Дослідження та порівняльний аналіз методів моделювання динамічних процесів в електричних колах з різнорідними елементами

Тирсін, Олексій Ростиславович
Please use this identifier to cite or link to this item: https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/8978
Title:	Дослідження та порівняльний аналіз методів моделювання динамічних процесів в електричних колах з різнорідними елементами
Authors:	Ключка, Костянтин Миколайович Тирсін, Олексій Ростиславович
Keywords:	динамічні процеси;різнорідні елементи;математичні моделі;інтегральні рівняння
Issue Date:	Dec-2024
Abstract:	Для розв’язування поставлених задач у магістерській роботі використовувалися методи теоретичної електротехніки, математичний апарат теорії диференціальних та інтегральних рівнянь, методи побудови алгоритмів та організації комп’ютерних обчислень при моделюванні електричних кіл, що містять різнорідні елементи.. Практичною цінністю магістерської роботи є те, що запропоновані та розвинені методики в перспективі можуть бути застосовані для підвищення ефективності аналізу динамічних процесів в лініях електропередач великої протяжності, ліній зв’язку високошвидкісних електронних пристроїв, які внаслідок широкого частотного спектру сигналів, що передаються, розглядаються як лінії з розподіленими параметрами, різного роду перетворювальних пристроях нетрадиційних та відновлюваних джерел живлення, засобах малої енергетики тощо. Також можуть бути використані в аналізі перехідних процесів в сучасних перетворювачах з напівпровідниковими вентильними елементами
URI:	https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/8978
Appears in Collections:	141 Електрична інженерія (Електротехнічні системи електроспоживання)
Files in This Item:
File	Description	Size	Format
ВКРМ_ТИРСІН_2024.pdf Restricted Access		1.78 MB	Adobe PDF	View/Open Request a copy
Show full item record
Extracted text
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ 
ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ 
Факультет  електронних  технологій, автотранспорту та машинобудування 
(назва факультету) 
Кафедра електротехнічних систем 
(повна назва кафедри) 
       
 «До захисту допущено» 
Завідувач кафедри ЕТС 
Олександр СИТНИК 
______________________ 
“_____” __________2024 р. 
 
 
Кваліфікаційна робота 
на здобуття ступеня вищої освіти магістра 
 
на тему:  
«Дослідження та порівняльний аналіз методів моделювання динамічних 
процесів в електричних колах з різнорідними елементами» 
 
 
Виконав: здобувач вищої освіти  2  курсу, групи мЕСЕ–34 
Спеціальності: 141 «Електроенергетика, електротехніка та електромеханіка» 
(шифр і назва напряму підготовки, спеціальності) 
 
 
 
Тирсін Олексій Ростиславович ____________ 
(прізвище, ім’я, по-батькові здобувача вищої освіти ) (підпис) 
   
Науковий керівник к.т.н., доцент Костянтин КЛЮЧКА ____________ 
(наук. ступінь, вчене звання  власне ім’я ПРІЗВИЩЕ) (підпис) 
   
Нормоконтроль к.т.н., доцент Костянтин КЛЮЧКА ____________ 
(наук. ступінь, вчене звання  власне ім’я ПРІЗВИЩЕ) (підпис) 
   
 
 
Засвідчую, що у цій кваліфікаційній роботі немає запозичень з праць інших авторів 
без відповідних посилань. 
Здобувач вищої освіти ______________ 
(підпис) 
 
 
Черкаси 2024 р.  
ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ 
ФАКУЛЬТЕТ ЕЛЕКТРОННИХ ТЕХНОЛОГІЙ, АВТОТРАНСПОРТУ  
ТА МАШИНОБУДУВАННЯ 
Кафедра електротехнічних систем 
 
Рівень вищої освіти – другий (магістерський) 
Спеціальність 141 «Електроенергетика, електротехніка та електромеханіка» 
                                                                                         (код і назва) 
 
ЗАТВЕРДЖУЮ 
Завідувач кафедри ЕТС 
Олександр СИТНИК 
______________________ 
“_____” __________2024 р. 
 
 
ЗАВДАННЯ 
на магістерську кваліфікаційну роботу здобувачу вищої освіти 
 
Тирсіну Олексію Ростиславовичу 
(прізвище, ім’я, по батькові) 
 
1. Тема магістерської роботи  
 
«Дослідження та порівняльний аналіз методів моделювання динамічних 
процесів в електричних колах з різнорідними елементами» 
 
науковий керівник к.т.н., доцент Ключка Костянтин Миколайович 
                                                           (прізвище, ім’я, по батькові, науковий ступінь, вчене звання) 
затверджені наказом по університету від «16» вересня 2024р. № 272/04 
 
2. Термін подання студентом роботи_____________________________ 
 
3. Об’єкт дослідження –  процеси в електричних колах, що містять різнорідні елементи  
 
4. Предмет дослідження –  методи і засоби математичного і комп’ютерного моделювання 
в електричних колах з різнорідними елементами 
 
5. Перелік завдань, які потрібно розробити: 
− удосконалення методики формування математичних моделей різних класів 
електричних кіл, що містять різнорідні елементи; 
− пошук оптимальних чисельних методів та алгоритмів розв'язання інтегральних 
рівнянь на тривалих інтервалах, що допускає регулювання точності отримуваного 
розв’язку, їх розвиток та адаптування до застосування апарату інтегральних рівнянь; 
− розробка і реалізація в алгоритмах та програмних засобах методів аналізу 
перехідних процесів в електричних колах з різнорідними елементами, в т. ч. і з 
застосуванням інтегральних динамічних моделей, розв’язати модельну задачу 
 
6. Перелік ілюстративного матеріалу − у вигляді презентації  
 
7. Перелік публікацій – у вигляді статті чи тез доповіді на конференції   
 
8. Дата видачі завдання «17» вересня  2024 р. 
 
 
Календарний план 
 
Термін виконання 
№ Назва етапів  виконання  
етапів магістерської Примітка 
з/п магістерської роботи 
роботи 
1 Аналіз літератури по темі  магістерської роботи  17.09.2024–01.10.2024  
Складання попереднього плану і структури 02.10.2024–08.10.2024 
2  
магістерської роботи. Узгодження з керівником 
3 Вступ. Підготовка матеріалів по розділу 1 09.10.2024–14.10.2024  
4 Підготовка матеріалів по розділу 2  15.10.2024–20.10.2024  
5 Підготовка матеріалів по розділу 3 21.10.2024–01.11.2024  
6 Підготовка матеріалів по розділу 4 02.11.2024–08.11.2024  
7 Підготовка матеріалів по розділу 5 09.11.2024–15.11.2024  
Підготовка остаточної версії магістерської 16.11.2024–29.11.2024 
8  
роботи. Узгодження з керівником 
Підготовка доповіді і презентації. Підготовка до 30.11.2024–15.12.2024 
9  
захисту 
10 Захист магістерської роботи 16.12.2024–18.12.2024  
 
 
 
 
Здобувач вищої освіти            Олексій ТИРСІН 
(підпис) (Власне ім’я ПРІЗВИЩЕ) 
   
Науковий керівник роботи           Костянтин КЛЮЧКА 
(підпис) (Власне ім’я ПРІЗВИЩЕ) 
 
3 
РЕФЕРАТ 
 
Повний обсяг магістерської роботи складає 117 сторінок, у тому числі  
18 рисунків і 3 таблиць, список використаних джерел, що містить 43 
найменувань на  6-ти  сторінках. 
Метою магістерської роботи є розробка та розвиток методів, 
алгоритмічних засад і програм для комп’ютерів задля дослідження процесів в 
електричних колах, що містять різнорідні елементи, які дозволяють отримати 
розв’язок як в чисельному, так і в аналітичному вигляді, в т. ч. і на основі 
використання інтегральних рівнянь, як основної моделі. 
Для розв’язування поставлених задач у магістерській роботі 
використовувалися методи теоретичної електротехніки, математичний апарат 
теорії диференціальних та інтегральних рівнянь,  методи побудови алгоритмів 
та організації комп’ютерних обчислень при моделюванні електричних кіл, що 
містять різнорідні елементи.. 
Практичною цінністю магістерської роботи є те, що запропоновані та 
розвинені методики в перспективі можуть бути застосовані для підвищення 
ефективності аналізу динамічних процесів в лініях електропередач великої 
протяжності, ліній зв’язку високошвидкісних електронних пристроїв, які 
внаслідок широкого частотного спектру сигналів, що передаються, 
розглядаються як лінії з розподіленими параметрами, різного роду 
перетворювальних пристроях нетрадиційних та відновлюваних джерел 
живлення, засобах малої енергетики тощо. Також можуть бути використані в 
аналізі перехідних процесів в сучасних перетворювачах з 
напівпровідниковими вентильними елементами 
.Ключові слова: динамічні процеси, різнорідні елементи, математичні 
моделі, інтегральні рівняння, чисельні методи 
4 
 
ЗМІСТ 
стор. 
ПЕРЕЛІК УМОВНИХ ПОЗНАЧЕНЬ, СИМВОЛІВ,   
СКОРОЧЕНЬ І ТЕРМІНІВ……………………………………………..…… 6 
ВСТУП……………………………………………..………………………… 7 
РОЗДІЛ 1  
ПЕРЕХІДНІ ПРОЦЕСИ В ЕЛЕКТРИЧНИХ КОЛАХ, ЩО МІСТЯТЬ  
РІЗНОРІДНІ ЕЛЕМЕНТИ ТА МЕТОДИ ЇХ РОЗРАХУНКУ….................. 12 
 1.1 Засади моделювання динамічних процесів в електричних колах,  
що містять елементи з розподіленими параметрами..………….…… 12 
 1.2 Застосування елементів з нелінійними характеристиками, як  
основний спосіб перетворення параметрів електричної енергії…….  28 
 1.3 Постановка задачі дослідження…………………………………... 35 
 Висновки до розділу 1…………………………………………………. 36 
РОЗДІЛ 2  
ОГЛЯД НЕТРАДИЦІНИХ ПІДХОДІВ АНАЛІЗУ ДИНАМІЧНИХ  
ПРОЦЕСІВ В ЕЛЕКТРИЧНИХ КОЛАХ З РІЗНОРІДНИМИ  
ЕЛЕМЕНТАМИ…………………………………………………………….. 37 
 2.1 Особливості використання інтегральних моделей  перехідного  
процесу в електричних колах з елементами з розподіленими  
параметрами…………………………………………………………… 37 
 2.2 Аналіз альтернативних способів отримання рівнянь  
електричних кіл з нелінійними елементами …………………..……. 41 
 2.3 Огляд підходу до формування математичних моделей  
електричних кіл з елементами, що мають суттєві нелінійності на  
основі застосування інтегральних рівнянь ……………..…………... 44 
 Висновки до розділу 2………………………………………………… 55 
РОЗДІЛ 3  
ФОРМУВАННЯ УЗАГАЛЬНЕНОГО ПІДХОДУ ДО МОДЕЛЮВАННЯ  
 
ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ З РІЗНОРІДНИМИ ЕЛЕМЕНТАМИ.……..….….... 56 
5 
 
 3.1 Основні засади підходу………………………………………...…. 56 
 3.2 Аналіз підходів до побудови єдиної математичні моделі кіл з  
різнорідними елементами..……………….….….................................. 57 
 3.3 Чисельно-аналітичні методи  аналізу моделей мереж…..……… 62 
3.4 Формування моделі мережі………………………………………. 65 
 Висновки до розділу 3………………………………………………... 75 
РОЗДІЛ 4  
ЗАСТОСУВАННЯ ЧИСЕЛЬНИХ МЕТОДІВ РОЗВ᾿ЯЗАННЯ  
ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ВОЛЬТЕРРИ…………………..……………. 76 
 4.1 Застосування інтегральних рівнянь Вольтерри та їх чисельна  
реалізація …………..………………………………………………….. 76 
 4.2 Чисельні методи та алгоритми, що використовуються при  
аналізі перехідних процесів в електричних колах за інтегральними  
моделями ……………………………………………………………… 87 
 Висновки до розділу 4………………………………………………...  97 
РОЗДІЛ 5  
СТВОРЕННЯ КОМПЮТЕРНОЇ ПРОГРАМИ, ДЛЯ ПРОВЕДЕННЯ  
АНАЛІЗУ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ З РІЗНОРІДНИМИ ЕЛЕМЕНТАМИ  
НА ОСНОВІ ЗАСТОСУВАННЯ ІНТЕГРАЛЬНИХ МОДЕЛЕЙ…………. 98 
 5.1 Розробка комп’ютерної програми в середовищі MATLAB для  
чисельного розрахунку інтегральних рівнянь……………………….. 98 
 5.2 Текст m-файлу……………………………………………………... 98 
 5.3 Розв'язування прикладної задачі………………………………….. 101 
 Висновки до розділу 5………………………………………………… 109 
ВИСНОВКИ………………………………………………………………….. 110 
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ…………………………………… 112 
 
6 
 
ПЕРЕЛІК УМОВНИХ ПОЗНАЧЕНЬ, СИМВОЛІВ,  
СКОРОЧЕНЬ І ТЕРМІНІВ 
  
БФПК багатофункціональні пристрої керування 
БСМ базова структурна матриця 
 ЕРС електрорушійна сила 
ІР інтегральні рівняння 
ІДР інтегро-диференціальні рівняння 
ІДМ інтегральні динамічні моделі 
 ІР інтегральне рівняння 
КП кусково-постійна 
КЛ кусково-лінійна 
КЛР кусково-лінійна-розщеплена 
ЛБП лінійний багатополюсник 
НВП напівпровідникові 
ПК персональний комп’ютер 
 СІР система інтегральних рівнянь 
IGBT Insulated Gate Bipolar Transistor (біполярний транзистор з 
ізольованим затвором) 
FET field effect transistor (польовий транзистор) 
МОSFET metal oxide semiconductor field effect transistor (польовий 
транзистор з ізольованим затвором) 
7 
 
ВСТУП 
 
Актуальність теми. Подальше вивчення форм перебігу перехідних 
процесів в електричних колах з різнорідними елементами (лінійними та 
нелінійними, із зосередженими параметрами та з розподіленими і т. п.) є 
однією з найбільш важливих задач теоретичної електротехніки.  
Особлива увага до вказаних питань викликана значним розмаїттям 
практичних задач, пов’язаних з проблемою підвищення ефективності 
енергетичних процесів, що зумовлюється зростанням обсягів електроенергії, 
використовуваної у перетвореному вигляді та її передавання на значні 
відстані, розширення різновидів навантажень різних потужностей та 
функціонального призначення, живлення яких здійснюється в широкому 
діапазоні зміни параметрів напруги та струму тощо.  
Так, наприклад, для розв’язання задач ефективного передавання 
енергії на великі відстані, використовуються математичні моделі, аналогічні 
як і при аналізі динамічних режимів в довгих лініях. Також з дослідженнями 
перехідних процесів в лініях електропередачі пов’язана проблема вивчення 
грозових та комутаційних перенапруг у високовольтних лініях 
електропередач енергетичних систем. 
Сьогодні по всьому світі проектуються, зводяться та експлуатуються 
багато тисяч кілометрів ліній електропередач високої та надвисокої напруги 
від 500 до 1500 кВ. Використання високих і надвисоких напруг в 
електроенергетичних системах, вимагає вирішення складних науково-
технічних задач. Значна увага повинна бути надана комплексу питань, 
пов’язаних з електричною ізоляцією, а, значить, з розрахунком перенапруг. 
Причому, необхідно знати не тільки амплітуду цих перенапруг, але і їх 
форму тривалість тощо. Сучасні методи аналізу перехідних процесів в довгих 
лініях повинні враховувати також і можливість з’єднання ліній в мережі 
складної структури. 
8 
Також, слід відзначити, що на протязі суттєвого часового проміжку, 
можна констатувати досить істотне розширення сфер застосування різних 
систем перетворення електроенергії, що містять різноманітні типи силових 
нелінійних елементів. Досить значне число електричних кіл, функціонування 
яких зумовлено нелінійними процесами, являють собою ланцюги з силовими 
вентильними елементами. Ці елементи породжують дискретну дію, 
володіють високим коефіцієнтом перетворення енергії, мають незначні  
втрати під час регулювання її параметрів. Негативною стороною їх 
використання може бути відчутне спотворення форми кривої напруги та 
(або) струму. Такі спотворення, в свою чергу, створюють негативний вплив 
на функціонування суміжного електротехнічного обладнання, яке може бути 
чутливим до «гармонічності» напруги мережі живлення. Негармонічність 
напруги та струму в колах з нелінійними елементами дещо ускладнює 
дослідження процесів в енергетичних мережах, зокрема оцінку якості 
електричної енергії, ефективності її передачі, перетворення та споживання 
тощо.  
Зважаючи на значну важливість проблеми підвищення якості 
електричної енергії, ефективності її передачі, перетворення та споживання, 
постає потреба детального аналізу і оптимізації енергетичних процесів в 
колах з силовими нелінійними елементами з вентильними характеристиками.  
Основними елементами силових перетворювальних пристроїв є 
електричні вентилі − силові напівпровідникові прилади, які працюють в 
ключовому режимі, ними можуть бути біполярні та польові (FET) 
транзистори, IGBT транзистори, тиристори різних типів тощо. Важливість 
застосування та специфіка ключових елементів, як суттєво нелінійних 
елементів електричних кіл, стала причиною широкого розвитку науково-
дослідних робіт по моделюванню, аналізу та синтезу нелінійних 
перетворювачів різних типів. 
9 
Вище вказаним питанням присвячені наукові роботи багатьох вчених 
з різних країн світу: Г.Є. Пухова, А.К. Шидловського, М.О. Костіна, 
К.О. Липківського, О.О. Маєвського, І.М. Чиженка, Г.Г. Півняка, 
І.В. Волкова, П.Д. Андрієнка, О.І. Денисова, В.С. Руденка, В.І. Сенька, 
П.Г. Стахіва, В.С. Федія, А.І. Долгінова, Р.І. Караева, Я.Б. Кадимова, 
Л.В. Б᾿юлея, О.І. Безносової, Л. Бержерона та багатьох інших, як з України 
так і іноземних. 
Вище написане свідчить, що побудова математичних моделей 
електричних кіл з різнорідними елементами та методів їх дослідження, 
орієнтованих на розрахунок динамічних режимів електричних кіл, може 
вважатися актуальним завданням в галузі теоретичної електротехніки. 
Мета та задачі дослідження. Відповідно до вищевикладеного, метою 
магістерської роботи є розробка та розвиток методів, алгоритмічних засад і 
програм для комп’ютерів задля дослідження процесів в електричних колах, 
що містять різнорідні елементи, які дозволяють отримати розв’язок як в 
чисельному, так і в аналітичному вигляді, в т. ч. і на основі використання 
інтегральних рівнянь, як основної моделі. 
Для досягнення цієї мети необхідно знайти розв’язок такого переліку 
науково-технічних  задач: 
− удосконалення та розвиток методики формування математичних 
моделей різних класів електричних кіл, що містять різнорідні елементи; 
− пошук оптимальних чисельних методів та алгоритмів розв'язання 
інтегральних рівнянь на тривалих інтервалах, що допускає регулювання 
точності отримуваного розв’язку, їх розвиток та адаптування до застосування 
апарату інтегральних рівнянь; 
− розробка і реалізація в алгоритмах та програмних засобах методів 
аналізу перехідних процесів в електричних колах з різнорідними елементами, 
в т. ч. і з застосуванням інтегральних динамічних моделей, розв’язати 
модельну задачу. 
10 
Об’єктом дослідження є процеси в електричних колах, що містять 
різнорідні елементи. 
Предметом дослідження є методи і засоби математичного і 
комп’ютерного моделювання в електричних колах з різнорідними 
елементами. 
Методи дослідження. Для вирішення поставлених задач у 
магістерській роботі використовувалися методи теоретичної електротехніки, 
математичний апарат теорії диференціальних та інтегральних рівнянь,  методи 
побудови алгоритмів та організації комп’ютерних обчислень при моделюванні 
електричних кіл, що містять різнорідні елементи. 
Наукова новизна одержаних результатів. У ході вирішення по-
ставлених задач автором отримано наступні наукові результати. 
1. Проведена систематизація методів моделювання динаміки процесів 
у складних електричних колах, що містять різнорідні елементи. 
2. Визначено та обґрунтовано доцільність створення нетрадиційних 
методів та засобів математичного та комп’ютерного моделювання 
динамічних  процесів у електричних колах широкого класу в т. ч. кіл з 
різнорідними елементами. 
3. Отримали подальший розвиток методи отримання інтегральних 
моделей, досліджуваних електричних кіл та алгоритмічні основи машинного 
моделювання динамічних процесів електричних ланцюгів розширеного 
класу. 
4. Розроблена комп’ютерна програма чисельної реалізації для 
комп’ютерного моделювання електричних кіл з різнорідними елементами на 
основі ІДМ. 
Практична цінність. Теоретичні результати магістерської роботи 
реалізовані в алгоритмах і програмах, які дозволяють проводити дослідження 
через моделювання динамічних процесів електричних схем, що містять 
різнорідні елементи. Запропоновані та розвинені методики в перспективі  
можуть бути застосовані для підвищення ефективності аналізу динамічних 
11 
процесів в лініях електропередач великої протяжності, ліній зв’язку 
високошвидкісних електронних пристроїв, які внаслідок широкого 
частотного спектру сигналів, що передаються, розглядаються як лінії з 
розподіленими параметрами, різного роду перетворювальних пристроях 
нетрадиційних та відновлюваних джерел живлення, засобах малої енергетики 
тощо. Також можуть бути використані в аналізі перехідних процесів в 
сучасних перетворювачах з напівпровідниковими вентильними елементами у 
складі мікроенергетичних систем. Розроблені алгоритми можуть бути 
ефективно долучені при розв’язанні інтегральних рівнянь, зокрема при 
аналізі перехідних процесів в колах з ідеальними комутаторами. 
Апробація роботи. Основні засади роботи доповідалися, та 
обговорювалися під час студентської науково-практичної конференції «Дні 
студентської науки ЧДТУ» (Черкаси, 23–24 квітня 2024 р.). 
Публікації. За результатами проведених досліджень було 
надруковано наукову працю [43]. 
Структура магістерської роботи. Робота складається з вступу, п’яти 
розділів, висновку і списку використаної літератури. Робота містить 117 
сторінок друкованого тексту, має 18 рисунків і 3 таблиці. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
РОЗДІЛ 1  
ПЕРЕХІДНІ ПРОЦЕСИ В ЕЛЕКТРИЧНИХ КОЛАХ,  
ЩО МІСТЯТЬ РІЗНОРІДНІ ЕЛЕМЕНТИ  
ТА МЕТОДИ ЇХ РОЗРАХУНКУ 
 
1.1 Засади моделювання динамічних процесів в електричних 
колах, що містять елементи з розподіленими параметрами 
Найчастіше аналіз перехідного процесу в електричному колі, що 
містить різнорідні елементи, з математичної  точки зору полягає у 
формуванні та вирішенні диференціальних рівнянь її стану. 
Загальновідомо, що електромагнітні та електромеханічні явища 
електроенергетичних систем та їх елементів у загальному випадку 
описуються системами нелінійних інтегро-диференціальних (ІДР) рівнянь. 
Різноманітні  практичні задачі описуються звичайними  диференціальними 
рівняннями, якщо причинно-наслідкові зв’язки досліджуваних явищ у 
конкретних розрахункових умовах можна описати функціональними 
зв’язками з однією незалежною змінною.  
У найбільш простих випадках, ці рівняння лінійні з постійними 
коефіцієнтами. Так можна говорити, якщо ми не враховуємо залежності 
параметрів складових елементів систем від сили та інтенсивності перебігу 
процесів та (або), що ці параметри є усталеними в часі. У випадку якщо 
параметри елементів є функціями часу, тоді говоримо, що використовуємо 
лінійні рівняння зі змінними коефіцієнтами (рівняння з параметром) [4, 18]. 
При проведенні дослідження електроенергетичних систем та їхніх 
елементів основними є дві задачі [1]:  
1) визначення кількісних характеристик явищ, точніше встановлення у 
тій чи іншій формі (аналітичній, числовій, графічній) залежностей їхніх 
фізичних величин від координат простору та часу;  
2) вивчення в основному якісної сторони явищ – як стійкості режимів 
електроенергетичної системи. 
13 
Друга задача міститься у першій. Але в складних випадках її не 
завжди можна розв'язати методами, що застосовуються під час розв'язування 
першої; крім цього, внаслідок особливих умов формулювання другої задачі 
стосовно електроенергетичних систем вона звичайно є самостійною у 
методологічному відношенні. 
Перша задача в математичному розумінні у загальному випадку 
зводиться до розв'язування скінченних і диференціальних рівнянь (задача 
Коші чи крайова задача). В окремому випадку (для усталених режимів) вона 
часто зводиться до розв'язування нелінійних скінченних рівнянь чи для 
лінійних систем у задачах теорії кіл – до рівнянь у комплексній площині 
(символічний метод). 
Другу задачу з математичного боку можна охарактеризувати як задачу 
оцінки стійкості розв'язання вказаних вище рівнянь. При цьому, якщо 
розглядаються неглибокі збурення системи, задача часто розв'язується 
шляхом лінеаризації її диференціальних рівнянь, які під час дослідження 
стійкості звичайно нелінійні.  
Під час розв’язання практичних задач по дослідженню електричних 
систем, а саме коли є вплив навколишнього середовища у вигляді збурення, 
постає потреба зважати на залежність характеристик та властивостей 
досліджуваних систем від інтенсивності перебігу процесів. При таких 
допущеннях поточний стан електричних систем неможливо описати 
лінійними рівняннями і вони вже повинні бути описані нелінійними 
скінченними та диференціальними або інтегральними рівняннями. Як 
правило на основі фізичних законів, що лежать в основі функціонування 
системи спочатку отримуються ІДР, котрі вже далі тим чи іншим способом 
перетворюють в диференціальні або інтегральні для подальшого розв’язання. 
Крім того при аналізі електромагнітних перехідних процесів в 
окремих випадках постає потреба зважати на розподіленість параметрів, що 
в підсумку вимагає використовувати диференціальні рівняння в частинних 
похідних (відносяться до гіперболічного типу). Також такого підходу 
14 
вимагає розв'язання задач аналізу електромагнітного поля, при цьому 
використовуємо диференціальні рівняння у частинних похідних (відносяться 
як до еліптичного та і гіперболічного типу). 
Електромагнітні перехідні процеси в колах з різнорідними 
елементами, зокрема з елементами з розподіленими параметрами, 
описуються диференціальними рівняннями в частинних похідних: 
гіперболічного й еліптичного типу. В багатьох випадках гіперболічні 
рівняння (особливо в попередній період) називають телеграфними 
рівняннями, їх вигляд такий: 
 
u(l) i(t)
+ Ri(t) + L = 0,
l t
                                   (1.1) 
i(l) u(t)
+Gu(t) +C = 0,
l t
 
де R,  L, G, C – погонні (питомі на одиницю довжини) характеристики лінії з 
розподіленими параметрами. 
 
Аналогічні рівнянням (1.1) математичні моделі використовуються для 
опису численних об’єктів з розподіленими параметрами в самих 
різноманітних галузях техніки. Тому не випадково так багато робіт в 
електротехніці, математичній фізиці та інших областях науки присвячено як 
дослідженням, так і методам розв’язання таких рівнянь [34, 35, 36, 37]. 
Рівняння виду (1.1) можуть бути застосовані для проведення 
моделювання електромагнітних процесів у електричних схемах, що містять 
різнорідні елементи, а саме елементи з розподіленими параметрами. В 
практичному застосуванні такими елементами можуть бути: лінії 
електропередачі, електричні машини, трансформатори і т. п. Еліптичні 
рівняння, наприклад у формі рівнянь Лапласа та Пуассона, застосовуються 
під час розв’язування задач теорії електромагнітного поля. 
Використання чисельних методів дозволяє розв’язувати складні задачі 
15 
розрахунку перехідних процесів у колах з розподіленими параметрами з 
врахуванням багатьох впливаючих чинників. При складанні алгоритмів 
розв’язання задачі можуть бути використані згадані раніше чисельні схеми 
(наприклад, розв’язання диференціальних, інтегральних чи алгебраїчних 
рівнянь), налагодження програм та отримання чисельних розв’язків при 
цьому вимагає значних затрат часу. 
Так, наприклад, метод скінченних різниць [18, 19], один з найбільш 
широко розповсюджених чисельних методів розв’язання рівняння (1.1) часто 
приводить до громіздких процедур обчислень. В деяких випадках, особливо 
при розв’язанні систем рівнянь високих порядків, метод скінченних різниць 
взагалі не змогу отримати чисельно стійкого розв’язку [19].  
Вибір того чи іншого підходу до моделювання перехідного процесу в 
колах з розподіленими параметрами цілком визначається характером задачі, 
що розглядається. 
Методи розв’язання телеграфних рівнянь в частинних похідних 
поділяють на хвильові методи [34, 40] і методи, що не враховують хвильовий 
характер перехідного процесу [40].  
Обидва зазначені підходи характеризуються як багатьма позитивними 
властивостями, так і деякими негативними. У якості прикладу, хвильові 
методи володіючи «фізичністю» представлення перехідного процесу, в той 
же час мають певні недоліки, пов’язані зі складністю розгляду перехідного 
процесу на достатньо тривалих інтервалах часу, неможливістю 
представлення розв’язку в аналітичному вигляді на певному інтервалі. З 
іншого боку, методи, що не враховують хвильовий характер процесів, 
дозволяють (не простежуючи процесів розповсюдження хвиль в системі) 
розрахувати перехідний процес в лінії. При цьому можливе використання 
методів і підходів, розроблених для систем із зосередженими параметрами, 
застосування готових алгоритмів і програм, наприклад підходи, засновані на 
методі Рунге-Кутти, операторному методі і т. п. 
Однак, методи розрахунку перехідних процесів в ланцюгах з 
16 
розподіленими параметрами можуть бути класифіковані і за іншими 
ознаками. Так і хвильові методи і методи, що не враховують хвильовий 
характер в перехідному процесі можуть бути як аналітичними так і 
чисельними. У свою чергу, аналітичні методи можна розділити на класичні і 
операторні, в залежності від методу отримання аналітичного рішення. 
При вирішенні задач аналітичними методами в більшості випадків 
неминуча спрощена постановка. У той же час відкидання деяких 
другорядних факторів робить якісну картину більш яснішою. На проміжній 
ступені розрахунку виявляється роль окремих факторів і параметрів. При 
цьому представляється можливість оцінки необхідності подальшого етапу 
розрахунку за результатами попереднього. Для випадків, коли можна 
отримати аналітичний розв'язок задачі з задовільною точністю, значно 
полегшується фізичне тлумачення результатів. При аналітичному вирішенні 
особливо трудомістким є нефомалізуємий процес виведення і розв’язання 
розрахункових рівнянь, а ПК відводиться допоміжна другорядна роль. При 
цьому можливе застосування відносно малопотужних ПК. Застосування ж 
чисельних методів дозволяє вирішувати більш складні завдання з 
урахуванням різноманітних впливаючих факторів. Розробка математичної 
моделі при цьому ведеться у формі, що найбільш сприятлива для чисельного 
розв’язання. При складанні алгоритмів розв’язання задачі можуть бути 
використані вже раніше розроблені чисельні схеми (наприклад, розв’язання 
диференціальних, інтегральних чи алгебраїчних систем рівнянь), 
налаштування програм та отримання чисельних розв’язків  при цьому доволі 
часто вимагає значних затрат часу. 
Обрання того чи іншого підходу до моделювання перехідного процесу 
в колах з розподіленими параметрами цілком визначається характером 
задачі, що розглядається. 
В інженерній практиці для задач аналізу перехідних процесів в довгих 
лініях хвильові методи знайшли саме широке розповсюдження [34]. 
Вони засновані на представленні перехідних процесів в лініях без 
17 
втрат у вигляді нескінченного ряду падаючих та відбитих хвиль. Такі методи 
базуються на роботах Л.В. Б’юлея [34].  
Система телеграфних рівнянь для лінії без втрат перетворюється в 
диференціальне рівняння в частинних похідних гіперболічного типу – 
хвильове рівняння 
 
2u(l) 2u(t)
= LС .                                           (1.2) 
l2 t2
 
До хвильових методів відносяться також метод біжучих хвиль [20] та 
метод характеристик [26, 34]. На початковому етапі розвитку хвильові 
методи використовувались в основному в графоаналітичних розрахунках 
перехідного процесу в лінії, які при розгляді на досить тривалому інтервалі 
часу хоча і є достатньо простими, однак вимагають проведення великого 
числа обчислень. Застосування хвильових методів для отримання 
аналітичного рішення можливе лише в деяких найпростіших випадках, для 
більшості задач, хвильові методи застосовуються як основа для побудови 
чисельних схем. 
В [20] розглядається застосування методу біжучих хвиль, що 
передбачає при розрахунку кожного вузла накладання приростів падаючих і 
відбитих хвиль. Застосування методу еквівалентної хвилі дозволяє поширити 
принцип накладання хвиль на випадок, коли в схемі є кілька взаємозв’язаних   
ділянок ліній. З обчислювальної точки зору трудомісткість аналізу 
визначається складністю схеми, (наприклад, наявністю проміжних вузлів, де 
відбуваються відбиття та заломлення) або тривалістю часу розрахунку, так як 
кожне відбиття веде до відчутного ускладнення розрахункових формул. Тому 
при використанні методу біжучих хвиль для більшості завдань аналізу 
перехідних процесів доцільніше застосовувати чисельні методи розрахунку, 
що включають рішення диференціальних рівнянь в вузлах, ніж операційний 
метод отримання розрахункових формул в аналітичному вигляді. Основним 
18 
недоліком методу біжучих хвиль є вимога виконання розрахунків на 
кожному етапі алгоритму з нульових початкових умов. Тобто визначення 
перехідного процесу в кожній точці зводиться до розв’язання самостійної 
задачі.  
Для спрощення алгоритму розрахунку при використанні методу 
біжучих хвиль іноді застосовують заміну реактивних елементів L і С, 
включених в вузлах, відрізком лінії без втрат відповідно короткозамкнутої чи 
розімкнутої на кінці [37] 
Розрахунок перехідного процесу методом біжучих хвиль іноді 
називають розрахунком приростів, оскільки по суті справи напругу в 
кожному вузлі визначається сумою приростів хвиль, що набігали на вузли. 
Підсумовування приростів це і є застосування принципу накладання, який 
справедливий тільки для лінійних ланцюгів. 
Метод характеристик представляє інший спосіб розгляду хвильового 
процесу в лінії, в якому на відміну від попереднього, обчислюються повні, 
сумарні значення хвиль струмів і напруг. При цьому стає можливим 
дослідження розподілених систем з нелінійними елементами. 
Складність обчислювального процесу при використанні методу 
характеристик залежить від того, які елементи включені на початку і в кінці 
лінії. Так, включення реактивних елементів по кінцям лінії призводить до 
необхідності на кожному кроці вирішувати диференціальне рівняння. 
Рішення диференціальних рівнянь є окремим і самостійним завданням і може 
проводитися за допомогою відомих чисельних методів, розроблених для 
ланцюгів з зосередженими параметрами, наприклад, із застосуванням методу 
Рунге-Кутти  [18, 27],  чисельним інтегруванням диференціальних рівнянь за 
методом трапецій або методу Ейлера-Коші. Вибір того чи іншого методу 
чисельного інтегрування визначається необхідною точністю і бажаною 
простотою організації обчислювального процесу. 
Крім того метод можливо застосувати тільки для лінійних кіл. Метод 
характеристик дає можливість дослідження кіл з розподіленими 
19 
параметрами, що містять також нелінійні елементи [9, 20, 27]. Однак такий 
метод часто є складним при чисельному розв’язанні задачі. 
Загальні недоліки, що властиві як методу біжучих хвиль, так і методу 
характеристик, що до побудови всієї кривої перехідного процесу неможливо 
представити ні її форму, ні момент наступання максимуму.  
До методів розв’язання телеграфних рівнянь, що не враховують 
хвильовий характер процесу в лінії, відносять методи, описані в [34, 36], та 
засновані на приведенні системи з розподіленими параметрами до 
імпульсних систем та використання в якості математичного апарату 
дискретного перетворення Лапласа та z – перетворення [20]. В багатьох 
випадках застосування таких методів є трудомістким, а отримувані розв’язки 
мають вигляд решітчастих функцій, що також не завжди є зручним. 
В [40] наведені методи аналізу перехідного процесу в колах з 
розподіленими параметрами при моделюванні їх еквівалентними 
ланцюговими схемами. Ланцюгова схема містить тільки елементи із 
зосередженими параметрами і розповсюдження хвиль в ній відсутнє. Однак 
при моделюванні практичних задач, для забезпечення прийнятної точності 
отримуваних результатів, необхідно значно збільшувати кількість ланок 
ланцюгової схеми заміщення. Це робить неможливим використання 
ланцюгових схем заміщення для багатьох задач аналізу перехідних процесів 
в довгих лініях.  
Більшість наведених методів не враховують втрат в лініях. 
Врахування таких втрат приводить ще до більшого ускладнення отримання 
розв'язку телеграфних рівнянь [20]. 
До недоліків, властивим хвильовим методам, як методу біжучих 
хвиль, так і методу характеристик, відноситься та обставина, що до побудови 
всієї кривої перехідного процесу не можна уявити заздалегідь ні її форму, ні 
момент настання максимуму. Хоча хвильовий підхід вельми достовірно 
відображає фізичний процес, він не є наочним, тобто не дозволяє охопити 
загальну картину явища. 
20 
Від цього недоліку вільний такий метод вирішення хвильових рівнянь 
(1.2) як метод стоячих хвиль. Довга лінія, що розглядається як ланцюг з 
розподіленими індуктивностями і ємностями, представляється при цьому 
складеною з нескінченного числа коливальних контурів. Інакше кажучи, 
лінія представляється коливальним контуром з великою кількістю власних 
частот. Перехідний процес в лінії при такому підході розглядається як сума 
нескінченного числа вільних коливань з різними частотами і амплітудами 
(стоячих хвиль), які накладаються на складову усталеного режиму. 
Застосування цього підходу дозволяє в ряді випадків полегшити фізичне 
тлумачення результатів, визначивши в процесі обчислень амплітуди, власні 
частоти і коефіцієнти загасання, а отже, скільки частот необхідно 
враховувати для досягнення необхідної точності, на якому напівперіоді 
можна чекати появи максимуму тощо. Щоб знайти частоти власних коливань 
розподіленої системи без втрат, необхідно розв’язати характеристичне 
рівняння. Для розподіленої системи таке рівняння трансцендентне і його 
розв’язок отримують одним з наближених методів. У найпростіших випадках 
можна застосовувати метод ітерацій, в більш складних − метод наближеного 
графоаналітичної побудови частотної характеристики схеми за допомогою 
рівняння чотириполюсника [40] 
Знаходження коренів трансцендентного рівняння, необхідних для 
застосування теореми розкладання представляє значні труднощі, особливо 
при врахуванні втрат [19] У цьому випадку більш ефективним є метод, 
заснований на застосуванні функцій Лаггера, особливо для аналізу довгих 
ліній з реактивним навантаженням. 
Розв’язання, що отримується методом стоячих хвиль, є розкладання 
на основі операційного зображення квазіперіодичної кривої перехідного 
процесу в лінії в ряд Фур'є. Таким чином, цей метод є свого роду варіантом 
частотного методу. При повільній збіжності ряду Фур'є (наприклад, в разі 
прямокутної періодичної кривої), кількість врахованих вільних складових 
зростає. При врахуванні невеликого числа гармонік, метод стоячих хвиль дає 
21 
більш просте рішення, ніж хвильові методи і обсяг обчислень в цьому 
випадку менше. Однак рішення, знайдене підсумовуванням власних 
коливань системи дає добре наближення лише на інтервалах гладкості, не 
даючи можливості розраховувати різкі злами кривої перехідного процесу. 
До методів розв’язання рівнянь (1.1), що не враховують хвильовий 
характер перехідного процесу в лінії, також слід віднести методи, описані і 
засновані на приведенні систем з розподіленими параметрами до імпульсних 
систем і використання в якості математичного апарату дискретного 
перетворення Лапласа і Z – перетворень [18]. При цьому приводяться 
співвідношення як для отримання аналітичного рішення, так і чисельних 
схем для більш складних завдань. Основні труднощі цього підходу пов'язані з 
перебуванням передаточної функції системи і відшукання її полюсів, що стає 
особливо складним, якщо порядок характеристичного рівняння високий. У 
багатьох випадках трудомістким є також процес знаходження оригіналу 
через зворотне дискретне перетворення Лапласа. Рішення знаходять при 
цьому а вигляді решітчастих функцій, також не завжди є зручним. 
В [34] представлені методи аналізу перехідного процесу в догій лінії 
при моделюванні її еквівалентною ланцюговою схемою. Ланцюгова схема 
вміщує лише елементи із зосередженими параметри та розповсюдження 
хвиль в ній відсутнє. Кількість ланок, необхідних для моделювання 
перехідного процесу в лінії [34], визначається співвідношенням 
 
20l
n  t,  
v
 
де n  − кількість ланок, 
l  − довжина лінії, що моделюється, 
v  − швидкість розповсюдження хвилі, 
t  − тривалість фронту (чи спаду). Так, наприклад, при l =650 км 
повітряно ЛЕП і t =0,01 с, що відповідає половині тривалості пробігу хвилі 
22 
вздовж лінії. Необхідна кількість ланок n  44 . 
 
При збільшенні протяжності модельованих ліній, чи коли будуть 
більш жорсткішими вимоги, що пред’являються до точності розрахунків 
різко збільшується кількість ланок еквівалентної ланцюгової схеми 
заміщення. Це робить неможливим використання ланцюгових схем 
заміщення для багатьох задач аналізу перехідних процесів в довгих лініях. 
Більшість методів розрахунку перехідних процесів в лініях з 
розподіленими параметрами, в тому числі хвильові, метод стоячих хвиль і 
методи, засновані на дискретному перетворенні Лапласа, можна застосувати 
для розрахунку ліній без втрат. При хвильовому підході представлення 
перехідного процесу у вигляді накладання падаючих і відбитих хвиль є 
справедливим лише для таких ліній. При застосуванні ж методу стоячих 
хвиль або дискретного перетворення Лапласа врахування втрат значно 
ускладнює завдання. Таким чином деформація і викривлення хвиль, 
викликані активними втратами в лініях вимагають внесення відповідних 
коректив у традиційні методи аналізу. Так, наприклад, активний опір 
проводів і активний витік в довгій лінії можуть враховуватися 
зосередженими параметрами на початку і в кінці лінії  [34, 40], котра 
розглядається як лінія без втрат. Більш точний врахування активних 
розподілених втрат в довгій лінії призводить до необхідності розгляду лінії у 
вигляді рівних відрізків, між якими включаються зосереджені активні опори. 
Розрахунок при цьому значно ускладняється. 
Інший наближений спосіб врахування активних втрат в лінії 
заснований на введенні коефіцієнта згасання [20]. 
Фазову швидкість поширення хвилі вздовж ділянки лінії, а також 
згасання і зміну фази наближено можна представити у вигляді [34]: 
 
1
v  ;  
LC
23 
R C G C
l  ( + ) l;  
2 L 2 L
l  LC  l = . 
 
Дослідження похибок [34], що виникають при використанні першого і 
другого способу врахування втрат показало, що вони приблизно рівноцінні. 
Однак, як перший спосіб врахування втрат, так і другий, пов'язаний із 
застосуванням коефіцієнта згасання є з обчислювальної точки зору досить 
трудомісткими 
В роботі Д.Р. Карсона [16] вперше розглянутий, а в роботах Г.Є. Пухова 
[28, 29, 30] розвинутий підхід до аналізу перехідних процесів в лініях з 
розподіленими параметрами, заснований  на побудові інтегральних моделей для 
аналізу перехідних процесів [28, 29, 30].  
Згідно з цим підходом, лінію з розподіленими параметрами, так само як і 
за любий ланцюг із зосередженими параметрами, розглядаємо у вигляді 
чотириполюсник, що має два вхідні (1-1') і два вихідні затискачі (2-2'), як 
зображено на рис. 1.1.  
 
Рис. 1.1. Чотириполюсник з елементами з  
розподіленими параметрами 
 
У випадку, якщо вихідні зажими 2-2' коротко замкнуті, а між вхідними 
прикладена одинична напруга, між вихідними зажимами протікає струм g11 (t) , а 
між вихідними зажимами струм g21 (t) . 
В такому випадку g11 (t)  називають власною перехідною провідністю 
(функцією) чотириполюсника, а g21 (t)  – зворотною взаємною перехідною 
24 
провідністю (функцією). Нехай тепер вхідні зажими коротко замкнуті, а до 
вихідних зажимів 2-2' прикладена одинична напруга, тоді між останніми протікає 
струм g22 (t) , а між вхідними зажимами протікає струм g12 (t) . Внаслідок 
відсутності внутрішніх джерел енергії справедлива теорема взаємності [28] 
 
g21 (t) = g12 (t) .                                                (1.3) 
 
Три функції g11 (t) , g12 (t) = g21 (t) , g22 (t)  повністю визначають 
властивості чотириполюсника. 
Нехай тепер між вхідними зажимами діє напруга u1(t)  і між вихідними 
зажимами діє напруга u2 (t) . Тоді на основі принципу суперпозицій  i1(t)  на 
початку лінії буде визначатися сумою струмів  
   
i1(t) = i11 (t)+ i12 (t) ,                                            (1.4) 
 
де складова i11 (t)  – визначається тільки напругою u1(t) , а складова i12 (t)  – 
тільки напругою u2 (t) .  
 
Ці складові  струму i1(t)  пов’язані з напругою u1(t)  та  u2 (t) , 
залежностями, отриманими на основі закону Ома-Дюамеля в формі, 
запропонованій Карсоном [34]: 
 
d t d t
i11 (t) =  g11 (t − )u1( )d , i12 (t) =  g12 (t − )u2 ( )d .      (1.5) 
dt 0 dt 0
 
Якщо підставити (1.4) у співвідношення (1.3), отримаємо наступні 
співвідношення для струму i1(t)  
d t d t
i1(t) =  g11 (t − )u1( )d +  g12 (t − )u2 ( )d .             (1.6) 
dt 0 dt 0
25 
В свою чергу, для вихідного струму i2 (t)  справедливі співвідношення: 
 
i2 (t) = i21 (t)+ i22 (t) , 
 
d t
де                                                 i21 (t) =  g21 (t − )u1( )d , 
dt 0
d t
i22 (t) =  g22 (t − )u2 ( )d . 
dt 0
Отже,  
d t d t
i2 (t) =  g21 (t − )u1( )d +  g22 (t − )u2 ( )d .         (1.7) 
dt 0 dt 0
 
Якщо в якості чотириполюсника розглядається довга лінія, то 
рівняння (1.6) та (1.7) описують перехідний процес в ній. В такому випадку 
перехідні визначаються із розв’язання телеграфних рівнянь з такими 
початковими умовами: 
 
g11(t) = i1(t)  коли u , ; 
1(t) =1B u2(t) = 0B
 
g21(t) = i2(t) коли u (t) =1B , u (t) = 0B ; 
1 2
 
g22(t) = i2(t)  коли u1(t) = 0B , u2(t) =1B ; 
 
g12 (t) = i1(t)  коли u (t) = 0B , u (t) =1B . 
1 2
 
Використання описаного підходу має ряд суттєвих переваг. 
Інтегральна математична модель (рівняння (1.6) та (1.7)), ефективно може 
бути застосована для кіл з різнорідними елементами, тобто коли схема 
одночасно має як елементи з  розподіленими параметрами, так і із 
26 
зосередженими параметрами. Таким чином можна бачити, що хвильовий 
характер перехідного процесу в довгих лініях не відбивається на алгоритмі 
обчислювального процесу при аналізі (1.6), (1.7). З цієї точки зору 
пропонований метод слід було б віднести до «нехвильових» методів, з 
властивим даному підходу перевагами обчислювального характеру. Однак, 
перехідні провідності лінії знайдені рішенням телеграфних рівнянь (1.1) є 
носіями інформації про хвильовий характер перехідного процесу, природним 
чином відображаючи фізичні процеси, властиві довгим лініям. Таким чином, 
метод, що розглядався займає проміжне положення посеред хвильових 
методів та методів, які не враховують хвильовий характер процесів. Тобто 
маємо поєднання переваг обох підходів. Використання ідентичних 
математичних моделей до електричних кіл з розподіленими і зосередженими 
параметрами дозволяє побудувати єдині чисельні схеми для аналізу 
перехідних процесів в колах, що включають ті чи інші елементи, не 
вдаваючись в їх фізичну сутність (наприклад, лінії, що включені між вузлами 
із зосередженими елементами). Врахування активних втрат в лінії при такому 
підході не викликає труднощів та не ускладнює процес обчислень. 
Труднощі  такого підходу пов’язані з питаннями розв’язання рівнянь 
(1.6) і (1.7), які являються інтегральними рівняннями Вольтерри [1, 16], 
аналітичний розв’язок яких можливий лише в деяких найбільш простих 
випадках. При використанні таких моделей для дослідження динаміки  
процесів схем з розподіленими параметрами, знаходження аналітичного 
розв’язку навіть для найпростіших задач є неможливим внаслідок 
розривності ядер інтегральних рівнянь Вольтерри, представлених 
перехідними провідностями ліній. Побудова чисельних розв’язань рівнянь 
вигляду (1.6) на необмеженому інтервалі часу також пов'язана з труднощами 
обчислювального характеру викликаними розривністю ядер і накопиченням 
помилки обчислень [13] . 
Наведені в роботах О.І. Безносової [1, 35, 36, 37] обчислювальні схеми 
для розв’язання інтегральних рівнянь Вольтерри, засновані на теорії 
27 
дискретно-безперервних диференціальних перетворень [29] дозволяють 
подолати перераховані труднощі і отримати розв’язки рівнянь (1.6), (1.7) 
стосовно електричних кіл з розподіленими параметрам. 
Наведений метод, будучи чисельно-аналітичним, дозволяє отримати 
розв’язок як в чисельному вигляді, так і представити його на певних 
інтервалах аналітично за допомогою локальних рядів Тейлора, що розширює 
можливості застосування методу і аналізу результатів розрахунку. 
Істотні переваги математичних моделей, заснованих на інтегральному 
законі Ома-Дюамеля у формі, запропонованій Карсоном, відкриваються при 
використанні запропонованого підходу при аналізі перехідних процесів в 
електричних колах, що містять елементи з розподіленими параметрами 
внаслідок використання єдиного підходу та ідентичних обчислювальних 
схем. 
Аналіз перехідного процесу в лініях з розподіленим параметрами на 
основі пропонованого підходу пов'язаний з розв’язанням ряду задач. 
Оскільки математична модель формується у вигляді системи 
інтегральних рівнянь Вольтерри, виникає задача побудови чисельної схеми 
розв’язання такого типу рівняння у відповідності до особливостей 
розв’язуваної задачі. В такому випадку необхідно, щоб використовуваний 
чисельний метод щодо реалізації інтегральних рівнянь Вольтерри зміг 
забезпечити можливість розв’язання задач на практично необмеженому 
інтервалі часу, не викликаючи значного накопичення помилки обчислень, що 
властиво великій  кількості традиційних методів знаходження розв’язання  
інтегральних рівнянь. 
Характерною рисою розв’язуваної задачі є те, що ядра інтегральних 
рівнянь Вольтерри, що описують перехідний процес в лініях з розподіленими 
параметрами, представляють собою функції перехідних провідностей ліній, 
які не є неперервними функціями. Внаслідок цього виникає необхідність 
розробки таких чисельних схем розв’язання, які б дозволяли отримати 
28 
достовірний розв’язок системи інтегральних рівнянь Вольтерри з розривними 
ядрами на інтервалах часу, що вміщують в собі точки розриву функцій. 
Крім того, оскільки знайдені в певні моменти часу струми чи напруги 
в одному вузлі використовуються потів для знаходження струмів чи напруг в 
іншому, бажано мати не тільки чисельний розв’язок системи рівнянь, але і 
можливість певної оцінки адекватності отриманого розв’язку. Це положення 
також накладає певні вимоги на вибір підходу. 
В зв’язку з вищенаписаним, формується основна задача дослідження, 
що полягає в розробці методів, алгоритмів і програмних засобів моделювання 
перехідних процесів в колах з елементами з розподіленими параметрами, що 
дозволяють отримати розв’язання в чисельному вигляді на основі 
інтегральних динамічних моделей. 
Розв’язання такої задачі вимагає розгляду наступних питань: 
− дослідити способи формування динамічних моделей та 
особливості функцій, що входять до їх складу і які визначаються 
властивостями ліній з розподіленими параметрами і примикаючих до них 
ланок із зосередженими параметрами; 
− розробити чисельні алгоритми реалізації інтегральних 
динамічних моделей електричних кіл, що містять елементи з розподіленими 
параметрами; 
– створити програмні засоби для комп’ютерного моделювання 
динамічних процесів в складних електричних колах з різнорідними 
елементами. 
 
1.2 Застосування елементів з нелінійними характеристиками, як 
основний спосіб перетворення параметрів електричної енергії 
Іншими елементами електричного кола, які ми будемо відносити до 
кіл з різнорідними елементами, є елементи з нелінійними характеристиками, 
причому ці нелінійності хоча й можуть бути несуттєвими, які можна 
29 
лінеаризувати, але ми будемо розглядати нелінійні елементи з суттєвими 
нелінійностями, зокрема вентильного типу. 
Спочатку розглянемо деякі загальні питання, що дають можливість 
обґрунтувати  важливість проведення дослідження в цьому напрямі. 
Напівпровідникова перетворювальна техніка на основі застосування 
елементів з нелінійними характеристиками є одним із найбільш 
перспективних напрямів розвитку сучасної електроенергетики, зокрема  
енергетичної електроніки в її складі. 
В якості основних видів напівпровідникових приладів з нелінійними 
характеристиками в перетворювальній техніці застосовуються різних типів 
діоди, тиристори і транзистори. Елементи, які працюють в ключовому 
режимі (провідний, непровідний), часто називаються вентилями або 
силовими вентилями. Таким чином, перетворювачі, виконані на силових 
вентилях, називаються силовими вентильними перетворювачами. 
Перетворювачі на вентильних елементах є основним предметним 
змістом поняття «енергетична електроніка». Перетворювальна техніка вивчає 
питання цілеспрямованого впливу для зміни параметрів електричної енергії, 
а саме: напруги, числа фаз, частоти, включаючи нульову, тобто постійний 
струм і т. п., разом (одночасно) з покращенням якості електроенергії 
(показників якості електроенергії). 
Так, згідно з даними з [32, 33], пристроями перетворювальної техніки 
більш ніж половина електроенергії, що виробляється перетворюється в інші 
види. Із-за цього можна говорити, що роль пристроїв перетворювальної 
техніки в енергозбереженні є визначальною. 
Напівпровідникові елементи силових перетворювачів електричної 
енергії зосереджені в основі сучасного електроприводу та використовуються 
все більш часто й часто. Їх можна зустріти в рухомому складі на електротязі, 
30 
в різного роду електротехнологічних установках, в складі перетворювачів на 
на електростанціях малої та нетрадиційної генерації і т. п. 
Пристрої перетворювальної техніки є основою побутової електроніки. 
Сучасні джерела живлення телевізорів, радіоприймачів, комп'ютерів 
нездійсненні без застосування пристроїв перетворювальної техніки. 
Розповсюдження нелінійних напівпровідникових елементів в 
перетворювальних пристроях зумовлено їх перевагами над іншими засобами, 
а саме малими габаритами, високою швидкодією, достатньою чутливістю, 
надійністю, економічністю тощо. 
Таким чином ефективне проектування та створення якісної 
перетворювальної техніки неможливе без знання теоретичних основ та 
методів аналізу як статичних так і динамічних процесів у електричних колах 
з напівпровідниковими силовими вентильними комутаторами. 
Мова силової перетворювальної техніки базується на трьох «китах»: 
схемах, часових діаграмах і характеристиках силових вентильних приладів. 
Основне застосування силові вентильні перетворювачі знайшли в 
якості джерел живлення різних пристроїв. Сучасний електропривод 
немислимий без вентильних перетворювачів. У ньому органічно зливаються 
електрична машина, вентильний перетворювач і пристрій керування. 
Силові вентильні перетворювачі класифікуються за рядом ознак. 
Наведемо основні з них. 
1. За зв'язком з мережею вентильні перетворювачі діляться на 
перетворювачі: 
а) ведені мережею, в яких процеси відбуваються синхронно з 
частотою мережі; 
б) автономні, які або не пов'язані з мережею, або не залежать від 
частоти мережі. 
2. За призначенням вентильні перетворювачі діляться: 
а) випрямлячі зі змінного в постійний струм; 
31 
б) інвертори з постійного в змінний струм; 
в) частотні перетворювачі, вони перетворюють змінний струм з однієї 
частоти на іншу; 
г) перетворювачі змінної напруги, які змінюють величину напруги без 
зміни її частоти і числа фаз; 
д) перетворювачі кількості фаз, а частота залишається без змін; 
е) компенсатори і активні фільтри, які підвищують якість напруги в 
мережі; 
ж) перетворювачі постійної напруги, що змінюють величину постійної 
напруги; 
з) на генератори імпульсів, формують імпульси довільної форми і 
частоти. 
В нашій магістерській роботі основна увага буде приділятися саме 
схемам на нелінійних елементах  та розгляду методів їх моделювання.  
Далі розглянемо особливості методики моделювання  електричних 
схем з  нелінійними елементами вентильного типу. Загальна методика 
аналізу процесів в електротехнічних пристроях з ключовими елементами 
наведена в [4] та складається з наступних етапів, як показано на рис. 1.2.: 
− вибір моделей елементів принципової схеми пристрою; 
− формування його схеми заміщення; 
− математичний опис електромагнітних процесів, що відбуваються в 
схемі заміщення, тобто проводимо формування математичної моделі цих 
процесів; 
− рішення одержаних рівнянь для визначення режиму роботи 
елементів. 
Особливість цих етапів, для випадку аналізу процесів в 
напівпровідникових перетворювачах електричної енергії, є наступною. 
 
32 
 
 
Рис. 1.2. Послідовність дій при моделювання електричних кіл з нелінійними 
елементами вентильного типу 
 
Характерною рисою ключових та вентильних елементів, як базових 
елементів силових вентильних перетворювачів, є те, що в стані провідності  
їх опір буде істотно меншим за опір усіх інших елементів електричного кола, 
а в непровідному стані – істотно більшим. Через цю обставину в теорії 
напівпровідникових перетворювачів найбільш поширеними є різні типи 
ключових моделей силових напівпровідникових приладів: S, RS, RLS, RCS, 
RLCS та інші [4, 8]. Якщо в схему перетворювача крім вентильних та 
ключових елементів входять інші нелінійні або параметричні елементи, 
здійснивши кусково-лінійну апроксимацію ВАХ нелінійного елемента, або 
33 
замінивши безперервну зміну опору параметричного елемента кусково-
постійною (КП), ці елементи також можна замінити відповідними кусково-
лінійними (КЛ) схемами заміщення (тобто ключовими моделями) (рис. 1.3 та 
1.4).  
 
 
 
Рис.1.3. Заміна безперервної змінної опору параметричного елемента кусково-
лінійними схемами заміщення  
 
 
 
 
 
Рис.1.4. Заміна безперервної змінної опору параметричного елемента кусково-
постійними (ключовими) схемами заміщення 
 
34 
Таким чином, у багатьох випадках [32], перетворювач зводять до 
еквівалентної схеми, що містить лише лінійні елементи електричного кола та 
керовані ключі. В моменти комутації ключів в еквівалентній схемі дискретно 
змінюються параметри окремих елементів, або структура електричного 
ланцюга. Подібні електричні ланцюги названо дискретно-лінійними. При 
кожній комутації ключових елементів в ланцюзі виникає перехідний процес. 
Якщо тривалість інтервалів між комутаціями менша від тривалості 
виникаючих при цьому перехідних процесів, матиме місце послідовність 
незавершених перехідних процесів – багатоступінчатий перехідний процес. 
Залежно від характеру змін, що відбуваються в перетворювачах при 
комутаціях, їх дискретно-лінійні схеми заміщення ділять на три типи: 
− з постійними структурою та параметрами; 
− з постійною структурою та змінними параметрами; 
− із змінною структурою. 
Усі різновиди перетворювачів володіють певними характерними 
особливостями. Наприклад, від типу перетворювача та режиму його роботи 
залежить які методи аналізу та розрахунку будуть використані. 
Порівняння існуючих методів аналізу та розрахунку різних типів 
напівпровідникових перетворювачів показує, що найбільш загальним та 
універсальним з цих методів є метод припасовування. Він є точним і дає 
можливість розраховувати перехідні та усталені процеси в різних типах 
перетворювачів як в нормальних, так і аварійних режимах роботи при різних 
видах зовнішніх дій. Основним недоліком метода припасовування є його 
висока трудомісткість. При аналітичних розрахунках висока трудомісткість 
метода припасовування у першу чергу пов’язана з необхідністю визначення 
сталих інтегрування при кожному переході від інтервалу до інтервалу. При 
чисельних розрахунках висока трудомісткість метода припасовування 
пов’язана з необхідністю послідовного розрахунку усіх інтервалів 
35 
багатоступінчатого перехідного процесу, а також забезпечення малого кроку 
інтегрування диференційних рівнянь для збереження стійкості процесу 
обчислень. 
В роботах [27] та інших, було показано та детально проаналізовано 
причини високої трудомісткості метода припасовування та запропоновано 
шляхи її суттєвого зменшення. У загальному випадку [32, 33]  розрахунок 
електромагнітних процесів в дискретно-лінійних схемах заміщення 
перетворювачів методом припасовування складається з наступних етапів. 
1. Виділяють лінійні еквівалентні схеми перетворювача, які існують на 
інтервалах між комутаціями його ключових та вентильних елементів. 
2. Для одержаних еквівалентних схем складають та розв’язують 
диференційні рівняння, які описують перехідні процеси на інтервалах між 
комутаціями. У загальному випадку ці перехідні процеси відбуваються при 
наявності деяких початкових умов в реактивних елементах. Однак, на цьому 
етапі розрахунків ці початкові умови є невідомими і в одержані рішення 
диференційного рівняння входять у загальному вигляді, як невідомі.  
3. Визначають початкові умови на границях інтервалів між 
комутаціями. Для визначення цих початкових умов і використовується метод 
припасовування.  
Порівняльний аналіз існуючих методів [32, 33] розрахунку перехідних 
процесів в силових вентильних перетворювачах на інтервалах між 
комутаціями показує, що основною причиною їх високої трудомісткості при 
аналітичних розрахунках є необхідність визначення сталих інтегрування при 
кожному переході від інтервалу до інтервалу. 
 
1.3 Постановка задачі дослідження 
Беручи до уваги вищенаписане, можна сформулювати основну задачу 
нашого дослідження, яка полягає в розробці методів, алгоритмів і 
36 
програмних засобів моделювання перехідних процесів в електричних колах з 
різнорідними елементами, що дозволить отримати розв’язання в чисельному 
вигляді на основі нетрадиційних (інтегральних) динамічних моделей. 
Розв’язання такої задачі вимагає розгляду наступних питань: 
− дослідити способи формування динамічних моделей та особливості 
функцій, що входять до їх складу і які визначаються властивостями кіл з 
різнорідними елементами; 
− розвинути чисельні алгоритми реалізації інтегральних динамічних 
моделей електричних кіл, що містять різнорідні елементи; 
– створити програмні засоби для комп’ютерного моделювання 
динамічних процесів в складних електричних колах з різнорідними 
елементами. 
 
Висновок до розділу 1 
Здійснений розгляд традиційних методів аналізу динамічних процесів  
в електричних колах з різнорідними елементами, зокрема е елементами з 
розподіленими параметрами та елементами з суттєво нелінійними 
характеристиками дав змогу констатувати, що пошук нових нетрадиційних 
методів та моделей для математичного опису досліджуваних об'єктів являє 
собою перспективний підхід до вирішення мережевих завдань, завдань 
сучасної перетворювальної техніки тощо.  
Виявлено, що задача розробки методів, алгоритмів та програм 
прискореного розрахунку процесів в електричних колах з різнорідними 
елементами приводить до потреби усе більш детального розгляду та аналізу 
причин високої обчислювальної затратності традиційних  методів та способів 
її зниження, як за рахунок вдосконалення способів описання процесів на 
інтервалах, так і за рахунок розбиття процесу розрахунків на певну кількість 
відносно простих процедур, які є однаковими для різних типів 
перетворювачів і легко формалізуються та алгоритмізуються. 
37 
РОЗДІЛ 2  
ОГЛЯД НЕТРАДИЦІНИХ ПІДХОДІВ АНАЛІЗУ ДИНАМІЧНИХ 
ПРОЦЕСІВ В ЕЛЕКТРИЧНИХ КОЛАХ З РІЗНОРІДНИМИ 
ЕЛЕМЕНТАМИ 
 
2.1 Особливості використання інтегральних моделей  перехідного 
процесу в електричних колах з елементами з розподіленими 
параметрами 
В роботі [35] розглядаються електричні мережі, які складаються з 
певним чином з'єднаних ліній з розподіленими параметрами з приєднаними 
до вузлових точок елементами з зосередженими параметрами. До подібних 
мереж можуть бути віднесені електроенергетичні мережі, рейкові мережі, 
мережі з полосковими і коаксіальними лініями тощо. 
Хоча відомі чисельні методи (скінченно-різницеві, хвильові, частотні) 
дозволяють проводити аналіз перехідних процесів в таких мере
жах з певними похибками, але навіть коли аналізуємо досить прості 
мережі постає ряд невирішених проблем при високій розмірності задачі, що 
розв’язується. В такому випадку доводиться багаторазово розв’язувати 
диференціальні рівняння для вузлів, а також виникає питання стосовно 
сумісності математичних моделей окремих частин мережі тощо. 
Застосування відомих форм закону Ома-Дюамеля [30] для ділянок 
ліній мережі разом з підходом відокремлюючихся джерел [30] дозволяє 
побудувати її математичну модель у вигляді системи рівнянь, аналогічних 
системі рівнянь методу вузлових напруг для аналізу електричних ланцюгів, і, 
тим самим, відчутно спростити розрахунки і вирішити ряд проблем 
зазначених вище. Розглянемо фрагмент електричної мережі, зображеної на 
рис.2.1.  
Лінії з розподіленими параметрами показані на рисунку 
триполюсними елементами 1, 2, 3, … , n. Джерела напруг 
u0(t),  u (t),  u (t),  ... ,  u (t)  можуть бути задаючими та розділяючими [37]; 
1 2 n
38 
1(t),  2(t),   (t),  ... ,   (t)  − струми джерел напруг; 
3 n i0(t),  i1(t),  i2(t),  ... ,  in(t)  − 
струми елементів, що приєднані до вузлів мережі, i01(t),  i02(t),  i03(t),  ... ,  i (t)  і; 
0n
i (t),  i (t),  i (t),  ... ,  i (t)  − струми, що протікають в лініях. 
10 20 30 n0
 
 
Рис. 2.1. Фрагмент мережі живлення з розподіленими параметрами 
 
Для кожної х ліній знаходяться власні та обернені перехідні провідності 
відносно двох вузлів, між якими включена лінія. 
Так, наприклад, для лінії «1», що ввімкнена між вузлами 0 і 1 власні 
перехідні провідності рівні: 
 
g1 (t) = i (t)  при u (t) =1B , u (t) = 0B ; 
00 01 0 1
 
g1 (t) = i (t)  при 
11 10 u0(t) = 0B , u1(t) =1B ; 
 
взаємні перехідні провідності рівні: 
39 
 
g1
01(t) = i01(t) при u (t) = 0B , 
0 u1(t) =1B ; 
 
g1
10(t) = i10(t) при u (t) =1B , u (t) = 0B . 
0 1
 
Верхні індекси в позначеннях перехідних провідностей означають номер 
лінії, для якої вони визначені. Для взаємних перехідних провідностей верхній 
індекс можна опустити, оскільки прийняті позначення дозволяють однозначно 
визначити до якої з ліній вони відносяться. 
Тоді для ліній, що сходяться у вузлі 0 можна записати співвідношення  
 
t t
d d
i (t) = 1
 g00(t − )u0( )d +  g01(t − )u1( )d ,  
01
dt dt
0 0
 
t t
d d
i (t) =  g 2
00(t − )u ( )d + g (t − )u ( )d ,  
02 0 02 2
dt dt 
0 0
(2.1) 
t t
d d
i (t) =  g3
00(t − )u0( )d +
03  g  
03(t − )u3( )d ,
dt dt
0 0
……………………………………. 
t t
d d
i (t) = g n
 00(t − )u0( )d +  g0n (t − )un( )d . 
0n
dt dt
0 0
 
Тоді рівняння по першому закону Кірхгофа для струмів у вузлі 0 буде 
мати вигляд 
 
0(t) = i01(t)+ i02(t)+ ...+ i (t)+ i (t).                                (2.2) 
0n 0
 
Якщо підставити (1.8) в (1.9), отримаємо наступне рівняння 
40 
t
d
 (t) = g1
0   00(t − ) + g 2
00(t − ) + ...+ g n
00(t − )u0( )d +
dt
0
 
t t t
d d d
+  g01(t − )u1( )d +  g02(t − )u2( )d + ...+  g0n(t − )un( )d + i0,
dt dt dt
0 0 0
 
де i − сумарний струм лементів із зосередженими параметрами ввімкненими 
0
у вузлі 0.  
  
Далі введемо позначення 
 
g00(t) = g1
00(t) + g 2 n
00(t) + ...+ g00(t) ,                           (2.3) 
 
де g00(t)  − може бути названа власною перехідною провідністю вузла 0. 
 
Тепер, склавши, рівняння типу (2.3) для всіх вузлів, в яких невідомі 
напруги, отримаємо в результаті систему інтегральних вузлових рівнянь: 
 
t t t
d d d
 g00(t − )u  
0( )d +  g01(t − )u1( )d + ...+  g0n(t − )un( )d + i0 =0(t)
dt dt dt
0 0 0
 
t t t
d d d
 g10(t − )u0( )d +  g11(t − )u1( )d + ...+  g1n(t − )un( )d + i1 =1(t)  
dt dt dt
0 0 0
 
……………………………………………………………………….. 
 
t t t
d d d
 gn0(t − )u0( )d +  gn1(t − )u1( )d + ...+
dt dt dt 
gnn(t − )un( )d + in =n(t)  
0 0 0
(2.4) 
Система інтегральних рівнянь мережі (рис.2.1) за структурою 
41 
співпадає з системою рівнянь, складених по методу вузлових потенціалів для 
аналізу електричної мережі. 
В роботі [37] показано, що побудова математичних моделей 
електричних мереж на основі вузлових інтегральних рівнянь дозволяє 
проводити аналіз динамічних процесів в складних електричних колах, 
наприклад, електричних мережах, методом, що є аналогічним методу 
вузлових напруг для електричного ланцюга. При цьому можливе врахування 
розподіленості параметрів лінії та втрат в них. Такий підхід відкриває нові 
можливості для розв’язання ряду задач, де використання традиційних методі 
пов’язано з певними труднощами, або взагалі не може дати результату. 
Однією із основних ланок такого підходу є аналіз перехідного процесу в лінії 
з розподіленими параметрами. 
В той же час розрахунок перехідних режимів в лініях з врахуванням 
розподілених втрат та при наявності різноманітних навантажень, є важливою 
самостійною задачею, розв’язання якої має ряд труднощів як методичного, 
так і обчислювального характеру. Спробі розв’язання таких задач і 
присвячена представлена магістерська робота. 
 
2.2 Аналіз альтернативних способів отримання рівнянь 
електричних кіл з нелінійними елементами 
Різні методи розрахунку електричних кіл ґрунтуються, як відомо, на 
трьох групах рівнянь, а саме, − на рівняннях, що складаються за першим 
законом Кірхгофа для вузлів; рівняннях, що складаються за другим законом 
Кірхгофа для контурів; і, нарешті, на рівняннях, що складаються для кожного 
з елементів ланцюга так, щоб вони відображали зв'язки між струмами і 
напругами елемента визначеними його властивостями. 
Рівняння останньої групи можуть бути представлені у вигляді ІДР 
рівнянь відносно дійсних струмів і напруг, рівнянь зв'язку між операторними 
струмами і напругами, рівнянь зв'язку між їх комплексними амплітудами для 
різних гармонік і т. д. [29]. 
42 
Є підстава припускати, що методи, розраховані на використання ЕОМ 
все більш розвиватимуться так, щоб на всіх етапах розрахунку не виникало 
необхідності в переробці інформації в операторній, комплексній і тому 
подібних формах. Особливо це відноситься до методів розрахунку 
нелінійних кіл і кіл із змінними параметрами. 
Можливість успішного розвитку різних методів у напрямку, 
орієнтованому на широке застосування обчислювальної техніки, зрозуміло, в 
значній мірі залежить від того, наскільки зручними будуть рівняння, що 
складаються для кожного з елементів ланцюга так, щоб вони відображали 
зв'язки між струмами і напругами елемента визначеними його 
властивостями. 
В роботі [29] розглянуті можливості отримання і застосування 
інтегральних методів, заснованих на представленні рівнянь зв'язків між 
струмами і напругами елемента в дійсній формі з використанням 
модифікованих інтегралів Дюамеля. 
Перехідні опори і провідності. У роботі [30] запропонований метод 
отримання інтегральних рівнянь електричних кіл (метод Пухова), заснований 
на поняттях перехідних опорів і провідностей пасивних і активних 
двополюсників. 
Цей метод являє собою фундаментальні положення для складання 
непараметричних інтегральних моделей ланцюгів довільного вигляду, як 
стаціонарних, так і нестаціонарних та нелінійних, внаслідок введення 
поняття закону Ома-Дюамеля.  
Для активного двополюсника з постійними параметрами зв’язок між 
струмом та напругою на його полюсах можливо записати у вигляді 
інтегрального рівняння 
 
t t  _  t
 _ 
 i( s )ds =  y( t − s )u( s ) − u( s )ds =  y(s) u(t − s) − u(t − s)ds,     (2.5) 
0 0   0  
 
43 
чи рівняння 
 
t t  _  t
 _ 
u( s )ds =  z( t − s )i( s ) − i( s )ds =  z(s) i(t − s) − i (t − s)ds .     (2.6) 
0 0   0  
 
В цих рівняннях y( t ) , z( t ) − перехідна провідність та перехідний 
опір відповідно по відношенню до одиничної напруги та одиничного струму; 
_ _
u( t ) , i( t )  − напруга холостого ходу та струм короткого замикання 
двополюсника; s  − змінна інтегрування. Інтеграли правих частин, 
вищенаведених рівнянь, називаються інтегральними згортками відповідних 
функцій. Тому рівняння (2.5) говорить про те, що інтеграл від струму 
двополюсника дорівнює згортці перехідної провідності та відповідної різниці 
напруг, а рівняння (1.2) − що інтеграл від напруги двополюсника дорівнює 
згортці перехідного опору та відповідної різниці струмів. 
Вирази (2.5) і (2.6) являють собою модифіковані інтеграли Дюамеля та 
при постійних y( t )  і z( t ) переходять у звичайний закон Ома. Тому існує 
твердження, що для двополюсника з постійними параметрами має місце 
закон Ома-Дюамеля, математичним виразом якого є рівняння (2.5) і (2.6) і які 
визначають в загальному випадку зв’язок між струмом та напругою на 
полюсах двополюсника. 
Дані методи при розрахунку перехідних процесів мають певні 
переваги, з яких істотними представляються наступні два: 1) інтегральні 
методи дозволяють просто переходити від загальних виразів до чисельними 
шляхом вживання відомих формул чисельного інтегрування і отримувати 
при цьому точніші результати, ніж при вживанні скінченно-різницевих 
методів; 2) при вживанні інтегральних методів полегшуються чисельні 
розрахунки перехідних процесів ланцюгів з нелінійними і змінними 
параметрами в порівнянні з методами, заснованими на перетвореннях 
функцій по Лапласу і Фур'є, оскільки при цьому не виникає необхідності  у 
44 
виконанні операцій встановлення зв'язків між струмами і напругою 
нелінійних елементів і елементів із змінними параметрами в операторній і 
комплексній формах.  
 
2.3 Огляд підходу до формування математичних моделей 
електричних кіл з елементами, що мають суттєві нелінійності на основі 
застосування інтегральних рівнянь 
В роботах [1, 10, 12, 28, 31] розглянутий інтегральний метод 
розрахунку динамічних процесів в електричних колах з різнорідними 
елементами, зокрема елементами з суттєвими нелінійними 
характеристиками. В деяких випадках, зазначений підхід застосовний для 
розрахунку схем з силовими вентильними комутаторами, тобто нелінійними 
елементами електричного кола. Зокрема метод може бути успішно 
застосованим для аналізу схем з ідеальними ключами якими можна 
апроксимувати реальні схеми силових вентильних перетворювачів. 
 Задача аналізу динаміки пристроїв перетворювальної техніки в 
сучасних електроенергетичних напівпровідникових (НВП) пристроях і 
системах є однією з найбільш складних. Безальтернативним шляхом до 
ефективного розв’язання даної задачі є застосування методів і засобів 
комп'ютерного моделювання. Комп'ютеризація науково-дослідних і 
проектно-конструкторських робіт все більше впроваджується в практику 
розробки нових НВП перетворювачів, здійснює великий вплив на 
вдосконалення методів наукових досліджень, скорочення термінів розробок, 
зменшення матеріальних витрат і поліпшення якісних показників виробів, що 
розробляються. Основою комп'ютеризації є алгоритмічні і програмні засоби 
аналізу електромагнітних процесів НВП перетворювальних пристроїв [23, 
33]. 
До теперішнього часу розроблений і використовується ряд програм 
аналізу перетворювальних схем [25, 27]. Ці програми використовують опис 
45 
вихідного об'єкту системою алгебро-диференціальных рівнянь і добре себе 
зарекомендували при аналізі ряду схем НВП перетворювачів. Проте в 
теперішній час потрібний аналіз не лише однієї схеми перетворювача, але і 
систем, що містять один або декілька перетворювачів, фільтрувально-
компенсуючих і розподільних пристроїв, пристроїв захисту, різних видів 
навантажень, підсистем з розподіленими параметрами. Еквівалентні схеми 
таких систем містять велику кількість лінійних двополюсників 
(індуктивностей, ємностей, опорів, джерел енергії), описуються як правило 
диференціальними рівняннями високих порядків і вимагають вельми значних 
витрат машинних ресурсів для їх розв’язання.  
Розв’язання питань моделювання і розрахунку найбільш ефективних 
параметрів такої системи, запобігання аварійним ситуаціям ускладнено 
новизною і складністю такого роду систем, що містять нелінійні елементи з 
суттєво нелінійними характеристиками. Ці характерні чинники обумовлюють 
приналежність даного класу НВП перетворювальних систем до типу 
установок, які моделюються електричними ланцюгами із змінюваною 
структурою. Специфіка НВП перетворювальних систем пред’являє певні 
вимоги стосовно точності та адекватності отримуваних результатів на рівні 
порядку 10-5 … 10-7. Вказана точність може бути забезпечена математичними 
розрахунковими схемами, але, при їх використанні отримуємо складнощі із-
за обмеженої кількості досить ефективних алгоритмів такого призначення. 
Отже, можна зробити висновок, що розробка методів і засобів моделювання 
перехідних процесів в НВП перетворювальних системах є вельми своєчасним 
завданням.  
З вищенаписаного випливає й необхідність розробки нових 
комп’ютерних методів, алгоритмів і програм аналізу перехідних процесів 
електричних ланцюгів [5,  11, 21], що дозволяють підвищити ефективність 
46 
використання обчислювальних засобів при аналізі складних НВП 
перетворювальних схем. 
В даній роботі проведемо аналіз одного з можливих підходів до 
побудови алгоритмів аналізу великих НВП перетворювальних схем і 
автономних систем електропостачання. Він бачиться вельми перспективним 
та характеризується наступними особливостями: 
1) початковий опис системи з перетворювачами формується у вигляді 
системи інтегральних рівнянь; 
2) є методом аналізу по частинах (декомпозиційним); 
3) відноситься до класу чисельно-аналітичних методів. 
В основу підходу покладемо застосування інтегрального методу 
моделювання і аналізу динамічних об'єктів і систем. 
Питання чисельного дослідження кусково-безперервних процесів в 
НВП перетворювальних пристроях методом інтегральних рівнянь 
розглядалися в роботах [10, 12]. Проте його можливості в даному напрямі 
використовуються ще далеко не повною мірою. 
Доцільність подальшого розвитку і застосування методу інтегральних 
рівнянь до аналізу перехідних процесів в НВП нелінійних перетворювачах 
обумовлена, перш за все, згладжувальними властивостями інтегральних 
операторів, а також можливістю побудови ненасичуваних і оптимальних з 
погляду точності обчислювальних алгоритмів розв’язання рівнянь, що 
вивчаються. 
Оскільки теоретичні дослідження, обчислювальні експерименти і 
порівняння їх результатів з результатами інших методів, заснованих на 
диференціальній формі математичних моделей, наведені в роботах [1, 9, 12, 
22], а також в даній роботі, свідчать про високу ефективність і ряд 
алгоритмічних переваг методу інтегральних рівнянь. Представляється, що він 
є перспективним засобом комп'ютерного дослідження процесів в 
47 
перетворювальних пристроях, добре доповнюючим, а можливо у ряді 
випадків і перевершує існуючі методи, залежно від вимог, що 
пред'являються, до їх основних обчислювальних характеристик: точності, 
швидкодії і об'єму пам'яті. 
Математична модель. НВП електроенергетичні системи з 
перетворювальними пристроями є складними, суттєво нелінійними 
системами, для яких характерні різноманітні властивості, і зв'язки як 
усередині самого пристрою, так і поза ним. При аналізі таких систем 
розробляється ідеальна математична модель пристрою, яка з достатньою 
точністю відображує реальні процеси. 
Пристрої перетворювальної техніки можна віднести до динамічних 
кусково-безперервних і, зокрема, кусково-поліноміальним системам. 
Системи цього класу сполучають в собі риси безперервних і дискретних 
динамічних систем. Щоб уникнути громіздкості основна увага буде 
приділена достатньо простим кусково-лінійним розщепленим (КЛР) 
системам. 
Проте при розв’язанні багатьох завдань аналізу систем з 
перетворювальними пристроями поняття КЛР-системи є дуже широким. 
Воно не враховує такої особливості цих НВП систем, як наявність в їх 
еквівалентних схемах великої кількості лінійних двополюсників та ідеальних 
ключів. Основні витрати машинного часу, як показано в [23], відводяться на 
формування і вирішення рівнянь КЛ-ланцюга, і доходять до 80% від всього 
машинного часу. Причому із збільшенням кількості елементів в моделі ця 
частка збільшується. Для того, щоб програмне забезпечення було 
економічним і в той же час достатнім універсальним, відповідна йому 
математична модель реального об'єкту має бути по можливості простою і 
достатньо універсальною, щоб мати можливість відображувати різні системи 
з різним рівнем ідеалізації і в різних режимах їх роботи. 
48 
Одним з найпотужніших прийомів підвищення ефективності 
процедур аналізу є застосування методу розділення великих систем на 
частини. Не дивлячись на глибоке теоретичне вивчення і широке 
застосування цього методу при аналізі електронних схем і 
електроенергетичних систем [30], застосування його при аналізі схем 
перетворювальної техніки має свої істотні особливості, пов’язані з наявністю 
в їх еквівалентних схемах великого числа ідеальних ключів. 
Склад КЛ-ланцюга дуже різнорідний. До нього входять як лінійні, так 
і кусково-лінійні НВП елементи (трансформатори, ідеальні ключі), 
функціональні ланцюги, що відображують як силову схему, так і систему 
управління. Одна можливість розбиття КЛ-ланцюга пов'язана з тим, що 
система управління НВП статичного перетворювача визначає тільки моменти 
зміни стану його вентильних елементів, тому з КЛ-ланцюга структурно 
можна виділити два функціональні ланцюги: один – для відображення 
аналогової частини системи управління, а інший – для відображення 
аналогової частини силової схеми. Хоча істотного виграшу у витратах 
машинного часу від виділення двох функціональних ланцюгів чекати важко, 
це дозволить спростити математичний опис і програмне забезпечення. 
Друга, і найістотніша можливість розбиття КЛ-ланцюга, що 
безпосередньо приводить до необхідності використання інтегральних 
рівнянь, пов'язана з виділенням лінійних елементів в один або декілька 
лінійних багатополюсників (ЛБП) і об'єднанням ідеальних ключів в один або 
декілька комутаторів. При цьому виділення ЛБП має бути виконане так, щоб 
зв'язок між ними здійснювався тільки за допомогою струмів і напруги 
зовнішніх полюсів. Лінійні багатополюсники при цьому описуються 
системою алгебро-диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами, що 
складаються один раз. Задля спрощення математичного опису елементи з 
кусково-постійними параметрами до складу теоретичної моделі можуть не 
49 
включатися. Така заборона на застосування елементів з кусочно-постійними 
параметрами не обмежує можливостей математичної моделі, оскільки будь-
яку кусково-лінійну характеристику можна відображувати набором лінійних 
елементів та ідеальних ключів. 
Таким чином, структура математичної моделі систем із статичними 
НВП перетворювачами (рис. 2.2) визначається наступними блоками: 
комутатором (КОММ), складеним з ідеальних ключів; лінійними 
багатополюсниками (ЛБПk , k = 1,2...); джерелами напруги і струму; 
функціональним ланцюгом (ФЛ-1, що визначає значення джерел; 
обробляючим функціональним ланцюгом (ФЛ-2); компараторами (КОМП); 
кінцевими автоматами (АВТ). 
Блоки КОМП і АВТ управляють станом ключів, що входять в КОМ, 
ФЛ-1 і ФЛ-2. Основу моделі складає частина схеми, яка містить комутаційні 
елементи і ЛБП (лінійні багатополюсники). До цієї частини схеми будемо 
застосовувати метод ІДМ (інтегральних динамічних моделей). 
Для аналізу методу розглянемо структурну схему, яка складається з 
двох лінійних багатополюсників, як зображено на рис. рис. 2.2, а. 
 
 
50 
 
Рис.2.2 Структура моделі із НВП перетворювачами 
 
 
 
Рис. 2.2 Структура моделі з двома ЛБП 
 
ЛБП, згідно з підходом, що розглядається, описуються системою 
звичайних лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами. 
Розв’язок для якої можна подати у вигляді [30] 
 
t
Xi(t)=Фi(t)Xi(0)+ Фi(t− )BiUi( )d ,                       (2.7) 
0
де X − вектор змінних стану;  
U − вектор джерел;  
B − матриці коефіцієнтів;  
Ф  − фундаментальний розв’язок;  
і − індекс, що вказує на приналежність до багатополюсника.  
 
Відповідь ЛБП на дію джерела можна представити у вигляді 
 
t
ii =CiФi(t)Xi(0)+  gi(t− )Ui( )d +DiUi(t),                    (2.8) 
0
51 
де gi =CiФiBi  − перехідна характеристика i -го ЛБП. 
 
Під час розрахунку схеми з комутаторами на нелінійних елементах та 
ЛБП, кожному лінійному двополюснику ставимо у відповідність 
еквівалентний ланцюг заміщення, який описується рівнянням (2.32). В 
такому випадку, ми переходимо до розгляду еквівалентного ланцюга. На 
відміну від віток початкового ланцюга, вітки еквівалентного ланцюга 
описуються інтегральними рівняннями. Далі, для усіх усталених станів 
комутатора, видаляємо нелінійні елементи які відповідають розімкненим 
ключам і об'єднуємо вершини, що з'єднані через замкнуті ключі. В підсумку 
отримуємо часткову схему заміщення, яка у випадку системи з рис. 2.10, а, 
має лише пару еквівалентних віток, як на рис. 2.10, б. 
Тоді для схеми рис. 2.10, б мають вигляд 
 
 i + i =0, U +U =0.                                   (2.9) 
1 2 1 2
 
Розв’язуючи вирази (2.32) і (2.33), будемо мати 
 
t
G(t− )V ( )d +DV (t)=F(t),                            (2.10) 
0
 
де G = g + g ,   
1 2
V =U =U ,   
1 2
D =D +D ,   
1 2
F(t) = S(t)X (0),   
S(t)= C Ф (t) C Ф (t),    
 1 1 2 2 
52 
X = (i (0), i(0))T .  
0 1
 
Вираз (2.10) є інтегральним рівнянням відносно невідомої функції V. 
Отже, отримаємо модель схеми з двома лінійними блоками лінійних ІР з 
однією невідомою функцією і виразами для змінних стану (2.7) стосовно 
ЛБП. Далі, можна зробити висновок, що використання структурних 
особливостей аналізованої системи (аналіз її по частинах) приводить до 
формулювання задачі у вигляді лінійних ІР замість традиційно 
застосовуваних  ДР. 
Знаходження розв’язку ІР (2.34) ведеться будь-яким відомим методом, 
наприклад, методом квадратурних формул тощо  
Особливістю рівнянь, що описують аналізовану систему, є наявність, 
окрім інтегрального рівняння (2.10), ще і виразів (2.7) для змінних стану 
ЛБП.  Тому в процедуру розв’язання необхідно ввести другий етап, для якого 
характерні всі переваги методу аналізу по частинах. Тут, по вже обчислених 
значеннях збуджуючого джерела, з виразу (2.7) визначаються змінні стану 
кожного ЛБП окремо, незалежно один від одного. Інтеграл може 
обчислюватися по тих же квадратурних формулах, що і на першому етапі. 
При обчисленнях усередині міжкомутаційної ділянки немає необхідності 
визначати змінні стану ЛБП в кожній точці, оскільки струми і напруга 
ідеальних ключів можуть обчислюватися, виходячи із змінних зовнішніх 
полюсів ЛБП. Тому можна визначати їх тільки в останній точці. 
Витрати машинного часу визначаються в основному кількістю 
операцій множення. Якщо простежити за послідовністю обчислень, то 
загальне число операцій множення, приведене до кроку h, для методу 
інтегральних рівнянь (ІР) буде наступним 
 
53 
P = l2 + n2 + n2 + (l +1)(n + n ) / l,  
n  1 2 1 2 
 
де l — порядок квадратурної формули;  
     n1, n2 — порядок системи диференціальних рівнянь першого і другого 
     лінійних двополюсників відповідно. 
 
Для методів, що використовують диференціальні рівняння, 
розглядається послідовність часткових лінійних еквівалентних схем. Для 
кожної з них складається і розв’язується система диференціальних рівнянь з 
постійними коефіцієнтами. Блокова структура системи при цьому не 
враховується. Для наведеної на рис. 2.2, а схеми порядок часткової системи 
диференціальних рівнянь близький до N =n +n . Розв’язання 
1 2
диференціальних рівнянь виконується методами чисельного інтегрування. 
Оскільки всі часткові системи диференціальних рівнянь лінійні, можна 
застосовувати явну формулу їх розв’язання, як це робиться в [18], Для 
обчислення змінних стану в новій точці необхідно матрицю Ф порядку 
(N  N) помножити на вектор Xi порядку N. Кількість операцій множення на 
одному кроці при цьому складе P = (n +n )2 . Якщо порядок обох ЛБП 
Ô 1 2
прийняти рівним n =n =5,  то при використанні формул другого порядку 
1 2
метод інтегральних рівнянь виявиться більш ніж в два рази економнішим за 
метод чисельного інтегрування диференціальних рівнянь, а при використанні 
квадратурних формул п'ятого порядку — майже в чотири рази. Подальше 
збільшення порядку квадратурної формули є недоцільним. Оптимальне 
значення порядку квадратури для кожного ЛБП можна оцінити по формулі 
topt =n / m,  де n — порядок системи диференціальних рівнянь ЛБП; m — 
кількість його зовнішніх полюсів. Із збільшенням порядку системи 
диференціальних рівнянь (збільшенням розмірів ЛБП) ефективність 
54 
використання інтегральних рівнянь в порівнянні з диференціальними 
зростатиме. 
При розв’язанні часткової системи лінійних диференціальних рівнянь 
методами чисельного інтегрування типу Рунге-Кутти кількість операцій 
множення також значно зростає при збільшенні порядку системи. Однак 
матриці коефіцієнтів для моделей з великими лінійними частинами часто є 
розрідженими. Кількість операцій множення при використанні алгоритмів 
роботи з розрідженими матрицями можна зменшити пропорційно 
коефіцієнту заповнення. В цьому випадку метод Рунге-Кутти четвертого 
порядку стає співставним з методом інтегральних рівнянь при коефіцієнті 
заповнення матриць коефіцієнтів нижче 5%, що для систем з 
перетворювачами буває не часто. 
Таким чином, інтегральний метод при розрахунку на 
міжкомутаційних інтервалах систем з великими лінійними частинами є 
економічнішим за методи, засновані на використанні диференціальних 
рівнянь. Процедури формування рівнянь на новому міжкомутаційному 
інтервалі для інтегрального методу будуть також економніші, оскільки 
кількість еквівалентних віток (а операції формування проводяться тільки з 
ними) значно менше всіх елементів в системі. 
 
Висновки до розділу 2 
Проведений аналіз існуючих методів дослідження перехідних 
процесів в лініях з розподіленими параметрами показав, що використання 
інтегральних моделей для математичного опису досліджуваних об'єктів являє 
собою перспективний підхід до вирішення мережевих завдань, так і при 
розрахунку динамічних режимів в окремих лініях. Показано, що обмежене 
використання інтегральних вузлових моделей для задач аналізу ланцюгів з 
розподіленими параметрами пояснюється складністю рішення систем 
інтегральних рівнянь Вольтерри для класу задач, що розглядаються. 
55 
Розглянутий підхід до формування ІР електричних кіл з нелінійними 
елементами типу силових вентильних ключів. Встановлено, що такі кола 
можуть розглядатися як кола з різнорідними елементами, ефективним 
способом моделювання яких є застосування апарату ІР. Зокрема, метод може 
бути успішно застосованим для аналізу схем з ідеальними ключами якими 
можна апроксимувати реальні схеми нелінійних перетворювачів з силовими 
ключами. Згідно з підходом, використання структурних особливостей схем 
перетворювачів з силовими ключами, а саме можливості її аналізувати по 
частинах, приводить до формулювання задачі у вигляді лінійних 
інтегральних рівнянь замість звичайно використовуваних диференціальних. 
Розв’язання інтегрального рівняння може вестися будь-яким з відомих 
методів, зокрема, методом квадратурних формул.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
РОЗДІЛ 3  
ФОРМУВАННЯ УЗАГАЛЬНЕНОГО ПІДХОДУ ДО МОДЕЛЮВАННЯ 
ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ З РІЗНОРІДНИМИ ЕЛЕМЕНТАМИ 
 
3.1 Основні засади підходу 
В деяких наукових роботах, зокрема в [1], були здійснені спроби 
узагальнити методологію використання інтегральних динамічних моделей при 
аналізі динаміки в колах з різнорідними елементами [1].  
56 
Обрання виду моделі визначається вимогами до ступеня адекватності і 
точності відтворення модельованого режиму. При моделюванні схем з 
різнорідними елементами (наявні як з зосередженими, так і з розподіленими 
параметрами), постає проблема обрання раціонального виду математичного 
опису, методу розрахунку, що підходить до вибраної моделі, а також вибору  
чисельної процедури комп'ютерної реалізації методу [14]. Обрання тієї чи іншої 
математичної моделі визначається в першу чергу постановкою завдання. 
Так, в електроенергетиці, прикладами таких схем є лінії передачі 
електричної енергії, лінії зв'язку, високочастотні коаксіальні лінії електронних 
пристроїв. Обмотки трансформаторів і електричних машин також в деяких 
випадках повинні розглядатися як кола з розподіленими параметрами, 
наприклад, при впливі на них імпульсних струмів і напруг [34]. 
Необхідність врахування розподіленості параметрів кола визначається 
співвідношенням між часом поширення електромагнітної хвилі вздовж всієї 
довжини кола і інтервалом часу, протягом якого струми і напруги отримують 
суттєві збільшення. Коли ці інтервали часу можна порівняти, то коло необхідно 
розглядати як ланцюг з розподіленими параметрами [34]. 
Розв’язання системи рівнянь в часткових похідних в загальному вигляді 
є досить складною математичною задачею. Крім того, виникає проблема 
узгодження отриманого рішення з функціями, що описують динаміку частини 
схеми де наявні елементи із зосередженими параметрами, моделями яких є 
звичайні диференційні рівняння. 
3.2 Аналіз підходів до побудови єдиної математичні моделі кіл з 
різнорідними елементами 
У завданнях аналізу перехідних процесів в електричних схемах, з 
елементами як з зосередженими, так і розподіленими параметрами, суттєвою є 
проблема обрання математичного опису, котрий би з найбільшою ефективністю 
співвідносився з вимогами, що ставляться. 
Струми і напруги в схемах з розподіленими параметрами є функціями 
двох незалежних змінних − часу t і просторової координати x. Відповідно 
57 
рівняння, що описують процеси в колах з розподіленими параметрами, є 
рівняннями в часткових похідних [34] 
 
u i i u
+ R i + L = 0,  +G u +C = 0,                         (3.1) 
0 0 0 0
x t x t
 
де R ,L ,G ,C   − погонні (питомі) характеристики лінії з розподіленими 
0 0 0 0
параметрами. 
 
Фрагменти електричного кола із зосередженими параметрами, які 
описуються звичайними диференціальними рівняннями, можуть в свою чергу 
представляти собою багатоелементні кола, що мають досить складну 
структуру [34]. Таким чином, математичний опис такого об'єкта, як ланцюг з 
різнорідними елементами об'єднує дві групи диференціальних рівнянь – в 
частинних похідних типу (3.1) і групи звичайних диференціальних рівнянь 
[34]. 
Можна виділити декілька різних підходів до побудови єдиної 
математичної моделі аналізу динаміки таких кіл. 
В основі першого підходу лежить процедура зведення системи 
рівнянь в частинних похідних до системи звичайних диференціальних 
рівнянь [34]. Такий перехід здійснюється заміною лінії з розподіленими 
параметрами ланцюговою схемою заміщення, число ланок якої визначається 
необхідною точністю рішення [34]. В результаті будується математична 
модель у вигляді системи звичайних диференціальних рівнянь, яка надалі 
вирішується будь-яким чисельним або чисельно-аналітичним методом [34]. 
В основі другого підходу є отримання математичної моделі ланцюга з 
різнорідними елементами полягає в тому, що фрагменти ланцюга, описувані 
різними типами рівнянь, розраховуються окремо − специфічними для 
кожного типу рівнянь методами − з подальшим узгодженням рішень для 
окремих фрагментів ланцюга [34]. Для вирішення системи звичайних 
58 
диференціальних рівнянь, як і в попередньому випадку, використовується 
один з чисельних або чисельно-аналітичних методів [34]. Для аналізу 
фрагментів ланцюга з розподіленими параметрами можуть бути використані 
або класичні методи розрахунку довгих ліній, або один з скінченно-
різницевих методів рішення рівнянь в часткових похідних (зокрема, метод 
сіток) [34]. Традиційно використовувані класичні методи дослідження 
ланцюгів з розподіленими параметрами складають два основні класи: 
методи, засновані на хвильовому поданні рішення (хвильові методи) і 
методи, що не враховують хвильовий характер процесів в лінії [35, 36]. Як 
вже було повідомлено в попередньому розділі представленої магістерської 
роботи, обидва ці підходи мають свої позитивні і негативні сторони [34]. Так, 
хвильові методи (наприклад, методи характеристик, біжучих хвиль) добре 
уявляють фізичну природу перехідного процесу, але не дозволяють 
розглянути його на досить тривалому інтервалі часу [34]. Хвильові методи не 
дають можливості представити рішення в аналітичній формі на певному 
інтервалі [34]. Методи, які не враховують хвильовий характер (наприклад, 
метод стоячих хвиль), дозволяють уявити аналітично або чисельно-
аналітично перехідний процес в лінії,  не простежуючи поширення хвиль в 
ній [34]. Крім того, і той, і інший підхід, як правило, вимагають істотного 
спрощення вихідного завдання, (наприклад, за рахунок заміни реальної лінії 
не спотвореною лінією або лінією без втрат) [37]. 
Проблема узгодження розрахунків ділянок ланцюга з зосередженими 
та розподіленими параметрами також може бути вирішена різними 
способами. Наприклад, послідовним переходом від фрагмента до фрагменту 
ланцюга при покроковому вирішенні, чи організацією паралельних 
обчислень при використанні діакоптичного підходу [34]. Узгодження рішень 
для різнорідних ділянок ланцюга при цьому є досить складне, не завжди 
маюче кінцевий розв’язок, завдання. Зокрема, одним із шляхів його 
вирішення можуть служити ітераційні методи [5]. 
59 
В основі третього підходу до формування моделі різнорідного 
електричного кола складається в єдиноподібному математичному описі її 
елементів, що мають різну фізичну природу [34]. Елементи ланцюга, що 
розглядаються як двополюсники, можуть бути як лініями з розподіленими 
параметрами, так і ділянками ланцюга з зосередженими елементами [34]. 
Залежність між вхідними u (t) і вихідними i(t) величинами двополюсників в 
цьому випадку представляється інтегральними операторами, ядра яких 
g(t − )  повністю визначаються внутрішніми властивостями елементів 
системи [34] 
 
t
d
i(t) =  g(t − )u( )d .                                        (3.2) 
dt
0
 
У класичній теорії кіл такий підхід стосовно до кіл із зосередженими 
параметрами широко відомий як метод інтеграла Дюамеля [28, 29]. 
Застосування ІДМ, які представлені виразом 3.2 як математична модель 
ланцюга, дозволяє отримати математичну модель у вигляді системи 
інтегральних рівнянь, що описує з єдиних позицій перехідні процеси в 
ланцюгах, що містять як елементи з зосередженими, так і розподіленими 
параметрами [34]. Ядра інтегральних рівнянь g(t − )  – є, так званими, 
перехідними провідностями елементів ланцюга, що представляють собою 
реакції елементів системи на типові вхідні впливи, і є вичерпною 
характеристикою лінійної системи, якою б складною вона не була. Коли 
електрична схема модельованої ділянки кола досить проста, його перехідні 
провідності можуть бути визначені з аналізу перехідних процесів при впливі 
одиничної напруги. 
Наприклад, для ланки, представленої на рис. 3.1,  
 
60 
 
 
Рис. 3.1. Фрагмент схеми для отримання виразу 
 перехідної провідності 
 
перехідні провідності описуються співвідношеннями  
 
1
1 −
(R1+R
g(t) = e 2 )C0 ,  
R1 + R2
 
C C
де C0 =
1 2 . 
C1 +C2
 
У разі, якщо схема ділянки ланцюга є досить складною, то перехідні 
провідності його можуть визначатися через перехідні провідності окремих 
його частин [30]. Власна і взаємна перехідні провідності лінії з 
розподіленими параметрами можуть бути отримані через перехідні 
провідності нескінченно довгих ліній [34]. При цьому вони виражаються 
через порівняно прості і добре вивчені трансцендентні функції, які найбільш 
повно відповідають характеру процесу поширення хвиль [34]. Наприклад, 
для однорідної лінії довжиною l з погонними параметрами R0,L0,G0,C0 = 0, , 
власна і взаємна перехідні провідності визначаються співвідношеннями: 
 
61 
1 R
g0(t) = g22(t) = (1− exp(− 0 t)) +
R0l L0
(3.3) 
2R0l (C 
0 / L0) R sin(k )t / l (C
+ exp(− 0 t) 0L0)
)
 L0 k=1 k              
1 R
gl (t) = g21(t) = (1− exp(− 0 t)(1+
R0l L0
        (3.4) 
2R0l (C0 / L0)  sin(k )t / l (C0L0)
+  cos(k )))
 k=1 k       
 
Перехідні провідності ліній є носіями інформації про хвильовий 
характер процесу, природним чином відображаючи фізичні особливості 
перехідного процесу, властиві ланцюгам з розподіленими параметрами [34]. 
Застосування інтегральних рівнянь для аналізу динамічних режимів 
дозволяє вирішити проблему різнорідності математичного опису різних 
елементів, що входять в електричний ланцюг, оскільки в цьому випадку 
елементи з зосередженими та розподіленими параметрами описуються 
одноманітно [34]. Інтегральні моделі (3.2), в основі яких лежать рівняння 
Вольтерри ІІ роду, характеризуються зручністю та компактністю опису 
динамічних систем. Такий підхід дозволяє для ланцюгів з різнорідними 
елементами сформувати систему рівнянь за методикою, аналогічною моделі 
методу вузлових напруг для електричного кола з зосередженими 
параметрами. Врахування розподілених активних втрат в лінії за такого 
підходу не ускладнює процес обчислень. 
Формування математичної моделі у формі системи інтегральних 
рівнянь Вольтерри відбувається наступним чином. Для окремих елементів 
або фрагментів ланцюга записуються інтегральні рівняння (3.2). Потім, 
згідно топології ланцюга, підсумовуючи струми в вузлах кола, отримуємо 
систему інтегральних рівнянь, в матричній формі представлену виразом 
 
62 
t
d
G(t − )U ( )d = I (t), (3.5) 
dt
0                                     
 
де G – матриця перехідних провідностей кола;  
     U – вектор вузлових напруг;  
     I – вектор вузлових струмів. 
 
Модель (3.5) володіє певним переліком суттєвих позитивних 
властивостей. Через те, що елементи з різними властивостями описуються за 
одним сценарієм, то даний підхід дає змогу розробити універсальні чисельні 
алгоритми для аналізу реальних енергетичних об'єктів, до складу яких 
входять відрізки ЛЕП (довгих ліній) і частини загального ланцюга з 
зосередженими параметрами (підстанції). 
 
3.3 Чисельно-аналітичні методи  аналізу моделей мереж 
Одним із перспективних для чисельного рішення отриманої системи 
ІДМ можна вважати операторний метод диференціальних тейлорівских 
перетворень. В [36] розроблено чисельно-аналітичний алгоритм рішення, 
заснований на операційному методі локальних ДТ − перетворень, 
запропонованих Пуховим Г. Е. [29]. ДТ − перетворення засновані на поданні 
функцій в точці t = t  рядами Тейлора і пов'язують функцію – оригінал x(t)  і 
i
функцію − зображення X(k) виразами 
 
 t − t H k k x(t) 
x(t) =X (k)( i )kX (k) =  k  (3.6) 
k=0 H k!  t t=ti                     
 
де k =: 0,1,2,...,,    −  символ відповідності. 
Слід зазначити, що пряме застосування перетворень (3.6) до 
інтегральних рівнянь мережевої моделі пов'язане з певними труднощами, 
63 
пов'язаними з розривністю функцій g(t − ) , що представляють перехідні 
провідності. 
Використовуючи розклад пилкоподібних періодичних функцій в ряд 
Фур'є, нескінченні суми в виразах (3.3), (3.4) можуть без внесення 
методичної похибки бути замінені кусково-безперервними: 
 
1  t
g11(t) = g (t) = (1− e−t + Be−( /2)t
22 (2v +1− )) (3.7) 
R0l 2                  
 
1  t
g21(t) = g12(t) = (1− e−t + Be−( /2)t (2v − ))        (3.8) 
R0l 2             
 
R 2R0l (C0 / L0)
де  = 0 , B = ,  = l (C0L0) , v – число відбиттів хвилі від 
L 
0
кінців лінії. 
 
Якщо g(t)  є розривною функцією, як, наприклад, для кіл зі 
стрибкоподібними змінними параметрами або змінною структурою, а також 
для схем, що містять елементи з розподіленими параметрами, в такому разі 
операція диференціювання не є коректною. 
Представимо кусково-безперервну функцію g(t) , що має ν-ий розрив 
I−го роду в точці t = t  за допомогою узагальнених функцій наступним чином 
i
 
g(t) = g (t) (t)+g (t) (t − t )        (3.9) 
v v v
 
де  (t) − одинична ступінь (функція Хевісайда) [4] 
0,t  tv
 (t − t     (3.10) 
v ) = 
1,t  tv                                      
64 
Продиференціюємо функцію g(t) , представлену виразом (2.9), та 
отримаємо 
 
g(t) = gv(t) (t)+ gv (t)+gv(t) (t − tv) +gv (t − tv),      (3.11) 
 
де  (t)  − дельта-функція Дірака.  
 
Вносячи похідну під знак інтегралу, інтегральний вираз (3.5) 
перетворюється до виду 
 
t
G(0)U (t) + G(t − )U ( )d + J (t) = J (t),        (3.12) 
S
0
 
де G(0)  − значення перехідної провідності в початковій точці часового 
інтервалу. 
 
Тоді, з врахуванням (3.11), інтегральний член у виразі (3.12) буде мати 
вид 
 
t
i(t) =  (gv (t − ) (t − ) − g (t − ) (t − ) + gv v(t − ) (t − tv − ) +
 
0
+gv (t − ) (t − tv − ))u( )d
 
Почленним інтегруванням (з врахуванням властивостей узагальнених 
функцій) отримаємо 
 
t t
i(t) =  gv (t − )u( )d + gv (0)u(t) +gv (t − )u( )d + gv (tv )u(t − )    (3.13) 
0 0
 
65 
де g (0)  − значення функції перехідної провідності в момент часу t = 0 .  
v
 
Це співвідношення дає можливість обчислити функцію і(t)  на інтервалі, 
що включає точку  -го розриву t . Якщо врахувати, що при t  t , 
 
gv =g = 0 , то 
v
 
t
i(t) = g (0)u(t) + g (t )u(t − t ) + (g(t − ) + g(t − ))u( )d .        (3.14) 
v v v iv v v
0
 
Якщо протягом аналізованого інтервалу функція g(t)  має v  розривів 
в точках t , v =1,2,3,..., N ,  то 
v
 
N t N
i(t) = g(0)u(t) +gv (tv )u(t − tv ) + (g v (t − ) +g v (t − ))u( )d    (3.15) 
v=1 0 v=1
 
Тоді застосування ДТ − перетворень до аналізу вузлової моделі 
мережі з урахуванням (3.15) стає коректним [29]. 
Використання ДТ − перетворень для побудови алгоритмів аналізу 
узагальненої моделі (3.5) дозволяє представити рішення в чисельно-
аналітичній формі на необмеженому інтервалі і регулювати його точність 
змінної як крок дискретизації, так і порядок чисельної схеми. 
 
3.4 Формування моделі мережі 
Для інтегральних моделей, які дозволяють в явному вигляді 
представити залежність між струмом і напругою елемента мережі, акад. 
Г.Є. Пуховим запропонована методика формування математичної моделі 
мережі в цілому, аналогічна класичному методу вузлових потенціалів для 
електричного кола. 
66 
Розглянемо фрагмент мережі (рис. 3.2), що складається з 1,2,3,...,m  
ліній і Z ,Z ,...Z ...,Z  зосереджених навантажень, включених в вузлах 
1 2 k n
мережі. 
 
 
Рис. 3.2. Фрагмент мережі 
 
 При підсумовуванні струмів, представлених у формі рівнянь (3.2), в 
вузлах мережі, отримаємо математичну модель такого вигляду: 
 
t t t
d d d
 g11(t − )u1( )d −  g12 (t − )u2 ( )d − ...−  g1n (t − )un ( )d + i1(t) = i1(t);
dt dt dt
0 0 0
t t t
d d d
−  g21(t − )u1( )d +  g22 (t − )u2 ( )d − ...−  g1n (t − )un( )d + i2(t) = i2(t);
dt dt dt
0 0 0
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
t t t
d d d
−  gn1(t − )u1( )d +  gn2 (t − )u2 ( )d − ...+  gnn (t − )un ( )d + in (t) = in (t);
dt dt dt
0 0 0
 
(3.16) 
 
g (t) = g1 2 k
де k
ii ii (t) + gii (t) + ...+ gii (t)  − сума власних провідностей  ліній, 
включених в i -му вузлі мережі (вузлова провідність i -того вузла),  
      gij (t)  − взаємна перехідна провідність лінії, включена між вузлами i  і j , 
      ii (t)  − сума струмів навантажень, включених в i -тому вузлі.  
67 
 
У матричному вигляді систему інтегральних рівнянь (3.16) можна 
представити, як 
 
t
d
G(t − )u( )d + i (t) = i(t),  
dt
0
 
або умовно позначивши інтегральний оператор як G U , записати у вигляді: 
 
GU + I = I ,                                             (3.17) 
 
де G  − матриця перехідних провідностей мережі, 
     U  − вектор вузлових напруг, 
     I  − вектор струмів навантажень, включених в вузлах мережі, 
     I  − вектор вузлових струмів. 
 
Визначення матриці перехідних провідностей є найважливішим 
кроком побудови математичної моделі електричної мережі для аналізу 
перехідного процесу, і починається з побудови базової структурної матриці 
(БСМ), в основі формування якої лежить схема мережі. 
Для кожного виду структури мережі можлива побудова специфічного 
алгоритму аналізу перехідного процесу, що використовує структурні 
особливості базових матриць перехідних провідностей. Крім того, такі базові 
алгоритми можуть служити основою аналізу складних мереж при 
формуванні алгоритму їх розрахунку на модульній основі з застосуванням 
діакоптичних підходів, так як практично будь-яка мережа може бути розбита 
на блоки, які мають одну з типових структур (рис. 3.3).  
68 
 
а) 
 
 
 
б) 
 
Рис 3.3. Типові структури мережі внаслідок застосування діакоптичного підходу: 
 а – мережа радіального типу, б – магістрального типу 
 
При такому підході можливо побудувати ефективні обчислювальні 
схеми, які використовують розпаралелювання обчислювального процесу при 
аналізі динамічних режимів в складних розгалужених мережах, що містять 
велику кількість ліній, вузлів і навантажень різного типу. Так наприклад, для 
мережі радіального типу (рис. 3.3, а) (БСМ) перехідних провідностей має 
наступну структуру 
 
69 
G  G    
11 12 G13 ...  G1n
G  G  
21 22 0 ...  0 
G  
31 0 G  
33 ...  0 
...  ...  ...  ...  0 
G  
n1 0 0 ...  G  
nn
 
Ненульові елементи матриці розташовані на головній діагоналі, в 
першому стовпці і в першому рядку матриці.  
Для мережі магістрального типу (рис. 3.3, б) базова структурна 
матриця буде мати вигляд 
 
G  G  
11 12 0 ...  0 
G    
21 G22 G23 ...  0 
0 G   
32 G33 ...  0 
...  ...  ...  ...  0 
0 0 0 ...  G  
nn
 
Дана матриця має рядну структуру, що складається з блоків 
розмірністю 2х2, розташованих на головній діагоналі матриці. Розглянемо 
мережу, представлену на рис. 3.4, яка по суті має радіальну структуру. 
Відмінність в живленні не в центральний вузол мережі (як на рис. 3.3), а 
через живлячу лінію (лінія 1). 
 
70 
 
 
Рис. 3.4. Мережа радіальної структури з живлячою лінією 
 
Для такої мережі характерна базова структурна матриця перехідних 
провідностей, в якій заповнені (окрім головної діагоналі, що є обов'язковим 
для будь-якої мережі) другий рядок і другий стовпець матриці 
 
G  
11 G  
12 0 0 
G     
21 G22 G23 G24
0 G   
32 G33 0 
0 G   
42 0 G44
(3.18) 
 
Тут власні перехідні провідності вузлів мережі (елементи матриці, що 
знаходяться на головній діагоналі) будуть такі: 
 
71 
G 1
11 = g11 + gg ;
G l1
22 = g11 + g l 2 + g l3
22 22 + gn2 ;
 
G = g l 2
33 33 + gn3;
G44 = g l 2
44 + gn4 .
 
Взаємні перехідні провідності: 
 
G = −g l1 l1
12 12 ; G21 = −g21;
G23 = −g l 2 l 2
23; G32 = −g32 ;
G l3 l3
24 = −g24 ; G42 = −g42 . 
 
Розрахунок перехідного процесу в такій мережі проводиться покроково. 
Оскільки перехідні провідності ліній − функції часу, мають обмежену кількість 
розривів першого роду, які чергуються один за іншим через часові інтервали, 
відповідні часу поширення хвилі вздовж лінії, величину розрахункового кроку 
H  слід пов'язати з часом поширення електромагнітної хвилі по лінії базової 
довжини l , а саме H = / k , де  = l / v , v  − швидкість поширення 
b b b b
електромагнітної хвилі, коефіцієнт k  2  вибирається залежно від необхідної 
точності обчислень і обраного чисельного методу. Базова довжина лінії l  для 
b
досліджуваної мережі визначається з умови кратності їй довжин всіх ліній 
мережі 
 
li =milb ,    
 
де l  − довжина i -ої лінії,  
i
     m  − коефіцієнт кратності i -ої лінії. 
i
 
Матриця (3.19) для мережі (рис. 2.4) є базовою. В рамках цієї 
структури відбувається заповнення і зміна значень елементів матриці в 
72 
залежно миттєвого значення часу, тобто розвитку хвильового процесу в 
мережі. Оскільки перехідні провідності (3.8) в процесі розрахунку 
змінюються стрибкоподібно при кожному відбитті хвиль від кінців лінії, 
значення елементів матриці перехідних провідностей повинні змінюватися 
кожного разу при появі в будь-якій лінії відбитих хвиль. 
Для здійснення покрокової процедури формування матриці 
перехідних провідностей для кожної лінії мережі будується аналізуючий 
блок, який визначає стан елементів матриці в залежності від поточного 
моменту часу. Тобто, в залежності від появи відбитих від кінців ліній хвиль 
відбувається зміна певних елементів базової структурної матриці, що 
відповідають перехідним провідностям (власним і взаємним) відповідних 
ліній мережі. Так, наприклад, для мережі (рис. 2.4) на початку розрахунку 
0 t   поточна (миттєва) матриця перехідних провідностей має вигляд: 
b
 
G   
11 G12 0 0 
G  
21 0 0 0 
0 0 0 0 
0 0 0 0 
 
На інтервалі b  t  2b : 
 
G   
11 G12 0 0 
G  
21 G  
22 0 0 
0 0 0 0 
0 0 0 0 
 
Потім, в міру просування електромагнітних хвиль по лініях мережі до 
навантажень, відбувається подальше заповнення і зміна відповідних 
елементів матриці перехідних провідностей до виду (2.19). 
73 
Такий процес походження хвиль в лініях мережі можна відобразити, 
послідовністю схем заміщення, в якій кожна наступна схема відрізняється від 
попередньої появою додаткових віток. А саме, паралельної лінії, в якій на 
поточному розрахунковому кроці спостерігається поява відбитої хвилі, 
включаються додаткові вітки, струми і  в яких відповідають відбитими 
хвилями струмів в складовій лінії. 
Так, на рис. 3.5 представлена схема заміщення для даного прикладу 
мережі (рис. 3.4), відповідно базовій матриці перехідних провідностей  (3.18). На 
рис. 3.6 представлена схема заміщення на i -му кроці розрахунку, коли в кожній з 
ліній мережі відбулися k ,m,  і n  відбиттів хвиль від кінців ліній. Причому 
розмірність системи рівнянь, що визначається лише кількістю вузлів мережі, не 
збільшується зі збільшенням часу розрахунку, незважаючи на ускладнення схеми 
заміщення, яке викликане багаторазовими відображеннями електромагнітних 
хвиль в вузлах мережі. 
 
Рис. 3.5. Схема заміщення базової мережі 
74 
 
 
Рис. 3.6. Схема заміщення на i -му кроці розрахунку  
 
Опрацьована спеціальна методика припасовування рішень інтегральних 
рівнянь Вольтерри, що використовує метод диференціальних перетворень 
Г.Є. Пухова, що дозволяє побудувати чисельні алгоритми розв'язання системи 
інтегральних рівнянь з урахуванням особливостей їх ядер [30]. Запропонований 
75 
підхід дозволяє досить точно відтворити фізичну картину поширення 
електромагнітних хвиль і досліджувати динамічні процеси в електричній мережі. 
 
Висновки до розділу 3 
Розглянута методика дає змогу розробити узагальнену модель системи, в 
якій різнорідні елементи кола представляються перехідними провідностями, що 
відображають характер перехідних процесів в них.  
Показано та обґрунтовано, що інтегральні моделі мереж з матричними 
перехідними характеристиками дають можливість вирішувати такі складні 
завдання, як розрахунок перенапруг, що виникають при комутаціях і аварійних 
режимах в електроенергетичних мережах тощо. 
Опрацьована спеціальна методика припасовування рішень інтегральних 
рівнянь Вольтерри, що використовує метод диференціальних перетворень 
Г.Є. Пухова, що в свою чергу дозволяє побудувати чисельні алгоритми 
розв'язання системи інтегральних рівнянь з урахуванням особливостей їх ядер. 
76 
РОЗДІЛ 4 
ЗАСТОСУВАННЯ ЧИСЕЛЬНИХ МЕТОДІВ РОЗВ᾿ЯЗАННЯ 
ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ВОЛЬТЕРРИ 
 
4.1 Застосування інтегральних рівнянь Вольтерри та їх чисельна 
реалізація 
Інтегральними рівняннями описуються багато польових задач, а також 
завдання дослідження динамічних режимів мереж і систем, для яких 
традиційно застосовувалися математичні моделі у вигляді диференціальних 
рівнянь та їх систем в частинних похідних і звичайних диференціальних 
рівнянь та їх систем. 
Також доцільна сфера застосування включає задачі, які описуються в 
природній постановці будь-якими іншими видами рівнянь, наприклад ІДР.  
Застосування апарату інтегральних рівнянь не означає, що 
необхідність в інших формах відпадає, а лише вказує на існування певного 
кола завдань де застосування інтегральних рівнянь виявляється ефективним 
[10]. 
Крім традиційних завдань, пов'язаних з аналізом динамічних процесів, 
існує ряд завдань дослідження перехідних процесів, без наявності знання  
законів їх функціонування. Також, до таких завдань будемо відносити й 
завдання, зворотні завданням аналізу, а саме: ідентифікація, синтез моделей, 
діагностика працездатності і т. п. У цих випадках математичні моделі у 
вигляді диференціальних рівнянь виявляються неоптимальними, що перш за 
все відноситься до завдань моделювання нестаціонарних систем, управління 
системами з розподіленими параметрами, відновлення сигналів тощо [13]. 
Тлумачення властивостей динамічних об'єктів на основі, поняття післядії, 
розвиток структурного методу досліджень привели до практичного 
використання інтегральних операторів в якості математичних моделей 
елементів систем і систем в цілому. Це зумовило широке застосування 
77 
інтегральних рівнянь для вирішення багатьох завдань динамічних об'єктів і 
систем [13]. 
Подальшим розвитком теорії та моделювання динаміки електричних 
ланцюгів є застосування методу інтегральних рівнянь [10, 14, 21, 22], що є 
сукупністю прийомів визначення інтегральних математичних співвідношень 
між відомими початковими даними і визначуваними параметрами 
електричного ланцюга, а також способів еквівалентних перетворень 
отриманих рівнянь і точного чи наближеного їх розв’язання. 
Метод інтегральних отримав застосування в області розрахунку 
електричних і магнітних полів, проте недостатньо розвинений що до 
електричних кіл.  
Розвитку методу інтегральних рівнянь присвячені роботи, багато з  
яких ґрунтується на принципі Дюамеля, операційному численні Хевісайда  і  
Карсона [14, 28], великий вклад у розвиток теорії інтегральних рівнянь вніс 
італійський вчений Віто Вольтерра [16].   
Істотне розширення області де використовуються інтегральні 
рівняння, виникнення нових класів задач, де використання інтегральних 
математичних моделей є ефективним, стимулювало розробку теоретичних 
основ і практичних алгоритмів їх розв’язання.  
Скалярні інтегральні рівняння є окремим випадком систем 
інтегральних рівнянь коли порядок системи n = 1. Класифікація систем 
інтегральних рівнянь аналогічна класифікації інтегральних рівнянь, проте 
запис систем інтегральних рівнянь відрізняється від запису скалярних 
інтегральних рівнянь. У загальному випадку система інтегральних рівнянь 
записується в формі 
 
n
gi (x)yi (x) −  K (x,s)y (s)ds = f (x), xQ , i =1,n ;            (4.1) 
ij j i i
j=1  j
 
де K(x,s) – ядра СІР,   
78 
     f(x) – права частина рівняння з областю визначення Q,  
      – параметр рівняння,  
     y(s) – невідома функція з областю визначення  – змінною чи постійною, 
одномірною чи багатомірною.  
 
Функції K(x,s), f(x), g(x), параметр  і області Q і  вважаються 
заданими, а функція y(s) – невідомою яку треба знайти. У випадку змінної 
області визначення  рівняння; (3.1) є  рівнянням Вольтерри, при постійній 
області інтегрування мають справу з рівняннями Фредгольма. При g(x)=0 
рівняння; (3.1) є рівняння I роду, при g(x)≠0 рівняння; (3.1) є рівнянням II 
роду. 
Загальна класифікація основних типів інтегральних рівнянь 
Вольтерри (ІРВ) та їх систем (СІРВ) наведена на рис. 4.1. 
 
  
 
Рис.3.1. Класифікація основних типів інтегральних рівнянь  
Вольтери та їх систем 
 
79 
Розглянемо математичне представлення указаних моделей. Якщо 
позначити Kij; fi; i, j =1,n  — ядра і вільні члени, то інтегральні моделі в 
загальному випадку представляються в наступному вигляді: 
 
n x
 Kij (x,s)y j (s)ds = fi (x), i =1,n  (4.2) 
j=1 a
 
— лінійна СІР Вольтерри I роду з ядром загального виду; 
 
n mij x
  ijl (x) ijl (s)y j (s)ds = f i (x), i =1,n  (4.3) 
j=1 l=1 a
 
— лінійна СІР Вольтерри I роду з розділяючимися ядрами; 
 
n x
 Kij [x,s, y j (s)]ds = fi (x),i =1,n  (4.4) 
j=1 a
 
— нелінійна СІР Вольтерри-Урисона I роду; 
 
n x
 K ij[x,s]Fij[s, y j (s)]ds = f i (x),i =1,n  (4.5) 
j=1 a
 
— нелінійна СІР Вольтерри-Гаммерштейна I роду; 
 
n x
 yi (x) =K ij (x,s)y j (s)ds + f i (x)  (4.6) 
j=1 a
 
— линійна СІР Вольтерри II роду с одиничною матрицею коефіцієнтів 
при yj(x), j =1,n ; 
 
80 
n mij x
 yi (x) = ijl (x) ijl (s)y j (s)ds + f i (x), i =1,n  (4.7) 
j=1 l=1 a
 
— лінійна СІР Вольтерри II роду з розділяючимися ядрами і 
одиничною матрицею коефіцієнтів при yj(x), j =1,n ; 
 
n n x
 aij yi (x) =K ij (x,s)y j (s)ds + f i (x), i =1,n  (4.8) 
j=1 j=1 a
 
— лінійна СІР Вольтерри II роду з постійною матрицею коефіцієтнів 
при yj(t), j =1,n , де коефіцієнти aij (i, j=1,2,…,n) — постійні числа; 
 
n n mij x
 aij yi (x) = ijl (x) ijl (s)y j (s)ds + f i (x), i =1,n  (4.9) 
j=1 j=1 l=1 a
 
— лінійна СІР Вольтерри II роду з розділяючимися ядрами і 
постійною матрицею коефіцієнтів при yj(t), j =1,n , де коефіцієнти aij (i, 
j=1,2,…,n) — постійні числа; 
 
n x
 yi (x) =K ij[x,s, y j (s)]ds + f i (x), i =1,n  (4.10) 
j=1 a
 
— нелінійна СІР Вольтерри-Урисона II роду з одиничною матрицею 
коефіцієнтів при yj(t), j =1,n ; 
 
n n x
 aij yi (x) =K ij[x,s, y j (s)]ds + f i (x), i =1,n  (4.11) 
j=1 j=1 a
 
— нелінійна СІР Вольтерри-Урисона II роду з постійною матрицею 
коефіцієнтів при yj(t), j =1,n ; 
81 
n x
 y i (x) = K ij [x, s]Fij [s, y j (s)]ds + f i (x), i =1, n  (4.12) 
j=1 a
 
— нелінійна СІР Вольтерри-Гаммерштейна II роду з одиничною 
матрицею коефіцієнтів при yj(t), j =1,n ; 
n n x
  aij y i (x) = K ij [x, s]Fij [s, y j (s)]ds + f i (x), i =1, n  (4.13) 
j=1 j=1 a
 
— нелінійна СІР Вольтерри-Гаммерштейна II роду з постійною 
матрицею коефіцієнтів при yj(t), j =1,n . 
В представлені магістерській роботі для моделювання динамічних 
процесів у електричних колах з розподіленими параметрами ми 
використовуємо математичні моделі у вигляді багатовимірного лінійного 
інтегрального рівняння Вольтерри ІІ роду   
 
t t
k (t) y (t)+ K (t, ) y ( )d = l (t) x (t )+ L (t, )x ( )d + f (t,t0 ) .  (4.14) 
t0 t0
 
У рівнянні (4.14) використовуються наступні позначення: 
Т
y (t) = ( y1 (t), y2 (t), yn (t))  — n-вимірний вектор вихідних сигналів 
(реакцій) системи;  
Т
x(t) = (x1 (t), x2 (t), xm (t))  — m-вимірний вектор вхідних (керуючих) 
впливів на систему; 
 
K11 (t, ) K12 (t, )  K1n (t, ) 
 
K21 (t, ) K22 (t, )  K2n (t, )
K (t, ) =  ; 
  
 
Kn1 (t, ) K 
n2 (t, )  Knn (t, )
  
82 
 L11 (t, ) L12 (t, )  L1m (t, ) 
 
L21 (t, ) L22 (t, )  L2m (t, )
L(t, ) =  ; 
  
 
L 
 n1 (t, ) Ln2 (t, )  Lnm (t, )
 
де K(t,τ), L(t,τ) — ядра інтегральних операторів Вольтерри, що відображають 
динамічні характеристики ланок системи; 
 
 k11 (t) k12 (t)  k1n (t)   l11 (t) l12 (t)  l1m (t)  
k (t) k (t)  k (t)  
l t l t  l t
k ( )  21 22 2n  ( ) ( ) ( )
t = ; ( )  21 22 2m
l t =  ; 
    
   
kn1 (t) k   
n2 (t)  knn (t) ln1 (t) ln2 (t)  lnm (t)
 
де k(t), l(t) — змінні матриці, причому, якщо не зазначено додатково, матриця 
k(t) вважається рівною одиничній матриці I;  
     t0 — момент початку функціонування системи (подачі керуючого впливу); 
     t — поточний момент часу. f (t,t ) = ( f 1(t,t ), f 2
0 0 (t,t0), , f n(t,t0))Т  — 
вільний член, що містить всю інформацію, необхідну для однозначного 
знаходження y(t) для всіх t ≥ t0. 
 
Системі (4.14) відповідає скалярне рівняння 
 
t
H y y(t) + H (t,s)y(s)ds =(t) ,                           (4.15) 
t0
де 
t
(t) = Giq (t, s) f (s)ds , 
t0
 
83 
яке наочно ілюструє наступні важливі властивості інтегральних рівнянь типа 
Вольтерри [14]. 
Властивість універсальності. Інтегральне рівняння з довільним 
ядром не може бути приведене шляхом еквівалентних перетворень до 
диференціальних рівнянь; зворотний перехід завжди можливий.  
Властивість зворотності. При деяких (не дуже жорстких) 

обмеженнях на ядро оператор, зворотний H , має вигляд  
 
t
R( t )+ R( t,s )( s )ds = g( t ) ,                     (4.16) 
t0
 
тобто має таку ж структуру ( R(t, s)  − резольвента рівняння). 
Властивість взаємності. Використовується симетрія перетворюючих 
властивостей  моделей (4.15), (4.16), що випливає із співвідношень: 
 
t
R( t,s )+ H( t, )R( ,s )ds = −H( t,s ) , 
s
 
t
H( t,s )+ R( t, )H( ,s )ds = −R( t,s ) .                         (4.17) 
s
 
Дана властивість представляє основу методів еквівалентних 
перетворень систем та їх синтезу. 
Властивість збіжності. Резольвента рівняння завжди може бути 
представлена у вигляді  ряду, що збігається, інтегральних ядер H (k) (t,s)  
 
 t
R( t,s ) = H ( k )( t ,s ) , H ( k )
 ( t ,s ) = H( t, )H ( k−1)( ,s )ds ,      (4.18) 
k=1 0
 
84 
тобто існує  межа H (k )
lim (t,s) = 0 ; дана властивість лежить в основі 
k→
наближених методів аналізу, апроксимації операторів і характеристик 
систем. 
Розглянуті властивості вказують на наступні особливості 
використання інтегральних рівнянь в завданнях моделювання динаміки 
лінійних електричних кіл [13] (застосування рядів  Вольтерри-Пікара [18] 
дозволяє віднести деякі особливості до нелінійних електричних кіл): 
1. Інтегральні рівняння вигляду (4.14) є єдиною формою опису 
стаціонарних і нестаціонарних ланцюгів, ланцюгів з розподіленими 
параметрами і запізнюванням, розрізняючись лише видом ядра. 
2. Завдання аналітичного і якісного дослідження динамічних систем 
вирішуються на основі методів функціонального аналізу. 
3. Завданню аналізу (розв’язання (4.14)) відповідають наступні 
зворотні завдання, що вирішуються через властивості обернення і взаємності, 
на основі єдиного підходу: 
• задача відновлення зовнішніх дій та синтезу управляючих дій по 
заданих струмах віток і вузловій напрузі в часовому просторі формулюється 
у вигляді інтегральних рівнянь Вольтерри першого роду. 
• задача ідентифікації при визначенні характеристик H (t, s)  
розімкненого ланцюга формулюються у вигляді рівнянь першого роду, 
отриманих з (4.14), при визначенні оператора замкнутого ланцюга – у вигляді 
рівнянь першого роду відносно R(t,s) , отримуваних із залежностей вигляду 
(4.14). 
4. При розв’язанні багатьох задач чисельного моделювання 
динамічних систем вдається реалізувати наступні переваги інтегральної 
постановки: згладжувальні властивості інтегральних операторів; вивчення, 
забезпечення і прискорення збіжності ітераційних методів; висока 
стійкість прямих методів. 
85 
5. Інтегральні методи дозволяють просто переходити від загальних 
виразів до чисельних шляхом використання відомих формул чисельного 
інтегрування та отримати при цьому більш точні результати ніж при 
використанні кінцево-різницевих методів, що використовуються при 
чисельних розв’язаннях диференціальних рівнянь. 
6. При використанні інтегральних методів полегшуються чисельні 
розрахунки електричних кіл з нелінійними та змінними параметрами 
порівняно з методами, основою яких є перетворення Лапласа та Фур’є так як 
при цьому не виникає необхідності у виконанні складних операцій 
встановлення зв’язку між струмами і напругами нелінійних елементів та 
параметричних елементів в операторній та частотній формах.  
Резольвента лінійного інтегрального рівняння є основним 
інструментом аналітичного розв’язання рівнянь [13, 14]. Її вигляд залежить 
тільки від вигляду ядер. Таким чином  вона не залежить від вільного члена 
(правої частини рівняння), а визначається лише «внутрішніми» 
властивостями рівняння, його ядром, і може використовуватися для якісного 
аналізу досліджуваного електричного кола.  
При розв’язанні інтегральних рівнянь Вольтерри другого роду з 
різницевими степенними ядрами, якими зазвичай описуються електричні 
кола, для знаходження резольвенти можливо скласти та розв’язати 
визначальне диференціальне рівняння [14]. Це є справедливим в одному 
важливих для практичних розрахунків динаміки електричних кіл випадків, 
якщо ядро рівняння Вольтерри 2-го роду є різницевим та має вигляд  
 
a (t)
K (t, s) = a (t) + a n−1 n−1
0 1(t)(t − s) + ... + (t − s)                (4.19) 
(n −1)!
 
при умові, що неперервності коефіцієнтів ak (t), k = 0, n −1, в [a, b) .  
 
Резольвента для (3.19) визначається виразом  
86 
d n g(t, s)
R(t, s) = , 
dx n
 
де функція g(t, s)  є коренем рівняння  
 
d n g d n−1g d n−2 g
− [a0 (t) + a1(t) + ... + an−1(t)g] = 0 , 
dt n dt n−1 dt n−2
при  
dg dg n−2
dg n−1
g = = ... = = 0 ,  =1.           (4.20) 
t=s dt t=s
dt n−2 t=s dt n−1 t=s
 
Для ядра  
b (t)
K (t, s) = b n−1
0 (t) + b1(t)(s − t) + ... + (s − t)n−1   
(n −1)!
 
d n g(t, s)
резольвента має вигляд R(t, s) = − , 
dx n
 
де g(t, s)  – розв’язок рівняння  
 
d n g d n−1g d n−2 g
+ [b0 (t) + b1(t) + ... + b (t)g] = 0 , 
dt n dt n−1 dt n−2 n−1
 
що задовольняє умові (4.20). 
 
Таким чином, призначення апарату інтегральних рівнянь стосовно до 
дослідження систем багато в чому співпадають з призначенням звичайних 
диференціальних рівнянь [14]. При цьому завданню Коші відповідають 
інтегральні рівняння типу Вольтерри, а крайовій задачі − рівняння типу 
Фредгольма [14]. Проміжне становище займають інтегро-диференціальні 
87 
рівняння, які можуть формуватися як для початкової, так і крайової задачі 
[14]. 
Розгляд довільної безперервної динамічної системи, як взаємної 
сукупності елементів, виходи і входи яких пов'язані причинними 
відносинами, призводить до опису їх в загальному випадку системою 
інтегральних рівнянь Вольтерри-Урисона [14]. 
До переваг інтегральних рівнянь Вольтерри при описі багатьох 
завдань слід віднести зручність і компактність опису. При цьому залежність 
між вихідними величинами і вхідними впливами представлена інтегральними 
операторами, ядра яких повністю визначають внутрішні властивості даних 
математичних моделей і одночасно трактуються як реакції системи на типові 
вхідні сигнали, тобто мають природно практичний зміст. 
Чисельна реалізація інтегральних залежностей принципово має високу 
стійкість, що також змушує в багатьох випадках віддавати їм перевагу. 
 
4.2 Чисельні методи та алгоритми, що використовуються при 
аналізі перехідних процесів в електричних колах за інтегральними 
моделями 
В основі алгоритмів, що використовуються для знаходження 
наближених розв’язків ІР Вольтерри і їх систем, на яких базуються 
математичні моделей електричних схем, лежить ряд чисельних методів 
різних типів і характеристиками. Одні з ци методів можуть бути застосовані 
до розв’язання різних видів ІР Вольтерри (в т.ч. першого й другого роду), 
інші — лише для рівнянь певного вигляду (як, наприклад, ітераційні методи 
застосовні тільки для рівнянь Вольтерри II роду). Далі зробимо порівняльний 
аналіз основних характеристик чисельних методів розв’язання ІР. 
Одним з найбільш ефективних методів розв’язання систем ІР 
Вольтерри є метод квадратурних формул [14, 17], який полягає в заміні 
інтегрального рівняння апроксимуючою системою алгебраїчних рівнянь 
(кінцевих) щодо дискретних значень шуканої функції і подальшому 
88 
розв’язанні отриманої системи [14]. При цьому в рівняннях Вольтерри 
фіксується верхня межа інтегрування, і застосовуються формули для 
наближеного обчислення інтеграла, що мають в загальному випадку вигляд 
[14] 
a n
 f (x)dx = Ai f (xi ) + R[ f ] , 
b i=1
 
де xi – фіксовані абсциси (вузли) відрізка [а,  b], причому x1=a, xn=b, Ai  – 
числові коефіцієнти або вагові множники,  
      R[f] – залишковий член (погрішність апроксимації); звичайно Ai≥0 і 
n
 Ai = b − a . 
i=1
 
Відома досить значна кількість квадратурних формул різних видів. 
Серед найвідоміших можна виділити формули Ньютона-Котеса (в т.ч. 
прямокутників, трапецій, Симпсона), Гауса, Чебишева тощо. Вибір формули 
квадратури при розв’язанні інтегральних рівнянь повинен бути узгоджений 
як з властивостями ядра, так і з характером шуканого розв’язку 
(підінтегральної функції). Це породжує велику кількість підходів і способів 
застосування методу квадратур [14]. 
Формули Ньютона-Котеса для обчислення визначеного інтеграла 
отримують шляхом заміни підінтегрального виразу інтерполяційним 
многочленом Лагранжа [11, 14] 
 
n (x − x1)(x − xi−1)(x − xi+1)(x − x )
L(x) = y n
i
i=1 (xi − x1)(xi − xi−1)(xi − xi+1)(xi − xn )  
 
Нехай вузли інтерполяції розташовані так 
 
89 
 xi = c + ih    (i=1, 2, …, n). 
 
Тут а або співпадає із c, і тоді припускатимемо, що b=a + (n  +  1)h, 
або c+h=a, і тоді припускаємо, що c+nh=b. В першому випадку вузли 
інтерполяції не містять точок c і d, а проміжок інтегрування розбивається 
вузлами на n+1 рівних частин. В другому випадку кінці проміжку 
інтегрування є вузлами інтерполяції, і проміжок інтегрування розбивається 
вузлами на n–1 рівних частин. Формули чисельної інтегрування, які 
отримуємо в першому випадку, називають формулами відкритого типу, а в 
другому випадку — формулами замкнутого (закритого) типу. При 
обчисленнях інтеграла за допомогою формул відкритого типу немає 
необхідності обчислень функції на границях відрізка інтегрування. 
Будемо вважати, що a=c + (1 – k)h,      b=c + (n + k)h. 
Для формул відкритого типу k=1, а для формул замкнутого типу k=0. 
Коефіцієнти формул Ньютона-Котеса не залежать від проміжку інтегрування і 
від виду f(x), а є функцією тільки від n. Тому їх можна обчислити попередньо. 
Крім того, рівновіддалені від кінців коефіцієнти рівні між собою. Значення 
коефіцієнтів Ai залежать від трьох параметрів: типу формули квадратури k, 
кількості вузлів інтерполяції n і номера вузла інтерполяції i. Значення 
квадратури коефіцієнти при k=0 (формули замкнутого вигляду) до 11-го 
порядку включно наведені в табл. 4.1 при k=1 (формули відкритого вигляду)  
— в табл. 4.2]. Для скорочення таблиць при фіксованому n знаменники дробів 
узяті однаковими і вказані в останньому стовпці. В попередніх стовпцях дані 
тільки чисельники. Залишкові члени формул Ньютона-Котеса наведені в 
табл. 4.2. 
 
 
 
 
 
90 
Таблиця 4.1 
Коефіцієнти замкнутих формул квадратури Ньютона-Котеса 
i 
1 2 3 4 5 6 Знаменники 
n 
2 1      2 
3 1 4     6 
4 1 3     8 
5 7 32 12    90 
6 19 75 50    288 
7 41 216 27 272   840 
8 751 3 577 1 323 2 989   17 280 
9 989 5 888 – 928 10 496 –4 540  28 350 
10 2 857 15 741 1 080 19 344 5 778  89 600 
11 16 067 106 300 – 48 525 272 400 – 260 550 427 368 598 752 
 
Таблиця 4.2 
 Коефіцієнти незамкнутих формул квадратури Ньютона-Котеса 
i 
1 2 3 4 5 Знаменники 
n 
2 1     2 
3 2 –1    3 
4 11 1    24 
5 11 –14 26   20 
6 611 –453 562   1 440 
7 460 –954 2 196 –2 459  945 
8 1 787 –2 803 4 967 –1 711  4 480 
9 4 045 –11 690 33 340 –55 070 67 822 9 072 
–15  673 –17  085 
10 2  752 447 –6  603 199 8  891 258 7  257 600 
880 616 
 
 
 
 
91 
Таблиця 4.3 
Залишкові члени квадратурних формул Ньютона-Котеса 
n k=0 k=1 
1 3
2 − h3 f ' ' ( ) 3
 h f ' ' ( )  
12 4
1 14
3 − h5 f IV ( )  h5 f ' '( )  
90 45
3
− h5 IV 95
4 f ( )  h5 f IV ( )  
80 144
8 41
5 − h7 f VI ( )  h7 f IV ( )  
945 140
275 7 VI 5257
6 − h f ( )  h7 f VI ( )  
12096 8640
9 9 VIII 3956
− h f ( )  h9 f VI
7 ( )  
1400 14175
8183 9 VIII 25713
8 − h f ( )  h9 f VIII ( )  
518400 44800
2368
− h11 f X 80335 11 VIII
9 ( )  h f ( )  
467775 299376
4671
− h11 X
10 f ( )   
394240
673175 13 XI
11 − h f ( )   
163459296
 
Наведемо найпростіші формули Ньютона-Котеса [14] закритого типу 
для обчислення певного інтеграла, для простоти вважаючи крок h постійним: 
 
формула прямокутників — 
 
b
a + b
 f (x)dx  (b − a) f ( ) ;                             (4.21) 
2
a
 
92 
формула трапецій — 
b
b − a 1
 f (x)dx  ( f (a) + f (b)) − h3 f ' '( ) ;                     (4.22) 
2 12
a
 
формула Симпсона — 
 
b
b − a a + b 1
 f (x)dx  ( f (a) + 4 f ( ) + f (b)) − h5 f ' '( ) ;         (4.23) 
6 2 90
a
 
формула “трьох-восьмих” — 
b
(b − a) 3 a + b 3 2(a + b) 3
f (x)dx = ( f (a) + f ( ) + f ( ) + f (b)) − h5 f IV
 ( ) . 
8 8 3 8 3 80
a
(4.24) 
 
Найпростіші формули відкритого типу: 
 
x2 1
 f (x)dx = 2hf 3
1 + h f ' '( ) ,                                   (4.25) 
3
x0
 
x3 3 1
  f (x)dx = h( f1 + f2 ) + h3 f ' '( ) , (4.26) 
2 4
x0
 
x4 4 28
  f (x)dx = h(2 f1 − f2 + 2 f ) + h5 f (4)
3 ( ) . (4.27) 
3 90
x0
 
Формули квадратури мають високу похибку на великому відрізку. Цю 
похибку знижують шляхом застосування загальних, або складених 
квадратурних формул. Такі формули одержують, якщо формулу квадратури 
застосувати не до всього відрізка, а розбити його спочатку на частини і до 
кожної частини окремо застосувати формулу квадратури. При цьому прагнуть 
93 
розбити на частини так, щоб інтеграл від відповідної вписаної ламаної був 
можливо більш близьким до інтеграла від f(x). При цьому значення інтеграла 
від f(x) на всьому відрізку [a, b] і похибку обчислень Rn визначають 
підсумовуванням відповідно знайдених значень інтеграла від функції на 
окремих відрізках [xi, xi+1]  і їх похибок Ri. 
Якщо функція f(x) має на [а,  b] неперервну похідну (d+1) порядку, то 
для оцінки похибки складених формул квадратури, що мають алгебраїчну 
степінь точності d, справедлива нерівність 
 
b− a
Rn ( f ) C(b− a)( )d+1M d+1, M d+1 =max f (d+1) ( ) , [a,b] .  (4.28) 
N
 
Тут С=1/2 у формулі лівих і правих прямокутників, С=1/24 у формулі 
середніх прямокутників, С=1/12 у формулі трапецій, С=1/2880 у формулі 
Симпсона. 
Мінімізація похибки (збільшення точності) формули квадратури на 
вибраному класі функцій досягається за рахунок вибору коефіцієнтів 
формули квадратури, а також за рахунок вибору вузлів інтегрування. 
Залежно від застосування вузли xi можуть вибиратися різними способами. 
Для формул трапецій, Симпсона і Буля рекомендують [14] вибирати 
рівновіддалені вузли. Для квадратури Гаусса-Лежандра вибрані вузли 
повинні бути нулями певних поліномів Лежандра. Чим менше вибирається 
крок розбиття, тим точніше виходить результат, проте при цьому 
збільшується кількість обчислювальних операцій, що вимагає додаткових 
ресурсів апаратної частини обчислювальної системи. Важливою особливістю 
обчислень при цьому є накопичення погрішностей із зростанням числа 
кроків, яке визначається не стільки величиною кроку і точністю обчислень на 
ньому, скільки вдалим або невдалим вибором способу заміни інтеграла 
кінцевою сумою [14]. Така ситуація має місце при моделюванні об'єктів в 
94 
природному часі, коли проміжок інтегрування може бути великим або навіть 
наперед невідомим [14].  
При розв’язанні інтегральних рівнянь на ПК достатньо широко 
застосовуються формули прямокутників і трапецій, що є формулами 
замкнутого вигляду, що пояснюється простотою розрахункових виразів [6].  
Квадратурні правила рідко використовуються для інтегрування 
поліномів, але розумно припустити [6], що чим більше алгебраїчна ступінь 
точності квадратурного правила, тим воно краще, принаймні, якщо 
підінтегральна функція близька до полінома. Тому таким правилам 
віддається перевага, хоча на практиці часто більш важливими є особливості 
стратегії застосування правила, а не воно саме. 
Метод коллокацій. Метод коллокацій заснований [14] на отриманні 
розв’язання по відрізках, довжина яких вибирається, і застосовується на 
кожному з них апроксимуючий вираз з невеликим числом координатних 
функцій. При розв’язанні систем інтегральних рівнянь Вольтерри добре 
зарекомендував себе метод коллокацій [14], заснований на заміні функцій 
кусково-гладкими поліномами, складеними по ділянках з поліномів вигляду 
 
l Ci ,k , j
Pi ,k+1(x) = P j
i,k (xk ,0 ) + (x − xk ,0 ) , k = 0,1,, M −1.           (4.29) 
j=1 j!
 
де xk ,v = (kl + v)h+ a,v = 0,l,k = 0,M −1 – фіксовані вузли проміжку 
інтегрування [a, b]  (індекс k  відповідає (k+1)-му відрізку, а індекс j – 
підвідрізку xk , j  x  xk , j+1  всередині відрізка; l≥1 – кількість підвідрізків; при 
цьому xk ,l = xk+1,0; x0,0 = a ). 
 
Вважаючи, що Pi (x)C[a,b], отримаємо 
 
95 
 Pi,k (xk ,0 ) = Pi,k−1(xk−1,l ) . 
 
Значення Pi,0(x0,0)=yi,0 (yi,0=yi(a)), i=1,2,…,n вважають відомими. 
Великою перевагою алгоритмів на основі методу коллокацій є велика 
гнучкість при виборі параметрів заміни функцій кусково-гладкими 
поліномами [24]. 
Метод вироджених ядер [15]. Властивість наростання об'єму 
обчислень у міру збільшення номера кроку відноситься, найчастіше, до 
випадку розв’язання рівнянь з довільними ядрами. Велике збільшення 
швидкості обчислень дозволяє отримати метод вироджених ядер, 
особливістю якого є незмінне число обчислень на кроці [15]. Наприклад, для 
інтегрального оператора Вольтерри з ядром, що розділяється, матимемо 
 
x x m m x
 K (x,s)y(s)ds =  i (x) i (s)y(s)ds = i (x) i (s)y(s)ds . (4.30) 
a a i=1 i=1 a
 
Після апроксимації інтеграла в (3.30) і застосуванні квадратурних сум 
отримаємо 
 
xi m xi m n
K (x, s)y(s)ds = i (x) i (s)y(s)ds = i (x)i (x j )y(x j ) =
a i=1 a i=1 j=0
m n−1
 = i (x)[i (xn )y(xn ) +i (x j )y(x j )] =  (4.31) 
i=1 j=0
m m n−1
= i (x)i (xn )y(xn ) + i (x)i (x j )y(x j ).
i=1 i=1 j=0
 
m n−1
Значення суми  (x) (x )y(x )  відоме, оскільки воно обчислено 
i i j j
i=1 j=0
на попередньому (i-1)-му кроці. Далі обчислюємо значення суми, щоб 
отримати незмінну кількість операцій на кожному i-му кроці. Переважна 
96 
кількість ІР, що використовуються для вирішення практичних задач, має  
своєму складі різницеві ядра. Як правило вони представлені в аналітичному 
вигляді і можуть розділятися [14]. Переваги використання методу 
вироджених ядер стосовно скалярних інтегральних рівнянь Вольтерри 
продемонстровані в [14]. Методи апроксимації ядра виродженим описані в 
[14, 15]. 
Ітераційні методи. Для вирішення ІР Вольтерри II роду та їх систем, 
якими описують електричні кола, можливе застосування ітераційних методів. 
Існує багато різновидів ітераційних методів, що розрізняються областю і 
швидкістю збіжності, класом вирішуваних задач тощо [14]. Ітераційний 
метод як інструмент отримання наближених чисельних розв’язків може бути 
як самостійним, так і допоміжним, уточнюючим результати, отримані 
заздалегідь яким-небудь іншим методом, наприклад, методом квадратур або 
коллокацій [14]. 
Широке застосування для розв’язання скалярних інтегральних рівнянь 
отримали метод простої ітерації [14] і метод Ньютона-Канторовича [11]. 
Експерименти над цими методами показали також їх ефективність у ряді 
випадків розв’язання систем інтегральних рівнянь. Метод простої ітерації 
стосовно систем лінійних інтегральних рівнянням Вольтерри II роду завжди 
сходиться при слабих обмеженнях на ядро і праву частину [14]. При 
розв’язанні нелінійних рівнянь область збіжності методу простих ітерацій 
звужується, а якщо процес і сходиться, то у багатьох випадках швидкість 
збіжності може виявитися дуже низькою [14]. Одним з ефективних методів 
подолання вказаних труднощів є застосування методу Ньютона-Канторовича, 
який дозволяє значно прискорити збіжність в порівнянні з методом простої 
ітерації [11, 14]. 
Адаптивні алгоритми. Прагнення покращення точності розв’язання 
систем інтегральних рівнянь привели до необхідності розробки адаптивних 
алгоритмів [14]. Якщо розв’язання системи інтегральних рівнянь швидко 
міняються на інтервалі інтегрування, тоді для їх розв’язання доцільно 
97 
застосовувати адаптивні алгоритми, які сітку апроксимації адаптують 
відповідно до поведінки розв’язання [14]. Оскільки алгоритми розв’язання 
систем інтегральних рівнянь містять в собі операції обчислення певного 
інтеграла, в багатьох роботах детально розглядаються підходи до побудови 
адаптивних алгоритмів обчислення визначеного інтеграла [14]. 
Розв’язування нелінійних інтегральних рівнянь Вольтерри з 
підвищеною точністю. При моделюванні сучасних складних 
електротехнічних систем часто виникає необхідність у відтворенні 
властивостей окремих елементів схеми з високим степенем адекватності [14]. 
Оскільки електротехнічні системи в багатьох випадках є нелінійними 
об’єктами, доводиться мати справу із нелінійними моделями, в тому числі у 
вигляді нелінійних інтегральних рівнянь та їх систем [14].  
 
Висновки до розділу 4 
Встановлено, що застосування методу квадратур до реалізації моделей 
електричних, що містять елементи з розподіленими у формі інтегральних 
рівнянь Вольтерри ІІ роду приводить до стійких алгоритмів рекурентного 
типу.  
Для забезпечення високої швидкості обчислень доцільно 
використовувати властивість роздільності ядер із застосуванням точних 
аналітичних або наближених чисельних перетворень.  Застосування 
квадратур до чисельної реалізації нелінійних інтегральних рівнянь також 
дозволяє отримати ефективні алгоритми моделювання, проте 
обчислювальний процес при цьому стає складнішим через появу додаткових 
циклів, що враховують нелінійні операції. Необхідна швидкодія 
забезпечується при застосуванні ядер, що розділяються.  
 
 
 
 
98 
РОЗДІЛ 5 
СТВОРЕННЯ КОМПЮТЕРНОЇ ПРОГРАМИ, ДЛЯ ПРОВЕДЕННЯ 
АНАЛІЗУ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ З РІЗНОРІДНИМИ ЕЛЕМЕНТАМИ 
НА ОСНОВІ ЗАСТОСУВАННЯ ІНТЕГРАЛЬНИХ МОДЕЛЕЙ 
 
5.1 Розробка комп’ютерної програми в середовищі MATLAB для 
чисельного розрахунку інтегральних рівнянь  
В публікаціях [24, 41] показано, що однією з найважливіших і 
справедливо оцінених якостей системи MATLAB, є можливість її 
модифікації з метою розв’язання нових науково-технічних задач [98]. 
Програмний пакет MATLAB дає широкий доступ користувачам до її коду на 
гнучкій і потужній (і в той же час простій) мові програмування цієї системи. 
Вона є однією з кращих і високоефективних мов програмування для науково-
технічних розрахунків і створення засобів моделювання різних пристроїв і 
систем. У тому числі зручних і дуже наочних візуально-орієнтованих засобів 
аналізу, ідентифікації, побудови і моделювання систем. 
 У зв'язку з вищевикладеним, саме пакет MATLAB був вибраний як 
платформа для реалізації програмних засобів обчислення. 
На основі представлених в [14] алгоритмів розв’язання ІР, створена 
програма у вигляді модуля розширення системи MATLAB. Програма 
представляє собою m-файл, який виконує роль програми. 
 
5.2 Текст m-файлу 
function [y,dy,ier] = volts1(f,x,kern,n,epss) 
%VOLTS1 Solution of Volterra IE of the II-kind. 
%       [Y,DY,IER] = VOLTS1(F,X,'kern',N,EPSS) for Volterra integral 
%       equation of the I-kind with right hand side F (with 
%       dimension N) define in the points X (with dimension N) 
%       produces a new vektors Y (with dimension N) which solves 
%       IE and DY (with dimension N) with errors 
99 
%       of this solution. 'kern' is a string containing the name 
%       of the function with a kern of IE, normally 
%       an M-file. For example, to find the Y that solve the Volterra 
%       IE of the I-kind 
% 
%       F(X) = Y(X) - INTEGRAL (1-(X-S)*exp(2*X))*Y(S)*dS 
% 
%       Use [Y,DY] = VOLTS1('kern',F,X) where KERN is the M-file 
% 
%       function kk = kern(x,s) 
%       kk=1.0-(x-s).*exp(2.0.*x); 
% 
%       VOLTS1 can take many other optional parameters; see the M-file 
% for more information. 
% 
%       See also VOLTF1. 
 
%       Copyright (c) 1996 by the MathWorks, Inc. 
%       Coded in MATLAB by. 
 
%  [Y,DY,IER] = VOLTS1(KERN,F,X,N,EPSS) 
% 
%  This function is for solving Volterra integral equation of the 
%  first kind. 
% 
%  *** INPUTS *** 
%  KERN     - The name of a function with a kern of integral equation. 
%  F        - A vector of Volterra integral equation right hand side 
%             with N elements corresponding to X. 
%  X        - A vector of independent variable with N elements. 
100 
%  N        - (optional) Dimension of vectors F and X. 
%  EPSS     - (optional) The prescribed accuracy EPSS>0 wich is used for 
%             testing of condition ABS[1-0.5h*K(x,x)] > EPSS. 
% *** OUTPUTS *** 
%  Y        - The solution of Volterra IE of the I-kind 
%             with N elements corresponding to X. 
%  DY       - (optional) The solution errors of Volterra IE 
%             equation of the first kind with N elements corresponding to X. 
%  IER      - (optional) Error indicator (equals 0 for normal 
%             completion). 
 
%  Based on quadrature method: Section 1.3 of the book 
%       A.F.Verlan and V.C.Sizikov, Integral Equations: Methods, 
%       Algorithms, Programs.  
%       1986. Please refer to that book if you need more 
%       detailed information about the algorithms. 
 
if nargin < 5 
epss=0.00005; 
end 
 
szx=size(x); 
szf=size(f); 
if nargin < 4 
n=min(szx(2),szf(2)); 
else 
  if n~=min(szx(2),szf(2)); 
  ier=4 
  break 
  end 
101 
end 
 
if min(diff(x))<=0 | n<1 ier=1; else ier=0; end 
if ier==1 | epss<0 
ier=1 
break 
end 
% 
y(1)=f(1); 
dy(1)=0.0; 
if n~=1 
d=[0 1.0-diff(x)/2.0.*feval(kern,x,2:n,2:n)]; 
  if min(abs(d(2:n)))<=epss 
  ier=2 
  break 
  end; 
end 
y(2)=(f(2)+(x(2)-x(1))/2*feval(kern,x,2,1)*y(1))/d(2); 
dy(2)=0.0; 
if n~=2 
[y,dy]=ymy(kern,f,x,d,n,1,y,dy); 
end 
 
5.3 Розв'язування прикладної задачі  
В енергосистемах де є швидкозмінні навантаження, наприклад 
електродугові печі, зварювальне обладнання, прокатні стани часто 
вимагається підвищена увага до регулювання напруги живлення, зокрема її 
коливань. 
Одним із способів вирішення вказаної проблеми є використання 
пофазного регулювання параметрів показників якості електроенергії. 
102 
Пристроями, що дають змогу реалізувати таке керування є так звані 
«багатофункціональних пристроях керування» (БФПК) створених на основі 
силових перетворювачів на напівпровідникових приладах з суттєво 
нелінійними характеристиками [32].  
Проведення моделювання пристроїв БФПК передбачає визначення їх 
параметрів, коли буде забезпечена можливість згладжування провалів 
(коливань), також такими пристроями можна обмежувати пускові струми ЕД, 
струми КЗ та струми недопустимих перевантажень.  
Досить широкими можливостями володіє БФПК, принципова схема 
однієї фази якого наведена на рис. 5.1 [33]. БФПК має два плеча 
регулювання, що вмикаються симісторами S1, S2. Режим роботи БФПК 
вибирається їх перемиканням: при включенні S1 і вимкненому S2 
(підключена тільки конденсаторна батарея C ) відбувається підвищення 
напруги і зменшення еквівалентного індуктивного опору; при включенні S2 і 
вимкненому S1 (підключений тільки дросель L ) - пониження напруги і 
збільшення еквівалентного реактивного опору; при одночасному включенні 
обох симісторів утворений дроселем і конденсатором LC  – фільтр-пробка 
ефективно обмежує струм аварійного короткого замикання. 
 
 
Рис. 5.1  Принципова схема БФПК  
103 
Для виключення надструмів при регулюванні плечем з конденсатором 
C  комутація тиристорів VS1, VS2 здійснюється примусово шляхом їх 
виключення в кожному на півперіоді, в моменти часу, відповідні куту 
керування   (відраховується від кінця напівперіоду), тоді як включення VS1, 
VS2 відбувається в моменти рівності напруг регулювальної секції 
трансформатора і конденсатора u3( )= uc( ) . 
Регулювання напруги у бік її пониження і підвищення проводиться 
зміною кута керування    (відраховується від початку напівперіоду) 
тиристорів VS1, VS2 при включеному ключі S2. Комутація тиристорів в 
цьому випадку природна, що виключає виникнення перенапруг. 
При коротких замиканнях ефективне обмеження струмів аварійних 
коротких замикань може бути проведено одночасним включенням двох 
плечей БФПК − з індуктивністю L  і ємністю C , для чого симісторами S1 і S2  
повинні бути включений, а тиристори VS1, VS2 заблоковані. 
Математичний опис подібних пристроїв, до яких входять 
трансформатори, ключові елементи, система автоматичного керування являє 
собою систему нелінійних ІДР досить значного порядку. Більш того, завдяки 
наявності в схемі керованих елементів, що працюють в ключових режимах, 
математична модель такої системи є дискретно-безперервною, в якій 
комутації ключів приводять до зміни не тільки порядку, але і структури 
самих рівнянь, відповідних комутаційним інтервалам. 
Тому, представляється ефективним застосувати математичний опис  
БФПК у вигляді системи нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь з 
безпосереднім її розв’язанням. Це пов'язано з тим, що традиційний спосіб 
розв’язання систем інтегро-диференціальних рівнянь шляхом їх зведення до 
диференціальних пов'язаний із збільшенням порядку вирішуваної системи, 
що є небажаним, особливо у разі нелінійної моделі. 
104 
При моделюванні керованих джерел живлення схему БФПК (Рис. 5.1) 
можна представити у вигляді еквівалентної принципової схеми, показаної на 
рис. 5.2.  
В той же час, отримання розв’язку системи ІДР шляхом приведення її 
до системи інтегральних рівнянь, використовуючи еквівалентні 
перетворення, хоча і дозволяє використовувати швидкозбіжні і що мають 
високу стійкість методи розв’язання інтегральних рівнянь, проте важко 
здійсненні через складність подібних еквівалентних перетворень. 
Для розв’язання системи ІДР доцільно застосувати квадратурно-
різницевий метод безпосереднього рішення систем інтегро-диференціальних 
рівнянь, заснований на поєднанні різницевих методів, відомих з теорії 
диференціальних рівнянь, і методів квадратурної апроксимації інтегрального 
оператора, що використовуються при чисельному розв’язанні інтегральних 
рівнянь. 
 
 
Рис. 5.2. Схема заміщення БФПК  
 
Система ІДР для розрахунку БФПК, записана щодо потокозчеплень 
обмоток 1...  4 , має вигляд 
 
105 
d1 1 t
 = u − R1i1 −  (i1 − i3 )dt − R i
k ( 1 − i3 );
dt C 3
 0
d
 2 = −(R + R
 í 2 )i2;
dt
            (5.1) 
d 3 1 t
 =  (i1 − i3 )dt − R3i3 − R (i3 − i4 ) + R i − i ;
dt C m k ( 1 3 )3
 0
d 4
 = R (i3 − i4 ) − (R + R
k3 4 + Rp )i4 ,
 dt
 
де R1 R4, Rí   − активні опори обмоток трансформатора і навантаження 
відповідно; 
           Rk , R , R
3 k4 m  − опори керованих ключів; 
 C  − ємність конденсатора; 
 i1 i4  − струми в обмотках, що визначаються системою алгебраїчних 
рівнянь 
(L1 + L1)i1 + M12i2 + M13i3 + M14i4 =1;

M21i1 + (L2 + L 2 + Lí )i2 + M23i3 + M24i4 = 2;

M31i1 + M32i2 + (L3 + L 3 )i3 + M34i4 =3;               (3.2) 

M
 41i1 + M42i2 + M43i3 + (L4 + L 4 + Lp )i4 = 4 ,
 
2
w j
де L j = , j = 1,4 ; 
R
 L1 L 4  − індуктивності розсіювання; 
wi w j
 Mij = ,   i, j = 1,4  − взаємні індуктивності обмоток 
R
трансформатора; 
106 
 w1 w4  − число витків обмоток трансформатора; 
H lcp
 R =   − магнітний опір магнітопроводу трансформатора, що є 
B S
нелінійною функцією сумарних ампер-витків всіх обмоток трансформатора; 
i
H = 1w1 + i2w2 + i3w3 + i4w4
  − напруженість магнітного поля; 
lcp
 B  − індукція магнітного поля в осерді трансформатора; 
 lcp , S  − довжина середньої лінії і площа поперечного перетину 
магнітопроводу. 
 
При розв’язанні системи (5.1) значення магнітного опору R  
вважають постійним. Це пов'язано з тим, що результати моделювання 
нелінійної системи рівнянь (5.1), коли магнітний опір є функцією струмів, 
якісно не відрізняються від відповідних їм для лінійної системи, проте 
алгоритм обчислення струмів  значно ускладнюється через необхідність 
застосування спеціальних методів розрахунку, наприклад, методу Ньютона. 
Досліджені наступні можливі режими роботи БПФК для двох 
можливих способів управління тиристорами VS – фазо-імпульсному і 
широтно-імпульсному: 
1) – включене плече з конденсатором  С: Rk3 = 0,Rk4 =,Rт – 
регульоване. 
2) – включене плече з дроселем Lp :  Rk3 =,Rk4 = 0,Rт – 
регульоване. 
3) – включені обидва плеча одночасно: Rk3 = 0,Rk4 = 0,Rт = . 
На рис. 5.3 показані результати моделювання режиму 1 для випадку 
широтно-імпульсного управління тиристорами VS .  
107 
При цьому способі управління включення і виключення зустрічно-
паралельно включеної пари тиристорів VS проводилися на проміжки часу, 
відповідні цілому числу періодів шляхом одночасної подачі імпульсів 
управління на їх управляючі електроди. При цьому включення тиристорів VT 
проводилися в моменти t1 рівності напруг uc  конденсатора і u3  
регулювальної обмотки w3 , а їх виключення – в моменти t2 при переходах 
струму тиристора i  через нуль, цим забезпечувалася їх природна комутація. 
т
Криві, приведені на рисунку, відповідають відношенню числа періодів 
ввімкнутого і вимкненого станів тиристорів VS , рівному одиниці.  
Як видно з рисунку, комутації тиристорів відбуваються без 
виникнення надструмів і перенапруг, при цьому форма вихідної напруги u2 
залишається синусоїдною. Проте при цьому способі регулювання  
виникнення субгармонійних коливань на частотах низьких порядків є 
неминучим і їх амплітуда виявляється пропорційною прийнятому в режимі 1  
діапазону регулювання БПФК.  
 
7 
108 
На рис. 5.4 приведені результати моделювання режиму 1 БПФК при 
фазо-імпульсному управлінні тиристорами VS для кута управління 
тиристорами, рівного 900.   
Як і у попередньому випадку включення  тиристорів проводилися в 
моменти рівності напруг uc і u3, тоді як їх виключення проводилися 
примусово, в моменти проходження струму iò  через чергове мінімальне 
значення в коливальному  процесі його зміни. 
Як видно з рисунку, надструмів при комутації тиристорів також не 
виникає, тоді як для зменшення перенапруг на тиристорах Rт було потрібно 
застосування демпфірувальних RC-ланцюгів. При цьому способі управління 
субгармонійних коливань не виникає. Несинусоїдність вихідної напруги  u2, 
залежна від прийнятого діапазону регулювання напруги, істотно 
зменшується завдяки наявності конденсатора. 
 
 
Рис. 5.4. Фазо-імпульсне управління 
 
109 
Моделювання проводилося для БПФК, виконаного на базі силового 
трансформатора потужністю 250 кВт, навантаженого асинхронним двигуном, 
потужністю 100кВт. При цьому параметри БПФК мають наступні значення: 
lср 1
w1 =1300 , w2 = 52 , w3 = w4 =130 , =114.4 , C = 79 мкФ, 
S м
R1 = 3.397Ом, R2 = 0.0492Ом, R1 = R4 = 0.3394Ом, R p = 0.5 Ом, 
Rм =14300Ом, L p = 0.127 Гн, L1 = 0.028Гн, L2 = 3.810−5 Гн, 
L3 = L3 = 0.0029Гн. 
Результати моделювання пристрою регулювання напруги співставлені 
з реальними експериментальними даними і встановлено, що запропонована 
математична модель у формі ІДР повністю адекватна досліджуваному 
об'єкту, при цьому розмірність моделі нижче ніж у еквівалентної 
диференціальної моделі.  
 
Висновки до розділу 5 
Встановлено, що застосування методу квадратур до реалізації моделей 
електричних кіл, що містять елементи з ідеалізованими вентильними 
властивостями (ідеальні комутатори) у формі інтегральних рівнянь 
Вольтерри ІІ роду приводить до стійких обчислювальних схем.  
Розроблена комп’ютерна програма для розв’язання інтегральних 
рівнянь Вольтерри II-го роду 
За допомогою розробленої програми розв’язана прикладна задача – 
моделювання роботи пристрою БФПК, робота якого заснована на 
використанні силових вентильних елементів.  
 
 
 
 
110 
ВИСНОВКИ 
 
В магістерській роботі розроблені, обґрунтовані та досліджені методи 
формування інтегральних динамічних моделей електричних кіл, що містять 
різнорідні елементи (з розподіленими параметрами та з суттєвими 
нелінійностями), а також реалізовані розглянуті чисельні алгоритми у вигляді  
програмних засобів для комп'ютерного моделювання.  
Основні результати магістерської роботи полягають у наступному. 
1. Виконано систематизацію та аналіз існуючих методів моделювання 
динаміки електричних кіл з різнорідними елементами. На основі проведеного 
порівняльного аналізу визначено область доцільного застосування підходів. 
2. Проведений аналіз існуючих методів дослідження перехідних 
процесів в лініях з розподіленими параметрами показав, що використання 
інтегральних моделей для математичного опису досліджуваних об’єктів 
представляє собою перспективний підхід як до розв’язання мережевих задач, 
так і при розрахункові динамічних режимів в окремих лініях. 
3. Показано, що обмежене використання інтегральних вузлових 
моделей для задач аналізу кіл з розподіленими параметрами пояснюються 
складністю розв’язання інтегральних рівнянь Вольтерри для класу задач, що 
розглядалися. 
4. Обґрунтовано підхід до підвищення ефективності та розширення 
можливостей методів і засобів розрахунку динаміки електричних кіл з 
нелінійними елементами широкого класу на основі застосування 
інтегральних динамічних моделей.  
5. Виконано систематизацію методів формування інтегральних 
рівнянь електричних кіл. Виявлено, що широке застосування інтегральних 
динамічних моделей електричних кіл стикається із певними труднощами, а 
питання їх чисельної реалізації розроблені не в повній мірі.  
111 
6. Встановлено, що відсутні типові програмні засоби аналізу динаміки 
електричних кіл на основі інтегральних динамічних моделей, що обмежує 
можливості математичного моделювання сучасних прикладних задач. 
7. На основі запропонованих алгоритмів розроблено комп’ютерну 
програму розв’язання ІР у вигляді m-файлу розширення для моделюючого 
середовище  MATLAB.  
8. За допомогою розробленої програми вирішена модельна задача 
розрахунку параметрів БФПК на силових нелінійних елементах, що 
підтверджує функціональну працездатність запропонованого підходу. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
112 
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ 
 
1. Безносова О. І. Інтегральні рівняння в аналізі перехідних режимів 
в електричних мережах / О. І. Безносова. // Тези доп. Республіканської конф. 
«Інтегральні рівняння в прикладному моделюванні». Київ: ІПМЕ АН, 1986. – 
Ч.І. C. 59-60. 
2. Бельтюков Б. А. До розв'язання нелінійних інтегральних рівнянь 
методом Ньютона/Б. А. Бельтюков// Диференц. рівняння, 1966, 11 №6, С. 
1072 - 1084. 
3. Бобало Ю. Я.  Основи теорії електронних кіл / Ю.Я. Бобало, 
Б. А. Мандзій, П. Г. Стахів, Л. Д. Писаренко , Ю. І. Якименко ; за ред. проф. 
Ю. Я. Бобала. – Львів: Видавництво Національного університету «Львівська 
політехніка», 2008. – 332 с.  
4. Боєв В. М. Використання розривних функцій для розрахунку 
перехідних процесів та імпульсних впливів у лінійних електричних ланцюгах 
// Електронне моделювання. – 2002.  № 6. С. 67-79. 
5. Бондаренко В. М., Дослідження та розробка алгоритмів та 
програм машинного проектування електронних схем / В. М. Бондаренко, В. 
В. Пфенінг. Препринт - 56, К.: ІЕД АН УРСР, 1973. – 68 с. 
6. Бондаренко В. М. Алгоритми цифрового моделювання лінійних 
електричних та електронних схем / В. М. Бондаренко, Н. С. Цап. - Препринт - 
69, К.: ІЕД АН, 1973. – 41 с. 
7. Брікман М. С. Інтегральні моделі у сучасній теорії управління / 
М. С. Брікман. - Рига: Зінатне, 1979. – 224 с. 
8. Брон Л. П. Алгоритмічна система аналізу електромагнітних 
процесів у системах, що містять перетворювальні пристрої / Л. П. Брон, В. З. 
Манусов, В. Ш. Пасік // Сучасні завдання перетворювальної техніки. – К.: 
Інститут електродинаміки АН УРСР, 1975. – Т.3. – С. 110-118. 
113 
9. Васильєв В. В. Порівняльний аналіз частотних характеристик 
апроксиматорів інтегро-диференціальних операторів нецілих порядків на 
основі ланцюгових RC-схем / В. В. Васильєв, О. О. Качмарчик, К. В. Киркач 
// Електроніка та системи упр. – 2011. – N 2. – С. 5-10. 
10. Верлань А. Ф. Метод інтегральних рівнянь у задачі опису та 
розрахунку електричних ланцюгів /А. Ф. Верлань // Електронне 
моделювання, 1983, – №5. – С. 8-12. 
11. Верлань А. Ф. Про застосування методу Ньютона - Канторовича 
до аналізу процесів у нелінійних електричних ланцюгах. /А. Ф. Верлань // 
Теоретична електротехніка та електроніка, 1979, вип. №26, С. 130-135. 
12. Верлань А. Ф. Деякі особливості інтегрального методу 
математичного моделювання / А. Ф. Верлань // Електроніка та моделювання, 
1975, вип. №5, С. 82-86. 
13. Верлань А. Ф. Математичне моделювання безперервних 
динамічних систем:/А. Ф. Верлань, С. С. Москалюк – Відп. ред. Пухов Г. Є. 
АН УРСР. Ін-т проблем моделювання в енергетиці. – Київ: Наук. думка, 
1988. – 288 с. 
14. Верлань А. Ф. Інтегральні рівняння: методи, алгоритми, 
програми. / А. Ф. Верлань, С. С. Сізіков – К.: Наукова думка, 1986. – 543 с. 
15. Верлань О. Ф. Рекомендації щодо застосування методу 
вироджених ядер до розв'язання інтегральних рівнянь / О. Ф. Верлань, І. А. 
Серікова, Б. Б. Абдусатаров – Київ: Наук, думка, 1981. - 52 с. 
16. Вольтерра В. Теорія функціоналів, інтегральних та інтегро-
диференціальних рівнянь: Пер. з англ. / За ред. П.І. Кузнєцова. – К.: Наук. 
думка. Головна редакція фізико-математичної літератури, 1982. – 304 с. 
17. Горошко І. О. Комп'ютерна реалізація розв'язання систем 
інтегральних рівнянь Вольтерри при дослідженні багатозв'язкових 
динамічних об'єктів / І. О. Горошко, В. А. Тихохід // Електронне 
моделювання. – К., 2007. – Т. 29, №3. – С. 101-107. 
114 
18. Дзядик В. К. Апроксимаційні методи вирішення 
диференціальних та інтегральних рівнянь / В.К. Дядик − Київ: Наук. думка, 
1988. − 121 с. 
19. Іванов У. У. Методи обчислень на ЕОМ. Довідковий посібник / 
В. В. Іванов – К: Наук. думка, 1986. - 584 с. 
20. Кадимов Я. Б. Перехідні процеси в системах з розподіленими 
параметрами/Я. Б. Кадимов - К.: Наукова думка, 1968. - 191с. 
21. Ключка К. М. Методи отримання інтегральних динамічних 
моделей електричних кіл / К. М. Ключка // Вісник Черкаського державного 
технологічного університету, 2009. − №1. − С. 28-30. 
22. Ключка К. М. Обчислювальний експеримент для порівняння 
чисельних методів розрахунку диференціальної та інтегральної моделі 
електричного кола. / К. М. Ключка // Збірник тез (за матеріалами 
Міжнародної науково-практичної конференції «Обробка сигналів і 
негаусівських процесів» на базі Черкаського державного технологічного 
університету), 2007. − С. 35-37. 
23. Максименко С. М. Чисельні алгоритми апроксимації функцій 
двох змінних стосовно розв'язання інтегральних рівнянь / С. М. Максименко, 
О. В. Козак // Моделювання та інформаційні технології. - К.: ІПМЕ, 2006. - 
Вип. 36. - С. 40-51. 
24. Matlab Documentation. Режим доступа к ресурсу: 
http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/helpdesk.html. 
25. Мороз В. І. Інтегральні рівняння в моделюванні керованих 
електромеханічних систем / В. І. Мороз // Електротехніка і електромеханіка, 
2007. − №3. − С. 39-43. 
26. Перхач В. С. Математичні задачі електроенергетики / 
В. С. Перхач – Лвів: Вища школа, 1989. – 464 с. 
115 
27. Петренко А. І. Розвиток методів чисельного інтегрування у 
підсистемах автоматизованого проектування електронних схем (аналітичний 
огляд) / А. І. Петренко, А. І. Цирфа // Електрон. моделювання. – 1991. – 13, 
№1. – С. 30-38. 
28. Пухов Г. Є. Інтегральні методи розрахунку електричних кіл / 
Г. Є. Пухов – Теоретична електротехніка, 1966, вип. 2, С. 5-14. 
29. Пухов Г. Є. Наближені методи математичного моделювання, що 
ґрунтуються на застосуванні диференціальних перетворень / Г.Є. Пухов. – 
Київ: Наукова думка, 1988. – 216 с. 
30. Пухов Г. Є. Перспективні методи математичного моделювання 
енергетичних об'єктів / Г. Є. Пухов // Вісн. АН УРСР. – 1988. – № 1. – С. 10-
20. 
31. Ситник О.О. Один з методів застосування інтегральних рівнянь 
до аналізу лінійних стаціонарних електричних кіл із зосередженими 
параметрами / О. О. Ситник, К. М. Ключка // Збірник наукових праць ІПМЕ 
ім. Г.Є. Пухова НАН України − К., 2007. − В.43. − С. 109-118. 
32. Федій В. С. Дослідження електромагнітних процесів в 
електричних ланцюгах із комутаторами / В. С. Федій // Пр. Ін-ту 
електродинаміки НАН України: Зб. наук. пр. – К.:ІЄД НАН України, 2007. – 
№1 (16). - Ч. 2. - С. 91-94. 
33. Шидловський О. К. Деякі питання розробки та застосування 
статичних джерел реактивної потужності /О. К. Шидловський, В. С. Федій // 
Підвищення ефективності перетворювальної техніки. – К.: Наукова думка, 
1973. – Вип. 4. – С. 319-334. 
34. Bewley L. V. Travelling waves on transmission systems. / L.V. 
Bewley – New York, 1951. – 543 p.  
116 
35. Beznosova O. I., Step-by-step numerical method for decision of 
Volterr kind integral equations / O. I. Beznosova, E. P. Semagina // Proceedings of 
the International Conference "Integral equations – 2010" dedicated to 50 years of 
the Department of Numerical Mathematic, 25–27 August 2010 (Lviv).– Lviv: 
PAIS, 2010. P. 11-16  
36. Beznosova O.I., Semagina E.P. Numerical Algorithms of Integral Models 
Analysis for Systems with Distributed and Lumped Parameters, Proc. of IXth Int. 
Workshop “Computational Problems of Electrical Engineering” (CPEE’08) Alushta, 
Sept. (2008), Р.16-20. 
37. Semagina E.P., Beznosova O.I. Transmission line analysis via Taylor 
series// International Journal of Circuit Theory and Application. – 1992. – 20. – P. 371– 
386. 
38. Birkeland Illustrated Mathematics: Visualization of Mathematical 
Concepts with Mathcad PLUS 6.0 / Birkeland, Byrge., Studentlitteratur, Lund, 
Sweden, 1997.– 316 p. 
39. Breitenecker F., Husinsky I. Results of the EUROSIM Comperision 
Lithium Cluster Dynamics / F. Breitenecker, I. Husinsky – Trends in Continuous 
Simulation Software // EUROSIM’95, P. 9-15. 
40. Brulinski P., Zielinski I.S. Comparison of Some Algorithms Applied 
to Digital Ccalculations of transient phenomena in transmission lines with 
distributed parameters // Rozprawy elektrotechiczne Warszawa. – 1983. – t. 29. – 
P.3-15. 
41. Building GUIs with Matlab. – The MathWorks Inc., 1997. 
(www.mathworks.com). 
117 
42. Методичні рекомендації до підготовки магістерської роботи 
бакалавра для здобувачів освітнього ступеня магістр спеціальності 141 
«Електроенергетика, електротехніка та електромеханіка» усіх форм навчання 
[Електронний ресурс] / [Упоряд.: Ситник О.О., Яценко І.В., Самойлик О.В.]; 
М-во освіти і науки України, Черкас. держ. технол. ун-т. – Черкаси: ЧДТУ, 
2021. – 32 с. 
43. Тирсін О.Р., Ключка К.М. «Перспективи розвитку методів 
моделювання динамічних процесів в електричних колах» // Збірник тез 
доповідей студентської науково-практичної конференції ЧДТУ, 23-24 квітня, 
Черкаси. 2024. – С. 59-60.
ChSTU repository

ChSTU repository preserves and enables easy and open access to all types of digital content including text, images, moving images, mpegs and data sets
