Порівняльний аналіз та шляхи удосконалення методів комп’ютерного моделювання задач електротехніки та електроенергетики

Черноус, Ігор Юрійович

Please use this identifier to cite or link to this item: https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/8986

Title:	Порівняльний аналіз та шляхи удосконалення методів комп’ютерного моделювання задач електротехніки та електроенергетики
Authors:	Ключка, Костянтин Миколайович Черноус, Ігор Юрійович
Keywords:	електричні ланцюги;математичне моделювання;комп’ютерна модель;машинний розрахунок
Issue Date:	Dec-2022
Abstract:	Метою магістерської роботи є проведення порівняльного аналізу та шляхів удосконалення методів комп’ютерного моделювання задач електротехніки та електроенергетики. Для розв’язування задач, що поставлені в магістерській роботі, були використані методи комп’ютерного моделювання, методи побудови обчислювальних алгоритмів при моделюванні складних електричних та електронних схем, методи теоретичної електротехніки та основи теорії кіл. Практичною цінністю магістерської роботи є те, що отримані результати магістерської роботи дозволяють більш ефективно здійснювати дослідження електричних схем засобами комп’ютерного моделювання електричних ланцюгів. Результати, що були отримані в ході проведення магістерського дослідження, можуть бути використані при розв’язанні різноманітних задач прикладного спрямування стосовно пристроїв електротехніки та електроніки.
URI:	https://er.chdtu.edu.ua/handle/ChSTU/8986
Appears in Collections:	141 Електрична інженерія (Електротехнічні системи електроспоживання)

Files in This Item:

File	Description	Size	Format
ВКРМ_ЧЕРНОУС_2022.pdf Restricted Access		2.5 MB	Adobe PDF	View/Open Request a copy

Show full item record

Extracted text

ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ФАКУЛЬТЕТ ЕЛЕКТРОННИХ ТЕХНОЛОГІЙ, АВТОТРАНСПОРТУ
ТА МАШИНОБУДУВАННЯ
Кафедра електротехнічних систем

«До захисту допущено»
Зав. кафедри ЕТС

__________ О.О. Ситник
(підпис) (ініціали, прізвище)
«___»___________202__ р.

Кваліфікаційна робота
на здобуття ступеня вищої освіти магістра

на тему:
«Порівняльний аналіз та шляхи удосконалення методів комп’ютерного
моделювання задач електротехніки та електроенергетики»

Виконав: здобувач вищої освіти 2 курсу, групи ЗЕСЕ–011
Спеціальності: 141 «Електроенергетика, електротехніка та електромеханіка»
(шифр і назва напряму підготовки, спеціальності)

Черноус Ігор Юрійович ______________
(прізвище, ім’я, по-батькові здобувача вищої освіти ) (підпис)

Науковий к.т.н., доцент Ключка К.М. ______________
керівник (підпис)
(вчені ступінь та звання, прізвище та ініціали)

Нормоконтроль к.т.н., доцент Ключка К.М. ______________
(підпис)
(вчені ступінь та звання, прізвище та ініціали)

Черкаси 2022 р.

ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ФАКУЛЬТЕТ ЕЛЕКТРОННИХ ТЕХНОЛОГІЙ, АВТОТРАНСПОРТУ
ТА МАШИНОБУДУВАННЯ
Кафедра електротехнічних систем

Рівень вищої освіти – другий (магістерський)
Спеціальність 141 «Електроенергетика, електротехніка та електромеханіка»
(код і назва)

ЗАТВЕРДЖУЮ
Завідувач кафедри
____________ О.О. Ситник
(підпис) (ініціали, прізвище)
«______» __ 2022 р.

ЗАВДАННЯ
на магістерську кваліфікаційну роботу здобувачу вищої освіти

Черноусу Ігорю Юрійовичу
(прізвище, ім’я, по батькові)

1. Тема магістерської роботи

«Порівняльний аналіз та шляхи удосконалення методів комп’ютерного
моделювання задач електротехніки та електроенергетики»

науковий керівник к.т.н., доцент Ключка Костянтин Миколайович
(прізвище, ім’я, по батькові, науковий ступінь, вчене звання)
затверджені наказом по університету від «13» вересня 2022р. № 234/04

2. Термін подання студентом роботи_____________________________

3. Об’єкт дослідження – процеси, пов’язані з функціонуванням електричних кіл.

4. Предмет дослідження – методи та засоби комп’ютерного моделювання задач
електротехніки та електроенергетики.

5. Перелік завдань, які потрібно розробити:
− докладно розглянути властивості та особливості методів комп’ютерного
моделювання задач електротехніки та електроенергетики, здійснити їх аналіз та провести
систематизацію;
− окреслити коло найбільш доцільних напрямків розвитку комп’ютерного
моделювання задач електротехніки та електроенергетики з урахуванням зростаючих
можливостей обчислювальної техніки;
− продемонструвати на прикладі модельної задачі переваги обраного програмного
забезпечення для комп᾿ютерного моделювання електротехнічних задач.

6. Перелік ілюстративного матеріалу − у вигляді презентації

7. Перелік публікацій – у вигляді статті чи тез доповіді на конференції

8. Дата видачі завдання «14» вересня 2022 р.

Календарний план

Термін виконання
№ Назва етапів виконання
етапів магістерської Примітка
з/п магістерської роботи
роботи
1 Аналіз літератури по темі магістерської роботи 14.09.2022–21.09.2022
Складання попереднього плану і структури
2 22.09.2022–24.09.2022
магістерської роботи. Узгодження з керівником
3 Підготовка матеріалів по розділу 1 25.09.2022–18.10.2022
4 Підготовка матеріалів по розділу 2 19.10.2022–29.10.2022
Підготовка матеріалів по розділу 3
5 30.10.2022–20.11.2022
Вступ. Реферат
Підготовка і публікація тез за результатами
6 21.11.2022–25.11.2022
магістерської роботи
Підготовка остаточної версії магістерської 26.11.2022–28.11.2022
7
роботи. Узгодження з керівником
Підготовка доповіді і презентації. Підготовка до 29.11.2022–12.12.2022
8
захисту
9 Захист магістерської роботи 13.12.2022–16.12.2022

Здобувач вищої освіти І.Ю. Черноус
(підпис) (ініціали, прізвище)

Науковий керівник роботи К.М. Ключка
(підпис) (ініціали, прізвище)

3
РЕФЕРАТ

Повний обсяг магістерської роботи складає 105 сторінок, у тому числі
27 рисунків і 1 таблиця, список використаних джерел, що містить 66
найменування на 7 сторінках.
Метою магістерської роботи є проведення порівняльного аналізу та
шляхів удосконалення методів комп’ютерного моделювання задач
електротехніки та електроенергетики.
Для розв’язування задач, що поставлені в магістерській роботі, були
використані методи комп’ютерного моделювання, методи побудови
обчислювальних алгоритмів при моделюванні складних електричних та
електронних схем, методи теоретичної електротехніки та основи теорії кіл.
Практичною цінністю магістерської роботи є те, що отримані
результати магістерської роботи дозволяють більш ефективно здійснювати
дослідження електричних схем засобами комп’ютерного моделювання
електричних ланцюгів. Результати, що були отримані в ході проведення
магістерського дослідження, можуть бути використані при розв’язанні
різноманітних задач прикладного спрямування стосовно пристроїв
електротехніки та електроніки.
Ключові слова: електричні ланцюги, математичне моделювання,
комп’ютерна модель, машинний розрахунок, моделювальне середовище
модельна задача

4

ЗМІСТ

ПЕРЕЛІК УМОВНИХ ПОЗНАЧЕНЬ, СИМВОЛІВ,
СКОРОЧЕНЬ І ТЕРМІНІВ……………………………………………..…… 6
ВСТУП……………………………………………..………………………… 7
РОЗДІЛ 1
ВИДИ МОДЕЛЮЮЧИХ СИСТЕМ ТА ЇХ МІСЦЕ В ПРОЦЕСІ
ІІІЗНАННЯ…………………………..…………………….......................... 12
1.1 Поняття про моделі та моделювання в контексті проведення
сучасних наукових та прикладних досліджень……………………… 12
1.2 Класифікація та систематизація різних видів моделей..………. 17
1.3 Застосування системного підходу при проведенні процесу
моделювання ………………………………………………………….. 20
1.4 Розподіл моделей на якісного типу та кількісного типу……… 23
Висновки до розділу 1…………………………………………………. 26
РОЗДІЛ 2
ОБЛАСТІ ЗАСТОСУВАННЯ КОМП’ЮТЕРНОГО МОДЕЛЮВАННЯ... 27
2.1 Суть поняття комп’ютерного моделювання та його місце серед
інших методів дослідження об’єктів……………………………..…. 27
2.2 Класифікація комп’ютерних моделей…………………………… 32
2.3 Визначення різновидів комп’ютерних моделей за типом
35
математичної схеми……………………………………………………
2.4. Області застосування комп'ютерних моделей…………………. 37
Висновки до розділу 2………………………………………………… 39
РОЗДІЛ 3
ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДІВ КОМП᾿ЮТЕРНОГО АНАЛІЗУ ПРИ
РОЗРАХУНКАХ ЕЛЕКТРОМАГНІТНИХ ПРОЦЕСІВ.……………….…. 40
3.1 Підхід машинного розрахунку при моделюванні електричних
ланцюгів………………………………………………… 40
5

3.2 Особливості машинного (комп’ютерного) розрахунку
електричних ланцюгів….……………………………………………. 54
3.3 Застосування комп’ютерних макромоделей..………………….. 64
3.4 Вирішення задачі діагностки електричних ланцюгів із
66
застосуванням підходів комп’ютерного моделювання…………….
3.5 Нетрадиційні підходи до використання комп’ютерних моделей
72
в задачах аналізу електричних ланцюгів……………………………
Висновки до розділу 3………………………………………………... 78
РОЗДІЛ 4
ОСОБЛИВОСТІ ВИКОРИСТАННЯ ПАКЕТІВ КОМП’ЮТЕРНИХ
ПРОГРАМ ДЛЯ РОЗВЯЗАННЯ ПРАКТИЧНИХ ЗАДАЧ
ЕЛЕКТРОТЕХНІКИ…………………………………….…………………... 79
4.1 Порівняльний аналіз основних пакетів комп’ютерних програм
адаптованих для проведення аналізу електричних ланцюгів…….. 79
4.2 Розв’язання модельної задачі в системі MATLAB/Simulink…. 91
Висновки до розділу 4………………………………………………... 87
ВИСНОВКИ………………………………………………………………….. 98
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ…………………………………… 99

6

ПЕРЕЛІК УМОВНИХ ПОЗНАЧЕНЬ, СИМВОЛІВ,
СКОРОЧЕНЬ І ТЕРМІНІВ

ВАХ вольт-амперна характеристика
ГПН генератор пилкоподібної напруги
ЕРС електрорушійна сила
ТОЕ теоретичні основи електротехніки
ТЕЛ Теорія електричних ланцюгів
ЕОМ електронно-обчислювальні машини
EWB Electronics Workbench

7
ВСТУП

Актуальність теми. Всеосяжне удосконалення інформаційних
технологій зумовило використання комп'ютерів у всіх сферах діяльності.
Розвиток наукових підходів та теорій передбачає, в сьогоднішніх умовах
ведення досліджень, побудови математичної моделі об'єкта і на її основі,
отримання наслідків, які можуть бути співставлені з результатами натурного
експерименту.
З розвитком і широким використанням засобів обчислювальної
техніки у всіх сферах людської діяльності, все більшого значення набуває
комп'ютерне моделювання. Використання комп’ютерної техніки дає змогу
дослідникам, виходячи з математичних співвідношень, розрахувати
поведінка досліджуваного об’єкта у тих чи інших умовах його
функціонування. На практиці в багатьох випадках це є єдиним способом
прогнозування реакції системи на основі її математичної моделі.
Ряд задач взагалі не мають точного аналітичного розв’язання або його
отримання є дуже ускладненим, і тоді лише використання методу
комп'ютерного моделювання дасть можливість розрахувати прогнозований
стан системи у ті чи інші моменти часу.
Удосконалення та інтенсивний розвиток обчислювальної техніки,
поява потужних персональних комп’ютерів дало можливість швидко і досить
точно проводити наближені обчислення за заданою програмою. Все це
ознаменувало якісний стрибок в розвитку як прикладних, так і
фундаментальних наукових досліджень в науці та технологіях.
Комп’ютерне моделювання становить невід'ємну частину сучасної
фундаментальної та прикладної науки, причому за важливістю воно
наближається до традиційних експериментальних та теоретичних методів.
Обчислювальний експеримент стає повноправним інструментом у наукових
дослідженнях. Станом на сьогоднішній день, методи та засоби
8
комп'ютерного моделювання набули настільки масового розповсюдження,
що вже практично не залишилося такої сфери досліджень, де вони ці методи
не знайшли б свого застосування.
У комп'ютерних моделях використовується досить абстрактне
уявлення предметної області, що вивчається, що обумовлено самим
принципом моделювання як методу вивчення навколишньої реальності.
Зокрема, при описі та вивченні електричних кіл використовується уявлення
реальної системи у вигляді так званої «принципової схеми». Надалі, для
певності, подібні моделі називатимемо «схематичними».
Характерною особливістю схематичних навчальних комп'ютерних
моделей є пояснюючих графіків і діаграм, які динамічно змінюються при
еволюції моделі. Для зміни параметрів моделі використовують елементи
користувальницького діалогового інтерфейсу операційної системи ЕОМ. Це
можуть бути логічні перемикачі типу Radio_Button (вибір одного
альтернативного варіанта), Check_Box (формування списку встановлених
значень). Аналогічні властивості має елемент Combo_Box. Його перевага
полягає у малій займаній площі на дисплеї. Більш широкі можливості надає
елемент управління ScroU_Bar, що дозволяє вводити довільні цілочисельні
значення параметра. Найбільш універсальним засобом введення даних є
елемент Text_Box для введення довільної текстової інформації.
Успішне вирішення сучасних задач електротехніки та
електроенергетики вочевидь потребує створення та використання
комп'ютерних моделей, проведення величезної кількості чисельних
обчислень. Ця можливість стала доступною, тільки після появи електронно-
обчислювальних машин, що стали здатними виконувати багато мільйонів
операцій на секунду. Важливим фактом є й те, що, подібні обчислення
виконуються автоматично, відповідно до заданого алгоритму та не
вимагається втручання людини.
При вивченні електричних ланцюгів однією з проблем є розрив між
9
абстрактними електросхемами та реальною вимірювальною установкою. Так,
наприклад, реальний вольтметр чи амперметр зовсім не схожі на їх графічне
позначення, що регламентується вимогами ДСТ, а плутанина з'єднувальних
проводів не в'яжеться з чіткими горизонтальними і вертикальними лініями
принципової схеми. Це один із доказів на користь думки, що віртуальний
експеримент жодною мірою не може повністю замінити натурний. Однак вже
сьогодні необхідно наголосити появу різного роду симуляторів, які майже
повністю імітують реальну обстановку. Ядром таких симуляторів виступає
комп'ютерна модель, а їх вартість дуже й дуже висока. Проміжне положення
можуть займати комп'ютерні моделі, які спрощено імітують реальність на
екрані монітора. Вони є суттєво дешевшими, а ефект, що забезпечується
ними, буде все ж таки вищим, ніж у схематичних моделей.
Подібну комп'ютерну модель зручно використовувати, наприклад, у
лабораторних дослідженнях перспективних електротехнічних розробок.
Основними дослідниками, що працювали і працюють в даному
напрямі є: Ю.Я. Бобало, П.Г. Стахів, В. М. Бондаренко, А. Ф. Верлань, В. В.
Васильєв, Г. Є. Пухов, А. К. Шидловський, В.С. Перхач, та інших
дослідників, як вітчизняних так і зарубіжних.
Таким чином, отримання та ефективне застосування комп’ютерних
моделей електричних та електронних схем і методів їх дослідження, є
актуальною задачею електротехнічної галузі, а вивчення основ та методів
комп'ютерного моделювання є одним із важливих та актуальних завдань
сучасного розвитку науки та технологій.
Мета та задачі дослідження. Метою магістерської роботи є
проведення порівняльного аналізу та шляхів удосконалення методів
комп’ютерного моделювання задач електротехніки та електроенергетики.
Для досягнення вказаної мети потрібно вирішення наступних
науково-технічних задач:
10
− докладно розглянути властивості та особливості методів
комп’ютерного моделювання задач електротехніки та електроенергетики,
здійснити їх аналіз та провести систематизацію;
− окреслити коло найбільш доцільних напрямків розвитку
комп’ютерного моделювання задач електротехніки та електроенергетики з
урахуванням зростаючих можливостей обчислювальної техніки;
− продемонструвати на прикладі модельної задачі переваги обраного
програмного забезпечення для комп’ютерного моделювання
електротехнічних задач.
Об’єктом дослідження є процеси, пов’язані з функціонуванням
електричних кіл.
Предметом дослідження є методи та засоби комп’ютерного
моделювання задач електротехніки та електроенергетики.
Методи дослідження. Для розв’язування задач, що поставлені в
магістерській роботі, були використані методи комп’ютерного моделювання,
методи побудови обчислювальних алгоритмів при моделюванні складних
електричних та електронних схем, методи теоретичної електротехніки та
основи теорії кіл.
Наукова новизна одержаних результатів. Під час вирішення задач
дослідження було отримано такі наукові результати.
1. Здійснено порівняльний аналіз та проведена класифікація методів
комп’ютерного моделювання в електричних ланцюгах з виявленням
перспективних напрямків.
2. Обґрунтовано потребу в створенні додаткових та розвитку
існуючих методів комп’ютерного моделювання процесів в електричних
колах різних видів.
3. Досліджені та отримали подальший розвиток методи формалізації
опису електричних кіл для адаптації їх до комп’ютерного моделювання.

11
Практична цінність. Отримані результати магістерської роботи
дозволяють більш ефективно здійснювати дослідження електричних схем
засобами комп’ютерного моделювання електричних ланцюгів. Результати,
що були отримані в ході проведення магістерського дослідження, можуть
бути використані при розв’язанні різноманітних задач прикладного
спрямування стосовно пристроїв електротехніки та електроніки.
Апробація роботи. Основні положення магістерської роботи
доповідалися та обговорювалися на студентській науково-практичній
конференції ЧДТУ, 19-22 квітня 2022 року, м. Черкаси.
Публікації. За результатами досліджень було надруковано 1 наукову
працю [11].
Структура роботи. Робота складається з вступу, 4-х розділів,
висновку і списку використаної літератури. Робота викладена на 105
сторінках машинописного тексту, містить 27 рисунків та 1 таблицю.

12
РОЗДІЛ 1
ВИДИ МОДЕЛЮЮЧИХ СИСТЕМ ТА ЇХ МІСЦЕ
В ПРОЦЕСІ ІІІЗНАННЯ

1.1 Поняття про моделі та моделювання в контексті проведення
сучасних наукових та прикладних досліджень
При проведенні різного роду сучасних досліджень, як наукового
спрямування так і прикладного характеру, моделі та моделювання відіграють
вельми важливу роль у такого роду діяльності.
Широке коло методів моделювання нині є впровадженими у
різноманітні технічні галузі, а по великому рахунку й у всі й у сфери
людської діяльності. Це продиктовано необхідністю розширення та
поглиблення знань про процеси в реальному світі. Сьогодні існує інтерес до
великої кількість реальних об'єктів та процесів, інформацію про які ми не
можемо отримати через мізерність чи навпаки масштабність розмірів або
через вплив надзвичайно високих чи надзвичайно низьких (кріогенних)
температур. У таких випадках в принципі неможливо проводити натурні
експерименти. Крім того, неможливість проведення натурних експериментів
може бути також пов'язана із тривалістю процесу; високою вартістю
досліджень об'єкта-оригіналу; унікальністю об'єкта дослідження; небезпекою
дослідження (ядерна та термоядерна енергія) тощо.
Все більш інтенсивне використання методів моделювання пов'язано: з
розвитком інформатизації та телекомунікації, обчислювальної техніки та з
появою комп'ютерних систем автоматичного проектування та моделювання.
Все це є засобами прискорення створення моделей для дослідників –
розробників моделей.
Електронно-обчислювальну техніку, а пізніше і персональні
комп’ютери почали застосовувати у дослідженнях ще на початку 50-х років.
За допомогою таких засобів обчислення, з’явилася можливість наближеними
13
чисельними методами вирішувати завдання, які в принципі не мають точних
аналітичних рішень. Одним із найяскравіших прикладів є той історичний
факт, що у 1955 році, фахівці з обчислювальної математики, які працювали в
Лос-Аламосі попросили Енріко Фермі поставити завдання, яке задовольняло
трьом умовам: вона повинна представляти інтерес для фізиків, не повинна
мати аналітичного рішення, і бути під силу, існуючим на той час електронно-
обчислювальним машинам [32].
Тоді Енріко Фермі запропонував задачу з'ясувати, як виникають
статистичні властивості у ланцюжку зі 100 пов'язаних нелінійних
осциляторів. Тоді вважалося, що будь-яка нелінійність автоматично
породжує статистичні властивості. Проте проведений машинний
експеримент дав негативний результат, започаткувавши численні роботи,
присвячені спробам зрозуміти це явище, що отримало назву Фермі-Паста-
Улама.
Отже, згаданий обчислювальний (за допомогою ЕОМ) експеримент
поставив під сумнів один із розділів статистичної фізики під назвою
«ергодична теорія», згідно з якою макровеличини, що експериментально
спостерігаються, виникають у результаті якогось усереднення мікровеличин.
Статистична фізика дозволяє пов'язати макроскопічний рівень пояснення з
макроскопічним рівнем деякими постулатами. Такі постулати зазвичай
перевірити неможливо, тому іноді виникають сумніви щодо їх достовірності.
Таким чином, незважаючи на великі успіхи статистичних теорій у різних
областях досліджень, питання – чи правильно ми розуміємо та описуємо
макроскопічні явища, так і залишаються без відповіді. І тут на
обчислювальну техніку покладається роль арбітра.
Інша, не менш приваблива характеристика електронно-
обчислювальної системи полягає в тому, що чисельні експерименти
поступово виводять із глухого кута традиційні області досліджень,
наприклад, теоретичну фізику чи електродинаміку, традиційний апарат яких,
14
виявився неефективним при вирішенні нелінійних завдань. Якщо
нелінійність мала (несуттєва), то тоді можна використовувати наближені
методи, наприклад, теорію збурень. А якщо вони великі? Такі області
досліджень як синергетика, лазери, взаємодія випромінювань з речовиною і
т.п. в принципі призводять нелінійних рівнянь з великими нелінійностями.
У таких випадках традиційний шлях полягає у формулюванні
нелінійного завдання, а далі ослаблення нелінійності і отриманні
наближеного розв’язку рівняння. Якщо ж застосувати обчислювальні засоби,
то отримане чисельне рішення дозволяє краще зрозуміти суть явища, що
досліджується. У деяких випадках після подібних розрахунків вдається
відокремити головні чинники від другорядних, і по новому сформулювавши
проблему спробувати отримати простіше нелінійне рівняння, яке вже має
аналітичне рішення. Як правило, тоді ж може виникнути новий науковий
напрямок із масою неординарних комп'ютерних та аналітичних результатів.
Отже, в якості проміжного висновку можна стверджувати, що новий
метод дослідження, а саме комбінація аналізу та чисельного експерименту –
стає все більш важливим у проведенні досліджень.
Далі на основі проведеного дослідження розглянемо визначення
поняття про моделі та цілі моделювання, зокрема в контексті саме
комп’ютерних моделей.
Так, у процесі вивчення законів та процесів розвитку навколишнього
світу, суб'єкту вивчення протистоїть досліджувана частина об'єктивної
реальності, тобто об'єкт пізнання [20]. Дослідник, використовуючи емпіричні
методи пізнання (тобто такі як спостереження, практичний досвід та
експеримент), визначає факти, що характеризують такий об'єкт. Найпростіші
факти узагальнюються, а далі формулюються вже емпіричні закони.
Подальше розвинення полягає у створенні теоретичної бази та побудові
теоретичної моделі, що пояснює поведінку об'єкта і враховує найбільш
суттєві фактори, впливаючі на явище, що вивчається [55]. Така теоретична
15
модель має бути логічною та відповідати встановленій попередньо
емпіричній інформації. Отже, можна вважати, що будь-яка наука є
теоретичною модель певної частини навколишньої дійсності [20].
Досить часто під час дослідження об'єкт X замінюється деяким іншим
ідеальним, уявним чи матеріальним об'єктом ХІ, якому характерні
властивості досліджуваного об'єкта X, а сам ХІ називається моделлю, далі
позначатимемо як М. Вже саме ця модель М і підпадає дослідженню. На
модель надають різного роду впливи, змінюють параметри та початкові
умови, та виясняють, як змінюється її реакція на усі ці впливи. Результати
дослідження моделі M переносять на об'єкт дослідження X, зіставляють із
наявними емпіричними даними і т.п.
Отже, згідно з [15], можна сформулювати поняття моделі, а саме:
модель - це деякий реальний чи ідеальний об'єкт, який замінює досліджувану
систему і коректно та адекватно відображає її важливі сторони
функціонування. Модель M повинна в якійсь мірі відображати
досліджуваний процес або об'єкт X, при цьому ступінь відповідності повинен
дозволяти коректно вивчити справжній об'єкт X, тобто модель М повинна
мати властивість адекватності. Цілком очевидна перевага заміни
досліджуваного об'єкта його моделлю полягає у тому, що саме моделі
набагато простіше, дешевше і безпечніше вивчати через дослідження.
В роботі [8] зазначається, що модель об'єкта повинна відображати
його найсуттєвіші якості, а другорядні – опускати.
При проведенні моделювання, можуть ставитися різні цілі, серед
яких:
✓ визначення сутності функціонування об'єкта, який вивчається,
причин його поведінки, внутрішнього улаштування механізму взаємодії його
складових елементів;
✓ тлумачення вже відомих результатів емпіричних досліджень,
підтвердження параметрів моделі за експериментальними даними тощо;
16
✓ здійснення прогнозу поведінки систем в різних умовах;
✓ оптимізація працездатності досліджуваних систем, визначення
раціонального управління системою, відповідно до обраного критерію
оптимальності.

1.2 Класифікація та систематизація різних видів моделей
Перелік кола різного роду моделей, надзвичайно широкий.
Системний аналіз вимагає класифікації та систематизації, тобто
структурування спочатку невпорядкованої множини об'єктів і перетворення
його на систему [5]. Відомі різні способи класифікації вказаного широкого
кола моделей. Проведене дослідження показало, що в роботі [22]
представлена класифікація такого виду моделей:
✓ детерміновані та стохастичні;
✓ статичні та динамічні;
✓ дискретні, безперервні та дискретно-безперервні;
✓ уявні та реальні.
В дослідженнях [31, 32] моделі класифікують за такими ознаками
(див. рис. 1.1):
✓ за характером модельованої сторони об'єкта
✓ відповідно до часу;
✓ за способом подання стану системи;
✓ за ступенем випадковості модельованого процесу;
✓ за способом реалізації.
В роботі [34] наводиться класифікаційна структура. Відповідно до неї,
якщо здійснювати класифікацію за характером моделювальної сторони
об'єкта, то можна виділити наступні види моделей (див. рис. 1.1):
1.1. Кібернетичні чи функціональні моделі; в них об'єкт, що
моделюється, розглядається як «чорна скринька», внутрішній пристрій якого
невідомий. Поведінка такої "чорної скриньки" може описуватися
17
математичним рівнянням, графіком або таблицею, які пов'язують вихідні
сигнали (реакції) пристрою з вхідними (стимулами). Структура та принципи
дії такої моделі не мають нічого спільного з об'єктом, що досліджується, але
функціонує вона схожим чином. Наприклад, комп'ютерна програма, що
моделює гру в шашки.
1.2. Структурні моделі - це моделі, структура яких відповідає
структурі об'єкта, що моделюється. Прикладами є командно-штабні
навчання, день самоврядування, модель електронної схеми Electronics
Workbench і т.д.
1.3. Інформаційні моделі, які є сукупність спеціальним чином
підібраних величин та його конкретних значень, які характеризують
досліджуваний об'єкт. Виділяють вербальні (словесні), табличні, графічні та
математичні інформаційні моделі. Наприклад, інформаційна модель студента
може складатися з оцінок за екзамени, контрольні та лабораторні роботи.
Або інформаційна модель деякого виробництва представляє набір
параметрів, що характеризують потреби виробництва, його найбільш суттєві
характеристики, параметри товару, що випускається.
По відношенню до часу виділяють:
1. Статичні моделі - моделі, стан яких не змінюється з часом: макет
забудови кварталу, модель кузова машини.
2. Динамічні моделі - це є функціонуючі об'єкти, стан яких
безперервно змінюється. До них відносяться моделі двигуна і генератора, що
діють, комп'ютерна модель розвитку популяції, анімаційна модель роботи
ЕОМ і т.д.
За способом представлення стану системи розрізняють:
1. Дискретні моделі - це автомати, тобто реальні чи уявні дискретні
пристрої з деяким набором внутрішніх станів, що перетворюють вхідні
сигнали у вихідні відповідно до заданих правил.
2. Безперервні моделі - це моделі, у яких протікають безперервні
18
процеси. Наприклад, використання аналогової ЕОМ для вирішення
диференціального рівняння, моделювання радіоактивного розпаду за
допомогою конденсатора, що розряджається через резистор і т.д.
За ступенем випадковості модельованого процесу виділяють (див. рис.
1.1):
1. Детерміновані моделі, яким властиво переходити з одного стану в
інший відповідно до жорсткого алгоритму, тобто між внутрішнім станом,
вхідними та вихідними сигналами є однозначна відповідність (модель
світлофора).
2. Стохастичні моделі, що функціонують подібно до ймовірнісних
автоматів; сигнал на виході та стан у наступний момент часу задається
матрицею ймовірностей. Наприклад, ймовірна модель учня, комп'ютерна
модель передачі повідомлень по каналу зв'язку з шумом і т.д.

Рис. 1.1. Структура переліку класифікацій моделей за різними ознаками

За способом реалізації розрізняють:
1. Абстрактні моделі, це уявні моделі, вони існують тільки в нашій
19
уяві. Так, наприклад, такими моделями можуть бути структура алгоритму,
яка може бути представлена за допомогою блок-схеми, функціональна
залежність, диференціальне рівняння, що описує процес. До абстрактних
моделей можна віднести різні графічні моделі, схеми, структури, а також
анімації.
2. Матеріальні (фізичні) моделі є нерухомі макети чи діючі пристрої,
котрі функціонують у якійсь мірі подібно досліджуваному об'єкту.
Наприклад, модель молекули з кульок, модель генератора змінного струму,
двигуна тощо. Реальне моделювання передбачає побудову матеріальної
моделі об'єкта та виконання з нею серії експериментів.
В подальшому дослідженні, нас цікавитимуть абстрактні моделі, які у
свою чергу поділяються на вербальні, математичні та комп'ютерні. До
вербальних або текстових моделей відносяться послідовності тверджень
природною або формалізованою мовою, що описують об'єкт пізнання [17].
Математичні моделі утворюють широкий клас знакових моделей, у яких
використовуються математичні дії та оператори. Часто вони є системою
алгебраїчних або диференціальних рівнянь. Комп'ютерні моделі є
алгоритмом або комп'ютерною програмою, що вирішує систему логічних,
алгебраїчних або диференціальних рівнянь і імітує поведінку досліджуваної
системи.
У деяких випадках уявне моделювання поділяють на:
1. Наочне, воно передбачає створення уявного образу, уявного макета,
відповідних досліджуваному об'єкту на основі припущень про процес, що
протікає, або за аналогією з ним.
2. Символічне, яке полягає у створенні логічного об'єкта на основі
системи спеціальних символів; підрозділяється на мовне (з урахуванням
тезауруса основних понять) і знакове.
3. Математичне, в цьому випадку ідея полягає у встановленні
відповідності об'єкту дослідження деякого математичного виразу; в свою
20
чергу таке моделювання підрозділяється на аналітичне, імітаційне та
комбіноване. Аналітичне моделювання передбачає написання системи з
алгебраїчних, диференціальних, інтегральних чи різницевих рівнянь та
деяких початкових умов. Для дослідження аналітичної моделі можуть бути
використані аналітичний метод та чисельний метод. Останнім часом чисельні
методи реалізуються на комп’ютерах, а тому комп'ютерні моделі можна як
різновид математичних.
Математичні моделі багатогранні та можуть бути класифіковані за
різними ознаками [8]. За ступенем абстрагування в описах властивостей
системи вони поділяються на мега-, макро- і мікромоделі. Залежно від форми
подання розрізняють інваріантні, аналітичні, алгоритмічні та графічні моделі.
За характером властивостей, що відображаються, об'єкта, їх моделі
класифікують на структурні, функціональні і технологічні. За способом їх
отримання розрізняють теоретичні, емпіричні та комбіновані. Залежно від
типу застосовуваного математичного апарату моделі бувають лінійні та
нелінійні, безперервні та дискретні, детерміновані та ймовірнісні, статичні та
динамічні. За способом реалізації розрізняють аналогові, цифрові, гібридні,
нейронечіткі моделі, які створюються на основі аналогових, цифрових,
гібридних обчислювальних машин та нейромереж.

1.3 Застосування системного підходу при проведенні процесу
моделювання
Як є загально відомо, в основі теорії моделювання лежить загальна
теорія систем, яка також відома як системний підхід [19]. Це
загальнонауковий напрямок, за яким об'єкт дослідження розглядається як
складна система, що взаємодіє з навколишнім середовищем [39]. Тому можна
вважати, що об'єкт є системою, якщо він складається із сукупності
взаємопов'язаних між собою елементів, а сума їх властивостей не дорівнює
властивостям об'єкта. Система відрізняється від множини елементів
21
наявністю упорядкованої структури та певних зв'язків між такими
елементами. Наприклад, деякий електротехнічний пристрій, що складається з
великої кількості компонентів, з'єднаних між собою певним чином, є
системою, а ті ж компоненти, що існують окремо, системою вже не
являється. Розрізняють такі рівні опису систем [34]:
✓ лінгвістичний (символічний);
✓ теоретико-множинний;
✓ абстрактно-логічний;
✓ логіко-математичний;
✓ теоретико-інформаційний;
✓ динамічний;
✓ евристичний.

Рис. 1.2. Система, що досліджується у взаємодії з навколишнім середовищем

Система має безпосередній зв’язок з навколишнім середовищем,
обмінюється з ним, енергією, інформацією тощо (див. рис. 2). Кожен її
елемент може вважатися підсистемою. Розглядають також поняття
надсистеми, куди як елемент входить аналізований об'єкт. Можна говорити,
що у системи є входи (на які поступають сигнали), та виходи (вони
надсилають сигнали у середовище довкола). Відношення до об'єкта
дослідження як до цілого, хоча і складеного з багатьох взаємозалежних між
собою частин, дає змогу розпізнати за незліченною кількістю несуттєвих
обставин та особливостей, головну суть, а далі сформулювати принцип
22
системоутвоення [33]. Якщо внутрішнє улаштування системи невідоме, то її
вважають «чорною скринькою». А далі визначають функціональну
залежність, яка зв'язує стани входів і виходів. Такий підхід відносять до так
званого кібернетичного підходу, який детально описаний в роботі [40]. В
такому випадку аналізується поведінка досліджуваної системи, та її реакція
на зовнішні впливи і зовнішні збурення.
Визначення складу та структури досліджуваного об'єкта, називається
системним аналізом. Його методологія знайшла своє вираження у таких
принципах, що детально представлені в [48]:
✓ принцип фізичності: поведінка системи описується певними
фізичними (психологічними, економічними та інших.) законами;
✓ принцип модельованості: система може бути промодельована
кінцевим числом способів, кожен з яких відображає її суттєві сторони;
✓ принцип цілеспрямованості: функціонування досить складних
систем призводить до досягнення певної мети, стану, збереження процесу; у
своїй система здатна протистояти зовнішнім впливам.
Як ми вже зазначали раніше, система має структуру, тобто
нескінченну кількість внутрішніх стійких зв'язків між елементами, що в
кінцевому випадку й визначає основні властивості цієї системи. Її можна
уявити графічно у вигляді структурної схеми, математичної формули
(рівняння) чи граф-схеми. Таке графічне представлення характеризує
просторові позиції елементів, їх підпорядкованість, часову черговість подій.
При побудові моделі рекомендується складати структурні схеми
модельованого об'єкта. Особливо у випадку, коли він досить складний. Це
дозволяє зрозуміти сукупність всіх інтегративних властивостей об'єкта,
якими не володіють його окремі частини [40].
Будь-яка система взаємодіє з іншими системами, що не входять до неї,
і утворюють середовище. Тому її слід розглядати як підсистему більш
широкої системи. Якщо обмежитися аналізом лише внутрішніх зв'язків, то
23
деяких випадках не вдасться створити правильної моделі об'єкта. Слід
врахувати суттєві зв'язки системи із середовищем, тобто зовнішні чинники, і
тим самим «замкнути» систему, у цьому полягає принцип замкнутості [55].
Взагалі чим складніший досліджуваний об'єкт, тим більше
різноманітних моделей можна отримати.
Під час вивчення великих систем виходять із принципу ієрархічності.
Його (принципу) сутність полягає в тому, що досліджуваний об’єкт містить
кілька пов'язаних підсистем першого рівня, в свою чергу кожна з яких сама є
системою, а тим часом вона сама складається з підсистем другого рівня і т.д.
Тому опис структури та створення теоретичної моделі має враховувати
знаходження елементів на різних підсистемах, тобто їхню ієрархію.
До основних властивостей систем належать:
✓ цілісність, тобто неможливість зведення властивостей системи до
суми властивостей окремих її елементів;
✓ структурність, тобто неоднорідність, наявність складної
структури;
✓ множинність опису, тобто система може бути описана різними
способами;
✓ взаємозалежність системи та середовища, тобто елементи системи
пов'язані з об'єктами, що не входять до неї і утворюють навколишнє
середовище;
✓ ієрархічність, тобто система має багаторівневу структуру.

1.4 Розподіл моделей на якісного типу та кількісного типу
Теоретична модель може бути якісного чи кількісного типу.
Розглянемо якісне пояснення електромагнітних коливань у електричному
коливальному контурі, що складається з конденсатора та котушки
індуктивності. Так, при підключенні зарядженого конденсатора до котушки
індуктивності він починає розряджатися, через котушку індуктивності тече
24
струм, енергія електричного поля перетворюється на енергію магнітного
поля. Коли конденсатор повністю розрядився, струм через котушку
індуктивності досягає максимального значення. За рахунок інерційності
котушки індуктивності, обумовленої явищем самоіндукції, відбувається
перезаряджання конденсатора, він заряджається у зворотній полярності, а
далі процес повторюється, тобто виникають електричні коливання. Ця якісна
модель явища дозволяє проаналізувати поведінку системи та передбачити,
наприклад, що при зменшенні ємності конденсатора частота власних
коливань контуру зросте.
Як зазначається у [8] важливим кроком на шляху дослідження явища
є перехід від якісно-описових підходів до математичних. З метою вирішення
багатьох проблем природо устрою постала необхідність до оцифрування
простору та часу, введення поняття системи координат, розробки та
вдосконалення методів вимірювання різних фізичних, психологічних та
інших величин, що дозволило оперувати з чисельними значеннями. В
результаті з’явилася можливість отримати досить складні математичні
моделі, які представляють систему алгебраїчних та диференціальних рівнянь
(інтегральних рівнянь). У наш час вивчення тих чи інших явищ не
обмежується якісними міркуваннями, практично завжди відбувається
отримання математичних співвідношень.
Створення кількісної моделі електромагнітних коливань в RLC-
електричному ланцюзі передбачає введення точних та однозначних способів
визначення та вимірювання таких величин, як сила струму І, заряд Q, напруга
U, ємність C, індуктивність L, опір R. Не знаючи, як виміряти силу струму в
ланцюзі або ємність конденсатора, немає сенсу говорити про якісь кількісні
співвідношення. Але, якщо отримано однозначні визначення вищевказаних
величин, і встановивши процедуру їх отримання, можна розпочинати
побудову математичної моделі, запису системи рівнянь тощо. В результаті
виходить неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку
25

LQ'' Q
+ RQ' + =U (t).
C
(1.1)

Розв'язання рівняння 1.1, дає змогу, по відомому заряді конденсатора
та струму через котушку індуктивності у початковий момент часу, визначити
стан ланцюга у будь-які наступні моменти часу.
Побудова математичної моделі вимагає визначення незалежних
величин, які однозначно описують стан досліджуваного об'єкта. Наприклад,
стан механічної системи визначається координатами частинок, що входять до
неї, і проекціями їх імпульсів. Стан електричного ланцюга визначається
зарядом конденсатора, силою струму через котушку індуктивності тощо.
Поведінка об'єкта багато в чому визначається його параметрами,
тобто величинами, що характеризують його властивості. Так, параметрами
пружинного маятника є жорсткість пружини та маса підвішеного до неї тіла.
Електричний RLC-ланцюг характеризується опором резистора, ємністю
конденсатора, індуктивністю котушки.
Іншим важливим фактором, що впливає на поведінку об'єкта, є
зовнішній вплив. Очевидно, що поведінка механічної системи залежить від
зовнішніх сил, що діють на неї. На процеси в електричному ланцюзі впливає
прикладена напруга. Таким чином, поведінка досліджуваного об'єкта (а отже,
і його моделі) залежить від його параметрів, початкового стану та
зовнішнього впливу.
Створення математичної моделі вимагає визначення сукупності станів
системи, множини зовнішніх впливів (вхідних сигналів) та відгуків (вихідних
сигналів), а також завдання співвідношень, що пов’язують відгук системи з
впливом та її внутрішнім станом. Вони дозволяють досліджувати велику
кількість різних ситуацій стосовно об’єкта дослідження, задаючи інші
параметри системи, початкові умови та зовнішні впливи. Невідома функція
26
яку отримують і яка характеризує відгук системи, виходить у табличному чи
графічному вигляді.
Весь перелік існуючих методів дослідження математичної моделі
можна розділити на дві основні групи. Аналітичне рішення рівняння часто
передбачає проведення громіздких і складних математичних викладок і в
результаті призводить до рівняння, що виражає функціональний зв'язок між
шуканою величиною, параметрами системи, зовнішнім впливом та часом.
Отримані результати в такому випадку потребують інтерпретації, яка
передбачає аналіз отриманих функцій, побудову графіків. Чисельні методи
дослідження математичної моделі на персональному комп’ютері
передбачають створення комп'ютерної програми або таблиці значень, або ще
у вигляді графіка. Отримані результати, у тому чи іншому вигляді, наочно
пояснюють сутність досліджуваних процесів.

Висновки до розділу 1
1. Введене уточнене поняття про моделі та моделювання в контексті
проведення сучасних наукових та прикладних досліджень, зокрема в
розв'язанні задач електротехніки.
2. Обґрунтовано застосування системного підходу при проведенні
процесу моделювання, в т.ч. комп’ютерного, в електротехніці.
3. Здійснено класифікацію моделей якісного та кількісного типу,
показано доцільну сферу застосування кожного типу моделей.

27
РОЗДІЛ 2
ОБЛАСТІ ЗАСТОСУВАННЯ КОМП’ЮТЕРНОГО МОДЕЛЮВАННЯ

2.1 Суть поняття комп’ютерного моделювання та його місце серед
інших методів дослідження об’єктів
Часто проведення експерименту по дослідженню того чи іншого
об’єкта або явища неможливе чи вимагає надто великих економічних витрат і
може призвести до небажаних наслідків. У цьому випадку об'єкт, що
досліджується, замінюють комп'ютерною моделлю і досліджують її
поведінку при різних зовнішніх впливах. Значне поширення персональних
комп'ютерів, сучасних інформаційних технологій, створення потужних
суперкомпютерів дало можливість вважати комп'ютерне моделювання одним
із результативних методів вивчення фізичних, технічних, та інших систем. У
багатьох випадках комп'ютерні моделі простіше та зручніше досліджувати,
вони дозволяють проводити обчислювальні експерименти, коли натурні
дослідження утруднені або можуть дати непередбачуваний результат.
Логічність і формалізованість комп'ютерних моделей дозволяє виявити
основні фактори, що визначають властивості досліджуваних об'єктів. Також
стає можливим, проаналізувати відгук фізичної системи на зміни її
параметрів і початкових умов.
Проведення комп'ютерного моделювання вимагає абстрагування від
конкретної природи явищ, побудови спочатку якісної, а далі і кількісної
моделі. Наступним кроком йде здійснення проведення серії обчислювальних
експериментів на комп'ютері. Потім аналіз та інтерпретація результатів, а ще
зіставлення результатів моделювання з поведінкою об'єкта, що
досліджується, наступне уточнення моделі тощо. Обчислювальний
експеримент є фактично дослідом над математичною моделлю
досліджуваного об'єкта, який проводиться проведеного за допомогою
обчислювальних засобів [12]. У багатьох випадках він значно дешевше і
28
доступніше за реальний експеримент. Його проведення вимагає меншого
часу, він дає більш докладну інформацію про величини, що характеризують
стан системи.
Сутність комп'ютерного моделювання системи полягає у створенні
комп'ютерної програми або пакету програм, які визначають поведінку
елементів досліджуваної системи в процесі її функціонування. При цьому
враховується їх взаємодія між собою та зовнішнім середовищем. Також
здійснюється проведення на комп’ютері певної кількості обчислювальних
експериментів. Усі ці дії проробляються для вивчення природи та поведінки
об'єкта, для оптимізації його роботи та структурного розвитку, для
проведення діагностики та прогнозування його поведінки у майбутньому.
Далі представимо вимоги, яким має задовольняти модель досліджуваної
системи [15]:
✓ повнота моделі, тобто можливість обчислення всіх характеристик
системи з необхідною точністю і достовірністю.
✓ гнучкість моделі, що дозволяє відтворювати та програвати різні
ситуації та процеси, змінювати структуру, алгоритми та параметри системи,
що вивчається.
✓ тривалість розробки та реалізації, що характеризує тимчасові
витрати на створення моделі.
✓ блочність структури, що допускає додавання, виключення та
заміну деяких частин (блоків) моделі. Крім того, інформаційне забезпечення,
програмні та технічні засоби повинні дозволяти моделі обмінюватися
інформацією з відповідною базою даних та забезпечувати ефективну
машинну реалізацію та зручну роботу користувача.
До основних етапів комп’ютерного моделювання відносяться (див.
рис. 2.1):
✓ постановка задачі, опис досліджуваної системи та виявлення її
компонентів та елементарних актів взаємодії;
29
✓ формалізація, тобто створення математичної моделі, що є
системою рівнянь і відображає сутність досліджуваного об'єкта;
✓ розробка алгоритму, реалізація якого дозволить вирішити
поставлене завдання;
✓ написання програми конкретною мовою програмування;
✓ планування та виконання обчислень на персональному
комп’ютері, доопрацювання програми та отримання результатів;
✓ аналіз та інтерпретація результатів, їх зіставлення з емпіричними
даними. Потім усе це повторюється наступному рівні.

Рис. 2.1. Сукупність кроків комп’ютерного моделювання

Розробка комп'ютерної моделі об'єкта є послідовністю ітерацій:
спочатку на основі наявної інформації про систему S будується модель M1,
проводиться серія обчислювальних експериментів, результати аналізуються.
При отриманні нової інформації про об'єкт S враховуються додаткові
фактори, виходить модель M2, поведінка якої також досліджується на
комп’ютері. Після цього створюються моделі M3, M4 і так далі, до тих пір,
поки не вийде модель, яка з необхідною точністю, що відповідає системі S.
Якщо розглядати загальний випадок, то поводження досліджуваної
30
системи S описується законом функціонування Y(t) = F(X, V, H, t), де X = (x1,
х2, ..., xn) - вектор вхідних впливів, Y = (y1,у2, ..., ym) - вектор вихідних
сигналів, відгуків чи реакцій), V = (v1,v2,...,V£) - вектор збурюючих впливів, H
= (h1, h2, ..., hi) - вектор власних параметрів системи [9]. Закон
функціонування може мати вигляд словесного правила, таблиці, алгоритму,
функції, сукупності логічних умов тощо. У випадку, коли закон
функціонування містить час, говорять про динамічні моделі та системи.
Наприклад, розгін та гальмування асинхронного електродвигуна, перехідний
процес у ланцюзі, що містить конденсатор тощо. В усіх цих випадках стан
системи, отже, і її моделі, змінюється з часом.
Якщо поведінка системи описується законом Y = F(X, V, H), що не
містить час t явно, то йдеться про статичні моделі і системи, вирішення
стаціонарних завдань і т.д. Наприклад, розрахунок нелінійного ланцюга
постійного струму,
Функціонування системи можна розглядати як послідовну зміну
станів q1(t), q2(t), q3(t), …, qr(t), котрим відповідають деякі точки в
багатовимірному фазовому просторі. Множину усіх точок А ={a1, a2, …, as},
що відповідають різноманітним станам системи, називають простором станів
досліджуваного об'єкта. Кожній реалізації процесу відповідає одна фазова
траєкторія, що проходить через деякі точки з множини A. Якщо математична
модель містить елемент випадковості, наслідком виходить стохастична
комп'ютерна модель. У окремому випадку, коли параметри системи та
зовнішні збурення однозначно визначають вихідні сигнали, говорять про
детерміновану модель.
Далі проаналізуємо наявні дослідження що до принципів
комп’ютерного моделювання та його зв’язку з іншими методами пізнання.
Таким чином моделлю будемо вважати об'єкт, що замінює
досліджувану систему та може імітувати її структуру і поводження в часі. За
модель може бути взятий деякий матеріальний об'єкт, множина особливим
31
чином впорядкованих даних, система математичних виразів чи комп'ютерна
програма. Під процесом моделюванням мають на увазі еквівалентну підміну
основних характеристик об'єкта дослідження за допомогою іншої системи
(матеріального об'єкта, сукупності рівнянь, комп'ютерної програми). Далі
представимо на наш погляд один із найбільш повних переліків принципів
моделювання, як це наведено в роботі [40]:
1. Принцип адекватності: Модель повинна враховувати найбільш
істотні сторони об'єкта, що досліджується, і відображати його властивості з
прийнятною точністю. Тільки цьому випадку результати моделювання можна
поширити на об'єкт дослідження.
2. Принцип простоти та економічності: модель має бути досить
простою для того, щоб її використання було ефективно та економічно
вигідно. Вона не повинна бути складнішою, ніж це потрібно для дослідника.
3. Принцип інформаційної достатності: за повної відсутності
інформації про об'єкт побудувати модель неможливо. За наявності повної
інформації моделювання не має сенсу. Існує рівень інформаційної
достатності, при досягненні якого може бути побудована модель системи.
4. Принцип здійсненності: модель, що створюється, повинна
забезпечувати досягнення поставленої мети дослідження за кінцевий час.
5. Принцип множинності та єдності моделей: будь-яка конкретна
модель відображає лише деякі сторони реальної системи. Для повного
дослідження необхідно побудувати ряд моделей, що відображають найбільш
суттєві сторони досліджуваного процесу, які мають щось спільне. Кожна
наступна модель має доповнювати та уточнювати попередню.
6. Принцип системності: досліджувана система у вигляді сукупності
взаємодіючих однієї з одною підсистем, які моделюються стандартними
математичними методами. У цьому властивості системи є сумою
властивостей її елементів.
7. Принцип параметризації: деякі підсистеми моделюючої системи
32
можуть бути охарактеризовані єдиним параметром (вектором, матрицею,
графіком, формулою).
Модель, як зазначено в [29], повинна задовольняти наступним
вимогам:
✓ бути адекватною, тобто відображати найістотніші сторони об'єкта,
що досліджується, з необхідною точністю;
✓ сприяти вирішенню певного класу завдань;
✓ бути простою і зрозумілою, ґрунтуватися на мінімальній кількості
припущень та припущень;
✓ дозволяти модифікувати та доповнювати себе, переходити до
інших даних;
✓ бути зручною у використанні.
Зв'язок комп'ютерного моделювання з іншими методами пізнання
показано (див. рис. 2.1). Об'єкт пізнання досліджується емпіричними
методами (спостереження, експеримент), встановлені факти є основою
побудови математичної моделі. Система математичних рівнянь, що була
отримана, може досліджуватися аналітичними методами або за допомогою
персонального комп’ютера, при цьому мова йде про створення комп'ютерної
моделі досліджуваного явища. Далі проводимо серію обчислювальних
експериментів чи комп'ютерних імітацій, і результати, що виходять,
зіставляються з результатами аналітичного дослідження математичної моделі
та експериментальними даними. Висновки враховуються для покращення
методики експериментального вивчення об'єкта дослідження, розвитку
математичної моделі та вдосконалення комп'ютерної моделі.

2.2 Класифікація комп’ютерних моделей
Під терміном комп’ютерне моделюванням у найширшому сенсі
будемо розуміти процес створення та дослідження моделей за допомогою
комп’ютера. Можна окреслити таке коло видів моделювання [8, 34]:
33

Рис. 2.1. Місце комп’ютерного моделювання серед інших методів досліджень

1. Фізичне моделювання: комп'ютер - частина експериментальної
установки чи діючого макету, він приймає зовнішні сигнали, здійснює
відповідні розрахунки і видає сигнали керування складовим установки чи
макету.
2. Динамічне чи чисельне моделювання, що передбачає чисельне
розв'язання системи алгебраїчних та диференціальних рівнянь методами
обчислювальної математики та проведення обчислювального експерименту
при різних параметрах системи, початкових умовах та зовнішніх впливах.
3. Імітаційне моделювання полягає у створенні комп'ютерної
програми (або пакету програм), що імітує поведінку складної технічної,
економічної чи іншої системи на персональному комп’ютері з необхідною
точністю. Імітаційне моделювання передбачає формальний опис логіки
34
функціонування досліджуваної системи з часом, що враховує суттєві
взаємодії її компонентів та забезпечує проведення статистичних
експериментів.
4. Статистичне моделювання використовується для вивчення
стохастичних систем і полягає в багаторазовому проведенні випробувань з
подальшою статистичною обробкою результатів, що виходять. Подібні
моделі дозволяють досліджувати поведінку різних систем масового
обслуговування, багатопроцесорних систем, інформаційно-обчислювальних
мереж, різних динамічних систем, на які впливають випадкові фактори.
Статистичні моделі застосовуються під час вирішення імовірнісних завдань, і
навіть під час обробки великих масивів даних (інтерполяція, екстраполяція,
регресія, кореляція, розрахунок параметрів розподілу тощо.). Вони
відрізняються від детермінованих моделей, використання яких передбачає
чисельне рішення систем алгебраїчних або диференціальних рівнянь, або
заміну об'єкта, що вивчається, детермінованим автоматом.
5. Інформаційне моделювання полягає у створенні інформаційної
моделі, тобто сукупності спеціальним чином організованих даних (знаків,
сигналів), що відображають найбільш суттєві сторони об'єкта, що
досліджується. Розрізняють наочні, графічні, анімаційні, текстові, табличні
інформаційні моделі. До них відносяться всілякі схеми, графи, графіки,
таблиці, діаграми, малюнки, анімації, виконані на ЕОМ, зокрема цифрова
карта зоряного піднебіння, комп'ютерна модель земної поверхні тощо.
6. Моделювання знань передбачає побудову системи штучного
інтелекту, в основі якої лежить база знання деякої предметної галузі (частини
реального світу). Основи знань складаються з фактів (даних) та правил.
Логічні моделі використовуються уявлення знань у експертних системах, до
створення систем штучного інтелекту, здійснення логічного висновку,
доказів теорем, математичних перетворень, побудови роботів, використання
природної мови спілкування з персональним комп’ютером, створення ефекту
35
віртуальної реальності у комп'ютерних іграх тощо.
Виходячи з цілей моделювання, перелік комп'ютерних моделей можна
поділити на групи:
✓ дескриптивні моделі, що використовуються для розуміння
природи об'єкта, що досліджується, виявлення найбільш істотних факторів,
що впливають на його поведінку;
✓ оптимізаційні моделі, що дозволяють вибрати оптимальний спосіб
керування технічною, соціально-економічною чи іншою системою
(наприклад, космічною станцією);
✓ прогностичні моделі, що допомагають прогнозувати стан об'єкта у
наступні моменти часу (модель земної атмосфери, що дозволяє передбачити
погоду);
✓ навчальні моделі, застосовувані для навчання, тренінгу та
тестування учнів, студентів, майбутніх спеціалістів;
✓ ігрові моделі, що дозволяють створити ігрову ситуацію, що імітує
управління армією, державою, підприємством, людиною, літаком і т.д. або
грають у шахи, шашки та інші логічні ігри.

2.3 Визначення різновидів комп’ютерних моделей за типом
математичної схеми
В теоретичних засадах моделювання систем, комп'ютерні моделі
поділяються на чисельні, імітаційні, статистичні та логічні. При
комп'ютерному моделюванні, як правило, використовують одну з типових
математичних схем: диференціальні рівняння, детерміновані і ймовірнісні
схеми, системи масового обслуговування, мережі Петрі тощо. Врахування
способу подання стану системи та ступеня випадковості модельованих
процесів дозволяє побудувати схематичний склад представлений в табл. 2.1.

36
Таблиця 2.1
Способи подання стану системи та міри випадковості
модельованих процесів
Неперервні
Дискретні
(аналогові)
Дискретно- Неперервно-
Детерміновані
детерміновані моделі детерміновані моделі
Дискретно-стохастичні Неперервно-
Стохастичні
моделі стохастичні моделі

Дослідження імітаційної моделі проводиться на цифрових та
аналогових обчислювальних машинах. Використовувана імітаційна система
включає математичне, програмне, інформаційне, технічне та ергономічне
забезпечення. Ефективність імітаційного моделювання характеризується
точністю і достовірністю результатів, вартістю та часом створення моделі та
роботи з нею, витратами машинних ресурсів (часу обчислень та необхідної
пам’яті). Для оцінки ефективності моделі необхідно результати порівняти з
результатами натурного експерименту, а також результатами аналітичного
моделювання.
У деяких випадках доводиться об’єднувати чисельне рішення
диференціальних рівнянь та імітацію функціонування тієї чи іншої складної
системи. У цьому випадку говорять про комбіноване або аналітико-
імітаційне моделювання. Його основна перевага полягає у можливості
дослідження складних систем, обліку дискретних та безперервних елементів,
нелінійності різних характеристик, випадкових факторів. Аналітичне
моделювання дозволяє проаналізувати лише досить прості системи.
Одним із ефективних методів дослідження імітаційних моделей є
метод статистичних випробувань. Він передбачає багаторазове відтворення
того чи іншого процесу за різних параметрів, що змінюються випадковим
37
чином за заданим законом. Комп’ютер може провести 1000 випробувань та
зареєструвати основні характеристики поведінки системи, її вихідні сигнали,
а потім визначити їх математичне очікування, дисперсію, закон розподілу.
Недолік використання машинної реалізації імітаційної моделі полягає в тому,
що отримане з її допомогою розв’язання має частковий характер і відповідає
конкретним параметрам системи, її початковому стану та зовнішнім впливам.
Перевага полягає у можливості дослідження складних систем.

2.4. Області застосування комп'ютерних моделей
Удосконалення інформаційних технологій зумовило використання
комп’ютерів у всіх сферах діяльності. Розвиток наукових теорій передбачає
висування основних принципів, побудова математичної моделі об'єкта
пізнання, отримання наслідків, які можна зіставити з результатами
експерименту. Використання комп’ютера дає змогу, з математичних рівнянь,
розрахувати поведінку досліджуваної системи у тих чи інших умовах
функціонування. У багатьох випадках це є чи не єдиним способом отримання
наслідків із математичної моделі.
Удосконалення обчислювальної техніки, поява персональних
комп’ютерів, що дозволяє швидко і досить точно здійснювати обчислення за
заданою програмою, ознаменувало якісний стрибок на шляху розвитку
науки. На перший погляд здається, що винахід обчислювальних машин не
може безпосередньо впливати на процес пізнання навколишнього світу.
Однак це не так: вирішення сучасних завдань вимагає створення
комп'ютерних моделей, проведення величезної кількості обчислень, що стало
можливим лише після появи електронно-обчислювальних машин, здатних
виконувати мільйони операцій на секунду. Суттєвим чинником є той факт,
що обчислення виконуються автоматично, відповідно до заданого алгоритму
і не потребують втручання людини. Якщо комп’ютер належить до технічної
бази проведення обчислювального експерименту, її теоретичну основу
38
становлять прикладна математика, чисельні методи розв'язання систем
рівнянь.
Успіхи комп'ютерного моделювання тісно пов'язані з розвитком
чисельних методів, що розпочався з фундаментальних робіт Ісака Ньютона,
який ще в 17 столітті запропонував їх використовувати для наближеного
розв'язання рівнянь алгебри. Леонард Ейлер розробив спосіб вирішення
звичайних диференціальних рівнянь.
Одним з перших визначних результатів комп'ютерного експерименту
у фізиці є відкриття в 1968 температурного струмового шару в плазмі,
створюваної в МГД-генераторах (ефект Т-шару). Ця робота була виконана на
комп’ютері і дозволила передбачити результат реального експерименту,
проведеного за кілька років. В теперішній час обчислювальний експеримент
використовується для виконання досліджень у такому переліку напрямків [8,
9, 17]:
✓ розрахунок ядерних реакцій;
✓ вирішення завдань небесної механіки, астрономії та космонавтики;
✓ вивчення глобальних явищ на Землі, моделювання погоди,
клімату, дослідження екологічних проблем, глобального потепління,
наслідків ядерного конфлікту тощо;
✓ вирішення завдань механіки суцільних середовищ, зокрема
гідродинаміки;
✓ комп'ютерне моделювання різноманітних технологічних процесів
в т.ч. і в енергетиці;
✓ розрахунок хімічних реакцій та біологічних процесів, розвиток
хімічної та біологічної технології;
✓ соціологічні дослідження, зокрема, моделювання виборів,
голосування, поширення відомостей, зміна громадської думки, воєнних дій;
✓ розрахунок та прогнозування демографічної ситуації в країні та
світі;
39
✓ імітаційне моделювання роботи різних технічних, зокрема,
електронних та електротехнічних пристроїв;
✓ економічні дослідження розвитку підприємства, галузі, держави.

Висновки до розділу 2
1. Обґрунтовано поняття комп’ютерного моделювання стосовно
електротехнічних задач та окреслено його місце серед інших методів
дослідження електричних кіл.
2. Здійснено класифікацію комп’ютерних моделей за ознакою типу
математичного апарату, що використовується.
3. Визначено коло застосування комп’ютерних моделей, зокрема при
аналізі електричних ланцюгів.

40
РОЗДІЛ 3
ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДІВ КОМП᾿ЮТЕРНОГО АНАЛІЗУ
ПРИ РОЗРАХУНКАХ ЕЛЕКТРОМАГНІТНИХ ПРОЦЕСІВ

3.1 Підхід машинного розрахунку при моделюванні електричних
ланцюгів
Основний зміст поняття «Теоретичні основи електротехніки» (ТОЕ)
ретроспективно формувався ще до масового поширення засобів
обчислювальної техніки. З появою нових обчислювальних, логічних та
інформаційних можливостей персональних комп’ютерів почався їх істотний
вплив на розвиток теоретичної електротехніки, що стало відображатися у
наукових працях відповідного спрямування. У перших роботах такого роду
стосовно теорії електричних ланцюгів [1, 2, 7, 15] розглядалися головним
чином питання формалізації складлення та чисельного розв'язання рівнянь
складних електричних кіл. Будучи хорошим доповненням до основного
змісту курсу ТОЕ, ці роботи меншою мірою розвивали аналітичні та якісні
методи дослідження, тобто напрям, якому в ТОЕ традиційно надавалася
визначальна роль. Тому актуальним є такий розвиток аналітичних методів,
котрий би забезпечив їх гармонійну відповідність збільшеному рівню
розвитку чисельних методів.
Теорія електричних ланцюгів (ТЕЛ) є одним з найважливіших розділів
теоретичної електротехніки - загальнонаукової основи широкого кола
технічних дисциплін. У рамках ТЕЛ розробляються основоположні для
прикладних дисциплін методи опису електромагнітних явищ в електричних
ланцюгах та побудови математичних моделей процесів, що в них протікають.
На основі ТЕЛ створюються способи фізичного та чисельного експериментів,
набуваються навички аналізу достовірності та достатності отримання
результатів.
41
Тісний зв'язок ТЕЛ не лише з відповідними розділами математики та
фізики, але й зі спеціальними дисциплінами визначає такий розвиток теорії,
при якому набуває важливості її спрямованість на вирішення нових
прикладних задач електротехніки. На початку ери розвитку електротехніки ці
завдання зумовлювалися запитами телеграфії та електромашинобудування, а
вже пізніше проблемами передачі та розподілу енергії та інформації в
складних електричних та інформаційних мережах.
Фактором, який визначав розвиток ТЕЛ, є необхідність створення
таких теоретичних методів, які на основі існуючої техніки виконання
чисельних розрахунків здатні забезпечити отримання необхідних результатів.
Цей фактор визначає вибір відповідних математичних методів дослідження
та розв'язання систем диференціальних та алгебраїчних рівнянь.
Отже, на вибір математичних методів в основному здійснювали вплив
ті засоби виконання чисельних розрахунків, що були на той час у
розпорядженні інженерів та конструкторів. Відбувався переважно розвиток
тих розрахункових методів та теоретичних підходів, які на базі існуючих
розрахункових засобів надавали великі можливості практикам. Прикладом
цього може служить бурхливий розвиток у 50-х роках методу трапеції, як
графоаналітичного методу отримання та корекції частотних характеристик.
двополюсників та чотириполюсників.
Саме поява та використання електронно-обчислювальних машин
(ЕОМ), а далі й персональних комп’ютерів (ПК) здійснило визначальний
вплив на розвиток ТЕЛ, відкриваючи нові можливості для обчислювальних
засобів. Перш ніж перейти до аналізу використання комп’ютерів при
дослідженні електромагнітних процесів у електричних ланцюгах, розглянемо
етапи та перспективи розвитку засобів електронно-обчислювальної техніки.
Механічний прообраз ЕОМ, запропонований у середині XIX століття
англійським математиком Чарльзом Беббіджем, вміщував до 50 000
механічних частин, що рухаються, які приводилися в дію за допомогою
42
парової машини [24]. Обчислювальна машина, яка була названа аналітичною,
не була побудована, проте більшість ідей, що використовуються в сучасних
обчислювальних засобах, була оприлюднена вже на той час. Зокрема, було
розроблено програму послідовного виконання обчислень. Ця частина роботи
була здійснена дочкою англійського поета Дж. Байрона леді Адою Лавлейс,
на честь якої потім був названий одна із «машинних» мов для ЕОМ - «Ада»
[66]. Наступним етапом у створенні працездатної обчислювальної машини
було використання електромеханічних перетворювачів - реле. Такі реле
імітують роботу двійкової системи. Ця машина, була названа Z3 на прізвище
німецького інженера Зюса, була побудована в 1941 - 1943 р. на основі 2000
телефонних реле. Вона оперувала 22-розрядними словами та виконувала
операцію множення за 3 с. Вже в цій машині були реалізовані операції з
плаваючою крапкою, зберігання даних у пам'яті (64 числа) та програми,
записані на перфострічці.
Однак як вважають деякі дослідники [24, 57, 66], першою ЕОМ слід
вважати обчислювальну машину «Колосc 1», побудовану в одинадцяти
екземплярах в Англії Т. Флоуерсом та А. Тьюрингом (початок робіт
відноситься до 1943 р.).
У такій ЕОМ в повному обсязі використовувалося двійкове числення, в
якості ключів застосовувалися 1500 електронних ламп. Для керування
розрахунками використовувалися програми, що зберігаються в блоці
запам’ятовування.
В нашій державі розробка першої ЕОМ була розпочата в 1947 р. в
інституті електротехніки академії наук України під керівництвом академіка
С. А. Лебедєва. Ці розробки завершилися створенням цілої серії ЕОМ, у тому
числі БЕСМ-6, кращої машини кінця 1950-х років. Слід зазначити ту
обставину, що наприкінці 50-х і на початку 60-х років вітчизняні ЕОМ та з
архітектури (ідеології побудови самої ЕОМ), а також по елементній базі
знаходилися на самому високому рівні. Так, ЕОМ БЕСМ-6 дозволяла
43
виконувати складні обчислення з плаваючою точкою зі швидкістю до 1 млн.
оп/с.
За однією з класифікацій [66], прийнято розділяти ЕОМ, виділяючи як
основу її елементну базу. Так, ЕОМ першого покоління були побудовані на
електровакуумних лампах, що робило їх малонадійними та громіздкими, а ще
занадто енергоємними. ЕОМ другого покоління були створені на початку 60-
х років на основі напівпровідникових діодів та тріодів. В ЕОМ третього
покоління використовувалися інтегральні схеми (ІМС), котрі давали змогу на
одному кристалі кремнію реалізувати достатньо складні логічні та
арифметичні функції. В міру зростання ступеня інтеграції логічних та
арифметичних операцій на кристалі кремнію зростала в цілому й швидкість,
й надійність функціонування ЕОМ. Тут, опираючись проведений аналіз,
можна відзначити, що кожні 10 років починаючи з 60-х років швидкість
обчислень зростала у 50-100 разів. Якщо у 60-х роках минулого століття
швидкість обчислень становила сотні тисяч операцій на секунду, то у 70-х
роках зросла до десятків мільйонів операцій в секунду, а в середині 80-х
років - до мільярда операцій у секунду. Станом на сьогодні швидкодія ЕОМ
складає понад трильйон операцій на секунду, а деякі суперкомпютери здатні
здійснювати до 10 трильйонів операцій за секунду і ця здатність невпинно
зростає.
Також слід зазначити, що поряд із зростанням швидкодії відбувається
різке зменшення габаритних показників та вартості ЕОМ. Важливою є й та
обставина, що підвищуються швидкодія та мініатюризацію не тільки самих
ЕОМ, а й пристроїв масової пам’яті.
У поєднанні з швидкодією (мільярди та трильйони операцій за
секунду), великою оперативною пам'яттю (до десятків і сотень терабайт),
практично необмеженою постійною пам'яттю компактні мікрокомп’ютери
вже створюють великий вплив на всю інженерну діяльність, а звідси й на
напрямок розвитку прикладних теорій, яким і являється теорія електричних
44
кіл.
Можливість виконання величезної кількості арифметичних операцій
за короткий час за допомогою ЕОМ дозволяє розраховувати електромагнітні
процеси у складних електричних ланцюгах. Для оптимальної реалізації цих
можливостей знадобилося по-новому розглянути і процедуру формування
рівнянь відносно тих, що підлягають визначенню, струмів і напруг, а також
методи розв'язання цих рівнянь. Для вирішення завдань ТЕЛ з допомогою
комп’ютера необхідно насамперед записати всю вихідну інформацію, а
також і порядок та способи вирішення у «зрозумілій» для комп’ютера ЕОМ
формі , тобто у вигляді як машинної програми. З цією метою доводиться
освоювати специфічні «мови» і перекладати з їх допомогою звичні в
інженерному побуті математичні та логічні вирази на зрозумілу для
обчислювальної машини сукупність команд, що уміщує програму введення
та розв'язання задачі. У міру технічного вдосконалення комп᾿ютерної
техніки, розширення блоку пам'яті, підвищення швидкодії розвивалися і ці
мови, дедалі більше наближаючись за своїми можливостями та
особливостями до звичайної мови. Однак цей ще не завершений, пройде ще
певний час, перш ніж персональні комп’ютери та великі ЕОМ будуть в змозі
взаємодіяти з інженером на його власній мові. Цей процес йде, і з ним слід
рахуватися при спробі прогнозувати характер впливу ЕОМ в питанні
розвитку ТЕЛ.
Кожна загальнотеоретична дисципліна, зокрема ТЕЛ, оперує
специфічним набором понять, пов'язаних специфічними обмеженнями та
закономірностями. Вільно володіти цим набором понять означає
«розмовляти на цьому специфічній проблемно-орієнтованій мові». Оскільки
процес навчання і оволодіння можливостями ТЕЛ зводиться до вільного
оперування термінами, позначеннями і закономірностями такої мови, слід
визнати у зв'язку з використанням комп’ютерів перспективність створення
проблемно-орієнтованої мови, оптимально організує спілкування інженера з
45
комп’ютером у сфері теорії електричних ланцюгів. Така мова повинна як
мінімум дозволяти інтегрувати стандартні програми у спеціалізовані для
розрахунку електричних ланцюгів програми.
Найбільш загальновживаними стандартними програмами є пакети
програм, що дозволяють вирішувати системи лінійних, нелінійних
алгебраїчних та диференціальних, а в останній час і інтегральних рівнянь.
У цих програмах наголошується на необхідності використання
матриць та запис диференціальних рівнянь у нормальній формі. Система
диференціальних рівнянь має бути записана у вигляді

dx
= f (x,t,e), X(0)=X ,
dt 0
(3.1)

де X - m-мірний вектор величин, що знаходяться (матриця стовпець
розмірності m);
f (x,t,e) - m-мірна вектор-функція;
e - m-мірний вектор зовнішніх впливів;
X - m-мірний вектор початкових значень величин, що знаходяться.
0

Необхідність переходу від системи інтегро-диференціальних рівнянь
ланцюгів до наведеної системи диференціальних рівнянь ній зумовила
розвиток спеціальних методів, таких як метод змінних стану і матрично-
топологічний для формування рівнянь електричних кіл які складаються на
основі законів Кірхгофа.
Будь-який електричний ланцюг може бути повністю описаний, якщо
відомі його вузли, вітки, характеристики віток кола та їх інцидентність, тобто
приналежність відповідним вузлам. З точки зору подання цієї інформації в
придатній для комп’ютера формі найбільш простим є введення в ЕОМ
матриці з'єднань та таблиці параметрів елементів, що є у вітках. Необхідність
46
запису системи диференціальних рівнянь у нормальній формі за допомогою
топологічних матрицю зобов’язує уведення деяких обмежень на
послідовність формування матриць та вибір змінних які знаходяться [66].
Проаналізуємо ці обмеження. Спочатку розглянемо метод змінних
стану. Аналогічно як і в будь-якій динамічній системі в електричному
ланцюзі процеси переходу з одного режиму в інший, що відбуваються в часі,
пов'язані зі зміною її енергетичного стану. Вибір в якості шуканих змінних
величин, що характеризують енергетичний стан електричного ланцюга,
дозволяє мінімізувати кількість змінних у системі диференційних рівнянь.
За аналогією з підходом, що широко використовується в
термодинаміці, такі змінні прийнято називати змінними стану електричного
ланцюга. Неможливість миттєвої зміни енергії при кінцевому значенні
потужності обумовлюється інерційністю процесів у термодинамічних
системах.
Інерційність процесів в електричних ланцюгах характеризується
накопиченням і відбором електромагнітної енергії в індуктивних котушках і
конденсаторах, тобто реактивних елементах ланцюга.
Відповідно динамічні процеси, а отже, і система диференціальних
рівнянь, що описує ці процеси, визначаються наявністю та числом цих
елементів. Оскільки динаміка процесу пов'язана з енергетичним станом
електричного ланцюга, найбільш повно описати цей стан можна, знаючи
енергетичні процеси в кожному реактивному елементі.
Енергію магнітного поля в індуктивній котушці виражають через
потокозчеплення та струм. Для нелінійних елементів

W
d
Wm =  iLd ,  = fL (iL ); uL = .
dt
0 (3.2)

При  = Li , L = const , отримаємо
L
47
iL  2 i2L di
Wm = = = L ; u = L L
L .
2 2L 2 dt
(3.3)

Якщо далі розглянути з тих же позицій енергію, що накопичується в
конденсаторі, то отримаємо

q
dq
We = uCdq, q = fC (uC ); iC = .
dt
0 (3.4)

При q =Cu , C = const , отримаємо
C

u q2 u2 du
We = q
C = =C C ; iC =C
C .
2 2C 2 dt
(3.5)

Таким чином, енергетичний стан електричного ланцюга може бути
описаний через змінні  , q або ж через u , u та залежності
L C  = fL(i ) ,
L
q = f (u ) або ж
C C  = Li , .
L q =CuC

Відповідно до цього в якості шуканих величин для розрахунку
динамічних (перехідних) процесів в електричних ланцюгах вибирають
потокозчеплення (струми) індуктивних котушок та заряди (напруги)
конденсаторів. Виділення цих величин як змінних, що характеризують
енергетичний стан електричного ланцюга, дозволяє формувати
диференціальні рівняння у нормальній формі, тому що тільки в цих
елементах струми та напруги пов'язані між собою через похідні.
Щоб кожне рівняння, написане відповідно до першого і другого
законів Кірхгофа, було диференціальним рівнянням першого порядку щодо
 (i ) , а також q(u ) , кожен контур і розсічення повинні містити лише один
L C
48
реактивний елемент. Якщо у вітці електричного кола є кілька послідовно
з'єднаних котушок, то їх слід розглядати як одну котушку. Якщо до пари
вузлів паралельно приєднано кілька конденсаторів, то їх потрібно
еквівалентувати одним конденсатором.
При складанні рівнянь згідно з першим законом Кірхгофа у графі
ланцюга слід виділити вітку дерева, через яку проходить розсічення. При
цьому поверхня, яка розділяє ланцюг на дві частини, перетне деяке число
зв'язків (хорд) і лише одну вітку.
Рівняння балансу струмів для такого r-го розрізу є диференціальним
рівнянням першого порядку відносно однієї змінної, якщо j-я вітка містить
конденсатор. У такій вітці струм пов’язаний з напругою або зарядом
конденсатора наступним чином

dq j duCj
iCj = або ж i
dt Cj =C j . (3.5)
dt

Подальші міркування наведені в [8]. Отже, враховуючи вищесказане,
щоб скласти систему рівнянь в нормальної формі, необхідно в якості змінних
брати напруги (заряди) ємнісних елементів, відносячи вітки, що містять ці
елементи, до віток дерева, а також струми (потокощеплення) індуктивних
елементів, відносячи вітки, що містять ці елементи, до хорд.
Матрично-топологічний метод складання системи рівнянь для
розрахунку встановлених режимів, як правило, пов'язаний з уведенням
поняття узагальненої вітки, що містить поряд з пасивними елементами у вітці
(R, L, С) також джерело ЕРС, послідовно з'єднане з пасивною частиною
вітки, і джерело струму, включене паралельно вітці з ЕРС. Введення цього
поняття при відомій можливості еквівалентних перетворень джерел ЕРС в
джерела струму і навпаки дозволяє скласти найбільш економні (у сенсі числа
невідомих) системи рівнянь. Скорочення числа вузлів та віток в такому
49
випадку приводить до спрощення опису ланцюга. З розгляду виключаються
вузли, до яких приєднані вітки в кількості 2 шт. При складанні рівнянь стану
впровадження узагальнених віток недоцільно внаслідок ускладнення
подальших перетворень [9].
В такому випадку більш доцільним є виконання деталізації топології,
тобто виділення кожного елемента електричного кола в окрему вітку, щоб
спростити складання системи диференціальних рівнянь.
Якщо кожен елемент електричного ланцюга виділяється в якості
вітки, то віднесення віток до дерева ланцюга або до його хорд слід проводити
з урахуванням наступного. До віток дерева повинні бути послідовно
віднесені спочатку вітки з джерелами ЕРС, потім вітки з конденсаторами.
Якщо таке дерево не сполучає всі вузли, то повинні бути додані вітки з
резисторами і тільки в останню чергу вітки з індуктивними елементами.
Дерево, складене згідно з цим правилом, називають нормальним. Відповідно
як зв'язки (хорд) спочатку повинні бути виділені джерела струму, потім
індуктивні елементи та резистивні вітки та в останню чергу вітки з
конденсаторами. Підграф, складений згідно з цим правилом, називають
нормальним підграфом зв'язків (хорд). Граф електричного ланцюга, що
містить нормальне дерево і нормальний підграф зв’язків, вважають
нормальним чи правильним.
Можливі випадки, коли в електричному ланцюзі є контури, що
складаються тільки з джерел ЕРС, або розрізи, що містять тільки джерела
струму. Завдання розрахунку таких ланцюгів некоректні і розглядаються
окремо, так як представлено, наприклад в [10].
При зведенні здачі аналізу електричного кола до вигляду який
«сприймає» комп’ютер проблеми можуть виникнути, не тільки при
розрахунку динамічних процесів, а й знаходженні усталених процесів.
Чисельне інтегрування системи диференціальних рівнянь за
допомогою їх заміни звичайними різницевого виду для моментів часу,
50
віддалених один від одного на малі інтервали, можна звести до рішення
системи алгебраїчних рівнянь. Залежно від особливостей електричного
ланцюга цей інтервал може виявитися настільки малим, що число кроків
інтегрування може бути неприйнятно велике.
Ця проблема особливо гостро постає при спробі отримати рішення
для періодичних процесів. В умовах обмеженої точності обчислень навіть
перевірка рівності x(t+T) =х(t) є не простим непростим завданням. Тому в
багатьох роботах [9, 10, 41], велика увага приділена тим питанням розвитку
теорії електричних кіл, розробка яких максимальною мірою дозволяє
розвинути теоретичні положення, сприяти створенню нових алгоритмів
розрахунку на ЕОМ саме усталених процесів. Наприклад в роботі [21]
описаний метод аналітичного вирішення рівнянь стану, який дозволяє
організувати ефективний чисельний аналіз не тільки режимів, а й перехідних
процесів для широкого класу джерел, що визначають режим роботи
електричного кола. Реалізувати цей підхід можна поєднуючи метод змінних
стану з матрично-топологічним методом, що забезпечує компактність та
формалізованість запису результату. При цьому аналітичні розв'язки задачі
виражають не через звичайні, а через матричні функції.
Тут слід зауважити, що аналітичні операції з різними функціями і
формулами можуть здійснюватися на комп’ютері тією ж мірою, що і операції
з відповідними масивами чисел при чисельних розв’язаннях задачі. Ще,
раніше згадана, Ада Лавлейс довела можливість розвитку двох типів мов
програмування - мов, орієнтованих на операції з числами, та мов,
орієнтованих на операції із символами. Більш детально ці питання
розглядаються в роботах [27, 28]. Та обставина, що використання
аналітичних методів сприяє більш ефективному отриманню чисельних
результатів розв'язання задачі, часто обумовлює необхідність докладніше
зупинитися на можливостях цих методів.
Аналітичні методи розв'язання рівнянь стану. При моделюванні
51
електричних кіл за допомогою рівнянь стану, необхідно провести оцінку
існування, єдиності, збіжності рішень, визначення можливостей
перетворення різних еквівалентних рівнянь, виявлення чутливості рішень до
зміни параметрів рівнянь, дослідження особливих сторін поведінки рішень в
різних особливих точках, наприклад резонансу. Ця інформація особливо
потрібна для визначення меж визначеності і доцільності їх коригування, щоб
у повній мірі відобразити властивості реальних ланцюгів як об'єктів
моделювання. Крім того, тільки маючи досвід і результати в подібних,
основному якісних та аналітичних дослідженнях, можна переходити до
наступного етапу вивчення аналізованих моделей - їх чисельної обробки. У
цьому випадку результати аналітичних досліджень дозволяють оцінити як
можливість чисельної обробки рівнянь стану, так і достовірність отриманих
результатів. Подібні дослідження визначають вибір найбільш ефективних
чисельних процедур з урахуванням особливостей конкретних завдань.
Реалізувати вказані дослідження можна перш за все досліджуючи
методи побудови аналітичних рішень для рівнянь електричних кіл. Суть цих
методів полягає в такому перетворенні вихідних рівнянь, в результаті якого
змінні стану вдається виразити через аналітичні функції від параметрів
рівнянь без будь-якого спотворення закладеної в вихідні рівняння інформації.
Під аналітичними рішеннями ми, таким чином, будемо розуміти перш за все
рішення, виражені через елементарні функції - статичні, тригонометричні,
гіперболічні і т. д. або, у більш загальному випадку, через будь-які функції,
які можуть бути розкладені в статичні ряди, за умови, що ці вирази точно
задовольняють вихідним рівнянням. Для намічених досліджень аналітичні
рішення зручні максимально можливої інформаційною компактністю, а у разі
використання у записі рішень лише елементарних функцій ще й наочністю
отриманих результатів.
Таким чином, особливий інтерес представляє детальне знайомство з
проблемами побудови аналітичних рішень рівнянь стану таких лінійних
52
стаціонарних електричних ланцюгів, котрі містять тільки один накопичувач
енергії – індуктивний або ємнісний елемент. Доцільність виділення в
окремий клас таких ланцюгів та подальшого поглибленого дослідження їх
рівнянь обумовлена такими обставинами. По перше, подібні ланцюги -
найбільш прості електричні ланцюги, в яких виникають процеси, зумовлені
накопиченням та витрачанням енергії електромагнітного поля Вивчення
подібних найпростіших процесів цікавить тим більше, що подібні ланцюги
відповідають досить важливим у прикладному відношенні електротехнічним
пристроям. Крім того, простота математичної структури рівнянь стану
подібних ланцюгів і наочність фізичної картини явищ, їм відповідних,
дозволяють простими математичними засобами створити таку методику
всестороннього дослідження цих рівнянь, яка б у найбільшій мірі відповідала
особливостям фізичної природи електромагнітних явищ. По-друге, вивчення
явищ у подібних ланцюгах представляє інтерес у тому сенсі, що все більш
складні ланцюги з декількома накопичувачами енергії фактично складаються
з сукупності ланцюгів виділеного класу. Ще важливішим є те, що створена
методика математичного дослідження рівнянь стану найпростіших
електричних ланцюгів може бути поширена і на рівняння стану складних
електричних ланцюгів, що містять велику кількість накопичувальних
елементів, і навіть на рівняння стану електромагнітних середовищ.
Поряд з питаннями дослідження вже сформованих математичних
моделей електричних кіл для ТЕЛ не менший інтерес становлять і питання
власне формування таких моделей, що розглядаються в роботах [12, 20].
Викладені у [12] питання знаходження параметрів режиму (струмів і
напруг) електричних ланцюгів із заданими параметрами схем (опорами,
індуктивностями, ємностями, характеристиками джерел енергії) у
прикладному відношенні орієнтовані переважно на завдання проектування
пристроїв, відповідним цим ланцюгам. Для завдань експлуатації більше
важливі питання знаходження параметрів схем за даними вимірювань
53
параметрів режиму електричних ланцюгів, причому в ТЕЛ такі задачі
відносять до завдання діагностики. Діагностика електричних ланцюгів
досить новий напрямок, що викликаний новими запитами практики, завдяки
цьому цей напрямок ТЕЛ є таким, що інтенсивно розвивається. Особливістю
завдань діагностики є наявність двох етапів їх вирішення. Перший – це
проведення діагностичних експериментів для замірів параметрів режимів
ланцюгів і другого - етапу математичної обробки за допомогою комп’ютера.
У зв'язку з цим виняткове значення набуває розробка таких методів
діагностики, які відрізняються простотою в реалізації та забезпечують
вирішення задачі із заданою точністю при мінімальних витратах часу та
технічних ресурсів на вимірювання і чисельну обробку їх даних. У роботі
[16] особлива увага приділяється виділенню класу подібних до канонічних
методів та детально розглядаються їх можливості.
З проблемою створення математичних моделей електричних ланцюгів
доводиться зіштовхуватися і під час вирішення завдань аналізу, якщо вихідна
інформація про параметри схеми задана невірно. Найбільші ж труднощі
виникають, якщо ця інформація носить не кількісний, а частково якісний
характер, як, наприклад, у випадку, коли про параметри ряду елементів
відомо, що вони «суттєво більше» або «суттєво менше» параметрів ряду
інших елементів. Водночас подібна ситуація досить типова для інженерної
практики. Особливо ж вона загострюється при моделювання досить складних
об'єктів, коли більшість етапів розв'язання задачі виконується тільки з
використанням комп’ютерної техніки, для чого в першу чергу необхідно
формалізувати всю наявну інформацію та розробити методику її подальшої
обробки. Спроби вирішити це завдання в рамках понять класичної
математики не призводять до успіху, у зв'язку з чим представляє інтерес
використання для її вирішення нових математичних конструкцій,
реалізованих у рамках так званого нестандартного аналізу. Питанням
застосування цього математичного апарату для вирішення розглянутої
54
проблеми теорії електричних ланцюгів присвячена, наприклад, робота [25].
У якості проміжного висновку ми можемо зазначити, що раціональне
рішення задач моделювання та машинного розрахунку електричних ланцюгів
досягається при гармонійному поєднанні експериментальних та
розрахункових методів створення математичних моделей ланцюгів і
аналітичних та чисельних методах дослідження цих моделей. Подібне
поєднанняння забезпечує адекватність результатів моделювання
досліджуваних електричних кіл.

3.2 Особливості машинного (комп’ютерного) розрахунку
електричних ланцюгів
Для успішного проведення комп’ютерного моделювання електричних
кіл, перш за все необхідно розглянути питання опису ланцюгів, в контексті
автоматизованого формування та чисельного розв'язання їх рівнянь при
машинному розрахунку. Для цього вводяться синтетичні схеми заміщення
ланцюгів, що поєднують особливості як чисельних методів інтегрування, і
топологічних структур ланцюгів [8]. Також аналізуються можливості
реалізації діакоптичних принципів розрахунку складних ланцюгів на основі
застосування їх макромоделювання [9].
Одним із широко застосовуваним на практиці методом адаптації до
машинного (комп’ютерного) розрахунку є зведення розрахунку перехідних
процесів електричних ланцюгів для розрахунку ланцюгів по постійному
струму [9].
Спочатку будемо розглядати розрахунок перехідних процесів
електричних ланцюгів методом змінних стану, який передбачає наступні
кроки:
✓ складання за законами Кірхгофа та рівняннями окремих елементів
ланцюгів єдиної системи диференціальних рівнянь рівнянь стану;
✓ апроксимацію рівнянь стану на кожному кроці розрахунку
55
різницевими рівняннями;
✓ чисельне рішення отриманих систем різницевих рівнянь.
Така послідовність розрахунку ефективна для ланцюгів невисокої
розмірності з переважно лінійними двополюсними елементами. Рівняння
стану таких ланцюгів формуються вручну або на ЕОМ за порівняно
простими алгоритмами, розглянутими, наприклад, в [24]. Основні ж
труднощі полягають у чисельному розв’язанні рівнянь стану. Зі зростанням
складності ланцюгів ручне формування рівнянь виключається і питання
ефективності автоматичного створення рівнянь починають грати не меншу
роль, ніж питання подальшого їх розв’язання. При цьому розрахунок
ланцюгів у наведеній послідовності стає все більш складним. Це відбувається
тому, що для високорозмірних ланцюгів з багатополюсними нелінійними
елементами, особливо які володіють складною логікою функціонування,
відсутні універсальні алгоритми формування рівнянь стану.
Розробка ж для кожного нового ланцюга нового алгоритму
представляє собою досить складне завдання. До того ж реалізація подібних
алгоритмів вимагає суттєвих обчислювальних витрат, а вирішення
отриманих рівнянь пов'язане зі значними труднощами, зумовленими їх
високою розмірністю. Тому при машинному розрахунку складних
електричних ланцюгів перевага віддається такому шляху, у якому процедура
формування рівнянь, найбільш проста і узгоджена з подальшим їх чисельним
рішенням. Такий шлях передбачає іншу послідовність етапів розрахунку:
✓ апроксимацію диференціальних рівнянь окремих елементів
ланцюгів різницевими рівняннями, з якими зіставляються суто резистивні
схеми заміщення;
✓ формування на кожному кроці розрахунку систем алгебраїчних
рівнянь, що відповідають резистивним схемам заміщення ланцюгів;
✓ послідовне рішення одержуваних систем алгебраїчних рівнянь
рівнянь.
56
Подібний шлях можна інтерпретувати як зведення завдання
розрахунку перехідних процесів електричних ланцюгів до послідовності
задач розрахунку по постійному струму чисто резистивних ланцюгів тієї ж
топологічної структури. При цьому для розрахунку перехідних процесів
можуть бути використані методи аналізу чисто резистивних ланцюгів, що
відрізняються простотою алгоритмів складання рівнянь. Розглянемо такий
шлях докладніше.
Проведемо різницеву апроксимацію диференціальних рівнянь
накопичувальних реактивних елементів, відповідно перетворенням, як
показано на рис. 3.1 і 3.2.

Рис. 3.1. Різницева апроксимація індуктивного елемента

Рис. 3.2. Різницева апроксимація ємнісного елемента

Для таких накопичувальних елементів рівняння, що їх описують
мають вигляд:

57
di 1
= u,
dt L (3.6)
du 1
= i.
dt C (3.7)

Відповідно найпростішому неявному методу чисельного
інтегрування, так званого неявного методу Ейлера, отримаємо:

h
in+1 = in + u
L n+1, (3.8)

h C C
un+1 =un + in+1 → in+1 = − u + u .
C h n h n+1 (3.9)

Отримані вирази визначають двохполюсники з рис. 3.1,б та 3.2,б як
складаються з параллельно увімкнених провідностей:

h C
g = , g =L h (3.10)

та джерел струму:

C
J = in, J = un.h (3.11)

Якщо провести співставлення на n +1 кроці розрахунку ланцюга
накопичувальні елементи та приведені схеми заміщення, розрахунку струмів
та напруг кола в момент часу t = tn+1 можна співставити розрахунок чисто
резистивного кола тої ж самої топологічної структури електричної схеми.
Розрахувавши отриманий резистивний ланцюг любим методом
(вузлових напруг, контурних струмів, методом накладання тощо), стає
58
можливим знову й знову використовуючи вирази 3.8 і 3.9 та повторюючи
розрахунок, отримати в підсумку струми та напруги вихідного ланцюга для
різних моментів часу t = tn+2 , t = tn+3 , … , t = t .
N
Для вибору кроку дискретизації такого розрахунку можна
використовувати правило Рунге [8]. Зокрема, якщо розрахунок ведеться з
постійним кроком, то параметри пасивних елементів резистивних схем
заміщення не змінюються, змінюються лише параметри їх джерел струму. І в
такому випадку розрахунок спрощується. В джерелі [33], зауважується, що
параметри резистивних схем заміщення накопичувальних елементів можуть
бути отримані і на основі інших чисельних методів інтегрування. Так, при
використанні для дискретизації рівнянь (3.8), (3.9) методу трапецій [6] можна
тримати інші різницеві рівняння, вид яких наведено в [15].
Різницеві схеми заміщення наведено представлені на рис. 3.1,в та
3.2,в. При цьому переваги та недоліки відповідних цим методам різницевим
рівнянням визначають адекватність резистивних схем, еквівалентних
ланцюгам з накопичувачами та миттєвому стану цих ланцюгів. Оскільки
подібні резистивні схеми синтезують топологічні особливості електричних
ланцюгів з чисельними методами інтегрування, їх називають синтетичними.
Метод розрахунку перехідних процесів, заснований на використанню
синтетичних схем, має і ту перевагу, що для нелінійних ланцюгів дозволяє
вибрати змінні, що забезпечують однозначне рішення. Метод підбору таких
змінних для вирішення систем рівнянь нелінійних резистивних схем
розглянуто у [9].
Зауважимо, що безпосереднє використання методу змінних станів в
електричних ланцюгах, де резистивні елементи володіють нелінійними
властивостями, може призвести до неоднозначності рішення, оскільки змінні
стани (струми через індуктивні елементи та напруги на ємнісних) не можуть
бути вибрані з умови забезпечення однозначності розв'язання задачі.
Так, наприклад, для ланцюга з рис. 3.3,а обрання в якості шуканої
59
змінної струму через індуктивний елемент призведе до неоднозначного
рішення задачі, так як при струмі i напруга на нелінійному резистивному
L
елементі з характеристикою, що зображена на рис. 3.3,б матиме три
значення. Таким чином, для нелінійних електричних ланцюгів в окремих
випадках неможливо скласти рівняння стану так, щоб була забезпечена
однозначність їх вирішення.

Рис. 3.3. Приклад нелінійного індуктивно-резистивного кола

У разі синтетичних схем вибір шуканої змінної не залежить від L або
С. Шуканими можуть бути і струм, і напруга на нелінійних резистивних
елементах. При доборі цих змінних можна керуватися правилами,
розробленими для забезпечення однозначності розв'язання систем нелінійних
рівнянь резистивних схем.
Відповідно до джерела [24], вони будуть наступними. Якщо нелінійні
характеристики елементів ланцюга такі, що при заданому аргументі
нелінійна функція визначається однозначно, то такі характеристики
називають керованими за аргументом. Якщо, наприклад, для схеми рис. 3.3,а
як аргумент вибрати напругу, то струм через нелінійний резистивний
елемент буде однозначною функцією. Такий нелінійний елемент називають
керованим за напругою. Цей же елемент буде некерований по струму, тому
що в загальному випадку одному значенню струму можуть відповідати три
значення напруги.
60
Аналогічно поступаючи, можна визначити і резистивні елементи, що
управляються струмом. Наприклад, елемент, що має S-подібну ВАХ (див.
рис. 3.4,а), є керованим по напрузі. Елемент, що має N-подібну ВАХ (див.
рис. 3.4,б), буде керованим по струму.

Рис. 3.4. Різні види нелінійностей, що визначають керованість елемента,
по напрузі - а), по струму - б)

При поділі графа схеми на підграф дерев та підграф хорд (ланок) в
нелінійному ланцюзі повинні бути дотримані наступні правила. Резистивні
елементи, що мають ВАХ, керовані по струму, повинні бути віднесені до
підграф дерева. Резистивні елементи, що мають ВАХ, керовані за напругою,
повинні бути віднесені до підграфи хорд (ланок). Суть цих правил просто
пояснюється в [33]. До підграфа - дерева відносяться всі джерела ЕРС, тобто
елементи із заданими параметрами, в граничному випадку дерево
складається з джерел ЕРС, а нелінійні резистивні елементи лише
доповнюють граф. При цьому напруга на кожному резистивному елементі
однозначно визначається ЕРС та деревом. За цією ж самою причиною
однозначне рішення можливе лише у тому випадку, коли при заданій напрузі
струм через хорду має єдине значення, тобто резистивний елемент має ВАХ,
керовану напругою. Коли як хорда обрані джерела струму, напруги цих
хордах, є сумами напруг на резистивних елементах, що входять у підграф-
61
дерево, також однозначно визначені, якщо резистивні елементи мають (ВАХ,
керовані струмом.
Так, наприклад, у синтетичній схемі (див. рис. 3.5) ланцюга,
зображеного на рис. 3.3,а, в якості хорди вибирають вітку з нелінійним
резистивним елементом, ВАХ якого керується напругою, та вітка із
джерелом струму. До віток дерева в цьому випадку належать вітки з ЕРС та
лінійною провідністю g (L, h). Таким чином, в якості шуканих змінних
повинні бути взяті напруга u в синтетичній схемі та струм i через
L R
нелінійний резистивний елемент.
Отже, в якості проміжного висновку можна констатувати, що
основною перевагою використання синтетичних схем є можливість
застосування для розрахунку перехідних процесів у ланцюгах з
накопичувачами різних методів аналізу суто резистивних ланцюгів. А сааме
такі схеми гарно піддаються машинній обробці при комп’ютерному
моделюванні.
В роботі [60] наводиться детальний аналіз можливості використання
метода вузлових потенціалів при розрахункові перехідних процесів на основі
комп’ютерного моделювання.
Як свідчить з аналізу великої кількості джерел, дослідження
резистивних ланцюгів, історично перший із розділів теорії електричних
ланцюгів і в наш час вважається найбільш розробленим. Тому завдання
інших розділів теоретичної електротехніки, а саме розрахунок перехідних
процесів, діагностика електричних кіл, аналіз комутацій у ланцюгах з
реактивними елементами тощо, у багатьох випадках намагаються звести до
аналізу резистивних ланцюгів, розглядаючи їх методи рішення як
розрахунковий стандарт. Для вибору з різноманіття подібних методів
(вузлових напруг, контурних струмів, змішаних величин, топологічних
перетворень тощо), найбільш адекватного розрахунку перехідних процесів за
допомогою синтетичних схем, відзначимо основну особливість аналізу
62
перехідних процесів, яка полягає в необхідності розрахунку багатьох (до
тисяч) і навіть десятків тисяч точок дискретизації. Тому перевага має бути
віддана такому методу аналізу резистивних ланцюгів, процедура формування
рівнянь у якому найбільш економічна за обчислювальними витратами, а самі
рівняння характеризуються властивостями, що гарантують отримання
стійкого рішення на кожному кроці дискретизації, щоб забезпечувалася
задана точність розрахунку перехідного процесу на тривалих інтервалах.
Крім того, необхідно, щоб обраний метод комп’ютерного розрахунку був
універсальним у сенсі можливості його використання при розрахунку
ланцюгів із невзаємними, нелінійними та багатополюсними елементами.
Виходячи з цих вимог перевага надається методу вузлових напруг. Цей метод
універсальний, відрізняється найпростіший для комп’ютерного моделювання
процедурою формування рівнянь, властивості яких забезпечують високу
швидкість збіжності найпоширеніших методів чисельного розв'язання
алгебраїчних систем. Розглянемо цей метод докладніше.
Глибинна суть такого методу, детально досліджена в [56], полягає у
наступному. Нехай є GJ-ланцюг (ланцюг, елементи якого є провідності та
джерела струму), що містить n+1 вузол. Параметри джерел струму і
провідностей віток ланцюга вважаються відомими. Потрібно визначити
напруги та невідомі струми віток. Позначимо всі номера вузлів ланцюга
цифрами 1, 2, ... і позначимо через Uk, k=1, 2, ..., напруга (вузлова напруга)
між вузлом k і опорним вузлом 0. Для знаходження цих напруг за методом
вузлових потенціалів складають систему рівнянь

YU = J .
(3.12)

де U - матриця-стовпець (вектор) вузлових напруг;
J - матриця-стовпець (вектор) відомих струмів;
Y - n×n матриця відомих вузлових провідностей.
63
При цьому елемент Jk, k=1, 2, .... п, вектора J являє собою алгебраїчну
суму струмів джерел струмів віток, приєднаних до вузла k. Ці значення
беруть з позитивним знаком, якщо струм джерела спрямований до вузла k, і з
негативним, коли струм джерела спрямований від вузла k.
Рішення системи (3.12) дозволяє визначити невідомі значення
вузлових напруг. Подальший розрахунок ланцюга не становить складності.
Так, наприклад, для електричного кола (див. рис. 3.5,а) напруга між двома
будь-якими вузлами i і j кола зображеного на рис. 3.5,б Uij = Ui - Uj, а струм
k-ї вітки GJ → Ik-gkUij + Jk.

а) б)

Рис. 3.5. Електричне коло для ілюстрації застосування методу
вузлових потенціалів при машинному (комп’ютерному) розрахунку
електричних кіл: розрахункова схема - а), еквівалентна вітка - б)

Зазначимо, що це елементи матриць Y-1 = Z, що називається
матрицею вузлових опорів, позитивні. Таку матрицю також називають
позитивною матрицею [56]. Детально обґрунтовується ця позиція в роботі
[57]. Матриці з непозитивними позадіагональним елементами, яким
відповідають позитивні зворотні матриці, називають М - матрицями [56].
Симетричні M - матриці називають матрицями Стілтьєса [56]. Таким чином,
64
Y - матриці лінійних взаємних ланцюгів є матрицями Стілтьєса, а Y - матриці
невзаємних ланцюгів є, як правило, М - матрицями. Зауважимо, що спектр М
- матриць – дійсний та пизитивний. Ця обставина є істотною при вирішенні
систем рівнянь вузлових напруг (вузлових рівнянь), оскільки гарантує
збіжність найпоширеніших ітераційних методів при комп’ютерних
розрахунках та дозволяє оцінити її швидкість.

3.3 Застосування комп’ютерних макромоделей
В останній час можна спостерігати все більш високий рівень
інтеграції елементів реальних електротехнічних пристроїв
Так, наприклад, складність та високий рівень інтеграції елементів
реальних пристроїв електричних машин, вентильних перетворювачів, ліній
електропередачі тощо обумовлює складний характер їх математичних, а як
наслідок і комп’ютерних моделей. Хоча подібним пристроям можуть
відповідати схеми заміщення, складені тільки з двополюсних компонентів,
таке зіставлення виявляється складним, що вимагає використання поряд з
природними двополюсними схемними елементами (індуктивними,
ємнісними, резистивними) штучних елементів, наприклад гіраторів і т.п..
Отримані при цьому схеми заміщення не наочні і мають високу розмірність.
Останнє ускладнює проведення машинного розрахунку, стаючи зададто
ресурсозалежними.
Найбільш ефективно розрахунок складних електричних ланцюгів, що
містять електричні машини, вентильні перетворювачі, лінії електропередачі
тощо, може бути здійснений на основі принципу макромоделювання. Суть
цього принципу полягає у використанні діакоптичних методів (методів
розрахунку складних ланцюгів частинами), заснованих на попередньому
створенні таких математичних моделей складних пристроїв - макромоделей,
схеми заміщення яких на кожному кроці розрахунку являють собою повні
багатополюсники з числом вузлів, що дорівнює кількості граничних вузлів
65
пристроїв. Виняток внутрішніх вузлів у моделях таких пристроїв дозволяє
скоротити розмірність синтетичної схеми заміщення всього ланцюга.
Продемонструємо це на прикладі складання макромоделі схеми
представленої на рис. 3.6,а.

Рис. 3.6. RL ланцюг та його макромодель

Схема з рис. 3.6. описується рівнянням виду

di R 1
= − i + u.
dt L L (3.13)

При застосуванні до цього рівняння дискретизації по неявному методу
Єйлера можна отримати
in+1 − in R 1 h L
= − i
h L n+1 + u
L n+1  in+1 = − u + i .
L+ hR n+1 L+ hR n
(3.13)

Синтетична схема заміщення такого ланцюга (рис. 3.6,б) не містить
внутрішнього вузла.
Макромоделі створюють для окремих типів функціональних
пристроїв (електричних машин, вентильних перетворювачів, ліній
66
електропередачі тощо) та його програмні реалізації накопичують у
спеціальних бібліотеках макромоделей підпрограм. При достатньому
різномаїтті таких бібліотек стає набагато простіше описувати ланцюги для
розрахунку, заносячи в Т-списки номери лише граничних вузлів відповідних
функціональних пристроїв та дані для ідентифікації їх моделей у бібліоТЕЛі.
Але головне полягає у наступній раціональній організації формування та
обробки комп᾿ютерної математичної моделі всього ланцюга з урахуванням
особливостей моделювання цих її елементів.
Для ефективної реалізації принципів макромоделювання необхідно
повною мірою відображати у відповідних макромоделях специфічні
особливості пристроїв. Детальне дослідження застосування макромоделей
при комп᾿ютерному моделюванні електричних кіл, а також перспективи
даного підходу детально висвітлені в літературних джерелах [13, 14].

3.4 Вирішення задачі діагностики електричних ланцюгів із
застосуванням підходів комп’ютерного моделювання
Немалий інтерес становить формування моделей електричних
ланцюгів на основі комп’ютерного розрахунку. Одним із завдань такого роду
є діагностика електричних ланцюгів, тобто визначення параметрів реально
існуючих ланцюгів за експериментальними даними при збереженні цілісності
об'єктів діагностування у процесі проведення експериментів.
Багато робіт різних дослідників розглядаються питання подібного
відтворення математичних моделей [17, 18]. В основному вказані роботи
стосуються найпростішого випадку, коли діагностуються лінійні резистивні
ланцюги. Порушувані при цьому проблеми є значною мірою загальними і для
аналогічних завдань інших класів електричних кіл в т.ч. і з застосуванням
комп’ютерних засобів моделювання.
Високий рівень інтеграції елементів ланцюгів у єдиному
технологічному циклі виготовлення пристроїв та підсистем, неможливість
67
виділення в них необхідних для виконання діагностичних експериментів
полюсів та контактів, обмежені можливості сучасних засобів виміру та
обробки даних ставлять перед діагностикою складні проблеми. За цих умов у
першому наближенні, не дуже спрощуючи умову завдання, зазвичай
топологічну структуру діагностованих ланцюгів, а іноді й деякі їх параметри
приймають апріорі заданими. В такому випадку говорять про параметричну
ідентифікацію схеми. Для практичних завдань ці припущення не є надто
жорсткими, оскільки здебільшого саме топологічна структура схем відома як
при виробництві, так і при експлуатації відповідних пристроїв і систем і в
електроенергетиці, і радіоелектроніці. Можливі відмінності топологічної
структури можуть бути наслідком таких порушень, як розриви та короткі
замикання віток. У задачах діагностики такі порушення при апріорі заданій
топологічній структурі виявляються як екстремальні зміни параметрів віток.
В інших випадках подібні зміни у топологічній структурі можна
передбачити, заздалегідь протиставивши всім можливим місцям виникнення
таких порушень у ланцюзі ключові елементи. При цьому параметром, що
діагностується, є стан ключів (відкритий, закритий).
Існує тісний зв'язок між можливістю проводити ті чи інші виміри в
ланцюзі та однозначністю комп’ютерного розв'язання задачі діагностики.
Можна стверджувати, що завдання діагностики в її постановці не завжди
може мати однозначне рішення, тому одна з основних проблем полягає у
встановленні можливостей і умов однозначного визначення невідомих
параметрів ланцюга. З цього погляду істотним стає вибір необхідних
вимірювань параметрів режиму (струмів, напруг, потужностей тощо) вузлів і
віток ланцюга. У цьому актуальною є задача відшукання способів вибору
відповідних параметрів режиму, якщо рішення при вихідній постановці є
неоднозначним. За наявності свободи у виборі вимірюваних величин інтерес
представляє і визначення критеріїв надмірності. При діагностиці велике
значення мають точність вимірів і, отже, оцінка впливу відповідних помилок
68
вимірів на кінцевий результат розв'язання задачі.
Розрахункова частина розв'язання задачі діагностики, пов'язана з
комп᾿ютерної обробкою даних діагностичних експериментів, займає деяке
проміжне положення між чисельним аналізом та синтезом електричних кіл.
Тому тут у великій мірі відчувається, з одного боку, незавершеність методів
синтезу, особливо складних ланцюгів та ланцюгів з нелінійними елементами,
а з іншого боку, недосконалість обчислювальних методів та засобів аналізу
високорозмірними багатоелементними системами. З математичної точки зору
основні проблеми при виконанні цього етапу роботи пов'язані, по-перше, з
можливою некоректністю початкової постановки завдання, коли неповнота
або суперечливість вихідних даних ускладнює отримання єдиного та стійкого
її вирішення, і, по-друге, з суто обчислювальними труднощами забезпечення
прийнятної точності рахунку при обробці високорозмірних та часто погано
обумовлених систем рівнянь. У цьому виняткового значення набувають
методи вирішення некоректних (погано поставлених) завдань та завдань
великої розмірності за допомогою комп’ютерних засобів моделювання.
Діагностика електричних кіл є нині одним із найбільш інтенсивно
розвиваючихся розділів теорії електричних ланцюгів. Викликана виключно
запитами практики, підпорядкована у прикладному відношенні оцінці
технічного стану, працездатності та надійності реальних об'єктів
електроенергетики діагностика озброює фахівців, зайнятих у галузі
виробництва та експлуатації цих об'єктів, теоретичними знаннями з
відповідних проблем та раціональними методами їх вирішення. Однак, поряд
з цим не можна не відзначити, з одного боку, певного відставання теорії
діагностики від запитів інженерної практики, з другого боку, практично
повної відсутності відомостей про цю теорію у навчальної літературі.
Виняток становить лише традиційно, що розглядається, дослідження у курсі
теоретичних основ електротехніки, як визначення параметрів
чотириполюсників за даними дослідів холостого ходу та короткого
69
замикання, яке можна вважати найпростішим прикладом задач діагностики.
Нагальна необхідність відображення у навчальній літературі питань
діагностики електричних ланцюгів передбачає насамперед виділення таких
досить простих і водночас значущих для практики завдань, за якими всі
питання, починаючи від їх постановок, вибору методів вирішення та
закінчуючи оцінкою точності отриманих результатів, допускають досить
канонічний виклад. До них слід насамперед віднести діагностику лінійних
резистивних ланцюгів в умовах відносної свободи проведення відповідних
експериментів та вимірювань. Також варто зазначити, що, по-перше,
своєрідність методів діагностики електричних ланцюгів полягає у поєднанні
двох різнорідних етапів - експериментального та розрахункового (у зв'язку з
цим виникає проблема оптимального узгодження їх можливостей), по-друге,
досягнення в галузі діагностики електричних кіл значною мірою
визначаються можливостями сучасних персональних комп’ютерів та
суперкомп᾿ютерів, а також засобів автоматизації експериментів та
вимірювань, які необхідно враховувати при розгляді занадто відповідних
завдань.
Так, наприклад, нехай є пасивний резистивний електричний ланцюг,
всі вузли якого доступні для проведення діагностичних експериментів (див.
рис. 3.7, а), а топологічна структура в загальному випадку вважається
невідомою.

Рис. 3.7. Етапи дослідження пасивного резистивного ланцюга методом
комп᾿ютерної ідентифікації
70
Визначимо провідності віток ланцюга, представленого як повний
багатополюсник. При деяких обмеженнях, які будуть далі обумовлені,
завдання можна вважати практично вирішеним, якщо буде знайдена матриця
вузлових провідностей ланцюга, виду

Y11 Y12 ... ... ... Y1n
Y21 Y22 ... ... ... Y2n
... ... ...
Y = ,
... ... ... (3.13)
... ... ...
Yn1 Yn2 ... ... ... Ynn

де п + 1 - число вузлів ланцюга.

Для знаходження матриці вузлових провідностей Y доцільно
попередньо за даними діагностичних експериментів сформувати матрицю
Y-1=Z={Zij}nn, яку називають матрицею вузлових опорів. Справа в тому, що
для взаємних електричних кіл шукана матриця Y є M - матрицею, всі
елементи Zij якої є позитивними і доступними для експериментального
визначення величини, див. роботу [26]. Метод діагностики пасивних
електричних ланцюгів, заснований на експериментальному визначенні
вузлових опорів 1 ≤ i ≤ n, і подальшому числовому розрахунку матриці Y =
Z-1 називають методом вузлових опорів.
Для реалізації методу вузлових опорів між вузлами 0 і 1
багатополюсника П включають регульоване джерело енергії (умовно
позначений на рис. 3.7,б як джерело струму), за допомогою якого струм
першого вузла, що задає, встановлюють рівним 1 А , що в загальному
випадку відповідає одній відносній одиниці струму. Вимірявши вузлові
напруги при першому діагностичному експерименті, можна згідно з методом
вузлових напруг скласти систему рівнянь виду 3.14.
71
Y11 Y12 ... ... ... Y1n
1 1
Y21 Y22 ... ... ... Y U
2n 1 J1
1
... ... ... U
 2 0
= ;
... ... ... ... ... (3.14)
... ... ... U 1
n 0
Yn1 Yn2 ... ... ... Ynn

У системі 3.14 невідомими є коефіцієнти матриці Y, a U 1 , U1
1 2, J
1
1 =
1А - виміряні величини. Отже, з отриманого рівняння однозначно знайти
коефіцієнти матриці вузлових провідностей не можна, оскільки кількість
невідомих у системі, що дорівнює п2, більше числа рівнянь п. Для
однозначного визначення коефіцієнтів матриці Y можна провести ще п-1
експеримент (рис. 3.7,б). У кожному J-му експерименті (J = 2, 3, ...) джерело
струму підключають до вузлів 0 і 1(рис. 3.7,в), що забезпечує струм J-го
вузла, що задає, рівним 1 А. Після цього вимірюють п вузлових напруг.
Детально процедура описана в дослідженні [26].
Також наголосимо, що насправді вимірювання в діагностичних
експериментах виконують, зазвичай, з помилками. Рівень можливих помилок
вимірювань часто вдається оцінити, наприклад, за класом точності
вимірювальних приладів, що використовуються. У цій ситуації
інформативною є оцінка похибки вирішення завдання діагностики і яка
обумовлена лише відповідними помилками вимірювань. Узгодження
подібної оцінки з вимогами до точності виконання розрахункової частини
розв'язання задачі дозволить вибрати найкращий спосіб чисельної обробки
експериментальних даних на комп’ютері. При відносній малості помилок
вимірювань оцінка, що цікавить, може бути отримана на основі лінійної
теорії похибок.
На закінчення відзначимо, що перевагою розглянутого методу
вузлових опорів є простота його експериментальної частини. На практиці це
дозволяє порівняно просто автоматизувати процес діагностики
72
багатополюсників, причому в тому випадку, коли діагностуються резистивні
ланцюги, потрібні лише два вимірювальні прилади: вольтметр (див. рис.
3.7,б,в) і амперметр, необхідний для встановлення одиничних струмів за
допомогою одного регульованого джерела. Останній, зазвичай являє собою
джерело ЕРС з послідовно включеним резистором, який крім регулювальних
функцій виконує функції захисту ланцюга, джерела ЕРС і амперметра,
обмежуючи струми, що задають струми в перші моменти приєднання
джерела до вузлів діагностованого ланцюга. Крім того, як показано в роботі
[8], при діагностиці електричних кіл даним методом вдається порівняно
просто оцінювати точність отриманого результату.

3.5 Нетрадиційні підходи до використання комп’ютерних моделей
в задачах аналізу електричних ланцюгів
У попередніх главах нашого дослідження ми розглядали математичні,
а на основі них й комп᾿ютерні, моделі електричних ланцюгів із чітко
зафіксованими як топологічною структурою, так і параметрами самих
елементів. В практичному додатку, як показує проведений аналіз, бувають
випадки, коли вихідний опис ланцюга не відповідає подібному уявленню.
Наприклад, це має місце при відображенні меж наукових абстракцій [36]. У
такому випадку, про певну частину параметрів елементів схеми ланцюга
відомо тільки те, що вони істотно більші чи істотно менші параметрів інших
однотипних елементів. Питанням відображення цієї та іншої схожої
інформації в математичних моделях електричних ланцюгів, а також
питанням обробки таких моделей і присвячено низку робіт [21, 22, 36].
Як є відомим, основним етапом створення математичних моделей
електричних кіл є побудова їх еквівалентних схем та прийняття ряду
припущень відносно характеру властивостей їх елементів. Цей етап значною
мірою диктує подальше рішення щодо наступного вибору математичного
апарату дослідження. Узгодженість вибору математичного апарату з
73
початковим описом ланцюга і визначає адекватність математичної моделі та
її оригіналу. Основні проблеми як при цьому можуть виникати пов'язані з
умовністю меж наукових допущень для ланцюгів та властивостей їх
елементів, які можуть бути лінійні та нелінійні, стаціонарні та нестаціонарні
тощо. Справа в тому, що досить повний вихідний опис ланцюгів носить, як
правило, частково якісний характер і відповідає межі цих абстракцій. Спроби
спростити ситуацію при формалізації опису ланцюга призводять до
альтернатив вибору різних припущень для ланцюга, а отже, і різних її
математичних моделей і як наслідок видів комп’ютерних моделей. При
цьому, з одного боку, порушується адекватність будь-якої такої моделі
відносно її оригіналу, а з іншого боку, породжується або некоректність
(неправильність) математичної постановки завдання, або її погана
обумовленість, властивість «жорсткості», що, в свою чергу, ускладнює
обчислення. Особливі складності породжує неможливість відображення у
звичайних математичних моделях ланцюгів, такої вихідної інформації
якісного характеру, яка оцінює параметри ряду елементів як «істотно більші»
чи «істотно менші» відповідних параметрів інших елементів. При створенні
моделей подібних ланцюгів у рамках класичного аналізу дослідник
змушений замінити подібну якісну кількісну інформацію. Для цього він,
керуючись своїм досвідом інженера, надає параметрам подібних елементів
деякі відповідно великі чи малі числа. Такий довільний вибір може
спонукати ставити під сумнів достовірність результатів. Наявність у
математичних моделях дуже великих чи дуже малих параметрів призводить
до таких явищ, як погана обумовленість чи жорсткість задачі. Іноді,
намагаючись спростити ситуацію, дослідник змушений ідеалізувати подібні
елементи, вважаючи значення їхніх параметрів рівними нескінченності чи
нулю. Така ситуація зазвичай має місце на межах наукових абстракцій. В
наслідок таких дій з'являються моделі ланцюгів з ідеалізованими
елементами, а сааме: ідеальними трансформаторами, вентилями, джерелами
74
енергії і т. д., що, однак, у ряді випадків замість бажаного спрощення
призводить до некоректності математичного опису завдань та неможливості
отримання адекватного розв᾿язку.
В таких та подібних випадках, принципового значення набуває
поняття «нескінченного» в теорії електричних кіл. Абстракція нескінченного
є наріжним каменем класичної математики, основні поняття якої (похідні,
інтеграли, безперервність) виражаються у межах теорії меж через нескінченні
числові послідовності, так вважають багато дослідників [46]. У зв'язку з цим
виникає необхідність більш поглибленого розгляду самого поняття
нескінченного як з фізичної, так і з математичного опису
Особлива роль при цьому приділяється уявному експерименту, тобто
виконанню уявних дослідів, що здійснюються за законами логічного
мислення, з образами, що відображають досліджувані об'єкти реального
світу. Часто подібні уявні досліди ефективно виконуються, коли проводиться
дослідження не самого об’єкту, а його комп᾿ютерної моделі. Насамперед
варто звернути увагу, що запровадження поняття нескінченності як феномена
і подальше маніпулювання з цим феноменом пов'язані з певними логічними
труднощами, оскільки ототожнюється з певними фізичними об'єктами і
ситуаціями. У цьому сенсі конструктивнішим, тобто допускаючим реальну
інтерпретацію, є поняття нескінченності як тенденції, процесу. У цьому
випадку говорять про абстракцію потенційно здійсненної нескінченності.
Однак як мінус при такому підході отримуємо втрату інженерної наочності
поняття. Тоді потрібно застосовувати його формальне використання, яке
потребує складного викладу. Класична математика ґрунтується на цих
поняттях і через вище зазначене є негнучким інструментом для опису тих
граничних явищ, при яких з'являється необхідність введення абстракції
нескінченного. При цьому має місце неповна адекватність апарату
класичного аналізу електротехнічних задач, а це в зазначених випадках
ставить під сумнів застосування цього апарату як корисного інструмента
75
дослідження.
Подібний критичний погляд на класичну математику як інструменту
реалізації електротехнічних задач, зумовив створення та інтенсивний
розвиток нових математичних побудов, більш адекватних реальному світу.
Перша робота на цьому напрямі була виконана в 1961 р. А. Робінсоном
(США) [59] і отримала назву нестандартного аналізу. Основна її перевага
пов'язана зі створенням мови, зручної для формального опису та порівняння
істотно відмінних (дуже великих і дуже малих) фізичних величин. Зокрема, у
нестандартному аналізі можна надати суворий зміст таким самоочевидним
твердженням, як «сума кінцевого числа дуже малих величин є величина дуже
мала» або «сума дуже великий і дуже малої величин є величина дуже
велика». Аналіз А. Робінсона узаконює ці твердження за рахунок введення
нескінченно малих та нескінченно великих чисел. Причому подібні числа
можуть розглядатися як математичні образи таких фізичних величин
реальних об'єктів, які відрізняються від однотипних величин інших об'єктів і
тому важко спостережувані. У наступних математичних побудовах
досліджувалися й інші способи відображення математичних моделей
подібних фізичних ситуацій. Тим самим намітилася й можливість
самостійного конструювання математичних апаратів та комп’ютерних
моделей електричних кіл, що найбільш повно відповідають запитам
практики.
Дослідники вважають, що використання нестандартного аналізу та
споріднених йому математичних побудов виявляється ефективним для
відображення якісної інформації, що характеризує межі наукових абстракцій
у теорії електричних кіл [56, 57]. При цьому вихідна інформація про те, що,
наприклад, деякі параметри електричної схеми або режиму ланцюга істотно
більше чи істотно менше інших аналогічних параметрів, природним чином
переноситься в математичну модель, а далі і комп’ютерну модель кола. В
таких моделях нескінченні числа характеризують якісну відмінність
76
параметрів, що відповідає інтуїтивним уявленням про нескінченне і, отже,
виключає логічні труднощі при подальшому проведенні подібного роду
експериментів.
Для теорії електричних кіл можливість використання інших способів,
які відрізняються від класичного аналізу, застосування для відображення
якісної інформації не є новою. Тут традиційно робилися спроби відобразити
якісну різницю між параметрами за допомогою введення нескінченних чисел.
Так, в дослідній роботі [13] нескінченні числа вводилися для дослідження
миттєвих комутацій у вітках електричних ланцюгів, що складаються з
індуктивних або ємнісних елементів, за некоректно заданих початкових
умов. Інші приклади введення нескінченних чисел у математичні моделі
електричних кіл можна знайти у дослідженні [6]. Цим прикладам у межах
класичного математичного аналізу не можна було надати суворого
обґрунтування. Тому це потребувало уведення нових математичних побудов
і узаконює практику, що склалася та дає можливість більш формально і
осмислено відображати в математичних моделях електричних ланцюгів межі
відповідних наукових абстракцій. Також дані напрями досліджень
висвітлюються в роботах [44, 51, 66].
Таким чином ми можемо зробити висновок, що використання апарату
нестандартного аналізу та близьких до нього математичних побудов дає
можливість створити математичні та комп’ютерні моделі електричних кіл за
вихідною інформацією, що містить поряд з кількісними даними дані якісного
або, точніше, майже кількісного характеру. Щоб більш ефективно вивчити
питання побудови подібних (нестандартних) моделей електричних кіл,
спочатку ознайомимося з основними поняттями нестандартного аналізу та
відповідних математичних підґрунть.
Можна зауважити, що нестандартний аналіз електричних ланцюгів
дозволяє зручно згідно з інженерною інтуїцією описати кількісні стосунки у
граничних випадках. Це досягається ціною формального запровадження
77
штучних елементів - нескінченно малих і нескінченно великих чисел, що
робить апарат нестандартного аналізу недостатньо конструктивним. Тому в
ряді випадків для опису подібних співвідношень доцільно залучати
конструктивніші математичні побудови і, зокрема, апарат наведений в [14],
де він зветься «робочою математикою». У такій математиці нескінченні
елементи виключаються з розгляду, тоді як техніка її застосування
виявляється близькою до техніки нестандартного аналізу. Виняток
нескінченних елементів досягається за рахунок фіксації деякого дуже
великого числа ω!, відповідно виконуваним прикладним завданням,
наприклад, граничним можливостям спостереження деякого фізичного
параметра. Числа, що ще більші за ω!, які не мають аналогії в практичному
світі спостережень, ми розглядати не будемо. Похідні та інтеграли в «робочій
математиці» визначають через алгебраїчні операції зі звичайними числами. У
«робочій математиці» наочно відбивається проста структура традиційних
безперервних функцій та елементарність процесів з них. У той же час
«робоча математика» практично не застосовується для обробки складніших
функцій, наприклад, таких, що мають велику кількість розривів.
Якщо розглянути приклади використання нестандартного аналізу та
«робочої математики» у завданнях теорії електричних кіл, обмежившись
питаннями створення нестандартних моделей електричних ланцюгів, та не
торкаючись питань застосування таких моделей, то будемо вважати, що всі
результати розрахунку електричних ланцюгів, які можуть бути досягнуті з
використанням їх нестандартних моделей, можуть бути отримані й
звичайними способами.
Таким чином, можна констатувати, що застосування нестандартних
моделей дозволяє забезпечити найбільшу лаконічність, наочну інтерпретацію
та чіткість опису, а також ефективно вирішувати відповідні завдання
електротехнічного моделювання із застосуванням комп’ютерної обробки.

78
Висновки до розділу 3
1. Визначено, що саме поява та всебічне використання електронно-
обчислювальних машин, а далі й персональних комп’ютерів здійснило
визначальний вплив на розвиток машинного розрахунку електричних
ланцюгів, відкриваючи нові можливості для впровадження обчислювальних
методів.
2. Для успішного проведення комп’ютерного моделювання
електричних кіл, першочергово вирішується питання опису ланцюгів, в
контексті автоматизованого формування та чисельного розв'язання їх рівнянь
при машинному розрахунку. Для цього вводяться синтетичні схеми
заміщення ланцюгів, що поєднують особливості як чисельних методів
інтегрування, і топологічних структур ланцюгів.
3. Аналізується можливість реалізації діакоптичних принципів
розрахунку складних ланцюгів на основі застосування їх
макромоделювання.

79
РОЗДІЛ 4
ОСОБЛИВОСТІ ВИКОРИСТАННЯ ПАКЕТІВ КОМП’ЮТЕРНИХ
ПРОГРАМ ДЛЯ РОЗВЯЗАННЯ ПРАКТИЧНИХ ЗАДАЧ
ЕЛЕКТРОТЕХНІКИ

4.1 Порівняльний аналіз основних пакетів комп’ютерних програм
адаптованих для проведення аналізу електричних ланцюгів
В багатьох електротехнічних задачах практичного спрямування
основна увага приділяється інженерним методам дослідження процесів та
розрахунку електричних ланцюгів, заснованих на спрощених моделях,
схемах заміщення. Найбільш часто комп’ютерне моделювання передбачає
визначення статичних та динамічних режимів роботи електричних кіл різної
складності. При цьому дослідження процесів здійснюється у часовій та
частотній областях. Такий підхід дозволяє сформувати уяву про комп’ютерне
моделювання як таке, що дозволяє найбільш ефективно та якісно описувати
та вивчати різні електротехнічні процеси та явища тощо.
При проведенні аналізу на предмет застосування різновидів
комп’ютерних програм для ефективного аналізу електричних ланцюгів, було
виявлено, що найчастіше застосовуються такі пакети програм [44, 63]:
Electronics Workbench, MathCAD, MatLAB/Simulink, Excel, ELCUT.
Моделювання в . Проведення натурних експериментів та фізичне
моделювання електричних ланцюгів пов'язані з великими матеріальними
витратами, оскільки потрібне виготовлення діючих макетів та великий
перелік приладів, що може бути недосяжним. Тому часто застосовують
математичне моделювання з використанням засобів та методів
обчислювальної техніки, тобто проводять комп’ютерне моделювання.
Однією із таких широко розповсюджених програм є електронна система
моделювання Electronics Workbench (EWB) [63].
Електронна платформа EWB імітує реальне робоче місце в
80
дослідницькі лабораторії із парком приладів, тобто лабораторію, обладнану
вимірювальними приладами, за допомогою якої можна створювати прості та
складні електричні ланцюги та досліджувати процеси, що протікають у них.
Робота із системою моделювання EWB включає такі етапи: створення
схеми; вибір та підключення вимірювальних приладів; активація схеми та
розрахунок процесів, що протікають у досліджуваному пристрої.
Створення електричної схеми починається з розміщення на робочому
полі (рис. 2.1) компонентів EWB з бібліотеки програми.

Рис. 4.1. Головне вікно програми Electronics Workbench

Головне вікно програми має вигляд наведений на рис. 4.1. У верхній
частині вікна програми розташований рядок меню. Він містить шість
заголовків (див. рис. 4.2):

Рис. 4.2. Головне меню програми Electronics Workbench
81
Під меню у вигляді рядка піктограм розташовано стандартну панель
інструментів (див. рис. 4.3).

Рис. 4.3. Стандартна панель інструментів програми Electronics Workbench

Далі розташовані панелі лінійки інструментів, що розкриваються, з
компактним представленням бібліотек (див. рис. 4.4).

Рис. 4.4. Панель вибору елементів схеми та вимірювальних інструментів

Платформа Electronics Workbench дозволяє будувати схеми різного
ступеня складності за допомогою наступних операцій:
✓ вибір елементів та приладів із бібліотек;
✓ переміщення елементів та схем у будь-яке місце робочого поля;
✓ поворот елементів та груп елементів на кути, кратні 90°;
✓ копіювання, вставка або видалення елементів, груп елементів,
фрагментів і цілих схем;
✓ зміна кольору провідників;
✓ виділення кольором контурів схем для зручнішого сприйняття;
✓ одночасне підключення кількох вимірювальних приладів та
спостереження їх показань на екрані монітора;
✓ надання елементу умовного позначення;
82
✓ Зміна параметрів елементів у широкому діапазоні.
Всі операції виконуються за допомогою миші та клавіатури. Але
керування тільки з клавіатури неможливе.
Після побудови схеми та підключення приладів аналіз її роботи
починається після натискання вимикача у правому верхньому куті вікна
програми.
Процес створення схеми починається з розміщення на робочому полі
компонентів EWB з бібліотек програми відповідно до підготовленого ескізу.
Чотирнадцять розділів бібліотеки програми EBW по черзі може бути
викликано за допомогою меню Window або за допомогою іконок (див. рис.
рис. 4.5).

Рис. 4.5. Панель вибору пасивних компонентів електричного ланцюга

Щоб вибрати необхідний компонент, підводять покажчик миші до
зображення компонента в бібліоТЕЛі, натискають ліву кнопку миші (не
відпускаючи кнопку), переміщують компонент у вікно редагування, і потім
відпускають кнопку.
Розмістивши на робочому полі необхідні компоненти для створення
схеми, що досліджується, приступають до етапу введення і зміни параметрів
обраних компонентів.
Створення схеми завершується з'єднання компонентів електричної
схеми. При цьому необхідно пам'ятати, що виводу компонента можна
включити тільки один провідник.
83
Завершальним етапом є підключення електричної схеми живлення.
Для цього у правому верхньому кутку діалогового вікна розташована
піктограма.
Моделювання в MathCAD. MathCAD [42] – це сучасна, універсальна
математична система. Вона дозволяє виконувати як чисельні, так і аналітичні
(символьні) обчислення, має зручний математично-орієнтований інтерфейс
та чудові засоби графіки. Впровадження в систему символьної математики
перетворило її на універсальний інструмент для вирішення математичних та
електротехнічних завдань.
Останні версії MathCAD дозволяють готувати звіти з лабораторних та
навчально-дослідних робіт, оскільки містять такі основні компоненти:
✓ Редактор документів - редактор з можливістю вставки
математичних виразів, шаблонів графіків та текстових коментарів;
✓ MathConnex - системний інтегратор, що забезпечує інтеграцію
MathCAD з низкою інших програмних продуктів;
✓ Центр ресурсів – система управління ресурсами MathCAD;
✓ Електронні книги - електронні книги з описом типових
розрахунків у різних галузях науки та техніки;
✓ Довідкова система - система для отримання довідкових даних за
тематичним та індексним каталогом, а також для пошуку потрібних даних за
ключовим словом або фразою;
✓ «Швидкі шпаргалки» QuickShttts - короткі приклади з
мінімальними коментарями, що описують застосування всіх вбудованих
операторів та функцій системи;
✓ Інтернет-браузер - власний засіб виходу в Інтернет.
Далі коротко розглянемо інтерфейс програми MathCAD.
У MathCAD інтерфейс користувача інтуїтивний і подібний до інших
програм Windows. Головне вікно системи Mathcad у розгорнутому стані з
робочим листом показано на рис. 4.6.
84

Рис. 4.6. Головне вікно програми Mathcad

У першому рядку (рядку заголовка) головного вікна системи Mathcad
відображено назву вікна. У другому рядку головного вікна системи
розміщено пункти головного меню. У третьому, четвертому і п'ятому рядках
розміщені панелі інструментів, які найчастіше використовуються, які бажано
завжди мати на екрані. У третьому рядку - панель інструментів стандартна, у
другому - форматування, в четвертій – математика та ресурси. У нижньому
рядку головного вікна знаходиться рядок стану системи.
Основну частину екрана займає робочий аркуш. У правій та нижній
частині екрана розташовані смуги прокручування.
Панель Math (Математика) призначена для виклику на екран дев'яти
панелей, за допомогою яких, власне, відбувається вставка математичних
операцій в документи (див. рис. 4.7)
Динамічні режими в електричних ланцюгах виникають у результаті
підключення та при відключенні ланцюга до джерела живлення, при зміні
внаслідок комутації параметрів у самій схемі. Такі режими супроводжуються
перехідними процесами за наявності ланцюгах реактивних елементів, тобто
індуктивностей і ємностей. Описуються перехідні процеси з допомогою
диференціальних рівнянь. У складних електричних ланцюгах такі процеси
85
описуються за допомогою систем диференціальних рівнянь або
диференціальних рівнянь високого порядку.

Рис. 4.7. «Палітри» математичних операцій дій
.
З їхньою допомогою можна вводити в документи практично всі відомі
математичні символи та оператори. Палітри математичних знаків можна
розташовувати у зручному місці вікна редагування і дуже зручно ними
користуватися, оскільки не потрібно запам'ятовувати різноманітні комбінації
клавіш, які використовуються для введення спеціальних математичних
знаків.
MathCAD має систему оперативної пам'яті, одним з елементів якої є
підказки - невеликі текстові поля, що з'являються при наведенні покажчика
миші на багато (але не всі) елементи інтерфейсу і блоки у вікні редагування.
86
Розв'язання диференціальних рівнянь у теорії електричних кіл
здійснюється такими способами, саме:
✓ класичним методом розв'язання диференціальних рівнянь;
✓ операторним методом розв'язання диференціальних рівнянь;
✓ чисельними методами розв'язання диференціальних рівнянь.
Розрахунок перехідних процесів у будь-якому лінійному
електричному ланцюзі складається з наступних основних операцій:
✓ вибір позитивних напрямів струмів у гілках ланцюга;
✓ визначення значень струмів та напруг безпосередньо до комутації;
✓ складання характеристичного рівняння та визначення його
коренів;
✓ отримання виразів для струмів і напруг, що шукаються, як функції
часу.
Для всіх методів розрахунку найбільш трудомісткий четвертий етап
розрахунку.
Застосування програми Microsoft Excel для вирішення
електротехнічних завдань. Excel - редактор електронних таблиць та
призначений для математичної обробки та візуалізації числових масивів
даних [63].
Як додаток до Microsoft Office, він дозволяє вирішувати багато
повсякденних завдань студентів, бухгалтерів, інженерів, менеджерів. Цей
пакет доступний для використання, якщо в налаштуваннях Сервіс /
Надбудови / Пакет аналізу стоїть галочка.
Застосування прикладного програмного пакету MATLAB/SIMULINK.
Математичний пакет MATLAB [45, 61, 64, 65] з'явився давно і як мова
програмування була розроблена Клівом Моулером. Історія MATLAB
розпочинається з кінця 1970 року. MATLAB входить до складу продуктів
компанії MathWorks, і є їх основою. Вона застосовується для моделювання
мінливих з часом об'єктів, розробки систем управління, вирішення завдань та
87
технічних обчислень. Назва середовища MATLAB – «Matrix Laboratory» –
пов'язано з тим, що принцип її роботи організований на розширеному
представлення та використання матричних операцій для реальних,
комплексних та аналітичних даних.
У середовищі MATLAB користувач отримує можливість
використовувати різні вбудовані математичні функції лінійної алгебри, що
зачіпають чи не всі галузі математики, швидке перетворення Фур'є, також
користувач може аналізувати дані. Унікальність даного середовища полягає в
тому, що користувач не обмежується цими можливостями, також йому
доступні кошти для реалізації обчислювальних алгоритмів, засоби для
конструювання графічного інтерфейсу користувача для вирішення
специфічних завдань та функції для візуалізації математичних та
експериментальні дані.
У цьому пакеті прикладних програм використовується однойменна
мова програмування. Ця обставина, на відміну від інших мов програмування,
таких як Pascal, Java тощо, MATLAB сприяє скороченню часу, що
витрачається користувачем для вирішення завдань, та спрощення розробок
алгоритмів.
Система MATLAB є мовою програмування високого рівня,
призначеною для інженерних та наукових обчислень та створення засобів
моделювання різних пристроїв та систем. Базується на алгоритмах
матричних обчислень з виконанням операцій над наборами векторів, що
визначає основну відмінність цієї системи від інших відомих пакетів -
MathCAD, Maple, Mathematika та інші [42, 64].
Для зручності користування система MATLAB поділена на розділи,
оформлені у вигляді пакетів програм, яких утворюють ядро системи. Це
пакети розширення Simulink та SimPowerSystems. Перший пакет
призначений для моделювання лінійних та нелінійних динамічних систем та
пристроїв, представлених своєю функціональною блок-схемою, що
88
називається S-моделлю, або просто моделлю. Пакет SimPowerSystems, до
бібліотеки якого входить набір блоків для імітаційного моделювання
електротехнічних пристроїв у вигляді пасивних та активних
електротехнічних елементів, джерел енергії, електродвигунів,
трансформаторів, напівпровідникових елементів.
Операційне середовище Simulink. Для запуску програми Simulink
необхідно запустити пакет MATLAB. Робочий стіл системи MATLAB з
командним вікном показано на рис. 4.8. Там же показано підказку, що
з'являється у вікні при наведенні вказівника миші на ярлик Simulink на панелі
інструментів.

Рис. 4.8. Робоче вікно платформи MATLAB

Далі можна відкрити вікно блоків бібліотеки Simulink, зображено на рис. 4.9.
Вікно браузера бібліотеки блоків Simulink Library Browser містить такі
елементи (див. рис. 4.9):
✓ Заголовок з назвою вікна – Simulink Library Browser.
✓ Меню із командами File, Edit, View, Help.
✓ Панель інструментів з кнопками команд меню, що найчастіше
використовуються.
89
✓ Вікно коментаря для виведення пояснюючого повідомлення про
вибраний розділ бібліотеки або блок.
✓ Список розділів бібліотеки.
✓ Вікно для відображення вмісту розділу бібліотеки (список
вкладених розділів бібліотеки або блоків).
✓ Рядок стану, що містить підказку щодо виконуваної дії.

Рис. 4.9. Вікно блоків бібліотеки Simulink

Проаналізувавши основні характеристики описаних вище програм,
можна зробити висновок, що найбільш широкими можливостями володіє
система MATLAB/Simulink і саме її ми й використаємо для проведення
подальших наших досліджень.
Серед головних позитивних властивостей та переваг можна
відзначити наступне. Бібліотека блоків SimPowerSystems (у версії МА TLAB
6.1 і раніше – Power System Blockset) є однією з безлічі додаткових бібліотек
Simulink, орієнтованих моделювання конкретних пристроїв, що дає більш
90
широкі можливості.
Бібліотека SimPowerSystems містить набір блоків для імітаційного
моделювання електротехнічних пристроїв. До складу бібліотеки входять
моделі пасивних та активних електротехнічних елементів, джерел енергії,
електродвигунів, трансформаторів, ліній електропередачі тощо. Є також
розділ, містить блоки для моделювання пристроїв силової електроніки,
включаючи системи управління їм. Комбінуючи можливості Simulink та
SimPowerSystems, користувач може не тільки імітувати роботу пристроїв у
часовій області, а й виконувати різні види аналізу таких пристроїв. Зокрема,
користувач має можливість розрахувати встановлений режим роботи системи
на змінному струмі, здійснити розрахунок імпедансу (повного опору) ділянки
ланцюга, отримати частотні характеристики, проаналізувати стійкість, а
також виконати гармонійний аналіз струмів та напруг.
Безперечною перевагою SimPowerSystems є те, що складні
електротехнічні системи можна моделювати, поєднуючи методи імітаційного
та структурне моделювання. Наприклад, силову частину
напівпровідникового перетворювача електричної енергії можна виконати з
використанням імітаційних блоків SimPowerSystems, а систему управління –
за допомогою звичайних блоків Simulink, що відображають лише алгоритм її
роботи, а не її електричну схему. Такий підхід, на відміну від пакетів
схемотехнічного моделювання, дозволяє значно спростити всю модель, а
значить підвищити її стійкість та швидкість роботи. Крім того, у моделі з
використанням блоків SimPowerSystems (надалі SРS-моделі) можна
використовувати блоки та інших бібліотек Simulink, а також функції самого
МА TLAB, що надає практично не обмежені можливості моделювання
електротехнічних систем. Бібліотека SimPowerSystems досить велика. У тому
випадку, якщо все ж потрібного блоку в бібліоТЕЛі немає, користувач має
можливість створити свій власний блок як за допомогою вже наявних у
бібліоТЕЛі блоків, реалізуючи можливості Simulink щодо створення
91
підсистем, так і на основі блоків основної бібліотеки Simulink та керованих
джерел струму або напруги.
Таким чином, SimPowerSystems у складі Simulink на даний час може
вважатися одним з кращих пакетів для моделювання електротехнічних
пристроїв та систем.

4.2 Розв’язання модельної задачі в системі MATLAB/Simulink
Для демонстрації можливостей, обраного як найбільш ефективний та
перспективний пакет програмного забезпечення MATLAB/Simulink, далі
проведемо комп’ютерне моделювання актуальної в наш час задачі розробки
схеми однофазного інвертора з симетричним керуванням та синусоїдальною
широтно-імпульсною модуляцією при його роботі на активно-індуктивне
навантаження.
При проведенні вказаного комп’ютерного моделювання необхідно
вирішити такі завдання:
✓ дослідити зовнішні та енергетичні характеристики однофазного
(мостового) інвертора із симетричним керуванням, із синусоїдальною
широтно-імпульсною модуляцією при роботі на активноіндуктивне
навантаження;
✓ дослідити регулювальні характеристики однофазного (мостового)
інвертора із симетричним керуванням, із синусоїдальною широтно-
імпульсною модуляцією при роботі на активно-індуктивне навантаження.
✓ дослідити гармонійний склад напруги та струму навантаження
однофазного (мостового) інвертора з симетричним керуванням, із
синусоїдальною широтно-імпульсною модуляцією при роботі на активно-
індуктивне навантаження.
Для здійснення ком’ютерного моделювання в середовищі
MATLAB/Simulink створюємо віртуальну лабораторну установку. Її вигляд
представлено на рис. 4.10.
92

Рис. 4.10. Структурна схема віртуальної дослідної установки створеної
в середовищі MATLAB/Simulink

До складу установки входять: джерело постійної напруги (240 В); активно-
індуктивне навантаження (R, L); • вимірювачі миттєвих струмів у джерелі
живлення (II) та навантаженні (Load Current); вимірник миттєвої напруги на
навантаженні (Load Voltage); блок для вимірювання гармонійних складових
струму живлення (Fourier II); блок для вимірювання гармонічних складових
струму силового модуля (Fourier IT); блок для вимірювання гармонійних
складових струму навантаження (Fourier I) та аналогічний блок для
вимірювання гармонійних складових напруги на навантаженні (Fourier U);
блок для вимірювання чинного струму силового модуля (IT(RMS)); блок для
спостереження (вимірювання) миттєвих значень струму ланцюги живлення,
струму навантаження та напруги на навантаженні (Scope); Multimeter блок
для спостереження (вимірювання) миттєвих значень величин, які вибрані в
93
полі Measurement відповідних блоків; блок для вимірювання середнього
значення струму в ланцюзі живлення (Displayl); блок для вимірювання
амплітудних значень першої гармоніки струму та напруги на навантаженні, а
також їх фаз (Display); блок для вимірювання середнього та діючого значення
струму в силовий модуль (Display2); однофазний транзисторний інвертор
(Universal Bridge 2 arms); блоки То Workspace, То Workspacel, призначені для
передачі досліджуваних сигналів у робочий простір MatLab з подальшою
обробкою пакетом розширення Signal Processing Toolbox для дослідження
гармонійного спектра напруги та струму навантаження; блок керування
(Control system); блок завдання модулюючої напруги (Sine Wave).
Модель блоку управління показано на рис. 4.11. Він містить генератор
пилкоподібної напруги (ГПН) несучої частоти (блок Repeating Sequence), дві
схеми порівняння та два розподільники імпульсів, збирач Mux поєднує
чотири сигнали в один векторний. На вхід Ini подається синусоїдальна
модулююча напруга. Несуча частота дорівнює 500 Гц, а амплітуда сигналу
ГПН дорівнює 2 В. Частота модулюючої напруги 25 Гц.

Рис. 4.11. Модель блоку управління інвертором

Дослідження однофазного (мостового) інвертора з симетричним
керуванням, із синусоїдальною широтно-імпульсною модуляцією при роботі
94
на активно-індуктивне навантаження проводимо на віртуальній установці
(див. рис. 4.10), докладний опис якої наведено вище.
Параметри джерела живлення, однофазного мостового
транзисторного інвертора, його блоку керування та амплітуда модулюючої
напруги задаються дослідником у відповідних вікнах програми (у вкладці
Simulation/parameters).
У разі зняття зовнішніх характеристик змінюються параметри RH, LH
навантаження. Опір RH змінюється не більше від 10 до 100 Ом.
Моделювання проводиться для кожного значення опору
навантаження. Далі розглянемо результати моделювання, що представлені
нижче. Амплітуди перших гармонік струму та напруги на навантаженні та їх
початкові фази визначаються за показаннями Display, середній струм у
джерелі живлення визначається за показаннями Display 1. Миттєві значення
цих величин можна спостерігати на екрані осцилоскопа (див. рис. 4.12).

Рис. 4.12. Осцилограми живлячого струму, струму навантаження
на навантаженні однофазного інвертора

Середній та діючий струм у силовому напівпровідниковому модулі
визначаються за показаннями Display2 (див. рис. 4.13).

95

Рис. 4.13. Осцилограми напруги та струму напруги та струм силового модуля

Дослідження спектрального складу напруги та струму навантаження
інвертора здійснюється при одному значенні модулюючої напруги (задається
самим дослідником) у пакеті розширення Signal Processing Toolbox. (див. рис.
4.14).

Рис. 4.14. Осцилограма струму навантаження

Спектральний склад напруги на навантаженні представлений на рис. 4.15.
96

Рис. 4.15. Спектральний склад напруги на навантаженні

Спектральний склад струму на навантаженні представлений на рис. 4.16.

Рис. 4.16. Спектральний склад струму на навантаженні

Таким чином, отримані результати розв’язаної модельної задачі
практично-прикладного типу, можуть свідчити про високу ефективність
комп’ютерного моделювання на основі використання обчислювальної
платформи MATLAB/Simulink.
97
Висновки до розділу 4
1. Здійснено визначення групи перспективного програмного
забезпечення для найбільш ефективного проведення комп’ютерного
моделювання електричних схем.
2. Розглянута модельна задача та результати її розв'язання свідчать,
що для розв’язування задач моделювання електричних схем найбільш
доцільним є використання програмного середовища MatLab/Simulink.

98
ВИСНОВКИ

В магістерській роботі досліджені, класифіковані та отримали
подальший розвиток методи комп’ютерного моделювання електричних
ланцюгів.
Основні результати магістерської роботи полягають у наступному.
1. Проведено систематизацію та всесторонній огляд існуючих
методів комп’ютерного моделювання електричних та електронних схем, в
тому числі як методів раннього застосування, так і перспективних.
2. Визначено, що виняткове значення у майбутньому набуде сервісне
забезпечення програм, а також створення орієнтованих на визначену
предметну область операційних середовищ, і навіть становлення проблемно-
орієнтованих систем штучного інтелекту. Все це вимагатиме інтенсивного
розвитку теорії моделювання електричних ланцюгів, накопичення та
формалізації досвіду їхнього машинного розрахунку.
3. В результаті проведеного порівняльного аналізу методів
комп’ютерного моделювання електричних та електронних схем, здійснено
вибір найбільш перспективної групи методів.
4. З числа вказаних методів в якості найбільш перспективного та
володіючого найширшими можливостями було визначено застосування
платформи MATLAB/Simulink.
5. Розглянуто модельну задачу для підтвердження ефективності
обраного методу комп’ютерного моделювання електричних ланцюгів.

99
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Бобало Ю. Я. Основи теорії електронних кіл / Ю.Я. Бобало,
Б. А. Мандзій, П. Г. Стахів, Л. Д. Писаренко , Ю. І. Якименко; за ред. проф.
Ю. Я. Бобала. – Львів: Видавництво Національного університету «Львівська
політехніка», 2008. – 332 с.
2. Васильєв В. В. Порівняльний аналіз частотних характеристик
апроксиматорів інтегро-диференціальних операторів нецілих порядків на
основі ланцюгових RC-схем / В. В. Васильєв, О. О. Качмарчик, К. В. Киркач
// Електроніка та системи упр. − 2011. − N 2. − С. 5-10.
3. Верлань А. Ф. Метод ідентифікації електричних кіл на основі
інтегральних динамічних моделей. / А. Ф. Верлань, О. О. Ситник,
К. М. Ключка // Матеріали третьої міжнародної науково-технічної
конференції «Моделирование в электротехнике, электронике и светотехнике
МЭЭС’2010», м. Київ. 2010. − С. 24-26.
4. Ключка К. М. Обчислювальний експеримент для порівняння
чисельних методів розрахунку диференціальної та інтегральної моделі
електричного кола. / К. М. Ключка // Збірник тез (за матеріалами
Міжнародної науково-практичної конференції «Обробка сигналів і
негаусівських процесів» на базі Черкаського державного технологічного
університету), 2007. − С. 35-37.
5. Мороз В. І. Ефективні рекурентні формули для комп’ютерного
моделювання електромеханічних систем / В.І. Мороз // Електроенергетичні
та електромеханічні системи, 2007. − №597. − С. 3-11.
6. Мороз В. І. Вибір кроку дискретизації в цифрових моделях
електромеханічних систем / В.І. Мороз // Електроенергетичні та
електромеханічні системи, 2010. − №671. − С. 72-75.
7. Мороз В. І. Аналіз чисельних методів для аналізу керованих
електромеханічних систем / В. І. Мороз // Тези доповідей 3-ої Міжнародної
100
науково-технічної конференції "Математичне моделювання в електротехніці,
електроніці та електроенергетиці", 25 - 30 жовтня 1999 р., Львів, Україна.
8. Перхач В. С. Математичні задачі електроенергетики /
В. С. Перхач – Лвов: Выща школа, 1989. – 464 с.
9. Пухов Г. Є. Перспективні методи математичного моделювання
енергетичних об'єктів / Г. Є. Пухов // Вісн. АН УРСР. – 1988. – № 1. – С. 10-
20.
10. Ситник О.О. Один з методів застосування інтегральних рівнянь
до аналізу лінійних стаціонарних електричних кіл із зосередженими
параметрами / О. О. Ситник, К. М. Ключка // Збірник наукових праць ІПМЕ
ім. Г.Є. Пухова НАН України − К., 2007. − В.43. − С. 109-118.
11. Черноус І.Ю., Ключка К.М. «Особливості застосування
спеціалізованих комп’ютерних програм для проектування та аналізу
електричних мереж та систем» // Збірник тез доповідей студентської науково-
практичної конференції ЧДТУ, 19-22 квітня, Черкаси.). 2022. – С. 115.
12. Breitenecker F., Husinsky I. Results of the EUROSIM Comperision
Lithium Cluster Dynamics / F. Breitenecker, I. Husinsky – Trends in Continuous
Simulation Software // EUROSIM’95, P. 9-15.
13. Myclelsky Т. Analysis without actual infiniti "jti The Jornael of
Simbolic Logic, 1984, s. 46, N 3.
14. FSlinger O. Laplace — und Furier — Transformprmation Berlin,
1982.
15. Moler Cleve, Van Loan Charles. Nienteen dub dubious ways to
computer the exponential of a matrix//SIAM Review, vol. 20, N 4, 197;1978,
16. Berkowitz R. S. Conditions for network-element-value solvability //
IRE Transactions on circuit theory. - 1962. - March. - P. 24-29.
17. Braun J. Topological analysis of networks containing nullators and
norators // Electronics letters. - 1966. - Vol. 2, no. 11.- P. 427^128.
18. Breuer M. A. Generation of optimal code for expressions via
factorization // Communications of the Association for computing machinery. -
101
1969. - Vol. 12, no. 6. - P. 333-340.
19. Chang S. M., Wierzba G. M. Circuit level decomposition of networks
with nullors for symbolic analysis // IEEE Transactions on circuits and systems - 1
: Fundamental theory and applications. - 1994. - Vol. 41. - P. 699-711.
20. Constantinescu F., Marin С. V., Nitescu M., Marin D. A new approach
to parameter identification of linear circuits // IEEE Proc. of the international
conference on signals, circuits and systems. - Romania, 2003. - P. 457-460.
21. Dmytryshyn R., Kubaszek A. Multimethodical approach and sequence
of expressions generation for acceleration of repetitive analysis of analog circuits //
Analog integrated circuits and signal processing. - Vol. 31. - Kluwer Academic
Publishers, 2002. - P. 147-159.
22. Fedi G., Riccardo G., Luchetta A., Manetti S., Piccirilli M. C. On the
application of symbolic techniques to the multiple fault location in low testability
analog circuits // IEEE Trans, circuits and systems. - 1998. - Pt. II, vol. 45, no. 10,-
P. 1383-1388.
23. Feussner W. Ueber Stromverzweigung in netzformigen Leitern //
Annalen der Physik. - 1902. - Bd 9, N 13. - S. 1304-1329.
24. Feussner W. Zur Berechnung der Stromstarke in netzformigen Leitern //
Annalen der Physik. - 1904. - Bd 15, N 12. - S. 385-394.
25. Filaretov V. V. A topological analysis of electronic circuits by a
parameter extraction method // Electrical technology Russia. - 1998. - No. 2. - P.
46-61.
26. Filaretov V. V., Korotkov A. S. Generalized parameter extraction
method in case of multiple excitation // SMACD-2004 : Proc. of the 8-th
international Workshop on Symbolic Methods and Applications in Circuit Design.
- Wroclaw (Poland). - September 23-24, 2004. - P. 8-11.
27. Hashemian R. Symbolic representation of network transfer functions
using norator-nullator pairs // Electronic circuits and systems. - 1977. - Vol. 1, no.
6 (November). - P. 193-197.
28. Hoang S. Direct topological rules for analysis of networks without
102
magnetic coupling // Archiwum elektrotechniki. - 1974. - T. 23, z. 2. - S. 387-405.
29. Mason S. J. Topological analysis of linear nonreciprocal networks //
Proceedings of the IRE. - 1957. - Vol. 45, no. 6. - P. 829-838.
30. Milic M. M. General passive networks - solvability, degeneracies, and
order of complexity // IEEE Transactions on circuits and systems. - 1974. - Vol.
CAS-21- No. 2 (March).-P. 177-183.
31. Ozawa T. Topological conditions for the solvability of linear active
networks // Circuit Theory and Applications. - 1976. - Vol. 4. - P. 125-136.
32. Ozawa T., Kajitani Y. Diagnosability of linear active networks //
IEEE Transactions on circuits and systems. - 1979. - Vol. CAS-26. - No. 7,- P.485-
489.
33. Parten M. E. Seacat R. H. Topological analysis of networks containing
nullators and norators using residual networks // 23rd annual Southwestern IEEE
conference and exhibition. - New York, USA, 1971. - P. 39-42.
34. Richard Shi C.-J., Xiang-Dong Tan. Canonical symbolic analysis of
large analog circuits with determinant decision diagrams // IEEE Trans, on
computer-aided design of integrated circuits and systems. - 2000. - Vol. 19, no. l.-
P. 1-13.
35. Saek R., Singh S. P., Liu R.W. Fault isolation via component
simulation // IEEE Trans. Circuit theory, vol. CT-19, 1972. - P.634-640.
36. Slavski G.N. Single Op Amp high order polynomial ARC low-pass-
filter // Proc. Int. Symp. SCS. - Iasi, Romania. - July 2003. - Vol.2. - P. 349-352.
37. Starzyk J. A., Konczykowska A. Flowgraph analysis of large
electronic networks // IEEE Transactions on circuits and systems. - 1986. - Vol.
CAS-33, no. 3.-P. 302-315.
38. Tellegen B. D. H. La recherche pour una serie complete d’elements de
circuit ideaux non-lineaires // Rendiconti del seminario matematico e fisico di
Milano: Sotto gli auspice delEuniversita e del politecnico. - Milano, 1955. Vol. 25
(1953-1954). -P. 134-144.
39. Wambacq P., Gielen G. G. E., Sansen W. Symbolic network analysis
103
methods for practical analog integrated circuits : a survey // IEEE Trans, circuits
and systems. - 1998. -Pt. II, vol. 45, no. 10. -P. 1331-1341.
40. Bewley L. V. Travelling waves on transmission systems. / L.V.
Bewley – New York, 1951. – 543 p.
41. Beznosova O. I., Step-by-step numerical method for decision of
Volterr kind integral equations / O. I. Beznosova, E. P. Semagina // Proceedings of
the International Conference "Integral equations – 2010" dedicated to 50 years of
the Department of Numerical Mathematic, 25–27 August 2010 (Lviv).– Lviv:
PAIS, 2010. P. 11-16
42. Birkeland Illustrated Mathematics: Visualization of Mathematical
Concepts with Mathcad PLUS 6.0 / Birkeland, Byrge., Studentlitteratur, Lund,
Sweden, 1997.– 316 p.
43. Breitenecker F., Husinsky I. Results of the EUROSIM Comperision
Lithium Cluster Dynamics / F. Breitenecker, I. Husinsky – Trends in Continuous
Simulation Software // EUROSIM’95, P. 9-15.
44. Brulinski P., Zielinski I.S. Comparison of Some Algorithms Applied
to Digital Ccalculations of transient phenomena in transmission lines with
distributed parameters // Rozprawy elektrotechiczne Warszawa. – 1983. – t. 29. –
P.3-15.
45. Building GUIs with Matlab. – The MathWorks Inc., 1997.
(www.mathworks.com).
46. Chang R. Y., Optimal control of lumped parameter systems via shifted
Legendre polynomial approximation/ R.Y. Chang, M.L. Wang // Journal of
Optimization Theory and Applications – 1985, v. 45, № 2. – P. 313-324.
47. Chou J. H. Double-shifted Chebyshev series for convolution integral
and integral equations / J.H. Chou, I.R. Horng // Int. J. Control. – 1985. – v.42,
№1. – P. 225-232.
48. Hsiao C. H. Solving integral eqvations via Walsh functions /
C. H. Hsiao, C. F. Chen // Comput. Elect. Eng. – 1979. № 6. – P. 279-292.
104
49. Hwang Ch. Solution of integral equations via Laguerre Polynomials /
Ch. Hwang, Y.P. Shih // Comput. and Elect. Eng. – 1982. – v. 9, № 34. – P. 123-
129.
50. Kung F. C. Solution of integral equations using a Set of Block-Pulse
Functions // F. C. Kung, S. Y. Chen / J. Franklin Inst. – 1978, v. 306, № 4. – P.
83-291.
51. Lin P. M. Formulation of hybrid matrices for linear multiports
containing controlled sources / P. V. Lin, IEEE Trans. on CAS, vol. CAS-21, No.
2, 1974, Р. 169-175.
52. Malina L. A. stable methods of high order for Volterra integral
equations / L. A. Malina – Appl. Math., 1975, 20, N 5, P. 336-344.
53. Miller A. K. Nonlinear Volterra integral equations / A.K. Miller –
Menlo ParK (Calif.): Benjamin, 1971. – X, 468 p.
54. Miller K. Three circle theorems in partial differential equations and
applications to improperly posed problems / K. Miller – Arch. Ration. Mech. and
Anal., 1964, 16, N2, P. 126-154.
55. Miller K. Eigenfunction expansion methods for problems with
overspecified data / K. Miller. – Ann. Scuola. Norm. Super. Pisa. Sci. fis. e mat.,
1965, 19, P. 397-405.
56. Miller K. Least squares methods for ill-posed problems with a
prescribed bound/ K. Miller – SIAM J. Math. Anal., 1970, 1, N 1, p. 52—74.
57. Morchalo J. O przyblizonym rozwiazymaniu nieliniowych rownan
calkowych typu Volterra w przestrzeni funkcji ciaglych / J.O Morchalo – Fasc.
math., 1972, N 6, P. 31-40.
58. Poch Н. A general digital computer simulation programme for
thiristor static converters (programme SACSO): Applications examples "Contr.
Power Electron, and Elec. Drever.-Proc. 2-nd IFAC Sgmp / Н. Poch, С. Rebovlet,
J. Shonek. – Düsseldorf, 1977. – P. 1-5.
59. Reinsh C. H. Smoothing by spline functions / C. H Reinsh // Numer.
Math. – 1967. – 10, № 5. – P. 177-183.
105
60. Semagina E. P. Numerical Algorithms of Integral Models Analysis for
Systems with Distributed and Lumped Parameters / E.P. Semagina, O.I Beznosova
// Proc. of IXth Int. Workshop "Computational Problems of Electrical
Engineering" (CPEE'08) Alushta, Sept. 16-20, 2008. – P. 151-152.
61. Shampine L., The MATLAB ODE Suite /. L. Shampine, M. Reichelt–
http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/pdf_doc/otherdocs/odesuite.pdf.
62. Shampine L. F. Implementation of implicit formulas for the solution
of ODE's / L. F. Shampine. SIAM J. Sci. Statist. Comput, fla1,1980. – P. 103-118.
63. Stefan Steinhaus. Comparison of mathematical programs for data
analysis/ Steinhaus Stefan University of Frankfurt / Germany, 1999. – 50 p.
64. The MathWorks, Inc. Numerical Computing with MATLAB. – 2004.
– http://www.mathworks.com/moler.
65. The Student edition of MATLAB for MS-DOS personal computers. –
The MathWorks, Inc., 1992. – 215 p.
66. Wang J. Y. Information content in remote sensing: comment /
J.Y. Wang, R. Goulard // J. fid. – 1974. v. 13, №11. – P. 2467-2468.

ChSTU repository

ChSTU repository preserves and enables easy and open access to all types of digital content including text, images, moving images, mpegs and data sets