ChSTU repository

ЗМІСТ 
 
 Вступ …………………………………………………….…………. 4 
Розділ 1. Основи та принципи лазерного корегування оптичних  
систем …………….…………………………………………..... 7 
1.1. Застосування засобів ексимерлазерної корекції в оптичних  
системах .……….......................................................................... 7 
1.2. Ексимерні лазери та можливості їх використання при   
оптичній діагностиці ………....................................................... 9 
1.3. Типи ексимерних лазерів ………............................................... 11 
1.4. Основні критерії оцінки ексимерних лазерів ……..………..... 14 
1.5. Методики ексимерлазерної корекції …………………………. 16 
 Висновки до розділу 1 ………………………………………… 19 
Розділ 2. Структура лазерної системи для корекції оптичних  
систем …...………………………………….……..…………… 21 
2.1. Основні частини лазерної системи діагностики …………..… 21 
2.2. Оптична система лазерної установки ……………………….. 25 
 Висновки до розділу 2 ………………………………….…….…32 
Розділ 3. Моделювання процесу абляції оптичних поверхонь   
в ході ексимерлазерної корекції 33 
…………….………………… 
3.1. Взаємодія ексимерлазерного випромінювання з   
оптичними поверхнями .............................................................. 33 
3.2. Аналітичний опис поверхні …………………………………… 33 
3.3. Моделювання процесу абляції …………………………………40 
 Висновки до розділу 3 ………………………………………… 58 
 
2 
 
Розділ 4. Дослідження впливу форми лазерного променя та   
алгоритму сканування на результати корекції ….………. 60 
4.1. Алгоритм розрахунку …………………………………………. 60 
4.2. Розробка архітектури СППР ………………………………..…. 62 
4.3. Експериментальні розрахунки …………………………………64 
4.4. Програмна реалізація методу ………………………………..…87 
4.5. Методика використання розробленої програми ……………... 93 
4.6. Аналіз результатів дослідження ………………………………. 99 
 Висновки до розділу 4 ………………………………….…….. 102 
 Висновки ……………………………….……………………………103 
Список використаних джерел ……………………………………105 
Додатки ……………………………………………...………………107 
 
 
3 
 
ВСТУП 
Актуальність теми дослідження. Сучасні оптичні системи є основою 
багатьох високотехнологічних пристроїв, які знаходять застосування у таких 
галузях, як аерокосмічна техніка, військова техніка, медицина, телекомунікації та 
спостереження за навколишнім середовищем. Забезпечення високої точності та 
надійності таких систем залежить від якості їхнього оптичного корегування, яке 
полягає у виправленні геометричних і фізичних дефектів оптичних компонентів. 
Традиційні методи корегування часто обмежені в точності, гнучкості та швидкості 
виконання операцій, що створює потребу у впровадженні новітніх технологій. 
Одним із найбільш перспективних підходів до вирішення цієї проблеми є 
застосування лазерного корегування. Лазерні технології дозволяють здійснювати 
високоінтенсивний вплив на оптичні матеріали безконтактно, з високою точністю 
та швидкістю. Проте їх ефективне використання вимагає інтеграції з 
інтелектуальними системами, які забезпечують адаптивне керування та аналіз 
параметрів оброблення. Серед сучасних трендів автоматизації та інтелектуалізації 
виробничих процесів, розроблення багатофункціонального комплексу лазерного 
корегування є вкрай актуальним завданням. 
Додатковою проблемою є підвищення якості корегування за рахунок 
інтеграції апаратних та програмних компонентів, що дозволяють проводити 
операції з мінімальними втратами часу та матеріалів. Особливо важливо врахувати 
необхідність створення адаптивної системи підтримки прийняття рішень, яка б 
автоматично аналізувала параметри корегування та надавала рекомендації для 
досягнення найкращих результатів. Така система сприятиме підвищенню 
надійності процесів, зниженню кількості дефектів та оптимізації виробничих 
витрат. 
Крім того, існуючі оптичні системи нерідко використовуються в умовах 
підвищеної відповідальності, наприклад, у космічних місіях або медичних 
приладах, де помилки в роботі систем можуть призвести до серйозних наслідків. 
Отже, забезпечення їхньої точності та довговічності через удосконалення методів 
лазерного корегування має важливе стратегічне значення. 
4 
 
Таким чином, розроблення та дослідження багатофункціонального комплексу 
лазерного корегування оптичних систем є актуальним з точки зору вирішення 
сучасних інженерних задач, підвищення ефективності виробничих процесів і 
забезпечення якості та надійності оптичних систем, що знаходять застосування в 
різних галузях. 
Мета і завдання дослідження. Метою магістерського дослідження є 
розроблення та дослідження інтелектуальної системи підтримки прийняття 
рішень для підвищення надійності і якості проведення операцій корегування, що 
значним чином розширить можливості оптичних систем. 
Для вирішення поставленої мети необхідно розв’язати такі задачі: 
1. Проаналізувати сучасний стан технологій корегування оптичних систем. 
2. Розробити математичні моделі та алгоритми для лазерного корегування 
оптичних систем. 
3. Спроєктувати та створити апаратно-програмний комплекс для виконання 
корегувальних операцій. 
4. Провести експериментальні дослідження для оцінки точності та ефективності 
розробленої системи. 
5. Надати рекомендації щодо впровадження комплексу у практичну діяльність та 
напрямів подальших досліджень. 
Об'єкт дослідження – оптимізація вибору параметрів лазерної системи в 
умовах невизначеності. 
Предмет дослідження – комп’ютеризована інтелектуальна система для 
підтримки прийняття рішень в області корегування оптичних систем. 
Методи дослідження При вирішенні поставлених завдань в ході проведених 
в кваліфікаційній роботі досліджень використаний метод інтерполяції 
багатовимірної функції за допомогою поліноміального параметричного 
представлення оптичної поверхні, метод оцінки форми оптичної поверхні за 
допомогою коефіцієнтів поліномів Церніке, градієнтний метод пошуку оптимум 
функції, для вибору критерію оцінки результатів застосовано метод 
багатокритеріального відбору альтернатив за декількома відношеннями переваги. 
5 
 
Наукова новизна отриманих результатів. 
1. Вперше розроблено просторову математичну модель представлення даних 
при лазерній корекції оптичних систем. 
2. Розроблено алгоритм визначення оптимальних параметрів лазерної 
системи на основі аналізу вхідних даних та моделюванні процесу корекції за умов 
невизначеності. 
3. Запропоновано зміни існуючої схеми лазерної системи для покращення її 
показників. 
4. Розроблено алгоритм переміщення світлової плями, що зменшує тепловий 
вплив на оптичні поверхні. 
Практичне значення отриманих результатів. Розроблена програмна 
модель, що дозволяє проводити аналіз даних, моделювати процес корекції 
оптичних поверхонь та визначити оптимальні параметри лазерної системи, при 
яких забезпечується отримання найкращого результату корекції. 
Апробація результатів дисертації. Результати досліджень були 
представлені на Всеукраїнській науково-технічній конференції «Методологія 
наукових досліджень» (Черкаси: ЧДТУ, 2024).  
Публікації. По темі дисертації опублікована 1 теза доповідей. 
6 
 
РОЗДІЛ 1 
ОСНОВИ ТА ПРИНЦИПИ ЛАЗЕРНОГО КОРЕГУВАННЯ ОПТИЧНИХ 
СИСТЕМ 
 
1.1. Застосування засобів ексимерлазерної корекції в оптичних системах 
Проблема ефективності корекції аномалій рефракції являється однією з 
найбільш актуальних задач, що поставлені перед сучасними оптиками. Це 
пов’язано з широким розповсюдженням даної патології серед оптичних об’єктів та 
відсутністю універсальних способів її корекції. Крім того, аномалії рефракції є 
одною з причин первинного браку, показники якого за останні 12 років виросли в 
Україні в 3 рази [1].  
Під корекцією оптичних поверхонь розуміються методи зміни фокусу 
оптичної системи. До таких методів відноситься корекція за допомогою 
додаткових оптичних елементів.  
Використання таких елементів на сьогоднішній день є найбільш 
розповсюдженим видом корекції. До переваг даного методу відноситься 
доступність по ціновому діапазону, зручність та легкість у використанні, 
відсутність додаткового спеціального догляду. Але, незважаючи на ряд переваг, 
даний метод має також значні недоліки. Так, лінзи суттєво обмежують боковий 
огляд, порушують стереоскопічний ефект та просторове сприйняття.  
 Емерсійні лінзи мають ряд певних переваг перед звичайними. При 
правильному підборі вони здатні забезпечити кращу якість корекції системи. 
Якісні лінзи здатні відновити чіткість передачі оптичної інформації без 
спотворення та аберацій. Недоліками емірсійних лінз є можливість отримання 
пошкоджень при необережному застосуванні, особливий догляд за ними, ризик 
дисфункції у наслідок тривалого тиску лінз на оптичну поверхню.  
Якими досконалими не були б засоби такої корекції, їх головні недоліки 
завжди залишаються актуальними. Перед усім, це незручно тим, що є необхідність 
втручання в роботу засобів корекції, при цьому самі лінзи залишаються 
аметропічними.  
7 
 
Окулярна та контактна корекція далеко не в кожному випадку є 
оптимальними, особливо в системах з високими степенями аметропій та 
анізоаметропій, оскільки нездатні забезпечити повну профілактику [2]. У зв’язку з 
цим в останні десятиріччя почався бурхливий розвиток методів корекції, що 
базуються на нових технологіях, сучасних матеріалах та складній техніці. 
Одним з найбільш розповсюджених методів усунення аметропії є 
ексимерлазерна  корекція оптичних поверхонь. Суть даного методу полягає в тому, 
що в результаті обробки такої поверхні променем ексимерного лазеру, її передній 
поверхні надається форма, що дозволяє сфокусувати зображення предметів 
оточуючого світу на оптичну поверхню [3]. Лазерні промені не мають 
небезпечного радіаційного впливу, як наприклад, рентгенівські, космічні або 
гамма промені. Промінь ексимерного лазеру діє на оптичну поверхню тільки в тій 
точці, в якій він сфокусований, не впливаючи на інші елементи. Завдяки високій 
потужності та короткочасності лазерної дії виконується випаровування (абляція) 
молекул з поверхні майже без її нагріву. На даний момент існує дві основних 
методики проведення лазерної корекції: фоторефракційна (ФРК) та ЛАЗІК (від 
англ. LASIK – laser in situ keratomileusis). Зараз відбувається стрімкий розвиток 
даного напрямку корегування, що обумовлює вдосконалення існуючих методів. В 
результаті чого розроблено методики FAREK (від англ. fast recovery – швидке 
оновлення) та LASEK, як похідні від методу ФРК, та SuperLASIK, як похідна від 
методу ЛАЗІК. Недоліками ексимерлазерної корекції є недостатня точність 
прогнозування результатів та можливість ускладнення після проведення операції. 
Отже на даний час існує велика кількість способів відновлення нормальної 
якості оптичної поверхні [4]. Ексимерлазерна корекція, що відрізняється широким 
спектром застосування та різноманітністю методик, являється одним з провідних 
напрямків розвитку ортичної діагностики.  
В ході виконання роботи проведено патентний пошук винаходів та корисних 
моделей, що вдосконалюють процес проведення ексимерлазерної корекції, 
методики обробки даних, технології та архітектури лазерних систем. На рис.1.1 
приведена діаграма, що відображає кількість зареєстрованих об’єктів 
8 
 
інтелектуальної власності на території пострадянських країн та країн, що 
займають провідне місце в даній галузі.  
 
Рис.1.1. Тенденція розробки технології ексимерлазерної корекції 
 
З рис.1.1 видно, що на даний час спостерігається значне підвищення уваги 
до проблем оптичної корекції. Кількість розробок в дані області значно зросла, що 
свідчить про перспективність розвитку лазерних систем. Однак, слід зазначити, 
що на території України показник розвитку ексимерних лазерів не високий, 
розробка вітчизняних лазерних систем майже не проводиться, використовується 
закордонне обладнання, що має досить високу вартість. Ці фактори обумовлюють 
важливість розглянутого питання. 
 
1.2. Ексимерні лазери та можливості їх використання при оптичній 
діагностиці 
Велика зацікавленість, що з’явилась в останні два десятиріччя у оптиків 
усього світу до ексимерних лазерів, не випадкова. Вона обумовлення 
особливостями випромінювання даних лазерів, які дозволяють з успіхом 
застосовувати їх в рефракційній мікрооптиці. Перші роботи по вивченню різних 
з’єднань інертних газів та галогенів з’явилися у середині 70-х років. У кінці 70-х – 
на початку 80-х років вже були створені перші лабораторні зразки лазерів, що 
мають достатню енергію для проведення експериментальних дослідів [5]. 
9 
 
Ексимерними прийнято називати ультрафіолетові газозарядні лазери, в яких 
в якості активного середовища використовується інертний газ та галоген. Дана 
назва є не зовсім коректною, так як сам термін «ексимер» (excimer) означає 
збуджений димер. В свою чергу, димер – це складна молекула, що складається з 
двох однакових фрагментів більш простих молекул (Хе-Хе, F-F). У зв’язку з цим 
сам термін «ексимер» не зовсім підходить з точки лазерної фізики для опису 
змішаних молекулярних комбінацій типу аргон-фтор або криптон-фтор. На думку 
більшості вчених-фізиків, правильною назвою для цих молекулярних 
конфігурацій було б структура exciplex. Але даний термін не знайшов загального 
вжитку через важкість вимови, тому термін «ексимерний лазер», не зважаючи на 
неповну коректність, отримав загальний застосування. 
Табл. 1.1 
Типи ексимерних лазерів 
Тип ексимерного лазеру Довжина хвилі (нм) Енергія фотону (еВ) 
Фторовий (F2) 155 7,9 
Аргон-фторовий (Ar-F) 193 6,42 
Криптон-хлорний (Kr-Cl) 222 5,59 
Криптон- фторовий (Kr-F) 248 4,99 
Ксенон-бромний (Xe-Br) 282 4,42 
Ксенон-хлорний (Xe-Cl) 308 4,03 
Азотний (N2) 337 3,68 
Ксенон-фторний (Xe-F) 351 3,53 
 
При розпаді димери випромінюють високоенергетичні ультрафіолетові 
фотони, яки при взаємодії з речовиною розщеплюються на між- та 
внутрішньомолекулярні зв’язки до розпаду на окремі атоми. Це призводить в 
кінцевому випадку до фотохімічного випаровування (абляції) речовини. Даний 
процес протікає тим інтенсивніше, чим вища енергія ультрафіолетових фотонів та 
10 
 
відповідно менша довжина хвилі ультрафіолетового випромінювання. В табл. 1.1 
приведено основні типи ексимерних лазерів. 
Перш за все було встановлено, що за допомогою ексимерного лазеру можна 
з великою точністю видаляти субмікроскопічні частинки в різноманітних 
полімерних матеріалах [6]. В основі механізму було покладено лежав ефект 
фотодекомпозиції, що обумовлений дією ультрафіолетових фотонів. Енергія 
фотону при довжині хвилі випромінювання 193 нм складає 6,4 еВ, що значно 
більше ніж необхідно для розриву міжмолекулярних зв’язків. Коли концентрація 
фотонів перевищує критичний рівень, речовина руйнується, а невикористана 
кінетична енергія фотонів витрачається на видалення фрагментів речовини від 
поверхні абляції. Звідси й виник термін «абляційна фотодекомпозиція». 
Створення ексимерних лазерів та їх широке застосування в електронній 
промисловості стали базою для проведенню наукових дослідів по їх практичному 
застосуванню в біології та медицині. Більш ніж 20 років назад було проведено 
багатопланові досліди на полімерних матеріалах по вивченню фотохімічних та 
термічних процесів, що виникають в ході фотоабляції при опромінюванні 
ексімерним лазером. Дані дослідження, зокрема, показали збільшення термічного 
ефекту з підвищення довжини хвилі та частоти випромінювання імпульсів. Дані 
роботи дозволили оцінити властивості та основні особливості ексимерного 
випромінювання та в наступному перейти до вивчення його впливу на речовини, 
які можна розглядати як високомлекулярні полімерні з’єднання.  
Безконтактність та мікронна точність дії 193 нм випромінювання 
ексимерного лазеру на поверхню вперше було використано рядом дослідників. 
 
1.3. Типи ексимерних систем 
На даний момент можна виділити два типи ексимерлазерних систем: 
повноапертурні та скануючи [6]. 
Повноапертурними називаються ексимерні лазери, які використовують для 
абляції великий діаметр променя (від 5 мм та більше) і різні типи систем 
формування профілю випромінювання. Так, наприклад, лазери «VISX 20/20», 
11 
 
«VISX-Star», «Summit Excimed», «Omnimed», «Chiron Technolas-Kerakor 116» 
застосовують для міопічної корекції ірисову діафрагму, що контролюється 
комп’ютером, лазер «Coherent-Schwind Keratom» використовує серію круглих та 
еліптичних діафрагм [7]. В усіх цих лазерних системах за допомогою спеціальних 
гомогенізаторів виконується рівномірний розподіл енергії в лазерному пучку 
перед спрямленням випромінювання в систему формування профілю променя.  
В усіх вищезазначених повноапертурних лазерних системах для абляції 
використовується максимальний діаметр променя, а зона взаємодії визначається 
діаметром діафрагми або абляційною маскою системи формування профілю 
випромінювання. Основними перевагами даних лазерів є короткий час проведення 
операції, невисока частото випромінювання імпульсів, менша критичність до 
децентрації, відсутність необхідності в системі слідкування за рухом ока. Однак 
даний тип лазерів має ряд значних недоліків: необхідність використання потужних 
джерел лазерного випромінювання та, у зв’язку з цим, великі габарити системи; 
велика кількість оптичних елементів, що підвищує ризик деградації оптики; 
високі вимоги до якості випромінювання, що призводить до необхідності 
додаткової гомогенізації; неможливість корекції ірегулярних поверхонь рогівки, 
велика ударна хвиля та нагрів поверхні в процесі корегування, що підвищує ризик 
помутніння та неправильного астигматизму; трудомісткість та складність 
сервісного обслуговування та значні витрати при експлуатації.  
Інший тип лазерів – скануючий. Всистемах «Aesculap-Meditec MEL-60» та 
«Nidek EC-5000» для сканування поверхні оптичного елементу використовується 
лазерне випромінювання у вигляді щілини, а в системах «LaserSight Compak-200», 
«Tracker-PRK», «LaserScan 2000», «Zeiss-Meditec MEL-70» та ряді інших 
установок використовується промінь малого діаметру (від 0,8 до 0,3 мм), який за 
допомогою сканеру з високою частотою аблює рогівку в заданих зонах (технологія 
літаючої плями). Основні переваги скануючих лазерів: більш гладка абляцій на 
поверхня, відсутність центральних островків, зменшення вимог до гомогенності 
променя, можливість використання в системах в якості джерела менш потужних, 
компактних лазерів, можливість персоналізації корекції ірегулярного 
12 
 
астигматизму по даним кератотопографії [6]. Недоліки даного типу лазерів 
залежать від конструкційних особливостей кожної системи, наприклад, тривалий 
час проведення операції, вихід зони абляції за заплановані межі і т.д. Окрім того, 
всі вищезазначені лазерні системи постачаються закордонними 
фірмами-виробниками та мають високу вартість, що робить їх недоступними для 
Українського ринку.  
В табл.1.2 наведені основні характеристики найбільш розповсюджених у 
світі скануючих ексимерних лазерних систем. Більшість з них мають комп’ютерні 
системи слідкування за цити об’єктами в процесі проведення операції – Tracker. 
Дані системи або блокують роботу лазеру, коли оптична поверхня відклоняється 
від заданої вісі у момент операції (пасивна), або коректують напрямок променя в 
задану точку (активна). Особливо необхідні системи слідкування при діях, як 
погано фіксують погляд, або при тривалому часі корекції, при ністагмі, при 
корекції по даним аберометрії та кератотопографії.  
Табл. 1.2 
Скануючі ексимерлазерні системи 
США, 
США, ФРН, ФРН, Alcon США, 
Visx Carl Zeiss WaveLight Laboratori B&L 
Параметри Technology, Meditec, AG es, Surgical, 
VISX-S3, MEL-70, Allegretto, LADARV Technolas 
1999 2001 1999 ision, 217z, 
2001 1999 
Повно-апертур
Тип лазеру ний з «Літаюча «Літаюча «Літаюча «Літаюча 
можливістю пляма» пляма» пляма» пляма» 
сканування 
Діаметр плями, мм 0,65 – 6,5 1,8 0,8 0,8 1,0-2,0 
Матеріал лазерної 
головки Кераміка Алюміній Кераміка Сталь Кераміка 
Газ Ar-F Ar-F Ar-F Ar-F Ar-F 
Довжина хвилі, нм 193 193 193 193 193 
Частота імпульсів, 
Гц до 10 до 50 200 60 50 
Глибина абляції, 
мкм 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 
Система Активна/ Активна/ Активна/ Активна/ 
спостереження Пасивна Пасивна Пасивна Активна Пасивна 
13 
 
Частота стеження, 
Гц 60 70 250 4000 120 
Індивідуалізація 
абляції Можлива Можлива Можлива Можлива Можлива 
Таким чином, скануючі ексимерні лазери являються більш перспективними 
для наших досліджень. Їх поява дозволила розширити область практичного 
застосування даного типу систем та зменшити імовірність можливих ускладнень. 
Однак, наявні конструкційні недоліки цих приладів та їх висока вартість 
обумовлюють діяльність, спрямовану на їх вдосконалення та розробки 
вітчизняних аналогів.  
 
1.4. Основні критерії оцінки ексімерних систем 
На сьогоднішній час на оптичному ринку щорічно з’являються декілька 
нових ексімерних систем різних фірм-виробників [6]. Частина з них є 
модернізацією вже відомих ексімерних лазерів, а інша частина – принципово нові 
установки. Так, наприклад, фірма Nidek провела модернізацію добре відомої в 
світі устаноки «EC-5000», додавши до неї модуль сегментування абляції, 
можливість роботи по даним аберометрії та змінивши алгоритм сканування. Фірма 
Zeiss-Meditec відмовилась від технології сканування щілиною, яку вона 
використовувала в моделі «MEL-60», та створила нові моделі лазерів з 
технологією «літаючої плями» – «MEL-70» та «MEL-80». 
Усі ці вдосконалення, як правило, розширяють можливості оптиків, що 
працюють з даним обладнанням, та підвищують якість проведених операцій. 
Для об’єктивної оцінки ексимерлазерної установки зазвичай 
використовують декілька основних критеріїв. Один з них – це гладкість поверхні 
рогівки, що формується під впливом випромінювання ексимерного лазеру [8]. 
Більш гладка поверхня рогівки сприяє нормалізації процесу мінімізації 
імовірність розвитку фіброплазії. Раніш для визначення гладкості поверхні після 
абляції використовували електрону мікроскопію. Однак даний метод 
застосовувався в основному для визначення якості отриманої поверхні. Кількісну 
характеристику гладкості сьогодні дозволяють отримати виміри за допомогою 
14 
 
інтероферометричних мікроскопів Zego [6].  В даних приладах поєднана оптична 
мікроскопія та лазерна інтерферометрія для вимірів структури поверхні в 3 
площинах безконтактним способом. В момент виміру об’єкт освітлюється білим 
світлом, при цьому спостерігається інтерференційна картина поверхні, яка 
фіксується спеціальною камерою і після цього обробляється комп’ютером. В 
результаті вимірів отримуємо точний профіль поверхні, який характеризується 
декількома основними параметрами, такими як середньоквадратичне відхилення 
точок поверхні відносно середньої висоти по всій області дослідження (RMS); 
відстань між вищими та нижчими точками області дослідження (PV) та ін. 
Багатьма дослідниками було показано, що гладкість поверхні вище при 
застосуванні лазерів сканую чого типу з технологією «літаючої плями» у 
порівнянні з використанням повноапертурних лазерів та лазерів, що 
використовують сканування щілиною та діафрогмуючі системи формування 
абляції.  
Іншим важливим критерієм є відповідність діаметру отриманої оптичної 
зони повної корекції розрахунковій оптичній зоні, що вказана фірмою-виробником 
в програмі розрахунку операцій лазерною установкою. По даним проведених 
досліджень, діаметр зони абляції, що отримано в ході проведення операції за 
допомогою ексимерних систем, в яких використовуються діафрагмуючі формуючі 
системи, як правило, менше вказаного фірмою-виробником. Чим більша оптична 
перехідна зона дії, тим кращій функціональний результат та менша імовірність 
післяопераційної регресії ефекту. Менша оптична зона може визивати неприємні 
відчуття у пацієнтів при зниженні освітлення або засвіті. Розрахунок отриманого 
діаметру оптичної зони повної корекції виконується, як правило, шляхом 
перерахунку отриманої глибини дії за формулою, що запропонована Munnerlyn C. 
в 1998 р. [9].  
Ще одним важливим показником для сучасного ексимерного лазеру є 
відсутність значного підвищення температури рогівки в процесі проведення 
операції. Не зважаючи на те, що ексимерні лазери називають «холодними 
лазерами», при руйнуванні під їх дією міжмолекулярних зв’язків виділяється 
15 
 
енергія, що змінює температуру зразка в сторону підвищення. Зазвичай таке 
підвищення температури не може визивати руйнування зразка, але воно може 
створювати вплив на активність кератоцитів. Скануючі лазери, що 
використовують технологію «літаючої плями», дозволяють істотно знизити нагрів 
рогівки при проведенні ексимерлазерного впливу за рахунок малого діаметру 
проміня та алгоритму сканування, при якому аблюються локальні частини 
речовини, що розміщенні на віддаленій відстані одна від одної, за рахунок чого 
температура не встигає значно підвищитися.  
Безумовно, основними критеріями оцінки будь-якої ексимерної системи 
являється її ефективність в клініці, однак наведені вище об’єктивні показники 
дозволяють ще на до клінічному етапі визначити можливості установки та 
перспективи її подальшого застосування.  
 
1.5. Методики ексимерлазерної корекції 
Фоторефракційна діагностика. Суть ФРК міститься в вибірковому 
випаровуванні поверхневих шарів в оптичній зоні для зміни її кривизни та 
відповідно оптичних властивостей [9]. При корекції міопії випаровуванню 
піддаються центральні відділи зразка. Сплощення приводить до зменшення її 
оптичної сили та відповідно коректує слабкий фотосигнал. При гіперметропії – 
навпаки, випаровують периферичні відділи зразка, при цьому формується новий 
профіль з більшою оптичною силою, що дозволяє коректувати аномалію 
рефракції. 
Найбільш розповсюдженою технологією ФРК є її проведення з попередньою 
механічною скарифікацією. Такий підхід використовують більшість оптиків. Дана 
методика дозволяє почати проведення лазерної абляції з Боуменової мембрани та 
не випаровувати епітелій, який має різну товщину в різних відділах рогівки, 
набухає та має інший коефіцієнт абляції порівняно з оптичною речовиною. Це 
дозволяє підвищити точність та передбачуваність результатів ФРК особливо при 
аметропіях слабкої степені.  
16 
 
Для зменшення браку ФРК більшість оптиків одразу після проведення 
корекції на поверхню накладають охолоджені до певної температури 
високогідрофільні м’які емірсійні лінзи [8]. Для зменшення іморіврності 
виникнення ускладнень лінзи. Така модифікація ФРК називається FAREK (fast 
recovery – швидке загоювання). 
З тією ж метою була розроблена та на сьогодні має загальне застосування 
модифікація ФРК – LASEK [9]. Основною відмінністю даної дії від ФРК є 
збереження поверхні зразка після попередньої обробки розчином 20% етилового 
спирту. Існує інша методика видалення – застосування лазерного випромінювання 
[6]. Основою даного методу є проведення фототерапевтичної кератектомії (ФТК) 
на глибину 40-50 мкм. При врахуванні неоднорідності шару епітелію залишається 
імовірність неповного його видалення, що є причиною додаткового проведення 
скарифікації. Рядом вчених проведено вдосконалення даної методики за рахунок 
використання флуоресцентних властивостей зразка в темному полі. Видалення 
проводиться при відстеженні через мікроскоп моменту початку «потемніння» у 
центрі зони абляції на фоні голубого свічення. Таким чином проводиться 
видалення епітелію центральної зони зразка діаметром 2-3 мм.  
 Для корекції високої степені міопії ряд авторів використовують 
мультизональний підхід [9]. В даній методиці, як правило, 1/5 частина корекції 
проводиться в 6-мм зоні, 1/3 корекції – в 5-мм зоні, 1/2 корекції – в 4-мм оптичній 
зоні відносно центра зразка. Оптимальна глибина видалення становить 15 мкм. 
Однак існує імовірність, що при такому підході можливі помутніння в зонах 
переходу, велика потенціальна регресія ефекту. Також після дії лазерним променем 
великого діаметру в центрі зони зразка можливе виділення областей з не повністю 
випаруваними речовинами – центральні острівки. Причиною їх появи є, на думку 
більшості оптиків, екранування продуктами абляції центральної рефракційної 
зони в момент проведення операції.  
Як ще одну методику проведення ФРК можна виділити застосування 
конусоподібних перехідних зон абляції [7]. Такий спосіб дозволяє на тривалий час 
зменшити регресію отриманого рефракційного ефекту. 
17 
 
В результаті проведеного аналізу можна зробити висновок, що 
незаплановані відхилення від показників бажаної рефракції в основному пов’язані 
з неправильним відбором елементів для ФРК, відхиленнями в технології 
проведення ФРК, неадекватною регенеративною відповіддю та недостатньою 
гладкістю поверхні після проведення ФРК. Під неправильним відбором слід 
розуміти випадки проведення ФРК, а також загальними дефектами з’єднуючої 
поверхні.  
Вірогідність розвитку помутніння поверхні, що впливає на якість, 
підвищується з збільшенням степені корекції, зменшенням абляційної зони для 
повноапертурних систем (менше 4,5 мм), глибині кератектомії більше 50 мкм. 
Підвищення якості проведення корекції поверхні методом ФРК та 
збільшення гладкості поверхні зразка забезпечується сучасними 
ексимерлазерними установками та розробкою нових технологічних підходів. 
Таким чино на сьогоднішній день існує досить широкий спектр модифікації 
методу ФРК.  
Технологія ЛАЗІК. В 1989 р. Buratto L. Першим застосував ексимерний лазер 
для випаровування на попередньо сформованій поверхні зразка. ткак технологія 
отримала назву ЛАЗІК (Laser in situ keratomileusis – LASIK) [9].  
Для формування клапану використовують різноманітні види мікрокератомів: 
ручні та автоматичні, з формуванням ніжки з носової сторони або на 12 годин, 
турбінні та електричні [6]. Існують мікрокератоми, які використовують для 
здійснення розрізу воду під великим тиском. В ході технічного прогресу 
розроблено лазерні мікрокератоми, що виконують розріз за допомогою 
високоточного  фемтосекундного лазеру (Flap-maker). Використання даного 
приладу в ексимерній корекції привело до модифікації методу ЛАЗІК – 
SuperLASIK. Основною задачею, яку вирішують мікрокератоми, є формування 
рівномірного за товщиною диска зразка заданого діаметру від 0,8 до 10,0 мм. 
За думкою багатьох оптиків, формування на 12 годин має ряд переваг: при 
руху відбувається додаткове розгладження та центрування поверхневих елементів, 
знижується імовірність формування дефектів і т.д. [8]. 
18 
 
Більшість дослідників відмічають високу ефективність операції ЛАЗІК в 
корекції аномалій рефракції. Передбачуваність даної операції, спираючись на 
статистичні дані, особливо висока при корекції слабкої та середньої степені міопії. 
Як правило, у більш ніж 90% випадків отримано рефракційний результат в межах 
±1,0 D від запланованого. При корекції високої міопії передбачуваність 
знижується до 70%. При невисоких степенях міопії більш ніж 5% зразків мають 
після обробки оптичну інтенсивність 1,0 та вище, а оптична інтенсивність 0,5 та 
вище досягається у середньому більш ніж в 90% випадків. При високій степені 
міопії даний показник стає в середньому 30 та 80% відповідно. Більшість 
дослідників відмічають високу безпечність ЛАЗІК. У середньому у 80% зразків 
оптичну інтенсивність з корекцією не погіршується, зниження даного показнику 
на 0,2 та більше зустрічається досить рідко та не перевищує 1-5%. Корекція 
гіперметропії відрізняється дещо нищою ефективністю [9]. Так передбачуваність в 
межах ±1,0 D від запланованого результату коливається від 70 до 90%. Оптичну 
інтенсивність 0,5 та вище відмічено в 70-80% випадків, іморіність досягнення 
оптичної інтенсивності 1,0  та вище не перевищує 40-50%. Зниження корегованої 
оптичної інтенсивності на 0,2 та більше зустрічається при корекції гіперметропії 
декілька частіше та коливається від 3 до 10%.   
Ретельний відбір та обстеження зразків, вилучення зразків з нестабільною 
рефракцією, правильна передобробка та підготовки інструментів, використання 
сучасних моделей мікрокератомів та ексимерних систем дозволяють значно 
знизити імовірність ускладнень [6].  
При проведенні корекції методом ЛАЗІК імовірність виникнення ускладнень 
менша ніж при проведені ФРК та значно зменшується з зростанням досвіду 
оптика [9]. Розглянутий метод є досить перспективним в корекції аномалій 
рефракції, однак необхідно подальше підвищення безпеки оперативного 
втручання, що потребує розробки нових технологічних підходів. 
 
Висновки до розділу 1  
19 
 
Параметри систем для лазерної корекції оптичних систем потребують 
уточнення, налаштування та покращення якості обробки та підготовки даних для 
проведення операції. Математичні методи, що застосовуються для розрахунків 
основних параметрів можуть бути покращені та оптимізовані за рахунок 
застосування сучасного системного підходу. 
В даному розділі проведено аналіз існуючих методів обробки та 
представлення інформації для підготовки даних при проведенні лазерної корекції 
оптичних систем, розглянуто основні принципи формування та первинної обробки 
вхідних даних, запропоновано використання просторової моделі для 
представлення даних.  
З проведеного аналізу стану проблем оптичного виробництва можна 
зробити висновок, що підвищення точності та зменшення теплового впливу на 
оптичні поверхні являються пріоритетним завданням. Для вирішення даних 
проблем необхідно розробити систему підтримки прийняття рішень (СППР), що 
спрямована на визначення оптимальних параметрів системи, які забезпечують 
максимально задовільні результати процесу корекції. 
 
 
20 
 
РОЗДІЛ 2 
СТРУКТУРА ЛАЗЕРНОЇ СИСТЕМИ ДЛЯ КОРЕКЦІЇ ОПТИЧНИХ СИСТЕМ 
 
2.1. Основні частини лазерної системи діагностики 
Лазерні системи реалізовані за допомогою різних конструкторських рішень 
та програмних проектів. Але в кожній системі можна виокремити складові ланки, 
що відповідають за виконання певної функції [8]. На рис.2.1 наведено загальну 
функціональну схему лазерної системи корекції оптичних виробів. Вона 
складається з оптичної системи, системи керування, системи продуву, системи 
розташування оптичних елементів, освітлення і т.д. 
 
Рис.2.1. Загальна функціональна схема лазерної системи корекції оптичних систем 
 
Генерація випромінювання відбувається у лазері. Газова суміш галогенів та 
благородних газів знаходиться в оптичному резонаторі, що складається з двох 
паралельних дзеркал, та піддається накачці за допомогою електричних розрядів. 
Таким чином досягається лазерний ефект та відбувається випромінювання 
світлових імпульсів високої потужності. Під час генерації випромінювання газова 
суміш «збіднюється» та потребує заміни після 10 мільйонів світлових імпульсів 
або по проходженні 2-3 днів інтенсивного використання. Заміну газової суміші 
21 
 
необхідно проводити не рідше одного разу на тиждень. Лазер не піддається 
тривалому навантаженню. Максимальний час роботи сучасних лазерів становить 
5 хвилин через значний температурний вплив. 
Лазерне випромінювання потрапляє в систему формування профілю 
променя. Там за допомогою різних оптичних елементів відбувається формування 
розподілення енергії випромінювання за певним законом, задається потужність, 
величина та геометрична форма профілю променя. Оптична система для 
спрямування та формування променя може бути виконана у різних варіантах 
комбінування оптичних елементів для одержання певних властивостей 
випромінювання. В деяких лазерних установках («ESIRIS Schwind», «Summit 
Excimed») оптична система прикріплена до корпусу апарату нерухомо. А в деяких 
лазерних системах («Микроскан») вона розміщена з можливістю переміщення 
вздовж або навколо оптичної осі за допомогою покрокових двигунів, що 
керуються комп’ютерною програмою. Між вихідним отвором  лазеру та оптичною 
системою промінь розповсюджується в середині захисної трубки. Після цього 
лазерне випромінювання потрапляє на оптичний об’єкт за допомогою системи 
доставки променя.   
В якості фіксуючої цілі для пацієнта використовується фіксуючий лазер, що 
світить вздовж оптичної осі системи на об’єкт [10]. Потужність лазеру має бути 
нижче 10 мкВ, що надає можливість тривало освітлювати оптичну поверхню, не 
наносячи пошкоджень. 
Положення зразка в кожний момент часу відслідковується системою 
спостереження. Це необхідно для підвищення точності корекції при русі. Дана 
система може бути реалізована різноманітними шляхами: розпізнавання 
положення об’єкту, відслідковування положення міток, розміщених на ньому, 
контроль положення кільця, що розміщене на поверхні об’єкта, позиціювання за 
допомогою двох лазерів і т.д. 
Стеріоскопічний мікроскоп (рис.2.2) використовується для точного 
контролю та фокусування на поверхні [11]. Він надає можливість коаксіального 
стереоскопічного контролю оптичного об’єкту без направлення траєкторії 
22 
 
контрольного променя через робочу оптику приладу. Завдяки цьому можливе 
отримання високоякісного зображення. Два окуляра (1) мікроскопа піддаються 
налаштуванню в діапазоні від +5 до -8 D для компенсації вад за допомогою ручки 
(3). Відстань до ока може бути налаштована в діапазоні 50-75 мм за допомогою 
ручки (2). 
 
Рис. 2.2. Зовнішній вигляд мікроскопу. 
 
Для освітлення робочої зони в лазерній системі використовується лампа 
«холодного світла» (рис. 2.3) [12]. Забезпечене регулювання яскравості освітлення 
та при потребі лампу можна вимикати. До робочої зони світло поступає за 
допомогою скловолоконих кабелів, що розміщені в кільцеподібному пристрої 
виводу світла навколо вихідної лінзи. 
 
Рис. 2.3. Зовнішній вигляд лампи. 
 
23 
 
Робоча зона повинна розміщуватися на точно визначеній відстані до 
випромінюючої частини апарату. Зазвичай вона становить 280 мм. Точне 
розміщення зразка виконується за допомогою різних алгоритмів, таких як 
розрахунок відстані до об’єкту шляхом визначення часу, що витрачає лазерний 
промінь на відбиття від об’єкту, або використання лазерів позиціювання. В якості 
лазерів позиціювання використовують два діодних лазери з низьким рівнем 
енергії. Вони спрямовані під кутом з різних сторін так, щоб точки перетиналися на 
точній відстані фокусу та посередині області абляції. 
Ексимерний лазер ArF випромінює на довжині хвилі 193 нм. Дана довжина 
хвилі знаходиться на межі спектру ультрафіолетового світла, після якої 
поглинання випромінювання в повітрі є досить високим. Часткова абсорбція 
променя в повітрі значно знижує інтенсивність випромінювання лазеру. Це може 
нанести шкоду оптичним елементам при накопиченні озону – продукту реакції 
взаємодії повітря з випромінюванням – в середині системи доставки променя до 
об’єкту. Тому необхідно продувати оптичний тракт або повітрям, або газом з 
низьким вмістом кисню, що прозорий для променів з довжиною хвилі 193 нм. 
Існують декілька способів продувки оптичного тракту: продувка повітрям за 
допомогою повітряного компресору; продувка азотом з балону. 
Система керування розміщена в корпусі апарату і включає в себе блок 
розподілення електроживлення, блок запобіжників та керуючий комп’ютер. 
Монітор та клавіатура знаходяться на передній панелі системи зі сторони 
оператора. Ввід даних в комп’ютер виконується за допомогою меню або, при 
необхідності, отримується з мережевого простору. Запуск корегування 
відбувається шляхом натиснення на ножну педаль. Дана педаль складається з двох 
комутаційних точок для уникнення довільного спрацювання. Операція може бути 
зупинена в будь-який час шляхом зняття тиску на ножній педалі.  
Як приклад приведена панель керування лазерної системи ESIRIS 
(Німеччина) (рис.2.4) [12]. Панель керування розміщена на передній частині 
системи та зазвичай складається з наступних кнопок. 
 
24 
 
 
Рис.2.4. Панель керування лазерної системи ESIRI: 1, 3 – траєкторія променя 
лазерів позиціювання, 2 – траєкторія променя фіксуючого лазеру 
 
«Керування освітленням» – ручка налаштування яскравості освітлення або 
його вимкнення. «Лазер позиціонування» – кнопка вмикання/вимкнення системи 
визначення відстані об’єкта від вихідної лінзи. «Фіксуючий лазер» – кнопка 
вмикання/вимкнення цілі для пацієнта (червона точка). «Екстрене вимкнення» – 
кнопка аварійного вимкнення для термінової зупинки лазеру. 
Таким чином розглянуто основні складові елементи лазерної установки для 
корекції оптичних поверхонь, що можуть бути виконані шляхом використання 
різноманітних конструкторських рішень та теоретичних підходів, але виконують 
певні функції, що необхідні для забезпечення надійної та точної роботи системи. 
 
2.2. Оптична система лазерної установки 
В загальному випадку оптична система лазерної установки складається з 
власне лазеру, системи формування профілю випромінювання та системи 
доставки променя. Характеристики лазеру розглянуто в попередніх пунктах. 
Метою застосування системи формування профілю випромінювання є 
забезпечення формування та підвищення стабільності відтворення необхідного 
профілю розподілу енергії, зниження складності конструкції та зменшення втрат 
енергії [13]. Даний елемент може бути реалізовано багатьма способами. Система 
25 
 
доставки променя повинна забезпечувати найменші втрати світлової енергії та 
точне спрямування променя в певну область об’єкту корекції.  
Сучасні методи формування профілю лазерного випромінювання. Пристрій 
для формування профілю лазерного випромінювання [14]. Схема розглянутої 
системи приведена на рис. 2.5. Робота пристрою проводиться наступним чином. 
Випромінювання лазеру з довільною густиною енергії відбивається циліндричним 
дзеркалом 1, що розміщено під кутом 45о до оптичної осі. Особливістю 
випромінювання лазеру є неоднакове розходження по двом взаємно 
перпендикулярним напрямкам, що призводить до незначної еліптичності світлової 
плями в плоскості діафрагми.  
 
Рис.2.5. Схема пристрою для формування профілю випромінювання:  
1 – лазер; 2 – формувач; 3 – ірисова діафрагма; 4 – циліндрична лінза;  
5 – сферична лінза; 6 – поворотне дзеркало; 7 – вимірюючи камера; 8 – кювета;  
9 – дистильована вода; 10 – фазова пластина; 11 – сферична лінза;  
12 – відеокамера; 13 – оптичний об’єкт; 14 – мікроскоп; 15 – призма. 
 
Для керуванням формою плями використовується циліндричне поворотне 
дзеркало 1 з керованою кривизною поверхні. Далі випромінювання проходить 
через формувач 2, який використовується для створення гауссового розподілу 
енергії в площині діафрагми 3. Формувач 2 представляє собою проточну кювету 8, 
заповнену дистильованою водою 9. Вхідним вікном формувача є фазова пластина 
26 
 
10, а вихідним – сферична лінза 11, в фокусній плоскості якої розміщена 
діафрагма 3.  
Пучок лазерного випромінювання зазнає дифракцію на неоднорідностях 
фазової пластини. На площині діафрагми утворюється дифракційна картина, що 
описує гауссовий розподіл.  
Зображення діафрагми 3 перестроюється об’єктивом 5 на об’єкт 13 з 
заданим збільшенням, забезпечуючи розмір світлової плями на ньому 1-10 мм. 
Площина зображення співпадає з площиною різкості мікроскопу 14. Для 
проведення дії з приводу корегування після діафрагми 3 розміщують циліндричну 
лінзу 4, яка може обертатися навколо оптичної осі в площині, що перпендикулярна 
оптичній осі.  
Скануючи поворотне дзеркало 6 спрямовує випромінювання на об’єкт 13. 
Центр обертання дзеркала розміщений на оптичній осі. Випадкове відхилення 
центра об’єкту 13 від оптичної осі відстежується відеокамерою 12 та за 
допомогою відповідного відхилення поворотного дзеркала 6 виконується 
безперервне поєднання центру променя з центром об’єкту. Дзеркало 6 частково 
пропускає лазерне випромінювання. Для виміру параметрів розподілу густини 
енергії лазерного випромінювання за поворотним дзеркалом 6 вздовж оптичної осі 
розміщена призма 15. Відбиваючись від призми випромінювання потрапляє на 
камеру-контролер 7.  
Недоліками даної системи є можливість її застосування переважно при 
повноапертурному скануванні, що значним чином зменшує точність проведення 
корегування або поєднанні різних видів аберацій. Також в даному випадку 
відсутня можливість індивідуального підходу за результатами кератотопограми 
або заломлення хвильового фронту.   
Пристрій для формування профілю лазерного випромінювання [15]. Схема 
пристрою приведена на рис. 2.6. Робота пристрою відбувається наступним чином. 
Випромінювання лазеру з довільним розподілом енергії по січенню прямокутного 
лазерного пучка проходить через формувач гауссового пучка 1, який 
використовується для створення пучка прямокутної форми в площині щильової 
27 
 
діафрагми 3 та ірисової діафрагми 4. Формувач представляє собою плоско 
випуклу циліндричну лінзу, на задній плоскій поверхні якої розміщена фазова 
пластина, а передня – утворює циліндричну поверхню, що перпендикулярна 
оптичній осі. При цьому вздовж великої осі світлового пучка густина енергії 
розподілена рівномірно, а вздовж меншої осі – гасовий розподіл.   
Далі розміщено поворотне скануючи дзеркало під кутом до оптичної осі, яке 
здатне переміщуватися навколо осі, що проходить через більшу ось прямокутного 
пучка, під дією приводу. Дане дзеркало забезпечує сканування прямокутного 
пучка по апертурі щильової 3 та ірисової 4 діафрагм. Ширина щільової діафрагми 
3, діаметр ірисової діафрагми 4 та  кут повороту щілини змінюються покроковим 
двигуном (на рис. 2.6 не показано) за командою комп’ютера. Сферична лінза 5 
призначена для побудови зображення щильової діафрагми 3 та ірисової діафрагми 
4 на площині об’єкту 7 з заданим збільшенням. Таким чином полоса світлового 
випромінювання переміщується по поверхні об’єкту в межах розкриття 
діафрагми, аблюючи при цьому певні області поверхні. 
 
Рис.2.6. Схема пристрою для формування профілю випромінювання:  
1 – формувач; 2 – поворотне скануюче дзеркало; 3 – щильова діафрагма;  
4 – ірисова діафрагма; 5 – сферична лінза; 6 – поворотне дзеркало; 7 – оптичний 
виріб; 8 – лазерне випромінювання 
 
Недоліками розглянутої схеми являється велика кількість рухомих об’єктів, 
точність позиціювання яких здатна значною мірою вплинути на результати 
корекції. Також слід відзначити, що приданому підході розмір світлової плями є 
досить великим для забезпечення високої точності абляції. 
28 
 
Система формування світлової плями малих розмірів. На основі проведеного 
патентного пошуку та аналізу існуючих систем формування оптичного 
випромінювання в ході роботи було розроблено принципову схему системи, що 
здатна забезпечити формування світлової плями малого діаметра (до 0,5 мм) та 
підвищити надійність та точність керування переміщенням лазерного 
випромінювання. За участю автора запропоновано вдосконалення розглянутих 
оптичних схем пристрою формування лазерного випромінювання. Застосування 
розробленої схеми дозволяє покращити метрологічні характеристики лазерної 
системи. 
 В основу розробленої системи поставлено задачу підвищення точності 
проведення корекції оптичних систем (міопії, гіперміопії, астигматизму) за 
допомогою методик ФРК, ЛАСІК та ФТК, підвищення точності розміщення 
оптичних елементів та стабільності відтворення лазерного випромінювання з 
заданими параметрами, оптимізація роботи лазерної системи в ході проведення 
операції. Схематичне зображення пристрою приведено на рис. 2.7. 
 
Рис.2.7. Схема пристрою для формування лазерного випромінювання:  
1 – лазер; 2 – поворотне циліндричне дзеркало; 3 – акустооптичний модулятор;  
4 – формувач гаусівського пучку; 5 – ірисова діафрагма; 6 – сферична лінза;  
7 – двокоординатний гальваносканер; 8 – напівпрозоре дзеркало; 9 – дзеркало;  
10 – профілометр; 11 – мікроскоп; 12 – відеокамера; 13 – вихідний об’єктив;  
14 – оптичний об’єкт 
29 
 
Пристрій працює наступним чином. Випромінювання лазеру 1 з довжиною 
хвилі 193 нм та довільним профілем розподілення енергії відбивається від 
поворотного циліндричного дзеркала 2 під кутом 45° та потрапляє на 
акустооптичний модулятор 3. Так як при випромінюванні геометричний профіль 
пучка має певну еліптичність, то для зменшення даного ефекту використовується 
циліндричне дзеркало 2 з можливістю зміни кривизни відбиваючої поверхні. 
Акустооптичний модулятор 3 виконаний з пластини кварцового скла, що утворює 
дифракційну решітку в результаті дії на неї акустичної хвилі, що породжується 
п’єзоелектричним перетворювачем. Акустооптичний модулятор 3 регулює 
інтенсивність випромінювання під впливом керуючої програми комп’ютера.  
Далі лазерний промінь потрапляє на формувач гаусівського профілю 
випромінювання 4, що складається з плосковипуклої сферичної лінзи, на плоскій 
поверхні якої розміщена фазова пластина. Пучок лазерного випромінювання 
піддається рефракції в неоднорідному середовищі фазової пластини. Після цього 
випромінювання збирається у фокусі лінзи, всі пучки накладаються і утворюють 
гаусівський профіль енергетичного фронту променя. 
Ірисова діафрагма 5 дозволяє регулювати розмір отвору під впливом керуючої 
програми та призначена для формування діапазону гаусівського розподілення 
радіальної густини енергії лазерного випромінювання. За допомогою діафрагми 
відсікається краї випромінювання за рівнем інтенсивності так, щоб тепловий 
вплив не набагато перевищував рівня абляції, що згладжує краї зони проведення 
випаровування. Ірисова діафрагма 5 розміщена в передньому фокусі формувача 
гаусівського випромінювання 4 і в задньому фокусі сферичної лінзи 6, яка 
проектує зображення, що розміщено в діафрагмі 5, на нескінченність. Усі 
елементи закріплені нерухомо.  
Далі випромінювання потрапляє до двокоординатного гальваносканеру 7, що 
представляє собою два дзеркала, осі обертання яких перпендикулярні один до 
одного і розміщені так, що при повороті дзеркал відбувається сканування в 
площині об’єкту. Керування переміщенням променя по зоні проведення операції 
здійснюється за допомогою комп’ютерної програми. Після проходження 
30 
 
нерухомих дзеркал 8 та 9 лазерне випромінювання збирається на поверхні об’єкту 
14 за допомогою фокусуючої лінзи 13. Дана лінза 13 виконаний з можливість 
переміщення вздовж оптичної осі за допомогою покрокового двигуна (не 
показано). Знаючи відстань, на якій знаходиться поверхня від пристрою (28 см), 
можна сфокусувати промінь для зменшення площі абляції і підвищення 
дискретизації сітки сканування. Збільшення зони абляції відбувається за 
допомогою переміщення лінзи 13 назад вздовж оптичної осі. 
  При зміні розміру світлової плями на поверхні об’єкту змінюється густина 
енергії випромінювання по всьому перерізу пучка. Тому для регуляції 
інтенсивності використовується акустооптичний модулятор 3. 
Параметри випромінювання виміряються за допомогою профіліметру 10. При 
встановленні заданого розподілення густини енергії видається дозвіл на 
проведення операції.  
Операційний мікроскоп 11 та відеокамера 12 забезпечують функцію 
активного спостереження за положенням об’єкту. Кожне, отримане в процесі 
спостереження, зображення зберігається і передається на комп’ютер. Там 
проходить аналіз положення об’єкту та розробляється керуюча програма. При 
переміщенні оптичного центру об’єкту на незначну величину відбувається зміна 
програми сканування, шляхом зміщення плану корекції на задану величину. При 
різких рухах або переміщені оптичного центру об’єкту на значну величину 
відбувається зупинка корекції.  
Перед початком проведення корекції проводиться установка кожного з 
рухомих елементів (2, 3, 5, 7, 13) в певне положення для отримання заданого 
профілю лазерного випромінювання. Правильність роботи системи перевіряється 
на полімерних тест-пластинах. При неточності роботи пристрою відбувається 
його подальше налагоджування. 
Запропонований пристрій дозволяє підвищити точність проведення операції 
корекції аномалій рефракції об’єкту шляхом зменшення площі зони абляції, і тим 
самим підвищенням дискретизації сітки сканування його площини. Також 
підвищується точність формування заданих параметрів випромінювання в 
31 
 
результаті зменшення кількості рухомих об’єктів, що призводить то підвищення 
точності розміщення оптичних елементів. Введення в систему акустооптичного 
модулятору сприяє підвищенню швидкості та якості регулювання інтенсивністю 
енергії випромінювання, що оптимізує роботу системи. 
 
Висновок до розділу 2 
В ході роботи проведено аналіз складових елементів системи для лазерної 
корекції оптичних систем. На основі цих даних побудовано узагальнену схему 
роботи лазерної установки, що надає уявлення про основні вузли системи та їх 
призначення. 
 Також в ході роботи розглянуто принцип побудови оптичної схеми сучасних 
лазерних систем для корекції різних аномалій рефракції. На основі проведеного 
аналізу недоліків розглянутих схем запропоновано рішення проблеми підвищення 
точності керування параметрами випромінювання за рахунок введення в систему 
акустооптичного модулятора та зменшення кількості рухомих частин системи. 
Також при забезпечується висока точність корекції за рахунок зменшення діаметру 
світлової плями. 
32 
 
РОЗДІЛ 3 
МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСУ АБЛЯЦІЇ ОПТИЧНИХ ПОВЕРХОНЬ 
В ХОДІ ЕКСИМЕРЛАЗЕРНОЇ КОРЕКЦІЇ 
 
3.1. Взаємодія ексимерлазерного випромінювання з оптичними 
поверхнями 
При проведенні ексимерлазерної корекції відбувається пошарове 
випаровування оптичної поверхні на певну глибину. Для результатів операції 
важливо визначити в границі яких шарів відбувається корекція. Необхідно 
відмітити, що найменш щільними упакованими є поверхнева 1/3-1/4 частина 
строми [16]. Було детально досліджено залежність відновлення чутливості від 
площі, глибини та технології лазерних втручань.   
Таким чином, проведенні дослідження показали, що єксимерлазерне 
випромінювання здатне ефективно взаємодіяти з оптичними поверхнями та 
викликати їх безпечне, високоточне фотохімічне випаровування, що може бути 
використано в рефракційній корекції. 
 
3.2. Аналітичний опис досліджуваної поверхні 
Так, як вхідними даними являється матриця з 100×100 елементів, що 
характеризують форму оптичної поверхні, то постає задача інтерполяції функції, 
що описує дану поверхню. Найбільш розповсюдженим методом, що вирішує 
поставлену задачу є застосування інтерполяційних поліномів Лагранжа, Ньютона 
або Чебушева [17]. Однак неперервна функція не завжди може бути добре 
наближена інтерполяційним многочленом Лагранжу. Зокрема, послідовність 
інтерполяційних многочленів Лагранжу по рівновіддаленим вузлам не обов’язково 
збігається навіть в тому випадку, коли функція нескінченно диференційована. У 
тих випадках, коли збіжність має місце, часто отримання достатньо доброго 
наближення потребує використання поліномів високого степеня. В той же час, 
якщо для функції наближення вдається підібрати вдалі вузли інтерполяції, то 
33 
 
степінь інтерполяційного многочлену, що наближує функцію з заданою точністю, 
може бути значно знижена. 
Таким чином, доцільно провести наближення функції не шляхом 
інтерполяції, а шляхом побудови так званого найкращого наближення. 
Використаємо для цього метод невизначених коефіцієнтів. 
Метод поліноміального параметричного представлення оптичної поверхні. 
Вважатимемо, що хвильовий фронт, який представляє собою тривимірну 
поверхню, допускає параметричне опис, що у декартовій системі координат (x1, 
x2, x3) (рис. 3.1) можна задавати у вигляді 
 
де F  – функція, що описує множину реалізацій хвильового 
фронту;  
 – вектор параметрів, що характеризують 
реалізацію.  
 
Рис. 3.1. Системи координат, що описують область дослідження. 
 
Якщо  F  – аналітична функція змінних x1, x2, то для її 
параметричного представлення із заданою точністю може бути використаний 
34 
 
поліном від двох змінних відповідного степеня. Коефіцієнти цього полінома 
утворюють вектор параметрів θ. 
Параметричне представлення множини реалізації хвильового фронту 
дозволяє сформувати завдання встановлення форми хвильового фронту, як 
завдання оцінки вектора параметрів θ, що відповідають даній реалізації [18]. 
Оптична область, що підлягає корекції, має діаметр D 9000 мкм з центром, 
що розміщений на оптичній осі об’єкту. Для сканування положення поверхні 
об’єкту використовують матрицю точок розмірність 101×101. Відповідно 
розрахуємо величину поділки координатної осі: 
 
Будемо вважати, що система координат (x1,x2,x3) обрана так, що F
. Але для порівняння результатів моделювання з формою 
еталонної поверхні об’єкту необхідно зробити прив’язку до його поверхні. Тому 
необхідно зменшити кожен елемент матриці висот на максимальне значення 
елементів матриці M. Перехід від відносних координат до вираження положення 
точки відносно центру системи в мкм відбувається за допомогою формули: 
 
В загальному випадку поліноміальний параметричне представлення функції 
F   набуде вигляду 
 
де k, m, l – цілі числа, які визначають вигляд полінома. Функція (3.4) лінійна за 
параметрами, і для її записи зазвичай використовують векторну формулу 
 
35 
 
де   – вектор-рядок заданих функцій. 
 
Локальні нахили хвильового фронту являють собою власні похідні функції 
 у точках вузлів координатної сітки. Тому значення  
локального нахилу в площині j-ї координати  в i-й точці ( ) з 
урахуванням (3.5) можна записати у вигляді 
 
Тут  – похибка розрахунку значення в i-й точці, що враховує похибки 
вимірювання локального нахилу і, похибку відображення хвильового фронту 
поліномом заданого виду (k, l, m фіксовані). 
Для даного масиву дослідження, що має розмірність N=101, масив значень 
локального нахилу хвильового фронту буде представляти собою вектор 
, структура якого з 
урахуванням (3.7) має вигляд 
 
де H – матриця, названа планом експерименту, що складена з 2N 
векторів-рядків виду ; 
 V  – 
вектор помилок. 
Співвідношення (3.8) представляє собою лінійну за параметром модель 
спостережень за умови, що математичне сподівання вектора помилок дорівнює 
нулю: 
36 
 
 
Так я відстані між досліджуваними точками достатньо малі, такі що 
 та , то можна вважати справедливою 
формулу: 
 
 
Таким чином розраховується значення локального нахилу хвильового 
фронту відносно х1 та х2 в усіх точках області дослідження. У результаті того, що 
при застосуванні формул (3.10), неможливо визначити значення локального 
нахилу на краях оптичної області, необхідно зменшити площу дослідження до 
кількості точок 99×99. Так як величина лазерного променя, що проводить абляцію, 
становить 0,8 мм, а відсічений простір становить за шириною 0,09 мм, то значного 
впливу на результати корекції не відбувається. 
Умова (3.9) еквівалентна тому, що параметрична модель (3.5) при заданих k, 
l, m адекватно описує хвильовий фронт. Це означає, що для прийняття моделі 
існує таке значення вектора параметрів θ, що відхилення істинної поверхні 
хвильового фронту від поверхні  не помітна на 
фоні помилок вимірювання. Будемо припускати, що умови (3.9) виконано, і 
коваріаційна матриця  вектора Z має вигляд 
 
де I – одинична матриця порядку 2N;  – дисперсія вимірювання локального 
нахилу. 
37 
 
Умова (2.11) означає, що вимірювання локальних нахилів хвильового 
фронту в різних точках і в різних напрямках є не корельовані та рівноточні. Ця 
умова не є істотним обмеженням. Якщо вона не виконується ( ), 
але  – неособлива матриця, то лінійну модель спостережень (2.8) з 
допомогою декорелюючого перетворення можна еквівалентно представити таким 
чином, що відносно до перетвореного вектора вимірів умова (3.11) буде мати 
місце. 
Значення елементів матриці H для визначення коефіцієнтів кубічного та 
квадратичного поліномів при розмірності точок, що характеризують область 
дослідження N рівним 99. 
При поліноміальному поданні моделі хвильового фронту план H буде мати 
повний ранг, а інформаційна матриця  цього плану буде неособлива. 
Тому оцінка θ за методом найменших квадратів єдина: 
 
З урахуванням (3.9), (3.11) оцінка (3.12) є найкращою лінійною незміщеною 
оцінкою параметра θ, за допомогою якої знаходитися найкраща лінійна незміщена 
оцінка хвильового фронту 
 
Помилка оцінки функції  
залежить від координат (x1,x2) і може бути охарактеризована коридором помилок 
, де 
 
 
38 
 
де  – коваріаційна матриця оцінок θ. 
У тих випадках, коли дисперсія  одноразового вимірювання 
локального нахилу не відома, а модель (2.5) адекватна, в якості значення  в 
(3.15) використовують незміщену оцінку дисперсії, яка в розглянутій задачі 
обчислюється за формулою 
 
 Умови адекватності моделі. Вираз (3.16) визначає незміщену оцінку , 
і оцінка (3.13) з характеристикою точності (3.14) буде мати сенс, якщо прийнята 
для подання хвильового фронту модель є адекватною [18]. Тому практичне 
використання результату оцінки хвильового фронту повинно передувати аналіз 
адекватності моделі. Оскільки кожна реалізація хвильового фронту допускає лише 
одноразові вимірювання, то для аналізу адекватності моделі не представляється 
можливим використовувати тест перевірки, оснований на порівнянні оцінки 
(3.16), яка залежить від виду моделі, з оцінкою дисперсії, одержуваних шляхом 
багаторазових вимірювань однієї реалізації в кожній точці плану і не пов'язаної з 
виглядом моделі. У цих умовах для підтвердження аналізу адекватності моделі 
необхідні додаткові апріорні дані. 
Мінімальна додаткова інформація для аналізу адекватності пов'язана з 
припущенням про гауссовий розподіл помилки вимірювання. Тоді якщо  – 
дисперсія помилки одноразового вимірювання, то з рівнем значущості α модель 
буде адекватна при 
 
39 
 
де  – оцінка (3.16);   – квантиль рівня 1-α 
розподілу  з числом ступенів свободи 2N-k. 
Якщо значення  відомо, то результат порівняння (3.17) визначає 
класифікацію випробуваної моделі за ознакою адекватності. При цьому 
невиконання умови (3.17) означає, що при даному рівні помилок вимірювання і 
рівні значущості критерію перевірки α модель (3.5), прийнята для подання 
хвильового фронту, і пов'язана з нею модель спостереження (3.8) не узгоджуються 
з результатами спостережень. У цьому випадку модель слід ускладнити, 
збільшивши число членів полінома (3.4). 
Якщо значення  не відомо, то нерівність (3.17), записане щодо : 
 
визначає класифікацію умов вимірювання за ознакою адекватності випробуваної 
моделі. При цьому права частина нерівності (3.18) задає нижню межу дисперсії 
помилки одноразового вимірювання, при якій випробувана модель буде адекватна. 
 
3.3. Моделювання процесу абляції 
Процесом лазерної абляції називають видалення речовини з поверхні за 
допомогою лазерного імпульсу. При низькій потужності випромінювання (але 
такій, що перевищує поріг режиму абляції) речовина випаровується і на 
оброблюваній поверхні утворюється кратер [19]. В даний час частіше всього 
використовується профіль лазерного пучка в формі кола. На результати 
проведення абляції впливають наступні параметри: тривалість та частота 
імпульсів, глибина випаровування, інтенсивність випромінювання, ширина 
гауссового розподілення густини енергії в промені, діаметр променя. Зв'язок 
даних параметрів наведений на рис. 3.2. 
40 
 
 
Рис. 3.2. Зв'язок параметрів моделі абляції 
 
Для проведення корекції форми об’єкту задається товщина шару, що 
потребує видалення – глибина абляції. За певною закономірністю визначається 
величина інтенсивності лазерного випромінювання, що необхідне для 
випаровування даної кількості матеріалу. 
При скануванні вибирається оптимальне значення діаметру світлового 
пучка, що при визначеній густині інтенсивності випромінювання впливає на 
розрахунок параметру гаусового розподілу енергії в промені [19]. Загальна площа 
поверхні, яка підлягає корекції, визначає кількість точок сканування, що необхідне 
для визначення частоти випромінювання для забезпечення оптимального часу 
проведення корегування. 
Тривалість імпульсу. Тривалість імпульсу визначає точність впливу корекції.  
При допустимій величині відхилення точки від заданої, рівній 1 мкм, тривалість 
імпульсу не повинна перевищувати наступне значення: 
 
В більшості сучасних лазерних системах тривалість імпульсу становить 6-13 
нс.  Тому, обравши тривалість імпульсу 8 нс, забезпечується прийнятний рівень 
точності. 
41 
 
Густина інтенсивності випромінювання. Основою математичної моделі 
абляції, що застосовується в розрахунках, є залежність глибини випаровування 
матеріалу поверхні від енергії імпульсу при дії ексимерного лазеру з довжиною 
хвилі 193 нм за 8 нс (рис. 3.3). Дана залежність отримана емпіричним шляхом 
[20]. Порогове значення густини енергії, при якій починається абляція, становить 
43 мДж/см2.  
 
Рис. 3.3. Залежність глибини абляції (h) від густини енергії імпульсу (W). 
 
Діаметр пучка випромінювання. З наукової літератури відомо, що для 
корекції неправильної форми поверхні, що описується поліномом Церніке 4-го 
порядку, достатньо використовувати світловий промінь з діаметром 1,18 мм, а для 
корекції відхилень, що описуються поліномом Церніке 6-го порядку – 0,6 мм [20]. 
Тому для забезпечення високого рівня корекції значення діаметру лазерного 
променя прийнято 0,8 мм. 
Профіль випромінювання. Дослідниками в області оптики встановлено, що 
найкращі параметри поверхні в результаті корекції досягаються при використанні 
випромінювання, що має гауссове розподілення густини енергії по 
діаметральному перерізі пучку [21].  Формула для гауссового розподілення 
густини енергії в промені має наступний вигляд [40]: 
42 
 
 
де  – густина енергії на відстані r від центру променя, мДж/см2;  
– густина енергії в центрі імпульсу, мДж/см2;  – параметр форми гаусового 
розподілення.  
Звідси параметр  для заданого діаметру променя (0,8 мм) визначається 
наступним чином: 
 
Параметр  характеризує форму (ширину) гауссового розподілення: 68% 
усієї густини енергії імпульсу розміщені в інтервалі , а 95% густини енергії 
– в інтервалі .  
На рис. 3.4 приведено залежність об’єму випаруваної речовини відзначення 
параметру форми гауссового розподілу при густині енергії в промені 120, 180, 240, 
300 мДж/см2. 
Частота імпульсів. Чим вища частота генерації імпульсів, тим менше часу 
потрібно для проведення операції [4]. Діапазон частоти випромінювання в 
сучасних лазерних системах становить 30-200 Гц. Більша частота імпульсів може 
призвести до значного нагріву об’єкту у процесі корекції та підвищити вимоги до 
системи слідкування за положенням об’єкту. Тому частоту випромінювання 
імпульсів обрано 150 Гц. 
Час проведення корекції. Застосуємо математичну модель алгоритму 
розрахунку тривалості операції [22]. Відомо, що час проведення операції T є: 
● пропорційний кількості імпульсів N(d), що необхідні для однократного 
сканування зони корекції, які визначаються співвідношенням розмірів зони 
операції та діаметром випромінювання d; 
● зворотно пропорційний частоті імпульсів ν; 
43 
 
● пропорційний кількості імпульсів, що необхідні для досягнення заданої 
глибини абляції H в кожній точці зони операції при глибині абляції одного 
імпульсу  Δ(W0,σ). 
Тоді маємо співвідношення: 
 
Тривалість операції не повинна перевищувати 1-1,5 хв., адже після 
проходження даного часу спостерігається підвищена частота відхилення об’єкту 
від заданого напрямку та відбувається значна його дегідратація. 
Визначимо вигляд математичної моделі абляції для розрахунку величини 
видаленого шару поверхні в зоні світлової плями (рис. 3.4). 
Позначимо l глибину випаровування в будь-якій точці абляції, мкм; r – 
відстань від центра до точки розрахунку, мм; h – максимальну глибину 
випаровування, мкм [21]. Для визначення значення l необхідно розрахувати 
густину інтенсивності випромінювання, що діяло на дану точку W(r), за законами 
абляції (рис. 3.3). Даний параметр пов'язаний з максимальною глибиною 
випаровування h через значення густини інтенсивності енергії в центрі променя 
W0. Використовуючи формулу (2.19) маємо 
 
 
Рис. 3.4. Схематичне зображення видалення матеріалу об’єкту: 
44 
 
1 – матеріал об’єкту; 2 – кратер, утворений в результаті абляції. 
 
Отже розрахунок положення точок площини об’єкту після проведення 
абляції, враховуючи параметри лазерної системи (тривалість імпульсу 8 нс, 
частота випромінювання 150 Гц, діаметр лазерного променя 0,8 мм), проводиться 
за формулою (3.20). 
Перевірка моделі на адекватність полягає в перевірці гіпотези про гауссовий 
розподіл величин, що отримані в результаті корекції. 
Визначення оптимального кроку сканування. Так як функція, що описує 
процес випаровування, є нелінійною, то необхідно визначити оптимальну відстань 
між центрами лазерного променя, при якому отримаємо максимально гладку 
поверхню в результаті видалення речовини. Проаналізуємо вплив 4 лазерних 
променів. Дану задачу можна сформулювати як визначення величини z (рис. 3.5, 
а), при якій різниця між об’ємом дефектного шару і сумою об’ємів випаруваної 
речовини була би мінімальна, при чому в кожній точці сканування глибина 
випаровування не перевищувала би максимально задане значення h. 
 
                       (а)                                                              (б) 
Рис. 3.5. Кратери, утворені під дією 4 лазерних променів: (а) – графік поверхні з 
заливкою контуру; (б) – графік поверхні без заливки контуру. 
 
45 
 
Для опису процесу абляції використовуємо математичну модель, наведену 
вище, виражену в декартовій системі координат: 
 
де  и  – координати центру області дії лазерного променя. 
Нехай центр 0-променя буде розміщений в точці (0,0), тоді, відповідно, 
координати центру решти променів буде мати вид (0,z), (z,z), (z,0) [43]. Беручи до 
уваги те, що діаметр променя 0,8 мм, область дії 0-променя по осі ОХ  буде в 
діапазоні [-400,400] та по осі OY [-400,400], при умові, що ціна поділки рівна 1 
мкм. Функції, що описують процес випаровування, при умові певного значення h, 
в залежності від координат центру променя мають наступний вигляд: 
 
 
 
 
 На основі цих даних об’єм видаленої речовини виражається наступним 
чином: 
 
46 
 
Оскільки об'єм видаленої речовини при дії 4 лазерних променів завжди 
постійний, то результат оптимізації залежить лише від об'єму дефектного шару, 
який розраховується по формулі (3.25). 
 
Таким чином задача має вид: 
 
при умові 
 
Дана задача вирішується за допомогою градієнтного методу [22]. 
Оцінка якості поверхні після корекції. Характеристика якості отриманої в 
результаті корекції поверхні надається за допомогою оптичних та статистичних 
параметрів [23].  
До оптичних показників якості відноситься розрахунок значень коефіцієнтів 
поліномів Церніке, що відображає вплив різних видів аберацій на формування 
зображення. 
До статистичних характеристик форми поверхні відносяться такі показники, 
як MSЕ (середньоквадратичне відхилення точок поверхні), PV (розкид висот 
поверхні) та ін. 
Загальний вигляд поліномів Церніке. При обчисленні різноманітних 
показників якості поверхні необхідно визначити значення функції хвильової 
аберації в великій кількості точок [24]. Для того, щоб спрости розрахунки 
напрямку проходження великої кількості променів, необхідно використати 
чисельну модель аберацій. Тому функція хвильових аберацій представляється у 
вигляді ряду за степенями координат області дослідження.  
47 
 
Якщо в оптичній системі присутні всі типи аберацій, то для визначення 
величини їх впливу на формування зображення, функцію хвильової аберації 
можна розкласти в ряд за степенями канонічних координат зіниці в наступному 
вигляді: 
 
 
 
або в полярних координатах: 
 
 
де  – значення декартових і полярних координат 
площини рогівки відповідно;  – коефіцієнт, значення якого визначає 
вклад типу та порядку аберації в загальну хвильову аберацію.  
Альтернативою степному базису є поліноми, введені в оптику Фрицем 
Церніке (поліноми Церніке). Функції розкладення хвильової аберації в ряд по 
поліномам Церніке має наступний вигляд: 
 
 
 
де  – полярні координати; n – степінь впливу  на результат; m – 
степінь впливу  на результат. 
48 
 
 При чому n≥m, (n-m) – парне число.  – радіальний поліном 
Церніке, що залежить тільки від ,  – коефіцієнт розкладання. 
 
Рис. 3.6. Поверхні, утворені радіальними поліномами Церніке 
 
Кожен з поліномів в ході побудови форми хвильового фронту вносить в 
певній мірі відображений на результуючій поверхні. Степінь вкладу поліномів в 
утворення форми поверхні відображають коефіцієнти с. На рис. 3.6 приведена 
форма поверхні при умові, що значення сі=1 та . 
Методика обчислення коефіцієнтів поліномів Церніке. На сьогоднішній день 
можна виділити два основних способи опису оптичної поверхні (хвильового 
фронту) [24]: 
● представлення у вигляді коефіцієнтів розкладу по степенному базисі 
 
де x, y – прямокутні координати точки поверхні;  – коефіцієнт розкладення. 
● представлення у вигляді коефіцієнтів розкладення по ортогональному 
базисі поліномів Церніке 
49 
 
 
де  – опис функції деформації поверхні;  та  – полярні 
координати точки поверхні;  та  – коефіцієнти розкладення; 
 – радіальні поліноми Церніке. 
Дані два способи можна узагальнити виразом: 
 
де  – опис функції деформації поверхні, хвильового фронту;  
 – коефіцієнт розкладення функції  по базисним функціям 
.  
 При використанні форми представлення поверхні у вигляді (3.33) 
передбачається, що функція  є достатньо гладкою та застосовані 
базисні функції є достатнім наближенням для опису реальної функції. Такий 
підхід значно полегшить аналіз  особливо у випадку 
використання ортогонального базису, адже кожний коефіцієнт  (або група з 
декількох коефіцієнтів) описує складову, що відповідає базисній функції 
. При чому кожен коефіцієнт  однозначно визначає поведінку типу 
 по всій області визначення . Таким чином, за 
допомогою виразу (3.33) досягається глобальний опис функції деформації 
поверхні. Чим менш гладкою є функція, що описується, тим більша кількість 
базисних функцій  необхідно застосувати. 
Для зручності аналізу на практиці широко застосовується не прямокутна 
, а полярна  система координат. Значення координат в 
даних системах пов’язані між собою так: 
50 
 
 
При чому в канонічних координатах . 
В одновимірному випадку задача наближення заданої таблицею чисел 
,  функції f(x) з певною точністю на відрізку 
[a,b] дійсної вісі, є досить розповсюдженою. Класичним методом розв’язку даної 
задачі є побудова інтерполяційного многочлену Логранжа. Однак можливість 
застосування даного методу на практиці обмежена, адже існують гладкі, багато 
разів диференційовані функції, для яких на відрізку  збільшення 
вузлів інтерполяції призводить до зростання похибки: 
 
Іноді подібні труднощі можливо уникнути шляхом спеціального вибору 
вузлів інтерполяції або за рахунок переходу до будь-яких узагальнених 
многочленів. Поліноми Церніке є найбільш вдалі для опису оптичної поверхні, 
адже вони представляють класичні аберації: нахилення, де фокусування, 
астигматизм, кому і т.д. – та є ортогональними на колі 
. 
У виразі (3.26) коефіцієнти поліномів записані з використанням нумерації по 
двом індексам. Однак при обчисленнях зручно використовувати одноіндексну 
нумерацію, яка прийнята в стандарті ISO. Поліноми Церніке визначаються за 
допомогою наступного співвідношення:  
 
 
51 
 
 та  визначаються номером і наступним чином: 
 
 
 – парне число. Кількість 
поліномів до радіального степеня n включно рівне 
. Радіальні складові  пов’язані рекурентними 
співвідношеннями: 
 
Визначені таким чином поліноми Церніке є ортогональними на одиничному 
колі та нормовані на π: 
 
де  – функція Кронекера, що рівна одиниці при i=j та нулю в інших 
випадках. Система поліномів Церніке повна. Поліноми за винятком першого (i=0) 
є центрованими, тобто іх середнє значення на одиничному колі рівне нулю: 
 
В розкладенні функції поверхні (хвильової аберації) мають вигляд: 
 
де  та  вказують величину сферичності («дефокусування»),  та 
 – величину відхилення типу астигматизму,  та  – величину 
відхилення типу коми. Оцінка коефіцієнтів с проводиться за допомогою методу 
найменших квадратів [23]. 
52 
 
Поліноми Церніке мають важливу, з точки зору обчислення, властивість 
періодичності, завдяки якому при відновленні вибірки значень функції, що 
описується, можливе уникнення проведення трудомісткого обчислення значень 
радіальних поліномів, величини косинусів та синусів парних кутів в усіх точках 
зіниці. Достатньо визначити їх значення в одному октанті, а в інших частинах 
зіниці вибірка функції деформації хвильового фронту формується з вже 
обчислених даних. 
Кількісна оцінка форми поверхні рогівки. За допомогою розглянутого 
полінома проводиться опис величини відхилення реальної поверхні рогівки від 
еталонної форми [24]. Кожний доданок ряду описує аберацію певного виду та 
порядку. Розглянемо найбільш важливі компоненти розкладення хвильової 
аберації по поліномам Церніке.  
Дисторсія. Параметри с1 та с2 (n=1, m=1) характеризують величину нахилу 
площини відносно осі ОY та ОX відповідно. Для цього виду дефекту базисні 
функції мають наступний вигляд: 
 
Приклад даного відхилення по осі ОY та ОX наведено на рис. 3.7 а, б 
відповідно при умові, що с1=с2=1. 
 
                      
       (а)                                            (б) 
Рис. 3.7. Відхилення поверхні при дисторсії: 
(а) – нахил вздовж осі ОХ, (б) –нахил вздовж осі ОY 
 
53 
 
Дефокусування. Компонента дефокусування має такий вигляд: 
 
Графічне зображення даного відхилення при умові, що с3=1, приведено на 
рис. 3.8.  
 
Рис. 3.8. Відхилення поверхні при розфокусуванні. 
 
Астигматизм. При описі астигматизму відносно осі ОY та ОХ базисні 
функції мають наступний вигляд відповідно: 
 
На графічний вигляд відхилення при умові, що с4=с5=1, наведено на рис. 3.9. 
             
(а)                                              (б) 
Рис. 3.9. Графічний вигляд поверхні при астигматизмі. 
(а) – астигматизм вздовж осі ОY, (б) –астигматизм вздовж осі OX. 
 
Кома. Відхилення поверхні типу кома вздовж координатних осей ОY та OX 
відповідно характеризують наступні базисні функції: 
 
54 
 
Графічний вигляд площини з відхиленням кома приведено на рис. 3.10 при 
с6=с7=1. 
              
(а)                                                    (б) 
Рис. 3.10. Графічне зображення поверхні при відхиленні типу кома. 
(а) – аберація кома вздовж осі ОY, (б) – аберація кома вздовж осі OX. 
Трьохлистник. Аберації даного виду характеризуються базисними 
функціями по осі ОY та ОX відповідно: 
 
Графічне зображення поверхні, що має дефект виду трьохлистник, 
приведено на рис. 3.11.  
 
            
      (а)                                              (б) 
Рис. 3.11. Графічне зображення поверхні при аберації трьохлистник. 
(а) – аберація трьохлистник вздовж осі OY, (б) – аберація трьохлистник 
вздовж осі ОХ. 
 
Оцінка якості поверхні після корекції. Середньоквадратичне відхилення. 
Середньоквадратичне відхилення характеризує відхилення точок поверхні від 
55 
 
відносно середньої висоти по всій області, що вивчається [23]. Середньою 
висотою позначено значення висот еталонної поверхні в кожній точці. Даний 
показник розраховується за формулою: 
 
Середня абсолютна процентна похибка. Даний параметр показує 
відхилення висот поверхні в кожній точці від еталонної поверхні у відсотках. 
Похибка обчислюється за формулою: 
 
Розкид висот. Даний параметр відображає відстань між вищою і нижчою 
точкою досліджуваної області, що дає можливість оцінити діапазон відхилення 
результатів корекції. 
 
Среднє відхилення. Даний параметр характеризує середнє відхилення точок 
досліджуваної поверхні від положення еталонної поверхні і розраховується за 
формулою:  
 
Розглянуті параметри дають можливість кількісно оцінити гладкість 
поверхні, що є одним з основних критеріїв якості проведення корекції [4].  
56 
 
Траєкторія переміщення світлової плями. При проведення корекції форми 
об’єкту можуть викикати наступні проблеми. Нерівномірний розподіл теплового 
фронту по поверхні об’єкту, що призводить до надмірного теплового впливу,  
нерівності поверхні утвореної в результаті сканування. При видаленні речовини 
об’єкту з використанням більш ніж одного лазурного імпульсу, що спрямований в 
одну і ту саму точку, підвищується вірогідність перегріву речовини, що 
призводить до розпаду поверхні. 
При точковому впливі на речовину об’єкту утворюється область з 
нерівномірним розподілом теплової енергії. Так як для сканування 
використовується лазерний промінь з гауссовим радіальним розподілом густини 
енергії в поперечному перерізі, то найбільший тепловий вплив припадає на центр 
зони абляції. Для зменшення теплового впливу запропоновано здійснювати 
переміщення лазерного променя по спіральній або кільцевій траєкторії, 
рівномірно розподіляючи таку ж саму кількість тепла по більшій площі об’єкту.  
В ході корекції міопії або міопічного астигматизму відбувається сплощення 
об’єкту. В результаті аналіз даних керототопограми визначається розміщення зон з 
підвищеною силою заломлення, що підлягають корекції. Зони корекції, величина 
площі яких не перевищує половини максимальної глибини шару, що підлягає 
видаленню, вважатимемо областями з невеликою крутизною поверхні. А зони, 
величина площі яких перевищує половину максимальної глибини шару, що 
підлягає видаленню – областями з крутим профілем поверхні.  
При видаленні випуклих зон з невеликою крутизною поверхні пропонується 
здійснювати переміщення лазерного променя вздовж концентричних кілець, центр 
яких розміщується в найвищій точці області корекції, поступово зменшуючи 
крутизну поверхні [24]. При крутому профілі об’єкту пропонується переміщення 
лазеру по спіральній траєкторії, починаючи сканування з в найвищій точці області 
корекції.   
Запропонований спосіб дозволяє рівномірно розподілити теплову енергію по 
поверхні об’єкту та зменшити акустичний удар при випромінюванні. Рівномірне 
57 
 
сканування дозволяє уникнути надмірного впливу лазерним випромінювання на 
випуклі області об’єкту, що піддаються інтенсивнішому опроміненню. 
Вибір кращої альтернативи. Одним з правил вибору кращої альтернативи є 
обмеження по часу корекції. Корекція, що проводиться довше 90 с, є 
неприйнятною і дана альтернатива виключається з розгляду. 
На основі значень параметрів, що характеризують результуючу поверхню 
проводиться вибір кращої альтернативи. При цьому слід зазначити, що параметри 
Ra та MAPE виражають одні і ті самі показники, але в різних одиницях 
вимірювання. На основі цього при виборі кращої альтернативи значення Ra не 
розглядається. Але обчислення даного показника необхідне при оптичному 
досліджені тенденції робочого періоду.   
Оцінимо альтернативи за такими критеріями: R1 – точність відтворення 
форми; R2 – якість результуючої поверхні [24]. Оцінка проводиться саме за цими 
параметрами тому, що при видаленні товстого шару речовини більшу увагу 
приділяється досягненню бажаної форми поверхні для покращення рефракційних 
властивостей об’єкту, а якість поверхні в даному випадку не впливає значною 
мірою на результат. При корекції тонкого шару речовини досягнення необхідної 
форми поверхні є не складною задачею, тому основна увага зосереджена на 
отриманні гладкої поверхні з задовільними показниками якості. Але, незважаючи 
на товщину об’єкту, необхідно забезпечити прийнятні значення параметрів. Тому 
при розрахунку величини вагів критеріїв початково задаються значення 
ω1=0,3+0,4t та ω2=1- ω1,  
 
де  – максимальна товщина середньостатистичного об’єкту (
;  – середня товщина шару об’єкту, 
що підлягає видаленню. 
58 
 
Згадані критерії встановлюють такі відношення переваги на множині 
альтернатив: 
  
  
Визначення параметру, за яким проводиться пошук найкращої альтернативи, 
проводиться за допомогою методу багатокритеріального відбору альтернатив за 
декількома відношеннями переваги. 
 
Висновки до розділу 3 
В ході проведеної роботи розглянуто основні принципи побудови 
інтерполяційної функції, що описує досліджувану поверхню за допомогою методу 
невизначених коефіцієнтів. Проведено обґрунтування вибраного методу 
інтерполяції.  
Розглянуто основні принципи моделювання процесу абляції, а саме: процес 
випаровування оптичної речовини під дією ексимерного лазеру, визначено 
принцип розрахунку оптимального кроку сканування, при ведемо алгоритм 
обчислення основних критеріїв оцінки якості поверхні та точності корекції.  
В ході роботи, спираючись на проведений аналіз існуючих методів 
сканування поверхні об’єкту при лазерній корекції, запропоновано переміщення 
світлової плями вздовж кільцевої або спіральної траєкторії, що зменшить 
тепловий вплив на речовину та акустичний удар випромінювання.  
Також в ході роботи розглянуто принцип вибору найкращих параметрів 
системи на основі результатів моделювання за допомогою методу 
багатокритеріального відбору альтернатив за декількома відношеннями переваги. 
 
59 
 
РОЗДІЛ 4 
ДОСЛІДЖЕННЯ ВПЛИВУ ФОРМИ ЛАЗЕРНОГО ПРОМЕНЯ ТА 
АЛГОРИТМУ СКАНУВАННЯ НА РЕЗУЛЬТАТИ КОРЕКЦІЇ 
 
В результаті проведеного огляду існуючих методів підготовки та аналізу 
даних операції лазерної корекції оптичних систем, можна зробити висновок, що 
виникає необхідність розробки алгоритму аналітичного методу та програми, яка 
проводить якісну та точну підготовку та обробку даних, а також визначає 
оптимальні параметри лазерної системи для досягнення максимально задовільних 
результатів корекції. Моделювання інтелектуальної системи контролю та 
прогнозування результатів корекції при забезпечить підвищення точності 
проведення операції та збільшить імовірність отримання запланованого 
результату, надасть можливість визначити оптимальні параметри системи 
 
1.1. Алгоритм розрахунку 
В основу проведення аналітичної розрахунків та програмної реалізації 
методики покладено принцип переходу до просторової моделі. Алгоритм 
розрахунку наведено на рис. 4.1. 
На першому етапі відбувається аналіз вхідних даних та проводиться процес 
розрахунку аналітичного опису форми поверхні. Дана процедура надає 
можливість оцінити адекватність отриманої моделі, розрахувати значення похибок 
моделювання, що дозволяє кількісно оцінити точність результатів корекції.  
Далі проводиться оцінка форми отриманої поверхні, що підлягає 
видаленню, за допомогою коефіцієнтів поліномів Церніке [18]. Дана процедура 
дозволить провести аналіз результатів корекції, шляхом порівняння розрахованих 
параметрів з коефіцієнтами поліномів Церніке, що описують форму скоректованої 
поверхні. 
 
 
Рис. 4.1. Алгоритм проведення розрахунків. 
60 
 
 
Далі проводиться розробка математичної моделі сканування лазерним 
променем досліджувану поверхню та процес видалення шарів оптичного 
матеріалу.  
На останньому етапі розрахунків здійснюється аналіз моделювання операції 
шляхом порівняння коефіцієнтів поліномів Церніке та розрахунку показників, що 
характеризують шорсткість поверхні, та як наслідок, точність корекції. 
На основі запропонованого методу проводиться розрахунок та розробка 
системи підтримки прийняття рішень, що спрямована на визначення оптимальних 
параметрів системи, які забезпечують максимально задовільні результати процесу 
корекції. 
Запропонована система підтримки прийняття рішень спрямована на 
визначення оптимальних параметрів лазерної системи в залежності від типу 
поверхні, що підлягає корекції. На вхід системи подається масив значень, що 
характеризує певну область поверхні.  Вихідними даними система є математична 
модель, що описує профіль лазерного променю, оптимальну глибину 
випаровування та крок сканування, що забезпечують найкращу якість поверхні в 
результаті корекції. 
1.2. Розробка архітектури СППР 
Для аналізу розглянутої проблеми визначення оптимальних параметрів 
системи необхідно провести декомпозицію головної мети на окремі ситуації. 
Визначення альтернатив. Розглянемо параметри, що характеризують 
профіль лазерного випромінювання. Гладкість отриманої поверхні залежить від 
величини перепадів між кратерами, що утворені під дією променів. Відомо, що 
чим менша глибина випаровування, тим кращі показники якості отриманої 
поверхні. Але для визначення оптимального значення необхідно провести ряд 
розрахунків. Тому в якості альтернатив вибираємо три моделі абляції: 
випаровування на максимально можливу глибину, 2/3 та 1/2 від максимально 
можливої глибини. 
61 
 
Визначення кроку сканування. При застосуванні кожної математичної моделі 
абляції необхідно визначити крок сканування, при якому досягається максимально 
гладка поверхня в результаті корекції. Дана процедура проводиться шляхом 
одновимірної та двовимірної оптимізації. 
Пошук оцінки моделі. Для вибору кращого рішення необхідно провести 
процес моделювання операції випаровування, що надасть можливість кількісно 
оцінити результати застосування кожного з запропонованих параметрів. 
Визначення найкращого рішення. В результаті моделювання отримаємо 
значення параметрів, що характеризують форму та якість отриманої поверхні, а 
також час, що затрачено на проведення операції. При визначенні найкращого 
рішення спочатку проводиться перевірка виконання правил – граничні вимоги, що 
приведені для часу та якості поверхні. Альтернативи, що не задовольняються 
поставленим вимогам відкидаються. Далі проводиться вибір кращої альтернативи. 
На основі проведеної декомпозиції розробимо архітектуру СППР (рис. 4.2) 
В ході роботи виникає необхідність у розробці бази даних, що повинна 
містити коефіцієнти поліноміальної функції, що описує еталонну поверхню; дані, 
що описують допустиму товщину об’єкту; коефіцієнти поліноміальних функцій, 
що описують досліджувані поверхні, та результати попереднього моделювання, а 
також матриці плану розрахунку. 
 
 
 
 
 
 
                                                    ні 
 
                        так 
                                                    так 
 
62 
 
 
                                ні 
 
 
 
 
 
 
                 ні                             ні                              ні 
 
 
так                          так                           так 
 
 
 
 
 
 
 
Рис. 4.2. Архітектура СППР 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
63 
 
 
 
 
Продовження рис. 4.2. 
 
4.3. Експериментальні розрахунки  
Аналіз вхідних даних.  Вхідними даними є масив висот, який відображає 
різницю між поверхнями об’єкта в 10200 точках, виражені в мкм, (рис. 4.3). Також 
вхідними даними є товщина об’єкту в кожній точці дослідження. Для 
відображення даних застосовується координатна сітка Х1ОХ2 з ціною поділки 90 
мкм і початком координат, розміщеним на оптичній осі об’єкту. 
 
Рис. 4.3.  Розташування поверхні мікролінзи. 
 
Апріорно відома матриця висот, яка характеризує еталонну поверхню (Е). 
Форма поверхні показана на рис. 4.4. 
Для проведення апроксимації по розглянутому алгоритму необхідно 
розмістити початок координат в найвищій точці поверхні. Для цього знаходимо 
максимальне значення MaxE висот і віднімаємо дане значення від всіх елементів 
масиву Е. 
 
64 
 
           
(а)                                                     (б) 
Рис. 4.4. Зовнішній вигляд еталонної поверхні. 
         (а) – контурний графік; (б) – графік поверхні. 
 
Отримана форма поверхні показана на рис. 4.5. 
 
Рис. 4.5. Форма поверхні Е. 
 
Як приклад розглянемо корекцію поверхні об’єкту, що описана масивом F. 
Значення висот F для даного випадку наведено в додатку В, а графік поверхні 
зображений на рис. 4.6.  
         
                              (а)                                                (б) 
65 
 
Рис. 4.6. Зовнішній вигляд поверхні F. 
(а) – контурний графік; (б) – графік поверхні. 
 
Для розміщення початку координат в найвищій точці поверхні F знайдемо 
максимальне значення даного масиву MaxF і віднімемо знайдене значення від 
кожного елемента масиву F. 
 
Отримана форма поверхні показана на рис. 4.7. 
  
Рис. 4.7. Форма поверхні F. 
 
 Моделювання поверхні об’єкту. Для проведення апроксимація поверхні за 
допомогою обраного методу необхідно визначити значення похідних по осі ОХ1 і 
ОХ2 в кожній точці поверхні. У даному випадку під поняттям точка поверхні 
мається на увазі вузли координатної сітки, у яких відомо значення Е та F. Так як 
клітинки координатної сітки рівні 90×90 мкм, то можна вважати, що 
 та . У такому випадку формули (4.3) можна вважати 
справедливими: 
 
 
66 
 
де  та – це значення похідних в точці 
  по осях ОХ1 і ОХ2 відповідно;  – координати 
, виражені в мкм. 
Так як обчислення похідних у крайніх точках поверхні неможливо, то 
відбувається відсікання крайніх рядів точок по кожній стороні поверхні. Таким 
чином, область дослідження скорочується до 9801 точок. 
Застосувавши формули (4.3), отримаємо наступний вектор 
: 
 
Математичне сподівання та дисперсиі вектору Z: 
 
 
Проведемо апроксимацію поверхні за допомогою квадратичного поліному, 
що має такий вид: 
 
Визначимо значення коефіцієнтів θ за допомогою методу найменших 
квадратів. Матриця Н, звана планом експерименту, для поверхні, що складається з 
99×99 точок, має наступний вигляд: 
 
67 
 
Елементи матриці Н наведено в таблиці В.3 в додатку В. 
Для даних точок дослідження і квадратичної моделі (4.6) інформаційна 
матриця  дорівнює: 
 
Обернена інформаційна матриця має вигляд: 
 
Застосувавши метод найменших квадратів,отримаємо: 
 
Таким чином апроксимуюча функція має вигляд: 
 
 
Застосувавши формулу (2.16), визначимо дисперсію оцінок : 
 
де , а . Похибка оцінок 
 функції  залежить від координат і може 
бути охарактеризована коридором похибок, для обчислення яких необхідно 
розрахунок значень коваріаційної матриці оцінок : 
68 
 
 
 
  
Рис. 4.8. Графік коридору похибок, що залежать від координат. 
 
Функція, що характеризує коридор похибок, має вигляд: 
 
 
Для даної функції графік розповсюдження похибок приведений на   рис. 4.8. 
Таким чином, видно, що максимальна похибка оцінки хвильового фронту 
має місце в кутах поверхні і для квадратичної моделі є 0,925 мкм, а мінімальна 
похибка розміщена в центрі області дослідження і дорівнює     8,5· 10-3 мкм. 
Проведемо перевірку моделі на адекватність. З рівнем значущості α=0,1 
квадратична модель адекватна, якщо задовольняється умова (3.18): 
 
З проведених розрахунків видно, що побудована модель  не адекватна. Тому 
проводиться підвищення степені полінома та повторюється процес розрахунку. 
В результаті проведених розрахунків отримано функцію, що описує 
поверхню ЕE: 
69 
 
 
 
 
Дана модель є адекватною: 
 
  Для перенесення початку координат з найвищої точки поверхні Е на 
поверхню об’єкту при обчисленнях значень EEij, до результату розрахунків в 
кожній точці необхідно додати MaxE. Для порівняння початкова поверхню Е і 
апроксимуюча поверхна ЕЕ наведені на рис. 4.9. 
                     
                                 (а)                                                   (б) 
Рис. 4.9. Зовнішній вигляд поверхонь Е и ЕЕ. 
(а) – контурний графік поверхні Е; (б) – контурний графік поверхні ЕЕ. 
 
Для поверхні, що описує об’єкт, апроксимація проходить аналогічним 
чином. В результаті обчислень отримано функцію, що описує поверхню F: 
 
 
Застосувавши формулу (3.16), визначимо дисперсію оцінок : 
 
70 
 
де , а =5. Розрахуємо значення елементів 
коваріаційної матриці оцінок : 
 
В результаті формула коридору похибок, що залежить від координат, має 
вид: 
 
 
Графік розподілення похибки наведений на рис. 4.10. 
 
Рис. 4.10. Графік коридору похибок, що залежать від координат. 
 
Таким чином, видно, що максимальна похибка оцінки хвильового фронту 
має місце в кутах поверхні і для квадратичної моделі є 0,401 мкм, а мінімальна 
похибка розміщена в центрі області дослідження і дорівнює 3,7·10-3 мкм. 
Проведемо перевірку моделі на адекватність. З рівнем значущістю α=0,1 
квадратична модель адекватна, якщо задовольняється умова (3.18): 
71 
 
 
                     
                                 (а)                                                   (б) 
Рис. 4.11. Зовнішній вигляд поверхонь F и FF. 
(а) – контурний графік поверхні F; (б) – контурний графік поверхні FF. 
 
З проведених розрахунків видно, що побудована модель адекватна. Для 
перенесення початку координат з найвищої точки поверхні F на поверхню об’єкту 
при обчисленнях значень FFij, до результату розрахунків в кожній точці необхідно 
додати MaxF. Для порівняння початкова поверхню F і апроксимована поверхня FF 
наведено на рис. 4.11. 
Попередня оцінка форми поверхні. Для оцінки інтенсивності корекції та 
ефективності даної операції необхідно охарактеризувати оптичні властивості 
поверхні зразка, які впливають на побудову зображення, тобто провести 
попередню оцінку форми поверхні. Дану процедуру можна здійснити за 
допомогою визначення коефіцієнтів поліномів Церніке, які кількісно 
відображають внесок кожного виду аберацій і, тим самим, описують форму 
поверхні. 
Для початку знайдемо товщину шару об’єкту, який підлягає видаленню, як 
різниця між висотами еталонної і досліджуваної поверхонь. Графік висот, що 
описують даний шар (D) наведено на рис. 4.12. Проведемо порівняння товщини 
шару корекції і товщини об’єкту в цілому. Товщина його після проведення 
корекції не повинна бути менше ніж 250 мкм. 
72 
 
 
Рис. 4.12. Контурний графік поверхні D. 
 
 
В результаті проведених розрахунків отримано висновок, що проведення 
даної корекції є допустимим для нормальної роботи ока. 
Для визначення загального вигляду поліномів Церніке здійснено перехід від 
двохіндексного запису до одноіндексної нумерації, яка прийнята в стандартах ISO, 
за формулами (4.22): 
 
 
де і приймає значення від 1 до 9. В результаті проведених розрахунків 
отримані наступні значення векторів: 
 
 
Далі за формулою (3.31) визначимо вид радіальних поліномів Церніке для 
кожного значення і: 
 
 
 
73 
 
Загальний вигляд базисного поліному розраховується за формулою (3.30) та 
має вигляд: 
 
 
 
 
 
Так як обчислення коефіцієнтів поліномів Церніке здійснюються в полярних 
канонічних координатах (де ), то для визначення висоти 
поверхні D в будь-якій точці, необхідно здійснити перехід в декартову систему 
координат за допомогою формул: 
 
 
Для дослідження поверхні використовуємо 9000 точок. Сканування поверхні 
проходить з кроком . Для обчислення 
значень 
 
 
Таким чином, функція, що описує поверхню хвильового фронту за 
допомогою поліномів Церніке, має вигляд: 
 
 
 
74 
 
При застосуванні методу найменших квадратів необхідно обчислити похідні 
функції . Керуючись вищевикладеним принципом, використовуємо для 
цього формули (4.3). А матриця Н буде мати вигляд: 
 
Похідні базисних поліномів мають вигляд: 
 
 
 
 
 
 
 
75 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
76 
 
 
 
В ході розрахунків  отримаємо значення, що наведені в табл. 4.1. 
 
Табл. 4.1  
Значення елементів матриці  
i
j       1 2 3 4 5 6 
1 9.1·103 -8·10-14 6.8·107 3.3·107 -1.1·107 1.8·1011 
2 -8·10-14 9.1·103 6.5·107 3.4·107 1.2·107 5.5·1011 
3 6.8·107 6.5·107 1.6·1012 5.1·1011 2.1·1010 8.8·1015 
4 3.3·107 3.4·107 5.1·1011 3.9·1011 4.9·108 3.5·1015 
5 -1.1·107 1.2·107 2.1·1010 4.9·108 3.9·1011 -3.6·1014 
6 1.8·1011 5.5·1011 5.5·1015 3.5·1015 -3.6·1014 7.3·1019 
7 5.6·1011 1.8·1011 9.1·1015 3.5·1015 5.4·1014 3.8·1019 
8 1.8·1011 7.3·109 1015 1.5·1015 2.5·1014 1018 
9 -4.2·109 3.5·108 -9.7·1014 2.5·1014 1.5·1015 -9.5·1018 
 
Продовження табл. 4.1 
i
j       7 8 9 
1 5.6·1011 1.8·1011 -4.2·109 
2 1.8·1011 7.3·109 3.5·108 
Продовження табл. 4.1 
i
j       7 8 9 
3 9.1·1015 1.1·1015 -9.7·1014 
4 3.5·1015 1.5·1015 2.5·1014 
77 
 
5 5.4·1014 2.5·1014 1.5·1015 
6 3.8·1019 1018 -9.5·1018 
7 7.6·1019 1.9·1019 -6.4·1016 
8 1.9·1019 1.5·1019 3.2·1018 
9 -6.4·1016 3.2·1018 1.5·1019 
 
Обернена інформаційна матриця має вид  Значення даної 
матриці наведені в табл. 4.2. 
Табл. 4.2 
 Значення елементів матриці  
i
 j     1 2 3 4 5 6 
1 6.5·10-4 3.8·10-4 -8.7·10-8 10-7 10-8 8.9·10-12 
2 3.8·10-4 6.4·10-4 -8.6·10-8 10-7 -1.5·10-8 5.6·10-12 
3 -8.8·10-8 -8.6·10-8 2.4·10-11 1.4·10-11 -1.1·10-12 -1.7·10-15 
4 10-7 -10-7 1.4·10-11 4.1·10-11 5.1·10-12 -2.5·10-15 
5 10-8 -1.5·10-8 -1.1·10-12 5.1·10-12 6.8·10-12 0 
6 8.9·10-12 5.6·10-12 -1.7·10-15 -2.5·10-15 0 0 
7 4.3·10-12 7.4·10-12 -1.9·10-15 0 0 0 
8 2.6·10-12 1.9·10-12 0 -2.7·10-15 0 0 
9 3.2·10-13 9.3·10-13 0 -1.3·10-15 0 0 
 
Продовження табл. 4.2 
i
j     7 8 9 
1 4.3·10-12 2.6·10-12 3.2·10-13 
 
Продовження табл. 4.2 
i
j     7 8 9 
2 7.4·10-12 1.9·10-12 9.3·10-12 
78 
 
3 2·10-15 0 0 
4 0 -2.7·10-15 -1.3·10-15 
5 0 0 0 
6 0 0 0 
7 0 0 0 
8 0 0 0 
9 0 0 0 
 
Застосувавши метод найменших квадратів, маємо: 
 
Таким чином можна зробити висновок, що поверхня D охарактеризована в 
більшій мірі дисторсією за двома напрямками. 
Математична модель випаровування. В ході аналізу вхідних даних 
визначено, що товщина шару об’єкту, що підлягає видаленню перевищує 
величину 2 мкм, тому в якості глибини випаровування для першої моделі абляції 
обрано 1,6 мкм, для другої – 1 мкм, для третьої – 0,8 мкм.  
При максимальній глибині корекції 1,6 мкм щільність енергії імпульсу 
дорівнює 400 мДж/см2, при 1 мкм – енергія імпульсу 276 мДж/см2, а при 0,8 мкм – 
223 мДж/см2. Визначимо для даних значень величину параметра гауссівського 
розподілу згідно з формулою (3.19). 
  
(4.33) 
79 
 
Таким чином, розподіл густини енергії імпульсу в залежності від відстані 
від центру абляції можна представити на рис. 4.13. 
 
                (а)                                      (б)                                      (в) 
Рис. 4.13. Розподіл густини енергії по зоні абляції. 
(а) – для моделі 1; (б) – для моделі 2; (в) – для моделі 3. 
 
У свою чергу зона абляції розбивається ще на 81 точку з кроком по ОХ1 і 
ОХ2 90 мкм. Використовуючи графік (3.3) обчислюється глибина корекції в даних 
точках в залежності від прикладеної енергії променя.  
Математична модель для процесу випаровування має вигляд: 
 
 
 
Графічно зона абляції виглядає наступним чином: 
 
                      (а)                                        (б)                                          (в) 
Рис. 4.14. Область абляції: (а) – для моделі 1; (б) – для моделі 2; (в) – для моделі 3. 
 
Розрахунок величини кроку. Розглянемо першу модель абляції. Розрахуємо 
об’єм речовини,що буде видалено 4 променями, що мають даний профіль. 
80 
 
 
 
 
Таким чином функція, що потребує мінімізації буде мети такий вигляд: 
 
при умові 
 
Для проведення мінімізації застосуємо градієнтний метод. Нехай 
початковою точкою пошуку буде значення z=800, при якому контури поверхонь, 
що піддалися обробці 4 лазерними променями, не дотикаються один до одного 
(рис. 4.15, а). Тоді на першій ітерації визначається значення z, при величині кроку 
0,1: 
 
Розташування поверхонь, що піддаються обробки приведено на рис. 4.15, б. 
Перевіримо умову (4.37) на виконання. 
 
На другій ітерації змінна z приймає значення: 
 
Розташування поверхонь, що піддаються обробки приведено на рис. 4.15, в. 
Перевіримо умову (4.37) на виконання. 
 
81 
 
Так як умова не виконується, про повертаємо змінній z значення з 
попередньої ітерації та зменшуємо величину кроку в 6 разів.  
 
Розташування поверхонь, що піддаються обробки приведено на рис. 4.15, г. 
Перевіримо умову (4.37) на виконання. 
 
   
     (а)                                (б)                             (в)                           (г) 
Рис. 4.15. Розміщення поверхні абляції в залежності від z. 
(а) – z=800 мкм; (б) – z=480 мкм; (в) – z=224 мкм; (г) – z=429 мкм. 
В ході проведення розрахунків визначено, що оптимальне значення 
величини z для першої моделі абляції становить 412 мкм. 
Аналогічним чином проводяться розрахунки для інших моделей абляції. Для 
другої моделі випаровування оптимальне значення кроку сканування становить 
420 мкм, для третьої – 447 мкм.  
Корекція форми об’єкту. Корекція форми об’єкту проходить послідовно по 
усіх точках поверхні. Область і глибина видалення визначаються згідно 
математичної моделі абляції.  
Припустимо, що максимальна глибина абляції max=h мкм. Поверхня 
розбивається на сітку з кроком, величина якого визначена попередніми 
розрахунками, і в кожній точці проводитися перевірка:  
 
Якщо умова виконується, то проводитися корекція з розміщенням центру 
променя в даній точці. В іншому випадку продовжується сканування поверхні. 
82 
 
Процес корекції завершується, якщо товщина шару, що підлягає абляції, в усіх 
точках сканування менше за h.  
На рис. 4.16 наведено контурний графік поверхні, що піддається абляції при 
різних кількостях ітерацій для першої моделі абляції. Корекція, що проводиться 
при застосуванні другої або третьої моделі абляції, проводиться аналогічним 
чином. 
 
  (а)                                 (б)                              (в)                             (г) 
Рис. 4.16. Контурний графік поверхні D після і ітерації. 
(а) – i=10;  (б) – i=70;(в) – i=120; (г) – i=170. 
 
Корекція проводитися пошарово при проходженні всіх точок поверхні і 
виконується до тих пір, поки не буде порушена умова в усіх точках сканування  
(4.43). Результати корекції представлені на рис. 4.17. 
В результаті проведення корекції отримана поверхня W  (рис. 4.17): 
 
 
                       (а)                                   (б)                                   (в) 
Рис. 4.17. Контурний графік поверхні W: (а) – при застосуванні моделі абляції 1, 
(б) – при застосуванні моделі абляції 2, (в) – при застосуванні моделі абляції 3.  
83 
 
 
Оцінка результатів корекції. Розглянемо поверхню, що отримана в результаті 
застосування першої моделі абляції. 
Оцінити якість корекції форми поверхні можна за допомогою наступних 
параметрів. 
Коефіцієнти поліномів Церніке. Досліджуємо поверхню W на ступінь 
спотворення різними видами аберацій, базисні поліноми яких наведені у формулі 
(4.25). Так як розмір досліджуваної зони не змінився, то для розрахунків можна 
використовувати матрицю Н для матриці розмірністю 99×99. За умови, що 
 та , обчислимо значення похідних на поверхні 
W за напрямками ОХ1 і ОХ2. Звідси вектор похідних Z має вигляд:  
 
Застосувавши метод найменших квадратів, отримаємо: 
 
З проведених розрахунків видно, що коефіцієнти поліномів Церніке в 
результаті корекції форми поверхні зменшилися, що говорить  про зменшення 
впливу аберація на формування зображення. Слід зазначити, що коефіцієнти, які 
характеризують форму поверхні вздовж осі ОХ1 зменшилися більш значно. Це 
пояснюється тим, що більшість оптичних об’єктів схильне до астигматизму 
малому ступені вздовж осі ОХ1. 
Середньоквадратичне відхилення. Середньоквадратичне відхилення 
характеризує відхилення точок поверхні від відносно середньої висоти по всій 
84 
 
області, що вивчається. Середньою висотою позначено значення висот еталонної 
поверхні в кожній точці. Значення даного параметру розраховується за формулою: 
 
Середня абсолютна процентна похибка. Дана похибка обчислюється за 
формулою:  
 
Розкид висот. Даний параметр відображає відстань між вищою і нижчою 
точкою досліджуваної області та розраховується за формулою: 
 
Середнє відхилення. Середнє відхилення точок поверхні від еталонної 
поверхні розраховується за формулою: 
 
У результаті проведених розрахунків можна зробити висновок, що корекція 
форми поверхні об’єкту проведена успішно і гладкість поверхні (розкид висот) є 
достатнім для забезпечення швидкого відновлення обробленої поверхні і 
характеризує точність проведення корекції. 
Розрахунок тривалості корекції форми об’єкту проводиться безпосередньо в 
процесі моделювання та визначається за формулою: 
 
де N – кількість проведених випаровувань тривалістю 8 нс.  
Аналогічним чином розраховуються оцінки якості та форми поверхні для 
результатів корекції за допомогою другої та третьої моделі абляції. Результати 
розрахунків наведені в табл. 4.1.  
85 
 
Також для сумарної оцінки точності форми отриманої поверхні в результаті 
корекції використано інтегрований показник оцінки коефіцієнтів поліномів 
Церніке: 
 
де  – коефіцієнти поліномів Церніке, що характеризують форму 
досліджуваної та еталонної поверхні відповідно. 
Табл. 4.1 
Оцінка результатів сканування 
Параметри Модель абляції 1 Модель абляції 2 Модель абляції 3 
ІС, % 5,017 5,736 6,806 
MSE, мкм 26,321 24,634 20,454 
MAPE, % 4,402 3,724 3,11 
PV, мкм 29,79 21,241 16,441 
Ra, мкм 11,293 10,048 9,324 
Тривалість, с 63 87 118 
 
Вибір кращої альтернативи. Позначимо показники якості поверхні таким 
чином: IC – x1, MSE – x2, MAPE – x3, PV – x4. Середня товщина шару речовини, що 
видаляється становить 483 мкм. Розрахуємо значення вагів критеріїв: 
 
  
 
На основі відношень (4.54) будуємо згортки критеріїв Q1 I Q2.  
Побудуємо матриці відношень: 
                        μR1(xi,xj)  ω1=0,58               μR2(xi,xj)  ω2=0,42             
86 
 
i\j x1 x2 x3 x4  i\j x1 x2 x3 x4 
x1 1 1 1 1  x1 1 0 0 1 
x2 0 1 1 1  x2 1 1 1 1 
x3 0 1 1 1  x3 1 1 1 1 
x4 0 0 0 1  x4 0 0 0 1 
 
Побудуємо згортку Q1 та знайдемо множину недомінуючих альтернатив 
Q S
1 нд: 
                     μ (x ,x )                                     μ s
Q1 i j Q1 (xi,xj)       
i\j x1 x2 x3 x4  i\j x1 x2 x3 x4 
x1 1 0 0 1  x1 0 0 0 1 
x2 0 1 1 1  x2 0 0 1 1 
x3 0 1 1 1  x3 0 1 0 1 
x4 0 0 0 1  x4 0 0 0 0 
      μ s
Q1 (x нд
i,xj)  1 0 0 0 
 
Побудуэмо згортку Q2 з врахуванням ваги важливості критеріїв, визначимо 
множину недомінуючих альтернатив Q S
2 нд: 
 
 
                μQ2(xi,xj)                                                     μ s
Q2 (xi,xj)       
i\j x1 x2 x3 x4  i\j x1 x2 x3 x4 
x1 1 0,58 0,58 1  x1 0 0,16 0,16 0 
x2 0,42 1 1 1  x2 0 0 0 0 
x3 0,42 1 1 1  x3 0 0 0 0 
x4 0 0 0 1  x4 0 0 0 0 
      μ s(x ,x )нд
Q2 i j  1 0.84 0.84 1 
 
Визначемо найкращю альтернативу: 
87 
 
 
 x1 x2 x3 x4 
μ s
Q1 (xi,x )нд
j  1 0 0 0 
μ s
Q2 (x нд
i,xj)  1 0.84 0.84 1 
μ s(x ,x )нд
Q i j  1 0 0 0 
 
З проведених розрахунків можна зробити висновок, що головним критерієм, 
за яким проводиться визначення оптимальних параметрів лазерної системи, є 
інтегрований показник коефіцієнтів поліномів Церніке. Мінімальне відхилення 
форми результуючої поверхні від еталонної свідчить про максимальну 
наближеність до заданої форми. 
Отже, найкращою альтернативою для проведення корекції при заданих 
параметрах поверхні об’єкту є використання функції, що описує профіль 
лазерного променя наступного виду: 
 
при глибині корекції 1,6мкм та кроку сканування 412 мкм. 
 
4.4. Програмна реалізація методу 
В ході виконання роботи розроблено та реалізовано програму, що надає 
можливість визначити оптимальні параметри лазерної системи, при яких корекція 
форми поверхні об’єкту відбувається з отриманням найкращого результату [56]. 
Дана програма реалізована за допомогою мови програмування Delphi 7 та займає 
12 Мб комп’ютерної пам’яті, а у скомпільованому вигляді (Project1.exe) – 2,4 Мб. 
Розроблена програма складається з трьох форм.  
Опис першого вікна програми.  Перша форма (Form1) призначена для задачі 
початкових даних та їх первинної обробки, тобто визначення коефіцієнтів 
інтерполяційного многочлена та перевірки моделі на адекватність. Ескіз даної 
форми приведено на рис. 4.18. 
88 
 
 
Рис.4.18. Ескіз форми 1. 
 
Елементами даної форми є 3 рамки (Bevel2-4), 5 кнопок (Button1-5), 9 
текстових рядків (Edit1-9), 2 групи елементів (GroupBox1-2), 1 зображення 
(Image1), 16 написів (Label1-16), 1 текстове поле (Memo1), 1 діалогове вікно для 
відкриття файлу (OpenDialog1), 2 таблиці (StringGrid1-2). Також, в даній формі 
використовуються змінні, що описані в табл. 4.2, та  відкритими для інших форм. 
 
Табл. 4.2 
Опис змінних Form1 
Позначення Тип даних Значення змінної 
array [0..100,0..100] of 
Aa Товщина дефектного шару 
real 
E array [1..8] of real Коефіцієнти інтерполяційного многочлену 
 
89 
 
Також в даній формі застосовуються наступні процедури: 
Процедура Button1Click(Sender: TObject). Дана процедура активує команди 
при натисненні на кнопки «Открыть». При натисненні на дану кнопку на екран 
виводиться вікно для вибору текстового файлу, в якому містяться значення висоти 
об’єкту у досліджуваній області. Після цього проводиться зчитування цих даних 
та відображення їх у відповідній таблиці. 
Процедура Button2Click(Sender: TObject). Дана процедура активує команди 
при натисненні на кнопки «Открыть». При натисненні на дану кнопку на екран 
виводиться вікно для вибору текстового файлу, в якому містяться значення 
товщини у досліджуваній області. Після цього проводиться зчитування цих даних 
та відображення їх у відповідній таблиці. 
Процедура Button3Click(Sender: TObject). Дана процедура активує команди 
при натисненні на кнопки «Данные введены». Дана клавіша призначена для 
підтвердження задачі початкових даних та активує процес перевірки можливості 
проведення корекції. 
Процедура Button4Click(Sender: TObject). Дана процедура активує команди 
при натисненні на кнопки «Далее». Дана кнопка використовується для переходу 
до наступного вікна програми.  
Процедура Button5Click(Sender: TObject). Дана процедура активує команди 
при натисненні на кнопки «График». Дана кнопка призначена для відображення 
графіку досліджуваної поверхні та активації процесу розрахунку коефіцієнтів 
інтерполяційного многочлена та коефіцієнтів поліномів Церніке. 
Опис другого вікна програми. Друга форма (Form2) призначена для 
динамічного відображення процесу корекції за допомогою 3 моделей абляції. 
Ескіз даної форми приведено на рис. 4.19. 
Елементами даної форми є 3 рамки (Bevel1-3), 3 кнопок (Button1-3), 6 
текстових рядків (Edit1-6), 6 зображень (Image1-6), 16 написів (Label1-16), 1 
панель (Panel1). Також, в даній формі використовуються змінні, що описані в 
табл. 4.3, та  відкритими для інших форм. 
Табл. 4.3 
90 
 
Опис змінних Form2 
Позначення Тип даних Значення змінної 
bb1, bb2, array [0..100,0..100] of Товщина дефектного шару при різних 
bb3 real моделях абляції 
 
Табл. 4.4 
Опис змінних Form2 
Позначення Тип даних Значення змінної 
fail, fail1 text Текстовий файл 
 
В програмі використано змінні, що відносяться тільки до даної форми. Опис 
цих змінних наведено в табл. 4.4. 
 
Рис. 4.19. Ескіз форми 2. 
 
Також в даній формі застосовуються наступні процедури: 
91 
 
Процедура Button1Click(Sender: TObject). Дана процедура активує команди 
при натисненні на кнопки «График». При натисненні на дану кнопку відбувається 
виведення на екран контурних графіків трьох дефектних шарів. 
Процедура Button2Click(Sender: TObject). Дана процедура активує команди 
при натисненні на кнопки «Провести коррекцию». При натисненні на дану кнопку 
на екрані відбувається динамічне відображення процесу абляції за допомогою 
трьох різних математичних моделей. По закінченню процесу в правій нижній 
частині екрану виводиться повідомлення. 
Процедура Button3Click(Sender: TObject). Дана процедура активує команди 
при натисненні на кнопки «Далее». Дана кнопка використовується для переходу 
до наступного вікна програми.  
Процедура toc(x,y:integer). Дана процедури призначена для відображення на 
екран лінії товщиною 2 px, де х та у – координати екрану.  
Опис третього вікна програми. Третя форма (Form3) призначена виведення 
результатів корекції за допомогою різних моделей абляції та вибору оптимальних 
параметрів системи. Ескіз даної форми приведено на рис. 4.20. 
92 
 
 
Рис. 4.20. Ескіз форми 3. 
 
Елементами даної форми є 2 рамки (Bevel1-2), 1 кнопок (Button1), 3 
текстових рядків (Edit1-3), 1 зображення (Image1), 5 написів (Label1-5), 1 таблиця 
(StringGrid1), 1 група елементів (GroupBox1), 1 діалогове вікно для збереження 
даних в файлу (SaveDialog1). Також, в даній формі використовуються змінні, що 
описані в табл. 4.6, та  відкритими для інших форм. 
Табл. 4.6 
Опис змінних Form3 
Позначення Тип даних Значення змінної 
Dd array [0..100,0..100] of Результуюча поверхня 
real 
В програмі використано змінні, що відносяться тільки до даної форми. Опис 
цих змінних наведено в табл. 4.7. 
Табл. 4.7 
93 
 
Опис змінних Form3 
Позначення Тип даних Значення змінної 
fail, fail1 Text Текстовий файл 
 
Також в даній формі застосовуються наступні процедури: 
Процедура FormCreate(Sender: TObject). Дана процедура призначена для 
виконання дій при відкритті форми. При відкритті форми на екран виводиться 
таблиця з результатами розрахунку параметрів оцінки утворених поверхонь після 
корекції. 
Процедура Button2Click(Sender: TObject). Дана процедура активує команди 
при натисненні на кнопки «График». При натисненні на дану кнопку проводиться 
побудова графіку результуючої поверхні та вивід на екран оптимальних 
параметрів системи.  
Процедура Button1Click(Sender: TObject). Дана процедура активує команди 
при натисненні на кнопки «Сохранить». Дана кнопка збереження результатів 
розрахунку в текстовий файл, адресу якого вказує користувач. 
Процедура toc(x,y:integer). Дана процедури призначена для відображення на 
екран лінії товщиною 2 px, де х та у – координати екрану.  
 
4.5. Методика використання розробленої програми 
В розробленій програмі реалізовано текстовий інтерфейс взаємодії з 
користувачем. При запуску програми з’являється вікно, що приведено на  рис.4.21.  
 
94 
 
Рис. 4.21. Вікно для введення початкових даних. 
 
За допомогою клавіші «Графік» користувач має можливість побудувати 
графік досліджуваної поверхні та провести попередні розрахунки (рис. 4.22). 
 
Рис. 4.22. Введення адреси текстового файлу. 
 
На екран виводиться два графіки: праворуч досліджувана поверхня, ліворуч 
– еталонна поверхня. Під графіками в текстовому полі виводиться загальний 
вигляд поліному, що описує досліджувану поверхню. В правій нижній частині 
екрану виведено коефіцієнти поліномів Церніке, що описують досліджувану 
поверхню. 
Після натиснення кнопки «Далі» проводиться перехід до наступного вікна 
програми (рис. 4.23). В другому вікні відображається осі координат для побудови 
трьох графіків дефектного шару та схематичне зображення профілю кратера після 
дії на речовину лазерним випромінюванням. 
95 
 
 
Рис. 4.23. Графік поверхні та попередні розрахунки. 
 
Рис. 4.24. Друге вікно програми. 
96 
 
 
Рис. 4.25. Графіки дефектних шарів та параметри абляції 
 
Після натиснення клавіші «Графік» проводиться відображення графіків та 
виведення кроку сканування та загального вигляду математичної моделі абляції 
для кожного випадку (рис. 4.25). 
Після натиснення на кнопку «Провести корекцію» проводиться динамічне 
відображення процесу абляції для кожної моделі (рис. 4.26). 
 
Рис. 4.27. Процес корекції форми поверхні. 
97 
 
По закінченню процесу корекції в правій нижній частини екрану виводиться 
напис «Корекція завершена» (рис. 4.28). Після цього користувач може перейти до 
наступного вікна за допомогою клавіші «Далі» (рис. 4.29). 
 
Рис. 4.28. Завершення процесу корекції. 
 
При переході до третього вікна програми на екран виводиться таблиця з 
оцінками якості кожної поверхні та оптимальними параметрами системи відносно 
розглянутих випадків.  
 
98 
 
Рис. 4.29. Виведення результатів 
 
Рис. 4.30. Графік результуючої поверхні. 
 
 
Рис. 4.31. Збереження результатів розрахунку. 
 
При натисненні на кнопку «Графік» проводиться побудова графіку 
результуючої поверхні (рис. 4.30). А при натиснення на кнопку «Зберегти» 
відкриваться вікно для задачі адреси текстового файлу (рис. 4.31). 
 
99 
 
4.6. Аналіз результатів дослідження 
В ході виконання роботи було проведена розробка системи підтримки 
прийняття рішень, що спрямована на визначення оптимальних параметрів 
лазерної системи для отримання найкращого результату корекції. Довільно 
вибрано форму досліджуваної поверхні та форму ідеальної поверхні. Обмеження 
при виборі: поверхня повинна бути неперервною, гладкою, найвища точка 
поверхні повинна розміщуватися відносно крайв області на висоті, що не 
перевищує половину діаметру досліджуваної поверхні. Вхідні дані дослідження 
приведені в додатку В. 
Табл. 4.10  
Результати експерименту 
№ Коефіцієнти апроксимуючої функції 
при х1 при х2 при х1х2 при х12 при х22 при х13 при х23 
1 -5.75·10-3 -5.75·10-3 0 -6.81·10-3 -6.81·10-3 -6.8·10-7 -6.8·10-7 
2 -4.62·10-3 -3.54·10-3 -4.45·10-3 -3.22·10-3 -6.77·10-4 -3.4·10-8 -3.4·10-8 
3 -1.43·10-3 -2.64·10-3 -2.17·10-6 -7.73·10-4 -4.73·10-4 -1.1·10-8 -4.2·10-8 
4 -4.72·10-3 -4.72·10-3 -3.25·10-6 -4.62·10-4 -4.62·10-4 -6.2·10-7 -6.7·10-7 
5 -4.21·10-3 -3.64·10-3 -1.73·10-5 -2.85·10-4 -3.25·10-3 -3.5·10-8 -5.5·10-9 
6 -5.87·10-3 -5.87·10-3 -0.89·10-9 -7.92·10-3 -6.33·10-3 -4.5·10-7 -4.5·10-7 
7 -5.64·10-3 -5.64·10-3 -4.22·10-7 -3.21·10-4 -3.21·10-4 -6.8·10-7 -5.1·10-7 
8 -4.33·10-3 -5.75·10-3 -5.31·10-6 -5.34·10-3 -5.88·10-3 -4.6·10-7 -2.8·10-7 
9 -3.78·10-3 -6.21·10-3 -1.37·10-3 -2.45·10-3 -4.26·10-4 -2.8·10-8 -5.4·10-8 
10 -6.34·10-3 -5.22·10-3 -1.46·10-5 -7.21·10-4 -7.33·10-4 -7.8·10-8 -4.2·10-8 
11 -3.67·10-3 -5.21·10-3 -3.55·10-6 -4.23·10-4 -4.24·10-4 -5.4·10-7 -5.4·10-7 
 
100 
 
Продовження табл. 4.10 
№ Коефіцієнти апроксимуючої функції 
при х1 при х2 при х1х2 при х12 при х22 при х13 при х23 
12 -6.66·10-3 -6.66·10-3 -1.73·10-6 -2.66·10-4 -6.35·10-3 -3.5·10-8 -3.5·10-8 
13 -3.54·10-3 -3.54·10-3 -6.44·10-6 -5.32·10-5 -6.81·10-4 -1.4·10-7 -1.4·10-7 
 
Продовження табл. 4.10 
№ Результати моделювання 
IC, % MSE, мкм MAPE, % PV, мкм Ra, мкм Тривалість, с 
1 5.736 24.634 3.724 21.241 10.048 87 
2 4.757 20.373 4.764 32.393 12.459 86 
3 5.369 25.84 4.596 28.844 13.495 79 
4 3.661 19.238 3.282 19.938 9.845 69 
5 3.579 19.353 5.584 25.343 16.393 88 
6 5.37 25.481 5.933 27.344 15.382 89 
7 4.732 27.484 6.383 31.484 19.495 74 
8 5.282 28.462 3.585 22.349 10.339 69 
9 3.484 20.342 4.293 17.38 13.291 85 
10 6.381 23.489 4.282 26.384 11.485 86 
11 5.229 22.473 3.484 20.042 10.83 86 
12 6.291 25.387 2.893 22.343 8.383 83 
13 3.457 26.148 2.484 26.384 8.995 79 
СЗ 4.857 27.745 4.177 24.669 12.269 81.5 
 
Продовження табл. 4.10 
№ Прийняте рішення 
Модель абляції Глибина Крок 
абляції сканування 
1 1.213exp(-0.000012·r2)-0.198 1 420 
101 
 
Продовження табл. 4.10 
№ Прийняте рішення 
Модель абляції Глибина Крок 
абляції сканування 
2 1.464exp(-0.000011·r2)-0.258 1.37 403 
3 1.648exp(-0.000012·r2)-0.346 1.14 417 
4 1.638exp(-0.000023·r2)-0.166 1.02 426 
5 1.119exp(-0.000001·r2)-0.172 1.57 389 
6 1.931exp(-0.000008·r2)-0.275 0.9 448 
7 1.648exp(-0.000021·r2)-0.472 1.22 407 
8 2.042exp(-0.000017·r2)-0.372 0.96 437 
9 1.832exp(-0.000013·r2)-0.163 0.93 442 
10 1.648exp(-0.000026·r2)-0.165 1.28 413 
11 1.284exp(-0.000009·r2)-0.277 1.1 417 
12 1.738exp(-0.00001·r2)-0.284 1.14 417 
13 1.493exp(-0.000022·r2)-0.402 1.04 422 
 
Для об’єктивної перевірки точності розрахунків проведемо порівняння 
розробленого методу з вже існуючими методиками, шляхом порівняння середніх 
значень параметрів, що характеризують результати корекції, моделювання яких 
проведено з оптимальними параметрами лазерної системи (табл. 4.11). В табл. 
4.11 приведені дані для аналізу параметрів, що характеризують гладкість поверхні 
в результаті корекції. 
Таким чином, з приведеної таблиці видно, що розроблений метод значно 
поступається в відтворення точної форми поверхні німецькій системі 
«Zeiss-Meditec MEL-70», але є більш точний ніж системи «Микроскан 100». 
Отримані дані свідчать про результативність проведеної роботи, але застосування 
більш складних математичних моделей та ретельніше вивчення оптичних та 
статистичних параметрів системи об’єкту та операції корекції обумовлює 
102 
 
отримання більш точних систем, що показують кращі результати. Однак 
представлений метод є досить інформативним і являється прикладом для розробки 
вітчизняних аналітичних систем в якості альтернативи дорогим іноземним 
програмам. 
Табл. 4.11  
Параметри, що характеризують гладкість поверхні 
Лазерні системи MSE MAPE PV Ra 
«Nidek EC-5000»  (Японія) 28,631 5,368 38,77 16,774 
«Zeiss-Meditec MEL-70» 16,735 2,834 13,82 8,546 
 (Німеччина)  
«Микроскан 100»  (Росія) 31,271 5,458 24,451 15,438 
Розроблений метод 27,745 4.177 24,669 12.269 
 
Отже, можна зазначити, що в результаті порівняльного аналізу розроблена 
система підтримки прийняття рішень показала задовільні результати та являється 
перспективною для використання та впровадження. 
 
Висновок до розділу 4 
Представлена система підтримки прийняття рішень забезпечує виконання 
наступних функцій: 
● Моделювання процесу лазерної корекції оптичних систем. На основі 
приведених математичних моделей можна створити підсистеми прогнозування 
результатів проведення даної операції та підсистеми синтезу оптимальних 
рішень на основі отриманих спостережень. 
● Моделювання критеріїв. За допомогою математичних методів визначається 
описання та правила для автоматичного об’єднання атрибутів, що 
характеризують різні варіанти рішень, що знімає когнітивні обмеження з ОПР 
(особа, що приймає рішення). 
● Інформаційний менеджмент. Збереження, читання та обробка інформації і 
даних. 
103 
 
● Автоматизований аналіз і логічний висновок. Для автоматизації процесу 
логічного висновку використано чисельні методи. 
ВИСНОВКИ 
 
В результаті виконання магістерської кваліфікаційної роботи з 
удосконалення структури системи для лазерної корекції оптичних систем 
отримані наступні основні результати: 
1. Запропоновано вдосконалення структури системи для лазерної корекції 
аномалій оптичної поверхні, що призводить до збільшення точності керування 
системою за рахунок зменшення кількості рухомих елементів та застосуванні 
акустооптичного модулятору, та збільшення точності корекції форми поверхні 
за рахунок зменшення діаметру світлової плями. 
2. Розроблено математичну модель процесу абляції, що надає можливість 
аналітичного опису результатів видалення речовини ексимерлазерним 
випромінюванням. 
3. Запропоновано спосіб переміщення скануючого лазерного випромінювання 
вздовж спіральної або кільцевої траєкторії, центр якої розміщений в найвищій 
точці області сканування. Даний метод дозволяє зменшити тепловий вплив 
лазерного випромінювання на речовину за рахунок рівномірного розподілу 
енергії. 
4. Спроектовано та розроблено систему підтримки прийняття рішень, що 
призначена для оптимізації пошуку найкращих параметрів лазерної системи на 
основі методів системного аналізу. 
5. Проведено програмну реалізацію системи підтримки прийняття рішень, що 
надає можливість провести моделювання процесу операції, кількісно оцінити 
результати корекції, визначити оптимальні параметри лазерної системи та 
створити базу даних для запису результатів дослідження. 
В цілому виконані дослідження можуть служити основою для подальших 
досліджень з питання удосконалення методів та засобів корекції оптичних систем. 
 
104 
 
РЕКОМЕНДАЦІЇ 
Розроблена система підтримки прийняття рішень, що призначена для 
визначення оптимальних параметрів лазерної системи на основі методів 
статистичного аналізу та теорії прийняття рішення в нечітких умовах, призначена 
для впровадження в розробку при програмному проектуванні підтримки лазерних 
систем. Розроблена система представляє собою модуль, що може підключатися до 
програмного забезпечення лазерної системи не впливаючи на результати корекції. 
Дана система забезпечує інформаційну підтримку та обробку аналітичних даних 
та призначена для допомоги кваліфікованому спеціалісту в процесі прийняття 
рішення.  
Основною перспективою покращення розробленої системи є використання 
бази даних, що формується системою в процесі роботи. На основі цих даних 
можлива розробка нейронної мережі, що при визначенні залежності від вхідних 
параметрів форми оптичних об’єктів та оптимальних параметрів сканування, 
надасть можливість виключити процес моделювання операції корекції.   
105 
 
СПИСОК ВИКОРИСТАННИХ ДЖЕРЕЛ 
 
1. Machat J. Excimer laser refractive surgery – practice and principles // In: Machat 
J., Slade S. The art of LASIK. – 1-st ed. SLACK Inc. – Thorofare,  1996. – p. 540. 
2. Lucien D. Laude Scientific Affairs Division Excimer lasers. – Springer, 1994. – p. 
495 
3. Munnerlyn C., Koons S., Marshall J. Photorefractive keratectomy: a technique for 
laser refractive surgery // Cataract Refract Surg. – 1988. – Jan;14(1) – р. 46-52 
4. Mihai Pop Risk factorsfor night vision complaints after LASIK for myopia // 
Ophthalmology. 2004 – №1 – p. 3-10 
5. O'Donnel F., Tang F., Han X. et al. PRK ablation zone anatomy // Book of abstract 
American Society of Cataract and Refractive Surgery Meeting. – 1995. – p. 
145-152 
6. Schwiegerling J. LASIK and beyond // Optcs & Photonics New. – 2002 – № 7 – р. 
30-33 
7. Liang F., Geasey S., Cerro M., Aquavella J. A new procedure for evaluating 
smoothness of corneal surface following 193-nm excimer laser ablation //  Refract 
and Corneal Surg. – 1992. – vol. 8. – p. 459-465. 
8. Velasko J., Setser D. Bound-free emission spectra of diatomic xenon halides II J. 
Chem. Phys. - 1975. -vol. 62.-p. 1990-1991. 
9. Schwind eye-tech-solutions GmbH & Co. KG Excimer Laser Esiris. User Manual. 
– Version 2.01, 2002. – 82 p. 
10. Одарич В.А. Основи та методи теорії розрахунку оптичних систем. Частина 
ІІ. Оптичні системи та їх елементи: Навч. посібник. – К.: 
Видавничо-поліграфічний центр «Київський університет», 2002. – 291 с 
11. Заявка на винахід u 201101234, A61 F9 /00 Пристрій для лазерної корекції, 
Левандовська І.В., Максимчук І.В., дата подання 04.02.2011 
12. Taboado J., Archibald C.J. An extreme sensitivity in the cornel epithelium to far 
UV ArF excimer laser pulse // Proceeding og the Aerospase Medical Association. 
San Antonio, Tex., - 1981. 
106 
 
13. Srinivasan R., Sutcliffe E. Dynamic of the ultraviolet laser ablation of the cornea // 
Am. J. Ophthalmol. – 1987. – vol. 103. – p.470-471 
14. Kruger R., Trokel S. Quantitation of corneal ablation by ultraviolet laser light // 
Arch. Ophthalmol. – 1985. – vol. 103. – p.1741-1742 
15. Trabucchi G., Brancato R., Verdi M. et. Al. Corneal nerve damage and 
regeneration after excimer laser PRK in rabbit eyes // Invest. Ophthalmol. Vis. Sci. 
– 1994.- vol. 35. – N 1. – p. 229-235 
16. Argento C., Valenzuela G., Huck H. et al. Smoothness of ablation on acrylic by 
four different excimer lasers //  Refract. Surg. – 2001. – vol. 17. – p.43-45. 
17. Bende Т., Seiler Т., Wollensak J. Side effects in excimer corneal surgery: corneal 
thermal gradients // Arch. Clin. Exp. Ophthalmol. – 1988. – vol. 226. – p. 277-280 
18. Munnerlyn C., Koons S., Marshall J. PRK: a technique for laser refractive surgery 
// Cataract Refract. Surg. – 1988. – vol. 14. – p. 46-52. 
19. Miller C. Laser ablation: principles and applications. – Springer Verlag, 1994. – p. 
187 
20. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы – М.: 
«Наука», 1987 г. – 630 с. 
21. Левандовська І.В. Метод випадкового пошуку оптимуму зі змінним радіусом 
пошуку // Вісник НТУУ «КПІ». Серія приладобудування. – 2009. – Вип. 37. – 
122-128 с. 
22. Черняхівський В.В. Delphi 4: сучасна технологія візуального програмування. 
– Львів, БаК, 1999. – 196 с. 
23. Peter S. Hersh, Michael D. Hersh Wagoner Excimer laser surgery for corneal 
disorders. – Thieme, 1998. – p. 161 
24. Anthony C. Arnold Basic Principles of Ophthalmic Surgery. – American Academy 
of Ophthalmology, 2006. – p. 237 
107 
 
Додаток А 
Алгоритм системи підтримки прийняття рішень 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ні                                перевірка 
                         на можливість 
                         корекції                             ні                                умови 
так                                                                                                  проведення 
                                                                                                        абляції 
                                                                         так 
 
 
 ні                               перевірка 
                         на адекватність 
                         моделі                                    
так                                                                     ні 
                                                                                                         умови 
                                                                                                         зупинки 
                                                                              так                      корекції 
 
 
 
 
  
                                                                       ні                            перевірка 
                                                                                                      моделі на 
                                                                                                     адекватність 
                                                                              так 
 
 
 
 
 
 
 
 
108 
 
 
Додаток Б 
Лістинг програмного коду системи підтримки прийняття рішень 
unit Unit1; 
interface 
uses 
  Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms, 
  Dialogs, StdCtrls, Grids, Menus, ExtCtrls, jpeg; 
type 
  TForm1 = class(TForm) 
    Button1: TButton;    StringGrid1: TStringGrid;    Label1: TLabel; 
    OpenDialog1: TOpenDialog;    Button2: TButton;    Label2: TLabel; 
    StringGrid2: TStringGrid;    Button4: TButton;    Image1: TImage;    Button5: TButton; 
    GroupBox2: TGroupBox;    Memo1: TMemo;    Bevel2: TBevel;    Bevel3: TBevel; 
    Label3: TLabel;    Label4: TLabel;    Label5: TLabel;    Label6: TLabel;    Label7: TLabel; 
    Label8: TLabel;    Label9: TLabel;    Label10: TLabel;    Label11: TLabel;    Label12: TLabel; 
    Label13: TLabel;    Edit1: TEdit;    Edit2: TEdit;    Edit3: TEdit;    Edit4: TEdit;    Edit5: TEdit; 
    Edit6: TEdit;    Edit7: TEdit;    Edit8: TEdit;    Edit9: TEdit;    GroupBox1: TGroupBox; 
    Bevel4: TBevel;    Label14: TLabel;    Button3: TButton;    Label15: TLabel; 
    Label16: TLabel; 
    procedure Button1Click(Sender: TObject); 
    procedure Button2Click(Sender: TObject); 
    procedure Button3Click(Sender: TObject); 
    procedure Button4Click(Sender: TObject); 
    procedure Button5Click(Sender: TObject); 
  private 
    { Private declarations } 
  public 
    { Public declarations } 
     aa: array [0..100,0..100] of real; 
     e:array[1..8] of real; 
  end; 
 
var 
  Form1: TForm1; 
 
implementation 
uses Unit2, Unit3, Unit4; 
 
var fail,fail1:text; 
{$R *.dfm} 
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject); 
var st:string; 
    i,j:integer; 
begin 
if  OpenDialog1.Execute then 
   st:=OpenDialog1.FileName; 
AssignFile(fail,st); 
reset(fail); 
for i:=0 to 100 do 
   begin 
   for j:=0 to 100 do 
      begin 
        read(fail,aa[i,j]); 
        StringGrid1.Cells[j+1,i+1]:=FloatToStr(aa[i,j]); 
      end; 
   StringGrid1.Cells[0,i+1]:=IntToStr(i); 
   StringGrid1.Cells[i+1,0]:=IntToStr(i); 
   readln(fail); 
   end; 
109 
 
closefile(fail); 
end; 
procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject); 
var st:string; 
    i,j:integer; 
begin 
if  OpenDialog1.Execute then 
   st:=OpenDialog1.FileName; 
AssignFile(fail,st); 
reset(fail); 
for i:=0 to 100 do 
   begin 
   for j:=0 to 100 do 
      begin 
        read(fail,b); 
        StringGrid2.Cells[j+1,i+1]:=FloatToStr(b); 
      end; 
   StringGrid2.Cells[0,i+1]:=IntToStr(i); 
   StringGrid2.Cells[i+1,0]:=IntToStr(i); 
   readln(fail); 
   end; 
closefile(fail); 
end; 
procedure TForm1.Button3Click(Sender: TObject); 
begin 
Image1.Visible:=true; 
Label14.Visible:=True; 
Button5.Visible:=True; 
end; 
procedure TForm1.Button4Click(Sender: TObject); 
begin 
  Form2.ShowModal; 
  Form1.Close; 
end; 
procedure TForm1.Button5Click(Sender: TObject); 
  procedure toc(x:integer;y:integer); 
  const kof=2; 
    begin 
      Canvas.Pen.Width:= kof; 
      Canvas.MoveTo(Image1.Left+53+x*kof,y*kof+38+Image1.Top); 
      Canvas.LineTo(Image1.Left+53+x*kof+kof,38+Image1.Top+y*kof); 
    end; 
var i,j:integer; 
    Max,b,c:real; 
    t:array [1..15] of real; 
begin 
Label3.Visible:=true; Label4.Visible:=true;Bevel2.Visible:=true; Bevel3.Visible:=true; 
Label5.Visible:=true; Label6.Visible:=true; Label7.Visible:=true; Label15.Visible:=true; 
Label8.Visible:=true; Label9.Visible:=true; Label10.Visible:=true; Label16.Visible:=true; 
Label11.Visible:=true; Label12.Visible:=true; Label13.Visible:=true; Button4.Visible:=true; 
Edit1.Visible:=true; Edit2.Visible:=true; Edit3.Visible:=true; 
Edit4.Visible:=true; Edit5.Visible:=true; Edit6.Visible:=true; 
Edit7.Visible:=true; Edit8.Visible:=true; Edit9.Visible:=true; 
Button3.Visible:=false; Button5.Visible:=false; GroupBox1.Visible:=false; 
for i:=0 to 100 do 
  for j:=0 to 100 do 
    if ((i-50)*(i-50)+(j-50)*(j-50))<=2500 then 
      begin 
      Canvas.Pen.Color := RGB(225,225,225); 
      if (aa[i,j]>0) and (aa[i,j]<=270) then  Canvas.Pen.Color := RGB(255-round(aa[i,j]*0.6148),85,255); 
      if (aa[i,j]>270) and (aa[i,j]<=540) then  Canvas.Pen.Color := RGB(0,85,255-round((aa[i,j]-270)*0.9259)); 
      if (aa[i,j]>540) and (aa[i,j]<=810) then  Canvas.Pen.Color := RGB(0,85+round((aa[i,j]-540)*0.6296),0); 
110 
 
      if (aa[i,j]>810) and (aa[i,j]<=1080) then  Canvas.Pen.Color := RGB(round((aa[i,j]-810)*0.9259),255,0); 
      if (aa[i,j]>1080) and (aa[i,j]<=1600) then  Canvas.Pen.Color := RGB(255,255-round((aa[i,j]-1080)*0.4722),0); 
      toc(i,j); 
      end; 
Max:=-100000; 
for i:=0 to 100 do 
   for j:=0 to 100 do 
     if Max<=aa[i,j] then 
        Max:=aa[i,j]; 
AssignFile(fail,'D:\DD\Z.txt'); 
rewrite(fail); 
for i:=1 to 99 do 
  for j:=1 to 99 do 
    begin 
      b:=(aa[i+1,j]-aa[i,j])/90; 
      c:=(aa[i,j+1]-aa[i,j])/90; 
      write(fail,b:2:3,' ');  write(fail,c:2:3,' '); 
    end; 
CloseFile(fail); 
AssignFile(fail,'D:\DD\H.txt'); 
reset(fail); 
for i:=1 to 7 do 
  begin 
    AssignFile(fail1,'D:\DD\Z.txt'); 
    reset(fail1); 
    e[i]:=0; 
    for j:=1 to 19602 do 
      begin 
        read(fail,b); 
        read(fail1,c); 
        e[i]:=e[i]+b*c; 
      end; 
   readln(fail); 
   CloseFile(fail1); 
  end; 
GroupBox2.Visible:=true; 
e[8]:=Max; 
Memo1.Text:='F(x1,x2)=x1*('+FloatToStr(e[1])+')+x2*('+FloatToStr(e[2])+')+x1*x2*('+FloatToStr(e[3])+')+x1^2*('+Float
ToStr(e[4]); 
Memo1.Text:=Memo1.Text+')+x2^2*('+FloatToStr(e[5])+')+x1^3*('+FloatToStr(e[6])+')+x2^3*('+FloatToStr(e[7])+')+('+F
loatToStr(e[8])+')'; 
CloseFile(fail); 
AssignFile(fail,'D:\DD\Z.txt'); 
Rewrite(fail); 
for i:=1 to 25 do 
  for j:=0 to 90 do 
    begin 
      b:=i*180*cos(j*0.0174);  c:=i*180*sin(j*0.0174); 
      t[9]:=b*e[1]+c*e[2]+b*c*e[3]+b*b*e[4]+c*c*e[5]; 
      t[9]:=t[9]+sqr(b)*b*e[6]+sqr(c)*c*e[7]; 
      t[10]:=b*t[1]+c*t[2]+b*c*t[3]+b*b*t[4]+c*c*t[5]+sqr(b)*b*t[6]+sqr(c)*c*t[7]; 
      c:=c+90; 
      t[11]:=b*e[1]+c*e[2]+b*c*e[3]+b*b*e[4]+c*c*e[5]; 
      t[11]:=t[1]+sqr(b)*b*e[6]+sqr(c)*c*e[7]; 
      t[12]:=b*t[1]+c*t[2]+b*c*t[3]+b*b*t[4]+c*c*t[5]+sqr(b)*b*t[6]+sqr(c)*c*t[7]; 
      t[13]:=((t[11]-t[12])-(t[9]-t[10]))/90; 
      write(fail,t[13]:2:3,' '); 
      c:=c-90;  b:=b+90; 
      t[11]:=b*e[1]+c*e[2]+b*c*e[3]+b*b*e[4]+c*c*e[5]; 
      t[11]:=t[1]+sqr(b)*b*e[6]+sqr(c)*c*e[7]; 
      t[12]:=b*t[1]+c*t[2]+b*c*t[3]+b*b*t[4]+c*c*t[5]+sqr(b)*b*t[6]+sqr(c)*c*t[7]; 
      t[13]:=((t[11]-t[12])-(t[9]-t[10]))/90; 
111 
 
      write(fail,t[13]:2:3,' '); 
      end; 
CloseFile(fail); 
AssignFile(fail,'D:\DD\HC.txt'); 
reset(fail); 
for i:=1 to 9 do 
  begin 
    t[i]:=0; 
    AssignFile(fail1,'D:\DD\Z.txt'); 
    reset(fail1); 
    for j:=1 to 4550 do 
      begin 
        read(fail,b); read(fail1,c); 
        t[i]:=t[i]+b*c; 
      end; 
    readln(fail); CloseFile(fail1); 
  end; 
Edit1.Text:=FloatToStr(t[1]); Edit2.Text:=FloatToStr(t[2]); Edit3.Text:=FloatToStr(t[3]); 
Edit4.Text:=FloatToStr(t[4]); Edit5.Text:=FloatToStr(t[5]); Edit6.Text:=FloatToStr(t[6]); 
Edit7.Text:=FloatToStr(t[7]); Edit8.Text:=FloatToStr(t[8]); Edit9.Text:=FloatToStr(t[9]); 
AssignFile(fail,'D:\DD\C.txt'); 
rewrite(fail); 
for i:=1 to 9 do 
  writeln(fail,t[i]:2:12); 
CloseFile(fail); 
end; 
end. 
unit Unit2; 
interface 
uses 
  Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms, 
  Dialogs, jpeg, ExtCtrls, StdCtrls; 
type 
  TForm2 = class(TForm) 
    Button1: TButton;    Button3: TButton;    Bevel1: TBevel;    Image1: TImage; 
    Bevel2: TBevel;    Label1: TLabel;   Label2: TLabel;    Label3: TLabel;    Label4: TLabel; 
    Bevel3: TBevel;    Image3: TImage;    Label5: TLabel;    Label6: TLabel;    Image2: TImage; 
    Image4: TImage;    Image5: TImage;    Image6: TImage;    Label7: TLabel;    Label8: TLabel; 
    Label9: TLabel;    Label10: TLabel;    Label11: TLabel;    Label12: TLabel; 
    Label13: TLabel;    Edit1: TEdit;    Edit2: TEdit;    Edit3: TEdit;    Edit4: TEdit; 
    Label14: TLabel;    Label15: TLabel;    Label16: TLabel;    Edit5: TEdit;    Edit6: TEdit; 
    Panel1: TPanel;    Button2: TButton; 
    procedure Button1Click(Sender: TObject); 
    procedure Button3Click(Sender: TObject); 
    procedure Button2Click(Sender: TObject); 
  private 
  public 
        bb1,bb2,bb3:array[0..100,0..100] of real; 
  end; 
var 
  Form2: TForm2; 
implementation 
uses Unit1,Unit3,Unit4; 
var fail,fail1:text; 
procedure TForm2.Button1Click(Sender: TObject); 
  procedure toc(x:integer;y:integer); 
  const kof=2; 
    begin 
      Canvas.Pen.Width:= kof; 
      Canvas.MoveTo(65+x*kof,y*kof+77); 
      Canvas.LineTo(65+x*kof+kof,y*kof+77); 
    end; 
112 
 
var i,j:integer; 
    Max,b,c:real; 
begin 
Button2.Visible:=true;  
Edit4.Text:='H(r)=1.758*exp(-0.0000139*r^2)-0.198'; 
Edit5.Text:='H(r)=1.213*exp(-0.000012*r^2)-0.198'; 
Edit6.Text:='H(r)=0.98*exp(-0.00001*r^2)-0.198'; 
Edit1.Text:='412'; Edit2.Text:='420'; Edit3.Text:='447'; 
AssignFile(fail,'D:\DD\E.txt'); 
reset(fail); 
for i:=0 to 100 do 
  begin 
    for j:=0 to 100 do 
      begin 
        read(fail,b); 
        bb1[i,j]:=Form1.aa[i,j]-b; 
        bb2[i,j]:=bb1[i,j]; bb3[i,j]:=bb1[i,j]; 
      end; 
    readln(fail); 
  end; 
for i:=0 to 100 do 
  for j:=0 to 100 do 
    if ((i-50)*(i-50)+(j-50)*(j-50))<=2500 then 
      begin 
      Canvas.Pen.Color := RGB(225,225,225); 
        if (bb1[i,j]>0) and (bb1[i,j]<=100) then  Canvas.Pen.Color := RGB(130,30,180+round(bb1[i,j]*0.75)); 
        if (bb1[i,j]>100) and (bb1[i,j]<=200) then  Canvas.Pen.Color := RGB(130-round((bb1[i,j]-100)),30,255); 
        if (bb1[i,j]>200) and (bb1[i,j]<=300) then  Canvas.Pen.Color := RGB(30,30+round((bb1[i,j]-200)*0.6),255); 
        if (bb1[i,j]>300) and (bb1[i,j]<=400) then  Canvas.Pen.Color := RGB(30,90+round((bb1[i,j]-300)*0.8),255); 
        if (bb1[i,j]>400) and (bb1[i,j]<=500) then  Canvas.Pen.Color := RGB(30,170+round((bb1[i,j]-400)*0.378),255); 
      toc(i-1,j-7);  toc(i+319,j-7); toc(i+127,j+165); 
      end; 
end; 
procedure TForm2.Button3Click(Sender: TObject); 
begin 
  Form3.ShowModal; 
  Form2.Close; 
end; 
procedure TForm2.Button2Click(Sender: TObject); 
  procedure toc(x:integer;y:integer); 
  const kof=2; 
    begin 
      Canvas.Pen.Width:= kof; 
      Canvas.MoveTo(65+x*kof,y*kof+77); 
      Canvas.LineTo(65+x*kof+kof,y*kof+77); 
    end; 
var i,j,l,k:integer; 
    c:real; 
begin 
c:=0; 
repeat 
if c<230 then 
  begin 
    for i:=0 to 24 do 
       for j:=0 to 24 do 
        if bb1[i*4,j*4]>=1.25 then 
          for k:=(i*4-4) to (i*4+4) do 
            for l:=(j*4-4) to (j*4+4) do 
              if (k>=0) and (l>=0) then 
                  bb1[k,l]:=bb1[k,l]+p[(k-(i*4-4)+1),(l-(j*4-4)+1)]; 
  i:=100; 
  for j:=0 to 24 do 
113 
 
    if bb1[i,j*4]>=1.25 then 
      for k:=(i-4) to (i+4) do 
        for l:=(j*4-4) to (j*4+4) do 
          if (k>=0) and (l>=0) and (k<=100) then 
              bb1[k,l]:=bb1[k,l]+p[(k-(i-4)+1),(l-(j*4-4)+1)]; 
  end; 
if c<270 then 
  begin 
    for i:=0 to 24 do 
       for j:=0 to 24 do 
        if bb2[i*4,j*4]>=1.25 then 
          for k:=(i*4-4) to (i*4+4) do 
            for l:=(j*4-4) to (j*4+4) do 
              if (k>=0) and (l>=0) then 
                  bb2[k,l]:=bb2[k,l]+q[(k-(i*4-4)+1),(l-(j*4-4)+1)]; 
  i:=100; 
  for j:=0 to 24 do 
    if bb2[i,j*4]>=1.25 then 
      for k:=(i-4) to (i+4) do 
        for l:=(j*4-4) to (j*4+4) do 
          if (k>=0) and (l>=0) and (k<=100) then 
              bb2[k,l]:=bb2[k,l]+q[(k-(i-4)+1),(l-(j*4-4)+1)]; 
  end; 
    for i:=0 to 24 do 
       for j:=0 to 24 do 
        if bb3[i*4,j*4]>=1.25 then 
          for k:=(i*4-4) to (i*4+4) do 
            for l:=(j*4-4) to (j*4+4) do 
              if (k>=0) and (l>=0) then 
                  bb3[k,l]:=bb3[k,l]+t[(k-(i*4-4)+1),(l-(j*4-4)+1)]; 
  i:=100; 
  for j:=0 to 24 do 
    if bb3[i,j*4]>=1.25 then 
      for k:=(i-4) to (i+4) do 
        for l:=(j*4-4) to (j*4+4) do 
          if (k>=0) and (l>=0) and (k<=100) then 
              bb3[k,l]:=bb3[k,l]+t[(k-(i-4)+1),(l-(j*4-4)+1)]; 
 
if frac(c/10)=0  then 
  for i:=0 to 100 do 
    for j:=0 to 100 do 
      if ((i-50)*(i-50)+(j-50)*(j-50))<=2500 then 
        begin 
        Canvas.Pen.Color := RGB(225,225,225); 
        if (bb1[i,j]>0) and (bb1[i,j]<=100) then  Canvas.Pen.Color := RGB(130,30,180+round(bb1[i,j]*0.75)); 
        if (bb1[i,j]>100) and (bb1[i,j]<=200) then  Canvas.Pen.Color := RGB(130-round((bb1[i,j]-100)),30,255); 
        if (bb1[i,j]>200) and (bb1[i,j]<=300) then  Canvas.Pen.Color := RGB(30,30+round((bb1[i,j]-200)*0.6),255); 
        if (bb1[i,j]>300) and (bb1[i,j]<=400) then  Canvas.Pen.Color := RGB(30,90+round((bb1[i,j]-300)*0.8),255); 
        if (bb1[i,j]>400) and (bb1[i,j]<=500) then  Canvas.Pen.Color := RGB(30,170+round((bb1[i,j]-400)*0.378),255); 
        if c<230 then toc(i-1,j-7); 
        if (bb2[i,j]>0) and (bb2[i,j]<=100) then  Canvas.Pen.Color := RGB(130,30,180+round(bb2[i,j]*0.75)); 
        if (bb2[i,j]>100) and (bb2[i,j]<=200) then  Canvas.Pen.Color := RGB(130-round((bb2[i,j]-100)),30,255); 
        if (bb2[i,j]>200) and (bb2[i,j]<=300) then  Canvas.Pen.Color := RGB(30,30+round((bb2[i,j]-200)*0.6),255); 
        if (bb2[i,j]>300) and (bb2[i,j]<=400) then  Canvas.Pen.Color := RGB(30,90+round((bb2[i,j]-300)*0.8),255); 
        if (bb2[i,j]>400) and (bb2[i,j]<=500) then  Canvas.Pen.Color := RGB(30,170+round((bb2[i,j]-400)*0.378),255); 
        if c<270 then toc(i+319,j-7); 
        if (bb3[i,j]>0) and (bb3[i,j]<=100) then  Canvas.Pen.Color := RGB(130,30,180+round(bb3[i,j]*0.75)); 
        if (bb3[i,j]>100) and (bb3[i,j]<=200) then  Canvas.Pen.Color := RGB(130-round((bb3[i,j]-100)),30,255); 
        if (bb3[i,j]>200) and (bb3[i,j]<=300) then  Canvas.Pen.Color := RGB(30,30+round((bb3[i,j]-200)*0.6),255); 
        if (bb3[i,j]>300) and (bb3[i,j]<=400) then  Canvas.Pen.Color := RGB(30,90+round((bb3[i,j]-300)*0.8),255); 
        if (bb3[i,j]>400) and (bb3[i,j]<=500) then  Canvas.Pen.Color := RGB(30,170+round((bb3[i,j]-400)*0.378),255); 
        toc(i+127,j+165); 
114 
 
        end; 
c:=c+1; 
until c>370; 
Panel1.Visible:=true; Button3.Visible:=true; Button1.Visible:=false; Button2.Visible:=false;   
end; 
end. 
 
unit Unit3; 
interface 
uses 
  Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms, 
  Dialogs, StdCtrls, ExtCtrls, jpeg, Grids; 
type 
  TForm3 = class(TForm) 
    Button1: TButton;    Button2: TButton;    StringGrid1: TStringGrid;    Label1: TLabel; 
    GroupBox2: TGroupBox;    Bevel2: TBevel;    Label2: TLabel;    Edit1: TEdit; 
    Label3: TLabel;    Edit2: TEdit;    Label4: TLabel;    Edit3: TEdit;    Image1: TImage; 
    Label5: TLabel;    SaveDialog1: TSaveDialog; 
    procedure FormCreate(Sender: TObject); 
    procedure Button2Click(Sender: TObject); 
    procedure Button1Click(Sender: TObject); 
  private 
  public 
      dd: array[0..100,0..100] of real; 
  end; 
var 
  Form3: TForm3; 
implementation 
uses Unit1,Unit2,Unit4; 
Var fail,fail1:text; 
procedure TForm3.FormCreate(Sender: TObject); 
begin 
StringGrid1.Cells[1,0]:=' Модель 1'; 
StringGrid1.Cells[2,0]:=' Модель 2'; 
StringGrid1.Cells[3,0]:=' Модель 3'; 
StringGrid1.Cells[0,0]:='Параметри'; 
StringGrid1.Cells[0,1]:='IC'; StringGrid1.Cells[0,2]:='MSE'; StringGrid1.Cells[0,3]:='MAPE'; 
StringGrid1.Cells[0,4]:='PV'; StringGrid1.Cells[0,5]:='Ra'; StringGrid1.Cells[0,6]:='T'; 
StringGrid1.Cells[0,7]:='C_1'; StringGrid1.Cells[0,8]:='C_2'; StringGrid1.Cells[0,9]:='C_3'; 
StringGrid1.Cells[0,10]:='C_4'; StringGrid1.Cells[0,11]:='C_5';StringGrid1.Cells[0,12]:='C_6'; 
StringGrid1.Cells[0,13]:='C_7'; StringGrid1.Cells[0,14]:='C_8'; StringGrid1.Cells[0,15]:='C_9'; 
end; 
procedure TForm3.Button2Click(Sender: TObject); 
  procedure toc(x:integer;y:integer); 
  const kof=2; 
    begin 
      Canvas.Pen.Width:= kof; 
      Canvas.MoveTo(65+x*kof,y*kof+77); 
      Canvas.LineTo(65+x*kof+kof,y*kof+77); 
    end; 
var i,j:integer; 
    d:array [0..100,0..100] of real; 
begin 
AssignFile(fail,'D:\DD\E.txt'); 
reset(fail); 
for i:=0 to 100 do 
  begin 
    for j:=0 to 100 do 
      read(fail,d[i,j]); 
  readln(fail); 
  end; 
CloseFile(fail); 
115 
 
for i:=0 to 100 do 
  for j:=0 to 100 do 
    if ((i-50)*(i-50)+(j-50)*(j-50))<=2500 then 
      begin 
      Canvas.Pen.Color := RGB(225,225,225); 
      if (d[i,j]>0) and (d[i,j]<=270) then  Canvas.Pen.Color := RGB(255-round(d[i,j]*0.6148),85,255); 
      if (d[i,j]>270) and (d[i,j]<=540) then  Canvas.Pen.Color := RGB(0,85,255-round((d[i,j]-270)*0.9259)); 
      if (d[i,j]>540) and (d[i,j]<=810) then  Canvas.Pen.Color := RGB(0,85+round((d[i,j]-540)*0.6296),0); 
      if (d[i,j]>810) and (d[i,j]<=1080) then  Canvas.Pen.Color := RGB(round((d[i,j]-810)*0.9259),255,0); 
      if (d[i,j]>1080) and (d[i,j]<=1600) then  Canvas.Pen.Color := RGB(255,255-round((d[i,j]-1080)*0.4722),0); 
      toc(i+266,j+38); 
      end; 
end; 
procedure TForm3.Button1Click(Sender: TObject); 
var st:string; 
    i,j:integer; 
  begin 
    if SaveDialog1.Execute then 
       st:=SaveDialog1.FileName; 
    AssignFile(fail,st); 
    rewrite(fail); 
    for i:=0 to 100 do 
       begin 
         for j:=0 to 100 do 
           write(fail,Form1.aa[i,j]:2:3,' '); 
         writeln(fail); 
       end; 
    closefile(fail); 
  end; 
end. 
program Project1; 
uses 
  Forms, 
  Unit1 in 'Unit1.pas' {Form1}, 
  Unit2 in 'Unit2.pas' {Form2}, 
  Unit3 in 'Unit3.pas' {Form3}, 
{$R *.res} 
begin 
  Application.Initialize; 
  Application.CreateForm(TForm1, Form1); 
  Application.CreateForm(TForm2, Form2); 
  Application.CreateForm(TForm3, Form3); 
  Application.Run; 
end. 
 
116 
 
Додаток В 
Вхідні розрахункові дані 
Табл. В.1 
Параметри, що характеризують оптичну поверхню 
Х1  Х2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
0 -2124 -2033 -1945 -1860 -1779 -1701 -1626 -1554 -1484 -1417 -1352 
1 -2033 -1943 -1857 -1774 -1694 -1618 -1544 -1473 -1404 -1338 -1274 
2 -1945 -1857 -1772 -1691 -1613 -1537 -1464 -1394 -1327 -1262 -1199 
3 -1860 -1774 -1691 -1611 -1534 -1460 -1388 -1319 -1252 -1188 -1126 
4 -1762 -1694 -1613 -1534 -1458 -1385 -1314 -1246 -1181 -1117 -1056 
5 -1671 -1618 -1537 -1460 -1385 -1313 -1243 -1176 -1111 -1049 -988 
6 -1583 -1544 -1464 -1388 -1314 -1243 -1174 -1108 -1044 -982 -923 
7 -1498 -1473 -1394 -1319 -1246 -1176 -1108 -1043 -980 -919 -860 
8 -1484 -1388 -1327 -1252 -1181 -1111 -1044 -980 -917 -857 -798 
9 -1348 -1308 -1262 -1188 -1117 -1049 -982 -919 -857 -797 -739 
10 -1270 -1230 -1199 -1116 -1056 -988 -923 -860 -798 -739 -682 
11 -1195 -1155 -1121 -1044 -997 -930 -865 -803 -742 -684 -627 
12 -1122 -1082 -1048 -973 -940 -874 -810 -748 -688 -630 -574 
13 -1051 -1011 -978 -905 -877 -820 -756 -695 -636 -578 -523 
14 -982 -942 -910 -838 -810 -762 -705 -644 -585 -528 -473 
15 -916 -875 -844 -774 -745 -697 -655 -595 -536 -480 -425 
16 -851 -810 -780 -711 -682 -635 -590 -546 -489 -433 -379 
17 -789 -747 -717 -650 -621 -574 -530 -486 -444 -388 -335 
18 -728 -686 -657 -592 -561 -515 -471 -428 -386 -345 -292 
19 -669 -627 -598 -534 -504 -458 -415 -372 -330 -291 -250 
20 -612 -570 -541 -479 -448 -403 -360 -317 -276 -237 -198 
21 -557 -514 -486 -425 -393 -349 -306 -264 -223 -184 -146 
22 -504 -460 -432 -373 -341 -296 -254 -213 -172 -133 -95 
23 -452 -407 -380 -322 -290 -246 -204 -163 -122 -84 -46 
24 -402 -357 -330 -274 -240 -196 -155 -114 -74 -36 2 
25 -353 -308 -281 -226 -192 -149 -107 -67 -27 11 48 
26 -306 -260 -234 -180 -146 -103 -62 -21 18 56 93 
27 -261 -214 -189 -136 -101 -58 -17 23 62 99 136 
28 -217 -170 -144 -93 -57 -15 26 66 104 142 178 
29 -175 -127 -102 -52 -15 27 67 107 146 183 219 
30 -134 -85 -60 -12 26 68 108 147 185 222 258 
31 -94 -45 -21 27 65 107 146 185 224 260 296 
32 -56 -6 18 64 103 144 184 223 261 297 333 
33 -20 31 55 99 139 181 220 259 297 333 368 
34 11 67 90 134 175 216 255 293 331 367 403 
35 15 60 104 147 189 229 269 307 345 381 417 
36 28 73 117 160 202 242 282 320 358 394 429 
37 41 86 129 172 214 254 294 332 369 406 441 
117 
 
  Х2
Х1  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
38 52 97 141 183 225 265 305 343 380 417 452 
39 62 107 151 194 235 276 315 353 390 427 462 
40 62 107 151 194 235 276 315 353 400 436 471 
41 72 117 160 203 244 285 324 362 408 444 479 
42 81 125 169 211 253 293 333 371 415 452 487 
43 88 133 177 219 260 301 340 378 422 458 493 
44 95 140 183 226 267 307 347 385 428 464 499 
45 101 146 189 232 273 313 352 390 432 469 504 
46 106 151 194 236 278 318 357 395 436 472 508 
47 110 155 198 240 282 322 361 399 439 475 511 
48 113 158 201 244 285 325 364 402 442 478 513 
49 115 160 203 246 287 327 366 404 443 479 514 
50 117 161 205 247 288 329 368 406 443 479 514 
51 117 162 205 248 289 329 368 406 443 479 514 
52 117 161 205 247 288 329 368 406 442 478 513 
53 115 160 203 246 287 327 366 404 439 475 511 
54 113 158 201 244 285 325 364 402 436 472 508 
55 110 155 198 240 282 322 361 399 432 469 504 
56 106 151 194 236 278 318 357 395 428 464 499 
57 101 146 189 232 273 313 352 390 422 458 493 
58 95 140 183 226 267 307 347 385 415 452 487 
59 88 133 177 219 260 301 340 378 408 444 479 
60 81 125 169 211 253 293 333 371 400 436 471 
61 72 117 160 203 244 285 324 362 390 427 462 
62 62 107 151 194 235 276 315 353 380 417 452 
63 52 97 141 183 225 265 305 343 369 406 441 
64 41 86 129 172 214 254 294 332 358 394 429 
65 28 73 117 160 202 242 282 320 345 381 417 
66 15 60 104 147 189 229 269 307 331 367 403 
67 2 67 90 134 175 216 255 293 297 333 368 
68 -33 31 55 99 139 181 220 259 261 297 333 
69 -69 -6 18 64 103 144 184 223 224 260 296 
70 -107 -45 -21 27 65 107 146 185 185 222 258 
71 -147 -85 -60 -12 26 68 108 147 146 183 219 
72 -188 -127 -102 -52 -15 27 67 107 104 142 178 
73 -230 -170 -144 -93 -57 -15 26 66 62 99 136 
74 -274 -214 -189 -136 -101 -58 -17 23 18 56 93 
75 -319 -260 -234 -180 -146 -103 -62 -21 -27 11 48 
76 -366 -308 -281 -226 -192 -149 -107 -67 -74 -36 2 
77 -415 -357 -330 -274 -240 -196 -155 -114 -122 -84 -46 
78 -465 -407 -380 -322 -290 -246 -204 -163 -172 -133 -95 
79 -517 -460 -432 -373 -341 -296 -254 -213 -223 -184 -146 
80 -570 -514 -486 -425 -393 -349 -306 -264 -276 -237 -198 
81 -625 -570 -541 -479 -448 -403 -360 -317 -330 -291 -250 
118 
 
  Х2
Х1  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
82 -682 -627 -598 -534 -504 -458 -415 -372 -386 -345 -292 
83 -741 -686 -657 -592 -561 -515 -471 -428 -444 -388 -335 
84 -802 -747 -717 -650 -621 -574 -530 -486 -489 -433 -379 
85 -864 -810 -780 -711 -682 -635 -590 -546 -536 -480 -425 
86 -929 -875 -844 -774 -745 -697 -655 -595 -585 -528 -473 
87 -995 -942 -910 -838 -810 -762 -705 -644 -636 -578 -523 
88 -1064 -1011 -978 -905 -877 -820 -756 -695 -688 -630 -574 
89 -1135 -1082 -1048 -973 -940 -874 -810 -748 -742 -684 -627 
90 -1208 -1155 -1121 -1044 -997 -930 -865 -803 -798 -739 -682 
91 -1283 -1230 -1199 -1116 -1056 -988 -923 -860 -857 -797 -739 
92 -1361 -1308 -1262 -1188 -1117 -1049 -982 -919 -917 -857 -798 
93 -1441 -1388 -1327 -1252 -1181 -1111 -1044 -980 -980 -919 -860 
94 -1524 -1473 -1394 -1319 -1246 -1176 -1108 -1043 -1044 -982 -923 
95 -1609 -1544 -1464 -1388 -1314 -1243 -1174 -1108 -1111 -1049 -988 
96 -1701 -1618 -1537 -1460 -1385 -1313 -1243 -1176 -1181 -1117 -1056 
97 -1779 -1694 -1613 -1534 -1458 -1385 -1314 -1246 -1252 -1188 -1126 
98 -1860 -1774 -1691 -1611 -1534 -1460 -1388 -1319 -1327 -1262 -1199 
99 -1945 -1857 -1772 -1691 -1613 -1537 -1464 -1394 -1404 -1338 -1274 
100 -2033 -1943 -1857 -1774 -1694 -1618 -1544 -1473 -1484 -1417 -1352 
Продовження таблиці В.1 
Х2
Х1   11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 
0 -1352 -1290 -1230 -1172 -1116 -1063 -1011 -962 -914 -868 -824 
1 -1352 -1290 -1230 -1172 -1116 -1063 -1011 -962 -914 -868 -824 
2 -1274 -1213 -1154 -1097 -1042 -989 -938 -889 -842 -797 -754 
3 -1199 -1139 -1080 -1024 -970 -918 -868 -819 -773 -728 -685 
4 -1126 -1067 -1009 -954 -900 -849 -799 -751 -706 -661 -619 
5 -1056 -997 -940 -886 -833 -782 -733 -686 -640 -597 -555 
6 -988 -930 -874 -820 -768 -717 -669 -622 -577 -534 -493 
7 -923 -865 -810 -756 -705 -655 -607 -561 -516 -474 -433 
8 -860 -803 -748 -695 -644 -595 -547 -501 -457 -415 -374 
9 -798 -742 -688 -636 -585 -536 -489 -444 -400 -358 -318 
10 -739 -684 -630 -578 -528 -480 -433 -388 -345 -304 -264 
11 -682 -627 -574 -523 -473 -425 -379 -335 -292 -250 -211 
12 -627 -573 -520 -469 -420 -372 -327 -283 -240 -199 -160 
13 -574 -520 -468 -417 -368 -321 -276 -232 -190 -150 -110 
14 -523 -469 -417 -367 -319 -272 -227 -184 -142 -102 -63 
15 -473 -420 -368 -319 -271 -224 -180 -137 -95 -55 -17 
16 -425 -372 -321 -272 -224 -178 -134 -91 -50 -10 28 
17 -379 -327 -276 -227 -180 -134 -90 -48 -7 33 71 
18 -335 -283 -232 -184 -137 -91 -48 -5 35 74 112 
19 -292 -240 -190 -142 -95 -50 -7 35 76 115 152 
20 -250 -199 -150 -102 -55 -10 33 74 115 153 191 
21 -198 -160 -110 -63 -17 28 71 112 152 191 228 
22 -146 -108 -71 -26 20 64 107 148 188 226 263 
119 
 
  Х2
Х1  11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 
23 -95 -58 -21 12 56 100 142 183 223 261 297 
24 -46 -9 28 61 94 134 176 217 256 294 330 
25 2 39 75 107 141 166 208 249 288 326 362 
26 48 85 121 153 186 208 239 279 318 356 392 
27 93 129 165 197 230 253 284 309 348 385 421 
28 136 172 208 240 272 296 327 349 377 413 449 
29 178 214 250 281 314 338 369 392 419 440 475 
30 219 255 290 321 354 379 409 433 460 482 503 
31 258 294 329 360 392 419 449 473 501 523 545 
32 296 332 367 398 430 457 487 512 539 563 585 
33 333 368 403 434 466 494 524 550 577 602 625 
34 368 403 438 469 501 530 559 586 613 639 663 
35 403 437 472 503 534 564 594 622 648 675 700 
36 417 451 485 517 549 579 609 637 665 692 717 
37 429 464 497 530 561 591 621 650 677 704 730 
38 441 475 509 541 573 603 632 661 689 715 741 
39 452 486 520 552 583 614 643 672 699 726 752 
40 462 496 530 562 593 624 653 681 709 736 761 
41 471 505 539 571 602 632 662 690 718 744 770 
42 479 514 547 579 610 641 670 698 726 752 778 
43 487 521 554 586 618 648 677 706 733 760 785 
44 493 527 561 593 624 654 684 712 739 766 792 
45 499 533 566 598 630 660 689 717 745 771 797 
46 504 538 571 603 634 664 694 722 750 776 802 
47 508 542 575 607 638 668 698 726 753 780 805 
48 511 545 578 610 641 671 701 729 756 783 808 
49 513 547 580 612 643 673 703 731 758 785 810 
50 514 548 581 613 644 675 704 732 760 786 812 
51 514 549 582 614 645 675 704 733 760 787 812 
52 514 548 581 613 644 675 704 732 760 786 812 
53 513 547 580 612 643 673 703 731 758 785 810 
54 511 545 578 610 641 671 701 729 756 783 808 
55 508 542 575 607 638 668 698 726 753 780 805 
56 504 538 571 603 634 664 694 722 750 776 802 
57 499 533 566 598 630 660 689 717 745 771 797 
58 493 527 561 593 624 654 684 712 739 766 792 
59 487 521 554 586 618 648 677 706 733 760 785 
60 479 514 547 579 610 641 670 698 726 752 778 
61 471 505 539 571 602 632 662 690 718 744 770 
62 462 496 530 562 593 624 653 681 709 736 761 
63 452 486 520 552 583 614 643 672 699 726 752 
64 441 475 509 541 573 603 632 661 689 715 741 
65 429 464 497 530 561 591 621 650 677 704 730 
66 417 451 485 517 549 579 609 637 665 692 717 
120 
 
  Х2
Х1  11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 
67 403 437 472 503 534 564 594 622 648 675 700 
68 368 403 438 469 501 530 559 586 613 639 663 
69 333 368 403 434 466 494 524 550 577 602 625 
70 296 332 367 398 430 457 487 512 539 563 585 
71 258 294 329 360 392 419 449 473 501 523 545 
72 219 255 290 321 354 379 409 433 460 482 503 
73 178 214 250 281 314 338 369 392 419 440 475 
74 136 172 208 240 272 296 327 349 377 413 449 
75 93 129 165 197 230 253 284 309 348 385 421 
76 48 85 121 153 186 208 239 279 318 356 392 
77 2 39 75 107 141 166 208 249 288 326 362 
78 -46 -9 28 61 94 134 176 217 256 294 330 
79 -95 -58 -21 12 56 100 142 183 223 261 297 
80 -146 -108 -71 -26 20 64 107 148 188 226 263 
81 -198 -160 -110 -63 -17 28 71 112 152 191 228 
82 -250 -199 -150 -102 -55 -10 33 74 115 153 191 
83 -292 -240 -190 -142 -95 -50 -7 35 76 115 152 
84 -335 -283 -232 -184 -137 -91 -48 -5 35 74 112 
85 -379 -327 -276 -227 -180 -134 -90 -48 -7 33 71 
86 -425 -372 -321 -272 -224 -178 -134 -91 -50 -10 28 
87 -473 -420 -368 -319 -271 -224 -180 -137 -95 -55 -17 
88 -523 -469 -417 -367 -319 -272 -227 -184 -142 -102 -63 
89 -574 -520 -468 -417 -368 -321 -276 -232 -190 -150 -110 
90 -627 -573 -520 -469 -420 -372 -327 -283 -240 -199 -160 
91 -682 -627 -574 -523 -473 -425 -379 -335 -292 -250 -211 
92 -739 -684 -630 -578 -528 -480 -433 -388 -345 -304 -264 
93 -798 -742 -688 -636 -585 -536 -489 -444 -400 -358 -318 
94 -860 -803 -748 -695 -644 -595 -547 -501 -457 -415 -374 
95 -923 -865 -810 -756 -705 -655 -607 -561 -516 -474 -433 
96 -988 -930 -874 -820 -768 -717 -669 -622 -577 -534 -493 
97 -1056 -997 -940 -886 -833 -782 -733 -686 -640 -597 -555 
98 -1126 -1067 -1009 -954 -900 -849 -799 -751 -706 -661 -619 
99 -1199 -1139 -1080 -1024 -970 -918 -868 -819 -773 -728 -685 
100 -1274 -1213 -1154 -1097 -1042 -989 -938 -889 -842 -797 -754 
Продовження таблиці В.1 
  Х2
Х1  22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 
0 -782 -742 -703 -666 -630 -596 -564 -533 -504 -476 -449 
1 -712 -672 -633 -597 -562 -528 -496 -466 -437 -409 -383 
2 -644 -604 -566 -530 -495 -462 -431 -400 -372 -344 -319 
3 -578 -539 -501 -466 -431 -398 -367 -337 -309 -282 -256 
4 -514 -476 -439 -403 -369 -337 -306 -276 -248 -221 -196 
5 -453 -414 -378 -342 -309 -277 -246 -217 -189 -162 -137 
6 -393 -355 -319 -284 -250 -219 -188 -159 -132 -105 -81 
7 -335 -298 -262 -227 -194 -162 -132 -103 -76 -50 -26 
121 
 
  Х2
Х1  22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 
8 -279 -242 -206 -172 -139 -108 -78 -50 -22 3 28 
9 -225 -188 -153 -119 -86 -55 -26 3 30 55 79 
10 -173 -136 -101 -67 -35 -4 25 53 80 105 129 
11 -122 -86 -51 -17 15 45 74 102 129 154 178 
12 -73 -37 -2 31 63 93 122 150 176 201 225 
13 -26 10 45 77 109 139 168 195 221 246 270 
14 20 56 90 123 154 184 212 240 266 290 314 
15 64 100 134 166 197 227 255 282 308 333 356 
16 107 142 176 208 239 269 297 324 349 374 397 
17 148 183 217 249 279 309 337 364 389 413 436 
18 188 223 256 288 318 348 376 402 427 452 474 
19 226 261 294 326 356 385 413 439 464 488 511 
20 263 297 330 362 392 421 449 475 500 524 546 
21 299 333 365 397 427 456 483 509 534 558 580 
22 333 367 399 430 460 489 516 542 567 591 613 
23 365 399 432 463 492 521 548 574 599 622 645 
24 397 430 463 494 523 552 579 605 629 653 675 
25 427 460 492 523 553 581 608 634 658 682 704 
26 456 489 521 552 581 609 636 662 686 709 731 
27 483 516 548 579 608 636 663 688 713 736 758 
28 509 542 574 605 634 662 688 714 738 761 783 
29 534 567 599 629 658 686 713 738 762 785 807 
30 560 591 622 653 682 709 736 761 785 808 830 
31 602 614 645 675 704 731 758 783 807 830 851 
32 644 658 667 696 725 752 778 804 828 850 872 
33 684 701 715 718 744 772 798 823 847 870 891 
34 723 743 761 774 763 790 816 841 865 888 909 
35 742 766 789 812 833 853 873 859 882 905 926 
36 755 779 802 824 845 866 885 875 898 921 942 
37 766 790 813 835 856 877 896 890 913 936 957 
38 776 800 823 846 867 887 907 903 927 949 971 
39 786 810 833 855 876 897 916 916 939 962 983 
40 795 819 842 864 885 905 925 927 951 973 995 
41 803 827 850 872 893 913 933 938 961 984 1005 
42 810 834 857 879 900 920 940 947 971 993 1014 
43 816 840 863 885 906 927 946 955 979 1001 1022 
44 822 846 868 891 912 932 951 962 986 1008 1029 
45 826 850 873 895 916 937 956 968 992 1014 1035 
46 830 854 877 899 920 940 960 973 997 1019 1040 
47 833 857 880 902 923 943 963 977 1001 1023 1044 
48 835 859 882 904 925 945 965 980 1003 1025 1047 
49 836 860 883 905 926 946 966 982 1005 1027 1048 
50 837 861 883 905 927 947 966 982 1005 1028 1049 
51 836 860 883 905 926 946 966 982 1005 1027 1048 
122 
 
  Х2
Х1  22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 
52 835 859 882 904 925 945 965 980 1003 1025 1047 
53 833 857 880 902 923 943 963 977 1001 1023 1044 
54 830 854 877 899 920 940 960 973 997 1019 1040 
55 826 850 873 895 916 937 956 968 992 1014 1035 
56 822 846 868 891 912 932 951 962 986 1008 1029 
57 816 840 863 885 906 927 946 955 979 1001 1022 
58 810 834 857 879 900 920 940 947 971 993 1014 
59 803 827 850 872 893 913 933 938 961 984 1005 
60 795 819 842 864 885 905 925 927 951 973 995 
61 786 810 833 855 876 897 916 916 939 962 983 
62 776 800 823 846 867 887 907 903 927 949 971 
63 766 790 813 835 856 877 896 890 913 936 957 
64 755 779 802 824 845 866 885 875 898 921 942 
65 742 766 789 812 833 853 873 859 882 905 926 
66 723 743 761 774 763 790 816 841 865 888 909 
67 684 701 715 718 744 772 798 823 847 870 891 
68 644 658 667 696 725 752 778 804 828 850 872 
69 602 614 645 675 704 731 758 783 807 830 851 
70 560 591 622 653 682 709 736 761 785 808 830 
71 534 567 599 629 658 686 713 738 762 785 807 
72 509 542 574 605 634 662 688 714 738 761 783 
73 483 516 548 579 608 636 663 688 713 736 758 
74 456 489 521 552 581 609 636 662 686 709 731 
75 427 460 492 523 553 581 608 634 658 682 704 
76 397 430 463 494 523 552 579 605 629 653 675 
77 365 399 432 463 492 521 548 574 599 622 645 
78 333 367 399 430 460 489 516 542 567 591 613 
79 299 333 365 397 427 456 483 509 534 558 580 
80 263 297 330 362 392 421 449 475 500 524 546 
81 226 261 294 326 356 385 413 439 464 488 511 
82 188 223 256 288 318 348 376 402 427 452 474 
83 148 183 217 249 279 309 337 364 389 413 436 
84 107 142 176 208 239 269 297 324 349 374 397 
85 64 100 134 166 197 227 255 282 308 333 356 
86 20 56 90 123 154 184 212 240 266 290 314 
87 -26 10 45 77 109 139 168 195 221 246 270 
88 -73 -37 -2 31 63 93 122 150 176 201 225 
89 -122 -86 -51 -17 15 45 74 102 129 154 178 
90 -173 -136 -101 -67 -35 -4 25 53 80 105 129 
91 -225 -188 -153 -119 -86 -55 -26 3 30 55 79 
92 -279 -242 -206 -172 -139 -108 -78 -50 -22 3 28 
93 -335 -298 -262 -227 -194 -162 -132 -103 -76 -50 -26 
94 -393 -355 -319 -284 -250 -219 -188 -159 -132 -105 -81 
95 -453 -414 -378 -342 -309 -277 -246 -217 -189 -162 -137 
123 
 
  Х2
Х1  22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 
96 -514 -476 -439 -403 -369 -337 -306 -276 -248 -221 -196 
97 -578 -539 -501 -466 -431 -398 -367 -337 -309 -282 -256 
 
 
124