випадкового процесу.
Отримані елементи вибірки xv в блоках множення підводяться до квадрату
x2 3
v і кубу xv . Після цього степеневі перетворення вибіркових значення x , x2
v v і x3
v
потрапляють на блоки віднімання (суматор з одним прямим і одним інверсним
входом), де обчислюються величини відхилень ( xi
v −m1v () ) для кожного
вибіркового значення випадкової послідовності. Після чого відхилення
xi
v −m1v () множаться на відповідні вагові коефіцієнти kiv () , i =1,3 , а далі
отримані значення накопичуються та усереднюються і потрапляють на суматор.
Знаходження оцінки доплерівського зсуву частоти F здійснюється в блоці
СП, що представляє собою сигнальний процесор. У ньому за допомогою
чисельних методів вирішується нелінійне рівняння максимізації поліному і
знаходяться значення оцінки параметру F.
На рисунку 3.1, використовуються такі позначення:
аналого-цифровий перетворювач;
x(t) А Ц П xv
xv x Блок, що здійснює накопичення вибіркових значень та їх
1
усереднення;
n
a Блок множення двох значень a та b ;
c
c = ab
b
a Суматор двох числових значень a та b ;
c
c = a + b
b +
a _ Суматор з одним інверсним входом, що реалізує функцію
c
знаходження різниці двох числових значеньb та a;
b
c = b − a
F (x) С П F Сигнальний процесор (розв’язувальний пристрій) - блок, що
здійснює розв’язок нелінійного рівняння або системи
нелінійних рівнянь з отриманням оцінки на його виході.
Для дослідження точнісних властивостей оцінки параметру F, що
отримується з рівняння (3.36) з ваговими коефіцієнтами (3.38), знайдемо кількість
добутої інформації при s = 3 за виразом
3 n
dm (F)
J3n =k iv(F) iv
dF
i=1 v=1
Підставляючи відповідні вирази для вагових коефіцієнтів виду (3.38) і
похідних виду (3.16) в попередню формулу, отримаємо
n n
3(2 + 34 ) 2 3(2 + 3
J 4 ) 2
3n = Cv = q D . (3.39)
(6 + 9 − 2 ) 2 v
2 4 4 v=1 (6 + 94 − 4 ) v=1
Тоді дисперсія оцінки доплерівського зсуву частоти гармонічного сигналу,
знайденої методом максимізації поліному при s = 3 , матиме вигляд
2
2 −1 (6 + 94 − 4 ) 1
(F)3 = J3n = [ ] . (3.40)
3(2 + 3 n
4 )
qD2
v
v=1
Порівнюючи останній вираз дисперсії оцінки F̂ з дисперсіями оцінок виду
(3.25), знайдених при нижчих ступенях поліному або методом максимальної
правдоподібності, бачимо, що відмінність між формулами (3.40) і (3.25) полягає у
наявності множника в квадратних дужках для дисперсії оцінки при s = 3 . Надалі
подібні множники будемо називати коефіцієнтом ефективності оцінки і
позначатимемо
2
(F)q
gqr = , (3.41)
2
(F)r
де q, r - ступені поліному, при яких були знайдені оцінки шуканого параметру,
якщо r = 0 , то мається на увазі, що розглядається дисперсія оцінки, знайденої
класичним методом, наприклад, методом максимальної правдоподібності.
В даному випадку
(6 + 9 − 2 )
g(F)30 = g(F)31 = g = 4 4
(F)32 . (3.42)
3(2 + 34 )
Залежність ефективності оцінки g31 доплерівського зсуву частоти
гармонійного сигналу від значень коефіцієнта ексцесу завади 4 представлена на
рисунку 3.2. Для коректного аналізу поведінки функції g31(4 ) необхідно
враховувати, що коефіцієнт ексцесу 4 не може приймати довільних значень [3], а
може приймати значення з інтервалу (-0,623; 9,623) при використанні поліному
при ступені s = 3 . Для від’ємних значень коефіцієнту ексцесу, що належать
інтервалу допустимих значень, ефективність оцінки невисока, тобто значення
функції g31 близьке до 1. Якщо ж 4 = 0 , що відповідає гауссівському розподілу
завади, то коефіцієнт ефективності дорівнює одиниці, і ніякого покращення
точністних властивостей оцінки не відбувається. У випадку ж, коли коефіцієнт
ексцесу завади 4 прагне до правої межі інтервалу допустимих значень, а саме
4 → 9,623, коефіцієнт ефективності оцінки доплерівського зсуву частоти
гармонічного сигналу прагне до нуля, що свідчить про значне покращення
точності оцінювання.
Рисунок 3.2 – Графік залежності коефіцієнтів ефективності g(F)s1 , s = 3,4,5,6 від
коефіцієнта ексцесу 4
3.6 Синтез і аналіз алгоритму оцінювання доплерівського зсуву частоти
гармонічного сигналу при ступені поліному s = 4 на фоні ексцесної
завади 1-го типу
Розглянемо випадок, коли ступінь стохастичного полінома s = 4 . Тоді
рівняння для знаходження оцінки доплерівського зсуву частоти гармонічного
сигналу запишеться у вигляді
n n
k1v (F)[xv −Sv ]+k2v (F)[x2
v −S2
v − 2 ] +
v=1 v=1
n
+k 3 3
3v (F)[xv −Sv − 3Sv2 ] + (3.43)
v=1
n
+k (F)[x4 −S4 − 6S2 − 2
4v v v v 2 2(4 + 3)] = 0.
F=F̂
v=1
Відмінність рівняння максимізації поліному при s = 4 від рівнянь нижчих
ступенів полягає в тому, що коефіцієнт ексцесу 4 враховується не лише у
вагових коефіцієнтах, а і в четвертому доданку рівняння максимізації поліному
для знаходження оцінки шуканого параметру.
Чотири коефіцієнти рівняння k1v (F) - k4v (F) можуть бути знайдені з
розв'язку СЛАР виду
4
d
k jv(F)F(i, j)v (F) = miv(F), i =1,4 . (3.44)
dF
j=1
Використовуючи метод Крамера, для знаходження аналітичних виразів
коефіцієнтів, легко знайти розв’язок системи рівнянь виду (3.44), скориставшись
виразами для центрованих корелянтів (3.10)-(3.13) і похідних (3.16). Опускаючи
проміжні обчислення наведемо кінцевий вираз для оптимальних вагових
коефіцієнтів рівняння максимізації поліному виду (3.43)
1
k1v (F) = 6Cv
8 2
2a1(22(24 +1) −Sv4 ) ,
4
1
k2v(F) = 6C 8
vSv24a1 , (3.45)
4
1
k3v(F) = − 2C 8
v 24a1 ,
4
k4v (F) = 0 .
де
a1 = 24 + 844 + 382
4 +173
4 .
4 - об’єм тіла ексцесної випадкової величини 1-го типу розміром s = 4 , який
дорівнює
= 210(24 + 84 + 382 +173 )(6 + 9 − 2
4 2 4 4 4 4 4 ) . (3.46)
Показано [3,123], що об’єм тіла стохастичного поліному 4 завжди є
невід’ємною величиною. Відповідно ця умова приводить до обмежень інтервалу
допустимих значень коефіцієнту ексцесу 4 , а саме при s=4 4 [−0,327; 9,623] .
Підставляємо оптимальні вагові коефіцієнти виду (3.45) у рівняння (3.43) та
отримуємо рівняння відносно параметра F , яке в аналітичному вигляді не має
розв’язку, тому рівняння розв’язується чисельними методами, наприклад в
спеціалізованих математичних пакетах MatLab, MathCad, Mathematica тощо.
Точнісні властивості синтезованого алгоритму будемо характеризувати
величиною дисперсії оцінки. Для цього, знайдемо величину кількості добутої
інформації, використовуючи вагові коефіцієнти виду (3.45), а також похідні від
початкових моментів виду (3.16)
4 n
dm
J iv(F)
4n =k iv(F) .
dF
i=1 v=1
Маємо:
n
1
J = 69(2 + 3 )(173 + 382 + 84 + 24)C2
4n 2 4 4 4 4 v .
4 v=1
Дисперсія оцінки доплерівського зсуву частоти гармонічного сигналу
дорівнює
2 (6 + 9 − 2 ) 1
(F)4 = J−1 4 4
4n = [ ] . (3.47)
3(2 + 3 ) n
4
qD2
v
v=1
Порівнюючи вирази (3.47) і (3.40), які відповідно описують дисперсію
оцінки при s = 4 з дисперсією оцінки при s = 3 , бачимо їх тотожність. На рисунку
3.2 наведено графік залежності коефіцієнту ефективності g41 від коефіцієнту
ексцесу 4 . Він відрізняється від залежності g31(4 ) тим, що зміна функції
відбувається в більш вузькому інтервалі аргументу 4 і як наслідок функція g41
не прагне до нуля для від’ємних значень 4 . Таким чином, використання
поліному четвертого ступеня для оцінки параметру F при відомих параметрах
ексцесної завади 1-го типу не представляється доцільним, оскільки точністні
характеристики алгоритму порівняно з s = 3 не змінюються на краще, а інтервал
допустимих значень коефіцієнта ексцесу дещо звужується.
3.7 Оцінка доплерівського зсуву частоти гармонічного сигналу при
ексцесній заваді 1-го типу при використанні поліному п’ятого
ступеня
При ступені полінома s = 5 оцінка доплерівського зсуву частоти
гармонічного сигналу знаходиться з розв’язку рівняння максимізації поліному
виду
n n
k (F)[x − m 2
1v v 1v (F)] +k2v (F)[xv − m2v (F)] +
v=1 v=1
n n
+k3v (F)[x3
v − m3v (F)] +k4v (F)[x4
v − m4v (F)] + (3.48)
v=1 v=1
n
+k5v (F)[x5
v − m5v (F)] = 0,
F=F̂
v=1
де початкові моменти i -го порядку miv(F), i =1,5 описуються виразами виду
(3.9) і є функціями від оцінюваного параметру F .
В середовищі MathCad, Mathematica знаходимо аналітичні вирази вагових
коефіцієнтів k iv(F) , i = 1,5. Їх можна їх записати у вигляді
k1v (F) = −3a[S4 2
v4b +Sv4c + d] ,
k2v (F) = 3aS [S2
v 4 vb + c] , k3v (F) = −a [3S2
4 vb + c], (3.49)
k4v (F) = −15Sv4ab , k5v (F) = 34ab .
Для спрощення сприйняття запису у виразах (3.49) зроблені позначення
20
a = C 12
v2 (173
4 + 382
4 +844 + 24) ,
5
b = −4(4 + 2) , c = 2(1152
4 +1204 +12) ,
d = 2(354 − 2253 2
2 4 4 − 3204 −1684 − 24) ,
5 = −2015(173
2 4 + 382
4 + 844 + 24)
(1754
4 − 3453 − 6782
4 4 − 4684 − 72)
Інтервал допустимих значень 4 при ступені поліному s = 5 , як і при s = 4 ,
обмежений умовою невід’ємності об’єму тіла ексцесної випадкової величини 1-го
типу 5 . Згідно з роботою [3, 123] інтервал допустимих значень при
s = 5 дорівнює 4 [−0,21; 3,368] .
Розв’язок рівняння максимізації поліному при s = 5 виду (3.48) з
коефіцієнтами (3.49) потребує аналогічних підходів, які рекомендовані у
попередньому пункті для випадку степені поліному s = 4 .
Розглянемо асимптотичні характеристики алгоритму вимірювання
доплерівського зсуву частоти гармонічного сигналу при відомих значеннях
ексцесної завади 1-го типу 2 та 4 , синтезованого методом максимізації
поліному при s = 5 . Використовуючи вагові коефіцієнти k iv(F) , i =1,5 виду (3.49)
і похідні від п’яти початкових моментів виду (3.16), можнв показати, що кількість
добутої інформації описується виразом
1
J 14 4 3
5n = − 602 (304 −1354 − 2302
4 −1564 − 24)
5
n
(173
4 + 382
4 + 844 + 24)C2
v .
v=1
Тоді дисперсія оцінки доплерівського зсуву частоти гармонічного сигналу
має вигляд
2 1754
4 − 3453
4 − 6782
4 − 4684 − 72 1
(F)5 = [ ] . (3.50)
n
3(304
4 −1353
4 − 2302
4 −1564 − 24)
qD2
v
v=1
Порівнюючи дисперсію оцінки доплерівського зсуву частоти гармонічного
сигналу виду (3.50), оптимальну при s = 5 , з дисперсіями оцінок (3.25) і (3.40),
знайдених при нижчих ступенях поліному, бачимо що ефективність оцінки з
ростом ступеня поліному змінюється.
Очевидно, що вираз в квадратних дужках величини дисперсії оцінки
параметра F виду (3.50) представляє собою коефіцієнт ефективності g(F)51 .
На рисунку 3.2 представлено графік залежності ефективності оцінки
доплерівського зсуву частоти гармонічного сигналу від істиного значення
коефіцієнту ексцесу 4 . Для любих ненульових значень коефіцієнту ексцесу
дисперсія оцінки параметра F , знайдена методом максимізації поліному при
s = 5 , буде меншою порівняно з дисперсією лінійної оцінки, що є оптимальною
при гауссівській заваді. Графіки функцій g50 (4 ) і g52 (4 ) повністю співпадають
з графіком g51(4 ) відповідно і не наводяться. Також повністю співпадають
інтервали значень їх аргументу 4 , який визначається максимальним ступенем,
який в кожному з випадків дорівнює 5-ти.
При нульовому значенні 4 дисперсії оцінок співпадають не залежно від
ступеня стохастичного поліному.
Кількісні зміни величини дисперсії оцінки доплерівського зсуву частоти
гармонічного сигналу, знайденої при s = 5 , порівняно з випадком s = 3 ,
описуються коефіцієнтом ефективності g(F)53 , графік якого представлений на
рисунку 3.3. З графіка видно, що збільшення ступеня нелінійності опрацювання
вибіркових даних приводить до покращення точністних характеристик
алгоритмів. У випадку, якщо значення коефіцієнту ексцесу значно відрізняється
від нуля, ефективність опрацювання при ступені поліному s = 5 може бути значно
вищою порівняно з алгоритмом, синтезованим при s = 3 . Поведінка коефіцієнту
ефективності g54 також повністю співпадає з g53 , внаслідок тотжності виразів
дисперсії при s = 3 і s = 4 .
Рисунок 3.3 – Графік залежності коефіцієнтів ефективності g(F)53 , g(F)63 від
коефіцієнта ексцесу 4
3.8 Алгоритм оцінки доплерівського зсуву частоти гармонічного сигналу
при ексцесній заваді 1-го типу при ступені поліному s = 6
Оцінка доплерівського зсуву частоти гармонічного сигналу, при ступені
полінома s = 6 , знаходиться з розв’язку рівняння максимізації поліному
n n
k1v (F)[xv − m 2
1v (F)] +k2v (F)[xv − m2v (F)] +
v=1 v=1
n n
+k3v (F)[x3
v − m3v (F)] +k4v (F)[x4
v − m4v (F)] + (3.51)
v=1 v=1
n n
+k5v (F)[x5
v − m5v (F)] +k (F)[x6
6v v − m6v (F)] = 0.
F=F̂
v=1 v=1
Після обчислень в спеціалізованій математичній програмі можна показати,
що вагові коефіцієнти k iv(F) , i = 1,6 рівняння (3.51) мають вигляд
600
k1v (F) = − Cv
18a[S4
2 v4b +S2
v4c + d] ,
6
600
k (F) = C S 18a [2S2
2v v v 2 4 vb + c] , (3.52)
6
200 600
k3v (F) = − C 18
v 2 a4[6S2
vb + c], k (F) = C S 18
4v v v 2 4ab ,
6 6
120
k (F) = − C 18
5v v 2 4ab , k6v (F) = 0 .
6
Для надання компактної форми запису коефіцієнтів (3.52)
використовуються такі позначення
a = (77356 + 289805 + 297004
4 4 4 + 815043
4 + 617762
4 +190084 +1728) ,
b = −54(4 + 2) , c = (1152
2 4 +1204 +12) ,
d = 2
2(354
4 − 2253
4 − 3202
4 −1684 − 24) ,
6 = −20021
2 a(1754
4 − 3453
4 − 6782
4 − 4684 − 72) .
Обмеження (вимога невід’ємності) на об’єм тіла ексцесної випадкової
величини 1-го типу 6 при s = 6 звужує інтервал допустимих значень коефіцієнта
ексцесу до 4 [−0,151; 3,368] . Розв’язок рівняння максимізації поліному при s = 6
виду (3.51) з коефіцієнтами (3.52) можливий лише при застосуванні чисельних
методів.
Розглянемо точнісні властивості оцінки доплерівського зсуву частоти
гармонічного сигналу, знайденої методом максимізації поліному при ступені
поліному s = 6 . Використовуючи знайдені вагові коефіцієнти k iv(F) , i = 1,6 виду
(3.52), можна показати, що кількість добутої інформації визначається виразом
n
1
J6n = − 60020
2 a(304
4 −1353
4 − 2302
4 −1564 − 24)C2
v
6 v=1
Обернена величина до кількості добутої інформації є дисперсію оцінки
параметру F . Маємо:
2 1754
4 − 3453
4 − 6782
4 − 468
= [ 4 − 72 1
(F)6 ] . (3.53)
4 3 2 n
3(304 −1354 − 2304 −1564 − 24)
qD2
v
v=1
При порівнянні виразів (3.53) та (3.50) видно, що дисперсія оцінки
параметра F не змінюється з ростом ступеня поліному від s = 5 до s = 6 .
Проте, як і раніше, не слід забувати про скорочення інтервалу допустимих
значень коефіцієнту ексцесу. Відповідно і оцінювати ефективність оцінки треба
лише з врахуванням нового інтервалу допустимих значень 4 [−0,151; 3,368] . На
рис.3.3 суцільною лінію наведено залежність коефіцієнта ефективності g(F)63 від
значення коефіцієнту ексцесу 4 , в той час, як графік для g(F)53(4 ) має ширші
межі і додатково окреслюється пунктирною лінією.
ВИСНОВКИ
Дана магістерська робота присвячення розробці нелінійних вимірювачів
доплерівського зсуву частоти гармонічного сигналу, що приймається на фоні
ексцесної завади 1-го типу, параметри якої апріорно відомі. Така задача виникає у
випадку, коли рухомий об’єкт опромінюється гармонічним сигналом і внаслідок
ефекту Доплера, частота відбитого сигналу буде відрізнятися на величину, що
отримала назву доплерівської частоти або доплерівського зсуву частоти.
Вимірюючи значення доплерівської частоти можна судити про швидкість об’єкту.
Крім корисного сигналу на вході приймача неодмінно буде присутня завада, яка
як правило додається до сигналу. Можна розглядати різні математичні моделі
завади, які більш або менш адекватно описують реальні збурення в каналі зв’язку.
Чим повніша модель тим більш точні результати вимірювання доплерівського
зсуву частоти вдається досягти, проте значно ускладнюється сама процедура
(алгоритм) опрацювання вхідної послідовності. В даній роботі пропонується
„триматися золотої середини” і в якості моделі завади розглядати так звані
близькі до гауссівських випадкові величини, а саме ексцесну заваду 1-го типу.
Така модель завади є більш адекватною порівняно з гауссівською моделлю, яка
характеризується меншим числом параметрів, і більш повно описує реальні
фізичні процеси, які відбуваються в каналі зв’язку. В даній роботі пропонується
для опису випадкової величини використовувати послідовність кумулянтів, або
кумулянтних коефіцієнтів. В цьому випадку гауссівська модель, яка має лише
перші два кумулянти, уточнюється за рахунок введення додаткового параметру –
коефіцієнта ексцесу 4 . В даному випадку, параметричне розширення моделі
дозволяє враховувати можливу гостро- або плосковершинність розподілу
порівняно з гауссівською кривою. В науковій літературі така завада отримала
назву ексцесної випадкової величини 1-го типу і мовою кумулянтів описується
лише кумулянтом другого порядку 2 і коефіцієнтом ексцесу 4 .
В роботі розглядається адитивна взаємодія гармонічного сигналу, відбитого
від рухомого об’єкту, і ексцесної завади 1-го типу, параметри якої будемо
вважати відомими. Доплерівський зсув частоти гармонічного сигналу, який
виникає внаслідок того, що опромінюванний об’єкт рухається з деякою
швидкістю – невідомий параметр, який і підлягає вимірюванню за результатами
вибірки. Для синтезу степеневих алгоритмів використовується метод максимізації
поліному, що базується на моментно-кумулянтному описі випадкової
послідовності, при ступенях поліному від 1 до 6.
При ступенях поліному s =1,2 оцінки шуканого параметру та їх дисперсії,
отримані методом максимізації поліному повністю співпадають з класичною
оцінкою, отриманою методом максимальної правдоподібності за умови дії
гауссівської завади. При ступенях поліному s = 3,4 оцінки доплерівського зсуву
частоти та їх точністні характеристики (дисперсії) співпадають між собою, але
суттєво відрізняються від результатів, отриманих при нижчих ступенях поліному.
Також однакові результати спостерігаються при ступенях поліному s = 5,6 , які
також суттєво відрізняються від результатів, отриманих при ступенях поліному
s 4 .
Проведено аналіз ефективності оцінок доплерівського зсуву частоти
гармонійного сигналу, знайдених при вищих ступенях поліному ( s = 3,4,5,6 ),
порівняно з класичною оцінкою, яка тотожна оцінкам, знайденим при ступенях
s =1,2 . Ефективність оцінок залежить від значень коефіцієнта ексцесу завади 4 .
З ростом ступеня поліному інтервал допустимих значень коефіцієнта ексцесу
звужується, тому навіть коли збігалися вирази для коефіцієнтів ефективності,
наприклад g31 і g41 , їх графіки розрізнялися внаслідок того, що діапазон зміни
аргументу 4 для функції g31(4 ) ширший ніж для функції g41(4 ) . У разі, коли
4 = 0 (гауссівська завада), то коефіцієнт ефективності дорівнює одиниці, і
ніякого покращення точністних властивостей оцінок не відбувається. У разі ж,
коли коефіцієнт ексцесу прагне до правої межі з інтервалу своїх допустимих
значень виграш в точності оцінювання буде максимальним.
Одержані теоретичні результати, при бажані, цілком можуть бути доведені
до етапу технічної реалізації і застосовуватися в доплерівських радіолокаційних
станціях для більш точного вимірювання швидкості об’єкту.
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
1. Сосулин Ю.Г. Теоретические основы радиолокации и радионавигации. – М.:
Радио и связь, 1992. – 304 с.
2. Кунченко Ю.П. Нелинейная оценка параметров негауссовских
радиофизических сигналов. - К.: Вища школа, 1987. – 191 с.
3. Кунченко Ю.П. Полиномиальные оценки параметров близких к гауссовским
случайных величин. Часть 1. Стохастические полиномы, их свойства и
применение для нахождения оценок параметров. – Черкассы: ЧИТИ, 2001. –
133 с.
4. Кунченко Ю.П., Заболотний С.В. Полиномиальные оценки параметров
близких к гауссовским случайных величин. Часть 2. Оценка параметров
близких к гауссовским случайных величин. -Черкассы: ЧИТИ, 2001. - 251с.
5. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ негауссовских случайных процессов и их
преобразований. - М.: Сов. радио, 1978. – 376 с.
6. Купер Дж., Макгиллем К. Вероятностные методы анализа сигналов и систем. –
М.: Мир, 1989. – 376 с.
7. Гавриш О.С., Кравченко Б.Ю., Баранов А.Д., Балакін О.М. Точнісні
властивості нелінійних алгоритмів вимірювання доплерівського зсуву частоти
гармонічного сигналу при ексцесній заваді // Збірник тез доповідей 5-ї Всеукр.
наук.-техн. конф. «Комп'ютерні технології: інновації, проблеми, рішення» –
Житомир, 2022.