ChSTU repository

ЗМІСТ 
 
ВСТУП 
РОЗДІЛ 1. Огляд систем адитивного виробництва та промислових 
роботів 
1.1 Технології 3D-друку 
1.2 Огляд наявних кінематичних схем 3D-принтерів, що існують 
1.3 Моделі проєктування 
1.4 Помилки під час FDM 3D-друку 
Висновки за розділом 1 
РОЗДІЛ 2. Математичне забезпечення сапр ектсрузійних 3d-
принтерів 
2.1 Систематизація декартових роботів 
2.2 Дослідження статичних деформацій декартових 3D-принтерів 
2.3 Частотний аналіз декартових 3D-принтерів 
Висновки за розділом 2 
РОЗДІЛ 3. Програмне забезпечення підсистеми ескізного 
проектування сапр екструзійних 3d- принтерів 
3.1 Програмне забезпечення САПР для аналізу вібрацій 
3.2 Декомпозиція процесу проектування 3D-принтера за стадіями V-
моделі 
РОЗДІЛ 4. Апробація розроблених компонентів сапр екструзійних 
3d-принтерів 
4.1 Постановка завдання 
4.2 Проектування 3D-принтера за V-моделлю: низхідна гілка 
Висновки за розділом 4 
ВИСНОВКИ 
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ 
ДОДАТОК А Акт впровадження 
ДОДАТОК Б Тези публікації. 
ДОДАТОК В Презентація кваліфікованої роботи 
  
 
ВСТУП 
 
 
Традиційні (субтрактивні) типи механічної обробки матеріалів, такі як 
фрезерування, свердління, точіння, стругання, шліфування тощо, існують уже 
багато років і допомагають людині виготовляти деталі різної складності. З 1980-х 
рр., повсюдне поширення починають набувати верстати з ЧПК, які замінюють 
традиційні фрезерні та токарні верстати з ручним керуванням, а також активно 
впроваджуються технології роботизованого виробництва в будівельну, 
аерокосмічну, обробну промисловість, та ін... Крім субтрактивного виробництва, 
яке передбачає видалення частини матеріалу заготовки для створення закінченого 
виробу, дедалі більшого поширення набувають технології адитивного 
виробництва, що передбачають створення виробу шляхом нарощування його 
матеріалу. Останнім часом все частіше як синонім словосполученню "Адитивне 
виробництво" вживають термін "3D-друк". Технології адитивного виробництва 
активно впроваджуються в промисловість і побут завдяки зручності у виготовленні 
виробів будь-якої складності з мінімальними витратами за часом і фінансами. 
3D-друк - це принципово інший спосіб виготовлення деталей порівняно з 
традиційними (субтрактивними) технологіями виробництва. Будь-який 3D-
принтер створює деталі шляхом пошарового додавання матеріалу. Шари 
укладаються різними способами, залежно від використовуваної технології. Цей 
принцип дає змогу виготовляти складні компоненти, не розбиваючи їх на кілька 
частин, уникаючи, таким чином, додаткових витрат. 
У 3D-друку жодних спеціальних інструментів або оснасток не потрібно 
(наприклад, ріжучого інструменту з певною геометрією або прес- форми). Замість 
цього деталь виготовляється безпосередньо на друкованій платформі. Технологія 
3D-друку значно скорочує час виготовлення прототипу, порівняно з традиційним 
виробництвом, даючи змогу виготовляти його за кілька годин, а також скорочує 
його вартість. Традиційне ж виробництво залишається найбільш економічним при 
великих обсягах випуску виробів. 
 
Кількість різновидів технологій 3D-друку збільшується щороку, 
створюються способи використання найрізноманітніших матеріалів, від паперу до 
металу і бетону. Адитивні технології стрімко розвиваються, і можна припустити, 
що вже через 10 років 3D-друк зустрічатиметься в повсякденному житті кожної 
людини. 
На сьогоднішньому етапі розвитку сфери адитивного виробництва будь-яка 
людина може за інструкцією в інтернеті зібрати власний FDM 3D-принтер. Через 
низьку собівартість і простоту створення, 3D-принтери, що працюють за 
технологією FDM, є найбільш популярними. Не тільки аматори, а й різні компанії 
(стартапи) розробляють величезну кількість конструктивних і технологічних 
рішень створення таких 3D-принтерів, і всі вони відрізняються один від одного. 
Багато компаній, які зараз успішні на ринку 3D-принтерів, починали з 
розробки свого продукту спершу на аматорському рівні, намагаючись покращити 
недоліки вже наявних моделей. Наприклад, успіх компанії Picasso 3D, яка є одним 
із лідерів на ринку принтерів, - це успіх компанії Picasso 3D. 
3D-друку в країні, почався з поліпшення відкритого закордонного проекту 
RepRap. Головним протиріччям при створенні 3D-принтера є вимога якомога 
вищою швидкості, надійності та автономності процесу друку за необхідності 
мінімізувати вартість розробки та виготовлення 3D-принтера, а також його 
складність. Наприклад, нещодавні результати і показують, що врахування 
механічних властивостей рами та екструдера 3D-принтера при створенні його 
вбудованого програмного забезпечення дають змогу значно підвищувати якість 
друку за високих швидкостей переміщення екструдера і проводити автоматичну 
діагностику засмічення сопла 3D-принтера. При цьому, складність як ПЗ, так і 
конструкції збільшується, отже, збільшуються часові та фінансові витрати на 
проектування 3D-принтера. 
У зв'язку з дедалі зростаючими вимогами до 3D-друку впроваджуються нові 
технологічні рішення: малошумні мотори, екструдери підвищеної точності, 
продуктивні контролери. Назріває необхідність і в створенні спеціалізованих 
САПР для пристроїв тривимірного друку. Наявні засоби машинобудівних САПР 
 
дають змогу проєктувати адитивні системи та здійснювати загальноінженерні види 
аналізу, проте низку спеціальних питань, що виникають під час проєктування 3D-
принтерів, у них не розв'язано. Зокрема, не існує засобів, які б допомагали інженеру 
на етапі ескізного проєктування обрати те чи інше конструкторське рішення щодо 
кінематики 3D-принтера з урахуванням особливостей конкретної технології, як-от 
маса екструдера, вимоги до рухливості друкарської платформи, маса та габарити 
елементів рами 3D-принтера і його приводів. Відомо, що успішність етапу 
ескізного проєктування багато в чому визначає кінцеву вартість розробки і якість 
підсумкового технічного рішення, що зумовлює актуальність даної дисертаційної 
роботи, присвяченої створенню підсистеми ескізного проектування САПР 
найбільш масових - екструзійних - 3D-принтерів. Основний акцент дисертаційної 
роботи зроблено на математичному та програмному забезпеченні цієї підсистеми. 
Значний внесок у розробку теоретичних і практичних засад 3D- друку 
заклали роботи Чарльза Галла, Карла Декарда, Скота Крампа. У 1983 році Чарльз 
Галл винайшов перший прототип фотополімерного 3D- принтера і тим самим 
створив стереолітографію, яка стала першою технологією 3D-друку. У 1987 році 
Карл Декард винайшов метод лазерного спікання або SLS технологію 3D-друку, 
суть якої полягає в спіканні порошкового матеріалу лазерним променем. У 1988 
Скот Крамп патентує свою ідею про створення 3D-об'єктів шляхом пошарової 
екструзії розплавленого матеріалу, що дає розвиток FDM технології. 
Важливі дослідження в галузі удосконалень конструкції вніс один із піонерів 
FDM-друку і творець фірми Prusa3D Йозеф Прюша, який розробив друковану 
платформу з підігрівом, адаптував і спростив дизайн RepRap Mendel, скоротивши 
час 3D-друку деталей з 20 до 10 годин. 
Розробками 3D-принтерів і 3D-друку займалися Г. А. Разуваєв, А. Ісупов, М. 
Анісімов. Зокрема, Разуваєвим у 1972 р. було опубліковано схему пристрою, який 
давав змогу створювати за допомогою електронного променя металеві вироби 
нанометрового розміру (наприклад, мікросхеми). А. Ісупов і М. Анісімов одними з 
перших у країні почали розробляти власні 3D-принтери, що працюють за 
технологією FDM. У 2010 році вони поліпшили конструкцію 3D-принтера 
 
канадського виробництва і, продовжуючи займатися розробкою 3D-принтерів, 
відкрили свою компанію Picasso 3D, яка наразі посідає значну частку ринку у своїй 
галузі в країні. 
Мета дисертаційної роботи - підвищення технічних характеристик об'єкта 
проєктування - 3D-принтерів, що працюють за принципом екструдування 
матеріалу, за рахунок створення компонентів математичного та програмного 
забезпечення підсистеми ескізного проєктування САПР 3D-принтерів. 
Об'єктом дослідження є підсистема ескізного проектування САПР 3D-
принтерів. 
Предметом дослідження є математичне та програмне забезпечення 
підсистеми ескізного проектування САПР екструзійних 3D-принтерів. 
Виходячи з поставленої мети в процесі виконання роботи необхідно вирішити 
такі науково-технічні завдання: 
1. Дослідження наявних систем адитивного виробництва та особливостей 
виробів, що виготовляються за їхньою допомогою, залежно від технології та 
механічної конструкції. 
2. Створення систематизації декартових роботів, що використовуються для 
тривимірного друку. 
3. Розробка математичного забезпечення підсистеми ескізного проектування 
САПР екструзійних 3D-принтерів для частотного аналізу ідентифікації окремих 
елементів конструкції. 
  
 
РОЗДІЛ 1 
ОГЛЯД СИСТЕМ АДИТИВНОГО ВИРОБНИЦТВА ТА 
ПРОМИСЛОВИХ РОБОТІВ 
 
 
3D-друк - процес створення реального об'єкта за зразком у вигляді 3D-моделі. 
Перший крок під час 3D-друку об'єкта - створення 3D-моделі об'єкта за допомогою 
програмного забезпечення САПР. Модель описує геометричні властивості об'єкта. 
Потім створену 3D-модель, як правило, перетворюють у формат STL. Цей формат 
файлу визначає зовнішні замкнуті поверхні 3D-моделі. Після завантаження файлу 
STL на 3D- принтер, принтер налаштовується перед процесом друку. Після 
завершення друку надрукована модель видаляється з друкарської платформи і 
відправляється на постобробку. Якість 3D-друку залежить від безлічі різних 
параметрів: технології друку, використовуваних матеріалів 3D-друку, конструкції 
3D-принтера, довкілля тощо..  
У першому розділі докладно описано основні технології 3D-друку та 
використовувані ними матеріали, конструкції роботизованих систем, що 
використовуються при створенні 3D-принтерів, помилки, що виникають під час 
3D-друку, і моделі проєктування. 
 
 
1.1 Технології 3D-друку 
 
Існує ряд технологій адитивного виробництва, нижче наведено основні: 
1. Стереолітографія (SLA); 
2. Цифрова обробка світлом/Безперервна цифрова обробка світлом 
(DLP/CDLP); 
3. Моделювання методом осадження розплавленої нитки (FDM/FFF); 
4. Вибіркове лазерне спікання (SLS); 
5. Пряме лазерне спікання/ Вибіркова  лазерна плавка (DMLS/SLM); 
 
6. Електронно-променева плавка (EBM); 
7. Мультиструменеве плавлення (MJF); 
8. Струменевий 3D-друк наночастинками (NPJ); 
9. Метод ламінування об'єктів (LOM); 
10. Струменевий друк сполучною речовиною (BJ); 
 
Стереолітографія (SLA) 
SLA технологія є першою створеною технологією 3D-друку. У 1983 році 
Чарльз (Чак) Галл представив публіці першу деталь, надруковану на 3D-принтері з 
використанням винайденого ним процесу під назвою стереолітографія. 
Стереолітографія (SLA) - це процес пошарового перетворення світлочутливої 
рідини (фотополімерної рідкої смоли) на тривимірні тверді об'єкти з 
використанням лазера малої потужності та процесу фотополімеризації. SLA - один 
із найточніших процесів 3D-друку. Товщина шару, заявлена виробниками 
принтерів, що використовують цю технологію, коливається від 10 до 25 мкм. 
Точність розмірів моделі становить ± 0,5% (нижня межа: ± 0,10 мм) для побутових 
3D-принтерів, і ± 0,15% (нижня межа ± 0,01 мм) для промислових. 
Точність одержуваної моделі безпосередньо залежить від якості 
фотополімеру і правильного постоброблення моделі (промивання деталей у 
розчині ізопропілену і обробка УФ-випромінюванням). Точність друку втрачається 
при погіршенні стану лазера, матеріалу або оптики. 
Стереолітографію найчастіше використовують для прототипування, оскільки 
вона менш трудомістка порівняно з традиційними процесами виготовлення деталей 
за такої ж високої якості. Поєднання медичної візуалізації та стереолітографії все 
частіше використовується для створення моделей або форм імплантатів 
анатомічної форми.  
Наприклад, наукова група Sodian R. et al. підготувала індивідуальні серцеві 
клапани, які можна встановити без накладення швів. Іншими дослідниками цього 
напряму були виготовлені імплантати у формі вух та аорти . У галузі тканинної 
інженерії, за даними комп'ютерної томографії виготовляють імплантати для 
 
щелепно- лицьової хірургії. 
За допомогою стереолітографії можна виготовити безліч медичних 
імплантатів із заданою геометрією і фізичними властивостями, наприклад, 
пристрої для фіксації переломів кісток, деталі для штучних стегон або колін, 
нервові канали або протези. Liska R. et al. опублікували велику бібліотеку 
фотозатверджуваних нецитотоксичних полімерних матеріалів із широким 
діапазоном фізичних і хімічних властивостей, які можна використовувати для 
довгострокових застосувань . 
 
Цифрове оброблення світлом (DLP) 
Технологія 3D-друку DLP походить від технології проектування зображень, 
розробленої Texas Instruments у 1980-х роках. Цифрове опрацювання світлом (DLP) 
- технологія, за якої використовується проектор для затвердіння фотополімерної 
смоли. Метод DLP схожий на метод SLA, за винятком того, що замість 
ультрафіолетового лазера для затвердіння фотополімерної смоли використовується 
цифровий світлодіодний проектор для опромінення всього шару відразу. Проєктор 
DLP-принтера, розташований під резервуаром, проєктує на фотополімер 
зображення одного шару моделі до повного затвердіння фотополімера під УФ-
променями. 
Об'єкти, які друкуються за допомогою DLP, мають менше видимих шарів 
порівняно з FDM. Порівняно з SLA, DLP може мати більш високі швидкості друку.  
Сфери застосування DLP точно такі ж, як і для SLA. З недоліків можна 
виділити те, що деталізація під час друку за технологією DLP поступається SLA. У 
DLP системі точність друку обмежена роздільною здатністю проєктора. 
Завдяки високій швидкості друку 3D-друку на основі технології DLP, лікарям 
більше не потрібно чекати довгі години, щоб підготувати 3D-моделі патологічних 
органів пацієнтів. Kuang X. et al. розробили спеціальну технологію 3D-друку DLP 
з відтінками сірого. У цьому методі для друку матеріалу використовується світло 
різної інтенсивності, яке може затверджувати тривимірну структуру в два етапи. 
Надруковані за цією технологією деталі вирізняються відносно високою точністю 
 
і мають помітні зміни градієнта механічної міцності. За допомогою цієї технології 
друку було створено біонічну тривимірну структуру з м'якими м'язами і твердими 
кістками.У 2019 році було розроблено більш швидкий метод 3D-друку DLP - 
комп'ютерну аксіальну літографію.  
У цій виробничій системі світло відбивається на світлочутливий матеріал у 
вигляді двомірного зображення. Коли різні плоскі зображення проєктуються на 
матеріал під різними кутами, енергія, що генерується багаторівневою 
суперпозиційною експозицією, змушує матеріал сходитися в спочатку 
спроєктовану тривимірну структуру. 
 
Технологія моделювання методом осадження розплавленої нитки 
(FDM/FFF) 
Технологія моделювання методом осадження розплавленої нитки (FDM/FFF) 
- процес 3D-друку, під час якого матеріал розплавляється і видавлюється через 
сопло для створення шару поперечного перерізу об'єкта. Цю технологію було 
розроблено наприкінці 1980-х років. Основним виробником систем FDM є Stratasys 
Inc. (США). Екструдер 3D-принтера складається з декількох блоків: корпусу, блоку 
подачі філамента (cool-end) і нагрівального блоку (hot-end). Вузол подачі філамента 
містить у собі шестерню подачі, притискний ролик, пружину й електродвигун. Блок 
hot-end складається з сопла необхідного діаметру, нагрівального елемента, 
термостата для контролю температури і термоізоляції. 3D-принтери, що працюють 
за технологією FDM, будують деталь шар за шаром, знизу-вгору, нагріваючи і 
видавлюючи нитку філаменту. Коли матеріал розплавляється, він осідає в 
заздалегідь визначених місцях на 3D-друкованій платформі, де він охолоджується, 
а потім твердне. Товщина шару визначає якість 3D-друку. 
Значних успіхів було досягнуто в дослідженнях, що включають системи з 
декількома соплами. Кожному соплу, в таких системах, відповідає різний матеріал, 
для того щоб виготовляти об'єкти з новими властивостями або, наприклад, 
використовувати водорозчинний матеріал для створення підтримок нависаючих 
областей складної форми. Так Jafari Ma. et al. з використанням технології FDM 
 
виготовили кілька керамічних актуаторів і датчиків з новими властивостями. 
Щодо вартості, технологія FDM дешевша, ніж SLA, насамперед через 
дешевизну використовуваного матеріалу. Подібно до SLA, друк деталей у FDM 
вимагає підтримки складних структур, тому деталі, надруковані за технологією 
FDM, також потребують постобробки. Порівняно з SLA, процес FDM менш точний.  
Експериментальним методом інженери дійшли висновку, що оптимально 
використовувати сопло діаметром 300 - 400 мікрон залежно від використовуваного 
матеріалу. Пластик, який використовується в нитках FDM, як правило, являє 
собою АВS (акрилонітрил-бутадієн-стирол), PLA (поліактивна кислота) і нейлон 
(поліамід), але також можуть використовуватися інші різновиди матеріалів, так 
як PVA (полівініловий спирт), PC (полікарбонат), PET (поліетилентерефталат),  
деревні  імітатори  (LAYWOO-D3,  BambooFill), імітатори металів (BronzeFill) та 
ін... 
 
Селективне лазерне спікання (SLS) 
У технології SLS як матеріал використовується порошковий полімерний 
матеріал, зазвичай нейлон, який спочатку розподіляється рівним шаром на поверхні 
друку, а потім потужний лазер вибірково сканує тонкий шар порошку, спікаючи 
разом частки порошку у формі поперечного перерізу тривимірної деталі для 
формування шару. Процес лазерного спікання одночасно формує поточний шар і 
приєднує його до попереднього шару. Процес повторюється доти, доки не буде 
надруковано весь об'єкт. Потім об'єкт охолоджується. Камера, де друкується об'єкт, 
має бути повністю герметизована, оскільки під час процесу друку необхідно 
підтримувати температуру, близьку до температури плавлення порошкоподібного 
матеріалу. 
Однією з головних переваг технології SLS є те, що для лазерного спікання не 
потрібно будь-яких опорних конструкцій підтримки складних деталей, як це 
необхідно під час технології FDM і SLA, оскільки деталь підтримує 
невикористаний порошкоподібний матеріал. Ця перевага сама по собі допомагає 
економити матеріал і знижує собівартість виробництва. Також немає великої 
 
необхідності в постобробці. 
Деталі, надруковані за технологією SLS, зазвичай дуже міцні та надійні. Цю 
технологію застосовують у таких сферах, як автомобільна та аерокосмічна 
промисловість. Деталі, вироблені за технологією SLS, можуть бути виготовлені з 
різних матеріалів: пластик, скло або кераміка. SLS також широко використовується 
для друку індивідуальних виробів, наприклад, слухових апаратів, зубних 
фіксаторів і протезів, однак такі вироби мають досить велику вартість. 
 
Пряма лазерна плавка (SLM) 
Пряме лазерне плавлення (SLM) - технологія, що використовує лазер як 
джерело енергії для спікання металевого порошку шляхом наведення лазера і 
формування поперечного перерізу об'єкта шар за шаром. Пряме металеве лазерне 
спікання аналогічне процесу селективного лазерного спікання. 
Звичайне використання друку SLM - це 3D-деталі зі складною структурою, 
геометрією і тонкими стінками. SLM наразі досить широко поширений в 
аерокосмічній промисловості та медицині. Але технологія SLM все ще 
поступається за якістю технології лиття. 
Процес SLM складніше контролювати через велику кількість енергії, що 
підводиться до розплавлених металевих частинок, що спричиняє такі проблеми, як 
утворення грудок матеріалу, розвиток залишкових напруг і деформація деталей. 
Доступні в теперішній час сплави, використовувані в цьому процесі, включають 
нержавіючу сталь, хром-кобальт, інконель і титан. 
 
Мультиструменеве плавлення (MJF) 
Мультиструменева плавка (MJF) - технологія схожа на стереолітографію, де 
для формування фотополімерної моделі використовується ультрафіолетове 
випромінювання.  
Однак замість використання лазера для затвердіння шарів, струменевий 
принтер розпилює краплі фотополімеру (аналогічно чорнилам у струменевому 
принтері) у формі поперечного перерізу деталі для формування шару. УФ- лампа, 
 
прикріплена до головки принтера, зшиває полімер і фіксує форму шару. 
 
Електронно-променеве плавлення (EBM) 
Електронно-променева плавка (EBM) - це 3D-друк, який використовує як 
матеріал чистий металевий порошок (титан, сталь) без сполучної речовини. На 
відміну від прямої лазерної плавки, як джерело енергії замість лазера 
використовується електронний промінь. Електронний пучок розплавляє металевий 
порошок шар за шаром у вакуумі і досягає повного плавлення металевого порошку. 
За допомогою цього методу можна виробляти металеві деталі високої щільності, 
таким чином зберігаючи властивості матеріалу. Процес EBM розроблений і 
комерціалізується компанією Arcam у Швеції. 
Оскільки технологія EBM відбувається у вакуумі, це робить цей процес 
ідеальним для виготовлення реактивних матеріалів з високою спорідненістю до 
кисню. Електронно-променева плавка також працює при більш високих 
температурах (до 1000 ° C). Порівняно з SLM, EBM зазвичай має вищу швидкість 
через вищу щільність енергії та вищу швидкість формування шару; однак якість 
поверхні деталі низька. 
 
Струменевий 3D-друк наночастинками (NPJ) 
Струменевий 3D-друк наночастинками (NPJ) - у даній технології 
використовується рідина, що містить наночастинки металів, яку оператор 
завантажує в принтер у картриджі. Сопла принтера розподіляють рідину по 
платформі струменем або невеликими краплями, в той час як висока температура 
всередині корпусу призводить до випаровування рідини, після чого на платформі 
залишається лише шар з металу. 
Метод ламінування об'єктів (LOM) 
Метод ламінування об'єктів (LOM) - під час друку за технологією LOM на 
платформу або готовий об'єкт розігрітим ролером наклеюється аркуш обраного 
матеріалу. Потім лазер вирізає об'єкт за контуром згідно з кресленням, а надлишки 
матеріалу видаляють. Матеріал покривають клейовим шаром, нагрівають 
 
подавальний валик. Платформа опускається, і новий аркуш клейкого матеріалу 
подається в робочу камеру. Платформа піднімається вгору, і новий шар 
приклеюється до попереднього. Процес повторюється до завершення друку всього 
об'єкта. 
Основна перевага цього методу полягає в його високій швидкості, яка 
досягається за рахунок того, що лазер повинен обробляти тільки контур деталі, а 
не весь поперечний переріз. Головним виробником принтерів, що працюють за 
технологією LOM, була Helisys Inc. (США), яка пізніше припинила свою 
діяльність, і їй на зміну прийшла Cubic Technologies (США) . 
Ця технологія універсальна, оскільки можна склеювати практично будь-який 
листовий матеріал. Найпоширенішим матеріалом є папір, оскільки він дешевий і 
легко ріжеться. Під час цього процесу адитивного виробництва шари клейкого 
паперу, пластику або металу ламінуються послідовно. Ще одна перевага технології 
LOM полягає в тому, що вона не вимагає наявності закритої камери через 
відсутність хімічного процесу, що полегшує побудову великих моделей. Однак цей 
метод не підходить для створення об'єктів зі складною геометрією або для 
створення функціональних прототипів. З цих причин LOM використовується 
тільки для створення масштабних моделей. 
 
Струменевий друк сполучною речовиною (BJ) 
Технологію BJ було винайдено 1993 року в Массачусетському 
технологічному інституті. Струменевий друк сполучною речовиною (BJ) - це 
технологія 3D-друку, аналогічна SLS, але на відміну від технології SLS, у якій 
використовується лазер для спікання порошку, у технології BJ друкуюча голова 
переміщується над поверхнею порошку, осаджуючи краплі сполучної речовини, які 
зазвичай мають діаметр 80 мікрон. Ці краплі пов'язують частинки порошку разом 
для утворення шару об'єкта. При завершенні друку об'єкт залишається в порошку 
для зміцнення. Після повного затвердіння деталі виймаються з незв'язаного 
порошку і очищаються. 
Існує низка оглядових статей, у яких розглядаються аспекти розпилення 
 
сполучної речовини в контексті адитивного виробництва, конкретних матеріалів і 
застосувань. Було проведено кілька цільових оглядів таких галузей BJ, як кераміка 
і лиття в піщані форми. 
Список технологій і процесів 3D-друку продовжує зростати, оскільки 3D-
друк постійно змінюється. Індустрія 3D-друку продовжує оновлювати своє 
обладнання, матеріали та процеси для створення об'єктів або деталей. 
Ускладнюються і модернізуються конструкції 3D-принтерів. Одним з варіантів 
FDM 3D-принтерів нового покоління може стати 3D- принтер з п'ятьма ступенями 
свободи. Ці розробки ведуться різними компаніями і стартапами. Наприклад, 
пристрій Ethereal Halo від компанії Ethereal Machines являє собою ЧПУ і 5-осьовий 
3D-принтер в одному пристрої. Збільшення кількості ступенів свободи дає змогу 
поліпшити якість 3D-друку, але в о д н о ч а с виникають додаткові вимоги до 3D- 
принтерів такого типу. Потрібне створення нових САПР для розрахунку 
конструкцій, нових алгоритмів екструзії матеріалу. 
 
 
1.2 Огляд наявних кінематичних схем 3D-принтерів, що існують 
 
Крім відмінностей у технологіях 3D-друку, існують відмінності конструкцій 
3D-принтерів. Різні кінематичні схеми успішно використовуються під певні 
технології друку і завдання. Залежно від багатьох чинників, таких як бюджет, 
дизайн або функція, важливо вибрати відповідний процес 3D-друку, а також 
правильний матеріал і конструкцію 3D-принтера. 
Принципова кінематична схема - це схема, на якій показано послідовність 
передавання руху від двигуна через передавальний механізм до робочих органів 
машини та їхній взаємозв'язок. 
У цьому розділі буде розглянуто основні типи промислових роботів, які 
використовуються як механічна частина 3D-принтера. Міжнародна організація зі 
стандартизації ( ISO) визначає промислового робота як "автоматично керований, 
перепрограмований, багатоцільовий маніпулятор, програмований за трьома або 
 
більше осями, який може бути або стаціонарним, або пересувним для використання 
в додатках промислової автоматизації".  
Згідно з цим визначенням, будь-який 3D-принтер або верстат з ЧПУ також є 
промисловим роботом. Тому в цій роботі ми вживатимемо термін промисловий 
робот стосовно будь-якої кінематичної схеми системи адитивного виробництва. 
Першою сферою застосування промислових роботів була автомобільна 
промисловість. У 1961 році автомобільна корпорація General Motors почала 
використовувати робота "UNIMATE" для лиття під тиском на автомобільному 
заводі в США. Пізніше, промислові роботи завдяки високій здатності виконувати 
завдання протягом обмеженого часу і здатності точно повторювати заданий рух 
проникли в нові сфери застосування. Однією з таких сфер застосування стали 
адитивні технології виробництва, зокрема 3D-друк. 
Головним ступенем рухливості робота є його рука. Рука робота (англ. robotic 
arm) - це сукупність взаємопов'язаних ланок і шарнірів із силовим приводом 
маніпулятора, які позиціонують зап'ястя. На сьогодні можна виділити шість 
основних типів промислових роботів, використовуваних для 3D-друку, і 
класифікованих на основі їхньої механічної конструкції.  
До цих типів належать: шарнірні роботи, роботи з циліндричною системою 
координат (cylindrical robots), роботи з декартовою системою координат (cartesian 
robots), роботи з полярною або сферичною системою координат (polar robots, 
spherical robots), роботи SCARA, дельта-роботи (Delta robots).  Кожен із цих типів 
роботів має свої особливості для виконання необхідних завдань. 
 
Роботи з декартовою системою координат 
Робот, рука якого має три поступальні шарніри, осі яких утворюють 
декартову систему координат, називається декартовим роботом. 
Існує багато способів побудови лінійних систем руху в декартових 
координатах. Терміни, які зазвичай використовуються для позначення цих систем, 
залежать від того, як збираються осі, де розташоване навантаження і, певною 
мірою, для якого типу використання система була розроблена. 
 
У багатьох промислових додатках переважають декартові портальні роботи, 
але в точних додатках координатні столи XY часто є найкращим вибором завдяки 
їхній компактній, жорсткій структурі та високій точності позиціонування. 
Декартові системи складаються з двох або трьох осей: XY, XZ або XYZ. У 
верстатах із ЧПК і складальних роботах вони часто містять робочий орган з 
обертовим компонентом для орієнтації заготовки, але вони завжди забезпечують 
лінійний рух принаймні у двох із трьох декартових координат. 
Для переміщення робочого органа в просторі декартові роботи 
використовують лінійні напрямні. Осі декартових роботів виконують рухи 
скоординовано через загальний контролер рухів (див. рисунок 1.1). 
 
Рисунок 1.1 - Можливі конфігурації декартових роботів 
 
Роботи з декартовою системою координат мають безліч різних кінематичних 
конфігурацій, однією з яких найбільш популярною є "портальна конфігурація". 
Портальні роботи є різновидом декартових роботів. Портальні роботи завжди 
мають дві вертикальні бази X і вісь горизонтальну Y, яка розташовується між 
базами X. За такої конфігурації портальні роботи можуть мати велике корисне 
навантаження в більшості випадків і, як правило, більшу довжину ходу, ніж 
декартові роботи з кріпленням осі до однієї точки (див. рисунок 1.2). 
 
Рисунок 1.2 - Приклад портального робота 
 
Роботи з декартовою системою координат зазвичай використовують для 
робіт зі складання та встановлення чого-небудь, нанесення герметика, складальних 
операцій або маніпулювання верстатами та дуговим зварюванням. Популярним 
застосуванням для цього типу робота є верстати з ЧПУ (числовим програмним 
керуванням) і 3D-друк. 
Також однією з конфігурацій роботів із декартовою системою координат є 
координатні столи або XY столи (див. рисунок 1.3) (table XY).  
 
Рисунок 1.3 - Приклад координатного столу 
 
Координатні столи аналогічні декартовим системам у тому сенсі, що вони 
мають дві осі X і Y, але ключова відмінність між декартовими системами и столами 
XY полягає в тому, як розподіляється навантаження. Навантаження на XY-стіл 
майже завжди центроване за віссю Y, водночас на осі Y не створюється значний 
момент навантаженням. 
 Столи XY, як правило, працюють тільки в межах власної зони 
 
обслуговування, тобто навантаження не виходить за межі осі Y.  
Це робить їх найбільш придатними для додатків, де навантаження має бути 
розташоване в горизонтальній площині (XY). 
Оскільки координатні столи здебільшого використовуються для 
застосування з дуже високою точністю, кращою конструкцією є схрещені роликові 
напрямні, які забезпечують надзвичайно плавне і рівне переміщення. Механізми 
приводу, як правило, являють собою кульковий гвинт або лінійний двигун, хоча 
поширені й дуже дрібні ходові гвинти. 
Декартові 3D-принтери є найбільш поширеними і доступними на ринку. У 
цьому типі принтера основа для друку часто переміщується тільки по осі Z, а 
друкуюча голова працює у двох вимірах на площині XY. 
Ultimaker і MakerBot є досить відомими брендами на ринку 3D-друку, які 
використовують декартову технологію для своїх FDM 3D- принтерів (див. рисунок 1.4). 
 
 
а) б) 
 
Рисунок 1.4 - 3D-принтери: а) Ultimaker 2 Extended; б) Makerbot 
Replicator 2. 
 
Шарнірні роботи 
Робот, рука якого має щонайменше три шарнірних з'єднання, називається 
 
шарнірним. 
Структура шарнірного робота з трьома суглобами, що обертаються, дуже 
схожа на руку людини (див. рисунок 1.5). Промислові роботизовані шарнірні 
роботи мають чотири або шість осей, а також найбільший ступінь свободи або 
відносну дальність руху порівняно з будь-яким іншим типом робота в промисловій 
сфері. Такі роботи здебільшого використовують для складальних операцій, лиття 
під тиском, газового і дугового зварювання, а також для нанесення фарби. 
 
Рисунок 1.5 - Конструкція шарнірного робота. 
 
Хоч 3D-друк уже використовує шарнірних роботів у різних виробничих 
процесах, наприклад, під час 3D-друку будинків і будівель, ця технологія все ще 
перебуває на стадії розроблення. Шарнірних роботів все частіше використовують і 
під час друку за технологією FDM. Це пов'язано з тим, що процес створення об'єкта 
шарнірним роботом може бути не прив'язаним до стандартної друкованої 
платформи, що робить його більш мобільним. Крім того, завдяки гнучкості робота 
простіше створювати складні конструкції. 
Прикладом використання шарнірних роботів у 3D-друку є проєкт у "Центрі 
досліджень точного друку" (CFPR). Для 3D-друку використовується шарнірний 
промисловий робот Mitsubishi Electric MELFA RV-7FLM (див. рисунок 1.6а). 
Також компанія Dobot.cc (див. Рисунок 1.6б) створює промислових роботів різного 
типу, зокрема й шарнірних, які можуть використовуватися як 3D-принтер. 
 
  
 
а) б) 
Рисунок 1.6 - Шарнірні роботи: а) Mitsubishi Electric MELFA; б) 
Dobot Magician 
 
Слід, однак, зазначити, що якість друку недорогим шарнірним роботом не 
така гарна, як у традиційних декартових принтерів, а вартість високоточного 
шарнірного робота набагато перевищує вартість декартового. 
 
Роботи з циліндричною системою координат 
Робот, рука якого має щонайменше один обертальний шарнір і щонайменше 
один поступальний шарнір, осі яких утворюють циліндричну систему координат, 
називається циліндричним роботом. 
Схематичне представлення основної структури роботів із циліндричною 
системою координат показано на рисунку нижче (див. Рисунок 1.7).  
Рисунок 1.7 - Конструкція роботів із циліндричною системою 
координат 
У робота цього типу є три осі руху, дві з яких лінійні, а одна кругова. Таким 
чином, робот може переміщатися вздовж осей Z і Y та обертатися вздовж осі Z. Це 
 
формує циліндричну систему координат. 
Циліндричні роботи використовуються для складальних операцій, обробки 
верстатів і машин для лиття під тиском, точкового зварювання і в монтажних і 
шліфувальних процесах. Цей тип роботів активно використовували у 80-ті роки, 
але тепер його використовують досить рідко, тому що його витіснила досконаліша 
кінематична схема SCARA. 
 
а) б) 
 
Рисунок 1.8 - роботи з циліндричною системою координат: а) робот R19; 
б) робот PlateCrane EX 
 
Прикладами роботів із циліндричною системою координат, які існують на 
ринку, є 4-х осьовий робот R19 від компанії ST Robotic і робот PlateCrane EX від 
компанії Hudson robotics (див. рисунок 1.8). Роботи з циліндричною системою 
координат порівняно рідко використовують у 3D-друку. 
Роботи з полярною або сферичною системою координат 
Робот, рука якого має два обертальних шарніри й один поступальний шарнір, 
осі якого утворюють полярну систему координат, називається полярним роботом 
(див. рисунок 1.9). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Рисунок 1.9 - Конструкція робота з полярною системою координат 
 
Полярні (сферичні) роботи добре відомі в історії робототехніки, оскільки 
перший промисловий робот, Unimate, був сферичним роботом. Unimate був 
винайдений ще в 1950-х роках, і вже в 1961 році приєднався до складальної лінії на 
заводі General Motors і використовувався для лиття під тиском і точкового 
зварювання, оскільки ці застосування виявилися фінансово вигідними. 
Незважаючи на те, що спочатку у них було всього три ступені свободи, 
сферичні роботи значно збільшили продуктивність праці. Цей ривок нової 
технології поклав початок революції промислових роботів і багатьом іншим 
досягненням у промисловій робототехніці. 
Прикладом використання робота з полярною системою координат у 3D-друку є 
принтер Apis Cor, розроблений у 2016 році Микитою Чен-Юн- Тай (див. рисунок 1.10).  
Галуззю застосування 3D-принтера Apis Cor є автоматичний 3D-друк 
будівель, будинків і споруд. 
 
 
Рисунок 1.10 - Принтер компанії Apis Cor 
 
3D-принтер, що має висувну стрілу з екструдером для видавлювання 
хімічного розчину на основі бетону, переміщується з поступальним і обертальним 
рухом у площині XY. Висувний важіль стріли встановлено так, що він здатний 
регулювати висоту в площині XZ. 
Компанія Apis Cor у жовтні 2019 року завершила 3D-друк стінових 
конструкцій двоповерхової адміністративної будівлі для муніципалітету Дубая. 
Висота будівлі становить 9,5 метра, а площа - 640 квадратних метрів, що на той 
момент було найбільшою 3D-друкованою будівлею у світі. 
Що стосується FDM 3D-друку, то кінематична схема 3D-принтера на основі 
робота з полярною системою координат також не є популярною. У 2014 році 
норвезька компанія Polarworks запустила стартап на створення полярного 3D-
принтера Alta Rotary 3d, але подальшого розвитку проєкт не отримав. Simen Svale 
Skogsrud з Polarworks вважає, що його конструкція 3D-принтера Alta Rotary 3d 
може усунути постійний шум - дратівливий момент під час використання 3D-
принтера. 
Роботи SCARA 
Робот, який має два і більше паралельних обертальних шарнірів для 
забезпечення податливості в обраній площині, називається SCARA. Роботи SCARA 
в основному використовуються для складання. Класичний механізм SCARA 
складається з двох паралельних важелів, які забезпечують рух робота в одній 
обраній площині. Цей рух викликає переміщення по осях X-Y. 
Структура робота SCARA являє собою перетин двох маніпуляторів, обидві 
ланки з'єднані разом біля основи. XY рухами робота SCARA керують за допомогою 
двох незалежних моторів (див. рисунок 1.11). Програмне забезпечення SCARA 
використовує процеси інтерполяції та зворотної кінематики для керування 
роботизованими рухами по цих осях. 
Роботи SCARA можуть керувати багатьма типами процесів і 
використовуються для вантаження і розвантаження, нанесення герметика, 
складальних операцій і обробки верстатів. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Рисунок 1.11 - Конструкція роботів SCARA. 
 
Для роботів SCARA розв'язання задач зворотної кінематики є простішим 
порівняно з іншими типами роботів, що призводить до скорочення часу обчислень. 
Вони мають високі показники з точки зору продуктивності та повторюваності. 
Висока повторюваність є обов'язковою у всіх завданнях, пов'язаних зі складанням 
невеликих об'єктів, оскільки їхні допуски можуть становити лише кілька мікрон. 
Завдяки високій повторюваності і, як наслідок, високої точності, на ринку існують 
низка роботів SCARA, які застосовуються в 3D-друку. Наприклад, робот SCARA 
Dobot M1 (див. рисунок 1.12а) від компанії Dobot є комплексною роботизованою 
системою, в якій 3D-друк є лише однією з можливих його функцій. 
Студенти з інженерного коледжу штату Флорида розробляють 3D- принтер 
на основі робота Dexter, який має два маніпулятори SCARA. Кожен маніпулятор 
складається з двох ланок і з'єднаний обертальними шарнірами (див. рисунок 1.12б). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
а) б) 
 
Рисунок 1.12 - SCARA роботи: а) Dobot M1; б) DEXTERДельта-роботи 
 
Робот, руки якого мають ланки, що утворюють структури із замкнутим 
кінематичним контуром, називаються роботами з паралельними ланками (дельта-
роботами). 
Дельта-роботи побудовані з трьох паралелограмів, з'єднаних спільною 
базою. Кожен паралелограм з'єднаний з верхнім важелем за допомогою шарніра 
таким чином, щоб його верхня сторона завжди залишалася перпендикулярною 
своєму важелю і паралельною площині верхньої основи. Рухома платформа робота, 
прикріплена до нижніх сторін паралелограмів, також буде завжди паралельною 
верхній основі. Керування положенням платформи здійснюється за допомогою 
двигунів, шляхом зміни кута повороту верхніх важелів відносно основи робота 
(див. Рисунок 1.13). Дельта-робот здатний до точного переміщення, що робить його 
ідеальним для операцій захоплення і розміщення. Такі роботи використовуються 
здебільшого в харчовій, фармацевтичній та електронній промисловості, для 
високоточних складальних операцій, під час переробки харчових продуктів, 
паяння. 
 
 
 
 
Рисунок 1.13 - Конструкція дельта-роботів 
 
У центрі нижньої платформи кріпиться робочий орган (end effector) робота. 
Він являє собою маніпулятор, захоплювальний пристрій або екструдер (у разі 
використання робота в 3D-друку). 
З додаванням технологій зворотного візуального зв'язку, дельта- роботи 
можуть правильно визначати і вибирати діапазон кольорів об'єкта, варіантів форми 
і розмірів. Вони також можуть використовувати технології зору для вибору і 
розміщення деталей за запрограмованим шаблоном або дизайном. 
На ринку 3D-друку дельта-роботи є досить популярними. Компанія Dobot 
має в лінійці дельта-3D-принтер DOBOT MOOZ-3, оснащений триколірною 
друкуючою головкою (див. Рисунок 1.14). MOOZ-3 може створювати змішані 
кольорові друковані роботи та має дві схеми змішування кольорів у колірному 
режимі CMY для 3D-друку бажаних кольорових візерунків. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Рисунок 1.14 - DOBOT MOOZ - 3  
 
Ще одним прикладом дельта FDM 3D-принтера є ANYCUBIC Predator, 
відмітною особливістю якого є область друку розміром 370×370×455мм і 
автоматична компенсація висоти сопла в режимі реального часу. 
 
 
1.3 Моделі проєктування 
 
Для розроблення будь-якої системи потрібно вибрати модель проєктування. 
Модель проєктування - структура, що містить процеси дії та завдання, які 
здійснюються під час розроблення, використання та супроводу розроблюваної 
системи. Розрізняють такі моделі проектування: 
• Каскадна модель; 
• Спіральна модель; 
• Гнучка модель (Angile); 
• V-модель і Dual Vee-модель тощо. Розглянемо кожну з цих моделей 
докладніше. 
 
Каскадна модель проєктування 
Каскадна модель - це послідовне розроблення продукту, що передбачає чітко 
 
визначену послідовність виконання всіх етапів (рис. 1.15). 
 
 
Рисунок 1.15 - Каскадна модель проєктування  
 
Вимоги до кожного етапу не передбачають змін під час перебігу проекту. В 
кінці кожного етапу проводиться документування итестування, що допомагає 
підтримувати якість проекту. Якщо будь-яка з вимог технічного завдання не була 
виконана, процес розроблення повертається на один або кілька кроків назад. 
Завершення етапу супроводжується публікацією відповідної документації. Перш 
ніж почати виконувати наступний крок, має повністю завершитися попередній. 
Каскадна модель проєктування 
—  це базовий підхід, на якому засновані інші моделі проєктування. 
Переваги каскадної моделі: 
1. Кожен етап завершується в зазначений період часу, після чого він 
переходить до наступного етапу; 
2. Суворе визначення вимог до кожного кроку; 
3. Кожен етап супроводжується належною документацією для 
забезпечення якості розроблення 
 
4. Кількість ресурсів, необхідних для реалізації цієї моделі, порівняно з 
іншими, мінімальна. 
Недоліки каскадної моделі: 
1. Тестування проводиться тільки після повного розроблення продукту, 
через що складно визначити етап, на якому виникла помилка, що призводить до 
погано структурованої системи; 
2. Зі збільшенням складності проєкту збільшується час розробки; 
3. Немає можливості змінити вимоги для поточного процесу розробки. 
 
Спіральна модель проектування 
Основна концепція спіральної моделі - це "згортання" каскадного маршруту 
в спіраль, з кожним витком якого програмний проєкт доповнюється новими 
фрагментами, які відповідають зміненим вимогам. 
 Перевагами спіральної моделі є можливість не встановлювати чіткі вимоги 
до проєкту, і доповнювати їх уже на етапі налагодження. 
 
 
Рисунок 1.16 - Спіральна модель проектування 
 
 
Типовий цикл спіралі має такий вигляд (див. рис. 1.16): 
1) Кожен цикл спіралі починається с визначення цілей розроблюваної 
частини продукту (продуктивність, функціональність, здатність пристосовуватися 
до змін тощо); 
2) Досліджуються альтернативні способи реалізації продукту з огляду на 
вимоги та обмеження. Часто цей процес виявляє області невизначеності, які є 
значними джерелами ризику проекту. Якщо це так, то на наступному кроці 
включається формулювання рентабельної стратегії усунення джерел ризику. 
3) Детальне проектування. Спроєктований фрагмент кодується, 
тестується та інтегрується в програмне забезпечення; 
4) На наступному етапі відбувається оцінювання функціонування всієї 
системи та ухвалюється рішення про подальший розвиток проєкту. 
Наприкінці кожного циклу перевіряється весь обсяг документів, 
підготовлених у попередньому циклі. 
Основний недолік спіральної моделі - це складність визначення моменту 
переходу до нового етапу. Зазвичай цикл обмежують за часом. Але при цьому цикл 
може перейти на наступну ітерацію навіть у разі невиконання всіх робіт 
попереднього етапу. 
 
Гнучка модель проектування 
Гнучка модель (Agile) - це сімейство процесів розробки, а не єдиний підхід. 
Гнучка модель визначає цінності та принципи, якими керується команда 
розробників. Ключовий принцип моделі - розробка через короткі ітерації (цикли), 
наприкінці кожного з яких замовник (користувач) отримує робочий код або 
продукт. Для гнучкої моделі характерна зміна вимог навіть на пізніх стадіях 
розробки (див. рис. 1.17). 
 
 
Рисунок 1.17 - Гнучка модель проектування 
 
З недоліків можна виділити те, що для невеликих проєктів використання 
гнучкої моделі вигідне, але для великих проєктів стає важко розрахувати ресурси, 
необхідні для проєкту. 
 
V-модель і dual-Vee модель проектування 
Модель V (модель Validation & Verification) являє собою модифіковану 
версію каскадного методу. На відміну від каскадного методу, у V-моделі кожен 
крок розробки завершується до початку наступного. Розробник моделі та 
тестувальник працюють паралельно. На рисунку 1.18, показано взаємозв'язок між 
кожним етапом розробки і тестування. Процес розробки збалансований. Перш ніж 
рухатися далі, відбувається перевірка попередніх етапів на наявність помилок. V- 
модель виконується на кількох рівнях декомпозиції, від рівня архітектури до рівня 
реалізації. Процес у цій моделі йде за V-подібною траєкторією. 
Вважається, що ліворуч розташовується низхідна гілка, яка відповідає за 
розробку і декомпозицію, а праворуч розташовується висхідна гілка, яка відповідає 
за тестування та інтеграцію. 
 
Переваги V-моделі: 
1. Роль тестувальника задіяна безпосередньо на етапі формування вимог; 
2. Зміна вимог можлива на будь-якому етапі розробки. 
Таким чином можна зробити висновок, що V-модель ідеально підходить для 
малих і середніх проєктів із чітко визначеним технічним завданням. 
Недоліки V-моделі: 
1. Якщо будь-які зміни відбуваються на півдорозі, необхідно оновлювати 
не тільки документи з вимогами, а й тестову документацію. 
2. Не пропонується для короткострокових проєктів, оскільки потребує 
аналізу на кожному етапі. 
Подвійна V-модель, або dual-Vee-модель ґрунтується на V-моделі для 
управління системою систем. Модель dual-Vee, на відміну від V- моделі, містить 
два типи V-маршрутів. Перший тип - архітектурний, використовується для 
розроблення архітектури системи, що складається з набору сутностей, які мають 
бути реалізовані на всіх рівнях архітектури. Другий тип розроблення - сутнісний, 
він відповідає за створення кожного об'єкта в рамках архітектурного доповнення. 
 
Рисунок 1.18 - V-модель проектування 
Недолік dual-Vee-моделі - надмірність для тих випадків, коли процес 
проектування досить повно описується V-моделлю. Перевагою dual-Vee- моделі є 
те, що вона краще підходить для проєктування складних багаторівневих систем, 
 
розробка яких потребує багато часу та грошей на кожному рівні декомпозиції. 
 З огляду на специфіку проектування 3D-принтерів, для них найкращою 
є V-модель розробки. Вибір V-моделі порівняно з іншими моделями зумовлений 
такими чинниками: 
 3D-принтери - програмно-апаратні комплекси, в яких механічна 
складова безпосередньо впливає на програмну, і навпаки. У зв'язку з цим помилки 
проєктування, зокрема на ранніх етапах, можуть бути занадто дорогими, що 
тягнуть за собою необхідність перепроєктування обох складових. Тому каскадна 
модель тут менш краща, ніж V-модель. 
 3D-принтери - складні пристрої. Проєктування і виготовлення 
прототипів може займати місяці і навіть роки, а промислове виготовлення однієї 
моделі може тривати від кількох років до десятиліття і більше. Тому моделі 
гнучкого та спірального розроблення тут також менш переважні. 
 
 
1.4 Помилки під час FDM 3D-друку 
 
Під час 3D-друку досить часто виникають помилки, які впливають на його 
якість. Дефекти друку можна згрупувати відповідно до таким чином: 
• Нахил і зміщення платформи друку; 
• Зміщення сопла; 
• Засмічення сопла; 
• Виснаження друкованого матеріалу або порушення подачі філамента; 
• Відсутність або втрата адгезії до друкованої платформи; 
• Вібрація (від принтера або іншого джерела); 
• Неточні налаштування параметрів принтера; 
Крім перерахованих вище помилок існують кілька помилок, які пов'язані з 
програмним забезпеченням. Існує принципова похибка між ідеальною бажаною 
формою і даними STL-файлу, оскільки він описує не точні геометричні форми, а 
апроксимації трикутними площинами, що породжує різницю між ідеальними і 
 
фактичними формами контурів. Тривимірна модель розрізається на серію 
двовимірних контурів перерізів, основними елементами яких є точка і лінія. Форма 
контуру кожного шару може бути такою, що складається тільки з прямих ліній, 
складається тільки з кривих або складається з прямих ліній і кривих. Що стосується 
контурів перерізів, складених тільки з кривих, то для них зазвичай приймається 
апроксимація прямими лініями. Для поділу трикутних площин використовується 
принцип медіани та інтерполяції. Що більше разів виконується розбиття, то вища 
точність апроксимації. 
Усунення або своєчасне виявлення помилок друку дає змогу скоротити 
витрати матеріалу і часу, які витрачаються на "неправильний" 3D-друк. Час друку 
великих об'єктів на FDM 3D- принтерах може становити до 20 і більше годин. Для 
забезпечення постійного моніторингу проблем, користувачі та виробники 3D-
принтерів розміщують відеокамери (веб-камери) поруч або всередині принтера. 
Існують і інші способи виявлення помилок друку, наприклад Craeghs T. et al. для 
моніторингу процесу за технологією пошарового лазерного сплавлення 
використовують оптичний датчик, який являє собою планарний фотодіод великої 
площі. У дослідженні Kim C. et al. було встановлено, що тиск екструзії в соплі FDM 
принтера впливає на струм мотора подачі нитки, що можна використовувати для 
виявлення проблем із подачею нитки. А Krauss H. et al., у своєму дослідженні, для 
моніторингу процесу прямої лазерної плавки використовують термографію. 
Зсув і деформація платформи друку 
Зсув платформи друку за осями координат, особливо за віссю Z (у т.ч. 
нерівномірний через деформацію), може спричинити серйозні проблеми. Якщо 3D-
принтер не відкалібрований або налаштований неправильно, то сопло або 
друкована платформа можуть бути деформовані. Якщо товщина шару не 
відрегульована належним чином, наступний шар не може прилипнути до 
попереднього (рис. 1.19). Крім того, зміщення платформи друку може спричинити 
різні проблеми, як-от: втрата адгезії до друкарської платформи, зміщення сопла за 
віссю Z, вигинання надрукованих шарів. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Рисунок 1.19 - Проблема адгезії шарів 
 
Для розв'язання цих проблем потрібно, щоб різьбові стрижні або ходові 
гвинти, які використовуються в 3D-принтері, було перевірено на предмет вигинів 
або сторонніх предметів, які можуть перешкоджати руху платформи.  
Зміщення сопла 
Деякі проблеми, які впливають на роботу двигунів, ременів і шківів, також 
впливають на положення сопла. Помилки друку, які можуть відбуватися через 
зміщення сопла: погане вибудовування, відсутність, зміщення або згинання шарів 
(див. рис. 1.20). Шківи, шестерні або ремені, що прослизають, можуть призвести до 
невеликого зміщення друкованої моделі та її нахилу. 
Для запобігання цим проблемам слід вжити певних заходів, наприклад, 
затягнути настановні гвинти на шківах двигунів осей X і Y, і перевірити їхню 
прямолінійність. Перевірити, чи немає зміщення друкованої платформи. Також 
важливо очищати сопло від зайвого пластику, протирати стрижні та змащувати 
необхідні деталі. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Рисунок 1.20 - Зміщення шарів 
 
Крім того, слід перевірити положення кінцевих вимикачів, якщо сопло виходить 
за один із країв: це означає, що кінцевий вимикач не працює по осі X або Y. 
 
Виснаження друкованого матеріалу або порушення подачі філамента 
Перед початком друку моделі слід перевірити, чи достатньо матеріалу на 
котушці. Але проблеми з філаментом пов'язані не тільки з недоліком пластику, а й 
із засміченим соплом, нерівномірною подачею нитки, зі сплутуванням і 
обриванням нитки, або якщо нитка надто малого діаметра. Щоб уникнути 
перерахованих вище проблем, слід використовувати високоякісний матеріал і 
дотримуватися інструкції щодо його зберігання. Пластик, який перебуває довгий 
час без вакуумної упаковки, починає вбирати в себе вологу. Через це змінюються 
його властивості, що веде до неякісного і непередбачуваного друку. 
Основна проблема, пов'язана з подачею філамента, - засмічення сопла (див. 
рис. 1.21). Основні причини засмічення сопла: 
• шар було надруковано за занадто великої температури; 
• принтер залишався бездіяльним із нагрітим соплом; 
• у сопло екструдера міг потрапити пил і бруд; 
• пруток філаменту містить домішки; 
• сопло рідко очищалося, і на ньому утворився наліт. 
• температура пластику, який використовувався під час попереднього друку, 
сильно відрізняється від температури поточної нитки. 
 
  
філамент нагар, що засмічує сопло 
 
 
 
 
Рисунок 1.21 - Засмічення сопла 
 
Для усунення цих проблем рекомендується дотримуватися правильних 
налаштувань температур, використовувати пластик хорошої якості і перевіряти 
сопло на наявність забруднень. 
 
Відсутність або втрата адгезії до друкованої платформи 
У деяких випадках філамент не прилипає до друкованої платформи (див. 
рис. 1.22), і є кілька причин виникнення цієї проблеми: 
• деформована друкована платформа; 
• відсутнє калібрування сопла щодо столу; 
• недостатня температура нагріву друкованої платформи; 
• недостатня температура нагріву прутка; 
• друкована платформа забруднена. 
 
Рисунок 1.22 – Втрата адгезії під час друку 
 
Для вирішення цієї проблеми потрібно перевірити положення і стан 
друкованої платформи, налаштування температур, якість матеріалу. Якщо на 
друкованій платформі використовується скляна основа, але для збільшення адгезії 
рекомендується використовувати клей перед початком друку, щоб посилити 
фіксацію деталі. 
 
Неточні налаштування параметрів 3D-принтера 
Налаштування принтера дають змогу керувати багатьма змінними, як-от 
товщина шару, кут підтримок, температура екструзії, температура платформи, 
швидкість друку, коефіцієнт витрати екструдера, відстань між соплами, тип 
заповнення, щільність заповнення, поверхневі шари, опори тощо.  
Усі вони є дуже важливими параметрами для оцінки якості друку. Крім того, 
розмір отворів зменшується через особливості пластику. Дослідним шляхом 
встановлено, що під час друку PLA і PETG у моделі потрібно збільшити діаметр 
невеликих отворів приблизно на 0.3 мм порівняно з бажаним. Звисання пасом 
можна запобігти, збільшивши кут опори, швидкість вентилятора і зменшивши 
товщину шару. 
 
Вплив вібрації на друк 
Однією з проблем, що впливають на якість друку, є вібрація. Вібрація 
виникає під час переміщення екструдера, особливо, на виникнення вібрації 
впливають прискорення та ривки 3D-принтера. Вібрація може спричинити видимі 
хвилі на поверхні друкованої деталі (див. 1.23). 
 
 
 
Рисунок 1.23 - Дефект, що виникає через вібрації 3D-принтера 
 
Вібрація також може виникати через погане обслуговування та зношення 
лінійних підшипників. Таким чином, для того, щоб запобігти деформації 
друкованої моделі, всі болти, установчі гвинти, біти, шківи мають бути достатньо 
затягнуті, рейки мають бути очищені від бруду і пилу, а підшипники мають бути 
добре змазані. Якщо всі механічні заходи було вжито, але на друкованій моделі все 
ще залишаються видимі хвилі через вібрацію, то одним із варіантів вирішення є 
зниження швидкості друку. 
Також для вирішення проблеми виникнення хвиль можна використовувати 
вбудоване програмне забезпечення Klipper. Основна ідея Klipper в усуненні 
дефектів від вібрації за допомогою методу управління без зворотного зв'язку, який 
створює командний сигнал, що гасить власні вібрації. 
На відміну від інших розглянутих дефектів, вібрація є неспецифічною 
причиною дефектів, тобто може проявлятися під час застосування 
найрізноманітніших технологій тривимірного друку, як-от друк розплавленою 
ниткою, керамікою, бетоном, зварюванням тощо. Меншою мірою до неї схильні 
принтери, в яких матеріал доставляється або модифікується лазерним або 
плазмовим променем. 
 
Висновки за розділом 1  
Головним протиріччям при створенні 3D-принтера є зменшення похибок і 
дефектів друку, при одночасному збільшенні швидкості друку, в рамках заданої 
 
технології адитивного виробництва. На точність виробу впливає сума помилок, що 
виникають упродовж усього виробничого процесу, починаючи з сегментації 
моделі, створення файлу у форматі STL, закінчуючи 3D-друком і постобробкою. 
Усі ці кроки залежать від механіки 3D-принтера, особливостей техпроцесу, 
програмного забезпечення і від користувача. 
Основні помилки 3D-друку пов'язані з властивостями процесу 3D-друку. 
Деякі проблеми на сучасному рівні розвитку технології вирішені лише частково, 
наприклад, виникнення деформацій друкованої моделі через вібрації або зміщення 
столу та сопла.  
Для підвищення якості проєктування потрібна можливість врахування в 
моделі вібрацій, що виникають під час роботи адитивної системи. 
Для зменшення похибок важливо, щоб кінематична схема 3D- принтера і 
відповідні компоненти механіки обирали згідно з техпроцесом, проводили 
вичерпний аналіз конструкції, а вбудоване ПЗ 3D-принтера враховувало 
особливості механіки.  
Для цього потрібне введення нового САПР для 3D-принтерів або, 
щонайменше, нового методичного та програмного забезпечення САПР. 
У результаті огляду технологій 3D-друку та різних конструкцій роботів, було 
виявлено важливі проблеми предметної області: 
• Відсутня  систематично  викладена  методика  проектування  3D- 
принтерів; 
• Відсутні спеціалізовані інструменти аналізу механічної конструкції 
3D-принтера; 
• Відсутність систематизації 3D-принтерів усередині кожного великого 
класу кінематичних схем (напр., декартових), що призводить до труднощів 
створення ескізного проєкту 3D-принтера і може сприяти значному зростанню 
витрат на всіх стадіях життєвого циклу пристрою. 
Виходячи з вище перерахованих проблем поставлено такі завдання 
дослідження: 
1. Виявлення релевантних ознак, що вирізняють різні кінематичні схеми 
 
3D-принтерів і створення систематизації на основі цих ознак. 
2. Розробка математичного забезпечення підсистеми ескізного проєктування 
САПР екструзійних 3D-принтерів, зокрема математичної моделі механічної 
складової 3D-принтера, підхід до розрахунку його власних частот, а також 
алгоритм вибору кінематичної схеми. 
3. Розробка програмного забезпечення підсистеми ескізного проектування 
САПР екструзійних 3D-принтерів для частотного аналізу механічної частини 
екструзійних систем тривимірного друку. 
 
 
 
 
 
 
  
 
РОЗДІЛ 2 
МАТЕМАТИЧНЕ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ САПРЕКТСРУЗІЙНИХ  
3D-ПРИНТЕРІВ 
 
Згідно з ГОСТ Р 60.0.0.4, декартовий робот (робот із декартовою системою 
координат) визначається як робот, сукупність трьох взаємопов'язаних ланок і 
шарнірів, осі яких утворюють декартову систему координат. 
У цьому розділі викладено систематизацію декартових роботів, на прикладі 
3D-принтерів, проведено моделювання деформацій і власних частот для кожної 
схеми, що має фізичний прототип. 
 
2.1 Систематизація декартових роботів 
Під систематизацією розуміється система групування декартових роботів 
відповідно до їхніх спільних ознак. Для поліпшення характеристик FDM 3D-
принтерів, розробники придумують і використовують різноманітні кінематичні 
схеми на основі декартових роботів. При будівництві 3D-принтерів 
використовуються або системи з циліндричними напрямними, або системи з 
лінійними рейками.  
Ці системи є взаємозамінними, але системи з лінійними рейками є більш 
точними порівняно з лінійними напрямними. Тому в ілюстраціях до цієї 
систематизації в 3D-моделях принтерів використовується система з лінійними 
рейками. 
Під час створення власної адитивної системи важливим питанням є вибір 
кінематичної схеми. Основними критеріями вибору є вартість, вага, надійність та 
експлуатаційні можливості всієї конструкції. Правильний вибір схеми визначає 
якість одержуваного продукту. 
На жаль, на сьогоднішній день не існує будь-якої систематизації 
кінематичних схем 3D-принтерів, заснованих на роботах з декартовою системою 
координат. Існує лише опис найбільш популярних схем, наприклад, схема 
портального робота. У цьому розділі запропоновано систематизацію кінематичних 
 
схем 3D-принтерів. 
Мета систематизації: спростити вибір кінематичної схеми, зважаючи на 
завдання та особливості даної системи адитивного виробництва під час її 
проєктування шляхом систематизації конструкторських рішень щодо декартових 
роботів для 3D-друку. Дослідження всіляких кінематичних схем дасть змогу 
наочно показати, які кінематичні схеми використовуються або коли-небудь 
використовувалися, а які не використовувалися для створення 3D-принтерів. 
Систематизація розглядається щодо двох не з'єднаних жорстко одна з одною 
частин 3D-принтера: рами з робочим органом (екструдером) і робочої поверхні для 
друку (столом). Ці частини розглядаються окремо, оскільки вони розділені в 
просторі деталлю, що друкується, і рухаються одна відносно одної. Екструдер і стіл 
мають власні системи координат (X, Y, Z). 
Для рами з екструдером позначимо координатні осі як XЕ , YЕ , ZЕ , а для 
столу XС , YС , ZС .  
Кінематичні схеми сучасних декартових принтерів містять різні варіації 
рухливості та нерухомості цих осей. Для забезпечення працездатності системи 
потрібна рухливість частин 3D-принтера вздовж осей X, Y, Z. Наприклад, якщо 
вся система координат, яка прив'язана до робочої поверхні для друку, нерухома, 
то екструдер повинен рухатися вздовж осей XЕ , YЕ , ZЕ . Далі, для стислості буде 
вживатися "вісь", маючи на увазі набір механічних елементів (балки, напрямні), 
призначених для переміщення робочого органу робота уздовж даної осі 
координат. У систематизації рухома вісь позначається (П), а нерухома, фіксована 
(Ф) (див. таблицю 2.1). 
У таблиці наведено всі можливі, але не обов'язково наявні варіації поєднання 
рухомих і фіксованих осей. Осі X і Y є взаємозамінними, тому взаємно наведені 
випадки поєднання осей X і Y (рядки під номерами 6 і 7) далі в систематизації 
розглядатися не будуть. 
 
 
 
 
Таблиця 2.1 - Систематизація декартових 3D-принтерів за фіксованими та 
рухомими осями 
№ Робоча поверхня (стіл) Рама 
XС YС ZС XЕ YЕ ZЕ 
1 Ф Ф Ф П П П 
2 Ф Ф П П П Ф 
3 Ф П Ф П Ф П 
4 Ф П П П Ф Ф 
5 П П Ф Ф Ф П 
6 П Ф П Ф П Ф 
7 П Ф Ф Ф П П 
8 П П П Ф Ф Ф 
 
Під час вивчення різних кінематичних схем декартових 3D- принтерів можна 
помітити різницю в кількості точок кріплення осей відносно одна одної. Вісь може 
кріпиться як за допомогою однієї точки кріплення, так і за допомогою декількох 
точок. Різні варіанти кріплення осей безпосередньо впливають на жорсткість 
конструкції 3D-принтера, на вплив люфтів з'єднань і на якість 3D-друку. Під час 
складання систематизації, щодо точок кріплення, потрібно роз'яснити поняття 
замкнутості та розімкненості. 
Замкнутість за віссю - рухома вісь має не менше ніж дві точки кріплення до 
нерухомої основи або елементів іншої осі. 
Розімкненість за віссю - рухома вісь має одну точку кріплення до нерухомої 
основи або елементів іншої осі. 
 
 
 
 
 
У систематизації, замкнутість і розімкненість розглядатимуться тільки для 
рухомих осей, оскільки замкнутість і розімкненість рухомих осей впливають на 
збільшення впливу люфтів і пружних деформацій на відміну від фіксованої осі, де 
рухи значно обмежені. Розімкненість позначатиметься Пр , а замкненість 
позначатиметься Пз . На рисунку 2.1 представлено дерево систематизації відносно 
осей екструдера або столу. 
 
 
Рисунок 2.1- Дерево систематизації 
 
Далі в роботі будуть розглянуті варіанти схем з таблиці 2.1, наведені 
приклади існуючих 3D-принтерів, і створені їхні тривимірні моделі за кожною 
схемою, з додаванням інформації про замкненість, розімкненість рухомих рами і 
столу. Для кожної схеми, яка має фізичний прототип, складено її схематичну 3D-
модель у САПР Fusion 360. 
 
Фіксовані ХС, YС, ZС і рухливі ХЕ, YЕ, ZЕ 
Розглянемо можливі варіанти замкнутості та розімкнутості по осях XЕ 
, YЕ , ZЕ (див. таблицю 2.2) 
 
 
 
Таблиця 2.2 - Фіксовані XС , YС , ZС та рухомі XЕ , YЕ , ZЕ 
№ XС YС ZС XЕ YЕ ZЕ 
1    Ф Ф Ф Пр Пр Пр 
2    Пр Пз Пз 
3    Пз Пз Пр 
4    Пз Пз Пз 
5    Пр Пр Пз 
6    Пр Пз Пр 
7    Пз Пр Пр 
8    Пз Пр Пз 
Огляд наявних рішень 3D-принтерів показав, що багато варіантів, 
представлених у таблиці 2.2 кінематичних схем, не використовуються на практиці, 
окрім номера три і чотири. Сьомий і восьмий рядки викреслені через 
взаємозамінність осей XЕ , YЕ . 
Прикладом 3D-принтера із замкнутими осями XЕ , YЕ і розімкненою ZЕ є 3D-
принтер Creality Sign T5, який використовується длядруку 3D промоматеріалів 
(див. рисунок 2.2). Використання розімкнутої ZЕ тут зумовлено невеликою 
вимогою до ходу за Z координатою. Цю конструкцію також використовують для 
створення адитивних систем у живописі. 
Прикладами 3D-принтерів із замкнутими осями XЕ , YЕ , ZЕ в першу чергу є 
будівельні принтери, такі як Спецавіа АТМ S-300, такі як Спецавіа АТМ S-300, 
BOD та ін. (див. рисунок 2.3).Створення 3D-принтерів із повним фіксуванням столу 
є не зручним технічним рішенням, а радше вимушеним 
 
 
Рисунок 2.2 - Схематична 3D-модель принтера Creality Sign T5 
 
 
Рисунок 2.3 - Схематична 3D-модель будівельного принтера  
 
Вибір конфігурації будівельних принтерів можна пояснити тим, що 
фіксування XС , YС , ZС дано від самого початку, (ми не можемо рухати платформу, 
на якій будують будівлю), а для максимальної жорсткості конструкції, що дуже 
важливо для будівельного принтера, зважаючи на його розміри, використовують 
замкненість за всіма трьома осями. 
 
 
Фіксовані ХС, YС, ZЕ та рухомі ХЕ, YЕ, ZС 
Розглянемо можливі варіанти замкнутості та розімкненості за осями 
XЕ , YЕ , ZС (див. таблицю 2.3). 
 
Таблиця 2.3 - Фіксовані XС , YС , ZЕ та рухомі XЕ , YЕ , ZС 
№ XС YС ZС XЕ YЕ ZЕ 
1 Ф Ф Пр Пр Пр Ф 
2   Пз Пр Пз  
3   Пр Пз Пз  
4   Пз Пз Пз  
5   Пз Пр Пр  
6   Пр Пр Пз  
7   Пр Пз Пр  
8   Пз Пз Пр  
У цій таблиці також виявилося два варіанти, які використовуються на 
практиці. Обидва варіанти є найбільш популярними серед усіх конструкцій. 
Прикладом 3D-принтера із замкнутими осями XЕ , YЕ і розімкненою ZС є Anycubic 
4max Pro (див. рисунок 2.4). 
 
Рисунок 2.4 - Схематична 3D-модель принтера Anycubic 4max Pro 
 
 
Прикладом 3D-принтера із замкненими осями XЕ , YЕ , ZС є 3D- принтер 
Total Z Anyform (див. рисунок 2.5). 
 
Рисунок 2.5 - Схематична 3D-модель принтера Total Z Anyform  
 
Як можна замінити, дані 3D-принтери відрізняються тільки замкнутістю столу 
за віссю Z, що позначається на жорсткості столу. Як  правило, 3D-принтери із 
замкнутістю по осі ZС коштують на порядок дорожче. 
 
Фіксовані ХС, YЕ, ZС і рухливі ХЕ, YС, ZЕ 
Розглянемо можливі варіанти замкнутості та розімкненості за осями XЕ , YС, 
ZЕ (див. таблицю 2.4). 
У таблиці, наведеній вище, є два варіанти, які використовуються на практиці. 
Перший варіант із замкнутими осями YС , XЕ і розімкненою ZЕ є класичним 
випадком портального робота (див. рисунок 2.6).  
 
 
 
 
 
 
Таблиця 2.4 - Фіксовані XС , YЕ , ZС та рухомі XЕ , YС , ZЕ 
№ XС YСZС XЕ YЕ ZЕ 
1 Ф ПрФ Пр Ф Пр 
2  Пз Пр  Пз 
3  Пз Пз  Пр 
4  Пз Пз  Пз 
5  Пр Пр  Пз 
6  Пз Пр  Пр 
7  Пр Пз  Пр 
8  Пр Пз  Пз 
Цей варіант дуже популярний на ринку 3D-принтерів через свою дешевизну і 
простоту конструкції. Прикладом портального 3D-принтера є Wanhao Duplicator i3. 
 
Рисунок 2.6 - Схематична 3D-модель Wanhao Duplicator i3 
Другий варіант із розімкненими осями XЕ , ZЕ і розімкненою YС є 
спрощеною версією попередньої моделі, і однією з найбільш дешевих варіацій 
декартових 3D-принтерів. Прикладом такого 3D- принтера є 3D-принтер від тієї ж 
компанії Wanhao, 3D-принтер Wanhao Duplicator i3 Mini (див. рисунок 2.7). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Рисунок 2.7 -Схематична 3D-модель Wanhao Duplicator i3 Mini 
 
Фіксовані ХС, YЕ, ZЕ та рухомі ХЕ, YС, ZС 
Далі розглянемо можливі варіанти замкнутості і розімкнутості по осях XЕ , 
YС , ZС (див. таблицю 2.5). 
Таблиця 2.5 - Фіксовані XС , YЕ , ZЕ та рухомі XЕ , YС , ZС 
№ XС YС ZС XЕ YЕ ZЕ 
1 Ф Пр Пр Пр Ф Ф 
2  Пз Пз Пр   
3  Пз Пр Пз   
4  Пз Пз Пз   
5  Пр Пз Пр   
6  Пз Пр Пр   
7  Пр Пр Пз   
8  ПрПз Пз   
 
 
Варіант 3D-принтера з двома рухомими осями столу трапляється доволі 
рідко, і має існуючі фізичні прототипи з розімкнутими YС , ZС та замкненою XЕ 
(див. рисунок 2.8). Прикладом 3D-принтера з розімкненими YС , ZС та замкненою 
XЕ є Felix 3.0. 
 
 
Рисунок 2.8 - Схематична 3D-модель Felix 3.0  
 
Виробник Felix 3.0 стверджує, що завдяки такиі конструкції 3D-принтер 
може розвивати досить велику швидкість друку порівняно з налогами, яка не 
впливає на якість друку. 
Фіксовані ХЕ, YЕ, ZС і рухомі ХС, YС, ZЕ 
Розглянемо можливі варіанти замкнутості та розімкненості за осями 
XС , YС , ZЕ (див. таблицю 2.6). 
 
Таблиця 2.6 - Фіксовані XЕ , YЕ , ZС та рухомі XС , YС , ZЕ 
№ XС YС ZС XЕ YЕ ZЕ 
1 Пр Пр Ф Ф Ф Пр 
2 Пр Пз    Пз 
3 Пз Пз    Пр 
4 Пз Пз    Пз 
5 Пр Пр    Пз 
6 Пр Пз    Пр 
7 Пз Пр    Пр 
8 Пз Пр    Пз 
 
 
Дослідження ринку засвідчило, що наразі у продажу не існує фізичного 
прототипу декартового 3D-принтера з рухомими XС , YС , ZЕ і фіксованими XЕ , YЕ 
, ZС , або що ця конструкція зустрічається вкрай рідко. 
 
Фіксовані ХЕ, YЕ, ZЕ і рухливі ХС, YС, ZС 
Розглянемо можливі варіанти замкнутості та розімкненості за осями 
XС , YС , ZЕ (див. таблицю 2.7). 
 
Таблиця 2.7 - Фіксовані XЕ , YЕ , ZЕ та рухомі XС , YС , ZС 
№ XС YС ZС XЕ YЕ ZЕ 
1 Пр Пр Пр Ф Ф Ф 
2 Пр Пз Пз    
3 Пз Пз Пр    
4 Пз Пз Пз    
5 Пр Пр Пз    
6 Пр Пз Пр    
7 Пз Пр Пр    
8 Пз Пр Пз    
 
Як і в попередньому випадку, 3D-принтера з такою конструкцією, який 
використовується на практиці, у продажу немає. Ймовірно, така конструкція не 
зовсім підходить для 3D-друку, переміщення робочої поверхні для друку за всіма 
трьома осями може позначитися на якості друку, оскільки зазвичай робоча 
поверхня друку значно важча за екструдер. Але можливо, що конструкції такого 
типу використовуються або будуть використовуватися для інших адитивних 
технологій, де повне фіксування екструдера пояснюється його габаритами і масою. 
Підсумкова систематизація декартових роботів 
Виходячи з перерахованої вище інформації можна скласти повну 
систематизацію наявних декартових 3D-принтерів (див. таблицю 2.8). У 
 
систематизації відображено фіксовані та рухомі осі для кожного випадку, а також 
замкненість і розімкненість за кожною рухомою віссю. 
Таблиця 2.8 - Повна систематизація наявних декартових 3D-принтерів, що 
існують 
№ XС YС ZС XЕ YЕ ZЕ 
1 Ф Ф Пр Пз Пз Ф 
2 Ф Пз Ф Пз Ф Пр 
3 Ф Пз Ф Пр Ф Пр 
4 Ф Ф Ф Пз Пз Пр 
5 Ф Ф Ф Пз Пз Пз 
6 Ф Ф Пз Пз Пз Ф 
7 Ф Пр Пр Пз Ф Ф 
 
Із 48 можливих конструкцій (8 взаємозамінних) вийшло виділити сім схем 
наявних конструкцій. З таблиці 2.9 видно, що рухомі осі частіше проектують 
замкнутими для більшої жорсткості конструкції. Систематизація показує, що 
використовуються тільки чотири варіанти поєднання фіксованих і рухомих осей по 
два окремі випадки в кожному варіанті. Варто зазначити, що в трьох із семи 
випадків стіл має тільки одну рухому вісь. У двох випадках, стіл повністю 
фіксований і в одному випадку стіл має дві рухомі осі. Рухливість столу 
розглядається не випадково, оскільки вона впливає на точність друку. Схеми 3D-
принтерів за кожною таблицею показано в додатку В. 
 
 
2.2 Дослідження статичних деформацій декартових 3D-принтерів 
 
Після розгляду всіх наявних конструкцій 3D-принтера виникає питання про 
те, які з цих конструкцій найкраще підходять для 3D-друку за допомогою тієї чи 
іншої технології, і дають змогу створити принтер з оптимальним співвідношенням 
між вартістю, вагою всієї конструкції, надійністю та її експлуатаційними 
 
можливостями. Зрештою, потрібно вирішити, яку схему вибрати, виходячи з 
перерахованих вище критеріїв. Систематизація, представлена вище, була складена 
для того, щоб зрозуміти, які існують можливі варіанти схем 3D-принтерів, і щоб 
допомогти з початковим вибором схеми. Основним критерієм під час оцінювання 
різних конструкцій з однаковим набором компонентів є деформації, що виникають. 
Згідно зі складеною систематизацією, були зроблені розрахунки і пораховані 
деформації для кожної схеми, що має наявний аналог. Деформації, яких зазнає 3D-
принтер, обрані для моделювання: 
• деформація під дією сили тяжіння 
• деформація під дією прискорення (сила інерції) 
Ці деформації були обрані оскільки вони найбільше впливають на 
характеристики принтера. Коли екструдер починає свій рух, він викликає протидію 
рами, і якщо принтер починає рухатися різко з прискоренням по одній з осей, то 
матеріал наноситься нерівномірно через деформацію рами. На початку процесу 
друку нанесеться більше матеріалу, ніж потрібно. Коли рама почне відігравати 
деформацію, що виникла, екструдер нанесе спочатку менше матеріалу, а коли етап 
прискорення закінчиться, екструдер нанесе матеріалу стільки скільки потрібно. Ці 
деформації спричиняють похибку в якості друку. 
Далі в розділі буде представлено результати моделювання деформацій, 
перерахованих вище, для кожної зі схем у складеній систематизації (див. таблицю 
2.8). САПР, яка використовується для симуляційного моделювання - Fusion 360 
модуль Simulation. 
 
Опис методики дослідів 
Для проведення моделювання було створено 3D-моделі конструкцій 
принтерів, представлених у таблиці 2.9. Щоб наочно продемонструвати обмеження 
і можливості досліджуваних схем, усі 3D-моделі були змодельовані з однакових 
компонентів і матеріалів. Основною схожістю всіх моделей також є габарити 
каркаса 3D-принтера, що дорівнюють 40×40×40 см. 
Основні компоненти, що використовуються в 3D-моделях, зведено в         
 
таблицю 2.9. 
Таблиця 2.9 - Основні компоненти для моделей 3D-принтерів 
№ Назва Матеріал 
1 Верстатний алюмінієвий профіль 20×20 Алюміній 6060-T5 
2 Рейкова профільна напрямна направляюча 12 Загартована сталь 
мм 
3 Каретка лінійна для рейкової направляючої Загартована сталь, 
12 мм композитний матеріал 
4 Лінійний підшипник LM12UU Вуглецева сталь, 
поліамід 
5 Кругла напрямна 12мм Загартована сталь 
Тримач направляючої з кріпленням на Загартована сталь 
площина 12 мм 
Кроковий двигун Nema 17 (0,26 кг) - 
Нагрівальний стіл для 3D-принтера Алюміній 
20×20×3 см 
Екструдер (0,5 кг) - 
 
Вище наведені компоненти є найбільш популярними при створенні 3D-
принтерів. Розміри компонентів були обрані виходячи з габаритів рами 40×40×40 
см. Такі компоненти, як екструдер і кроковий двигун Nema 17, складаються з різних 
матеріалів, але головна інформація, яка буде використовуватися в симуляції, це 
їхня маса. Nema 17 важить, у середньому, 0,26 кг.  
Екструдер залежно від компонентів має різну масу, в середньому рівну 0,5 кг. 
Перед проведенням дослідження необхідно налаштувати полігональну сітку 
моделі. Якість сітки в процесі скінченно-елементного розрахунку впливає на 
точність результатів і залежить, здебільшого, від двох параметрів - форми 
скінченних елементів і ступеня дискретизації геометричної моделі. 
Результат скінченно-елементного аналізу буде найточнішим, якщо елементи 
 
(тетраедри та трикутники), які утворюють сітку моделі, близькі за формою до 
рівносторонніх. Навпаки, якщо сіткова модель містить елементи, які сильно 
відрізняються за розмірами, результати моделювання можуть мати недостатню 
точність. Для зміни форми кінцевих елементів необхідно використовувати 
параметри налаштування сітки у Fusion 360, щоб домогтися зменшення кількості 
подібних елементів. Зрештою, необхідно домогтися, наскільки це можливо з огляду 
на геометрію моделі, однорідного розподілу форми елементів, що утворюють сітку. 
Ступінь дискретизації вихідної геометричної моделі, тобто кількість елементів 
скінченно-елементної сітки можна так само змінити за допомогою параметрів 
налаштування сітки, зазначаючи відносний або абсолютний середній розмір 
скінченних елементів. Зі збільшенням ступеня дискретизації збільшується і 
кількість скінченних елементів, отже, і час виконання скінченно-елементного 
аналізу. Fusion 360 як і більшість CAD та CAE програм використовують хмарні 
обчислення, але які обмежені за часом у 12 годин. Тому завдання інженера знайти 
золоту середину між точністю дослідження та часом його виконання. Fusion 360 
містить інструмент для локального налаштування сітки, що дає змогу 
встановлювати різні ступені дискретизації для кожного тіла або грані в моделі. 
Для проведення симуляцій на виявлення деформацій використовується 
дослідження на статичні деформації (Static Stress study). Для кожного 3D-принтера 
проводиться два типи статичного дослідження з чотирма видами навантажень 
(Load Case).  
Для полегшення моделі, всі крокові двигуни замінюються на масу, що 
дорівнює 0,26 кг, яка діє в місці сполучення сусіднього компонента. 
Перше статичне дослідження складається із симуляції на перевірку 
деформацій під дією сили тяжіння і трьох варіантів дії сили інерції на екструдер. 
Згідно з другим законом Ньютона, 
��
��                                                       (2.1) 
де �� - сила інерції (векторна), �� - прискорення екструдера, �� - маса 
екструдера, що дорівнює в усіх дослідженнях 0,5 кг.  
 
Прискорення в трьох випадках приймається рівним 300, 900 і 10000мм/с2 
відповідно. 
Прискорення екструдера, що дорівнює 300 мм/с2,є найбільш використаним 
під час друку деталей на 3D-принтері. Прискорення екструдера рівне 900 мм/с2 
використовується при переміщенні екструдера в момент, коли друк не 
відбувається. Прискорення екструдера, що дорівнює 10000 мм/с2 , - це 
максимальне значення, прискорення, яке можливо задати в широко 
використовуваних слайсерах, таких як Cura і т.д. Оскільки дослідження статичне, 
для всіх компонентів застосовується пов'язаний тип контакту (bounded contact), 
тобто геометрія компонентів жорстко фіксується в місці сполучення. 
Друге статичне дослідження відрізняється від першого тільки наявністю на 
робочій поверхні для друку великої деталі, що дорівнює ~ 4.5кг.  
Цей тип статичного дослідження допомагає розглянути варіанти поведінки 
деформацій під час друку деталей великого розміру. 
Вихідними даними моделювання є значення переміщення (displasement). 
Fusion 360 видає 4 значення для кожної точки тривимірної моделі: загальне 
переміщення (максимальне відхилення), (total displasement), переміщення по осях 
X, Y, Z. У рамках дослідження, розглядається деформація екструдера відносно 
друкованої платформи (столу), на якій створюється тривимірна деталь. 
Зсув екструдера ∆ щодо друкованої платформи, обчислюється за такою 
формулою:  
∆ xэ xП  2  yэ yП  2  zэ zП  2,                           (2.2) 
де ��э, ��э, ��э - відхилення екструдера, а ��п, ��п, ��п – відхилення 
друкованої платформи за осями x, y, z. 
 
Метод кінцевих елементів 
Fusion 360 використовує розв'язувач Autodesk Nastran - програмний комплекс 
для розрахунків задач механіки твердого деформівного тіла, заснований на методі 
скінченних елементів. 
 
Метод скінченних елементів (МСЕ) - це конкретний чисельний метод 
розв'язування рівнянь у частинних похідних із двома або трьома просторовими 
змінними. Суть цього методу в поділі великої системи на дрібніші, простіші 
частини, які називаються скінченними елементами. Скінченні елементи можуть 
бути одновимірні, двовимірні, тривимірні (див. Рисунок 2.9). Кожен кінцевий 
елемент описується безліччю точок, які називаються вузлами. Вузли призначені 
для опису геометрії елемента і для завдання фізичних ступенів свободи (кількості 
невідомих функцій). 
У вузлах діють вузлові сили і вузлові переміщення, елементи пов'язані і 
взаємодіють один з одним. Вузлові ступені свободи (або вузлові переміщення) 
визначають фізичне поле, яке описує цей елемент. Наявність спільних ступенів 
свободи в сусідніх елементах дає змогу збирати і формувати в моделі глобальну 
систему рівнянь скінченних елементів. 
Вузли розташовані у вершинах елемента або розташовані між кутовими 
вузлами і всередині елемента. Ця відмінність пов'язана з порядком апроксимації, 
який забезпечує даний кінцевий елемент. У сучасних генераторах полігональної 
сітки скінченних елементів об'єкти розбиваються на велику кількість лінійних 
елементів простої форми. 
 
 
Рисунок 2.9 - Види скінченних елементів 
 
Поділ на кінцеві елементи досягається за рахунок певної дискретизації 
простору, яка реалізується шляхом побудови сітки об'єкта. Потім для кожного 
скінченного елемента обирається апроксимувальна функція, яка поза цим 
елементом дорівнює нулю. Прості рівняння, які моделюють ці кінцеві елементи, 
потім об'єднуються в більшу систему рівнянь, яка моделює всю задачу. Потім МСЕ 
 
використовує методи з варіаційного числення для апроксимації рішення шляхом 
мінімізації пов'язаної функції помилок. 
Для початку розглянемо знаходження переміщення ��(��, ��) для кожного 
вузла (��, ��) методом кінцевих елементів. У скінченному елементі для кожного 
вузла визначається функція, яка описує розподіл переміщень. Вузлові сили 
пов'язані с 
вузловими переміщеннями таким чином: 
���� = ����,                                                    (2.3) 
де X = {x1 , x2 ,... xn }- вектор невідомих переміщень, ���� - вектор сил, що діють 
на вузол, A - матриця жорсткості розмірністю 
n×n, де n - це кількість вузлів, яка називається локальна матриця жорсткості. 
Матриця жорсткості задає зв'язки між вузлами. Компоненти матриці Аji містять 
коефіцієнти Ti у кожному j-му рівнянні. 
Локальна матриця жорсткості розраховується для кожного елемента.  
Після розрахунку всіх скінченних елементів, складається глобальна матриця 
жорсткості, що містить усі локальні матриці. Для складання глобальної матриці 
необхідно провести операції об'єднання матриць. Створюється матриця злиття 
С, що складається з вектора значень функцій u у вузлах уже спряженого кінцевого 
елемента. 
u
u
C ⋮                                                     (2.4) 
u
де k - кількість вузлів після об'єднання.  
Після записується матриця жорсткості Ад для двох елементів: 
a a a
⎡a a a 0 ⎤
A 0 ⎢
⎢a a a ⎥
Aд a a a ⎥
0 A                  (2.5) 
⎢ ⎥
⎢ 0 a a a ⎥
⎣ a a a ⎦
Результуюча матриця має такий вигляд: 
��глоб = С����дС                                                    (2.6) 
 
Таких чином, відбувається злиття всіх кінцевих елементів і на кожному 
наступному кроці додаються нові елементи до тих, що вже існують. 
У підсумку система рівнянь має такий вигляд: 
���� = ��глоб��                                                   (2.7) 
На наступному кроці враховуються граничні умови. Підсумковою системою 
рівнянь МСЕ для статичної задачі є система лінійних алгебраїчних рівнянь із 
симетричною і позитивно визначеною матрицею коефіцієнтів. Розв'язання цієї 
системи рівнянь здійснюється різними ітераційними або комбінованими методами. 
Результати моделювання на статичні деформації 
Статичне дослідження деформацій було проведено на 3D-моделях семи 3D-
принтерів. Дослідження не враховує різні люфти з'єднань, усі елементи моделей 
з'єднані жорстко. Основною метою цього моделювання було вивчення 
відмінностей у деформаціях каркасів 3D-принтерів за однакових умов складання. 
Застосовувані в дослідженні типи навантажень: 
 LoadCase (1) - застосовується тільки сила гравітації; 
 LoadCase (2) - застосовується сила гравітації і сила інерції, що дорівнює 
0.15 Н, яка діє на екструдер; 
 LoadCase (3) - застосовується сила гравітації і сила інерції, що дорівнює 
0.45 Н, яка діє на екструдер; 
 LoadCase (4) - застосовується сила гравітації і сила інерції, що дорівнює 
5 Н, яка діє на екструдер. 
Розмір елементів сітки становить 3 мм. Візуальне представлення 
моделювання у Fusion 360 показано на рисунку 2.10. Області, позначені червоним 
кольором, - місця з максимальною деформацією, а області, позначені синім 
кольором, - з мінімальною. 
 
 
 
Рисунок 2.10 - Моделювання на статичні деформації у Fusion 360 
  
На рисунку 2.11 показано результати моделювання на статичні деформації без 
навантаження, основним параметром аналізу є максимальне відхилення екструдера. 
 
 
 
Рисунок 2.11 - Результати моделювання на статичні деформації без 
навантаження 
 
Конструкції 3D-принтерів при статичних деформаціях під номерами 2, 4 і 7 
 
забезпечує точність в умовних 10-20 мкм. 3D-принтери під номерами 3, 5 обмежуються 
точністю в ~35 мкм, а принтер під номером 1 показав точність у 60 мкм. 
На рис. 2.12 показано результати моделювання на статичні деформації з 
навантаженням. 3D-принтери під номерами 4 і 5 мають фіксовану вісь Z, яка не 
пов'язана з каркасом, тому дані для цих принтерів не відрізняються. 
 
 
Рисунок 2.12 – Результати моделювання на статичні деформації з 
навантаженням 
 
Дані 3D-принтерів під номерами 2, 3 і 6 майже не відрізняються від даних, 
показаних на рисунку 2.11. Для 3D-принтерів під номерами 1 і 7, значення 
відхилень столу від екструдера зменшилися майже в два рази. З цього можна 
зробити висновок, що додаткове навантаження на стіл у цих типах принтерів майже 
не впливає на відхилення екструдера, а пов'язане більшою мірою з відхиленням 
столу. 
 
 
2.3 Частотний аналіз декартових 3D-принтерів 
 
Важливим аспектом при створенні 3D-принтера є не тільки оцінювання 
механічних властивостей 3D-принтера, а й знаходження його власних частот для 
оцінки деформацій і вібрацій, що виникають під час друку. 
 
У деяких дослідженнях проводиться аналіз вібрацій 3D-принтерів. У статті 
проводиться модальний аналіз і досліджуються характеристики вібрацій 
кольорового 3D-принтера та наприкінці наводиться покращена конструкція 3D-
принтера, що ґрунтується на результатах модального аналізу. У дослідженні 
описується вплив вібрацій відносно швидкості друку та орієнтації моделі і 
робиться висновок, що контроль вібрацій під час обробки на 3D-принтері є 
важливим для поліпшення механічних властивостей друкованої продукції. У 
дослідженнях підтверджується припущення про те, що значення власних частот, 
викликаних вібраціями, збільшуються зі швидкістю друку. 
За допомогою модального аналізу знаходять власні частоти коливань 
досліджуваного об'єкта. Власна частота визначається як частота, за якої система 
має тенденцію коливатися за відсутності будь-якої рушійної сили. Для систем з n 
ступенями свободи при початковому збурення система працюватиме в режимі 
вільних коливань, коливаючись на одній із власних частот. 
З погляду інженерної практики підвищення власних частот вібрацій робота 
покращує його експлуатаційні характеристики, тому що амплітуда його вібрацій, 
а, отже, і помилка встановлення інструменту в заданих координатах, обернено 
пропорційна частоті вібрації, якщо внаслідок суми рухів робота у вібрацію 
перейшла одна й та сама енергія. Нехай маса частин робота, що беруть участь у 
гармонійних вібраціях, дорівнює m , при цьому вібрація відносно однієї з 
координат відбувається за законом x = Asin(ωt), x = Aωcos(ωt) . 
У нейтральному положенні кінетична енергія вібруючих частин робота 
дорівнює  
Eк= mx2 (0) / 2 = mA2 ω2 / 2 ,                                      (2.8) 
звідки ясно, що при власних частотах двохальтернативних конструкцій ω  і 
ω , співвідношення амплітуд вібрацій становитиме 
                                                   (2.9) 
Звідси випливає, що, підвищуючи власну частоту робота, можна зменшити 
амплітуду коливань, завдяки чому зменшиться похибка позиціонування його 
 
робочого органу. 
Моделювання методом кінцевих елементів 
Для семи моделей 3D-принтерів було проведено модальний аналіз частот у 
Fusion 360. Налаштування сітки елементів таке саме, як під час моделювання на 
статичні деформації. 
Перед проведенням модального аналізу було налаштовано полігональну 
сітку. 3D-модель принтера була спрощена, і не 
враховувалися отвори для болтів, наявність ременів. У деяких деталях 
головними корисними характеристиками є маса і розміри, тому було спрощено 
вигляд деяких деталей. Завдяки спрощенню 3D-моделі вдалося домогтися 
однорідної сітки. Сполучення вузлових елементів здійснювалося в місцях 
кріплення гвинтів і задавалося абсолютно жорстким. 
У таблиці 2.10 зведено 8 режимів із власними частотами досліджуваних 
картезіанських 3D-принтерів, номери рядків відповідають номерам 3D-принтерів 
згідно з таблицею 2.8. 
 
Таблиця 2.10 - Порівняльна таблиця власних частот. 
№ Режим Режим Режим Режим Режим Режим Режим Режим 
1, Гц 2, Гц 3, Гц 4, Гц 5, Гц 6, Гц 7, Гц 8, Гц 
1 31,12 31,38 53,99 102,5 116,9 136,9 192,6 204,1 
2 42,97 45,5 95,37 215,1 222,5 228,3 242,5 270,4 
3 58,04 67,02 103,5 137,1 331,1 408,6 414 455 
4 60,62 89,84 117,4 134 182 196,3 213,6 302,1 
5 32,83 40,81 77,71 86,18 92,66 124,8 131,6 180,3 
6 31,45 36,12 60,58 68,43 115,8 170,7 184,6 194,2 
7 48,73 50,38 96,97 109 114,7 127,2 237,3 248,7 
 
На рисунку 2.13 представлено графічне представлення перших трьох 
режимів для кожного розглянутого 3D-принтера. 
 
 
Рисунок 2.13 - Графік отриманих власних частот 3D-принтерів 
 
 
Узагальнена математична модель 3D-принтера 
Математична модель декартового 3D-принтера може бути представлена 
різними способами. Кінематика 3D-принтера описується кінематичною схемою, 
що відображає зв'язки між суглобами (кінематичними парами), робочими органами 
та іншими елементами.  
При цьому на кінематичній схемі можуть пояснюватися і деякі деталі 
реалізації. Для більш формального опису далі ми введемо граф робота - 
ненаправлений граф, у якому вершини відповідають рухомим суглобам робота, а 
ребра - іншим конструкційним елементам. Використовуючи усталену технічну 
нотацію, викладену, наприклад, у ДСТУ 2.770-68 (2000) ЕСКД, введемо 
позначення, представлені в таблиці 2.11. Зважаючи на специфіку цієї роботи, ми 
вводимо також спеціальні позначення для столу й екструдера. 
 
Таблиця 2.11 - Умовні позначення кінематичної схем 
Умовне позначення Розшифровка 
Поступальна кінематична пара 
 
Обертальна кінематична пара 
 
 
Екструдер 
 
 
Друкована платформа 
 
 
Нерухома ланка (стійка) 
 
 
Кінематичні пари можуть бути активні (з приводами) і пасивні. З 
кінематичної точки зору декартовий 3D-принтер містить тільки активні 
поступальні кінематичні пари,що забезпечують взаємне переміщення по осях ��, ��, 
��. Оскільки ми розглядаємо не ідеально жорстку конструкцію, то додатково 
розглядатимемо пасивні обертальні кінематичні пари у вузлах сполучення 
конструкційних елементів робота. Приклади переходу від кінематичної схеми до 
кінематичного графа показано в таблиці 2.12. 
Кінематичні схеми і графи зручні для того, щоб аналізувати 
конструкцію робота.  
Зточки зору графа, можна ввести нові визначення замкнутості/розімкнутості і 
рухливості/нерухомності осі. 
Вісь є рухомою, якщо на графі 3D-принтера найкоротший шлях від стійки до 
робочого органу проходить через поступальну кінематичну пару, що забезпечує 
рух по відповідній осі. Наприклад, для принтера "куб" із таблиці 2.12 найкоротший 
 
шлях від екструдера до стійки проходить через кінематичні пари, які забезпечують 
рух по осях x і y. 
Таблиця 2.12 - Приклади кінематичних схем і графів екструзійних 
декартових 3D-принтерів 
 Кінематична Розширена  
схема кінематична схема Граф 
  
 
Кран 
   
   
 
Портал 
  
 
   
  
 
Куб 
 
  
 
Уведемо поняття залежної осі. Вісь a є залежною від осі b, якщо 
найкоротший шлях від поступальних кінематичних пар осі a до стійки включає 
поступальні кінематичні пари осі b.Тепер стає зрозумілим визначення замкнутості 
на графі. 
Вісь є замкнутою, якщо її поступальні кінематичні пари входять до циклу, що 
не містить залежних від неї осей, і містять інші кінематичні пари ступеня не менше 3. 
Нагадаємо, що ступенем вершини графа називається число ребер, що входять 
у вершину. Наприклад, для принтера "кран" із таблиці 2.12 кінематичні пари, що 
 
забезпечують рух по осях x і z не входять у цикли, отже, ці осі розімкнуті. 
Для переходу від графа кінематики 3D-принтера до динамічної моделі 
скористаємося звичайним диференціальним рівнянням (СДУ) другого порядку, 
якщо вважати, що управління 3D-принтером здійснюється за переміщенням, 
швидкістю і прискоренням і старші похідні не розглядаються. Позначимо вектор 
кутових переміщень в обертальних кінематичних парах 3D-принтера як �� = (��1, ��2 
.  ����)�� 
.. , а вектор лінійних переміщень 3D-принтера в поступальних 
кінематичних парах як �� = (��1, ��2, ... , ����)�� . При цьому кінематична схема 
принтера накладає низку обмежень на ці змінні, тому фактична розмірність ОДУ 
дорівнюватиме числу ступенів свободи 3D-принтера. Позначимо число 
обертальних ступенів свободи �� ≤ ��, число поступальних ступенів свободи �� ≤ ��. 
Повна динаміка  руху 3D-принтера відповідає звичайному 
диференціальному рівнянню (ЗДУ): 
��  ������  �� ��   ���� ��, �� ,
����  ������  �� ��   ���� ��,��,�� ,
                         ��  ��  ��,                                (2.10) 
��  �� ��,��
 
де ��(��) - діагональна матриця моментів інерції, �� - діагональна матриця 
мас, ����, ���� - діагональні матриці коефіцієнтів загасання, ��(��) = (��1(��), ... , ����(��))�� 
- векторна нелінійна функція пружного моменту зчленувань, ��(��) - векторна 
нелінійна функція пружного моменту зчленувань, ����(?̇?, ?̈?) - вектор збурювальних 
сил, що виникають під час руху робочих органів принтера, �� - вектор заданих 
координат (вектор керування), ����(��, �� ̇ , �� ̈ ) - функція керування, �� - вектор 
похибки позиціонування 3D-принтера, ��(��, ��) -функція перерахунку заданих 
координат і кутів у фактичні координати, прив'язані до інерціальної системи 
координат.  
У низці випадків можна вважати ����(��) = ����(����), ℎ��(��) = ℎ��(����), що призводить 
до переходу від рівняння (2.1) до �� + �� незалежних рівнянь динаміки. 
Кінематична схема визначає обмеження ступенів свободи і функцію ��(��). 
 
Формалізація переходу від кінематичної схеми до ЗДУ нетривіальна і виходить за 
межі цієї роботи, проте неважко показати взаємну однозначність переходу від 
кінематичної схеми до ОДУ. 
Можна також показати, що система керування (2.1) не завжди є повністю 
керованою за допомогою входів ��, ?̇? , ?̈? , оскільки число ступенів свободи може 
перевищувати число незалежних осей 3D- принтера, тобто 3. 
 Отже, не завжди існує управління, здатне компенсувати коливання рами 
принтера програмним способом. Більш універсальним способом боротьби з 
коливаннями рами є збільшення її власної частоти за рахунок особливостей 
конструкції. У разі лінеаризованої моделі можна знайти характеристичний поліном 
рівняння (2.1) та його корені, комплексна частина яких відповідатиме за власні 
частоти, і вибрати з кількох альтернативних варіантів той, власні частоти якого 
будуть найбільшими. У нелінійному випадку можна скористатися будь-якими 
методами моделювання, наприклад, за Монте-Карло. 
Можна показати з рівняння (2.10), як співвідносяться похибка і швидкість 
друку, тобто переміщення механізмів. Розглянемо тільки перше і третє рівняння 
системи (2.1) для системи з одним ступенем свободи, вважаючи, що  
�� �� ( ̇, �� ̈) = ���� ����Ω�� (амплітуда вібрацій прямо пропорційна швидкості, Ω 
- власна частота вібрацій), ��(��) =����, �� = ���� (справедливо для випадку малих 
кутів), ���� = 0: 
                                         Jθ  kθ  Av e                                                 (2.11) 
e  Lθ
Зі спрощеного рівняння (2.11), підставляючи відомий розв'язок  
��(��) = �� �������� + �� ��
��Ω��, де ω - власна частота коливань, звідки ��
1 2 2 
дорівнює: 
                                            |θ |                                                   (2.12) 
 
Отже, амплітуда похибки ��∗ = ��(|��1| + |��2|) у лінеаризованому випадку 
 
прямо пропорційна швидкості переміщення. 
 
Лінеаризована математична модель 3D-принтера, що враховує кінцеву 
жорсткість з'єднань елементів конструкції 
Основним компонентом механічних конструкцій, що розглядаються, є 
конструкційний алюмінієвий профіль (верстатний профіль), оскільки його часто 
використовують у створенні рам 3D-принтерів, верстатів із ЧПК тощо. Вібраційні 
характеристики 3D-принтерів і компонентів безпосередньо впливають на 
точність робіт, наприклад, у дослідженні показано, як вібрації впливають на 
якість 3D-друку. Величина вібрацій, що виникають, безпосередньо залежить від 
жорсткості конструкції, на яку також впливають багато факторів, причому це не 
єдиний параметр, що впливає на вібраційні характеристики. Зменшення амплітуди 
коливань системи та підвищення власних частот коливань дає змогу покращувати 
якість 3D-друку.Вібраційні характеристики будь-якого монолітного компонента, 
знаючи габарити і матеріал, з якого він складається, обчислити нескладно. Для 
розрахунку балок базовим інструментом є теорія коливань пружної балки, що 
включає моделі Ейлера-Бернуллі, Релея, Тимошенка тощо. Однак, розрахунок 
жорсткості складових конструкцій є нетривіальним завданням. Зазвичай, під час 
розрахунку частоти коливань виділяють кілька типів граничних обмежень на 
сполучення балок: шарнірний, фіксований, ковзний і вільний, але варто 
враховувати, що їх усі розраховують за умови абсолютної жорсткості сполучення, 
тобто якщо це фіксований вузол, то в ньому немає люфтів і припускають, що два 
сполучені компоненти фізично є одним цілим.  
У реальності сполучення компонентів здійснюється за допомогою різного 
кріплення (болти, куточки, гвинти тощо), і нерідко в таких системах виникають 
люфти з'єднань, через які збільшується амплітуда коливань системи.  
На їх виникнення може впливати якість, тип кріплення, а також матеріали та 
габарити вузлових компонентів. 
Запропоноване в основу пропонованої в роботі моделі припущення таке: 
основні конструкційні елементи 3D-принтера, наприклад, лінійні напрямні та 
 
верстатний профіль рами, є абсолютно жорсткими, тоді як куточки або аналогічне 
з'єднання володіють скінченною жорсткістю й зумовлюють особливості динаміки 
системи. Рівняння динаміки Ейлера-Лагранжа для заданого ступеня свободи 3D- 
принтера має вигляд: 
d ∂L ∂L
                                                   2.13  
dt ∂θ ∂θ
Лагранжіан визначається за формулою: 
L ∑ j x θ ∑ G u du,                                   (2.14) 
де �� = (��, ��, ��)�� - значення поточної позиції робочих органів 3D- 
принтера, моменти інерції ����(��) визначаються щодо осей, перпендикулярних 
площині коливань. Функції пружного моменту зчленувань ����(��) у загальному 
випадку нелінійні, але іноді можна звести їх до лінійної моделі ����(��) = ������. 
Найпростіший вид нелінійної функції ����(��) - кусочно-лінійна апроксимація, яка 
найчастіше має тип "люфт" і "асиметрична жорсткість", і довільна функція може 
бути знайдена як композиція ��(��) = ����(��) ∘ ����(��): 
0, |θ|   θ k θ,θ  0
G  θ  ,   G  θ
kBθ, |θ|  θ k θ,θ  0Позначимо вектор 
динамічних змінних 3D-принтера як �� = (��1, ��2 ... ����)��  .  
Повна динаміка коливань 3D-принтера відповідає звичайному 
диференціальному рівнянню (ЗДУ): 
��(��)�� ̈ + ���� ̇ + ��(��) = ��(��,?̈?), (2.15) 
де �� - діагональна матриця моментів інерції, �� - діагональна 
матриця коефіцієнтів загасання, ��(��) = (��1(��), ... , ����(��))�� - векторна 
нелінійна функція пружного моменту зчленувань, ��(�� ̇, �� ̈) - вектор збурливих 
сил, що виникають під час руху робочих органів принтера. 
У низці випадків можна вважати ����(��) = ����(����), що призводить до переходу 
від рівняння (2.1) до �� незалежних рівнянь динаміки. 
Вібраційна модель стрижня. Для знаходження власної частоти коливань 
пропонується модель зчленування на основі лінійного пружного шарніра. За 
 
невеликої довжини стрижня і малих відхилень можна припустити, що 
конструкційний профіль абсолютно жорсткий. Тоді, згідно з другим законом 
Ньютона, рух верстатного профілю, розташованого у вертикальному положенні, 
виражається в такому диференціальному рівнянні: 
���� ̈ + ���� = 0, (2.16) 
де J M L  – момент інерції балки, ��- загальна маса балки верстатного 
профілю, �� – довжина балки, �� – механічна жорсткість зчленування, �� – відхилення 
верстатного профілю від його початкового положення за вертикаллю (див. рис. 
2.14). 
 
Рисунок 2.14 – Стрижень Аналітичний 
 
розв'язок рівняння (2.16) має вигляд: 
                                  ��(��) = ��(0)����ω��,                                 (2.17) 
і підставляючи (2.17) у (2.16), отримаємо: 
-����2 + ��= 0,                                           (2.18) 
отже, частота коливань балки верстатного профілю виражається як: 
                        ω                                          (2.19) 
За допомогою рівняння (2.18) можна використовувати для визначення 
жорсткості з'єднання вузлів, емпірично визначаючи частоти власних коливань 
системи і виражаючи жорсткість як відношення:    
                                                 k ω L M                                                   (2.20) 
 
Вібраційна модель портальної конструкції. Для знаходження власної частоти 
коливань портальної конструкції, показаної на рисунку 2.15, визначимо дві 
незалежні механічні жорсткості зчленувань. Жорсткість зчленування, за якого 
використовується два куточки, позначено ��1, а жорсткість зчленування з одним 
куточком - ��2 . 
Рисунок 2.15 - Портальна конструкція 
 
Кінетична енергія руху портальної конструкції в такому разі дорівнює: 
K θ θ                               (2.21) 
Потенційна енергія: 
2k θ 2k θ
П k k θ                              2.22  
2 2
Рівняння Ейлера-Лагранжа записується у вигляді: 
ℒ ℒ
∗                                                (2.23) 
де ℒ - лангранжіан, і в класичній механіці він дорівнює різниці кінетичної і 
потенційної енергії. 
Таким чином, рівняння Ейлера-Лагранжа приводиться до вигляду: 
M L θ  2 k   k  θ  0.                        (2.24) 
Використовуючи (2.18), знаходимо рівняння частоти власних коливань 
портальної конструкції: 
 
   
                         ω                                                   (2.25) 
 
 
Слід зазначити, що довжина поперечної балки не впливає на частоти 
портальної конструкції, на відміну від її маси. 
Вібраційна модель куба та паралелепіпеда. У конструкції, зображеній на 
рисунку 2.16, жорсткість зчленувань можна вважати однаковою і рівною ��, 
оскільки кожен вузол має рівну кількість куточків, що з'єднують. Довжина всіх 
вертикальних балок дорівнює ��1 . 
 
Рисунок 2.16 - Паралелепіпедна конструкція 
 
 
Моменти інерції вертикальних і горизонтальних балок дорівнюють 
відповідно: 
J , J M L  
 
Кінетична енергія руху паралеліпедної конструкції дорівнює: 
 
4J θ 4J θ
K  
2 2
Потенційна енергія: 
 
4 k k θ
П  
2
 
Рівняння Лагранжа після перетворень матиме такий вигляд: 
4��1 θ2 + 4��1 θ2 - 4(��1 + ��2 )�� = 0, 
частота паралелепіпедної конструкції в такому разі дорівнює: 
k k
ω  
M L
3 M L
Вібраційна модель 3D-принтера Anycubic i3 Mega. Використовуючи підхід, 
описаний вище, можна знайти власну частоту коливань розглянутого 3D-принтера. 
Як приклад було обрано 3D-принтер Anycubic i3 Mega, який має портальну 
конструкцію. Відмінною особливістю розрахунку власної частоти 3D-принтера є 
наявність відносно важкого екструдера, розташованого на додатковій 
горизонтальній балці ( див. рис. 2 .17). Довжина вертикальних балок позначена ��1 
, а висота, на якій розташований екструдер, позначена ��2 . Ця конструкція має три 
типи вузлів із різною жорсткістю. 
 
 
 
Рисунок 2.17 - Anycubic i3 Mega 
Кінетична енергія руху портального 3D-принтера дорівнює: 
 
 
2J θ M θL M∋ θL M L M L M
K θ θ ∋L
θ  
2 2 2 3 2 2
Потенційна енергія руху: 
 
2k θ 2k θ 2k θ
П k k k θ  
3 2 2
 
Власну частоту коливань портального 3D-принтера можна виразити за 
допомогою формули: 
                                    ω                                              (2.26) 
∋
 
Використовуючи формулу (2.26), можна знайти залежність між положенням 
екструдера по осі Z і власною частотою коливань. 
Порівняння результатів модального аналізу та власних частот наявних 
моделей 3D-принтерів, знайдених на основі пропонованого підходу, показано на 
рис. 2.18. Вірогідність отриманих за допомогою пропонованого підходу 
результатів підтверджується вірогідністю описаних вище розрахунків, а також 
побічно тим фактом, що конструкції під номерами 3,4,7 є найменш поширеними 
серед інших конструкцій, що використовуються в настільних FDM-принтерах. 
 
 
 
 
 
Рисунок 2.18 - Порівняння власних частот 3D-принтерів, розрахованих 
за МСЕ(Fusion 360) і пропонованим у роботі методом. 
 
 
Для вимірювання коливань голови, столу і каркаса 3D-принтера було зібрано 
випробувальний стенд для знімання вібраційних даних. Стенд містить такі 
компоненти: контролер NI PXI 1042 з модулем PXI- 4461, призначеним для роботи 
з віброакустичними сигналами, п'єзоелектричний акселерометр IMV VP-4200, 
підсилювач потужності акселерометра та спеціальні кріплення для акселерометра, 
надруковані на 3D-принтері, які дають змогу розташовувати датчик паралельно 
будь-якій із трьох осей X, Y, Z. 
В експерименті досліджувана конструкція піддавалася одиночному 
імпульсному механічному впливу. Далі записувалася серія експериментальних 
даних. Програму для запису даних у файл було реалізовано в середовищі LabVIEW 
(див. рисунок 2.). 
 
 
 
 
Рисунок 2.19 - Віртуальний прилад знімання даних з акселерометра  
 
Програма містить чотири основні блоки. Блок " data measurement part" 
відповідає за зчитування аналогового сигналу з акселерометра. За допомогою блоку 
"file writing part" проводиться запис зчитуваного сигналу у файл із розширенням 
*.txt. Блок "spectrogram, drawing part" відображає спектрограму, а блок "spectrum be 
time part" - спектр частот вхідного сигналу. 
Експериментальні результати. Для апробації запропонованого підходу на 
основі моделі пружного шарніра було проведено серію експериментів для таких 
типів конструкцій: 
• Стрижень верстатного профілю перетином 20×20 з кріпленням основи 
одним і двома прихованими куточками; 
• Стрижень верстатного профілю перетином 40×40 з кріпленням основи 
одним і двома куточками; 
• Портальна конструкція з верстатного профілю з довжиною 
вертикальних стрижнів 0.38 метра; 
• 3D-принтер Anycubik i3 Mega. 
Експериментальні результати для стрижня і портальної конструкції з 
 
верстатного профілю 20×20 см.  
На рис. 2.20 представлені моделі балки (а) і портальної конструкції (б), 
закріплених за допомогою прихованих куточків. В експерименті були досліджені 
стрижні верстатного профілю з довжинами 0.38 і 0.28 метра, які кріпилися за 
допомогою куточків для прихованого з'єднання з оцинкованої сталі. 
 
 
Рисунок 2.20- а) модель стрижня; б) модель портальної конструкції; 1 
- верстатний профіль; 2 - акселерометр; 3 - приховані куточки. 
 
На рисунку 2.21 показано середні значення частот стрижнів верстатного 
профілю різної довжини на проміжку від 0 до 100 Гц. Таким чином, 
експериментальні значення власних частот, що відповідають першій, моді 
дорівнюють 22.13 і 45.22 Гц для стрижня завдовжки 0.38 метра з кріпленням за 
допомогою одного і двох прихованих куточків відповідно, і 31.81 Гц стрижня 
завдовжки 0.28 метра з кріпленням за допомогою одного прихованого куточка та 
57.75 Гц з кріпленням за допомогою двох прихованих куточків. Експериментальна 
власна частота для портальної конструкції з довжиною вертикального стрижня L = 
0.38 метра дорівнює 31.11 Гц. 
 
 
Рисунок 2.21 - Частотні спектри стрижнів 
 
Використовуючи формулу (2.8), були вирахувано експериментальні 
жорсткості кріплення стрижня різної довжини, і зведені в таблицю 2.11. 
 
 
 
 
 
Таблиця 2.11 - Загальні експериментальні жорсткості з'єднань 
№ Довжина Експериментально Експериментально 
стрижня, м отримана жорсткість ,  отримана жорсткість, 
Н-м/рад (кріплення з двома Н-м/рад (кріплення з 
куточками) одним куточком) 
1 L = 0. 38 700.5203 ± 36.3769, P 167.4264 ± 3.6813, P =95% 
=95% 
2 L = 0. 28 498.1953 ± 14.8664, P 152.1460 ± 12.6140, P =95% 
=95% 
Оскільки у використовуваному підході розглядають лінійну поведінку 
конструкції, де момент інерції балки залежить від жорсткості зчленування і кута 
відхилення, значення жорсткості одного типу кріплення  для  різних  довжин  
балок  мало  бути  однаковим. Але в реальності, залежність моменту інерції від 
жорсткості є нелінійною функцією, що зумовлює розбіжність значень в 
експерименті. На рисунку 2.22 видно, що коливання балки не зовсім синусоїдальні, 
що підтверджує нелінійну поведінку системи. 
 
Рисунок 2.22 - Графіки коливань досліджуваних конструкцій 
Далі, знаючи жорсткість кріплення стрижня за допомогою одного і двох 
прихованих куточків, можна порахувати власну частоту портальної 
 
конструкції, використовуючи формулу (2.9). Жорсткість кріплення стрижня з 
двома куточками відповідає жорсткості кріплення вертикальних балок портальної 
конструкції до основи, а жорсткість кріплення стрижня з одним куточком 
відповідає жорсткості кріплення вертикальної балки портальної конструкції до 
горизонтальної. Таким чином, власна частота портальної конструкції дорівнює: 
1 2 700.5203 36.37 167.4264 3.68
ω 33.7 0.77Гц. 
2π ∗ 0.38 0.16
2 0.188
Частота портальної конструкції, отримана за формулою (2.9), виявилася 
близькою до значення власної частоти, знайденої експериментально (31.111 Гц). 
Експериментальні результати для стрижня з верстатного профілю 40×40 см. 
В експерименті використовували стрижень завдовжки 74 см, масою 1.1 кг, і 
куточки для зовнішнього з'єднання з алюмінію (рисунок 2.23).  
Серії експериментів були проведені для дослідження стрижня з різними 
варіантами кріплення куточків: кріплення з одним зовнішнім куточком, кріплення 
з двома зовнішніми куточками і кріплення двох зовнішніх куточків розташованих 
перпендикулярно щодо один одного. 
 
Рисунок 2.23 - Стенд для зняття вібраційних даних, де 1 - PXI із 
запущеною програмою на LabVIEW; 2 - акселерометр; 3 - стрижень 
верстатного профілю 40×40; 4 - зовнішні куточки. 
 
Також досліджувався вплив моменту затягування гвинта (T) на власну 
частоту коливань. Було обрано два моменти затягування: T = 8 Нм і 
T = 15 Нм. Значення власних частот досліджуваної конструкції, отримані 
кспериментально, зведено в таблицю 2.12. 
Таблиця 2.12 - Власні частоти стрижня верстатного профілю 40×40 
Тип кріплення Момент Частота, Гц 
затягування при Р = 95% 
Т, Нм 
Кріплення з одним куточком 15 20.95 ± 0.166 
Кріплення з одним куточком 8 22.00 ± 0.142 
Кріплення з двома 15 42.04 ± 1.535 
куточками 
Кріплення з двома 8 40.65 ± 0.202 
куточками 
Кріплення з двома 15 23.84 ± 0.107 
перпендикулярними 
куточками 
Кріплення з двома 8 24.95 ± 0.078 
перпендикулярними 
куточками 
На рисунку 2.22 представлено частотні спектри для кожної серії 
експериментів на проміжку від 0 до 100 Гц. Чітко видно переважання однієї частоти 
на всьому проміжку, тому можна точно сказати, що ці частоти - це перші власні 
моди коливань. 
 
 
 
Рисунок 2.24 - Частотні спектри 
 
Відмінності значень власних частот за моментів затягування гвинта T = 8 і 15 Нм 
несуттєві для кожного досліджуваного типу кріплення, що видно на графіку вище. 
Також слід зазначити, що значення власних частот при кріпленні з двома куточками, 
розміщеними перпендикулярно один одному, трохи вищі, ніж значення власних частот 
при кріпленні з одним куточком. Звідси можна зробити висновок, що в цьому 
експерименті додатковий куточок, прикріплений перпендикулярно до його площини, 
збільшує загальну жорсткість системи на ~ 22%. 
Для оцінки точності одержуваних результатів у програмі Fusion 360 було 
проведено аналіз власних частот із використанням МСЕ. Значення частот, що 
відповідають першій моді для стрижня і портальної конструкції з верстатного 
профілю, наведено в таблиці 2.13. 
 
 
 
Таблиця 2.13 - Порівняння результату моделювання у Fusion 360 та 
експериментальних даних. 
  Частота, Гц Частота, Гц (кріплення з 
  (кріплення з одним двома прихованими 
№ Тип конструкції (L - прихованим куточками) 
довжина стрижня) куточком) 
Fusion Експеримент Fusion 360 Експеримент 
360 
1 Стрижень, L = 0.38 м 67.21 45.23 ± 1.2 31.69 22.13 ± 0.24 
2 Стрижень, L =0.28 м 101 57.76 ± 0.86 41.86 31.82 ± 1.46 
3 Портальна 69.94 31.111 51.64 - 
конструкція, L = 0.38 
м 
З таблиці видно значну розбіжність одержуваних власних частот. 
Експериментальні результати 3D-принтера Anycubic i3 Mega. В 
експерименті, проведеному за допомогою 3D-принтера Anycubic i3 Mega 
(див.рисунок 2.23) було досліджено залежність власної частоти коливань від 
висоти, на якій розташований екструдер.  
Через те, що екструдер і супутні компоненти, які беруть участь у переміщенні 
по осі Z (напрямні, ремені, кріплення), в сумі мають масу, що дорівнює ~1.7 кг, яка 
більша за масу вертикальних балок (~0.7 кг), розташування екструдера по осі Z 
впливає на власну частоту 3D-принтера. 
Нульова позиція екструдера за віссю Z відповідає нульовій позиції на 
початку друку, а відносно осі Y екструдер був розташований по центру. Крок 
знімання даних становив 10 мм, максимальна висота, на якій перебував екструдер, 
становила 200 мм. 
Моди коливань, які можуть виникати під час роботи 3D-принтера, 
представлено на рисунку 2.24. Однак для завдань, у яких використовується 3D-
принтер, розглядаються лише найнизькочастотніші форми коливань, що 
відповідають першим двом-трьом номерам форм на рисунку нижче. 
 
 
 
Рисунок 2.25 - Anycubic i3 mega 
 
 
 
Рисунок 2.26 - Моди коливань 3D-принтера 
 
Для апробації теоретичного підходу на основі моделі пружного шарніра було 
 
знайдено загальну жорсткість 3D-принтера в нульовій позиції з використанням 
формули (2.11). Далі, було знайдено теоретичні власні частоти коливань. На 
рисунку 2.27 зображено залежність експериментальних і теоретичних значень 
власних частот від положення екструдера по осі Z. 
 
 
 
Рисунок 2.27 - Власні частоти 3D-принтера Anycubic i3 Mega 
 
На рисунку вище видно, що для визначення коливань першої моди Anycubic 
i3 Mega можна використовувати лінійний підхід, оскільки експериментальні дані 
узгоджуються с теоретичними з похибкою ~ 4-8%. 
 
Математична модель 3D-принтера з урахуванням нелінійності 
жорсткості з'єднань елементів конструкції 
Проблема ідентифікації параметрів нелінійних механічних систем за даними 
акселерометрів має низку підводних каменів. Одна з істотних труднощів полягає в 
тому, що вихідний сигнал акселерометра є другою похідною від положення, тоді 
як рівняння динаміки системи зазвичай включають як незалежні змінні тільки 
положення і швидкість. Подвійне інтегрування сигналу акселерометра зазвичай 
призводить до значних помилок позиціонування, які не можуть бути ефективно 
 
усунуті за допомогою стандартних методів видалення тренда. Перша ідея полягає 
в тому, щоб у застосуванні методу ітераційно-перезважуваних найменших 
квадратів (ІПНК) до диференційованих рівнянь руху за швидкістю і 
прискоренням замість звичайних рівнянь за положенням і швидкістю. Хоча цей 
підхід не усуває необхідність подвійного інтегрування для отримання положення, 
він дозволяє значно зменшити помилки ідентифікації без апріорного знання 
властивостей шуму.  
Друга ідея полягає у використанні модифікованого методу ІПНК, який може 
виправити помилки, спричинені неточним подвійним інтегруванням прискорення. 
Було запропоновано спеціальний алгоритм ідентифікації нелінійних моделей 
на основі експериментальних даних, отриманих з акселерометра, який полягає в 
тому, щоб використовувати для ідентифікації за методом ітераційно-перенесення 
найменших квадратів (ІПНК) не рівняння (2.4), а його продиференційований 
аналог. 
                               ( ��)��⃛ + ���� ̈ + ��′(��)�� ̇ = 0,                                         (2.12) 
де функція ′�� (��) = ∑�� ��������(��) кусочно-лінійна, причому через неточності 
знаходження значень ���� на експериментальних точках через подвійне 
інтегрування алгоритм включає в себе етап перекласифікації після кожної ітерації 
методу ІПНК. 
На псевдокоді алгоритм представлено в лістингу 1. Прийнято позначення ���� 
= �� ̇ �� , ���� = �� ̈ ��, ���� = �� ⃛�� , ���� = ����, ������ - параметр точності. Перевага рівняння 
(2.12) перед рівнянням (2.4) полягає в тому, 
що воно містить змінну ��, яка потребує подвійного інтегрування сигналу з 
акселерометра, тільки в статичному члені ��′(��), і помилка, 
що виникає при подвійному інтегруванні зашумленого сигналу, нівелюється 
простою процедурою перекласифікації. 
Лістинг 1 - Алгоритм ідентифікації кусочно-лінійної механічної системи (2.8) 
 
Використовуючи запропоновану нелінійну модель було проведено дослідження 
коливань вертикальної балки 20×20 мм з алюмінієвого профілю, закріпленої на 
нерухомому алюмінієвому профілі 20×40 мм з одним Г-подібним внутрішнім 
кронштейном із силуміну. Це з'єднання має досить різну жорсткість для 
позитивного і негативного напрямку нахилу балки через різний розподіл 
напружень у деталях. На рис. 2.28 показано експериментальну установку та її 
схему. 
 
 
 
 
Рис. 2.28 - Нелінійна модель пружного з'єднання стрижня з основою 
Рівняння руху цієї механічної системи має вигляд: 
                                                ��θ + �� θ + ��(��) = 0, (2.13) 
де �� = 2�� загальний коефіцієнт демпфірування, а ��(��) - кусочно- лінійна 
функція: 
��(��) = ��1��1(��)�� + ��2��2(��)��, 
де 
1, θ  0 1, θ  0
μ θ 0, θ  0 ,   μ θ 0, θ  0 , 
Параметри експериментальної установки такі: довжина балки 
�� = 0.38 м, маса акселерометра з монтажним затискачем ��1 = 0.05 кг, 
відстань між вершиною балки й акселерометром ℎ = 0.01 м, маса балки 
��2 = 0.16 кг. Центр інерції розраховується як: 
 
L 0.2329 м,звідки момент інерції дорівнює: 
�� = (��1 + �� )L  1.139 ∗ 10−2 кг ∗ м2 
2 . 
Параметр лінійного демпфірування системи легко знайти за швидкості спаду 
амплітуди коливань у часі й оцінюється як �� =0.045 Н-с/рад. Виявлення жорсткості 
є набагато складнішим завданням.Система (2.13) в формі, придатній для 
ідентифікації жорсткості через подвійне інтегрування, має такий вигляд: 
 
 
θ μ θ θ μ θ θІдентифікація за допомогою підходу 
інтеграції та диференціації: 
 
σθ k k
θ μ θ θ μ θ θ 
J J J
Експериментальні дані були зібрані за допомогою акселерометра IMV VP-
4200, підключеного до системи NI PXI. Частота дискретизації становила 1000 Гц. 
Було 10 часових рядів довжиною до 1 с і отримано, таким чином, 5375 точок даних. 
Використовувався метод диференціювання 4-го порядку на основі центральних 
різниць і метод інтегрування 3-го порядку точності на основі правила Сімпсона для 
отримання похідної та інтегралів прискорення. Для розрахунку кутового 
прискорення з лінійного використовувалося таке співвідношення: 
θ ,де �� ̈ - лінійне прискорення, виміряне акселерометром. 
Експериментальне підтвердження переваги пропонованого підходу 
показано на рис. 2.19. Це моделювання було виконано розв'язувачем ode45 
MATLAB з фіксованим розміром кроку ℎ = 10-3 с. З рисунка 2.29 видно перевагу 
підходу 1 перед підходом 2, особливо під час відновлення третьої кутової похідної 
�� ⃛ , де форма відтворюється в моделі, отриманій за допомогою першого підходу, 
досить реалістично, на відміну від моделі, отриманої за допомогою другого 
підходу. Отримані значення жорсткостей дорівнюють �� 1 = 608.3 Н⋅м/рад і ��2 = 
181.6 Н⋅м/рад. 
 
 
 
 
 
Рисунок 2.29 - Ідентифікація нелінійних вібрацій поодинокого стрижня 
20х20 мм із кріпленням на асиметричний прихований куточок за допомогою 
пропонованого підходу на основі рівняння (2.12) (Підхід 1) і з використанням 
рівняння (2.4) (Підхід 2) 
 
 
Висновки за розділом 2 
 
Запропонована систематизація картезіанських 3D-принтерів містить у собі не 
тільки реальні кінематичні схеми, а й ті, які ще не були реалізовані фізично. Без 
урахування взаємозамінних варіацій, систематизація містить 40 типів 
картезіанських 3D-принтерів, 7 з яких мають фізичні прототипи. 
Для порівняння статичних і динамічних характеристик 3D- принтерів, що 
входять до систематизації та мають фізичні прототипи, було проведено 
дослідження статичних деформацій і проведено статичний аналіз. Аналіз показав, 
що конструкції з верстатного профілю з абсолютно жорстким з'єднанням 
конструкційних елементів відповідають сучасним 3D-принтерам, що працюють 
за FDM-технологією. 
Також було проведено частотний аналіз конструкцій 7 принтерів із 
 
систематизації, які мають фізичні прототипи. З метою верифікації отриманих 
значень було проведено експерименти з 3D-принтером Anycubic i3-Mega і з 
елементами конструкцій з верстатного профілю. У результаті експериментів було 
з'ясовано, що метод скінченних елементів дає істотно завищені значення власних 
частот. Головною причиною розбіжності експериментальних і теоретичних даних 
є сукупність складних деформаційних процесів, що відбуваються в місцях 
зчленування елементів конструкції 3D-принтерів. У зв'язку з цим слід уточнити, що 
значення, наведені в таблиці 2.10 і на рисунку 2.13, відображають ідеальний 
випадок абсолютно жорстких зчленувань. Згідно з отриманими результатами, що 
легша конструкція, то вищі її власні частоти, що призводить до того, що 
конструкції 3 і 4 виявилися найкращими за даним показником, водночас 
конструкції 1, 5 і 6, які використовуються в дорожчих і точніших моделях, 
парадоксальним чином виявилися найгіршими. Проте, для них було отримано 
значення власних частот понад 30 Гц. 
Знаходження власних частот складних складових конструкцій за допомогою 
спеціалізованого забезпечення, наприклад, Fusion 360, показує розбіжність 
результатів симуляційного аналізу з експериментальними даними. Це пов'язано з 
тим, що модальний аналіз не враховує нелінійні ефекти, які виникають у 
конструкціях із болтовим з'єднанням, і які мають значний  вплив  на  власні  
частоти  в  досліджуваних  конструкціях. 
Модальний аналіз ґрунтується на тому факті, що вібраційний відгук лінійної 
динамічної системи, яка не змінюється в часі, може бути виражений як 
лінійна комбінація набору простих гармонійних рухів, які називаються власними 
частотами або модами коливань. У модальному аналізі нелінійні ефекти, що 
виникають, не враховуються, відсутнє демпфірування, а вплив зовнішніх сил 
ігнорується. Щодо нелінійних систем, існує концепція нелінійних нормальних 
режимів коливань, запропонована R. M. Rosenberg, яка являє собою аналог 
модального аналізу для нелінійних систем.  
На сьогодні існує кілька підходів для розрахунку власних частот нелінійних 
систем, але сучасні чисельні алгоритми вимагають значного часу обчислень для 
 
оновлення матриці жорсткості з урахуванням нелінійності конструкцій. 
Для більш точного частотного аналізу було запропоновано лінеаризовану 
математичну модель екструзійного декартового 3D- принтера на основі моделі 
пружного шарнірного з'єднання елементів із верстатного профілю, жорсткість 
якого визначали на основі експериментальних даних. Даний підхід виявився значно 
точнішим як у випадку визначення власних частот тестових конструкцій, так і у 
визначенні власної частоти реального пристрою, такого як Anycubic i3- Mega. 
Було запропоновано математичну модель 3D-принтера з урахуванням 
нелінійності жорсткості з'єднань елементів конструкції. Було продемонстровано за 
допомогою моделювання та експериментальних засобів, що використання 
зашумлених серій прискорень може значно знизити точність ідентифікації 
параметрів. Таким чином, було запропоновано використовувати диференційоване 
визначальне рівняння, що містить прискорення і швидкість як незалежні змінні, а 
положення як допоміжну змінну, необхідну для класифікації даних. Також, було 
запропоновано модифікацію методу найменших квадратів з повторним 
зважуванням для використання з підходом інтегрування та диференціювання. 
Модифікація включає допоміжний етап перекласифікації, а модифікований метод 
називається ітеративно перезваженим методом найменших квадратів з 
перестановкою. Застосування цього методу дає змогу підвищити точність 
ідентифікації завдяки усуненню помилок у класифікації, необхідної для 
оцінювання параметрів кусково-лінійних ОДУ. 
  
 
РОЗДІЛ 3 
ПРОГРАМНЕ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ ПІДСИСТЕМИ ЕСКІЗНОГО 
ПРОЕКТУВАННЯ САПР ЕКСТРУЗІЙНИХ 3D- ПРИНТЕРІВ 
 
 
3.1 Програмне забезпечення САПР для аналізу вібрацій 
 
Оскільки для кожного конкретного типу зчленування його математична 
модель (у т.ч. його жорсткість, тип нелінійності тощо) не завжди відома 
заздалегідь, у роботі було розроблено програмне забезпечення для аналізу даних, 
які отримують з акселерометра під час натурного експерименту з визначення 
жорсткості з'єднання, і побудови шуканої математичної моделі. 
Оброблення отриманих даних здійснювали в середовищі MATLAB. 
Програма обробки даних складається з декількох частин: блок обчислення 
експериментальних частот, блок обчислення теоретичних частот і блок 
порівняльного аналізу. У другій частині програми обчислюється теоретична власна 
частота коливань конструкції в обраній площині за допомогою підходу на основі 
пружного шарніра. Вхідними даними другого модуля є довжини і маси вузлових 
елементів, напрямок деформації, висота, на якій розташований екструдер, і 
значення жорсткості вузлових з'єднань. Для знаходження правильної жорсткості 
зчленування потрібно враховувати тип з'єднання, матеріали компонентів, що 
скріплюють, значення крутних моментів затягування гвинтів при гвинтовому 
кріпленні і модуль зсуву при клейовому з'єднанні. Обчислення жорсткості 
зчленування вузлових компонентів є нетривіальним завданням, тому для перевірки 
теоретичної моделі жорсткість конкретного з'єднання обчислюватиметься з 
експерименту. Вихідними даними другої частини програми є теоретичні частоти в 
заданому напрямку і порівняльний графік частот щодо висоти екструдера (див. рис. 
3.1). 
 
 
 
Для обчислення експериментальної частоти на вхід програми подають такі 
дані: часові серії з акселерометра, отримані під час експерименту; кількість 
експериментів у серії; кількість повторень у кожному експерименті; частоту 
дискретизації; досліджуваний проміжок частот; масу та довжину балок 
конструкції; висоту, на якій розташовано екструдер; обчислення значення 
розподілу t-стюдента. 
За замовчуванням, довірчі інтервали розподілу t-стьюдента розглядаються 
відносно процентиля P = 95%. Результатом роботи першого модуля програми є 
графіки власних частот за кожним експериментом; порівняльний графік власних 
частот усієї серії в досліджуваному проміжку відносно висоти, на якій розташовано 
екструдер; коефіцієнт жорсткості конструкції та значення власних частот із 
довірчими інтервалами заданого процентиля. 
Рисунок 3.1 - Програма обробки та аналізу вібрацій 
 
 
У завершальній частині програми проводиться порівняння 
 
експериментальних і теоретичних значень власних частот у вигляді графіка. 
Лістинг програми подано в додатку Г. 
 
 
3.2 Декомпозиція процесу проектування 3D-принтера за стадіями V-
моделі 
 
Технічне завдання 
Технічне завдання для систем адитивного виробництва реалізовано у 
вигляді електронного документа, що містить таку інформацію: 
• Габарити кінцевого виробу; 
• Собівартість компонентів, необхідних для створення системи 
адитивного виробництва; 
• Технологія АП (включає в себе як стандартні технології АП (FDM, 
SLS, DLP), так і нестандартні (машинний живопис, 3D-друк глиною тощо); 
• Точність системи АП; 
• Матеріал, який використовується як філамент; 
• Швидкість роботи системи АП (для деяких технологій обмежується 
точністю систем АП); 
• Вимоги до ПЗ; 
• Особливості конструкції систем АП: 
o Відкрита/закрита робоча камера (залежить від технології систем АП); 
o Тип екструдера; 
o Використовувана механіка (ремені, типи гвинтових приводів). 
Технічне завдання передбачає системи АП з робочими камерами завдовжки 
за кожним виміром до 1-2 метрів, оскільки при більших розмірах робочої камери 
буде використовуватися інша методика проєктування, інші комплектуючі та інший 
діапазон параметрів. 
 
Ескізне проектування 
 
На рисунку 3.2 відображено загальну архітектуру систем адитивного 
виробництва. 
 
 
 
Рисунок 3.2 - Архітектура систем адитивного виробництва 
 
Програмне забезпечення для підготовки 3D-моделі, розробляється в разі, 
коли немає наявної програми, що задовольняє вимогам створюваної системи АП. 
Оскільки механіка різних роботизованих систем відрізняється одна від одної, до 
розділу "механіка" було включено тільки загальні компоненти. 
 
Ключові рішення з механіки та електроніки 
Проектування механіки 3D-принтерів здійснюється в кілька етапів. На 
першому етапі обирають тип декартового робота згідно із систематизацією, 
представленою в розділі 2. Для ухвалення рішення здійснюється попередній 
розрахунок механічних характеристик робота, щоб упевнитися, що власні частоти 
системи та її статичні деформації перебувають у межах, заданих ТЗ. На другому 
етапі обирають вузли, компоненти та їхні характеристики, які будуть 
використовуватися в розроблюваній системі. Зазвичай, у технічному завданні, як 
правило, вже виробляється технічне бачення ключових вузлів системи. На 
 
третьому етапі створюється 3D-модель розроблюваної системи і проводиться 
розрахунок теоретичних значень частот і деформацій. 
З урахуванням викладеного в розділі 2 зрозуміло, що висока точність 
розрахунку власних частот та інших механічних характеристик у низці випадків не 
може бути забезпечена. Тому для уточнення розрахунку вводять процедуру 
структурної декомпозиції проєктованої механічної системи, і виявляють найбільш 
значущі "вузькі місця" - вузли, які найбільше впливають на зниження власної 
частоти системи. У разі, якщо найбільш небажаний режим вібрації неочевидний, 
проводять попередній модальний аналіз частот за допомогою МСЕ. Важливо не 
тільки визначити найнизькочастотніші компоненти в спеціальній програмі, а й з 
використанням інженерного досвіду та інтуїції вибрати інші режими, які не мають 
великого впливу в моделі, але можуть істотно впливати на власні частоти і 
деформації за наявності люфтів, нежорстких зчленувань та інших аспектів 
практичної реалізації системи. 
Після цього модель або кілька альтернативних моделей спрощуються так, 
щоб залишилися тільки основні компоненти, які беруть участь у вібрації. Якщо 
виявляється, що в інженерів відсутні дані для точного розрахунку навіть і таких 
спрощених моделей, проводиться експериментальне тестування компонентів. 
Наприклад, якщо виявляється, що частота системи з верстатного профілю на 
стандартному кріпленні занадто низька і необхідна розробка власного зчленування, 
то це зчленування виготовляють і досліджують експериментально. 
Коли даних для розрахунку виявляється достатньо, проводять здійснюється 
розрахунок альтернативних спрощених моделей і потім обирають ту, яка 
задовольняє ТЗ за найкращого співвідношення інших параметрів, таких як 
вартість, габарити, маса, складність виготовлення тощо. 
Потім створюють детальну 3D-модель адитивної системи, що враховує всі 
вузли, які входять у проєкт, зокрема й такі важливі компоненти, як кріпильні деталі, 
гнучкі кабель-канали, дроти тощо, і проводять фінальні розрахунки вібрацій, 
деформацій і можливих колізій під час роботи системи. Для наочності викладений 
алгоритм наведено на рисунку 3.3. 
 
Основні етапи проєктування електроніки та ПЗ: 
• Створюється архітектура силової та керуючої електроніки. 
• Вибираються характеристики конкретних вузлів; 
• Розробляється власна плата (за потреби); 
• Розробляється програма для керуючої і силової електроніки. Розробка ПЗ 
має кілька шляхів розвитку: 
• Вибирається готова прошивка с відкритим вихідним кодом; 
• Створення високорівневої моделі проекту і автогенерація коду за цією 
моделлю; 
• Розробка ПЗ с нуля, с використанням бібліотек тощо. 
 
Рисунок 3.3 - Алгоритм проектування адитивної системи 
 
На кожному з перерахованих вище етапів використовуються: 
 
• Високорівневі моделі поведінки (UML схеми, блок- схеми тощо); 
• виконувані моделі (Simulink, LabVIEW); 
• SPICE-моделі, моделі схемних компонентів, моделі цифрових систем. 
 
Код (робоче проектування) 
Основною мовою програмування для систем картезіанського типу є G-код, 
який є мовою програмування пристроїв з ЧПУ. І саме в G-код у програмах-
слайсерах перетворюється STL-файл. Тому, під час розроблення 3D-принтерів, як 
виконавчий код використовуються прошивки, які 
охоплюють функції для зчитування G-коду, виведення інформації для 
користувача, зчитування даних з SD карт та інше. 
На сьогодні вже існує значна кількість прошивок для картезіанських і дельта 
3D-принтерів у відкритому доступі, найпопулярнішою з них є прошивка Marlin, що 
має широкий діапазон налаштувань і сумісна з 8-ми і 32-х бітними контролерами. 
 
Тестування механіки та електроніки 
Після складання механіки здійснюється імпульсний вплив на зібрану систему 
і знімаються вібраційні дані за допомогою акселерометра. Мета такого 
експерименту - зрозуміти, що власні частоти, які виникають, приблизно 
відповідають значенням, отриманим під час теоретичного розрахунку власних 
частот на етапі ескізного проєктування. Якщо отримані власні частоти істотно 
відрізняються, то вібрації визнають критичними і йде доопрацювання моделі. 
Тестування електроніки проводиться в кілька етапів: 
• Симуляційне  моделювання  електронних  компонентів  у 
Simulink або інших подібних програмах; 
• Після складання електроніки проводиться перевірка правильності 
підключення компонентів. Проводиться тестування за специфікацією; 
• Тестування вузлів електроніки за допомогою програмного коду. 
• Перевірка роботи електронних компонентів екструдера, столу тощо. 
Тестування системи загалом 
 
Після тестування механіки та електроніки, проводиться тестування ПЗ. 
Тестування ПЗ розбите на кілька етапів: 
• ПЗ тестується на сумісність із контролером. Якщо робот працює в робочому 
просторі з геометричними обмеженнями, проводять перевірку дотримання 
геометричних обмежень, що унеможливлює зіткнення, у спеціальних програмах 
(наприклад, RoboDK). Проводиться тестування подій, за яких робот виходить за 
межі робочої області. Проводиться перевірка спрацьовування датчиків положення 
(наприклад, кінцевих датчиків). 
• Проводиться перевірка правильності читання G-коду або його аналога 
(наприклад, PLT-коду для плотерів і аналогічних їм машин). 
• Застосування середовища симуляції робота. Використовується в разі 
використання робота з великим числом ступенів свободи. 
На останньому етапі тестування перевіряється зв'язка ПЗ з електронікою і 
механікою. 
  
 
РОЗДІЛ 4 
АПРОБАЦІЯ РОЗРОБЛЕНИХ КОМПОНЕНТІВ САПР 
ЕКСТРУЗІЙНИХ 3D-ПРИНТЕРІВ 
 
 
4.1 Постановка завдання 
 
Одна з невирішених проблем у галузі комп'ютерної творчості 
- створення робота, здатного створювати повнокольорові зображення 
художніми фарбами, подібно до людини. Це завдання може розглядатися в 
контексті цього дослідження як створення спеціалізованої системи адитивного 
виробництва картин. Незважаючи на те, що зображення двовимірне, художники 
часто кладуть рельєфні мазки, що виходять за площину зображення, для 
посилення художнього ефекту, а також повсюдно практикують багатошарове 
нанесення фарби. Використання таких самих прийомів машиною дає змогу 
говорити про технологічну схожість робота-живописця з 3D- принтером. 
Для малювання пензлем було розроблено низку роботизованих систем, таких 
як e-David, Vangobot, Cloudpainter та інші. Незважаючи на те, що на сьогодні вже 
було створено кілька десятків роботів-художників, якісне перенесення кольорів 
залишається головним невирішеним завданням роботизованого живопису. 
Вищевказані проекти довели можливість створення роботизованих систем, здатних 
імітувати манеру малювання людини. Після деяких поліпшень сучасні машини, 
ймовірно, зможуть пройти художній варіант тесту Тюрінга, запропонований Gooch 
A.A. et. al, для програм художнього рендерінгу: картини мають бути не 
відрізняються від намальованих вручну творів мистецтва. Хоча технічні деталі 
цього тесту поки що залишаються дискусійними, зрозуміло, що машина, здатна 
пройти художній тест Тюрінга, повинна володіти всіма основними художніми 
навичками, включно зі здатністю працювати з кількома пензлями, змішувати 
кольори, виконувати багатошаровий живопис тощо. На сьогоднішній день, 
ймовірно, жодна з існуючих машин не може впевнено пройти художній тест 
 
Тюрінга, принаймні, в реалістичному живописі. 
З 2015 року на кафедрі САПР СПбДЕТУ "Леті" розробляють власну 
роботизовану систему "ARTCYBE", що ґрунтується на принципі екструзії 
поліакриату. Даний проект спрямований на розробку 3D-принтера, здатного 
створювати акриловими фарбами на полотні кольорові реалістичні картини і 
пройти художній тест Тюрінга. 
Для проєкту "ARTCYBE" було розроблено кілька роботизованих систем. На 
жаль, вони мали низку недоліків і недоробок, оскільки розроблялися інтуїтивно, 
без будь-якої методики. У цьому розділі буде описано приклад розроблення 
системи машинного живопису із застосуванням методики, запропонованої в цій 
роботі. 
 
 
4.2 Проектування 3D-принтера за V-моделлю: низхідна гілка 
 
 Технічне завдання 
Розроблюваний екструзійний 3D принтер, що використовує як матеріал 
водну дисперсію акрилового полімеру, повинен відповідати таким критеріям. 
Розмір робочої області має становити 40×50×15 см, оскільки розмір полотна 
становить 40×50 см, а також система має враховувати підрамник і пензель 
сумарною висотою до 15 см. Точність виставлення всіх координат у процесі руху 
має бути в межах 100 мкм, а точність позиціонування до 20 мкм. Оскільки 
використовуваний матеріал для малювання - акрилові фарби, система повинна мати 
можливість використовувати 8 фарб для змішування, а точність змішування має 
бути понад 90%. Центральною конструкційною особливістю, що відрізняє систему, 
яку розробляють, від верстата з ЧПУ, є наявність так званої автоматичної палітри - 
пристрою для змішування і подачі фарб в область малювання. Вимоги до 
автоматичної палітри такі: автоматична палітра повинна містити систему подачі 
фарб. Фарби повинні подаватися зі спеціальних ємностей через трубки в змішувач. 
Зі змішувача фарба повинна подаватися на пензель. Пензель має бути порожнистим 
 
і розташовуватися під змішувачем, через який подається змішана фарба. У 
змішувачі має бути мотор із лопаттю для змішування фарби. Робоча камера 
змішувача повинна мати об'єм не більше 10 см3 . Низ робочої камери повинен 
з'єднуватися з кріпленням для пензля. Подачу фарби на пензель потрібно 
здійснювати невеликими обсягами. У змішувачі має бути передбачено 9 впускних 
отворів, оснащених електромагнітними клапанами, у які вставляють трубки (вісім 
трубок із фарбами і одна з водою для промивання змішувача). Система подачі 
фарби повинна складатися з: мотора, насосів із фарбою, кінцевого датчика. Насос 
має діставатися з кріплення за потреби. Система подачі фарб повинна мати похибку 
не більше ніж 0,05 грама. Якщо фарба в насосі закінчилася, робот має призупинити 
процес малювання, опустити пензлик у резервуар із водою і чекати команди від 
оператора.  
Мається на увазі, що оператор наповнює насос і, якщо все в порядку, посилає 
команду для продовження процесу малювання. Система сканування полотна має 
забезпечувати точність у 10 мкм. Розроблюваний 3D-принтер повинен мати два 
спеціальних резервуари. Один резервуар має бути для промивання пензля. Другий 
для скидання непотрібної фарби, що залишається в змішувачі під час зміни відтінку 
фарби. Розроблюваний 3D-принтер повинен мати систему сканування полотна, на 
наявність його деформацій. Типовими проблемами полотна на підрамнику можуть 
бути: провисання полотна внаслідок його недостатнього натягу, гвинтове 
закручування підрамника. Типовою проблемою полотна на картоні є його 
спучування по центру або по краях. Усі ці дефекти слід враховувати при нанесенні 
зображення тонким пензлем, оскільки товщина мазка залежить від положення 
пензля по відношенню до полотна. Блок керування має бути в окремому корпусі 
і мати можливість підключення периферійних пристроїв. 
3D-принтер, що розробляється, має бути розбірним для можливості 
забезпечення його перевезення і мати можливість працювати без зупинок понад 9 
годин. 
 
 
 
Ескізне проектування 
Згідно з технічним завданням було складено архітектуру екструзійного 3D-
принтера (див. рис. 4.1). 
 
Рисунок 4.1 - Архітектура розробленої адитивної системи  
 
Відмінною особливістю даної системи АП є наявність рухомого робочого 
елемента (екструдера), який представлений у вигляді автоматичної палітри. 
Рухомий робочий елемент у даній системі має досить великі габарити і масу, 
оскільки містить у собі систему подачі фарби, змішувач і систему сканування 
полотна. 
Вибір типу декартового робота. Основні обмеження механіки, які впливають 
на вибір, є: 
1. Обмеження руху осі, на якій розташоване полотно; 
2. Значні габарити і маса екструдера; 
3. Обмеження ходу екструдера вгору-вниз щодо полотна 15 
сантиметрами; 
 
Згідно з першим обмеженням, платформа, на якій розташоване полотно, не 
повинна рухатися. Під цю умову підходять усі конструкції, описані в таблиці 2.2 
(див. рис. 4.2). Велика маса робочого органу з а одночасної вимоги високої точності 
процесу нанесення мазків, накладає умови найбільшої можливої жорсткості XY 
осей. З цього випливає, що осі X і Y мають бути замкнутими. Під ці умови 
підходять схеми 3D-принтерів із таблиці 2.2 під номерами 3 і 4, які відрізняються 
одна від одної замкненістю і розімкненістю осі Z. 
 
 
Рисунок 4.2 - Кінематичні схеми декартових систем АП з фіксованим 
столом 
 
Слід зазначити, що кожен схематичний Рисунок систематизації, показує 
лише один з безлічі варіантів створення конструкції. 
Із представлених на рис. 4.2 схем у підсумку було обрано схему, 
представлену на рис. 4.3. 
 
 
                             (а) (б) 
Рисунок 4.3 - Кінематична діаграма, обрана для 3D-принтера (а), та її 
розширена версія (б), сірим позначено пасивні поступальні кінематичні пари, 
реалізовані у вигляді лінійних підшипників на полірованих валах, білим - 
кульково-гвинтові приводи. 
 
Як видно, обрано схему із замкненою віссю X і Y (пари 3,4 на рисунку 4.3(а)) 
і розімкнутою віссю Z. Уточнена модель на рис. 4.3(б) може бути реалізована 
різними способами. Реалізація підшипників 3.1, 3.2 і 4.1, 4.2 з одним або двома 
модулями SCS16LUU показана на рисунку 4.4. 
 
(а) 
 
 
 
 
(б) 
 
Рисунок 4.4 – Варіанти реалізації лінійного підшипника 
 
Експериментально було встановлено, що використання двох модулів 
підшипників дає змогу підвищити жорсткість кріплення осі Y до осі X приблизно 
у 2 рази. Під час перерахунку на загальну жорсткість конструкції за відомих 
домінуючих частот збурливих впливів Ω і 
моменті інерції осей Y-Z ������, розрахованих із кінематичної схеми на 
 
рисунку 4.3, призводить до зменшення амплітуди коливань у 1.1 разів, тобто 
збільшення співвідношення швидкість-точність приблизно на 10% за порівняно з 
використанням одного модуля. 
Було розглянуто два варіанти кінематичних схем кріплення збірки осей Y-Z, 
які відрізняються один від одного кріпленням автоматичної палітри до осі Х. 
Перший варіант кріплення містить систему напрямних, на яку з одного боку 
кріпиться автоматична палітра, вісь Z у такому разі розімкнута. У другому варіанті, 
система напрямних дублюється, і автоматична палітра закріплюється з двох боків, 
вісь Z рамкнута (див. рис. 4.5). 
  
Рисунок 4.5 - Варіанти конструкції: а) з одинарною системою 
напрямних, розташованих на осі X; б) з подвійною системою напрямних, 
розташованих на осі Х. 
 
Основні коливання в таких системах випробовуватиме автоматична палітра, 
оскільки вона має велику масу, тому власну частоту обчислюватимуть, ураховуючи 
тільки момент інерції автоматичної палітри (див. рис. 4.). 
 
Рисунок 4.6 - Схема відносно осей YZ: а) з одинарною системою 
напрямних, розташованих на осі X; б) з подвійною системою напрямних, 
розташованих на осі Х 
 
Власна частота конструкції, представленої на рисунку 4.6 а, розраховується, 
використовуючи запропонований підхід, за такою формулою: 
f                                             (4.1) 
де �� - момент інерції автоматичної палітри; �� - маса автоматичної палітри; 
�� - ширина автоматичної палітри; �� - загальна жорсткість. Момент інерції 
автоматичної палітри 
розраховується як момент інерції кубоїда з висотою ℎ, шириною �� і 
глибиною ��: 
�� =  ��(��2 +��2 )=  ��(ℎ2 + ��2),                              (4.2) 
де ���� - момент інерції автоматичної палітри, що відповідає коливанням 
відносно осі Y, а ��ℎ - момент інерції автоматичної палітри, що відповідає 
коливанням відносно осі X. 
Власна частота конструкції, представленої на рисунку 4. б, розраховується за 
такою формулою: 
                                                    f                                                        (4.3) 
 
Підставивши в 4.4 жорсткість ��, виражену з формули 4.5, і отримаємо: 
 
   
 
          f f   f           (4.4) 
   
 
За ширини палітри, що дорівнює 0.4 метра, висоти, що дорівнює 0.6, і 
глибини, що дорівнює 0.25 метра, відношення власної частоти другої конструкції 
до власної частоти першої дорівнює: 
 
f 2 d 4l 2 0.0625 4 ∗ 0.16
2.51, 
f d l 0.0625 0.16
f 2 d 4l 2 0.36 4 ∗ 0.16
1.96 
f d l 0.36 0.16
 
Таким чином, у разі додавання ще однієї системи напрямних, значення 
власної частоти конструкції, що відповідає коливанням у площині XOZ, 
збільшиться в 2.51 раза, а власна частота, що відповідає коливанням у площині 
YOZ, збільшиться в 1.96 раза. 
Частота другого варіанта конструкції збільшується приблизно вдвічі 
порівняно з першим варіантом, але водночас збільшуються витрати на компоненти 
і габарити всієї системи машинного живопису. Розімкненість по осі полегшує 
конструкцію, але зменшує її жорсткість. Але оскільки 3D- принтер, що 
розробляється, не вимагає великих переміщень екструдера за віссю Z, було обрано 
тип декартового робота під номером 3 з малюнка 4.2. 
Вибір вузлів, компонентів і їхніх характеристик. Оскільки розміри робочої 
області достатньо великі і необхідна точність позиціонування становить 20 мкм, як 
основні мотори було обрано крокові мотори Nema 23 з крутним моментом 4,5 
кг*см. 
У розроблюваному 3D-принтері як приводи лінійного переміщення було 
обрано кульково-гвинтові приводи. Ці приводи використовуються в парі з 
напрямними. Ці вузли використовуються для переміщення рухомих компонентів 
робота за лінійною траєкторією і для зняття навантаження з гвинта. Є кілька типів 
напрямних: полірований вал, циліндрична рейка (вал на опорі) і профільна рейкова 
напрямна. 
Полірований вал простий в установці, але через кріплення тільки на кінцях 
збільшується ступінь похибки як під час установки, так і під час експлуатації. 
Циліндрична рейка (вал на опорі) має більшу точність, порівняно з полірованим 
валом, але вона знижується під час використання циліндричної рейки на 
невеликому верстаті з важкою кареткою. Рейкова напрямна має переваги у 
вантажопідйомності, швидкості, точності та жорсткості, але її недоліком є 
складність у встановленні, і місця кріплення мають мати низьку шорсткість і 
високу прямолінійність.. 
У розроблюваному 3D-принтері основним типом напрямних було обрано 
рейкову направляючу для забезпечення найбільшої точності переміщення. Для 
 
зменшення навантаження на гвинт, до рейкової направляючої було додано два 
полірованих вали, що дало змогу перенести майже всю масу з гвинта на напрямні. 
Вісь X реалізовано за допомогою двох шарико-гвинтових приводів і містить дві 
рейкові напрямні та чотири поліровані вали. Вісь Y містить один шарико- 
гвинтовий привід, дві рейкові напрямні та два поліровані вали. Додаткова рейкова 
напрямна додана для збільшення жорсткості конструкції. Вісь Z складається з 
одного шарико-гвинтового привода, однієї рейкової направляючої і двох 
полірованих валів. 
Система промивання містить два резервуари: резервуар для відходів і 
резервуар для промивання. Резервуари вмонтовані в стіл і розташовуються збоку 
від полотна. Кожен із резервуарів має отвір для пензля. Резервуар промивання 
містить імпелер, який приводиться в дію двигуном постійного струму. Цикл 
промивання починається після команди зміни кольору. Спочатку зайва фарба зі 
змішувача скидається в резервуар для відходів. 
Автоматична палітра включає в себе систему подачі фарби, змішувач і 
систему сканування полотна. На рисунку 4.7 представлено розроблений змішувач, 
що задовольняє вимогам, описаним у ТЗ.  
Цикл змішування складається з таких етапів. Спочатку робот переміщується 
в зону промивання, розміщує змішувач над резервуаром для скидання зайвої фарби 
і вмикає необхідні насоси. Фарба з насосів потрапляє по трубках в 
електромагнітний клапан. Якщо він відкритий, то фарба надходить у резервуар 
змішувача. Отвори для подачі фарби в змішувач розташовані у верхній частині 
резервуара, а змішування відбувається в нижній частині.  
 
 
 
 
 
 
 
 
Рисунок 4.7 - Змішувач акрилових фарб. 1 - резервуар для змішування 
фарби; 2 - міксер; 3 - компонент планетарної передачі; 4 - наполегливий 
кульковий підшипник; 5 - кульки; 6 - стикувальна деталь; 7 - силіконове 
кільце; 8 - перехідник пензля; 9 - кріплення змішувача до автоматичної 
палітри; 10 - електромагнітний клапан; 11 - магніти; 12 - кріплення на вал 
мотора; 13 - верхня частина корпусу змішувача; 14 - мотор постійного струму; 
 
Фарба змішується 30 секунд за допомогою спірального імпеллера, за 
допомогою двигуна постійного струму, який розташований зверху змішувача. Далі 
робот робить мазок пензлем над ганчіркою, тим самим протираючи пензель, і 
починається процес малювання. Коли фарба закінчується, процес змішування 
фарби починається заново. 
На рисунку 4.8. представлена система сканування полотна. 
 
 
 
 
Рисунок 4.8 – Система сканування полотна. 1 – фотоінтерраптор; 2 – 
тримач фотоінтерраптора; 3 – голка; 4 – фланець; 5 – насадка сервомотора; 6 
– тримач сервомотора; 7 – сервомотор. 
 
Система працює таким чином. Під час запуску сканування робот 
переміщається в задані координати і зупиняється. Потім сервомотор опускає голку 
на полотно, і робот починає повільно опускати вісь Z, на яку змонтована система 
сканування. Голка, зустрічаючи полотно, зупиняє своє переміщення віссю Z, тоді 
як інша частина системи, зокрема й фотоінтерраптор, продовжує рух. Як тільки 
верхній кінець голки повністю закриває щілину фотоінтерраптора - 
фотоінтерраптор спрацьовує. Після цього сервомотор піднімає голку в початкове 
положення, і програма запам'ятовує крок, на якому спрацював фотоінтерраптор. 
Голка розташовується близько до кисті. У тримачі фотоінтерраптора передбачено 
регулювання висоти спрацьовування фотоінтерраптора.  
Тримачі спроектовані таким чином, щоб голка опускалася під кутом 90о 
щодо полотна. Знаючи довжину голки �� і координату спрацьовування 
фотоінтерраптора ��0 , легко обчислити координату полотна (вісь �� спрямована 
вниз):�������������� = ��0 + ��. 
 
Система подачі фарби включає в себе шприцеві насоси, крокові мотори, 
шарико-гвинтові приводи і кінцеві датчики (див. рис. 4.9). 
 
Рисунок 4.9 – Система подачі фарби. 1 – кроковий мотор Nema 17; 2 – 
муфта; 3 – гвинт із різьбленням; 4 – шприц із фарбою; 5 – полірований вал; 6 
– кріплення шприца; 7 – фланець; 8 – кінцевий датчик. 
 
Як мотори було обрано крокові мотори Nema 17 через їхню високу точність, 
відносно невелику вартість і простоту використання, як порівняти з іншими типами 
моторів. Фланець, до якого прикріплений поршень шприцевого насоса, 
приводиться в рух кроковим мотором. Кулько-гвинтовий привід складається з 
гвинта і двох лінійних напрямних. Ця конструкція має високу жорсткість і 
забезпечує рівномірну подачу фарби. Кінцевий датчик розташований біля основи 
шприцевого насоса і спрацьовує, коли фарба закінчується. Усі кріплення в 
прототипі виготовлені з PLA пластику на 3D-принтеріКріплення зверху 
шприцевого насоса є розбірним для вільного доступу до шприца. Усі системи 
шприцевих насосів кріпляться до корпусу з композитного матеріалу. 
Як компонент рами використовується верстатний профіль із перетином 
 
40×40 мм. Такий типорозмір був обраний, щоб забезпечити високу жорсткість і 
вантажопідйомність конструкції. 
 
Робоче проектування 
Створення 3D-моделі розроблюваного 3D-принтера і проведення 
симуляційного дослідження. На рисунку 4. представлена 3D-модель 
розроблюваного 3D-принтера. Кожному компоненту було присвоєно відповідний 
матеріал. Розрахована маса автоматичної палітри склала 11 кг. Загальний розмір 
системи - 94×97.5×140 см. 
 
Рисунок 4.10 - 3D-модель розроблюваного 3D-принтера 
 
Наступним кроком було проведення статичного аналізу деформацій, що 
виникають. Моделювання проводилося в пакеті Fusion 360.  
Дослідження було проведено з кількома типами навантажень: 
LoadCase 1 – на 3D-принтер діє тільки сила гравітації; 
LoadCase 2 – сила гравітації + сила інерції, що дорівнює 11 Н, що діє на 
екструдер (прискорення дорівнює 1000 мм/с );2 
LoadCase 3 – сила гравітації + сила інерції, що дорівнює 110 Н, що діє на 
екструдер (прискорення дорівнює 10000 мм/с );2 
 
Результати моделювання зведено в таблицю 4.1. 
Таблиця 4.1 – Результати статичного дослідження деформацій 
СМЖ 
 
Навантаження Максимальне значення деформації, мм 
LoadCase 1 0,1007 
LoadCase 2 0,1017 
LoadCase 3 0,1568 
Значення деформації коливаються від 100 до 160 мкм. Максимальне 
відхилення досягається за третього типу навантаження. На рисунку 4.11 
представлено графічний результат статичного дослідження для третього типу 
навантаження. Червоним кольором позначено місця максимальної деформації, а 
синім кольором – мінімальної. На рисунку видно, що найбільше деформується 
автоматична палітра. 
 
Рисунок 4.11 – LoadCase 3 
 
На наступному етапі було проведено модальний аналіз власних частот 
розроблюваного 3D-принтера. Усі налаштування сітки та елементів відповідають 
методиці проведення дослідів, описаній у розділі 2. Результати частотного аналізу 
зведено в таблицю 4.2. 
 
 
Таблиця 4.2 - Результати частотного аналізу 
№ Режим коливань Частота, Гц 
1 Режим 1 19,89 
2 Режим 2 22,17 
3 Режим 3 45,82 
 
Модальний аналіз показав низькочастотні коливання в режимах 1 і 2 (19,89 і 
22,17 Гц). Максимальна амплітуда коливань припадає на автоматичну палітру (див. 
рис. 4.12). 
 
Рисунок 4.12 - Режим 1 
 
Такі низькочастотні коливання можуть вплинути на точність нанесення 
мазка, він може виходити змазаним. Щоб позбутися власних частот у діапазоні від 
0 до 40 Гц, висоту конструкції було зменшено вдвічі. Спочатку, довгі опори столу 
були зроблені для зручності експлуатації, але, як видно з частотного аналізу, 
вони сприяють збільшенню амплітуди власних коливань системи.  
Було розраховано власні частоти для нової конструкції (рис.4.13). 
 
 
 
 
Рисунок 4.13 - Режим 1 
 
В таблицю 4.3 зведені результати частотного аналізу для початкової та 
поліпшеної конструкції. 
Таблиця 4.3 - Результати частотного аналізу для двох варіантів конструкції 
 
№ Режим Конструкція №1; Частота, Конструкція №2; 
коливань Гц Частота, Гц 
1 Режим 1 19,89 40,42
2 Режим 2 22,17 41,84
3 Режим 3 45,82 62,74
Згідно з таблицею 4.3 власна частота коливань для перших двох режимів 
зменшилася вдвічі і стала дорівнювати 40,42 і 41,84 Гц відповідно. Таким чином, 
отримані частоти виходять за рамки встановленого діапазону від 0 до 40 Гц, і 
отриману конструкція може використовуватися для подальшого створення 3D-
принтера. На рисунку зображено підсумкову 3D-модель 3D-принтера. 
 
 
 
Рисунок 4.14 - Підсумкова 3D-модель 3D-принтера "ARTCYBE" 
 
На рисунку 4.15 представлено архітектуру силової та керуючої електроніки 
3D-принтера. Основною сполучною ланкою в системі є контролер, який посилає 
команди моторам і приймає дані з SD-карти та периферійного пристрою для 
введення команд. SD карта містить PLT файл з векторною картою мазків. 
 
Рисунок 4.15 - Архітектура силової та керуючої електроніки 
 
Як керуючий пристрій було обрано плату Arduino Mega на основі 32-бітного 
мікроконтролера. Ця плата має 54 цифрові входи/виходи, 12 аналогових входів і 
два цифро-аналогові перетворювачі. 
 
Максимальне навантаження на кожен вивід становить 40 мА. При 
використанні всіх виводів, необхідний струм складе 2.64 А. Для моторів Nema 17 
були використані драйвери A4988 з напругою живлення 8-35В і напругою логіки 
3-5.5В. Максимальний споживаний струм - 1А на фазу без радіатора і 2А з 
радіатором. Для моторів Nema 23 були використані драйвери FUYU з напругою 
живлення 12-36 В і споживаним струмом від 1 до 4А. Для змішування і промивання 
фарби були обрані мотори постійного струму з чотирьохканальними драйверами 
L293D напругою живлення 4.5 -12V. Ці драйвери підходять і для електромагнітних 
клапанів. Таким чином, було обрано блоки живлення для основних вузлів: 
• Для драйверів FUYU - блок живлення з напругою 24 В і споживаним 
струмом 6.25А; 
• Для драйверів А4988 і L293D - блок живлення з напругою 24 В і 
споживаним струмом 12.5А; 
• Для плат Arduino Mega - блок живлення з напругою 5 В і споживаним 
струмом 5А. 
Для сполучення силової та керуючої електроніки було розроблено власну 
двосторонню друковану плату (рис. 4.7). Електронну схему плати наведено в 
додатку А. 
 
Рисунок 4.16 -Виготовлений прототип друкованої плати для СМЖ 
 
На платі розміщені всі драйвери А4988 і L293D, Arduino Mega, слот для 
microSD карти. Драйвери FUYU і всі мотори підключаються до плати через 
 
шлейфи. У платі зроблені отвори для її зручного розміщення на корпусі. 
Було розроблено корпус блока керування (рис. 4.17). 
 
 
Рисунок 4.17 - 3D-модель корпусу для електроніки 
 
Корпус виготовлено з композитного матеріалу з дверцятами з прозорого 
акрилу. У корпусі розміщені драйвери для моторів Nema 23, усі блоки живлення, 
друкована плата, різні кнопки та кулер. Уся інша електроніка з’єднується з платою 
за допомогою промислових роз’ємів серії DS1110 і DB. Для кожного мотора було 
виділено окремий конектор, для спрощеного налагодження процесу роботи. 
Розробка ПЗ для електроніки велася з нуля, з використанням різних бібліотек. 
Використовуваним середовищем розробки є Arduino, мова програмування – С/С++. 
Основні використовувані бібліотеки: 
• AccelStepper – бібліотека для керування різними кроковими двигунами; 
• MultiStepper – доповнення до бібліотеки AccelStepper для керування 
кількома кроковими двигунами; 
• SD – бібліотека для читання і запису даних на SD карту; 
• Servo – бібліотека для керування сервомоторами; 
• SPI – бібліотека для зв’язку з пристроями по шині послідовного 
периферійного інтерфейсу (SPI); 
• Wire – двопровідний інтерфейс (TWI / I2C) для надсилання та отримання 
 
даних через мережу пристроїв або датчиків. 
За допомогою ПЗ для розбиття зображення на карту мазків створюється PLT-
файл з командами для робота. Далі SD-карту вставляють у слот на друкованій платі, 
і Arduino починає зчитувати й обробляти команди. Отримувані команди являють 
собою модифікацію мови HP-GL/2, до якої додано команду: PP c, oh, m, or, y, b, g, 
w, a; де c, oh, m, or, y, b, g, w, a – кількість тактів крокового мотора Nema 17 для 
систем шприцевих насосів (ціан, охра, маджента, помаранчевий, жовтий, чорний, 
зелений, білий кольори і повітря). 
Також, ПЗ має кілька налаштувань роботи: 
• SW(0 | 1) : 1 – на початку роботи здійснюється промивання пензля; 0 
- пензель не промивається; 
• CA: коефіцієнт подачі повітря під час нанесення мазків; 
• AT: число тиків крокового двигуна Nema 17, що використовується для 
скидання тиску після заповнення змішувача фарбою; 
• СW: коефіцієнт відкачування повітря при змішуванні фарби; 
• ZC: положення полотна за віссю Z; 
• ZR: положення картону для витирання кисті по осі Z; 
• MV: напруга мотора в резервуарі для промивання пензля; 
• PA: пауза. СМР переміщається до резервуара для промивання, опускає 
кисть; Для того щоб вийти з режиму паузи, потрібно натиснути будь-яку клавішу. 
 
Тестування 
На першому етапі тестування складання механіки проводили перевірку на 
відсутність геометричних колізій (можливість складання та переміщення 
механічних частин у заданих величинах), співвісність компонентів. Наступним 
етапом було проведення функціонального тестування: компоненти, зібрані 
частково або повністю, перевірялися на виконання зазначених функцій і на 
відповідність параметрам, визначеним у специфікації компонента. Функціональне 
тестування проводилося в ручному режимі. На рис. 4.18 показано процес складання 
механіки СМЖ. 
 
 
 
 
Рисунок 4.18 – Механіка робота в процесі складання 
 
Для тестування системи загалом було проведено експериментальне 
дослідження вібрацій за допомогою акселерометра, що виникають під час роботи 
робота. Далі, значення власних частот, отриманих під час проведення частотного 
аналізу у Fusion 360, порівнювалися з експериментальними даними. 
На рисунку 4.19 показано графік коливального спектра частот досліджуваної 
СМР щодо осі Y на проміжку від 0 до 110 Гц. На графіку чітко видно піки, які 
відповідають власним коливанням системи. Власні частоти, отримані в 
експерименті відносно осі X, мають низьку спектральну густину потужності й тому 
далі не враховуються. Найменша власна частота СМР становила 10 Гц. 
 
 
 
 
Рисунок 4.19 - Спектр частот для СМЖ по осі Y 
 
Мінімальна власна частота для СМР, розрахована в програмі Fusion 360 
становить 40 Гц. 
 
Висновки за розділом 4 
 
За допомогою пропонованого методичного забезпечення було розроблено 
систему машинного живопису ARTCYBE. Було обрано картезіанський тип робота 
і кінематичну схему, що задовольняє вимоги технічного завдання. 
Під час проведення частотного аналізу конструкції в пакеті Fusion 360 було 
виявлено низькочастотні коливання (~20 Гц) автоматичної палітри. При зміні 
конструкції вдалося домогтися більшої частоти коливань (~40 Гц) і зменшити 
собівартість всієї системи. Однак, дані отримані за допомогою модального аналізу 
у Fusion 360 не підтвердилися експериментальними результатами. 
Розроблене математичне та програмне забезпечення апробовано на 3D-
принтері нового типу, що друкує водною дисперсією поліакрилату, з 
використанням кінематичної схеми портального типу з підвищеною жорсткістю 
 
сполучення осей X і Y.  
Використання результатів роботи дало змогу збільшити співвідношення 
точність-швидкість цього 3D- принтера на 10% порівняно з проектом, створеним 
без використання розроблених засобів САПР. 
На етапі тестування всієї системи було отримано експериментальні дані з 
акселерометра і знайдено реальну мінімальну власну частоту всієї конструкції, що 
дорівнює 10 Гц. Основною проблемою знаходження власних частот конструкцій із 
болтовим з'єднанням є те, що в таких системах виникають різні нелінійності 
коливань. Як, наприклад, у ситуації, розглянутій у розділі 2, де два верстатні 
профілі, розташовані перпендикулярно, з'єднані одним куточком, і відхилення 
профілю від початкового положення в один бік спричиняють менші напруження, 
ніж в інший. 
Розроблене програмне забезпечення може використовуватися для виявлення 
резонансних частот на адитивних системах картезіанського типу середнього 
розміру. Усі вимоги, описані в технічному завданні, було виконано. 
 
 
  
 
ВИСНОВКИ 
 
 
1. Проведено порівняльний аналіз технологій 3D-друку, методик 
проектування та кінематичних схем промисловий роботів, які використовується в 
адитивному виробництві. Розглянуто основні дефекти екструзійного 3D-друку та 
причини їх виникнення, зокрема вібрації механічної складової 3D-принтера, що є 
основним джерелом динамічної похибки друку. Виявлено недоліки наявного 
процесу проектування адитивних систем і запропоновано спосіб їх усунення - 
створення САПР екструзійних 3D-принтерів.  
2. Розроблено систематизацію декартових 3D-принтерів на основі нових 
критеріїв замкненості та рухливості осей 3D-принтера. Проведено статичне та 
частотне дослідження деформацій наявних кінематичних схем декартових 3D-
принтерів і виконано порівняльний аналіз отриманих результатів. 
3.  Розроблено математичне забезпечення підсистеми ескізного 
проєктування САПР екструзійних 3D-принтерів, зокрема узагальнену математичну 
модель механічної складової 3D-принтера, яка дає змогу переходити від 
кінематичного опису 3D-принтера до динамічної моделі на основі звичайного 
диференціального рівняння для розрахунку його власних частот, а також алгоритм 
ідентифікації лінійної та нелінійної жорсткості з'єднань механічних елементів 3D-
принтера. Розроблене математичне забезпечення дає змогу проектувати нові 3D-
принтери з поліпшеними характеристиками. 
4. Розроблено програмне забезпечення підсистеми ескізного 
проектування САПР екструзійних 3D-принтерів для частотного аналізу адитивних 
систем, що дає змогу виявляти власні частоти розроблюваної системи, а також 
ідентифікувати жорсткість з'єднання конструкційних елементів 3D-принтера на 
основі розробленого в дисертаційній роботі математичного забезпечення. 
5. Розроблене математичне та програмне забезпечення апробовано на 3D-
принтері нового типу, що друкує водною дисперсією поліакрилату, з 
використанням кінематичної схеми портального типу з підвищеною жорсткістю 
 
сполучення осей X і Y. Використання результатів роботи дало змогу збільшити 
співвідношення точність-швидкість цього 3D- принтера на 10% порівняно з 
проектом, створеним без використання розроблених засобів САПР.