ChSTU repository

ЗМІСТ 
 
 Резюме ………….………………………………………………….. 4 
Review ………………………………………….…………………….7  
 Вступ …………………………………………………….…………. 10 
Розділ 1. Обгрунтування методу та об‘єктів наукового   
дослідження ……..…………………………….……………..... 12 
1.1. Математичний опис реальних поверхонь ..…………………... 12 
1.2. Залежність параметрів нанорельєфу від розміру зонда АСМ.. 20 
1.3. Моделювання фрактальних поверхонь та поверхні зонда   
 при його взаємодії з основою …………………………………. 22 
Висновки до розділу 1 ………………………………………… 27 
Розділ 2. Експериментально-дослідні методики …...……………….. 29 
2.1. Обґрунтування вибору об’єктів дослідження ……….……… 29 
2.2. Узагальнена методика вимірювання нанорельєфу твердих  
 поверхонь ……………………………….…………..…………. 30 
2.3. Методика вимірювання рельєфу поверхонь методом  
 атомно-силової мікроскопії ………………….……………….. 37 
 Висновки до розділу 2 ………………………………….…….. 44 
Розділ 3. Моделювання структури поверхні на основі теорії  
фракталів ………………………………………………………. 45 
3.1. Математична модель структури поверхні та покриття на  
 ньому .......................................................................................... 45 
3.2. Обробка та аналіз результатів математичного моделювання  51 
 Висновки до розділу 3 ………………………………..…….… 54 
Розділ 4. Дослідження процесу моделювання фрактальних  
поверхонь з врахуванням артефактів сканування АСМ. 55 
4.1. Обгрунтування вибору моделі процесу отримання АСМ-  
 зображення ……….…………………………………………… 55 
4.2. Вплив кінцевих розмірів зонда на АСМ - зображення ………6. 3 
 2 
4.3. Обгрунтування некоректності обраної моделі …………….. 71 
 Висновки до розділу 4 ………………………………….…….. 78 
 Висновки ……………………………….……………………………... 79 
 Список використаних джерел ……………………………………… 80 
 Додатки ………………………………………………...……………… 83 
 3 
РЕЗЮМЕ 
 
Шост В.В. Моделювання впливу поверхневих артефактів на точність 
вимірювання методом атомно-силової мікроскопії. – Кваліфікаційна робота 
магістра. 
Кваліфікована робота магістра на здобуття освітнього ступеня магістра за 
спеціальністю 152 «Метрологія та інформаційно-вимірювальна техніка» за 
освітньою програмою «Метрологія та інформаційно-вимірювальна техніка» – 
Черкаський державний технологічний університет, Черкаси, 2023. 
У кваліфікаційній роботі магістра проводиться моделювання фрактальних 
поверхонь, що дозволяє визначати вплив артефактів сканування поверхні методом 
атомно-силової мікроскопії. 
Мета і завдання дослідження. Метою магістерського дослідження є 
визначення впливу артефактів атомно-силової мікроскопії шляхом моделювання 
фрактальних поверхонь. 
Для вирішення поставленої мети необхідно розв’язати такі задачі: 
1. Розроблення методології визначення артефактів атомно-силової мікроскопії. 
2. Обгрунтування вибору моделі процесу отримання АСМ-зображення. 
3. Моделювання фрактальних поверхонь АСМ-зображення. 
4. Визначення впливу кінцевих розмірів зонду на параметри АСМ-зображення. 
Об'єкт дослідження – надгладкі поверхні ситалу і кварцу з шорсткістю 
порядку 1-5 Ǻ. 
Предмет дослідження – вплив артефактів атомно-силової мікроскопії 
шляхом моделювання фрактальних поверхонь. 
Наукова новизна отриманих результатів. 
– Запропоновано загальний підхід до моделювання фрактальних поверхонь, 
розроблено комп’ютерну модель та чисельний метод визначення розмірності 
цих поверхонь. 
– Проведено розрахунок фрактальної розмірності деяких поверхонь 
статистичного походження, що не досліджувалися раніше. 
 4 
– Побудовано приклади фрактальних поверхонь, отримано їх графічну 
інтерпретацію при різних параметрах. 
Практичне значення отриманих результатів. Результати дослідження 
дозволяють рекомендувати методи комп’ютерного моделювання як ефективний 
засіб дослідження складних поверхонь шляхом імітації їх суттєвих властивостей, 
а саме тих, що визначають їх розмірність. Зручність та простота побудованих 
моделей роблять можливим їх використання, як при наукових дослідженнях, так і 
в навчальному процесі. 
В першому розділі пояснювальної записки проведено критичний аналіз 
вітчизняної і зарубіжної науково-технічної літератури, що показав серед відомих 
методів та засобів дослідження впливу артефактів сканування методом атомно-
силової мікроскопії необхідність та доцільність проведення моделювання 
фрактальних поверхонь. Проводився математичний опис реальних поверхонь, а 
також встановлювалася залежність нанорельєфу від розміру зонда АСМ. 
В другому розділі магістерської роботи проведено розроблення методології 
визначення артефактів АСМ, за якою розроблені методики дослідження з 
використанням стандартизованих і доопрацюванням відомих методів досліджень, 
серед яких можна виділити узагальнену методику вимірювання нанорельєфу 
твердих поверхонь. На основі розробленої методики складена методика 
вимірювання рельєфу поверхонь методом АСМ.  
В третьому розділі проводиться розроблення алгоритму і програмного 
забезпечення для визначення фрактальної розмірності й амплітудного коефіцієнта 
мікроструктури поверхня з та без покриття, які уможливлюють прогнозування 
оптичних характеристик відбитків на етапі вхідного контролю та оперативного 
контролю під час експлуатації цих виробів. Отримані значення фрактальної 
розмірності й амплітудного коефіцієнта поверхні на основі профілограм за 
даними контактного та безконтактного методів АСМ. 
В четвертому розділі проводиться моделювання надгладких поверхонь, що 
мають фрактальну структуру. За основу береться алгоритм, що може 
безпосередньо варіювати деякі параметри поверхні. В якості функції опису 
фрактальної поверхні обирається функція Kohlrausch-Wiliams-Watts (KWW).  
 5 
Ключові слова: фрактальна поверхня, атомно-силовий мікроскоп, артефакт 
сканування, моделювання структури поверхні, нанорозмірність 
 
Список основних публікацій магістранта 
 
1. Test bench for determining force characteristics in the zone of interaction of 
the measuring probe with the surface to be investigated / Andreyko V., Shost V., 
Bondarenko M. // Якість, стандартизація, контроль: теорія та практика: 23-та 
міжнародна науково-практична конференція, Київ, 27-28 вересня 2023 р.: тези 
доповідей. – Київ: АТМ України, 2023. – т. 1. - С. 5-7. 
 6 
REVIEW 
Shost V.V. Modeling of the influence of surface artifacts on the accuracy of 
measurement by atomic force microscopy - Master's thesis. 
Master's thesis for a master's degree in specialty 152 "Metrology and information-
measuring equipment" under the educational program "Metrology and information-
measuring equipment" - Cherkasy State Technological University, Cherkasy, 2023. 
In the master's qualification work, fractal surfaces are modeled, which allows 
determining the influence of surface scanning artifacts by atomic force microscopy. 
The purpose and objectives of the study. The aim of the master's research is to 
determine the influence of atomic force microscopy artifacts by modeling fractal 
surfaces. 
To achieve this goal, it is necessary to solve the following tasks: 
1.Development of a methodology for determining atomic force microscopy artifacts. 
2.Justification of the choice of the model of the process of obtaining an AFM image. 
3.Modeling of fractal surfaces of the AFM image. 
4.Determination of the influence of the final probe dimensions on the parameters of the 
AFM image. 
The object of study is ultra-smooth surfaces of sieve and quartz with a roughness 
of the order of 1-5 Ǻ. 
The subject of the study is the influence of atomic force microscopy artifacts by 
modeling fractal surfaces. 
Scientific novelty of the results. 
- A general approach to modeling fractal surfaces is proposed, a computer model 
and a numerical method for determining the dimension of these surfaces are developed. 
- The fractal dimension of some surfaces of statistical origin, which have not been 
studied before, is calculated. 
- Examples of fractal surfaces are constructed and their graphical interpretation is 
obtained for different parameters. 
 7 
Practical significance of the results. The results of the study allow us to 
recommend computer modeling methods as an effective means of studying complex 
surfaces by simulating their essential properties, namely those that determine their 
dimensionality. Convenience and simplicity of the constructed models make it possible 
to use them both in scientific research and in the educational process. 
In the first section of the explanatory note, a critical analysis of domestic and 
foreign scientific and technical literature was carried out, which showed the need and 
expediency of modeling fractal surfaces among the known methods and means of 
studying the influence of scanning artifacts by atomic force microscopy. The 
mathematical description of real surfaces was carried out, and the dependence of 
nanorelief on the size of the AFM probe was established. 
In the second chapter of the master's thesis, a methodology for determining AFM 
artifacts was developed, according to which research methods were developed using 
standardized and refined known research methods, among which a generalized method 
for measuring the nanorelief of solid surfaces can be distinguished. On the basis of the 
developed methodology, a methodology for measuring surface topography by AFM was 
developed.  
In the third section, we develop an algorithm and software for determining the 
fractal dimension and amplitude coefficient of the microstructure of coated and 
uncoated surfaces, which make it possible to predict the optical characteristics of prints 
at the stage of incoming inspection and operational control during the operation of these 
products. The values of the fractal dimension and the amplitude coefficient of the 
surface are obtained on the basis of profilograms based on the data of contact and non-
contact AFM methods. 
In the fourth section, we model ultra-smooth surfaces with a fractal structure. The 
basis is an algorithm that can directly vary some surface parameters. The Kohlrausch-
Williams-Watts (KWW) function is chosen as a function for describing the fractal 
surface.  
Keywords: fractal surface, atomic force microscope, scanning artifact, surface 
structure modeling, nanoscale 
 8 
List of main publications of the master's student 
 
1. Test bench for determining force characteristics in the zone of interaction of 
the measuring probe with the surface to be investigated / Andreyko V., Shost V., 
Bondarenko M. // Quality, standardization, control: theory and practice: 23rd 
International Scientific and Practical Conference, Kyiv, September 27-28, 2023: 
abstracts. - Kyiv: ATM of Ukraine, 2023. - Vol. 1. - P. 5-7. 
 9 
ВСТУП 
Актуальність теми дослідження. В даний час, коли розвиток техніки веде 
до мініатюризації елементів механічних та радіоелектронних систем, все більшого 
значення набувають методи дослідження властивостей поверхонь на мікро- і 
нанорівні. До таких методів відноситься атомно-силова мікроскопія (АСМ), яка 
дозволяє отримати не просто двовимірне зображення, як, наприклад, в разі 
електронного мікроскопа, а тривимірний образ рельєфу. 
Недоліком методу АСМ є те, що форма використовуваного зонда вносить 
спотворення в одержуваний образ рельєфу. При цьому формою зонда фактично 
лімітується латеральное дозвіл методу. Тому вивчення впливу форми 
досліджуваного вістря на достовірність отриманих АСМ-зображень є важливим 
завданням при реалізації граничних дозволів АСМ нанооб'єктів. 
Одним з об'єктів дослідження нанотехногіі є надгладкої поверхні з 
шорсткістю менше 1 нм, які використовуються в якості основи для створення 
широко кола наносистем. У магістерській роботі зроблена спроба пов'язати 
кінцеву форму зонда з таким параметром надгладкої поверхні як PSD-функція. 
Такий підхід є новим і не описаний в літературі. Достовірність отриманих в 
роботі даних забезпечується поєднанням аналізу АСМ-зображень реальних 
поверхонь і чисельного моделювання процесу АСМ-вимірювання. 
Науковим підходом до вирішення проблематики даної магістерської роботи 
є врахування впливу артефактів атомно-силової мікроскопії шляхом моделювання 
фрактальних поверхонь. 
Мета й завдання дослідження. Визначення впливу артефактів атомно-
силової мікроскопії шляхом моделювання фрактальних поверхонь. 
Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити такі задачі: 
1. Розроблення методології визначення артефактів атомно-силової мікроскопії. 
2. Обгрунтування вибору моделі процесу отримання АСМ-зображення. 
3. Моделювання фрактальних поверхонь АСМ-зображення. 
4. Визначення впливу кінцевих розмірів зонду на параметри АСМ-зображення. 
 10 
Об’єкт дослідження – надгладкі поверхні ситалу і кварцу з шорсткістю 
порядку 1-5 Ǻ. 
Предмет дослідження – вплив артефактів атомно-силової мікроскопії 
шляхом моделювання фрактальних поверхонь. 
Методи дослідження. У роботі використано комплекс експериментальних 
сучасних методів дослідження надгладких поверхонь, які діляться на дві великі 
групи: «прямі» методи, що дозволяють досліджувати рельєф поверхні 
безпосередньо і методи, основані на розсіюванні електромагнітного 
випромінювання на рельєфі поверхні. 
Наукова новизна одержаних результатів.  
1. Запропоновано загальний підхід до моделювання фрактальних поверхонь, 
розроблено комп’ютерну модель та чисельний метод визначення розмірності 
цих поверхонь. 
2. Проведено розрахунок фрактальної розмірності деяких поверхонь 
статистичного походження, що не досліджувалися раніше.. 
3. Побудовано приклади фрактальних поверхонь, отримано їх графічну 
інтерпретацію при різних параметрах.  
Практичне значення одержаних результатів.  
Результати дослідження дозволяють рекомендувати методи комп’ютерного 
моделювання як ефективний засіб дослідження складних поверхонь шляхом 
імітації їх суттєвих властивостей, а саме тих, що визначають їх розмірність. 
Зручність та простота побудованих моделей роблять можливим їх використання, 
як при наукових дослідженнях, так і в навчальному процесі. 
Апробація результатів дисертації. Результати досліджень були 
представлені на 23-тій міжнародній науково-практичній конференції «Якість, 
стандартизація, контроль» (Київ: АТМ України, 2023).  
Публікації. По темі дисертації опублікована 1 теза доповідей. 
 
 11 
РОЗДІЛ 1 
ОБГРУНТУВАННЯ МЕТОДУ ТА ОБ‘ЄКТІВ НАУКОВОГО ДОСЛІДЖЕННЯ 
 
1.1. Математичний опис реальних поверхонь 
 
Як об'єкт дослідження будемо досліджувати надгладкої поверхні ситалла і 
кварцу з шорсткістю порядку 1-5A. Такі поверхні отримали широке застосування 
в якості підкладок для багатошарових інтерференційних дзеркал. 
Багатошарові інтерференційні покриття використовуються в якості 
оптичних елементів, як у видимому діапазоні довжин хвиль [27-28], так і в 
ультрафіолеті і в рентгені [2,26-28]. Всі області застосування інтерференційних 
дзеркал вимагають винятково низьких значень шорсткості меж розділу фаз в 
ногослойном покритті. За розсіювання довжин хвиль рентгена та ультрафіолету 
відповідають порівнянні з ними за розміром елементи рельєфу поверхні, а, отже, 
необхідно вибрати метод дослідження, який дозволяє працювати на таких малих 
масштабах. При цьому в літературі показано, що поверхня дзеркала пов'язана з 
поверхнею підкладки. Таким чином, дослідження поверхні підкладки є важливим 
завданням. 
Метод дослідження надгладкої поверхонь Методи дослідження надгладкої 
поверхонь діляться на дві великі групи [2]: «прямі» методи, що дозволяють 
досліджувати рельєф поверхні безпосередньо і методи, засновані на розсіюванні 
електромагнітного випромінювання на рельєфі поверхні. 
До «прямим» методів належать: профілометрія, атомно-силова мікроскопія, 
тунельна мікроскопія. 
Основним методом, заснованим на розсіянні електромагнітного 
випромінювання, є рентгенівське розсіювання (РР). 
На рис.1.1 наведено дозвіл методів дослідження, перерахованих раніше. 
 12 
 
Рис. 1.1 - Діаграма, що ілюструє діапазони вимірювання різних методів:  
1 – СТМ; 2 – АСМ; 3 – Оптичний профілометр; 4 – Рентгенівське розсіяння 
 
З рис.1.1 видно, що в нанометровому діапазоні можна працювати трьома 
методами: тунельна мікроскопія, рентгенівське розсіювання і атомно-силова 
мікроскопія. Однак у всіх цих методів є свої обмеження і недоліки. 
Скануюча тунельна мікроскопія (STM) володіє хорошим дозволом в 
нанометровому діапазоні, але її основний недолік полягає в тому, що з її 
допомогою, можливо, досліджувати лише провідні об'єкти. 
Дозвіл рентгенівського розсіювання (РР) залежить від інтенсивності 
випромінювання, т.ч. просторовий діапазон, вказаний на діаграмі 1, можна 
використовувати лише для досліджень за допомогою синхротронного 
випромінювання. Для лабораторного РР цей діапазон значно менше. В роботі [2] 
автори вказують, що в лабораторних умовах вдається отримати лише дозвіл до 
100 нм. 
Профілометрія (рисунок 1), що дозволяє отримувати топографію поверхні, 
куди більш обмежена в можливостях дослідження елементів рельєфу 
нанометрового масштабу. 
Методом дослідження поверхонь в нашій роботі є атомно-силова 
мікроскопія (АСМ). Діапазон можливостей методу (рис. 1.1) АСМ робить його 
дуже привабливим для дослідження рельєфу поверхні. Однак, дозвіл даного 
методу в нанометровому діапазоні обмежена. Це обмеження пов'язане з радіусом 
заокруглення зонда. Відповідно, дуже важливо дослідити достовірність 
 13 
отриманих за допомогою АСМ даних на кордоні дозволу методу. Тепер наведемо 
невеликий огляд основних особливостей АСМ, пов'язаних з дослідженням 
надгладкої поверхонь. 
Атомно-силова мікроскопія. Фізичною основою роботи атомно між вістрям 
зонда, скануючого процесі сканування зонд рухається рядок за рядком по 
підкладці. При зонда піднімається і опускається, окреслюючи мікрорельєф 
поверхні поверхню). Над вістрям розташована дзеркальна майданчик, на яку 
падає і від якої відбивається промінь лазера. Коли вістря опускається і 
піднімається на нерівній поверхні, відбитий промінь відхиляється, і це відхилення 
реєструється чотирьохсекційним фотодетектором (рис.1.2). 
Дозвіл АСМ по XY лежить в діапазоні від 100 мкм до 10 нм, що 
визначається радіусом заокруглення зонда, а по Z. Метод АСМ дозволяє 
отримувати безпосередньо двомірну функцію рельєфу поверхні. 
Розподіл АСМ за способом вимірювання і фіксації силового взаємодії зонда 
і зразка дозволяє виділити контактний режим і напівконтактному режим. 
У контактному режимі до зразка і працює на відштовхування від поверхні. 
Сила визначається прогином і жорсткістю балки. Для контактного режиму 
властива велика сила взаємодії між голкою зонда і досліджуваної поверхнею 
(близько атомно-силового мікроскопа служить взаємодія досліджуваний зразок, і 
поверхнею - від 10мкм до 0.5 A) кілька режимів роботи, нам будуть цікаві два з 
них: кантилевер безпосередньо торкається поверхні. 
 
Рис. 1.2 - Основні елементи АСМ 
 
 14 
Напівконтактному режим роботи АСМ визначається набагато слабшим 
взаємодією між зондом і поверхнею (близько 10-10-12 пН). Даний метод 
використовує коливається кантилевер. Більшу частину періоду коливань 
кантилевер не стосується поверхні і взагалі слабо взаємодіє зі зразком. І тільки 
при зближенні голки аж до потрапляння в область відразливого потенціалу 
взаємодія різко посилюється. У зворотний зв'язок постійної підтримується 
амплітуда коливань. При виборі режимів роботи АСМ в атмосфері слід віддавати 
перевагу напівконтактному режиму, так як в ньому реалізується краще дозвіл і 
знижується ймовірність модифікації досліджуваної поверхні і зонда. При цьому 
варто відзначити, що дозвіл як контактного, так і напівконтактному режимів 
роботи АСМ залежить від радіуса і форми зонда. 
Зонд являє собою плоску пружину (кантилевер) довжиною 100-400 мкм, 
один кінець якої жорстко закріплений. На вільному кінці кантільовери 
знаходиться голка, якою і виробляють сканування. Довжина такої голки, як 
правило, становить близько ста мікрон, а радіус закруглення не гірше десятка 
нанометрів. Саме формою вістря і обмежується латеральное дозвіл методу АСМ. 
В даний час стало можливим промислове виробництво зондів з радіусом 
заокруглення 1-2 нм. Однак такі голки являють собою нанооб'єктів невеликої 
висоти (~ 20 нм), вирощені на вістрі класичного зонда, і тому придатні для роботи 
з малорозвиненим рельєфом. 
Таким чином, дозвіл АСМ в нанометрів області повністю залежить від 
використовуваного зонда. Дослідження одержуваних за допомогою АСМ даних 
на кордоні дозволу методу одна з основних задач. 
Як говорилося раніше, будемо вирішувати поставлену задачу за допомогою 
моделювання процесу взаємодії зонда і поверхні. Для того щоб змоделювати 
поверхню максимально відповідає дійсності, ми спочатку опишемо основні 
властивості надгладкої поверхонь. 
Характеристика надгладкої поверхонь У даній роботі використовувалося 
припущення, що більшість поверхонь в природі має фрактальну природу [1], 
через що для опису таких об'єктів вже не можна використовувати базові поняття 
 15 
геометрії, як довжина, площа або об'єм. Багато фізичні властивості у об'єктів з 
фрактальної природою доводиться виражати через таку величину, як фрактальна 
розмірність (D) або фрактальний параметр (параметр Херста, h). Для поверхні 
фрактальная розмірність пов'язана з фрактальним параметром співвідношенням: 
D = 3 – h. 
Для характеристики статистичних властивостей надгладкої поверхонь 
використовують такі параметри шорсткості поверхні, як середнє арифметичне 
відхилення висоти, середньоквадратичне відхилення висоти, функція 
автокореляції, функція спектральної щільності потужності і величина ефективної 
шорсткості [2,3]. Опишемо метод їх розрахунку за даними АСМ, фізичний зміст і 
взаємозв'язок між ними [4]. 
Середньоквадратичне відхилення висоти. 
Дані методу АСМ є двовимірну дискретну функцію висот поверхні: 
z(ρ), де ρ ≡ (x, y).     (1.1) 
Однією із загальноприйнятих характеристик шорсткості поверхні, яка 
розраховується за даними АСМ, є величина середньоквадратичного відхилення 
(СКВ) висоти: 
,    (1.2) 
де Rmean = 1/S gz(ρ) dρ - середня висота рельєфу відсканованої майданчики, а S - 
площа АСМ-зображення, за яким здійснюється обчислення. Фізичний сенс цієї 
характеристики наступний: для поверхонь з розподілом висот по нормальним 
законом величина Rq дорівнює ширині піка розподілу на напіввисоті. 
У тому випадку, якщо відома безперервна функція рельєфу поверхні z(ρ) на 
всій площі досліджуваного об'єкта формула (1.2) дає істинне значення параметра 
Rq. В ході реального АСМ-експерименту проводиться дискретне вимір функції 
z(ρ) на ділянці поверхні площі S з обмеженим дозволом. У цьому випадку 
параметр Rq, розрахований за формулою (1.2) несе інформацію про шорсткості 
 16 
поверхні в масштабі від кроку переміщення зонда мікроскопа до розміру області 
сканування. Величина Rq є масштабно залежною, що не дозволяє використовувати 
її як єдину характеристику шорсткості поверхні. Однак дана величина хоча і 
містить інформацію про параметри поверхневої структури, але не відображає їх. 
Функція спектральної щільності потужності. Для дослідження шорсткості 
поверхні в багатьох випадках зручніше скористатися спектральним розкладанням 
величини Rq. За відомою функції рельєфу поверхні розраховується 
автокореляційна функція: 
C(ρ) = (z(ρ + ρ’) z(ρ)), ρ ≡ (x, y),    (1.3) 
де трикутні дужки позначають усереднення. використовуючи функцію 
автокорреляции поверхні можна розрахувати одновимірну і двомірну функції 
спектральної щільності потужності (СПМ, power spectral density - PSD), які і є 
спектральним поданням величини Rq. 
За даними АСМ можна розрахувати і одновимірну і двовимірну PSD-
функцію. 
Для більшості завдань цієї роботи використання одновимірної і двовимірної 
PSD-функції абсолютно еквівалентно. Однак при порівнянні PSD-функцій, 
отриманих за даними АСМ з PSD-функціями, отриманими за даними методів, 
заснованих на ефекті розсіювання електромагнітних хвиль, на рельєфі поверхні 
(рентгенівське розсіювання і диференціальне розсіювання світла) вибір одного з 
двох видів PSD-функцій визначається особливостями реєстрації розсіяного 
випромінювання. 
Розглянемо розрахунок двовимірної PSD-функції, яка дається двовимірним 
Фур'є перетворенням від автокореляційної функції: 
PSD2D(v) = fexp(2πivρ)C(ρ) dρ, v ≡ (vx, vy),   (1.4) 
де v - вектор просторової частоти, величина зворотна радіус-вектору в прямому 
просторі. Області просторових частот, в яких можна розрахувати PSD-функцію по 
 17 
АСМ-зображення від vmin = 1/L до vmax = N/L, де L – лінійний розмір області 
сканування, а N - число точок зображення. 
Для поверхонь проводиться усереднення автокореляційної функції по куту і 
розраховується одномірна функція PSD ρ = (x2 + y2)1/2, α = arctan(y/x), де ρ та α  - 
модуль і полярний кут радіус вектора ρ. Потім проводиться усереднення по куту: 
C(ρ) = 1/2πf 2π
0 C(ρ, α) dα, PSD1D(v) = fexp(2πivρ)C(ρ) dρ, v ≡ (vx, vy)   (1.5) 
На практиці реалізація розрахунку двовимірної PSD-функція виглядає дещо 
інакше. Використовуючи теорему про згортку PSD-функція можна представити як 
добуток Фур'є-образу рельєфу поверхні з його комплексно-сполученої функцією: 
PSD = G(v)*G(v), де G(v) = fexp(2πivρ)z(ρ) dz.   (1.6) 
З математичної точки зору, PSD-функція є квадрат Фур'є-перетворення 
функції рельєфу поверхні. Фізичний сенс PSD-функція полягає в тому, що з нею 
пов'язано розсіювання електромагнітних хвиль на шорсткою поверхні. У деякому 
наближенні можна розглянути взаємодію електромагнітної хвилі з рельєфом 
поверхні як взаємодія з набором синусоид, на які розкладається функція рельєфу. 
Рівняння (1.5) при ρ = 0 показує, що інтеграл PSD-функція дорівнює 
значенню функції автокореляції в нулі. Як видно з визначення автокореляційної 
функції (1.3) її значення в нулі дорівнює квадрату Rq. Звідси можна записати такі 
вирази, що зв'язують параметр Rq з PSD-функція: 
R 2
q  = f vmax 2 vmax
vmin  PSD1D(v) dv, Rq  = 2πfvmin  PSD2D(v)v dv,  (1.7) 
де vmin = 1/L  та vmax = 1/2ΔL, L - лінійний розмір отриманого АСМ-зображення, 
ΔL - відстань між сусідніми вимірами точками АСМ-зображення. 
Функція автокореляції. У багатьох роботах [2, 29] автори пропонують 
аналізувати статистичні властивості рельєфу поверхні по функції автокореляції. Є 
кілька видів автокореляційної функції [2,6]: 
 18 
C(ρ) = (z(ρ + ρ’) z(ρ)), ρ ≡ (x, y),    (1.8) 
де трикутні дужки позначають усереднення. І друга - height-difference correlation 
function: 
g(ρ) = <[z(ρ + ρ’) – z(ρ)]2>, ρ ≡ (x, y),   (1.9) 
Ці функції пов'язані між собою наступним виразом [2]: 
g(ρ) =  2C(0) – 2C(ρ).     (1.10) 
Коли мова йде про апроксимації автокореляційної функції, для більшості 
поверхонь добре підходить функція Kohlrausch - Wiliams-Watts (KWW) 
C(ρ) = σ2e-(ρ/a)2h,     (1.11) 
де σ - висота шорсткості, a - довжина кореляції і h - фрактальний параметр. 
Приклад використання такої апроксимації наведено в роботі [5]. Як видно з 
формули (1.11), автокореляційна функція спадає в е-раз на відстані рівному 
довжині кореляції. 
У разі опису PSD-функція надгладкої поверхонь базовою моделлю є 
фрактальна модель: 
PSD2D(v) ≈ k /(v2+2h
2 ),  PSD1D(v) ≈ k1/(v
1+2h), 0 < h < 1,  (1.12) 
де h - фрактальний параметр. Така апроксимація виглядає як лінійна в подвійному 
логарифмічному масштабі (рис. 3).  
Така поведінка PSD-функція можна спостерігати в роботах [2,3]. З 
математичної точки зору вираження (1.12) означає, що при малих значеннях 
аргументу автокореляційна функція поводиться як 
C(ρ→0) ≈ σ2[1 – (ρ/a)2h].    (1.13) 
Таким чином, функція KWW, умові (1.13) задовольняє, але не є єдиним 
можливим видом автокореляційної функції. В роботі [6] була запропонована 
функція C(x, y) = σ2exp{-2,3[(x/a)2 + (y/a)2]}, де σ - висота шорсткості,  
a - довжина кореляції. Однак, в цю формулу однозначно не входить фрактальний 
параметр, що ускладнює аналіз з її допомогою фрактальних поверхонь. 
Зробимо основні висновки з опису властивостей поверхні, які нам 
знадобляться в подальшому: 
 19 
1. Для реальних поверхонь PSD-функція описується моделлю  
PSD (v) ≈ k /(v2+2h
2D 2 ). Така апроксимація виглядає як лінійна в подвійному 
логарифмічному масштабі. 
2. Наведена вище апроксимація характеризує фрактальні властивості 
поверхні і для їх опису необхідно вводити фрактальний параметр, h. 
3. З математичної точки зору пункт 1 означає, що при малих значеннях 
аргументу автокореляційна функція поводиться як C(ρ→0) ≈ σ2[1 – (ρ/a)2h]. 
 
 
1.2. Залежність параметрів нанорельєфу від розміру зонда АСМ 
 
Опишемо експериментальні результати дослідження різних параметрів 
таких поверхонь, отриманих за даними АСМ. 
Як говорилося вище, одним з артефактів, що впливають на визначені 
параметри по АСМ-зображень, є кінцевий радіус заокруглення зонда. 
Вплив розміру зонда на шорсткість поверхні. У літературі дуже докладно 
розглянуто питання впливу радіуса заокруглення зонда на шорсткість поверхні 
[2,6,20]. В роботі [6] автори проаналізували теоретичні залежності шорсткості від 
розміру зонда для різних ефективних шорсткостей поверхні. У статті зроблено 
висновок, що зі збільшенням розміру зонда середньоквадратичне відхилення 
висоти (СКО) падає. Причому, чим більше шорсткість досліджуваного зразка, тим 
сильніше спад кривої. Однак, потрібно зазначити, що на шорсткість поверхні 
впливає не тільки радіус зонда, а й розмір сканованого ділянки поверхні. У 
роботах [20,23] автори проаналізували залежність шорсткості поверхні від 
розміру області, що сканується. У статті зазначено, що зі збільшенням розміру 
ськана шорсткість зростає. Таким чином, на котру визначаємо шорсткість, за 
даними АСМ, впливає два параметра - радіус зонда, яким проводилося 
вимірювання і розміру сканується зразка. 
Вплив зонда на PSD-функцію поверхні. У роботах [2,3] автори, 
використовуючи метод рентгенівського розсіювання на синхротронного джерелі, 
 20 
показують, що PSD-функція від надгладкої фрактальної поверхні поводиться, як 
лінійна функція в подвійному логарифмічному масштабі, в великому 
просторовому діапазоні (рис.1.1, діапазон методу РР). Однак, в роботі [3] 
наводиться графік, показаний на рис.1.3., на якому представлена PSD-функція, 
розрахована для полірованої кварцовою підкладки, за даними АСМ-вимірювань. 
 
Рис. 1.3 - PSD-функція, розрахована за даними серії АСМ - досліджень поверхні 
полірованого кварцу 
 
Як можна бачити, у PSD-функції є характерні «завали» (області відхилення 
PSD-функції від лінійного ходу кривої) в області низьких і високих просторових 
частот. Однак в роботі причина «завалів» досліджена була. В роботі [20], автори 
лише вказують, на те що «завал» в високих частотах пов'язаний з кінцевим 
розміром зонда. 
При цьому, зв'язок положення відхилення PSD-функції від лінійного ходу 
кривої в високих частотах з радіусом заокруглення зонда в літературі не 
досліджена. 
 21 
1.3. Моделювання фрактальних поверхонь та поверхні зонда при його 
взаємодії з основою 
Раніше ми привели математичне і експериментальне опис над гладких 
поверхонь. Однак, оскільки в даній роботі ми будемо аналізувати процеси, що 
відбуваються на кордоні дозволу методу, то не можна покладатися тільки на 
експериментальні результати. Для більш точної їх інтерпретації ми будемо 
використовувати моделювання. Почнемо з генерації фрактальних поверхонь. 
Наведемо невеликий огляд основних алгоритмів побудови таких поверхонь. 
Більшість робіт, в цій області, використовують в якості основних вхідних даних, 
тільки два параметри, параметр Херста і шорсткість поверхні [7-9,13]. У роботах 
[9,10], для створення профілю і поверхні скель (фрактальної поверхні) 
використовують алгоритм, суть якого полягає в наступному. Автори фіксують дві 
крайні точки і по ним знаходять значення в середній точці за формулами 
наведеними нижче 
x(n + 1) = ½ (x(n – 1) + x(n)),  y(n + 1) = ½ (y(n) + y(n – 1)) + D(n),  (14) 
де Dn - це випадкове число з гаусовим розподілом, у якого середнє значення 0, а 
дисперсія розраховується за формулою , Тут h - це фрактальний 
параметр, а n- номер кроку генерації. Однак, даний метод не дозволяє задавати і 
оцінити автокорреляционную функцію поверхні, а цей параметр також є істотним 
при побудові моделі реальної поверхні (для фрактальних поверхонь важливе 
дотримання умови (13)). 
Рівняння поверхні z(I,J) визначають за допомогою трансформаційного 
цифрового фільтра, для якого в якості вхідних даних необхідно задати 
послідовність η(I,J). Існують два види фільтра такого роду: 
- обмежень імпульсний відгук фільтра (FIR):  
- безлімітний імпульсний відгук фільтра (IIR):  
 22 
Автор пропонує використовувати перший фільтр (FIR). Випадкова 
фрактальная поверхню задається послідовністю z (I, J), яка в свою чергу 
визначається рівнянням 
  (15) 
де η(I+k, J+l) - послідовність випадкових чисел з розподілом Гаусса, тому 
більшість поверхонь в природі мають саме їм, h (k, l) - частотний відповідь або 
функція перенесення системи (трансформаційні коефіцієнти).  
I = 0, 1, …, N-1; J = 0, 1, …, M-1. 
Якщо тепер взяти Фур'є перетворення від обох частин рівняння (1.15), то 
ми отримаємо вираз 
 (1.16) 
У свою чергу автокореляційна функція поверхні виглядає наступним 
чином , Фур'є образ цього виразу дає Функцію 
спектральної щільності потужності (PSD), S(wx, wy). У статті автори встановили, 
що функція перенесення системи H(wx, wy) і Фур'є образ функції автокорреляции 
S(wx, wy) пов'язані виразом 
H(wx, w ) = {S (w , w )/C}1/2
y z x y , де C = const.   (1.17) 
Таким чином, задавши функцію автокореляції Rz, можна розрахувати по 
ній Sz(wx, wy) і тоді визначити H(wx, wy), відповідно до формули (1.17). Це 
дозволить розрахувати функцію Z(wx, wy) по формулі (1.15). 
Оскільки АСМ-зображення отримують з дозволом не нижче 256 точок, 
яких цілком достатньо для того, щоб даний алгоритм генерував одну поверхню 
протягом дня, то в статті пропонують користуватися Швидким Фур'є 
Перетворення, що дозволяє значно скоротити час роботи програми. 
Таким чином, знайдені в літературі алгоритми генерації фрактальних 
поверхонь, можна умовно розділити на два класи, описаних вище. Однак, метод, 
який описаний першим в даному розділі, не дозволяє задавати і оцінити 
 23 
автокорреляционную функцію поверхні, а цей параметр також є істотним при 
побудові моделі реальної поверхні. Виходячи з вище сказаного, в своїй роботі, ми 
будемо користуватися другим алгоритмом. 
Моделювання форми зонда при взаємодії кантілеверу з поверхнею. Як 
згадувалося раніше, ми будемо моделювати процес взаємодії зонда і зразка. У 
попередньому пункті описані алгоритми побудови фрактальних поверхонь, 
поетом тепер ми перейдемо до опису зонда. 
При роботі з АСМ-зображеннями не можна забувати, що це не дійсний 
рельєф поверхні. АСМ-вимірювання вносять деякі спотворення в сканований 
рельєф поверхні. Так в роботі [6] автори показують, що реальний рельєф на АСМ 
зображенні змінюється через кінцевих розмірів зонда (рис.1.4). 
 
Рис. 1.4 - Побудова АСМ - зображення (пунктирна лінія) при скануванні реальної 
поверхні зондом 
 
На рисунку пунктирною лінією показаний результат сканування поверхні 
зондом. 
Для реалізації нашого завдання, нам буде потрібно змоделювати процес 
отримання АСМ-зображення. У літературі є кілька статей, в яких наведені 
алгоритми побудови зображення за реальною поверхні і по відомій формі зонда. 
[15-17]. Однак, для того, щоб здійснити цей процес необхідно знати форму зонда. 
 24 
Визначення форми зонда. У реальному експерименті точна форма і розмір 
зонда невідомі. Справа в тому, що розміри зондів для АСМ зараз не перевищую 
100 нм, а відповідно вони є нанооб'єктів. Побачити і виміряти радіус вістря 
кантільовери без допомоги методів дослідження нанооб'єктів неможливо. Розмір і 
форму зонда, як правило, визначають по зображеннях електронної мікроскопії або 
АСМ, що призводить до ряду труднощів. 
При використанні електронної мікроскопії фокусований пучок електронів 
ініціює емісію вторинних електронів, в результаті отримують картину, яку не 
завжди можна однозначно пов'язати з поверхнею досліджуваного об'єкта. Також 
при бомбардуванні електронів вістря зонда може бути зіпсовано. При визначенні 
радіуса зонда за даними АСМ, як сканованих об'єктів беруть спеціальні тестові 
об'єкти з відомою формою [18, 19].  
Як тест-об'єктів використовують молекули нуклеїнових кислот (ДНК) або 
калібрувальні решітки (рисунок 1.5). Однак, в роботі [21], автор показав, що при 
скануванні молекул ДНК є місце заниження висоти об'єкта і розширення його в 
латеральному напрямку, що спотворює його реальні розміри, а відповідно і 
визначається за ним радіус заокруглення зонда. Справа в тому, що при взаємодії 
зонда з поверхнею виникають контактні деформації об'єкта, які призводять до 
заниження розмірів ДНК, а латеральні сили при скануванні розширюють об'єкт. 
 
  
а.     б. 
Рис. 1.5 - Тестові структури з кремнію. а - структуру, що складається з гострих 
вистурпів окису кремнію на кремнії; б - структура, що представляє собою 
чергуються смужки з двоокису кремнію на кремнії 
 
 25 
Другим способом визначення розміру і форми зонда є метод сліпого 
відновлення форми зонда по АСМ - зображення. Однак, в статтях [14, 22], автори 
говорять, що визначається радіус залежить від геометрії калібрувальної решітки і 
може відрізнятися для різних об'єктів в 10 разів. 
Вістря зонда має досить складну форму. На рис. 6 представлені деякі з них. 
 
Рис. 1.6 - Фотографіі взяті з сайту www.ntmdt.сom: Зонди різної форми і розміру 
 
На рис.1.6,а представлений зонд з радіусом заокруглення близько 1 нм, на 
рис.1.6,б - звичайний зонд з радіусом заокруглення близько 10 нм, і на 
малюнку 1.6,г – приклад зламаного зонда, у якого радіус заокруглення більше, 
ніж на попередніх фотографіях. Однак вістря зонда можна змоделювати простої 
геометричної формою. В даний час існують дві моделі зондів [14]. 
Модельне вістрі першого типу являє собою конус з кутом α нахилу утворює 
(рис.1.7,а). Вершина конуса являє собою сферу радіуса r, плавно зістиковану з 
конусом. Цей радіус називають радіусом вістря зонда. така форма вістря зазвичай 
використовується при аналізі результатів АСМ-досліджень. другий тип 
модельного вістря складніший. Його форма [22] приведена на рис.1.7,б. 
 
Рис. 1.7 - Модельні форми вістря кантільовери АСМ, описувані однією сферою (а) 
і двома сферами (б) 
 26 
Вістря являє собою конус з кутом α нахилу твірної і вершиною плавно 
зістикувати з великою сферою радіуса r. Цей радіус називають ефективним 
радіусом вістря зонда. На відміну від першої моделі (рис.1.7 а), у другій (рис.1.7 
б) вістря закінчується малої сферою радіуса ρ. Ця мала сфера плавно зістикована 
конусом з великою сферою. Радіус малої сфери називають радіусом заокруглення 
вістря зонда. 
Така форма вістря правильніше відображає форму реальних зондів і 
дозволяє пояснити велику кількість результатів експериментів. 
Згортка поверхні і зонда. Після того, як ми визначилися з досліджуваної 
поверхнею і зондом, можна перейти до процесу їх взаємодії. В основному, всі 
дослідники в цій області використовують модель геометричної згортки, вказуючи 
на те, що вона добре описує процес отримання АСМ-зображення. З математичної 
точки зору, суть цього наближення полягає в наступному: Нехай функція S (x, y) - 
описує рівняння поверхні в точці x, найбільш часто використовувана в літературі  
Т(х,y) = (x2 + y2) / 2R, де R - радіус заокруглення зонда.  
Відповідно до алгоритму, наведеним вище, можна визначати не тільки 
зображення поверхні, але і відновлювати реальний рельєф поверхні або форму 
зонда за отриманим АСМ можна виразити формулою поверхні, а  
I - АСМ тестовим об'єктах визначають розміри зондів. 
Однак, потрібно зауважити, що модель геометричної згортки не 
відпрацьовано фізичної природи взаємодії між зондом і поверхнею. У літературі 
інших моделей взаємодії зонда і поверхні не представлено. 
 
Висновки до розділу 1 
 
Таким чином, в роботі визначився напрямок наукового дослідження та 
наводяться основні положення, які випливають з літературного огляду і важливі 
для даної роботи. 
1. Дозвіл АСМ в нанометровій області залежить від форми використовуваного 
зонда. 
 27 
2. PSD-функція надгладкої поверхні поводиться лінійно в подвійному 
логарифмічному масштабі мають фрактальну природу. 
3. На PSD-функції, розрахованої за даними АСМ «завал» в високих просторових 
частотах, який пов'язаний з розміром зонда. Детально цей зв'язок в літературі 
не досліджено. Оскільки можливості варіації різних параметрів поверхні і 
зонда в експерименті обмежені, тоді в роботі буде використовуватися 
моделювання.  
4. У літературі моделлю вістря зонда є сфера з радіусом рівним радіусу 
заокруглення голки для АСМ. 
5. Основною моделлю взаємодії зонда з поверхнею є наближення геометричної 
згортки. 
На підставі літературного огляду можна зробити висновок, що зв'язок 
«завалу» PSD-функцій АСМ-зображень надгладких поверхонь в області високих 
просторових частот і форми використовуваного зонда не вивчена. В літературі 
зустрічаються роботи, присвячені впливу форми зонда на величину 
середньоквадратичного відхилення АСМ-зображень, які засновані як на аналізі 
виміряних зображень, так і на моделюванні поверхонь, зондів і їх взаємодії. Тому 
в магістерській роботі буде проведено детальний аналіз впливу кінцевого розміру 
зонда на АСМ-зображення і їх PSD-функції з використанням зображень реальних 
поверхонь, а також з використанням моделювання процесу АСМ-вимірювання. 
 
 28 
РОЗДІЛ 2. 
ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-ДОСЛІДНІ МЕТОДИКИ 
 
2.1. Обґрунтування вибору об’єктів дослідження 
 
Нами для дослідження був використаний атомно-силовий мікроскоп серії 
«NT-206» фірми «Мікротестмашини». Робота проводилася в напівконтактному 
режимі АСМ.  
В якості вимірювального інструмента застосовувалися кремнієві конічні 
зонди марки CSC-38 (виробник «Micromash», Німеччина) з радіусом вістря 10 нм. 
Даний зонд найбільш поширений при масовій діагностиці нанорельєфу та 
механічних характеристик твердих поверхонь. В порівнянні з іншими типами 
зондів він має наступні переваги: висока точність сканування (до 0,2 нм по осі Z 
та до 10 нм по осі XY); висока чутливість до невеликих перепадів рельєфу 
поверхні; не руйнує досліджувану поверхню; має широкий діапазон вимірюваних 
поверхонь, відноситься до бюджетного класу зондів (середня вартість зонду 15-
30 €) 
Експеримент проводився в умовах стабільного підтримання температури 
від 18 до 35 °С склала 0,05 °С. Стабільність підтримання вологості в діапазоні від 
30 до 75% відносної вологості складає 1%. Експеримент проводився при 
температурі t = 23 ° C, вологість в приміщенні підтримувалася близько 50%. 
Об'єктами дослідження були тонкі (товщиною менше 20 нм) оксидні та 
металеві покриття (SiO2, HfO2 і Au), які були осаджені на поверхнях пластин 
(30×30×0,5 мм) з кремнію Кр0 та нанорозмірні структури (плоскі відзеркалюючі 
решітки, наноконтакти та нанопровідники), сформовані на цих покриттях. Такі 
матеріали та наноструктури знайшли найбільше розповсюдження у виробах 
наноелектроніки (інтегральні електронні схеми та їх комплектуючі), мають різні 
фізико-механічні характеристики (при зменшенні елементів до нанометричних 
розмірів починають переважати квантові ефекти, які відкривають більшу 
номенклатуру властивостей та нові перспективи розвитку) і потребують 
 29 
високоточної діагностики та контролю якості, оскільки невідповідність цих 
елементів вимогам сучасних міжнародних стандартів [13, 69-70] приводить до 
несправності приладу в цілому. 
Для розрахунку PSD-функцій, використовувалася спеціалізована програма, 
яка була розроблена співробітниками Інституту кристалографії. 
Для генерації випадкової фрактальної поверхні був обраний алгоритм, 
запропонований в роботі [11]. Математична основа алгоритму представлена в 
розділі 1.3 літературного огляду даної роботи. 
 
 
2.2. Узагальнена методика вимірювання нанорельєфу твердих 
поверхонь 
 
Прилади і матеріали: атомно-силовий мікроскоп “NT-206V” (виробник 
“Микротестмашины”, м.Гомель, Білорусь), очний пінцет. Для візуалізації об’єкта 
при збільшенні до 100 разів використано оптичну камеру “Logitech” виробництва 
США, поле огляду якої дорівнює 1×0,75 мм2.  
Вимірювання нанорельєфу поверхонь із застосуванням методу атомно-
силової мікроскопії здійснюється в такій послідовності (рис.2.1). 
Підготовка зразків до дослідження. Зразок, призначений для дослідження 
на приладі розміщується на предметному столику. Максимальні розміри повинні 
бути: діаметр 30 мм, висота 8 мм.  Якщо зразок має діаметр менше 10 мм, його 
розміщують на підкладинці, проте його загальні розміри не повинні 
перевищувати допустимі. Для високоякісного результату зображення 
досліджувана поверхня розміщується паралельно основі підкладинки (або нижній 
поверхні самого зразка, якщо він встановлюється без підкладинки).  
Безпосередньо перед встановленням зразка його очищують розчинниками 
або в камері ультразвукового очищення від забруднень і сторонніх об’єктів. При 
встановленні зразка область сканування повинна бути ближча до центру для 
 30 
уникнення на АСМ-зображенні спотворень, викликаних сферичним характером 
руху сканера АСМ. 
 
Рис. 2.1 – Алгоритм проведення дослідження нанорельєфу методом АСМ 
 
Підготовка атомно-силового мікроскопу до роботи. При дослідженні 
методом атомно-силової мікроскопії, до вимагаються наступні умови 
навколишнього середовища: температура (20±3) °С; відносна вологість повітря не 
більше 80 %; атмосферний тиск (100±4) кПа; напруга мережі живлення 220 В; 
частота мережі живлення 50 Гц. 
 31 
Після з’єднання модулів АСМ між собою та їх підключення до ПК і до 
електричної мережі, прилад може бути включений, для цього виконуються дії: 
- включається управляючий комп’ютер (у тому числі і монітор); 
- включається блок електроніки управління за допомогою кнопки „POWER”; 
- запускається програма управління АСМ „SurfaceScan”; 
- активізується панель „Laser” в програмі управління, включається лазер і джерело 
освітлення предметного столика п’єзосканера. 
Після цього комплекс готовий до подальшого налаштування і роботи. На 
рис.2.2 представлено вигляд комплексу на базі атомно-силового мікроскопу 
(АСМ) NT-206V. 
 
 
Рис. 2.2 – Атомно-силовий мікроскоп „NT-206V”  
в комплексі з системою керування та ПЕОМ 
 
Налаштування системи детектування. Система детектування 
налаштовується в разі установки/заміни зонда, а також у разі неправильного, 
ненадійного функціонування системи. 
Порядок налаштування системи детектування АСМ наступний: 
1. Включається АСМ (включається блок електроніки, запускається програма 
управління АСМ „SurfaceScan” і включається лазер в панелі „Laser” програми 
управління натисканням кнопки „Laser”). Налаштування системи детектування 
виконується в статичному режимі роботи АСМ, для чого обирається відповідний 
режим в селекторі режимів панелі „MAIN” програми управління. Також 
 32 
необхідно переконатись, що зонд, встановлений в приладі знаходиться на 
достатній відстані (5…10 мм) від поверхні. 
2. Налаштовується регулятор „Set-point” в панелі „Feedback” програми 
управління АСМ так, щоб мітка RSP-індикатора знаходилась в середньому 
положенні, або нижче цього положення на 5…7%. 
3. Обертанням ручок „Laser X” та „Laser Y” на вимірювальній головці 
відрегульовуються положення лазера так, щоб лазерний промінь позиціонувався 
на вільному кінці консолі. Для зручності налаштування лазера і для 
спостереження за позиціонуванням лазерного променя, рекомендується 
використовувати зображення, одержане мікроскопом Logitech (×150). 
4. Спостерігаючи слід на екрані монітора ПК проводиться остаточне 
налаштування положення лазера. Для цього обертанням в невеликому діапазоні 
ручок „Laser X” і „Laser Y” на вимірювальній головці досягається таке положення 
плями на екрані монітору за допомогою камери, щоб вона була якомога більш 
яскрава і кругла (рис. 2.3). 
   
Рис. 2.3 - Схема позиціонування лазерного променя на вільному кінці консолі. 
Справа наведено приклад зображення, що одержується інтегрованою 
відеокамерою при правильному позиціонуванні лазерного променя 
 
5. Обертанням ручок „Detector X” і „Detector Y” на вимірювальній головці, 
регулюється положення фотодетектора таким чином, щоб промінь відбитий від 
зворотної сторони консолі потрапляв на активну зону фотодетектора. Контроль за 
даною процедурою виконується за допомогою панелі „Laser” програми керування 
 33 
АСМ. В зоні візуалізації відображається положення світлової плями на 
фотодетекторі. Найоптимальнішим положенням фотодетектора при налаштуванні 
системи детектування є такі координати: X=100%; Y=75%. В такому положенні 
вісь Х перетинає пляму навпіл, а вісь Y є дотичною до кола плями (рис. 2.4). 
Reflected spot position
X=100%
Y=75%
 
Рис. 2.4 - Положення світлової плями у вікні візуалізації панелі „Laser” при 
оптимальному регулюванні положення фотодетектора 
 
Налаштування положення фотодетектора наведеним чином забезпечує 
стійку роботу системи детектування після підведення зонда до поверхні зразка, 
оскільки після контакту і відхилення консолі від початкового положення, світлова 
пляма зміщується вниз до центру фотодіода. В такому положенні система має 
більший діапазон вимірювання відхилення консолі. 
Встановлення утримувача з досліджуваним зразком. Утримувач із зразком, 
призначеним для дослідження на приладі, розміщується на предметному столику 
АСМ. Для отримання високоякісного АСМ-зображення, зразок розташовують в 
горизонтальній площині, плоскою стороною до зонду. 
Перед встановленням зразка на предметному столику АСМ забезпечується 
достатня відстань між столиком та зондом, щоб уникнути його пошкодження. 
Предметний столик АСМ NT-206 оснащений магнітами, що дозволяє зафіксувати 
зразок. 
Попередні налаштування. Для одержання найбільш чіткого зображення 
використовується контактний (статичний) режим. В такому режимі зонд входить 
у безпосередній контакт з поверхнею, що зводить до мінімуму вплив на результат 
 34 
сканування рідкої плівки адсорбованій на досліджуваній поверхні. Статичний 
режим вмикається селектором „Mode” в панелі „Main” програми управління. 
Основний параметр, який вимірювальна система підтримує в ході сканування 
постійним – це відхилення консолі від нейтрального (вільного) стану. Рівень 
відхилення визначається регулятором „Set-point” в панелі „FeedBack”. 
Налаштування регулятора „Set-point” в панелі „FeedBack” програми керування 
проводиться таким чином, щоб мітка індикатора „Rsp” розташовувалася в 
середині або нижче на 5…7%. Регулятор затримки зворотного зв'язку Delay 
встановлюється на значення 20…40 (близько 10…20 % від повного діапазону 
починаючи від мінімального рівня). 
Підведення зразка до зонда. Процедура підведення виконується в 
автоматичному режимі, оскільки система керування досить точно фіксує момент 
входження зонда в контакт з поверхнею і відключає підведення.  
У АСМ NT-206 передбачено вертикальне переміщення платформи 
(предметного столика) із зразком з кількома швидкостями. Тому швидке 
підведення зразка до зонду проводиться до відстані між ними близько 1 мм, а 
потім, встановлюється менша швидкість обертання крокового двигуна 
вертикального переміщення і завершується процес автоматичного підведення. 
Швидкість обертання двигуна вертикального переміщення регулюється 
установкою затримки селектором „Drive delay” в панелі „Main”. При цьому слід 
враховувати, що більше значення затримки відповідає меншій швидкості 
підведення. Грубий підвід здійснюється із значенням затримки „Drive delay” 2,72 
мкс і натисканням кнопки автопідведення. Оператор візуально стежить за 
процесом підведення і при досягненні відстані між зразком і зондом порядку  
1 мм зупиняє грубе підведення, натиснувши кнопку „Stop” в панелі „Main”, або 
клавішу „Esc” на клавіатурі керуючого комп'ютера. 
Подальше підведення виконується в наступній послідовності: 
1. Встановлюється високе значення затримки „Drive delay” (10,88 мкс) в 
панелі „Main”, для забезпечення низької швидкості підведення. 
 35 
2. Натисканням кнопки автопідведення здійснюється автоматичне 
підведення (після закінчення підведення буде виведено відповідне повідомлення). 
Після цього кнопка автопідведення стає заблокованою і подальше підведення до 
поверхні можливе лише в ручному режимі. 
 3. Якщо індикатор Z в панелі „Indicators” не знаходиться в середині 
діапазону, необхідно додатково підвести (якщо індикатор вище середини) або 
відвести (якщо індикатор нижче середини) поверхню відносно зонда. Для цього в 
зоні ручного управління підведенням, натисканням кнопок „ON” і „OFF” 
здійснюється підведення або відведення зразка відносно зонда. Дана процедура 
повторюється до тих пір, поки індикатор Z не переміститься в середину діапазону. 
Сканування. В залежності від досліджуваного матеріалу обирається один із 
режимів сканування: 
1. Контактний режим: для гладких зразків (шорсткість не перевищує  
3 мкм), біологічних об’єктів, а також при вимірюванні в середовищі повітря. 
2. Динамічний режим: при дослідженні порошків. 
3. Безконтактний режим: для визначення механічних характеристик 
поверхонь твердих матеріалів, модуль пружності яких перебільшує 200 ГПа. При 
цьому бажано проводити сканування у вакуумі. 
Для кожного з режимів обирають параметри сканування згідно з умовами 
проведення та в залежності від об’єкту дослідження. 
Завершення роботи атомно-силового мікроскопу. Для завершення роботи 
АСМ виконують такі процедури: 
1. Зупиняється сканування, якщо воно не завершене автоматично. 
2. Встановлюється максимальна швидкість зворотного зв'язку (мінімальне 
значення затримки „Delay” в панелі „Feedback”). 
3. В панелі „Main” натискається кнопка автовідведення „OFF” в зоні 
керування автоматичним рухом двигуна вертикального переміщення зразка. Після 
виходу поверхні з контакту із зондом індикатор Z збільшується до максимального 
значення. Відведення відбувається до тих пір, поки вістря зонда не опиняється на 
 36 
досить великій відстані від зразка, що необхідно проконтролювати візуально. 
Якщо необхідно, зразок знімається з предметного столика. 
4. Результати вимірювань зберігаються на жорсткий диск ПК шляхом 
натискання кнопки „Save” в меню „File” програми керування „SurfaceScan”. 
5. В панелі „Laser” програми керування „SurfaceScan” вимикається лазер та 
освітлення. 
6. Вимикається блок електроніки керування за допомогою кнопки „Power” 
на його передній панелі. 
7. Закривається програма керування АСМ „SurfaceScan”. 
8. При необхідності вимикається керуючий комп'ютер, дотримуючись 
послідовності, передбаченої операційною системою. 
Обробка та оформлення результатів сканування. Обробка результатів 
сканування поверхонь полягає у дослідженні профілю за обраним напрямком 
площадки, розподілу висот, кутової гістограми та обробка інформації про 
геометричні показники досліджуваної поверхні за допомогою програми Surface 
Viewer v.6.2. 
 
2.3. Методика вимірювання рельєфу поверхонь методом атомно-силової 
мікроскопії 
 
Послідовність виконання вимірювання. Згідно з описаною загальною 
методикою проводяться наступні операції: підготовка зразків та атомно-силового 
мікроскопу до дослідження; налаштування системи детектування; встановлення 
утримувача з досліджуваним зразком; попередні налаштування атомно-силового 
мікроскопу; підведення зразка до зонда. Сканування проводиться в 
напівконтактному режимі в такій послідовності: 
1. Перед початком сканування встановлюється необхідне значення 
параметра „Set-point” на панелі „Feedback”.  
 37 
2. Перевіряється швидкість зворотного зв'язку „Delay” та „Proportional gain” 
в панелі „Feedback”.  
3. В панелі „Area” програми керування виділяється область сканування.  
4. В панелі „Area” встановлюються необхідні параметри для кількості точок 
по осях X і Y (Num points X, Num points Y), розміру кроку між точками 
вимірювання (Step, nm), тривалості затримки вимірювання в точці вимірювання 
(Delay, mks). 
5. Обирається схема руху зонда в селекторі „Pattern”. 
6. Натисканням кнопки „Start” в нижній частині панелі „Main” запускається 
процес сканування. Після запуску процесу вимірювання на екран виводиться 
вікно візуалізації АСМ-зображення і додаткове вікно візуалізації поточного 
профілю, в яких спостерігається процесом вимірювання, що дозволяє візуально 
контролювати якість одержуваного АСМ-зображення (рис. 2.5).  
 
Рис. 2.5 - Зовнішній вигляд інтерфейсу програми сканування поверхні АСМ 
 
 38 
Допускається також в ході «пробного» сканування налаштування 
параметрів затримки „Delay” та пропорційного посилення „Proportional gain” в 
панелі „Feedback”. В процесі вимірювань оператору рекомендується спостерігати 
за процесом для попередження виходу вимірюваної висоти за межі допустимого 
діапазону вертикального руху п’єзосканера. При виході вимірювальної системи за 
межі допустимого діапазону  рекомендується зупинити процес сканування і 
підвести або відвести поверхню до зонду в ручному режимі.  
7. По завершенню процесу сканування отримане АСМ-зображення 
передається в сектор виміряних даних. Рекомендується отримане АСМ-
зображення зберегти у файлі на жорсткому диску. 
Якщо необхідно відсканувати іншу ділянку на поверхні зразка, 
вимірювальна головка переміщується за допомогою автоматизованої платформи 
грубого позиціонування. При цьому спостереження за переміщенням зонда 
відносно зразка можливе за допомогою інтегрованої відеосистеми. Перед зміною 
ділянки сканування поверхня незначно відводиться від зонда. Для цього в панелі 
„Main” встановлюється значення порядку 50…100 кроків (Number of steps) в зоні 
ручного керування (Manual) двигуном вертикального переміщення зразка і 
натискається в цій зоні кнопка „OFF”, щоб відвести поверхню від зонда в ручному 
режимі. Після відведення індикатор Z повинен показувати максимальне значення, 
а кнопка автопідведення активізуватися. Переміщення вимірювальної головки 
проводиться кроковими двигунами, що керуються в панелі „Drives”. Після 
установки вимірювальної головки над новою ділянкою зразка продовжується 
вимірювання, при автопідведенні і наступній процедурі сканування. 
Завершення роботи атомно-силового мікроскопу проводиться в 
послідовності, описаній в п.2.2. 
Обробка та оформлення результатів сканування. Обробка результатів 
сканування наноструктур полягає у дослідженні профілю за обраним напрямком 
площадки, розподілу висот, кутової гістограми та обробка інформації про 
геометричні показники досліджуваної поверхні. 
 39 
За допомогою програми Surface Viewer v.6.2 будується профіль поверхні в 
необхідному перетині. Після вибору перерізу програма дозволяє вивести на екран 
профіль з ділянки відсканованих даних (рис. 2.6). 
   
В режимі п‘єзоскану- В режимі лазерного В режимі сканування сил 
вання (topography) відхилення (deflection) тертя (torsion) 
Рис. 2.6 – Профілограма вздовж осі ОХ відсканованої ділянки поверхні кремнію  
 
Радіо-кнопка „One marker” та „Two markers” на панелі інструментів 
програми Surface Viewer дає можливість роботи з одним або двома маркерами. В 
режимі „One marker” на профілі спостерігається маркер (лінія з колом на кінці). 
Цей маркер переміщується вздовж профілю, при цьому в статусному рядку 
відображається відстань вздовж профілю Х і висота профілю відносно 
мінімальної по Z. В статусному рядку зліва вказуються координати лінії перетину 
у відносних одиницях. 
Функція „Info”  виводить на екран основні характеристики профілю: 
кількість точок по яким був побудований профіль, максимальна висота, довжина 
перерізу і фізична довжина поверхні, середнє значення, середня висота 
відхилення, середньоквадратичне відхилення, асиметрія, ексцес. 
При необхідності можна зберегти дані профілю в текстовий файл. Для цього 
обирається пункт меню „Зберегти”. У файл зберігаються дані профілю в текстовій 
формі, а також максимальна висота, довжина перерізу і фізична довжина 
поверхні, середнє значення, середня висота відхилення, середньоквадратичне 
відхилення, асиметрія, ексцес. 
Робочі режими сканування досліджуваної поверхні. Вибір основних 
режимів сканування досліджуваної поверхні в контактному режимі полягає у 
наступному: вибір параметрів зворотного зв'язку; вибір режиму управління 
кроковими двигунами системи позиціонування. 
 40 
Режими установки параметрів зворотного зв'язку. Панель Feedback,  
рис. 2.7, призначена для установки параметрів зворотного зв'язку і може бути 
активізована в меню View → Feedback. 
    
Рис. 2.7 - Панель установки параметрів зворотного зв'язку в початковому стані 
(ліворуч) і після отримання кривої залежності сили від відстані (справа) 
 
Регулятор Delay встановлює час затримки між обробкою двох почергових 
імпульсів керування вимірювальної системи. Чим більше час затримки, тим 
менше швидкість реакції зворотного зв'язку.  
Регулятор Proportional Gain визначає дискретизацію системи зворотного 
зв'язку при її реакції на зміни у вихідному сигналі (з датчика), тобто задає системі 
число ітерацій, використовуваних для визначення компенсації сигналу помилки, 
що поступила. Більше значення Proportional Gain дозволяє системі зворотного 
зв'язку точніше реагувати на зміни положення зонду в процесі вимірів, але 
одночасно уповільнює час реакції і, відповідно, швидкість роботи усієї системи. 
Висока швидкість зворотного зв'язку (низьке значення затримки "Delay" в 
панелі "Feedback") може стати причиною самозбудження вимірювальної системи 
 41 
та різко погіршити якість АСМ-зображення. Тому необхідно знижувати 
швидкість зворотного зв'язку поступово підвищуючи значення затримки "Delay" 
та пропорційного посилення "Proportional gain" в панелі "Feedback".  
Регулятор Set-point встановлює рівень відхилення консолі при вимірюванні. 
Чим нижче встановлена мітка "Rsp" параметра "Set-point" на панелі "Feedback" в 
панелі індикаторів, тим більше відхилення консолі буде вважатися його робочим 
станом і підтримуватися системою при скануванні та, відповідно, з більшою 
силою вістря зонду буде взаємодіяти з поверхнею. 
Регулятор Tip voltage встановлює напругу зміщення, що прикладається між 
провідним зондом і провідним зразком для вимірювання електростатичних сил 
при реалізації двопрохідного сканування та схожих методик. Рекомендований 
діапазон зміни напруги зміщення від - 10 В до +10 В відносно заземленого зразка. 
Далі, коли крива залежності «сила-відстань» виміряна і відображена в 
графічній зоні вікна, під нею активізується регулятор, що дозволяє візуально 
встановити оптимальну величину параметра set-point для проведення подальшого 
сканування. Зокрема, як показано на рис.2.7 (справа), зазвичай оптимальною 
величиною параметра set-point є та, при якому курсор регулятора розташований 
посередині похилої ділянки кривої «сила-відстань». 
Верхню межу діапазону руху п‘єзосканера (Top) встановлюють на значенні 
близько 75-100%, його нижню межу (Bottom) на значенні 0-15%, число точок 
вимірів на кривій (Points) - мінімум 100, кількість вимірів в кожній точці 
(Measurement) – від 3 до 5, а кількість кроків дискретизації між сусідніми точками 
виміру (StepMove) - мінімум 128. Далі, в панелі Area (рис.2.8) задають параметри 
поля сканування вибором пункту меню View → Area.  
Панель має два режими: Point і Matrix. У режимі Matrix налаштовують 
загальні параметри руху п‘єзосканера. Режим Point дозволяє задавати точки, в 
яких вимірюватиметься характеристика «сила-відстань». У графічній зоні панелі 
задається область сканування (чи точки виміру) вручну з візуальним контролем 
об'єкту, для чого в цю зону заздалегідь завантажується раніше отримане АСМ-
зображення. 
 42 
           
Рисунок 2.8 - Панель налаштування параметрів поля сканування в режимі Matrix 
(ліворуч) і в режимі Point (справа) 
 
При першому скануванні зразка або нової ділянки на ньому встановлюється 
максимальне поле сканування в панелі «Area» (13×13 мкм), яке в подальшому 
може бути зменшене. 
Режим керування кроковими двигунами платформи позиціонування. 
Панель Drives управляє грубим позиціонуванням вимірювальної головки 
відносно зразка в горизонтальній площині для установки зонду над необхідною 
областю. Панель активується в пункті меню View → Drives. 
Візуально, стрілки пускових кнопок відповідають напрямам руху 
предметного столика, якщо дивитися на прилад згори. За допомогою опції Auto 
активізується автоматичний режим роботи крокових двигунів. У автоматичному 
режимі крокові двигуни виконують команди без обмеження діапазону 
переміщення. У ручному (Manual) режимі (при відключеній опції Auto) система 
виконує заздалегідь встановлену кількість кроків в необхідному напрямі. Один 
крок крокового двигуна відповідає лінійному переміщенню платформи на 2,5 
 43 
мкм. Кількість кроків встановлюється в полі Number of steps і не повинна 
перевищувати 100. Відповідна відстань розраховується і виводиться в полі Length.  
В полі Drive delay встановлюється час затримки перед кожним кроком 
двигуна, який повинен складати 2,42…10,78 мс. Цей параметр використовується 
для варіювання швидкості обертання крокового двигуна і, відповідно, швидкості 
лінійного переміщення платформи позиціонування. 
 
Висновки до розділу 2 
 
В розділі, для вирішення задачі розроблення методології визначення 
артефактів атомно-силової мікроскопії, останню було розбито на декілька етапів з 
відповідним методологічним забезпеченням, розроблені методики дослідження з 
використанням стандартизованих і доопрацюванням відомих методів досліджень, 
серед яких можна виділити узагальнену методику вимірювання нанорельєфу 
твердих поверхонь. На основі розробленої методики складена методика 
вимірювання рельєфу поверхонь методом атомно-силової мікроскопії.  
 44 
РОЗДІЛ 3.  
МОДЕЛЮВАННЯ СТРУКТУРИ ПОВЕРХНІ НА ОСНОВІ ТЕОРІЇ ФРАКТАЛІВ 
 
3.1. Математична модель структури поверхні та покриття на ньому 
 
При побудові моделі зроблені такі припущення: нехай фігура F буде мати 
фрактальну межу. Розглянемо зображення F на певній сітковій області за 
допомогою методу скінченних різниць (методу сіток) [24] і розрахуємо, скільки 
клітинок будуть містити хоча б одну точку границі фігури F, якщо розмір 
клітинок дорівнює h. На практиці зазвичай клітини ділять навпіл, тобто 
розглядають h = 1/2n , n є N . Нехай f (h) — кількість зайнятих межею клітинок, 
значення f (h) залежить від розміщення F, але гранична поведінка f (h) при h → 0 
для різних розміщень буде аналогічною — тому можна розглядати будь-які 
розміщення. 
Знайдемо таку величину D, щоб для всіх β > D :  
 
а для всіх γ < D : 
 
Число D називається фрактальною розмірністю заданої фігури. Зазвичай для 
D виконується така умова: 
 
На прикладі кола з радіусом 1 та h = 1/m , де m є N, можна показати, що 
функція f (h) дорівнює 8m (з точністю до відхилень меншого порядку, ніж m), 
якщо центр кола лежить в куті певної клітинки (рис.3.1). Для доведення цього 
розглянемо одну чверть кола та почнемо рухатися вздовж кола від клітинки, 
нижній правий кут якої має координати (0;m -  1) , до клітинки з координатами 
(m  - 1;0) . Усього пройдено клітинок: 1 + (m  - 1) + (m  - 1) = 2m- 1 . 
Виняток становить випадок, коли коло проходить через кут деякої клітинки. 
 45 
Проте кількість таких випадків мала порівняно з m, а якщо m = p1, p2,..., pi , де 
кожне pi — просте і має вигляд pi = 4qi  + 3 , то таких кутів взагалі немає, тому 
для такого m єдиними цілими точками на колі будуть (m; 0) і (0; m) Отже, f (h) = 
8m  + r(m) , де r(m) — мала величина порівняно з m, тобто 
 
 
Рисунок 3.1 - Модель визначення фрактальної розмірності кола при m = 5 
 
Таким чином, опишемо спосіб наближеного вимірювання фрактальної 
розмірності довільної фігури. Розглянемо декілька розмірів клітинок h1, h2,...,hi . 
Для кожного з розмірів розрахуємо кількість зайнятих фігурою клітинок S1 = f 
(h1),...,Sn = f (hi ) за певного положення фігури на площині. Для зручності та 
підвищення точності розрахунків за різних hi напрям ліній клітинок можна 
вибирати одним і тим самим. Для фігури, яка побудована достатньо однорідно, 
виконується закономірність 
      (3.1) 
де c — деяка константа, а D — фрактальна розмірність фігури. 
Перетворимо формулу (3.1) таким чином: 
 46 
     (3.2) 
Ця закономірність є наближеним лінійним законом (лінійною регресією). 
Необхідно підібрати такі D і ln(c) , щоб закономірність (3.2) була достатньо 
самоподібною. Знайдемо потрібні параметри за допомогою методу найменших 
квадратів [25]. Суть цього методу така. Нехай дано пари точок (x1; y1),...,(xn; yn ) 
такі, що не всі x1,..., xn рівні між собою. Наша мета - побудувати таку функцію y = 
f (x) , щоб f (x) була записана у формі f (x) = ax +  b і при цьому сума квадратів 
відмінностей 
 
була мінімальною. 
Для випадку f (x) = ax + b відхилення є найменшим, якщо 
    (3.3) 
Помітимо, що знаменник у формулах (3.3) задовольняє умову 
 
якщо тільки не буде випадку x1 = ... = xn . 
Для пошуку фрактальної розмірності D використаємо формулу (3.2). 
Нехай 
 
Тоді за формулами (3.3): 
 47 
 
і цю величину можна вважати наближеною фрактальною розмірністю фігури. Для 
рівномірного розподілу точок xi по прямій доцільно застосувати hi = 1/ui, де u — 
деяке число (наприклад, u = 1,5 або u = 2 ). Тоді xi = i ln(u) 
Фрактальна розмірність поверхні. В кожній вертикальній площині 
знаходиться профіль, який має одну й ту ж фрактальну розмірність (рис.3.2). 
Для тривимірних об’єктів фрактальну розмірність можна розраховувати за 
формулою, аналогічною (3.3), де xi = ln 1/hi, а yi = ln Si ; Si — кількість зайнятих 
фігурою кубів зі стороною hi (розміром hi х hi х hi ). Нехай D — фрактальна 
розмірність кожного профілю. Тоді кожний профіль займає приблизно c = h D 
клітинок (де c — константа). Розглянувши профілі з кроком h , отримаємо, що 
кількість зайнятих кубів буде приблизно дорівнювати с.h-D L/h, де L — довжина 
зразка (L/h — кількість профілів). 
 
Рисунок 3.2 - Модель визначення фрактальної розмірності поверхні (а), 
моделювання поверхні (б) та покриття (в) в тривимірному просторі 
 48 
Перетворимо формулу: 
 
отже, для всього паперового аркуша функція f (h) = L.c.h- (1 +D) (рис. 3.3), а 
фрактальна розмірність поверхні дорівнює (1 + D) . Так само можна розрахувати 
фрактальну розмірність поверхні з покриттям. 
Амплітудний коефіцієнт поверхні. Для імітації поверхні було розраховано 
амплітудний коефіцієнт поверхні C , який визначається на основі профілю 
поверхні, не залежить від масштабу досліджуваної поверхні та належить до 
амплітудно-частотних складових. Було встановлено, що C монотонно зростає з 
дисперсією поверхневих висот. 
 
Рисунок 3.3 - Графічне зображення розробленої моделі з урахуванням 
фрактальної розмірності поверхні  
 
Структурна функція була використана при визначенні шорсткості поверхні 
як альтернатива кореляційній функції. Для функцій, що імітують фрактальний 
броунівський рух, структурна функція має лінійну залежність від довжини. 
Амплітудний коефіцієнт поверхні розраховується за формулою: 
  
де τ — приріст довжини, η — роздільна здатність профілюючого інструмента. 
 49 
При обчисленні структурної функції τ змінюється роздільна здатність між 
точками до довжини досліджуваного зразка. Структурна функція — це 
середньоймовірне значення квадрата різниці висот на відстані τ: 
  
При дослідженні профілю поверхні структурна функція була визначена на 
основіотриманих профілограм. Для профілограми з n точок структурна функція 
розраховується за формулою 
     (3.4) 
Після розрахунку структурної функції можна побудувати графік залежності 
log Sj від log τ, де лінія апроксимації проведена за методом найменших квадратів. 
З використанням рівняння (3.4) амплітудний коефіцієнт поверхні розраховується 
за формулою 
 
де m — нахил лінії апроксимації. 
На рис.3.4 зображено графічну модель поверхні в тривимірному просторі з 
урахуванням амплітудного коефіцієнта. 
 
Рис. 3.4 - Графічне зображення розробленої моделі з урахуванням амплітудного 
коефіцієнта поверхні 
 
 
 50 
3.2. Обробка та аналіз результатів математичного моделювання 
 
Методика експериментальних досліджень. Для підтвердження коректності 
цієї математичної моделі проведено експериментальні дослідження зразків. 
Для отримання кількісних показників за допомогою стандартних методик 
[24-26] експериментально було визначено фізико-технічні характеристики 
досліджуваних зразків. Вимірювання мікрорельєфу здійснено двома способами: 
за допомогою атомно-силового мікроскопу «NT-206» побудовою 2D-профілю. 
Вимірювання проводилися АСМ з автоматизованою вимірювальною 
системою, яка базується на модульному принципі побудови технічних і 
програмних блоків. Цей пристрій дає можливість здійснювати контактний аналіз 
ділянки поверхні тонкою голкою, що дає змогу отримати збільшене зображення 
профілю поверхні. В таких приладах досліджувана поверхня аналізується 
алмазною голкою з радіусом заокруглення 10—12,5 мкм. Вимірювання 
проводилися зі швидкістю трасування датчика 0,15 мм/с. 
Метод АСМ дає змогу отримувати кількісні характеристики шорсткості 
поверхні досліджуваних зразків, вимірювати висоту та глибину рельєфу, 
отримувати розподіл виступів за площею, а також інші топографічні особливості 
поверхні, будувати дво- і тривимірне зображення поверхні, спостерігати 
інтерференційні картини в білому і в монохроматичному світлі. Основні переваги 
вимірювання полягають в тому, що немає необхідності в проведенні спеціальної 
підготовки зразків, процедура вимірювання та обробки даних займає небагато 
часу і дає можливість відтворювати мікротопографію поверхні з та без покриття 
методом обробки послідовності інтерференційних даних. 
Результати експериментальних досліджень. Оскільки досліджувані зразки 
різняться за якістю та властивостями, дуже важливо отримати структурний 
паратр, який дасть змогу описати таку різницю та визначити оцінку ступеня 
відмінності шорсткості різних ділянок. 
Для визначення фрактальної розмірності й амплітудного коефіцієнта 
структури поверхні досліджуваних зразків розроблено програмне забезпечення на 
 51 
основі програмного пакета Free Pascal (Додаток А). Вхідні дані, які використовує 
програмний засіб, — це профілограми поверхні на різних ділянках. 
Для того щоб зробити розрахунок даних у програмі, реалізовано алгоритм, 
який виконується в такій послідовності. Cпочатку вводяться вхідні дані — 
координати профілограми поверхні (рис.3.5). На наступному етапі задається 
номер ітерації k = 1 . 
 
Рисунок 3.5 - Профілограми поверхні зразка № 1, отримані методом АСМ з 
лицьового (а) та заднього (б) боків 
 
Потім здійснюється вибір сторони клітинки h залежно від k. Далі 
розраховується s(k) зайнятих профілограмою клітинок зі стороною h та 
визначаються змінні x(h)= ln(k), y(h) = ln(s(k)) . 
Така процедура виконується для кількох k, де k набуває значення від 0 до 
12. Далі відбувається розрахунок фрактальної розмірності як старшого 
коефіцієнта лінійної регресії між x і y методом найменших квадратів: 
 
та виведення фрактальної розмірності поверхні (на екран). 
Значення фрактальної розмірності й амплітудного коефіцієнта поверхні 
отримані на основі профілограм за даними механічного контактного (Dmex = 
2,067—2,130, Cmex = 0,065—0,109) та оптичного безконтактного (Dopt = 2,103—
 52 
2,183, Copt = 0,072—0,116) методу АСМ. Визначено, що для всіх досліджуваних 
зразків Dopt > Dmex , Copt > Cmex унаслідок більшої роздільної здатності оптичної 
профілометрії. Найбільші значення фрактальної розмірності й амплітудного 
коефіцієнта було визначено для зразка № 3 з лицьового боку, найменші — для 
зразка № 3 з тильного боку (рис. 3.6). 
 
Рис. 3.6 - Діаграми фрактальної розмірності поверхні досліджуваних зразків, 
отримані: а — контактним способом; б — безконтактним способом 
 
Отримані моделі адекватні за критерієм Стьюдента, оскільки задовольняють 
вимогу texp > tkr (texp перебуває в діапазоні від 5,09 до 23,19 для моделі з 
урахуванням D; texp перебуває в діапазоні від 4,54 до 21,74 для моделі з 
урахуванням C за умови p = 0,05, tkr = 2,10) та за критерієм Фішера, коли Fexp < Fkr 
(Fexp перебуває в діапазоні від 2,14 до 3,18 для моделі з урахуванням D; Fexp 
перебуває в діапазоні від 2,88 до 3,25 для моделі за умови Fkr = 4,16)   (рис.3.7). 
 
Рис. 3.7 - Відповідність реального (а) змодельованим профілем за допомогою 
фрактальної розмірності (б) й амплітудного коефіцієнта (в) поверхні 
 53 
Висновки до розділу 3 
 
Моделювання структури поверхні з та без покриття є перспективним для 
адекватного опису поверхні та цілеспрямованого керування якістю виробів. 
Для подальшого цілеспрямованого керування показниками якості виробів 
розроблено математичну модель структури поверхні з та без покриття, що дає 
змогу описати структуру такої поверхні встановленням фрактальної розмірності й 
амплітудного коефіцієнта в критичній зоні та поза їх межами. 
Розроблено алгоритм і програмне забезпечення для визначення фрактальної 
розмірності й амплітудного коефіцієнта мікроструктури поверхня з та без 
покриття, які уможливлюють прогнозування оптичних характеристик відбитків на 
етапі вхідного контролю та оперативного контролю під час експлуатації цих 
виробів. Отримано значення фрактальної розмірності й амплітудного коефіцієнта 
поверхні на основі профілограм за даними контактного (Dmex = 2,067—2,130, Cmex 
= 0,065—0,109) та безконтактного (Dopt = 2,103—2,183, Copt = 0,072—0,016) 
методів АСМ. Визначено, що для всіх досліджуваних зразків Dopt > Dmex ,Copt > 
Cmex унаслідок більшої роздільної здатності методу АСМ 
Як напрям подальших досліджень планується встановлення кореляції між 
фрактальним описом поверхні та колірними показниками і параметрами 
технологічного процесу виготовлення та експлуатації цих зразків. 
 54 
РОЗДІЛ 4 
ДОСЛІДЖЕННЯ ПРОЦЕСУ МОДЕЛЮВАННЯ ФРАКТАЛЬНИХ 
ПОВЕРХОНЬ З ВРАХУВАННЯМ ВПЛИВУ АРТЕФАКТІВ СКАНУВАННЯ 
АТОМНО-СИЛОВОЇ МІКРОСКОПІЇ 
 
4.1. Обгрунтування вибору моделі процесу отримання АСМ-зображення   
 
Дана робота присвячена аналізу впливу кінцевої форми зонда на АСМ-
зображеннях і параметри, які розраховуються на їх основі. В якості реальних 
поверхонь досліджували поліровані поверхні ситалла. За даними рентгенівського 
розсіювання на синхротронного джерелі PSD-функції від таких поверхонь 
поводяться лінійно в подвійному логарифмічному масштабі в великому інтервалі 
просторових частот. Однак в літературі відзначають, що на PSD-функціях, 
розрахованих по АСМ-зображень сверхгладких поверхонь, спостерігається 
відхилення від лінійного ходу кривої в високих частотах (так званий «завал» PSD-
функцій). В ході нашого експерименту ми також спостерігали характерний «завал» 
на PSD-функціях, рис.4.1. 
 
Рис. 1.4 - PSD-функція підкладинки та її апроксимація (червона лінія). 
 55 
Зроблено припущення, що на положення цього «завалу» впливає радіус 
заокруглення зонда. У літературі зазначається зв'язок «завалу» PSD-функції з 
кінцевою формою зонда, але при цьому детально вона не аналізується. У роботі 
було вирішено встановити чи можливо за матеріальним становищем «завалу» 
однозначно визначити радіус вістря використовуваної голки. 
Досліджуватиметься залежність положення «завалу» на PSD-функції від 
радіуса зонда не тільки виходячи з експериментальних даних, але і за допомогою 
моделювання. Моделювання дає можливість в широкому діапазоні варіювати різні 
параметри  
Для моделювання процесу отримання АСМ-зображення нами необхідно 
обрати модель поверхні, форми зонда і їх взаємодії. Почнемо з вибору моделі 
поверхні. 
Модель поверхні Для вирішення поставленого завдання нам необхідно 
моделювати поверхні. За літературними даними надгладкі поверхні мають 
фрактальну структуру. Тому ми буде генерувати саме фрактальні поверхні. За 
основу був узятий алгоритм, можливо, безпосередньо варіювати деякі параметри 
поверхні. В якості вхідних даних, ми задаємо розмір об'єкта і 
автокорреляционную функцію. Як було показано в літературному огляді, для 
опису фрактальних поверхонь підходять кілька автокореляційних функцій, які 
повинні задовольняти умові В даній роботі в якості такої функції ми вибрали 
функцію Kohlrausch-Watts (KWW), наступного виду фрактальний параметр. 
Таким чином, ми можемо варіювати для неї, а, отже, і для поверхні такі 
параметри, як фрактальний параметр, шорсткість поверхні і довжину кореляції. 
Для того щоб моделювати об'єкти, відповідні реальним сверхгладких 
поверхонь, нам необхідно знати фрактальний параметр, шорсткість і довжину 
кореляції для реальних поверхонь. 
Визначення фрактального параметра, шорсткості поверхні та кореляції для 
реальних поверхонь. 
Ми визначали необхідні фрактальних поверхонь параметри по АСМ 
зображень. За даними АСМ ми розрахували сканів (рис.4.2). 
 56 
  
а.       б. 
Рис. 4.2 - Залежність PSD- функції від просторової частоти (а) (чорна крива 100 
мкм, червона - 10 мкм і зелена - 1 мкм); б - Залежність PSD-функції від розміру 
скана 
 
На рисунку 4.2.а представлена залежність PSD-функції від просторової 
частоти для сканів розміром 1, 10 і 100 мкм, на рисунку 4.2.б - залежність 
шорсткості поверхні від розміру області сканування. На рисунку 4.2.а, шорсткість 
пов'язана з площею під графіком PSD- функції, а фрактальний параметр - з кутом 
нахилу до осі Х. Як говорилося раніше, шорсткість залежить від розміру 
зображення, що сканується і, як видно з рисунка 4.2.б, зі збільшенням розміру 
ськана шорсткість росте. Однак для нашого експерименту ми обмежимося сканом 
розміром в 100 мкм. Це пов'язано з тим, що максимальна область сканування, яку 
ми можемо досліджувати за допомогою АСМ - 100 мкм. При цьому ми 
припускаємо, що подальше зростання шорсткості незначний. 
Фрактальний параметр ми визначали по залежності шорсткості від розміру 
області, що сканується. 
На рис. 4.3 представлена апроксимація наведеної вище формулою, 
експериментальних точок. Видно, що експеримент добре узгоджується з теорією. 
 57 
 
Рис. 4.3 - Залежність Rq від розміру області сканування.Точками відзначені 
експериментальні дані, червона крива - апроксимація  
 
У літературному огляді було показано, що для реальних поверхонь 
параметр Херста становить близько 0.1. Визначаючи фрактальний параметр за 
запропонованою нами методикою, ми отримали h = 0,044, що відповідає 
літературним даним. 
Тепер перейдемо до визначення довжини кореляції. Визначення довжини 
кореляції для реальних поверхонь дуже складне завдання. Як це було відзначено в 
літературі, довжину кореляції визначається по спаду автокореляційної функції в 
е-раз. Однак за даними АСМ однозначно визначити автокорреляционную 
функцію поверхні не вдається (рисунок 4.4). 
 
Рис. 4.4 - Залежність автокореляційної функції від розміру області сканірованія. 
Разнимі кольорами виділені автокореляційні функції від сканів різного розміру 
(від 1 до 100 мкм) 
 58 
На рис. 4.4, представлені автокореляційні функції від трьох областей 
сканування 1, 10 і 100 мкм. За графіком рисунка 4.4 можна бачити, що вони не 
лягають на одну криву, як це відбувається в разі PSD-функції. Відповідно раз для 
різних областей сканування автокореляційні функції різні, то довжина кореляції 
для цих областей теж відрізняється, тому що визначається спадом 
автокореляційної функції. Цей висновок не дозволяє однозначно судити про 
довжину кореляції поверхні. Однак нами показало, що при фрактальному 
параметрі порядку 0.1, що відповідає реальним фрактальним поверхнях, при 
довжині кореляції від 1 мкм до 100 мкм PSD-функція від лінійного ходу в 
подвійному логарифм відрізняється слабо (рис. 4.5). 
 
Рис.4.5 - PSD-функції для різної довжини кореляції і розмірів генерується області. 
Чорна крива відповідає довжині кореляції 1 мкм, червона -100 мкм 
 
На графіку приведені PSD-функції згенерованих областей від 1 мкм до 1 м. 
З представленого графіка видно, що для довжин кореляції в 1 мкм і 100 мкм PSD- 
функції від прямої лінії відрізняється незначно і лише в низьких просторових 
частотах, тобто на великих областях генерації (від 1 см). Такі великі області 
сканування метод АСМ досліджувати не дозволяє. Таким чином, можна зробити 
висновок, що для нашої роботи точність визначення довжини кореляції несуттєва, 
тому що цікавить нас область високих просторових частот, на якій 
 59 
спостерігається «завалу» PSD-функції, не змінюється. При моделюванні ми 
використовували l = 100 мкм 
Відповідність модельних фрактальних поверхонь реальним поверхням. 
У попередньому пункті нами були визначені параметри реальних 
поверхонь. Далі ми змоделювали поверхні з такими ж параметрами і провели 
порівняння реальних і модельних поверхонь і їх параметрів шорсткості. 
 
Рис.4.6. а - Згенерована фрактальная поверхню; б - АСМ - зображення реальної 
фрактальної поверхні 
 
На рис. 4.6 представлені зображення реальної і модельної фрактальних 
поверхонь розміром 1х1 мкм з однаковими параметрами шорсткості. Як видно з 
рисунка, рельєфи поверхонь схожі. 
Тепер перейдемо до порівняння PSD-функція для модельної та реальної 
поверхонь. На рис. 4.7 наведено графіки PSD-функцій, розраховані по обом 
зображень. 
З представленого графіка, видно, що PSD-функції реальної і модельної 
поверхонь збігаються у великому інтервалі просторових частот. Однак, в області 
високих частот PSD-функція, розрахована за експериментальними даними, 
відхиляється від модельної кривої. Це в черговий раз свідчить про те, що в області 
високих частот експериментальні дані спотворені через кінцевого радіусу зонда 
У табл. 4.1 наведено порівняння параметрів модельних і експериментальних 
даних.  
 60 
 
Рис. 4.7. PSD-функції від згенерованих і реальних зразків з однаковими 
параметрами Червона крива - модельні дані, чорна - експериментальні. 
 
Табл. 4.1 - Порівняння параметрів модельної і реальної поверхонь. 
Експериментальний 
 Модельний зразок 
зразок 
Шорсткість 3 A 3 A 
Фрактальний параметр 0,028 0,03 
 
Як видно, параметри, розраховані для модельної та реальної поверхонь 
схожі. В результаті порівняння зображень і параметрів згенерованої і надгладкої 
поверхонь, ми показали адекватність обраної. 
Модель форми зонда для АСМ. 
Для цілей нашої роботи використовувалися зонди з різними радіусами. 
Один з них з радіусом заокруглення близько 10 нм. На сьогоднішній день це 
стандартний розмір зонда для промислового виробництва кремнієвих консолей. 
Крім того використовувалися високоразрешающем зонди з радіусом 1 нм. 
Відповідно, при моделюванні процесу отримання АСМ-зображення виникає 
питання вибору моделі зонда. 
 61 
У літературі було наведено кілька варіантів моделювання геометричної 
форми зонда для АСМ. Однак всі варіанти схожі в моделі вістря голки: вістря 
зонда можна представити у вигляді сфери. Однак є стаття, в якій запропонована 
модель двох сфер, представлена на рис.4.8.б. Ця модель більш адекватно описує 
АСМ-вимірювання для крокових структур. Автори статті використовують 
структуру з кроком 1.1 мкм і висотою виступів 0.25 мкм. На цих структурах 
ступені по висоті перевищують радіус заокруглення зонда. 
 
Рис. 4.8 - Модельні форми вістря кантільовери АСМ,  
описувані однією сферою (а) і двома сферами (б) 
 
Однак для досліджуваних надгладкої поверхонь перепад висот не 
перевищує радіуса зонда. Таким чином, для нашого випадку, в якості моделі 
зонда підійде апроксимація його кінчика просто сферою. 
Як було зазначено раніше, в нашій роботі ми будемо використовувати 
високоразрешающем зонди з радіусом заокруглення близько 1 нм.  
Для вістря такого зонда модель залишається колишньою. Однак для 
високоразрешающем зонда перепад висот рельєфу надгладкої поверхонь вже 
перевищує радіуса заокруглення голки. При моделюванні таких зондів необхідно 
встановити форму зонда на висоті вище його радіуса заокруглення. Як видно з 
рисунка, голки являють собою нанооб'єктів невеликої висоти (~ 20 нм), вирощені 
на вістрі класичного зонда у вигляді вусики або трубки і їх можна моделювати у 
вигляді циліндра з півсферою на кінці (рис. 4.9). 
 62 
 
Рис. 4.9 -. Модель високоразрешающего зонда 
 
Таким чином, для нашого випадку, в якості моделі зонда підійде 
апроксимація його кінчика півсферою. 
Модель взаємодії зонда з поверхнею 
В якості моделі взаємодії зонда з поверхнею ми обмежилися наближенням 
простої геометричної згортки. Суть цієї моделі полягає в тому, що, кантилевер і 
поверхню взаємодіють як абсолютно тверді тіла. У літературі говориться, що це 
наближення добре описує процес побудови АСМ-зображення. 
Таким чином, нами показана адекватність моделі поверхні, наведено 
обґрунтування вибору моделі форми зонда і їх взаємодії. 
 
4.2. Вплив кінцевих розмірів зонда на АСМ - зображення 
 
У попередньому пункті, ми обґрунтували обрані нами моделі зонда, 
поверхні і їх взаємодії. Тепер спробуємо отримати з їх допомогою зображення 
згортки зонда з поверхнею. 
В процесі побудови моделей згортки поверхні і зонда, ми помітили, що 
зображення може містити особливості, яких не було з самого початку. На рисунку 
4.10 наведено результати згортки модельної фрактальної поверхні розміром 1 мкм 
* 1 мкм з зондами, для яких радіус заокруглення дорівнював 100 нм, 10 нм і 1 нм. 
Такі розміри зондів відповідають голок, які використовують при АСМ-вимірах. 
 63 
 
Рис. 4.10 - Зображення а- згенерованої поверхні; .б - поверхня згорнута з зондом 1 
нм; в- поверхню згорнута з зондом 10 нм; г -поверхня згорнута з зондом 100 нм 
 
З зображень, представлених на рисунку 4.10 (а-в), видно, що при радіусі 
заокруглення модельного зонда не перевищує 10 нм рельєф згортки слабо 
відрізняється від початкового. На рисунку 4.10 г можна помітити, що на 
зображенні з'явився мікрорельєф у вигляді сфер діаметром близько 10 нм. Для 
отримання цього зображення було взято модельний зонд з радіусом 100 нм. Якщо 
порівняти зображення вихідної поверхні і згортки (рисунок 4.10 а, г), то видно, 
що на модельної поверхні таких особливостей немає. Таким чином, можна 
зробити висновок, що зерна з'явилися в результаті процесу згортки поверхні і 
зонда. 
На рис. 4.11 представлені зображення реальної поверхні і згортки модельної 
поверхні з зондом кінцевого радіусу. 
 64 
 
Рис. 4.11. а, в- Моделі згортки поверхні з зондом радіусу 100 нм;  
б - АСМ - зображення плівки; г - АСМ - зображення сіталловимі підкладки 
 
На рисунку, представлені дві пари зображень модельної і реальної поверхні. 
Зображення 4.11 (а, в), модельні, отримані при згортку поверхонь з різними 
параметра. На рисунку 4.11 б - зображення плівки, г-поверхні ситалла. З рисунка, 
добре видно, що в реальних експериментах спостерігаються схожі зернисті 
структури. Таким чином, виникає питання, чи реальні зерна на АСМ-зображення 
або це артефакт вимірювань, пов'язаний з кінцевими розмірами зонда. 
Для подальшого аналізу реальної зернистої поверхні і модельного 
зображення, ми побудували їх PSD-функції. На рисунку 4.12 а, б показані 
зображення моделі згортки і АСМ-зображення сіталловимі підкладки відповідно, 
а на рисунку 4.12 в їх PSD-функції. 
 65 
 
Рис. 4.12 -  а - Модель згортки поверхні з зондом радіусу 100 нм; б - АСМ - 
зображення сіталлової підкладки; в - PSD-функції від модельної та реальної 
поверхонь (чорна крива відповідає реальній поверхні, а червона моделі) 
 
Як можна бачити, на рисунку 4.12 в на PSD-функції зразка з реальними 
зернами спостерігається пік. На PSD-функції з частинками, які не відображають 
дійсного рельєфу поверхні, піку немає, а спостерігається лише характерний 
«завал» в високих просторових частотах. 
Наведене вище міркування може стати критерієм, за яким можливо 
визначити чи відображають зерна на АСМ-зображенні реальний рельєф поверхні 
або це артефакт вимірювання. 
 66 
Вплив кінцевого розміру зонда на PSD-функцію поверхні. Дана робота 
присвячена визначенню зв'язку між «завалом» на PSD-функції і радіусом зонда. 
Ми досліджуватиме цей зв'язок, за експериментальними і модельним даними. Для 
дослідження залежності «завалу» на PSD-функції від радіуса зонда за 
експериментальними даними, ми провели серію АСМ-вимірювань, скануючи один 
зразок зондами різного радіусу (рисунок 4.13). Ми використовували зонди з 
радіусом заокруглення 10 нм - стандартний зонд і 1 нм - високоразрешающем зонд. 
Скани розмірами до 1 мкм були отримані зондами обох радіусів. Всі інші скани 
були отримані стандартним зондом. 
 
Рис. 4.13 - PSD-функції, розраховані за експериментальними даними (чорна крива 
отримана зондом в 1 нм, червона -10 нм.) 
 
На рисунку 4.13 чорна крива відповідає серії експериментів, отриманих 
зондом з радіусом 10 нм, червона - зондом з радіусом близько 1 нм. За рисунком 
4.13, видно, що у високих просторових частотах PSD-функції, розраховані за 
даними, отриманими обома зондами, мають «завал». При цьому просторова 
частота, після якої починається «завал» різна. Однак, як було зазначено в 
літературному огляді, PSD-функції для фрактальних поверхонь поводяться 
лінійно в подвійному логарифмічному масштабі, що підтверджує метод 
рентгенівського розсіювання на синхротронного джерелі. Таким чином, в АСМ-
 67 
експерименті дійсно спостерігаються «завали» на PSD-функціях і їх положення 
залежить від радіуса зонда. При цьому зі збільшенням радіуса зонда просторова 
частота, на якій починається завал, зменшується. 
В експерименті можливості вибору різних зондів або поверхонь обмежені. 
Тому, ми буде досліджувати залежність положення «завалу» на PSD-функції від 
радіуса зонда не тільки за експериментальними даними, але і по модельним. Ми 
згенерували фрактальную поверхню з шорсткістю 1 A і фрактальним параметром 
0.05, що відповідає параметрам реальних поверхонь. Далі ми згортали її з 
модельними зондами різного радіусу. По зображеннях згортки були побудовані 
PSD-функції. На рисунку 4.14, представлені PSD-функції, отримані в результаті 
згортки з зондами 10 нм і 100 нм. 
 
Рис. 4.14 - PSD- функції від модельних зразків, згорнутих з зондами різного 
радіусу. Чорна крива відповідає модельної поверхні без згортки; червона - згортку 
модельної поверхні з зондом в 10 нм; синя - згортку поверхні з зондом в 100 нм. 
 
Як видно з рис.4.14, PSD-функція, розрахована за даними моделі 
фрактальної поверхні, має лінійний хід кривої в подвійному логарифмічному 
масштабі. При згортку цієї поверхні з зондами PSD-функції, отримані за даними 
такого зображення, відхиляються від прямої лінії в високих частотах, що 
відповідає експерименту. На графіку, представленому на рис.4.14, PSD-функції 
зразків, які були згорнуті з зондами різного радіусу, відхиляються від прямої на 
 68 
різних просторових частотах. PSD-функція, розрахований за даними згортки 
модельної поверхні і зонда з радіусом 100 нм, відхиляється від прямої на частоті  
v=10мкм-1, що відповідає розміру зонда в прямому просторі s =1/v=0.1мкм=100 нм 
Аналогічно, для зонда радіусом 10 нм, PSD-функція відхиляється від прямої 
на частоті v = 100 мкм-1 або s = 10 нм. Таким чином, модельні дані також 
підтверджують, що «завал» на PSD-функції пов'язаний з радіусом зонда. 
Вплив параметрів структури на «завал» PSD-функції 
З наведених, вище міркувань можна припустити, що область «завалу» PSD-
функції однозначно пов'язана з радіусом зонда. Однак, при зміні параметрів 
модельної фрактальної поверхні, область «завалу» на PSD-функції змінюється. На 
рисунку 4.15, представлені PSD-функції, розраховані за даними згортки зондів і 
модельних поверхонь з різними параметрами. На рисунку 4.15 а показані PSD- 
функції згортки зонда і зразків з шорсткістю 1 і 5 A і фрактальним параметром 
0.1, а на рисунку 4.15 б - PSD-функції згортки зонда і поверхні з фрактальними 
параметрами рівними 0.1 і 0.5 і шорсткістю 1 A. 
З викладеного вище рисунка 4.15 а, на PSD-функції, згортки зразка з 
більшою шорсткістю, «завал» починається раніше, ніж для зразка з меншою 
шорсткістю. Застосуємо для PSD-функція на графіку рисунка 4.15. Для зразка з 
більшою шорсткістю PSD-функція згортки поверхні з модельним зондом 
радіусом 100 нм відхиляється від прямої лінії на просторовій частоті рівній 15 
мкм-1, що відповідає 65 нм в прямому просторі. Положення «завалу» на PSD-
функції, розрахованої за даними згортки описаної раніше поверхні з зондом 
радіуса 10 нм, визначається частотою рівною 50 мкм-1 або 20 нм в прямому 
просторі. Аналогічно, для зразка з шорсткістю 1 A, значення не відповідають 
заданим нами розміром зонда. 
Тепер проаналізуємо дані рис. 4.15 б. На цьому рисунку представлені PSD- 
функцій, розраховані за даними згортки зондів і модельних поверхонь з різними 
фрактальними параметрами. З графіка видно, що для зразків з меншим 
фрактальним параметром PSD-функції згортки поверхні і зонда відхиляються від 
лінійного ходу раніше, ніж для великих значень параметра Херста.  
 69 
 
Рис. 4.15 - PSD-функції від модельних зразків: а - з різною шорсткістю (чорна 
крива - шорсткість 1 А; красна -5 А, для обох зразків параметр Херста 0.1); б - з 
різним фрактальним параметром (чорна - h = 0.1; червона - h = 0.5, шорсткість 
обох зразків 5 А). 
 
 70 
Ми спробували встановити розмір радіуса зонда по положенню «завалу» на 
PSD-функціях. Для зразка з великим параметром Херста PSD-функція згортки 
поверхні з модельним зондом радіусом 100 нм відхиляється від прямої лінії на 
просторовій частоті рівній 15 мкм-1, що відповідає 65 нм в прямому просторі. 
Положення «завалу» на PSD-функції, розрахованої за даними згортки описаної 
раніше поверхні з зондом радіуса 10 нм, визначається частотою рівною 102 мкм-1 
або 10 нм в прямому просторі. Аналогічно, для зразка з фрактальним параметром 
0.1, не відповідають заданим нами розміром зонда. Таким чином, нам не вдалося 
визначити однозначну зв'язок між просторовою частотою, після якої на PSD-
функції спостерігається «завал» з розміром модельних зондів. Так при взаємодії 
одним і тим же зондом з поверхнями, у яких різні фрактальний параметр і 
шорсткість, PSD- функції відхилятися від лінійного ходу кривої будуть в різних 
місцях. 
Наведене вище міркування, свідчить про те, що положення «завалу» на 
PSD-функції залежить від шорсткості і фрактального параметра поверхні. Таким 
чином, всупереч нашим припущенням, по положенню області «завалу» PSD- 
функції однозначно не можна судити про радіус зонда, з яким було отримане 
зображення поверхні. 
 
4.3. Обгрунтування некоректності обраної моделі 
 
Метою роботи було визначення радіуса зонда по «завалу» на PSD- функції. 
У попередньому пункті було встановлено, що положення «завалу» неоднозначно 
пов'язано з радіусом зонда і залежить від параметрів досліджуваної поверхні. Тоді 
ми припустили, що встановити радіус зонда можна, зіставляючи PSD-функції 
АСМ зображень зі сверткой модельної поверхні з зондом. При цьому параметри 
шорсткості генерується поверхні вибиралися відповідно до параметрів, що 
зіставляються АСМ-зображень. 
 Розбіжність експериментальних і модельних даних 
 71 
Ми спробували визначити радіус зонда в АСМ-експерименті, зіставляючи 
експериментальні та модельні дані. Для цього ми отримали АСМ-зображення 
зразка, скануючи його зондами з радіусом заокруглення 1 нм і 10 нм (рис.4.16). 
 
Рис.4.16 - АСМ-зображення поверхні, отримані (а) - зондом з радіусом 
заокруглення 1нм і (б) - з радіусом зонда 10 нм. 
 
На рис. 4.16 а представлено АСМ-зображення, отриманого зондом з 
радіусом заокруглення 1 нм, на рисунку 4.16 б - АСМ-зображення для зонда з 
радіусом 10 нм. Для них були розраховані і побудовані PSD-функції, які наведені 
на рисунку 4.17. 
За АСМ-зображення, отриманого зондом з радіусом заокруглення близько 1 
нм, були визначені параметри, необхідні для моделювання поверхні. Далі була 
згенерована поверхню зі знайденими параметрами і потім проведена її згортка з 
зондами різного радіусу (1,10 і 100 нм). Для модельних зразків були розраховані і 
побудовані PSD-функції. Далі ми порівняли PSD-функції від реальних і 
згенерованих зразків, що проілюстровано в Додатку Б. 
На графіках чорним кольором виділена PSD-функція, обчислена, виходячи 
за даними АСМ-зображень. Бачимо, що PSD-функції від моделей добре лягають 
на PSD-функції, розраховані за експериментальними даними в області низьких 
просторових частот. У високих частотах значення PSD-функцій, розрахованих для 
зондів одного радіуса, помітно різняться (на рисунках Додатку Б а - б чорна і 
червона криві). 
 72 
 
Рисунок 4.17 - PSD-функції експериментальних даних (чорна крива отримана 
зондом в 1 нм, червона -10 нм.) 
 
Тоді визначимо, при якому радіусі модельного зонда PSD-функції 
експериментальних і модельних зображень співпадуть у всій області просторових 
частот. З викладеного вище рисунка Додатку Б а, модельна крива для радіуса 
зонда 10 нм збігається з кривою, розрахованої за експериментальними даними 
АСМ-зображення, отриманого голкою з радіусом 1 нм. Аналогічно, модельні дані 
від згортки з зондом радіусу 100 нм узгоджуються з експериментальними даними 
для зонда в 10 нм (рисунок Додатку Б б). Таким чином, для того, щоб модельні та 
експериментальні дані збіглися нам необхідно брати модельний зонд з радіусом в 
10 разів більше, зазначеного виробником. 
Після того як був проведений аналіз, описаний вище, і з'ясувалося, що 
радіус кантільовери по модельним даними в 10 разів більше зазначеного 
виробником, ми спробували відновити його розмір за допомогою альтернативного 
методу - сліпого відновлення форми зонда. Основа методу полягає в наступному: 
1. Потрібно отримати згортку АСМ-зображення з зондами різного радіусу. 
2. Для розміру модельного зонда менше, використаного при АСМ-вимірі, 
зображення згортки і реальної поверхні відрізнятися не будуть. Різниця таких 
зображень буде близька до нуля і визначається шумом приладу. 
 73 
3. Будемо збільшувати розмір зонда при згортку з АСМ-зображенням. Як тільки 
радіус задається зонда стане перевищувати розмір використовуваного в 
експерименті зонда, зображення згортки буде відмінно від вихідної поверхні. 
Різниця таких зображень буде зростати зі збільшенням радіуса зонда. 
Спробуємо застосувати запропонований вище метод. На рис.4.18 представ-
лено АСМ-зображення, отримане зондом з радіусом заокруглення вістря 1 нм. 
 
Рис. 4.18 - АСМ-зображення, отримане зондом з радіусом 1 нм. 
 
За допомогою розробленої програми були отримані згортки АСМ-
зображення з зондами різного радіусу (від 1 до 100 нм). Ми вичитали 
зображенням згортки з АСМ-зображення і оцінювали середньоквадратичне 
відхилення для різниці. Це дозволило характеризувати, наскільки сильно 
відрізнялися різниці для різних розмірів модельних зондів між собою. На рисунку 
4.19 а приведена залежність СКО від радіуса зонда. 
 
Рис. 4.19 - Визначення радіуса зонда: а – графік залежності СКО разностного 
зображення від радіуса зонда; б - похідна, для визначення точки перегину 
 74 
Як видно з рисунка 4.19, СКО різниці згорнутого зображення і АСМ 
зображення спочатку має область на графіку, на якій значення близькі до нуля, як 
це і передбачалося. Починаючи з деякого розміру зонда, крива на графіку зростає 
і виходить на насичення. Як показують наведені вище міркування, щоб визначити 
радіус зонда нам потрібно визначити точку перегину на кривій. Ця точка дасть 
нам необхідний радіус. Ми брали похідну залежності СКО від радіуса зонда і по 
положенню максимуму на ній визначили, що радіус становить 10 нм (рисунок 
4.19 б). Це значення відповідає, визначеному нами раніше радіусу по PSD-функції 
поверхні. 
Тепер проведемо такий аналіз для АСМ-зображення, отриманого зондом з 
радіусом 10 нм. Його АСМ-зображення представлено на рисунку 4.20. 
 
Рис. 4.20 - АСМ-зображення, отримане зондом з радіусом 10 нм. 
 
Далі ми розрахували і побудували графік залежності СКО для різницевого 
зображенні від радіуса модельного зонда (рисунок 4.21). 
 
Рис. 4.21. Визначення радіуса зонда. а - графік залежності СКО разностного 
зображення від радіуса зонда; б - похідна, для визначення точки перегину 
 75 
На рис. 4.21, видно, що в даному випадку горизонтальну ділянку графіка 
спостерігається для великих розмірів зонда, ніж це було в першому прикладі. 
Перегин на графіку становить близько 50 нм, що перевищує, значення, яке було 
вказано виробником в 5 разів. 
Таким чином, ми бачимо, що за результатами, отриманими методом сліпого 
відновлення зонда і за даними порівняння PSD-функцій модельних і реальних 
поверхонь, в рамках моделі геометричної згортки зонд має радіус в 5-10 разів 
більший, ніж радіус, зазначений виробниками. 
 Обговорення результатів 
У попередньому пункті ми показали, що радіус зонда по модельному 
розрахунку перевищує в 10 раз, радіус який вказаний виробником. Причина 
розбіжності модельних і експериментальних даних може полягати в тому, що 
була обрана неправильна модель. У нашій роботі ми моделювали поверхню, зонд 
і їх взаємодія. Отже, вирішення проблеми може полягати в одному з наступних 
пунктів: невірна модель поверхні; невірна модель зонда, невірна модель взаємодії 
зонда з поверхнею. 
Проаналізуємо перший пункт. У нашій роботі проведено докладний 
порівняння згенерованих і реальних поверхонь і їх параметрів шорсткості. 
Показано гарний збіг всіх порівнюваних параметрів. При цьому в області високих 
частот PSD-операція продовжують вести себе лінійно, що відповідає даним 
рентгенівського розсіювання на синхротронного джерелі. Отже, причина 
розбіжності експериментальних і модельних даних полягає або в невірній моделі 
форми зонда, або в моделі взаємодії зонда з поверхнею. 
Спробуємо дослідити модель форми зонда. У літературному огляді було 
показано, що всі зонди перед випуском проходять сертифікацію за допомогою 
електронного мікроскопа: РЕМ і ПЕМ. Таким чином, ми бачимо, що форму зонда 
встановлюють двома незалежними методами. Однак в літературі є серія статей, в 
яких автори зіткнулися з тим, що радіус зонда, який визначається за різними 
тестовими структурам, різниться в 10 разів. Для пояснення цього протиріччя, 
автори запропонували нову модель зонда. Модель зонда, запропонована в статтях, 
 76 
складається з двох зістикованих сфер (рисунок 4.22), де мала сфера має радіус 
вістря кантільовери, а велика описує ефективний радіус взаємодії. 
 
Рис. 4.22 - Пояснення причини появи ефективного радіуса зонда 
. 
Модель, запропонована авторами, добре пояснює наявність ефективного 
радіусу взаємодії, якщо на поверхні є виступи з висотою, що перевищує радіус 
голки кантільовери. Це пов'язано з тим, що з усіма горизонтальними ділянками 
поверхні модельний зонд взаємодіє з радіусом малої сфери, а всі бічні поверхні 
виступів з великою сферою моделі (рисунок 4.22). 
Ми розглядали в роботі надгладкої поверхні з шорсткістю порядку 
декількох ангстрем. Сучасні зонди мають радіус заокруглення близько 10 нм. Цей 
розмір перевищує перепади висот рельєфу досліджуваної нами поверхні. Як 
приклад наведемо АСМ-зображення сіталловимі підкладки (рисунок 4.23). 
 
Рис. 4.23 - АСМ - зображення сіталловимі підкладки розміром 1 мкм2 
 
 77 
Як випливає з рисунка, перепад висот на скане становить не більше 5 нм, 
що менше радіуса вістря зонда. Якщо описувати зонд, запропонованим в статті 
способом, то надгладкої поверхню буде взаємодіяти тільки зі сферою малого 
радіусу. Значить, в нашому випадку модель двох сфер не дозволяє пояснити 
причину розбіжності експериментальних і модельних даних. Це в свою чергу дає 
привід засумніватися в моделі, запропонованої в статтях. 
 
Висновки до розділу 4 
 
Таким чином, не має причин сумніватися в адекватність моделі форми 
зонда, яка була обрана в роботі. Реально зонд взаємодіє з поверхнею з радіусом, 
який більше, ніж радіус заокруглення зонда, зазначений виробниками. Наведене 
вище міркування дозволяє судити про те, що причина суперечності між 
експериментальними і модельними даними полягає в неправильній моделі 
взаємодії.  
У нашій роботі використовували модель геометричної згортки (моделлю 
взаємодії двох абсолютно пружних тіл), яка є найбільш поширеною в літературі. 
Однак з наших міркувань випливає, що це наближення некоректно описує АСМ-
вимірювання. Відповідно, для опису процесу отримання АСМ-зображень 
необхідно вибирати більш адекватні фізичні моделі, які будуть враховувати 
специфіку взаємодії зонда з поверхнею.  
 
 
 
 78 
 ВИСНОВКИ 
 
В результаті виконання магістерської роботи з визначення впливу 
артефактів атомно-силової мікроскопії шляхом моделювання фрактальних 
поверхонь отримані наступні результати: 
1. Обґрунтовано відповідність моделі фрактальної поверхні, обраної для 
симуляції рельєфу реальних поверхонь. 
2. Показано, що для реальних поверхонь відхилення PSD-функції від прямої в 
подвійному логарифмічному масштабі пов'язане з кінцевим розміром зонда. 
При цьому просторова частота, після якої відбувається відхилення PSD-функції 
від прямої, залежить від параметрів рельєфу поверхні. 
3. Виявлено, що згортка модельної фрактальної поверхні з зондом кінцевого 
радіусу призводить до утворення зернистої поверхні. Запропоновано критерій, 
що дозволяє по PSD-функцій зернистих поверхонь відрізняти реальні зерна від 
уявних.  
4. Показано, що зонд взаємодіє з поверхнею з ефективним радіусом, який в 5-10 
разів перевищує радіус заокруглення зонда, вказаний виробником. 
5. Доведено, що модель взаємодії двох абсолютно пружних тіл не може адекватно 
описати взаємодію між зондом і поверхнею зразка при АСМ-вимірах 
В цілому виконані дослідження можуть служити основою для подальших 
досліджень з питання удосконалення методологічного, інструментального та 
математичного забезпечення методу атомно-силової мікроскопії. 
 
 79